「名問の森」徹底解説（25〜27問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題25 直流回路 (室蘭工大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーを含む直流回路の定常状態」です。スイッチの開閉によって回路接続が変化する中で、電位、電流、電荷がどのように決まるかを解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
スイッチ \(S_1, S_2\) が共に開いている状態です。
回路図をたどると、電流の経路は「電源 \(\rightarrow\) A \(\rightarrow\) \(R_1\) \(\rightarrow\) L \(\rightarrow\) \(C_1\) \(\rightarrow\) M \(\rightarrow\) \(C_2\) \(\rightarrow\) N \(\rightarrow\) \(R_4\) \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) 電源」という一本道になります。
しかし、経路中にコンデンサーが含まれているため、定常状態では電流が流れません。

この設問における重要なポイント

• 電流ゼロ: コンデンサーが直列に入っているため、回路全体に電流は流れません（\(I=0\)）。
• 抵抗での電圧降下なし: 電流が流れないため、オームの法則 \(V=RI\) より、抵抗 \(R_1, R_4\) での電圧降下は \(0\) です。つまり、抵抗の両端は等電位になります。

具体的な解説と立式
電流が \(0\) なので、抵抗 \(R_1\) の両端（AとL）、および \(R_4\) の両端（NとB）の電位差は \(0\) です。
電源の負極側（B点）の電位を \(0\) と基準化すると、電源電圧 \(E=12\,\text{V}\) より、A点の電位は \(12\,\text{V}\) となります。
$$
\begin{aligned}
V_B &= 0\,\text{V} \\[2.0ex]
V_A &= 12\,\text{V}
\end{aligned}
$$
抵抗での電圧降下がないため、L点とN点の電位は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
V_L &= V_A \\[2.0ex]
&= 12\,\text{V} \\[2.0ex]
V_N &= V_B \\[2.0ex]
&= 0\,\text{V}
\end{aligned}
$$
したがって、コンデンサー直列部分（L-N間）にかかる電圧 \(V_{LN}\) は \(12\,\text{V}\) です。
この電圧が、直列接続された \(C_1, C_2\) に分圧されます。
直列コンデンサーに蓄えられる電荷 \(Q\) は共通なので、各コンデンサーの電圧 \(V_{C1}, V_{C2}\) は容量の逆比になります。
$$
\begin{aligned}
V_{C1} : V_{C2} &= \frac{1}{C_1} : \frac{1}{C_2} \\[2.0ex]
&= C_2 : C_1
\end{aligned}
$$
求めたいのは「Lに対するMの電位」つまり \(V_M – V_L\) です。
図より、\(V_L – V_M = V_{C1}\) （Lの方が電位が高い）なので、まずは \(V_{C1}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_{C1} &= \frac{C_2}{C_1 + C_2} V_{LN}
\end{aligned}
$$
求める電位差 \(\Delta V\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\Delta V &= V_M – V_L \\[2.0ex]
&= – V_{C1}
\end{aligned}
$$

\(C_1 = 20\,\mu\text{F}, C_2 = 30\,\mu\text{F}\) を代入して \(V_{C1}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
V_{C1} &= \frac{30}{20 + 30} \times 12 \\[2.0ex]
&= \frac{30}{50} \times 12 \\[2.0ex]
&= 0.6 \times 12 \\[2.0ex]
&= 7.2\,\text{V}
\end{aligned}
$$
L点の方がM点より電位が高いため、Lに対するMの電位（\(V_M – V_L\)）は負の値になります。
$$
\begin{aligned}
\Delta V &= -7.2\,\text{V}
\end{aligned}
$$

