「名問の森」徹底解説（61〜63問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題61 (東京大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、気体の熱膨張を利用して水をくみ上げる装置の動作サイクルを熱力学的に解析するものです。円柱内の単原子理想気体の状態が、水の注入、加熱による膨張、排水、冷却による収縮を経て、元の状態に戻る一連の過程を追います。各状態（I, II, III, IV）における気体の圧力や温度、そして各状態変化の間に気体がする仕事や吸収する熱量を求めることが中心となります。ピストンの質量は無視できますが、水の重さや大気圧の影響を考慮する必要があります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、熱力学的なサイクルを構成する各過程での気体の状態変化を、力のつり合い、状態方程式、熱力学第一法則を駆使して定量的に評価するものです。特に、ピストンの上に乗る水の量が変化することによる圧力の変化や、定圧ではない過程での仕事の計算がポイントとなります。

問 (1)

思考の道筋とポイント
各状態における気体の圧力を求めるには、ピストン（およびその上の水）に働く力のつり合いを考えます。ピストンの質量は無視できるため、気体がピストンを押し上げる力と、大気圧および水の重さ（存在する場合）がピストンを押し下げる力の合計がつり合います。
各状態における気体の体積は、図から円柱の断面積\(S\)と気体部分の高さを用いて求めます。
圧力が求まれば、初期状態（状態I）の温度が\(T_0\)であることと、理想気体の状態方程式\(pV=nRT\)を利用して、各状態の温度を\(T_0\)を基準として表すことができます。
この設問における重要なポイント

• 各状態でのピストン（及び水柱）の力のつり合いを正確に立式する。
• 各状態での気体の体積を、図に示された高さ\(a, b, h\)と断面積\(S\)から正しく求める。
• 理想気体の状態方程式\(pV=nRT\)を用い、基準となる状態Iと比較して各状態の温度を導出する。

具体的な解説と立式
気体の物質量を\(n\)、気体定数を\(R\)とします。

状態I:
力のつり合い：
$$
\begin{aligned}
p_1S &= p_0S + (\rho Sb)g
\end{aligned}
$$
気体の圧力\(p_1\)は、
$$
\begin{aligned}
p_1 &= p_0 + \rho bg \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
状態方程式より、
$$
\begin{aligned}
p_1(Sa) &= nRT_0 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

状態II:
ピストンの上の水の深さは\(b\)で一定なので、圧力は\(p_1\)で一定です。
$$
\begin{aligned}
p_2 &= p_1 \\[2.0ex]
&= p_0 + \rho bg \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
気体の体積は\(V_2 = S(a+h)\)。温度を\(T_2\)とすると、状態方程式より、
$$
\begin{aligned}
p_2 S(a+h) &= nRT_2 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

状態III:
ピストンの上には水がないので、力のつり合いは、
$$
\begin{aligned}
p_3S &= p_0S
\end{aligned}
$$
気体の圧力\(p_3\)は、
$$
\begin{aligned}
p_3 &= p_0 \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
気体の体積は\(V_3 = S(a+h+b)\)。温度を\(T_3\)とすると、状態方程式より、
$$
\begin{aligned}
p_3 S(a+h+b) &= nRT_3 \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$

状態IV:
ピストンの上に水がない状態でピストンが下がるので、圧力は\(p_3\)で一定です。
$$
\begin{aligned}
p_4 &= p_3 \\[2.0ex]
&= p_0 \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
気体の体積は\(V_4 = S(a+b)\)。温度を\(T_4\)とすると、状態方程式より、
$$
\begin{aligned}
p_4 S(a+b) &= nRT_4 \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$

