「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第14章】応用問題

279 波のある水面を進む船

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、動いている波（媒質）に対して、観測者（船）も動いている状況を扱います。それぞれの速度と移動距離の関係を正確に把握し、未知数である波の速さ、波長、振動数を求める能力が問われます。
この問題の核心は、「時間\(t_1\)と\(t_2\)の間に、船と波がそれぞれどれだけ移動し、その結果どのような位置関係になるか」を正しく立式することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「運動する観測者と波」です。静止した水面を基準に考える方法と、船を基準に相対速度で考える方法の2通りで解説します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

波の速さ \(V\)

思考の道筋とポイント
波の速さ\(V\)を求めるために、時間\(t_1\)の間に起こる現象に着目します。時間\(t_1\)は「船首に波の山が当たってから、その山が船尾を通り過ぎるまで」の時間です。この間に、波の山と船（特に船尾）がそれぞれどれだけ移動したかを考え、その位置関係を式で表します。ここでは、静止した水面を基準（静止系）として考えます。

この設問における重要なポイント

• 静止系での運動の追跡: 波は速さ\(V\)で、船は速さ\(v\)で、それぞれ静止系に対して運動していると考えます。
• 図による関係の可視化: 船首に波の山が当たった瞬間と、\(t_1\)秒後にその山が船尾に達した瞬間の図を描き、移動距離の関係を明確にします。
• 距離の関係式: 波の山が進んだ距離と、船尾が進んだ距離の和が、船の長さ\(L\)に等しくなります。

具体的な解説と立式
船首に波の山が当たった瞬間を時刻\(t=0\)とします。このとき、船尾は船首から距離\(L\)だけ後方にあります。

時刻\(t=t_1\)になったとき、この波の山は船尾に到達します。
この\(t_1\)秒の間に、

• 波の山は、船の進行方向とは逆向きに距離\(Vt_1\)だけ進みます。
• 船尾は、船の進行方向に距離\(vt_1\)だけ進みます。

問題の図aにあるように、波の山が船首の位置から船尾の位置まで移動する様子を考えます。波の山が最初にあった位置（\(t=0\)での船首の位置）と、\(t_1\)秒後に到達する位置（\(t=t_1\)での船尾の位置）の間の距離は、波の山が進んだ距離\(Vt_1\)と、船尾が進んだ距離\(vt_1\)の和になります。この距離が船の長さ\(L\)に等しいです。

したがって、次の関係式が成り立ちます。
$$ L = Vt_1 + vt_1 \quad \cdots ① $$

①式を、求めたい波の速さ\(V\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
Vt_1 &= L – vt_1 \\[2.0ex]V &= \frac{L – vt_1}{t_1} \\[2.0ex]&= \frac{L}{t_1} – v
\end{aligned}
$$

船と波は、互いに向かい合って進んでいます。時間\(t_1\)の間に、波の山が船を「横切る」現象を考えます。波は\(Vt_1\)進み、船は\(vt_1\)進みます。この二つの動きが合わさって、ちょうど船の長さ\(L\)分のすれ違いが完了した、と考えることができます。図を描くと、波が進んだ距離と船が進んだ距離を足したものが、船の長さ\(L\)になることが分かります。この関係を式にして、波の速さ\(V\)を求めます。

波の速さ\(V\)は \(\displaystyle\frac{L}{t_1} – v\) [m/s] となります。
この式は、船から見た波の相対的な速さ（すれ違いの速さ）が \(\displaystyle\frac{L}{t_1}\) であることを示唆しています。実際、相対速度は\(V+v\)なので、\(V+v = \displaystyle\frac{L}{t_1}\)となり、これを変形すると同じ結果が得られます。このことから、結果は物理的に妥当であると考えられます。

波長 \(\lambda\)

思考の道筋とポイント
次に波長\(\lambda\)を求めるため、時間\(t_2\)の間に起こる現象に着目します。時間\(t_2\)は「ある波の山が船首に当たってから、次の山が船首に当たるまで」の時間です。この間に、次の波の山と船首がそれぞれどれだけ移動したかを考え、その位置関係を式で表します。これも静止系で考えます。

この設問における重要なポイント

• 周期的な現象の捉え方: \(t_2\)は、動いている船首という「観測点」で測定した、波の周期のようなものです。
• 初期状態の把握: 最初の波の山が船首にあるとき、次の波の山は距離\(\lambda\)だけ後方にあります。
• 距離の関係式: 次の波の山が進んだ距離と、船首が進んだ距離の和が、初期状態での山と山の間の距離、すなわち波長\(\lambda\)に等しくなります。

具体的な解説と立式
ある波の山が船首に当たった瞬間を時刻\(t=0\)とします。このとき、次の波の山は、波の進行方向後方に距離\(\lambda\)だけ離れた位置にあります。

時刻\(t=t_2\)になったとき、この「次の波の山」が船首に到達します。
この\(t_2\)秒の間に、

• 次の波の山は、距離\(Vt_2\)だけ進みます。
• 船首は、距離\(vt_2\)だけ進みます。

問題の図bにあるように、次の波の山が、初期位置（最初の山から\(\lambda\)離れた場所）から、\(t_2\)秒後の船首の位置まで移動する現象を考えます。次の波の山が進んだ距離\(Vt_2\)と、船首が進んだ距離\(vt_2\)の和が、波長\(\lambda\)に等しくなります。

したがって、次の関係式が成り立ちます。
$$ \lambda = Vt_2 + vt_2 \quad \cdots ② $$

②式に、(1)で求めた \(V = \displaystyle\frac{L}{t_1} – v\) を代入して、\(\lambda\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\lambda &= \left( \frac{L}{t_1} – v \right) t_2 + vt_2 \\[2.0ex]&= \frac{Lt_2}{t_1} – vt_2 + vt_2 \\[2.0ex]&= \frac{Lt_2}{t_1}
\end{aligned}
$$

船首に波の山が来た瞬間、次の山は\(\lambda\)メートル後ろにいます。船が前に進みながら、次の山が追いかけてきて、\(t_2\)秒後に船首に到着します。この間に、次の山は\(Vt_2\)メートル進み、船首は\(vt_2\)メートル進みます。この二人が進んだ距離を合わせると、最初の二人の間の距離\(\lambda\)になる、という関係です。この式に、先ほど求めた波の速さ\(V\)の式を代入して計算します。

波長\(\lambda\)は \(\displaystyle\frac{Lt_2}{t_1}\) [m] となります。
次元を確認すると、(長さ×時間)/時間 となり、長さの次元に一致しています。また、\(t_1\)が小さく（すれ違いが速く）、\(t_2\)が大きい（次の波が来るまで時間がかかる）ほど、波長が長くなるという結果も直感的に理解できます。

振動数 \(f\)

思考の道筋とポイント
波の速さ\(V\)と波長\(\lambda\)が求まったので、波の物理量をつなぐ最も基本的な関係式である \(V=f\lambda\) を用いて、振動数\(f\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 波の基本式の利用: \(V\)、\(f\)、\(\lambda\)の関係は、観測者が動いていても変わらない波そのものの性質です。
• 代入と式整理: これまでに求めた\(V\)と\(\lambda\)の式を代入し、丁寧に式を整理します。

