「名問の森」徹底解説（49〜51問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題49 (福井大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、断熱容器内で行われる気体の断熱膨張を、分子運動論の立場から微視的に考察し、体積変化と温度変化の関係を導き出すものです。単原子分子からなる理想気体を対象とし、分子とピストンの弾性衝突を通じてエネルギーのやり取りを考えます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、気体の断熱膨張の微視的解釈です。通常、断熱変化は熱力学第一法則やポアソンの法則 \(PV^\gamma = \text{一定}\) を用いてマクロに扱われますが、ここでは分子運動論の立場から、分子と動くピストンとの衝突を通じてエネルギーが変化する様子を追跡し、最終的に断熱膨張時の温度と体積の関係を導きます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 弾性衝突: 特に、運動する壁との衝突では、相対速度の考え方が有効。
• 運動エネルギー: \(\frac{1}{2}mv^2\)。
• 平均の概念: 多数の分子を扱うため、速度の2乗平均などを用いる。
• 気体の内部エネルギーと温度の関係: 単原子分子理想気体では、内部エネルギーは分子の平均運動エネルギーに比例し、絶対温度に比例する。

問題文の誘導に沿って各空欄を埋めていくことで、断熱膨張の本質に迫ります。

(1)

思考の道筋とポイント
分子が \(x\) 方向の速さ \(v_x\) で、\(x\) 方向に速度 \(u\) で動いているピストンPに弾性衝突する場合を考えます。これは動く壁との1次元の弾性衝突と見なせます。衝突後の分子の \(x\) 方向の速度成分 \(v_x’\) を求めます。反発係数 \(e=1\) の式（相対速度の関係）を使うのが簡明です。

この設問における重要なポイント

• 動く壁との弾性衝突: 衝突後の相対速度の大きさは衝突前の相対速度の大きさに等しく、向きが反対。 \(v_1′ – v_2′ = -e(v_1 – v_2)\)。弾性衝突なので \(e=1\)。
• ピストンは一方的に速度 \(u\) で動き続けると考える。

具体的な解説と立式
分子の衝突前の \(x\) 方向の速度を \(v_x\)、ピストンPの速度を \(u\)（右向き正）とします。衝突後の分子の \(x\) 方向の速度を \(v_x’\) とします。
弾性衝突なので反発係数 \(e=1\) です。相対速度の公式より、
$$v_x’ – u = -1 \cdot (v_x – u) \quad \cdots ①$$

式① \(v_x’ – u = -(v_x – u)\) を \(v_x’\) について解きます。
$$v_x’ – u = -v_x + u$$
$$v_x’ = -v_x + 2u$$
衝突後分子は左向き (\(-x\) 方向) に跳ね返るため、その速さ（大きさ）は \(|-v_x + 2u|\) です。\(v_x \gg u\) という条件があるので、\(v_x – 2u > 0\) となり、跳ね返った後の速さは \(v_x – 2u\) となります。

別解(1-1): ピストンと共に動く座標系
ピストンPと同じ速度 \(u\) で動く観測者から見ると、ピストンは静止しています。分子はピストンに対して相対速度 \(v_x – u\) で近づいてきます。弾性衝突なので、分子は同じ相対速度 \(v_x – u\) でピストンから遠ざかります。このときの分子の実際の速度（実験室系での速度）を \(v_x’\) とすると、ピストンから見た分子の速度は \(v_x’ – u\) です。遠ざかる向きなので、\(v_x’ – u = -(v_x – u)\) となります。これを解くと \(v_x’ = -v_x + 2u\)。速さは \(|2u-v_x| = v_x-2u\)（\(v_x \gg u\) より）。

逃げる壁（ピストンP）にボール（分子）が追いついて跳ね返る状況です。弾性衝突なので、壁から見たボールの近づく速さと遠ざかる速さは同じです。これを元の静止した座標系に戻して考えると、跳ね返った後の分子の \(x\) 方向の速さが求まります。元の速さ \(v_x\) から \(2u\) だけ遅くなります。

衝突後の \(x\) 方向の速さは \(v_x – 2u\) となります。ピストンが逃げるため、衝突前より速さが減少するのは直感的にも理解できます。

(2)

思考の道筋とポイント
分子の運動エネルギーの変化を計算します。衝突前の運動エネルギーと衝突後の運動エネルギーの差を取ります。速度の \(y, z\) 成分は衝突によって変化しないため、運動エネルギーの変化は \(x\) 方向の成分の変化のみから生じます。(1)で求めた衝突後の \(x\) 方向の速さを用います。\(v_x \gg u\) なので \(u^2\) の項は無視できるという近似を用います。

この設問における重要なポイント

• 運動エネルギー: \(E_k = \frac{1}{2}mv^2\)。ここでは \(x\) 方向の運動エネルギーの変化に着目。
• 近似計算: \(v_x \gg u\) を利用して \(u^2\) の項を無視する。
• エネルギーの減少量なので、(衝突前のエネルギー) – (衝突後のエネルギー) を計算。

具体的な解説と立式
衝突による分子の運動エネルギーの減少 \(\Delta E_{k,1回}\) を求めます。衝突前の \(x\) 方向の速さは \(v_x\)、衝突後の \(x\) 方向の速さは \((v_x-2u)\)。\(y, z\) 方向の速度成分は変化しないので、運動エネルギーの変化は \(x\) 方向の成分の変化から、
$$\Delta E_{k,1回} = \frac{1}{2}mv_x^2 – \frac{1}{2}m(v_x-2u)^2 \quad \cdots ②$$

式②を展開します。
$$\Delta E_{k,1回} = \frac{1}{2}m \left( v_x^2 – (v_x^2 – 4v_x u + 4u^2) \right)$$
$$= \frac{1}{2}m (4v_x u – 4u^2) = 2mv_x u – 2mu^2$$
ここで、\(v_x \gg u\) なので \(u/v_x \ll 1\)。このため、\(2mu^2\) の項は \(2mv_x u\) に比べて十分小さいので無視できます。
よって、
$$\Delta E_{k,1回} \approx 2mv_x u \quad \cdots ③$$

衝突によって分子の速さが \(v_x\) から \(v_x-2u\) に変わったので、その前後での運動エネルギー（\(\frac{1}{2} \times \text{質量} \times \text{速さ}^2\)）を計算し、その差を取ります。ピストンの速さ \(u\) は分子の速さ \(v_x\) に比べてとても小さいので、計算途中で \(u^2\) が出てくる部分は無視します。

分子の運動エネルギーは \(2mv_x u\) だけ減少します。ピストンに仕事をすることでエネルギーを失ったと解釈できます。

(3)

思考の道筋とポイント
分子がピストンPと衝突してから、容器の左端の壁に衝突し、再びピストンPに戻ってきて衝突するまでの1往復で \(x\) 方向に進む距離は \(2L\) です。微小時間 \(\Delta t\) の間に分子が \(x\) 方向に進む総距離は \(v_x \Delta t\) と近似し、衝突回数を求めます。

この設問における重要なポイント

• 衝突サイクルの距離: ピストンと壁の間を1往復する \(x\) 方向の距離は \(2L\)。
• 微小時間内の \(x\) 方向の移動距離: \(v_x \Delta t\)。

具体的な解説と立式
分子が \(x\) 方向に1回往復してピストンに再度衝突するまでに進む \(x\) 方向の距離は \(2L\) です。微小時間 \(\Delta t\) 内にピストンPと衝突する回数 \(N_{\text{衝突}}\) は、
$$N_{\text{衝突}} = \frac{v_x \Delta t}{2L} \quad \cdots ④$$

