基礎CHECK
1 気体分子の運動
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「気体分子運動論の基本」、すなわち圧力と絶対温度のミクロな解釈です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力積と運動量の関係 (\(\vec{F}\Delta t = \Delta \vec{p}\))
- 作用・反作用の法則
- 圧力の定義 (\(P = \displaystyle\frac{F}{S}\))
- 絶対温度と分子の平均運動エネルギーの関係
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 空欄(ア)（圧力の起源）: 気体分子が壁に衝突するモデルを考える。分子の運動量の変化が力積となり、その反作用として壁が力を受ける、という流れを追う。
- 空欄(イ)（温度の起源）: 温度の物理的な意味（分子の熱運動の激しさ）に立ち返り、それが分子の何の物理量に対応するかを考える。
思考の道筋とポイント
この問題は、気体の圧力や温度といったマクロな（目に見える）現象が、気体分子というミクロな（目に見えない）粒子のどのような運動によって引き起こされるのか、その根本的な関係を問うています。
(ア)の圧力については、「分子の壁への衝突」という現象を物理学の言葉（力積と運動量）でどう表現するかを考えます。壁が分子から受ける力は、分子の運動量を変化させたことによる反作用として生じます。
(イ)の温度については、「温度とは何か」という物理的な定義に立ち返ります。気体分子運動論では、温度は分子のランダムな運動の激しさの指標であり、それは分子の運動エネルギーと直接結びつきます。
この設問における重要なポイント
- 圧力のミクロな解釈: 圧力は、多数の気体分子が容器の壁に衝突し、壁に力積を与え続けることによって生じる。壁が受ける平均の力は、単位時間あたりに分子が壁に与える運動量の変化の総和に等しい。
- 温度のミクロな解釈: 絶対温度は、気体分子の平均運動エネルギーに比例する。温度が高いほど、分子は平均的により速く、激しく運動している。
- 理想気体の仮定: 理想気体では、分子自身の体積や分子間力は無視できる。そのため、気体の内部エネルギーは、全分子の運動エネルギーの和として考えられる。
具体的な解説と立式
この問題は知識を問うものであり、直接的な立式と計算は不要ですが、背景となる考え方を式で確認します。
(ア) 圧力と運動量の関係
気体分子が壁に衝突し、その運動量が変化するとき、分子は壁から力積を受けます。運動の第3法則（作用・反作用の法則）により、壁もまた分子から同じ大きさで逆向きの力積を受けます。
単位時間あたりに壁が受ける力積の合計が、壁が受ける平均的な力\(\bar{F}\)となります。この力\(\bar{F}\)を壁の面積\(S\)で割ったものが圧力\(P\)です。
$$ P = \displaystyle\frac{\bar{F}}{S} $$
ここで、力\(\bar{F}\)は、単位時間あたりの運動量の変化の大きさに比例します。
したがって、圧力の大きさは、気体分子が単位時間に容器の壁から受ける運動量の変化の平均値に比例します。
よって、[ ア ] に入るのは「運動量」です。
(イ) 絶対温度と運動エネルギーの関係
気体分子運動論の重要な結論として、理想気体を構成する分子1個あたりの平均の運動エネルギーは、気体の絶対温度\(T\)に比例するという関係があります。
$$ \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \displaystyle\frac{3}{2}k_{\text{B}}T $$
ここで、\(m\)は分子の質量、\(\overline{v^2}\)は分子の速さの2乗の平均値、\(k_{\text{B}}\)はボルツマン定数です。
この式は、絶対温度が分子の熱運動の激しさ（平均運動エネルギー）の指標であることを示しています。
したがって、理想気体の絶対温度は、気体分子がもつ運動エネルギーの平均値に比例します。
よって、[ イ ] に入るのは「運動エネルギー」です。
使用した物理公式
- 力積と運動量の関係: \( \vec{F}\Delta t = \Delta \vec{p} \)
- 絶対温度と平均運動エネルギーの関係: \( \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \displaystyle\frac{3}{2}k_{\text{B}}T \)
この問題は知識を問うものであり、計算過程はありません。
この問題は計算ではなく、気体の性質に関する2つの重要なルールを覚えているかを確認するものです。
