「センサー物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 2】Step1 & 例題

Step1

① 平均の速度・加速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平面運動における平均の速度と平均の加速度」です。ベクトル量である速度と加速度の定義を正しく理解し、図形的に処理する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
まず、平均の速度を求めます。平均の速度はベクトル量なので、「大きさと向き」の両方を求める必要があります。定義式 \(\bar{\vec{v}} = \displaystyle\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\) に従い、変位ベクトル \(\Delta \vec{r}\) と経過時間 \(\Delta t\) から計算します。変位とは、物体の位置の変化を示すベクトルで、始点Aから終点Bへ向かう矢印で表されます。

次に、平均の加速度を求めます。これも同様に「大きさと向き」を持つベクトル量です。定義式 \(\bar{\vec{a}} = \displaystyle\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\) に従い、速度変化ベクトル \(\Delta \vec{v}\) を計算する必要があります。\(\Delta \vec{v}\) は、後の速度 \(\vec{v}_B\) から前の速度 \(\vec{v}_A\) を引いたもの (\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\)) であり、ベクトルの引き算によって求めます。

この設問における重要なポイント

• 平均の速度: 「道のり」ではなく「変位」を使って計算します。変位は始点と終点を結ぶ直線的なベクトルです。問題の図にある \(3.6\,\text{m}\) は、この変位の大きさを表しています。
• 平均の加速度: 速度はベクトルなので、大きさが同じでも向きが変われば速度は変化しています。この「速度の変化」\(\Delta \vec{v}\) をベクトルとして正しく作図し、その大きさと向きを求めることが最も重要です。ベクトルの引き算 \(\vec{v}_B – \vec{v}_A\) は、\(\vec{v}_B + (-\vec{v}_A)\) という足し算として考えると作図しやすくなります。

具体的な解説と立式
1. 平均の速度の算出

点Aから点Bへの変位を \(\Delta \vec{r}\)、経過時間を \(\Delta t\) とします。

平均の速度 \(\bar{\vec{v}}\) は、定義により次式で与えられます。
$$ \bar{\vec{v}} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} $$
この式は、平均の速度の向きが変位 \(\Delta \vec{r}\) の向き（AからBの向き）と同じであり、その大きさ \(|\bar{\vec{v}}|\) が変位の大きさ \(|\Delta \vec{r}|\) を経過時間 \(\Delta t\) で割ったものであることを意味します。

問題文より、\(|\Delta \vec{r}| = 3.6\,\text{m}\)、\(\Delta t = 2.0\,\text{s}\) です。

したがって、平均の速度の大きさは次の式で求められます。
$$ |\bar{\vec{v}}| = \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t} $$

2. 平均の加速度の算出

点Aでの速度を \(\vec{v}_A\)、点Bでの速度を \(\vec{v}_B\) とします。

平均の加速度 \(\bar{\vec{a}}\) は、定義により次式で与えられます。
$$ \bar{\vec{a}} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\vec{v}_B – \vec{v}_A}{\Delta t} $$
ここで、速度変化ベクトル \(\Delta \vec{v} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) の大きさと向きを求める必要があります。

問題文より、\(\vec{v}_A\) は北向きで大きさ \(2.0\,\text{m/s}\)、\(\vec{v}_B\) は東向きで大きさ \(2.0\,\text{m/s}\) です。

\(\Delta \vec{v}\) は、ベクトル \(\vec{v}_B\) と、ベクトル \(\vec{v}_A\) の逆ベクトル \(-\vec{v}_A\)（南向き、大きさ \(2.0\,\text{m/s}\)）の和として考えることができます。

\(\vec{v}_B\)（東向き）と \(-\vec{v}_A\)（南向き）は直交しているため、これらのベクトルを2辺とする直角三角形を考えると、その斜辺が \(\Delta \vec{v}\) となります。三平方の定理より、その大きさ \(|\Delta \vec{v}|\) は次のように求められます。
$$ |\Delta \vec{v}| = \sqrt{|\vec{v}_B|^2 + |-\vec{v}_A|^2} $$
平均の加速度の大きさ \(|\bar{\vec{a}}|\) は、この \(|\Delta \vec{v}|\) を \(\Delta t\) で割ることで得られます。
$$ |\bar{\vec{a}}| = \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} $$

1. 平均の速度

• 向き: 変位 \(\Delta \vec{r}\) の向きと同じなので、「AからBの向き」となります。
• 大きさ:
  $$
  \begin{aligned}
  |\bar{\vec{v}}| &= \frac{3.6}{2.0} \\[2.0ex]&= 1.8 \, \text{[m/s]}
  \end{aligned}
  $$

よって、平均の速度は AからBの向きに \(1.8\,\text{m/s}\) です。

2. 平均の加速度

• 向き: 速度変化 \(\Delta \vec{v} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) の向きを考えます。これは、東向きのベクトル \(\vec{v}_B\) と南向きのベクトル \(-\vec{v}_A\) の合成ベクトルの向きです。したがって、向きは「南東向き」となります。
• 大きさ:まず、速度変化の大きさ \(|\Delta \vec{v}|\) を三平方の定理を用いて計算します。
  $$
  \begin{aligned}
  |\Delta \vec{v}| &= \sqrt{|\vec{v}_B|^2 + |-\vec{v}_A|^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{(2.0)^2 + (2.0)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{4.0 + 4.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{8.0} \\[2.0ex]&= 2\sqrt{2} \, \text{[m/s]}
  \end{aligned}
  $$
  次に、この \(|\Delta \vec{v}|\) を経過時間 \(\Delta t = 2.0\,\text{s}\) で割って、平均の加速度の大きさ \(|\bar{\vec{a}}|\) を求めます。
  $$
  \begin{aligned}
  |\bar{\vec{a}}| &= \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} \\[2.0ex]&= \frac{2\sqrt{2}}{2.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{2} \\[2.0ex]&\approx 1.41 \, \text{[m/s}^2\text{]}
  \end{aligned}
  $$
  問題文の数値が2桁の有効数字なので、答えもそれに合わせて \(1.4\,\text{m/s}^2\) とします。よって、平均の加速度は 南東の向きに \(1.4\,\text{m/s}^2\) です。

平均の速度:

「平均の速度」は、スタートからゴールまでを一直線に結んだ方向（AからBの向き）に、平均してどれくらいの速さで進んだか、ということです。

AからBまでの直線距離 \(3.6\,\text{m}\) を \(2.0\,\text{s}\) で移動したので、速さの大きさは単純な割り算で \(3.6 \div 2.0 = 1.8\,\text{m/s}\) となります。

平均の加速度:

「平均の加速度」は、「速度がどの向きに、1秒あたりどれだけ変化したか」を表します。

速度は「北向き \(2.0\,\text{m/s}\)」から「東向き \(2.0\,\text{m/s}\)」に変わりました。この変化分を求めるには、「変化後の速度（東向き）」から「変化前の速度（北向き）」をベクトルとして引き算します。

作図をすると、この引き算の結果は「南東向き」のベクトルになります。

その大きさは、一辺が \(2.0\) の直角二等辺三角形の斜辺の長さと同じになり、\(2\sqrt{2}\,\text{m/s}\) です。

この速度変化が \(2.0\,\text{s}\) の間に起こったので、1秒あたりの変化量（加速度の大きさ）は \(2\sqrt{2} \div 2.0 = \sqrt{2} \approx 1.4\,\text{m/s}^2\) となります。

