170 円錐振り子と水平投射
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、円錐振り子の運動と、その後の水平投射運動を組み合わせた複合問題です。前半では円運動の力学、後半では放物運動の運動学が問われます。
この問題の核心は、2つの異なる運動フェーズを正しく理解し、それぞれの物理法則を適用することです。
- 糸の長さ: \(l\) [m]
- 小球の質量: \(m\) [kg]
- 糸と鉛直線のなす角: \(\theta\) [rad]
- 重力加速度の大きさ: \(g\) [m/s²]
- 床から点Aまでの高さ: \(h\) [m]
- (ア) 糸の張力の大きさ \(S\)
- (イ) 等速円運動の角速度 \(\omega\)
- (ウ) 等速円運動の速さ \(v\)
- (エ) 糸が切れてから床に落ちるまでの時間 \(t_0\)
- (オ) 点Bから点Cまでの距離 \(L\)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、問題集に掲載されている模範解答のアプローチを主たる解法として解説しつつ、学習者の多角的な理解を促すため、以下の別解を追記しています。
- 設問(イ) 角速度 \(\omega\) の別解
- 別解: 回転系における「遠心力」を用いた力のつり合いによる解法
- 意義: 慣性系における「運動方程式」と、回転系における「力のつり合い」という、物理現象に対する2つの異なる視点を比較検討できます。どちらのアプローチでも同じ結果が得られることを確認することで、円運動の理解が深まります。
- 設問(ウ) 速さ \(v\) の別解
- 別解: 向心加速度を \(a = v^2/r\) として運動方程式を立てる解法
- 意義: 角速度 \(\omega\) を経由せずに、速さ \(v\) を直接求めることができます。これにより、円運動の運動方程式には \(mr\omega^2=F\) と \(m(v^2/r)=F\) の2つの表現形式があることを再確認できます。
いずれの別解を用いても、最終的な答えは模範解答と一致します。
この問題のテーマは「円錐振り子」と「水平投射」です。それぞれの運動を個別に分析し、必要な情報を連携させて解き進めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力の図示と分解: 小球に働く重力と張力を図示し、鉛直・水平方向に分解します。
- 力のつり合い（鉛直方向）: 小球は水平面内を運動するため、鉛直方向の力はつり合っています。
- 円運動の動力学（水平方向）: 水平方向には、張力の水平成分が向心力として働き、等速円運動を実現させます。
- 水平投射: 糸が切れた後、小球は初速度 \(v\) で水平に投げ出された物体として扱えます。運動は水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「自由落下」に分解して考えます。
- 幾何学的な関係（三平方の定理）: 最終的な距離Lを求めるために、図形的な関係を利用します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、円錐振り子の運動に着目します。小球に働く力を図示し、鉛直方向の力のつり合いから張力 \(S\) を求めます（ア）。
- 次に、水平方向の円運動の運動方程式を立て、角速度 \(\omega\) と速さ \(v\) を求めます（イ、ウ）。
- 続いて、糸が切れた後の水平投射運動を考えます。鉛直方向の自由落下から落下時間 \(t_0\) を求めます（エ）。
- 最後に、水平方向の等速直線運動と円運動の半径から、三平方の定理を用いて床面上の距離 \(L\) を計算します（オ）。
問(ア)
思考の道筋とポイント
糸の張力の大きさ \(S\) を求める問題です。小球は水平面内で等速円運動をしており、鉛直方向には動いていません。このことから、小球に働く力の鉛直成分がつり合っていると考え、式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 力の図示: 小球に働く力は、鉛直下向きの「重力 \(mg\)」と、糸に沿った向きの「張力 \(S\)」の2つです。
- 力の分解: 張力 \(S\) を「鉛直成分 \(S\cos\theta\)」と「水平成分 \(S\sin\theta\)」に分解します。
- 鉛直方向の力のつり合い: 張力の鉛直上向き成分 \(S\cos\theta\) が、下向きの重力 \(mg\) とつり合います。
具体的な解説と立式
小球に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、糸の張力 \(S\) です。
小球は鉛直方向には運動しないため、鉛直方向の力はつり合っています。張力 \(S\) の鉛直成分は \(S\cos\theta\) であり、これが重力 \(mg\) とつり合うので、以下の式が成り立ちます。
$$ S\cos\theta – mg = 0 $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
上記で立てた力のつり合いの式を \(S\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
S\cos\theta &= mg \\[2.0ex]
S &= \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}
\end{aligned}
$$
小球が上下に動かずに一定の高さを保って回っているのは、糸が斜め上に引く力（張力）の「上向きの分力」と、地球が真下に引く力（重力）がちょうど釣り合っているからです。この関係を式にすることで、張力の大きさを求めることができます。
糸の張力の大きさ \(S\) は \(\displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) となります。
\(\cos\theta\) は1以下の値なので、張力 \(S\) は重力 \(mg\) 以上の大きさになります。これは、張力が傾いて作用しているため、その一部の力だけで重力を支えなければならないことから、物理的に妥当な結果です。
問(イ)
思考の道筋とポイント
等速円運動の角速度 \(\omega\) を求める問題です。小球が円運動を続けるためには、円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、(ア)で考えた張力 \(S\) の水平成分によって供給されています。この関係を運動方程式で表します。
この設問における重要なポイント
- 円運動の半径: 円運動の半径 \(r\) は、糸の長さ \(l\) と角度 \(\theta\) から \(r = l\sin\theta\) となります。
- 向心力: 張力の水平成分 \(S\sin\theta\) が向心力として働きます。
- 円運動の運動方程式: \(ma=F\) の形、特に角速度 \(\omega\) を用いた \(mr\omega^2 = F_{\text{向心}}\) を用います。
具体的な解説と立式
小球は、半径 \(r = l\sin\theta\) の円周上を角速度 \(\omega\) で等速円運動しています。
この運動の向心力は、張力 \(S\) の水平成分 \(S\sin\theta\) です。
したがって、円運動の運動方程式は次のように立てられます。
$$ m(l\sin\theta)\omega^2 = S\sin\theta \quad \cdots ① $$
ここで、(ア)で求めた張力 \(S\) の関係式も使います。
$$ S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta} \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式: \(mr\omega^2 = F\)
式①の両辺を \(m\sin\theta\) で割ると（\(\sin\theta \neq 0\)）、
$$ l\omega^2 = \displaystyle\frac{S}{m} $$
この式に、式②の \(S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
l\omega^2 &= \displaystyle\frac{1}{m} \left( \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta} \right) \\[2.0ex]
l\omega^2 &= \displaystyle\frac{g}{\cos\theta} \\[2.0ex]
\omega^2 &= \displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}
\end{aligned}
$$
したがって、角速度 \(\omega\) は、
$$ \omega = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}} $$
小球が円を描いて回るためには、常に円の中心に向かって引っ張る力（向心力）が必要です。この力は、糸の張力の「水平方向の分力」が担っています。この向心力の大きさと、小球の質量、回転の半径、回転の速さ（角速度）の関係を数式（運動方程式）にして、角速度を計算します。
思考の道筋とポイント
小球とともに回転する観測者の視点（回転系）で考えます。この観測者から見ると、小球は静止しており、水平方向の力がつり合っているように見えます。この力のつり合いの式を立てて角速度 \(\omega\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 遠心力の導入: 回転系では、小球に円の外側に向かって大きさ \(F_{\text{遠心}} = mr\omega^2 = m(l\sin\theta)\omega^2\) の遠心力が働いていると考えます。
- 水平方向の力のつり合い: 内側に向かう張力の水平成分 \(S\sin\theta\) と、外側に向かう遠心力 \(F_{\text{遠心}}\) がつり合っていると考えます。
具体的な解説と立式
回転系において、小球に水平方向に働く力は次の2つです。
- 張力 \(S\) の水平成分: 円の中心向きに \(S\sin\theta\)。
- 遠心力 \(F_{\text{遠心}}\): 円の外向きに \(m(l\sin\theta)\omega^2\)。
水平方向の力のつり合いの式は、
$$ S\sin\theta – m(l\sin\theta)\omega^2 = 0 $$
使用した物理公式
- 遠心力: \(F = mr\omega^2\)
- 力のつり合い
上記の力のつり合いの式より、
$$ S\sin\theta = m(l\sin\theta)\omega^2 $$
この式は、慣性系で立てた運動方程式①と全く同じ形です。
(ア)で求めた \(S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) を用いて計算を進める過程も主たる解法と全く同じになり、
$$ \omega = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}} $$
という結果が得られます。
小球と一緒に回るメリーゴーラウンドに乗っているような視点で考えます。すると、小球が外側に放り出されそうになる力（遠心力）を感じます。この力と、糸が内側に引く力（張力の水平成分）がちょうど釣り合っているから、小球はその場で静止して見える、と考えます。この力のつり合いから、回転の速さ（角速度）を計算します。
遠心力を用いた「力のつり合い」でも、慣性系での「運動方程式」と全く同じ結果が得られました。これは、遠心力が見かけの力であり、本質的には運動方程式と同じ物理現象を異なる視点から記述していることを示しています。
角速度 \(\omega\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}}\) となります。この式から、重力加速度 \(g\) が大きいほど、また糸の長さ \(l\) が短いほど、速く回転する必要があることがわかります。これは物理的な直感と一致しています。
問(ウ)
思考の道筋とポイント
等速円運動の速さ \(v\) を求める問題です。角速度 \(\omega\) と速さ \(v\) の関係式 \(v=r\omega\) を利用するのが最も簡潔です。(イ)で求めた \(\omega\) と、半径 \(r=l\sin\theta\) を代入して計算します。
この設問における重要なポイント
- 速さと角速度の関係: \(v = r\omega\) という基本的な関係式を適用します。
- 半径の正確な把握: 半径 \(r\) が \(l\sin\theta\) であることを再度確認します。
具体的な解説と立式
等速円運動の速さ \(v\)、半径 \(r\)、角速度 \(\omega\) の間には、次の関係があります。
$$ v = r\omega \quad \cdots ① $$
円運動の半径は \(r = l\sin\theta\) であり、(イ)で求めた角速度は \(\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}}\) です。
使用した物理公式
- 速さと角速度の関係: \(v = r\omega\)