- ルール1（圧力について）: 気体の圧力は、たくさんの分子が壁に「ドン、ドン、ドン！」とぶつかり続けることで生まれます。この「ドン！」という衝撃の強さは、分子の「運動量」がどれだけ変化したかで決まります。だから、圧力は「運動量」の変化と関係があります。
- ルール2（温度について）: 気体の「温度」が高いというのは、中の分子が「ビュンビュン飛び回っている」状態のことです。速く動いているものほど「運動エネルギー」は大きいので、温度は分子の「運動エネルギー」の平均値と関係があります。
2 平均運動エネルギーと絶対温度
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは、気体分子運動論における絶対温度、平均運動エネルギー、二乗平均速度の間の定量的関係です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 絶対温度と分子の平均運動エネルギーの比例関係
- 運動エネルギーの定義式
- 二乗平均速度の定義
- 比例計算の考え方
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、絶対温度と平均運動エネルギーの関係式から、温度が2倍になったときの平均運動エネルギーの変化を求める。
- 次に、平均運動エネルギーと二乗平均速度の関係式を用いて、平均運動エネルギーの変化が二乗平均速度にどう影響するかを計算する。
思考の道筋とポイント
この問題は、気体分子運動論の核心的な関係式を正しく理解し、使えるかを試す問題です。「絶対温度 \(T\)」が分子の「平均運動エネルギー \(\bar{E}\)」に比例すること、そしてその「平均運動エネルギー \(\bar{E}\)」が分子の「速さの2乗の平均 \(\overline{v^2}\)」で決まること、この2段階の論理をしっかり繋げることが重要です。特に「二乗平均速度」という言葉に惑わされず、その定義が \(\sqrt{\overline{v^2}}\) であることを思い出す必要があります。
この設問における重要なポイント
- 絶対温度と平均運動エネルギー: 理想気体の分子1個の平均運動エネルギー \(\bar{E}\) は、絶対温度 \(T\) に比例します。(\(\bar{E} \propto T\))
- 平均運動エネルギーと速さの2乗平均: 平均運動エネルギー \(\bar{E}\) は、\(\bar{E} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2}\) で定義されます。ここで \(m\) は分子1個の質量、\(\overline{v^2}\) は速さの2乗の平均値です。
- 二乗平均速度: \(\sqrt{\overline{v^2}}\) と定義され、分子の速さの代表値として用いられます。
- 比例関係のまとめ: 上記の2つの関係から、\(\sqrt{\overline{v^2}} \propto \sqrt{T}\) という関係が導かれます。つまり、二乗平均速度は絶対温度の平方根に比例します。
具体的な解説と立式
理想気体の絶対温度を \(T\)、分子1個の質量を \(m\)、分子の速さの2乗の平均を \(\overline{v^2}\)、分子1個の平均運動エネルギーを \(\bar{E}\) とします。
1. 絶対温度と平均運動エネルギーの関係
気体分子運動論より、平均運動エネルギー \(\bar{E}\) は絶対温度 \(T\) に比例します。
$$ \bar{E} = \frac{3}{2}k_{\text{B}}T \quad \cdots ① $$
ここで \(k_{\text{B}}\) はボルツマン定数です。この式から、\(\bar{E} \propto T\) の関係がわかります。
2. 平均運動エネルギーと二乗平均速度の関係
平均運動エネルギー \(\bar{E}\) は、その定義から次のように表せます。
$$ \bar{E} = \frac{1}{2}m\overline{v^2} \quad \cdots ② $$
問題で問われている二乗平均速度は \(\sqrt{\overline{v^2}}\) のことです。式②を \(\sqrt{\overline{v^2}}\) について解くと、
$$ \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{2\bar{E}}{m}} \quad \cdots ③ $$
使用した物理公式
- 絶対温度と平均運動エネルギーの関係: \( \bar{E} = \displaystyle\frac{3}{2}k_{\text{B}}T \)
- 平均運動エネルギーの定義: \( \bar{E} = \displaystyle\frac{1}{2}m\overline{v^2} \)
1. 平均運動エネルギーの変化を求める
