問題43 (東京大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、互いに逆向きに回転する2つのローラーの上に置かれた一様な板の運動を扱います。最初は糸で引かれて静止しており、そのときの力のつり合いを考えます。次に糸を切った後の板の振動（単振動）について、そして最後にローラーの回転を止めた後の板の滑走について考察します。動摩擦力が重要な役割を果たす問題です。
- 互いに逆向きに高速で回転する2つのローラーが、距離 \(2l\) を隔てて置かれている。
- その上に質量 \(M\) の一様な板が水平に置かれている。
- 初期状態では、板は糸で壁に結ばれて静止しており、その重心Gは2つのローラーの中点O (\(x=0\)) から右に \(d\) だけ離れた点 (\(x=d\)) にある。
- 板の厚みは無視できる。
- \(0 < d < l\)。
- 板とローラーの間の動摩擦係数は \(\mu\)。
- 重力加速度を \(g\) とする。
- (1) 板が静止しているとき、左右のローラーが板に及ぼしている垂直抗力と、糸の張力を求めること。
- (2) 糸を切った後、板が振動するときの周期と速さの最大値を求めること。
- (3) 板の重心Gが点Oを左へ通過するときにローラーの回転を瞬時に止めた場合、板が左に滑って停止するまでの距離 \(D\) を求めること。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは、摩擦力が関与する剛体のつり合いと単振動、そして仕事とエネルギーの関係です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 剛体の力のつり合い: 物体が静止している状態では、並進運動に関する力のつり合い（合力が0）と、回転運動に関する力のモーメントのつり合い（任意の点のまわりのモーメントの和が0）が成り立ちます（問(1)）。
- 動摩擦力: 接触面間で滑りが生じているときに働く力で、その向きは滑りを妨げる向き、大きさは垂直抗力に比例します（\(f’ = \mu N\)）。ローラーの回転方向と板の相対運動から摩擦力の向きを正確に把握することが重要です。
- 運動方程式と単振動: 物体に働く合力が、あるつり合いの位置からの変位に比例し、変位と逆向きである場合（復元力 \(F=-Kx\)）、物体は単振動をします（問(2)）。
- 仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則）: 特に、動摩擦力のような非保存力が仕事をする場合、その仕事の分だけ力学的エネルギーが変化します（問(3)）。
これらの法則を、各設問の状況に合わせて段階的に適用していくことで、問題を解決できます。
全体的な戦略としては、まず(1)で板に働く力を図示し、力のつり合いとモーメントのつり合いから垂直抗力と張力を求めます。(2)では糸を切った後の水平方向の合力を調べ、単振動の条件を満たすか確認し、周期と最大速度を計算します。(3)ではローラー停止後の動摩擦力による仕事と運動エネルギー変化の関係から滑走距離を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
板は静止しているので、力のつり合いとモーメントのつり合いが成り立っています。
まず、板に働く力をすべて図示します。鉛直方向には重力と左右のローラーからの垂直抗力。水平方向には糸の張力と左右のローラーからの動摩擦力。ローラーは高速で回転しているので、板との間には滑りが生じており、動摩擦力が働きます。動摩擦力の向きは、ローラーの回転が板をどちらへ引きずろうとするかで決まります。
未知数は左右の垂直抗力 \(N_1, N_2\)（左のローラーから受ける垂直抗力を \(N_1\)、右を \(N_2\) とする）と糸の張力 \(S\) です。これらを求めるために、以下の3つのつり合いの式を立てます。
1. 鉛直方向の力のつり合い。
2. 任意の点のまわりの力のモーメントのつり合い（重心Gのまわりで考えると計算が少し楽になる場合があります）。
3. 水平方向の力のつり合い。
この設問における重要なポイント
- 剛体のつり合い条件: \(\sum F_y = 0\), \(\sum F_x = 0\), \(\sum M = 0\)。