（上記「具体的な解説と立式」で結論④が導かれているため、追加の計算ステップは不要です。）

分子はピストンと壁の間を行ったり来たりします。ピストンに1回ぶつかってから次にまたピストンにぶつかるまでには、\(x\) 方向には \(2L\) の距離を走ります。ごく短い時間 \(\Delta t\) の間に、分子が \(x\) 方向に走る距離はだいたい \(v_x \Delta t\) です。なので、この短い時間に何回ピストンにぶつかるかは、「\(v_x \Delta t\) ÷ \(2L\)」で計算できます。

衝突回数は \(\displaystyle \frac{v_x \Delta t}{2L}\) 回となります。

(4)

思考の道筋とポイント
微小時間 \(\Delta t\) の間の分子の運動エネルギーの減少 \(\Delta \epsilon\) は、(2)で求めた1回の衝突で減少する運動エネルギーと、(3)で求めた \(\Delta t\) 間の衝突回数を掛け合わせることで得られます。

この設問における重要なポイント

• 総エネルギー変化 = (1回あたりのエネルギー変化) × (回数)。

具体的な解説と立式
1回の衝突で減少する運動エネルギーは \(\Delta E_{k,1回} \approx 2mv_x u\) （式③）。
\(\Delta t\) 間の衝突回数は \(N_{\text{衝突}} = \frac{v_x \Delta t}{2L}\) （式④）。
\(\Delta t\) 間の分子の運動エネルギーの総減少量 \(\Delta \epsilon\) は、
$$\Delta \epsilon = (\Delta E_{k,1回}) \times N_{\text{衝突}} \quad \cdots ⑤$$

式⑤に式③と式④を代入します。
$$\Delta \epsilon = (2mv_x u) \times \left(\frac{v_x \Delta t}{2L}\right) = \frac{mv_x^2 u \Delta t}{L} \quad \cdots ⑥$$

短い時間 \(\Delta t\) の間に、分子の運動エネルギーがどれだけ減るかは、「1回ぶつかったときに減るエネルギー（(2)で計算）」×「\(\Delta t\) の間にぶつかる回数（(3)で計算）」で求まります。

この間の分子の運動エネルギーの減少は \(\displaystyle \frac{mv_x^2 u \Delta t}{L}\) となります。

(5)

思考の道筋とポイント
微小時間 \(\Delta t\) の間での体積の増加分 \(\Delta V\) ともとの体積 \(V\) との比 \(\Delta V/V\) を求めます。容器の断面積を \(S\) とすると、もとの体積 \(V = SL\)。微小時間 \(\Delta t\) の間にピストンPは \(u\Delta t\) だけ移動するので、体積の増加分 \(\Delta V = S \cdot (u\Delta t)\) となります。

この設問における重要なポイント

• 体積と断面積・長さの関係: \(V=SL\)。
• 微小体積変化: \(\Delta V = S \times (\text{ピストンの移動距離})\)。

具体的な解説と立式
容器の断面積を \(S\) とします。もとの体積 \(V\) は、
$$V = SL \quad \cdots ⑦$$
微小時間 \(\Delta t\) の間にピストンPは \(u\Delta t\) だけ右に移動します。このときの体積の増加分 \(\Delta V\) は、
$$\Delta V = S (u\Delta t) \quad \cdots ⑧$$
求めるのは \(\Delta V/V\) です。

式⑧を式⑦で割ります。
$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{S u\Delta t}{SL}$$
断面積 \(S\) が約分されて、
$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{u\Delta t}{L} \quad \cdots ⑨$$

ピストンが少し動くと、容器の体積が少し増えます。元の体積は「底面積 \(S\) × 長さ \(L\)」。短い時間 \(\Delta t\) にピストンは \(u\Delta t\) だけ動くので、増えた体積は「底面積 \(S\) × \(u\Delta t\)」。「増えた体積 ÷ 元の体積」を計算します。

体積の増加分ともとの体積との比 \(\Delta V/V\) は \(\displaystyle \frac{u\Delta t}{L}\) となります。

(6)

思考の道筋とポイント
分子1個あたりの平均運動エネルギーの変化 \(\Delta E\) を求めます。(4)で求めた1個の分子の運動エネルギーの減少量 \(\Delta \epsilon = \frac{mv_x^2 u \Delta t}{L}\) において、\(v_x^2\) をその平均値 \(\overline{v_x^2}\) に置き換えたものが、1個の分子の平均的なエネルギー減少量とみなせます。エネルギーの「変化」\(\Delta E\) は、減少なのでマイナス符号をつけて表します。そして、(5)で求めた \(\frac{\Delta V}{V} = \frac{u\Delta t}{L}\) の関係を用いて式を書き換えます。

この設問における重要なポイント

• 平均化の操作: 個々の分子の \(v_x^2\) を平均値 \(\overline{v_x^2}\) で代表させる。
• 変化量 \(\Delta E\) の符号: 減少なので負の値をとる。

具体的な解説と立式
(4)の結果 \(\Delta \epsilon = \frac{mv_x^2 u \Delta t}{L}\) の \(v_x^2\) を平均値 \(\overline{v_x^2}\) で置き換えると、分子1個あたりの平均的なエネルギー減少量は \(\frac{m\overline{v_x^2} u \Delta t}{L}\) となります。
分子の平均運動エネルギーの変化 \(\Delta E\) は、この減少量にマイナス符号をつけたものなので、
$$\Delta E = -\frac{m\overline{v_x^2} u \Delta t}{L} \quad \cdots ⑩$$
(5)の結果 \(\frac{\Delta V}{V} = \frac{u\Delta t}{L}\) を用いて、式⑩を書き換えます。

式⑩に \(\frac{u\Delta t}{L} = \frac{\Delta V}{V}\) （式⑨）を代入すると、
$$\Delta E = -m\overline{v_x^2} \frac{\Delta V}{V} \quad \cdots ⑪$$

(4)で、ある1個の分子が短い時間 \(\Delta t\) に失うエネルギーを計算しました。実際にはたくさんの分子がいて、それぞれの \(x\) 方向の速さ \(v_x\) はバラバラです。そこで、\(v_x^2\) の部分を全体の平均値 \(\overline{v_x^2}\) で置き換えて、分子1個あたりの「平均的な」エネルギー変化を考えます。エネルギーは減るので、マイナス符号をつけます。さらに、(5)で見つけた関係を使って、このエネルギー変化の式を書き直します。

分子の平均運動エネルギーの変化 \(\Delta E\) は \(\displaystyle \Delta E = -m\overline{v_x^2} \frac{\Delta V}{V}\) となります。

(7)

思考の道筋とポイント
分子の速さの2乗平均 \(\overline{v^2}\) と、その \(x\) 成分の2乗平均 \(\overline{v_x^2}\) の関係を求めます。分子の速度ベクトル \(\vec{v}\) の成分を \((v_x, v_y, v_z)\) とすると、\(v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\) です。気体中では分子の運動はあらゆる方向で一様（等方的）と考えられるため、各方向の速度の2乗平均は等しくなると仮定します (\(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\))。

この設問における重要なポイント

• 三平方の定理（空間）: \(v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\)。
• 分子運動の等方性: 平均的には、特定の方向が優先されることはない。 \(\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2}\)。

具体的な解説と立式
分子の速度の2乗は、各成分の2乗の和で表されます。\(v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\)。
この式の平均をとると、
$$\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_y^2} + \overline{v_z^2} \quad \cdots ⑫$$
分子の運動は方向によらず一様（等方的）であると考えると、
$$\overline{v_x^2} = \overline{v_y^2} = \overline{v_z^2} \quad \cdots ⑬$$

式⑫に式⑬を代入すると、
$$\overline{v^2} = \overline{v_x^2} + \overline{v_x^2} + \overline{v_x^2} = 3\overline{v_x^2}$$
したがって、
$$\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2} \quad \cdots ⑭$$