② 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」です。川の流れがある中で運動する物体の、静止した観測者（川岸）から見た速度を求める問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題で求められているのは「泳いでいる人の川岸に対する速さ」です。これは、静止している川岸から見たときの人の速さを意味します。この速度は、人が自力で泳ぐ速度（静水に対する速度）と、川が流れる速度の2つをベクトルとして足し合わせた「合成速度」になります。
問題には2つの状況が設定されています。

1. 川上に向かって泳ぐとき：人の泳ぐ向きと川の流れの向きが一直線上で逆向きです。
2. 川の流れに垂直な向きに泳ぐとき：人の泳ぐ向きと川の流れの向きが直角です。

これらの状況に応じて、ベクトルの足し算を正しく行うことが重要です。

この設問における重要なポイント

• 速度の合成則: 川岸から見た人の速度 \(\vec{v}_{\text{人地}}\) は、人の静水に対する速度 \(\vec{v}_{\text{人水}}\) と、川の地面に対する速度 \(\vec{v}_{\text{水地}}\) の和で表されます。\(\vec{v}_{\text{人地}} = \vec{v}_{\text{人水}} + \vec{v}_{\text{水地}}\)
• 言葉の対応:
  • 「静水に対して速さ\(1.6\,\text{m/s}\)で泳ぐ」 → \(|\vec{v}_{\text{人水}}| = 1.6\,\text{m/s}\)
  • 「流速\(1.2\,\text{m/s}\)」 → \(|\vec{v}_{\text{水地}}| = 1.2\,\text{m/s}\)
  • 「川岸に対する速さ」 → \(|\vec{v}_{\text{人地}}|\) を求める。
• ベクトルの計算: 速度はベクトル量なので、向きを常に考慮する必要があります。一直線上の場合は符号（プラス・マイナス）で、平面の場合は作図や成分分解、三平方の定理で考えます。

具体的な解説と立式
人の静水に対する速度を \(\vec{v}_{\text{人水}}\)、川の流れの速度（地面に対する水の速度）を \(\vec{v}_{\text{水地}}\)、人の川岸に対する速度を \(\vec{v}_{\text{人地}}\) とします。

速度の合成則より、以下の関係が成り立ちます。
$$ \vec{v}_{\text{人地}} = \vec{v}_{\text{人水}} + \vec{v}_{\text{水地}} $$
問題で与えられている値は \(|\vec{v}_{\text{人水}}| = 1.6\,\text{m/s}\)、\(|\vec{v}_{\text{水地}}| = 1.2\,\text{m/s}\) です。

1. 川上に向かって泳ぐ場合

この場合、人の泳ぐ向き（川上）と川の流れの向き（川下）は互いに逆向きです。

川上を正の向きとすると、各速度はスカラーとして次のように表せます。

• 人の静水に対する速度: \(+1.6\,\text{m/s}\)
• 川の流れの速度: \(-1.2\,\text{m/s}\)

したがって、川岸に対する速さ \(v_1\) は、これらの代数和で求められます。
$$ v_1 = 1.6 + (-1.2) $$

2. 川の流れに対して垂直な向きに泳ぐ場合

この場合、人の泳ぐ速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{人水}}\) と川の流れの速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{水地}}\) は互いに直交します。

合成速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{人地}}\) は、この2つのベクトルを2辺とする直角三角形の斜辺に相当します。

したがって、その大きさである速さ \(v_2\) は、三平方の定理を用いて計算できます。
$$ v_2 = \sqrt{ |\vec{v}_{\text{人水}}|^2 + |\vec{v}_{\text{水地}}|^2 } $$

1. 川上に向かって泳ぐ場合

川岸に対する速さ \(v_1\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= 1.6 – 1.2 \\[2.0ex]&= 0.4 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して、\(0.4\,\text{m/s}\) となります。

2. 川の流れに対して垂直な向きに泳ぐ場合

川岸に対する速さ \(v_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \sqrt{ (1.6)^2 + (1.2)^2 } \\[2.0ex]&= \sqrt{ 2.56 + 1.44 } \\[2.0ex]&= \sqrt{ 4.00 } \\[2.0ex]&= 2.0 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して、\(2.0\,\text{m/s}\) となります。

川を上る場合:

自分が一生懸命、川上に向かって秒速 \(1.6\,\text{m}\) で進もうとしても、川自体が逆向きに秒速 \(1.2\,\text{m}\) で流れています。そのため、自分の頑張りが川の流れによって一部打ち消されてしまいます。岸から見ている人にとっては、差し引きした分の速さ、つまり \(1.6 – 1.2 = 0.4\,\text{m/s}\) でしか川を上れていないように見えます。

川を横切る場合:

自分がまっすぐ対岸に向かって秒速 \(1.6\,\text{m}\) で泳いでいるとします。しかし、その間にも川の流れによって、自分は秒速 \(1.2\,\text{m}\) で川下に流されています。その結果、岸から見ると、前に進む動きと横に流される動きが合わさって、斜め下流の方向に進んでいるように見えます。このときの速さは、縦が \(1.6\)、横が \(1.2\) の直角三角形の斜辺の長さを求めるのと同じ計算になり、\(\sqrt{1.6^2 + 1.2^2} = 2.0\,\text{m/s}\) となります。

③ 速度の分解

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ベクトルの分解」です。特に、平面上の速度ベクトルを直交する2つの成分に分ける方法を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
物理では、力や速度のような斜め方向のベクトルを、水平方向（x軸）と鉛直方向（y軸）のように、互いに直角な2つの方向の成分に分けて考えると、現象を分析しやすくなることが多くあります。これを「ベクトルの分解」と呼びます。
この問題では、速さ \(2.0\,\text{m/s}\) でx軸から \(30^\circ\) の向きに進む物体の速度を、x成分とy成分に分解します。これは、速度ベクトルを斜辺とする直角三角形を描き、その底辺と高さを求める作業に相当します。

この設問における重要なポイント

• ベクトルの分解と三角比: 大きさ \(V\) のベクトルがx軸の正の向きと角 \(\theta\) をなすとき、その成分は以下のように表せます。
  • x成分 \(V_x = V \cos\theta\)
  • y成分 \(V_y = V \sin\theta\)
• \(30^\circ\) の三角比: この問題では \(\theta = 30^\circ\) なので、\(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) と \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) の値を使います。
• 有効数字: 問題で与えられている速さが \(2.0\,\text{m/s}\) と有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁で答える必要があります。例えば、\(\sqrt{3} \approx 1.732…\) は \(1.7\) とします。

具体的な解説と立式
物体の速度を \(\vec{v}\) とし、その大きさを \(v\)、x軸とのなす角を \(\theta\) とします。

問題の図から、\(v = 2.0\,\text{m/s}\)、\(\theta = 30^\circ\) です。

速度のx成分を \(v_x\)、y成分を \(v_y\) とすると、これらは三角比を用いて次のように表すことができます。

速度ベクトル \(\vec{v}\) を斜辺とする直角三角形を考えると、x成分 \(v_x\) は底辺の長さに、y成分 \(v_y\) は高さに相当します。

したがって、
$$ v_x = v \cos\theta $$
$$ v_y = v \sin\theta $$
と立式できます。

与えられた値を「具体的な解説と立式」で立てた式に代入して計算します。

x成分の計算:
$$
\begin{aligned}
v_x &= v \cos\theta \\[2.0ex]&= 2.0 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 2.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= \sqrt{3} \\[2.0ex]&\approx 1.732…
\end{aligned}
$$
有効数字2桁にすると \(1.7\,\text{m/s}\) となります。

y成分の計算:
$$
\begin{aligned}
v_y &= v \sin\theta \\[2.0ex]&= 2.0 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex]&= 2.0 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 1.0 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
こちらは計算結果がちょうど \(1.0\) となり、有効数字2桁の条件を満たしています。