具体的な解説と立式
波の速さ\(V\)、振動数\(f\)、波長\(\lambda\)の間には、次の関係式が成り立ちます。
$$ V = f\lambda \quad \cdots ③ $$
この式を\(f\)について解くと、
$$ f = \frac{V}{\lambda} \quad \cdots ④ $$

④式に、求めた \(V = \displaystyle\frac{L}{t_1} – v\) と、\(\lambda = \displaystyle\frac{Lt_2}{t_1}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{\displaystyle\frac{L}{t_1} – v}{\displaystyle\frac{Lt_2}{t_1}} \\[2.0ex]&= \frac{\displaystyle\frac{L – vt_1}{t_1}}{\displaystyle\frac{Lt_2}{t_1}} \\[2.0ex]&= \frac{L – vt_1}{t_1} \times \frac{t_1}{Lt_2} \\[2.0ex]&= \frac{L – vt_1}{Lt_2}
\end{aligned}
$$

振動数は、波の速さを波長で割ることで計算できます。これまでに求めた速さ\(V\)と波長\(\lambda\)の式を、分数の割り算に当てはめます。分母と分子に同じ\(t_1\)があるので、約分して式をきれいに整理します。

振動数\(f\)は \(\displaystyle\frac{L – vt_1}{Lt_2}\) [Hz] となります。
次元を確認すると、(長さ)/(長さ×時間) となり、1/時間、すなわち[Hz]の次元に一致しています。結果は物理的に妥当であると考えられます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の記述と座標系の選択:
  • 核心: この問題は、動いている2つの物体（船と波）の関係を扱うため、「何を基準に運動を記述するか」という座標系の設定が極めて重要です。
  • 理解のポイント:
    • 静止系（水面基準）: 最も基本的な考え方。船の移動距離（\(vt\)）と波の移動距離（\(Vt\)）をそれぞれ計算し、図を描いてその位置関係から立式します（例: \(L = Vt_1 + vt_1\)）。
    • 運動系（船基準）: 船に乗った視点で考えると、波は相対速度 \(V+v\) で向かってくるように見えます。これにより、現象を「速さ\(V+v\)の波が、静止した長さ\(L\)の船を通過する」と単純化でき、立式が容易になります（例: \(L = (V+v)t_1\)）。物理現象は観測する立場（座標系）によって見え方が変わることを理解するのがポイントです。
• 波の基本式 \(V=f\lambda\):
  • 核心: 波の速さ\(V\)、振動数\(f\)、波長\(\lambda\)という3つの基本物理量を結びつける、波の分野における普遍的な法則です。
  • 理解のポイント: この問題のように、波の複数の物理量を求めさせる問題では、ほぼ必ず最終段階でこの式を用います。\(V\)と\(\lambda\)を他の条件から導出した後、この式に代入して残りの\(f\)を求める、という流れは典型的な解法パターンです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ドップラー効果: 音源や観測者が動くことで、観測される音の振動数が変化する現象。本問で、船が動くことで波を観測する時間間隔（周期）が\(t_2\)に変化するのは、ドップラー効果の本質と同じです。
  • 動く歩道と人の運動: 動く歩道の上を人が歩くとき、地面に対する人の速さは、人の歩く速さと歩道の速さのベクトル和になります。これも静止系（地面）と運動系（動く歩道）の考え方を使う典型例です。
  • 川を渡る船: 川の流れがある中で船が進む問題。岸に対する船の速度は、静水時での船の速度と川の流速のベクトル和で表されます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準（座標系）を意識する: まず「地面（水面）から見て考えるのか」「動いている物体から見て考えるのか」という方針を立てます。
  2. 登場人物と運動を整理する: 問題に出てくる物体（船、波）と、それぞれの速度（\(v\), \(V\)）をリストアップします。
  3. 時間と現象を対応させる: 問題で与えられた時間（\(t_1\), \(t_2\)）が、それぞれ物理的に「何が起こった時間」なのかを図を描きながら正確に定義します。（例: \(t_1\) → 波が船の長さ\(L\)を横切る時間）
  4. 相対的な見方を試す: 静止系での立式が複雑に感じたら、「もし自分が船に乗っていたら、波はどう見えるだろう？」と視点を切り替えて、相対速度でのアプローチができないか検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 相対速度の計算ミス:
  • 誤解: 互いに逆向きに進んでいるのに、相対速度の大きさを \(V-v\) としてしまう。
  • 対策: 「すれ違う」ときは速く感じ、「追いかける」ときは遅く感じるとイメージしましょう。この問題はすれ違いなので、速さは足し算（\(V+v\)）になります。速度を方向も考慮したベクトル量として、\(V – (-v) = V+v\) と計算する癖をつけると、符号ミスを防げます。
• 静止系での立式の混乱:
  • 誤解: 図を描かずに頭の中だけで考え、\(L = Vt_1 + vt_1\) とすべきところを \(L = Vt_1 – vt_1\) のように符号を間違える。
  • 対策: 急がば回れ。必ず「\(t=0\)の瞬間」と「時間経過後」の2つの図を描きましょう。各物体が進んだ距離を矢印で書き込めば、それらの距離の和や差がどの長さに対応するかが一目瞭然となり、立式ミスが激減します。
• \(t_1\)と\(t_2\)の意味の混同:
  • 誤解: どちらの現象に\(t_1\)を使い、どちらに\(t_2\)を使うか混乱してしまう。
  • 対策: 「\(t_1\)は船の長さ\(L\)に関係する時間」「\(t_2\)は波長\(\lambda\)に関係する時間」と、物理量と時間をセットで明確に記憶することが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 2つの視点の使い分け:
    • 神の視点（静止系）: ヘリコプターで真上から、青い水面を進む白い船と、それに逆らって進む波の様子を眺めているイメージ。船も波も動いているのを客観的に追跡します。
    • 乗組員の視点（運動系）: 船の甲板に立ち、自分は静止していると感じているイメージ。景色である波が、ものすごい速さで自分の方へ迫ってくるように見えます。
  • 図を描く際に注意すべき点:
    • 時間の流れを表現する: 「Before（\(t=0\)）」と「After（\(t=t_1\)など）」の図を上下に並べて描くのが効果的です。初期位置を点線で、最終位置を実線で描くと、時間の経過による変化が視覚的に理解しやすくなります。
    • 距離を矢印で書き込む: \(Vt_1\), \(vt_1\), \(L\), \(\lambda\) といった物理的な距離を、図の中に矢印と記号で明確に書き込みましょう。これにより、数式を立てるべき幾何学的な関係性が浮かび上がってきます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等速直線運動の式（距離＝速さ×時間）:
  • 選定理由: 問題文で船と波はそれぞれ一定の速さで進んでいるとされており、運動を記述する最も基本的で直接的な公式だからです。
  • 適用根拠: 船や波が一定時間内に移動する距離を計算するために、それぞれの速さと経過時間を掛け合わせる際に適用します。
• 相対速度の式 \(V_{\text{相対}} = V_{\text{相手}} – V_{\text{自分}}\):
  • 選定理由: 2つの物体が同時に動く複雑な状況を、一方を基準（静止していると見なす）にすることで、現象を単純化し、より直感的に理解するために用います。
  • 適用根拠: 静止系での立式が複雑に感じられる場合や、問題の本質を別の角度から捉えたい場合に選択します。ベクトル演算を適用することで、観測者から見た相手の運動を正しく記述できます。
• 波の基本式 \(V=f\lambda\):
  • 選定理由: 波を特徴づける3つの基本量（速さ、振動数、波長）の関係を示す、波の分野における大原則だからです。
  • 適用根拠: 問題でこれら3つの物理量が問われており、そのうち2つが分かれば残りの1つを計算できるため、これらの量を結びつけるために必須の公式となります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 波の速さ \(V\) の計算:
   • 戦略: 時間\(t_1\)の間の「波が船を横切る」現象に着目する。
   • フロー（静止系）: ①\(t_1\)秒間に波が進む距離\(Vt_1\)と船が進む距離\(vt_1\)の和が船の長さ\(L\)に等しい、と考えて \(L = Vt_1 + vt_1\) を立式 → ②この式を\(V\)について解く。
   • フロー（運動系）: ①船から見た波の相対速度は\(V+v\) → ②この速さで長さ\(L\)の船を\(t_1\)秒で通過するので \(L = (V+v)t_1\) を立式 → ③この式を\(V\)について解く。
2. 波長 \(\lambda\) の計算:
   • 戦略: 時間\(t_2\)の間の「次の波が船首に到達する」現象に着目する。
   • フロー（静止系）: ①\(t_2\)秒間に次の波が進む距離\(Vt_2\)と船首が進む距離\(vt_2\)の和が波長\(\lambda\)に等しい、と考えて \(\lambda = Vt_2 + vt_2\) を立式 → ②この式に先ほど求めた\(V\)を代入して\(\lambda\)を計算。
   • フロー（運動系）: ①相対速度\(V+v\)で、船から見て波が1波長\(\lambda\)進むのに\(t_2\)秒かかったので \(\lambda = (V+v)t_2\) を立式 → ②\(V+v = L/t_1\) を代入して\(\lambda\)を計算。
3. 振動数 \(f\) の計算:
   • 戦略: 波の基本式 \(V=f\lambda\) を利用する。
   • フロー: ①式を \(f = V/\lambda\) と変形 → ②これまでに求めた\(V\)と\(\lambda\)の式を代入し、文字式を整理して計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、最終的な答えが文字式で表される場合、途中で値を代入する必要がないため、最後まで文字のまま計算を進めるのが基本です。特に、\(f=V/\lambda\) の計算では、\(V\)と\(\lambda\)の式をそのまま代入することで、\(t_1\)などの共通項がうまく約分され、計算が楽になります。
• 繁分数の処理は慎重に: \(f\)の計算で現れる「分数の分数」（繁分数）は、ミスの温床です。「分母の分母は分子へ」と考えるか、あるいは「分子 ÷ 分母」を「分子 × (分母の逆数)」の形に書き直してから計算すると、間違いが減ります。
• 物理的な意味を考える: 例えば、\(V+v = L/t_1\) という関係は、「相対速度＝距離÷時間」という物理的に分かりやすい形をしています。計算の途中や最終結果が、このような意味の通る形になっているかを確認する習慣は、ミスを発見するのに役立ちます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 次元解析（ディメンションチェック）:
  • 得られた答えの単位が、求められている物理量の単位と一致するかを確認します。例えば、速さ\(V\)の答え \(\displaystyle\frac{L}{t_1}-v\) は、[長さ/時間] – [長さ/時間] であり、確かに速さの次元になっています。この一手間が、立式ミスを発見するきっかけになります。
• 極端な条件で思考実験する:
  • 「もし船が止まっていたら（\(v=0\)）どうなるか？」と考えてみましょう。
  • \(V = \displaystyle\frac{L}{t_1}\) となり、これは静止した長さ\(L\)の物体を速さ\(V\)の波が通過する時間\(t_1\)の関係式 \(L=Vt_1\) に一致し、妥当です。
  • \(\lambda = \displaystyle\frac{Lt_2}{t_1} = \frac{(Vt_1)t_2}{t_1} = Vt_2\) となります。静止した観測者が測る波の周期は\(t_2\)なので、\(\lambda=Vt_2\)は正しい関係です。
  • \(f = \displaystyle\frac{L-0}{Lt_2} = \frac{1}{t_2}\) となります。静止しているので、観測周期\(t_2\)の逆数が振動数になるのは当然です。
  • このように、単純な状況で答えが妥当な形になることを確認できれば、元の複雑な状況での答えの信頼性が高まります。
• 別解との比較:
  • この問題では「静止系」で解く方法と「運動系（相対速度）」で解く方法がありました。全く異なるアプローチから出発したにもかかわらず、最終的に全く同じ答えにたどり着いたことは、両方の解法の正しさと、自身の計算の正確さを裏付ける強力な証拠となります。