スイッチが開いているため、電気の通り道は一本しかありませんが、途中にコンデンサーという「壁」があるため、電気の流れ（電流）は止まっています。
電流が流れていないので、抵抗はただの導線と同じになり、電圧を使いません。そのため、電池のパワー（12V）がそのまま2つのコンデンサーに直撃します。
コンデンサーは容量が小さいほど電圧を多く負担する性質があるため、計算すると上のコンデンサーには7.2Vの電圧がかかっていることがわかります。
聞かれているのは「上（L）から見た真ん中（M）の高さ」なので、7.2Vだけ「下がる」ことになり、答えはマイナスになります。

答えは \(-7.2\,\text{V}\) です。
\(C_1\) の方が \(C_2\) より容量が小さいため（\(20 < 30\)）、より大きな電圧がかかるはずです。\(12\,\text{V}\) の半分（\(6\,\text{V}\)）より大きい \(7.2\,\text{V}\) という結果は妥当です。また、電流方向（電位の高い方）から低い方を見るので、符号はマイナスで正解です。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(S_1\) を閉じ、\(S_2\) を開いた状態です。
\(S_1\) が閉じたことで、電流の流れるループが形成されます。
\(S_2\) は開いているため、\(R_3\) 側には電流が流れません。また、L-N間にはコンデンサーがあるため、ここにも定常電流は流れません。

この設問における重要なポイント

• 有効な回路の特定: 電流は「電源 \(\rightarrow\) A \(\rightarrow\) \(S_1\) \(\rightarrow\) \(R_2\) \(\rightarrow\) N \(\rightarrow\) \(R_4\) \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) 電源」という経路でのみ流れます。
• 無電流部分: \(R_1\) の先（L点）は、\(R_3\) 側が断線、コンデンサー側も直流不通のため、行き止まりです。よって \(R_1\) に電流は流れません。

具体的な解説と立式
まず、AB間を流れる電流 \(I\) を求めます。
有効な回路は \(R_2\) と \(R_4\) の直列回路です。
オームの法則より、回路全体の電圧と抵抗の関係式を立てます。
$$
\begin{aligned}
E &= (R_2 + R_4) I
\end{aligned}
$$
次に、LとNの電位を比較します。
B点の電位を \(0\,\text{V}\) とすると、A点の電位は \(12\,\text{V}\) です。
\(R_1\) には電流が流れないため、電圧降下は \(0\) です。よってL点の電位はA点と等しくなります。
$$
\begin{aligned}
V_L &= V_A \\[2.0ex]
&= 12\,\text{V}
\end{aligned}
$$
N点の電位は、A点から \(R_2\) での電圧降下を引くか、B点から \(R_4\) での電圧上昇を足すことで求められます。ここではB点基準で考えます。
$$
\begin{aligned}
V_N &= V_B + R_4 I \\[2.0ex]
&= 0 + R_4 I
\end{aligned}
$$
最後に、LN間の電位差 \(V_{LN} = |V_L – V_N|\) を計算します。

まず電流 \(I\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
I &= \frac{E}{R_2 + R_4} \\[2.0ex]
&= \frac{12}{20 + 30} \\[2.0ex]
&= \frac{12}{50} \\[2.0ex]
&= 0.24\,\text{A}
\end{aligned}
$$
次に \(V_N\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
V_N &= 30 \times 0.24 \\[2.0ex]
&= 7.2\,\text{V}
\end{aligned}
$$
\(V_L = 12\,\text{V}\) と \(V_N = 7.2\,\text{V}\) を比較すると、\(12 > 7.2\) なので **Lの方が電位が高い** です。
その電位差は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
V_{LN} &= V_L – V_N \\[2.0ex]
&= 12 – 7.2 \\[2.0ex]
&= 4.8\,\text{V}
\end{aligned}
$$

スイッチ \(S_1\) だけを入れると、電気は下のルート（\(R_2\) と \(R_4\)）を通って流れます。上のルート（\(R_1\)）は行き止まりなので電気は流れません。
電気が流れない \(R_1\) では電圧が下がらないので、L点の高さ（電位）は電池のプラス側と同じ12Vのままです。
一方、電気が流れている下のルートでは、抵抗を通るたびに電圧が下がっていきます。計算すると、N点の高さは7.2Vになります。
12Vと7.2Vを比べると、当然12V（L点）の方が高いです。その差は4.8Vとなります。

