「名問の森」徹底解説（1〜3問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題1 (奈良女子大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水面上の点波源から発生する波が鉛直な壁で反射し、直接波と干渉する現象について考察するものです。波の伝播時間、特定の点での干渉条件（強め合い・弱め合い）、線分上にできる定常波の様子、そして別の線上での合成波の性質や弱め合う点の個数を求めることが求められています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、波の基本的な性質である「反射」と「干渉」を組み合わせた、総合的な理解を問うものです。特に、壁による反射を鏡像波源からの波として捉えることで、2つの波源からの波の干渉問題として扱うことができる点が重要です。また、特定の条件下では定常波が形成されることも理解しておく必要があります。

問(1)

思考の道筋とポイント
壁による波の反射は、壁に関して対称な位置にある鏡像波源O’から波が出ていると考えるのが定石です。波がOから出て壁上の点Dで反射しBに到達するまでの経路長 OD+DB は、鏡像波源O’からBまでの直線距離 O’B に等しくなります。このO’Bの長さを幾何学的に求め、波の速さ \(v=f\lambda\) で割ることで時間を求めます。
この設問における重要なポイント

• 鏡像波源の考え方を利用する。
• 反射経路長 OD+DB = O’B。
• 三平方の定理を用いて距離O’Bを計算する。
• 波の速さ \(v = f\lambda\) と時間 \(t = \text{距離}/v\) の関係。

具体的な解説と立式
波源Oの、壁に関する対称な点をO’とします。Oから壁までの距離は \(\frac{3}{2}\lambda\) なので、OとO’の間の水平距離は \(2 \times \frac{3}{2}\lambda = 3\lambda\) となります。
点Bは、Oから壁と平行に \(4\lambda\) の距離にあります。
したがって、O’からBまでの距離 \(O’B\) は、底辺が \(3\lambda\)、高さが \(4\lambda\) の直角三角形の斜辺の長さとして求められます。
$$
\begin{aligned}
O’B &= \sqrt{(3\lambda)^2 + (4\lambda)^2}
\end{aligned}
$$
波がOから出て壁で反射しB点に届くまでの経路長 \(L_{\text{経路}}\) は、この \(O’B\) に等しいので、\(L_{\text{経路}} = O’B\) です。
波の速さ \(v\) は、振動数 \(f\) と波長 \(\lambda\) を用いて \(v = f\lambda\) と表されます。
よって、B点に届くまでに要する時間 \(t\) は、
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{L_{\text{経路}}}{v} \\[2.0ex]
&= \frac{O’B}{f\lambda}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
O’B &= \sqrt{(3\lambda)^2 + (4\lambda)^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{9\lambda^2 + 16\lambda^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{25\lambda^2} \\[2.0ex]
&= 5\lambda
\end{aligned}
$$
この結果を用いて時間 \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{5\lambda}{f\lambda} \\[2.0ex]
&= \frac{5}{f}
\end{aligned}
$$

壁で反射した波は、まるで壁の向こう側にある「鏡に映った波源（鏡像波源O’）」から来たかのように進みます。Oから出て壁のどこかで反射してB点に届くまでの道のりは、この鏡像波源O’からB点までまっすぐに進む道のりと同じ長さになります。Oと壁の間の距離は \(\frac{3}{2}\lambda\) なので、Oと鏡像波源O’との間の水平方向の距離は \(3\lambda\) です。B点はOから \(4\lambda\) の距離にあるので、O’とBの間の距離は、底辺が \(3\lambda\)、高さが \(4\lambda\) の直角三角形の斜辺の長さに相当し、計算すると \(5\lambda\) となります。波の速さは \(v = f\lambda\) なので、この距離 \(5\lambda\) を進むのにかかる時間は、「距離 ÷ 速さ」から \(\frac{5\lambda}{f\lambda} = \frac{5}{f}\) と求められます。

