問題64 (上智大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、張られた弦に定常波が生じる「共振」という現象について、弦の長さ、おもりの質量（張力）、弦の太さ（線密度）、振動数といった条件を変えながら考察するものです。それぞれの条件下で波長や腹の数がどのように変化し、共振条件がどう満たされるかを計算していきます。
- 弦全体の長さ: \(L_{\text{全体}} = 120 \text{ cm} = 1.2 \text{ m}\)
- 弦全体の質量: \(M_{\text{弦}} = 1.8 \text{ g} = 1.8 \times 10^{-3} \text{ kg}\)
- おもりの質量（初期）: \(m_1 = 6 \text{ kg}\)
- 重力加速度の大きさ: \(g = 10 \text{ m/s}^2\)
- 振動源S、固定コマA、可動コマBによってAB間 (長さ \(a\)) で弦を振動させる。
- 弦の張力 \(T\) は弦のどこでも等しく、おもりの重さに等しい (\(T = mg\))。
- 問1:
- (1) コマBを \(a=30 \text{ cm}\) から \(a=35 \text{ cm}\) に移動すると再び共振した。このときの弦を伝わる横波の波長 \(\lambda\) は何cmか。
- (2) \(a=35 \text{ cm}\) で共振しているときのAB間の腹の数は何個か。
- (3) 振動源Sの振動数 \(f\) は何Hzか。
- (4) \(a=35 \text{ cm}\) のままおもりの質量を4倍にしたとき、弦を再び共振させるには、Bを少なくとも何cm右に移動しなければならないか。
- 問2: もとの弦と同じ材質、同じ長さで、直径が2倍の弦に張り替えた場合
- (5) \(a=30 \text{ cm}\) にし、おもりの質量を6kgに戻したとき、弦は共振し、AB間の腹の数は何個となるか。
- (6) (5)の状態で、AB間の腹の数を3個とするには、Sの振動数を何Hzとすればよいか。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「弦の共振」と「弦を伝わる波の速さ」です。弦が特定の条件を満たすと、波が強め合って大きく振動する「共振」という現象が起こり、見た目には波が止まって見える「定常波」が形成されます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 定常波（定在波）の共振条件: 弦のように両端が固定されている（あるいは自由端である）媒質中を波が往復するとき、特定の波長の波だけが強め合って定常波を作ります。弦の両端が固定端（節）となる場合、弦の振動部分の長さ \(L\) が、波長の半分（半波長 \(\lambda/2\)）の整数倍になると共振が起こります。式で表すと、\(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) となります。ここで \(n\) は自然数で、定常波の「腹」の数を表します。
- 弦を伝わる横波の速さ: 弦を伝わる横波の速さ \(v\) [m/s] は、弦の張力 \(T\) [N] と弦の線密度 \(\rho\) [kg/m] によって決まります。張力が大きく、弦が軽い（線密度が小さい）ほど、波は速く伝わります。この関係は \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) という式で表されます。
- 波の基本式: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\) [Hz]、波長 \(\lambda\) [m] の間には、\(v = f\lambda\) という基本的な関係があります。これは、波の種類によらず成り立つ重要な式です。
これらの法則を理解し、問題の各状況に適用していくことがポイントになります。
この問題は、いくつかの小問に分かれており、それぞれ条件が少しずつ変化していきます。基本的なアプローチは以下の通りです。
- 共振条件の利用: 問題文で「共振する」とあれば、まず \(a = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) の関係式を思い浮かべます。与えられた情報（例えば、異なる弦長での共振）から、未知の物理量（波長 \(\lambda\) や腹の数 \(n\)）を特定します。
- 波の速さの計算: 必要に応じて、弦の張力 \(T\) と線密度 \(\rho\) から波の速さ \(v\) を \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) の式を用いて計算します。張力はおもりの質量から、線密度は弦の質量と長さから求められます。
- 波の基本式の利用: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) のうち、2つが分かれば残りの1つを \(v = f\lambda\) の関係式から求めることができます。
- 条件変化への対応: おもりの質量が変われば張力 \(T\) が変わり、波の速さ \(v\) が変化します。弦の太さが変われば線密度 \(\rho\) が変わり、これも波の速さ \(v\) に影響します。振動源を変えれば振動数 \(f\) が変わります。これらの変化が波長 \(\lambda\) や共振条件にどのように影響するかを順を追って考えていきます。
各設問は、前の設問の結果を利用することが多いので、一つ一つ丁寧に解き進めることが大切です。
問1 (1)
思考の道筋とポイント
弦が共振しているとき、振動しているAB間の両端AとBは定常波の節（ほとんど振動しない点）になっています。そして、節と隣り合う節の間の距離は、波長のちょうど半分、つまり \(\lambda/2\) です。
問題では、弦の長さ \(a=30 \text{ cm}\) で共振し、次にコマBを右に動かして弦の長さ \(a=35 \text{ cm}\) にしたときにも再び共振したとあります。振動源Sの振動数 \(f\) は変わっておらず、弦の張力 \(T\) や線密度 \(\rho\) もこの時点では変わっていないので、弦を伝わる波の速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) は一定です。
\(a=30 \text{ cm}\) のときに \(n\) 個の腹ができて共振したとすると、弦の長さは \(30 = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) と表せます。
次に \(a=35 \text{ cm}\) で共振したとき、これは \(30 \text{ cm}\) のときとは異なる共振状態であり、弦長が長くなっているので腹の数は増えているはずです。「再び共振する」とあることから、腹の数が \(n+1\) 個になった最も近い共振状態だと考えられます。つまり、\(35 = (n+1) \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) と表せます。
これらの2つの式から、弦の長さの差 \(35 \text{ cm} – 30 \text{ cm}\) が、ちょうど半波長 \(\lambda/2\) に相当することがわかります。
この設問における重要なポイント
- 弦の共振条件: 弦の振動部分の長さ \(a\) が半波長 \(\lambda/2\) の整数倍であること (\(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\), ここで \(n\) は腹の数)。
- 固定端は定常波の節となる。
- 振動数、張力、線密度が一定の場合、波長も一定。
- 連続する共振状態では、腹の数が1つずつ変化し、それに応じて弦の長さが \(\lambda/2\) ずつ変化する。
具体的な解説と立式
弦のAB間の長さが \(a\) のとき、両端A, Bが節となる定常波ができているため、共振条件は次のように書けます。
$$a = n \frac{\lambda}{2} \quad (n \text{ は自然数で、腹の数を表す}) \quad \cdots ①$$問題文より、弦の長さが \(a_1 = 30 \text{ cm}\) のとき、ある腹の数 \(n_1\) で共振したとします。
$$30 \text{ [cm]} = n_1 \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ②$$次に、弦の長さを \(a_2 = 35 \text{ cm}\) にしたとき、再び共振しました。このときの腹の数を \(n_2\) とします。弦を長くして最初に再び共振する場合、腹の数は1つ増えるので \(n_2 = n_1 + 1\) と考えられます。