変化前の絶対温度を \(T\)、平均運動エネルギーを \(\bar{E}\) とします。
変化後の絶対温度は \(T’ = 2T\) です。このときの平均運動エネルギーを \(\bar{E}’\) とします。
式①の比例関係 (\(\bar{E} \propto T\)) から、
$$ \frac{\bar{E}’}{\bar{E}} = \frac{T’}{T} = \frac{2T}{T} = 2 $$
よって、\(\bar{E}’ = 2\bar{E}\) となり、平均運動エネルギーは2倍になります。
2. 二乗平均速度の変化を求める
変化前の二乗平均速度を \(\sqrt{\overline{v^2}}\)、変化後を \(\sqrt{\overline{v’^2}}\) とします。
式③の関係を用いると、
$$ \sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{\frac{2\bar{E}}{m}} $$
$$ \sqrt{\overline{v’^2}} = \sqrt{\frac{2\bar{E}’}{m}} $$
この式に、先ほど求めた \(\bar{E}’ = 2\bar{E}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{\overline{v’^2}} &= \sqrt{\frac{2(2\bar{E})}{m}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{2\bar{E}}{m}} \\[2.0ex]&= \sqrt{2} \times \sqrt{\overline{v^2}}
\end{aligned}
$$
したがって、二乗平均速度は\(\sqrt{2}\)倍になります。
この問題は比例の関係を考えるのがコツです。
- 平均運動エネルギーについて: 「温度が上がると分子の動きが激しくなる」と覚えているはずです。物理では、この関係は単純な「比例」です。絶対温度が2倍になれば、分子の平均的な運動エネルギーもそのまま2倍になります。
- 二乗平均速度について: 分子の「速さ」は運動エネルギーと関係があります。公式は「運動エネルギー \(=\displaystyle\frac{1}{2} \times\) 質量 \(\times\) 速さの2乗」です。これを「速さ」について解くと、「速さ \(=\sqrt{…\text{エネルギー}…}\)」という形になります。
つまり、速さはエネルギーの「ルート」に比例します。エネルギーが2倍になったので、速さはそのルートである \(\sqrt{2}\) 倍になる、というわけです。
3 気体の内部エネルギー
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「単原子分子理想気体の内部エネルギー」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式
- 気体の状態方程式
- 物理量の置き換え（代入）
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、内部エネルギーを物質量\(n\)と絶対温度\(T_0\)で表す公式を適用する。
- (2)では、(1)で求めた式の一部を、気体の状態方程式を用いて圧力\(p_0\)と体積\(V_0\)で表された形に変換する。
問(1)
思考の道筋とポイント
理想気体の内部エネルギーは、気体を構成する全分子の運動エネルギーの総和です。特に単原子分子の場合、分子の運動は並進運動のみを考えればよく、その内部エネルギーは絶対温度\(T\)と物質量\(n\)のみに依存します。この公式 \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\) は熱力学の最重要公式の一つなので、必ず暗記しておく必要があります。
この設問における重要なポイント
- 内部エネルギー \(U\): 理想気体では、分子間力による位置エネルギーを無視するため、内部エネルギーは全分子の運動エネルギーの合計に等しい。
- 単原子分子: ヘリウム(He)やネオン(Ne)など、1つの原子で分子として振る舞う気体。回転運動のエネルギーは無視できるため、エネルギーは3方向の並進運動のみで決まります。
- 公式 \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\): この公式は、内部エネルギーが体積や圧力によらず、絶対温度だけで決まることを示しています。
具体的な解説と立式
単原子分子理想気体の内部エネルギー\(U\)は、物質量\(n\)、気体定数\(R\)、絶対温度\(T\)を用いて次式で与えられます。