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280 縦波

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、縦波の性質、特にその横波表示グラフの解釈に関する総合的な理解を問う問題です。グラフから波の基本的な物理量（波長、振動数、速さ）を読み取る能力、そして縦波特有の「密」と「疎」の状態をグラフから判断する能力が試されます。

この問題の核心は、「縦波の横波表示グラフ」が物理的に何を意味しているのかを正確に理解することです。y軸の値は媒質の「変位」であり、波の進行方向と同じ向きの変位を正としています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「縦波の横波表示とその解釈」です。特に、グラフから密・疎を判断する方法が最大のポイントです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
波の基本的な3つの物理量、波長\(\lambda\)、振動数\(f\)、速さ\(v\)を求める問題です。波長はグラフから直接読み取り、振動数は周期的な運動の時間情報から求め、速さは波の基本式を使って計算します。

この設問における重要なポイント

• 波長の読み取り: グラフ上で、同じ位相の点（例えば、山と山、谷と谷）の間の距離が1波長\(\lambda\)です。このグラフでは、山と谷の間の距離（半波長）から読み取るのが効率的です。
• 周期の特定: 「0.10 s 後に初めて同じ波形になった」という記述は、波がちょうど1波長分進むのにかかった時間、すなわち周期\(T\)が0.10 sであることを意味します。
• 波の基本式の適用: \(\lambda\)と\(f\)（または\(T\)）が分かれば、\(v=f\lambda = \lambda/T\) の関係式から速さ\(v\)を求めることができます。

