「名問の森」徹底解説（64〜66問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題64 (上智大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、張られた弦に定常波が生じる「共振」という現象について、弦の長さ、おもりの質量（張力）、弦の太さ（線密度）、振動数といった条件を変えながら考察するものです。それぞれの条件下で波長や腹の数がどのように変化し、共振条件がどう満たされるかを計算していきます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弦の共振」と「弦を伝わる波の速さ」です。弦が特定の条件を満たすと、波が強め合って大きく振動する「共振」という現象が起こり、見た目には波が止まって見える「定常波」が形成されます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 定常波（定在波）の共振条件: 弦のように両端が固定されている（あるいは自由端である）媒質中を波が往復するとき、特定の波長の波だけが強め合って定常波を作ります。弦の両端が固定端（節）となる場合、弦の振動部分の長さ \(L\) が、波長の半分（半波長 \(\lambda/2\)）の整数倍になると共振が起こります。式で表すと、\(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) となります。ここで \(n\) は自然数で、定常波の「腹」の数を表します。
2. 弦を伝わる横波の速さ: 弦を伝わる横波の速さ \(v\) [m/s] は、弦の張力 \(T\) [N] と弦の線密度 \(\rho\) [kg/m] によって決まります。張力が大きく、弦が軽い（線密度が小さい）ほど、波は速く伝わります。この関係は \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) という式で表されます。
3. 波の基本式: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\) [Hz]、波長 \(\lambda\) [m] の間には、\(v = f\lambda\) という基本的な関係があります。これは、波の種類によらず成り立つ重要な式です。

これらの法則を理解し、問題の各状況に適用していくことがポイントになります。

この問題は、いくつかの小問に分かれており、それぞれ条件が少しずつ変化していきます。基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 共振条件の利用: 問題文で「共振する」とあれば、まず \(a = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の関係式を思い浮かべます。与えられた情報（例えば、異なる弦長での共振）から、未知の物理量（波長 \(\lambda\) や腹の数 \(n\)）を特定します。
2. 波の速さの計算: 必要に応じて、弦の張力 \(T\) と線密度 \(\rho\) から波の速さ \(v\) を \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) の式を用いて計算します。張力はおもりの質量から、線密度は弦の質量と長さから求められます。
3. 波の基本式の利用: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) のうち、2つが分かれば残りの1つを \(v = f\lambda\) の関係式から求めることができます。
4. 条件変化への対応: おもりの質量が変われば張力 \(T\) が変わり、波の速さ \(v\) が変化します。弦の太さが変われば線密度 \(\rho\) が変わり、これも波の速さ \(v\) に影響します。振動源を変えれば振動数 \(f\) が変わります。これらの変化が波長 \(\lambda\) や共振条件にどのように影響するかを順を追って考えていきます。

各設問は、前の設問の結果を利用することが多いので、一つ一つ丁寧に解き進めることが大切です。

問1 (1)

思考の道筋とポイント
弦が共振しているとき、振動しているAB間の両端AとBは定常波の節（ほとんど振動しない点）になっています。そして、節と隣り合う節の間の距離は、波長のちょうど半分、つまり \(\lambda/2\) です。
問題では、弦の長さ \(a=30 \text{ cm}\) で共振し、次にコマBを右に動かして弦の長さ \(a=35 \text{ cm}\) にしたときにも再び共振したとあります。振動源Sの振動数 \(f\) は変わっておらず、弦の張力 \(T\) や線密度 \(\rho\) もこの時点では変わっていないので、弦を伝わる波の速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) は一定です。
\(a=30 \text{ cm}\) のときに \(n\) 個の腹ができて共振したとすると、弦の長さは \(30 = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) と表せます。
次に \(a=35 \text{ cm}\) で共振したとき、これは \(30 \text{ cm}\) のときとは異なる共振状態であり、弦長が長くなっているので腹の数は増えているはずです。「再び共振する」とあることから、腹の数が \(n+1\) 個になった最も近い共振状態だと考えられます。つまり、\(35 = (n+1) \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) と表せます。
これらの2つの式から、弦の長さの差 \(35 \text{ cm} – 30 \text{ cm}\) が、ちょうど半波長 \(\lambda/2\) に相当することがわかります。

この設問における重要なポイント

• 弦の共振条件: 弦の振動部分の長さ \(a\) が半波長 \(\lambda/2\) の整数倍であること (\(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\), ここで \(n\) は腹の数)。
• 固定端は定常波の節となる。
• 振動数、張力、線密度が一定の場合、波長も一定。
• 連続する共振状態では、腹の数が1つずつ変化し、それに応じて弦の長さが \(\lambda/2\) ずつ変化する。

具体的な解説と立式
弦のAB間の長さが \(a\) のとき、両端A, Bが節となる定常波ができているため、共振条件は次のように書けます。
$$a = n \frac{\lambda}{2} \quad (n \text{ は自然数で、腹の数を表す}) \quad \cdots ①$$問題文より、弦の長さが \(a_1 = 30 \text{ cm}\) のとき、ある腹の数 \(n_1\) で共振したとします。
$$30 \text{ [cm]} = n_1 \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ②$$次に、弦の長さを \(a_2 = 35 \text{ cm}\) にしたとき、再び共振しました。このときの腹の数を \(n_2\) とします。弦を長くして最初に再び共振する場合、腹の数は1つ増えるので \(n_2 = n_1 + 1\) と考えられます。
$$35 \text{ [cm]} = (n_1+1) \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ③$$式③から式②の両辺をそれぞれ引くと、$$(35 – 30) \text{ [cm]} = \left( (n_1+1) \frac{\lambda}{2} \right) – \left( n_1 \frac{\lambda}{2} \right)$$$$5 \text{ [cm]} = (n_1+1-n_1) \frac{\lambda}{2}$$$$5 \text{ [cm]} = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ④$$
この式④が、波長 \(\lambda\) を求めるための重要な関係式となります。

式④ \(5 \text{ [cm]} = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) から波長 \(\lambda\) を求めます。
両辺に2を掛けると、
$$\lambda = 5 \text{ [cm]} \times 2$$
$$\lambda = 10 \text{ [cm]}$$

弦が振動してきれいな形（定常波）になるのは、弦の長さが「波の半分の長さ」のちょうど整数個分になるときです。
最初に弦の長さが30cmでそうなって、次に弦を5cm長くして35cmにしたときもそうなった、ということは、この5cmの差がちょうど「波の半分の長さ」1個分にあたる、ということです。
ですから、「波の半分の長さ」は5cmです。
波全体の長さ（1波長）は、その2倍なので、\(5 \text{ cm} \times 2 = 10 \text{ cm}\) となります。

弦を伝わる横波の波長は \(10 \text{ cm}\) です。
この結果は、共振条件と連続する共振状態の関係から論理的に導かれました。単位も問題文に合わせてcmで得られています。

問1 (2)

思考の道筋とポイント
(1)で波長 \(\lambda = 10 \text{ cm}\) であることがわかりました。したがって、半波長は \(\lambda/2 = 5 \text{ cm}\) です。
弦の長さ \(a\) が、この半波長 \(\lambda/2\) の何倍になっているかで腹の数 \(n\) が決まります。共振条件の式 \(a = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) を使って、\(a=35 \text{ cm}\) のときの \(n\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 腹の数 \(n\) は、共振している弦の長さ \(a\) を半波長 \(\lambda/2\) で割った値に等しい (\(n = \displaystyle\frac{a}{\lambda/2}\))。

具体的な解説と立式
波長 \(\lambda = 10 \text{ cm}\) なので、半波長は \(\displaystyle\frac{\lambda}{2} = \displaystyle\frac{10 \text{ [cm]}}{2} = 5 \text{ [cm]}\) です。
弦の長さ \(a = 35 \text{ cm}\) のとき、共振条件は式① \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) で表されます。
ここに \(a=35 \text{ cm}\) と \(\displaystyle\frac{\lambda}{2} = 5 \text{ cm}\) を代入して、腹の数 \(n\) を求めます。
$$35 \text{ [cm]} = n \times (5 \text{ [cm]}) \quad \cdots ⑤$$

式⑤ \(35 = n \times 5\) から腹の数 \(n\) を求めます。
\(n\) について解くと、
$$n = \frac{35}{5}$$
$$n = 7 \text{ [個]}$$

(1)で、この波の「半分の長さ」が5cmであることがわかりました。
今、弦の長さは35cmです。この35cmの中に、「半分の長さ」である5cmがいくつ入っているかを考えれば、それが腹の数になります。
\(35 \div 5 = 7\) なので、腹の数は7個です。

\(a=35 \text{ cm}\) のときのAB間の腹の数は7個です。
ちなみに、(1)の考察で \(a_1=30 \text{ cm}\) のときの腹の数を \(n_1\) としましたが、この結果を使うと \(30 \text{ [cm]} = n_1 \times 5 \text{ [cm]}\) より \(n_1=6\) 個であったことがわかります。そして \(a_2=35 \text{ cm}\) での腹の数が \(n_2=7\) 個なので、\(n_2 = n_1+1\) という仮定と整合しており、(1)の解法が正しかったことも裏付けられます。

問1 (3)

思考の道筋とポイント
振動数 \(f\) を求めるには、波の基本式 \(v = f\lambda\) を利用します。波長 \(\lambda\) は(1)で \(10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}\) と求まっています。したがって、弦を伝わる波の速さ \(v\) が分かれば、振動数 \(f\) を計算できます。
弦を伝わる横波の速さ \(v\) は、弦の張力 \(T\) と線密度 \(\rho\) によって \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) と表されます。
張力 \(T\) はおもりの質量 \(m_1 = 6 \text{ kg}\) と重力加速度 \(g = 10 \text{ m/s}^2\) から \(T = m_1 g\) として計算できます。
線密度 \(\rho\) は、弦全体の質量 \(M_{\text{弦}} = 1.8 \text{ g}\) と弦全体の長さ \(L_{\text{全体}} = 120 \text{ cm}\) から \(\rho = \displaystyle\frac{M_{\text{弦}}}{L_{\text{全体}}}\) として計算できます。このとき、単位をSI単位系（kg, m）に統一することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 波の基本式: \(v = f\lambda\)
• 弦を伝わる横波の速さの公式: \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\)
• 張力の計算: 本問ではおもりによる張力なので \(T = mg\)
• 線密度の計算: \(\rho = \displaystyle\frac{\text{弦の質量}}{\text{弦の長さ}}\)。単位の換算に注意。

具体的な解説と立式
まず、弦の線密度 \(\rho\) を計算します。
弦全体の長さ \(L_{\text{全体}} = 120 \text{ cm} = 1.2 \text{ m}\)
弦全体の質量 \(M_{\text{弦}} = 1.8 \text{ g} = 1.8 \times 10^{-3} \text{ kg}\)
したがって、線密度 \(\rho\) は、
$$\rho = \frac{M_{\text{弦}}}{L_{\text{全体}}} \quad \cdots ⑥$$次に、弦の張力 \(T\) を計算します。おもりの質量 \(m_1 = 6 \text{ kg}\)、重力加速度 \(g = 10 \text{ m/s}^2\) なので、
$$T = m_1 g \quad \cdots ⑦$$これらの値を用いて、弦を伝わる波の速さ \(v\) を計算します。
$$v = \sqrt{\frac{T}{\rho}} \quad \cdots ⑧$$最後に、波の基本式 \(v = f\lambda\) を変形して振動数 \(f\) を求めます。波長 \(\lambda = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}\) です。
$$f = \frac{v}{\lambda} \quad \cdots ⑨$$

式⑥に値を代入して線密度 \(\rho\) を計算します。
$$\rho = \frac{1.8 \times 10^{-3} \text{ [kg]}}{1.2 \text{ [m]}} = \frac{1.8}{1.2} \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}$$ここで、\(\displaystyle\frac{1.8}{1.2} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5\) なので、
$$\rho = 1.5 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}$$式⑦に値を代入して張力 \(T\) を計算します。
$$T = 6 \text{ [kg]} \times 10 \text{ [m/s}^2\text{]} = 60 \text{ [N]}$$式⑧に \(\rho\) と \(T\) の値を代入して波の速さ \(v\) を計算します。
$$v = \sqrt{\frac{60 \text{ [N]}}{1.5 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}}} = \sqrt{\frac{60}{1.5} \times 10^3 \text{ [m}^2\text{/s}^2\text{]}}$$ここで、\(\displaystyle\frac{60}{1.5} = \frac{600}{15} = 40\) なので、
$$v = \sqrt{40 \times 10^3} = \sqrt{4 \times 10^1 \times 10^3} = \sqrt{4 \times 10^4}$$
$$v = \sqrt{4} \times \sqrt{10^4} = 2 \times 10^2 = 200 \text{ [m/s]}$$式⑨に \(v = 200 \text{ m/s}\) と \(\lambda = 0.1 \text{ m}\) の値を代入して振動数 \(f\) を計算します。
$$f = \frac{200 \text{ [m/s]}}{0.1 \text{ [m]}} = \frac{2000}{1} \text{ [Hz]}$$
$$f = 2000 \text{ [Hz]}$$

波の振動数（1秒間に何回振動するか）を知るためには、まず波が弦をどれくらいの速さで伝わるかを知る必要があります。波の速さは、弦の「ピンと張る力（張力）」と「弦自体の重さ（正確には線密度）」で決まります。

1. まず、弦が1メートルあたりどれくらいの重さか（線密度）を計算します。全体の重さを全体の長さで割ります。
2. 次に、おもりが弦を引っ張る力（張力）を計算します。これはおもりの重さです。
3. この張力と線密度を使って、波の速さを公式から計算します。
4. 最後に、この速さを(1)で求めた波の長さ（10cm = 0.1m）で割ると、1秒あたりの振動の回数（振動数）が求まります。

振動源Sの振動数は \(2000 \text{ Hz}\) (ヘルツ) です。
計算過程で使用した各物理量の単位（m, kg, s, N, Hz）は整合性が取れており、得られた値も物理的に妥当な範囲と考えられます。例えば、波の速さ \(200 \text{ m/s}\) は、一般的な弦楽器の弦を伝わる波の速さのオーダーです。

問1 (4)

思考の道筋とポイント
おもりの質量を4倍にすると、弦の張力 \(T\) が4倍になります。振動源Sは変えていないので、振動数 \(f\) は(3)で求めた \(2000 \text{ Hz}\) のまま一定です。弦自体も同じなので線密度 \(\rho\) も変わりません。
張力 \(T\) が変わると、波の速さ \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) が変化します。張力が4倍になると、速さは \(\sqrt{4}=2\) 倍になります。
振動数 \(f\) が一定で波の速さ \(v\) が変化すると、波の基本式 \(v = f\lambda\) より、波長 \(\lambda\) も変化します。速さが2倍になれば、波長も2倍になります。
この新しい波長 \(\lambda’\) で共振するためには、弦の長さ \(a\) が半波長 \(\lambda’/2\) の整数倍 (\(a = n’ \cdot \displaystyle\frac{\lambda’}{2}\)) である必要があります。
現在の弦の長さは \(a=35 \text{ cm}\) です。この長さは新しい半波長 \(\lambda’/2\) の整数倍ではなくなるため、共振しなくなります。
そこで、コマBを右に移動して弦の長さ \(a\) を長くし、\(35 \text{ cm}\) より大きくて最も近い、新しい共振条件を満たす弦の長さ \(a”\) を見つけます。その差 \(a” – 35 \text{ cm}\) が求める移動距離です。

この設問における重要なポイント

• 張力が変化すると波の速さが変化する (\(v \propto \sqrt{T}\))。
• 振動数が一定のとき、波の速さが変化すると波長も変化する (\(\lambda = v/f\), ゆえに \(\lambda \propto v\))。
• 新しい波長の下で、共振条件を満たすように弦の長さを調整する必要がある。
• 「少なくとも右に移動」とは、現在の長さより大きく、最も近い共振長を探すことを意味する。