$$ U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT \quad \cdots ① $$
この問題では、物質量が\(n\)、温度が\(T_0\)なので、これらの値を式①に代入します。
使用した物理公式
- 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\)
式①に \(T=T_0\) を代入するだけです。
$$ U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT_0 $$
「単原子分子理想気体の内部エネルギーは？」と聞かれたら、呪文のように「にぶんのさん、エヌアールティー (\(\displaystyle\frac{3}{2}nRT\))」と唱えられるようにしておきましょう。この問題では温度が\(T_0\)なので、公式の\(T\)を\(T_0\)に書き換えるだけで答えになります。
問(2)
思考の道筋とポイント
(1)で求めた内部エネルギーの式 \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT_0\) を、問題で指定された文字（\(p_0, V_0\)）を使って表すことがゴールです。\(n, R, T_0\) と \(p_0, V_0\) を結びつける関係式は何か？と考えると、気体の状態方程式 \(pV=nRT\) にたどり着きます。状態方程式を使って \(nRT_0\) の部分を \(p_0V_0\) に置き換えるだけで解答が得られます。
この設問における重要なポイント
- 気体の状態方程式: \(pV=nRT\) は、気体の状態量（圧力\(p\)、体積\(V\)、物質量\(n\)、絶対温度\(T\)）の間の関係を示す万能の式です。
- 内部エネルギーの表現: 内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\) とも書けるし、\(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\) とも書けます。問題に応じて使い分けることが重要です。
具体的な解説と立式
(1)で求めた内部エネルギーの式は次の通りです。
$$ U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT_0 \quad \cdots ② $$
一方、圧力\(p_0\)、体積\(V_0\)、物質量\(n\)、温度\(T_0\) の気体については、気体の状態方程式が成り立ちます。
$$ p_0V_0 = nRT_0 \quad \cdots ③ $$
式②に含まれる \(nRT_0\) を、式③を使って \(p_0V_0\) に置き換えます。
使用した物理公式
- 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT\)
- 気体の状態方程式: \(pV=nRT\)
式②に式③を代入します。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{3}{2}(nRT_0) \\[2.0ex]&= \frac{3}{2}p_0V_0
\end{aligned}
$$
(1)で求めた答え \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT_0\) の中に、見慣れた \(nRT_0\) という塊があります。気体の状態方程式 \(p_0V_0 = nRT_0\) を使うと、この \(nRT_0\) という塊を、そっくりそのまま \(p_0V_0\) に「着せ替え」することができます。その結果、\(U = \displaystyle\frac{3}{2}p_0V_0\) という形になります。
4 気体の状態変化
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「p-Vグラフにおける気体の状態変化の同定」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 定積変化、定圧変化、等温変化、断熱変化のそれぞれの定義
- p-Vグラフの縦軸（圧力）と横軸（体積）の意味
- 気体の状態方程式 (\(pV=nRT\))
- ポアソンの法則 (\(pV^\gamma = \text{一定}\)) と比熱比 (\(\gamma > 1\))
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、p-Vグラフ上で軸に平行な直線で表される、最も分かりやすい定圧変化と定積変化を特定する。
- 次に、残った2つの曲線について、等温変化と断熱変化のグラフの傾きの違いから、どちらがどちらに対応するかを判断する。
思考の道筋とポイント