具体的な解説と立式
(i) 波長 \(\lambda\)
与えられたグラフを見ると、\(x=4\) m の位置が波の山（変位が最大）、\(x=10\) m の位置が波の谷（変位が最小）になっています。山と谷の間の距離は半波長 (\(\lambda/2\)) に相当します。
$$ \frac{\lambda}{2} = 10 – 4 = 6 \text{ [m]} \quad \cdots ① $$
したがって、1波長\(\lambda\)は、
$$ \lambda = 2 \times 6 = 12 \text{ [m]} $$

(ii) 振動数 \(f\)
問題文より、「0.10 s 後に波形は初めて時刻 0 s における波形と同じになった」とあります。これは、波が1波長分進むのにかかった時間、すなわち周期 \(T\) が 0.10 s であることを示しています。
$$ T = 0.10 \text{ [s]} \quad \cdots ② $$
振動数 \(f\) は周期 \(T\) の逆数なので、
$$ f = \frac{1}{T} \quad \cdots ③ $$

(iii) 速さ \(v\)
波の速さ \(v\) は、波の基本式で与えられます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ④ $$

(i) 波長 \(\lambda\)
①式より、\(\lambda = 12\) m。

(ii) 振動数 \(f\)
②式と③式より、
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{1}{0.10} \\[2.0ex]&= 10 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

(iii) 速さ \(v\)
④式に求めた\(\lambda\)と\(f\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 10 \times 12 \\[2.0ex]&= 120 \text{ [m/s]} \\[2.0ex]&= 1.2 \times 10^2 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

(1) 波長は、波の1サイクルの長さです。グラフの山のてっぺん（\(x=4\) m）から谷の底（\(x=10\) m）までがちょうど半分のサイクルなので、その距離（6 m）を2倍して12 mと求めます。
(2) 振動数は、1秒間に何回振動するかです。問題文に「0.10秒で元の形に初めて戻った」とあるので、1回の振動にかかる時間（周期）が0.10秒だと分かります。1秒間には \(1 \div 0.10 = 10\) 回振動するので、振動数は10 Hzです。
(3) 速さは、「速さ＝振動数×波長」の公式で計算します。\(10 \text{ Hz} \times 12 \text{ m} = 120 \text{ m/s}\) となります。

波長は \(12\) m、振動数は \(10\) Hz、速さは \(1.2 \times 10^2\) m/s となります。
各物理量の関係は \(v=f\lambda\) を満たしており、計算は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
縦波の「密」な部分を、横波表示グラフから見つけ出す問題です。密な点とは、ある点の左右の媒質が、その点に向かって集まってくるような場所です。これをグラフ上でどのように解釈するかが鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 密な点の定義: ある位置の媒質について、その右側にある媒質は左向き（負の向き）に変位し、その左側にある媒質は右向き（正の向き）に変位している場所。
• 横波表示グラフとの対応:
  • 媒質の変位が正(\(y>0\)) → 媒質はx軸正の向き（右）に変位。
  • 媒質の変位が負(\(y<0\)) → 媒質はx軸負の向き（左）に変位。
• 密な点の探索: グラフ上で変位が0 (\(y=0\)) であり、かつその点の近傍で、xが増加するにつれてyが正から負に変化する（グラフが右下がりでx軸を横切る）点を探します。

具体的な解説と立式
縦波で媒質が最も密になるのは、ある点を境にして、その点の右側の媒質が左向き（変位が負）に、左側の媒質が右向き（変位が正）に動くことで、媒質が集まってくる点です。

これを横波表示グラフで考えます。

• 求めたい密な点を \(x=x_0\) とします。
• \(x_0\) のすぐ右側 (\(x > x_0\)) の媒質の変位は負 (\(y<0\)) である必要があります。
• \(x_0\) のすぐ左側 (\(x < x_0\)) の媒質の変位は正 (\(y>0\)) である必要があります。

この条件を満たすのは、グラフがy軸の正の領域から負の領域へと移る、すなわちグラフが右下がりの傾きでx軸を横切る点です。

グラフを見ると、この条件を満たす点は \(x=1\) m と \(x=7\) m の2点です。
しかし、\(x=1\) m の点では、その右側の媒質は右に変位し(\(y>0\))、左側の媒質は左に変位している(\(y<0\))ため、媒質はその点から離れていき、最も「疎」な点となります。

一方、\(x=7\) m の点では、その右側の媒質は左に変位し(\(y<0\))、左側の媒質は右に変位している(\(y>0\))ため、媒質はその点に集まってきて、最も「密」な点となります。

したがって、求める位置は \(x=7\) m です。

計算は不要で、グラフの読解によって結論を導きます。

縦波の「密」な場所とは、周りの媒質がぎゅっと集まってくる場所のことです。この問題のグラフは、媒質の「ズレ」を表しています。
・yがプラス → 媒質は右にズレている
・yがマイナス → 媒質は左にズレている
\(x=7\) m の場所を見てみましょう。その少し右側（例：\(x=8\) m）はyがマイナスなので左にズレています。少し左側（例：\(x=6\) m）はyがプラスなので右にズレています。つまり、\(x=7\) m の点に向かって左右から媒質が集まってきているので、ここが最も「密」な場所になります。

最も密な位置は \(x=7\) m です。
縦波の横波表示で、変位が0でグラフが正から負に変わる点（傾きが負）が密、負から正に変わる点（傾きが正）が疎、というルールは普遍的です。このルールに従っており、結果は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
ある特定の状態（この場合は「最も密」な状態）が、波の伝播によってある位置に到達するまでの時間を求める問題です。まず、\(t=0\) の時点で \(x=5\) m の位置より手前（xが小さい側）にある「最も密な点」を探し、その点が波に乗って \(x=5\) m まで移動する時間を計算します。

この設問における重要なポイント

• 状態の伝播: 波は形（位相）を保ったまま一定の速さで進みます。したがって、「密」という状態も速さ\(v\)で伝わっていきます。
• 最も近い「密」な点の特定: \(t=0\) の時点で、\(x=5\) m よりも左側にあって、最も \(x=5\) m に近い「密」な点を見つけます。
• 時間の計算: 2点間の距離を波の速さで割ることで、到達時間を求めます (\(t = \text{距離} / \text{速さ}\))。

具体的な解説と立式
(1)で求めたように、この波の波長は \(\lambda=12\) m です。
(2)で求めたように、\(t=0\) の時点で最も密な点は \(x=7\) m, \(x=19\) m, … や、\(x=7-12=-5\) m, \(x=7-24=-17\) m, … など、\(x=7\) m から波長\(\lambda\)の整数倍だけ離れた位置に周期的に存在します。

求めたいのは、\(t=0\) 以降に、\(x=5\) m の位置が「最初に」最も密になる時刻です。そのためには、\(t=0\) の時点で \(x=5\) m よりも手前（\(x<5\) m）にあり、かつ最も \(x=5\) m に近い「密」な状態が、\(x=5\) m に到達する時間を考えればよいです。

\(t=0\) における密な点のうち、\(x=5\) m に最も近い左側の点は \(x=-5\) m です。
この \(x=-5\) m にあった「密」という状態が、波の速さ \(v=1.2 \times 10^2\) m/s で \(x=5\) m の位置まで伝わるのにかかる時間 \(t\) を求めます。