圧力のまとめ:
$$
\begin{aligned}
p_1 &= p_0 + \rho bg \\[2.0ex]
p_2 &= p_0 + \rho bg \\[2.0ex]
p_3 &= p_0 \\[2.0ex]
p_4 &= p_0
\end{aligned}
$$
温度の計算:
式②より\(nR = \displaystyle\frac{p_1 Sa}{T_0} = \frac{(p_0+\rho bg)Sa}{T_0}\)です。
温度\(T_2\): 式④より、
$$
\begin{aligned}
T_2 &= \frac{p_2 S(a+h)}{nR} \\[2.0ex]
&= \frac{(p_0+\rho bg)S(a+h)}{\frac{(p_0+\rho bg)Sa}{T_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{a+h}{a}T_0
\end{aligned}
$$
温度\(T_3\): 式⑥より、
$$
\begin{aligned}
T_3 &= \frac{p_3 S(a+h+b)}{nR} \\[2.0ex]
&= \frac{p_0 S(a+h+b)}{\frac{(p_0+\rho bg)Sa}{T_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{p_0(a+h+b)}{(p_0+\rho bg)a}T_0
\end{aligned}
$$
温度\(T_4\): 式⑧より、
$$
\begin{aligned}
T_4 &= \frac{p_4 S(a+b)}{nR} \\[2.0ex]
&= \frac{p_0 S(a+b)}{\frac{(p_0+\rho bg)Sa}{T_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{p_0(a+b)}{(p_0+\rho bg)a}T_0
\end{aligned}
$$

まず、それぞれの状態でピストンが静止しているので、ピストンにかかる上下の力がつり合っていると考えます。これにより、シリンダー内の気体の圧力がわかります。次に、図から気体が入っている部分の高さを読み取り、断面積を掛けて気体の体積を求めます。圧力と体積がわかったら、最初の状態（状態I）の温度が \(T_0\) であることを基準にして、理想気体の状態方程式を使い、他の状態での気体の温度を計算します。

各状態での圧力と温度は以下の通りです。
圧力:
\(p_1 = p_0 + \rho bg\), \(p_2 = p_0 + \rho bg\), \(p_3 = p_0\), \(p_4 = p_0\)
温度:
\(T_2 = \displaystyle\frac{a+h}{a}T_0\), \(T_3 = \displaystyle\frac{p_0(a+h+b)}{(p_0+\rho bg)a}T_0\), \(T_4 = \displaystyle\frac{p_0(a+b)}{(p_0+\rho bg)a}T_0\)
圧力は水の有無で決まり、温度は各状態の\(pV\)積に比例するという結果は物理的に妥当です。

問 (2)

思考の道筋とポイント
状態Iから状態IIへの変化は、問(1)で確認したように圧力\(p_1 = p_0+\rho bg\)で一定の定圧変化です。
定圧変化で気体がする仕事\(W_1\)は、\(W_1 = p_1 \Delta V\)で計算できます。体積変化\(\Delta V\)は\(V_2 – V_1 = S(a+h) – Sa = Sh\)です。
気体が吸収する熱量\(Q_1\)は、定圧モル比熱\(C_P\)を用いて\(Q_1 = nC_P \Delta T\)で計算できます。単原子分子の理想気体なので、\(C_P = \frac{5}{2}R\)です。
この設問における重要なポイント

• 状態Iから状態IIへの変化が定圧変化であることを利用する。
• 定圧変化における仕事の公式\(W = p\Delta V\)を適用する。
• 定圧変化における熱量の公式\(Q = nC_P\Delta T\)を適用する。

具体的な解説と立式
状態Iから状態IIへの変化は、圧力\(p_1\)が一定の定圧変化です。
気体の体積変化\(\Delta V_1\)は、
$$
\begin{aligned}
\Delta V_1 &= V_2 – V_1 \\[2.0ex]
&= S(a+h) – Sa \\[2.0ex]
&= Sh
\end{aligned}
$$
気体がする仕事\(W_1\)は、
$$
\begin{aligned}
W_1 &= p_1 \Delta V_1 \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
気体の温度変化\(\Delta T_1\)は\(T_2 – T_0\)。吸収する熱量\(Q_1\)は、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= nC_P \Delta T_1 \\[2.0ex]
&= n \cdot \frac{5}{2}R (T_2 – T_0) \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$

仕事 \(W_1\):
式⑨に\(p_1 = p_0 + \rho bg\)と\(\Delta V_1 = Sh\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
W_1 &= (p_0 + \rho bg)Sh
\end{aligned}
$$
熱量 \(Q_1\):
定圧変化では\(p_1\Delta V_1 = nR\Delta T_1\)が成り立つので、\(nR(T_2-T_0) = p_1(Sh) = (p_0+\rho bg)Sh\)。
これを式⑩に代入すると、
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= \frac{5}{2} nR(T_2 – T_0) \\[2.0ex]
&= \frac{5}{2} (p_0 + \rho bg)Sh
\end{aligned}
$$