分子の速さの2乗 (\(v^2\)) は、\(x, y, z\) 各方向の速さの成分の2乗を足したもの (\(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2\)) です。たくさんの分子がランダムに動いている場合、平均して考えると、\(x, y, z\) のどの方向も特別扱いされることはありません。なので、\(\overline{v_x^2}\) と \(\overline{v_y^2}\) と \(\overline{v_z^2}\) はだいたい同じ値になると考えられます。このことから、\(\overline{v^2} = 3\overline{v_x^2}\) という関係が成り立ちます。

\(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) となります。これは分子運動論で頻繁に用いられる重要な関係式です。

(8)

思考の道筋とポイント
(6)で求めた \(\Delta E = -m\overline{v_x^2} \frac{\Delta V}{V}\) （式⑪）に、(7)で求めた \(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) （式⑭）を代入します。さらに、分子1個あたりの平均運動エネルギー \(E = \frac{1}{2}m\overline{v^2}\) の関係を用いて、\(\Delta E\) を \(E\) と \(\Delta V/V\) で表します。

この設問における重要なポイント

• (6)と(7)の結果の組み合わせ。
• 平均運動エネルギー \(E\) の定義 \(E = \frac{1}{2}m\overline{v^2}\) を利用して式を書き換える。

具体的な解説と立式
式⑪ \(\Delta E = -m\overline{v_x^2} \frac{\Delta V}{V}\) に、式⑭ \(\overline{v_x^2} = \frac{1}{3}\overline{v^2}\) を代入すると、
$$\Delta E = -m\left(\frac{1}{3}\overline{v^2}\right) \frac{\Delta V}{V} = -\frac{1}{3}m\overline{v^2} \frac{\Delta V}{V} \quad \cdots ⑮$$
分子1個あたりの平均運動エネルギー \(E\) は \(E = \frac{1}{2}m\overline{v^2}\) なので、\(m\overline{v^2} = 2E\) と書けます。これを式⑮に代入します。

式⑮に \(m\overline{v^2} = 2E\) を代入すると、
$$\Delta E = -\frac{1}{3}(2E) \frac{\Delta V}{V} = -\frac{2}{3}E \frac{\Delta V}{V} \quad \cdots ⑯$$

(6)で求めた「平均運動エネルギーの変化 \(\Delta E\)」の式に、(7)で見つけた \(\overline{v_x^2}\) と \(\overline{v^2}\) の関係を代入します。さらに、分子1個あたりの平均運動エネルギー \(E\) を使って、最終的に \(\Delta E\) を \(E\) と \(\Delta V/V\) だけで表します。

\(\Delta E = -\frac{2}{3}E \frac{\Delta V}{V}\) となります。

(9)

思考の道筋とポイント
気体の絶対温度 \(T\) は、分子の平均運動エネルギー \(E\) に比例します (\(E=aT\)、\(a\) は比例定数)。この関係を用いると、微小変化に対しても \(\Delta E = a\Delta T\) が成り立ち、これから \(\Delta E/E = \Delta T/T\) という関係が得られます。この関係と、(8)で得られた \(\Delta E/E = -\frac{2}{3}\frac{\Delta V}{V}\) を結びつけることで、\(\Delta T\) を \(T, V, \Delta V\) で表します。

この設問における重要なポイント

• 平均運動エネルギーと絶対温度の比例関係: \(E \propto T\)。
• 微小変化の比例関係から変化率の関係 \(\Delta E/E = \Delta T/T\)。
• (8)の結果の利用。

具体的な解説と立式
分子の平均運動エネルギー \(E\) は絶対温度 \(T\) に比例するので、\(E=aT\) （\(a\) は比例定数）と書けます。
微小変化 \(\Delta E\) と \(\Delta T\) の間にも \(\Delta E = a\Delta T\) が成り立ちます。
したがって、
$$\frac{\Delta E}{E} = \frac{a\Delta T}{aT} = \frac{\Delta T}{T} \quad \cdots ⑰$$
(8)の結果（式⑯）から、\(\frac{\Delta E}{E} = -\frac{2}{3}\frac{\Delta V}{V} \quad \cdots ⑱\)。
式⑰と式⑱から、
$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3}\frac{\Delta V}{V} \quad \cdots ⑲$$
この式から \(\Delta T\) を求めます。

式⑲から \(\Delta T\) について解くと、
$$\Delta T = -\frac{2T}{3V}\Delta V \quad \cdots ⑳$$

分子の平均運動エネルギー \(E\) は、気体の絶対温度 \(T\) に比例します。なので、\(E\) の変化率 (\(\Delta E/E\)) と \(T\) の変化率 (\(\Delta T/T\)) は等しくなります。(8)で \(\Delta E/E\) が \(\Delta V/V\) を使ってどう表されるかわかったので、これと \(\Delta T/T\) をつなげれば、\(\Delta T\) が \(T, V, \Delta V\) で表せます。

\(\Delta T = -\frac{2T}{3V}\Delta V\) となります。これは断熱膨張 (\(\Delta V > 0\)) で温度が下がる (\(\Delta T < 0\)) ことを示し、単原子分子理想気体の \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\) (\(\gamma=5/3\)) の関係と整合します。

【コラム】Q. 断熱変化で体積が3%増すと、温度と圧力はそれぞれ何%減少するか。問(9)の結果を用いてよい(変化は微小と考えてよい)。

思考の道筋とポイント
問(9)で得られた温度と体積の微小変化の関係式 \(\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3}\frac{\Delta V}{V}\) を用いて、体積が3% (\(\Delta V/V = 0.03\)) 増加したときの温度の相対変化を計算します。
次に、圧力の変化率を求めます。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) の微小変化を考え、\(\frac{\Delta P}{P}\) を \(\frac{\Delta V}{V}\) と \(\frac{\Delta T}{T}\) で表し、値を代入します。

この設問における重要なポイント

• 微小変化の関係式の利用: 問(9)の結果 \(\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3}\frac{\Delta V}{V}\)。
• 状態方程式の微小変化: \(PV=nRT\) から \(\frac{\Delta P}{P} + \frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T}\)。

具体的な解説と立式
体積が3%増すので、\(\frac{\Delta V}{V} = 0.03\)。
問(9)の結果（式⑲）より、温度の相対変化は、
$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3}\frac{\Delta V}{V} \quad \cdots ㉑$$
圧力の相対変化は、理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) の両辺の微小変化を考えると（\(n, R\) は定数）、
$$\frac{\Delta P}{P} + \frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T} \quad \cdots ㉒$$
となります。（2次の微小量 \(\frac{\Delta P}{P}\frac{\Delta V}{V}\) は無視）

温度の変化率を式㉑から計算します。
$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \times (0.03) = -0.02$$
よって、温度は2%減少します。
次に、圧力の変化率を式㉒から計算します。
$$\frac{\Delta P}{P} + 0.03 = -0.02$$
$$\frac{\Delta P}{P} = -0.02 – 0.03 = -0.05$$
よって、圧力は5%減少します。

温度: (9)で見つけた関係「温度の変化率 = \(-\frac{2}{3}\) × 体積の変化率」を使います。体積が3%増えたので、これを式に入れると温度の変化率がわかります。
圧力: 気体の法則 \(PV=nRT\) から、変化が小さいときは「圧力の変化率 + 体積の変化率 = 温度の変化率」が成り立ちます。体積の変化率 (3%増) と計算した温度の変化率 (2%減) をこの式に入れると、圧力の変化率が計算できます。