移動する距離 \(\Delta x\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= 5 – (-5) \\[2.0ex]&= 10 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
よって、かかる時間 \(t\) は、
$$ t = \frac{\Delta x}{v} \quad \cdots ⑤ $$

⑤式に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{10}{1.2 \times 10^2} \\[2.0ex]&= \frac{10}{120} \\[2.0ex]&= \frac{1}{12} \\[2.0ex]&\approx 0.08333\dots \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(8.3 \times 10^{-2}\) s となります。

「密」という状態は、波に乗って秒速120 mで右に進んでいきます。今、\(x=5\) m の場所が「密」になるのを待っています。\(t=0\) の時点で、一番近くにいる「密」の状態はどこにあるか探すと、\(x=-5\) m の位置にあります。この「密」の状態が、\(x=-5\) m から \(x=5\) m まで、つまり10 mの距離を移動してくる時間を計算すればよいのです。「時間＝距離÷速さ」なので、\(10 \text{ m} \div 120 \text{ m/s}\) を計算します。

\(x=5\) m の位置が最初に最も密になる時刻は \(8.3 \times 10^{-2}\) s です。
\(t=0\) のとき \(x=5\) m は山の少し右側（変位は正）にあり、これから谷に向かって変位が減少していきます。密な点（\(x=7\) m）が近づいてくるので、やがて密になるという流れは物理的に妥当です。また、移動距離10 mは波長12 mより短いので、これが最初に密になる時刻であることも確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 縦波の横波表示の完全な理解:
  • 核心: この問題の根幹は、本来は進行方向と同じ向きに振動する縦波を、視覚的に分かりやすくするために「横波の形に変換して表示する」というルールを理解しているかどうかに尽きます。
  • 理解のポイント: グラフのy軸は、単なる高さではなく「x軸正方向への変位量」という物理的な意味を持っています。\(y>0\)なら媒質は右へ、\(y<0\)なら左へずれている、という対応関係を常に意識することが、特に(2)の密・疎の判断で不可欠です。
• 縦波の「密」と「疎」の判断ルール:
  • 核心: 横波表示グラフから、媒質の密度が最大（密）または最小（疎）になっている点を見つけ出す能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 最も密な点: 左右の媒質が集まってくる点。グラフ上では「変位が0で、グラフの傾きが負（右下がり）」の点に相当します。別解で示したように「傾きが負で最大」の点と覚えるのが最も強力です。
    • 最も疎な点: 左右の媒質が離れていく点。グラフ上では「変位が0で、グラフの傾きが正（右上がり）」の点に相当します。「傾きが正で最大」の点です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • y-tグラフとの連携問題: ある特定の位置xにおける媒質の変位の時間変化（y-tグラフ）が与えられ、x-yグラフと組み合わせて波の進行方向や速さを判断する問題。
  • 音波の問題: 音波は縦波の代表例です。空気の圧力変化のグラフと変位のグラフの関係を問う問題は、本質的にこの問題と同じ考え方を使います。（密な点＝圧力が最大、疎な点＝圧力が最小）
  • 波の式（\(y=A\sin(\dots)\)）との変換問題: グラフで与えられた波を、数式で表現する、あるいはその逆を行う問題。グラフから振幅A、波長\(\lambda\)、周期Tを読み取り、波の式を完成させる能力が問われます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: まず、与えられたグラフが「x-yグラフ（ある瞬間の波形）」なのか「y-tグラフ（ある点の振動の様子）」なのかを絶対に確認します。
  2. 縦波か横波かを確認する: 問題文で「縦波」と明記されている場合、y軸が「変位」であることを強く意識します。
  3. 密・疎を問われたら傾きを見る: 「密な点はどこか？」と問われたら、即座に「グラフの傾きが最も急な下り坂になっている場所」を探す、という思考回路を準備しておきます。
  4. 「初めて」という言葉に注意: (1)の「初めて同じ波形に」は周期Tを、(3)の「最初に最も密に」は最も近い位相の伝播を意味します。これらのキーワードが時間計算のヒントになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 密・疎の判断ミス:
  • 誤解: グラフの山（\(y\)が最大）が密、谷（\(y\)が最小）が疎だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 山や谷は「変位が最大」の点であり、媒質の速度が0になる瞬間です。密・疎は「媒質の集まり具合」であり、変位が0の点で起こる現象です。この違いを明確に区別しましょう。「密＝傾きが負で最大」「疎＝傾きが正で最大」というルールを覚えるのが最も確実です。
• 波長と周期の混同:
  • 誤解: x-yグラフから周期を読み取ろうとしたり、y-tグラフから波長を読み取ろうとしたりする。
  • 対策: 「x-yグラフからは波長\(\lambda\)」「y-tグラフからは周期\(T\)」という基本ルールを徹底します。この問題ではy-tグラフは与えられていませんが、「0.10 sで元に戻る」という時間情報が周期Tの代わりをしています。
• (3)で間違った「密」な点を選ぶ:
  • 誤解: \(x=5\) m に最も近い密な点として、右側にある \(x=7\) m を選んでしまい、\(t = (7-5)/v\) と計算してしまう。
  • 対策: 波はx軸の正の向きに進んでいます。未来の\(x=5\) m の状態は、過去（\(t=0\)）の\(x<5\) m の領域の状態が伝わってくることによって決まります。したがって、必ず\(x=5\) m より「手前（左側）」にある状態を探さなければなりません。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • バネの列のイメージ: 縦波を、たくさんの小さなバネが一直線に並んだものとしてイメージします。各バネが左右に伸び縮みする様子を想像します。
    • 密な点: バネが最も縮んでいる場所。
    • 疎な点: バネが最も伸びている場所。
    • 変位最大の点（山・谷）: バネの「ズレ」が最大だが、その場所のバネ自体の伸び縮みは平均的（つりあい状態）。
  • グラフへの書き込み: (2)を解く際に、グラフ上のいくつかの点（例: \(x=6, 7, 8\) m）を選び、その点のy座標の正負から、媒質が左右どちらに動くかを小さな矢印で書き込んでみると良いでしょう。\(x=7\) m に矢印が集まってくる様子が視覚的に確認でき、理解が深まります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 \(v=f\lambda\):
  • 選定理由: 波の3つの基本特性（速さ、振動数、波長）を結びつける、波の分野における根幹的な関係式だからです。
  • 適用根拠: (1)でこれら3つの量をすべて求めるよう要求されており、そのうち2つ（\(\lambda\)と\(f\)）がグラフと問題文から特定できるため、残りの1つ（\(v\)）を計算するために論理的に必須となります。
• 時間と距離・速さの関係式 \(t = \Delta x / v\):
  • 選定理由: (3)で問われているのは、ある物理的な状態（密）が、ある距離を伝播するのにかかる「時間」だからです。
  • 適用根拠: 波は形を保ったまま一定の速さ\(v\)で進む（等速直線運動をする）と見なせるため、この基本的な関係式が適用できます。距離\(\Delta x\)（状態が移動すべき距離）と速さ\(v\)が分かっていれば、時間を計算できます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 基本量の計算:
   • 戦略: グラフと問題文から\(\lambda\)と\(T\)を読み取り、公式で\(f\)と\(v\)を導出する。
   • フロー: ①グラフの山と谷から半波長を読み、2倍して波長\(\lambda\)を確定 → ②「初めて同じ波形に」の時間から周期\(T\)を確定 → ③\(f=1/T\)で振動数\(f\)を計算 → ④\(v=f\lambda\)で速さ\(v\)を計算。
2. (2) 密な点の特定:
   • 戦略: 横波表示グラフにおける「密」な点のルールを適用する。
   • フロー: ①「密な点＝左右の媒質が集まる点」と定義 → ②これをグラフで解釈すると「変位0で傾きが負の点」であると判断 → ③グラフ上でこの条件に合致する点を探索し、\(x=7\) m を特定。
3. (3) 到達時間の計算:
   • 戦略: \(x=5\) m の手前にある最も近い「密」な状態が、波に乗って到達する時間を計算する。
   • フロー: ①\(t=0\)での密な点の位置は \(x = 7 + 12n\)（nは整数）であることを確認 → ②\(x=5\) m より手前で最も近い密な点は \(n=-1\) のときの \(x=-5\) m であると特定 → ③この点が\(x=5\) m まで移動する距離 \(\Delta x = 10\) m を計算 → ④\(t = \Delta x / v\) に値を代入して時間を計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の確認: 波長は[m]、周期は[s]、振動数は[Hz]、速さは[m/s]です。計算の各段階で単位が合っているか意識すると、単純なミスを防げます。
• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値（0.10 s）は有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁（例: \(1.2 \times 10^2\), \(8.3 \times 10^{-2}\)）に揃える必要があります。計算途中では3桁程度で計算を進め、最後に四捨五-入するのが良いでしょう。
• 分数の計算: (3)の \(t = 10/120 = 1/12\) のような計算は、暗算で済ませず、一度簡単な分数にしてから小数に直す（または筆算する）と、ケアレスミスが減ります。\(1/12 \approx 0.0833\) となります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2) 密な点: グラフの山（\(x=4\) m）では媒質は右端に、谷（\(x=10\) m）では左端にいて、一瞬静止します。その中間である \(x=7\) m で媒質が最も速く動いており（変位0の点は単振動の中心なので速さ最大）、左右から媒質が集まってくるというイメージは物理的に妥当です。
  • (3) 到達時間: 求めた時間 \(t \approx 0.083\) s は、波の周期 \(T=0.10\) s より少し短い時間です。\(t=0\) のとき \(x=5\) m は山の少し右にあり、密な点（\(x=7\) m）がすぐ近くにあるので、短い時間で密になるという結果は直感に合っています。もし計算結果が周期よりずっと大きくなったら、何か間違っている可能性を疑うべきです。
• 別解との比較:
  • (2)において、「左右の媒質の動き」から判断する方法と、「グラフの傾き」から判断する方法は、全く異なる着眼点ですが、同じ \(x=7\) m という結論に至りました。これは、両方の解法の正しさと、縦波の横波表示に対する理解が正しいことを裏付けています。

