問題25 (室蘭工大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、抵抗とコンデンサーが組み合わさったブリッジ回路に関する問題です。スイッチの開閉によって回路の構成が変化し、特に「十分に時間がたった」定常状態において、各部の電流や電位、コンデンサーに蓄えられる電荷などを考察します。コンデンサーが直流定常状態でどのように振る舞うかを正しく理解しているかが鍵となります。
- 4つの抵抗: \(R_1=30\,\Omega\), \(R_2=20\,\Omega\), \(R_3=10\,\Omega\), \(R_4=30\,\Omega\)。
- 2つのコンデンサー: \(C_1=20\,\mu\text{F}\), \(C_2=30\,\mu\text{F}\)。
- 1つの電池: 起電力 \(E=12\,\text{V}\)（内部抵抗は無視）。
- 2つのスイッチ: S1, S2。
- 初期状態: 各操作のはじめには、コンデンサーに電荷は蓄えられていない。
- S1, S2 をともに開いた状態での、Lに対するMの電位。
- S1を閉じ、S2 を開いた状態での、AB間を流れる電流、LとNの電位の大小、LN間の電位差。
- S1, S2 をともに閉じた状態で、
- (ア) AB間を流れる電流。
- (イ) \(C_1\) のL側の極板に蓄えられた電荷。
- (ウ) 回路全体での消費電力。
- (エ) \(C_1\) と \(C_2\) に電荷が蓄えられないようにするための \(R_3\) の代替抵抗値。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のポイントは、コンデンサーを含む直流回路の「定常状態」の扱いです。「十分に時間がたった」という記述は、コンデンサーの充電が完了し、回路の状態が時間的に変化しなくなった定常状態を指します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念
- コンデンサーの直流定常状態: 十分に時間が経過した直流回路において、コンデンサーは充電（または放電）を完了し、電流を通さなくなります。これは、コンデンサー部分が「断線」していると見なせることを意味します。
- 電流が流れない抵抗: 抵抗に電流が流れない場合、オームの法則 \(V=RI\) より、その抵抗の両端の電圧降下は0になります。つまり、その抵抗の両端は「等電位」です。
- オームの法則: \(V=RI\)。
- キルヒホッフの法則:
- 第1法則（電流則）：回路の分岐点で電流の総和は0。
- 第2法則（電圧則）：閉回路での電位の変化の総和は0。
- コンデンサーの基本: \(Q=CV\)。
- 直列・並列回路: 抵抗やコンデンサーの合成。
- 消費電力: \(P=IV=RI^2\)。
- ホイートストンブリッジ: (3)(エ)では、ブリッジ回路の平衡条件が鍵となります。
全体的な戦略
- 各設問の回路構成を正確に把握し、定常状態において電流が流れる経路と流れない経路を特定します。
- 電流が流れない抵抗は等電位であることを利用して、回路の各点の電位を求めていきます。
- コンデンサーにかかる電圧（電位差）を求め、\(Q=CV\) を使って電荷を計算します。
- 電池や抵抗の消費電力は、流れる電流と電圧（または抵抗値）から計算します。
問 (1)
思考の道筋とポイント
S1, S2がともに開いている状態です。このとき、回路は電池Eとコンデンサー\(C_1\), \(C_2\)のみが直列に接続された単純な回路となります。抵抗には電流が流れません。
十分に時間がたつと、\(C_1\)と\(C_2\)の充電が完了します。
問われているのは「Lに対するMの電位」です。これは、M点の電位からL点の電位を引いた値 (\(V_M – V_L\)) です。これは、コンデンサー\(C_1\)の電圧 \(V_1\) の正負を考慮したものと同じです。
直列に接続されたコンデンサーでは、全体の電圧が各コンデンサーの電気容量の逆比に分配されます。
この設問における重要なポイント
- S1, S2が開いているため、抵抗は回路に関与しない。
- \(C_1\)と\(C_2\)は電池\(E\)に対して直列接続となる。
- 直列コンデンサーでは、電圧は電気容量の逆比に分配される。
- Lは電池の正極側、Mは\(C_1\)と\(C_2\)の中間、Nは電池の負極側につながるため、Lの方がMより電位が高い。
具体的な解説と立式
S1, S2が開いているため、抵抗 \(R_1, R_2, R_3, R_4\) には電流が流れません。回路は電池Eとコンデンサー\(C_1, C_2\)の直列回路と見なせます。
十分に時間が経過すると、コンデンサーの充電が完了します。
\(C_1\)と\(C_2\)にかかる電圧をそれぞれ \(V_1, V_2\) とすると、直列コンデンサーの電圧分配の公式より、\(C_1\)にかかる電圧 \(V_1\) は、
$$V_1 = \frac{C_2}{C_1+C_2}E \quad \cdots ①$$
Lは電池の正極側、Mは\(C_1\)の負極側に接続されるため、Lの方がMより電位が高くなります。したがって、Lに対するMの電位は負の値となり、その大きさは\(C_1\)にかかる電圧 \(V_1\) に等しく、\(-V_1\) となります。