熱力学の問題では、p-Vグラフを用いて気体の状態変化を視覚的に捉えることが非常に重要です。この問題は、基本的な4つの状態変化がp-Vグラフ上でどのような図形に対応するかを正確に理解しているかを問うています。
定圧変化（圧力一定）と定積変化（体積一定）は、それぞれグラフの横軸と縦軸に平行な直線となるため、見分けるのは容易です。
最大のポイントは、等温変化と断熱変化の見分け方です。どちらも右下がりの曲線を描きますが、その傾きに違いがあります。「断熱変化のグラフは、等温変化のグラフよりも傾きが急になる」という事実を、その理由とともに覚えておくことが不可欠です。
この設問における重要なポイント
- 定圧変化 (ア): 圧力が一定の変化。p-Vグラフ上では、横軸に平行な直線（水平線）になります。
- 定積変化 (エ): 体積が一定の変化。p-Vグラフ上では、縦軸に平行な直線（垂直線）になります。
- 等温変化 (イ): 温度が一定の変化。気体の状態方程式 \(pV=nRT\) より、\(T\)が一定なので \(p = \displaystyle\frac{nRT}{V}\) となり、圧力\(p\)は体積\(V\)に反比例します。グラフは反比例の曲線（等温線）になります。
- 断熱変化 (ウ): 外部との熱のやり取りがない変化。ポアソンの法則 \(pV^\gamma = \text{一定}\) に従います。ここで \(\gamma\) は比熱比で、常に1より大きい値 (\(\gamma > 1\)) をとります。
- 等温変化と断熱変化の傾きの比較: 同じ点を通る等温線と断熱線を比べると、必ず断熱線の方が傾きが急になります。これは、断熱膨張では外部に仕事をするために内部エネルギーが消費され、温度が下がるため、等温膨張に比べて圧力の低下が著しくなるためです。
具体的な解説と立式
この問題は、グラフの形状から各変化を定性的に判断するもので、計算は不要です。
- アの経路: グラフの縦軸の値（圧力）が一定のまま、横軸の値（体積）が増加しています。これは圧力が一定の変化なので、定圧変化です。
- エの経路: グラフの横軸の値（体積）が一定のまま、縦軸の値（圧力）が減少しています。これは体積が一定の変化なので、定積変化です。
- イとウの経路: どちらも体積が増加するにつれて圧力が減少する、右下がりの曲線です。これらは等温変化と断熱変化のいずれかです。
ここで、両者の傾きを比較します。グラフから、同じ始点から出発した場合、ウの経路の方がイの経路よりも急激に圧力が下がっている（傾きが急である）ことがわかります。
p-Vグラフにおいて、等温線よりも傾きが急な曲線は断熱線です。
したがって、傾きが緩やかなイが等温変化、傾きが急なウが断熱変化であると判断できます。
使用した物理公式
- 定圧変化: \(p = \text{一定}\)
- 定積変化: \(V = \text{一定}\)
- 等温変化: \(pV = \text{一定}\)
- 断熱変化: \(pV^\gamma = \text{一定}\) (ただし \(\gamma > 1\))
この問題には計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた、各物理変化の定義とグラフの形状の対応付けそのものが解答プロセスとなります。
- ア → 圧力一定 → 定圧変化
- イ → 緩やかな曲線 → 等温変化
- ウ → 急な曲線 → 断熱変化
- エ → 体積一定 → 定積変化
p-Vグラフの見分け方は、見た目で判断できます。
- 横にまっすぐな線（ア）: 高さが変わらないので、圧力\(p\)が一定です。→ 定圧変化
- 縦にまっすぐな線（エ）: 横幅が変わらないので、体積\(V\)が一定です。→ 定積変化
- 残った2本のカーブ（イとウ）: どちらも右下がりですが、急さが違います。ここで「断熱は急（きゅう）」という合言葉を覚えておきましょう。断熱変化は急に起こるイメージで、グラフの傾きも急になります。
- なぜ急か？：気体を膨張させるとき、断熱変化では内部のエネルギーを使って仕事をするので、気体の温度が下がります。温度が下がると圧力も下がりやすくなるため、温度を一定に保つ等温変化よりも、圧力の下がり方が大きくなります。だからグラフが急になるのです。
- したがって、急なカーブのウが断熱変化、なだらかなカーブのイが等温変化です。
5 熱力学第一法則
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは、熱力学第一法則を定積・定圧・等温の各状態変化に適用し、熱・仕事・内部エネルギーの関係を正しく理解することです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 熱力学第一法則
- 理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存すること