波が点Oを出てから壁で反射されB点に届くのに要する時間は \(\displaystyle\frac{5}{f}\) です。\(3:4:5\)の直角三角形の関係が使われており、計算もシンプルです。物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
B点では、波源Oから直接到達する波と、壁で反射してから到達する波（これは鏡像波源O’から到達する波とみなせる）が重なり合って干渉します。壁での反射で位相が変化しないとされているため、波源Oと鏡像波源O’は同位相の波源として扱うことができます。B点における2つの波の経路差を求め、その経路差が波長の整数倍なら強め合い、半波長の奇数倍なら弱め合うという干渉条件と比較します。
この設問における重要なポイント

• 2つの波源（Oと鏡像O’）からの波の干渉と考える。
• 壁で位相が変化しないため、OとO’は同位相波源とみなせる。
• 経路差 \(\Delta L = |O’B – OB|\) を計算する。
• 干渉条件（同位相波源）: 強め合い \(\Delta L = m\lambda\)、弱め合い \(\Delta L = (m+1/2)\lambda\)。

具体的な解説と立式
B点には、波源Oから直接届く波と、鏡像波源O’から届く波（壁からの反射波）が干渉します。
波源OからB点までの距離は、問題文より \(OB = 4\lambda\)。
鏡像波源O’からB点までの距離は、(1)で計算した通り \(O’B = 5\lambda\)。
B点における2つの波の経路差 \(\Delta L\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta L &= O’B – OB
\end{aligned}
$$
壁での反射で位相は変化しないため、OとO’は同位相の波源とみなせます。 同位相の2つの波源からの波が干渉する場合、経路差が波長の整数倍（\(m\lambda\)、ここで \(m\) は整数）のときに強め合い、半波長の奇数倍（\((m+\frac{1}{2})\lambda\)）のときに弱め合います。

$$
\begin{aligned}
\Delta L &= 5\lambda – 4\lambda \\[2.0ex]
&= \lambda
\end{aligned}
$$
この経路差は \(\lambda = 1 \times \lambda\) であり、波長の整数倍（\(m=1\) の場合）となっています。
したがって、B点では波は強め合っています。

B点には、Oからまっすぐ来る波と、壁で反射してから来る波の2つが届きます。壁で反射するときに波の山谷がひっくり返らない（位相が変化しない）ので、Oともう一つの波源O’（Oの鏡像）が同じタイミングで波を送り出しているのと同じ状況と考えられます。OからBまでの距離は \(4\lambda\)、O’からBまでの距離は(1)で求めたように \(5\lambda\) です。この2つの距離の差（経路差）は \(5\lambda – 4\lambda = \lambda\) です。経路差がちょうど波長の1倍（一般には整数倍）になっているので、2つの波は山と山、谷と谷が重なり合うようにして強め合います。

B点では波は強め合っています。経路差が \(\lambda\) であり、これは \(m=1\) の強め合いの条件に一致します。妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
線分OA上では、波源Oから壁Aに向かう入射波と、壁Aで反射して波源Oの方向へ戻る反射波が重なり合います。これら2つの波は、同じ振動数、同じ波長、同じ振幅（減衰しないため）で互いに逆向きに進むため、定常波（定在波）が生じます。壁Aでの反射は位相が変化しない（問題文の条件より、自由端反射と同様）ため、壁Aは定常波の腹（振幅が極大となる点）になります。定常波の腹と腹の間隔、節と節の間隔は半波長 \(\lambda/2\) です。図2には、横軸にOからの距離、縦軸に水面の変位をとり、ある瞬間の定常波の波形を描きます。
この設問における重要なポイント

• 逆向きに進む同じ波の重ね合わせで「定常波（定在波）」が生じる。
• 壁Aは自由端反射なので、定常波の「腹」となる。
• 定常波の腹と腹（節と節）の間隔は \(\lambda/2\)。腹と隣の節の間隔は \(\lambda/4\)。
• 腹での振幅は元の進行波の振幅の2倍（ここでは \(2a\)）。節での振幅は0。

具体的な解説と立式
線分OA上で見られる波は、波源Oから右向きに進む入射波と、壁Aで反射されて左向きに進む反射波の合成波です。これら2つの波は振幅、波長、振動数が等しく進行方向が逆なので、定常波（または定在波）が形成されます。

