基本問題
182 2本のばねにつながれた物体の運動
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「合成ばね定数と単振動」です。2本のばねに繋がれた物体の運動を解析することで、複数のばねが単一のばねとして振る舞う際の「合成ばね定数」の考え方を理解し、その系の単振動の周期を求めることが目的です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- フックの法則と復元力: 物体が変位\(x\)にあるとき、各ばねが及ぼす力をフックの法則に従って正しく計算し、それらの合力（全体の復元力）を求めること。
- 運動方程式: 物体にはたらく合力（復元力）を用いて、運動方程式 \(ma=F\) を立てること。
- 単振動の条件: 運動方程式を整理した結果、加速度\(a\)が変位\(x\)に比例し、向きが逆（\(a = -(\text{定数}) \times x\)）の形になることを確認すること。
- 角振動数と周期: 加速度の式を単振動の定義式 \(a = -\omega^2 x\) と比較して角振動数\(\omega\)を特定し、周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) を用いて周期を計算すること。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、物体が位置\(x\)にあるときの、ばねA（伸びる）とばねB（縮む）が及ぼす力をそれぞれ求め、その合力\(F\)を計算します。次に、運動方程式 \(ma=F\) を用いて加速度\(a\)を求めます。
- (2)では、(1)で求めた加速度の式から、加速度の大きさが最大になる条件を考えます。加速度の大きさは変位の大きさに比例するため、変位が最大となる振動の端点を求めます。
- (3)では、(1)で求めた加速度の式を単振動の定義式 \(a = -\omega^2 x\) と比較して角振動数\(\omega\)を特定し、周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) を用いて周期を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
物体が位置\(x\)にあるときの合力\(F\)と加速度\(a\)を求める問題です。まず、2本のばねAとBがそれぞれ物体に及ぼす力を、フックの法則を用いて考えます。その際、座標軸の正の向き（右向き）を基準に、力の向きを符号で正しく表現することが重要です。合力\(F\)が求まれば、運動方程式 \(ma=F\) を用いて加速度\(a\)を計算できます。
この設問における重要なポイント
- 物体が正の向き（右向き）に変位\(x\)したとき、ばねAは伸び、ばねBは縮む。
- 伸びたばねAは、物体を負の向き（左向き）に引く。
- 縮んだばねBは、物体を負の向き（左向き）に押す。
- 合力\(F\)は、ばねAの力とばねBの力の和である。
具体的な解説と立式
物体が原点Oから正の向きに距離\(x\)だけ移動した位置にあるときを考えます。
- ばねAにはたらく力 \(F_A\): ばねAは\(x\)だけ伸びています。自然長に戻ろうとするため、物体を負の向き（左向き）に引きます。その力の大きさは \(k_1x\) なので、ベクトルとしては \(F_A = -k_1x\) と表せます。
- ばねBにはたらく力 \(F_B\): ばねBは\(x\)だけ縮んでいます。自然長に戻ろうとするため、物体を負の向き（左向き）に押します。その力の大きさは \(k_2x\) なので、ベクトルとしては \(F_B = -k_2x\) と表せます。
物体にはたらく合力\(F\)は、これらの和です。
$$ F = F_A + F_B $$
次に、この合力\(F\)を用いて運動方程式 \(ma=F\) を立て、加速度\(a\)を求めます。
$$ ma = F $$
使用した物理公式
- フックの法則: \(F = kx\)
- 運動方程式: \(ma = F\)
合力\(F\)の計算:
$$
\begin{aligned}
F &= -k_1x – k_2x \\[2.0ex]
&= -(k_1+k_2)x
\end{aligned}
$$
加速度\(a\)の計算:
運動方程式 \(ma = -(k_1+k_2)x\) の両辺を\(m\)で割ります。
$$ a = -\frac{k_1+k_2}{m}x $$
おもりが右に\(x\)だけずれると、左のばねAは伸びて左向きに引っ張り、右のばねBは縮んで左向きに押します。つまり、両方のばねが協力して、おもりを真ん中に戻そうとします。したがって、おもりにはたらく力の合計は、2つのばねの力の足し算になります。力が分かれば、運動の基本ルール「\(ma=F\)」から、加速度は「力\(F\) ÷ 質量\(m\)」で計算できます。
合力は \(F=-(k_1+k_2)x\)、加速度は \(a = -\displaystyle\frac{k_1+k_2}{m}x\) となります。力と加速度が変位\(x\)に比例し、向きが逆（負の符号）であるため、この物体が単振動をすることが確認できました。また、この運動は、ばね定数が \(K=k_1+k_2\) の1本のばねで振動しているのと同じであることがわかります。
問(2)
思考の道筋とポイント
物体の加速度の大きさが最大になる位置\(x\)を求める問題です。(1)で求めた加速度の式 \(a = -\displaystyle\frac{k_1+k_2}{m}x\) を見ると、加速度の大きさ \(|a|\) は変位の大きさ \(|x|\) に比例していることがわかります。したがって、加速度の大きさが最大になるのは、変位の大きさが最大になるとき、すなわち物体が振動の端点にあるときです。
この設問における重要なポイント
- 加速度の大きさ \(|a|\) は、変位の大きさ \(|x|\) に比例する。
- 変位の大きさが最大になるのは、振動の端点である。
- この問題では、物体を「\(x_0\)だけ移動させてから手をはなす」ので、\(x=x_0\) が振動の一方の端点となる。
具体的な解説と立式
(1)より、加速度\(a\)は \(a = -\displaystyle\frac{k_1+k_2}{m}x\) です。
この式の絶対値をとると、加速度の大きさ\(|a|\)は、
$$ |a| = \frac{k_1+k_2}{m}|x| $$
となります。この式から、\(|a|\)が最大になるのは、変位の大きさ\(|x|\)が最大になるときであることがわかります。
単振動において、変位の大きさが最大になるのは振動の端点です。
問題文より、物体は \(x=x_0\) の位置から静かにはなされるので、この位置が振動の端点（振幅 \(A=x_0\)）となります。単振動は振動の中心Oを挟んで対称的な運動をするため、もう一方の端点は \(x=-x_0\) となります。
したがって、加速度の大きさが最大になる位置は、\(x = \pm x_0\) です。
使用した物理公式
- \(a = -\displaystyle\frac{k_1+k_2}{m}x\)
- 振幅の定義
この設問は、物理的な考察から答えを導くものであり、計算は不要です。
加速度は、おもりを真ん中に戻そうとする力の強さに比例します。力が一番強くなるのは、おもりが一番端っこにいるときです。この問題では、最初に手を離した \(x=x_0\) の場所と、その反対側の \(x=-x_0\) の場所が一番端っこになります。したがって、加速度が最大になるのはこの2つの位置です。
加速度の大きさが最大になる位置は、振動の端点である \(x = \pm x_0\) です。単振動の基本的な性質から、正しく結論を導くことができました。
問(3)
思考の道筋とポイント