使用した物理公式
- 直列コンデンサーの電圧分配: \(V_k \propto 1/C_k\)
与えられた値 \(C_1 = 20\,\mu\text{F}\), \(C_2 = 30\,\mu\text{F}\), \(E=12\,\text{V}\) を式①に代入します。
$$V_1 = \frac{30\,\mu\text{F}}{20\,\mu\text{F} + 30\,\mu\text{F}} \times 12\,\text{V} = \frac{30}{50} \times 12\,\text{V} = \frac{3}{5} \times 12\,\text{V} = 7.2\,\text{V}$$
L点の方がM点より電位が高いので、Lに対するMの電位は \(-V_1\) です。
$$V_M – V_L = -7.2\,\text{V}$$
- 回路を単純化する: スイッチが開いているので、抵抗は関係ありません。電池に2つのコンデンサー \(C_1, C_2\) がまっすぐ（直列に）つながっているだけの回路です。
- 電圧の分け方を考える: 直列につながれたコンデンサーでは、電池の電圧がそれぞれのコンデンサーに分けられます。このとき、電気容量が小さい方により大きな電圧がかかります（容量の逆比）。
- C1の電圧を計算する: \(C_1\) と \(C_2\) の容量は \(20:30=2:3\) なので、電圧は逆比の \(3:2\) に分けられます。全体の電圧12Vを \(3:2\) に分けるので、\(C_1\) にかかる電圧は \(12 \times \frac{3}{3+2} = 7.2\,\text{V}\) です。
- 電位を答える: Lは電池のプラス側、Mはマイナス側にあるので、Lの方が電位が高いです。「Lに対するMの電位」は、Mの電位からLの電位を引くので、マイナスの値になり \(-7.2\,\text{V}\) となります。
Lに対するMの電位は \(-7.2\,\text{V}\) です。これは模範解答と一致します。コンデンサーが直列の場合、電圧は容量の逆比に分配されるという基本事項を正しく適用できるかが問われています。
問 (2)
思考の道筋とポイント
S1を閉じ、S2を開いた状態で十分に時間がたったときを考えます。
定常状態ではコンデンサー\(C_1, C_2\)には電流が流れません。したがって、コンデンサーが接続されている経路（A-L-M-N、L-R3-B）には電流が流れないことになります。
結果として、抵抗\(R_1\)と\(R_3\)には電流が流れません。
電流が流れるのは、A→R2→N→R4→B→電池→Aという閉回路のみです。この回路では、抵抗\(R_2\)と\(R_4\)が直列に接続されています。
AB間を流れる電流: この閉回路にオームの法則を適用して求めます。
LとNの電位の大小: \(R_1\)に電流が流れないため、A点とL点は等電位です。一方、A点とN点の間には抵抗\(R_2\)があり、ここに電流が流れるため電圧降下が生じます。電流の向きからAとNの電位の大小を比較し、LとNの大小を判断します。
LN間の電位差: LとNの電位差は、AとNの電位差に等しくなります。これは抵抗\(R_2\)にかかる電圧です。
この設問における重要なポイント
- 定常状態ではコンデンサーに電流は流れない。
- 電流が流れない抵抗の両端は等電位。
- 電流が流れる経路を特定し、その部分回路でオームの法則を適用する。
具体的な解説と立式
定常状態では、コンデンサーを含む枝には電流が流れません。したがって、\(R_1\)と\(R_3\)には電流が流れません。
電流 \(I\) は、電池E、抵抗\(R_2\)、抵抗\(R_4\)からなる閉回路のみを流れます。この回路で\(R_2\)と\(R_4\)は直列接続です。
回路全体の合成抵抗は \(R_{24} = R_2 + R_4\)。
オームの法則より、AB間を流れる電流 \(I\) は、
$$E = (R_2+R_4)I \quad \cdots ②$$
抵抗\(R_1\)に電流が流れないため、A点とL点の電位は等しくなります (\(V_A = V_L\))。
電流\(I\)はA→R2→Nの向きに流れるため、A点の方がN点よりも電位が高くなります (\(V_A > V_N\))。
したがって、\(V_L > V_N\) となり、Lの方がNより電位が高いです。
LN間の電位差 \(V_{LN}\) は \(V_L – V_N\)。\(V_L=V_A\)なので、\(V_{LN} = V_A – V_N\)。
これは、抵抗\(R_2\)の両端の電圧降下に等しいです。
$$V_{LN} = R_2 I \quad \cdots ③$$
使用した物理公式
- オームの法則 \(V=RI\)
- 合成抵抗（直列）: \(R = R_1+R_2\)
まず、式②に \(E=12\,\text{V}\), \(R_2=20\,\Omega\), \(R_4=30\,\Omega\) を代入して電流 \(I\) を求めます。
$$12 = (20+30)I$$
$$50I = 12$$
$$I = \frac{12}{50} = 0.24\,\text{A}$$