式①に \(r=l\sin\theta\) と \(\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= (l\sin\theta) \times \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}} \\[2.0ex]
&= l\sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}} \\[2.0ex]
&= \sin\theta \sqrt{l^2 \times \displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}} \\[2.0ex]
&= \sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{gl}{\cos\theta}}
\end{aligned}
$$
円運動の速さ（m/s）は、回転の半径に、1秒あたりに回転する角度（角速度）を掛けることで計算できます。すでに求めている半径と角速度の値を使って、速さを導き出します。
思考の道筋とポイント
角速度 \(\omega\) を使わずに、速さ \(v\) を用いた運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\) を直接立てて \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 向心加速度: 速さ \(v\) を用いた向心加速度の表現 \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) を使います。
- 運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = S\sin\theta\) という式を立てます。
具体的な解説と立式
向心力 \(S\sin\theta\) によって、小球には向心加速度 \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) が生じています。半径は \(r=l\sin\theta\) です。
水平方向の運動方程式は、
$$ m\displaystyle\frac{v^2}{l\sin\theta} = S\sin\theta \quad \cdots ② $$
(ア)で求めた \(S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) を使います。
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式: \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F\)
式②に \(S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
m\displaystyle\frac{v^2}{l\sin\theta} &= \left( \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta} \right) \sin\theta \\[2.0ex]
\displaystyle\frac{v^2}{l\sin\theta} &= \displaystyle\frac{g\sin\theta}{\cos\theta} \\[2.0ex]
v^2 &= \displaystyle\frac{gl\sin^2\theta}{\cos\theta}
\end{aligned}
$$
したがって、速さ \(v\) は、
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\displaystyle\frac{gl\sin^2\theta}{\cos\theta}} \\[2.0ex]
&= \sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{gl}{\cos\theta}}
\end{aligned}
$$
円運動の運動方程式には、角速度 \(\omega\) を使うバージョンの他に、速さ \(v\) を直接使うバージョンもあります。この速さ \(v\) を使った運動方程式を立て、(ア)で求めた張力の値を代入することで、速さ \(v\) を直接計算します。
主たる解法と同じ結果が得られました。これにより、円運動を記述する方法が複数あること、そしてそれらが互いに矛盾しないことが確認できます。
速さ \(v\) は \(\sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{gl}{\cos\theta}}\) となります。角度 \(\theta\) が大きくなるほど \(\sin\theta\) と \(\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta\) が大きくなるため、速さ \(v\) も大きくなります。より外側で、より速く回るイメージと一致し、妥当な結果です。
問(エ)
思考の道筋とポイント
糸が切れた後、小球は点Aから水平に飛び出します。これは「水平投射」運動です。落下時間 \(t_0\) は、鉛直方向の運動、すなわち「自由落下」によって決まります。
この設問における重要なポイント
- 運動の分解: 水平投射は、水平方向の「等速直線運動」と鉛直方向の「自由落下」に分けて考えます。
- 鉛直方向の運動: 初速度0、距離 \(h\) の自由落下と考え、等加速度直線運動の公式 \(y = v_{0y}t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を適用します。
具体的な解説と立式
糸が切れた瞬間、小球の鉛直方向の初速度は0です。高さ \(h\) を自由落下するのにかかる時間を \(t_0\) とすると、自由落下の公式より、
$$ h = \displaystyle\frac{1}{2}gt_0^2 $$
使用した物理公式
- 自由落下: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
上記で立てた式を \(t_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
t_0^2 &= \displaystyle\frac{2h}{g} \\[2.0ex]
t_0 &= \sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}
\end{aligned}
$$
小球が床に落ちるまでの時間は、真横にどれだけ速く飛んでいるかには関係なく、ただ真下にどれだけの距離を落ちるかだけで決まります。高さ \(h\) の場所から物体を静かに落とした場合と同じ時間で床に到達します。
落下時間 \(t_0\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) となります。高さ \(h\) が高いほど落下時間が長くなるという、直感と一致する結果です。
問(オ)
思考の道筋とポイント
点Bから点Cまでの距離 \(L\) を求める問題です。点Cは、小球が水平投射されて床に到達した点です。点Bは円運動の中心Oの真下の点です。図bを見ると、\(L\) は、円運動の半径 \(l\sin\theta\) と、水平投射での水平移動距離 \(x\) を2辺とする直角三角形の斜辺の長さに相当します。
この設問における重要なポイント
- 水平移動距離の計算: 水平方向は初速度 \(v\) の等速直線運動です。移動距離 \(x\) は \(x = vt_0\) で計算できます。
- 三平方の定理: 距離 \(L\) は、点Bから点Aの真下までの距離（円の半径 \(l\sin\theta\)）と、点Aの真下から点Cまでの距離（水平移動距離 \(x\)）を使って、三平方の定理 \(L^2 = (l\sin\theta)^2 + x^2\) で求めます。
具体的な解説と立式
まず、水平投射における水平移動距離 \(x\) を求めます。水平方向の速さは(ウ)で求めた \(v\) で一定なので、(エ)の時間 \(t_0\) の間に進む距離は、
$$ x = vt_0 \quad \cdots ① $$
次に、図bで示されているように、点B、点Aの真下の点、点Cは直角三角形をなします。三平方の定理より、
$$ L = \sqrt{(l\sin\theta)^2 + x^2} \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 等速直線運動: \(x = vt\)
- 三平方の定理
まず、\(x\) を具体的に計算します。(ウ)と(エ)の結果を式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= \left( \sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{gl}{\cos\theta}} \right) \times \left( \sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}} \right) \\[2.0ex]
&= \sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{gl}{\cos\theta} \times \displaystyle\frac{2h}{g}} \\[2.0ex]
&= \sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{2lh}{\cos\theta}}
\end{aligned}
$$
次に、この \(x\) を式②に代入して \(L\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
L &= \sqrt{(l\sin\theta)^2 + \left( \sin\theta \sqrt{\displaystyle\frac{2lh}{\cos\theta}} \right)^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{l^2\sin^2\theta + \sin^2\theta \left( \displaystyle\frac{2lh}{\cos\theta} \right)} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\sin^2\theta \left( l^2 + \displaystyle\frac{2lh}{\cos\theta} \right)} \\[2.0ex]
&= \sin\theta \sqrt{l^2 + \displaystyle\frac{2lh}{\cos\theta}}
\end{aligned}
$$
ゴール地点Cとスタート地点の真下Bとの距離Lを求めます。これは、地図上で2点間の直線距離を求めるようなものです。まず、小球が真横に飛んだ距離 \(x\) を「速さ×時間」で計算します。次に、この \(x\) と、もともとの円運動の半径 \(l\sin\theta\) を使って、直角三角形の斜辺の長さを求める計算（三平方の定理）をすることで、Lを求めます。
距離 \(L\) は \(\sin\theta \sqrt{l^2 + \displaystyle\frac{2lh}{\cos\theta}}\) となります。式は複雑ですが、各物理量（\(l, h, \theta\)）が大きくなれば \(L\) も大きくなる関係にあり、物理的に矛盾はありません。特に、\(h=0\) の場合を考えると、\(L = \sqrt{\sin^2\theta \cdot l^2} = l\sin\theta\) となり、円運動の半径に一致します。これは、落下しなければ円周上にいるはずなので、妥当な結果です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 円運動の力学（前半）:
- 核心: 小球が水平面内で円運動を続けるための条件を、力の観点から分析することが核心です。具体的には、小球に働く力（重力と張力）を「鉛直方向」と「水平方向」に分解して考えます。
- 理解のポイント:
- 鉛直方向の力のつり合い: 小球は上下に動かないので、張力の鉛直成分が重力とつり合っています (\(S\cos\theta = mg\))。これにより張力\(S\)が求まります。
- 水平方向の運動方程式: 張力の水平成分が、円運動を維持するための「向心力」の役割を果たしています (\(mr\omega^2 = S\sin\theta\))。これら2つの式を連立させることで、円錐振り子の運動が完全に記述されます。
- 水平投射の運動学（後半）:
- 核心: 糸が切れた後の運動は、初速度\(v\)の水平投射です。この運動を「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下」という、互いに独立した2つの運動の組み合わせとして捉えることが核心です。
- 理解のポイント:
- 落下時間の決定: 落下時間\(t_0\)は、鉛直方向の運動（高さ\(h\)の自由落下）のみで決まります。水平方向の速さ\(v\)には影響されません。