- 動摩擦力の向きの決定: 左のローラーは板に対し右向きに、右のローラーは板に対し左向きに動摩擦力を及ぼします。
- 左ローラーは図で反時計回りに回転しており、板との接点ではローラー表面が右へ動こうとするため、板を右へ引きずる動摩擦力 \(\mu N_1\) を及ぼす。
- 右ローラーは図で時計回りに回転しており、板との接点ではローラー表面が左へ動こうとするため、板を左へ引きずる動摩擦力 \(\mu N_2\) を及ぼす。
- モーメントの計算: 腕の長さを正確に求める。重心Gの位置は \(x=d\)。ローラーの中点Oが \(x=0\)。左右のローラーの接点はそれぞれ \(x=-l\) と \(x=l\) の位置にあると解釈できます。
具体的な解説と立式
板に働く力は以下の通りです（右向きを \(x\) 軸の正、鉛直上向きを \(y\) 軸の正とします）。重力 \(Mg\)、左のローラーからの垂直抗力 \(N_1\) と動摩擦力 \(\mu N_1\)、右のローラーからの垂直抗力 \(N_2\) と動摩擦力 \(\mu N_2\)、糸の張力 \(S\)。板の重心Gの位置は \(x=d\) です。
鉛直方向の力のつり合いより：
$$N_1 + N_2 = Mg \quad \cdots ①$$
重心G (\(x=d\)) のまわりの力のモーメントのつり合いより（反時計回りを正とする）：
$$N_1(l+d) – N_2(l-d) = 0 \quad \cdots ②$$
水平方向の力のつり合いより：
$$\mu N_1 + S – \mu N_2 = 0 \quad \cdots ③$$
これらの式①、②、③を解いて \(N_1, N_2, S\) を求めます。
使用した物理公式
- 力のつり合い: \(\sum F_y = 0\), \(\sum F_x = 0\)
- 力のモーメントのつり合い: \(\sum M = 0\)
- 動摩擦力: \(f’ = \mu N\)
式②より、\(N_2 = N_1 \frac{l+d}{l-d}\)。これを式①に代入します。
$$N_1 + N_1 \frac{l+d}{l-d} = Mg$$
左辺を通分し、計算を進めると、
$$N_1 \left(1 + \frac{l+d}{l-d}\right) = Mg$$
$$N_1 \left(\frac{l-d+l+d}{l-d}\right) = Mg$$
$$N_1 \frac{2l}{l-d} = Mg$$
よって、
$$N_1 = \frac{l-d}{2l}Mg \quad \cdots ④$$
次に \(N_2\) を求めます。式①より \(N_2 = Mg – N_1\)。
$$N_2 = Mg – \frac{l-d}{2l}Mg = Mg \left(\frac{2l-(l-d)}{2l}\right) = \frac{l+d}{2l}Mg \quad \cdots ⑤$$
最後に、求めた \(N_1\) と \(N_2\) を式③に代入して \(S\) を求めます。式③は \(S = \mu(N_2 – N_1)\) と変形できます。
$$N_2 – N_1 = \frac{l+d}{2l}Mg – \frac{l-d}{2l}Mg = \frac{Mg}{2l}(2d) = \frac{d}{l}Mg$$
したがって、
$$S = \mu \left(\frac{d}{l}Mg\right) = \frac{\mu d}{l}Mg \quad \cdots ⑥$$
別解(1-1): 垂直抗力 \(N_1, N_2\) の計算 （ローラーとの接点のまわりのモーメント）
思考の道筋とポイント
垂直抗力 \(N_1, N_2\) を求める際に、一方のローラーと板の接点のまわりのモーメントのつり合いを考えると、その接点での垂直抗力と摩擦力のモーメントが0になるため、式が簡単になります。
この設問における重要なポイント
- モーメントの中心を工夫することで、未知数を減らした方程式を立てることができます。
- 力の作用点と腕の長さを正確に把握することが重要です。
具体的な解説と立式
左のローラーと板の接点（\(x=-l\)）のまわりの力のモーメントのつり合い（反時計回りを正）：
$$N_2(2l) – Mg(l+d) = 0 \quad \cdots ②_{\text{別1}}$$
右のローラーと板の接点（\(x=l\)）のまわりの力のモーメントのつり合い（反時計回りを正）：
$$Mg(l-d) – N_1(2l) = 0 \quad \cdots ②_{\text{別2}}$$