斜め \(30^\circ\) の向きに進む速さ \(2.0\,\text{m/s}\) を、「横方向（x方向）にどれだけ進むか」と「縦方向（y方向）にどれだけ進むか」の2つの部分に分けると考えます。

これは、斜辺の長さが \(2.0\) で、一つの角が \(30^\circ\) の直角三角形の、底辺と高さを求めるのと同じです。

数学で習う特別な直角三角形（\(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)）の辺の比は \(1 : \sqrt{3} : 2\) です。

• 斜辺（元の速さ） が \(2\) に対応し、その長さが \(2.0\,\text{m/s}\) です。
• 高さ（y成分） は \(1\) に対応するので、速さは \(2.0 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 1.0\,\text{m/s}\) となります。
• 底辺（x成分） は \(\sqrt{3}\) に対応するので、速さは \(2.0 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.7\,\text{m/s}\) となります。

④ 速度の合成・分解

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ベクトルの成分からの合成」です。互いに直交する2つの速度成分から、元の速度の大きさ（速さ）を求める、ベクトルの分解の逆の操作にあたります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、x方向とy方向の速度成分が分かっているときに、それらを合成した結果である元の速度の大きさ（速さ）を求めるものです。これは、前の問題で扱った「ベクトルの分解」のちょうど逆の計算プロセスとなります。
速度のx成分とy成分は互いに直角な関係にあるため、この2つのベクトルを辺とする長方形を考えることができます。このとき、合成された速度ベクトルは長方形の対角線に一致します。したがって、この対角線の長さを求めることで、物体の速さが分かります。

この設問における重要なポイント

• ベクトルの合成: 速度のx成分ベクトルを \(\vec{v}_x\)、y成分ベクトルを \(\vec{v}_y\) とすると、元の速度ベクトル \(\vec{v}\) は \(\vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y\) と表せます。
• 速さの計算: x成分の大きさ \(v_x\) とy成分の大きさ \(v_y\) が分かっているとき、合成された速度の大きさである速さ \(v\) は、三平方の定理を用いて次式で計算できます。
  $$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
• 3:4:5の直角三角形: この問題で与えられている速度成分の大きさは \(3.0\,\text{m/s}\) と \(4.0\,\text{m/s}\) です。この「3と4」という数字の組み合わせから、辺の比が「3:4:5」となる有名な直角三角形を連想できると、計算を簡略化できます。

具体的な解説と立式
物体の速度のx成分を \(v_x\)、y成分を \(v_y\) とします。問題文より、
$$ v_x = 3.0 \, \text{[m/s]} $$
$$ v_y = 4.0 \, \text{[m/s]} $$
です。

求める物体の速さを \(v\) とします。

速度のx成分とy成分は互いに直交しているため、速さ \(v\) は、\(v_x\) と \(v_y\) を2辺とする直角三角形の斜辺の長さに相当します。

したがって、三平方の定理により、以下の関係式が成り立ちます。
$$ v^2 = v_x^2 + v_y^2 $$
これを \(v\) について解くと、
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
となります。

「具体的な解説と立式」で立てた式に、与えられた数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{(3.0)^2 + (4.0)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{9.0 + 16.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{25.0} \\[2.0ex]&= 5.0 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
したがって、物体の速さは \(5.0\,\text{m/s}\) となります。

この問題は、地図の上で「東に \(3.0\,\text{m}\) 進み、次に北に \(4.0\,\text{m}\) 進んだ。スタート地点からゴール地点までの直線距離は何mですか？」と聞かれているのと全く同じ考え方で解くことができます。

横方向の速さが \(3.0\,\text{m/s}\)、縦方向の速さが \(4.0\,\text{m/s}\) なので、実際の速さは、底辺が \(3.0\)、高さが \(4.0\) の直角三角形の斜辺の長さを求める計算になります。

これは数学でよく出てくる「3:4:5」の比を持つ直角三角形です。したがって、計算するまでもなく、斜辺の長さは \(5.0\) になると分かります。よって、物体の速さは \(5.0\,\text{m/s}\) です。

⑤ 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度」です。動いている観測者から見た他の物体の運動を、ベクトルの引き算を用いて考える問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
「〜から見たときの速さ」という問いは、相対速度を求める問題の典型的な表現です。相対速度を考える基本は、「相手の速度から自分の速度を（ベクトルとして）引く」ことです。
この問題では、観測者である「自動車に乗っている人」の速度と、観測対象である「電車」の速度が与えられています。2つのケースが設定されており、1つ目は両者が同じ直線上を運動する場合、2つ目は互いに直角な方向に運動する場合です。それぞれの状況で、ベクトルの引き算を正しく実行することが求められます。

この設問における重要なポイント

• 相対速度の公式: 自動車（観測者）から見た電車（相手）の相対速度 \(\vec{v}_{\text{相対}}\) は、電車の速度 \(\vec{v}_{\text{電車}}\) から自動車の速度 \(\vec{v}_{\text{自動車}}\) を引いて求めます。
  $$ \vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{電車}} – \vec{v}_{\text{自動車}} $$
• ベクトルの引き算の考え方: \(\vec{A} – \vec{B}\) という計算は、\(\vec{A} + (-\vec{B})\) と同じです。つまり、「相手の速度ベクトル」に「自分の速度の逆ベクトル」を足し合わせると考えると、特に平面運動の場合に作図しやすくなります。
• 速さとは大きさ: 問題で問われているのは相対速度の「速さ」なので、計算結果のベクトルの「大きさ」を答える必要があります。

具体的な解説と立式
電車の（地面に対する）速度を \(\vec{v}_{\text{電}}\)、自動車の（地面に対する）速度を \(\vec{v}_{\text{自}}\) とします。

自動車に乗っている人から見た電車の相対速度 \(\vec{v}_{\text{相対}}\) は、公式より次のように表せます。
$$ \vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{電}} – \vec{v}_{\text{自}} $$
問題文より、\(|\vec{v}_{\text{電}}| = 15\,\text{m/s}\)（北向き）です。

1. 自動車が北向きに速さ \(20\,\text{m/s}\) で走る場合

この場合、電車と自動車は同じ直線上を運動します。北向きを正の向きとすると、各速度はスカラーとして扱えます。

• 電車の速度: \(v_{\text{電}} = +15\,\text{m/s}\)
• 自動車の速度: \(v_{\text{自}} = +20\,\text{m/s}\)

よって、相対速度 \(v_{\text{相対1}}\) は、
$$ v_{\text{相対1}} = v_{\text{電}} – v_{\text{自}} $$

2. 自動車が東向きに速さ \(20\,\text{m/s}\) で走る場合

この場合、電車と自動車の速度ベクトルは直交しています。

• \(\vec{v}_{\text{電}}\): 北向き、大きさ \(15\,\text{m/s}\)
• \(\vec{v}_{\text{自}}\): 東向き、大きさ \(20\,\text{m/s}\)

相対速度ベクトル \(\vec{v}_{\text{相対2}}\) は、\(\vec{v}_{\text{電}} – \vec{v}_{\text{自}}\) で計算します。これは、北向きの \(\vec{v}_{\text{電}}\) と、西向きの \(-\vec{v}_{\text{自}}\)（大きさ \(20\,\text{m/s}\)）のベクトル和に等しくなります。

