今回の問題
dynamics#17【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「浮力とアルキメデスの原理」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- アルキメデスの原理: 流体中の物体が受ける浮力の大きさは、その物体が押しのけている流体の重さに等しい、という原理です。
- 浮力の公式: アルキメデスの原理を数式で表すと \(F = \rho V g\) となります。ここで \(F\) は浮力、\(\rho\) は流体の密度、\(V\) は物体が流体中に沈んでいる部分の体積、\(g\) は重力加速度の大きさです。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、与えられた浮力の大きさ\(F_0\)と、浮力の公式 \(F = \rho V g\) を結びつけます。
- この公式から、物体が水中に沈んでいる部分の体積を、与えられた文字(\(F_0, \rho_0, g\))を使って表します。
- 最後に、求めた「水中の体積」を「物体全体の体積 \(V_0\)」で割ることで、「割合」を計算します。
物体の体積のうち水中に沈んでいる部分の割合
思考の道筋とポイント
この問題の核心は、アルキメデスの原理を正しく理解し、数式で表現することです。浮力の大きさは、物体の材質や全体の大きさではなく、「押しのけた水の体積」と「水の密度」によって決まります。問題で与えられている浮力の大きさ\(F_0\)から、まず「押しのけた水の体積」、すなわち「物体が水中に沈んでいる部分の体積」を逆算します。そして、その体積が物体全体の体積の何割にあたるかを計算します。
この設問における重要なポイント
- 浮力の公式 \(F = \rho V g\) の \(V\) は、物体全体の体積ではなく、水中に沈んでいる部分の体積である。
- 公式の \(\rho\) は、物体の密度ではなく、流体（この場合は水）の密度である。
- 「割合」を求めるには、最後に全体の体積 \(V_0\) で割る必要がある。
具体的な解説と立式
物体が水中に沈んでいる部分の体積を \(V_{\text{水中}}\) とします。
アルキメデスの原理によると、物体にはたらく浮力の大きさ \(F_0\) は、押しのけた水の重さに等しいです。押しのけた水の体積は \(V_{\text{水中}}\)、水の密度は \(\rho_0\) なので、押しのけた水の質量は \(\rho_0 V_{\text{水中}}\) となります。
したがって、浮力の大きさ \(F_0\) は、
$$ F_0 = (\rho_0 V_{\text{水中}}) g \quad \cdots ① $$
と表せます。
求めたいのは、物体全体の体積 \(V_0\) に対する、水中に沈んでいる部分の体積 \(V_{\text{水中}}\) の割合、つまり \(\displaystyle\frac{V_{\text{水中}}}{V_0}\) です。
まず、式①を \(V_{\text{水中}}\) について解きます。
- アルキメデスの原理: \(F = \rho V g\)
式①の両辺を \(\rho_0 g\) で割ると、
$$ V_{\text{水中}} = \frac{F_0}{\rho_0 g} \quad \cdots ② $$
これが水中に沈んでいる部分の体積です。
次に、この体積が物体全体の体積 \(V_0\) に占める割合を計算します。
$$
\begin{aligned}
\text{割合} &= \frac{V_{\text{水中}}}{V_0} \\[2.0ex]&= \frac{1}{V_0} \cdot V_{\text{水中}}
\end{aligned}
$$
この式に②を代入すると、
$$ \text{割合} = \frac{1}{V_0} \cdot \frac{F_0}{\rho_0 g} = \frac{F_0}{\rho_0 g V_0} $$
- 浮力の公式 \(F_0 = \rho_0 \times V_{\text{水中}} \times g\) を使います。
- この式から、水に沈んでいる部分の体積 \(V_{\text{水中}}\) を求めます。式を変形すると \(V_{\text{水中}} = F_0 \div (\rho_0 g)\) となります。
- 最後に、この \(V_{\text{水中}}\) が、物体全体の体積 \(V_0\) の何割かを計算します。これは、\(V_{\text{水中}} \div V_0\) で求められます。
物体の体積のうち水中に沈んでいる部分の割合は \(\displaystyle\frac{F_0}{\rho_0 g V_0}\) です。この式は与えられたすべての文字を含んでおり、単位を考えると（力の単位）÷（力の単位）となり無次元量となるため、割合として妥当です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- アルキメデスの原理 \(F = \rho V g\):
- 核心: この問題は、浮力の大きさが「押しのけた流体の重さ」に等しいというアルキメデスの原理を、数式 \(F = \rho V g\) として正しく理解し、適用できるかに尽きます。