単振動の周期\(T\)を求める問題です。周期を求めるには、まず角振動数\(\omega\)を特定する必要があります。(1)で求めた加速度の式を、単振動の加速度の定義式 \(a = -\omega^2 x\) と比較することで、\(\omega\)を求めることができます。\(\omega\)がわかれば、周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) を使って周期\(T\)を計算できます。
この設問における重要なポイント
- 単振動の加速度の定義式: \(a = -\omega^2 x\)
- (1)で導出した具体的な加速度の式と比較する。
- 周期と角振動数の関係: \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)
具体的な解説と立式
(1)で求めた、この系の加速度の式は、
$$ a = -\frac{k_1+k_2}{m}x $$
です。これを単振動の加速度の一般式、
$$ a = -\omega^2 x $$
と比較します。両式の係数部分が等しいことから、
$$ \omega^2 = \frac{k_1+k_2}{m} $$
となります。したがって、角振動数\(\omega\)は、
$$ \omega = \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}} $$
です。
この\(\omega\)を周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) に代入して、周期\(T\)を求めます。
使用した物理公式
- 単振動の加速度の定義式: \(a = -\omega^2 x\)
- 周期と角振動数の関係: \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)
周期の公式に\(\omega\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi}{\omega} \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}} \\[2.0ex]
&= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}
\end{aligned}
$$
補足: この結果は、ばね定数が \(K=k_1+k_2\) の合成ばねとみなしたときの周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) と一致します。
単振動の加速度は、必ず「\(a = -(\text{定数}) \times x\)」という形になります。この「定数」の部分が「角振動数\(\omega\)の2乗」にあたります。(1)で求めた加速度の式を見ると、定数の部分は \(\displaystyle\frac{k_1+k_2}{m}\) なので、これが\(\omega^2\)です。あとは、周期を求める公式 \(T = 2\pi/\omega\) にあてはめれば、答えが計算できます。
周期は \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k_1+k_2}}\) となります。これは、2本のばねが並列につながれている場合の合成ばね定数が \(K=k_1+k_2\) となることに対応しており、物理的に正しい結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 復元力の合成と運動方程式:
- 核心: この問題の最大のポイントは、2本のばねによる復元力がどのように合成されるかを正しく理解し、運動方程式を立てることです。物体が変位\(x\)したとき、一方のばねは伸びて引き、もう一方は縮んで押しますが、どちらの力も振動の中心に戻そうとする向きに働くため、合力（全体の復元力）は2つの力の大きさの和になります。
- 理解のポイント:
- 合力\(F\)は \(F = -k_1x – k_2x = -(k_1+k_2)x\) となります。
- この結果は、この系全体が、ばね定数 \(K = k_1+k_2\) を持つ1本の「合成ばね」と見なせることを示しています。
- 運動方程式から単振動の周期を導出する流れ:
- 核心: 復元力の形が \(F=-Kx\) と分かれば、運動方程式は \(ma = -Kx\) となります。これを単振動の定義式 \(a = -\omega^2 x\) と比較することで、角振動数が \(\omega^2 = K/m\) と特定され、周期 \(T=2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/K}\) が導かれます。この一連の論理の流れは、単振動の問題を解く上での王道パターンです。
- 理解のポイント:
- Step 1 (力学): まず復元力 \(F\) を \(x\) の関数として求める (\(F=-Kx\))。
- Step 2 (運動方程式): \(ma=F\) に代入し、加速度 \(a\) を \(x\) の関数として求める (\(a = -(K/m)x\))。
- Step 3 (運動学): 加速度の式を単振動の定義式 \(a=-\omega^2 x\) と比較し、角振動数を特定する (\(\omega^2 = K/m\))。
- Step 4 (周期計算): 最後に周期の公式 \(T=2\pi/\omega\) を使って周期を求める。この4ステップの流れはあらゆる単振動の問題に応用できる。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- ばねの直列接続: 2本のばねを縦（直列）に繋いで物体を吊るす場合。このときの合成ばね定数は \(\displaystyle\frac{1}{K} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\) となります。
- 物体を挟まない並列接続: 天井から2本のばねで1つの物体を吊るす場合。これもばねの伸びが共通なので、合成ばね定数は \(K=k_1+k_2\) となります。
- 浮力による単振動: 水に浮いた断面積\(S\)の物体を少し沈めてはなした場合。復元力はアルキメデスの原理から \(F = -(\rho S g)x\) となり、有効なばね定数 \(K=\rho S g\) の単振動となります。
- 初見の問題での着眼点:
- 振動中心の特定: まず、力がつりあう位置はどこかを確認します。この問題では、ばねが両方とも自然長の原点Oです。
- 復元力の導出: 振動中心から微小変位\(x\)だけずらしたときに、中心に戻そうとする力（復元力）がどのように表されるかを考えます。これが単振動の問題を解く上で最も重要なステップです。
- \(F=-Kx\)の形を作り、有効なばね定数\(K\)を特定する: 復元力が変位\(x\)に比例する形（\(F=-Kx\)）になっているかを確認し、その比例定数\(K\)（合成ばね定数）を読み取ります。
- 周期の公式へ代入: \(K\)が分かれば、あとは周期の一般式 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) に代入するだけで答えが求まります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 力の向きの誤解と合力の計算ミス:
- 誤解: (1)で、ばねBが縮んでいるため、物体を正の向き（右向き）に押すと勘違いする。あるいは、2つの力の合力を、大きさの差 \(|k_1x – k_2x|\) だと思ってしまう。
- 対策: 必ず図を描き、それぞれのばねが「自然長に戻ろうとする」向きに力を及ぼすことを一つずつ確認します。ばねAは伸びているので左に引き(\(-k_1x\))、ばねBは縮んでいるのでこれも左に押します(\(-k_2x\))。両方とも負の向きなので、合力は単純な和になります。