- 水平到達距離の決定: 水平方向に飛ぶ距離\(x\)は、水平方向の速さ\(v\)と落下時間\(t_0\)の積 (\(x=vt_0\)) で決まります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- バンク（傾斜）のあるカーブ: カーブを曲がる自動車や自転車の問題です。糸の張力\(S\)が、路面からの垂直抗力\(N\)に置き換わります。垂直抗力の水平成分が向心力となり、鉛直成分が重力とつり合います。
- 内面が滑らかな円錐容器内での円運動: 容器の壁から受ける垂直抗力\(N\)が、この問題の張力\(S\)とほぼ同じ役割を果たします。力の分解の仕方も同様です。
- 飛行機の旋回: 飛行機が水平に旋回するとき、翼に働く揚力の水平成分が向心力となります。揚力の鉛直成分が重力とつり合うという点で、全く同じ力学構造をしています。
- 初見の問題での着眼点:
- 運動のフェーズを区別する: 「円運動フェーズ」と「放物運動フェーズ」のように、現象が切り替わる点を見極めます。それぞれのフェーズで適用すべき物理法則が異なります。
- 力の図示と分解の徹底: 特に円運動や斜面上の運動では、必ず力をすべて図示し、運動を解析しやすい方向（この問題では水平・鉛直）に分解します。これが立式の基礎となります。
- 運動の独立性を見抜く: 水平投射や斜方投射では、水平方向と鉛直方向の運動が互いに独立している（影響を及ぼし合わない）という原理を思い出します。これにより、問題を2つの簡単な運動に分割して考えることができます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 力の分解における角度の間違い:
- 誤解: 張力\(S\)を分解する際、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を取り違える。
- 対策: 必ず図を描き、角度\(\theta\)が鉛直線となす角であることを確認します。「\(\theta\)に接している辺が\(\cos\theta\)」と機械的に覚えるのではなく、直角三角形の定義（斜辺、対辺、隣辺）に立ち返って、\(S\cos\theta\)が鉛直成分、\(S\sin\theta\)が水平成分になることを毎回確認する習慣をつけましょう。
- 円運動の半径\(r\)の誤認:
- 誤解: 糸の長さ\(l\)を、そのまま円運動の半径\(r\)として使ってしまう。
- 対策: 円運動の半径は「回転軸からの距離」です。この問題では、回転軸は鉛直な破線なので、半径は\(r=l\sin\theta\)となります。必ず図を描いて、どの長さが半径にあたるのかを視覚的に確認しましょう。
- 向心力と遠心力の混同:
- 誤解: 静止系（慣性系）で運動方程式を考えているのに、遠心力も書き込んでしまう。
- 対策: 「向心力」は、円運動を引き起こす実在の力（この問題では張力の水平成分）であり、運動方程式（\(ma=F\)）の右辺\(F\)に現れます。「遠心力」は、回転系で導入される見かけの力であり、力のつり合いの式で使います。両者を一つの式に同時に登場させてはいけません。「静止系なら運動方程式」「回転系なら遠心力とのつり合い」と、視点を明確に区別しましょう。
- 水平到達距離\(L\)の計算ミス:
- 誤解: 水平投射で飛んだ距離\(x\)を、そのまま答えの\(L\)としてしまう。
- 対策: 問題で何が問われているかを正確に把握することが重要です。この問題では、\(L\)は「回転中心の真下の点B」からの距離です。図bをよく見て、\(L\)が円運動の半径と水平移動距離\(x\)から三平方の定理で求められることを理解しましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 力のベクトル図: 小球に働く「重力 \(m\vec{g}\)」と「張力 \(\vec{S}\)」のベクトル和が、ちょうど水平で円の中心を向く「向心力 \(\vec{F}_{\text{向心}}\)」になる、というベクトル三角形（解説図a参照）をイメージします。\(m\vec{g} + \vec{S} = \vec{F}_{\text{向心}}\) という関係が視覚的にわかると、力の分解や立式の意味が直感的に理解できます。
- 運動の分解イメージ: 糸が切れた後、小球を真上から見ると、円の接線方向にまっすぐ飛んでいく「等速直線運動」に見えます。一方、真横から見ると、ただ真下に落ちていくだけの「自由落下」に見えます。この2つの映像を組み合わせたものが実際の「水平投射」であるとイメージすると、運動の独立性の概念が掴みやすくなります。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 2つのフェーズを別の図で描く: 「円運動の力のつり合い・運動方程式用の図（図aのような力の分解図）」と、「水平投射の軌道と距離関係用の図（図bのような幾何学図）」は、分けて描くと思考が整理しやすくなります。
- 分解した力は点線で: 張力\(S\)を水平・鉛直成分に分解した場合、分解後の2つの力は点線で描くと、元の力（実線）と区別でき、力の数え間違い（二重計上）を防げます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合いの式 (\(\sum F_y = 0\)):
- 選定理由: (ア)で、小球が鉛直方向には運動していない（加速度がゼロ）という事実を数式で表現するため。
- 適用根拠: ニュートンの運動法則から、加速度が0の方向では、力の合力は0になります。
- 円運動の運動方程式 (\(mr\omega^2=F\)):
- 選定理由: (イ)で、小球が水平方向に行っている等速円運動（加速度運動）のダイナミクスを記述し、角速度\(\omega\)を求めるため。
- 適用根拠: 力（原因）と加速度（結果）を結びつけるニュートンの第二法則 \(ma=F\) を、円運動の状況に特化させた形です。
- 速さと角速度の関係式 (\(v=r\omega\)):
- 選定理由: (ウ)で、すでに求めた角速度\(\omega\)を利用して、最も簡単に速さ\(v\)を計算するため。
- 適用根拠: 円周の長さ\(2\pi r\)を周期\(T\)で割ると速さ\(v\)になり、角速度\(\omega\)が\(2\pi/T\)であることから導かれる、純粋な幾何学的・運動学的な関係式です。
- 自由落下の式 (\(h = \frac{1}{2}gt_0^2\)):
- 選定理由: (エ)で、水平投射の鉛直方向の運動だけを取り出して、落下時間\(t_0\)を求めるため。
- 適用根拠: 等加速度直線運動の変位の公式 \(y = v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2\) において、鉛直方向の初速度\(v_{0y}=0\)、加速度\(a=g\)としたものです。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 円運動フェーズの解析:
- 戦略: 力を水平・鉛直に分解し、2方向の法則を連立させる。
- フロー: ①力の図示 → ②鉛直方向の力のつり合いを立式 (\(S\cos\theta = mg\)) → ③(ア)の\(S\)を求める → ④水平方向の運動方程式を立式 (\(m(l\sin\theta)\omega^2 = S\sin\theta\)) → ⑤求めた\(S\)を代入し、(イ)の\(\omega\)を求める → ⑥\(v=r\omega\)の関係式から(ウ)の\(v\)を求める。
- 水平投射フェーズの解析:
- 戦略: 運動を水平・鉛直に分解し、時間\(t_0\)を介して2つの運動を繋ぐ。
- フロー: ①鉛直方向の自由落下に着目し、\(h=\frac{1}{2}gt_0^2\)から(エ)の\(t_0\)を求める → ②水平方向の等速直線運動に着目し、\(x=vt_0\)から水平移動距離\(x\)を計算する → ③幾何学的な関係（三平方の定理）\(L = \sqrt{(l\sin\theta)^2 + x^2}\)に代入し、(オ)の\(L\)を求める。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: (イ)や(ウ)の計算では、(ア)で求めた \(S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) をそのまま代入することで、途中で\(m\)や\(\sin\theta\)が約分され、式が簡潔になります。このように、できるだけ計算の終盤まで文字式のまま進めることで、見通しが良くなり、計算ミスが減ります。
- 平方根（ルート）の計算: (ウ)や(オ)の計算では、ルートの中にルートが入るような複雑な形にはなりません。ルートの外にある項を中に入れるときは2乗すること（例: \(l\sin\theta \sqrt{A} = \sqrt{l^2\sin^2\theta \cdot A}\)）を正確に行い、式を整理しましょう。
- 共通因数でくくる: (オ)の最後の計算で、\(\sin^2\theta\)が共通因数として現れます。これに気づいてルートの外に出すことが、式をきれいな形にまとめる鍵となります。常に共通因数がないか意識する癖をつけましょう。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (ア) 張力: \(S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\)。もし\(\theta \rightarrow 90^\circ\)（ほぼ水平に回す）とすると、\(\cos\theta \rightarrow 0\)となり、\(S \rightarrow \infty\)。つまり、完全に水平（\(\theta=90^\circ\)）に回すには無限大の張力が必要で、現実には不可能であることが式からわかります。これは物理的に正しいです。
- (イ) 角速度: \(\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}}\)。糸が長い\(l\)ほど、ゆっくり回せばよい(\(\omega\)が小さい)というのは直感に合います。
- (オ) 距離L: もし落下高さ\(h=0\)なら、\(L = \sin\theta \sqrt{l^2} = l\sin\theta\)となり、円運動の半径に一致します。これは、落下しなければ円周上にいるはずなので、当然の結果です。このように、極端な条件を代入して結果が直感と合うか確認する（次元解析ならぬ極限解析）のは、有効な検算方法です。
- 別解との比較:
- (イ)の角速度\(\omega\)は、慣性系での「運動方程式」と、回転系での「遠心力とのつり合い」という2つのアプローチで求められました。両者で全く同じ結果が得られたことは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。
171 糸の長さが変わる振り子
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、円運動の途中で回転の中心と半径が変化する、少し複雑な振り子の運動を扱います。力学的エネルギー保存則と円運動の動力学という、力学の重要テーマを融合した総合的な問題です。
この問題の核心は、運動のフェーズ（釘に接触する前と後）を明確に区別し、それぞれのフェーズで適切な物理法則を適用することです。特に、釘に接触する前後で速さは連続的ですが、張力は不連続に変化する点を理解することが重要です。
- 糸の長さ: \(l\)
- 小物体の質量: \(m\)
- 釘の位置: 点Aの真下 \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の点O
- 初速: \(0\) (糸が水平な位置から静かに放す)
- 重力加速度: \(g\)
- (1) 最下点通過直前の張力 \(T_1\)
- (2) 最下点通過直後の張力 \(T_2\)
- (3) 釘に接触後、糸が鉛直線となす角が \(\theta\) のときの張力 \(T\)
- (4) \(\theta = 90^\circ\) のときの釘が糸から受ける力 \(F\)
- (5) 糸がたるむときの角度 \(\theta_0\) における \(\cos\theta_0\) の値
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説では、模範解答で採用されている「回転座標系（遠心力を用いた力のつり合い）」での解法を主たる解説とします。それに加え、学習者の多角的な理解を促進するため、以下の別解を提示します。
- 設問(1), (2), (3) の別解
- 別解: 慣性座標系（向心力を用いた運動方程式）による解法
別解の教育的な意義は以下の通りです。
- 遠心力という「見かけの力」に頼らず、より根源的なニュートンの運動法則（\(ma=F\)）から現象を捉え直すことで、円運動の動力学に対する本質的な理解が深まります。
- 異なる座標系から同じ物理現象を記述する経験を通じて、物理法則の普遍性や視点の選び方について学ぶことができます。
いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる物理的な結論（張力の大きさなど）は、模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「回転中心が変化する円運動」です。重力以外の外力が仕事をしないため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。また、各瞬間の円運動については、運動方程式（または遠心力とのつり合い）を立てて解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力学的エネルギー保存則: 運動の前後で速さを関係づけるために用います。張力は常に物体の運動方向に垂直なので、仕事をしません。