壁A（Oからの距離 \(x = \frac{3}{2}\lambda\)）は、位相が変わらない反射（自由端反射）をするため、定常波の腹になります。 この腹では、振幅が最大（元の波の振幅 \(a\) の2倍である \(2a\)）となります。
定常波の腹と節の位置を特定します。OA上の点P（Oからの距離を \(x\)、\(0 \le x \le \frac{3}{2}\lambda\)）について、鏡像波源O’（Oから右に \(3\lambda\) の位置）との経路差 \(\Delta L = |(3\lambda – x) – x| = |3\lambda – 2x|\) を考えます。

強め合い（腹）の条件: \(|3\lambda – 2x| = m\lambda\)
弱め合い（節）の条件: \(|3\lambda – 2x| = (m+\frac{1}{2})\lambda\)

腹の位置を探します:
\(m=0\) で \(x = \frac{3}{2}\lambda\) (点A)。
\(m=1\) で \(x = \lambda\)。
\(m=2\) で \(x = \frac{\lambda}{2}\)。
\(m=3\) で \(x = 0\) (点O)。
よって、腹の位置は \(x = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \frac{3}{2}\lambda\)。

節の位置を探します:
\(m=0\) で \(x = \frac{5}{4}\lambda\)。
\(m=1\) で \(x = \frac{3}{4}\lambda\)。
\(m=2\) で \(x = \frac{\lambda}{4}\)。
よって、節の位置は \(x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3}{4}\lambda, \frac{5}{4}\lambda\)。

図2にこの定常波の様子を描くと、横軸がOからの距離、縦軸が水面の変位となります。O (\(x=0\)) で腹（振幅\(2a\))、\(x=\lambda/4\) で節、\(x=\lambda/2\) で腹、\(x=3\lambda/4\) で節、\(x=\lambda\) で腹、\(x=5\lambda/4\) で節、A (\(x=3\lambda/2\)) で腹となります。

上記の「具体的な解説と立式」セクションで腹と節の位置を特定しました。
腹: \(x = 0, \frac{\lambda}{2}, \lambda, \frac{3}{2}\lambda\)
節: \(x = \frac{\lambda}{4}, \frac{3}{4}\lambda, \frac{5}{4}\lambda\)
これに基づいて図2に波形を描きます。

線分OA上では、波源Oから壁に向かう波と、壁で反射して戻ってくる波が重なり合います。このように同じ種類の波が反対方向に進んで重なると、「定常波」という特別な波ができます。定常波は、波形が進まず、その場で振動するように見える波です。定常波には、まったく振動しない「節」と、最も大きく振動する「腹」ができます。壁Aは自由に振動できる端（位相変化なしの反射）なので、「腹」になります。波源Oもここでは「腹」になります。腹と腹の間隔は半波長 (\(\lambda/2\))、腹と隣の節の間隔は1/4波長 (\(\lambda/4\)) です。これをもとに、OA (\(0\) から \(\frac{3}{2}\lambda\) まで) の間にできる腹と節の位置を見つけ、図に描きます。

線分OA上で見られる波は定常波（または定在波）です。作図は、腹が \(x=0, \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2\) に、節が \(x=\lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4\) にくるように、振幅 \(2a\) の波形を描きます。これは物理的に妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
O点より左側の半直線OC上で見られる合成波を考えます。この直線上の任意の点をPとし、Oからの距離を \(x_P\) (\(x_P > 0\)) とします。この点Pには、波源Oからの直接波と、鏡像波源O’からの波が到達します。OとO’は同位相波源です。P点における経路差 \(O’P – OP\) を計算し、その値が常にどうなるかを調べます。また、Oからの波もO’からの波もOC上では同じ向き（左向き）に進むため、合成波も進行波となります。
この設問における重要なポイント