体積が3%増すと、温度は2%減少し、圧力は5%減少します。断熱膨張では温度と圧力がともに下がるという一般的な性質と一致しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 分子運動論の立場からの気体の断熱膨張の微視的理解と、マクロな熱力学の関係式への接続。
  • 動く壁との衝突によるエネルギー変化。
  • 衝突頻度と平均化の概念。
  • 内部エネルギーと温度の関係。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 気体分子運動論による圧力や温度の導出問題。
  • 断熱変化以外の熱力学過程の微視的考察。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 基本仮定（理想気体、弾性衝突など）の確認。
  2. 1分子の挙動分析（衝突、エネルギー変化）。
  3. 多数分子への拡張（平均化、統計処理）。
  4. マクロな法則との対比。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動く壁との衝突結果の誤り。
• エネルギー変化の符号の誤り。
• 平均化の処理 (\(\overline{v_x^2}\) と \((\overline{v_x})^2\) の混同など)。
• 微小変化の扱いの誤り。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • ピストンと分子の衝突（逃げる壁にボールを当てるイメージ）。
  • 多数の分子のランダムな運動と壁への衝突。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 相対運動の図示。
  • 座標軸の明示と速度・力の成分。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 弾性衝突の相対速度の式: 問題文の「弾性衝突」から。
• 運動エネルギーの式: エネルギー変化を問われているため。
• \(E \propto T\): 理想気体の分子の平均運動エネルギーと絶対温度の比例関係。
• 状態方程式の微分形（Q）: 微小な変化率の関係を見るため。
• 各公式や関係式の適用条件を理解する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 1分子と動く壁の衝突（速度変化、エネルギー変化）。
2. 1分子の衝突頻度と短時間での総エネルギー変化。
3. 体積変化との関連付け。
4. 多数分子への拡張と平均化（\(\overline{v_x^2}\) から \(E\) へ）。
5. 温度との関連付け（\(E \propto T\) から \(\Delta T\) へ）。
6. 微小変化の応用（Q）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 衝突後の速度の符号と大きさ。
  • エネルギー変化の計算での展開と近似。
  • 係数（1/3, 2/3など）の扱い。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 近似計算の練習。
  • 文字式の整理能力。
  • 各ステップの意味の確認。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 問(1): 衝突後に遅くなるのは妥当か。
  • 問(2): エネルギー減少量が正であるのは妥当か。
  • 問(8), (9): 断熱膨張でエネルギー減少、温度降下するのは妥当か。
  • Q: 体積増で温度・圧力減少は断熱膨張の性質と一致するか。
• 結果が既知の物理法則や現象の一般的な振る舞いと矛盾しないか確認する。

問題50 (防衛大＋横浜国大＋岩手大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、理想気体の状態変化をP-Vグラフ上で追いながら、仕事、熱、内部エネルギー変化に関する基本的な理解を問うものです。定積モル比熱 \(C_V\)、定圧モル比熱 \(C_P\) を用いて、各過程における熱力学的な量を記述していきます。サイクルは、定圧変化(A→B)、等温変化(B→C)、定積変化(C→D)、断熱変化(D→A)から構成されています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、理想気体の状態変化と熱力学第一法則です。P-Vグラフで示されたサイクルを通じて、気体がする仕事、吸収または放出する熱、内部エネルギーの変化を、それぞれの過程（定圧、等温、定積、断熱）の特性を踏まえて考察します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• P-Vグラフと仕事: グラフ上で状態変化の曲線とV軸で囲まれた面積が、気体がした仕事（またはされた仕事）を表す。
• 理想気体の内部エネルギー: 理想気体の内部エネルギーは絶対温度のみに依存し、\(U = nC_V T\)。したがって、変化量は \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。これはあらゆる変化に適用可能。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W\) （\(Q\)：気体が吸収した熱量、\(W\)：気体がされた仕事）。
• 各状態変化の特徴: 定圧変化、等温変化、定積変化、断熱変化。
• マイヤーの関係式: \(C_P – C_V = R\)。

これらの法則や定義を正確に理解し、各空欄に対応する物理量を特定・計算していきます。
全体的な戦略としては、各空欄について、問題文の指示とP-Vグラフ、熱力学の基本法則を参照しながら、適切な語句または数式を導き出します。仕事の有無や向きは体積変化で判断し、温度関係はP-Vグラフ上の等温線の性質や各過程の特性から判断します。内部エネルギーの変化は温度変化に直結し、熱量の出入りや仕事の計算は熱力学第一法則と各過程の公式を適用します。

(ア), (イ), (ウ)

思考の道筋とポイント
気体が仕事をするのは体積が膨張する過程であり、仕事をされるのは体積が圧縮される過程です。P-Vグラフ上で、体積 \(V\) が増加する区間が「仕事をした区間」、減少する区間が「仕事をされた区間」となります。体積が変化しない区間では仕事は0です。

この設問における重要なポイント

• 気体の仕事: 膨張するとき気体は正の仕事をし（外部にする仕事）、圧縮されるとき気体は負の仕事をする（外部から仕事をされる）。
• P-Vグラフ: 横軸が体積なので、右に進む変化が膨張、左に進む変化が圧縮。

具体的な解説と立式
P-Vグラフを確認します。

• A→B: 体積が増加しているので、気体は仕事をしています。
• B→C: 体積が増加しているので、気体は仕事をしています。
• C→D: 体積が一定なので、気体のする仕事は0です。
• D→A: 体積が減少しているので、気体は仕事をされています。

（上記「具体的な解説と立式」で結論が導かれているため、ここでの追加の計算ステップは不要です。）

気体が膨らむ（体積が増える）ときは、気体が外に「仕事をした」ことになります。逆に、気体が縮む（体積が減る）ときは、外から「仕事をされた」ことになります。グラフを見て、体積が増えている区間と減っている区間を選びます。

(ア) A→B、(イ) B→C の区間で気体は仕事をし、(ウ) D→A の区間で気体は仕事をされます。

(エ)

思考の道筋とポイント
1サイクル全体を通してみたときに気体がした正味の仕事を考えます。P-Vグラフにおいて、サイクルが時計回りの場合、気体は正味の仕事を外部にし、反時計回りの場合、気体は外部から正味の仕事をされます。また、サイクルが囲む面積が、1サイクルあたりの正味の仕事の大きさに相当します。

この設問における重要なポイント

• P-Vグラフ上のサイクル: サイクルが囲む面積が正味の仕事の大きさを表す。
• 仕事の向き: 時計回りのサイクルでは気体が外部に仕事をする。

具体的な解説と立式
図のサイクル A→B→C→D→A は時計回りに進行しています。膨張過程（A→B と B→C）で気体がする仕事の合計（グラフの下側の面積）は、圧縮過程（D→A）で気体がされる仕事（グラフの下側の面積）よりも大きいです。サイクルがP-Vグラフ上で囲む閉じたループの面積が、1サイクルあたりに気体が外部にした正味の仕事の大きさに相当し、この面積は正なので、気体は正味の仕事をしています。

（定性的な判断なので、計算ステップは不要です。）

P-Vグラフで、気体の状態が一周して元に戻る（サイクル）とき、そのループが囲んでいる部分の「面積」が、気体が全体としてした仕事の大きさを表します。ループが時計回りなら気体は仕事をし、反時計回りなら仕事をされます。この問題のグラフは時計回りです。

1サイクル全体を通してみると、気体は仕事を「して」いる。

(オ)

思考の道筋とポイント
各状態A, B, C, Dでの絶対温度 \(T_1, T_2, T_3\) の大小関係を調べます。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、\(T \propto PV\) です。また、P-Vグラフ上で等温線はグラフの右上にあるほど高温であることを利用します。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の状態方程式: \(PV=nRT\) より \(T = PV/(nR)\)。
• P-Vグラフ上の等温線: 右上にあるほど高温。
• 各状態変化における温度変化の性質。