この2つのベクトルは直交しているため、求める速さ（相対速度の大きさ） \(| \vec{v}_{\text{相対2}} |\) は、三平方の定理を用いて計算できます。
$$ | \vec{v}_{\text{相対2}} | = \sqrt{ |\vec{v}_{\text{電}}|^2 + |-\vec{v}_{\text{自}}|^2 } $$

1. 自動車が北向きの場合
$$
\begin{aligned}
v_{\text{相対1}} &= 15 – 20 \\[2.0ex]&= -5 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
速さは速度の大きさなので、絶対値をとって \(|-5| = 5\,\text{m/s}\) となります。

2. 自動車が東向きの場合
$$
\begin{aligned}
| \vec{v}_{\text{相対2}} | &= \sqrt{ 15^2 + 20^2 } \\[2.0ex]&= \sqrt{ 225 + 400 } \\[2.0ex]&= \sqrt{ 625 } \\[2.0ex]&= 25 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
したがって、速さは \(25\,\text{m/s}\) となります。

「相対速度」とは、「自分が止まっていると仮定したとき、相手がどのように動いて見えるか」ということです。

1. 自動車が北向き（追い越される状況）

あなたが北向きに \(20\,\text{m/s}\) で走る自動車に乗っていて、隣の線路を電車が同じ北向きに \(15\,\text{m/s}\) で走っています。あなたの方が速いので、電車はだんだん後ろに遠ざかっていくように見えます。その速さは、お互いの速度の差である \(20 – 15 = 5\,\text{m/s}\) です。

2. 自動車が東向き（直角に交差する状況）

あなたが東向きに \(20\,\text{m/s}\) で走る自動車に乗っていると、周りの景色はすべて西向きに \(20\,\text{m/s}\) で動いて見えます。一方、電車は北向きに \(15\,\text{m/s}\) で進んでいます。あなたから見ると、電車はこの「北向きの動き」と「景色の動き（西向き）」が合わさって、「北西」の方向に進んでいるように見えます。その速さは、底辺が \(20\)、高さが \(15\) の直角三角形の斜辺の長さを求めるのと同じで、\(\sqrt{15^2 + 20^2} = 25\,\text{m/s}\) となります。

⑥ 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射」です。物体を水平に投げ出したときの運動を、水平方向と鉛直方向に分けて考えることが基本となります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
水平投射は、一見すると複雑な放物線を描く運動ですが、その本質は「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」という2つの単純な運動が同時に起こっているだけ、と捉えることが最も重要です。
つまり、横には一定の速さで進み続け、縦にはだんだん速くなりながら落ちていく、という2つの動きを別々に計算し、最後に組み合わせればよいのです。この「運動の独立性」を理解することが、放物運動を攻略する鍵となります。

この設問における重要なポイント

• 水平方向: 速度は常に一定の \(10\,\text{m/s}\) です。加速度は \(0\) です。
• 鉛直方向: 初速度は \(0\) です。重力加速度 \(g\)（通常 \(9.8\,\text{m/s}^2\)）で加速しながら落下します。
• 時間: 水平方向に進む時間と、鉛直方向に落下する時間は共通です。この問題では \(4.0\,\text{s}\) が両方の運動で使われます。
• 有効数字: 問題で与えられている数値は初速度 \(10\,\text{m/s}\)（2桁）、時間 \(4.0\,\text{s}\)（2桁）です。重力加速度 \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) も2桁なので、計算結果は有効数字2桁で答えるのが適切です。

具体的な解説と立式
水平方向と鉛直方向に分けて考えます。

1. 水平到達距離の計算

水平方向の運動は、初速度 \(v_0 = 10\,\text{m/s}\) の等速直線運動です。

時間 \(t = 4.0\,\text{s}\) 後の水平到達距離を \(x\,\text{[m]}\) とすると、次の式が成り立ちます。
$$ x = v_0 t $$

2. 鉛直方向の落下距離の計算

鉛直方向の運動は、初速度 \(0\) の自由落下運動です。

時間 \(t = 4.0\,\text{s}\) 後の鉛直方向の落下距離を \(y\,\text{[m]}\) とし、鉛直下向きを正の向きとします。重力加速度の大きさを \(g = 9.8\,\text{m/s}^2\) とすると、次の式が成り立ちます。
$$ y = \frac{1}{2}gt^2 $$

1. 水平到達距離 \(x\)
$$
\begin{aligned}
x &= 10 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 40 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$

2. 鉛直落下距離 \(y\)
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0)^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16 \\[2.0ex]&= 9.8 \times 8.0 \\[2.0ex]&= 78.4
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁に丸めると、\(78\,\text{m}\) となります。

この物体の動きを、横方向と縦方向に分けて見てみましょう。

• 横方向の動き: 物体は秒速 \(10\,\text{m}\) の一定のスピードで横に進み続けます。したがって、\(4.0\) 秒後には、単純な掛け算で \(10 \times 4.0 = 40\,\text{m}\) 先にいます。
• 縦方向の動き: 物体は、真下にポトリと落としたときと全く同じように落ちていきます。この落下距離は \(y = \frac{1}{2}gt^2\) という公式で計算できます。\(g=9.8\)、\(t=4.0\) を代入すると、\(y = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4.0^2 = 78.4\,\text{m}\) となります。問題の数字が2桁なので、答えも四捨五入して \(78\,\text{m}\) とします。

⑦ 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射における初速度の分解」です。斜め方向に投げられた物体の運動を解析するための第一歩として、初速度を水平成分と鉛直成分に分ける操作を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
斜方投射は、物体が放物線を描いて飛んでいく運動です。この一見複雑な運動も、「水平方向の運動」と「鉛直方向の運動」に分解してしまえば、それぞれは単純な運動（等速直線運動と鉛直投げ上げ運動）の組み合わせとして理解できます。
この問題は、その分解の第一歩である「初速度の分解」を正確に行うことを目的としています。斜め向きの初速度を、水平方向の速さと鉛直方向の速さに分けることで、その後の物体の位置や速度の計算が可能になります。この操作には三角比の知識が不可欠です。

この設問における重要なポイント

• ベクトルの分解と三角比: 大きさ \(v_0\) のベクトルが、水平方向から仰角 \(\theta\) の向きを持つとき、その成分は以下のように表せます。
  • 水平成分 \(v_x = v_0 \cos\theta\)
  • 鉛直成分 \(v_y = v_0 \sin\theta\)
• 仰角: 水平線から上向きに測った角度のことです。この問題では \(30^\circ\) です。
• \(30^\circ\) の三角比: 計算には、\(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) と \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) の値を用います。
• 有効数字: 初速度が \(10\,\text{m/s}\) と有効数字2桁で与えられているため、計算結果も有効数字2桁で答える必要があります。\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、最後に結果を丸めます。

具体的な解説と立式
物体の初速度を \(\vec{v}_0\) とし、その大きさを \(v_0\)、水平方向とのなす角（仰角）を \(\theta\) とします。

問題文より、\(v_0 = 10\,\text{m/s}\)、\(\theta = 30^\circ\) です。

初速度の水平成分を \(v_x\)、鉛直成分を \(v_y\) とします。

初速度ベクトル \(\vec{v}_0\) を斜辺とする直角三角形を考えると、水平成分 \(v_x\) は底辺の長さに、鉛直成分 \(v_y\) は高さに相当します。

したがって、三角比の関係から次のように立式できます。
$$ v_x = v_0 \cos\theta $$
$$ v_y = v_0 \sin\theta $$

「具体的な解説と立式」で立てた式に、与えられた値を代入して計算します。

水平成分 \(v_x\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_x &= v_0 \cos\theta \\[2.0ex]&= 10 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 5\sqrt{3} \\[2.0ex]&\approx 5 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 8.65
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると \(8.7\,\text{m/s}\) となります。