使用した物理公式
- 力のモーメントのつり合い: \(\sum M = 0\)
式②別1 より \(N_2\) を求めます。
$$N_2 = \frac{l+d}{2l}Mg$$
式②別2 より \(N_1\) を求めます。
$$N_1 = \frac{l-d}{2l}Mg$$
これらの結果は、先の計算過程で得られた式④、⑤と一致します。
板が静止しているので、上下方向の力、左右方向の力、そして回転させようとする力（モーメント）がすべてつり合っています。
1. 上下の力のつり合い: 「\(N_1 + N_2 = Mg\)」
2. 回転の力のつり合い (モーメント): 例えば重心Gのまわりで、「\(N_1 \times (\text{Gまでの距離}) = N_2 \times (\text{Gまでの距離})\)」
3. 左右の力のつり合い: 「糸の張力 \(S\) + 左からの摩擦力 = 右からの摩擦力」
これらの3つの式を連立して解くことで、\(N_1, N_2, S\) が求まります。別解では、モーメントのつり合いを考える中心をローラーの接点にすることで、計算を少し簡単にしています。
左のローラーが板に及ぼしている垂直抗力 \(N_1\) は \(\displaystyle N_1 = \frac{l-d}{2l}Mg\)。
右のローラーが板に及ぼしている垂直抗力 \(N_2\) は \(\displaystyle N_2 = \frac{l+d}{2l}Mg\)。
糸の張力 \(S\) は \(\displaystyle S = \frac{\mu d}{l}Mg\)。
重心Gが右にずれている (\(d>0\)) ため、右のローラーにかかる垂直抗力 \(N_2\) の方が左の \(N_1\) よりも大きくなっています。これは物理的に妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
糸を切ると、板は張力 \(S\) を失い、動摩擦力によって水平方向に運動を始めます。この運動が単振動であるかを確認し、周期と最大速度を求めます。
板の重心Gが一般の位置 \(x\) にあるとき（原点はO）、左右のローラーからの垂直抗力 \(N_1(x), N_2(x)\) は、問(1)の結果の \(d\) を \(x\) に置き換えることで得られます。
水平方向の合力 \(F_x\) は、左右のローラーからの動摩擦力の差となります。この \(F_x\) が \(x\) に比例する復元力 (\(-Kx\)) の形になれば、板は単振動をします。
周期 \(T\) は \(2\pi\sqrt{M/K}\) で、最大速度 \(v_{max}\) は振幅 \(A\)（この場合は初期位置の変位 \(d\)）と角振動数 \(\omega_{SHM} = \sqrt{K/M}\) から \(A\omega_{SHM}\) で求められます。模範解答には、最大速度を単振動のエネルギー保存則から求める別解も示唆されています。
この設問における重要なポイント
- 動摩擦力による復元力の導出: 重心位置 \(x\) によって垂直抗力が変化し、それによって動摩擦力も変化する。その合力が復元力となる。
- 単振動の条件の確認: \(F_x = -Kx\)。
- 単振動の基本公式: 周期 \(T=2\pi\sqrt{M/K}\)、角振動数 \(\omega_{SHM}=\sqrt{K/M}\)、最大速度 \(v_{max}=A\omega_{SHM}\)。
- 振幅の特定: 静かに放たれる位置が、その後の振動の端点となる。
具体的な解説と立式
糸が切れると張力 \(S=0\) となります。板の重心Gが一般の位置 \(x\) にあるとき、垂直抗力 \(N_1(x), N_2(x)\) は、
$$N_1(x) = \frac{l-x}{2l}Mg \quad \cdots ⑦$$
$$N_2(x) = \frac{l+x}{2l}Mg \quad \cdots ⑧$$
水平方向の合力 \(F_x\) は、右向きを正とすると、
$$F_x = \mu N_1(x) – \mu N_2(x) \quad \cdots ⑨$$
この \(F_x\) が \(-Kx\) の形になるか確認します。運動方程式は \(M\ddot{x} = F_x\)。
振幅 \(A=d\)。角振動数を \(\omega_{SHM}\) とすると、最大速度 \(v_{max}\) は、