次に、式③に \(R_2=20\,\Omega\) と求めた電流 \(I=0.24\,\text{A}\) を代入してLN間の電位差 \(V_{LN}\) を求めます。
$$V_{LN} = 20\,\Omega \times 0.24\,\text{A} = 4.8\,\text{V}$$
- 電流の流れる道筋を見つける: 十分に時間がたつと、コンデンサーには電流が流れなくなります。そのため、\(R_1\) や \(R_3\) にも電流は流れません。電流は、電池から出て、A→\(R_2\)→N→\(R_4\)→Bを通って電池に戻るルートだけを流れます。
- 電流を計算する: このルートでは、\(R_2\) と \(R_4\) が直列につながっています。回路全体の抵抗は \(20\Omega+30\Omega=50\Omega\) です。オームの法則 \(I=E/R\) から、電流は \(12\text{V} / 50\Omega = 0.24\text{A}\) となります。
- 電位を比較する: \(R_1\) に電流が流れないので、A点とL点は同じ電位です。一方、A点からN点へは電流が流れているので、A点の方がN点より電位が高いです。したがって、L点の方がN点より電位が高くなります。
- 電位差を計算する: LとNの電位差は、AとNの電位差と同じです。これは抵抗 \(R_2\) にかかる電圧なので、オームの法則 \(V=RI\) から \(20\Omega \times 0.24\text{A} = 4.8\text{V}\) と計算できます。
AB間を流れる電流は \(0.24\,\text{A}\)。電位はLの方がNより高い。LN間の電位差は \(4.8\,\text{V}\)。
全ての結果は模範解答と一致します。定常状態のコンデンサーの扱いが正しくできれば、単純な直流回路の問題として解くことができます。
問 (3)
(ア)
思考の道筋とポイント
S1, S2をともに閉じた状態で十分に時間がたったときを考えます。
この場合も、定常状態なのでコンデンサー\(C_1, C_2\)には電流が流れません。
回路は、電池Eに対して、上側のアーム（抵抗\(R_1\)と\(R_3\)の直列）と下側のアーム（抵抗\(R_2\)と\(R_4\)の直列）が並列に接続された形、すなわちホイートストンブリッジ回路の構成になります。
AB間を流れる電流は、上側アームを流れる電流 \(i\) と下側アームを流れる電流 \(I\) の合計になります。
この設問における重要なポイント
- 定常状態ではコンデンサーに電流は流れない。
- 回路は抵抗のみのホイートストンブリッジ回路と見なせる。
- 上側のアームと下側のアームは、それぞれ電池に並列に接続されている。
- 各アームを流れる電流を個別に計算し、合計する。
具体的な解説と立式
定常状態では、コンデンサーには電流が流れません。
上側のアーム（A→L→R3→B）の合成抵抗は \(R_{13} = R_1 + R_3\)。このアームには電池の電圧 \(E\) がかかります。流れる電流を \(i\) とすると、オームの法則より、
$$E = (R_1+R_3)i \quad \cdots ④$$
下側のアーム（A→R2→N→R4→B）の合成抵抗は \(R_{24} = R_2 + R_4\)。このアームにも電池の電圧 \(E\) がかかります。流れる電流を \(I\) とすると、オームの法則より、
$$E = (R_2+R_4)I \quad \cdots ⑤$$
AB間を流れる電流 \(I_{AB}\) は、A点で合流（またはB点で分岐）するこれらの電流の和です。
$$I_{AB} = i + I \quad \cdots ⑥$$
使用した物理公式
- オームの法則 \(V=RI\)
- 合成抵抗（直列）
- キルヒホッフの第1法則
まず、上側アームの電流 \(i\) を式④から求めます。\(R_1=30\,\Omega, R_3=10\,\Omega, E=12\,\text{V}\)。
$$12 = (30+10)i$$
$$40i = 12$$
$$i = \frac{12}{40} = 0.3\,\text{A}$$
次に、下側アームの電流 \(I\) を式⑤から求めます。\(R_2=20\,\Omega, R_4=30\,\Omega, E=12\,\text{V}\)。
$$12 = (20+30)I$$
$$50I = 12$$
$$I = \frac{12}{50} = 0.24\,\text{A}$$
最後に、AB間の全電流 \(I_{AB}\) を式⑥から求めます。
$$I_{AB} = 0.3\,\text{A} + 0.24\,\text{A} = 0.54\,\text{A}$$
別解: 回路全体の合成抵抗
思考の道筋とポイント
上下のアームの合成抵抗をそれぞれ計算し、それらの並列合成抵抗を求めることで回路全体の抵抗を算出します。その後、オームの法則から全電流を求めます。
具体的な解説と立式
上側のアームの抵抗は \(R_{13} = R_1+R_3\)。
下側のアームの抵抗は \(R_{24} = R_2+R_4\)。
これらが並列に接続されているので、回路全体の合成抵抗を \(R_{\text{全}}\) とすると、