- 円運動の動力学: 各瞬間における張力を求めるために、向心力に関する式を立てます。回転系（遠心力）と慣性系（運動方程式）のどちらの視点でも解くことができます。
- ベクトル和: 複数の力が働く場合、その合力をベクトルとして正しく計算する能力が問われます（特に問4）。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、力学的エネルギー保存則を用いて、各位置における物体の速さを求めます。
- 次に、各フェーズ（釘接触前、接触後）における円運動の中心と半径を正しく把握し、円運動の運動方程式（または遠心力とのつり合いの式）を立てて、張力を計算します。
- 糸がたるむという条件を、張力がゼロになることとして数式で表現します。
問(1)
思考の道筋とポイント
物体が最下点を通過する直前の張力 \(T_1\) を求める問題です。張力を求めるには、その瞬間の速さが必要です。まず、物体が水平位置から最下点まで運動する間の力学的エネルギー保存則を立てて、最下点での速さ \(v_1\) を求めます。次に、最下点直前は点Aを中心とする半径 \(l\) の円運動の一部であることに着目し、遠心力を含めた力のつり合いの式を立てて \(T_1\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- エネルギー保存則の適用: 基準点を明確にし（ここでは最下点）、初めの状態（水平位置）と後の状態（最下点）の力学的エネルギーが等しいとします。
- 円運動のフェーズ認識: 最下点直前は、回転中心がA、回転半径が \(l\) の円運動です。
- 回転系での力のつり合い: 物体とともに回転する観測者から見ると、物体には「重力 \(mg\)」「張力 \(T_1\)」「遠心力」の3つの力が働き、これらがつり合っていると考えます。
具体的な解説と立式
まず、物体の速さ \(v_1\) を求めます。最下点を重力による位置エネルギーの基準（\(U=0\)）とします。
初めの状態（水平位置）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\) は、速さが0、高さが \(l\) なので、
$$ E_{\text{初}} = \frac{1}{2}m(0)^2 + mgl = mgl \quad \cdots ① $$
最下点に達した直前の状態の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、速さが \(v_1\)、高さが0なので、
$$ E_{\text{後}} = \frac{1}{2}mv_1^2 + mg(0) = \frac{1}{2}mv_1^2 \quad \cdots ② $$
力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、
$$ mgl = \frac{1}{2}mv_1^2 \quad \cdots ③ $$
次に、張力 \(T_1\) を求めます。物体とともに回転する観測者から見ると、最下点では鉛直方向の力がつり合っています。
上向きに張力 \(T_1\)、下向きに重力 \(mg\) と遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_1^2}{l}\) が働きます。
力のつり合いの式は、
$$ T_1 – mg – m\frac{v_1^2}{l} = 0 \quad \cdots ④ $$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(K+U = \text{一定}\)
- 遠心力: \(F = m\displaystyle\frac{v^2}{r}\)
- 力のつり合い
まず、③式から \(v_1^2\) を求めます。
$$ v_1^2 = 2gl $$
次に、この結果を④式に代入して \(T_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= mg + m\frac{v_1^2}{l} \\[2.0ex]
&= mg + m\frac{2gl}{l} \\[2.0ex]
&= mg + 2mg \\[2.0ex]
&= 3mg
\end{aligned}
$$
まず、おもりが一番下まで落ちたときの速さを「高さのエネルギーが運動エネルギーに変わった」というエネルギー保存の考え方で計算します。次に、おもりから見ると、自分はまっすぐ進みたいのに糸に引っ張られてカーブさせられているので、外側に放り出されるような力（遠心力）を感じます。一番下の点では、糸が上に引く力（張力）が、地球が下に引く力（重力）と、この遠心力の合計と釣り合っている、という式を立てて張力を計算します。
最下点通過直前の張力の大きさは \(3mg\) です。
これは物体の重さ \(mg\) の3倍です。静止しているときの張力 \(mg\) に加え、円運動による遠心力 \(2mg\) が加わった結果と解釈でき、物理的に妥当な大きさです。
思考の道筋とポイント
地上で静止している観測者（慣性系）から運動を解析する方法です。この観測者から見ると、物体は円運動という加速度運動をしています。この加速度を生み出す「向心力」が何かを考え、ニュートンの運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
この設問における重要なポイント
- 向心力: 円運動を維持するために必要な、常に円の中心を向く力です。この場合、上向きの張力 \(T_1\) と下向きの重力 \(mg\) の合力が向心力となります。
- 向心加速度: 大きさは \(a = \displaystyle\frac{v_1^2}{l}\) で、向きは円の中心（点A）を向きます。
- 運動方程式: 鉛直方向について、ニュートンの第二法則 \(ma=F\) を適用します。
具体的な解説と立式
速さ \(v_1\) はエネルギー保存則から \(v_1^2 = 2gl\) と求まります。これは主たる解法と同じです。
静止している観測者から見ると、最下点の物体には、上向きに張力 \(T_1\)、下向きに重力 \(mg\) が働いています。これらの合力が、点Aを中心とする円運動の向心力として働きます。
向心加速度は上向きに \(a = \displaystyle\frac{v_1^2}{l}\) なので、運動方程式は以下のようになります。
$$ m\frac{v_1^2}{l} = T_1 – mg \quad \cdots ⑤ $$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(K+U = \text{一定}\)
- 円運動の運動方程式: \(ma = F\) (ここで \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\))
⑤式を \(T_1\) について解き、\(v_1^2 = 2gl\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= mg + m\frac{v_1^2}{l} \\[2.0ex]
&= mg + m\frac{2gl}{l} \\[2.0ex]
&= 3mg
\end{aligned}
$$
これは、遠心力を用いた解法と全く同じ計算過程となり、同じ結果が得られます。
ニュートンの運動の法則「力は質量と加速度を掛け合わせたものに等しい（F=ma）」を円運動バージョンで使います。おもりが円運動をするための加速度（向心加速度）を生み出す「力」（向心力）は、糸が上に引く力（張力）から、地球が下に引く力（重力）を引いた差額です。この関係を数式にして、張力を計算します。
張力の大きさは \(3mg\) となり、主たる解法と一致します。遠心力（回転系の力のつり合い）と向心力（慣性系の運動方程式）は、同じ現象を異なる視点から見たものであり、本質的に等価であることが確認できます。
問(2)
思考の道筋とポイント
最下点を通過した直後の張力 \(T_2\) を求める問題です。釘に接触する前後で、物体の位置と速さは変わらない（連続的である）と考えられます。しかし、円運動の回転中心が点Aから点Oに、回転半径が \(l\) から \(\displaystyle\frac{l}{2}\) に瞬間的に変化します。この変化により、必要な向心力（または感じる遠心力）が変わり、張力も不連続に変化します。
この設問における重要なポイント
- 速さの連続性: 釘への接触の瞬間、速さは直前の \(v_1\) のままです。
- 円運動のフェーズ変化: 回転中心がO、回転半径が \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の円運動に切り替わります。
- 回転系での力のつり合い: 半径が変わった後の新しい遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_1^2}{l/2}\) を用いて、力のつり合いの式を立てます。
具体的な解説と立式
最下点通過直後の速さは、直前の速さ \(v_1\) と等しいと考えられます。よって、(1)より \(v_1^2 = 2gl\) です。
この瞬間、物体は点Oを中心とする半径 \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の円運動を開始します。
物体とともに回転する観測者から見ると、上向きに張力 \(T_2\)、下向きに重力 \(mg\) と、新しい遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_1^2}{l/2}\) が働きます。
力のつり合いの式は、
$$ T_2 – mg – m\frac{v_1^2}{l/2} = 0 \quad \cdots ① $$
使用した物理公式
- 遠心力: \(F = m\displaystyle\frac{v^2}{r}\)
- 力のつり合い
①式を \(T_2\) について解き、\(v_1^2 = 2gl\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= mg + m\frac{v_1^2}{l/2} \\[2.0ex]
&= mg + 2m\frac{v_1^2}{l} \\[2.0ex]
&= mg + 2m\frac{2gl}{l} \\[2.0ex]
&= mg + 4mg \\[2.0ex]
&= 5mg
\end{aligned}
$$
おもりが一番下を通り過ぎた瞬間、糸が釘に引っかかることで、回転の半径が急に半分になります。速さは変わらないのに、より急なカーブを曲がることになるため、外側に放り出される力（遠心力）が大きくなります。この大きくなった遠心力と重力を支えるため、糸が引く力（張力）も(1)の時より大きくなります。
最下点通過直後の張力の大きさは \(5mg\) です。
(1)の \(T_1 = 3mg\) と比較して、張力が不連続に増加しています。これは、速さが同じでも回転半径が半分になったことで、遠心力が2倍（\(2mg \rightarrow 4mg\)）になったためです。物理的に妥当な結果です。
思考の道筋とポイント
静止系から見て、半径 \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の円運動の運動方程式を立てます。向心力は \(T_2 – mg\)、向心加速度は \(a = \displaystyle\frac{v_1^2}{l/2}\) となります。
この設問における重要なポイント
- 向心力: 上向きの張力 \(T_2\) と下向きの重力 \(mg\) の合力。
- 向心加速度: 半径が \(\displaystyle\frac{l}{2}\) になったため、\(a = \displaystyle\frac{v_1^2}{l/2}\) となります。
具体的な解説と立式
速さは \(v_1^2 = 2gl\) のままです。
回転半径が \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の円運動について、鉛直上向きを正として運動方程式を立てます。
向心加速度は \(a = \displaystyle\frac{v_1^2}{l/2}\) で上向きです。向心力は \(T_2 – mg\) です。
$$ m\frac{v_1^2}{l/2} = T_2 – mg \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式: \(ma = F\)
②式を \(T_2\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
T_2 &= mg + m\frac{v_1^2}{l/2} \\[2.0ex]
&= mg + 2m\frac{2gl}{l} \\[2.0ex]
&= 5mg
\end{aligned}
$$
これは主たる解法と全く同じ計算であり、同じ結果が得られます。
(1)の別解と同様に、ニュートンの法則 F=ma を使います。釘に引っかかった後は、回転半径が半分になるので、同じ速さでもより大きな加速度（向心加速度）が必要になります。この大きな加速度を生み出すための力（向心力）も大きくなるため、張力も大きくなります。
