「名問の森」徹底解説（25〜27問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題25 (埼玉大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、上端が固定された自然長\(l_0\)のゴムひもに質量\(m\)のおもりをつけ、おもりが固定点Oから鉛直下方距離\(l_0\)にある滑らかな水平面A上で等速円運動をする状況を扱います。ゴムひもの弾性定数は\(k\)で、\(k > mg/l_0\)という条件があります。おもりが水平面から受ける垂直抗力や、円運動の角速度、さらにはおもりが水平面から浮き上がる条件などが問われています。円運動の動力学とフックの法則、力のつり合いがポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円錐振り子」に類似した、ゴムひもによる等速円運動です。おもりにはたらく力を正確に分析し、円運動の運動方程式（または力のつり合い）と、ゴムの弾性力に関するフックの法則を組み合わせて解くことが求められます。

問(1)

思考の道筋とポイント
おもりは水平面A上で等速円運動をしています。おもりと共に回転する観測者の立場（非慣性系）から見ると、おもりは静止しているように見え、実際の力に加えて「遠心力」が働いてつり合っていると考えます。遠心力は円運動の中心から遠ざかる向き（水平外向き）に働きます。円運動の半径を\(r\)とします。固定点Oから水平面Aまでの鉛直距離が\(l_0\)であり、ゴムひもが鉛直となす角が\(\alpha\)なので、円運動の半径\(r\)は\(r = l_0 \tan\alpha\)と表すことができます。
この設問における重要なポイント

• おもりと共に回転する非慣性系で考え、遠心力を導入します。
• おもりに働く力は、重力\(mg\)、垂直抗力\(N\)、ゴムひもの張力\(T\)、遠心力\(F_{\text{遠心}}\)です。
• 円運動の半径は\(r = l_0 \tan\alpha\)です。したがって遠心力の大きさは\(F_{\text{遠心}} = mr\omega^2 = m(l_0\tan\alpha)\omega^2\)となります。
• これらの力を水平方向と鉛直方向に分解し、それぞれの方向で力のつり合いの式を立てます。

具体的な解説と立式
おもりと共に回転する観測者から見ると、おもりは静止しており、以下の力が働いてつり合っています。

• 重力: \(mg\) (鉛直下向き)
• 垂直抗力: \(N\) (鉛直上向き)
• ゴムひもの張力: \(T\) (ゴムひもに沿って点Oの向き)
• 遠心力: \(F_{\text{遠心}} = m(l_0\tan\alpha)\omega^2\) (水平外向き)

張力\(T\)を水平成分と鉛直成分に分解します。

• 張力の水平成分: \(T\sin\alpha\) (円運動の中心向き)
• 張力の鉛直成分: \(T\cos\alpha\) (鉛直上向き)

水平方向の力のつり合い:
（中心向きの力）=（外向きの力）
$$
\begin{aligned}
T\sin\alpha &= m(l_0\tan\alpha)\omega^2 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
鉛直方向の力のつり合い:
（上向きの力の和）=（下向きの力）
$$
\begin{aligned}
N + T\cos\alpha &= mg \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

この設問では、力のつり合いの式を立てることが求められており、上記がその解答となります。

おもりがクルクルと円を描いて回っているとき、おもりと一緒に回っている人から見ると、おもりはまるで止まっているかのように見えます。この人にとっては、おもりが外側に引っ張られるような「見かけの力」（これを遠心力といいます）が働いているように感じます。この遠心力と、ゴムひもがおもりを内側に引く力（張力）の水平方向の成分が、ちょうど釣り合っています。これが水平方向の力のつり合いの式です。また、おもりは上下には動いていないので、上向きに働く力（床からの垂直抗力と張力の鉛直方向の成分）と、下向きに働く力（重力）も釣り合っています。これが鉛直方向の力のつり合いの式です。

水平方向の力のつり合い式は\(T\sin\alpha = m(l_0\tan\alpha)\omega^2\)であり、鉛直方向の力のつり合い式は\(N + T\cos\alpha = mg\)です。円運動の半径\(r\)を、幾何学的関係から\(r=l_0\tan\alpha\)と正しく表すことが、正確な立式のための重要なステップです。