電流 \(0.24\,\text{A}\)、Lの方が高い、電位差 \(4.8\,\text{V}\)。
\(R_2\) での電圧降下は \(20 \times 0.24 = 4.8\,\text{V}\) なので、A点(\(12\,\text{V}\))から \(4.8\,\text{V}\) 下がって \(V_N = 7.2\,\text{V}\) となり、計算の整合性が取れています。

問(3)

思考の道筋とポイント
\(S_1, S_2\) を共に閉じると、回路は典型的なブリッジ回路の形になります。
中央のL-N間にはコンデンサーがあるため、定常状態ではここには電流が流れません。
つまり、回路は「上側の抵抗直列回路（\(R_1+R_3\)）」と「下側の抵抗直列回路（\(R_2+R_4\)）」が並列に接続された状態とみなせます。

この設問における重要なポイント

• 回路の分離: コンデンサーに電流が流れないため、上側の電流 \(i\) と下側の電流 \(I\) は独立して計算できます。
• 電位差と電荷: コンデンサーに蓄えられる電荷は、その両端の電位差 \(V_{LN}\) によって決まります。
• 消費電力: 全抵抗での消費電力の和、または電池の供給電力として求められます。

具体的な解説と立式
(ア) AB間を流れる電流
上側経路（\(R_1, R_3\)）の合成抵抗を \(R_{\text{上}}\)、下側経路（\(R_2, R_4\)）の合成抵抗を \(R_{\text{下}}\) とします。
それぞれの経路を流れる電流 \(i, I\) はオームの法則より求まります。
$$
\begin{aligned}
i &= \frac{E}{R_1 + R_3} \\[2.0ex]
I &= \frac{E}{R_2 + R_4}
\end{aligned}
$$
AB間を流れる全電流 \(I_{\text{全}}\) はこれらの和です。
$$
\begin{aligned}
I_{\text{全}} &= i + I
\end{aligned}
$$

(イ) \(C_1\) のL側の極板に蓄えられた電荷
まず、L点とN点の電位を求めます（B点を \(0\,\text{V}\) 基準）。
$$
\begin{aligned}
V_L &= V_B + R_3 i \\[2.0ex]
&= R_3 i \\[2.0ex]
V_N &= V_B + R_4 I \\[2.0ex]
&= R_4 I
\end{aligned}
$$
電位差 \(V_{NL} = V_N – V_L\) を求め、合成容量 \(C_{\text{合成}}\) を用いて蓄えられる電荷 \(Q\) を計算します。
\(C_1, C_2\) は直列なので、蓄えられる電荷の大きさは等しくなります。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{C_{\text{合成}}} &= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \\[2.0ex]
Q &= C_{\text{合成}} (V_N – V_L)
\end{aligned}
$$
\(V_N > V_L\) ならばN側が正、L側が負に帯電します。問われているのは「L側の極板」なので符号に注意が必要です。

(ウ) 回路全体での消費電力
各抵抗での消費電力 \(P = I^2 R\) の総和を計算します。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{全}} &= i^2 R_1 + i^2 R_3 + I^2 R_2 + I^2 R_4
\end{aligned}
$$

(エ) 電荷が蓄えられない条件
電荷が \(0\) になるには、コンデンサーにかかる電圧が \(0\)、つまり \(V_L = V_N\) であればよいです。これはホイートストンブリッジの平衡条件と同じです。
$$
\begin{aligned}
R_1 R_4 &= R_2 R_3
\end{aligned}
$$