$$35 \text{ [cm]} = (n_1+1) \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ③$$式③から式②の両辺をそれぞれ引くと、$$(35 – 30) \text{ [cm]} = \left( (n_1+1) \frac{\lambda}{2} \right) – \left( n_1 \frac{\lambda}{2} \right)$$$$5 \text{ [cm]} = (n_1+1-n_1) \frac{\lambda}{2}$$$$5 \text{ [cm]} = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ④$$
この式④が、波長 \(\lambda\) を求めるための重要な関係式となります。
使用した物理公式
- 弦の共振条件: \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) ( \(n\) は腹の数)
式④ \(5 \text{ [cm]} = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) から波長 \(\lambda\) を求めます。
両辺に2を掛けると、
$$\lambda = 5 \text{ [cm]} \times 2$$
$$\lambda = 10 \text{ [cm]}$$
弦が振動してきれいな形（定常波）になるのは、弦の長さが「波の半分の長さ」のちょうど整数個分になるときです。
最初に弦の長さが30cmでそうなって、次に弦を5cm長くして35cmにしたときもそうなった、ということは、この5cmの差がちょうど「波の半分の長さ」1個分にあたる、ということです。
ですから、「波の半分の長さ」は5cmです。
波全体の長さ（1波長）は、その2倍なので、\(5 \text{ cm} \times 2 = 10 \text{ cm}\) となります。
弦を伝わる横波の波長は \(10 \text{ cm}\) です。
この結果は、共振条件と連続する共振状態の関係から論理的に導かれました。単位も問題文に合わせてcmで得られています。
問1 (2)
思考の道筋とポイント
(1)で波長 \(\lambda = 10 \text{ cm}\) であることがわかりました。したがって、半波長は \(\lambda/2 = 5 \text{ cm}\) です。
弦の長さ \(a\) が、この半波長 \(\lambda/2\) の何倍になっているかで腹の数 \(n\) が決まります。共振条件の式 \(a = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) を使って、\(a=35 \text{ cm}\) のときの \(n\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 腹の数 \(n\) は、共振している弦の長さ \(a\) を半波長 \(\lambda/2\) で割った値に等しい (\(n = \displaystyle\frac{a}{\lambda/2}\))。
具体的な解説と立式
波長 \(\lambda = 10 \text{ cm}\) なので、半波長は \(\displaystyle\frac{\lambda}{2} = \displaystyle\frac{10 \text{ [cm]}}{2} = 5 \text{ [cm]}\) です。
弦の長さ \(a = 35 \text{ cm}\) のとき、共振条件は式① \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) で表されます。
ここに \(a=35 \text{ cm}\) と \(\displaystyle\frac{\lambda}{2} = 5 \text{ cm}\) を代入して、腹の数 \(n\) を求めます。
$$35 \text{ [cm]} = n \times (5 \text{ [cm]}) \quad \cdots ⑤$$
使用した物理公式
- 弦の共振条件: \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) ( \(n\) は腹の数)
式⑤ \(35 = n \times 5\) から腹の数 \(n\) を求めます。
\(n\) について解くと、
$$n = \frac{35}{5}$$
$$n = 7 \text{ [個]}$$
(1)で、この波の「半分の長さ」が5cmであることがわかりました。
今、弦の長さは35cmです。この35cmの中に、「半分の長さ」である5cmがいくつ入っているかを考えれば、それが腹の数になります。
\(35 \div 5 = 7\) なので、腹の数は7個です。
\(a=35 \text{ cm}\) のときのAB間の腹の数は7個です。
ちなみに、(1)の考察で \(a_1=30 \text{ cm}\) のときの腹の数を \(n_1\) としましたが、この結果を使うと \(30 \text{ [cm]} = n_1 \times 5 \text{ [cm]}\) より \(n_1=6\) 個であったことがわかります。そして \(a_2=35 \text{ cm}\) での腹の数が \(n_2=7\) 個なので、\(n_2 = n_1+1\) という仮定と整合しており、(1)の解法が正しかったことも裏付けられます。
問1 (3)
思考の道筋とポイント
振動数 \(f\) を求めるには、波の基本式 \(v = f\lambda\) を利用します。波長 \(\lambda\) は(1)で \(10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}\) と求まっています。したがって、弦を伝わる波の速さ \(v\) が分かれば、振動数 \(f\) を計算できます。
弦を伝わる横波の速さ \(v\) は、弦の張力 \(T\) と線密度 \(\rho\) によって \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) と表されます。
張力 \(T\) はおもりの質量 \(m_1 = 6 \text{ kg}\) と重力加速度 \(g = 10 \text{ m/s}^2\) から \(T = m_1 g\) として計算できます。
線密度 \(\rho\) は、弦全体の質量 \(M_{\text{弦}} = 1.8 \text{ g}\) と弦全体の長さ \(L_{\text{全体}} = 120 \text{ cm}\) から \(\rho = \displaystyle\frac{M_{\text{弦}}}{L_{\text{全体}}}\) として計算できます。このとき、単位をSI単位系（kg, m）に統一することが重要です。
この設問における重要なポイント
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
- 弦を伝わる横波の速さの公式: \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\)
- 張力の計算: 本問ではおもりによる張力なので \(T = mg\)
- 線密度の計算: \(\rho = \displaystyle\frac{\text{弦の質量}}{\text{弦の長さ}}\)。単位の換算に注意。
具体的な解説と立式
まず、弦の線密度 \(\rho\) を計算します。
弦全体の長さ \(L_{\text{全体}} = 120 \text{ cm} = 1.2 \text{ m}\)
弦全体の質量 \(M_{\text{弦}} = 1.8 \text{ g} = 1.8 \times 10^{-3} \text{ kg}\)
したがって、線密度 \(\rho\) は、
$$\rho = \frac{M_{\text{弦}}}{L_{\text{全体}}} \quad \cdots ⑥$$次に、弦の張力 \(T\) を計算します。おもりの質量 \(m_1 = 6 \text{ kg}\)、重力加速度 \(g = 10 \text{ m/s}^2\) なので、
$$T = m_1 g \quad \cdots ⑦$$これらの値を用いて、弦を伝わる波の速さ \(v\) を計算します。
$$v = \sqrt{\frac{T}{\rho}} \quad \cdots ⑧$$最後に、波の基本式 \(v = f\lambda\) を変形して振動数 \(f\) を求めます。波長 \(\lambda = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}\) です。
$$f = \frac{v}{\lambda} \quad \cdots ⑨$$
使用した物理公式
- 線密度: \(\rho = \displaystyle\frac{\text{質量}}{\text{長さ}}\)