張力の大きさは \(5mg\) となり、主たる解法と一致します。半径が変化する前後で、2つの異なる視点から同じ結論が導けることを確認できました。
問(3)
思考の道筋とポイント
釘に接触後、糸が鉛直線となす角が \(\theta\) の位置に達したときの張力 \(T\) を求める問題です。この位置での速さ \(v\) が未知数なので、まず力学的エネルギー保存則を用いて \(v\) を求めます。次に、この瞬間の円運動（中心O, 半径 \(l/2\)）について、遠心力を含めた力のつり合いの式を立てて \(T\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- エネルギー保存則の適用: 始点（水平位置）と、角 \(\theta\) の位置との間でエネルギー保存則を立てます。角 \(\theta\) の位置の高さを正しく計算することが重要です。
- 力の分解: 重力 \(mg\) を、糸に沿った成分 \(mg\cos\theta\) と、糸に垂直な成分 \(mg\sin\theta\) に分解します。
- 回転系での力のつり合い: 糸に沿った方向で、張力、重力の成分、遠心力がつり合っていると考えます。
具体的な解説と立式
まず、角 \(\theta\) の位置での速さ \(v\) を求めます。最下点を位置エネルギーの基準（\(U=0\)）とします。
始点（水平位置）の力学的エネルギーは \(E_{\text{初}} = mgl\) です。
角 \(\theta\) の位置の高さ \(h\) は、図bより、最下点から \( \displaystyle\frac{l}{2}(1-\cos\theta) \) だけ高い位置です。
よって、この位置での力学的エネルギー \(E_{\theta}\) は、
$$ E_{\theta} = \frac{1}{2}mv^2 + mg \frac{l}{2}(1-\cos\theta) \quad \cdots ① $$
力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{初}} = E_{\theta}\) より、
$$ mgl = \frac{1}{2}mv^2 + mg \frac{l}{2}(1-\cos\theta) \quad \cdots ② $$
次に、張力 \(T\) を求めます。物体とともに回転する観測者から見ると、糸の方向に力がつり合っています。
糸の張力 \(T\) は中心向き、遠心力 \(m\displaystyle\frac{v^2}{l/2}\) は外向きです。重力 \(mg\) のうち、糸に沿った成分 \(mg\cos\theta\) が外向きに働きます。
力のつり合いの式は、
$$ T – mg\cos\theta – m\frac{v^2}{l/2} = 0 \quad \cdots ③ $$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則
- 遠心力
- 力のつり合い
まず、②式を \(v^2\) について解きます。両辺を \(m\) で割り、2倍します。
$$
\begin{aligned}
2gl &= v^2 + gl(1-\cos\theta) \\[2.0ex]
v^2 &= 2gl – gl(1-\cos\theta) \\[2.0ex]
&= gl(2 – (1-\cos\theta)) \\[2.0ex]
&= gl(1+\cos\theta)
\end{aligned}
$$
次に、この \(v^2\) の結果を③式に代入して \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= mg\cos\theta + m\frac{v^2}{l/2} \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta + 2m\frac{v^2}{l} \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta + 2m\frac{gl(1+\cos\theta)}{l} \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta + 2mg(1+\cos\theta) \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta + 2mg + 2mg\cos\theta \\[2.0ex]
&= 2mg + 3mg\cos\theta \\[2.0ex]
&= mg(2+3\cos\theta)
\end{aligned}
$$
まず、おもりが角度 \(\theta\) の位置まで上がったときの速さを、エネルギー保存の考え方で計算します。このとき、どれだけ高い位置にいるかを三角関数を使って正しく計算するのがポイントです。次に、その場所でのおもりの視点に立ちます。糸が中心へ引く力（張力）が、外側へ向かう力（遠心力と、重力の一部）の合計と釣り合っている、という式を立てて張力を計算します。
張力の大きさは \(T = mg(2+3\cos\theta)\) です。
この式に \(\theta=0\)（最下点）を代入すると \(T = mg(2+3) = 5mg\) となり、(2)の結果と一致します。このように、一般式が特定のケースの結果と一致することを確認するのは、計算の妥当性を確かめる良い方法です。
思考の道筋とポイント
静止系から見て、半径 \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の円運動の、糸に沿った方向の運動方程式を立てます。向心力は、張力 \(T\) と重力の成分 \(mg\cos\theta\) の合力です。
この設問における重要なポイント
- 向心力: 円の中心（点O）を向く力。張力 \(T\) が中心向き、重力の成分 \(mg\cos\theta\) が中心と逆向きなので、向心力は \(T – mg\cos\theta\) となります。
- 向心加速度: \(a = \displaystyle\frac{v^2}{l/2}\)。
具体的な解説と立式
速さ \(v\) はエネルギー保存則から \(v^2 = gl(1+\cos\theta)\) と求まります。
この瞬間の円運動について、中心（点O）方向を正として運動方程式を立てます。
向心加速度は \(a = \displaystyle\frac{v^2}{l/2}\) です。向心力は \(T – mg\cos\theta\) です。
$$ m\frac{v^2}{l/2} = T – mg\cos\theta \quad \cdots ④ $$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則
- 円運動の運動方程式
④式を \(T\) について解き、\(v^2 = gl(1+\cos\theta)\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= mg\cos\theta + m\frac{v^2}{l/2} \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta + 2m\frac{gl(1+\cos\theta)}{l} \\[2.0ex]
&= mg\cos\theta + 2mg(1+\cos\theta) \\[2.0ex]
&= mg(2+3\cos\theta)
\end{aligned}
$$
これは主たる解法と全く同じ計算であり、同じ結果が得られます。
ニュートンの法則 F=ma を使います。円運動の加速度（向心加速度）を生み出す力（向心力）は、糸が中心に引く力（張力）から、重力の中心と逆向きの成分を引いたものです。この関係を数式にして張力を計算します。
張力の大きさは \(T = mg(2+3\cos\theta)\) となり、主たる解法と一致します。一般の角度 \(\theta\) においても、2つの視点から同じ結論が導けることが確認できました。
問(4)
思考の道筋とポイント
\(\theta = 90^\circ\) のときの、釘が糸から受ける力 \(F\) を求める問題です。まず、(3)で求めた張力の一般式 \(T = mg(2+3\cos\theta)\) に \(\theta = 90^\circ\) を代入して、その瞬間の張力 \(T\) の大きさを計算します。次に、釘が糸から受ける力を考えます。図cのように、釘は糸を折り曲げています。糸は、物体側（鉛直下向き）と固定点A側（水平左向き）の2つの方向に、それぞれ張力 \(T\) で釘を引いています。釘が受ける力 \(F\) は、この2つの力のベクトル和として求められます。
この設問における重要なポイント
- 張力の計算: (3)の一般式を利用します。
- 力のベクトル和: 釘には2つの方向から力が働いています。これらの力は垂直なので、合力の大きさは三平方の定理で計算できます。
具体的な解説と立式
まず、\(\theta = 90^\circ\) のときの張力 \(T\) を求めます。(3)の結果より、
$$ T = mg(2+3\cos90^\circ) \quad \cdots ① $$
\(\cos90^\circ = 0\) なので、
$$ T = mg(2+0) = 2mg $$
次に、釘が受ける力 \(F\) を考えます。
\(\theta = 90^\circ\) のとき、物体は釘の真横にあります。糸は物体側へ鉛直下向きに、固定点A側へ水平左向きに、それぞれ大きさ \(T\) の力で釘を引いています。
この2つの力は互いに垂直です。したがって、合力 \(F\) の大きさは、三平方の定理を用いて次のように求められます。
$$ F = \sqrt{T^2 + T^2} \quad \cdots ② $$
使用した物理公式
- 力の合成（三平方の定理）
②式に \(T=2mg\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \sqrt{(2mg)^2 + (2mg)^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2 \times (2mg)^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{2} \times (2mg) \\[2.0ex]
&= 2\sqrt{2}mg
\end{aligned}
$$
まず、おもりが真横まで来たときの糸の張力を、(3)で作った式を使って計算します。次に、釘の気持ちになって考えます。釘は、おもりから真下に、壁の固定点から真横に、それぞれ同じ強さ（今計算した張力）で引っ張られています。この2つの力を合わせた力が、釘が全体として受ける力です。2つの力が直角に交わっているので、ピタゴラスの定理（三平方の定理）を使って全体の力の大きさを計算します。
釘が糸から受ける力の大きさは \(2\sqrt{2}mg\) です。
張力 \(T=2mg\) の \(\sqrt{2}\) 倍となっており、ベクトル和の計算として妥当です。力の向きは、水平左向きと鉛直下向きの中間、つまり左斜め下45°の方向になります。
問(5)
思考の道筋とポイント
物体が円軌道から放物線軌道に移る、つまり「糸がたるむ」ときの角度 \(\theta_0\) を求める問題です。物理的に「糸がたるむ」とは、糸が物体を引く力、すなわち張力 \(T\) がゼロになる瞬間を指します。したがって、(3)で求めた張力の一般式 \(T = mg(2+3\cos\theta)\) において、\(T=0\) となる条件を解けばよいです。
この設問における重要なポイント
- 糸がたるむ条件: 物理的に \(T=0\) と解釈します。
- 方程式を解く: (3)で導出した \(T\) の式を、\(\cos\theta_0\) についての方程式として解きます。
具体的な解説と立式
糸がたるむ条件は、張力 \(T\) が 0 になることです。
(3)で求めた張力の式 \(T = mg(2+3\cos\theta)\) を用いて、\(\theta = \theta_0\) のときに \(T=0\) となる式を立てます。
$$ mg(2+3\cos\theta_0) = 0 \quad \cdots ① $$
使用した物理公式
- (3)で導出した張力の公式
①式を \(\cos\theta_0\) について解きます。\(mg \neq 0\) なので、両辺を \(mg\) で割ることができます。
$$
\begin{aligned}
2+3\cos\theta_0 &= 0 \\[2.0ex]
3\cos\theta_0 &= -2 \\[2.0ex]
\cos\theta_0 &= -\frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
おもりがどんどん上に上がっていくと、スピードが落ちてきて、円運動を続けるための遠心力が小さくなります。ある点で、遠心力と重力（の一部）を合わせても、張力を必要としなくなり、ついには糸がフニャっとたるんでしまいます。この「たるむ瞬間」は、数学的には「張力がゼロになる」瞬間です。そこで、(3)で作った張力の式がゼロになるような角度を計算します。
\(\cos\theta_0 = -\displaystyle\frac{2}{3}\) です。