状態IからIIへは、気体の圧力が一定のまま体積が増える変化です（これを定圧膨張といいます）。このとき気体がする仕事は、単純に「圧力 × 体積の増加分」で計算できます。
気体が吸収する熱量は、単原子の理想気体の場合、「\(\frac{5}{2} \times (\text{物質量}) \times (\text{気体定数}) \times (\text{温度の上昇分})\)」で計算できます。

気体がする仕事は \(W_1 = (p_0 + \rho bg)Sh\) です。
気体が吸収する熱量は \(Q_1 = \displaystyle\frac{5}{2}(p_0 + \rho bg)Sh\) です。
体積が増加しているので\(W_1 > 0\)。温度も上昇し、外部に仕事もしているので、外部から熱を吸収する必要があり\(Q_1 > 0\)です。符号は物理的に妥当です。

問 (3)

思考の道筋とポイント
状態IIから状態IIIへの変化では、水が排出されながらピストンが上昇するため、気体の圧力は\(p_2 = p_0+\rho bg\)から\(p_3 = p_0\)へと連続的に変化します。これは定圧変化ではありません。
気体がする仕事\(W_2\)は、\(p-V\)グラフが直線になることを示し、台形の面積として計算します。
気体が吸収する熱量\(Q_2\)は、仕事\(W_2\)が求まった後、熱力学第一法則\(Q_2 = \Delta U_2 + W_2\)として求めます。内部エネルギー変化\(\Delta U_2\)は\(\frac{3}{2}(p_3V_3 – p_2V_2)\)と計算できます。
この設問における重要なポイント

• 状態IIから状態IIIへの変化が定圧変化ではないことを理解する。
• 仕事\(W_2\)を\(p-V\)グラフの面積として計算する。
• 熱量\(Q_2\)は熱力学第一法則を用いて計算する。

具体的な解説と立式 (主たる解法：\(p-V\)グラフの利用)
状態IIからピストンが\(x\)だけ上昇したとき(\(0 \le x \le b\))、水の深さは\(b-x\)。
このときの気体の圧力\(P(x)\)は、
$$
\begin{aligned}
P(x) &= p_0 + \rho g(b-x)
\end{aligned}
$$
このときの気体の体積\(V(x)\)は、
$$
\begin{aligned}
V(x) &= S(a+h+x)
\end{aligned}
$$
これらから\(x\)を消去すると、\(P\)が\(V\)の1次関数となるため、\(p-V\)グラフは直線になります。
仕事\(W_2\)は、台形の面積として計算できます。
$$
\begin{aligned}
W_2 &= \frac{p_2+p_3}{2}(V_3 – V_2) \quad \cdots ⑪
\end{aligned}
$$
熱量\(Q_2\)は、
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= \Delta U_2 + W_2 \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}(p_3V_3 – p_2V_2) + W_2 \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$

式⑪に\(p_2 = p_0 + \rho gb\), \(p_3 = p_0\), \(V_3-V_2 = Sb\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
W_2 &= \frac{(p_0+\rho gb) + p_0}{2}(Sb) \\[2.0ex]
&= \frac{2p_0+\rho gb}{2}Sb \\[2.0ex]
&= \left(p_0 + \frac{1}{2}\rho gb\right)Sb
\end{aligned}
$$

状態IIからIIIへは、水があふれ出しながらピストンが上がるため、気体の圧力は一定ではありません。このとき気体がする仕事は、\(p-V\)グラフでこの変化を表したときのグラフの下側の面積に相当します。このグラフは直線になるため、台形の面積を計算することで仕事が求まります。

気体がする仕事は \(W_2 = \left(p_0 + \displaystyle\frac{1}{2}\rho gb\right)Sb\) です。この仕事は、気体が膨張し、その間の平均圧力が \(\frac{p_2+p_3}{2}\) であることから、常に正の値となります。

具体的な解説と立式 (熱量 \(Q_2\))
熱力学第一法則 \(\Delta U_2 = Q_2 – W_2\) より、\(Q_2 = \Delta U_2 + W_2\)。
内部エネルギー変化 \(\Delta U_2\)は、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_2 &= \frac{3}{2}(p_3V_3 – p_2V_2) \quad \cdots ⑬
\end{aligned}
$$
したがって、吸収する熱量 \(Q_2\) は、
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= \frac{3}{2}(p_3V_3 – p_2V_2) + W_2 \quad \cdots ⑭
\end{aligned}
$$