$$\frac{1}{R_{\text{全}}} = \frac{1}{R_1+R_3} + \frac{1}{R_2+R_4} \quad \cdots {\text{別}⑦}$$
AB間を流れる電流（全電流） \(I_{AB}\) は、オームの法則より、
$$I_{AB} = \frac{E}{R_{\text{全}}} \quad \cdots {\text{別}⑧}$$
上側アームの抵抗 \(R_{13} = 30+10 = 40\,\Omega\)。
下側アームの抵抗 \(R_{24} = 20+30 = 50\,\Omega\)。
式(別⑦)より、
$$\frac{1}{R_{\text{全}}} = \frac{1}{40} + \frac{1}{50} = \frac{5+4}{200} = \frac{9}{200}\,\Omega^{-1}$$
よって、\(R_{\text{全}} = \frac{200}{9}\,\Omega\)。
式(別⑧)より、
$$I_{AB} = \frac{12 \text{ V}}{200/9\,\Omega} = \frac{12 \times 9}{200} = \frac{108}{200} = 0.54\,\text{A}$$
- 回路を理解する: スイッチを両方閉じると、コンデンサー部分は電流が流れないので無視できます。回路は、上の道（\(R_1\)と\(R_3\)）と下の道（\(R_2\)と\(R_4\)）の2つに分かれ、これらが電池に並列につながっている形になります。
- 各ルートの電流を計算する: 上の道と下の道、それぞれに12Vの電圧がかかっています。それぞれの道の合計抵抗を計算し、オームの法則を使って各道を流れる電流を求めます。
- 電流を合計する: AB間を流れる電流は、上の道と下の道の電流の合計です。
AB間を流れる電流は \(0.54\,\text{A}\) です。別解の方法でも同じ結果が得られます。
(イ)
思考の道筋とポイント
\(C_1\)のL側の極板に蓄えられた電荷を求めます。そのためには、\(C_1\)の両端の電位差、すなわちLN間の電位差 \(V_{LN}\) を求める必要があります。
定常状態なので、各抵抗の電圧降下からL点とN点の電位を計算できます。計算を簡単にするため、回路のどこかを基準電位(0V)とします。例えば、B点の電位を0Vとすると、A点の電位は \(E=12\text{V}\) となります。
L点の電位 \(V_L\) は、B点(0V)から抵抗\(R_3\)を電流\(i\)の向きと逆にたどるので、\(V_L = R_3 i\)。
N点の電位 \(V_N\) は、B点(0V)から抵抗\(R_4\)を電流\(I\)の向きと逆にたどるので、\(V_N = R_4 I\)。
LN間の電位差 \(V_{LN} = V_L – V_N\) を求めます。
\(C_1\)と\(C_2\)は直列に接続されているので、合成容量 \(C_{12}\) を求め、LN間の電位差 \(V_{LN}\) からコンデンサーに蓄えられる総電荷 \(Q\) を \(Q = C_{12}V_{LN}\) で計算します。
\(C_1\)のL側極板の電荷は、LとNの電位の大小関係によって符号が決まります。
この設問における重要なポイント
- L点とN点の電位を求める。
- LN間の電位差を計算する。
- \(C_1, C_2\)の直列合成容量を求める。
- \(Q=CV\) を用いてコンデンサーに蓄えられる電荷を計算する。
- L側極板の電荷の符号は、L点とN点の電位の高低で決まる。
具体的な解説と立式
B点の電位を \(V_B = 0\,\text{V}\) と基準にとります。すると、A点の電位は \(V_A = 12\,\text{V}\)。
上側のアームを流れる電流は \(i = 0.3\,\text{A}\)。下側のアームを流れる電流は \(I = 0.24\,\text{A}\)。
L点の電位 \(V_L\) は、B点から\(R_3\)だけ遡った点なので、
$$V_L = V_B + R_3 i \quad \cdots ⑨$$
N点の電位 \(V_N\) は、B点から\(R_4\)だけ遡った点なので、
$$V_N = V_B + R_4 I \quad \cdots ⑩$$
LN間の電位差は \(V_{LN} = V_L – V_N\)。
コンデンサー \(C_1\) と \(C_2\) は直列接続なので、その合成容量 \(C_{12}\) は、
$$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \quad \cdots ⑪$$
LN間に蓄えられる総電荷の大きさ \(Q\) は、
$$Q = C_{12} |V_{LN}| \quad \cdots ⑫$$
\(C_1\)のL側極板の電荷は、\(L\)と\(M\)の間の極板の電荷です。LとNの電位差によって、直列接続された\(C_1\)と\(C_2\)に電荷がたまります。\(V_L\)と\(V_N\)の大小を比較し、\(C_1\)のL側極板の電荷の符号を決定します。
使用した物理公式
- オームの法則 \(V=RI\)
- 直列コンデンサーの合成容量: \(\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\)