\(\cos\theta\) の値は-1から1の間にあるので、\(-\displaystyle\frac{2}{3}\) は物理的に可能な値です。
また、\(\cos\theta_0\) が負の値であることから、\(\theta_0\) は \(90^\circ\) よりも大きい角度、つまり物体が最下点を通り過ぎて、水平よりも高い位置まで到達したときに糸がたるむことがわかります。これは直感とも一致しており、妥当な結果です。この瞬間以降、物体は張力から解放され、その時点での速度で斜め上方に投げ出された物体として、放物運動を開始します。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力学的エネルギー保存則:
- 核心: この問題では、重力以外の力（張力）は常に物体の運動方向と垂直であるため、仕事をしません。したがって、系の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）は常に保存されます。これが、異なる位置における物体の速さを関係づけるための最も重要な法則です。
- 理解のポイント: どの2点間でエネルギー保存則を立てるかを柔軟に選ぶことが重要です。例えば、(1)では「水平位置と最下点」、(3)では「水平位置と角\(\theta\)の位置」で式を立てています。基準点の取り方も任意ですが、計算が最も簡単になる点（この問題では最下点）を選ぶのが定石です。
- 円運動の動力学（運動方程式 or 遠心力とのつり合い）:
- 核心: 物体が円運動をしている各瞬間において、その運動を支配する法則を適用することが求められます。これが張力を計算するための鍵となります。
- 理解のポイント: この問題は2つの視点から解くことができます。
- 慣性系（静止した観測者）: 物体に働く力（張力、重力）の合力が、円の中心に向かう「向心力」として働き、向心加速度 \(a=v^2/r\) を生み出すと考え、運動方程式 \(ma=F_{\text{向心}}\) を立てます。
- 回転系（物体と一緒に回る観測者）: 物体に働く実在の力（張力、重力）と、見かけの力である「遠心力」がつり合っていると考え、力のつり合いの式を立てます。
- 特にこの問題では、釘に接触する前後で回転半径 \(r\) が \(l\) から \(\displaystyle\frac{l}{2}\) に変化します。この変化が向心力（または遠心力）の大きさを変え、結果として張力が不連続に変化する、という力学的な連鎖を理解することが核心です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- ジェットコースター: ループの頂点で物体がレールから離れない条件を問う問題。レールからの垂直抗力が、この問題の張力\(T\)の役割を果たします。「離れない条件」は \(N \ge 0\)、「離れる瞬間」は \(N=0\) として解きます。
- 内面が滑らかな半球面上を滑る物体: 物体がどの高さで面から離れるかを問う問題。面からの垂直抗力\(N\)が張力\(T\)の役割を担い、「面から離れる瞬間」は \(N=0\) として解きます。
- 棒でつながれた振り子: 糸の代わりに質量を無視できる剛体の棒で物体が固定されている場合。棒は張力だけでなく、物体を押し返す力（負の張力）も及ぼせます。そのため、糸と違って最高点まで達しても「たるむ」ことがありません。
- 初見の問題での着眼点:
- 運動のフェーズを区別する: この問題のように、運動の条件（回転中心、半径など）が途中で変わる場合、どこで変化が起きるかを見極め、フェーズごとに分けて考えることが最も重要です。
- エネルギー保存則が使えるか判断する: 非保存力（摩擦力、空気抵抗など）が仕事をしないかを確認します。使える場合は、まず速さを求めるために積極的に利用します。
- 各瞬間の運動の種類を特定する: 「円運動」「放物運動」「単振動」など、どの運動モデルを適用すべきかを判断します。円運動であれば、その中心と半径を正確に把握します。
- 「離れる」「たるむ」の物理的条件を言い換える: 問題文の「糸がたるむ」を「張力 \(T=0\)」、「面から離れる」を「垂直抗力 \(N=0\)」という数式で表現できるかに気づくことが解法の鍵となります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 釘接触前後での速さの誤解:
- 誤解: 釘に接触して張力が急に大きくなるのだから、速さも何か変化するのではないかと考えてしまう。
- 対策: 釘との接触は一瞬の出来事であり、その瞬間に物体が大きく移動するわけではないため、位置と速さは連続的であると理解しましょう。変化するのはあくまで回転の中心と半径であり、それによって張力が不連続に変化します。
- 位置エネルギーの計算ミス:
- 誤解: (3)で角\(\theta\)の位置の高さを計算する際に、基準点からの高さを \( \displaystyle\frac{l}{2}\cos\theta \) などと誤って計算してしまう。
- 対策: 必ず図を丁寧に描き、どの部分の長さを求めているのかを明確にしましょう。この問題では、最下点を基準にすると、高さは「半径から、半径の鉛直成分を引いたもの」、つまり \( \displaystyle\frac{l}{2} – \displaystyle\frac{l}{2}\cos\theta = \displaystyle\frac{l}{2}(1-\cos\theta) \) となります。
- 力の分解方向の間違い:
- 誤解: 重力 \(mg\) を分解する際に、糸の方向成分を \(mg\sin\theta\)、接線方向成分を \(mg\cos\theta\) と取り違える。
- 対策: 図に直角三角形を描き、角度\(\theta\)の位置を正確に特定しましょう。鉛直線と糸がなす角が\(\theta\)なので、糸の方向成分は\(\cos\theta\)になります。
- (4)での力の合成の誤り:
- 誤解: 釘が受ける力を、単純に \(T+T=2T\) のようにスカラー量として足してしまう。
- 対策: 力はベクトル量であることを常に意識しましょう。釘には異なる2方向（水平と鉛直）から力がかかっているため、ベクトル和（この場合は三平方の定理）で合力を計算する必要があります。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- エネルギーの変換グラフ: 横軸に角度、縦軸にエネルギーをとったグラフをイメージします。位置エネルギーは \(U \propto (1-\cos\theta)\) で変化し、運動エネルギー \(K\) はその逆の形で変化し、両者の和である力学的エネルギー \(E\) は常に一定（水平な直線）に保たれる、というイメージを持つと、速さの変化を直感的に理解できます。
- 張力の変化グラフ: 横軸に角度\(\theta\)をとり、(3)で求めた \(T = mg(2+3\cos\theta)\) のグラフをイメージします。\(\theta=0\)で最大値 \(5mg\) をとり、\(\theta\)が大きくなるにつれて減少し、\(\cos\theta_0 = -2/3\) でゼロになる。このグラフを思い描くことで、どのあたりで糸がたるむかを視覚的に把握できます。
- 力のベクトル図: 各瞬間において、物体に働く「重力 \(m\vec{g}\)」と「張力 \(\vec{T}\)」のベクトル和が「向心力 \(m\vec{a}\)」になる関係 \(m\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g}\) を図で描いてみましょう。これにより、なぜ張力が場所によって変化するのか（重力の向きと大きさが一定なのに対し、向心力の向きと大きさが変化するため、それを満たすように張力が調整される）が直感的に理解できます。
- 図を描く際に注意すべき点:
- フェーズごとに図を分ける: 釘に接触する前の円運動（中心A, 半径\(l\)）と、接触後の円運動（中心O, 半径\(l/2\)）は、別の図として描くと混乱が防げます。
- 角度と辺の関係を明記: 位置エネルギーや力の分解で使う長さ（例: \(\frac{l}{2}(1-\cos\theta)\)）や角度（例: 重力分解時の\(\theta\)）を、図の中に明確に書き込みましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力学的エネルギー保存則:
- 選定理由: 問題を通して、物体の「速さ」を「位置」の関数として求める必要があるため。張力が仕事をしないため、この法則が最も効率的かつ強力なツールとなります。
- 適用根拠: 保存力（重力）以外の力（張力）が仕事をしない、という物理的条件が満たされているため。
- 円運動の運動方程式 (または遠心力とのつり合い):
- 選定理由: 問題が「張力」という力を問うているため。力と運動（加速度）の関係を記述する法則が必要です。
- 適用根拠: 物体が円軌道上を運動している、という事実に基づきます。この運動を維持するためには、必ず中心方向への力（向心力）が必要であるという、ニュートンの第二法則の応用です。
- 力の合成（ベクトル和）:
- 選定理由: (4)で、一点（釘）に複数の力（2方向からの張力）が働く状況で、それらが及ぼす正味の効果（合力）を問われているため。
- 適用根拠: 力がベクトル量であるという基本原理に基づきます。複数の力を一つの力にまとめる際の数学的なルールです。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 直前の張力 \(T_1\):
- 戦略: エネルギー保存で速さを求め、円運動の式で張力を出す。
- フロー: ①水平位置と最下点間でエネルギー保存則を立式 → ②最下点での速さ \(v_1\) を計算 → ③半径 \(l\) の円運動について、力のつり合い（or 運動方程式）を立式 → ④ \(v_1\) を代入して \(T_1\) を計算。
- (2) 直後の張力 \(T_2\):
- 戦略: 半径が変わった円運動の式を立てる。速さは(1)と同じ。
- フロー: ①速さは \(v_1\) のままと認識 → ②半径 \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の円運動について、力のつり合い（or 運動方程式）を立式 → ③ \(v_1\) を代入して \(T_2\) を計算。
- (3) 角度\(\theta\)での張力 \(T\):
- 戦略: (1)と同様に、エネルギー保存で速さを求め、円運動の式で張力を出す。
- フロー: ①水平位置と角\(\theta\)の位置でエネルギー保存則を立式 → ②角\(\theta\)での速さ \(v\) を\(\theta\)の関数として計算 → ③半径 \(\displaystyle\frac{l}{2}\) の円運動について、力のつり合い（or 運動方程式）を立式 → ④ \(v\) を代入して \(T\) を\(\theta\)の関数として計算。
- (4) 釘が受ける力 \(F\):
- 戦略: (3)の結果を使い、力のベクトル和を計算する。
- フロー: ①(3)の式に \(\theta=90^\circ\) を代入し、張力 \(T\) を計算 → ②釘に働く2つの張力を図示 → ③ベクトル和（三平方の定理）で合力 \(F\) を計算。
- (5) 糸がたるむ条件:
- 戦略: 「たるむ」を「\(T=0\)」と読み替え、(3)の式を解く。
- フロー: ①(3)で求めた \(T\) の式に \(T=0\) を代入 → ②\(\cos\theta_0\) についての方程式を解く。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: 各設問で、速さ \(v^2\) などを求めるとき、すぐに \(g\) や \(l\) の数値を代入するのではなく、文字式のまま最後まで計算を進めましょう。例えば(3)では、\(v^2 = gl(1+\cos\theta)\) をそのまま \(T\) の式に代入することで、途中の数値計算を避け、式全体の見通しが良くなります。
- 共通部分の再利用: (3)で求めた一般式 \(T = mg(2+3\cos\theta)\) は、(2), (4), (5) を解く上での基礎となります。一度正しい一般式を導いてしまえば、あとはそれに条件を代入するだけです。一般化してから特殊な場合を考える、という流れはミスを減らし、思考を整理する上で非常に有効です。
- 単位と次元の確認: 最終的に求めた張力や力の単位が、すべて \(mg\) の定数倍になっていることを確認しましょう。これにより、例えば \(l\) や \(g\) が余分に残っていたり、次元が合わない計算ミスに気づくことができます。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- 張力の比較: \(T_2(5mg) > T_1(3mg)\) という結果は、「同じ速さなら、より急なカーブ（半径が小さい）を曲がる方が大きな力（張力）が必要」という直感と一致しており、妥当です。
- (3)の式の吟味: \(T = mg(2+3\cos\theta)\) という式で、\(\theta=0\)（最下点）を代入すると \(T=5mg\) となり、(2)の結果と一致します。このように、一般式が特殊なケースを正しく再現できるかを確認することは、非常に有効な検算方法です。
