問題の確認
dynamics#32各設問の思考プロセス
この問題は、空気抵抗のように速度に依存する力がはたらく場合の物体の運動を扱います。現実の落下運動に近いモデルであり、最終的に物体が一定の速度（終端速度）に達する現象を、ニュートンの運動方程式を用いて解析します。
この問題を解く上で中心となる物理法則は以下の通りです。
- ニュートンの運動の第二法則（運動方程式）: \(ma = F_{\text{合力}}\)。物体の運動は、常にはたらく力の合計（合力）によって決まります。
- 空気抵抗の性質: 速度に比例(\(kv\))し、常に運動と逆向きにはたらきます。
- 終端速度の条件: 速度が一定になるということは、加速度がゼロ(\(a=0\))になるということです。運動方程式から、これは合力がゼロ（力がつり合っている）状態を意味します。
この問題を解くための手順は以下の通りです。
- (1) ある瞬間の加速度を求める:
まず、落下している小球にはたらく力（下向きの重力と上向きの空気抵抗）を特定します。これらの力の合力を求め、運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) を立てて、加速度\(a\)を速さ\(v\)の関数として表します。 - (2) 終端速度を求める:
「速さが一定になる」＝「加速度a=0」という条件を、(1)で立てた運動方程式に代入します。このとき、速さ\(v\)は終端速度\(v_f\)になっています。この式を\(v_f\)について解くことで、終端速度を求めることができます。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 小球の速さがvである瞬間の加速度 a はいくらか。
問われている内容の明確化
小球の速さが \(v\) という任意の瞬間における、加速度 \(a\) を求めます。加速度 \(a\) は速さ \(v\) の関数として表されます。
具体的な解説と立式
まず、小球にはたらく力を整理します。鉛直下向きを正の向きとします。
- 重力:
- 大きさ: \(mg\)
- 向き: 鉛直下向き。座標軸の正の向きと同じなので、正(+)の力となります。
- 空気抵抗:
- 大きさ: \(kv\)
- 向き: 落下運動（下向き）と逆向き、つまり上向き。座標軸の正の向きと反対なので、負(-)の力となります。
したがって、小球にはたらく合力 \(F_{\text{合力}}\) は、
$$F_{\text{合力}} = mg – kv$$
となります。
これをニュートンの運動方程式 \(ma = F_{\text{合力}}\) に代入すると、
$$ma = mg – kv \quad \cdots ①$$
これが、この小球の運動方程式です。この式を加速度 \(a\) について解きます。
使用した物理公式:
- ニュートンの運動方程式: \(ma = F_{\text{合力}}\)
- 空気抵抗: \(F_{\text{抵抗}} = kv\)
計算過程
式①の両辺を質量 \(m\) で割って、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{mg – kv}{m} \\[2.0ex]&= g – \frac{k}{m}v
\end{aligned}
$$
計算方法の平易な説明
- 小球には、下向きに重力 \(mg\)、上向きに空気抵抗 \(kv\) がはたらいています。
- 下向きをプラスとすると、力の合計（合力）は「\(mg – kv\)」となります。
- 運動方程式「質量 × 加速度 = 合力」に当てはめると、「\(m \times a = mg – kv\)」という式ができます。
- この式を \(a\) について解くと、答えが求まります。
この設問における重要なポイント
- 運動方向と逆向きにはたらく抵抗力に、負の符号を正しくつけること。
- 加速度が、速さ\(v\)によって変化する関数として表されることを理解すること。
\(\displaystyle a = g – \frac{k}{m}v\)
(2) 小球の速さはやがて一定になる。その速さ(終端速度) \(v_{f}\) はいくらか。
問われている内容の明確化
落下する小球の速さが最終的に一定になったときの速度、すなわち終端速度 \(v_f\) を求めます。
具体的な解説と立式
「速さが一定になる」ということは、速度が変化しない、つまり加速度がゼロ (\(a=0\)) になることを意味します。
(1)で立てた運動方程式 ① において、\(a=0\) となったときの速さが終端速度 \(v_f\) です。
$$m \times 0 = mg – kv_f$$
この式は、
$$0 = mg – kv_f$$
となり、変形すると、
$$kv_f = mg \quad \cdots ②$$
となります。これは、下向きの重力と上向きの空気抵抗が完全につり合っている状態を表しています。このつり合いの式を \(v_f\) について解きます。
使用した物理法則:
運動方程式における \(a=0\) の条件（力のつり合い）
計算過程
式② \(kv_f = mg\) の両辺を \(k\) で割って、\(v_f\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_f &= \frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$
計算方法の平易な説明
- 落下し始めは速度が0なので、空気抵抗も0です。重力だけがはたらき、下向きに加速します。
- スピードが上がると、空気抵抗 \(kv\) もだんだん大きくなります。
- やがて、上向きの空気抵抗の大きさが、下向きの重力の大きさとぴったり同じになります。
- この瞬間、上向きの力と下向きの力がつり合うので、合力がゼロになり、それ以上加速しなくなります。このときの速さが終端速度です。
- したがって、「空気抵抗 = 重力」すなわち「\(kv_f = mg\)」という式を解けば、終端速度が求まります。
この設問における重要なポイント
- 「速さが一定」を「加速度が0」、さらに「合力が0（力がつり合っている状態）」と読み替えられること。
\(\displaystyle v_f = \frac{mg}{k}\)
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 速度に依存する抵抗力（粘性抵抗）: 空気抵抗や液体中での抵抗のように、速さが大きいほど大きくなる抵抗力。この力のはたらきにより、物体は無限に加速し続けることができず、やがて終端速度に達する。
- 終端速度: 物体にはたらく重力と抵抗力がつり合ったときの、物体の最終的な一定の速度。スカイダイビングや雨粒の落下など、身近な現象でも見られる。
- 運動方程式と力のつり合いの関係: 力のつり合いは、運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) において加速度 \(a=0\) の特別な場合に相当する。静止している物体だけでなく、終端速度のように等速直線運動をしている物体にも適用される。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 力の図示と座標軸の設定: どのような運動の問題でも、まず物体にはたらく力をすべて図示し、座標軸の正の向きを定めることが基本です。
- 変数の区別: \(v\) は任意の瞬間における「変数」としての速さであり、\(v_f\) は \(a=0\) となる特定の「定数」としての速さです。両者を明確に区別して扱いましょう。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 終端速度でも力がはたらいていること: 終端速度に達すると加速は止まりますが、力がはたらかなくなったわけではありません。「重力」と「空気抵抗」という2つの力が、ちょうどつり合っている状態です。
- 加速度が一定だと勘違いする: この問題のように抵抗力が速度に依存する場合、加速度は一定ではありません。速度が増加するにつれて加速度は減少し、最終的にゼロになります。
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