$$v_{max} = A \omega_{SHM} \quad \cdots ⑩$$
使用した物理公式
- 垂直抗力（問(1)の結果を利用）
- 動摩擦力: \(f’ = \mu N\)
- 運動方程式: \(M\ddot{x} = F_x\)
- 単振動の復元力: \(F_x = -Kx\)
- 単振動の周期: \(T = 2\pi\sqrt{M/K}\)
- 単振動の角振動数: \(\omega_{SHM} = \sqrt{K/M}\)
- 単振動の最大速度: \(v_{max} = A\omega_{SHM}\)
式⑨に式⑦と式⑧を代入します。
$$F_x = \mu \left(\frac{l-x}{2l}Mg\right) – \mu \left(\frac{l+x}{2l}Mg\right) = \frac{\mu Mg}{2l} ((l-x) – (l+x)) = \frac{\mu Mg}{2l}(-2x)$$
$$F_x = -\frac{\mu Mg}{l}x \quad \cdots ⑪$$
これは \(F_x = -Kx\) の形で、復元力の比例定数 \(K\) は、
$$K = \frac{\mu Mg}{l} \quad \cdots ⑫$$
単振動の周期 \(T\) は、
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{M}{K}} = 2\pi\sqrt{\frac{M}{\frac{\mu Mg}{l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\mu g}} \quad \cdots ⑬$$
角振動数 \(\omega_{SHM}\) は、\(\omega_{SHM} = \sqrt{\frac{K}{M}} = \sqrt{\frac{\mu g}{l}}\)。
振幅 \(A=d\) なので、式⑩より最大の速さ \(v_{max}\) は、
$$v_{max} = d \sqrt{\frac{\mu g}{l}} \quad \cdots ⑭$$
別解(2-1): 最大の速さ \(v_{max}\) （単振動のエネルギー保存則）
思考の道筋とポイント
板の運動は \(x=0\) を中心とする単振動なので、単振動のエネルギー保存則が使えます。振動の端（\(x=d\)、速度0）でのエネルギーと、振動中心（\(x=0\)、速度 \(v_{max}\)）でのエネルギーが等しいと考えます。
この設問における重要なポイント
- 単振動のエネルギーは \(\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2\) で与えられ、保存されます。
- 振動の端では運動エネルギーが0、振動中心では（中心を位置エネルギーの基準とすれば）位置エネルギーが0。
具体的な解説と立式
単振動のエネルギー保存則より、振動の端（変位 \(d\)、速度0）でのエネルギーと、振動中心（変位0、速度 \(v_{max}\)）でのエネルギーは等しいです。復元力の比例定数は \(K = \displaystyle\frac{\mu Mg}{l}\)（式⑫）。
$$\frac{1}{2}M(0)^2 + \frac{1}{2}K d^2 = \frac{1}{2}M v_{max}^2 + \frac{1}{2}K (0)^2$$
$$\frac{1}{2}K d^2 = \frac{1}{2}M v_{max}^2 \quad \cdots ⑮_{\text{別}}$$
使用した物理公式
- 単振動のエネルギー保存則: \(\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}Kx^2 = \text{一定}\)
式⑮別 \(\displaystyle\frac{1}{2}K d^2 = \frac{1}{2}M v_{max}^2\) から \(v_{max}\) を求めます。
$$v_{max}^2 = \frac{K}{M}d^2$$
\(v_{max} > 0\) なので、
$$v_{max} = d\sqrt{\frac{K}{M}}$$
ここに \(K = \displaystyle\frac{\mu Mg}{l}\) を代入すると、