(ア)
$$
\begin{aligned}
i &= \frac{12}{30 + 10} \\[2.0ex]
&= \frac{12}{40} \\[2.0ex]
&= 0.30\,\text{A} \\[2.0ex]
I &= \frac{12}{20 + 30} \\[2.0ex]
&= \frac{12}{50} \\[2.0ex]
&= 0.24\,\text{A} \\[2.0ex]
I_{\text{全}} &= 0.30 + 0.24 \\[2.0ex]
&= 0.54\,\text{A}
\end{aligned}
$$

(イ)
$$
\begin{aligned}
V_L &= 10 \times 0.30 \\[2.0ex]
&= 3.0\,\text{V} \\[2.0ex]
V_N &= 30 \times 0.24 \\[2.0ex]
&= 7.2\,\text{V}
\end{aligned}
$$
\(V_N > V_L\) なので、N側が高電位です。電位差は \(7.2 – 3.0 = 4.2\,\text{V}\)。
合成容量 \(C_{\text{合成}}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
C_{\text{合成}} &= \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \\[2.0ex]
&= \frac{20 \times 30}{20 + 30} \\[2.0ex]
&= \frac{600}{50} \\[2.0ex]
&= 12\,\mu\text{F}
\end{aligned}
$$
蓄えられる電荷の大きさ \(|Q|\) は、
$$
\begin{aligned}
|Q| &= 12\,\mu\text{F} \times 4.2\,\text{V} \\[2.0ex]
&= 50.4\,\mu\text{C}
\end{aligned}
$$
N側が高電位なので、N側に \(+Q\)、L側に \(-Q\) が蓄えられます。
\(C_1\) のL側の極板の電荷は負なので、\(-50.4\,\mu\text{C}\)。

(ウ)
$$
\begin{aligned}
P_{\text{全}} &= (0.30)^2 \times (30+10) + (0.24)^2 \times (20+30) \\[2.0ex]
&= 0.09 \times 40 + 0.0576 \times 50 \\[2.0ex]
&= 3.6 + 2.88 \\[2.0ex]
&= 6.48\,\text{W}
\end{aligned}
$$

(エ)
平衡条件 \(R_1 R_4 = R_2 R_3\) に値を代入して \(R_3\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
30 \times 30 &= 20 \times R_3 \\[2.0ex]
900 &= 20 R_3 \\[2.0ex]
R_3 &= \frac{900}{20} \\[2.0ex]
&= 45\,\Omega
\end{aligned}
$$

(ア) 上の道と下の道、それぞれ独立した回路として電流を計算し、最後に合流させればOKです。
(イ) 上の道の途中（L点）と下の道の途中（N点）の高さを計算して比べます。N点の方が高いので、電気はN側からコンデンサーを押そうとします。その圧力差（電圧）を使って溜まる電気量を計算します。L側は低い方（マイナス側）につながるので、電荷はマイナスになります。
(ウ) 全部の抵抗が発する熱（電力）を足し算します。
(エ) L点とN点の高さが同じになれば、コンデンサーに圧力差がかからず、電気は溜まりません。これは「向かい合う抵抗の掛け算が等しい」というバランス条件（ホイートストンブリッジ）で求められます。

