問題の確認
thermodynamicsall#01問題を解くための全体的な戦略と手順
この問題は、異なる物質で構成された物体全体の熱容量と比熱を求める問題です。以下の手順で解いていきます。
- 各構成要素の熱容量の計算:
まず、ガラス容器と砂、それぞれの熱容量を計算します。
物質の熱容量 \(C\) は、その物質の質量 \(m\) と比熱 \(c\) を用いて、次の式で表されます。
$$C = mc$$
この式を使って、ガラス容器の熱容量 \(C_1\) と砂の熱容量 \(C_2\) をそれぞれ求めます。計算の途中では、有効数字の桁数より1桁多く残して計算を進めるか、丸めずに計算し、最終結果を調整します。 - 物体全体の熱容量の計算 (設問1):
物体全体の熱容量 \(C_{合計}\) は、各構成要素の熱容量の和として求めることができます。これは、物体全体の温度を \(1 \, \text{K}\) 上昇させるためには、各構成要素の温度をそれぞれ \(1 \, \text{K}\) 上昇させるのに必要な熱量の合計が必要になるためです。
$$C_{合計} = C_1 + C_2$$
和を計算した後、有効数字を考慮して結果を丸めます。 - 物体全体の質量の計算:
物体全体の比熱を求めるために、まず物体全体の質量 \(m_{合計}\) を計算します。これは、各構成要素の質量の和です。
$$m_{合計} = m_1 + m_2$$ - 物体全体の比熱の計算 (設問2):
物体全体の比熱 \(c_{合計}\) は、物体全体の熱容量 \(C_{合計}\) と物体全体の質量 \(m_{合計}\) を用いて、熱容量の定義式 \(C = mc\) を変形することで求められます。
$$c_{合計} = \frac{C_{合計}}{m_{合計}}$$
除算の結果を、有効数字を考慮して丸めます。
この手順に従って、各設問を具体的に解いていきます。
各設問の具体的な解説と解答
(1) この物体全体の熱容量を求めよ。
問われている内容の明確化:
ガラス容器と砂を合わせたもの全体の熱容量 \(C_{合計}\) を求めます。熱容量とは、その物体の温度を \(1 \, \text{K}\) (または \(1 \, ^\circ\text{C}\)) だけ上昇させるのに必要な熱量のことです。最終的な答えは有効数字2桁とします。
具体的な解説と計算手順:
1. ガラス容器の熱容量 \(C_1\) の計算:
ガラス容器の質量 \(m_1 = 200 \, \text{g}\)、比熱 \(c_1 = 0.92 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。
$$C_1 = m_1 c_1$$
値を代入します:
$$C_1 = (200 \, \text{g}) \times (0.92 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)})$$
$$C_1 = 184 \, \text{J/K}$$
（\(m_1\) を3桁、\(c_1\) を2桁として計算すると積は \(184\)。\(c_1\) の有効数字が2桁なので、この値は後の計算のために丸めずに使用しますが、精度は2桁が基準となります。）
2. 砂の熱容量 \(C_2\) の計算:
砂の質量 \(m_2 = 300 \, \text{g}\)、比熱 \(c_2 = 0.76 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。
$$C_2 = m_2 c_2$$
値を代入します:
$$C_2 = (300 \, \text{g}) \times (0.76 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)})$$
$$C_2 = 228 \, \text{J/K}$$
（\(m_2\) を3桁、\(c_2\) を2桁として計算すると積は \(228\)。\(c_2\) の有効数字が2桁なので、この値は後の計算のために丸めずに使用しますが、精度は2桁が基準となります。）
3. 物体全体の熱容量 \(C_{合計}\) の計算:
物体全体の熱容量は、ガラス容器の熱容量 \(C_1\) と砂の熱容量 \(C_2\) の和です。
$$C_{合計} = C_1 + C_2$$
値を代入します:
$$C_{合計} = (184 \, \text{J/K}) + (228 \, \text{J/K})$$
$$C_{合計} = 412 \, \text{J/K}$$
ここで、\(C_1\) と \(C_2\) は、有効数字2桁の比熱から計算されています。加算の場合、結果の末位は、加算する数値の中で最も末位が高いものに合わせます。\(184\) と \(228\) は両方とも一の位まで信頼できると考えられます。