$$v_{max} = d\sqrt{\frac{\frac{\mu Mg}{l}}{M}} = d\sqrt{\frac{\mu g}{l}}$$
これは式⑭と同じ結果です。
糸を切ると、板は左右のローラーからの摩擦力だけを受けて振動します。板の位置 \(x\) によって左右の垂直抗力が変わり、それに応じて摩擦力も変わります。計算すると、板を元の位置 \(x=0\) に戻そうとする力が働き、その力は \(x\) に比例することがわかります。これは「単振動」という特別な振動をすることを意味します。
周期 \(T\): 単振動の周期は「\(2\pi \times \sqrt{\text{質量} / \text{戻そうとする力の強さの比例定数}}\)」で計算できます。
最大の速さ \(v_{max}\): 単振動では、振動の中心（この場合は \(x=0\)）を通過するときに速さが最大になります。これは「振幅（初めの位置 \(d\)）× 角振動数（周期から計算できる）」で求められます。別解として、振動の端での「位置エネルギーのようなもの」が、中心ではすべて「運動エネルギー」に変わるというエネルギー保存の考え方でも計算できます。
振動の周期 \(T\) は \(\displaystyle T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{\mu g}}\)。
速さの最大値 \(v_{max}\) は \(\displaystyle v_{max} = d\sqrt{\frac{\mu g}{l}}\)。
周期はローラー間の距離の半分 \(l\) が大きいほど、また動摩擦係数 \(\mu\) や重力加速度 \(g\) が小さいほど長くなります。最大速度は初期の変位 \(d\) が大きいほど大きくなります。これらは物理的に妥当な傾向です。
問(3)
思考の道筋とポイント
板の重心Gが点O (\(x=0\)) を左へ通過するとき、板は問(2)で求めた最大速度 \(v_{max}\) で運動しています。この瞬間に2つのローラーの回転を止めると、ローラーは板に対して静止しようとしますが、板は左へ滑ろうとします。そのため、左右のローラーは板に対してその滑りを妨げる向き、すなわち右向きに動摩擦力を及ぼします。
重要なのは、ローラーが回転していない場合、板がどちらのローラー上を滑るかによって摩擦力の向きが決まるということです。板全体が左に動いているので、両方のローラーから受ける動摩擦力は右向きとなります。
この動摩擦力の合力は一定になるため、板は一定の加速度（減速）で運動し、やがて停止します。
初期の運動エネルギー（GがOを通過する瞬間の運動エネルギー）が、すべて動摩擦力による仕事によって失われると考えて、停止するまでの距離 \(D\) を求めます（仕事とエネルギーの関係）。
この設問における重要なポイント
- ローラー停止後の動摩擦力の向き: 板が左へ滑るので、両方のローラーからの動摩擦力は右向きに働きます。
- 動摩擦力の合力の計算: 左右のローラーからの垂直抗力の和は常に \(Mg\) です。したがって、動摩擦力の合力は \(\mu N_1 + \mu N_2 = \mu(N_1+N_2) = \mu Mg\) となり、一定です。
- 仕事とエネルギーの関係: 初期の運動エネルギー \(\frac{1}{2}Mv_{max}^2\) が、動摩擦力のした仕事 \(\mu Mg D\) によって0になる。
具体的な解説と立式
板の重心Gが点Oを左へ通過するときの速さは \(v_{max}\) です。ローラーの回転を止めると、板は左へ滑り、両ローラーから右向きの動摩擦力を受けます。
動摩擦力の合力 \(F_{\text{摩擦}}\) の大きさは、\(F_{\text{摩擦}} = \mu N_1 + \mu N_2 = \mu(N_1+N_2)\)。鉛直方向の力のつり合いから \(N_1+N_2 = Mg\) なので、
$$F_{\text{摩擦}} = \mu Mg \quad \cdots ⑯$$
板は初速度 \(v_{max}\) で左へ運動を始め、距離 \(D\) だけ滑って停止します。仕事とエネルギーの関係より、運動エネルギーの変化が摩擦力のした仕事に等しいので、
$$0 – \frac{1}{2}Mv_{max}^2 = -F_{\text{摩擦}} \cdot D = -\mu Mg D \quad \cdots ⑰$$
使用した物理公式
- 動摩擦力: \(f’ = \mu N\)