- 弦の張力 (おもりによる場合): \(T = mg\)
- 弦を伝わる横波の速さ: \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\)
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
式⑥に値を代入して線密度 \(\rho\) を計算します。
$$\rho = \frac{1.8 \times 10^{-3} \text{ [kg]}}{1.2 \text{ [m]}} = \frac{1.8}{1.2} \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}$$ここで、\(\displaystyle\frac{1.8}{1.2} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5\) なので、
$$\rho = 1.5 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}$$式⑦に値を代入して張力 \(T\) を計算します。
$$T = 6 \text{ [kg]} \times 10 \text{ [m/s}^2\text{]} = 60 \text{ [N]}$$式⑧に \(\rho\) と \(T\) の値を代入して波の速さ \(v\) を計算します。
$$v = \sqrt{\frac{60 \text{ [N]}}{1.5 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}}} = \sqrt{\frac{60}{1.5} \times 10^3 \text{ [m}^2\text{/s}^2\text{]}}$$ここで、\(\displaystyle\frac{60}{1.5} = \frac{600}{15} = 40\) なので、
$$v = \sqrt{40 \times 10^3} = \sqrt{4 \times 10^1 \times 10^3} = \sqrt{4 \times 10^4}$$
$$v = \sqrt{4} \times \sqrt{10^4} = 2 \times 10^2 = 200 \text{ [m/s]}$$式⑨に \(v = 200 \text{ m/s}\) と \(\lambda = 0.1 \text{ m}\) の値を代入して振動数 \(f\) を計算します。
$$f = \frac{200 \text{ [m/s]}}{0.1 \text{ [m]}} = \frac{2000}{1} \text{ [Hz]}$$
$$f = 2000 \text{ [Hz]}$$
波の振動数（1秒間に何回振動するか）を知るためには、まず波が弦をどれくらいの速さで伝わるかを知る必要があります。波の速さは、弦の「ピンと張る力（張力）」と「弦自体の重さ（正確には線密度）」で決まります。
- まず、弦が1メートルあたりどれくらいの重さか（線密度）を計算します。全体の重さを全体の長さで割ります。
- 次に、おもりが弦を引っ張る力（張力）を計算します。これはおもりの重さです。
- この張力と線密度を使って、波の速さを公式から計算します。
- 最後に、この速さを(1)で求めた波の長さ（10cm = 0.1m）で割ると、1秒あたりの振動の回数（振動数）が求まります。
振動源Sの振動数は \(2000 \text{ Hz}\) (ヘルツ) です。
計算過程で使用した各物理量の単位（m, kg, s, N, Hz）は整合性が取れており、得られた値も物理的に妥当な範囲と考えられます。例えば、波の速さ \(200 \text{ m/s}\) は、一般的な弦楽器の弦を伝わる波の速さのオーダーです。
問1 (4)
思考の道筋とポイント
おもりの質量を4倍にすると、弦の張力 \(T\) が4倍になります。振動源Sは変えていないので、振動数 \(f\) は(3)で求めた \(2000 \text{ Hz}\) のまま一定です。弦自体も同じなので線密度 \(\rho\) も変わりません。
張力 \(T\) が変わると、波の速さ \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) が変化します。張力が4倍になると、速さは \(\sqrt{4}=2\) 倍になります。
振動数 \(f\) が一定で波の速さ \(v\) が変化すると、波の基本式 \(v = f\lambda\) より、波長 \(\lambda\) も変化します。速さが2倍になれば、波長も2倍になります。
この新しい波長 \(\lambda’\) で共振するためには、弦の長さ \(a\) が半波長 \(\lambda’/2\) の整数倍 (\(a = n’ \cdot \displaystyle\frac{\lambda’}{2}\)) である必要があります。
現在の弦の長さは \(a=35 \text{ cm}\) です。この長さは新しい半波長 \(\lambda’/2\) の整数倍ではなくなるため、共振しなくなります。
そこで、コマBを右に移動して弦の長さ \(a\) を長くし、\(35 \text{ cm}\) より大きくて最も近い、新しい共振条件を満たす弦の長さ \(a”\) を見つけます。その差 \(a” – 35 \text{ cm}\) が求める移動距離です。
この設問における重要なポイント
- 張力が変化すると波の速さが変化する (\(v \propto \sqrt{T}\))。
- 振動数が一定のとき、波の速さが変化すると波長も変化する (\(\lambda = v/f\), ゆえに \(\lambda \propto v\))。
- 新しい波長の下で、共振条件を満たすように弦の長さを調整する必要がある。
- 「少なくとも右に移動」とは、現在の長さより大きく、最も近い共振長を探すことを意味する。
具体的な解説と立式
元の張力を \(T_1\) (おもり \(m_1=6\text{ kg}\) のとき)、新しい張力を \(T_2\) (おもり \(4m_1=24\text{ kg}\) のとき) とします。すると \(T_2 = 4T_1\)。
元の波の速さを \(v_1 = 200 \text{ m/s}\)、新しい波の速さを \(v_2\) とすると、線密度 \(\rho\) は同じなので、
$$v_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\rho}} = \sqrt{\frac{4T_1}{\rho}} = 2 \sqrt{\frac{T_1}{\rho}} = 2v_1 \quad \cdots ⑩$$
波の速さは元の2倍になります。 \(v_2 = 2 \times 200 \text{ m/s} = 400 \text{ m/s}\)。
振動数 \(f = 2000 \text{ Hz}\) は変わらないので、元の波長を \(\lambda_1 = 10 \text{ cm}\)、新しい波長を \(\lambda_2\) とすると、波の基本式 \(v=f\lambda\) より、
$$\lambda_2 = \frac{v_2}{f} = \frac{2v_1}{f} = 2 \frac{v_1}{f} = 2\lambda_1 \quad \cdots ⑪$$新しい波長 \(\lambda_2\) は元の波長 \(\lambda_1\) の2倍になります。
$$\lambda_2 = 2 \times 10 \text{ [cm]} = 20 \text{ [cm]}$$
この新しい波長 \(\lambda_2\) で共振するためには、弦の長さ \(a’\) が、新しい半波長 \(\displaystyle\frac{\lambda_2}{2} = \displaystyle\frac{20 \text{ [cm]}}{2} = 10 \text{ [cm]}\) の整数倍である必要があります。
つまり、弦の長さ \(a’\) は \(10 \text{ cm}, 20 \text{ cm}, 30 \text{ cm}, 40 \text{ cm}, 50 \text{ cm}, \dots\) のいずれかの値をとるときに共振します。
現在の弦の長さは \(a = 35 \text{ cm}\) です。この長さでは、\(10 \text{ cm}\) の整数倍ではないため共振しません。
コマBを右に移動して弦を長くし、再び共振させるためには、\(35 \text{ cm}\) より大きく、かつ最も近い \(10 \text{ cm}\) の整数倍の長さにすればよいです。その長さは \(40 \text{ cm}\) です。
よって、移動させる距離を \(\Delta a\) とすると、
$$\Delta a = 40 \text{ [cm]} – 35 \text{ [cm]} \quad \cdots ⑫$$
使用した物理公式