具体的な解説と立式
元の張力を \(T_1\) (おもり \(m_1=6\text{ kg}\) のとき)、新しい張力を \(T_2\) (おもり \(4m_1=24\text{ kg}\) のとき) とします。すると \(T_2 = 4T_1\)。
元の波の速さを \(v_1 = 200 \text{ m/s}\)、新しい波の速さを \(v_2\) とすると、線密度 \(\rho\) は同じなので、
$$v_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\rho}} = \sqrt{\frac{4T_1}{\rho}} = 2 \sqrt{\frac{T_1}{\rho}} = 2v_1 \quad \cdots ⑩$$
波の速さは元の2倍になります。 \(v_2 = 2 \times 200 \text{ m/s} = 400 \text{ m/s}\)。
振動数 \(f = 2000 \text{ Hz}\) は変わらないので、元の波長を \(\lambda_1 = 10 \text{ cm}\)、新しい波長を \(\lambda_2\) とすると、波の基本式 \(v=f\lambda\) より、
$$\lambda_2 = \frac{v_2}{f} = \frac{2v_1}{f} = 2 \frac{v_1}{f} = 2\lambda_1 \quad \cdots ⑪$$新しい波長 \(\lambda_2\) は元の波長 \(\lambda_1\) の2倍になります。
$$\lambda_2 = 2 \times 10 \text{ [cm]} = 20 \text{ [cm]}$$
この新しい波長 \(\lambda_2\) で共振するためには、弦の長さ \(a’\) が、新しい半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda_2}{2} = \displaystyle\frac{20 \text{ [cm]}}{2} = 10 \text{ [cm]}\) の整数倍である必要があります。
つまり、弦の長さ \(a’\) は \(10 \text{ cm}, 20 \text{ cm}, 30 \text{ cm}, 40 \text{ cm}, 50 \text{ cm}, \dots\) のいずれかの値をとるときに共振します。
現在の弦の長さは \(a = 35 \text{ cm}\) です。この長さでは、\(10 \text{ cm}\) の整数倍ではないため共振しません。
コマBを右に移動して弦を長くし、再び共振させるためには、\(35 \text{ cm}\) より大きく、かつ最も近い \(10 \text{ cm}\) の整数倍の長さにすればよいです。その長さは \(40 \text{ cm}\) です。
よって、移動させる距離を \(\Delta a\) とすると、
$$\Delta a = 40 \text{ [cm]} – 35 \text{ [cm]} \quad \cdots ⑫$$

式⑪で計算したように、新しい波長 \(\lambda_2 = 20 \text{ cm}\)。
したがって、新しい半波長は \(\displaystyle\frac{\lambda_2}{2} = 10 \text{ cm}\)。
現在の弦の長さ \(a = 35 \text{ cm}\) より大きく、\(10 \text{ cm}\) の整数倍となる最小の弦の長さは \(4 \times 10 \text{ cm} = 40 \text{ cm}\) です。
よって、移動させる距離は式⑫より、
$$\Delta a = 40 \text{ [cm]} – 35 \text{ [cm]} = 5 \text{ [cm]}$$

おもりを4倍重くすると、弦を引っ張る力が4倍強くなります。波の速さは、この力の平方根に比例するので、\(\sqrt{4}=2\)倍、つまり2倍速くなります。
振動の回数（振動数）は変わらないので、波が1回振動する間に進む長さ（波長）も2倍になります。元の波長が10cmだったので、新しい波長は20cmです。
共振するには、弦の長さが「新しい波の半分の長さ」（つまり20cm / 2 = 10cm）の整数倍でなければなりません。
今の弦の長さは35cmです。35cmより長くて10cmの整数倍になる一番近い長さは40cmです。
したがって、弦を \(40 \text{ cm} – 35 \text{ cm} = 5 \text{ cm}\) だけ長くすれば、再び共振します。

コマBを少なくとも \(5 \text{ cm}\) 右に移動しなければなりません。
このとき、弦の長さは \(40 \text{ cm}\) となり、新しい半波長 \(10 \text{ cm}\) の4倍なので、腹の数4の定常波が形成されることになります。張力を増すと波長が長くなり、より長い弦長で共振するという結果は物理的に妥当です。

問2 (5)

思考の道筋とポイント
弦の直径が2倍になると、弦の断面積が \(2^2=4\) 倍になります。弦の材質（体積あたりの密度）と全体の長さが同じなので、弦全体の質量も4倍になります。これにより、弦の線密度 \(\rho\)（単位長さあたりの質量）も4倍になります。
おもりの質量は \(m_1 = 6 \text{ kg}\) に戻したので、張力 \(T\) は問1(3)のときと同じ \(T_1 = 60 \text{ N}\) です。
線密度 \(\rho\) が変わったので、波の速さ \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) が変化します。線密度が4倍になると、速さは \(\sqrt{1/4} = 1/2\) 倍になります。
振動源Sは変えていないと解釈し、振動数 \(f\) は問1(3)で求めた \(f_1 = 2000 \text{ Hz}\) のままと考えます。
波の速さ \(v\) が変化し、振動数 \(f\) が一定なので、波の基本式 \(v = f\lambda\) より波長 \(\lambda\) も変化します。速さが \(1/2\) 倍になれば、波長も \(1/2\) 倍になります。
この新しい波長 \(\lambda_3\) を求め、与えられた弦の長さ \(a=30 \text{ cm}\) で共振するときの腹の数 \(n_3\) を \(a = n_3 \cdot \displaystyle\frac{\lambda_3}{2}\) から計算します。

この設問における重要なポイント

• 弦の直径と線密度の関係: 直径が \(k\) 倍になると、断面積は \(k^2\) 倍、同じ材質・長さなら質量も \(k^2\) 倍、よって線密度も \(k^2\) 倍になる。
• 線密度が変化すると波の速さが変化する (\(v \propto 1/\sqrt{\rho}\))。
• 振動数が一定の場合、波の速さが変化すると波長も変化する (\(\lambda \propto v\))。
• 新しい波長の下での共振条件から腹の数を求める。

具体的な解説と立式
元の弦の線密度を \(\rho_1 = 1.5 \times 10^{-3} \text{ kg/m}\) とします (問1(3)で計算)。
新しい弦は、直径が2倍です。弦の断面積 \(S_{\text{断}}\) は直径 \(D\) の2乗に比例します（\(S_{\text{断}} \propto D^2\)）。直径が2倍になると、断面積は \(2^2 = 4\) 倍になります。
弦の材質（密度 \(\rho_{\text{材質}}\)）と弦全体の長さ \(L_{\text{全体}}\) は同じなので、弦全体の質量 \(M’_{\text{弦}} = \rho_{\text{材質}} \cdot S’_{\text{断}} \cdot L_{\text{全体}}\) は、元の質量 \(M_{\text{弦}}\) の4倍になります。
したがって、新しい弦の線密度 \(\rho_3\) は、元の線密度 \(\rho_1\) の4倍になります。
$$\rho_3 = 4\rho_1 \quad \cdots ⑬$$
おもりの質量は \(m_1 = 6 \text{ kg}\) で、張力 \(T_1 = 60 \text{ N}\) は元の状態と同じです。
元の波の速さを \(v_1 = 200 \text{ m/s}\) とすると、新しい弦を伝わる波の速さ \(v_3\) は、
$$v_3 = \sqrt{\frac{T_1}{\rho_3}} = \sqrt{\frac{T_1}{4\rho_1}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T_1}{\rho_1}} = \frac{1}{2} v_1 \quad \cdots ⑭$$
波の速さは元の \(1/2\) 倍になります。 \(v_3 = \frac{1}{2} \times 200 \text{ m/s} = 100 \text{ m/s}\)。
振動数 \(f_1 = 2000 \text{ Hz}\) は同じなので、新しい波長を \(\lambda_3\) とすると、
$$\lambda_3 = \frac{v_3}{f_1} = \frac{\frac{1}{2}v_1}{f_1} = \frac{1}{2} \frac{v_1}{f_1} = \frac{1}{2}\lambda_1 \quad \cdots ⑮$$新しい波長 \(\lambda_3\) は元の波長 \(\lambda_1 = 10 \text{ cm}\) の \(1/2\) 倍になります。
$$\lambda_3 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ [cm]} = 5 \text{ [cm]}$$弦の振動部分の長さ \(a = 30 \text{ cm}\) のとき、腹の数を \(n_3\) とすると、共振条件より、
$$a = n_3 \frac{\lambda_3}{2} \quad \cdots ⑯$$
ここに \(a=30 \text{ cm}\) と \(\lambda_3 = 5 \text{ cm}\) (つまり \(\displaystyle\frac{\lambda_3}{2} = 2.5 \text{ cm}\)) を代入して \(n_3\) を求めます。

式⑬より、新しい線密度 \(\rho_3 = 4 \times (1.5 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}) = 6.0 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}\)。
式⑭より、新しい波の速さ \(v_3 = \frac{1}{2} \times 200 \text{ [m/s]} = 100 \text{ [m/s]}\)。
式⑮より、新しい波長 \(\lambda_3 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ [cm]} = 5 \text{ [cm]}\)。
(別計算: \(\lambda_3 = \displaystyle\frac{v_3}{f_1} = \frac{100 \text{ [m/s]}}{2000 \text{ [Hz]}} = \frac{1}{20} \text{ [m]} = 0.05 \text{ [m]} = 5 \text{ [cm]}\))
新しい半波長は \(\displaystyle\frac{\lambda_3}{2} = \frac{5 \text{ [cm]}}{2} = 2.5 \text{ [cm]}\)。
式⑯に \(a=30 \text{ cm}\) と \(\displaystyle\frac{\lambda_3}{2} = 2.5 \text{ cm}\) を代入して腹の数 \(n_3\) を求めます。
$$30 \text{ [cm]} = n_3 \times 2.5 \text{ [cm]}$$
$$n_3 = \frac{30}{2.5} = \frac{300}{25}$$ここで、\(300 = 12 \times 25\) なので、
$$n_3 = 12 \text{ [個]}$$

弦の太さ（直径）が2倍になると、弦は見た目以上に重くなります。断面積が4倍になるので、同じ長さなら重さ（質量）も4倍。つまり、1メートルあたりの重さ（線密度）が4倍になります。
弦を引っ張る力（張力）は同じなので、重くなった弦では波は伝わりにくく、速さは \(\sqrt{1/4} = 1/2\) 倍、つまり半分になります。
振動の回数（振動数）は同じなので、波の速さが半分になると、波の長さ（波長）も半分になります。元の波長が10cmだったので、新しい波長は5cmです。
共振するには、弦の長さが「新しい波の半分の長さ」（つまり5cm / 2 = 2.5cm）の整数倍である必要があります。
弦の長さが30cmのとき、この2.5cmがいくつ入るか計算すると、\(30 \div 2.5 = 12\) 個です。したがって、腹の数は12個になります。

AB間の腹の数は12個となります。
弦の直径という形状の変化が線密度にどう影響し、それが波の速さ、波長へと連鎖的に影響を及ぼし、最終的に共振状態（腹の数）を決定するという一連の物理プロセスを正しく追跡できました。

問2 (6)

思考の道筋とポイント
弦の条件（直径2倍の弦、おもり6kg）は(5)と同じです。したがって、この弦を伝わる波の速さ \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) も(5)のときと同じです。
弦の振動部分の長さ \(a=30 \text{ cm}\) も同じです。
今度は、目標とする腹の数 \(n_4 = 3\) 個が指定されています。
この条件（\(a=30 \text{ cm}\), \(n_4=3\)）で共振するためには、どのような波長 \(\lambda_4\) が必要かをまず共振条件 \(a = n_4 \cdot \displaystyle\frac{\lambda_4}{2}\) から求めます。
そして、波の速さ \(v_3\) と、求めた波長 \(\lambda_4\) から、必要な振動数 \(f_4\) を波の基本式 \(v_3 = f_4 \lambda_4\) を使って計算します。

この設問における重要なポイント

• 波の速さは弦の物理的特性（線密度、張力）で決まり、この設問の状況では問2(5)と同じである。
• 目標とする腹の数と弦の長さから、そのときに必要な波長が定まる。
• 波の速さとその波長から、対応する振動数が決まる。

具体的な解説と立式
弦の振動部分の長さ \(a = 30 \text{ cm}\)。目標とする腹の数を \(n_4 = 3\) 個とします。
このときの波長を \(\lambda_4\) とすると、共振条件より、
$$a = n_4 \frac{\lambda_4}{2} \quad \cdots ⑰$$
この式から、まず必要な波長 \(\lambda_4\) を求めます。
弦を伝わる波の速さ \(v_3\) は、問2(5)で計算した通り \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) です（これは、弦の種類と張力が(5)と同じであるため変わりません）。
求める振動数を \(f_4\) とすると、波の基本式より、
$$v_3 = f_4 \lambda_4 \quad \cdots ⑱$$
この式から \(f_4\) を求めます。

式⑰に \(a=30 \text{ cm}\) と \(n_4=3\) を代入して、波長 \(\lambda_4\) を求めます。
$$30 \text{ [cm]} = 3 \times \frac{\lambda_4}{2}$$
$$30 = \frac{3}{2} \lambda_4$$\(\lambda_4\) について解くと、
$$\lambda_4 = 30 \text{ [cm]} \times \frac{2}{3} = 10 \text{ [cm]} \times 2 = 20 \text{ [cm]}$$
波長 \(\lambda_4 = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\) となります。
波の速さ \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) は変わりません。
式⑱に \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) と \(\lambda_4 = 0.2 \text{ m}\) の値を代入して、振動数 \(f_4\) を求めます。
$$f_4 = \frac{v_3}{\lambda_4} = \frac{100 \text{ [m/s]}}{0.2 \text{ [m]}} = \frac{1000}{2} \text{ [Hz]}$$
$$f_4 = 500 \text{ [Hz]}$$

弦の長さは30cmのままで、今度は腹の数をちょうど3個にしたい、という状況です。

1. 腹が3個ということは、弦の長さ30cmが「波の半分の長さ」の3つ分にちょうど収まるようにしたい、ということです。そうすると、「波の半分の長さ」は \(30 \text{ cm} \div 3 = 10 \text{ cm}\) になります。したがって、1波長全体の長さは \(10 \text{ cm} \times 2 = 20 \text{ cm}\) である必要があります。
2. この太い弦を伝わる波の速さは、(5)の状況から変わらず100 m/sです。
3. 波の速さが100 m/sで、波長を20cm (つまり0.2m) にするためには、振動数をいくらにすればよいか、という計算になります。「振動数 = 速さ ÷ 波長」なので、\(100 \text{ m/s} \div 0.2 \text{ m} = 500 \text{ Hz}\) となります。