• 半直線OC上の任意の点Pでの経路差 \(O’P – OP\) を考える。
• O’の位置はOから右に \(3\lambda\)。PはOから左に \(x_P\)。
• Oからの波とO’からの波は、OC上で同方向に進む。

具体的な解説と立式
半直線OC上の任意の点をPとします。波源Oを原点 \(x=0\) とし、Cの方向を負のx軸方向とします。点Pの座標を \(-x_P\) (\(x_P \ge 0\)) とすると、\(OP = x_P\)。
鏡像波源O’は、Oから正のx軸方向に \(OO’ = 3\lambda\) の位置にあります。
PはOの左側にあるので、\(O’P = O’O + OP = 3\lambda + x_P\)。
P点における経路差 \(\Delta L_P\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta L_P &= O’P – OP \\[2.0ex]
&= (3\lambda + x_P) – x_P \\[2.0ex]
&= 3\lambda
\end{aligned}
$$
この経路差 \(3\lambda\) は波長の整数倍（\(m=3\)）なので、半直線OC上の全ての点で波は強め合います。
波源Oからの波と鏡像波源O’からの波（反射波）は、半直線OC上ではいずれも同じ方向（左向き）に進む進行波です。
これらの波が強め合うため、合成波は振幅が \(a+a=2a\) となり、左向きに進む進行波となります。

経路差は常に \(3\lambda\) です。これは \(m=3\) の強め合いの条件を満します。Oからの波とO’からの波は同方向に進むため、合成波は振幅が \(a+a=2a\) の進行波となります。

O点の左側の直線OC上で波がどうなるかを考えます。この直線上のどの点Pを選んでも、波源Oから点Pまでの距離と、鏡像波源O’から点Pまでの距離の差は、常にOとO’の間の距離である \(3\lambda\) となります。この距離の差 \(3\lambda\) は、波長のちょうど3倍なので、Oからの波とO’からの波（壁で反射した波）は常に同じタイミングで重なり合い、強め合います。また、Oからの波もO’からの波（反射波）も、この直線OC上では同じ左向きに進んでいるため、これらが合わさった波も、振幅が元の波の2倍 (\(2a\)) になった左向きに進む進行波となります。

合成波は、「振幅が \(2a\) で、波源Oから遠ざかる向き（左向き）に進む進行波」となります。20字程度という指定にも概ね収まります。

問(5)

思考の道筋とポイント
線分OB上で弱め合う点の数を数えます。波源Oと鏡像波源O’からの波の干渉と考え、弱め合いの条件は経路差 \(|O’Q – OQ| = (m+1/2)\lambda\) を満たすことです。点Qを線分OB上の点とし、Oからの距離を \(x\) (\(0 \le x \le 4\lambda\)) とおきます。このとき、\(OQ = x\)、\(O’Q = \sqrt{(3\lambda)^2 + x^2}\) となります。この経路差が弱め合いの条件を満たすような整数 \(m \ge 0\) が何個存在し、かつそのときの \(x\) が \(0 \le x \le 4\lambda\) の範囲に入るかを調べます。
この設問における重要なポイント

• 弱め合いの干渉条件: 経路差 \( = (m+1/2)\lambda\)。
• 線分OB上の点Qに対する経路差 \(O’Q – OQ\) を \(x = OQ\) の関数として表す。
• \(0 \le x \le 4\lambda\) の範囲で条件を満たす整数 \(m\) の個数を数える。

具体的な解説と立式
線分OB上の任意の点をQとし、\(OQ=x\) とします (\(0 \le x \le 4\lambda\))。
経路差 \(\Delta L_Q = O’Q – OQ = \sqrt{(3\lambda)^2 + x^2} – x\)。
弱め合いの条件は、
$$
\begin{aligned}
\sqrt{9\lambda^2 + x^2} – x = \left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
この式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{9\lambda^2 + x^2} &= x + \left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda
\end{aligned}
$$
両辺を2乗します。
$$
\begin{aligned}
9\lambda^2 + x^2 &= x^2 + 2x\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda + \left(m+\frac{1}{2}\right)^2\lambda^2
\end{aligned}
$$
整理して \(x\) を求めると、
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{9 – (m+1/2)^2}{2(m+1/2)}\lambda
\end{aligned}
$$