まず\(\Delta U_2\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_2 &= \frac{3}{2}(p_3V_3 – p_2V_2) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2} [p_0 S(a+h+b) – (p_0+\rho bg)S(a+h)] \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}S [p_0b – \rho bg(a+h)] \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}Sb [p_0 – \rho g(a+h)]
\end{aligned}
$$
次に\(Q_2 = \Delta U_2 + W_2\)に代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= \frac{3}{2}Sb [p_0 – \rho g(a+h)] + \left(p_0 + \frac{1}{2}\rho gb\right)Sb \\[2.0ex]
&= Sb \left[ \frac{3}{2}p_0 – \frac{3}{2}\rho g(a+h) + p_0 + \frac{1}{2}\rho gb \right] \\[2.0ex]
&= \frac{Sb}{2} [5p_0 – 3\rho g(a+h) + \rho gb] \\[2.0ex]
&= \frac{Sb}{2} [5p_0 – (3a+3h-b)\rho g]
\end{aligned}
$$

気体が吸収する熱量は、エネルギー保存の法則（熱力学第一法則）から計算します。まず、気体の内部エネルギーがどれだけ変化したかを、各状態での圧力と体積を使って計算します。そして、この内部エネルギーの変化量に、先ほど計算した気体がした仕事を足し合わせることで、吸収した熱量が求まります。

気体が吸収する熱量は \(Q_2 = \displaystyle\frac{Sb}{2} [5p_0 – (3a+3h-b)\rho g]\) です。

問 (4)

思考の道筋とポイント
1サイクル(\(I \rightarrow II \rightarrow III \rightarrow IV \rightarrow I\))で気体がする全体の仕事\(W\)を求めます。これには、各過程の仕事の和を計算する方法と、\(p-V\)グラフで囲まれた面積を計算する方法があります。後者の方が計算が簡潔です。サイクルが\(p-V\)グラフ上で平行四辺形を形成することを利用します。
この設問における重要なポイント

• 1サイクルの仕事は、\(p-V\)グラフ上でサイクルが囲む面積として求められる。
• この問題のサイクルが平行四辺形になることを認識する。

具体的な解説と立式 (主たる解法：各過程の仕事の和)
\(W_1 = (p_0 + \rho bg)Sh\) （問(2)より）
\(W_2 = \left(p_0 + \frac{1}{2}\rho gb\right)Sb\) （問(3)より）

過程III \(\rightarrow\) IV: 定圧変化（圧力 \(p_3=p_0\)）
$$
\begin{aligned}
\Delta V_3 &= V_4 – V_3 \\
&= S(a+b) – S(a+h+b) \\
&= -Sh
\end{aligned}
$$
仕事 \(W_3\) は、
$$
\begin{aligned}
W_3 &= p_3 \Delta V_3 \\
&= p_0(-Sh) \\
&= -p_0Sh
\end{aligned}
$$

過程IV \(\rightarrow\) I: 圧力が変化する過程。仕事 \(W_4\) は、
$$
\begin{aligned}
W_4 &= \frac{p_4+p_1}{2}(V_1-V_4) \\
&= \frac{p_0 + (p_0+\rho bg)}{2}(Sa – S(a+b)) \\
&= \frac{2p_0+\rho bg}{2}(-Sb) \\
&= -\left(p_0+\frac{1}{2}\rho bg\right)Sb
\end{aligned}
$$
1サイクルの全仕事 \(W\) は、
$$
\begin{aligned}
W &= W_1 + W_2 + W_3 + W_4
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
W &= (p_0 + \rho bg)Sh + \left(p_0 + \frac{1}{2}\rho gb\right)Sb + (-p_0Sh) + \left(-\left(p_0+\frac{1}{2}\rho bg\right)Sb\right) \\[2.0ex]
&= p_0Sh + \rho bgSh + p_0Sb + \frac{1}{2}\rho gb^2S – p_0Sh – p_0Sb – \frac{1}{2}\rho gb^2S \\[2.0ex]
&= \rho bgSh
\end{aligned}
$$