- (5)の答えの吟味: \(\cos\theta_0 = -2/3\) という結果は、\(-1 \le \cos\theta \le 1\) の範囲内にあり、数学的に矛盾しません。また、値が負であることから、\(\theta_0 > 90^\circ\) であることがわかり、「物体が水平より高い位置まで上がってから糸がたるむ」という物理的なイメージとも合致します。
- 別解との比較:
- (1), (2), (3)の張力は、慣性系での「運動方程式」と、回転系での「遠心力とのつり合い」という2つの異なるアプローチで求められました。両者で全く同じ結果が得られたことは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。
172 回転する円板上の物体
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、回転する円板上の物体にはたらく力を分析し、物体が滑り出さないための条件を求める問題です。静止摩擦力と、円運動の動力学（遠心力または向心力）を組み合わせて考えます。
この問題の核心は、物体に働く力を正しく図示し、どの力が物体を滑らせようとし、どの力がそれを支えているのかを明確にすることです。特に(2)では、円板が傾くことで重力の影響が加わり、状況がより複雑になります。
- 小物体の位置: 回転軸から距離 \(a\)
- 円板の角速度: \(\omega\)
- 静止摩擦係数: \(\mu\)
- 重力加速度: \(g\)
- (2)における円板の傾斜角: \(\theta\)
- (1) 水平な円板で、物体が静止し続けるための \(\omega\) の上限。
- (2) 傾いた円板で、物体が静止し続けるための \(\omega\) の上限。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説では、模範解答で採用されている「回転座標系（遠心力を用いた力のつり合い）」での解法を主たる解説とします。それに加え、学習者の多角的な理解を促進するため、以下の別解を提示します。
- 設問(1) の別解
- 別解: 慣性座標系（向心力を用いた運動方程式）による解法
別解の教育的な意義は以下の通りです。
- 遠心力という「見かけの力」に頼らず、より根源的なニュートンの運動法則（\(ma=F\)）から現象を捉え直すことで、円運動の動力学に対する本質的な理解が深まります。
- 設問(2)については、慣性座標系で解くと計算が非常に複雑になるため、高校物理の範囲では回転座標系で考えるのが現実的です。この比較を通じて、問題に応じて適切な座標系を選ぶことの重要性も学ぶことができます。
いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる物理的な結論は、模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「摩擦力を伴う円運動」です。円板とともに回転する観測者の視点（回転座標系）に立ち、見かけの力である「遠心力」を含めた力のつり合いを考えるのが、模範解答の方針であり、最も一般的な解法です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力の図示と分解: 物体に働くすべての力（実在の力と見かけの力）を正確に図示し、適切な座標軸に沿って分解します。
- 回転座標系と遠心力: 回転する円板上の観測者から見ると、物体には回転の中心から遠ざかる向きに遠心力が働いているように見えます。
- 静止摩擦力: 物体が滑り出さないように支える力。その大きさには \(f \le \mu N\) という上限があります。物体が滑り出す限界の条件は \(f = \mu N\) です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 円板とともに回転する観測者の視点で、物体に働く力をすべて図示します。
- 力のつり合いの式を立て、静止摩擦力 \(f\) と垂直抗力 \(N\) を求めます。
- 静止摩擦力が最大静止摩擦力を超えないという条件 \(f \le \mu N\) に、求めた \(f\) と \(N\) を代入し、角速度 \(\omega\) に関する不等式を解きます。
問(1)
思考の道筋とポイント
物体が円板上に静止している、つまり円板と一緒に円運動している状況を考えます。円板とともに回転する観測者から見ると、物体は静止しています。この観測者から見たとき、物体に働く水平方向の力は、円の中心に向かう「静止摩擦力 \(f\)」と、外側に向かう「遠心力 \(ma\omega^2\)」です。これらがつり合っていると考えます。物体が滑り出さないためには、この静止摩擦力が最大静止摩擦力 \(\mu N\) を超えなければよい、という条件式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 回転系での力のつり合い: 物体は静止して見えるため、力のつり合いを考えます。
- 遠心力の導入: 水平で外向きに大きさ \(ma\omega^2\) の遠心力が働きます。
- 静止摩擦力の役割: 遠心力とつりあい、物体が外へ飛び出すのを防ぎます。
- 滑らない条件: 静止摩擦力 \(f\) が、その最大値 \(\mu N\) 以下であること (\(f \le \mu N\))。
具体的な解説と立式
物体の質量を \(m\) とする。円板とともに回転する観測者から見ると、物体には以下の4つの力が働いており、つり合っている（図a参照）。
- 重力: 鉛直下向きに \(mg\)
- 垂直抗力: 鉛直上向きに \(N\)
- 静止摩擦力: 水平で中心向きに \(f\)
- 遠心力: 水平で外向きに \(ma\omega^2\)
鉛直方向の力のつり合いより、
$$ N – mg = 0 \quad \cdots ① $$
水平方向の力のつり合いより、
$$ f – ma\omega^2 = 0 \quad \cdots ② $$
物体が円板上に静止し続ける（滑らない）ためには、静止摩擦力 \(f\) が最大静止摩擦力 \(\mu N\) を超えなければよいので、
$$ f \le \mu N \quad \cdots ③ $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- 遠心力: \(F = mr\omega^2\)
- 最大静止摩擦力: \(f_{\text{最大}} = \mu N\)
①式より \(N = mg\)、②式より \(f = ma\omega^2\) である。これらを③式に代入する。
$$
\begin{aligned}
ma\omega^2 &\le \mu (mg) \\[2.0ex]
a\omega^2 &\le \mu g \\[2.0ex]
\omega^2 &\le \frac{\mu g}{a}
\end{aligned}
$$
\(\omega > 0\) なので、両辺の正の平方根をとって、
$$ \omega \le \sqrt{\frac{\mu g}{a}} $$
レコード盤の上の消しゴムをイメージしましょう。レコードが回転すると、消しゴムは外側に放り出されるような力（遠心力）を感じます。この力に抵抗して、消しゴムがその場に留まれるのは、レコード盤との間に摩擦力があるからです。しかし、摩擦力には限界があります。回転が速くなりすぎて遠心力が摩擦力の限界を超えると、消しゴムは滑り出してしまいます。この「限界を超えない」という条件を数式にして、回転の速さの上限を計算します。
物体が静止し続けるためには、角速度 \(\omega\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{\mu g}{a}}\) 以下でなければなりません。
この結果は、摩擦係数 \(\mu\) や重力 \(g\) が大きいほど、また回転半径 \(a\) が小さいほど、より速い回転（大きい \(\omega\)）に耐えられることを示しており、物理的な直感と一致します。
思考の道筋とポイント
地上で静止している観測者（慣性系）から運動を解析する方法です。この観測者から見ると、物体は水平面内で半径 \(a\)、角速度 \(\omega\) の等速円運動をしています。この円運動を引き起こしている力、すなわち「向心力」は、円板からの「静止摩擦力 \(f\)」です。この関係を運動方程式 \(ma=F\) で記述し、滑らない条件 \(f \le \mu N\) を適用します。
この設問における重要なポイント
- 向心力: 円運動を維持するために必要な、常に円の中心を向く力です。この問題では、静止摩擦力 \(f\) がその役割を担います。
- 向心加速度: 等速円運動の加速度は \(a_{\text{向心}} = a\omega^2\) で与えられ、向きは円の中心を向きます。
- 運動方程式: 水平方向について、ニュートンの第二法則 \(ma=F\) を適用します。
具体的な解説と立式
静止している観測者から見ると、物体には以下の3つの力が働いています。
- 重力: 鉛直下向きに \(mg\)
- 垂直抗力: 鉛直上向きに \(N\)
- 静止摩擦力: 水平で中心向きに \(f\)
鉛直方向は運動していないので、力のつり合いが成り立ちます。
$$ N – mg = 0 \quad \cdots ④ $$
水平方向は、静止摩擦力 \(f\) を向心力として等速円運動をしています。運動方程式は、
$$ m(a\omega^2) = f \quad \cdots ⑤ $$
滑らない条件は、主たる解法と同じく、
$$ f \le \mu N \quad \cdots ⑥ $$
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式: \(mr\omega^2 = F\)
- 力のつり合い
- 最大静止摩擦力: \(f_{\text{最大}} = \mu N\)
④式より \(N=mg\)、⑤式より \(f=ma\omega^2\) です。これらを⑥式に代入すると、
$$ ma\omega^2 \le \mu mg $$
となり、主たる解法と全く同じ不等式が得られます。したがって、これ以降の計算も同様になり、
$$ \omega \le \sqrt{\frac{\mu g}{a}} $$
という結果が得られます。
物体がカーブを曲がる（円運動する）ためには、必ず中心に向かって引っ張る力（向心力）が必要です。この問題では、その力を摩擦力が担っています。摩擦力が向心力として働き、物体を円軌道に乗せ続けています。しかし、摩擦力には限界があるので、回転が速くなりすぎて必要な向心力が摩擦力の限界を超えると、物体はカーブを曲がりきれずに滑ってしまいます。
角速度の上限は \(\sqrt{\displaystyle\frac{\mu g}{a}}\) となり、主たる解法と一致します。遠心力（回転系の力のつり合い）と向心力（慣性系の運動方程式）は、同じ現象を異なる視点から見たものであり、本質的に等価であることが確認できます。
問(2)
思考の道筋とポイント
円板の回転軸が傾いた場合を考えます。この場合、物体には遠心力に加えて、重力の斜面方向の成分も滑り落ちる向きに働くことになります。物体が滑り出す危険性が最も高くなるのは、これらの力が同じ向きに働く、円軌道の「最下点」です。したがって、この最下点において物体が滑り出さない条件を考えれば、他のすべての点でも滑らないことになります。
(1)と同様に回転系で考え、円板に平行な方向と垂直な方向で力のつり合いの式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 最も厳しい条件で考える: 物体が滑り出す可能性が最も高いのは、滑らせようとする力が最大になる「最下点」です。ここで耐えられればOK、という考え方が重要です。
- 座標軸の設定: 円板の面に平行な方向と垂直な方向に座標軸をとると、力を考えやすくなります。
- 力の分解: 重力 \(mg\) を、円板に垂直な成分 \(mg\cos\theta\) と、平行な成分 \(mg\sin\theta\) に分解します。
- 力の合成: 最下点では、滑らせようとする力は「遠心力」と「重力の平行成分」の和になります。静止摩擦力はこれとつりあいます。
具体的な解説と立式
円板とともに回転する観測者から見ます。円板が傾いているため、重力 \(mg\) を円板に垂直な方向と平行な方向に分解します。
- 円板に垂直な成分: \(mg\cos\theta\)
- 円板に平行な成分: \(mg\sin\theta\)
物体が円軌道の最下点にあるとき、物体に働く力は以下の通りです（図b参照）。
- 円板に垂直な方向:
- 円板から離れる向き: 重力の垂直成分 \(mg\cos\theta\)
- 円板に押し付けられる向き: 垂直抗力 \(N\)
- 円板に平行な方向:
- 中心から遠ざかる向き（坂を下る向き）: 遠心力 \(ma\omega^2\)
- 中心から遠ざかる向き（坂を下る向き）: 重力の平行成分 \(mg\sin\theta\)
- 中心向き（坂を上る向き）: 静止摩擦力 \(f\)
円板に垂直な方向の力のつり合いより、
$$ N – mg\cos\theta = 0 \quad \cdots ① $$
円板に平行な方向の力のつり合いより、
$$ f – ma\omega^2 – mg\sin\theta = 0 \quad \cdots ② $$
物体が滑らない条件は、
$$ f \le \mu N \quad \cdots ③ $$
使用した物理公式
- 力のつり合い
- 遠心力
- 最大静止摩擦力
①式より \(N = mg\cos\theta\)、②式より \(f = ma\omega^2 + mg\sin\theta\) である。これらを③式に代入する。