求めた \(x\) の式に整数 \(m=0, 1, 2, \dots\) を代入し、\(0 \le x \le 4\lambda\) を満たすものを探します。

• \(m=0\): \(x = \displaystyle\frac{9 – (0.5)^2}{1}\lambda = 8.75\lambda\)。範囲外。
• \(m=1\): \(x = \displaystyle\frac{9 – (1.5)^2}{3}\lambda = \frac{6.75}{3}\lambda = 2.25\lambda = \frac{9}{4}\lambda\)。範囲内。
• \(m=2\): \(x = \displaystyle\frac{9 – (2.5)^2}{5}\lambda = \frac{2.75}{5}\lambda = 0.55\lambda = \frac{11}{20}\lambda\)。範囲内。
• \(m=3\): \(x = \displaystyle\frac{9 – (3.5)^2}{7}\lambda = \frac{-3.25}{7}\lambda\)。\(x < 0\) となり不適。

したがって、条件を満たす \(m\) は \(m=1\) と \(m=2\) の2つです。よって、弱め合う点は2個あります。

線分OB上の点Qで波が弱め合う条件は、波源Oと鏡像波源O’からの距離の差が、半波長の奇数倍（例えば \(0.5\lambda, 1.5\lambda, 2.5\lambda, \dots\)）になるときです。OからQまでの距離を \(x\) とすると、O’からQまでの距離はピタゴラスの定理を使って計算できます。これらの距離の差が \((m+0.5)\lambda\) となるような \(x\) が、\(0\) から \(4\lambda\) の間（線分OB上）にいくつあるかを調べます。計算してみると、\(m=1\) のとき（距離の差が \(1.5\lambda\)）と \(m=2\) のとき（距離の差が \(2.5\lambda\)）に対応する \(x\) が、\(0\) から \(4\lambda\) の範囲内に見つかります。したがって、弱め合う点は2個です。