しかし、\(C_1\) (184) と \(C_2\) (228) の元となる比熱が有効数字2桁なので、\(C_1\) は \(1.8 \times 10^2\) のオーダー、\(C_2\) は \(2.3 \times 10^2\) のオーダーの精度です。
\(412 \, \text{J/K}\) を有効数字2桁に丸めると、\(4.1 \times 10^2 \, \text{J/K}\) となります。
計算方法の平易な説明:
物体全体の熱容量を求めるには、まず別々にガラスの熱容量と砂の熱容量を計算します。
熱容量は「質量 × 比熱」で計算できます。
ガラスの熱容量は \(200 \text{ g} \times 0.92 \text{ J/(g}\cdot\text{K)} = 184 \text{ J/K}\) です。
砂の熱容量は \(300 \text{ g} \times 0.76 \text{ J/(g}\cdot\text{K)} = 228 \text{ J/K}\) です。
これらを足し合わせると、\(184 \text{ J/K} + 228 \text{ J/K} = 412 \text{ J/K}\) となります。
問題で与えられた比熱の有効数字が2桁なので、最終的な答えも有効数字2桁に合わせます。\(412\) を有効数字2桁で表すと \(410\)、または \(4.1 \times 10^2\) となります。
- 熱容量の定義 (\(C=mc\)) を理解していること。
- 複数の物質からなる物体の全体の熱容量は、各物質の熱容量の和で求められることを理解していること。
- 有効数字の処理：乗算の結果の有効数字は、元となる数値の最も少ない有効数字の桁数に合わせる。和の計算では、結果の末位を考慮するが、今回は構成要素の熱容量が有効数字2桁のデータから導かれていることを重視し、最終結果を有効数字2桁に丸める。
この物体全体の熱容量は \(4.1 \times 10^2 \, \text{J/K}\) (または \(410 \, \text{J/K}\)) です。
(2) この物体の比熱を求めよ。
問われている内容の明確化:
ガラス容器と砂を合わせたもの全体の比熱 \(c_{合計}\) を求めます。比熱とは、物質 \(1 \, \text{g}\) の温度を \(1 \, \text{K}\) (または \(1 \, ^\circ\text{C}\)) だけ上昇させるのに必要な熱量のことです。最終的な答えは有効数字2桁とします。
具体的な解説と計算手順:
1. 物体全体の質量 \(m_{合計}\) の計算:
ガラス容器の質量 \(m_1 = 200 \, \text{g}\) と砂の質量 \(m_2 = 300 \, \text{g}\) の和です。
$$m_{合計} = m_1 + m_2$$
値を代入します:
$$m_{合計} = (200 \, \text{g}) + (300 \, \text{g})$$
$$m_{合計} = 500 \, \text{g}$$
（\(200 \, \text{g}\) と \(300 \, \text{g}\) を有効数字3桁と見なすと、和の \(500 \, \text{g}\) も有効数字3桁、つまり \(5.00 \times 10^2 \, \text{g}\) と考えられます。）
2. 物体全体の比熱 \(c_{合計}\) の計算:
(1)で求めた物体全体の熱容量 \(C_{合計} = 412 \, \text{J/K}\) (丸める前の値) と、上で計算した物体全体の質量 \(m_{合計} = 500 \, \text{g}\) を使います。
熱容量と比熱、質量の関係式 \(C = mc\) を変形すると、\(c = C/m\) となります。
$$c_{合計} = \frac{C_{合計}}{m_{合計}}$$
値を代入します:
$$c_{合計} = \frac{412 \, \text{J/K}}{500 \, \text{g}}$$
$$c_{合計} = 0.824 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}$$
ここで、\(C_{合計}\) の計算根拠となった比熱は有効数字2桁であり、\(C_{合計}\) は実質的に有効数字2桁 (\(4.1 \times 10^2\)) の精度です。\(m_{合計}\) は \(500 \, \text{g}\) （有効数字3桁と解釈した場合）。
除算の場合、結果の有効数字の桁数は、計算に用いた数値の中で最も少ない有効数字の桁数に合わせます。この場合は2桁です。
したがって、\(0.824 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) を有効数字2桁に丸めると \(0.82 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) となります。
計算方法の平易な説明:
物体全体の比熱を求めるには、まず物体全体の質量を知る必要があります。ガラスが \(200 \text{ g}\)、砂が \(300 \text{ g}\) なので、合計 \(500 \text{ g}\) です。
(1)で、この \(500 \text{ g}\) の物体全体の温度を \(1 \text{ K}\) 上げるのに \(412 \text{ J}\) の熱量が必要だとわかりました。
比熱は、「物質 \(1 \text{ g}\) あたり」の熱容量のようなものなので、全体の熱容量を全体の質量で割れば求めることができます。
\(c_{合計} = (412 \text{ J/K}) / (500 \text{ g}) = 0.824 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\)。
計算に使った熱容量の元となる比熱が有効数字2桁なので、この結果も有効数字2桁に合わせます。\(0.824\) を有効数字2桁で表すと \(0.82\) となります。
- 比熱の定義 (\(c=C/m\)) を理解していること。
- 物体全体の熱容量と全体の質量から、全体の比熱を導き出せること。
- 有効数字の処理：除算の結果の有効数字は、元となる数値の最も少ない有効数字の桁数に合わせる。
この物体の比熱は \(0.82 \, \text{J/(g}\cdot\text{K)}\) です。
問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 比熱 (specific heat capacity):
単位質量（例: \(1 \, \text{g}\) や \(1 \, \text{kg}\)）の物質の温度を単位温度（例: \(1 \, \text{K}\) や \(1 \, ^\circ\text{C}\)）だけ上昇させるのに必要な熱量。物質の種類によって固有の値を持つ。単位は例えば \(\text{J/(g}\cdot\text{K)}\)。
公式: \(Q = mc\Delta T\) における \(c\)。 - 熱容量 (heat capacity):
ある物体全体の温度を単位温度だけ上昇させるのに必要な熱量。物体の質量や構成物質によって決まる。単位は例えば \(\text{J/K}\)。
公式: \(Q = C\Delta T\) における \(C\)。 - 比熱と熱容量の関係:
熱容量 \(C\) は、質量 \(m\) と比熱 \(c\) を用いて \(C = mc\) と表される。 - 複合体の熱容量:
複数の部分からなる物体の全体の熱容量は、各部分の熱容量の和となる。
\(C_{合計} = C_1 + C_2 + \dots = m_1c_1 + m_2c_2 + \dots\) - 複合体の比熱:
複合体の全体の比熱は、全体の熱容量を全体の質量で割ることによって求められる。
\(c_{合計} = C_{合計} / m_{合計} = (m_1c_1 + m_2c_2 + \dots) / (m_1 + m_2 + \dots)\)
これは各物質の比熱の加重平均（質量による重み付き平均）となっている。 - 有効数字:
測定値や計算結果の信頼性を示す桁数。計算の過程及び最終結果において適切に処理する必要がある。- 乗除算：結果の有効数字の桁数は、計算に用いた数値の中で最も少ない有効数字の桁数に合わせる。
- 加減算：結果の末位は、計算に用いた数値の中で最も末位が高いもの（小数点以下の桁数が最も少ないもの）に合わせる。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 単位の一貫性: 計算を行う前に、質量や比熱の単位が揃っているか確認しましょう。
- 定義の理解: 比熱と熱容量の定義をしっかり区別して理解することが重要です。
- 和と平均: 全体の熱容量は単純な和で計算できますが、全体の比熱は単純な平均ではない（質量の比率が影響する）ことを覚えておきましょう。
- 有効数字の処理: 計算の各段階で有効数字を意識し、最終的な答えを適切な桁数で示すことが重要です。特に指定がない場合は、問題文中の数値の有効数字の桁数が最も少ないものに合わせます。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 比熱と熱容量の混同: 比熱は物質固有の性質（単位質量あたり）、熱容量は特定の物体全体としての性質です。
- 全体の比熱の計算ミス: 物体全体の比熱を、各物質の比熱の単純平均としてしまう間違い。
- 有効数字の処理の誤り: 途中の計算で不必要に丸めてしまったり、最終的な結果の桁数を間違えたりすること。計算の途中では1桁多くとるか丸めずに行い、最後に調整するのが基本です。
- 単位の書き忘れや間違い: 物理量の計算では、数値だけでなく単位も正しく記述することが大切です。
この解説が、問題の理解と物理学の学習の一助となれば幸いです。