- 弦を伝わる横波の速さ: \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\)
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
- 弦の共振条件: \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
式⑪で計算したように、新しい波長 \(\lambda_2 = 20 \text{ cm}\)。
したがって、新しい半波長は \(\displaystyle\frac{\lambda_2}{2} = 10 \text{ cm}\)。
現在の弦の長さ \(a = 35 \text{ cm}\) より大きく、\(10 \text{ cm}\) の整数倍となる最小の弦の長さは \(4 \times 10 \text{ cm} = 40 \text{ cm}\) です。
よって、移動させる距離は式⑫より、
$$\Delta a = 40 \text{ [cm]} – 35 \text{ [cm]} = 5 \text{ [cm]}$$
おもりを4倍重くすると、弦を引っ張る力が4倍強くなります。波の速さは、この力の平方根に比例するので、\(\sqrt{4}=2\)倍、つまり2倍速くなります。
振動の回数（振動数）は変わらないので、波が1回振動する間に進む長さ（波長）も2倍になります。元の波長が10cmだったので、新しい波長は20cmです。
共振するには、弦の長さが「新しい波の半分の長さ」（つまり20cm / 2 = 10cm）の整数倍でなければなりません。
今の弦の長さは35cmです。35cmより長くて10cmの整数倍になる一番近い長さは40cmです。
したがって、弦を \(40 \text{ cm} – 35 \text{ cm} = 5 \text{ cm}\) だけ長くすれば、再び共振します。
コマBを少なくとも \(5 \text{ cm}\) 右に移動しなければなりません。
このとき、弦の長さは \(40 \text{ cm}\) となり、新しい半波長 \(10 \text{ cm}\) の4倍なので、腹の数4の定常波が形成されることになります。張力を増すと波長が長くなり、より長い弦長で共振するという結果は物理的に妥当です。
問2 (5)
思考の道筋とポイント
弦の直径が2倍になると、弦の断面積が \(2^2=4\) 倍になります。弦の材質（体積あたりの密度）と全体の長さが同じなので、弦全体の質量も4倍になります。これにより、弦の線密度 \(\rho\)（単位長さあたりの質量）も4倍になります。
おもりの質量は \(m_1 = 6 \text{ kg}\) に戻したので、張力 \(T\) は問1(3)のときと同じ \(T_1 = 60 \text{ N}\) です。
線密度 \(\rho\) が変わったので、波の速さ \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) が変化します。線密度が4倍になると、速さは \(\sqrt{1/4} = 1/2\) 倍になります。
振動源Sは変えていないと解釈し、振動数 \(f\) は問1(3)で求めた \(f_1 = 2000 \text{ Hz}\) のままと考えます。
波の速さ \(v\) が変化し、振動数 \(f\) が一定なので、波の基本式 \(v = f\lambda\) より波長 \(\lambda\) も変化します。速さが \(1/2\) 倍になれば、波長も \(1/2\) 倍になります。
この新しい波長 \(\lambda_3\) を求め、与えられた弦の長さ \(a=30 \text{ cm}\) で共振するときの腹の数 \(n_3\) を \(a = n_3 \cdot \displaystyle\frac{\lambda_3}{2}\) から計算します。
この設問における重要なポイント
- 弦の直径と線密度の関係: 直径が \(k\) 倍になると、断面積は \(k^2\) 倍、同じ材質・長さなら質量も \(k^2\) 倍、よって線密度も \(k^2\) 倍になる。
- 線密度が変化すると波の速さが変化する (\(v \propto 1/\sqrt{\rho}\))。
- 振動数が一定の場合、波の速さが変化すると波長も変化する (\(\lambda \propto v\))。
- 新しい波長の下での共振条件から腹の数を求める。
具体的な解説と立式
元の弦の線密度を \(\rho_1 = 1.5 \times 10^{-3} \text{ kg/m}\) とします (問1(3)で計算)。
新しい弦は、直径が2倍です。弦の断面積 \(S_{\text{断}}\) は直径 \(D\) の2乗に比例します（\(S_{\text{断}} \propto D^2\)）。直径が2倍になると、断面積は \(2^2 = 4\) 倍になります。
弦の材質（密度 \(\rho_{\text{材質}}\)）と弦全体の長さ \(L_{\text{全体}}\) は同じなので、弦全体の質量 \(M’_{\text{弦}} = \rho_{\text{材質}} \cdot S’_{\text{断}} \cdot L_{\text{全体}}\) は、元の質量 \(M_{\text{弦}}\) の4倍になります。
したがって、新しい弦の線密度 \(\rho_3\) は、元の線密度 \(\rho_1\) の4倍になります。
$$\rho_3 = 4\rho_1 \quad \cdots ⑬$$
おもりの質量は \(m_1 = 6 \text{ kg}\) で、張力 \(T_1 = 60 \text{ N}\) は元の状態と同じです。
元の波の速さを \(v_1 = 200 \text{ m/s}\) とすると、新しい弦を伝わる波の速さ \(v_3\) は、
$$v_3 = \sqrt{\frac{T_1}{\rho_3}} = \sqrt{\frac{T_1}{4\rho_1}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{T_1}{\rho_1}} = \frac{1}{2} v_1 \quad \cdots ⑭$$
波の速さは元の \(1/2\) 倍になります。 \(v_3 = \frac{1}{2} \times 200 \text{ m/s} = 100 \text{ m/s}\)。
振動数 \(f_1 = 2000 \text{ Hz}\) は同じなので、新しい波長を \(\lambda_3\) とすると、
$$\lambda_3 = \frac{v_3}{f_1} = \frac{\frac{1}{2}v_1}{f_1} = \frac{1}{2} \frac{v_1}{f_1} = \frac{1}{2}\lambda_1 \quad \cdots ⑮$$新しい波長 \(\lambda_3\) は元の波長 \(\lambda_1 = 10 \text{ cm}\) の \(1/2\) 倍になります。
$$\lambda_3 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ [cm]} = 5 \text{ [cm]}$$弦の振動部分の長さ \(a = 30 \text{ cm}\) のとき、腹の数を \(n_3\) とすると、共振条件より、
$$a = n_3 \frac{\lambda_3}{2} \quad \cdots ⑯$$
ここに \(a=30 \text{ cm}\) と \(\lambda_3 = 5 \text{ cm}\) (つまり \(\displaystyle\frac{\lambda_3}{2} = 2.5 \text{ cm}\)) を代入して \(n_3\) を求めます。
使用した物理公式
- 線密度と弦の形状の関係
- 弦を伝わる横波の速さ: \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\)
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
- 弦の共振条件: \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
式⑬より、新しい線密度 \(\rho_3 = 4 \times (1.5 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}) = 6.0 \times 10^{-3} \text{ [kg/m]}\)。
式⑭より、新しい波の速さ \(v_3 = \frac{1}{2} \times 200 \text{ [m/s]} = 100 \text{ [m/s]}\)。
式⑮より、新しい波長 \(\lambda_3 = \frac{1}{2} \times 10 \text{ [cm]} = 5 \text{ [cm]}\)。