- 気体が外部にする仕事は体積変化によって生じること
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 各状態変化（定積、定圧、等温）の物理的な特徴（体積一定、圧力一定、温度一定）を考える。
- その特徴から、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) と気体がした仕事 \(W_{\text{した}}\) がどうなるか（0になるか、正か負か）を判断する。
- 熱力学第一法則に代入し、加えられた熱 \(Q\) がどのように使われるかを分析し、選択肢と照合する。
問(1) 定積変化
思考の道筋とポイント
「定積」とは「体積が一定」ということです。気体が外部にする仕事は、ピストンを押すなどして体積を変化させることで行われます。したがって、体積が変化しない定積変化では、気体は外部に仕事をしません。この事実を熱力学第一法則に当てはめることで、加えられた熱が何に使われるかを明らかにします。
この設問における重要なポイント
- 定積変化: 体積が一定の変化 (\(\Delta V = 0\))。
- 気体がする仕事: 気体が外部にする仕事 \(W_{\text{した}}\) は、体積変化 \(\Delta V\) がなければゼロです。よって、定積変化では \(W_{\text{した}} = 0\)。
- 熱力学第一法則: 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、気体が吸収した熱 \(Q\) と気体が外部にした仕事 \(W_{\text{した}}\) を用いて、\(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\) と表されます。
具体的な解説と立式
熱力学第一法則は次式で与えられます。
$$ \Delta U = Q – W_{\text{した}} \quad \cdots ① $$
定積変化では、気体の体積は変化しません。したがって、気体は外部に対して仕事をしないため、
$$ W_{\text{した}} = 0 \quad \cdots ② $$
となります。
使用した物理公式
- 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)
- 定積変化における仕事: \(W_{\text{した}} = 0\)
式①に式②を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= Q – 0 \\[2.0ex]\Delta U &= Q
\end{aligned}
$$
この式は、「気体に加えられた熱 \(Q\) は、すべて内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) に使われる」ということを意味します。これは選択肢①の内容と一致します。
定積変化は、フタがガッチリ固定された硬い容器を温めるようなイメージです。容器は膨らまないので、中の気体は外部に対して何かを押し出すような「仕事」をすることができません (\(W_{\text{した}}=0\))。気体がもらった熱エネルギーの使い道は「①内部エネルギーを増やす（温度を上げる）」か「②外部に仕事をする」の2つです。今回は②の仕事をしなかったので、もらった熱はすべて①の内部エネルギーを増やすために使われます。
問(2) 定圧変化
思考の道筋とポイント
「定圧」とは「圧力が一定」ということです。この状態で熱を加えると、気体は膨張しようとします（温度が上がるため）。圧力を一定に保つためには、気体の膨張を許容する必要があります（例：ピストンが自由に動くシリンダー）。気体が膨張するということは、外部に仕事をする (\(W_{\text{した}} > 0\)) ことを意味します。また、熱を加えられているので気体の温度も上昇します (\(\Delta U > 0\))。したがって、加えられた熱は「内部エネルギーの増加」と「外部への仕事」の両方に分配されると考えられます。
この設問における重要なポイント
- 定圧変化: 圧力が一定の変化。
- 熱を加えた場合: 気体の温度が上昇 (\(\Delta T > 0\)) するため、内部エネルギーが増加 (\(\Delta U > 0\)) します。また、シャルルの法則に従い体積も増加 (\(\Delta V > 0\)) するため、気体は外部に正の仕事をします (\(W_{\text{した}} > 0\))。
- エネルギーの分配: 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\) を変形すると \(Q = \Delta U + W_{\text{した}}\) となり、加えられた熱 \(Q\) が \(\Delta U\) と \(W_{\text{した}}\) の和に等しいことがわかります。