Sの振動数を \(500 \text{ Hz}\) とすればよいです。
(5)のときの振動数 \(2000 \text{ Hz}\) と比較すると \(1/4\) になっています。これは、(5)のときの波長 \(\lambda_3 = 5 \text{ cm}\) に対し、今回は \(\lambda_4 = 20 \text{ cm}\) と波長を4倍にする必要があるため、波の速さが一定であれば振動数は \(1/4\) になるという関係（\(f = v/\lambda\)）と整合しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• この問題を解く上で最も重要だったのは、弦の共振（定常波）の条件と、弦を伝わる横波の速さの公式、そして波の基本式 (\(v=f\lambda\)) の3つの柱です。
• 弦の共振条件 \(L = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\):
  • 本質: 固定された両端が節となる定常波が形成されるためには、弦の長さが半波長の整数倍でなければならないという幾何学的な制約です。\(n\) が腹の数（ループの数）に対応します。
  • 理解のポイント: なぜ半波長なのか？節と節の間隔が半波長であること、そしてその中に腹が1つ存在することをイメージできるかが重要です。弦が「つじつまの合う」形で振動できるのは、この条件が満たされるときだけです。
• 弦を伝わる横波の速さ \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\):
  • 本質: 波の速さは、媒質の復元力に関する性質（張力 \(T\)）と慣性に関する性質（線密度 \(\rho\)）によって決まります。張力が大きいほど、弦の変位部分を元に戻そうとする力が強くなり速く伝わります。線密度が大きい（重い）ほど、弦は動きにくく（慣性が大きく）なり遅く伝わります。
  • 理解のポイント: この公式の各物理量が何を表し、どのような単位を持つのかを正確に把握すること。また、\(T\) や \(\rho\) が変化すると \(v\) がどのように変化するか（比例関係、逆比例関係、平方根の関係）を定性的に理解しておくことが応用につながります。「ピンと張った軽い弦ほど高い音（速い波）が出る」という日常経験とも結びつきます。
• 波の基本式 \(v = f\lambda\):
  • 本質: 波の速さは、1秒間に波が進む距離であり、それは1秒間の振動の回数（振動数 \(f\)）に1回の振動で進む距離（波長 \(\lambda\)）を掛けたものに等しいという、波の運動を記述する基本的な関係式です。
  • 理解のポイント: \(v, f, \lambda\) は独立ではなく、この式で結ばれています。どれか1つが変化したとき、他の量が一定であれば残りの量がどう変化するか、という関係性を様々な状況で適用できるようにすることです。例えば、同じ振動数なら速い波ほど波長は長く、同じ波長なら速い波ほど振動数は高くなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 気柱の共鳴（開管、閉管）: 考え方は弦の共振と非常に似ています。ただし、開端が定常波の腹、閉端が節となるという境界条件の違いを正しく理解し、それに応じた共振条件の式を立てる必要があります。
  • 楽器の音の高さの原理: ギターやピアノの弦、管楽器の管の長さなどが音の高さを決める原理は、本問で学んだ共振現象に基づいています。張力や弦の太さ（線密度）、管の長さを変えることが、どのように音（振動数）に影響するかを考察する問題に応用できます。
  • マイクの振動板の共振やスピーカーの設計など、特定の振動数で効率よく振動させたい、あるいは特定の振動数での共振を避けたいといった工学的な問題にも、この基本的な考え方が応用されます。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 「共振」「定常波」「節」「腹」というキーワードの有無: これらの言葉があれば、本問で用いた共振条件 \(L=n\lambda/2\) (またはそれに類する式) が中心的な役割を果たす可能性が高いです。
  2. 波の速さを決定する要因の特定: 弦ならば張力 \(T\) と線密度 \(\rho\)。音波ならば主に温度。これらの要因が問題中で変化するか、あるいは一定に保たれているかを確認します。
  3. 何が一定で、何が変化するのかの区別:
     • 振動源（例: スピーカー、おんさ、本問のS）が同じなら、通常は振動数 \(f\) が一定です。
     • 媒質の物理的特性（例: 弦の材質・太さ、張力、気体の種類・温度）が変わらなければ、波の速さ \(v\) は一定です。
     • これらの関係を整理し、\(v=f\lambda\) を使って未知数を絞り込んでいきます。
  4. 与えられた情報からどの公式を使うかの判断: 例えば、「弦の長さと腹の数から波長を求める」「張力と線密度から速さを求める」「速さと波長から振動数を求める」といったように、手持ちの情報と求めたい量に応じて、上記の3つの柱となる公式を適切に選択・組み合わせます。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 単位の換算: cm と m、g と kg などが混在している場合、計算の初期段階でSI単位系（m, kg, s）に統一することが基本です。特に線密度 \(\rho\) の計算や波の速さ \(v\) の計算では重要です。
  • 「再び共振する」「隣り合う共振」: このような表現は、通常、腹の数が1つだけ異なる（\(n\) と \(n+1\)）共振状態を指すことが多いですが、問題の文脈をよく読み、誤解しないように注意が必要です。
  • 弦の直径・半径と線密度の関係: 弦の直径が \(k\) 倍になると断面積は \(k^2\) 倍、同じ材質・長さなら質量も \(k^2\) 倍、よって線密度も \(k^2\) 倍になる、という関係を正確に理解しておくこと（問2で重要でした）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 波長 (\(\lambda\)) と半波長 (\(\lambda/2\)) の混同:
  • 現象: 共振条件の式 \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) に、\(\lambda\) そのものを代入してしまったり、節と節の間隔を \(\lambda\) と誤解したりする。
  • 対策: 定常波の図（腹と節が交互に並ぶ様子）を常にイメージし、1つのループ（腹1つ分）の長さが \(\lambda/2\) であることを強く意識する。\(L=n\lambda\) ではなく \(L=n(\lambda/2)\) です。
• 張力 (\(T\)) とおもりの質量 (\(m\)) の混同:
  • 現象: 張力を計算する際に、\(T=mg\) とすべきところを \(T=m\) としたり、単位を間違えたりする。
  • 対策: 物理量の単位を常に意識する。張力は力なので単位は [N]、質量は [kg] です。\(g\)（重力加速度）を掛け忘れないこと。
• 線密度 (\(\rho\)) の計算ミス:
  • 現象: 弦全体の質量を弦全体の長さで割るべきところを、振動部分の長さ \(a\) で割ってしまったり、単位換算（g \(\leftrightarrow\) kg, cm \(\leftrightarrow\) m）を間違えたりする。
  • 対策: 線密度は弦の材質と太さで決まる固有の値なので、弦全体で定義される (\(\rho = M_{\text{全体}}/L_{\text{全体}}\)) ことを理解する。計算前に必ず単位をSI基本単位に揃える習慣をつける。
• 波の速さの公式 \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) の誤用:
  • 現象: 平方根 \(\sqrt{}\) を忘れる、または分子と分母 (\(T\) と \(\rho\)) を逆にしてしまう。
  • 対策: 公式の成り立ちのイメージ（次元解析や簡単なモデルを一度は確認するとよい）を持つ。定性的に「張力が大きいほど速く、線密度が大きい（重い）ほど遅い」という関係を覚えておき、式と照らし合わせる。
• 条件変更時の変数の扱い:
  • 現象: 例えば、張力を変えたときに、振動数も勝手に変わると思い込んだり、逆に変わるはずの波長が変わらないとしてしまったりする。
  • 対策: 何が操作変数で（例：おもりの質量を変える）、何がそれに応じて従属的に変わる変数で（例：張力、波の速さ、波長）、何が一定に保たれる変数か（例：振動源を変えなければ振動数、同じ弦なら線密度）を問題文から正確に読み取り、整理する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 弦の共振では、弦が振動して腹と節ができる様子を具体的に頭の中に描く（あるいは実際に簡単な図を描く）ことが非常に重要です。特に、弦の長さ \(a\) の中に、半波長 \(\lambda/2\) がいくつ収まっているのか（それが腹の数 \(n\)）、そして両端が必ず節になっている様子を視覚的に捉えることができれば、共振条件の式 \(a = n (\lambda/2)\) の意味が直感的に理解できます。
  • 例えば、問1(1)で \(a=30\text{cm}\) から \(a=35\text{cm}\) へと変化して連続して共振する場合を考えます。\(30\text{cm}\) の弦に \(n\) 個の腹（ループ）、\(35\text{cm}\) の弦に \(n+1\) 個の腹（ループ）ができている図を並べて描いてみると、その長さの差 \(5\text{cm}\) がちょうど1つのループ（半波長分）の長さに対応することが一目でわかります。
  • このように図を描くことで、節の位置、腹の位置、波の形などを具体的に把握でき、数式だけでは見落としがちな関係性や条件に気づくことができます。また、複数の共振状態を比較する際にも、図は非常に有効なツールとなります。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 固定端の明示: 弦の端点（A点とB点）は振動源やコマによって固定されているため、これらが必ず定常波の「節」になるように描きます。
  • 腹と節の配置: 腹は節と節の中間に位置し、最も大きく振動する部分として描きます。節と腹は交互に現れます。
  • 波長の表現: 1波長 \(\lambda\) や半波長 \(\lambda/2\) が図の中でどの区間に相当するのかを明示すると、式の理解が深まります。特に、節－節間、腹－腹間が \(\lambda/2\) であることを図中に示すと分かりやすいです。
  • 腹の数の明記: 複数の共振状態を比較する場合は、それぞれの状態での腹の数 \(n\) を図に付記すると、混乱を防げます。
  • 誇張表現の活用: 実際の弦の振幅は小さいことが多いですが、理解のためには振幅をある程度誇張して描いた方が、波の形や腹・節の位置関係が分かりやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• この問題では、主に以下の物理公式が繰り返し使用されました。それぞれの公式をなぜその場面で選び、適用できると判断したのか、その根拠を明確にする訓練は非常に重要です。
  1. \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) (弦の共振条件)
     • 選定理由: 問題文に「共振する」という記述があり、弦の長さ、波長、腹の数の関係が問われている、あるいはそれらを利用して他の量を求める必要があるため。
     • 適用根拠: 両端が固定された弦に定常波が生じるときの普遍的な物理法則（境界条件から導かれる数学的条件）だからです。
  2. \(\rho = \displaystyle\frac{M_{\text{弦}}}{L_{\text{全体}}}\) (線密度)
     • 選定理由: 弦を伝わる波の速さ \(v\) を決定する物理量の一つであり、弦の質量と長さが与えられているため。
     • 適用根拠: 線密度の定義そのものです。弦の単位長さあたりの質量を表します。
  3. \(T = mg\) (張力)
     • 選定理由: 弦を伝わる波の速さ \(v\) を決定するもう一つの重要な物理量であり、問題設定でおもりの質量によって張力が与えられているため。
     • 適用根拠: 滑車を介しておもりが弦を引いており、弦とおもりが（ほぼ）静止しているか等速運動していると見なせる場合、力のつり合いから弦の張力がおもりの重力と等しくなるからです。
  4. \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) (弦を伝わる横波の速さ)
     • 選定理由: 弦の物理的特性（張力 \(T\) と線密度 \(\rho\)）から、その弦を伝わる波の固有の速さ \(v\) を決定する必要があるため。
     • 適用根拠: 弦の微小部分の運動方程式を立てて解析することによって導かれる、弦の性質と波の速さを結びつける法則だからです。
  5. \(v = f\lambda\) (波の基本式)
     • 選定理由: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の3つのうち2つが既知または計算可能で、残りの1つを求める必要がある多くの場面で使われる、波に関する最も基本的な関係式だからです。
     • 適用根拠: 波が1周期 (\(1/f\) 秒) の間に1波長 (\(\lambda\)) 進むという、波の定義そのものから導かれる普遍的な関係式だからです。
• なぜその公式を選び、適用できると判断したのか、その根拠を明確にする訓練の重要性:
  • 公式を単に暗記するのではなく、それぞれの公式がどのような物理現象を表し、どのような条件下で成り立つのかを深く理解することが不可欠です。
  • 問題文を読んで状況を把握し、「今、何が問われていて、何が分かっていて、どの物理法則がこの状況と関連しているのか？」と自問自答する習慣をつけることで、適切な公式を迷わずに選択できるようになります。
  • 公式の適用条件を無視して無理やり使おうとすると、誤った結論に至ります。例えば、弦の共振条件は「両端が固定（または自由）で定常波ができている」という前提があって初めて使えます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

• この問題の解答に至る思考プロセスを振り返ると、以下のような論理の流れが見られます。この流れを自分で再現できるようにすることが、応用力を高める上で重要です。
  1. 問1(1) 波長の特定:
     • 現状把握: 2つの異なる弦長 \(a_1, a_2\) で共振しています。他の条件（振動数 \(f\)、張力 \(T\)、線密度 \(\rho\)）はこの時点では同じであるため、弦固有の波長 \(\lambda\) も同じと考えられます。
     • 法則適用: 共振条件 \(a = n(\lambda/2)\) を \(a_1\) と \(a_2\) のそれぞれに適用。\(a_1 = n_1(\lambda/2)\), \(a_2 = n_2(\lambda/2)\)。
     • 条件利用: 「（間に他の共振がなく）再び共振」したので、腹の数は1つだけ変化したと解釈し \(n_2 = n_1+1\) と仮定。
     • 立式・解法: 2つの式から \(n_1\) を消去する形で、\(a_2 – a_1 = (n_1+1)(\lambda/2) – n_1(\lambda/2) = \lambda/2\) という関係を導き、ここから \(\lambda\) を具体的に求める。
  2. 問1(2) 腹の数の特定:
     • 情報利用: (1)で求めた波長 \(\lambda\) (または半波長 \(\lambda/2\)) と、与えられた弦長 \(a_2=35\text{cm}\) を使用。
     • 法則適用: 共振条件 \(a_2 = n_2(\lambda/2)\) に値を代入し、腹の数 \(n_2\) を直接計算する。
  3. 問1(3) 振動数の特定:
     • 目標設定: 振動数 \(f\) を求めたい。波の基本式 \(v=f\lambda\) を変形した \(f=v/\lambda\) を利用する方針。
     • 未知数の確認: \(\lambda\) は(1)で既知。波の速さ \(v\) が未知なので、これを求める必要がある。
     • 法則適用（\(v\) の導出）: 弦を伝わる波の速さの公式 \(v = \sqrt{T/\rho}\) を利用する。
     • 物理量計算（\(T, \rho\) の導出）: 張力 \(T\) はおもりの重力 \(mg\) から、線密度 \(\rho\) は弦全体の質量 \(M_{\text{弦}}\) と弦全体の長さ \(L_{\text{全体}}\) から、それぞれ \(T=mg\), \(\rho = M_{\text{弦}}/L_{\text{全体}}\) として計算する。この際、単位をSI基本単位に統一する。
     • 計算実行: 具体的に \(T, \rho\) の値を計算し、それらを使って \(v\) を求め、最後に \(f\) を求める。
  4. 問1(4) 条件変更（張力変更）と再共振の条件:
     • 変化の把握: おもりの質量が4倍になったため、張力 \(T\) が4倍に変化します。振動数 \(f\) は振動源が変わらないので一定であり、線密度 \(\rho\) も弦自体は同じなので一定です。
     • 影響分析 (張力 \(\to\) 速さ \(\to\) 波長): 張力 \(T\) が4倍になると、\(v \propto \sqrt{T}\) より波の速さ \(v\) は \(\sqrt{4}=2\) 倍になる。振動数 \(f\) が一定なので、\(\lambda = v/f\) より新しい波長 \(\lambda’\) も2倍になる。
     • 再共振条件の立式: 新しい弦の長さ \(a”\) は、新しい半波長 \(\lambda’/2\) の整数倍 \(a” = n”(\lambda’/2)\) を満たす必要がある。
     • 条件設定の解釈: 「\(a=35\text{cm}\) のまま…Bを少なくとも右に移動」なので、\(a” > 35\text{cm}\) を満たす最小の \(a”\) を探す。
     • 解法: 具体的に \(\lambda’\) を計算し、条件を満たす \(a”\) を見つけ、移動距離 \(a” – 35\text{cm}\) を計算する。
  5. 問2(5) 条件変更（線密度変更）と共振時の腹の数:
     • 変化の把握: 弦の直径が2倍になったことにより、断面積は4倍になります。同じ材質・長さであるため質量も4倍になり、その結果、線密度 \(\rho\) が4倍に変化します（新しい線密度を \(\rho_3\) とします）。張力 \(T\) は元の \(6\text{kg}\) のおもりに戻るので問1(3)と同じであり、振動数 \(f\) も振動源が同じなので問1(3)と同じです。
     • 影響分析 (線密度 \(\to\) 速さ \(\to\) 波長): 線密度 \(\rho_3\) が元の4倍になると、\(v \propto 1/\sqrt{\rho}\) より波の速さ \(v_3\) は \(1/\sqrt{4}=1/2\) 倍になる。振動数 \(f\) が一定なので、\(\lambda = v/f\) より新しい波長 \(\lambda_3\) も \(1/2\) 倍になる。
     • 腹の数の計算: 与えられた弦の長さ \(a=30\text{cm}\) と、計算した新しい半波長 \(\lambda_3/2\) を用いて、共振条件 \(a=n_3(\lambda_3/2)\) から腹の数 \(n_3\) を求める。
  6. 問2(6) 条件変更（振動数変更）と目標の腹の数を達成する条件:
     • 変化の把握: 腹の数 \(n_4=3\) 個が目標。弦の物理的特性（線密度 \(\rho_3\)、張力 \(T_1\)）は問2(5)と同じなので、波の速さ \(v_3\) も同じ。弦の振動部分の長さ \(a=30\text{cm}\) も同じ。変えるのは振動数 \(f_4\)。
     • 影響分析 (目標の腹の数 \(\to\) 必要な波長 \(\to\) 必要な振動数): まず、目標とする腹の数 \(n_4\) と弦長 \(a\) から、共振条件 \(a=n_4(\lambda_4/2)\) を使って必要な波長 \(\lambda_4\) が決まる。
     • 振動数の計算: 波の速さ \(v_3\) は既知で、必要な波長 \(\lambda_4\) が分かったので、波の基本式 \(v_3 = f_4 \lambda_4\) を変形した \(f_4 = v_3/\lambda_4\) から、目標を達成するための振動数 \(f_4\) を計算する。
• このように、各設問で「何が変化し、何が一定か」「どの法則がどの順番で適用できるか」「未知数は何か、既知数は何か」を論理的に整理し、段階的に解き進めていくことが求められます。行き詰まったら、基本に立ち返り、図を描いたり、言葉で状況を説明し直したりするのも有効です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で、ミスを防ぐために特に注意すべき点はどこだったか:
  • 単位の統一と換算: 問題文中でcmとm、gとkgが混在していました。特に線密度 \(\rho\) や波の速さ \(v\) を計算する際には、矛盾なくSI基本単位（m, kg, s）に変換してから計算することが、誤りを防ぐ上で非常に重要です。例えば、\(\lambda=10\text{cm}\) を \(0.1\text{m}\) に直す、\(M_{\text{弦}}=1.8\text{g}\) を \(1.8 \times 10^{-3}\text{kg}\) に直すなど。
  • 有効数字の扱い: 問題文で与えられている数値は基本的に2桁（例: 1.8g, 6kg, 30cm, 10m/s²）なので、最終的な答えもそれに合わせるのが一般的ですが、今回は割り切れる計算が多かったです。途中計算では少し多めに桁を取るか、分数で正確に保持し、最後に丸めるのが理想です。
  • 平方根の計算: \(v = \sqrt{T/\rho}\) の計算では、数値の代入後、根号の中の計算を正確に行う必要があります。特に \(10^n\) のような指数計算（例: \(1.5 \times 10^{-3}\) の扱い）を含む割り算や、その後の平方根の処理（例: \(\sqrt{40 \times 10^3} = \sqrt{4 \times 10^4} = 2 \times 10^2\) のような変形）は慎重に行うべきポイントです。
  • 分数の計算: 線密度の計算での \(\displaystyle\frac{1.8}{1.2} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5\) や、問2(5)の腹の数の計算での \(\displaystyle\frac{30}{2.5} = \frac{300}{25} = 12\) など、小数や分数を含む割り算は、焦らず正確に行うことが求められます。
  • 比例関係の正確な理解と適用: 張力が4倍なら速さは\(\sqrt{4}=2\)倍。線密度が4倍なら速さは\(1/\sqrt{4}=1/2\)倍。これらの関係を正しく波長や振動数に結びつける部分（振動数が一定なら\(\lambda \propto v\)、速さが一定なら\(\lambda \propto 1/f\)など）で混乱しないように注意が必要です。
• 日頃からどのような意識で計算練習に取り組むべきか:
  • 途中式を省略せずに丁寧に書く: 特に複雑な計算や複数のステップを踏む場合は、各段階の式と結果を省略せずに明記する習慣をつけましょう。これにより、論理の流れが明確になり、見直しが容易になり、どこで間違えたかを発見しやすくなります。
  • 単位を一緒に記述する習慣: 計算の各ステップで数値だけでなく単位も一緒に書くことで、次元（単位）のチェックが自然とでき、不適切な公式の適用や単位換算忘れといったミスに気づきやすくなります。
  • 概算で見積もる癖をつける: 計算を実行する前に、おおよその値を予測する習慣をつけると、計算結果がその予測から大きく外れていた場合に「何かおかしいぞ」と気づくことができます。
  • 検算を行う: 時間が許せば、別の方法で計算してみるか、逆の計算をしてみる（例えば、求めた振動数と波長から速さを再計算し、元の速さと一致するか確認する）ことで、計算ミスを大幅に減らすことができます。
  • 基本的な数学的操作の反復練習: 物理の計算は、分数、小数、指数、平方根、比例計算、簡単な方程式の変形など、基本的な数学的操作の上に成り立っています。これらの操作をスムーズかつ正確に行えるように、日頃から意識して基礎的な計算トレーニングを積んでおくことが、結局は物理の得点力向上に繋がります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  計算によって答えが出たとしても、それが物理的に意味のある値なのか、あるいは現実的にあり得る範囲の値なのかを一度立ち止まって考えることは非常に大切です。
  • 問1(1) \(\lambda = 10 \text{ cm}\):
    弦の振動部分の長さが30cmや35cmで共振しているので、波長がこれらの値と同程度のオーダーであるか、それより短い値であることは妥当と考えられます。もし計算結果が1mmなど極端に短かったり、数メートルなど極端に長かったりした場合は、計算ミスや考え方の誤りを疑うべきです。
  • 問1(2) 腹の数 \(n=7\) 個:
    腹の数は必ず正の整数になるはずです。計算結果が小数になったり負になったりした場合は明らかに間違いです。\(\lambda/2 = 5 \text{ cm}\) で弦長 \(a=35 \text{ cm}\) なので、\(35/5 = 7\) という整数値は妥当です。
  • 問1(3) \(f = 2000 \text{ Hz}\):
    これは \(2 \text{ kHz}\) であり、一般的な可聴域（数十 Hz ～ 20000 Hz程度）に入っています。実験室で使われる音叉や小型の発振器の振動数としても十分にありえる範囲です。また、波の速さ \(v=200 \text{ m/s}\) も、ピンと張った弦（例えば楽器の弦など）を伝わる波の速さとしては現実的な値の範囲内です（空気中の音速は約340m/sなので、それよりは少し遅いですが、弦の材質や張力によってはこの程度になります）。
  • 問1(4) 移動距離 \(5 \text{ cm}\):
    張力を強くすると波長が長くなる（速さが増すため、\(f\)一定なら\(\lambda\)も増す）ので、共振する弦の長さはより長いものが必要になるというのは直感と合致します。移動させる距離が元の弦長のスケール（数cm～数十cm）から大きく外れていないことも、妥当性の一つの目安になります。
  • 問2(5) 腹の数 \(12\) 個:
    弦が太く重く（線密度が大きく）なると、波は伝わりにくくなり波長は短くなる（速さが遅くなるため、\(f\)一定なら\(\lambda\)も減る）。同じ長さの弦であれば、より多くの腹（短い波長の波）が収まるというのは物理的に理にかなっています。
  • 問2(6) \(f’ = 500 \text{ Hz}\):
    腹の数を少なくする（つまり、各ループの長さ＝半波長を長くする＝波長を長くする）ためには、波の速さが一定であれば、振動数を小さくする必要がある（\(v=f\lambda\) で \(v\) が一定なら \(f\) と \(\lambda\) は反比例）。(5)の時の振動数 \(2000 \text{ Hz}\) よりも小さくなっているので、定性的には正しい方向です。
• 「解の吟味」を通じて得られること:
  • 計算ミスや、立式の段階での根本的な誤りに気づく最大のチャンスになります。「答えが出たから終わり」ではなく、「この答えは本当におかしくないか？」と自問することで、致命的なミスを防ぐことができます。
  • 物理法則がどのように現象を記述しているのか、数式の背後にある物理的な意味や構造をより深く理解することができます。例えば、「張力を増すと振動数が高くなる（同じ長さ・同じ腹の数で共振させる場合）」といった関係性を、単なる数式の操作としてではなく、実際の物理現象として捉えられるようになります。
  • 単に問題を解くだけでなく、「なぜそうなるのか？」を考えることで、論理的思考力や応用力が養われます。極端な場合（例：もし張力がゼロだったら？もし弦の長さが無限大だったら？）を考えてみるのも、理解を深める上で有効な手段です。