- 合成ばね定数の公式の丸暗記による混乱:
- 誤解: 「並列接続だから \(K=k_1+k_2\)」「直列だから \(\frac{1}{K} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}\)」と公式だけを丸暗記し、なぜそうなるかを理解していないため、少し複雑な設定になると対応できなくなる。
- 対策: この問題のように、毎回「変位\(x\)のときの合力は？」という基本に立ち返って復元力を導出する癖をつけましょう。そうすれば、公式を忘れても自力で導出でき、応用問題にも強くなります。
- 振幅\(x_0\)と周期の関係の誤解:
- 誤解: (3)で周期を求める際に、振幅である\(x_0\)が式の中に必要だと考えてしまい、計算が分からなくなる。
- 対策: 単振動の周期は、系の物理的性質（この場合は質量\(m\)と合成ばね定数\(k_1+k_2\)）のみで決まり、振幅（振動の大きさ）にはよらない、という「周期の等時性」を強く意識することが重要です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 運動方程式 (\(ma=F\)):
- 選定理由: (1)で加速度を求めるため、また(3)で周期を決定する角振動数\(\omega\)の根拠を得るため。力と運動の関係を結びつける物理学の根幹をなす法則であり、あらゆる力学系の解析における出発点です。
- 適用根拠: ニュートンの第二法則そのものです。この問題では、まず合力\(F\)をフックの法則から求め、それをこの式に代入することで、運動の様子（加速度）が明らかになります。
- 単振動の定義式との比較 (\(a = -\omega^2 x\)):
- 選定理由: (3)で周期を求めるために角振動数\(\omega\)を特定するため。運動方程式から導かれた具体的な加速度の式が、単振動という運動の一般的な数学的表現と一致することを利用します。
- 適用根拠: この比較によって、\(F=-(k_1+k_2)x\) という力学的な法則が、\(a=-\omega^2 x\) という運動学的なパターンを生み出すことが結びつけられ、その対応関係から \(\omega^2 = (k_1+k_2)/m\) という重要な関係が導かれます。
- 周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/K}\)):
- 選定理由: (3)で周期を求めるための最終的な計算式です。復元力が \(F=-Kx\) の形で表される単振動の周期は、常にこの形で与えられます。
- 適用根拠: この公式は、角振動数\(\omega = \sqrt{K/m}\) と、周期と角振動数の一般的な関係 \(T=2\pi/\omega\) から導かれる、単振動の最も重要な結論の一つです。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 符号の確認: (1)で力を足し合わせる際、必ず座標軸の正の向きを確認し、各力の符号が正しいかを慎重に判断します。\(F_A = -k_1x\), \(F_B = -k_2x\) の両方にマイナス符号が付くことがこの問題の鍵です。
- 文字式の整理: \(F = -k_1x – k_2x\) から \(F = -(k_1+k_2)x\) のように、共通因数でくくる計算を丁寧に行うことで、有効なばね定数 \(K=k_1+k_2\) が自然に見えてきます。
- 平方根の中身の確認: (3)で周期を計算する際、\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\) のルートの中身が、質量の次元[M]をばね定数の次元[M/T²]で割ったもの、つまり[T²]の次元になっているかを確認します。ルートを外すと[T]となり、時間の次元と一致します。このような次元解析は、公式の覚え間違いを発見するのに役立ちます。
- 結論の物理的吟味: 周期の式を見て、「質量\(m\)が大きくなると周期は長くなる（ゆっくり動く）」「ばね定数\(k_1, k_2\)が大きくなると（ばねが硬くなると）周期は短くなる（速く動く）」という物理的な直感と、導出した式が合っているかを確認する習慣をつけましょう。
183 鉛直ばね振り子
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「鉛直ばね振り子の単振動」です。水平ばね振り子と異なり、常に重力がはたらく状況での単振動を、力のつり合いの位置を基準に考えることで解析する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力のつり合いと振動中心: 鉛直ばね振り子では、重力と弾性力がつりあう位置が単振動の中心となります。この問題では、原点Oがその振動中心に設定されています。
- 復元力の導出: 振動の中心（つり合いの位置）からの変位\(x\)を用いて物体にはたらく合力を計算すると、見かけ上、重力が相殺され、合力が変位\(x\)にのみ比例する復元力 \(-kx\) の形になることを理解することが核心です。
- 運動方程式: 物体にはたらく合力（復元力）を用いて、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
- 単振動の周期: 鉛直ばね振り子の周期は、重力の影響が見かけ上なくなるため、水平ばね振り子と全く同じ \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) となることを理解していること。
- 単振動の運動: 振動の中心、端点、最高点などの位置関係と、そこを移動するのにかかる時間を周期との関係で把握していること。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、おもりが静止している「力のつり合い」の状態に着目し、つり合いの式からばねの伸び\(x_0\)を求めます。
- (2)では、振動の中心（つり合いの位置）から変位\(x\)だけずれた点での合力\(F\)を、重力と弾性力の和として計算します。(1)の結果を利用して式を整理します。
- (3)では、(2)で求めた合力\(F\)を用いて、運動方程式 \(ma=F\) を立式します。
- (4)では、(3)で立てた運動方程式を \(a = -(\text{定数}) \times x\) の形に変形し、単振動の定義式 \(a = -\omega^2 x\) と比較して角振動数\(\omega\)と周期\(T\)を求めます。
- (5)では、おもりが原点O（振動中心）を上向きに通過してから最高点（上側の端点）に達するまでの時間を考えます。これは周期の1/4に相当します。
問(1)
思考の道筋とポイント
つり合いの位置でのばねの伸び\(x_0\)を求める問題です。問題文の「おもりにはたらく力がつりあって静止した」という記述に着目します。「静止」は力がつりあっている状態を意味するので、この点での力のつり合いの式を立てることで、ばねの伸び\(x_0\)を求めることができます。
この設問における重要なポイント
- 静止状態 ＝ 力のつり合い。
- おもりにはたらく力は、鉛直下向きの重力\(mg\)と、鉛直上向きの弾性力\(kx_0\)の2つ。
具体的な解説と立式
おもりが静止しているつり合いの位置（原点O）では、おもりにはたらく重力\(mg\)（鉛直下向き）と、ばねの弾性力\(kx_0\)（鉛直上向き）がつりあっています。鉛直下向きを正とすると、力のつり合いの式は以下のように立てられます。
$$ mg – kx_0 = 0 $$
使用した物理公式
- 力のつり合い: \(\text{合力} = 0\)
- フックの法則: \(F = kx\)
