指導歴14年、延べ3,000人以上を診てきて——
電磷気で詰まる人の「3つの症状」はハッキリしています。
複雑になると「どこから手をつければ」と固まる
式は知っているのに「何を求めたいか」が不明確
「見える化」できないまま計算に入るクセ
あなたの電磷気、どの症状ですか？
- まずはザックリ理解したい
- イメージを優先したい
- 苦手を克服したい
このような方向けに解説をしていきます。
【今回わかること】
- 合成抵抗とはなにか
- 合成抵抗の公式
- 公式の成り立ちと立体図イメージ
「合成抵抗」とは複数の抵抗を1個扱いにしたもの
回路内に複数の抵抗があるとき、それぞれの抵抗での電圧や電流を調べるのはすこし面倒です。
「結局回路全体での通りにくさはいくつになるんだろう？」
この疑問が解消できれば、
- 回路全体の抵抗値がわかる
- 回路全体を流れる電流がわかる
- 回路の立体的イメージと、通りにくさのイメージから「電流・電圧」を簡単に求めることができる
という流れで問題を解くことができます。
「回路全体の抵抗値を求める」というのは、「複数の抵抗を1個の抵抗とみなして、その抵抗の抵抗値を求める」ということ。
今回は抵抗が2個のときの合成抵抗を求めますが、3個4個と増えても考え方は同じです。
直列
並列
イメージ重視の合成抵抗
オームの法則のときは、抵抗＝すべり台でイメージしました。
今回の合成抵抗では、「抵抗＝通りにくいボコボコ道」でイメージを固めていきましょう！
直列の合成抵抗
1つのボコボコ道での通りにくさを100としましょう。
ボコボコ道が直列、つまり連続でつながってる場合は両方のボコボコ道を必ず通ることになります。
正電荷は通りにくさ100の道を通過後、また通りにくさ100の道を通過することになる。
つまり全体として、通りにくさ200の道を1回通ったのと同じ状況です。
よって直列の場合は、通りにくさを足し合わせた道1つを通ったとみなせばいいということになります。
並列の合成抵抗
1つのボコボコ道での通りにくさを100としましょう。
ボコボコ道が並列、つまり並んでつながってる場合は、それぞれのボコボコ道に分散して通ることになります。
正電荷から見れば、道が二択になったのは、入り口の面積が2倍になったのと同じです。
つまり抵抗値の求め方 \(\displaystyle R=ρ\frac{l}{S}\) より、通りにくさ50の道を1回通ったのと同じ状況になります。
よって並列の場合は、通りにくさが半分になった道1つを通ったとみなせばいいということになります。
ただし、この例のように同じ通りにくさのとき限定で、合成抵抗値は半分になります。
2つの抵抗値が違う場合は、このあと登場する公式を使って求めましょう！
合成抵抗の公式
直列の場合は、先ほどのイメージ通りに合成抵抗値を求めることができますが、並列はイメージのみだと厳しいです。
そんなときは公式を使って合成抵抗値を求めてしまいましょう！
直列接続のときの公式
それぞれの抵抗値を足すだけなので、イメージ方法とピッタリ合うでしょう！
並列接続のときの公式
並列接続の公式を使うときに、1つだけ注意するポイントがあります。
右辺の \(\displaystyle \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\) を計算し終わっても安心しないでください！
左辺は \(\displaystyle \frac{1}{R’}\) なので、 \(R’\) を求めたければ最後に逆数をとる必要があります。
このツメを忘れて間違える人が多いので、同じミスをしないように気を付けましょう。
「電磁気が苦手」は思考のクセが原因です
回路の立体図と公式の成り立ち
オームの法則と同じように、回路では立体図も重要です。
イメージだけでは納得しにくい並列の公式 \(\displaystyle \frac{1}{R’}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\) の成り立ちも見てみましょう。
直列接続の公式 \(R’=R_1+R_2\)
設定
立体図
公式の成り立ち
\[V=R_1I+R_2I\]
が成り立つとわかる。
\[V=R’I\]
が成り立つとわかる。
よって右辺同士を比べると
\[\Large R_1I+R_2I=R’I\]
となるので、\(I\) を約分してあげれば
\[\Large R_1+R_2=R’\]
の完成です。
並列接続の公式 \(\frac{1}{R’}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\)
設定
立体図
公式の成り立ち
\[I=I_1+I_2\]
また立体図から
\[V=R_1I_1…①\]
\[V=R_2I_2…②\]
とわかる。
①②より
\[\displaystyle I_1=\frac{V}{R_1} , I_2=\frac{V}{R_2}\]
これを\(I=I_1+I_2\)に代入すると
\[\displaystyle I=\frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}\]
となる。
\[V=R’I\]
これを\(I=\)に変形すると
\[\displaystyle I=\frac{V}{R’}\]
となる。
右辺同士を比べると
\[\Large \displaystyle \frac{V}{R_1}+\frac{V}{R_2}=\frac{V}{R’}\]
となり、\(V\) を約分してあげれば
\[\Large \displaystyle \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{1}{R’}\]
の完成です。
まとめ
- 合成抵抗は、複数の抵抗を1個扱いにしたもの
- 直列接続の公式は\(R’=R_1+R_2\)
- 並列接続の公式は\(\displaystyle \frac{1}{R’}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\)
例題
物理基礎の全分野を1記事で総復習できるまとめページ
この分野を体系的にマスターするなら