線分OB上で弱め合う点は2個です。計算結果も妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 波の反射と鏡像波源:
  • 核心: 壁のような障害物による波の反射は、壁の向こう側に対称な位置にある「鏡像の波源」から波がきていると等価に扱えます。この考え方を用いることで、複雑な反射の問題を、2つの点波源からの干渉という基本的な問題に置き換えることができます。
  • 理解のポイント:
    1. 鏡像の位置: 鏡像波源は、壁（反射面）に対して、元の波源と対称な位置にあります。
    2. 位相の関係: 壁での反射で位相が変化するかしないかが、鏡像波源の位相を決定します。本問のように「位相が変化しない」場合は自由端反射に相当し、鏡像波源は元の波源と同位相とみなせます。「位相が\(\pi\)ずれる（反転する）」場合は固定端反射に相当し、鏡像波源は逆位相とみなします。
    3. 等価な経路: Oから壁上の点Dで反射して点Pに至る経路長(OD+DP)は、鏡像波源O’から点Pへの直線距離(O’P)と等しくなります。これにより、経路や経路差の計算が劇的に簡単になります。
• 波の干渉条件:
  • 核心: 複数の波源からの波が重なるとき、各波源からの距離の差（経路差）によって強め合ったり弱め合ったりします。この条件式を正確に理解し、適用することが干渉問題を解く鍵となります。
  • 理解のポイント:
    1. 経路差の計算: 干渉を調べる点において、各波源からの距離を正確に計算し、その差（経路差）を求めます。三平方の定理など、幾何学的な知識が頻繁に用いられます。
    2. 同位相の場合（本問）:
       • 強め合い（腹）: 経路差 \( = m\lambda \) （\(m=0, 1, 2, \dots\)）
       • 弱め合い（節）: 経路差 \( = (m+\frac{1}{2})\lambda \) （\(m=0, 1, 2, \dots\)）
    3. 逆位相の場合: 上記の強め合いと弱め合いの条件式が入れ替わります。
• 定常波（定在波）:
  • 核心: 同じ振幅・波長・振動数の波が互いに逆向きに進んで重なると、波形が進まずその場で振動するように見える定常波ができます。
  • 理解のポイント:
    1. 腹と節: 定常波には振幅が常に0の「節」と振幅が最大の「腹」が交互に現れます。
    2. 間隔: 腹と腹（または節と節）の間隔は半波長\(\lambda/2\)、腹と隣の節の間隔は1/4波長\(\lambda/4\)です。
    3. 反射端: 自由端反射では反射点が腹になり、固定端反射では節になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ヤングの実験: 2つのスリットからの光の干渉問題。本問のOとO’を2つのスリットと見なせば、全く同じ考え方で解けます。
  • 薄膜による光の干渉: 膜の表面で反射する光と裏面で反射する光の干渉。経路差に加え、屈折や反射時の位相変化を考慮する必要があります。
  • 音波の干渉: 2つのスピーカーからの音の干渉や、壁で反射した音との干渉（うなりや定常波）。
  • くさび形空気層: ガラス板の間に挟まれた空気層での光の干渉。これも鏡像の考え方が有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 波源の特定: まず、干渉に関わる波源がいくつあるかを見極めます。「反射」という言葉があれば、鏡像波源を考えることで波源が2つになる可能性を疑います。
  2. 位相関係の確認: 波源同士が同位相か逆位相か、あるいは反射で位相が変化するかどうかを問題文から正確に読み取ります。これが干渉条件の式を決定します。
  3. 経路差の立式: 干渉を考える点と各波源との距離を、図形と三平方の定理などを使って文字で表し、経路差の式を立てます。
  4. 範囲の確認: 問(5)のように、特定の線分上や領域内で干渉点を数える問題では、経路差が取りうる値の範囲を最初に調べるのが有効なテクニックです。これにより、複雑な方程式を解かずに済む場合があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 干渉条件の式の混同:
  • 誤解: 同位相の条件と逆位相の条件を混同してしまう。
  • 対策: 「同位相なら、経路差0で強め合うはずだから、\(m\lambda\)が強め合い」というように、\(m=0\)の最も簡単な場合を基準に思い出す習慣をつける。
• 鏡像波源の位相の誤り:
  • 誤解: 反射があれば常に逆位相（固定端反射）だと勘違いする。
  • 対策: 問題文の「位相は変化しない」「位相が\(\pi\)ずれる」といった記述を絶対に見逃さない。物理的な状況（例：空気中の弦の端は自由端、壁に固定された端は固定端）から判断する場合もあります。
• \(m\) の値の範囲:
  • 誤解: 経路差の式から\(m\)を計算した際に、\(m\)が非負の整数（\(0, 1, 2, \dots\)）でなければならないことを見落とす。
  • 対策: 干渉条件の式を覚える際に、必ず「\(m=0, 1, 2, \dots\)」という条件もセットで覚える。計算結果が分数や負になった場合は、その条件を満たす点が存在しないことを意味します。
• 定常波の腹と節の位置の誤解:
  • 誤解: 波源が常に腹や節になるとは限らないのに、そう思い込んでしまう。
  • 対策: 波源の位置での干渉条件をきちんと調べる。本問(3)では、O点での経路差が\(3\lambda\)（\(m=3\)の強め合い）なので、結果的に腹になりましたが、常にそうとは限りません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鏡像波源の考え方:
  • 選定理由: 問題に「壁での反射」があり、干渉を考えるため。反射波を扱う最も簡単なモデルだからです。
  • 適用根拠: 反射面が平面であるため、幾何学的な対称性が利用でき、鏡像波源を明確に設定できます。
• 経路差に基づく干渉条件 (\(\Delta L = m\lambda\) など):
  • 選定理由: 「強め合うか、弱め合うか」「干渉する点の位置や個数」を問われているため。これは干渉現象を定量的に扱うための基本法則です。
  • 適用根拠: 2つの波源（OとO’）が特定でき、それらの位相関係（同位相）も分かっている状況。
• 定常波の概念と性質 (\(腹-腹間隔 = \lambda/2\) など):
  • 選定理由: 「線分OA上で見られる波」のように、逆向きに進む波が重なり合う状況が明確だからです。
  • 適用根拠: Oからの入射波と壁からの反射波が、振幅・波長・振動数が等しく、進行方向が真逆であるという条件を満たしています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根の計算:
  • 特に注意すべき点: 三平方の定理を使う際の計算、特に \(\lambda^2\) の扱いを正確に行うこと。\(\sqrt{(3\lambda)^2 + (4\lambda)^2} = \sqrt{9\lambda^2 + 16\lambda^2} = \sqrt{25\lambda^2}\) であり、ここから \(\sqrt{25}\lambda\) ではなく、\(\sqrt{25}\sqrt{\lambda^2} = 5\lambda\) と正しく計算する。
  • 日頃の練習: 文字を含む平方根の計算に慣れておく。特に、ルートの中から共通因数を外に出す練習を繰り返す。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: 問(5)のように、経路差の式を立ててから\(x\)について解く場面では、移項や2乗の展開で計算ミスが起こりやすい。
  • 日頃の練習: 途中式を省略せず、一行一行、何をしているのかを意識しながら丁寧に書く癖をつける。特に、\((A+B)^2\) のような展開は慎重に行う。
• 範囲の確認:
  • 特に注意すべき点: 問(5)で、計算して出てきた\(x\)の値や、条件を満たす\(m\)の値が、問題で指定された物理的な範囲（\(0 \le x \le 4\lambda\) や \(m \ge 0\)）に収まっているかを確認する作業を怠らないこと。
  • 日頃の練習: 問題を解き終えたら、答えが「線分OB上にある」「非負の整数である」といった条件を満たしているか、必ず見直す習慣をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 時間: 計算結果は正の値か？ (\(\frac{5}{f}\) は正でOK)
  • (2) 干渉: 経路差が\(\lambda\)というキリの良い値になった。これは強め合いの条件\(m\lambda\)にぴったり当てはまる。妥当。
  • (3) 定常波: 壁A(\(x=3\lambda/2\))での経路差は0なので強め合い(腹)。O(\(x=0\))での経路差は\(3\lambda\)なので強め合い(腹)。両端が腹になるという結果は、自由端反射の状況と矛盾しない。
  • (5) 個数: 経路差が\(\lambda\)から\(3\lambda\)まで変化する間に、弱め合いの条件\((m+0.5)\lambda\)は\(1.5\lambda, 2.5\lambda\)の2回現れる。個数が2個という結果は直感的にも正しい。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もしB点が壁のすぐ近く(\(OB \to 0\))にあったらどうなるか？ このとき経路差は\(O’O – OO = 3\lambda\)に近づく。これは強め合いの点。
  • もしB点が無限に遠く(\(OB \to \infty\))にあったらどうなるか？ このときO’BとOBはほぼ平行になり、経路差はO’からOBに下ろした垂線の長さに近づき、最終的に\(3\lambda \cos 90^\circ = 0\)に近づく。これは強め合いの点。
  • これらの極端な場合を考えると、経路差は\(3\lambda\)から減少し、一度\(\lambda\)まで下がった後、遠方では0に近づいていくことがわかる（ただし問題は線分OB上）。経路差が単調に減少しないことがわかり、より深い理解につながる。

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問題2 (宇都宮大+宮崎大+慶應大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、一様な媒質中を平面波が反射面に向かって斜めに入射し、固定端反射する状況を扱っています。入射波の性質、反射波の作図、そして入射波と反射波の干渉によって生じる強め合いのパターンについて考察します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、平面波の基本的な性質（波長、周期、速さ）の理解を前提として、波の反射（特に固定端反射）と、それによって生じる入射波と反射波の干渉について深く掘り下げたものです。「見かけの波長・速さ」という概念や、干渉による定常波の形成、強め合いの条件などがポイントとなります。

問(1)