鉛直成分 \(v_y\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_y &= v_0 \sin\theta \\[2.0ex]&= 10 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex]&= 10 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 5.0 \, \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$
こちらは計算結果がちょうど \(5.0\) となり、有効数字2桁の条件を満たしています。

斜め上 \(30^\circ\) の向きに秒速 \(10\,\text{m}\) で物体を投げたときの速さを、「横方向の速さ」と「縦方向の速さ」の2つのパートに分けると考えます。

これは、斜辺の長さが \(10\) で、一つの角が \(30^\circ\) の直角三角形の、底辺と高さを求める問題と同じです。

数学で習う、辺の比が \(1 : \sqrt{3} : 2\) となる特別な直角三角形（\(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)）を利用します。

• 斜辺（元の速さ） が比の \(2\) に対応し、その実際の長さが \(10\,\text{m/s}\) です。
• 高さ（鉛直成分） は比の \(1\) に対応するので、速さは \(10 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 5.0\,\text{m/s}\) となります。
• 底辺（水平成分） は比の \(\sqrt{3}\) に対応するので、速さは \(10 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.7\,\text{m/s}\) となります。

⑧ 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射」です。地面から斜め上方に投げ出された物体の、特定の時間後の位置（水平到達距離と高さ）を求める問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
斜方投射は、水平投射と同様に、運動を水平方向と鉛直方向に分解して考えるのが基本です。水平方向は力が働かないため「等速直線運動」、鉛直方向は重力が働くため「鉛直投げ上げ運動」となります。この2つの運動は、時間が共通である点を除いて、互いに独立しています。
まず、初速度を水平成分と鉛直成分に分解し、それぞれの方向の運動について、時間 \(t=2.0\,\text{s}\) 後の変位を計算します。
ちなみに、初速度の鉛直成分は \(v_y = 39.2 \sin 30^\circ = 19.6\,\text{m/s}\) となります。重力加速度 \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) を用いて最高点に達する時間 \(t_{\text{最高点}}\) を計算すると、\(t_{\text{最高点}} = v_y/g = 19.6/9.8 = 2.0\,\text{s}\) となり、問題で問われている時間と一致します。つまり、この問題は「小石が最高点に達したときの水平距離と高さを求めよ」という問いと同じであることがわかります。

この設問における重要なポイント

• 運動の分解:
  • 水平方向: 初速度 \(v_x = v_0 \cos\theta\) の等速直線運動。
  • 鉛直方向: 初速度 \(v_y = v_0 \sin\theta\) の鉛直投げ上げ運動（加速度 \(-g\)）。
• 座標軸と公式: 水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとると、時刻 \(t\) における位置 \((x, y)\) は以下の式で表されます。
  • 水平到達距離: \(x = (v_0 \cos\theta) t\)
  • 高さ: \(y = (v_0 \sin\theta) t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
• 有効数字: 問題で与えられている数値は \(v_0=39.2\,\text{m/s}\)（3桁）、\(t=2.0\,\text{s}\)（2桁）です。重力加速度 \(g=9.8\,\text{m/s}^2\)（2桁）を用いるため、計算結果は最も桁数の少ない有効数字2桁に合わせます。

具体的な解説と立式
初速度を \(\vec{v}_0\)、その大きさを \(v_0 = 39.2\,\text{m/s}\)、仰角を \(\theta = 30^\circ\) とします。

この初速度を水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解します。
$$ v_x = v_0 \cos\theta $$
$$ v_y = v_0 \sin\theta $$
時間 \(t=2.0\,\text{s}\) 後の水平到達距離を \(x\)、高さを \(y\) とします。重力加速度の大きさを \(g=9.8\,\text{m/s}^2\) とします。

1. 水平到達距離 \(x\) の立式

水平方向は等速直線運動なので、
$$ x = v_x t = (v_0 \cos\theta) t $$

2. 高さ \(y\) の立式

鉛直方向は鉛直投げ上げ運動なので、
$$ y = v_y t – \frac{1}{2}gt^2 = (v_0 \sin\theta) t – \frac{1}{2}gt^2 $$

1. 水平到達距離 \(x\) の計算
$$
\begin{aligned}
x &= (39.2 \times \cos 30^\circ) \times 2.0 \\[2.0ex]&= \left(39.2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times 2.0 \\[2.0ex]&= 39.2 \times \sqrt{3} \\[2.0ex]&\approx 39.2 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 67.816
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると \(68\,\text{m}\) となります。

2. 高さ \(y\) の計算
$$
\begin{aligned}
y &= (39.2 \times \sin 30^\circ) \times 2.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 \\[2.0ex]&= \left(39.2 \times \frac{1}{2}\right) \times 2.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 19.6 \times 2.0 – 19.6 \\[2.0ex]&= 39.2 – 19.6 \\[2.0ex]&= 19.6
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると \(20\,\text{m}\) となります。

斜め上に投げた小石の動きを、「横に進む動き」と「縦に上がって下がる動き」の2つに分けて考えます。

• 横の動き: まず、初速度 \(39.2\,\text{m/s}\) の横方向の成分を計算します。これは \(39.2 \times \cos 30^\circ\) です。横方向にはこの速さでずっと進み続けるので、\(2.0\) 秒後の距離は \((39.2 \times \cos 30^\circ) \times 2.0 \approx 68\,\text{m}\) となります。
• 縦の動き: 次に、初速度の縦方向の成分を計算します。これは \(39.2 \times \sin 30^\circ = 19.6\,\text{m/s}\) です。この速さで真上にボールを投げた場合、\(2.0\) 秒後にどれくらいの高さにいるかを考えます。公式 \(y = (\text{初めの縦の速さ}) \times t – \frac{1}{2}gt^2\) を使うと、\(y = 19.6 \times 2.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 = 19.6\,\text{m}\) となります。これを有効数字2桁にすると \(20\,\text{m}\) です。

ちなみに、縦の初速度 \(19.6\,\text{m/s}\) は、重力で \(2.0\) 秒たつとちょうど速さが \(0\) になります。つまり、この問題はボールが一番高い点に達したときの場所を聞いているのと同じことだったのです。

例題

例題1 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度のベクトル的解釈」です。動いている観測者から見た物体の運動を、ベクトルの作図と三角比を用いて解析する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、動いている自動車の中から見た「見かけの雨の動き（相対速度）」を手がかりに、地面に静止している人から見た「実際の雨の動き（絶対速度）」を求めるものです。核心は、これらの速度の関係を正しく理解し、ベクトルとして扱えるかどうかにあります。
「Aに対するBの相対速度 \(\vec{v}_{\text{AB}}\) は、Bの速度 \(\vec{v}_{\text{B}}\) からAの速度 \(\vec{v}_{\text{A}}\) を引いたもの」という定義式 \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) を立て、このベクトルの引き算を図形的に解釈することが攻略の鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 相対速度の公式: \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) （観測者がA、対象がB）
• ベクトルの関係式を図に変換する能力。特に、ベクトルの始点と終点を正しくつないで三角形を作ること。
• 作図した図形から直角三角形を見つけ出し、三角比を適用して辺の長さを求めること。

具体的な解説と立式
地面に対する自動車の速度を \(\vec{v}_{\text{A}}\)、地面に対する雨滴の速度を \(\vec{v}_{\text{B}}\) とします。
問題の条件から、それぞれの速度ベクトルは以下のように考えられます。