問(2)

思考の道筋とポイント
ゴムひもの張力\(T\)は、フックの法則\(T = k \times (\text{伸び})\)に従います。まず、現在のゴムひもの長さ\(l\)を求める必要があります。固定点Oから水平面Aまでの鉛直距離が\(l_0\)であり、ゴムひもが鉛直となす角が\(\alpha\)であることから、三角比の関係を用いて現在のゴムひもの長さ\(l\)は\(l = l_0/\cos\alpha\)となります。ゴムひもの自然長も\(l_0\)なので、ゴムひもの伸びは\((l – l_0)\)と表せます。
この張力\(T\)の式を、(1)で立てた水平方向の力のつり合いの式に代入し、角速度\(\omega\)について解きます。
この設問における重要なポイント

• ゴムひもの現在の長さ\(l\)を、幾何学的関係から表します: \(l = l_0/\cos\alpha\)。
• ゴムひもの伸びは\((l-l_0)\)です。
• フックの法則を用いて張力\(T\)を表します: \(T = k(l-l_0)\)。
• (1)で得られた水平方向の力のつり合いの式を利用します。

具体的な解説と立式
ゴムひもの現在の長さを\(l\)とします。幾何学的関係から、
$$
\begin{aligned}
l\cos\alpha &= l_0 \\[2.0ex]
l &= \frac{l_0}{\cos\alpha}
\end{aligned}
$$
ゴムひもの伸び\(\Delta l\)は、
$$
\begin{aligned}
\Delta l &= l – l_0 \\[2.0ex]
&= \frac{l_0}{\cos\alpha} – l_0 \\[2.0ex]
&= l_0 \left(\frac{1}{\cos\alpha} – 1\right)
\end{aligned}
$$
フックの法則より、ゴムひもの張力\(T\)は、
$$
\begin{aligned}
T &= k \Delta l \\[2.0ex]
&= kl_0 \left(\frac{1}{\cos\alpha} – 1\right) \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
この張力\(T\)の表式を、(1)の水平方向の力のつり合いの式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
kl_0 \left(\frac{1}{\cos\alpha} – 1\right) \sin\alpha &= m(l_0\tan\alpha)\omega^2
\end{aligned}
$$
ここで、\(\tan\alpha = \displaystyle\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)を用いると、
$$
\begin{aligned}
kl_0 \left(\frac{1-\cos\alpha}{\cos\alpha}\right) \sin\alpha &= m l_0 \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \omega^2 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

式④の両辺から共通の因子である\(l_0\), \(\sin\alpha\), および分母の\(\cos\alpha\)を消去します（\(\alpha \neq 0\)）。
$$
\begin{aligned}
k(1-\cos\alpha) &= m\omega^2
\end{aligned}
$$
\(\omega^2\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
\omega^2 &= \frac{k}{m}(1-\cos\alpha)
\end{aligned}
$$
角速度\(\omega\)は正の値をとるので、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \sqrt{\frac{k}{m}(1-\cos\alpha)} \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$

まず、ゴムひもがどれだけ伸びているかを計算します。ゴムひもの現在の実際の長さは、つり下げ点Oからの水平面までの高さ\(l_0\)と、ゴムひもが鉛直方向となす角度\(\alpha\)から、三角比を使ってわかります。ゴムひもの自然の長さも\(l_0\)なので、現在の長さと自然の長さの差が「伸び」になります。ゴムひもが引く力（張力\(T\)）は、この「伸び」とゴムの硬さ（弾性定数\(k\)）を掛けたものとして計算できます。
次に、この張力\(T\)の式を、(1)で立てた水平方向の力のつり合いの式に代入します。そうすると、角速度\(\omega\)だけが未知数として残る式が得られるので、その式を\(\omega\)について解けば、答えが求まります。