- コンデンサーの電荷: \(Q=CV\)
まず、L点とN点の電位を計算します。 \(V_B = 0\,\text{V}\) としています。
式⑨に値を代入: \(R_3=10\,\Omega, i=0.3\,\text{A}\)。
$$V_L = 0 + 10 \times 0.3 = 3.0\,\text{V}$$
式⑩に値を代入: \(R_4=30\,\Omega, I=0.24\,\text{A}\)。
$$V_N = 0 + 30 \times 0.24 = 7.2\,\text{V}$$
したがって、LN間の電位差は \(V_{LN} = V_L – V_N = 3.0 – 7.2 = -4.2\,\text{V}\)。
電位はNの方がLより \(4.2\,\text{V}\) 高いことがわかります。
次に、合成容量 \(C_{12}\) を式⑪から求めます: \(C_1=20\,\mu\text{F}, C_2=30\,\mu\text{F}\)。
$$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3+2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$$
$$C_{12} = 12\,\mu\text{F} = 12 \times 10^{-6}\,\text{F}$$
LN間に蓄えられる総電荷の大きさ \(Q\) を式⑫から求めます。
$$Q = (12 \times 10^{-6}\,\text{F}) \times |-4.2\,\text{V}| = 50.4 \times 10^{-6}\,\text{C}$$
L点よりN点の方が電位が高いので、\(C_1\)のL側極板は負に、N側(M点側)は正に帯電します。
よって、\(C_1\)のL側極板に蓄えられた電荷は、
$$Q_{C1L} = -Q = -50.4 \times 10^{-6}\,\text{C} = -5.04 \times 10^{-5}\,\text{C}$$
- L点とN点の電位を求める: 電流が分かっているので、オームの法則を使って各抵抗での電圧降下を計算し、L点とN点の電位を求めます。例えばB点を0Vとすると、L点は \(R_3\) をさかのぼるので \(10\Omega \times 0.3\text{A} = 3\text{V}\)、N点は \(R_4\) をさかのぼるので \(30\Omega \times 0.24\text{A} = 7.2\text{V}\) となります。
- コンデンサーにかかる電圧を知る: LとNの電位差は \(7.2\text{V} – 3.0\text{V} = 4.2\text{V}\) で、Nの方が高電位です。
- コンデンサーの電荷を計算する: \(C_1\) と \(C_2\) が直列につながっており、その両端に4.2Vの電圧がかかっています。まず2つのコンデンサーを1つに合成し（合成容量を計算し）、\(Q=CV\) の公式から全体の電荷 \(Q\) を求めます。
- 極板の電荷の符号を決める: Nの方がLより電位が高いので、コンデンサーのN側がプラス、L側がマイナスに帯電します。したがって、\(C_1\) のL側極板の電荷はマイナスになります。
\(C_1\) のL側の極板に蓄えられた電荷は \(-50.4\,\mu\text{C}\) すなわち \(-5.04 \times 10^{-5}\,\text{C}\) です。
模範解答と一致します。各点の電位を正確に計算し、コンデンサーの極性を判断することが重要です。
(ウ)
思考の道筋とポイント
回路全体での消費電力を求めます。消費電力は、各抵抗でジュール熱として消費される電力の合計です。
各抵抗を流れる電流は(ア)で求めています。上側のアーム（\(R_1, R_3\)）には \(i=0.3\text{A}\)、下側のアーム（\(R_2, R_4\)）には \(I=0.24\text{A}\) が流れています。
各抵抗での消費電力は \(P=RI^2\) で計算できます。
この設問における重要なポイント
- 消費電力は抵抗で発生する。
- 各抵抗の消費電力 \(P=RI^2\) を計算し、全て合計する。
- 別解として、電池が供給する電力 \(P=EI_{全}\) に等しいことを利用する（エネルギー保存則）。
具体的な解説と立式
回路全体での消費電力 \(P_{\text{全}}\) は、4つの抵抗での消費電力の和です。
$$P_{\text{全}} = R_1 i^2 + R_3 i^2 + R_2 I^2 + R_4 I^2 = (R_1+R_3)i^2 + (R_2+R_4)I^2 \quad \cdots ⑬$$
別解: 電池の供給電力
エネルギー保存則より、定常状態において回路全体で消費される電力は、電池が供給する電力に等しくなります。
電池から流れ出す全電流は \(I_{AB} = i+I\)。電池の起電力は \(E\)。
したがって、
$$P_{\text{全}} = E I_{AB} \quad \cdots ⑭$$
使用した物理公式
- 消費電力: \(P=RI^2\)
- エネルギー保存則 (電池の供給電力 = 消費電力) \(P=EI\)
主たる解法:
式⑬に値を代入します: \(R_1=30, R_3=10, i=0.3\)、\(R_2=20, R_4=30, I=0.24\)。
$$P_{\text{全}} = (30+10) \times (0.3)^2 + (20+30) \times (0.24)^2$$
$$P_{\text{全}} = 40 \times 0.09 + 50 \times 0.0576$$
$$P_{\text{全}} = 3.6 + 2.88 = 6.48\,\text{W}$$
別解の計算:
(ア)で求めた全電流 \(I_{AB} = 0.54\,\text{A}\) と \(E=12\,\text{V}\) を式⑭に代入します。
$$P_{\text{全}} = 12\,\text{V} \times 0.54\,\text{A} = 6.48\,\text{W}$$
回路全体で消費される電力は、4つの抵抗で熱として使われる電力の合計です。
方法1: 4つの抵抗それぞれについて、消費電力 \(P=RI^2\) を計算し、それらを全て足し合わせます。
方法2: 回路で消費される電力は、全て電池が供給しています。したがって、電池が送り出す全電流に電池の電圧を掛けた値 (\(P=EI\)) が、回路全体の消費電力と等しくなります。
回路全体での消費電力は \(6.48\,\text{W}\) です。別解の方が計算が簡単であり、エネルギー保存則の良い適用例です。
(エ)
思考の道筋とポイント
\(C_1\) と \(C_2\) に電荷が蓄えられないようにするには、\(C_1\) と \(C_2\) が接続されているLN間の電位差が0になればよいです。つまり、L点とN点の電位が等しくなる (\(V_L = V_N\)) ことが条件です。
これは、ホイートストンブリッジ回路において、中央の検流計（この場合はコンデンサーの枝）に電流が流れない「平衡条件」と全く同じです。
ブリッジの対向する辺の抵抗の積が等しくなればよいので、\(R_1 R_4 = R_2 R_3’\) となります。ここで \(R_3’\) は新しく置き換える抵抗の値です。
この条件式から \(R_3’\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- コンデンサーに電荷がたまらない \(\Leftrightarrow\) コンデンサーの電圧が0 \(\Leftrightarrow\) L点とN点が等電位。
- これはホイートストンブリッジの平衡条件と同じ。
- 平衡条件: \(R_1 R_4 = R_2 R_3’\)。
具体的な解説と立式
コンデンサー \(C_1\) と \(C_2\) に電荷が蓄えられない条件は、LN間の電位差が0、すなわち \(V_L = V_N\) となることです。
これはホイートストンブリッジの平衡条件として知られています。辺の比が等しくなるので、
$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3′}{R_4} \quad \cdots ⑮$$
（ここで \(R_3\) は新しい抵抗 \(R_3’\) に置き換えられているとします）
この式を \(R_3’\) について解きます。
別解: 電圧分配による立式
L点とN点の電位が等しくなる条件を、電圧分配の観点から立式します。
上側アームでは、A-B間の電圧Eが\(R_1\)と\(R_3’\)に分配されます。L点の電位（B点基準）は、
$$V_L = \frac{R_1}{R_1+R_3′} E$$
（A点基準で考えると、\(V_{AL} = R_1 i = R_1 \frac{E}{R_1+R_3′}\) となる）
N点の電位（B点基準）は、
$$V_N = \frac{R_2}{R_2+R_4} E$$
（こちらもA点基準で、\(V_{AN} = R_2 I = R_2 \frac{E}{R_2+R_4}\)）
A点基準で \(V_{AL} = V_{AN}\) とするのが分かりやすいでしょう。
$$\frac{R_1}{R_1+R_3′}E = \frac{R_2}{R_2+R_4}E \quad \cdots {\text{別}⑯}$$
この式を解いても同じ結果が得られます。
使用した物理公式
- ホイートストンブリッジの平衡条件: \(\displaystyle\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3′}{R_4}\)
ブリッジの平衡条件の式⑮を \(R_3’\) について解くと、
$$R_3′ = R_4 \cdot \frac{R_1}{R_2}$$
与えられた値を代入します: \(R_1=30\,\Omega\), \(R_2=20\,\Omega\), \(R_4=30\,\Omega\)。
$$R_3′ = 30\,\Omega \times \frac{30\,\Omega}{20\,\Omega} = 30 \times 1.5 = 45\,\Omega$$
- コンデンサーに電気がたまらない条件: コンデンサーに電気がたまらないのは、コンデンサーの両端の電圧が0のときです。つまり、L点とN点の電位が同じになればよいわけです。
- ブリッジ回路の平衡: この「L点とN点の電位が同じ」という状態は、ホイートストンブリッジ回路が「平衡している」状態と同じです。