• \(\vec{v}_{\text{A}}\): 水平右向きで、大きさは \(v_{\text{A}} = 12 \text{ m/s}\)。
• \(\vec{v}_{\text{B}}\): 鉛直下向きで、求める速さを \(v_{\text{B}}\) とする。
• \(\vec{v}_{\text{AB}}\): 自動車の中の人から見た雨滴の相対速度。鉛直方向から \(60^\circ\) の角をなす向き。

観測者（自動車A）に対する対象（雨滴B）の相対速度 \(\vec{v}_{\text{AB}}\) は、定義より次式で表されます。
$$ \vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}} $$
この式を、\(\vec{v}_{\text{B}}\) について解く形に移項します。
$$ \vec{v}_{\text{B}} = \vec{v}_{\text{A}} + \vec{v}_{\text{AB}} $$
この「\(\vec{v}_{\text{A}}\) と \(\vec{v}_{\text{AB}}\) のベクトル和が \(\vec{v}_{\text{B}}\) になる」という関係を図示します。\(\vec{v}_{\text{A}}\)（水平）と \(\vec{v}_{\text{B}}\)（鉛直）は直交しているため、これらのベクトルは直角三角形を構成します。
図から、\(\vec{v}_{\text{A}}\) の大きさが直角三角形の底辺、\(\vec{v}_{\text{B}}\) の大きさが高さに対応し、その間の角が \(90^\circ\) となります。相対速度 \(\vec{v}_{\text{AB}}\) の向きが鉛直方向（\(\vec{v}_{\text{B}}\) の向き）と \(60^\circ\) の角をなすことから、以下の三角比の関係が成り立ちます。
$$ \tan 60^\circ = \frac{v_{\text{A}}}{v_{\text{B}}} $$

「具体的な解説と立式」で導いた関係式を用いて、雨滴の速さ \(v_{\text{B}}\) を計算します。
$$ \tan 60^\circ = \frac{v_{\text{A}}}{v_{\text{B}}} $$
この式を \(v_{\text{B}}\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{B}} &= \frac{v_{\text{A}}}{\tan 60^\circ} \\[2.0ex]\end{aligned}
$$
ここに \(v_{\text{A}} = 12 \text{ m/s}\) と \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{B}} &= \frac{12}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{12\sqrt{3}}{3} \\[2.0ex]&= 4\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.732\) として数値を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{B}} &\approx 4 \times 1.732 \\[2.0ex]&\approx 6.928
\end{aligned}
$$
問題文の数値が2桁であるため、有効数字2桁に丸めて、
$$ v_{\text{B}} \approx 6.9 \text{ [m/s]} $$

「自分から見た相手の速さ」は、「相手の本当の速さ」から「自分の速さ」をベクトル的に引き算したものです。逆に言うと、「相手の本当の速さ（雨が真下に落ちる速さ）」は、「自分の速さ（車が真横に進む速さ）」と「自分から見た相手の速さ（車から見て斜めに降る雨の速さ）」をベクトル的に足し算したものになります。
この3つの速度の矢印（ベクトル）をつなぐと、直角三角形が出来上がります。この三角形の横の辺の長さが車の速さ \(12 \text{ m/s}\) で、角度が \(60^\circ\) と分かっているので、三角比のタンジェント（\(\tan\)) を使って、縦の辺の長さである「雨の本当の速さ」を計算することができます。

雨滴が落下する速さは \(6.9 \text{ m/s}\) です。
この結果は、自動車の速さ \(12 \text{ m/s}\)（約 \(43 \text{ km/h}\)）に対して、雨の速さが \(6.9 \text{ m/s}\)（約 \(25 \text{ km/h}\)）であることを示しています。水平方向の速度成分が鉛直方向の速度成分よりも大きい場合、見かけの雨の角度が鉛直から大きく傾く（この問題では \(60^\circ\)）という結果は、日常的な感覚とも一致しており、物理的に妥当な値と言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度のベクトル的理解:
  • 核心: 「Aに対するBの相対速度」が、ベクトル演算 \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) で定義されることを理解し、このベクトル方程式を図形的に表現できることが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 速度はベクトル: 速度には「速さ（大きさ）」だけでなく「向き」もあります。したがって、速度の足し算や引き算は、矢印（ベクトル）の合成・分解として図形的に考える必要があります。
    • ベクトル方程式の図形化: \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) という式は、\(\vec{v}_{\text{B}} = \vec{v}_{\text{A}} + \vec{v}_{\text{AB}}\) や \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} + (-\vec{v}_{\text{A}})\) と変形できます。これらの関係を、ベクトルの矢印をつなぎ合わせて三角形として正しく作図できるかが、問題を解く上での最大の鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 川を渡る船の問題: 「川の水の速度」が観測者の速度、「静水に対する船の速度」が相対速度、「岸から見た船の速度」が絶対速度に対応します。最短時間で渡る条件や、最短距離で対岸に到達する条件などを問う問題は頻出です。
  • 風の中を飛ぶ飛行機の問題: 「風の速度」と「対気速度（風がないとしたときの飛行機の速度）」から、「対地速度（地面から見た実際の速度）」を求める問題。これも全く同じ考え方で解けます。
  • 動く物体同士の衝突や接近: 2台の車、あるいはボールと選手など、動く物体同士の位置関係を問う問題。一方を基準として相対速度を考えると、相手の動きが単純化され、見通しが良くなる場合があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準系を明確にする: 問題文中の速度が「地面に対する速度」なのか、「動く何かに対する速度」なのかを最初に区別します。「〜に対する」「〜から見た」という言葉が相対速度のヒントです。
  2. 速度ベクトルを3つ設定する: 「観測者の速度 \(\vec{v}_{\text{A}}\)」「物体の（絶対）速度 \(\vec{v}_{\text{B}}\)」「相対速度 \(\vec{v}_{\text{AB}}\)」の3つを文字で置きます。
  3. ベクトル三角形を作る: 相対速度の公式 \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) を元に、3つのベクトルで閉じた三角形を作図します。既知のベクトルと未知のベクトルを整理し、図に角度や大きさを書き込みます。
  4. 幾何学で解く: 作成した三角形が直角三角形なら「三角比」、そうでなければ「正弦定理」や「余弦定理」を使って、未知の辺の長さ（速さ）や角度を求めます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度をスカラーとして計算するミス:
  • 誤解: 速度の向きを考えず、大きさだけで \(v_{\text{AB}} = v_{\text{B}} – v_{\text{A}}\) のような足し算や引き算をしてしまう。
  • 対策: 「速度はベクトル！」と常に心に刻み、問題を読んだらまず図を描く習慣をつけましょう。ベクトルの矢印で関係を視覚化すれば、単純なスカラー計算の誤りは防げます。
• 観測者と対象の混同:
  • 誤解: 相対速度の公式 \(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\) の添字を逆にし、\(\vec{v}_{\text{A}} – \vec{v}_{\text{B}}\) と間違えてしまう。
  • 対策: 「（観測者）Aに対する（対象）Bの相対速度」は「（対象）Bの速度 – （観測者）Aの速度」という語順の対応を覚える。「相手の速度 – 自分の速度」と直感的に覚えても良いでしょう。
• ベクトル作図の誤り:
  • 誤解: \(\vec{v}_{\text{B}} = \vec{v}_{\text{A}} + \vec{v}_{\text{AB}}\) のようなベクトルの和を作図する際、矢印のつなぎ方を間違える（例：始点同士を合わせてしまう）。
  • 対策: ベクトルの和 \(\vec{a} + \vec{b}\) は、「\(\vec{a}\) の矢印の終点に、\(\vec{b}\) の矢印の始点をつなぐ」という三角形のルールを徹底してください。合成ベクトルは、全体の始点から終点に向かう矢印になります。
• 三角比の選択ミス:
  • 誤解: 作図した直角三角形において、どの辺が「対辺」「隣辺」「斜辺」にあたるかを見誤り、\(\sin, \cos, \tan\) を間違えて適用してしまう。
  • 対策: 基準となる角度（この問題では \(60^\circ\)）を決め、その角と向かい合う辺が「対辺」、隣にある辺が「隣辺」、直角の対辺が「斜辺」であることを指差し確認してから式を立てましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の定義式 (\(\vec{v}_{\text{AB}} = \vec{v}_{\text{B}} – \vec{v}_{\text{A}}\)):
  • 選定理由: 問題設定が「動いている自動車の中から雨を見る」という、まさに「動く座標系からの観測」そのものであるため。この物理現象を数学的に記述するための唯一の出発点が、この相対速度の定義式です。
  • 適用根拠: 私たちが普段「速度」として認識しているのは、地面に固定された静止座標系での速度（絶対速度）です。しかし、自動車の中の人は運動座標系にいます。この運動座標系での見え方（相対速度）と、静止座標系での速度（絶対速度）を結びつけるために、この変換式が必要不可欠となります。式の意味は「相手の絶対速度から自分の絶対速度の影響を取り除く」ということです。
• 三角比 (\(\tan\theta\)):
  • 選定理由: ベクトル関係式を図に落とし込んだ結果、幸運にも「直角三角形」という単純な図形が現れたため。直角三角形の辺の長さと角度の関係を扱う最も強力かつ基本的なツールが三角比です。
  • 適用根拠: この問題では、既知の量が「自動車の速さ \(v_{\text{A}}\)（直角三角形の隣辺）」と「見かけの角度 \(60^\circ\)」で、未知の量が「雨の速さ \(v_{\text{B}}\)（対辺）」です。この「角度・対辺・隣辺」の3つの要素を直接結びつける三角比が \(\tan\) であるため、これを選択するのが最も効率的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 三角比の値の暗記と確認: \(\sin, \cos, \tan\) の \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\) の値は瞬時に出せるようにしておくこと。不安なときは、\(1:2:\sqrt{3}\) や \(1:1:\sqrt{2}\) の三角形を素早く描いて確認する癖をつける。
• 分母の有理化: 計算途中で \(\frac{12}{\sqrt{3}}\) のようなルートが分母に来た場合、必ず有理化して \(4\sqrt{3}\) の形に直しましょう。計算の見通しが良くなり、近似値の計算も楽になります。
• 近似値の精度: \(\sqrt{2} \approx 1.41\), \(\sqrt{3} \approx 1.73\) などのよく使う値は覚えておくと便利です。筆算を行う際は、桁を揃えて丁寧に計算し、小数点以下の扱いに注意します。
• 有効数字の意識: 問題文で与えられている数値の有効数字を確認し（この問題では \(12 \text{ m/s}\) で2桁）、最終的な答えもそれに合わせる習慣をつけましょう。計算途中では1桁多く計算し、最後に四捨五入するのが基本です。\(6.928…\) を \(6.9\) と正しく丸める処理を忘れないように。