(別計算: \(\lambda_3 = \displaystyle\frac{v_3}{f_1} = \frac{100 \text{ [m/s]}}{2000 \text{ [Hz]}} = \frac{1}{20} \text{ [m]} = 0.05 \text{ [m]} = 5 \text{ [cm]}\))
新しい半波長は \(\displaystyle\frac{\lambda_3}{2} = \frac{5 \text{ [cm]}}{2} = 2.5 \text{ [cm]}\)。
式⑯に \(a=30 \text{ cm}\) と \(\displaystyle\frac{\lambda_3}{2} = 2.5 \text{ cm}\) を代入して腹の数 \(n_3\) を求めます。
$$30 \text{ [cm]} = n_3 \times 2.5 \text{ [cm]}$$
$$n_3 = \frac{30}{2.5} = \frac{300}{25}$$ここで、\(300 = 12 \times 25\) なので、
$$n_3 = 12 \text{ [個]}$$
弦の太さ（直径）が2倍になると、弦は見た目以上に重くなります。断面積が4倍になるので、同じ長さなら重さ（質量）も4倍。つまり、1メートルあたりの重さ（線密度）が4倍になります。
弦を引っ張る力（張力）は同じなので、重くなった弦では波は伝わりにくく、速さは \(\sqrt{1/4} = 1/2\) 倍、つまり半分になります。
振動の回数（振動数）は同じなので、波の速さが半分になると、波の長さ（波長）も半分になります。元の波長が10cmだったので、新しい波長は5cmです。
共振するには、弦の長さが「新しい波の半分の長さ」（つまり5cm / 2 = 2.5cm）の整数倍である必要があります。
弦の長さが30cmのとき、この2.5cmがいくつ入るか計算すると、\(30 \div 2.5 = 12\) 個です。したがって、腹の数は12個になります。
AB間の腹の数は12個となります。
弦の直径という形状の変化が線密度にどう影響し、それが波の速さ、波長へと連鎖的に影響を及ぼし、最終的に共振状態（腹の数）を決定するという一連の物理プロセスを正しく追跡できました。
問2 (6)
思考の道筋とポイント
弦の条件（直径2倍の弦、おもり6kg）は(5)と同じです。したがって、この弦を伝わる波の速さ \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) も(5)のときと同じです。
弦の振動部分の長さ \(a=30 \text{ cm}\) も同じです。
今度は、目標とする腹の数 \(n_4 = 3\) 個が指定されています。
この条件（\(a=30 \text{ cm}\), \(n_4=3\)）で共振するためには、どのような波長 \(\lambda_4\) が必要かをまず共振条件 \(a = n_4 \cdot \displaystyle\frac{\lambda_4}{2}\) から求めます。
そして、波の速さ \(v_3\) と、求めた波長 \(\lambda_4\) から、必要な振動数 \(f_4\) を波の基本式 \(v_3 = f_4 \lambda_4\) を使って計算します。
この設問における重要なポイント
- 波の速さは弦の物理的特性（線密度、張力）で決まり、この設問の状況では問2(5)と同じである。
- 目標とする腹の数と弦の長さから、そのときに必要な波長が定まる。
- 波の速さとその波長から、対応する振動数が決まる。
具体的な解説と立式
弦の振動部分の長さ \(a = 30 \text{ cm}\)。目標とする腹の数を \(n_4 = 3\) 個とします。
このときの波長を \(\lambda_4\) とすると、共振条件より、
$$a = n_4 \frac{\lambda_4}{2} \quad \cdots ⑰$$
この式から、まず必要な波長 \(\lambda_4\) を求めます。
弦を伝わる波の速さ \(v_3\) は、問2(5)で計算した通り \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) です（これは、弦の種類と張力が(5)と同じであるため変わりません）。
求める振動数を \(f_4\) とすると、波の基本式より、
$$v_3 = f_4 \lambda_4 \quad \cdots ⑱$$
この式から \(f_4\) を求めます。
使用した物理公式
- 弦の共振条件: \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\)
- 波の基本式: \(v = f\lambda\)
式⑰に \(a=30 \text{ cm}\) と \(n_4=3\) を代入して、波長 \(\lambda_4\) を求めます。
$$30 \text{ [cm]} = 3 \times \frac{\lambda_4}{2}$$
$$30 = \frac{3}{2} \lambda_4$$\(\lambda_4\) について解くと、
$$\lambda_4 = 30 \text{ [cm]} \times \frac{2}{3} = 10 \text{ [cm]} \times 2 = 20 \text{ [cm]}$$
波長 \(\lambda_4 = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}\) となります。
波の速さ \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) は変わりません。
式⑱に \(v_3 = 100 \text{ m/s}\) と \(\lambda_4 = 0.2 \text{ m}\) の値を代入して、振動数 \(f_4\) を求めます。
$$f_4 = \frac{v_3}{\lambda_4} = \frac{100 \text{ [m/s]}}{0.2 \text{ [m]}} = \frac{1000}{2} \text{ [Hz]}$$
$$f_4 = 500 \text{ [Hz]}$$
弦の長さは30cmのままで、今度は腹の数をちょうど3個にしたい、という状況です。
- 腹が3個ということは、弦の長さ30cmが「波の半分の長さ」の3つ分にちょうど収まるようにしたい、ということです。そうすると、「波の半分の長さ」は \(30 \text{ cm} \div 3 = 10 \text{ cm}\) になります。したがって、1波長全体の長さは \(10 \text{ cm} \times 2 = 20 \text{ cm}\) である必要があります。
- この太い弦を伝わる波の速さは、(5)の状況から変わらず100 m/sです。
- 波の速さが100 m/sで、波長を20cm (つまり0.2m) にするためには、振動数をいくらにすればよいか、という計算になります。「振動数 = 速さ ÷ 波長」なので、\(100 \text{ m/s} \div 0.2 \text{ m} = 500 \text{ Hz}\) となります。
Sの振動数を \(500 \text{ Hz}\) とすればよいです。
(5)のときの振動数 \(2000 \text{ Hz}\) と比較すると \(1/4\) になっています。これは、(5)のときの波長 \(\lambda_3 = 5 \text{ cm}\) に対し、今回は \(\lambda_4 = 20 \text{ cm}\) と波長を4倍にする必要があるため、波の速さが一定であれば振動数は \(1/4\) になるという関係（\(f = v/\lambda\)）と整合しています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- この問題を解く上で最も重要だったのは、弦の共振（定常波）の条件と、弦を伝わる横波の速さの公式、そして波の基本式 (\(v=f\lambda\)) の3つの柱です。
- 弦の共振条件 \(L = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\):
- 本質: 固定された両端が節となる定常波が形成されるためには、弦の長さが半波長の整数倍でなければならないという幾何学的な制約です。\(n\) が腹の数（ループの数）に対応します。
- 理解のポイント: なぜ半波長なのか？節と節の間隔が半波長であること、そしてその中に腹が1つ存在することをイメージできるかが重要です。弦が「つじつまの合う」形で振動できるのは、この条件が満たされるときだけです。
- 弦を伝わる横波の速さ \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\):
- 本質: 波の速さは、媒質の復元力に関する性質（張力 \(T\)）と慣性に関する性質（線密度 \(\rho\)）によって決まります。張力が大きいほど、弦の変位部分を元に戻そうとする力が強くなり速く伝わります。線密度が大きい（重い）ほど、弦は動きにくく（慣性が大きく）なり遅く伝わります。