力のつり合いの式を\(x_0\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
mg – kx_0 &= 0 \\[2.0ex]
kx_0 &= mg \\[2.0ex]
x_0 &= \frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$
おもりがぶら下がって静止しているとき、おもりを下に引っ張る「重力」と、ばねが上に引っ張り戻そうとする「弾性力」がちょうど同じ大きさになっています。重力は\(mg\)、弾性力は「ばね定数\(k\) × 伸び\(x_0\)」なので、「\(mg = kx_0\)」という関係が成り立ちます。この式を\(x_0\)について解けば答えが求まります。
つり合いの位置でのばねの伸びは \(x_0 = \displaystyle\frac{mg}{k}\) となります。これは、おもりが重いほど、またばねが柔らかい（\(k\)が小さい）ほど、ばねがたくさん伸びることを示しており、物理的に妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
おもりが位置\(x\)にあるときの合力\(F\)を求める問題です。この位置\(x\)は、つり合いの位置（原点O）からの変位であることに注意が必要です。したがって、ばねの自然長からの合計の伸びは \(x_0+x\) となります。この伸びを使って弾性力を計算し、重力との合力を求めます。
この設問における重要なポイント
- 座標軸の原点は「つり合いの位置」であり、「自然長の位置」ではない。
- 位置\(x\)でのばねの自然長からの合計の伸びは \(x_0+x\) である。
- 座標軸の向き（鉛直下向きが正）を意識して、力の向きを符号で正しく表す。
具体的な解説と立式
おもりが位置\(x\)にあるとき、おもりにはたらく力は以下の2つです。
- 重力: \(mg\)（鉛直下向き、正の向き）
- 弾性力: ばねの自然長からの伸びが \(x_0+x\) なので、力の大きさは \(k(x_0+x)\)。向きは鉛直上向き（負の向き）なので、\(-k(x_0+x)\) と表せる。
したがって、おもりにはたらく合力\(F\)は、これらの和として次のように立てられます。
$$ F = mg – k(x_0+x) $$
この式に、(1)で求めた \(x_0=\displaystyle\frac{mg}{k}\) の関係（すなわち \(mg=kx_0\)）を代入して整理します。
使用した物理公式
- フックの法則: \(F = kx\)
$$
\begin{aligned}
F &= mg – k(x_0+x) \\[2.0ex]
&= mg – kx_0 – kx
\end{aligned}
$$
ここで、(1)の結果から \(mg = kx_0\) なので、
$$
\begin{aligned}
F &= (kx_0) – kx_0 – kx \\[2.0ex]
&= -kx
\end{aligned}
$$
おもりがつり合いの位置から下に\(x\)だけずれると、ばねは合計で \(x_0+x\) だけ伸びます。このとき、おもりには下向きの「重力\(mg\)」と、上向きの「弾性力\(k(x_0+x)\)」がはたらきます。力の合計は、下向きをプラスとすると「\(mg – k(x_0+x)\)」となります。ここで(1)の結果「\(mg=kx_0\)」を使うと、式がうまく整理されて、最終的に「\(-kx\)」というシンプルな形になります。
合力は \(F=-kx\) となりました。これは非常に重要な結果で、つり合いの位置を原点にとると、重力の影響が見かけ上消え去り、合力（復元力）がまるで水平ばね振り子のように、変位\(x\)にのみ比例する形になることを示しています。
問(3)
思考の道筋とポイント
おもりの運動方程式を立てる問題です。運動方程式は \(ma=F\) であり、(2)でその合力\(F\)はすでに求まっています。したがって、(2)の結果を代入するだけで運動方程式が完成します。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式は \(ma=F\) である。
- (2)で求めた合力 \(F=-kx\) を用いる。
具体的な解説と立式
ニュートンの第二法則（運動方程式）は、質量\(m\)、加速度\(a\)、合力\(F\)を用いて、
$$ ma = F $$
と表されます。(2)で求めた合力 \(F=-kx\) を代入すると、このおもりの運動方程式は、
$$ ma = -kx $$
となります。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
この設問は式を立てるものであり、計算は不要です。
運動の基本ルールは「質量 × 加速度 = 力」です。(2)で力の合計が\(-kx\)であることがわかったので、このルールにそのままあてはめて「\(ma = -kx\)」と書けば、それが運動方程式になります。
運動方程式は \(ma=-kx\) となりました。これは、水平ばね振り子と全く同じ形の式です。このことから、鉛直ばね振り子の運動は、つり合いの位置を基準に考えれば、水平ばね振り子と全く同じ単振動をすることがわかります。
問(4)
思考の道筋とポイント
単振動の角振動数\(\omega\)と周期\(T\)を求める問題です。(3)で立てた運動方程式を加速度\(a\)について解き、それを単振動の加速度の定義式 \(a = -\omega^2 x\) と比較することで、\(\omega\)を求めることができます。\(\omega\)がわかれば、周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) を使って周期\(T\)を計算できます。
この設問における重要なポイント
- (3)の運動方程式を \(a\) についての式に変形する。
- 単振動の加速度の定義式: \(a = -\omega^2 x\) と比較する。
- 周期と角振動数の関係: \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)
具体的な解説と立式
(3)で立てた運動方程式 \(ma=-kx\) を、加速度\(a\)について解きます。
$$ a = -\frac{k}{m}x $$
これを単振動の加速度の一般式、
$$ a = -\omega^2 x $$
と比較します。両式の係数部分が等しいことから、
$$ \omega^2 = \frac{k}{m} $$
となります。したがって、角振動数\(\omega\)は、
$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$
です。
この\(\omega\)を周期の公式 \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\) に代入して、周期\(T\)を求めます。
使用した物理公式
- 単振動の加速度の定義式: \(a = -\omega^2 x\)
- 周期と角振動数の関係: \(T = \displaystyle\frac{2\pi}{\omega}\)
周期の公式に\(\omega\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{2\pi}{\omega} \\[2.0ex]
&= \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \\[2.0ex]
&= 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
\end{aligned}
$$
(3)で立てた運動方程式 \(ma=-kx\) を変形すると、加速度は \(a = -(k/m)x\) となります。単振動のルールでは、この\(x\)の前の定数部分が「角振動数\(\omega\)の2乗」にあたります。なので、\(\omega^2 = k/m\) とわかります。あとは、周期を求める公式 \(T = 2\pi/\omega\) にあてはめれば、答えが計算できます。