例題2 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射の運動解析」です。物体を水平に投げ出したときの運動を、水平方向と鉛直方向に分けて考える、放物運動の基本問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ボールが地面に達するまでの時間を求める問題です。この時間は、鉛直方向の運動だけで決まります。水平方向にどれだけ速く投げたとしても、真下にそっと落とした場合と地面に落ちるまでの時間は同じです。この「運動の独立性」を理解しているかが鍵となります。鉛直方向は初速度0の自由落下運動として扱います。
この設問における重要なポイント

• 水平投射の鉛直方向の運動は、初速度0の「自由落下運動」と全く同じである。
• 自由落下の変位（落下距離）の公式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正の向きとします。ボールは高さ \(h = 19.6 \text{ m}\) の位置から落下します。鉛直方向の初速度は \(v_{\text{0y}} = 0\) です。重力加速度の大きさを \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) として、等加速度直線運動の変位の式 \(y = v_{\text{0y}}t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用います。
$$ 19.6 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$

立式した方程式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
19.6 &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 \\[2.0ex]19.6 &= 4.9 t^2 \\[2.0ex]t^2 &= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex]t^2 &= 4.0
\end{aligned}
$$
時間 \(t\) は正の値なので、
$$ t = 2.0 \text{ [s]} $$

ボールが地面に落ちるまでの時間は、ボールを真横に投げる速さとは関係なく、ただ高さだけで決まります。つまり、高さ \(19.6 \text{ m}\) の場所から物を静かに手放したときと同じ時間で落ちます。物理の公式を使って、この時間を計算します。

ボールが地面に達するまでの時間は \(2.0 \text{ s}\) です。計算結果は正の値であり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ボールが水平方向に飛んだ距離 \(L\) を求める問題です。水平方向の運動は、力が働かないため「等速直線運動」となります。したがって、水平方向の速さは最初から最後まで \(14.7 \text{ m/s}\) で一定です。この速さで、(1)で求めた時間 \(t\) だけ進んだ距離を計算します。
この設問における重要なポイント

• 水平投射の水平方向の運動は「等速直線運動」である。
• 距離 = 速さ × 時間 の関係式 \(L = v_x t\) を使う。
• 時間は、(1)で求めた落下時間 \(t\) を用いる。

具体的な解説と立式
水平方向の運動は、初速度 \(v_x = 14.7 \text{ m/s}\) の等速直線運動です。ボールが空中にある時間は、(1)で求めた \(t = 2.0 \text{ s}\) です。したがって、水平方向に飛んだ距離 \(L\) は、次の式で計算できます。
$$ L = v_x \times t $$

数値を代入して \(L\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
L &= 14.7 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 29.4
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字は2桁または3桁ですが、解答の形式に合わせて有効数字2桁で答えると、
$$ L \approx 29 \text{ [m]} $$

ボールは横方向には、ずっと秒速 \(14.7 \text{ m}\) という一定のスピードで飛んでいきます。(1)で、ボールが空中にいる時間は \(2.0\) 秒間だとわかったので、「速さ × 時間」で、この間に横方向に進んだ距離を計算します。

水平方向に飛んだ距離は \(29 \text{ m}\) です。初速度と時間から単純な掛け算で求められ、計算も妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
地面に達する直前のボールの「速さ」を求める問題です。この瞬間のボールの速度は、水平方向の速度成分 \(v_x\) と鉛直方向の速度成分 \(v_y\) を持っています。速さは、この2つの速度ベクトルを合成したベクトルの大きさになります。\(v_x\) と \(v_y\) は直交しているので、三平方の定理を使って合成後の速さ \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 速度はベクトル量であり、水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解して考える。
• 水平方向の速さ \(v_x\) は、初速度のままで一定。
• 鉛直方向の速さ \(v_y\) は、自由落下の速度の公式 \(v_y = gt\) で計算できる。
• 合成速度の大きさ（速さ） \(v\) は、三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) で求められる。

具体的な解説と立式
地面に達する直前の速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) をそれぞれ求めます。
水平成分は常に一定です。
$$ v_x = 14.7 \text{ [m/s]} $$
鉛直成分は、時間 \(t = 2.0 \text{ s}\) 後の自由落下の速さなので、公式 \(v_y = gt\) を用います。
$$ v_y = 9.8 \times 2.0 $$
これらの2つの成分は直交しているため、合成後の速さ \(v\) は三平方の定理により求められます。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