- 平衡条件の公式: ブリッジ回路が平衡するための条件は、たすき掛けに配置された抵抗の積が等しくなる、という公式があります (\(R_1 \times R_4 = R_2 \times R_3’\))。あるいは、辺の比が等しい (\(R_1/R_2 = R_3’/R_4\)) とも書けます。
- 抵抗値を計算する: この公式に分かっている抵抗値を入れて、新しい抵抗 \(R_3’\) の値を計算します。
\(C_1\) と \(C_2\) に電荷が蓄えられないようにするには、\(R_3\) を \(45\,\Omega\) の抵抗と取り換えればよいです。これはホイートストンブリッジの平衡条件から導かれます。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- コンデンサーと直流定常状態:
- 核心：十分に時間が経過した直流回路では、コンデンサーは充電を完了し、その部分には電流が流れなくなる（断線とみなせる）。
- 理解のポイント：この性質により、複雑な回路も定常状態では電流が流れる部分と流れない部分に分け、単純化して考えることができる。
- 電流が流れない抵抗の扱い:
- 核心：抵抗に電流が流れない場合、オームの法則 \(V=RI\) から抵抗の両端の電圧降下は0となる。つまり、その抵抗の両端は等電位である。
- 理解のポイント：これにより、回路中の複数の点が同じ電位であることがわかり、電位差の計算が容易になる。
- ホイートストンブリッジ回路の理解:
- 核心：4つの抵抗をひし形に配置した回路。特に、中央の検流計（この問題ではコンデンサーの枝）に電流が流れない（または電位差がない）平衡条件 \(\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}\) は非常に重要。
- 理解のポイント：コンデンサーの問題であっても、定常状態では抵抗のみのブリッジ回路として解析できることに気づくことが鍵。
- 電位の考え方:
- 核心：回路内の任意の点を基準（0V）として、各点の電位を考えることで、複雑な回路の電位差を系統的に計算できる。
- 理解のポイント：基準点を一つ決めれば、そこからの電位の上昇（電池の正極側へ）や下降（抵抗を電流の向きに）を足し引きしていく。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
- コンデンサーを含む直流回路の定常状態を問う問題全般。
- キルヒホッフの法則を用いる複雑な直流回路の問題。
- 未知の抵抗値を、特定の条件（例：電流が0、電位差が0）から決定する問題。
- 消費電力やジュール熱など、エネルギーに関する問題。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- 「十分に時間がたった」というキーワード: この言葉があれば、まず「コンデンサーに電流は流れない」と考え、回路を単純化できないか検討する。
- 電流が流れる経路を特定する: コンデンサー部分を断線とみなして、電流が実際に流れる閉回路を見つけ出す。
- 等電位な点を探す: 電流が流れていない抵抗の両端は等電位であることを利用する。
- 基準電位を設定する: 回路のどこか一点（電池の負極など）の電位を0Vとすると、他の点の電位が計算しやすくなる。
- ブリッジの形を見抜く: 抵抗がひし形に配置されている場合、ホイートストンブリッジの知識が使えないか疑う。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 定常状態でコンデンサーに電流が流れると考えてしまう:
- 現象：コンデンサーの枝も通常の抵抗回路の一部として計算してしまう。
- 対策：「直流」「定常状態（十分時間後）」という条件が揃えば、コンデンサーは電流を遮断する「壁」になると覚える。
- 電位と電位差（電圧）の混同:
- 現象：「A点の電圧」と「A-B間の電圧」のように、点の電位と2点間の電位差を混同して計算してしまう。
- 対策：電位は「点」が持つ量（基準点に対する高さ）、電圧・電位差は「2点間」の量（高さの差）と明確に区別する。
- 電流の流れる経路の誤認:
- 現象：コンデンサーを無視した後の回路で、どこが直列でどこが並列かを見誤る。
- 対策：電流の気持ちになって、分岐点と合流点を意識しながら一本の道としてたどってみる。
- ホイートストンブリッジの平衡条件の覚え間違い:
- 現象：\(\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}\) を \(\frac{R_1}{R_4}=\frac{R_2}{R_3}\) のように間違える。
- 対策：「隣り合う抵抗の比が等しい」(\(R_1:R_2 = R_3:R_4\)) または「たすき掛けの積が等しい」(\(R_1 R_4 = R_2 R_3\)) のように、図とセットで視覚的に覚える。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
- 定常状態になったときに電流が流れない部分を、回路図上で点線にしたり消したりして、有効な回路を視覚化する。