角振動数は \(\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{k}{m}}\)、周期は \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) となりました。この結果は、水平ばね振り子の周期と全く同じです。このことから、鉛直ばね振り子の周期は重力加速度\(g\)によらず、質量\(m\)とばね定数\(k\)のみで決まるという重要な性質がわかります。
問(5)
思考の道筋とポイント
おもりが原点O（振動中心）を上向きに通過してから、初めて最高点に達するまでの時間\(t\)を求める問題です。単振動の運動をイメージすることが重要です。
- 原点O: 振動の中心。
- 最高点: 上向きの運動の折り返し点なので、上側の振動の端点。
求める時間\(t\)は、振動の中心から端点まで移動するのにかかる時間です。これは、1周期のちょうど1/4に相当します。
この設問における重要なポイント
- 原点Oは振動の中心。
- 最高点は上側の振動の端点。
- 中心から端点までの移動時間は、周期\(T\)の1/4である。
具体的な解説と立式
求める時間\(t\)は、おもりが振動の中心（原点O）から振動の端点（最高点）まで移動する時間です。
単振動において、中心から端までの移動時間は周期\(T\)の \(1/4\) です。
$$ t = \frac{1}{4}T $$
(4)で求めた周期 \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) を代入します。
使用した物理公式
- 単振動の周期性
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{1}{4} \left( 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}
\end{aligned}
$$
おもりの運動は、行ったり来たりの往復運動です。「中心 → 端 → 中心 → 反対の端 → 中心」という1往復（1周期）の動きは、4つの同じ時間のかかるパートに分けられます。問題で聞かれているのは、「中心（原点O）から端（最高点）まで」の時間なので、これはちょうど1周期の1/4の時間になります。(4)で求めた周期を4で割れば答えが出ます。
時間は \(t = \displaystyle\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{k}}\) となります。単振動の周期的な性質を正しく理解していれば、簡単に導出できる結果です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 鉛直ばね振り子の振動中心:
- 核心: 鉛直ばね振り子を理解する上で最も重要なのは、振動の中心がばねの「自然長の位置」ではなく、重力と弾性力がつりあう「力のつり合いの位置」になるという点です。
- 理解のポイント:
- この問題では、原点Oが力のつり合いの位置として設定されています。
- このつり合いの位置を基準（原点）として運動を記述すると、重力と、つり合い位置までのばねの弾性力（\(kx_0\)）が見かけ上相殺されます。
- その結果、全体の復元力は、振動中心からの変位\(x\)にのみ比例するシンプルな形（\(F=-kx\)）になり、水平ばね振り子と全く同じ数学モデルで扱えるようになります。
- 運動方程式から単振動の周期を導出する流れ:
- 核心: この問題は、単振動の解析における最も基本的な論理展開を示しています。それは、「①力のつり合いを考える → ②運動方程式を立てる → ③単振動の定義式と比較して\(\omega\)を特定する → ④周期を計算する」という一連の流れです。
- 理解のポイント:
- Step 1 (力学): まず復元力 \(F\) を変位 \(x\) の関数として求める (\(F=-kx\))。
- Step 2 (運動方程式): \(ma=F\) に代入し、加速度 \(a\) を変位 \(x\) の関数として求める (\(a = -(k/m)x\))。
- Step 3 (運動学): 加速度の式を単振動の定義式 \(a=-\omega^2 x\) と比較し、角振動数を特定する (\(\omega^2 = k/m\))。
- Step 4 (周期計算): 最後に周期の公式 \(T=2\pi/\omega\) を使って周期を求める。この4ステップの流れはあらゆる単振動の問題に応用できる。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 斜面上のばね振り子: 重力の斜面方向成分と弾性力がつりあう点が新たな振動中心となります。考え方は鉛直ばね振り子と全く同じで、つり合いの位置を基準にすれば、重力の影響を無視した単振動として扱えます。
- 浮力による単振動: 水に浮いた断面積\(S\)の物体を少し沈めてはなした場合。浮力と重力がつりあう点が中心となり、復元力はアルキメデスの原理から \(F = -(\rho_{\text{水}} S g)x\) となります。これは有効なばね定数が \(K=\rho_{\text{水}} S g\) の単振動とみなせます。
- エネルギー保存則の利用: 鉛直ばね振り子では、力学的エネルギーは「運動エネルギー」「弾性エネルギー」「重力による位置エネルギー」の3つの和となります。これらの和が保存されることを利用して、任意の点での速さなどを求める問題に応用できます。
- 初見の問題での着眼点:
- 振動中心を探す: まずは「力のつり合いの位置」を見つけます。これが最優先事項であり、全ての基準（座標原点、振幅の基準）になります。
- 座標軸を設定する: 振動中心を原点に取ると計算が劇的に楽になるため、問題で指定されていなければ自分で設定します。
- 復元力を導出する: 原点から\(x\)だけずれた位置での合力を計算し、\(F=-Kx\)の形（\(K\)は有効なばね定数）になることを確認します。
- 周期を計算する: 有効なばね定数\(K\)が分かれば、あとは周期の一般式 \(T=2\pi\sqrt{m/K}\) に代入するだけで答えが求まります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 振動中心の誤解:
- 誤解: 水平ばね振り子と同じ感覚で、ばねが自然長のときのおもりの位置を振動の中心だと勘違いしてしまう。
- 対策: 「鉛直」という言葉を見たら、「振動中心＝力のつり合いの位置」と自動的に変換する癖をつけましょう。必ず図を描いて、重力と弾性力を書き込み、つり合いの点を確認する習慣が有効です。
- 復元力の計算ミス:
- 誤解: (2)で合力を計算するときに、ばねの伸びを\(x\)だけだと勘違いして \(F=mg-kx\) としたり、(1)の結果を使わずに \(mg\) が式に残ってしまったりする。
- 対策: ばねの伸びは常に「自然長からの長さ」であることを徹底します。つり合いの位置からの変位\(x\)と、自然長からの伸び\(x_0+x\)を明確に区別することが重要です。
- 周期の公式に関する誤解:
- 誤解: 鉛直方向の運動なので、重力加速度\(g\)が周期に関係するはずだと思い込み、周期の公式に\(g\)を入れようとして混乱する。
- 対策: 復元力が\(F=-kx\)の形になることを理解すれば、周期は水平ばね振り子と全く同じ \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) になることが論理的に導かれます。「重力は振動中心をずらすだけで、周期には影響しない」と結論を覚えておくことも有効です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合いの式 (\(mg-kx_0=0\)):