具体的な解説と立式
各過程における温度変化を考察します。理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\) より、温度 \(T\) は \(PV\) に比例します（\(n, R\) は定数）。

• A(\(T_1\))→B(\(T_2\)): 定圧過程（\(P\) が一定）で体積 \(V\) が増加します。したがって、\(PV\) が増加するため、温度も上昇します。よって \(T_1 < T_2\)。
• B(\(T_2\))→C(\(T_2\)): 等温変化なので、温度は \(T_2\) で一定です。
• C(\(T_2\))→D(\(T_3\)): 定積過程（\(V\) が一定）で圧力 \(P\) が減少します。したがって、\(PV\) が減少するため、温度も下降します。よって \(T_3 < T_2\)。
• D(\(T_3\))→A(\(T_1\)): 断熱圧縮過程です。体積 \(V\) が減少し、外部から仕事をされるため内部エネルギーが増加し、温度は上昇します。よって \(T_3 < T_1\)。

これらの関係を総合すると、\(T_3 < T_1\) であり、かつ \(T_1 < T_2\) となります。
したがって、
$$T_3 < T_1 < T_2$$

（上記「具体的な解説と立式」での論理的な考察が結論を導くため、ここでの追加の計算ステップは不要です。）

P-Vグラフでは一般に右上に位置するほど温度が高いです。A→Bは定圧で体積が増えるので温度が上がります。B→Cは温度 \(T_2\) で一定。C→Dは体積一定で圧力が下がるので温度が下がります。D→Aは断熱圧縮で温度が上がるので \(T_3 < T_1\) です。これらを組み合わせると温度の低い順に \(T_3, T_1, T_2\) となります。

各状態での絶対温度 \(T_1, T_2, T_3\) の間の大小関係は \(T_3 < T_1 < T_2\) となります。

(カ), (キ)

思考の道筋とポイント
(カ) 内部エネルギーが変化しなかった区間を特定します。理想気体の内部エネルギーは絶対温度 \(T\) のみに依存するので、温度が一定の区間では内部エネルギーは変化しません。
(キ) (カ)で特定した区間において、気体が熱を吸収したか放出したかを判断します。熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) を用います（\(W\) は気体がされた仕事）。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の内部エネルギー: \(U = nC_V T\)。温度が一定なら \(\Delta U = 0\)。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W\)。

具体的な解説と立式
(カ) 内部エネルギーが変化しないのは、温度が一定の区間、すなわち等温変化 B→C です。
(キ) 区間 B→C では \(\Delta U = 0\)。この区間は膨張なので気体は外部に仕事をし、気体がされた仕事 \(W\) は負 (\(W<0\))。
熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) に \(\Delta U = 0\) を代入すると、\(0 = Q + W\)。よって \(Q = -W\)。
\(W<0\) なので、\(Q = -W > 0\)。つまり気体は熱を吸収しています。

（上記「具体的な解説と立式」での論理的な考察が結論を導くため、ここでの追加の計算ステップは不要です。）

(カ) 内部エネルギーは温度で決まるので、温度が変わらないB→Cが該当します。
(キ) B→Cでは内部エネルギーが変わらず (\(\Delta U = 0\))、気体は膨張して仕事をしています（された仕事 \(W\) はマイナス）。熱力学のルールから \(Q = -W\) となり、\(Q\) はプラス、つまり熱を吸収しています。

(カ) 内部エネルギーが変化しなかった区間は B→C です。(キ) この間に気体は熱を「吸収」しています。

(ク), (ケ), (コ)

思考の道筋とポイント
区間①は A(\(T_1\))→B(\(T_2\)) の定圧変化です。
(ク) 内部エネルギーの変化量 \(\Delta U_1 = nC_V \Delta T\)。
(ケ) 吸収熱量 \(Q_1 = nC_P \Delta T\)。
(コ) 気体がした仕事の大きさ \(W’_1\)。\(W’_1 = Q_1 – \Delta U_1\) または \(W’_1 = nR\Delta T\)。

この設問における重要なポイント

• 理想気体の内部エネルギー変化: \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。
• 定圧変化での吸収熱量: \(Q = nC_P \Delta T\)。
• 熱力学第一法則とマイヤーの関係式。

具体的な解説と立式
区間① (A→B) は温度が \(T_1\) から \(T_2\) へ変化する定圧過程です。
(ク) 内部エネルギーの変化量 \(\Delta U_1\) は、
$$\Delta U_1 = nC_V (T_2 – T_1) \quad \cdots ①$$
(ケ) この定圧変化で気体が吸収した熱量 \(Q_1\) は、
$$Q_1 = nC_P (T_2 – T_1) \quad \cdots ②$$
(コ) 気体がした仕事の大きさを \(W’_1\) とします。熱力学第一法則 \(\Delta U_1 = Q_1 + W_1\) で \(W_1 = -W’_1\) なので \(W’_1 = Q_1 – \Delta U_1\)。

(ク) \(\Delta U_1 = nC_V (T_2 – T_1)\)。
(ケ) \(Q_1 = nC_P (T_2 – T_1)\)。
(コ) 気体がした仕事の大きさ \(W’_1\) は、
$$W’_1 = Q_1 – \Delta U_1 = nC_P (T_2 – T_1) – nC_V (T_2 – T_1)$$
$$W’_1 = n(C_P – C_V)(T_2 – T_1)$$
マイヤーの関係式 \(C_P – C_V = R\) を用いると、
$$W’_1 = nR(T_2 – T_1) \quad \cdots ③$$

区間①（A→B）は圧力が一定のまま膨張し、温度が \(T_1\) から \(T_2\) に上がります。
(ク) 内部エネルギーの変化は「\(nC_V \times\) 温度変化」。
(ケ) 定圧変化で気体が吸収する熱量は「\(nC_P \times\) 温度変化」。
(コ) 気体がした仕事は「吸収した熱量 – 内部エネルギーの変化」、または「\(nR \times\) 温度変化」。

(ク) \(\Delta U_1 = nC_V (T_2 – T_1)\)。 (ケ) \(Q_1 = nC_P (T_2 – T_1)\)。 (コ) \(W’_1 = nR(T_2 – T_1)\)。
\(T_2 > T_1\) なので、これらは全て正となり、定圧膨張の性質と一致します。

(サ)

思考の道筋とポイント
区間②は C(\(T_2\))→D(\(T_3\)) の定積変化です。定積変化では仕事は0です。吸収した熱量 \(Q_2 = nC_V (T_3 – T_2)\) です。「放出熱量」は \(Q_2\) が負の場合の \(|Q_2|\) です。

この設問における重要なポイント

• 定積変化: \(W = 0\)。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q\)。
• 内部エネルギー変化: \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。

具体的な解説と立式
区間② (C→D) は温度が \(T_2\) から \(T_3\) へ変化する定積過程です。
気体が吸収した熱量を \(Q_2\) とすると、\(Q_2 = nC_V (T_3 – T_2)\)。
(オ)より \(T_3 < T_2\) なので \(Q_2 < 0\)。これは熱を放出していることを意味します。
放出熱量 \(Q_{\text{放出}}\) は \(-Q_2\)。

放出熱量 \(Q_{\text{放出}} = -Q_2 = -nC_V (T_3 – T_2) = nC_V (T_2 – T_3) \quad \cdots ⑤\)。

区間②（C→D）は体積が変わらない定積変化で、温度が \(T_2\) から \(T_3\) に下がります。このとき吸収する熱量は「\(nC_V \times\) 温度変化」です。温度が下がっているので、計算結果はマイナスになり、これは熱を「放出」したことを意味します。放出熱量はその絶対値です。

②での放出熱量は \(nC_V (T_2 – T_3)\) です。\(T_2 > T_3\) なので正の値となり適切です。

(シ)