おもりの角速度\(\omega\)は\(\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}(1-\cos\alpha)}\)です。
この式から、ゴムひもが鉛直となす角\(\alpha\)が大きくなる（おもりがより外側に広がる）と、\(\cos\alpha\)は小さくなるため、角速度\(\omega\)も大きくなる傾向があることがわかります。また、ゴムが硬い（\(k\)が大きい）ほど、またおもりが軽い（\(m\)が小さい）ほど、同じ角度\(\alpha\)を保つためにはより大きな角速度が必要になることも読み取れ、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
おもりが水平面Aを離れて空中に浮き上がる瞬間は、おもりが水平面Aから受ける垂直抗力\(N\)がちょうど0になるときです。このときの角度を\(\alpha_c\)、角速度を\(\omega_c\)、ゴムひもの長さを\(l_c\)とします。
まず、(1)の鉛直方向の力のつり合いの式②で\(N=0\)とし、そのときの張力\(T_c\)と角度\(\alpha_c\)の関係を導きます。次に、張力\(T_c\)をフックの法則を用いて角度\(\alpha_c\)で表し、これらを組み合わせて\(\cos\alpha_c\)を求めます。
得られた\(\cos\alpha_c\)の値を用いて、(2)で求めた角速度\(\omega\)の一般式から、臨界角速度\(\omega_c\)を計算します。
最後に、そのときのゴムひもの長さ\(l_c\)を、幾何学的関係\(l_c = l_0/\cos\alpha_c\)から計算します。
この設問における重要なポイント

• おもりが面Aを離れる条件は、垂直抗力\(N=0\)です。
• 鉛直方向の力のつり合いの式（式②）で\(N=0\)とした条件を用います。
• 張力\(T\)はフックの法則（式③の形）で表されます。
• これらの関係から、面を離れる瞬間の角度\(\alpha_c\)における\(\cos\alpha_c\)の値を求めます。

具体的な解説と立式
おもりが水平面Aを離れる瞬間、垂直抗力\(N=0\)となります。このときの角度を\(\alpha_c\)、張力を\(T_c\)とします。
鉛直方向の力のつり合いの式②より、
$$
\begin{aligned}
0 + T_c\cos\alpha_c &= mg \\[2.0ex]
T_c\cos\alpha_c &= mg \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
張力\(T_c\)は、フックの法則と幾何学的関係から、
$$
\begin{aligned}
T_c &= kl_0\left(\frac{1}{\cos\alpha_c} – 1\right) \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
式⑦を式⑥に代入すると、
$$
\begin{aligned}
kl_0\left(\frac{1}{\cos\alpha_c} – 1\right) \cos\alpha_c &= mg \\[2.0ex]
kl_0(1 – \cos\alpha_c) &= mg \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
臨界角速度\(\omega_c\)は、(2)で求めた角速度の一般式⑤に、\(\alpha = \alpha_c\)を代入することで得られます。
$$
\begin{aligned}
\omega_c &= \sqrt{\frac{k}{m}(1-\cos\alpha_c)} \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
そのときのゴムひもの長さ\(l_c\)は、幾何学的関係から、
$$
\begin{aligned}
l_c &= \frac{l_0}{\cos\alpha_c} \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$

まず、式⑧から\(1-\cos\alpha_c\)の形を求めます。
$$
\begin{aligned}
1 – \cos\alpha_c &= \frac{mg}{kl_0}
\end{aligned}
$$
これを式⑨に代入して\(\omega_c\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\omega_c &= \sqrt{\frac{k}{m} \left(\frac{mg}{kl_0}\right)} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\frac{g}{l_0}} \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$
次に、\(\cos\alpha_c\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
\cos\alpha_c &= 1 – \frac{mg}{kl_0} \quad \cdots ⑪
\end{aligned}
$$
これを式⑩に代入して、ゴムひもの長さ\(l_c\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
l_c &= \frac{l_0}{1 – \frac{mg}{kl_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{l_0}{\frac{kl_0 – mg}{kl_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{kl_0^2}{kl_0 – mg} \quad \cdots ⑬
\end{aligned}
$$

