今回の問題
dynamics34【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「加速座標系（エレベーター）における力学」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力のつり合い: 物体が静止または等速直線運動しているとき、物体にはたらく力の合力は0になります。
- ニュートンの運動方程式: 物体が加速しているとき、その運動は \(ma = F_{\text{合力}}\) という式で記述されます。
- フックの法則: ばねの弾性力は、自然長からの伸びや縮みに比例します。(\(F = kx\))
- 慣性力と見かけの重力: 加速する座標系（非慣性系）から物体を見ると、実際の力に加えて、座標系の加速度と逆向きに「慣性力」という見かけの力がはたらいているように見えます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、エレベーターが「静止している」状態に着目します。このとき、おもりにはたらく力はつり合っているので、「弾性力 = 重力」の式からばね定数 \(k\) を求めます。
- (2)では、「一定の加速度で上昇」している状態に着目します。このとき、おもりも同じ加速度で運動しているので、運動方程式を立てて加速度 \(a\) を求めます。
- (3)では、加速しているエレベーター内での落下運動を考えます。エレベーターの中から見ると、重力が通常より大きく見える「見かけの重力加速度」(\(g’ = g+a\)) の中での自由落下と同じになります。この \(g’\) を使って落下時間を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
ばねの硬さを表す、ばね定数 \(k\) を求めます。物理定数を求めるには、最も条件が単純な状況を利用するのが定石です。この問題では「エレベーターが静止しているとき」の情報から、力のつり合いの式を立てて \(k\) を特定します。
この設問における重要なポイント
- 物体が静止しているときは、力がつり合っていると考えること。
- ばねの弾性力はフックの法則 \(F=kx\) で計算されること。
- 計算の前に、単位をm、kg、sに統一すること（特にcmからmへの変換）。
具体的な解説と立式
エレベーターが静止しているとき、おもりにはたらく力はつり合っています。おもりにはたらく力は以下の2つです。
- 上向きの力: ばねの弾性力 \(F_1\)。ばねの伸びを \(x_1\) とすると、\(F_1 = kx_1\)。
- 下向きの力: 重力 \(mg\)。
力のつり合いの式は、「上向きの力 = 下向きの力」なので、
$$kx_1 = mg$$
となります。この式をばね定数 \(k\) について解きます。
$$k = \frac{mg}{x_1} \quad \cdots ①$$
使用した物理公式
- フックの法則: \(F = kx\)
- 力のつり合い
式①に、与えられた値を代入します。重力加速度は \(g=9.8 \, \text{m/s}^2\) を用います。
- \(m = 2.0 \, \text{kg}\)
- \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)
- \(x_1 = 5.6 \, \text{cm} = 0.056 \, \text{m}\)
$$
\begin{aligned}
k &= \frac{2.0 \times 9.8}{0.056} \\[2.0ex]&= \frac{19.6}{0.056} \\[2.0ex]&= 350 \, \text{N/m}
\end{aligned}
$$
問題で与えられている数値の有効数字は2桁なので、答えも有効数字2桁で表します。
$$ k = 3.5 \times 10^2 \, \text{N/m} $$
エレベーターが止まっているとき、ばねがおもりを引っぱる力と、おもりにはたらく重力は等しくなっています。つまり「\(k \times (\text{伸び}) = (\text{質量}) \times g\)」です。この式に、伸び(0.056m)、質量(2.0kg)、g(9.8m/s²)を代入して、ばね定数kを計算します。
ばね定数は \(3.5 \times 10^2 \, \text{N/m}\) となります。単位も正しく、物理的に妥当な値です。
問(2)
思考の道筋とポイント
エレベーターが加速上昇しているときの、加速度の大きさと向きを求めます。静止時よりばねの伸びが大きくなっていることから、上向きの弾性力が重力より大きくなっていることがわかります。この力の不均衡（合力）が、おもりを加速させていると考え、運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 加速運動している物体については、運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) を立てる。
- 合力は、はたらく全ての力をベクトル的に足し合わせたものである（向きを考慮する）。
- (1)で求めたばね定数 \(k\) を使用する。
具体的な解説と立式
エレベーターが加速度 \(a\) で上昇しているとき、おもりも同じ加速度 \(a\) で運動しています。鉛直上向きを正として、おもりの運動方程式を立てます。
- 上向きの力: ばねの弾性力 \(F_2\)。伸びを \(x_2\) とすると、\(F_2 = kx_2\)。
- 下向きの力: 重力 \(mg\)。
合力 \(F_{\text{合力}} = F_2 – mg = kx_2 – mg\) なので、運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) は、
$$ma = kx_2 – mg \quad \cdots ②$$
となります。この式を加速度 \(a\) について解きます。