問題65 (京都工繊大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、張られた弦に定常波が生じる「共振」という現象について、弦の長さ、おもりの質量（張力）、弦の太さ（線密度）、振動数といった条件を変えながら考察するものです。それぞれの条件下で波長や腹の数がどのように変化し、共振条件がどう満たされるかを計算していきます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、連結された弦における共振現象です。異なる種類の弦（線密度が異なる）が繋がっている場合でも、いくつかの重要な共通点があります。それは、張力が共通であること、そして振動数が共通であることです。この共通の振動数はおんさによって強制的に与えられています。これらの共通条件と、それぞれの弦における定常波の形成条件（弦長と波長の関係）を組み合わせることで、問題を解き明かしていきます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 弦を伝わる横波の速さ: 弦の張力を \(S\)、線密度を \(\rho\) とすると、波の速さ \(v\) は \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{S}{\rho}}\) で与えられます。
2. 波の基本式: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には \(v = f\lambda\) の関係があります。
3. 定常波の共振条件: 弦の両端（または固定された点）が節となる場合、その間の弦の長さ \(l\) が半波長 \(\lambda/2\) の整数倍になると共振が起こります。つまり、\(l = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) (ここで \(n\) は腹の数を表します)。
4. 接続点における条件: 異なる媒質を波が伝わるとき、一般に振動数は変わりません。また、本問では接続点Bが節となるという特別な条件が与えられています。

これらの法則を、2本の弦それぞれに適用し、連立方程式を解く形で進めていきます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 物理量の設定: 弦\(L_1\)の線密度を \(\rho\)、弦\(L_2\)の線密度を \(4\rho\) と設定します。張力 \(S\) は共通です。
2. 波の速さの比: 弦\(L_1\)、\(L_2\)における波の速さ \(v_1, v_2\) を、張力 \(S\) とそれぞれの線密度を用いて表し、その比を求めます。
3. 波長の比: 振動数 \(f\) が共通であることと、波の基本式 \(v=f\lambda\) を用いて、波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) の比を求めます。これは速さの比と同じになります。
4. 腹の数の配分: AC間に合計5つの腹があり、点Bが節であることから、弦\(L_1\)上の腹の数を \(n_1\)、弦\(L_2\)上の腹の数を \(n_2\) とすると、\(n_1 + n_2 = 5\) となります。
5. 共振条件の立式: 弦\(L_1\)、\(L_2\)それぞれについて、弦の長さ、腹の数、波長（またはその比）を用いて共振条件の式を立てます。
   • \(l_1 = n_1 \displaystyle\frac{\lambda_1}{2}\)
   • \(l_2 = n_2 \displaystyle\frac{\lambda_2}{2}\)
6. 連立方程式の求解: 波長の比の関係、腹の数の関係、そして2つの共振条件の式を連立させて、\(n_1, n_2, \lambda_1, \lambda_2\) を求めます。
7. 波の速さの計算: 求めた波長と与えられた振動数から、波の速さ \(v_1, v_2\) を計算します。
8. 定常波の作図: 求めた腹の数に基づいて、定常波の概形を描きます。

別解として、弦の固有振動数の公式を用いる方法も考えられます。

問 (1)

思考の道筋とポイント
まず、2本の弦に共通な物理量と異なる物理量を整理します。
共通なのは、張力 \(S\) と振動数 \(f = 200 \text{ Hz}\) です。
異なるのは、線密度（\(\rho\) と \(4\rho\)）、その結果として波の速さ（\(v_1, v_2\)）、そして波長（\(\lambda_1, \lambda_2\)）です。

波の速さ \(v = \sqrt{S/\rho}\) より、\(v_1 = \sqrt{S/\rho}\)、\(v_2 = \sqrt{S/(4\rho)} = (1/2)\sqrt{S/\rho} = (1/2)v_1\) となり、速さの比が \(v_1 : v_2 = 2:1\) と分かります。
波の基本式 \(v=f\lambda\) で \(f\) が共通なので、\(\lambda = v/f\) より、波長も速さと同じ比になります。つまり、\(\lambda_1 : \lambda_2 = 2:1\)、あるいは \(\lambda_2 = (1/2)\lambda_1\) です。

次に、腹の数の配分を考えます。AC間に合計5つの腹があり、B点は節です。これは、弦ABと弦BCがそれぞれ独立して定常波を形成していると見なせます（ただしB点が共通の節）。
弦ABの腹の数を \(n_1\)、弦BCの腹の数を \(n_2\) とすると、\(n_1 + n_2 = 5\) です。(\(n_1, n_2\) は自然数)

それぞれの弦について共振条件を立てます。
弦AB (\(L_1\)): \(l_1 = n_1 \displaystyle\frac{\lambda_1}{2}\)
弦BC (\(L_2\)): \(l_2 = n_2 \displaystyle\frac{\lambda_2}{2}\)

これらの式に、\(\lambda_2 = (1/2)\lambda_1\) と \(n_2 = 5-n_1\) を代入し、与えられた \(l_1=0.8 \text{ m}\), \(l_2=0.6 \text{ m}\) を使って \(n_1\) と \(\lambda_1\) を求め、その後 \(\lambda_2\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 張力と振動数が2つの弦で共通であること。
• 線密度の違いから波の速さの比を求め、それを用いて波長の比を導くこと。
• 全体の腹の数と、接続点Bが節であることから、各弦の腹の数を文字で設定し、関係式を立てること。
• 各弦について、弦の長さ、腹の数、波長の関係（共振条件）を立式すること。

具体的な解説と立式
弦ABの線密度を \(\rho\)、弦BCの線密度を \(4\rho\) とします。張力を \(S\) とします。
弦ABを伝わる波の速さを \(v_1\)、弦BCを伝わる波の速さを \(v_2\) とすると、
$$v_1 = \sqrt{\frac{S}{\rho}} \quad \cdots ①$$
$$v_2 = \sqrt{\frac{S}{4\rho}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\rho}} = \frac{1}{2}v_1 \quad \cdots ②$$
振動数は共通で \(f = 200 \text{ Hz}\) です。それぞれの弦の波長を \(\lambda_1, \lambda_2\) とすると、波の基本式 \(v=f\lambda\) より、
$$v_1 = f\lambda_1 \quad \cdots ③$$
$$v_2 = f\lambda_2 \quad \cdots ④$$
式②、③、④より、\(f\lambda_2 = \displaystyle\frac{1}{2}f\lambda_1\)。したがって、波長の関係は、
$$\lambda_2 = \frac{1}{2}\lambda_1 \quad \cdots ⑤$$
弦ABの長さを \(l_1 = 0.8 \text{ m}\)、弦BCの長さを \(l_2 = 0.6 \text{ m}\) とします。
弦ABの腹の数を \(n_1\)、弦BCの腹の数を \(n_2\) とすると、問題の条件から \(n_1 + n_2 = 5\) であり、\(n_1 \ge 1, n_2 \ge 1\) です。よって \(n_2 = 5 – n_1\)。
各弦における共振条件は、
弦AB: $$l_1 = n_1 \frac{\lambda_1}{2} \quad \cdots ⑥$$
弦BC: $$l_2 = n_2 \frac{\lambda_2}{2} \quad \cdots ⑦$$
式⑦に \(n_2 = 5-n_1\) と式⑤ \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{1}{2}\lambda_1\) を代入した式を準備しておきます。
$$l_2 = (5-n_1) \frac{(\frac{1}{2}\lambda_1)}{2} = (5-n_1) \frac{\lambda_1}{4} \quad \cdots ⑧$$
式⑥と式⑧を用いて \(n_1\) と \(\lambda_1\) を求めます。

式⑥から \(\lambda_1\) について解くと、
$$\lambda_1 = \frac{2l_1}{n_1} \quad \cdots ⑨’$$
これを式⑧に代入します。
$$l_2 = (5-n_1) \frac{1}{4} \left( \frac{2l_1}{n_1} \right)$$
整理すると、
$$l_2 = (5-n_1) \frac{l_1}{2n_1}$$
与えられた数値 \(l_1 = 0.8 \text{ m}\), \(l_2 = 0.6 \text{ m}\) を代入します。
$$0.6 = (5-n_1) \frac{0.8}{2n_1}$$
$$0.6 = (5-n_1) \frac{0.4}{n_1}$$
両辺に \(n_1\) を掛けます（\(n_1\) は腹の数なので \(n_1 \neq 0\)）。
$$0.6 n_1 = (5-n_1) \times 0.4$$
展開します。
$$0.6 n_1 = 2.0 – 0.4 n_1$$
\(n_1\) の項を左辺にまとめます。
$$0.6 n_1 + 0.4 n_1 = 2.0$$
$$1.0 n_1 = 2.0$$
$$n_1 = 2$$
弦ABの腹の数は2個と求まりました。
このとき、弦BCの腹の数 \(n_2\) は、
$$n_2 = 5 – n_1 = 5 – 2 = 3 \text{ [個]}$$
\(n_1 = 2\) を式⑨’ に代入して \(\lambda_1\) を求めます。
$$\lambda_1 = \frac{2 \times 0.8 \text{ [m]}}{2} = 0.8 \text{ [m]}$$
次に、式⑤ \(\lambda_2 = \displaystyle\frac{1}{2}\lambda_1\) を用いて \(\lambda_2\) を求めます。
$$\lambda_2 = \frac{1}{2} \times 0.8 \text{ [m]} = 0.4 \text{ [m]}$$

2本の弦は、ピンと張る力は同じですが、太さ（重さ）が違います。太い（重い）弦の方が波は伝わりにくく、波長は短くなります。
今回は、弦\(L_2\)の方が線密度が4倍なので、波の速さは \(L_1\) の \(1/2\) 倍、したがって波長も \(L_1\) の \(1/2\) 倍になります。
全部で5つの「ふくらみ」（腹）があり、つなぎ目のB点は振動しない「節」です。弦ABにできる腹の数を \(n_1\) 個、弦BCにできる腹の数を \(n_2\) 個とすると、\(n_1 + n_2 = 5\) です。
それぞれの弦の長さは「(腹の数) × (半波長)」なので、この関係と波長の比を使って連立方程式を解くと、ABには2個の腹、BCには3個の腹ができることがわかります。
ABの長さ0.8mに腹が2個できるので、ABでの1波長は0.8mです。
BCでは波長がその半分になるので、0.4mとなります。

弦ABを伝わる波の波長 \(\lambda_1\) は \(0.8 \text{ m}\)、弦BCを伝わる波の波長 \(\lambda_2\) は \(0.4 \text{ m}\) です。
それぞれの弦長 \(l_1=0.8\text{ m}, l_2=0.6\text{ m}\) に対して、
弦ABでは \(l_1 = 2 \times (\lambda_1/2)\) なので \(0.8 \text{ m} = 2 \times (0.8 \text{ m}/2) = 0.8 \text{ m}\) となり、腹の数2個で整合します。
弦BCでは \(l_2 = 3 \times (\lambda_2/2)\) なので \(0.6 \text{ m} = 3 \times (0.4 \text{ m}/2) = 0.6 \text{ m}\) となり、腹の数3個で整合します。