おもりが床からちょうど浮き上がる瞬間は、床がおもりを押す力（垂直抗力\(N\)）がゼロになるときです。この条件を、(1)で立てた上下方向の力のつり合いの式に入れます。そうすると、そのときのゴムひもの力（張力\(T_c\)）と、ゴムひもが鉛直方向となす角度\(\alpha_c\)の関係がわかります。一方、ゴムひもの張力\(T_c\)は、ゴムの伸びと硬さ（弾性定数\(k\)）で決まるので（フックの法則）、これも角度\(\alpha_c\)を使って表すことができます。これら2つの張力に関する式を組み合わせると、浮き上がる瞬間の角度\(\alpha_c\)が求まります。
この角度の値を、(2)で求めた角速度\(\omega\)の一般的な式に代入すれば、浮き上がる瞬間の特別な角速度\(\omega_c\)が計算できます。
最後に、そのときのゴムひもの実際の長さ\(l_c\)は、つり下げ点Oからの水平面までの高さ\(l_0\)と、浮き上がる瞬間の角度\(\alpha_c\)から三角比を使って計算します。

おもりが面Aを離れて空中に浮き上がるときの角速度は\(\omega_c = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l_0}}\)です。
また、そのときのゴムひもの長さは\(l_c = \displaystyle\frac{kl_0^2}{kl_0 – mg}\)です。
問題文の条件\(k > mg/l_0\)、すなわち\(kl_0 > mg\)は、ここで重要な意味を持ちます。この条件があるために、\(\cos\alpha_c = 1 – \frac{mg}{kl_0}\)の値が\(0 < \cos\alpha_c < 1\)の範囲に収まることが保証され、物理的に意味のある角度\(\alpha_c\)が存在し、おもりが実際に浮き上がることが可能になります。また、\(l_c\)の式の分母\(kl_0 – mg\)が正になるため、\(l_c\)も正の妥当な値をとります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等速円運動の動力学とフックの法則の融合:
  • 核心: この問題は、等速円運動を記述する物理法則と、ゴムひものような弾性体の性質を記述するフックの法則という、2つの異なる物理法則を組み合わせて解く能力を問うています。
  • 理解のポイント:
    1. 円運動の力の分析: おもりにはたらく力をすべて図示し、円運動の中心方向（水平方向）とそれに垂直な方向（鉛直方向）に分解することが第一歩です。水平方向の力の合力が向心力となり、円運動を維持させます。鉛直方向の力はつり合っています（浮き上がるまでは）。
    2. 回転系（非慣性系）の視点: 問題文が「力のつり合い式」を求めていることから、おもりと共に回転する観測者の視点に立ち、見かけの力である「遠心力」を導入すると、静力学的な力のつり合いの問題としてシンプルに扱えます。
    3. フックの法則の適用: ゴムひもの張力は一定ではなく、その「伸び」に比例して変化します。幾何学的な関係からゴムひもの現在の長さを求め、自然長との差（伸び）を計算し、フックの法則(\(T=k \times \text{伸び}\))を適用して張力を数式で表現することが、問題を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円錐振り子: 糸の長さが一定の円錐振り子は、本問のゴムひもがばねやゴムに置き換わったバージョンの基本形です。張力が伸びによらないため、計算がより単純になります。
  • 回転する容器内の物体: 回転するお椀型の容器の内面に置かれた物体が、滑り落ちずに共に回転する条件を問う問題。垂直抗力の水平成分が向心力となります。
  • ばね振り子の円運動: 自然長のあるばねにおもりを付けて水平面上で回転させる問題。本問とほぼ同じ構造ですが、固定点の高さなどの幾何学的条件が変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 幾何学的関係の把握: まず図をよく見て、円運動の半径、ひもの長さ、固定点の高さ、角度などの間の三角比の関係を正確に把握することが不可欠です。多くの場合、これらが未知数を減らすための重要な関係式になります。
  2. 力の分解の軸設定: 円運動の問題では、水平方向（向心力／遠心力の方向）と鉛直方向の2つの軸で力を分解するのが定石です。この軸設定により、運動方程式（または力のつり合い式）がシンプルになります。