- 電流が流れるループを矢印で描き込む。複数のループがある場合は、それぞれ別の記号（\(i, I\)など）で区別する。
- 計算の基準とする点の電位（例：B点を0V）を明記し、そこから各点の電位を計算して図に書き込んでいく。
- 電位の高低を、地図の等高線のようにイメージする。抵抗は坂道、電池はエレベーターのようなもの。
- 図を描く際に注意すべき点は何か:
- 元の回路図の接続関係を正確に保つ。
- 電流の向きを仮定し、矢印で示す。計算結果が負になれば、実際の向きは逆だったとわかる。
- 各抵抗値や電池の起電力を図の近くにメモしておくと計算ミスが減る。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- コンデンサーに電流0 (直流定常状態):
- 選定理由：問題文に「十分に時間がたったとき」とあり、直流電源なので、コンデンサーの充電が完了し定常状態に達したと判断するため。
- 適用根拠：コンデンサーは2枚の導体が絶縁体で隔てられている構造上、電荷の移動（電流）は充電・放電の過渡的な瞬間にしか生じず、電位差が安定すると電流は流れなくなる。
- オームの法則 \(E=RI\):
- 選定理由：抵抗を含む閉回路において、電圧、抵抗、電流の関係を記述するため。
- 適用根拠：金属抵抗など、電圧と電流が比例関係にある「オームの法則」に従う素子に対して適用できる。
- 直列コンデンサーの電圧分配 \(V_1 = \frac{C_2}{C_1+C_2}E\):
- 選定理由：複数のコンデンサーが直列に接続されている場合に、各コンデンサーにかかる電圧を効率的に計算するため。
- 適用根拠：直列接続では各コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q\) が等しくなるという性質 (\(Q=C_1V_1=C_2V_2\)) と、全体の電圧が各電圧の和になる (\(E=V_1+V_2\)) という関係から導かれる。
- 全体の消費電力 \(P = EI_{全}\):
- 選定理由：回路全体の消費電力を、各抵抗で個別に計算する手間を省き、より簡単に求めるため。
- 適用根拠：エネルギー保存則。定常状態では、電池が単位時間あたりに供給するエネルギー (\(EI_{全}\)) は、すべて回路内の抵抗で熱として消費されるエネルギー（消費電力）に等しくなる。
- ホイートストンブリッジの平衡条件 \(\frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_4}\):
- 選定理由：ブリッジ回路の中央の枝に電流が流れない、あるいは電位差がないという特殊な条件を扱うため。
- 適用根拠：中央の枝の両端の電位が等しくなるという条件を、各アームでの電圧降下の比が等しいという形で数式化したもの。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 設問の状況を把握: スイッチの状態（開 or 閉）と時間の経過（直後 or 十分後）を確認する。
- 定常状態の回路を単純化: 「十分後」なら、コンデンサー部分を断線とみなし、電流が流れる経路を特定する。
- 電流と電圧の計算: 単純化された抵抗回路にオームの法則やキルヒホッフの法則を適用し、各部の電流や電位差を計算する。
- コンデンサーの状態量を計算: 求めた電位差（電圧）を用いて、\(Q=CV\) からコンデンサーの電荷を求める。
- エネルギーの計算: 必要に応じて、\(P=RI^2\) や \(P=EI\) で消費電力を計算する。
- 特殊条件の適用: 「電荷がたまらない」などの条件があれば、それが物理的に何を意味するか（例：電位差が0）を考え、ブリッジの平衡条件などの適切な公式に結びつける。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位の確認: \(\mu\text{F}\) (マイクロファラド) は \(10^{-6}\text{F}\)。計算時には単位系を揃える意識を持つ（ただし、比の計算などでは不要な場合もある）。
- 基準電位の明確化: 電位を計算する際は、どこを0Vと見なしているかを常に明確にする。基準が変われば各点の電位の値も変わるが、電位「差」は変わらない。
- 回路図の再描画: 複雑な回路は、自分の分かりやすい形に描き直すことで、直列・並列の関係や電流の経路が見やすくなり、ミスを減らせる。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 電位の高低と電流の向き: 電流は電位の高い方から低い方へ流れる。計算結果がこの関係と矛盾していないか確認する。
- 電圧分配の感覚: 直列抵抗では抵抗値の大きい方により大きな電圧がかかる。直列コンデンサーでは容量の小さい方により大きな電圧がかかる。計算結果がこの傾向と合っているか確認する。
- ブリッジの平衡条件: \(R_1/R_2 = R_3/R_4\) の比を計算してみて、平衡しているか、どちらに傾いているか（LとNのどちらが高電位か）を大まかに予測する。
[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。【引用】https://makoto-physics-school.com[…]