別解1: 固有振動数の公式を利用
思考の道筋とポイント
弦の固有振動数の公式 \(f = \displaystyle\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\) を利用します。
弦ABと弦BCでは、振動数 \(f\) が共通 (\(200 \text{ Hz}\)) です。
弦ABの腹の数を \(n_1\)、弦BCの腹の数を \(n_2 = 5-n_1\) とし、それぞれの弦の長さ \(l_1, l_2\)、線密度 \(\rho, 4\rho\) を用いて公式を適用し、等式を作ります。
これにより腹の数 \(n_1\) を決定し、その後、各弦の共振条件から波長を求めます。

具体的な解説と立式
弦ABにおける振動数を \(f_1\)、弦BCにおける振動数を \(f_2\) とします。腹の数をそれぞれ \(n_1, n_2\) とします。
弦AB: $$f_1 = \frac{n_1}{2l_1}\sqrt{\frac{S}{\rho}} \quad \cdots ⑨$$
弦BC: $$f_2 = \frac{n_2}{2l_2}\sqrt{\frac{S}{4\rho}} = \frac{n_2}{2l_2} \frac{1}{2} \sqrt{\frac{S}{\rho}} \quad \cdots ⑩$$
問題の条件より \(f_1 = f_2 = f (=200 \text{ Hz})\) であり、\(n_1+n_2=5\) より \(n_2 = 5-n_1\)。
したがって、⑨式と⑩式より、
$$\frac{n_1}{2l_1}\sqrt{\frac{S}{\rho}} = \frac{5-n_1}{2l_2 \cdot 2} \sqrt{\frac{S}{\rho}} \quad \cdots ⑪$$
この式から \(n_1\) を求めます。

式⑪の両辺にある共通の因子 \(\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\) は0ではないので、これで両辺を割ることができます。
$$\frac{n_1}{l_1} = \frac{5-n_1}{2l_2}$$
与えられた数値 \(l_1 = 0.8 \text{ m}\), \(l_2 = 0.6 \text{ m}\) を代入します。
$$\frac{n_1}{0.8} = \frac{5-n_1}{2 \times 0.6}$$
$$\frac{n_1}{0.8} = \frac{5-n_1}{1.2}$$
両辺に \(0.8 \times 1.2\) を掛けて分母を払います。
$$1.2 n_1 = 0.8 (5-n_1)$$
展開します。
$$1.2 n_1 = 4.0 – 0.8 n_1$$
\(n_1\) の項を左辺にまとめます。
$$1.2 n_1 + 0.8 n_1 = 4.0$$
$$2.0 n_1 = 4.0$$
$$n_1 = 2$$
これは本解で得られた \(n_1\) の値と一致します。
腹の数 \(n_1=2\) が分かれば、弦ABの共振条件 \(l_1 = n_1 \displaystyle\frac{\lambda_1}{2}\) より、
$$0.8 \text{ [m]} = 2 \times \frac{\lambda_1}{2}$$
$$\lambda_1 = 0.8 \text{ [m]}$$
弦BCの腹の数は \(n_2 = 5-n_1 = 5-2=3\)。弦BCの共振条件 \(l_2 = n_2 \displaystyle\frac{\lambda_2}{2}\) より、
$$0.6 \text{ [m]} = 3 \times \frac{\lambda_2}{2}$$
$$\lambda_2 = \frac{0.6 \times 2}{3} = \frac{1.2}{3} = 0.4 \text{ [m]}$$
これも本解の結果と一致します。

別のアプローチとして、弦が決まった形で振動するときの「音の高さ（振動数）」を表す公式を使います。2本の弦は同じおんさで鳴らされているので、振動数は同じはずです。
この条件と、それぞれの弦の長さ、太さ（重さ）、腹の数の関係を公式に当てはめて方程式を立てます。
この方程式を解くことで、ABの弦には2つの腹、BCの弦には3つの腹ができることがわかります。
あとは、それぞれの弦の長さと腹の数から、波の長さを計算します。

別解によっても、弦ABの波長は \(0.8 \text{ m}\)、弦BCの波長は \(0.4 \text{ m}\) となり、本解と一致する結果が得られました。固有振動数の公式は導出過程を理解していれば強力なツールですが、本解のように基本法則から順を追って導くことも重要です。

問 (2)

思考の道筋とポイント
(1)で各弦の波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) が求まりました。
振動数 \(f\) はおんさの振動数で与えられており、\(f = 200 \text{ Hz}\) です。
波の基本式 \(v = f\lambda\) を用いて、各弦の波の速さ \(v_1, v_2\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 波の基本式 \(v=f\lambda\) を正しく適用すること。
• 振動数 \(f\) が共通であること、および(1)で求めた波長 \(\lambda_1, \lambda_2\) を用いること。

具体的な解説と立式
弦ABを伝わる波の速さを \(v_1\)、弦BCを伝わる波の速さを \(v_2\) とします。
振動数 \(f = 200 \text{ Hz}\)。
(1)より、弦ABの波長 \(\lambda_1 = 0.8 \text{ m}\)、弦BCの波長 \(\lambda_2 = 0.4 \text{ m}\)。
波の基本式より、
弦AB: $$v_1 = f \lambda_1 \quad \cdots ⑫$$
弦BC: $$v_2 = f \lambda_2 \quad \cdots ⑬$$

式⑫に値を代入します。
$$v_1 = 200 \text{ [Hz]} \times 0.8 \text{ [m]} = 160 \text{ [m/s]}$$
式⑬に値を代入します。
$$v_2 = 200 \text{ [Hz]} \times 0.4 \text{ [m]} = 80 \text{ [m/s]}$$

波の速さは、「1秒間の振動の回数（振動数）」に「1回の振動で進む長さ（波長）」を掛けることで求まります。
おんさの振動数は200Hz（1秒間に200回振動）と与えられています。
(1)で計算した弦ABの波長0.8m、弦BCの波長0.4mをそれぞれ使って、速さを計算します。

弦ABを伝わる波の速さ \(v_1\) は \(160 \text{ m/s}\)、弦BCを伝わる波の速さ \(v_2\) は \(80 \text{ m/s}\) です。
(1)の立式途中で \(v_2 = (1/2)v_1\) という関係がありましたが、\(80 \text{ m/s} = (1/2) \times 160 \text{ m/s}\) なので、この関係とも整合しています。

問 (3)

思考の道筋とポイント
(1)の計算過程で、弦ABの腹の数 \(n_1=2\) 個、弦BCの腹の数 \(n_2=3\) 個であることがわかりました。
点A（滑車）、点B（接続点）、点C（おんさの接続部）は定常波の節となります。
これらの情報に基づいて、弦AB間と弦BC間にそれぞれ指定された数の腹を持つ定常波の形を描きます。振幅の大きさは特に指定されていないので、適切に描けばよいでしょう。

この設問における重要なポイント

• 各弦の腹の数を正しく把握すること (\(n_1=2, n_2=3\))。
• 点A, B, Cが節となることを理解すること。
• 定常波の基本的な形（腹と節が交互に現れる）を描けること。

具体的な解説と立式
弦AB (\(l_1 = 0.8 \text{ m}\)) には腹が2個できます。これは、弦ABが2つのループからなる定常波を形成することを意味します。両端Aと中間点（Bの手前）に節があり、Bも節です。
弦BC (\(l_2 = 0.6 \text{ m}\)) には腹が3個できます。これは、弦BCが3つのループからなる定常波を形成することを意味します。Bが節であり、Cも節です。

作図の際は、

1. 水平線上に点A, B, Cを適切な間隔（\(l_1=0.8\text{m}, l_2=0.6\text{m}\)の比率を考慮）で配置します。
2. A, B, Cを節とします。
3. 弦AB間に2つの同じ大きさの腹を描きます。
4. 弦BC間に3つの同じ大きさの腹を描きます。

（一般に、弦\(L_1\)と弦\(L_2\)で振幅が同じになるとは限りませんが、概形として腹の数を正しく描けばよいでしょう。）

(1)で、弦ABには2つの「ふくらみ」（腹）が、弦BCには3つの「ふくらみ」（腹）ができることがわかりました。
点A（滑車のところ）、点B（つなぎ目）、点C（おんさのところ）は振動しない点（節）になります。
これを元に、弦ABの間には2つのふくらみを、弦BCの間には3つのふくらみを持つ波の形を描きます。

（模範解答の図を参照し、点A, B, Cを節とし、弦AB間に2個の腹、弦BC間に3個の腹を持つ定常波の概形を描いてください。各腹の大きさ（振幅）は適当で構いませんが、それぞれの弦の中では同じくらいの大きさで描くと自然です。）
この作図により、計算結果が視覚的に確認できます。

【コラム】Q. 次に、弦ABに直接おんさを右図のように縦にしてつなぎ、振動させると定常波ができた。その形を描け。また、AB間の腹の数を3個にするには、おもりの質量を何倍にすればよいか。

思考の道筋とポイント
このコラムの問題は、元の問題設定から少し変更が加えられています。

前半（定常波の形を描け）：

• おんさを弦ABに「縦にして」つなぐと、弦の振動数が、おんさの振動数 \(f\) の半分である \(f/2\) になるという知識がポイントです。これは、おんさが1回振動する間に弦が半周期だけ振動する（つまり、おんさが上下に動くたびに弦が引き上げられる、あるいは押し下げられるが、弦の1周期の振動はその倍の時間がかかる）という特殊な励振方法によるものです。
• 元の問題のおんさの振動数は \(f=200 \text{ Hz}\) だったので、この場合の弦の振動数は \(f’ = f/2 = 100 \text{ Hz}\) となります。
• 弦ABの物理的特性（線密度 \(\rho\)、張力 \(S\)）は元の問題と同じままと考えられるため、波の速さ \(v_1 = 160 \text{ m/s}\) も同じです。
• 振動数 \(f’\) と波の速さ \(v_1\) から、新しい波長 \(\lambda’_1 = v_1/f’\) を計算します。
• 弦ABの長さ \(l_1 = 0.8 \text{ m}\) に対して、共振条件 \(l_1 = n’_1 (\lambda’_1/2)\) から腹の数 \(n’_1\) を求め、定常波の形を描きます。

後半（腹の数を3個にするには）：

• 弦の振動数は \(f’ = f/2 = 100 \text{ Hz}\) で一定です。
• 腹の数を \(n”_1 = 3\) 個にしたい。弦ABの長さ \(l_1 = 0.8 \text{ m}\) も変わりません。
• この条件から、必要な波長 \(\lambda”_1\) を \(l_1 = n”_1 (\lambda”_1/2)\) より求めます。
• この波長 \(\lambda”_1\) を実現するために、波の速さ \(v”_1\) がいくらになればよいかを \(v”_1 = f’ \lambda”_1\) から計算します。
• 波の速さは \(v”_1 = \sqrt{S”/\rho}\) で決まります。線密度 \(\rho\) は弦\(L_1\)のものなので変わりません。張力 \(S”\) を変えることで \(v”_1\) を調整します。張力 \(S”\) はおもりの質量 \(m”\) によって \(S”=m”g\) と決まります。
• 元の張力 \(S_1 = m_1 g\) （\(m_1\) は元のおもりの質量）の何倍の張力 \(S”\) が必要か、つまり、おもりの質量を元の何倍にすればよいかを計算します。

この設問における重要なポイント

• おんさを縦にして弦を振動させると、弦の振動数は \(f_{\text{おんさ}}/2\) となること。
• 振動数が変わると、波の速さが同じなら波長が変わる。
• 腹の数を変える（つまり波長を変える）には、振動数が一定なら波の速さを変える必要がある。
• 波の速さを変えるには、張力（おもりの質量）を変える。\(v \propto \sqrt{S}\) なので \(v \propto \sqrt{m}\)。

具体的な解説と立式
定常波の形：
おんさの振動数を \(f = 200 \text{ Hz}\) とします。弦ABがおんさによって縦方向に振動させられるとき、弦の振動数は \(f’ = f/2 = 200/2 = 100 \text{ Hz}\) となります。
弦ABを伝わる波の速さ \(v_1\) は、元の問題と同じ条件（同じ弦\(L_1\)、同じおもりによる張力）と考えると \(v_1 = 160 \text{ m/s}\) です。
このときの波長 \(\lambda’_1\) は、
$$\lambda’_1 = \frac{v_1}{f’} \quad \cdots ⑭$$
弦ABの長さ \(l_1 = 0.8 \text{ m}\) における腹の数 \(n’_1\) は、共振条件 \(l_1 = n’_1 \displaystyle\frac{\lambda’_1}{2}\) より求めます。
$$l_1 = n’_1 \frac{\lambda’_1}{2} \quad \cdots ⑮$$

腹の数を3個にするためのおもりの質量：
弦の振動数は \(f’ = 100 \text{ Hz}\) で一定です。
腹の数を \(n”_1 = 3\) 個にしたい。弦ABの長さ \(l_1 = 0.8 \text{ m}\) は変わりません。
このときの波長 \(\lambda”_1\) は、共振条件 \(l_1 = n”_1 \displaystyle\frac{\lambda”_1}{2}\) より、
$$l_1 = n”_1 \frac{\lambda”_1}{2} \quad \cdots ⑯$$
この波長を実現するための波の速さ \(v”_1\) は、
$$v”_1 = f’ \lambda”_1 \quad \cdots ⑰$$
元の波の速さ \(v_1 = 160 \text{ m/s}\) であったときのおもりの質量を \(m_{\text{元}}\) とすると、\(v_1 = \sqrt{S_{\text{元}}/\rho} = \sqrt{m_{\text{元}}g/\rho}\)。
新しいおもりの質量を \(m_{\text{新}}\) とするときの張力を \(S_{\text{新}} = m_{\text{新}}g\)、波の速さを \(v”_1 = \sqrt{S_{\text{新}}/\rho} = \sqrt{m_{\text{新}}g/\rho}\)。
速さの比は、\(\displaystyle\frac{v”_1}{v_1} = \sqrt{\displaystyle\frac{m_{\text{新}}}{m_{\text{元}}}}\) となるので、おもりの質量の比は、
$$\frac{m_{\text{新}}}{m_{\text{元}}} = \left(\frac{v”_1}{v_1}\right)^2 \quad \cdots ⑱$$
この式を用いて質量比を求めます。

定常波の形（腹の数\(n’_1\)の導出）：
式⑭に \(v_1 = 160 \text{ m/s}\) と \(f’ = 100 \text{ Hz}\) を代入して \(\lambda’_1\) を求めます。
$$\lambda’_1 = \frac{160 \text{ [m/s]}}{100 \text{ [Hz]}} = 1.6 \text{ [m]}$$
これを式⑮に \(l_1 = 0.8 \text{ m}\) と共に代入して \(n’_1\) を求めます。
$$0.8 \text{ [m]} = n’_1 \frac{1.6 \text{ [m]}}{2}$$
$$0.8 = n’_1 \times 0.8$$
$$n’_1 = 1$$
作図： （模範解答の図Qの答え-7を参照し、両端A, Bを節とし、中間に1つの腹を持つ基本振動の形を描いてください。）

おもりの質量（\(m_{\text{新}}/m_{\text{元}}\)の導出）：
式⑯に \(l_1 = 0.8 \text{ m}\) と \(n”_1 = 3\) を代入して \(\lambda”_1\) を求めます。
$$0.8 \text{ [m]} = 3 \times \frac{\lambda”_1}{2}$$
$$\lambda”_1 = \frac{0.8 \times 2}{3} = \frac{1.6}{3} \text{ [m]}$$
これを式⑰に \(f’ = 100 \text{ Hz}\) と共に代入して \(v”_1\) を求めます。
$$v”_1 = 100 \text{ [Hz]} \times \frac{1.6}{3} \text{ [m]} = \frac{160}{3} \text{ [m/s]}$$
元の速さ \(v_1 = 160 \text{ m/s}\) との比を計算します。
$$\frac{v”_1}{v_1} = \frac{160/3 \text{ [m/s]}}{160 \text{ [m/s]}} = \frac{1}{3}$$
これを式⑱に代入しておもりの質量の比を求めます。
$$\frac{m_{\text{新}}}{m_{\text{元}}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$

定常波の形：
おんさを縦につなぐと、弦は「おんさの振動数の半分の振動数」で振動するという特別なルールがあります。元の振動数が200Hzだったので、弦は100Hzで振動します。
弦を伝わる波の速さは元のままなので、振動数が半分になると、波長は2倍になります。元の弦ABでの波長は0.8mだったので、新しい波長は1.6mです。
弦ABの長さは0.8mなので、この長さの中に半波長（1.6m / 2 = 0.8m）が1つだけ入ります。つまり、腹は1個です。これは弦が全体で1つのふくらみを持つ最もシンプルな振動（基本振動）です。

おもりの質量：
次に、腹の数を3個にしたいと考えます。弦の長さ0.8mは変わらず、振動数も100Hzのままです。
腹が3個ということは、半波長は 0.8m / 3 になる必要があります。つまり1波長は (0.8m / 3) × 2 = 1.6m / 3 です。
この波長と振動数100Hzから、必要な波の速さを計算すると、元の速さの \(1/3\) になることがわかります。
波の速さは、おもりの質量の平方根に比例します。速さを \(1/3\) にするためには、おもりの質量を \((1/3)^2 = 1/9\) 倍にすればよいのです。