  3. 変化する条件を見抜く: 問(3)のように、「浮き上がる」「滑り出す」といった運動の状態が変化する瞬間を問う問題では、その臨界条件が何かを物理的に解釈することが鍵となります。本問では「浮き上がる \(\iff\) 垂直抗力\(N=0\)」という読み替えが決定的に重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ゴムひもの「長さ」と「伸び」の混同:
  • 誤解: フックの法則\(T=kx\)の\(x\)に、ゴムひもの全長\(l\)を代入してしまう。
  • 対策: フックの法則の\(x\)は、常に「自然の長さからの変化量（伸びまたは縮み）」です。必ず、現在の長さ\(l\)と自然長\(l_0\)を区別し、伸び\(\Delta l = l – l_0\)を計算してからフックの法則を適用する、という手順を徹底しましょう。
• 円運動の半径の誤認:
  • 誤解: 円運動の半径\(r\)を、ゴムひもの長さ\(l\)と混同してしまう。
  • 対策: 円運動の半径は、回転軸からの距離です。この問題では、回転軸は固定点Oを通る鉛直線なので、半径は\(r = l\sin\alpha\)または\(r=l_0\tan\alpha\)となります。必ず図を描いて、どの長さが半径に相当するのかを視覚的に確認しましょう。
• 力の分解ミス:
  • 誤解: 張力\(T\)の水平成分を\(T\cos\alpha\)、鉛直成分を\(T\sin\alpha\)のように、三角関数を取り違える。
  • 対策: 角度\(\alpha\)がどの角なのかを明確にし、「角\(\alpha\)を挟む辺が\(\cos\alpha\)」のように、三角比の定義に忠実に分解する習慣をつけましょう。自信がなければ、力のベクトルを対角線とする長方形を描いて確認するのが確実です。
• 問題文の条件の見落とし:
  • 誤解: \(k > mg/l_0\)のような条件式を無視して計算を進めてしまう。
  • 対策: 問題文で与えられる条件式は、多くの場合、解が存在するための物理的な条件や、計算結果の妥当性を吟味するためのヒントになっています。解き終わった後に、自分の答えがその条件を満たしているか、あるいはその条件がなぜ必要だったのかを振り返ることで、物理的な洞察が深まります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 遠心力を考慮した力のつり合い:
  • 選定理由: 問題文が「力のつり合い式を記せ」と明示しているため、このアプローチが最も素直です。回転系に視点を移すことで、動的な円運動の問題を、静的な力のつり合いの問題として扱うことができ、思考が単純化されます。
  • 適用根拠: おもりは等速円運動をしており、おもりと共に回転する観測者から見れば静止しています。この非慣性系で物理法則を成り立たせるために、見かけの力である遠心力を導入し、力のつり合いを考えます。
• フックの法則 (\(T = k(l-l_0)\)):
  • 選定理由: 問題に「弾性定数\(k\)のゴムひも」が登場し、その張力を定量的に扱う必要があるため、必須の法則です。
  • 適用根拠: ゴムひもの張力\(T\)は、角速度\(\omega\)や角度\(\alpha\)によって変化する未知数です。この\(T\)を、幾何学的に決まる「伸び」と定数\(k\)で表現することで、未知数を減らし、方程式を解くことが可能になります。
• 垂直抗力\(N=0\)（面から離れる条件）:
  • 選定理由: 「浮き上がる」という物理現象を、数式で扱える条件に変換するためです。
  • 適用根拠: 垂直抗力は、面が物体を押す力です。物体が面に接触している限り\(N \ge 0\)であり、面から離れるまさにその瞬間、この押す力は0になります。したがって、「浮き上がる瞬間の条件 \(\iff N=0\)」という論理的な置き換えが成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角関数の扱いの習熟:
  • 特に注意すべき点: この問題では、\(\sin\alpha, \cos\alpha, \tan\alpha\)が頻繁に登場し、相互に変換しながら計算を進める必要があります。特に、問(2)の計算過程で式を整理する際に、\(\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha\)をうまく利用して約分する部分がポイントです。