- 選定理由: (1)で振動中心の物理的な状態（ばねの伸び）を特定するため。静止している状態は、力が単純な関係にあるため、運動全体の解析を始める上での最適な出発点となります。
- 適用根拠: ニュートンの第一法則（または第二法則で\(a=0\)の場合）であり、静力学の基本です。
- 運動方程式 (\(ma=F\)):
- 選定理由: (2)と(3)で、運動中のおもりの振る舞い（合力、加速度）を記述するため。これは力と運動の関係を結びつける物理学の根幹をなす法則です。
- 適用根拠: ニュートンの第二法則そのものです。この問題では、まず合力\(F\)をフックの法則と重力の和から求め、それをこの式に代入することで、運動の様子（加速度）が明らかになります。
- 単振動の定義式との比較 (\(a=-\omega^2 x\)):
- 選定理由: (4)で運動の特性（角振動数\(\omega\)、周期\(T\)）を決定するため。力学的に導出した運動（\(a=-(k/m)x\)）が、どのような種類の運動（単振動）であるかを数学的に同定し、その運動のパラメータを抽出する標準的な手法です。
- 適用根拠: この比較は、力学的なモデル（運動方程式）と運動学的なモデル（単振動の定義式）を結びつける論理的な橋渡しであり、これによって系の物理的性質（\(k, m\)）と運動の特性（\(\omega\)）が関連付けられます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の丁寧な展開: (2)で \(F=mg-k(x_0+x)\) を \(F=mg-kx_0-kx\) と丁寧に展開することが、\(mg=kx_0\) の関係を見つけて相殺する鍵になります。焦って暗算しないことが重要です。
- 座標軸と符号の徹底: 最初に「鉛直下向きを正」と決めたら、全てのベクトル量（力、変位、加速度）の符号をその基準で一貫して扱います。重力は\(+mg\)、弾性力は伸びが\(x_0+x\)なので、上向きにはたらく力として\(-k(x_0+x)\)と表現します。
- 物理的な意味の再確認: (2)で \(F=-kx\) という結果が出たとき、「なぜ重力\(mg\)が式から消えたのか？」を考える習慣をつけましょう。「ああ、つり合いの位置での弾性力\(kx_0\)と相殺されたんだな」と物理的に納得することで、理解が深まり、ケアレスミスが減ります。
- 単位の確認: 周期の公式 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) のルートの中身が \([kg]/[N/m] = [kg]/[(kg \cdot m/s^2)/m] = [s^2]\) となり、ルートを外すと時間の次元[s]になることを確認する。このような次元解析は、公式の覚え間違いを発見するのに役立ちます。
184 斜面上のばね振り子
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている「振動中心と振幅を考える」アプローチを主たる解法として解説します。それに加え、設問(1)について、模範解答にも示されている物理的に重要かつ教育的価値の高い別解を、メインの解法と同等の粒度で丁寧に解説に含めます。
- 設問(1)の別解
- 別解: 力学的エネルギー保存則を用いた解法
- 意義: このアプローチでは、単振動の運動モデル（振動中心や振幅）を具体的に考えなくても、運動の始点（はなした位置）と終点（伸びが最大の位置）の2点間でのエネルギー保存則を立式するだけで、直接答えを導くことができます。これにより、力学的エネルギー保存則という物理学の基本法則の強力さと応用範囲の広さを実感できます。
- 別解: 力学的エネルギー保存則を用いた解法
いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と一致します。
この問題のテーマは「斜面上のばね振り子」です。鉛直ばね振り子と同様に、重力の影響下での単振動を正しく扱えるかが問われます。力のつり合いの位置が振動の中心になることを理解することが、問題を解く上での鍵となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力のつり合いと振動中心: 斜面上のばね振り子では、重力の斜面方向成分と弾性力がつりあう位置が単振動の中心となります。
- 単振動の振幅と端点: 物体を静かにはなした位置は、速度がゼロであるため振動の端点となります。振幅は、振動の中心からこの端点までの距離です。
- 単振動の周期性: 振動の端から中心まで、中心から逆の端まで、といった区間の移動時間は、周期との関係で決まります。
- 力学的エネルギー保存則: なめらかな斜面上では、運動エネルギー、重力による位置エネルギー、弾性エネルギーの和である力学的エネルギーが保存されます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、まず力のつり合いの位置を求めて振動の中心を特定します。次に、はなした位置（上側の端点）と中心との距離から振幅を決定します。ばねの伸びが最大になるのは下側の端点なので、その位置での自然長からの伸びを計算します。
- (2)では、おもりがはなした位置（上側の端点）から、ばねの伸びが最大になる位置（下側の端点）まで移動する時間を求めます。これは単振動の周期の半分に相当します。
問(1)
思考の道筋とポイント
ばねの伸びの最大値\(x\)を求める問題です。この運動は単振動なので、まず「振動の中心」と「振幅」を特定することが重要です。
- 振動中心の特定: おもりにはたらく力がつりあう位置が振動の中心です。重力の斜面方向成分と弾性力がつりあうときのばねの伸びを\(x_0\)として求めます。
- 振幅の特定: おもりは「ばねが自然の長さとなる位置」で静かにはなされます。速度がゼロになるこの位置は、振動の端点（この場合は最高点）です。振動の中心からこの端点までの距離が振幅\(A\)になります。
- 最大伸びの計算: ばねの伸びが最大になるのは、振動のもう一方の端点（最下点）です。最下点での自然長からの伸びは、「中心までの伸び \(x_0\)」と「中心から最下点までの距離（振幅\(A\)）」の和で求められます。
この設問における重要なポイント
- 斜面上のばね振り子の振動中心は、重力の斜面成分と弾性力がつりあう位置。
- 静かにはなした位置（自然長）は、振動の最高点（上側の端）。
- 振幅は、中心と端の距離に等しい。
- 伸びの最大値は、最下点での自然長からの距離である。
具体的な解説と立式
まず、おもりにはたらく力がつりあう位置を求めます。この位置でのばねの自然長からの伸びを\(x_0\)とすると、この位置が振動の中心Oとなります。
おもりにはたらく力は、重力\(mg\)、弾性力\(kx_0\)、垂直抗力\(N\)です。斜面に沿った方向の力のつり合いより、
$$ kx_0 – mg\sin\theta = 0 $$
次に、単振動の様子を考えます。おもりは自然長の位置（最高点）で静かにはなされます。この位置は振動の上側の端点です。
したがって、振幅\(A\)は振動の中心Oから最高点までの距離なので、\(A=x_0\)となります。
ばねの伸びが最大になるのは、振動の下側の端点（最下点）に達したときです。
最下点での自然長からの伸びの最大値\(x\)は、自然長から中心Oまでの距離\(x_0\)と、中心Oから最下点までの距離（振幅\(A=x_0\)）の和になります。
$$ x = x_0 + A $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- フックの法則: \(F=kx\)
- 単振動の振幅の定義