- 理解のポイント: この公式の各物理量が何を表し、どのような単位を持つのかを正確に把握すること。また、\(T\) や \(\rho\) が変化すると \(v\) がどのように変化するか（比例関係、逆比例関係、平方根の関係）を定性的に理解しておくことが応用につながります。「ピンと張った軽い弦ほど高い音（速い波）が出る」という日常経験とも結びつきます。
- 波の基本式 \(v = f\lambda\):
- 本質: 波の速さは、1秒間に波が進む距離であり、それは1秒間の振動の回数（振動数 \(f\)）に1回の振動で進む距離（波長 \(\lambda\)）を掛けたものに等しいという、波の運動を記述する基本的な関係式です。
- 理解のポイント: \(v, f, \lambda\) は独立ではなく、この式で結ばれています。どれか1つが変化したとき、他の量が一定であれば残りの量がどう変化するか、という関係性を様々な状況で適用できるようにすることです。例えば、同じ振動数なら速い波ほど波長は長く、同じ波長なら速い波ほど振動数は高くなります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
- 気柱の共鳴（開管、閉管）: 考え方は弦の共振と非常に似ています。ただし、開端が定常波の腹、閉端が節となるという境界条件の違いを正しく理解し、それに応じた共振条件の式を立てる必要があります。
- 楽器の音の高さの原理: ギターやピアノの弦、管楽器の管の長さなどが音の高さを決める原理は、本問で学んだ共振現象に基づいています。張力や弦の太さ（線密度）、管の長さを変えることが、どのように音（振動数）に影響するかを考察する問題に応用できます。
- マイクの振動板の共振やスピーカーの設計など、特定の振動数で効率よく振動させたい、あるいは特定の振動数での共振を避けたいといった工学的な問題にも、この基本的な考え方が応用されます。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- 「共振」「定常波」「節」「腹」というキーワードの有無: これらの言葉があれば、本問で用いた共振条件 \(L=n\lambda/2\) (またはそれに類する式) が中心的な役割を果たす可能性が高いです。
- 波の速さを決定する要因の特定: 弦ならば張力 \(T\) と線密度 \(\rho\)。音波ならば主に温度。これらの要因が問題中で変化するか、あるいは一定に保たれているかを確認します。
- 何が一定で、何が変化するのかの区別:
- 振動源（例: スピーカー、おんさ、本問のS）が同じなら、通常は振動数 \(f\) が一定です。
- 媒質の物理的特性（例: 弦の材質・太さ、張力、気体の種類・温度）が変わらなければ、波の速さ \(v\) は一定です。
- これらの関係を整理し、\(v=f\lambda\) を使って未知数を絞り込んでいきます。
- 与えられた情報からどの公式を使うかの判断: 例えば、「弦の長さと腹の数から波長を求める」「張力と線密度から速さを求める」「速さと波長から振動数を求める」といったように、手持ちの情報と求めたい量に応じて、上記の3つの柱となる公式を適切に選択・組み合わせます。
- 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
- 単位の換算: cm と m、g と kg などが混在している場合、計算の初期段階でSI単位系（m, kg, s）に統一することが基本です。特に線密度 \(\rho\) の計算や波の速さ \(v\) の計算では重要です。
- 「再び共振する」「隣り合う共振」: このような表現は、通常、腹の数が1つだけ異なる（\(n\) と \(n+1\)）共振状態を指すことが多いですが、問題の文脈をよく読み、誤解しないように注意が必要です。
- 弦の直径・半径と線密度の関係: 弦の直径が \(k\) 倍になると断面積は \(k^2\) 倍、同じ材質・長さなら質量も \(k^2\) 倍、よって線密度も \(k^2\) 倍になる、という関係を正確に理解しておくこと（問2で重要でした）。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 波長 (\(\lambda\)) と半波長 (\(\lambda/2\)) の混同:
- 現象: 共振条件の式 \(L = n \cdot \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) に、\(\lambda\) そのものを代入してしまったり、節と節の間隔を \(\lambda\) と誤解したりする。
- 対策: 定常波の図（腹と節が交互に並ぶ様子）を常にイメージし、1つのループ（腹1つ分）の長さが \(\lambda/2\) であることを強く意識する。\(L=n\lambda\) ではなく \(L=n(\lambda/2)\) です。
- 張力 (\(T\)) とおもりの質量 (\(m\)) の混同:
- 現象: 張力を計算する際に、\(T=mg\) とすべきところを \(T=m\) としたり、単位を間違えたりする。
- 対策: 物理量の単位を常に意識する。張力は力なので単位は [N]、質量は [kg] です。\(g\)（重力加速度）を掛け忘れないこと。
- 線密度 (\(\rho\)) の計算ミス:
- 現象: 弦全体の質量を弦全体の長さで割るべきところを、振動部分の長さ \(a\) で割ってしまったり、単位換算（g \(\leftrightarrow\) kg, cm \(\leftrightarrow\) m）を間違えたりする。
- 対策: 線密度は弦の材質と太さで決まる固有の値なので、弦全体で定義される (\(\rho = M_{\text{全体}}/L_{\text{全体}}\)) ことを理解する。計算前に必ず単位をSI基本単位に揃える習慣をつける。
- 波の速さの公式 \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) の誤用:
- 現象: 平方根 \(\sqrt{}\) を忘れる、または分子と分母 (\(T\) と \(\rho\)) を逆にしてしまう。
- 対策: 公式の成り立ちのイメージ（次元解析や簡単なモデルを一度は確認するとよい）を持つ。定性的に「張力が大きいほど速く、線密度が大きい（重い）ほど遅い」という関係を覚えておき、式と照らし合わせる。
- 条件変更時の変数の扱い:
- 現象: 例えば、張力を変えたときに、振動数も勝手に変わると思い込んだり、逆に変わるはずの波長が変わらないとしてしまったりする。
- 対策: 何が操作変数で（例：おもりの質量を変える）、何がそれに応じて従属的に変わる変数で（例：張力、波の速さ、波長）、何が一定に保たれる変数か（例：振動源を変えなければ振動数、同じ弦なら線密度）を問題文から正確に読み取り、整理する。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
- 弦の共振では、弦が振動して腹と節ができる様子を具体的に頭の中に描く（あるいは実際に簡単な図を描く）ことが非常に重要です。特に、弦の長さ \(a\) の中に、半波長 \(\lambda/2\) がいくつ収まっているのか（それが腹の数 \(n\)）、そして両端が必ず節になっている様子を視覚的に捉えることができれば、共振条件の式 \(a = n (\lambda/2)\) の意味が直感的に理解できます。
- 例えば、問1(1)で \(a=30\text{cm}\) から \(a=35\text{cm}\) へと変化して連続して共振する場合を考えます。\(30\text{cm}\) の弦に \(n\) 個の腹（ループ）、\(35\text{cm}\) の弦に \(n+1\) 個の腹（ループ）ができている図を並べて描いてみると、その長さの差 \(5\text{cm}\) がちょうど1つのループ（半波長分）の長さに対応することが一目でわかります。
- このように図を描くことで、節の位置、腹の位置、波の形などを具体的に把握でき、数式だけでは見落としがちな関係性や条件に気づくことができます。また、複数の共振状態を比較する際にも、図は非常に有効なツールとなります。
- 図を描く際に注意すべき点は何か:
- 固定端の明示: 弦の端点（A点とB点）は振動源やコマによって固定されているため、これらが必ず定常波の「節」になるように描きます。
- 腹と節の配置: 腹は節と節の中間に位置し、最も大きく振動する部分として描きます。節と腹は交互に現れます。
- 波長の表現: 1波長 \(\lambda\) や半波長 \(\lambda/2\) が図の中でどの区間に相当するのかを明示すると、式の理解が深まります。特に、節－節間、腹－腹間が \(\lambda/2\) であることを図中に示すと分かりやすいです。
- 腹の数の明記: 複数の共振状態を比較する場合は、それぞれの状態での腹の数 \(n\) を図に付記すると、混乱を防げます。