思考の道筋とポイント
区間③は D(\(T_3\))→A(\(T_1\)) の断熱変化です。断熱変化では \(Q_3 = 0\)。熱力学第一法則 \(\Delta U_3 = Q_3 + W_3\) より \(\Delta U_3 = W_3\) となります（\(W_3\) は気体がされた仕事）。

この設問における重要なポイント

• 断熱変化: \(Q = 0\)。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = W\) （\(W\)はされた仕事）。
• 内部エネルギー変化: \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。

具体的な解説と立式
区間③ (D→A) は温度が \(T_3\) から \(T_1\) へ変化する断熱過程です。
断熱変化なので \(Q_3 = 0\)。熱力学第一法則より、気体にされた仕事 \(W_3\) は、
$$W_3 = \Delta U_3$$
内部エネルギーの変化 \(\Delta U_3\) は、
$$\Delta U_3 = nC_V (T_1 – T_3) \quad \cdots ⑥$$
よって、
$$W_3 = nC_V (T_1 – T_3) \quad \cdots ⑦$$

（上記「具体的な解説と立式」の式⑦がそのまま答えの形なので、追加の計算ステップは不要です。）

区間③（D→A）は断熱変化なので、熱の出入りはありません。このとき、「内部エネルギーの変化 = 気体がされた仕事」となります。内部エネルギーの変化は「\(nC_V \times\) 温度変化」で計算できるので、これがそのまま気体がされた仕事になります。

③で気体にされた仕事は \(nC_V (T_1 – T_3)\) です。(オ)より \(T_1 > T_3\) なので \(W_3 > 0\)。これは断熱圧縮で仕事をされ温度が上昇するという事実と整合します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則（\(\Delta U = Q + W\)）と、理想気体の各状態変化（定圧、等温、定積、断熱）における仕事 \(W\)、熱量 \(Q\)、内部エネルギー変化 \(\Delta U\) の関係の正確な理解と適用。
• 理想気体の内部エネルギーは \(U=nC_V T\) であり、変化は \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。
• P-Vグラフから各過程の種類を読み取り、仕事の有無や正負を判断する能力。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 様々な熱力学サイクル（カルノーサイクルなど）の解析。
  • 理想気体の状態方程式と熱力学第一法則を組み合わせた計算問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. P-Vグラフから各過程の種類を正確に読み取る。
  2. 各過程の始点と終点の状態量（P, V, T）を整理する。
  3. 熱力学第一法則を基本戦略として適用する。
  4. 各物理量（\(\Delta U, Q, W\)）を、過程の特性に応じた適切な公式で計算する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事 \(W\) と熱 \(Q\) の符号の混同: 「された仕事」か「した仕事」か、「吸収した熱」か「放出した熱」か、定義を明確にする。
• \(\Delta U = nC_V \Delta T\) を定積変化のみに限定する誤解: 理想気体ならあらゆる変化で成り立つ。
• \(Q = nC_V \Delta T\) をあらゆる変化に誤用する: これは定積変化の熱量。
• P-Vグラフ上の等温線と断熱線の傾きの違いの無視。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • P-Vグラフそのものが現象の核心的な図示。各過程でのピストンの動きや熱の出入りを対応させる。
  • エネルギーの流れ（熱、仕事、内部エネルギー）をイメージする。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • P-Vグラフの軸と目盛り。
  • 等温線と断熱線の区別（断熱線の方が傾きが急）。
  • サイクルの向き（時計回りか反時計回りか）。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(\Delta U = nC_V \Delta T\): 理想気体の内部エネルギーの定義。
• \(W = -P\Delta V\) （定圧変化）: 仕事の定義から。
• \(Q = nC_P \Delta T\) （定圧変化）: 定圧モル比熱の定義から。
• \(\Delta U = 0\) （等温変化）: 理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するため。
• \(W=0\) （定積変化）: 体積変化がないため。
• \(Q=0\) （断熱変化）: 断熱の定義。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q+W\): エネルギー保存則。
• 各公式の適用条件を常に意識する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 過程の特定（定圧、等温、定積、断熱）。
2. 仕事の定性的判断（膨張・圧縮、サイクルの向き）。
3. 温度関係の判断（各過程の性質、等温線の位置）。
4. 各過程での \(\Delta U, Q, W\) の計算（第一法則と各過程の公式）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 符号の扱い（\(W, Q, \Delta U\)）。
  • 温度変化 \(\Delta T\) の計算（後－初）。
  • \(C_V\) と \(C_P\) の使い分け。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 定義を正確に覚える（特に符号）。
  • 各過程のP-V, Q, W, \(\Delta U\) の特徴を表にまとめて整理。
  • 簡単な例で符号確認の練習。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • (エ) 時計回りのサイクルで気体が正味の仕事をするのは熱機関の基本。
  • (オ) 温度関係がP-Vグラフ上の等温線の位置と矛盾しないか。
  • (キ) 等温膨張で熱を吸収し仕事をするのは妥当か。
  • (ク)(ケ)(コ) 定圧膨張で \(\Delta U, Q, W’\) が全て正（\(T_2>T_1\)の場合）か。
  • (サ) 定積冷却で熱を放出するのは妥当か。
  • (シ) 断熱圧縮で仕事をされ温度上昇するのは妥当か。
• 各空欄がその熱力学過程の基本的な性質を正しく反映しているか確認する。

問題51 (京都工繊大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、断熱容器に入れられた単原子分子理想気体が、ヒーターによる加熱や外部からの仕事によって状態変化する過程を追うものです。ピストンの動き出しの条件、定積変化、定圧変化、断熱変化における温度、熱量、仕事の関係を熱力学の法則に基づいて考察します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、理想気体の状態変化と熱力学第一法則の応用です。具体的には、定積変化、定圧変化、断熱変化という基本的な熱力学過程を組み合わせ、各過程での状態量の変化やエネルギーの出入りを計算します。単原子分子理想気体であるという条件から、内部エネルギーや比熱に関する具体的な式が利用できます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 理想気体の状態方程式: \(PV=nRT\)。
• 力のつり合い: ピストンが動き始める瞬間や、ゆっくり動いている間は、ピストンに働く力がつり合っている。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W_{\text{on}}\) （\(\Delta U\): 内部エネルギー変化、\(Q\): 気体が吸収した熱量、\(W_{\text{on}}\): 気体がされた仕事）。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \frac{3}{2}nRT\)。変化量は \(\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T\)。
• 定積モル比熱 \(C_V\): 単原子分子理想気体では \(C_V = \frac{3}{2}R\)。
• 定圧モル比熱 \(C_P\): 単原子分子理想気体では \(C_P = \frac{5}{2}R\)。
• 各状態変化における仕事と熱量。
• 断熱変化の法則: \(PV^\gamma = \text{一定}\) （単原子分子では \(\gamma = 5/3\)）。

これらの法則を各過程に適用し、未知の物理量を求めていきます。
全体的な戦略としては、まず(1)でピストンが動き出す条件と定積変化の性質から温度と熱量を求めます。(2)では定圧変化の性質を用いて温度、仕事、熱量を計算します。(3)では断熱変化の法則と熱力学第一法則を用いて温度と仕事を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
ヒーターで気体を加熱すると、まず体積一定（\(V_0 = SL\)、\(S\)は容器の断面積）のまま温度と圧力が上昇します。ピストンMが上に動き始めるのは、気体の圧力 \(P_1\) が、大気圧 \(P_0\) とピストンの質量 \(M\) による圧力 \(Mg/S\) の和とつり合うときです。この瞬間の温度を \(T_1\) とします。初期状態と状態1について状態方程式を適用し、力のつり合いから \(P_1\) を求めて \(T_1\) を導出します。加えた熱量 \(Q_1\) は定積変化なので \(\Delta U_1 = nC_V(T_1-T_0)\) で計算します。