281 正弦波の反射

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、進行波の基本的な性質の読み取りから、反射によって生じる「定在波」の性質までを幅広く問う問題です。前半は進行波、後半は定在波と、テーマが明確に分かれています。

この問題の核心は、進行波と定在波の性質の違いを明確に理解し、それぞれに対応した知識を正しく適用できるかどうかにあります。特に、定在波の「節」と「腹」の概念、そして固定端反射の特性を正確に把握しているかが試されます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「進行波の性質と固定端反射による定在波」です。前半で進行波のパラメータを決定し、後半でその波が作る定在波について考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
入射波の基本的な物理量、波長\(\lambda\)、速さ\(v\)、振動数\(f\)を求める問題です。波長はグラフから、速さは「山」の移動情報から、振動数は波の基本式から求めます。

この設問における重要なポイント

• 波長の読み取り: グラフ上で、波が1サイクルするのに必要な長さが波長\(\lambda\)です。原点Oから始まり、山と谷を越えて再び変位が0になる点までの距離を読み取ります。
• 速さの計算: 波の速さは、波形上の特定の点（位相が同じ点、この場合は「山」）が移動する速さと同じです。\(v = \text{移動距離} / \text{経過時間}\)で計算します。
• 波の基本式の適用: \(\lambda\)と\(v\)が分かれば、\(v=f\lambda\)の関係式から振動数\(f\)を求めることができます。

具体的な解説と立式
(i) 波長 \(\lambda\)
与えられたグラフを見ると、\(x=0\) m から始まり、\(x=0.80\) m でちょうど1波長分の形になっています。
したがって、波長\(\lambda\)は、
$$ \lambda = 0.80 \text{ [m]} $$

(ii) 速さ \(v\)
問題文より、波の山P(\(x=0.20\) m)が、\(t=5.0 \times 10^{-2}\) s の間に P'(\(x=0.40\) m)まで移動したとあります。
移動距離 \(\Delta x\) は \(0.40 – 0.20 = 0.20\) m、経過時間 \(\Delta t\) は \(5.0 \times 10^{-2}\) s です。
よって、波の速さ \(v\) は、
$$ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \quad \cdots ① $$

(iii) 振動数 \(f\)
波の速さ \(v\)、振動数 \(f\)、波長 \(\lambda\) の間には、波の基本式が成り立ちます。
$$ v = f\lambda \quad \cdots ② $$
これを \(f\) について解くと、
$$ f = \frac{v}{\lambda} \quad \cdots ③ $$

(i) 波長 \(\lambda\)
グラフより、\(\lambda = 0.80\) m。

(ii) 速さ \(v\)
①式に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{0.40 – 0.20}{5.0 \times 10^{-2}} \\[2.0ex]&= \frac{0.20}{0.050} \\[2.0ex]&= 4.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

(iii) 振動数 \(f\)
③式に求めた\(v\)と\(\lambda\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= \frac{4.0}{0.80} \\[2.0ex]&= 5.0 \text{ [Hz]}
\end{aligned}
$$

(1) 波長は、波のワンセットの長さです。グラフを見ると、\(x=0\)から\(x=0.80\) mまででちょうど波が1つ分なので、波長は0.80 mです。
(2) 速さは、山のてっぺんPがP’に動く情報から計算します。移動距離は\(0.40 – 0.20 = 0.20\) m、かかった時間は\(0.050\)秒なので、「速さ＝距離÷時間」で \(0.20 \div 0.050 = 4.0\) m/s となります。
(3) 振動数は、「振動数＝速さ÷波長」の公式で計算します。\(4.0 \text{ m/s} \div 0.80 \text{ m} = 5.0\) Hzです。

波長は \(0.80\) m、速さは \(4.0\) m/s、振動数は \(5.0\) Hz となります。
各物理量の関係は \(v=f\lambda\) を満たしており、計算は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
定在波の「節」と「節」の間隔を問う問題です。これは定在波の基本的な性質に関する知識問題であり、入射波の波長が分かっていればすぐに計算できます。