まず、力のつり合いの式から\(x_0\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
kx_0 &= mg\sin\theta \\[2.0ex]
x_0 &= \frac{mg\sin\theta}{k}
\end{aligned}
$$
次に、この\(x_0\)を用いて伸びの最大値\(x\)を計算します。振幅\(A\)は\(x_0\)に等しいので、
$$
\begin{aligned}
x &= x_0 + A \\[2.0ex]
&= x_0 + x_0 \\[2.0ex]
&= 2x_0 \\[2.0ex]
&= 2 \times \frac{mg\sin\theta}{k} \\[2.0ex]
&= \frac{2mg\sin\theta}{k}
\end{aligned}
$$
まず、このブランコ運動の「真ん中」がどこかを調べます。真ん中とは、重りの斜面を滑り落ちようとする力と、ばねが引っ張る力がちょうどつりあう点です。このときのばねの伸びを\(x_0\)とします。次に、運動の範囲を考えます。スタート地点はばねが伸びていない「自然長」の位置です。ここが一番上の折り返し点になります。したがって、振幅（真ん中から端までの距離）は\(x_0\)です。ばねの伸びが最大になるのは、一番下の折り返し点に来たときです。その位置は、真ん中からさらに\(x_0\)だけ下にいった場所なので、自然長からの合計の伸びは \(x_0 + x_0 = 2x_0\) となります。
ばねの伸びの最大値は \(\displaystyle\frac{2mg\sin\theta}{k}\) となります。単振動の運動モデル（中心と振幅）を正しく設定することで、物理的に妥当な結果を導くことができました。
思考の道筋とポイント
なめらかな斜面上での運動なので、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。運動の始点（はなした位置）と終点（伸びが最大の位置）で力学的エネルギーが等しいという式を立てることで、伸びの最大値\(x\)を直接求めます。この方法では、振動の中心や振幅を考える必要がありません。
この設問における重要なポイント
- 力学的エネルギー \(E = (\text{運動エネルギー}) + (\text{重力位置エネルギー}) + (\text{弾性エネルギー})\) が保存される。
- 始点（自然長）と終点（最大伸び）では、速さがゼロなので運動エネルギーはゼロ。
- 重力による位置エネルギーの基準点を明確に設定する。
具体的な解説と立式
運動の始点と終点で力学的エネルギー保存則を立てます。
- 始点: ばねが自然長の位置。
- 終点: ばねの伸びが最大値\(x\)になった位置。
重力による位置エネルギーの基準点を、最も低い位置である終点（最下点）とします。
- 始点でのエネルギー \(E_{\text{始}}\):
- 運動エネルギー: 静かにはなすので \(0\)。
- 重力位置エネルギー: 終点より斜面に沿って\(x\)だけ高い位置にあるので、高さは \(x\sin\theta\)。よって \(mgx\sin\theta\)。
- 弾性エネルギー: ばねは自然長なので \(0\)。
$$ E_{\text{始}} = 0 + mgx\sin\theta + 0 $$
- 終点でのエネルギー \(E_{\text{終}}\):
- 運動エネルギー: 伸びが最大になるのは折り返し点なので、速さは一瞬ゼロ。よって \(0\)。
- 重力位置エネルギー: 基準点なので \(0\)。
- 弾性エネルギー: ばねの伸びが\(x\)なので \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)。
$$ E_{\text{終}} = 0 + 0 + \frac{1}{2}kx^2 $$
エネルギー保存則 \(E_{\text{始}} = E_{\text{終}}\) より、以下の式が成り立ちます。
$$ mgx\sin\theta = \frac{1}{2}kx^2 $$
計算過程
立式したエネルギー保存則の式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgx\sin\theta &= \frac{1}{2}kx^2
\end{aligned}
$$
\(x>0\) なので、両辺を\(x\)で割ることができます。
$$
\begin{aligned}
mg\sin\theta &= \frac{1}{2}kx \\[2.0ex]
kx &= 2mg\sin\theta \\[2.0ex]
x &= \frac{2mg\sin\theta}{k}
\end{aligned}
$$
計算方法の平易な説明
エネルギーの観点から考えます。スタート地点（一番上）とゴール地点（一番下）でエネルギーの合計は同じです。エネルギーには「運動」「高さ」「ばね」の3種類があります。スタート地点でもゴール地点でも一瞬止まるので、「運動」のエネルギーはどちらもゼロです。スタート地点を基準にすると、ゴール地点は高さが低くなった分だけ「高さ」のエネルギーが減りますが、その分ばねが伸びて「ばね」のエネルギーが増えます。「減った高さのエネルギー」が「増えたばねのエネルギー」に等しい、という式を立てて解くと、ばねの最大の伸びが求まります。
結論と吟味
主たる解法と全く同じ結果が得られました。単振動のモデルを考えなくても、力学的エネルギー保存則だけで解けることを示しており、この法則の汎用性の高さがわかります。
問(2)
思考の道筋とポイント
おもりをはなしてから、ばねの伸びが初めて最大になるまでの時間\(t\)を求める問題です。これは、単振動の運動のどの区間に対応するかを考える問題です。
- はなした位置: ばねが自然長の位置。これは(1)で確認したように、振動の最高点（上側の端点）。
- 伸びが最大になる位置: (1)で確認したように、振動の最下点（下側の端点）。
したがって、求める時間\(t\)は、振動の端からもう一方の端まで移動するのにかかる時間です。これは、1周期のちょうど半分に相当します。
この設問における重要なポイント
- 求める時間は、振動の端から端までの移動時間である。
- 端から端までの時間は周期\(T\)の半分 (\(T/2\))。
- 斜面上のばね振り子の周期は、水平ばね振り子と同じ \(T=2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\)。
具体的な解説と立式
求める時間\(t\)は、単振動の周期を\(T\)とすると、その半分になります。
$$ t = \frac{1}{2}T $$
斜面上のばね振り子では、復元力は \(F=-kx’\)（\(x’\)は中心からの変位）となり、周期は水平ばね振り子の場合と同じになります。
$$ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} $$
この周期の式を代入して、時間\(t\)を求めます。
使用した物理公式
- 単振動の周期性
- 単振動の周期: \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\)
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{1}{2}T \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2} \left( 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \right) \\[2.0ex]
&= \pi\sqrt{\frac{m}{k}}
\end{aligned}
$$
おもりの運動は、一番上（スタート地点）から一番下（ゴール地点）までの片道の動きです。単振動の「片道」にかかる時間は、ちょうど「1往復（1周期）」にかかる時間の半分です。まず、この運動の周期を公式 \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) で求め、その値を2で割れば答えが出ます。