- 仕事とエネルギーの関係（運動エネルギーの変化と仕事）: \(\Delta E_k = W\)
- 運動エネルギー: \(E_k = \frac{1}{2}Mv^2\)
式⑰ \(-\frac{1}{2}Mv_{max}^2 = -\mu Mg D\) から \(D\) を求めます。
$$\frac{1}{2}Mv_{max}^2 = \mu Mg D$$
$$D = \frac{v_{max}^2}{2\mu g}$$
問(2)で求めた \(v_{max} = d\sqrt{\frac{\mu g}{l}}\) （式⑭）を代入します。
$$v_{max}^2 = d^2 \frac{\mu g}{l}$$
よって、
$$D = \frac{d^2 \frac{\mu g}{l}}{2\mu g}$$
分母分子の \(\mu g\) を消去すると、
$$D = \frac{d^2}{2l} \quad \cdots ⑱$$
板が一番速く動いているとき（\(x=0\) を左に通過するとき）にローラーを止めると、板は床（止まったローラー）との摩擦でだんだん遅くなり、やがて止まります。
このとき、板が持っていた運動の勢い（運動エネルギー）が、すべて摩擦によって熱などの形で失われます。
摩擦がする仕事は「摩擦力の大きさ × 滑った距離 \(D\)」です。ローラーが止まっている場合、板が左に滑るので、左右両方のローラーから右向きの摩擦力が働きます。この摩擦力の合計は、計算すると常に \(\mu Mg\) という一定の値になります。
したがって、「初めの運動エネルギー = 摩擦力の大きさ × 滑った距離 \(D\)」という式を立て、これを \(D\) について解きます。
板が左に滑って停止するまでの距離 \(D\) は \(\displaystyle D = \frac{d^2}{2l}\) です。
この結果は、動摩擦係数 \(\mu\) や重力加速度 \(g\)、質量 \(M\) を含まない形になりました。これは、\(v_{max}^2\) の中に \(\mu g\) が含まれており、それが摩擦力の \(\mu g\) と相殺されるためです。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 動摩擦力が関わる剛体のつり合いと運動、特に単振動と仕事とエネルギーの関係の正確な理解と適用。
- 剛体のつり合い（問(1)）: 力のつり合いと力のモーメントのつり合い。動摩擦力の向きの判断。
- 動摩擦力による復元力と単振動（問(2)）: 板の位置による垂直抗力の変化とそれに伴う動摩擦力の変化が、結果として重心の変位 \(x\) に比例する復元力 \(-Kx\) を生み出し、単振動が起こるメカニズム。
- 仕事とエネルギーの関係（問(3)）: 板の運動エネルギーが動摩擦力のする仕事によって消費される過程。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
- ベルトコンベア上の物体の運動（摩擦力による加速や減速）。
- 複数の支点を持つ剛体の安定性や、一部が動く場合の力の変化。
- 摩擦によってエネルギーを失いながら振動したり運動したりする系の問題全般。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- 摩擦力の性質の確認: 静止摩擦か動摩擦か、向きはどちらか。回転体が絡む場合は接触点での相対速度の向きを考慮。
- 力の図示と作用点の明確化: モーメントを考える際に特に重要。
- 運動方程式かエネルギーか: 運動の過程を詳し知りたければ運動方程式。初期状態と最終状態の関係だけなら仕事とエネルギーの関係が有効な場合が多い。
- 単振動の可能性の探索: 力が変位に比例する形 (\(-Kx\)) になるか。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 動摩擦力の向きの誤り:
- 現象: ローラー回転時の摩擦力の向きを、板の運動方向だけで判断し、ローラーの引きずる効果を見落とす。
- 対策: 接触面での相対的な滑りの向きを常に考え、摩擦力はそれを妨げる向きに働くことを徹底する。
- 垂直抗力の均等性の誤解:
- 現象: 複数の支点がある場合、垂直抗力が均等にかかると誤解する。
- 対策: 必ず力のモーメントのつり合いを考慮して各垂直抗力を求める。
- 単振動の復元力の係数 \(K\) の導出ミス:
- 現象: 問(2)で \(F_x = -\frac{\mu Mg}{l}x\) を正しく導けない。
- 対策: \(x\) の関数としての垂直抗力 \(N_1(x), N_2(x)\) を正確に求め、合力を丁寧に計算する。
- 問(3)での摩擦力の合力:
- 現象: ローラー停止後、板が左へ滑るとき、動摩擦力の合力を \(\mu Mg\) と正しく求められない。
- 対策: 両方のローラーから板に働く動摩擦力が同じ向き（右向き）になることを理解し、\(N_1+N_2=Mg\) の関係を使う。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
- 問(1): 板がG点でバランスを取りつつ、ローラーの回転によって左右に引きずられる力と張力が拮抗しているイメージ。
- 問(2): 板が左右に揺れるとき、重心の位置に応じてローラーからの押し上げ（垂直抗力）のバランスが変わり、それが摩擦のアンバランスを生んで振動を引き起こすイメージ。
- 問(3): 左に動いている板に対し、止まったローラーが両方からブレーキをかけるイメージ。
- 図を描く際に注意すべき点は何か:
- 力の作用点、向き、大きさをできるだけ正確に。
- 座標軸を明確に。
- モーメント計算時の腕の長さを図から正確に読み取る。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合い・モーメントのつり合い（問(1)）: 板が静止しているため。
- 運動方程式 \(M\ddot{x}=F_x\)（問(2)）: 板が水平方向に運動するため。
- 単振動の周期・最大速度の公式（問(2)）: 運動方程式が \(M\ddot{x}=-Kx\) の形に帰着されたため。
- 仕事とエネルギーの関係（問(3)）: 動摩擦という非保存力が仕事をし、板の運動エネルギーが変化するため。
- 公式の適用条件を常に意識することが重要。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 静止状態の分析 (問1): 力の図示 \(\rightarrow\) 鉛直・水平つり合い、モーメントつり合い \(\rightarrow\) \(N_1, N_2, S\) 決定。
- 振動状態の分析 (問2): \(N_1(x), N_2(x)\) を \(x\) の関数で表現 \(\rightarrow\) 水平合力 \(F_x = -Kx\) を導出 \(\rightarrow\) \(K\) 特定 \(\rightarrow\) \(T, \omega_{SHM}, v_{max}\) 計算。
- ローラー停止後の分析 (問3): 動摩擦力の合力計算 \(\rightarrow\) 仕事とエネルギーの関係 \(\rightarrow\) \(D\) 計算。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
- モーメントの腕の長さと力の向き。
- 連立方程式の求解。
- \(F_x = -Kx\) の \(K\) の導出における符号と係数。
- \(v_{max}\) や \(D\) の計算での文字代入と整理。
- 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
- 途中式を丁寧に、整理して書く。
- 符号の確認を徹底する。
- 図と数式を常に対応させる。
- 計算結果の物理的妥当性を検討する（例：\(d=0\) の場合など）。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
- 問(1): \(d=0\) で \(N_1=N_2=Mg/2, S=0\) となるか。\(d \rightarrow l\) でどうなるか（物理的範囲内か）。
- 問(2): \(T\) や \(v_{max}\) の各物理量への依存性（例：\(\mu\) が小さいと \(T\) は長くなるか）。
- 問(3): \(D\) が \(\mu, g, M\) を含まない結果になった理由は何か（\(v_{max}^2\) の中の因子と相殺される）。
- 解の吟味は、計算ミス発見だけでなく、物理現象への理解を深め、応用力を養うために非常に重要。
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