弦ABに縦におんさをつないだ場合、定常波は腹が1つの基本振動となります。
その状態で腹の数を3個にするには、おもりの質量を元の \(1/9\) 倍にする必要があります。
「おんさを縦にすると振動数が半分になる」という点は特殊な知識ですが、それ以降の考え方は、振動数、波長、波の速さ、張力の関係を追う標準的なものです。質量を減らすと張力が減り、波の速さが遅くなり、振動数一定なら波長が短くなるため、同じ長さでもより多くの腹が形成できるという結果は物理的に整合しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• この問題を解く上で最も重要だったのは、弦を伝わる横波の速さの公式 \(v = \sqrt{S/\rho}\)、波の基本式 \(v=f\lambda\)、そして弦の共振（定常波）の条件 \(l=n(\lambda/2)\) の3つの基本的な物理法則の理解と適用です。
• 特に、複数の弦が連結されている状況では、以下の点が核心となります。
  • 張力の共通性: 1本につながった弦に働く張力は（質量を無視できる滑車や理想的な接続点では）共通である。
  • 振動数の共通性: 外部から強制的に振動させられる場合（本問ではおんさ）、連結された各部分の弦は同じ振動数で振動する。また、波がある媒質から別の媒質へ透過する際も振動数は変化しないという普遍的な性質も背景にあります。
• これらの共通の物理量と、各弦に固有の物理量（線密度、波長、波の速さ、腹の数）を関連付けて方程式を立てる能力が求められました。
• 別解で用いられた弦の固有振動数の公式 \(f = \displaystyle\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\) は、上記3つの基本法則を組み合わせることで導出されるものであり、これらを統合的に理解していることを示します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 線密度や張力が異なる複数の部分からなる弦の振動問題。
  • 一端が固定され他端が自由端、あるいは両端が自由端といった、異なる境界条件を持つ弦や気柱の共振問題（境界条件の違いに応じて共振条件の式が変わる点に注意）。
  • 波の反射や透過が関わる問題で、接続点での条件（変位や力の連続性など）を考える必要があるより高度な問題への布石となります（本問ではB点が節という簡略化された条件）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 共通の物理量は何か？: 張力、振動数など、系全体または複数の部分で共通な量を見つけ出す。
  2. 各部分に固有の物理量は何か？: 線密度、長さ、波の速さ、波長、腹の数など。
  3. 境界条件・接続条件は何か？: 固定端、自由端、節、腹、あるいは本問のような全体の腹の数など、与えられた条件を正確に把握する。
  4. 基本法則の適用: \(v=\sqrt{S/\rho}\), \(v=f\lambda\), \(l=n(\lambda/2)\) を各部分について立式し、共通量と固有量を結びつける。
  5. 連立方程式の処理: 未知数を特定し、適切な代入や消去によって解を求める。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 図を丁寧に描き、与えられた情報（長さ、腹の数、節の位置など）を図中に書き込むことで、状況を視覚的に整理する。
  • 未知数を適切に設定し、それらの関係式を立てる。文字が多くなっても焦らず、一つ一つの式の意味を確認しながら進める。
  • 計算ミス、特に分数の扱いや平方根の処理、連立方程式の解法でのミスに注意する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 張力や振動数が各弦で異なると誤解する:
  • 現象: 連結されているにもかかわらず、各部分で張力や振動数が独立に決まると考えてしまう。
  • 対策: 「一本の弦はどこでも張力が等しい（軽い弦の場合）」「外部振動源に強制されていれば振動数は共通」という基本原則を再確認する。
• 波の速さと波長の関係の混同:
  • 現象: 線密度が異なれば波の速さが異なるが、その結果として振動数一定なら波長がどう変わるか（\(v\) が大きければ \(\lambda\) も大きい）を正しく結びつけられない。
  • 対策: 常に \(v=f\lambda\) の関係に立ち返り、何が一定で何が変化するかを明確にする。
• 腹の数の配分ミス:
  • 現象: 全体の腹の数を、各弦の長さに単純比例させてしまうなど、物理的根拠なく配分する。
  • 対策: 各弦の波長が異なるため、単純な長さ比例にはならないことを理解する。共振条件と波長の関係から論理的に導く。
• 接続点Bが節であることの条件を見落とす、または誤解する:
  • 現象: この条件を使わずに立式してしまう、あるいは腹だと誤解する。
  • 対策: 問題文の条件を注意深く読み取り、それが数式にどう反映されるかを考える。Bが節であるからこそ、AB間とBC間がそれぞれ独立した共振系として扱える。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 線密度の異なる2つの弦がB点でつながっており、それぞれ異なる波長で振動しているが、B点では節として動きが固定されている、というイメージを持つ。
  • 弦ABには \(n_1\) 個の腹、弦BCには \(n_2\) 個の腹があり、\(n_1+n_2=5\) である。この腹の様子を、A, B, Cを節として図示することで、各弦の長さと半波長の整数倍の関係が視覚的に理解しやすくなる。
  • 特に(3)の作図問題では、\(n_1=2, n_2=3\) という結果に基づいて、AB間に2つのループ、BC間に3つのループを持つ定常波を描く。波長の異なる波がB点で滑らかにつながる（実際には位相の議論など複雑だが高校範囲では節として扱う）イメージ。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • A, B, Cの各点が節であることを明確に示す。
  • 各弦の腹の数を正確に反映させる。
  • 弦\(L_1\)と\(L_2\)では波長が異なるため、1つの腹の「横幅」（半波長）が異なるように描く（\(L_1\)の方が波長が長いので、腹も横に長い）。
  • 振幅については特に指定がないので、概形が分かればよいが、各弦内で腹の高さが揃っているように描くと自然。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• なぜその公式を選び、適用できると判断したのか、その根拠を明確にする訓練の重要性:
  • \(v=\sqrt{S/\rho}\): 弦の材質（線密度）と張り具合（張力）で決まる波の速さを求めるため。適用根拠は、微小部分の運動方程式から導かれる弦の横波の一般式。
  • \(v=f\lambda\): 波の基本的な性質（速さ、振動数、波長の関係）を表すため。適用根拠は、波の定義そのもの。
  • \(l=n(\lambda/2)\): 弦が共振して定常波を形成しているという条件を表すため。適用根拠は、両端（または固定点）が節となる定常波の幾何学的条件。
  • 別解の\(f = \displaystyle\frac{n}{2l}\sqrt{\frac{S}{\rho}}\): 特定の境界条件（両端固定など）での弦の固有振動数を直接求めるため。適用根拠は上記3つの基本式を組み合わせ、特定の \(l, n\) における \(f\) を表現したもの。
• 「なぜこの公式が使えるのか？」を常に自問することで、公式の適用範囲や限界を理解し、誤用を防ぐ。特に複数の物理量が絡み合う問題では、各公式がどのような状況で何を結びつけているのかを意識することが重要。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

• この問題の解答に至る思考プロセスは、以下のように整理できます。
  1. 前提条件の確認: 張力共通、振動数共通、B点が節、全体の腹の数。
  2. 物理量の関係性の導出:
     • 線密度の比から、速さの比を導出 (\(v_2 = v_1/2\))。
     • 振動数共通なので、波長の比を導出 (\(\lambda_2 = \lambda_1/2\))。
  3. 未知数の設定: 弦ABの腹の数を \(n_1\)、弦BCの腹の数を \(n_2=5-n_1\) とおく。
  4. 各部分での法則適用（立式）:
     • 弦ABの共振条件: \(l_1 = n_1 (\lambda_1/2)\)
     • 弦BCの共振条件: \(l_2 = n_2 (\lambda_2/2)\)
  5. 連立方程式の構築と求解: 上記の式に波長比、腹の数関係、与えられた弦長を代入し、\(n_1\) を求め、それを使って \(\lambda_1, \lambda_2\) を求める。
  6. 最終的な物理量の計算: 求めた波長と与えられた振動数から、速さ \(v_1, v_2\) を計算する。
• この一連の流れを意識し、どの段階でどの情報と法則を使うかを明確にしながら解き進めることが、複雑な問題に対処する上での鍵となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で、ミスを防ぐために特に注意すべき点はどこだったか:
  • 連立方程式の処理: 特に本解で \(n_1\) を求める際、\(\lambda_1\) を消去して \(n_1\) の一次方程式に帰着させる過程。分数が絡むため、通分や移項で符号ミスをしないように注意が必要。
    （例: \(0.6 = (5-n_1) \displaystyle\frac{0.4}{n_1}\) の変形）
  • 数値代入のタイミングと正確性: \(l_1=0.8, l_2=0.6\) などの数値を代入する際に間違えないこと。
  • 平方根や比の扱い: 速さの比を出す際の \(\sqrt{1/4}=1/2\) の計算など。
• 日頃からどのような意識で計算練習に取り組むべきか:
  • 文字式のまま計算を進める練習: 数値を最初から代入するのではなく、できるだけ文字式のまま関係を整理し、最後に数値を代入する方が、見通しが良くなり、検算もしやすくなることが多いです。
  • 途中式を丁寧に書く: 特に複雑な連立方程式や分数計算では、各ステップを省略せずに書くことで、計算ミスを発見しやすくなります。
  • 検算の習慣: 求めた値（例: \(n_1, \lambda_1, \lambda_2\)）を元の条件式に代入してみて、矛盾が生じないか確認する。
  • 単位の一貫性: 本問では長さがmで与えられていたため大きな問題にはなりませんでしたが、常に単位に注意し、必要なら換算する意識を持つこと。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 腹の数 \(n_1=2, n_2=3\): これらは正の整数であり、合計も5なので、物理的に意味のある値です。もし小数や負の数が出たら計算ミスを疑います。
  • 波長 \(\lambda_1=0.8\text{ m}, \lambda_2=0.4\text{ m}\):
    • \(l_1=0.8\text{ m}\) で \(n_1=2\) なので、\(0.8 = 2 \times (\lambda_1/2)\) となり、このことから \(\lambda_1=0.8\text{ m}\) です。これは理にかなっています。
    • \(l_2=0.6\text{ m}\) で \(n_2=3\) なので、\(0.6 = 3 \times (\lambda_2/2)\) となり、このことから \(\lambda_2=0.4\text{ m}\) です。これは理にかなっています。
    • また、\(\lambda_2 = (1/2)\lambda_1\) の関係も \(0.4 = (1/2) \times 0.8\) で満たされています。
  • 速さ \(v_1=160\text{ m/s}, v_2=80\text{ m/s}\):
    • 弦を伝わる波の速さとして現実的なオーダーです。
    • \(v_2 = (1/2)v_1\) の関係も \(80 = (1/2) \times 160\) で満たされています。線密度の重い弦の方が波の速さが遅いという物理的直感とも一致します。
  • Qの答え: おんさを縦にすると振動数が半減し波長が倍増、結果として腹が1つになるのは、波長と弦長の関係から妥当。腹を3倍にするために波長を1/3倍、速さを1/3倍にする必要があり、質量を1/9倍にするという結果も、\(v \propto \sqrt{m}\) から \(m \propto v^2\) という関係と整合します。
• 「解の吟味」は、単なる計算チェックにとどまらず、物理法則の理解を深め、問題設定の妥当性や結果の物理的意味を考察する良い機会となります。

問題66 (横浜国大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、気柱の共鳴に関するもので、前半は閉管、後半は開管の条件で考察します。長さの異なる複数の管を使い、音源の振動数を変化させたときに、どの管がどのような順序で、またどのような振動数で共鳴するかを問われています。開口端補正は無視できるものとします。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは気柱の共鳴です。気柱の共鳴は、管の内部で音波が反射を繰り返し、特定の振動数（固有振動数）で定常波が形成される現象です。このとき、音は大きく聞こえます。
気柱の共鳴には、管の端の状態によって閉管と開管の2つの基本的なタイプがあり、それぞれ共鳴条件（波長と管の長さの関係）が異なります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 定常波: 気柱内で入射波と反射波が干渉し、波形が進行せずにその場で振動するように見える波。定常波には、全く振動しない点である節と、最も大きく振動する点である腹が存在します。
2. 閉管の共鳴条件: 一端が閉じ（節）、他端が開いている（腹）管の場合。管の長さ \(L\) が、波長 \(\lambda\) の \(1/4\) の奇数倍になると共鳴します。つまり、\(L = (2m-1)\displaystyle\frac{\lambda}{4}\) (ここで \(m=1, 2, 3, \dots\) で、\(m=1\) が基本振動、\(m=2\) が3倍振動、\(m=3\) が5倍振動に対応します)。別の表現では、\(L = N \displaystyle\frac{\lambda}{4}\) で \(N=1, 3, 5, \dots\) とも書けます。このとき、固有振動数は基本振動数の奇数倍になります。
3. 開管の共鳴条件: 両端が開いている（腹）管の場合。管の長さ \(L\) が、半波長 \(\lambda/2\) の整数倍になると共鳴します。つまり、\(L = m \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) (ここで \(m=1, 2, 3, \dots\) で、\(m=1\) が基本振動、\(m=2\) が2倍振動、\(m=3\) が3倍振動に対応します)。このとき、固有振動数は基本振動数の整数倍になります。
4. 波の基本式: 音速 \(V\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には \(V = f\lambda\) の関係があります。

これらの法則を各管の条件に適用し、共鳴振動数を求めて比較していきます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. 閉管の共鳴 (問1, 2):
   • 各管について、基本振動の共鳴条件（\(L=\lambda/4\)）から基本振動数 \(f_1\) を求める。
   • 閉管の固有振動数は基本振動数の奇数倍 (\(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots\)) であることを利用し、各管の共鳴振動数を列挙する。
   • (1) A管について、指定された共鳴振動数を具体的に計算する。
   • (2) 全ての管の共鳴振動数を小さい順に並べ、共鳴する管の順序を決定する。同時共鳴にも注意する。
2. 開管の共鳴 (問3, 4):
   • 各管について、基本振動の共鳴条件（\(L=\lambda/2\)）から基本振動数 \(f’_1\) を求める。
   • 開管の固有振動数は基本振動数の整数倍 (\(f’_1, 2f’_1, 3f’_1, \dots\)) であることを利用し、各管の共鳴振動数を列挙する。
   • (3) D管の3度目の共鳴振動数を特定し、それが全体の共鳴順序で何番目になるかを、全ての管の共鳴振動数を小さい順に並べて確認する。
   • (4) 4本の管すべてが同時に共鳴する振動数を探す。これは、各管の固有振動数列に共通して現れる最小の値を求めることに相当する（最小公倍数的な考え方）。

各ステップで、計算ミスを防ぎ、条件を正確に適用することが重要です。

問 (1)

思考の道筋とポイント
A管は長さ \(l\) の閉管です。閉管の共鳴では、管の開口端が腹、閉端が節となる定常波が生じます。

• はじめての共鳴（基本振動）: このとき、管の長さ \(l\) は \(1/4\) 波長に等しくなります。つまり \(l = \lambda_1/4\)。この波長 \(\lambda_1\) と音速 \(V\) から、基本振動数 \(f_1 = V/\lambda_1\) を求めます。
• 2度目の共鳴（3倍振動）: 次に共鳴するのは、管の長さ \(l\) が \(3/4\) 波長に等しくなるときです。つまり \(l = 3\lambda_2/4\)。この波長 \(\lambda_2\) と音速 \(V\) から、振動数 \(f_2 = V/\lambda_2\) を求めます。これは基本振動数の3倍になるはずです。

この設問における重要なポイント

• 閉管の開口端は腹、閉端は節。
• 基本振動では、管長 \(L = \lambda/4\)。
• 次の共鳴（3倍振動）では、管長 \(L = 3\lambda/4\)。
• 閉管の固有振動数は、基本振動数の奇数倍 (\(1f_1, 3f_1, 5f_1, \ldots\))。

具体的な解説と立式
A管の長さを \(L_A = l\) とします。

はじめて共鳴するとき（基本振動）:
このとき、管内には節が1つ（閉端）、腹が1つ（開口端）の最も単純な定常波ができます。節と腹の間の距離は \(\lambda/4\) なので、共鳴条件は、
$$L_A = \frac{\lambda_{\text{A1}}}{4} \quad \cdots ①$$
ここで \(\lambda_{\text{A1}}\) ははじめて共鳴するときの波長です。
このときの振動数を \(f_{\text{A1}}\) とすると、波の基本式 \(V = f_{\text{A1}}\lambda_{\text{A1}}\) より、
$$f_{\text{A1}} = \frac{V}{\lambda_{\text{A1}}} \quad \cdots ②$$