具体的な解説と立式
熱力学第一法則は次式で与えられます。
$$ \Delta U = Q – W_{\text{した}} \quad \cdots ① $$
定圧変化で熱を加えると、気体の温度は上昇し、内部エネルギーは増加します (\(\Delta U > 0\))。
同時に、気体は膨張して外部に仕事をするため、\(W_{\text{した}} > 0\) です。
したがって、\(\Delta U\), \(Q\), \(W_{\text{した}}\) のいずれの項も0にはなりません。
使用した物理公式
- 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)
熱力学第一法則の式 \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\) を、加えられた熱 \(Q\) について解くと、
$$ Q = \Delta U + W_{\text{した}} $$
この式は、「加えられた熱 \(Q\) は、内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) と、気体が外部にした仕事 \(W_{\text{した}}\) の2つに分配される」ことを意味します。これは「一部が外部への仕事に使われ、残りが内部エネルギーになる」という選択肢③の内容と一致します。
定圧変化は、おもりが乗ったピストン付きの容器を温めるイメージです。温めると中の気体は元気になって膨張し、おもりとピストンを押し上げます。これが「外部への仕事」です。同時に、気体自体の温度も上がります。これが「内部エネルギーの増加」です。つまり、もらった熱は「仕事」と「内部エネルギー増加」の両方に使われることになります。
問(3) 等温変化
思考の道筋とポイント
「等温」とは「温度が一定」ということです。理想気体の内部エネルギーは、分子の運動エネルギーの総和であり、温度だけで決まります。したがって、温度が一定の等温変化では、内部エネルギーは変化しません。この事実を熱力学第一法則に当てはめることで、加えられた熱の行方が明らかになります。
この設問における重要なポイント
- 等温変化: 温度が一定の変化 (\(\Delta T = 0\))。
- 理想気体の内部エネルギー: 内部エネルギー \(U\) は絶対温度 \(T\) のみの関数です。したがって、\(\Delta T = 0\) ならば、内部エネルギーは変化しません (\(\Delta U = 0\))。
- 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)。
具体的な解説と立式
熱力学第一法則は次式で与えられます。
$$ \Delta U = Q – W_{\text{した}} \quad \cdots ① $$
等温変化では、気体の温度は変化しません。理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するため、内部エネルギーも変化しません。
$$ \Delta U = 0 \quad \cdots ② $$
となります。
使用した物理公式
- 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)
- 等温変化における内部エネルギー変化: \(\Delta U = 0\)
式①に式②を代入すると、
$$
\begin{aligned}
0 &= Q – W_{\text{した}} \\[2.0ex]Q &= W_{\text{した}}
\end{aligned}
$$
この式は、「気体に加えられた熱 \(Q\) は、すべて気体が外部にする仕事 \(W_{\text{した}}\) に使われる」ということを意味します。これは選択肢②の内容と一致します。
等温変化は、気体の温度を一定に保ちながら、ゆっくりと膨張させるイメージです。熱を加えているのに温度が上がらないのは不思議に思うかもしれませんが、それは「内部エネルギーを増やす」ために使うはずだったエネルギーを、すべて「外部への仕事」に回しているからです。つまり、もらった熱は100%、仕事をするために使われます。
6 断熱変化
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「断熱膨張における温度変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 熱力学第一法則 (\(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\))
- 断熱変化の定義 (\(Q=0\))