この設問における重要なポイント

• ピストンが動き始める条件: \(P_1 S = P_0 S + Mg\)。
• 初期状態と状態1は体積が同じ（定積変化）。
• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\)。
• 単原子分子理想気体の定積モル比熱 \(C_V = \frac{3}{2}R\)。
• 定積変化で加えられた熱量 \(Q = nC_V \Delta T\)。

具体的な解説と立式
初期状態（状態0）の気体の圧力は \(P_0\)、体積は \(V_0 = SL\)、温度は \(T_0\)。状態方程式は、
$$P_0 (SL) = nRT_0 \quad \cdots ①$$
ピストンMが動き始めるときの気体の圧力を \(P_1\)、温度を \(T_1\) とする。体積は \(V_0 = SL\)。
力のつり合いは、
$$P_1 S = P_0 S + Mg \quad \text{より} \quad P_1 = P_0 + \frac{Mg}{S} \quad \cdots ②$$
状態1での状態方程式は、
$$P_1 (SL) = nRT_1 \quad \cdots ③$$
気体に加えられた熱量 \(Q_1\) は定積変化なので、単原子分子理想気体の \(C_V = \frac{3}{2}R\) を用いて、
$$Q_1 = n \frac{3}{2}R (T_1 – T_0) \quad \cdots ④$$

式③に式②を代入します。
$$\left(P_0 + \frac{Mg}{S}\right) SL = nRT_1$$
展開して、\(P_0 SL + MgL = nRT_1\)。
ここで、式① \(P_0 SL = nRT_0\) を用いると、
$$nRT_0 + MgL = nRT_1$$
\(T_1\) について解くと、
$$T_1 = T_0 + \frac{MgL}{nR} \quad \cdots ⑤$$
次に \(Q_1\) を求めます。式④に \(T_1 – T_0 = \frac{MgL}{nR}\) を代入します。
$$Q_1 = n \frac{3}{2}R \left(\frac{MgL}{nR}\right)$$
$$Q_1 = \frac{3}{2}MgL \quad \cdots ⑥$$

温度 \(T_1\): ピストンが動き始めるのは、中の気体の圧力が外の大気圧とピストンの重さによる圧力の合計とつり合ったときです。このときの圧力を \(P_1\) とします。最初とこの瞬間で気体の体積は変わっていないので、気体の法則を使って温度 \(T_1\) を計算します。
熱量 \(Q_1\): ピストンが動き出すまでは体積一定で温められるので、加えられた熱はすべて気体の内部エネルギーの増加（温度上昇）になります。これは「\(n \times C_V \times\) (温度差)」で計算できます。

ピストンが動き始める温度 \(T_1\) は \(\displaystyle T_0 + \frac{MgL}{nR}\) です。この間に気体に加えた熱量 \(Q_1\) は \(\displaystyle \frac{3}{2}MgL\) です。\(T_1\) は初期温度 \(T_0\) より高くなり、\(Q_1\) も正の値となり妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ピストンMが動き始めてから高さが \(\frac{3}{2}L\) になるまでは、圧力 \(P_1\) 一定の定圧変化をします。始状態（状態1: 温度 \(T_1\), 体積 \(V_1=SL\)）と終状態（状態2: 温度 \(T_2\), 体積 \(V_2=S\frac{3}{2}L\)）について、シャルルの法則 \(V/T=\text{一定}\) を適用して \(T_2\) を求めます。気体がした仕事 \(W_2\) は \(P_1 \Delta V\)、加えた熱量 \(Q_2\) は \(nC_P (T_2-T_1)\) で計算します。

この設問における重要なポイント

• ピストンが自由に動ける状態での加熱は定圧変化。圧力は \(P_1 = P_0 + Mg/S\)。
• 定圧変化における状態方程式（シャルルの法則）: \(V/T = \text{一定}\)。
• 定圧変化で気体がする仕事: \(W_{\text{by}} = P\Delta V\)。
• 単原子分子理想気体の定圧モル比熱: \(C_P = \frac{5}{2}R\)。
• 定圧変化で気体が吸収する熱量: \(Q = nC_P \Delta T\)。

具体的な解説と立式
圧力 \(P_1\) 一定の定圧変化です。始状態（状態1）: 温度 \(T_1\), 体積 \(V_1 = SL\)。終状態（状態2）: 温度 \(T_2\), 体積 \(V_2 = S\frac{3}{2}L\)。
シャルルの法則より、
$$\frac{SL}{T_1} = \frac{S\frac{3}{2}L}{T_2} \quad \cdots ⑦$$
気体がした仕事 \(W_2\) は、
$$W_2 = P_1 (V_2 – V_1) = P_1 S\frac{1}{2}L \quad \cdots ⑧$$
気体に加えた熱量 \(Q_2\) は、単原子分子理想気体の \(C_P = \frac{5}{2}R\) を用いて、
$$Q_2 = n \frac{5}{2}R (T_2 – T_1) \quad \cdots ⑨$$

式⑦から \(T_2\) を求めます。
$$T_2 = \frac{3}{2}T_1$$
式⑤ \(T_1 = T_0 + \frac{MgL}{nR}\) を代入すると、
$$T_2 = \frac{3}{2}\left(T_0 + \frac{MgL}{nR}\right) \quad \cdots ⑩$$
次に仕事 \(W_2\) を求めます。式③ \(P_1 SL = nRT_1\) より \(P_1 S = nRT_1/L\)。これを式⑧に代入します。
$$W_2 = \left(\frac{nRT_1}{L}\right) \frac{1}{2}L = \frac{1}{2}nRT_1$$
式 \(nRT_1 = nRT_0 + MgL\) （式⑤の変形）を代入すると、
$$W_2 = \frac{1}{2}(nRT_0 + MgL) \quad \cdots ⑪$$
最後に熱量 \(Q_2\) を求めます。式⑨で \(T_2 – T_1 = \frac{1}{2}T_1\)。
$$Q_2 = n \frac{5}{2}R \left(\frac{1}{2}T_1\right) = \frac{5}{4}nRT_1$$
式 \(nRT_1 = nRT_0 + MgL\) を代入すると、
$$Q_2 = \frac{5}{4}(nRT_0 + MgL) \quad \cdots ⑫$$

温度 \(T_2\): ピストンが動いている間は圧力が \(P_1\) で一定です。体積が \(SL\) から \(S\frac{3}{2}L\) に1.5倍になるので、シャルルの法則から温度も1.5倍になります。
仕事 \(W_2\): 定圧変化で気体がする仕事は「圧力 \(P_1\) × 体積変化」で計算できます。
熱量 \(Q_2\): 定圧変化で気体に加えた熱量は「\(n C_P \times\) 温度変化」で計算できます。

温度 \(T_2\) は \(\displaystyle T_2 = \frac{3}{2}\left(T_0 + \frac{MgL}{nR}\right)\)。気体がした仕事 \(W_2\) は \(\displaystyle W_2 = \frac{1}{2}(nRT_0 + MgL)\)。気体に加えた熱量 \(Q_2\) は \(\displaystyle Q_2 = \frac{5}{4}(nRT_0 + MgL)\)。すべての値が正となり、物理的に妥当です。

(3)

思考の道筋とポイント
ヒーターを切り、外力でピストンMをゆっくり元の高さ \(L\) まで押し戻す過程は断熱変化です。単原子分子理想気体なので、ポアソンの法則 \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\) で \(\gamma = 5/3\) を用います。始状態（状態2）は温度 \(T_2\)、体積 \(V_2 = S\frac{3}{2}L\)。終状態（状態3）は温度 \(T_3\)、体積 \(V_3 = SL\)。この関係から \(T_3\) を求めます。気体がされた仕事 \(W_3\) は、断熱変化なので \(Q_3 = 0\) であり、熱力学第一法則より \(W_3 = \Delta U_3 = nC_V(T_3 – T_2)\) で計算できます。