  • 日頃の練習: 三角関数の基本的な公式（\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha\)など）をスムーズに使えるようにしておくことが重要です。式変形の際には、どの公式を使えば最も簡潔になるかを見通す練習をしましょう。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: \(m, k, l_0, g, \alpha, \omega\)など多くの文字が登場します。特に分数が絡む計算では、通分や約分のミスが起こりやすいです。
  • 日頃の練習: 途中式を省略せず、特に分数の計算は丁寧に行いましょう。問(3)の\(l_c\)の計算のように、分母が分数になる場合は、分母分子に同じ値を掛けるなどして、慎重に整理する癖をつけましょう。
• 物理的な意味を考えながら計算する:
  • 特に注意すべき点: 計算の途中で得られた式が、どのような物理的意味を持つかを意識すると、ミスに気づきやすくなります。例えば、問(3)で\(1-\cos\alpha_c = mg/kl_0\)という式が出てきますが、これは「浮き上がる瞬間には、ゴムひもの張力の鉛直成分が重力とつりあう」という物理法則を、フックの法則を使って書き換えたものに他なりません。
  • 日頃の練習: 数式だけを追うのではなく、「この項は張力を表している」「この式は力のつり合いを表している」というように、数式の物理的な意味を常に意識しながら解き進める習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) 角速度\(\omega\): \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}(1-\cos\alpha)}\)。
    • 吟味の視点: \(\alpha\)が大きくなる（回転が速くなる）と\(\cos\alpha\)は小さくなり、\(\omega\)は大きくなります。これは直感と一致します。また、ゴムが硬い(\(k\)大)ほど、おもりが軽い(\(m\)小)ほど、同じ角度を保つのに速い回転が必要になるというのも妥当です。
  • (3) 臨界角速度\(\omega_c\): \(\omega_c = \sqrt{\frac{g}{l_0}}\)。
    • 吟味の視点: この式は、長さ\(l_0\)の糸でできた振り子の単振動の角振動数と同じ形をしています。これは、浮き上がった後の微小振動（あるいは円運動）が、重力と慣性力（遠心力）のバランスで決まることを示唆しており、興味深い結果です。また、この値がゴムの硬さ\(k\)やおもりの質量\(m\)によらないという点も重要な特徴です。
  • (3) ゴムひもの長さ\(l_c\): \(l_c = \frac{kl_0^2}{kl_0 – mg}\)。
    • 吟味の視点: 問題文の条件\(kl_0 > mg\)より、分母は正となり、\(l_c\)は正の値をとります。もし\(k\)が非常に大きい（硬いゴム）なら、分母・分子を\(k\)で割ると\(l_c \approx \frac{l_0^2}{l_0} = l_0\)となり、ほとんど伸びないという直感に合います。もし\(kl_0\)が\(mg\)に非常に近い（ぎりぎり浮き上がれる条件）なら、分母が0に近づき、\(l_c\)は非常に大きくなります。これも物理的に妥当な振る舞いです。

関連記事

高校物理・物理基礎が「わかる」→「解ける」へ｜有名問題集・オリジナル問題の解説なら「まことの物理教室」

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。 【引用】https://makoto-physics-school.com […]

問題26 (大分大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直より角度 \(\theta\) だけ傾いた状態で支点Oに固定された細い棒に沿って自由に動ける小ビーズ球Pの運動を扱います。棒が滑らかな場合と摩擦がある場合それぞれについて、棒を鉛直軸OAのまわりに回転させたときのPの運動や、Pが滑らずに静止していられる条件などを考察します。慣性力（特に遠心力）の考え方や、静止摩擦力が関わる力のつり合いが重要なポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の中心となるのは、「等速円運動における力のつり合い（非慣性系での遠心力を考慮）」および「静止摩擦力が関わる力のつり合い」です。(1)では滑らかな棒なので遠心力と重力、垂直抗力のつり合いを考えます。(2)では摩擦力が加わり、Pが滑り落ちる限界と滑り上がる限界の条件を、最大静止摩擦力を考慮して求めることになります。Pと共に回転する観測者の立場から見ると、力のつり合いとして扱いやすくなります。

問(1)