この設問における重要なポイント

• 節の間隔の公式: 定在波において、隣りあう節と節の間隔は、元の進行波の波長の半分 (\(\lambda/2\)) になります。これは、隣りあう腹と腹の間隔とも同じです。

具体的な解説と立式
定在波の隣りあう節と節の間隔は、入射波の半波長 \(\lambda/2\) に等しいです。
(1)で求めた波長 \(\lambda = 0.80\) m を用いて計算します。
$$ \text{節の間隔} = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ④ $$

④式に\(\lambda\)の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\text{節の間隔} &= \frac{0.80}{2} \\[2.0ex]&= 0.40 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

定在波は、波が全く進んでいないように見え、その場で振動しているように見えます。このとき、全く振動しない点が「節」です。節と次の節までの距離は、元の波の波長のちょうど半分になる、というルールがあります。波長は0.80 mだったので、その半分の0.40 mが答えです。

隣りあう節と節の間隔は \(0.40\) m です。これは定在波の基本的な性質であり、結果は妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
指定された範囲内にある定在波の「節」の数を数える問題です。固定端が節になるという重要な性質を基点として、(2)で求めた節の間隔を使って、節の位置を具体的にリストアップしていきます。

この設問における重要なポイント

• 固定端反射の性質: 固定端は、波がひっくり返って反射する場所であり、入射波と反射波が常に逆位相で打ち消しあうため、定在波の「節」になります。
• 節の周期的存在: 一つの節の位置が分かれば、そこから半波長(\(\lambda/2\))ずつ離れた位置に、次々と節が存在します。

具体的な解説と立式
問題文より、\(x=1.80\) m の点が固定端です。固定端は定在波の節になるため、\(x=1.80\) m は節の一つです。

定在波の節は、半波長 \(\lambda/2 = 0.40\) m ごとに存在します。

したがって、\(x=1.80\) m を基準に、0.40 mずつ小さい側に節の位置を求めていくと、

\(x = 1.80 \text{ m}\)

\(x = 1.80 – 0.40 = 1.40 \text{ m}\)

\(x = 1.40 – 0.40 = 1.00 \text{ m}\)

\(x = 1.00 – 0.40 = 0.60 \text{ m}\)

\(x = 0.60 – 0.40 = 0.20 \text{ m}\)

\(x = 0.20 – 0.40 = -0.20 \text{ m}\)

となります。

このうち、\(0 \le x \le 1.80\) m の範囲に含まれる節は、\(x = 0.20, 0.60, 1.00, 1.40, 1.80\) m の5つです。

上記のリストアップが計算過程そのものです。

まず、壁である固定端（\(x=1.80\) m）は、必ず振動しない点「節」になります。そして、節は0.40 mおきに現れることが(2)で分かっています。なので、ゴールの1.80 mから0.40 mずつ手前に戻りながら、節の位置を探していきます。
1.80 m → 1.40 m → 1.00 m → 0.60 m → 0.20 m となります。次の0.20 – 0.40 = -0.20 mは範囲外です。よって、範囲内にあるのは全部で5個です。

範囲内にある節の数は5個です。
固定端を基準に、節の間隔を用いて機械的に数え上げることで、漏れなくダブりなく数えることができます。

問(4)

思考の道筋とポイント
定在波の「腹」における振幅と周期を問う問題です。これらも定在波の基本的な性質に関する知識問題です。

この設問における重要なポイント

• 腹の振幅: 定在波の腹（最も大きく振動する点）の振幅は、元の進行波（入射波）の振幅の2倍になります。
• 定在波の周期: 定在波を構成する各点は、すべて元の進行波と同じ周期（同じ振動数）で単振動します。

具体的な解説と立式
(i) 腹の振幅 \(A_{\text{腹}}\)
定在波の腹の振幅は、入射波の振幅 \(A\) の2倍です。
グラフから、入射波の振幅は \(A = 0.30\) m と読み取れます。
$$ A_{\text{腹}} = 2A \quad \cdots ⑥ $$

(ii) 腹の周期 \(T\)
定在波の振動周期は、入射波の周期と同じです。入射波の振動数 \(f\) は(1)で \(5.0\) Hz と求めているので、周期 \(T\) はその逆数です。
$$ T = \frac{1}{f} \quad \cdots ⑦ $$

(i) 腹の振幅 \(A_{\text{腹}}\)
⑥式に \(A=0.30\) m を代入します。
$$
\begin{aligned}
A_{\text{腹}} &= 2 \times 0.30 \\[2.0ex]&= 0.60 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

(ii) 腹の周期 \(T\)
⑦式に \(f=5.0\) Hz を代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{1}{5.0} \\[2.0ex]&= 0.20 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

(1) 腹の振幅：腹は、波と反射波が強め合って最も大きく揺れる場所です。その揺れ幅（振幅）は、元の波の振幅のちょうど2倍になります。元の波の振幅はグラフから0.30 mなので、腹の振幅は \(2 \times 0.30 = 0.60\) m です。
(2) 腹の周期：定在波の振動のペース（周期）は、元の波の周期と全く同じです。元の波の振動数は5.0 Hz（1秒間に5回振動）だったので、1回の振動にかかる時間（周期）は \(1 \div 5.0 = 0.20\) 秒です。