この設問における重要なポイント

• 断熱変化の公式: \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\)。単原子分子理想気体では \(\gamma = 5/3\) なので、\(TV^{2/3} = \text{一定}\)。
• 断熱変化では \(Q=0\)。
• 熱力学第一法則: \(\Delta U = W_{\text{on}}\) （された仕事）。
• 内部エネルギー変化: \(\Delta U = nC_V \Delta T\)。

具体的な解説と立式
状態2から状態3への変化は断熱圧縮です。始状態（状態2）: 温度 \(T_2\), 体積 \(V_2 = S\frac{3}{2}L\)。終状態（状態3）: 温度 \(T_3\), 体積 \(V_3 = SL\)。
断熱変化の公式 \(TV^{2/3} = \text{一定}\) より、
$$T_2 V_2^{2/3} = T_3 V_3^{2/3} \quad \cdots ⑬$$
気体がされた仕事 \(W_3\) は、断熱変化 (\(Q_3=0\)) なので、\(W_3 = \Delta U_3\)。単原子分子理想気体の \(C_V = \frac{3}{2}R\) を用いて、
$$W_3 = n \frac{3}{2}R (T_3 – T_2) \quad \cdots ⑭$$

まず \(T_3\) を求めます。式⑬ \(T_2 V_2^{2/3} = T_3 V_3^{2/3}\) に \(V_2 = S\frac{3}{2}L\) と \(V_3 = SL\) を代入します。
$$T_2 \left(S\frac{3}{2}L\right)^{2/3} = T_3 (SL)^{2/3}$$
両辺を \((SL)^{2/3}\) で割ると、
$$T_2 \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} = T_3$$
これに式⑩ \(T_2 = \frac{3}{2}\left(T_0 + \frac{MgL}{nR}\right)\) を代入すると、
$$T_3 = \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} \cdot \frac{3}{2} \left(T_0 + \frac{MgL}{nR}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^{5/3} \left(T_0 + \frac{MgL}{nR}\right) \quad \cdots ⑮$$
次に仕事 \(W_3\) を求めます。式⑭ \(W_3 = n \frac{3}{2}R (T_3 – T_2)\) に \(T_3 = \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} T_2\) を代入します。
$$W_3 = n \frac{3}{2}R T_2 \left( \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} – 1 \right)$$
ここで、\(T_2 = \frac{3}{2}T_1\) であり、また \(nRT_1 = nRT_0 + MgL\) （式⑤の変形より）なので、\(T_2 = \frac{3}{2nR}(nRT_0 + MgL)\) を代入すると、
$$W_3 = n \frac{3}{2}R \cdot \left( \frac{3}{2nR}(nRT_0 + MgL) \right) \left( \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} – 1 \right)$$
$$W_3 = \frac{9}{4} (nRT_0 + MgL) \left( \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} – 1 \right)$$
これは模範解答の形式 \(\left(\frac{3}{2}\right)^2 \left\{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} – 1 \right\} (nRT_0 + MgL)\) と一致します。
$$W_3 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left\{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} – 1 \right\} (nRT_0 + MgL) \quad \cdots ⑯$$

温度 \(T_3\): ヒーターを切ってピストンを押し戻すのは「断熱圧縮」です。このとき、「温度 × 体積\(^{2/3}\) = 一定」という関係が成り立ちます。この関係を使って、圧縮後の温度 \(T_3\) を計算します。
仕事 \(W_3\): 断熱変化では熱の出入りがないので、気体にされた仕事はすべて内部エネルギーの増加になります。内部エネルギーの増加は「\(n \times \frac{3}{2}R \times\) 温度変化」で計算できます。

気体の温度 \(T_3\) は \(\displaystyle T_3 = \left(\frac{3}{2}\right)^{5/3} \left(T_0 + \frac{MgL}{nR}\right)\) です。気体がされた仕事 \(W_3\) は \(\displaystyle W_3 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left\{ \left(\frac{3}{2}\right)^{2/3} – 1 \right\} (nRT_0 + MgL)\) です。断熱圧縮なので温度は上昇し (\(T_3 > T_2\))、気体は正の仕事をされ (\(W_3 > 0\))、物理的に妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 理想気体の状態方程式と熱力学第一法則を、定積・定圧・断熱という各熱力学過程に正しく適用すること。
• 単原子分子理想気体の特性（内部エネルギー \(U=\frac{3}{2}nRT\)、比熱 \(C_V=\frac{3}{2}R, C_P=\frac{5}{2}R\)、断熱過程での \(\gamma=5/3\)）の利用。
• ピストンに働く力のつり合いと気体の圧力の関係。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • シリンダーとピストンを用いた様々な熱力学サイクルの解析。
  • 気体の混合、状態変化を伴わない熱平衡の問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 各段階がどのような熱力学過程（定積、定圧、等温、断熱など）か正確に把握する。
  2. 各状態（変化の始点・終点）のP, V, Tを整理し、未知数を明確にする。
  3. 適用すべき法則（状態方程式、第一法則、各過程の公式、力のつり合い）を選択する。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ピストンが動き出す条件の誤解: ピストンの重さを無視するなど。
• 定圧変化と定積変化の混同。
• 仕事や熱量の計算ミス・符号ミス。
• 断熱変化の式の誤用や \(\gamma\) の値の誤り。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • 各過程をP-Vグラフ上にプロットし、状態変化の全体像を把握する。
  • ピストンの動きを具体的にイメージする。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • P-Vグラフ: 各過程の線の特徴（定積なら垂直線、定圧なら水平線、断熱線は等温線より急）。
  • 力のつり合い図: ピストンに働く力をベクトルで正確に。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\): 気体の状態を表す基本。
• 力のつり合い \(\sum F=0\): ピストンが静止またはゆっくり動く条件。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W_{\text{on}}\): エネルギー保存則。
• \(\Delta U = nC_V\Delta T\): 理想気体の内部エネルギー変化。
• 各過程特有の \(W, Q\) の公式や、断熱変化の \(TV^{\gamma-1}=\text{一定}\) などは、その過程の定義や第一法則から導かれることを理解する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 初期状態の整理。
2. 過程1 (定積加熱): 力のつり合い \(\rightarrow P_1\) \(\rightarrow\) 状態方程式 \(\rightarrow T_1\)。\(Q_1 = nC_V\Delta T\)。
3. 過程2 (定圧加熱): 状態方程式 (または \(V/T=\text{一定}\)) \(\rightarrow T_2\)。\(W_2 = P_1\Delta V\)。\(Q_2 = nC_P\Delta T\)。
4. 過程3 (断熱圧縮): \(TV^{\gamma-1}=\text{一定}\) \(\rightarrow T_3\)。\(W_3 = nC_V\Delta T\)。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • \(P_1\) の導出と、それを用いた \(T_1\) の計算。
  • \(T_1\) を用いた \(T_2, W_2, Q_2\) の計算。
  • 断熱変化の指数計算。
  • 仕事の符号。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 文字式の整理・計算能力。
  • 単位の一貫性。
  • 熱力学第一法則による検算。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 問(1): \(T_1 > T_0\) か、\(Q_1 > 0\) か。
  • 問(2): 定圧膨張で \(T_2 > T_1\) か、\(W_2 > 0\), \(Q_2 > 0\) か。
  • 問(3): 断熱圧縮で \(T_3 > T_2\) か、された仕事 \(W_3 > 0\) か。
• 極端な条件（例：\(Mg=0\)）で結果がどうなるかを考える。

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