- 気体が外部に仕事をする条件 (\(W_{\text{した}} > 0\))
- 理想気体の内部エネルギーと温度の関係 (\(\Delta U\) と温度変化の符号が一致)
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 断熱変化の定義から、熱の出入り \(Q\) が0であることを確認する。
- 気体が膨張して外部に仕事をするという条件から、\(W_{\text{した}}\) の符号を決定する。
- 熱力学第一法則にこれらの条件を代入し、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の符号を求める。
- \(\Delta U\) の符号から、温度が上がるか下がるかを判断する。
思考の道筋とポイント
この問題は、熱力学第一法則の具体的な応用例です。ポイントは、「断熱」と「膨張して仕事をする」という2つのキーワードから、熱力学第一法則の各項がどうなるかを正しく判断することです。
「断熱」 \(\rightarrow\) 熱の出入りがない \(\rightarrow\) \(Q=0\)
「膨張して外部に仕事をする」 \(\rightarrow\) 気体がエネルギーを消費する \(\rightarrow\) \(W_{\text{した}} > 0\)
熱の補給がないのに仕事（エネルギー消費）をすれば、自身のエネルギー（内部エネルギー）を使うしかありません。したがって、内部エネルギーは減少し、それに伴って温度も下がる、という論理的な流れを掴むことが重要です。
この設問における重要なポイント
- 断熱変化: 外部と熱のやりとりを遮断した状態での変化です。したがって、気体が吸収する熱量 \(Q\) は0になります。
- 断熱膨張: 断熱的に気体が膨張する現象です。気体はピストンを押すなどして外部に仕事をするため、\(W_{\text{した}}\) は正の値をとります。
- 内部エネルギーと温度: 理想気体の内部エネルギーは、気体分子の運動エネルギーの総和であり、絶対温度に比例します。したがって、内部エネルギーが減少すれば (\(\Delta U < 0\))、温度も下がります。
- エネルギー保存の観点: 断熱膨張は、気体が「身銭を切って（内部エネルギーを消費して）」外部に仕事をする現象と解釈できます。
具体的な解説と立式
この現象は、熱力学第一法則で説明できます。内部エネルギーの変化量を \(\Delta U\)、気体が吸収した熱量を \(Q\)、気体が外部にした仕事を \(W_{\text{した}}\) とすると、熱力学第一法則は次のように表されます。
$$ \Delta U = Q – W_{\text{した}} \quad \cdots ① $$
問題の条件をこの式に適用します。
- 「断熱変化」なので、外部との熱のやりとりはありません。
$$ Q = 0 $$ - 「気体を膨張させて外部に仕事をさせる」とあるので、気体がした仕事は正の値です。
$$ W_{\text{した}} > 0 $$
使用した物理公式
- 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)
- 断熱変化の条件: \(Q=0\)
- 内部エネルギーと温度の関係: \(\Delta U < 0\) ならば温度は下がる。
熱力学第一法則の式①に、断熱変化の条件 \(Q=0\) を代入します。
$$ \Delta U = 0 – W_{\text{した}} $$
$$ \Delta U = -W_{\text{した}} $$
ここで、気体は外部に仕事をしているので \(W_{\text{した}} > 0\) です。したがって、
$$ \Delta U < 0 $$
となります。
内部エネルギーの変化量 \(\Delta U\) が負であるということは、内部エネルギーが減少したことを意味します。理想気体の内部エネルギーは絶対温度に比例するため、内部エネルギーが減少すれば、温度は下がります。
この現象は、スプレー缶を使うと缶が冷たくなるのと同じ原理です。
スプレー缶から気体が噴出するとき、缶の中の気体は急激に膨張します。この膨張は非常に速く起こるため、外部から熱を受け取る暇がなく「断熱膨張」に近い状態になります。
気体が膨張して外に出るためには、周りの空気を押しのける「仕事」をしなければなりません。その仕事をするためのエネルギーは、外部から熱としてもらえないので、自分自身のエネルギー（内部エネルギー）を使うしかありません。
内部エネルギーを使った分だけ、気体のエネルギーは減ってしまいます。気体の内部エネルギーは温度と直結しているので、エネルギーが減ると温度も下がります。これが、断熱膨張で温度が下がる理由です。
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