- 理解のポイント: この公式の各文字が何を意味するかを正確に把握することが重要です。
- \(\rho\): 流体の密度（物体の密度ではない）
- \(V\): 物体が流体中に沈んでいる部分の体積（物体全体の体積ではない）
この2点を混同しないことが、浮力の問題を解く上での絶対的な基本です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 力のつりあい: 物体が水に浮いている場合、物体にはたらく「重力」と「浮力」がつり合っています。この場合、\((\text{物体の質量}) \times g = \rho_0 V_{\text{水中}} g\) という式を立てることができます。物体の密度を\(\rho\)、体積を\(V_0\)とすると、物体の質量は \(\rho V_0\) なので、\(\rho V_0 g = \rho_0 V_{\text{水中}} g\) となり、\(\frac{V_{\text{水中}}}{V_0} = \frac{\rho}{\rho_0}\) という関係が導けます。これは「水中の体積の割合は、物体の密度と水の密度の比に等しい」という重要な結論です。
- 異なる液体に入れる: 水より密度の大きい液体（食塩水など）に入れると、浮力は大きくなるため、水中に沈む体積の割合は小さくなります。
- 初見の問題での着眼点:
- 「浮力」という言葉に反応する: 問題文に「浮力」とあれば、即座にアルキメデスの原理 \(F = \rho V g\) を思い出します。
- 公式の文字を問題文の文字に対応させる: 公式の \(F, \rho, V\) が、問題文のどの文字（\(F_0, \rho_0, V_{\text{水中}}\)など）に対応するかを一つずつ確認します。
- 最終的に何を求めるかを確認する: この問題では「割合」(\(\frac{V_{\text{水中}}}{V_0}\))がゴールです。途中で \(V_{\text{水中}}\) を求めただけで満足しないように、ゴールを常に意識します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 公式の \(V\) を物体全体の体積と勘違いする:
- 誤解: 物体の一部しか沈んでいないのに、浮力の計算で物体全体の体積 \(V_0\) を使ってしまう。
- 対策: 浮力は「押しのけた流体」が生み出す力です。したがって、関係するのは「流体を押しのけている部分」、つまり「水中に沈んでいる部分」の体積だけである、と原理から理解しましょう。
- 公式の \(\rho\) を物体の密度と勘違いする:
- 誤解: 浮力の計算で、水の密度 \(\rho_0\) ではなく、物体の密度を使ってしまう。
- 対策: これも同様に、浮力は「押しのけた流体」が生み出す力なので、関係するのは「流体の」密度です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- アルキメデスの原理 \(F = \rho V g\):
- 選定理由: この公式は、浮力という現象を定量的に扱うための唯一の基本法則です。
- 適用根拠: 浮力は、物体がそこにあることで「本来そこにあるはずだった流体」がなくなったために生じます。物体には、その「なくなった流体」にはたらいていたはずの力（周囲の流体からの圧力）が作用します。それらの合力が、結果的に「なくなった流体の重さ」と等しい大きさの上向きの力、すなわち浮力となります。この物理的な描像を理解することで、公式の各項の意味（\(\rho V\)が押しのけた流体の質量、\(\rho V g\)がその重さ）が明確になり、単なる暗記ではなくなります。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の変形は丁寧に: \(F_0 = \rho_0 V_{\text{水中}} g\) から \(V_{\text{水中}}\) を求める際に、どの文字で割るのかを明確に意識しましょう。\(V_{\text{水中}} = \frac{F_0}{\rho_0 g}\) と、移項ではなく割り算であることを確認します。
- 分数の計算: 「割合」を求める際の \(\frac{V_{\text{水中}}}{V_0}\) の計算では、\(V_{\text{水中}}\) に分数式を代入するため、分数が入れ子になります。\(\frac{F_0/\rho_0 g}{V_0}\) のような形になったら、分母の\(V_0\)は分母の\(\rho_0 g\)と同じ場所に来る、と考えて \(\frac{F_0}{\rho_0 g V_0}\) と整理します。
- 単位で検算する: 最終的な答えの単位がどうなるかを確認する習慣をつけましょう。この問題では、割合なので単位がない（無次元）はずです。答えの式の単位を計算し、[N] / ([kg/\(\text{m}^3\)] \(\cdot\) [m/\(\text{s}^2\)] \(\cdot\) [\(\text{m}^3\)]) = [N] / [kg\(\cdot\)m/\(\text{s}^2\)] = [N]/[N] となり、単位が消えることが確認できます。
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