2度目に共鳴するとき（3倍振動）:
次に共鳴するのは、管内にもう1つ節と腹のペアが増え、管の長さが \(1/4\) 波長の3倍に等しくなるときです。定常波の形は、閉端から順に節、腹、節、腹となります。
このときの波長を \(\lambda_{\text{A2}}\) とすると、共鳴条件は、
$$L_A = 3 \cdot \frac{\lambda_{\text{A2}}}{4} \quad \cdots ③$$このときの振動数を \(f_{\text{A2}}\) とすると、波の基本式 \(V = f_{\text{A2}}\lambda_{\text{A2}}\) より、
$$f_{\text{A2}} = \frac{V}{\lambda_{\text{A2}}} \quad \cdots ④$$

はじめて共鳴するときの振動数 \(f_{\text{A1}}\):
式①に \(L_A = l\) を代入します。
$$l = \frac{\lambda_{\text{A1}}}{4}$$
これを \(\lambda_{\text{A1}}\) について解きます。
$$\lambda_{\text{A1}} = 4l$$
この結果を式②に代入します。
$$f_{\text{A1}} = \frac{V}{4l}$$

2度目に共鳴するときの振動数 \(f_{\text{A2}}\):
式③に \(L_A = l\) を代入します。
$$l = 3 \frac{\lambda_{\text{A2}}}{4}$$
これを \(\lambda_{\text{A2}}\) について解きます。
$$\lambda_{\text{A2}} = \frac{4l}{3}$$
この結果を式④に代入します。
$$f_{\text{A2}} = \frac{V}{(\frac{4l}{3})} = \frac{3V}{4l}$$

はじめての共鳴: 閉管A（長さ\(l\)）が初めて共鳴するとき、管の開いている口が振動の「腹」、閉じている底が振動の「節」になります。このとき、管の長さはちょうど波の長さの \(1/4\) にあたります。ここから波の長さを求め、音の速さを波の長さで割ることで振動数が求まります。
2度目の共鳴: 次にA管が共鳴するのは、管の中に「節-腹」のペアがもう一つ増えたときです。このとき、管の長さは波の長さの \(3/4\) にあたります（最初の \(1/4\) と、追加の \(2/4=\text{半波長}\)）。同様に波の長さを求め、振動数を計算します。この振動数は、最初の共鳴のときの振動数のちょうど3倍になります。

A管がはじめて共鳴するときの振動数は \(\displaystyle\frac{V}{4l}\) です。
A管が2度目に共鳴するときの振動数は \(\displaystyle\frac{3V}{4l}\) です。
これらの結果は、閉管の固有振動数が基本振動数の奇数倍（1倍、3倍、5倍…）となるという一般的な性質と一致しています。

問 (2)

思考の道筋とポイント
各閉管（A, B, C, D）の基本振動数をまず求めます。閉管の基本振動数は \(f_1 = V/(4L)\) （\(L\) は管の長さ）で与えられます。
A管: \(L_A = l\) なので、\(f_{\text{A,基本}} = V/(4l)\)。
B管: \(L_B = 2l\) なので、\(f_{\text{B,基本}} = V/(4 \cdot 2l) = V/(8l)\)。
C管: \(L_C = 3l\) なので、\(f_{\text{C,基本}} = V/(4 \cdot 3l) = V/(12l)\)。
D管: \(L_D = 4l\) なので、\(f_{\text{D,基本}} = V/(4 \cdot 4l) = V/(16l)\)。

閉管の共鳴振動数は、これらの基本振動数の奇数倍（1倍、3倍、5倍、…）となります。
各管について、これらの共鳴振動数を小さいものから順にリストアップし、全体として振動数の小さい順に並べ替えます。その際に、同じ振動数が複数の管で現れる場合は、それらが同時に共鳴することになります。

この設問における重要なポイント

• 各閉管の長さに応じた基本振動数を正確に計算すること。
• 閉管の共鳴振動数は、その管の基本振動数の奇数倍（\(1, 3, 5, \dots\)倍）であることを利用する。
• すべての管の共鳴振動数をリストアップし、共通の単位（例えば \(V/l\) や \(V/(16l)\) など）で比較して小さい順に並べる。
• 同じ振動数値を持つ管があれば、それらは同時に共鳴する。

具体的な解説と立式
各管の基本振動数およびその奇数倍の共鳴振動数をリストアップします。
A管 (\(L_A=l\)): 共鳴振動数は \(f_A = \displaystyle\frac{(2n_A-1)V}{4l}\) (\(n_A=1, 2, 3, \dots\))
具体的には、\(\displaystyle\frac{V}{4l}, \frac{3V}{4l}, \frac{5V}{4l}, \dots\)
B管 (\(L_B=2l\)): 共鳴振動数は \(f_B = \displaystyle\frac{(2n_B-1)V}{4(2l)} = \frac{(2n_B-1)V}{8l}\) (\(n_B=1, 2, 3, \dots\))
具体的には、\(\displaystyle\frac{V}{8l}, \frac{3V}{8l}, \frac{5V}{8l}, \dots\)
C管 (\(L_C=3l\)): 共鳴振動数は \(f_C = \displaystyle\frac{(2n_C-1)V}{4(3l)} = \frac{(2n_C-1)V}{12l}\) (\(n_C=1, 2, 3, \dots\))
具体的には、\(\displaystyle\frac{V}{12l}, \frac{3V}{12l}, \frac{5V}{12l}, \dots\)
D管 (\(L_D=4l\)): 共鳴振動数は \(f_D = \displaystyle\frac{(2n_D-1)V}{4(4l)} = \frac{(2n_D-1)V}{16l}\) (\(n_D=1, 2, 3, \dots\))
具体的には、\(\displaystyle\frac{V}{16l}, \frac{3V}{16l}, \frac{5V}{16l}, \dots\)
これらの振動数を \(V/l\) の係数として整理し、小さい順に並べます。
A: \(\displaystyle\frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \dots\) (係数: \(0.25, 0.75, 1.25, \dots\))
B: \(\displaystyle\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \dots\) (係数: \(0.125, 0.375, 0.625, \dots\))
C: \(\displaystyle\frac{1}{12}, \frac{3}{12}(=\frac{1}{4}), \frac{5}{12}, \dots\) (係数: \(\approx 0.0833, 0.25, \approx 0.4167, \dots\))
D: \(\displaystyle\frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \dots\) (係数: \(0.0625, 0.1875, 0.3125, \dots\))

上記でリストアップした各管の共鳴振動数（\(V/l\) の係数）を小さい順に並べます。

1. 係数 \(1/16 = 0.0625\) （D管の1倍振動）。このときの振動数は \(\displaystyle\frac{V}{16l}\)。
2. 係数 \(1/12 \approx 0.0833\) （C管の1倍振動）。このときの振動数は \(\displaystyle\frac{V}{12l}\)。
3. 係数 \(1/8 = 0.125\) （B管の1倍振動）。このときの振動数は \(\displaystyle\frac{V}{8l}\)。
4. 係数 \(3/16 = 0.1875\) （D管の3倍振動）。このときの振動数は \(\displaystyle\frac{3V}{16l}\)。
5. 係数 \(1/4 = 0.25\) （A管の1倍振動、およびC管の3倍振動）。このときの振動数は \(\displaystyle\frac{V}{4l}\)。

したがって、共鳴する管の順序は、振動数の小さい方から、
1番目: D
2番目: C
3番目: B
4番目: D
5番目: AとCが同時に共鳴するので (AC)
となります。

まず、それぞれの管が一番低い音（基本振動）で共鳴するときの振動数を計算します。管が長いほど低い音になるので、D管が一番低い基本振動数、A管が一番高い基本振動数になります。
次に、閉管は「基本振動数の奇数倍（1倍、3倍、5倍…）」の振動数でも共鳴するというルールを使います。
各管について、1倍、3倍、5倍…の共鳴振動数を書き出していきます。
そして、これらの振動数を全部まとめて、小さいものから順番に並べていきます。5番目まで見て、どの管が共鳴するかを特定します。もし同じ振動数で複数の管が共鳴する場合は、それらをまとめて括弧で示します。

共鳴する管の順序（1番から5番目まで）は、D, C, B, D, (AC) です。
この結果は、各管の長さと閉管の共鳴条件から導かれる固有振動数を比較することで得られました。特に5番目ではA管の基本振動とC管の3倍振動が同じ振動数 \((V/4l)\) となるため同時に共鳴します。

問 (3)

思考の道筋とポイント
全ての管を開管として扱います。開管の共鳴では、管の両端が腹となる定常波が生じます。

• 開管の基本振動: 管の長さ \(L\) が \(1/2\) 波長に等しくなります。つまり \(L = \lambda_1/2\)。基本振動数は \(f_1 = V/\lambda_1 = V/(2L)\)。
• 開管の固有振動数: 基本振動数の整数倍 (\(1f_1, 2f_1, 3f_1, \dots\)) となります。

まず、D管（長さ \(4l\)）が開管として3度目に共鳴するときの振動数を求めます。
D管の基本振動数は \(f_{\text{D,基本}} = V/(2 \cdot 4l) = V/(8l)\)。
3度目の共鳴は3倍振動なので、その振動数は \(3 \times f_{\text{D,基本}} = 3V/(8l)\)。

次に、この振動数が、全ての開管（A, B, C, D）の共鳴振動数を小さい順に並べたときに、全体で何番目になるかを調べます。
そのためには、各開管の共鳴振動数をリストアップし、比較する必要があります。
A管 (\(l\)): 基本 \(V/(2l)\)。共鳴: \(V/(2l), 2V/(2l), 3V/(2l), \dots\)
B管 (\(2l\)): 基本 \(V/(4l)\)。共鳴: \(V/(4l), 2V/(4l), 3V/(4l), \dots\)
C管 (\(3l\)): 基本 \(V/(6l)\)。共鳴: \(V/(6l), 2V/(6l), 3V/(6l), \dots\)
D管 (\(4l\)): 基本 \(V/(8l)\)。共鳴: \(V/(8l), 2V/(8l), 3V/(8l), \dots\)

これらの振動数を \(V/l\) の係数で比較し、小さい順に並べて、\(3V/(8l)\) の位置を確認します。

この設問における重要なポイント

• 開管の両端は腹。
• 開管の基本振動では、管長 \(L = \lambda/2\)。
• 開管の固有振動数は、その管の基本振動数の整数倍（\(1, 2, 3, \dots\)倍）。
• 各管の共鳴振動数をリストアップし、全体で小さい順に並べて順位を特定する。

具体的な解説と立式
D管の長さは \(L_D = 4l\)。開管としてのD管の基本振動数を \(f_{\text{D1}}\) とすると、
$$L_D = \frac{\lambda_{\text{D1}}}{2}$$
これから \(\lambda_{\text{D1}}\) を求め、\(f_{\text{D1}} = V/\lambda_{\text{D1}}\) を計算します。
D管が3度目に共鳴するのは3倍振動のときなので、その振動数 \(f_{\text{D3}}\) は、
$$f_{\text{D3}} = 3 f_{\text{D1}} \quad \cdots ⑤$$
これがD管の3度目の共鳴振動数です。

次に、この振動数が全体で何番目かを調べるために、各管の共鳴振動数を \(V/l\) の係数としてリストアップし比較します。
A管 (\(L_A=l\)): \(f_A = \displaystyle\frac{n_A V}{2l}\) (係数 \(\displaystyle\frac{n_A}{2}\))
B管 (\(L_B=2l\)): \(f_B = \displaystyle\frac{n_B V}{4l}\) (係数 \(\displaystyle\frac{n_B}{4}\))
C管 (\(L_C=3l\)): \(f_C = \displaystyle\frac{n_C V}{6l}\) (係数 \(\displaystyle\frac{n_C}{6}\))
D管 (\(L_D=4l\)): \(f_D = \displaystyle\frac{n_D V}{8l}\) (係数 \(\displaystyle\frac{n_D}{8}\))
ここで \(n_A, n_B, n_C, n_D\) はそれぞれ \(1, 2, 3, \dots\) です。

D管の基本振動数 \(f_{\text{D1}}\) の計算:
まず、共鳴条件 \(L_D = \lambda_{\text{D1}}/2\) に \(L_D = 4l\) を代入すると、
$$4l = \frac{\lambda_{\text{D1}}}{2}$$
波長 \(\lambda_{\text{D1}}\) について解くと、
$$\lambda_{\text{D1}} = 8l$$
基本振動数 \(f_{\text{D1}}\) は \(V = f_{\text{D1}}\lambda_{\text{D1}}\) より、
$$f_{\text{D1}} = \frac{V}{\lambda_{\text{D1}}} = \frac{V}{8l}$$
D管の3度目の共鳴振動数 \(f_{\text{D3}}\) は式⑤より、
$$f_{\text{D3}} = 3 f_{\text{D1}} = 3 \cdot \frac{V}{8l} = \frac{3V}{8l}$$

全体の共鳴振動数を \(V/l\) の係数が小さい順に並べます。
A: 係数 \(\displaystyle\frac{1}{2}, \frac{2}{2}(=1), \frac{3}{2}, \dots\) (数値: \(0.5, 1.0, 1.5, \dots\))
B: 係数 \(\displaystyle\frac{1}{4}, \frac{2}{4}(=\frac{1}{2}), \frac{3}{4}, \dots\) (数値: \(0.25, 0.5, 0.75, \dots\))
C: 係数 \(\displaystyle\frac{1}{6}, \frac{2}{6}(=\frac{1}{3}), \frac{3}{6}(=\frac{1}{2}), \dots\) (数値: \(\approx 0.1667, \approx 0.3333, 0.5, \dots\))
D: 係数 \(\displaystyle\frac{1}{8}, \frac{2}{8}(=\frac{1}{4}), \frac{3}{8}, \dots\) (数値: \(0.125, 0.25, 0.375, \dots\))

これらを小さい順に並べると、

1. 係数 \(1/8 = 0.125\) （D管の1倍振動）
2. 係数 \(1/6 \approx 0.1667\) （C管の1倍振動）
3. 係数 \(1/4 = 0.25\) （B管の1倍振動、D管の2倍振動が同時）
4. 係数 \(1/3 \approx 0.3333\) （C管の2倍振動）
5. 係数 \(3/8 = 0.375\) （D管の3倍振動）

したがって、D管が3度目に共鳴するのは、全体で5番目です。

まず、D管（長さ\(4l\)）が開いた管として3回目に共鳴するときの振動数を計算します。開いた管では、基本の振動数の整数倍（1倍、2倍、3倍…）で共鳴します。D管の基本振動数は \(V/(8l)\) なので、3回目の共鳴はその3倍の \(3V/(8l)\) です。
次に、この \(3V/(8l)\) という振動数が、A, B, C, Dすべての管が起こす可能性のある共鳴の中で、小さい方から数えて何番目に来るかを調べます。そのためには、各管の共鳴振動数（基本振動数の1倍、2倍、3倍…）を書き出し、それらを全部混ぜて小さい順に並べ替えます。

D管が3度目に共鳴するのは、全体で5番目です。そのときの共鳴振動数は \(\displaystyle\frac{3V}{8l}\) です。
各管の固有振動数を正しく計算し、それらを比較することで順序を決定できました。同時共鳴の可能性も考慮に入れています（この場合は3番目の \(V/4l\) がB管1倍とD管2倍で同時）。

問 (4)

思考の道筋とポイント
4本の開管A, B, C, Dが同時に共鳴するということは、ある振動数 \(f_{\text{共通}}\) が、それぞれの管の固有振動数列の中に存在することを意味します。求めるのは、そのような \(f_{\text{共通}}\) の中で最小のものです。
各管の固有振動数は、その管の基本振動数の整数倍です。
A管(\(l\)): \(f_A = n_A \displaystyle\frac{V}{2l}\) (\(n_A=1, 2, 3, \dots\))
B管(\(2l\)): \(f_B = n_B \displaystyle\frac{V}{4l}\) (\(n_B=1, 2, 3, \dots\))
C管(\(3l\)): \(f_C = n_C \displaystyle\frac{V}{6l}\) (\(n_C=1, 2, 3, \dots\))
D管(\(4l\)): \(f_D = n_D \displaystyle\frac{V}{8l}\) (\(n_D=1, 2, 3, \dots\))
ここで \(n_A, n_B, n_C, n_D\) は各管の振動モードの次数（何倍振動か）を表す自然数です。
これらの振動数 \(f_A, f_B, f_C, f_D\) がすべて等しくなる条件 \(f_{\text{共通}}\) を見つけます。
$$f_{\text{共通}} = n_A \frac{V}{2l} = n_B \frac{V}{4l} = n_C \frac{V}{6l} = n_D \frac{V}{8l}$$この式から \(V/l\) を消去すると、整数の係数の比が得られます。
$$\frac{n_A}{2} = \frac{n_B}{4} = \frac{n_C}{6} = \frac{n_D}{8}$$
この等式が成り立つ最小の自然数の組 \((n_A, n_B, n_C, n_D)\) を見つけ、そのときの \(f_{\text{共通}}\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 各開管の固有振動数が、それぞれの基本振動数の整数倍であることを理解している。
• 「同時に共鳴する」とは、ある振動数が全ての管の固有振動数の中に共通して存在すること。
• 求めるのはその中で「最小の」振動数であるため、各管の振動モードの次数 \((n_A, n_B, n_C, n_D)\) が最小の自然数の組となる場合を探す。