$$
\begin{aligned}
ma\omega^2 + mg\sin\theta &\le \mu (mg\cos\theta) \\[2.0ex]
ma\omega^2 &\le \mu mg\cos\theta – mg\sin\theta \\[2.0ex]
a\omega^2 &\le g(\mu\cos\theta – \sin\theta) \\[2.0ex]
\omega^2 &\le \frac{g(\mu\cos\theta – \sin\theta)}{a}
\end{aligned}
$$
\(\omega > 0\) なので、両辺の正の平方根をとって、
$$ \omega \le \sqrt{\frac{g(\mu\cos\theta – \sin\theta)}{a}} $$
今度は、坂道に置かれたレコード盤をイメージします。消しゴムは、回転による遠心力で外側に飛び出そうとするだけでなく、重力によって坂道を滑り落ちようともします。特に、消しゴムが一番低い位置に来たとき、この「飛び出す力」と「滑り落ちる力」が同じ向きになり、摩擦力が最も頑張らなければならない状況になります。この一番大変な状況で摩擦力が耐えられるなら、他の場所でも大丈夫です。この限界の条件を数式にして、回転の速さの上限を計算します。
物体が静止し続けるためには、角速度 \(\omega\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{g(\mu\cos\theta – \sin\theta)}{a}}\) 以下でなければなりません。
この式の妥当性を吟味してみましょう。
まず、根号の中は正でなければならないので、\(\mu\cos\theta – \sin\theta \ge 0\)、つまり \(\mu \ge \tan\theta\) という条件が必要です。これは、そもそも回転させなくても（\(\omega=0\) のときでも）物体が斜面で静止していられるための条件に他ならず、物理的に理にかなっています。
また、もし傾きがなければ \(\theta=0\) なので、\(\cos\theta=1, \sin\theta=0\) となり、\(\omega \le \sqrt{\displaystyle\frac{\mu g}{a}}\) となって(1)の結果と一致します。これも結果の正しさを裏付けています。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 円運動の動力学（回転座標系での力のつり合い）:
- 核心: この問題は、回転する物体の上での現象を扱うため、物体と一緒に回転する観測者の視点（回転座標系）で考えると非常に見通しが良くなります。この視点では、物体は静止していると見なせ、実在の力に加えて「遠心力」という見かけの力を導入することで、静力学的な「力のつり合い」の問題として扱うことができます。
- 理解のポイント: 遠心力は常に回転の中心から遠ざかる向きに、大きさ \(mr\omega^2\) で働くと考えます。(1)では水平方向、(2)では円板に平行で外向きに働きます。
- 静止摩擦力の条件 (\(f \le \mu N\)):
- 核心: 物体が滑り出さずに静止し続けるための条件は、物体に働く静止摩擦力 \(f\) が、その最大値である最大静止摩擦力 \(\mu N\) を超えないことです。この不等式を立てることが、角速度 \(\omega\) の上限を求めるための最終的な鍵となります。
- 理解のポイント: 静止摩擦力は「必要なだけ働く」受動的な力です。遠心力や重力の成分など、物体を滑らせようとする力とつりあうように、その大きさと向きを調整します。しかし、その調整能力には限界 (\(\mu N\)) があり、それを超える力がかかると物体は滑り出します。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- バンク（傾斜）のあるカーブを曲がる自動車: 自動車がカーブを曲がるための向心力を、路面からの垂直抗力の水平成分と摩擦力でまかないます。滑り出さない（コースアウトしない）ための速度の条件を求める問題は、(2)と非常に似た構造をしています。
- 円錐の内面を回転する小球（円錐振り子の変形）: 円錐の内面に沿って小球が水平に円運動する問題。垂直抗力と重力の合力が向心力となります。もし面に摩擦があれば、重力で滑り落ちるのを摩擦力が支える、という点で(2)と共通の考え方が使えます。
- 初見の問題での着眼点:
- 座標系を選ぶ: 回転が絡む問題では、まず「静止系（慣性系）」で運動方程式を立てるか、「回転系」で遠心力を含めた力のつり合いを考えるか、方針を決めます。(2)のように状況が複雑な場合は、回転系の方が圧倒的に考えやすいことが多いです。
- 最も厳しい条件を探す: (2)のように、円運動の場所によって力が変化する場合、「いつ、どこで物体が最も滑りやすくなるか」を見抜くことが重要です。滑らせようとする力が最大になる点（この問題では最下点）や、支える力が最小になる点などに着目し、その点での条件を立式します。
- 力の分解軸を適切に設定する: (2)では、円板の面に「平行」と「垂直」に軸をとることで、垂直抗力や摩擦力の扱いが簡単になります。運動や力の方向に合わせて座標軸を選ぶのが定石です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- (2)における遠心力の向きの誤解:
- 誤解: 遠心力は常に「水平」で外向きに働くと勘違いし、円板が傾いていても水平方向の力として扱ってしまう。
- 対策: 遠心力は、あくまで回転運動の中心から遠ざかる向きに働きます。この問題の回転運動は、傾いた円板の面上で行われているため、遠心力も円板の面に平行で外向きに働きます。必ず運動の幾何学的な状況を正確に把握しましょう。
- (2)における力の分解のミス:
- 誤解: 重力 \(mg\) を分解する際に、円板に平行な成分を \(mg\cos\theta\)、垂直な成分を \(mg\sin\theta\) と取り違える。
- 対策: 斜面の問題で頻出するミスです。必ず図を描き、回転軸（鉛直線）と円板の面のなす角が \(\theta\) であることから、重力と円板の垂直線のなす角が \(\theta\) になることを確認しましょう。これにより、垂直成分が \(\cos\theta\)、平行成分が \(\sin\theta\) と正しく導けます。
- 静止摩擦力の大きさを常に \(\mu N\) としてしまう:
- 誤解: 静止摩擦力 \(f\) の大きさを、常に最大値である \(\mu N\) だとして計算してしまう。
- 対策: \(f = \mu N\) が成り立つのは、物体が「滑り出す直前」という限界の状況のみです。一般的には、静止摩擦力 \(f\) は外力とつりあうだけの大きさを持ち、\(f \le \mu N\) という不等式の関係にあります。力のつり合いからまず \(f\) を求め、その後に不等式に代入する、という手順を徹底しましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 力のベクトル図: (2)の最下点において、円板に平行な方向に働く力をベクトルで描いてみましょう。「遠心力」と「重力の平行成分」という2つのベクトルが同じ向き（坂を下る向き）に働き、それらの合力とちょうど同じ大きさで逆向き（坂を上る向き）に「静止摩擦力」が働いている、という力関係を視覚化すると、力のつり合いの式の意味が直感的に理解できます。
- 視点の切り替えイメージ:
- 静止系（上から見る）: 「物体はまっすぐ進みたいはずなのに、円板が無理やり内側に引っ張っている（摩擦力）。だから円運動しているんだな」というイメージ。
- 回転系（円板に乗って見る）: 「自分は外側に放り出されそう（遠心力）だし、坂道を滑り落ちそう（重力成分）だ。でも、床との摩擦が必死に内側＆上向きに支えてくれているから、ここに留まっていられる」というイメージ。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 作用点を明確に: すべての力は物体の中心（重心）から生えているように描きます。
- 分解した力は点線で: 重力 \(mg\) を分解した場合、分解後の2つの力は点線で描くと、元の力（実線）と区別しやすくなり、力の数え間違いを防げます。
- 座標軸を書き込む: (2)では、円板に平行なx軸と垂直なy軸を明記することで、思考の基準が明確になります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力のつり合いの式 (\(\sum F = 0\)):
- 選定理由: 回転座標系という「物体が静止して見える」視点を採用したため。静止している物体では、働く力のベクトル和はゼロになるという静力学の基本原理を適用します。
- 適用根拠: 慣性力（この場合は遠心力）を導入することで、非慣性系である回転座標系での運動を、見かけ上、慣性系の法則（力のつり合い）で扱えるようにするためです。
- 静止摩擦力の条件式 (\(f \le \mu N\)):
- 選定理由: 問題が「静止し続けるために（滑り出さないために）」という条件を問うているため。これは摩擦力が限界を超えない、という条件に他なりません。
- 適用根拠: 摩擦という物理現象の経験則に基づいています。静止摩擦力には上限があり、その上限は垂直抗力 \(N\) に比例するという法則を数式化したものです。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 水平な円板:
- 戦略: 回転系で力のつり合いを考え、滑らない条件に持ち込む。
- フロー: ①回転系で物体に働く力（重力, 垂直抗力, 摩擦力, 遠心力）を図示 → ②鉛直方向と水平方向で力のつり合いを立式し、\(N\) と \(f\) を求める → ③滑らない条件 \(f \le \mu N\) に \(N\) と \(f\) を代入 → ④\(\omega\) についての不等式を解く。
- (2) 傾いた円板:
- 戦略: 最も厳しい「最下点」での力のつり合いを考え、滑らない条件に持ち込む。
- フロー: ①最下点において、回転系で物体に働く力を図示 → ②重力を円板の平行・垂直成分に分解 → ③円板の平行・垂直方向で力のつり合いを立式し、\(N\) と \(f\) を求める → ④滑らない条件 \(f \le \mu N\) に \(N\) と \(f\) を代入 → ⑤\(\omega\) についての不等式を解く。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: この問題はすべて文字式なので自然とそうなりますが、具体的な数値が与えられていても、できるだけ計算の最終段階まで文字式のまま進めるのが鉄則です。これにより、物理的な意味合いを保ったまま式変形ができ、ミスを発見しやすくなります。
- 不等式の扱いに注意: 最終的に \(\omega^2 \le (\text{…})\) という形になりますが、ここで平方根をとる際に、\(\omega\) が正であることを確認する習慣をつけましょう。また、不等号の向きを途中で間違えないように、丁寧な式変形を心がけましょう。
- 結果の吟味: (2)で得られた結果に \(\theta=0\) を代入すると、(1)の結果と一致することを確認する（検算する）のは非常に有効なテクニックです。これにより、(2)の複雑な計算に間違いがなかったかを高い確度で検証できます。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (1)の答え: \(\omega \le \sqrt{\displaystyle\frac{\mu g}{a}}\) は、\(\mu\) や \(g\) が大きいほど（滑りにくい、重い）、また \(a\) が小さいほど（内側にいる）、\(\omega\) の上限が大きくなることを示しています。これは「滑りにくい条件ほど速く回れる」という直感と一致し、妥当です。
- (2)の答え: \(\omega \le \sqrt{\displaystyle\frac{g(\mu\cos\theta – \sin\theta)}{a}}\) について。傾き \(\theta\) が大きくなると、\(\cos\theta\) は減少し \(\sin\theta\) は増加するため、分子全体が小さくなります。つまり、傾きが大きいほど \(\omega\) の上限は小さくなることを示しており、「坂が急なほどゆっくり回さないと滑る」という直感と一致し、妥当です。
- 限界条件の考察: (2)の式から、\(\mu\cos\theta – \sin\theta < 0\)、つまり \(\mu < \tan\theta\) の場合、\(\omega^2\) が負となり、実数解 \(\omega\) が存在しなくなります。これは「そもそも回転させなくても（\(\omega=0\)でも）重力で滑り落ちてしまう」という状況に対応しており、式の物理的な意味が正しいことを示唆しています。
- 別解との比較:
- (1)は、慣性系での「運動方程式」と、回転系での「遠心力とのつり合い」という2つのアプローチで解けました。両者で全く同じ結果が得られたことは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。
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