1サイクルで気体がする全体の仕事は、4つの各段階（I→II、II→III、III→IV、IV→I）で気体がする仕事をすべて足し合わせることで求められます。それぞれの段階での仕事は、圧力が一定なら「圧力×体積変化」、圧力が変化する場合は「\(p-V\)グラフの面積」で計算します。

1サイクルで気体がする仕事 \(W = \rho bgSh\) です。この仕事は正の値であり、サイクル全体として気体は外部に正味の仕事をしたことを意味します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いと熱力学法則の段階的適用:
  • 核心: この問題の核心は、熱力学サイクルを構成する各状態と各過程を一つずつ丁寧に分析し、その状況に応じて適切な物理法則（力のつり合い、状態方程式、熱力学第一法則）を使い分ける能力にあります。特に、ピストンの上に乗った水の重さが圧力にどう影響するか、そしてそれが過程によってどう変化するかを正確に追跡することが鍵となります。
  • 理解のポイント:
    1. 状態の決定（力のつり合い）: 各状態（I, II, III, IV）での気体の圧力は、ピストンにはたらく力のつり合いによって決まります。\(pS = p_0S + (\text{水の重さ})\)という基本式を、各状態の水の有無に応じて適用します。
    2. 状態量の関連付け（状態方程式）: 各状態の圧力、体積、温度は、理想気体の状態方程式\(pV=nRT\)によって関連付けられています。基準となる状態（この場合は状態I）と比較することで、未知の温度などを求めることができます。
    3. 過程の分析（熱力学第一法則）: 各状態変化（I→IIなど）における仕事\(W\)や熱量\(Q\)は、熱力学第一法則\(\Delta U = Q – W\)を用いて計算します。過程の種類（定圧変化など）を見抜くことが、計算を簡略化する上で重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • スターリングエンジンなどの熱機関サイクル: 異なる温度の熱源との間で熱をやり取りしながら、気体が膨張・収縮を繰り返す問題。各過程（等温変化、定積変化など）を特定し、サイクル全体の仕事や熱効率を計算します。
  • 化学反応を伴うピストン内の気体: 燃焼などによって気体の物質量や温度が変化し、ピストンが動く問題。エネルギー保存則に、化学反応による反応熱も加味する必要があります。
  • 多段階のピストンや連結容器: 複数のピストンや容器が連結され、複雑な状態変化をする問題。各部分について法則を適用し、連立方程式を解くアプローチが基本となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず\(p-V\)グラフを書いてみる: 問題文の記述に従って、状態変化の概略を\(p-V\)グラフに描いてみましょう。これにより、各過程が定圧か、体積一定か、あるいは両方変化するのかが視覚的に整理でき、仕事の計算（面積）やサイクル全体の様子の見通しが良くなります。
  2. 「ゆっくり」という言葉に注目する: 「ゆっくり」という記述は、気体が常に内部で熱平衡状態を保ちながら変化する（準静的過程）ことを意味します。これにより、各瞬間で状態方程式が適用できることが保証されます。
  3. 系全体でエネルギー収支を考える: 問(4)の別解のように、1サイクル全体で考えると、気体の内部エネルギーは元に戻る(\(\Delta U=0\))ため、\(Q_{\text{net}} = W_{\text{net}}\)（正味の吸収熱量＝正味の仕事）という関係が成り立ちます。この大局的な視点は、複雑なサイクルの解析に有効です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 圧力の計算ミス:
  • 誤解: ピストンの上の水の重さを考慮し忘れたり、全ての過程で圧力が一定だと勘違いしたりする。
  • 対策: 各状態の図を必ず描き、ピストンにはたらく力をすべて書き出しましょう。特に、水の有無や深さが状態によってどう変わるかを正確に把握することが重要です。
• 仕事の計算方法の誤り:
  • 誤解: 圧力が変化する過程（II→III）で、安易に始点か終点の圧力を使って\(W=p\Delta V\)と計算してしまう。
  • 対策: \(W=p\Delta V\)は定圧変化専用の公式です。圧力が変化する場合は、必ず\(p-V\)グラフを描き、その面積を求めるという基本に立ち返りましょう。今回は圧力が体積の1次関数になるため、台形の面積公式が使えます。
• 物質量\(n\)や気体定数\(R\)の扱いで混乱する:
  • 誤解: \(n\)や\(R\)が未知数であるため、計算が複雑になり混乱する。