腹の振幅は \(0.60\) m、周期は \(0.20\) s です。これらは定在波の基本的な性質であり、結果は妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 進行波と定在波の性質の区別と理解:
  • 核心: この問題は、前半で「進行波」の性質を、後半で「定在波」の性質を問う構成になっています。波が進んでいく現象（進行波）と、その場に留まって振動するように見える現象（定在波）の物理的な違いを明確に区別し、それぞれに適切な公式や知識を適用することが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 進行波: エネルギーを運びながら、波形そのものが一定の速さで移動します。\(v=f\lambda\)が基本法則です。
    • 定在波: 逆向きに進む同じ波が重なり合って生じます。エネルギーは運ばれず、全く振動しない「節」と、最大振幅で振動する「腹」が交互に並びます。
• 固定端反射と定在波の形成ルール:
  • 核心: 定在波がどのようにしてできるかを理解していることが重要です。特に「固定端」での反射がどのような結果をもたらすかを知っているかが問われます。
  • 理解のポイント:
    • 固定端は節: 固定端では媒質が動けないため、入射波と反射波が常に打ち消し合い、定在波の「節」となります。これが(3)を解く上での出発点になります。
    • 節の間隔は\(\lambda/2\): 一つの節の位置が分かれば、そこから半波長ずつ離れた場所に次の節ができます。
    • 腹の振幅は2A: 腹では入射波と反射波が常に強め合うため、振幅は元の波の2倍になります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 自由端反射: 端が自由に動ける「自由端」で反射する場合。自由端は定在波の「腹」になります。この違いだけで、節と腹の位置がすべて\(\lambda/4\)だけずれます。
  • 気柱の共鳴（開管・閉管）: 管の中の空気の振動も定在波の一種です。開口端が「自由端（腹）」、閉口端が「固定端（節）」に対応します。本問の知識はそのまま応用できます。
  • 弦の振動: ギターやピアノの弦の振動も、両端が固定された定在波です。弦の長さと波長の関係から、基本振動や倍振動の振動数を求める問題に応用できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 進行波か定在波かを見極める: 問題文に「反射」「定在波ができた」などのキーワードがあるかを確認し、どの知識を使うべきか判断します。
  2. 端の条件を確認する: 反射が関わる問題では、端が「固定端」なのか「自由端」なのかを必ず確認します。これにより、端が節になるか腹になるかが決まります。
  3. 波長\(\lambda\)を最優先で求める: 定在波の問題では、節や腹の間隔、位置などがすべて波長\(\lambda\)に依存します。したがって、何よりもまず入射波の波長\(\lambda\)を正確に求めることが最優先事項です。
  4. 図を描いて可視化する: 特に(3)のように節の数を数える問題では、x軸を描き、固定端の位置を記し、そこから\(\lambda/2\)の間隔で節の位置をプロットしていくと、視覚的に間違いなく数えることができます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 節と腹の間隔の混同:
  • 誤解: 節と腹の間隔を\(\lambda\)や\(\lambda/4\)と間違えて覚えてしまう。
  • 対策: 「節-節」の間隔と「腹-腹」の間隔はどちらも\(\lambda/2\)です。そして「節-腹」の間隔はその半分の\(\lambda/4\)です。定在波の波形を一度しっかり描いてみれば、この関係は視覚的に明らかです。
• 振幅と変位の混同:
  • 誤解: 振幅（振動の中心からの最大変位）と、ある瞬間の変位（yの値）を混同する。
  • 対策: 振幅は振動の大きさを表す定数（この問題では0.30 mや0.60 m）です。変位は時間とともに変化する量です。定在波の腹の振幅は\(2A\)ですが、腹の変位は\(2A\)と\(-2A\)の間を振動します。
• 進行波と定在波の周期・振動数の関係:
  • 誤解: 定在波になると振動数や周期が変わるのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 定在波は、元の進行波が重なってできるものです。媒質の各点は、元の波と全く同じ振動数（周期）で振動します。変わるのは振幅が場所によって異なるという点だけです。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 重ね合わせの作図: 右に進む入射波（実線）と、それを固定端で上下反転させて左に進む反射波（点線）を同じグラフ用紙に描いてみます。そして、各x座標で2つの波のy座標を足し合わせると、定在波の最大振幅の形（実線の包絡線）が浮かび上がってきます。この作図を通じて、なぜ固定端が節になるのか、なぜ腹の振幅が2倍になるのかを視覚的に納得できます。
  • 縄跳びのイメージ: 長い縄跳びの一端を壁に固定し、もう一端を揺らす様子を想像します。うまく揺らすと、縄全体が大きくうねる定在波ができます。壁（固定端）は全く動かず「節」に、最も大きく揺れる場所が「腹」に対応します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 波の基本式 \(v=f\lambda\):
  • 選定理由: (1)で問われている3つの基本量（速さ、振動数、波長）を相互に結びつける、波の分野における最も基本的な関係式だからです。
  • 適用根拠: 3つの量のうち2つが分かれば残りの1つを計算できるため、これらの量を結びつけるために論理的に必須となります。
• 定在波の節の間隔 \(\lambda/2\):
  • 選定理由: (2)と(3)で問われているのが、定在波の空間的な構造（節の位置）だからです。
  • 適用根拠: これは、逆向きに進む同じ波が干渉した結果として数学的に導かれる普遍的な性質です。入射波の波長\(\lambda\)さえ分かっていれば、あらゆる定在波に適用できます。
• 腹の振幅 \(2A\) と周期 \(T=1/f\):
  • 選定理由: (4)で問われているのが、定在波の振動の大きさ（振幅）と速さ（周期）だからです。
  • 適用根拠: これらも波の重ね合わせの原理から導かれる定在波の基本的な性質です。腹では常に強め合い、振動のペースは元の波に依存するという物理的背景に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 進行波のパラメータ計算:
   • 戦略: グラフと問題文の情報から、\(\lambda\), \(v\), \(f\)を順に求める。
   • フロー: ①グラフから1波長分の長さを読み取り\(\lambda\)を確定 → ②山の移動距離と時間から \(v = \Delta x / \Delta t\) で速さ\(v\)を計算 → ③波の基本式を \(f=v/\lambda\) と変形し、振動数\(f\)を計算。
2. (2)-(4) 定在波の性質の適用:
   • 戦略: (1)で求めた入射波のパラメータと、定在波の公式的な知識を組み合わせて答える。
   • フロー:②【節の間隔】\(\lambda/2\) を計算。

     ③【節の数】固定端 \(x=1.80\) m が節であることを基点とし、\(\lambda/2\)ずつ手前に節の位置をリストアップし、範囲内の個数を数える。

     ④【腹の振幅と周期】振幅は入射波の振幅\(A\)を2倍する (\(2A\))。周期は(1)で求めた振動数\(f\)の逆数をとる (\(1/f\))。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算: (1)の速さの計算で \(5.0 \times 10^{-2}\) のような指数が出てきます。\(10^{-2} = 0.01\) なので、\(5.0 \times 0.01 = 0.050\) と小数に直してから計算すると、ミスが減ります。\(v = 0.20 / 0.050 = 200 / 50 = 4\) のように、分母分子を1000倍して整数に直すのも有効なテクニックです。
• リストアップによる数え上げ: (3)では、暗算で済ませようとせず、面倒でも節の位置を一つずつ書き出していくことが、数え間違いを防ぐ最も確実な方法です。
• 単位の活用: 例えば \(f=v/\lambda\) の計算で、\(f = (4.0 \text{ m/s}) / (0.80 \text{ m}) = 5.0 \text{ /s}\) となり、単位が[/s]、すなわち[Hz]になることを確認する習慣は、式の選択ミスや計算ミスを発見するのに役立ちます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) 節の数: 範囲の長さが1.80 mで、波長が0.80 mです。範囲の長さは \(1.80/0.80 = 2.25\) 波長分です。1波長あたりに節は2つあるので、大体 \(2.25 \times 2 = 4.5\) 個、つまり4個か5個くらいだろうと大まかな見当がつきます。5個という答えは、この見積もりの範囲内であり、妥当と考えられます。
  • (4) 振幅: 入射波の振幅が0.30 mなので、腹の振幅0.60 mはそれより大きく、妥当です。もし計算結果が入射波の振幅より小さくなったら、何かを間違えていると気づくべきです。
• 図との整合性:
  • 問題の解説に描かれている定在波の図は、この問題の状況を正確に反映しています。固定端\(x=1.80\) mが節になっており、そこから0.40 m間隔で節が描かれています。自分の計算結果と図が一致することを確認するのも、良い吟味方法です。

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