時間は \(t = \pi\sqrt{\displaystyle\frac{m}{k}}\) となります。単振動の周期的な性質を正しく理解し、運動の区間に対応する時間を求めることができました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 斜面上での振動中心の特定:
- 核心: 鉛直ばね振り子と同様に、斜面上のばね振り子でも、振動の中心はばねの「自然長の位置」ではなく、重力の斜面方向成分と弾性力がつりあう「力のつり合いの位置」になります。この基準点を正しく設定できるかが、問題を解く上での最初の、そして最も重要なステップです。
- 理解のポイント:
- このつり合いの位置を基準（原点）として運動を記述すると、重力の斜面方向成分と、つり合い位置までのばねの弾性力が見かけ上相殺されます。
- その結果、全体の復元力は、振動中心からの変位\(x’\)にのみ比例するシンプルな形（\(F=-kx’\)）になり、水平ばね振り子と全く同じ数学モデルで扱えるようになります。
- 運動の全体像（中心、端点、振幅）の把握:
- 核心: 単振動の運動を、力のつり合いの位置（中心）、折り返し点（端点）、そして中心から端点までの距離（振幅）という3つの要素でモデル化して捉えることが重要です。
- 理解のポイント:
- 中心: 力がつりあう位置。
- 端点: 「静かにはなした位置」や「折り返し点」など、速度がゼロになる位置。
- 振幅: 「中心」と「端点」の間の距離。
- この問題では、はなした位置（自然長）が上側の端点、力のつり合いの位置が中心なので、振幅はつり合い位置でのばねの伸び\(x_0\)に等しくなります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 鉛直ばね振り子: 考え方は全く同じです。重力の斜面成分 \(mg\sin\theta\) が、そのまま重力 \(mg\) に置き換わるだけです。
- 初速を与えられた場合: 例えば、つり合いの位置で初速を与えられた場合、その位置が振動の中心であることに変わりはありませんが、振幅は力学的エネルギー保存則（\(\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}kA^2\)）などを用いて別途計算する必要があります。
- 浮力による単振動: 水に浮いた物体を少し沈めてはなした場合。浮力と重力がつりあう点が中心となり、復元力はアルキメデスの原理から \(F = -(\rho_{\text{水}} S g)x\) となります。これも有効なばね定数が \(K=\rho_{\text{水}} S g\) の単振動とみなせます。
- 初見の問題での着眼点:
- 振動中心を探す: まずは「力のつり合いの位置」を見つけます。これが最優先事項であり、全ての基準（座標原点、振幅の基準）になります。
- 振動の端を探す: 次に「静かにはなした位置」や「折り返し点」を探し、そこを振動の端点とします。
- 振幅を確定させる: (1)と(2)で特定した「中心」と「端」の間の距離が振幅\(A\)です。
- 解法を選択する:
- 単振動のモデル（中心、振幅）から解くか（主たる解法）。
- 力学的エネルギー保存則で始点と終点を直接結びつけて解くか（別解）。
問題に応じて、より簡単で確実な方法を選択します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 振動中心の誤解:
- 誤解: ばねが自然長のときのおもりの位置を、振動の中心だと勘違いしてしまう。
- 対策: 「斜面」や「鉛直」で重力が関わるばね振り子では、「力のつり合いの位置＝振動の中心」と機械的に結びつけて覚えることが有効です。必ず図を描いて力のつり合いを確認する癖をつけましょう。
- 振幅の誤解:
- 誤解: (1)で求めたつり合い点での伸び \(x_0\) を、そのまま答えの最大伸び\(x\)だと勘違いしてしまう。
- 対策: \(x_0\)はあくまで「振動の中心までの伸び」であり、「振幅」でもあることを理解した上で、問題が求めている「最大の伸び」は「最下点での伸び」であることを区別します。最下点は中心からさらに振幅分だけ下にあるので、合計の伸びは \(x_0+A = 2x_0\) となります。
- エネルギー保存則における位置エネルギーの基準:
- 誤解: (1)の別解で、重力による位置エネルギーと弾性エネルギーの基準点を混同する。例えば、始点（自然長）で弾性エネルギーをゼロとするのは正しいが、重力位置エネルギーもゼロとしてしまう。
- 対策: 重力位置エネルギーの基準（高さ0の点）と、弾性エネルギーの基準（ばねが自然長の点）は別物であることを常に意識します。図を描いて、各点での「高さ」と「ばねの伸び」を明確に書き込むことがミスを防ぎます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合いの式 (\(kx_0 = mg\sin\theta\)):
- 選定理由: (1)で振動の中心という、運動の基準点を特定するために不可欠です。静止状態は力が単純な関係にあるため、運動全体の解析を始める上での最適な出発点となります。
- 適用根拠: ニュートンの第一法則（または第二法則で\(a=0\)の場合）であり、静力学の基本です。
- 力学的エネルギー保存則（別解）:
- 選定理由: (1)で、始点（はなした位置）と終点（伸びが最大の位置）の状態が明確なため、途中の運動（振動中心など）を考えずに直接2点間を結びつけられる強力なツールとして選択できます。
- 適用根拠: 重力と弾性力はどちらも「保存力」であり、なめらかな斜面では非保存力（摩擦力など）が仕事をしないため、エネルギーの総和は一定に保たれるという物理学の大原則に基づいています。
- 周期の公式 (\(T=2\pi\sqrt{m/k}\)):
- 選定理由: (2)で単振動の経過時間を求めるため。単振動の運動は周期性を持つため、経過時間は周期を基準に考えるのが基本です。
- 適用根拠: 斜面上の運動でも、つり合いの位置を基準にすれば復元力は \(F=-kx’\)（\(x’\)は中心からの変位）となり、水平ばね振り子と数学的に等価になります。したがって、周期の式も水平ばね振り子と全く同じ形になります。重力は振動中心をずらすだけで、周期そのものには影響を与えません。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 力の分解を正確に: 重力\(mg\)を斜面方向(\(mg\sin\theta\))と斜面に垂直な方向(\(mg\cos\theta\))に分解する作図を必ず行い、角度\(\theta\)の位置を間違えないように注意します。
- 文字式の計算を丁寧に: (1)で \(x=2x_0\) となり、\(x_0\) に \(\displaystyle\frac{mg\sin\theta}{k}\) を代入する計算など、文字式の代入や整理を焦らずに行うことが重要です。
- エネルギー保存則の立式を慎重に: 各項（運動、重力位置、弾性）を漏れなく書き出し、それぞれの値を一つずつ吟味します。特に重力位置エネルギーを計算する際の高さ（この問題では \(x\sin\theta\)）の算出を間違えないように、図を描いて確認しましょう。
- 周期と時間の関係を明確に: 「端から端まで」の時間は周期の「半分 (\(T/2\))」、「中心から端まで」の時間は周期の「4分の1 (\(T/4\))」という関係を混同しないようにします。簡単な振動の軌跡を描いて、どの区間のことかを指差し確認すると確実です。
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