具体的な解説と立式
4本の管が同時に共鳴する振動数を \(f_{\text{同時}}\) とします。
このとき、各管の振動モードの次数をそれぞれ \(n_A, n_B, n_C, n_D\)（これらは自然数）とすると、以下の等式が成り立ちます。
$$f_{\text{同時}} = n_A \frac{V}{2l} \quad \cdots ⑥$$
$$f_{\text{同時}} = n_B \frac{V}{4l} \quad \cdots ⑦$$
$$f_{\text{同時}} = n_C \frac{V}{6l} \quad \cdots ⑧$$
$$f_{\text{同時}} = n_D \frac{V}{8l} \quad \cdots ⑨$$
これらの式から、\(n_A, n_B, n_C, n_D\) の間の関係を求めます。
$$\frac{n_A V}{2l} = \frac{n_B V}{4l} = \frac{n_C V}{6l} = \frac{n_D V}{8l}$$
共通因子 \(V/l\) で割ると（\(V/l \neq 0\)）、
$$\frac{n_A}{2} = \frac{n_B}{4} = \frac{n_C}{6} = \frac{n_D}{8}$$
この比が成り立つ最小の自然数の組 \((n_A, n_B, n_C, n_D)\) を見つけます。

上記「具体的な解説と立式」で得られた関係式は、
$$\frac{n_A}{2} = \frac{n_B}{4} = \frac{n_C}{6} = \frac{n_D}{8}$$
この比を最も簡単な整数の比にするために、各項の分母を2で割ることができます。
$$\frac{n_A}{1} = \frac{n_B}{2} = \frac{n_C}{3} = \frac{n_D}{4}$$
この共通の値を \(k’\) とおきます。\(n_A, n_B, n_C, n_D\) は自然数なので、\(k’\) も自然数である必要があります（なぜなら \(n_A=k’\) だから）。
よって、
\(n_A = k’\)
\(n_B = 2k’\)
\(n_C = 3k’\)
\(n_D = 4k’\)
これらの次数が最小の自然数となるのは、\(k’=1\) のときです。
このとき、\(n_A=1, n_B=2, n_C=3, n_D=4\)。
このときの共通の振動数 \(f_{\text{同時}}\) は、例えばA管の式⑥に \(n_A=1\) を代入して、
$$f_{\text{同時}} = 1 \cdot \frac{V}{2l} = \frac{V}{2l}$$
この振動数が他の管でも成り立つか確認します。
B管: 次数 \(n_B=2\) のとき、\(f_B = 2 \cdot \displaystyle\frac{V}{4l} = \frac{V}{2l}\)。一致します。
C管: 次数 \(n_C=3\) のとき、\(f_C = 3 \cdot \displaystyle\frac{V}{6l} = \frac{V}{2l}\)。一致します。
D管: 次数 \(n_D=4\) のとき、\(f_D = 4 \cdot \displaystyle\frac{V}{8l} = \frac{V}{2l}\)。一致します。
したがって、4本の管が同時に共鳴する最小の振動数は \(\displaystyle\frac{V}{2l}\) です。

4本の開いた管が全部同じ高さの音で共鳴する、一番低い振動数を探します。
それぞれの管が共鳴する振動数は、(管の長さに応じた基本の振動数) の1倍、2倍、3倍、… となっています。
A管: \(V/(2l)\) の1倍, 2倍, 3倍, …
B管: \(V/(4l)\) の1倍, 2倍, 3倍, …
C管: \(V/(6l)\) の1倍, 2倍, 3倍, …
D管: \(V/(8l)\) の1倍, 2倍, 3倍, …
これらの数列に共通して出てくる一番小さい値を見つければよいのです。
これは、それぞれの基本振動数の「最小公倍数」のようなものを考えることに対応します。
計算すると、\(V/(2l)\) という振動数のとき、
A管は1倍振動（基本振動）、
B管は2倍振動（\(2 \times V/(4l) = V/(2l)\)）、
C管は3倍振動（\(3 \times V/(6l) = V/(2l)\)）、
D管は4倍振動（\(4 \times V/(8l) = V/(2l)\)）となり、
すべて同じ振動数 \(V/(2l)\) で共鳴することがわかります。これが求める最小の振動数です。

4本の管が同時に共鳴する最小の振動数は \(\displaystyle\frac{V}{2l}\) です。
このとき、A管は基本振動、B管は2倍振動、C管は3倍振動、D管は4倍振動で共鳴しています。各管の振動モードの次数が最小の自然数の組で共通の振動数を実現しているため、これが最小の同時共鳴振動数となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• この問題を解く上で最も重要だったのは、閉管と開管それぞれにおける気柱の共鳴条件、そして波の基本式 (\(V=f\lambda\)) です。
• 閉管の共鳴:
  • 開口端が腹、閉端が節となる定常波。
  • 管長 \(L\) と波長 \(\lambda\) の関係は \(L = (2m-1)\lambda/4\) (\(m=1, 2, 3, \ldots\))。
  • 固有振動数は基本振動数 \(f_1 = V/(4L)\) の奇数倍 (\(f_1, 3f_1, 5f_1, \ldots\))。
• 開管の共鳴:
  • 両開口端が腹となる定常波。
  • 管長 \(L\) と波長 \(\lambda\) の関係は \(L = m\lambda/2\) (\(m=1, 2, 3, \ldots\))。
  • 固有振動数は基本振動数 \(f_1 = V/(2L)\) の整数倍 (\(f_1, 2f_1, 3f_1, \ldots\))。
• これらの法則を正確に理解し、管の長さが異なる場合に各管の固有振動数がどのように変化するかを把握することが核心でした。また、複数の管の共鳴を比較する際には、共通の単位（例えば \(V/l\) の係数）で振動数を表現し、整理する能力も重要でした。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 異なる長さや種類の気柱（閉管・開管）が複数あり、それらの共鳴振動数を比較したり、同時に共鳴する条件を探したりする問題。
  • 開口端補正がある場合の共鳴条件を扱う問題（実効長を考慮する）。
  • うなりやドップラー効果と組み合わせて、共鳴によって特定の振動数の音が強調される状況を分析する問題。
  • 楽器の構造（笛やオルガンパイプなど）と発生する音の高さの関係を説明する問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 管の端の状態（閉管か開管か）を確認する: これにより適用すべき共鳴条件が異なります。
  2. 管の長さを正確に把握する: 共鳴振動数は管長に直接依存します。
  3. 基本振動数を求める: 各管の基本振動数を \(f_1=V/(4L)\) (閉管) または \(f_1=V/(2L)\) (開管) で計算する。これが全ての固有振動数の基準となります。
  4. 固有振動数の列挙: 閉管なら奇数倍、開管なら整数倍で固有振動数をリストアップする。
  5. 比較と順序付け: 複数の管がある場合は、それぞれの固有振動数を共通の尺度（例: \(V/l\) の係数）で表し、小さい順に並べる。同時共鳴に注意する。
  6. 「n度目の共鳴」や「n倍振動」の解釈: 基本振動を1度目（1倍振動）として、何番目の共鳴か、あるいは基本振動数の何倍の振動数かを正しく対応させる。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 開口端補正の有無を確認する（本問は「なし」）。もしあれば、管の実効長を \(L+\Delta L\) として計算する必要がある。
  • 「振動数を0から少しずつ増やしていく」という記述は、低い振動数から順に共鳴が起こることを意味する。
  • 同時共鳴は、異なる管の異なる次数の固有振動数がたまたま一致する場合に起こる。表を作成して比較すると見つけやすい。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 閉管と開管の共鳴条件の混同:
  • 現象: 閉管なのに開管の公式（またはその逆）を適用してしまう。基本振動数や倍音の系列を間違える。
  • 対策: 「閉管は\(L=\lambda/4\)スタートで奇数倍」「開管は\(L=\lambda/2\)スタートで整数倍」と明確に区別して覚える。それぞれの定常波の形（節と腹の位置）をイメージできるようにする。
• 「n倍振動」と「n度目の共鳴」の混同 (特に閉管):
  • 現象: 閉管の「2度目の共鳴」を「2倍振動」と誤解する（正しくは3倍振動）。
  • 対策: 閉管の共鳴は \(m=1\) (1倍=基本)、\(m=2\) (3倍)、\(m=3\) (5倍) … となることを確認する。「\(m\)度目の共鳴は \((2m-1)\)倍振動」と理解する。
• 基本振動数の計算ミス:
  • 現象: \(V/(4L)\) と \(V/(2L)\) を間違える、あるいは管長 \(L\) の代入を誤る。
  • 対策: 公式を正確に覚え、各記号の意味を理解する。管長が分母に来ることを意識する。
• 複数の管の振動数を比較する際の基準の誤り:
  • 現象: 各管の基本振動数だけを比較してしまい、高次の倍音を見落とす。あるいは、異なる単位で比較して順序を間違える。
  • 対策: 各管の固有振動数を複数リストアップし、それらをすべて共通の単位（例えば\(V/l\)の係数や、最も細かい振動数単位の整数倍など）に変換してから比較する。表を作成すると整理しやすい。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 閉管の共鳴: 管の口（開口端）で空気が最も大きく振動し（腹）、管の底（閉端）では空気は振動できない（節）というイメージ。
    • 基本振動 (\(m=1\)): 管長 \(l\) がちょうど \(\lambda/4\)。管内に1/4波長が入る形。
    • 3倍振動 (\(m=2\)): 管長 \(l\) が \(3\lambda/4\)。管内に3/4波長（1/4波長が3つ）が入る形。腹が2つ、節が2つ（両端含む）。
  • 開管の共鳴: 管の両端（開口端）で空気が最も大きく振動し（腹）というイメージ。
    • 基本振動 (\(m=1\)): 管長 \(l\) がちょうど \(\lambda/2\)。管内に半波長が入る形。腹が2つ（両端）、節が1つ（中央）。
    • 2倍振動 (\(m=2\)): 管長 \(l\) が \(\lambda\)（\(2\lambda/2\)）。管内に1波長が入る形。腹が3つ、節が2つ。
  • これらの定常波の形を、問題用紙の図や自分で描いた簡単な管の絵の中に模式的に描き込む（音波は縦波だが横波のように表現する）ことで、波長と管長の幾何学的な関係が視覚的に理解でき、公式の適用ミスを防ぐのに役立ちます。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 閉管なら閉端を節、開口端を腹として描く。
  • 開管なら両開口端を腹として描く。
  • 節と腹が交互に現れるように描く。
  • \(m\)次モード（基本振動なら\(m=1\)）のとき、腹の数や節の数を正しく描く。
    • 閉管の\(m\)番目の共鳴（\((2m-1)\)倍振動）では、腹と節はそれぞれ\(m\)個。
    • 開管の\(m\)倍振動では、腹は\(m+1\)個、節は\(m\)個。
  • 管の長さと、そこに含まれる \( \lambda/4 \) や \( \lambda/2 \) の個数の関係が図から読み取れるように意識する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• なぜその公式を選び、適用できると判断したのか、その根拠を明確にする訓練の重要性:
  • 閉管の共鳴条件 \(L = (2m-1)\lambda/4\) および固有振動数 \(f_m = (2m-1)V/(4L)\):
    • 選定理由: 問題の前半で「閉管」と明記されており、共鳴振動数を求める必要があるため。
    • 適用根拠: 一端が閉じ他端が開いた気柱における定常波の境界条件（閉端が節、開口端が腹）から導かれる物理法則だから。
  • 開管の共鳴条件 \(L = m\lambda/2\) および固有振動数 \(f_m = mV/(2L)\):
    • 選定理由: 問題の後半で「開管」と明記されており、共鳴振動数を求める必要があるため。
    • 適用根拠: 両端が開いた気柱における定常波の境界条件（両開口端が腹）から導かれる物理法則だから。
  • 波の基本式 \(V = f\lambda\):
    • 選定理由: 波長と振動数の関係を求めるため、また、音速が与えられている場合にどちらか一方から他方を計算するために不可欠。
    • 適用根拠: あらゆる波に共通する、速さ・振動数・波長の普遍的な関係式だから。
• 公式の成り立ち（定常波の図と波長の関係）を理解していれば、公式を丸暗記していなくても、その場で導き出したり、正しい公式を選択したりする助けになります。「なぜこの形なのか？」を考えることで、物理現象への理解が深まります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

• この問題の解答に至る思考プロセスを、例えば問(2)や問(3)のような複数の要素を比較する設問で整理すると、以下のようになります。
  1. 問題条件の確認: 閉管か開管か、管の長さはいくつか、開口端補正の有無、音速。
  2. 各管の基本振動数の計算: 適切な公式（閉管なら \(V/4L\)、開管なら \(V/2L\)）を用いて、それぞれの管の \(f_1\) を計算する。
  3. 各管の固有振動数列の生成:
     • 閉管なら、\(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots\)
     • 開管なら、\(f_1, 2f_1, 3f_1, \dots\)

     これを、必要な範囲（例えば5番目の共鳴がわかる程度）まで計算またはリストアップする。

  4. 全振動数の比較と整列: すべての管から出てくる固有振動数を、共通の単位（例えば \(V/l\) の係数）で表し、値の小さい順に並べ替える。
  5. 同時共鳴の確認: 並べ替えたリストの中で、同じ振動数値があれば、それらは同時に共鳴する管としてまとめる。
  6. 問いへの適合: 問題で問われている「何番目の共鳴か」「そのときの振動数は何か」「どの管か」といった情報を見つけ出す。
• このように、情報を整理し、体系的に処理していく能力が求められます。特に複数の要素を比較する際は、表を作成するなどの工夫も有効です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で、ミスを防ぐために特に注意すべき点はどこだったか:
  • 分数の計算: 固有振動数を \(V/l\) の係数として比較する際に、\(1/4, 1/8, 1/12, 1/16\) や、それらの奇数倍・整数倍の大小関係を正確に把握する必要がありました。通分して比較したり、小数に変換して比較したりする際の計算ミス。
  • 倍音の系列の選択ミス: 閉管で奇数倍を適用すべきところを整数倍で考えてしまったり、その逆をしてしまったりするミス。
  • 管長の代入ミス: \(l, 2l, 3l, 4l\) という異なる管長を、それぞれの基本振動数の計算時に正しく代入すること。
  • 同時共鳴の見落とし: 複数の管の異なる倍振動がたまたま同じ振動数になるケースを見逃さないこと。
• 日頃からどのような意識で計算練習に取り組むべきか:
  • 基本的な分数計算の習熟: 物理では比や割合を扱うことが多く、分数計算は頻出します。通分、約分、大小比較などをスムーズに行えるようにしておくこと。
  • 表やリストの活用: 問(2)や(3)のように複数の要素を比較・整理する必要がある場合、手作業で表を作成して値を書き込んでいくことで、見落としを防ぎ、思考を整理できます。
  • 一つ一つのステップの確認: 特に多くの数値を扱う場合、計算の各段階で「今何を計算しているのか」「この値は物理的に何を意味するのか」を意識することで、ケアレスミスを減らせます。
  • 図との照らし合わせ: 計算結果（例えば腹の数や波長）が、描いた定常波の図と矛盾していないかを確認するのも有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 振動数の大小関係: 管が長いほど基本振動数は低くなる（低い音が出る）という一般的な傾向と、計算結果が一致しているか確認する。例えば、D管（最も長い）の基本振動数が最も小さくなっているか、など。
  • 倍音の次数: 「\(m\)度目の共鳴」が、閉管なら\((2m-1)\)倍振動、開管なら\(m\)倍振動という関係になっているか。次数が整数であるか。
  • 同時共鳴の論理性: 例えば問(4)で求めた \(V/(2l)\) が、実際に各管の固有振動数列に含まれているか（A:1倍, B:2倍, C:3倍, D:4倍）を再確認する。
  • 極端なケースを考える: もし管の長さが非常に短かったら振動数は非常に高くなるはず、逆に非常に長かったら低くなるはず、といった定性的な予測と結果が矛盾しないか。
• 「解の吟味」は、計算ミスの発見だけでなく、物理法則の定性的な理解を深めることにも繋がります。また、問題の条件設定が現実的か、あるいは何か特別な意味を持っているのかといった、より深い洞察を得るきっかけにもなり得ます。

関連記事

物理基礎・高校物理 無料問題演習サイト – 全単元を網羅し実力アップ！

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。【引用】https://makoto-physics-school.com[…]