  • 対策: この種の問題では、\(n\)や\(R\)は最終的な答えには含まれないことが多いです。状態方程式を用いて\(nR = pV/T\)の形にし、基準となる状態（状態I）の物理量で置き換えることで、計算途中で消去できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合い \(pS = p_0S + mg\):
  • 選定理由: 各状態においてピストンが「つり合っている」または「ゆっくり」動いているため。これは力学の基本法則であり、気体の圧力を決定するための出発点です。
  • 適用根拠: ピストンが静止または準静的に動いているという物理的状況。
• 仕事 \(W = p\Delta V\)（定圧変化）:
  • 選定理由: 過程I→IIとIII→IVが、力のつり合いから圧力が一定のまま体積が変化する「定圧変化」であるため。この公式が直接適用でき、計算が最も簡単です。
  • 適用根拠: 圧力が一定という条件下での体積変化。
• 仕事 \(W = \frac{p_A+p_B}{2}\Delta V\)（台形の面積）:
  • 選定理由: 過程II→IIIとIV→Iが、圧力が体積の1次関数として線形に変化する過程であるため。\(p-V\)グラフが直線になるので、その下の面積は台形の面積公式で計算できます。
  • 適用根拠: 圧力が体積の1次関数として変化する過程。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\):
  • 選定理由: 仕事と内部エネルギー変化（温度変化から計算可能）が分かっている状態で、吸収熱量\(Q\)を求めたい場合に用いる、エネルギー保存則の基本形です。
  • 適用根拠: 熱の出入りと仕事のやり取りがある、あらゆる熱力学過程。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位と物理量の整理:
  • 特に注意すべき点: 圧力(\(p_0\))と、水の重さによる圧力(\(\rho bg\))の単位が同じであることを意識する。多くの文字(\(p_0, \rho, b, g, S, a, h, T_0\))が登場するため、どの文字がどの物理量を表すかを常に明確に保つ。
  • 日頃の練習: 問題を解き始める前に、与えられた物理量をリストアップし、それぞれの意味を確認する。計算の各ステップで、式の次元（単位）が合っているかを確認する癖をつける。
• 計算の順序:
  • 特に注意すべき点: 問(3)の熱量\(Q_2\)のように、ある量を計算するために他の量（仕事\(W_2\)や内部エネルギー変化\(\Delta U_2\)）を先に計算する必要がある場合、計算の順序を間違えると手詰まりになる。
  • 日頃の練習: 設問で何が問われているかを確認し、それを計算するために何が必要かを逆算して考える（例: \(Q_2\)を求めるには\(\Delta U_2\)と\(W_2\)が必要 → \(W_2\)を先に計算しよう、など）。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 温度: 加熱すれば温度は上がり(\(T_2, T_3 > T_0\))、冷却すれば温度は下がる(\(T_4 < T_3\))はず。各温度の大小関係が直感と合っているか確認する。
  • (2), (3) 仕事と熱量: 気体が膨張する過程（I→II, II→III）では仕事は正、収縮する過程（III→IV, IV→I）では仕事は負になる。加熱する過程では熱量は正、冷却する過程では熱量は負になる。計算結果の符号が物理現象と一致しているかを確認する。
  • (4) 全仕事\(W\): \(p-V\)グラフを描いたとき、サイクルが時計回りなら\(W>0\)、反時計回りなら\(W<0\)となる。このサイクルは時計回りなので、\(W>0\)となるはず。計算結果\(W=\rho bgSh\)は正であり、妥当。
• サイクルの物理的意味との照らし合わせ:
  • この装置は、熱を仕事に変えて水をくみ上げる「熱機関」です。したがって、1サイクルで正味の仕事をし(\(W>0\))、そのためには正味の熱を吸収する(\(Q_{\text{net}} > 0\))必要があります。
  • 問(4)の別解2で見たように、した仕事\(W=\rho bgSh\)は、質量\(\rho Sb\)の水を高さ\(h\)だけ持ち上げる位置エネルギーの増加と一致します。これは、この熱機関の「成果」が物理的に何を意味するかを明確に示しており、非常に良い吟味の方法です。

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問題62

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問(1)