$$ a = \frac{kx_2 – mg}{m} = \frac{k x_2}{m} – g $$
使用した物理公式
- ニュートンの運動方程式: \(ma = F_{\text{合力}}\)
上の式に、(1)で求めた \(k=350\,\text{N/m}\) と、与えられた値を代入します。
- \(k = 350 \, \text{N/m}\)
- \(x_2 = 6.4 \, \text{cm} = 0.064 \, \text{m}\)
- \(m = 2.0 \, \text{kg}\)
- \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{350 \times 0.064}{2.0} – 9.8 \\[2.0ex]&= \frac{22.4}{2.0} – 9.8 \\[2.0ex]&= 11.2 – 9.8 \\[2.0ex]&= 1.4 \, \text{m/s}^2
\end{aligned}
$$
計算結果が正の値なので、加速度の向きは鉛直上向きです。
エレベーターが上に加速すると、ばねは静止時よりさらに伸びます。このときの運動は「質量 × 加速度 = 上向きの力 – 下向きの力」という運動方程式で表せます。つまり「\(ma = kx_2 – mg\)」です。この式に数値を代入して加速度 \(a\) を計算します。
加速度は鉛直上向きに \(1.4 \, \text{m/s}^2\) です。静止時よりばねが伸びていることから、上向きに加速していることが直感的にもわかり、結果と一致します。
問(3)
思考の道筋とポイント
加速度 \(a\) で上昇するエレベーター内で、自由落下させた小球が床に到達するまでの時間 \(t\) を求めます。このような加速座標系（非慣性系）内の運動は、その座標系から見た「見かけの重力」を考えることで、静止系と同じ公式を使って簡単に解くことができます。
この設問における重要なポイント
- 加速する座標系内では「慣性力」を考慮する必要がある。
- 上向きに加速するエレベーター内では、見かけの重力加速度が \(g’ = g+a\) となる。
- 見かけの重力加速度 \(g’\) を使えば、自由落下の公式がそのまま使える。
具体的な解説と立式
加速するエレベーター内では、見かけの重力がはたらいているように観測されます。
エレベーターが上向きに加速度 \(a\) で運動している場合、エレベーター内の観測者から見ると、すべての物体には下向きに大きさ \(ma\) の慣性力がはたらいているように見えます。
したがって、小球にはたらく見かけの力は、本来の重力 \(mg\) と慣性力 \(ma\) の合計になります。このとき、エレベーター内の見かけの重力加速度を \(g’\) とすると、
$$mg’ = mg + ma$$
$$g’ = g + a$$
となります。
この見かけの重力加速度 \(g’\) のもとで、高さ \(h\) から初速度0で落下する物体の落下時間を求めます。自由落下の公式 \(h = \frac{1}{2}gt^2\) を、見かけの重力加速度 \(g’\) を使って書き換えます。
$$h = \frac{1}{2}g’t^2$$
この式を時間 \(t\) について解くと、
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g’}} = \sqrt{\frac{2h}{g+a}} \quad \cdots ③$$
使用した物理公式
- 見かけの重力（慣性力）
- 等加速度直線運動の変位の式: \(x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2\)
まず、見かけの重力加速度 \(g’\) を計算します。
- \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)
- \(a = 1.4 \, \text{m/s}^2\) (問(2)より)
$$
\begin{aligned}
g’ &= g + a \\
&= 9.8 + 1.4 \\
&= 11.2 \, \text{m/s}^2
\end{aligned}
$$
次に、式③に \(h=1.4\,\text{m}\) と \(g’=11.2\,\text{m/s}^2\) を代入して、時間 \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
t &= \sqrt{\frac{2 \times 1.4}{11.2}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{2.8}{11.2}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{1}{4}} \\[2.0ex]&= 0.50 \, \text{s}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
上に加速するエレベーターの中では、体が重く感じます。これは「見かけの重力」が大きくなるためです。この見かけの重力加速度は、通常の \(g\) にエレベーターの加速度 \(a\) を足した \(g’ = g+a\) になります。この \(g’\) を使って、普通の自由落下の時間計算「\(t = \sqrt{2h/g’}\)」を行えば、答えが求まります。
落下時間は 0.50 s となります。通常の重力(\(g=9.8\))で落下する時間 \(\sqrt{2 \times 1.4 / 9.8} \approx 0.53\) s よりも短くなっており、見かけの重力が大きくなった分だけ速く落ちるという直感と一致します。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 慣性力の概念と見かけの重力:
- 核心: この問題の最大のポイントは、エレベーターのような加速する座標系（非慣性系）で物理現象をどう捉えるかです。その鍵となるのが「慣性力」です。非慣性系から物体を見ると、実際の力に加えて、座標系の加速度と逆向きに慣性力がはたらいているように見えます。
- 理解のポイント: (3)では、この慣性力（下向きに \(ma\)）と本来の重力（下向きに \(mg\)）を合わせて考えることで、エレベーター内の見かけの重力加速度が \(g’ = g+a\) となることを理解することが核心です。これにより、複雑な問題を静止系と同じ自由落下の問題に単純化できます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- エレベーターが下降する場合: 加速度 \(a\) で下降する場合、慣性力は上向きにはたらきます。したがって、見かけの重力加速度は \(g’ = g-a\) となります。もし自由落下（\(a=g\)）すれば、\(g’=0\) となり、エレベーター内は無重力状態になります。
- 電車内の振り子: 水平方向に加速度 \(a\) で運動する電車内では、おもりには進行方向と逆向きに水平な慣性力 \(ma\) がはたらきます。この慣性力と重力 \(mg\) の合力が見かけの重力となり、振り子はその合力の向きにつり合って傾きます。
- 初見の問題での着眼点:
- 系の状態を分類する: まず、問題が「静止系（地面）」での話か、「加速系（エレベーター、電車など）」での話かを見極めます。
- 静止系での立式: (1)や(2)のように、地面から見た運動として考える場合は、物体にはたらく実際の力（重力、弾性力など）だけを考え、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
- 加速系での立式: (3)のように、加速系「内部」での運動を考える場合は、「慣性力」を導入します。慣性力は、系の加速度 \(a\) と逆向きに、大きさ \(ma\) で全ての物体にはたらく、と考えます。
- 見かけの重力を活用する: 特に上下方向の加速系では、「見かけの重力加速度 \(g’\)」を計算すると、その後の計算が格段に楽になります。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 単位変換のミス:
- 誤解: ばねの伸びが5.6 cmと与えられているのを、0.056 mに直さずに計算してしまう。
- 対策: 物理計算の基本として、力学では長さを[m]、質量を[kg]、時間を[s]というSI単位系に統一する癖をつけましょう。計算を始める前に、まず単位の確認と変換を行うことが鉄則です。
- (3)を通常の重力加速度 \(g\) で計算してしまう:
- 誤解: エレベーターが加速していることを忘れ、\(h = \frac{1}{2}gt^2\) の公式をそのまま使ってしまう。
- 対策: 「加速する乗り物の中」という設定を見たら、「見かけの重力が変わる！」と即座に反応できるようにしましょう。静止した地面と同じ感覚で現象を捉えてはいけません。
- 慣性力の向きの間違い:
- 誤解: エレベーターが上向きに加速しているから、慣性力も上向きだと考えてしまう。
- 対策: 慣性力は、自分が乗っている乗り物の「加速度とは逆向き」にはたらくと覚えましょう。急発進する電車で後ろに倒れそうになる、急ブレーキで前にのめる、という日常体験と結びつけると忘れにくくなります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- なぜ(1)は「力のつり合い」で、(2)は「運動方程式」なのか？:
- 選定理由: 物体の運動状態（加速度が0か、0でないか）によって、適用すべき法則が変わるからです。
- 適用根拠: (1)「静止している」は加速度 \(a=0\) の状態なので、運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) は \(F_{\text{合力}}=0\) となり、これは「力のつり合い」の定義そのものです。(2)「一定の加速度で上昇」は \(a \neq 0\) なので、運動方程式をそのまま適用する必要があります。
- なぜ(3)は「見かけの重力」で考えるのか？:
- 選定理由: 問題が「エレベーター内で…落とすと」と、エレベーター内部の観測者からの視点で記述されているため、その視点に合わせた解法が最もシンプルだからです。
- 適用根拠: 地面から見た場合、小球は初速度をもって自由落下し、床は等加速度運動するという複雑な追跡問題になります。しかし、エレベーター内の観測者から見れば、床は静止しており、小球が「通常とは異なる重力」の下で自由落下するように見えます。慣性力を導入することで、この後者のシンプルな見方に変換でき、計算が劇的に簡単になります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 有効数字を意識する: 問題文で与えられた数値（2.0 kg, 5.6 cm, 6.4 cm, 1.4 m）はすべて有効数字2桁です。したがって、最終的な答えも有効数字2桁に揃える必要があります。途中の計算では3桁程度で進め、最後に四捨五入すると誤差が少なくなります。
- 分数の計算を工夫する: (3)の \(t = \sqrt{\frac{2.8}{11.2}}\) のような計算では、すぐに電卓に頼らず、\(11.2 = 2.8 \times 4\) であることに気づくと、\(\sqrt{1/4}\) と簡単に約分できます。数値の比率に注目する癖をつけると、計算が速く正確になります。
- 別解で検算する: (2)の加速度は、\(ma = kx_2 – mg\) から直接計算するだけでなく、(1)のつり合いの式 \(mg=kx_1\) を利用して \(ma = kx_2 – kx_1 = k(x_2-x_1)\) と変形してから計算することもできます。複数の計算ルートで同じ答えになるか確認することで、信頼性が高まります。
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