- 誇張表現の活用: 実際の弦の振幅は小さいことが多いですが、理解のためには振幅をある程度誇張して描いた方が、波の形や腹・節の位置関係が分かりやすくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- この問題では、主に以下の物理公式が繰り返し使用されました。それぞれの公式をなぜその場面で選び、適用できると判断したのか、その根拠を明確にする訓練は非常に重要です。
- \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) (弦の共振条件)
- 選定理由: 問題文に「共振する」という記述があり、弦の長さ、波長、腹の数の関係が問われている、あるいはそれらを利用して他の量を求める必要があるため。
- 適用根拠: 両端が固定された弦に定常波が生じるときの普遍的な物理法則（境界条件から導かれる数学的条件）だからです。
- \(\rho = \displaystyle\frac{M_{\text{弦}}}{L_{\text{全体}}}\) (線密度)
- 選定理由: 弦を伝わる波の速さ \(v\) を決定する物理量の一つであり、弦の質量と長さが与えられているため。
- 適用根拠: 線密度の定義そのものです。弦の単位長さあたりの質量を表します。
- \(T = mg\) (張力)
- 選定理由: 弦を伝わる波の速さ \(v\) を決定するもう一つの重要な物理量であり、問題設定でおもりの質量によって張力が与えられているため。
- 適用根拠: 滑車を介しておもりが弦を引いており、弦とおもりが（ほぼ）静止しているか等速運動していると見なせる場合、力のつり合いから弦の張力がおもりの重力と等しくなるからです。
- \(v = \sqrt{\displaystyle\frac{T}{\rho}}\) (弦を伝わる横波の速さ)
- 選定理由: 弦の物理的特性（張力 \(T\) と線密度 \(\rho\)）から、その弦を伝わる波の固有の速さ \(v\) を決定する必要があるため。
- 適用根拠: 弦の微小部分の運動方程式を立てて解析することによって導かれる、弦の性質と波の速さを結びつける法則だからです。
- \(v = f\lambda\) (波の基本式)
- 選定理由: 波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の3つのうち2つが既知または計算可能で、残りの1つを求める必要がある多くの場面で使われる、波に関する最も基本的な関係式だからです。
- 適用根拠: 波が1周期 (\(1/f\) 秒) の間に1波長 (\(\lambda\)) 進むという、波の定義そのものから導かれる普遍的な関係式だからです。
- \(a = n \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) (弦の共振条件)
- なぜその公式を選び、適用できると判断したのか、その根拠を明確にする訓練の重要性:
- 公式を単に暗記するのではなく、それぞれの公式がどのような物理現象を表し、どのような条件下で成り立つのかを深く理解することが不可欠です。
- 問題文を読んで状況を把握し、「今、何が問われていて、何が分かっていて、どの物理法則がこの状況と関連しているのか？」と自問自答する習慣をつけることで、適切な公式を迷わずに選択できるようになります。
- 公式の適用条件を無視して無理やり使おうとすると、誤った結論に至ります。例えば、弦の共振条件は「両端が固定（または自由）で定常波ができている」という前提があって初めて使えます。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- この問題の解答に至る思考プロセスを振り返ると、以下のような論理の流れが見られます。この流れを自分で再現できるようにすることが、応用力を高める上で重要です。
- 問1(1) 波長の特定:
- 現状把握: 2つの異なる弦長 \(a_1, a_2\) で共振しています。他の条件（振動数 \(f\)、張力 \(T\)、線密度 \(\rho\)）はこの時点では同じであるため、弦固有の波長 \(\lambda\) も同じと考えられます。
- 法則適用: 共振条件 \(a = n(\lambda/2)\) を \(a_1\) と \(a_2\) のそれぞれに適用。\(a_1 = n_1(\lambda/2)\), \(a_2 = n_2(\lambda/2)\)。
- 条件利用: 「（間に他の共振がなく）再び共振」したので、腹の数は1つだけ変化したと解釈し \(n_2 = n_1+1\) と仮定。
- 立式・解法: 2つの式から \(n_1\) を消去する形で、\(a_2 – a_1 = (n_1+1)(\lambda/2) – n_1(\lambda/2) = \lambda/2\) という関係を導き、ここから \(\lambda\) を具体的に求める。
- 問1(2) 腹の数の特定:
- 情報利用: (1)で求めた波長 \(\lambda\) (または半波長 \(\lambda/2\)) と、与えられた弦長 \(a_2=35\text{cm}\) を使用。
- 法則適用: 共振条件 \(a_2 = n_2(\lambda/2)\) に値を代入し、腹の数 \(n_2\) を直接計算する。
- 問1(3) 振動数の特定:
- 目標設定: 振動数 \(f\) を求めたい。波の基本式 \(v=f\lambda\) を変形した \(f=v/\lambda\) を利用する方針。
- 未知数の確認: \(\lambda\) は(1)で既知。波の速さ \(v\) が未知なので、これを求める必要がある。
- 法則適用（\(v\) の導出）: 弦を伝わる波の速さの公式 \(v = \sqrt{T/\rho}\) を利用する。
- 物理量計算（\(T, \rho\) の導出）: 張力 \(T\) はおもりの重力 \(mg\) から、線密度 \(\rho\) は弦全体の質量 \(M_{\text{弦}}\) と弦全体の長さ \(L_{\text{全体}}\) から、それぞれ \(T=mg\), \(\rho = M_{\text{弦}}/L_{\text{全体}}\) として計算する。この際、単位をSI基本単位に統一する。
- 計算実行: 具体的に \(T, \rho\) の値を計算し、それらを使って \(v\) を求め、最後に \(f\) を求める。
- 問1(4) 条件変更（張力変更）と再共振の条件:
- 変化の把握: おもりの質量が4倍になったため、張力 \(T\) が4倍に変化します。振動数 \(f\) は振動源が変わらないので一定であり、線密度 \(\rho\) も弦自体は同じなので一定です。
- 影響分析 (張力 \(\to\) 速さ \(\to\) 波長): 張力 \(T\) が4倍になると、\(v \propto \sqrt{T}\) より波の速さ \(v\) は \(\sqrt{4}=2\) 倍になる。振動数 \(f\) が一定なので、\(\lambda = v/f\) より新しい波長 \(\lambda’\) も2倍になる。
- 再共振条件の立式: 新しい弦の長さ \(a”\) は、新しい半波長 \(\lambda’/2\) の整数倍 \(a” = n”(\lambda’/2)\) を満たす必要がある。
- 条件設定の解釈: 「\(a=35\text{cm}\) のまま…Bを少なくとも右に移動」なので、\(a” > 35\text{cm}\) を満たす最小の \(a”\) を探す。
- 解法: 具体的に \(\lambda’\) を計算し、条件を満たす \(a”\) を見つけ、移動距離 \(a” – 35\text{cm}\) を計算する。
- 問2(5) 条件変更（線密度変更）と共振時の腹の数:
- 変化の把握: 弦の直径が2倍になったことにより、断面積は4倍になります。同じ材質・長さであるため質量も4倍になり、その結果、線密度 \(\rho\) が4倍に変化します（新しい線密度を \(\rho_3\) とします）。張力 \(T\) は元の \(6\text{kg}\) のおもりに戻るので問1(3)と同じであり、振動数 \(f\) も振動源が同じなので問1(3)と同じです。
- 影響分析 (線密度 \(\to\) 速さ \(\to\) 波長): 線密度 \(\rho_3\) が元の4倍になると、\(v \propto 1/\sqrt{\rho}\) より波の速さ \(v_3\) は \(1/\sqrt{4}=1/2\) 倍になる。振動数 \(f\) が一定なので、\(\lambda = v/f\) より新しい波長 \(\lambda_3\) も \(1/2\) 倍になる。
- 腹の数の計算: 与えられた弦の長さ \(a=30\text{cm}\) と、計算した新しい半波長 \(\lambda_3/2\) を用いて、共振条件 \(a=n_3(\lambda_3/2)\) から腹の数 \(n_3\) を求める。
- 問2(6) 条件変更（振動数変更）と目標の腹の数を達成する条件:
- 変化の把握: 腹の数 \(n_4=3\) 個が目標。弦の物理的特性（線密度 \(\rho_3\)、張力 \(T_1\)）は問2(5)と同じなので、波の速さ \(v_3\) も同じ。弦の振動部分の長さ \(a=30\text{cm}\) も同じ。変えるのは振動数 \(f_4\)。
- 影響分析 (目標の腹の数 \(\to\) 必要な波長 \(\to\) 必要な振動数): まず、目標とする腹の数 \(n_4\) と弦長 \(a\) から、共振条件 \(a=n_4(\lambda_4/2)\) を使って必要な波長 \(\lambda_4\) が決まる。
- 振動数の計算: 波の速さ \(v_3\) は既知で、必要な波長 \(\lambda_4\) が分かったので、波の基本式 \(v_3 = f_4 \lambda_4\) を変形した \(f_4 = v_3/\lambda_4\) から、目標を達成するための振動数 \(f_4\) を計算する。
- 問1(1) 波長の特定:
- このように、各設問で「何が変化し、何が一定か」「どの法則がどの順番で適用できるか」「未知数は何か、既知数は何か」を論理的に整理し、段階的に解き進めていくことが求められます。行き詰まったら、基本に立ち返り、図を描いたり、言葉で状況を説明し直したりするのも有効です。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 今回の計算過程で、ミスを防ぐために特に注意すべき点はどこだったか:
- 単位の統一と換算: 問題文中でcmとm、gとkgが混在していました。特に線密度 \(\rho\) や波の速さ \(v\) を計算する際には、矛盾なくSI基本単位（m, kg, s）に変換してから計算することが、誤りを防ぐ上で非常に重要です。例えば、\(\lambda=10\text{cm}\) を \(0.1\text{m}\) に直す、\(M_{\text{弦}}=1.8\text{g}\) を \(1.8 \times 10^{-3}\text{kg}\) に直すなど。
- 有効数字の扱い: 問題文で与えられている数値は基本的に2桁（例: 1.8g, 6kg, 30cm, 10m/s²）なので、最終的な答えもそれに合わせるのが一般的ですが、今回は割り切れる計算が多かったです。途中計算では少し多めに桁を取るか、分数で正確に保持し、最後に丸めるのが理想です。
- 平方根の計算: \(v = \sqrt{T/\rho}\) の計算では、数値の代入後、根号の中の計算を正確に行う必要があります。特に \(10^n\) のような指数計算（例: \(1.5 \times 10^{-3}\) の扱い）を含む割り算や、その後の平方根の処理（例: \(\sqrt{40 \times 10^3} = \sqrt{4 \times 10^4} = 2 \times 10^2\) のような変形）は慎重に行うべきポイントです。
- 分数の計算: 線密度の計算での \(\displaystyle\frac{1.8}{1.2} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5\) や、問2(5)の腹の数の計算での \(\displaystyle\frac{30}{2.5} = \frac{300}{25} = 12\) など、小数や分数を含む割り算は、焦らず正確に行うことが求められます。
- 比例関係の正確な理解と適用: 張力が4倍なら速さは\(\sqrt{4}=2\)倍。線密度が4倍なら速さは\(1/\sqrt{4}=1/2\)倍。これらの関係を正しく波長や振動数に結びつける部分（振動数が一定なら\(\lambda \propto v\)、速さが一定なら\(\lambda \propto 1/f\)など）で混乱しないように注意が必要です。
- 日頃からどのような意識で計算練習に取り組むべきか:
- 途中式を省略せずに丁寧に書く: 特に複雑な計算や複数のステップを踏む場合は、各段階の式と結果を省略せずに明記する習慣をつけましょう。これにより、論理の流れが明確になり、見直しが容易になり、どこで間違えたかを発見しやすくなります。
- 単位を一緒に記述する習慣: 計算の各ステップで数値だけでなく単位も一緒に書くことで、次元（単位）のチェックが自然とでき、不適切な公式の適用や単位換算忘れといったミスに気づきやすくなります。
- 概算で見積もる癖をつける: 計算を実行する前に、おおよその値を予測する習慣をつけると、計算結果がその予測から大きく外れていた場合に「何かおかしいぞ」と気づくことができます。
- 検算を行う: 時間が許せば、別の方法で計算してみるか、逆の計算をしてみる（例えば、求めた振動数と波長から速さを再計算し、元の速さと一致するか確認する）ことで、計算ミスを大幅に減らすことができます。
- 基本的な数学的操作の反復練習: 物理の計算は、分数、小数、指数、平方根、比例計算、簡単な方程式の変形など、基本的な数学的操作の上に成り立っています。これらの操作をスムーズかつ正確に行えるように、日頃から意識して基礎的な計算トレーニングを積んでおくことが、結局は物理の得点力向上に繋がります。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
計算によって答えが出たとしても、それが物理的に意味のある値なのか、あるいは現実的にあり得る範囲の値なのかを一度立ち止まって考えることは非常に大切です。- 問1(1) \(\lambda = 10 \text{ cm}\):
弦の振動部分の長さが30cmや35cmで共振しているので、波長がこれらの値と同程度のオーダーであるか、それより短い値であることは妥当と考えられます。もし計算結果が1mmなど極端に短かったり、数メートルなど極端に長かったりした場合は、計算ミスや考え方の誤りを疑うべきです。 - 問1(2) 腹の数 \(n=7\) 個:
腹の数は必ず正の整数になるはずです。計算結果が小数になったり負になったりした場合は明らかに間違いです。\(\lambda/2 = 5 \text{ cm}\) で弦長 \(a=35 \text{ cm}\) なので、\(35/5 = 7\) という整数値は妥当です。 - 問1(3) \(f = 2000 \text{ Hz}\):
これは \(2 \text{ kHz}\) であり、一般的な可聴域（数十 Hz ～ 20000 Hz程度）に入っています。実験室で使われる音叉や小型の発振器の振動数としても十分にありえる範囲です。また、波の速さ \(v=200 \text{ m/s}\) も、ピンと張った弦（例えば楽器の弦など）を伝わる波の速さとしては現実的な値の範囲内です（空気中の音速は約340m/sなので、それよりは少し遅いですが、弦の材質や張力によってはこの程度になります）。 - 問1(4) 移動距離 \(5 \text{ cm}\):
張力を強くすると波長が長くなる（速さが増すため、\(f\)一定なら\(\lambda\)も増す）ので、共振する弦の長さはより長いものが必要になるというのは直感と合致します。移動させる距離が元の弦長のスケール（数cm～数十cm）から大きく外れていないことも、妥当性の一つの目安になります。 - 問2(5) 腹の数 \(12\) 個:
弦が太く重く（線密度が大きく）なると、波は伝わりにくくなり波長は短くなる（速さが遅くなるため、\(f\)一定なら\(\lambda\)も減る）。同じ長さの弦であれば、より多くの腹（短い波長の波）が収まるというのは物理的に理にかなっています。 - 問2(6) \(f’ = 500 \text{ Hz}\):
腹の数を少なくする（つまり、各ループの長さ＝半波長を長くする＝波長を長くする）ためには、波の速さが一定であれば、振動数を小さくする必要がある（\(v=f\lambda\) で \(v\) が一定なら \(f\) と \(\lambda\) は反比例）。(5)の時の振動数 \(2000 \text{ Hz}\) よりも小さくなっているので、定性的には正しい方向です。
- 問1(1) \(\lambda = 10 \text{ cm}\):
- 「解の吟味」を通じて得られること:
- 計算ミスや、立式の段階での根本的な誤りに気づく最大のチャンスになります。「答えが出たから終わり」ではなく、「この答えは本当におかしくないか？」と自問することで、致命的なミスを防ぐことができます。
- 物理法則がどのように現象を記述しているのか、数式の背後にある物理的な意味や構造をより深く理解することができます。例えば、「張力を増すと振動数が高くなる（同じ長さ・同じ腹の数で共振させる場合）」といった関係性を、単なる数式の操作としてではなく、実際の物理現象として捉えられるようになります。
- 単に問題を解くだけでなく、「なぜそうなるのか？」を考えることで、論理的思考力や応用力が養われます。極端な場合（例：もし張力がゼロだったら？もし弦の長さが無限大だったら？）を考えてみるのも、理解を深める上で有効な手段です。
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