(ア) \(0.54\,\text{A}\)。妥当な値です。
(イ) \(-50.4\,\mu\text{C}\)。有効数字を考慮すると \(-5.0 \times 10^{-5}\,\text{C}\) と表記しても良いでしょう。
(ウ) \(6.48\,\text{W}\)。
(エ) \(45\,\Omega\)。元の \(10\,\Omega\) より大きくすることで、L点の電位を下げ（\(R_3\)での電圧降下を大きくし）、N点に合わせる方向なので物理的に正しいです。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 定常状態におけるコンデンサーの振る舞い
  • 核心: 直流回路において十分に時間が経過すると、コンデンサーへの充電が完了し、電流が流れなくなる（断線状態と等価になる）。
  • 理解のポイント:
    • 電流 \(I=0\) なので、直列に接続された抵抗での電圧降下 \(RI\) も \(0\) になる。
    • その結果、抵抗の両端は等電位になり、導線でつながっているのと同じ状態になる。
• 電位による回路解析（電位法）
  • 核心: 回路内の各点の「高さ（電位）」を特定することで、任意の2点間の電圧や、コンデンサーに蓄えられる電荷を自在に計算できる。
  • 理解のポイント:
    • 基準点（アースや電源の負極）を \(0\,\text{V}\) と決めることから始める。
    • 「電流の向きにたどると電位は下がる」「電池のプラス側に行くと上がる」というルールを徹底する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スイッチ切り替え問題: 「S1だけ閉じる」「S2も閉じる」といった操作ごとに、有効な回路図を書き直す（無効な部分は消しゴムで消すイメージ）。
  • ホイートストンブリッジの変形: 形が崩れていても、回路のトポロジー（つながり方）を整理すればブリッジ回路であることに気づけるようにする。
  • コンデンサーを含む複雑な回路: テブナンの定理を用いて、コンデンサー以外の部分を単純化する。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電流の有無を判定: コンデンサーがある枝、スイッチが開いている枝など、電流が流れない場所を最初に見つけ、×印をつける。
  2. 等電位点の特定: 電流が流れていない抵抗の両端は同じ電位になるので、同じ色で塗るなどして視覚化する。
  3. 基準点の設定: 計算しやすい場所（通常は電源のマイナス側）を \(0\,\text{V}\) と置き、そこから順に各点の電位を書き込んでいく。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電位差の符号ミス:
  • 誤解: \(V_L – V_N\) を求めるべきところで、逆の \(V_N – V_L\) を答えてしまったり、電荷の正負を逆にしてしまう。
  • 対策: 必ず「どちらが高いか」を大小関係（例: \(12 > 7.2\)）で確認し、図に矢印（高\(\to\)低）を書き込む癖をつける。
• コンデンサー直列回路の分圧ミス:
  • 誤解: 抵抗の分圧（抵抗値に比例）と混同して、容量に比例させて電圧を配分してしまう。
  • 対策: コンデンサーの電圧は容量に「反比例」する（\(V=Q/C\)）。「小さい容量ほど電圧を食う」と覚える。
• スイッチ操作後の状態混同:
  • 誤解: (2)の状態を引きずったまま(3)を解いてしまう。
  • 対策: 設問ごとに回路図をラフに書き直し、リセットして考える。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(3)(イ)での解法選択（電位法 vs 合成容量）:
  • 選定理由: 回路が複雑で直列・並列が見えにくい場合でも、各点の電位さえ分かれば確実に解けるため、最も汎用性が高い「電位法」をメイン解法に採用しました。
  • 適用根拠: キルヒホッフの法則に基づくため、どんな回路でも成立する絶対的な方法です。
• 問(3)(ウ)での解法選択（個別の和 vs 全体供給）:
  • 選定理由: 模範解答は個別の和を採用していますが、別解の「全体供給電力」の方が計算量が圧倒的に少なく、ミスも減らせます。
  • 適用根拠: エネルギー保存則により、回路内で消費される全エネルギーは電源が供給するエネルギーと必ず等しくなるため。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の次元確認:
  • 意識: 電荷 \(Q\) の単位は \([\text{C}]\)、容量 \(C\) は \([\text{F}]\)、電圧 \(V\) は \([\text{V}]\) 。\(Q=CV\) の計算で単位が合っているか常に意識する。
  • 実践: \(\mu\)（マイクロ、\(10^{-6}\)）などの接頭辞を計算の最後まで残し、最後に数字と合わせることで桁ミスを防ぐ。
• 極端な例での検算:
  • 意識: もし \(R_3\) が \(0\) だったら？ もし \(C_1\) が無限大だったら？
  • 実践: \(R_3=0\) なら \(V_L=12\,\text{V}\) になるはず。式がそうなっているか確認する。

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複数のスイッチが開閉される過程で、回路の接続状態が変化し、それに伴い電荷が再配分される様子を追跡します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)