まず、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 9.8 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 19.6 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、\(v_x\) と \(v_y\) を合成して速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{14.7^2 + 19.6^2}
\end{aligned}
$$
ここで、\(14.7 = 3 \times 4.9\)、\(19.6 = 4 \times 4.9\) という関係に気づくと、計算が簡単になります。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(3 \times 4.9)^2 + (4 \times 4.9)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{4.9^2 \times (3^2 + 4^2)} \\[2.0ex]&= 4.9 \times \sqrt{9 + 16} \\[2.0ex]&= 4.9 \times \sqrt{25} \\[2.0ex]&= 4.9 \times 5 \\[2.0ex]&= 24.5
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、
$$ v \approx 25 \text{ [m/s]} $$

地面にぶつかる瞬間のボールは、「横向きの動き」と「下向きの動き」を同時に持っています。横向きの速さは投げたときの \(14.7 \text{ m/s}\) のままです。下向きの速さは、\(2.0\) 秒間、重力で加速され続けた結果の速さです。この2つの速さを、ピタゴラスの定理（三平方の定理）を使って合体させることで、実際の速さを求めることができます。

地面に達する直前のボールの速さは \(25 \text{ m/s}\) です。投げたときの速さ \(14.7 \text{ m/s}\) よりも大きくなっており、落下によって加速されたことが確認でき、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解と独立性:
  • 核心: 水平投射のような2次元の運動を、互いに影響を及ぼさない「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の自由落下運動」という2つの単純な1次元運動の組み合わせとして捉えること。これが全ての設問を解く上での大原則です。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないため、速度は \(v_x = 14.7 \text{ m/s}\) のままずっと一定。
    • 鉛直方向: 重力だけが働き、初速度は0。したがって、真下に物体を静かに落とした場合と全く同じ運動（自由落下）をする。
    • 独立性: 水平方向にどれだけ速く投げても、地面に落ちるまでの時間は変わらない。この2つの運動を結びつける唯一の共通項が「時間 \(t\)」です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 初速度が斜め上や斜め下を向く問題。水平方向は等速直線運動で同じですが、鉛直方向が「鉛直投げ上げ」や「鉛直投げ下ろし」に変わります。最高点の高さや水平到達距離を求める問題が典型的です。
  • 動く物体からの投射: 一定速度で飛ぶ飛行機から物資を投下する場合など。投下された物資は、飛行機と同じ水平速度を初速度として持つため、地面にいる観測者からは水平投射として見えます。
  • 壁への衝突問題: 水平投射した物体が、前方の壁に衝突する高さを求める問題。この場合、まず水平方向の運動（等速直線運動）から壁に到達するまでの時間を算出し、その時間を使って鉛直方向の落下距離を計算するという手順になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸を設定する: まず、原点をどこに置くか（通常は投射点）、どちらの向きを正とするか（水平右向きをx軸正、鉛直下向きをy軸正とすると計算が楽）を決めます。
  2. 運動を2つに分ける: 問題用紙の余白にでも「水平方向」「鉛直方向」と見出しを書き、情報を整理します。
  3. 各方向の運動を式にする: 水平方向は \(x = v_0 t\)、鉛直方向は \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = gt\) と、使う公式を書き出します。
  4. 時間 \(t\) でつなぐ: どちらかの方向の運動から時間 \(t\) を求め、それをもう一方の運動の式に代入する、という流れを意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 水平初速度を鉛直方向の計算に使う:
  • 誤解: (1)で落下時間を計算する際に、自由落下の式に初速度 \(v_0 = 14.7 \text{ m/s}\) を入れてしまう。
  • 対策: 運動を分解した際に、「鉛直方向の初速度は0である」ことを明確に意識する。ノートを左右に分けて、水平と鉛直の情報を完全に分離して書くと、混同を防げます。
• 地面到達時の速さを鉛直成分だけと考える:
  • 誤解: (3)で、地面に達する直前の速さを、計算した鉛直成分 \(v_y = 19.6 \text{ m/s}\) のみで答えてしまう。
  • 対策: 速度はベクトルであり、地面直前では水平成分と鉛直成分の両方を持つことを忘れない。「速さ」を問われたら、必ず2つの成分を三平方の定理で「合成」する一手間が必要です。
• 力学的エネルギー保存則での初速度の扱い:
  • 誤解: (3)の別解で、投射点の運動エネルギーを0としてしまう（\(mgh = \frac{1}{2}mv^2\) と間違える）。
  • 対策: 水平投射では、始点（一番高い場所）ですでに水平方向の速さ \(v_0\) を持っているため、運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv_0^2\) であり、0ではありません。エネルギー保存則を立てる際は、始点と終点の両方で「運動エネルギー」と「位置エネルギー」の有無を必ず確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の公式群:
  • 選定理由: この問題の核心である「運動の分解」により、鉛直方向の運動は「重力加速度 \(g\) で加速し続ける運動」となります。これはまさに等加速度直線運動そのものであるため、その公式群が適用できます。
  • 適用根拠:
    • (1)では「落下距離 \(y\) から時間 \(t\) を求めたい」ので、\(y\) と \(t\) を結ぶ公式 \(y = \frac{1}{2}gt^2\) を選択します。
    • (3)では「時間 \(t\) からそのときの速度 \(v_y\) を求めたい」ので、\(t\) と \(v_y\) を結ぶ公式 \(v_y = gt\) を選択します。
• 力学的エネルギー保存則（(3)の別解）:
  • 選定理由: 運動中に働く力が「保存力である重力のみ」の場合、力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）の総和は一定に保たれます。この法則は、途中の過程を飛ばして始点と終点の状態だけを比較できるため、非常に強力です。
  • 適用根拠: (3)で問われているのは「速さ」であり、そこに至るまでの時間や軌跡は不要です。このような「結果だけを知りたい」状況では、エネルギー保存則が最もエレガントで計算が速い場合があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数値のからくりを見抜く:
  • 物理の問題で出てくる \(19.6\) や \(14.7\) といった数値は、重力加速度 \(g=9.8\) で割り切れるように作られていることが非常に多いです。\(19.6 = 2 \times 9.8\)、\(14.7 = 1.5 \times 9.8\) であることに気づくと、計算の見通しが格段に良くなります。
• 三平方の定理の工夫:
  • (3)の \(v = \sqrt{14.7^2 + 19.6^2}\) という計算は、まともにやると大変です。ここで、\(14.7 = 3 \times 4.9\) と \(19.6 = 4 \times 4.9\) という関係に気づけば、有名な \(3:4:5\) の直角三角形であることがわかります。すると、斜辺の長さは \(5 \times 4.9\) となり、\(v = 24.5\) と暗算に近いレベルで計算できます。
• 平方根の計算:
  • もし比に気づかなくても、\(\sqrt{600.25}\) を計算する際、\(20^2=400\), \(25^2=625\) であることから、答えは25に非常に近い値だと推測できます。末尾が「.25」なので、答えの末尾は「.5」ではないかと当たりをつけ、\(24.5^2\) を検算してみるのも有効なテクニックです。
• 有効数字の処理:
  • 問題で与えられた数値（\(19.6, 14.7\)）は3桁、重力加速度（\(9.8\)）は2桁です。解答は2桁または3桁で求められることが多いですが、指示に従いましょう。計算途中では多めに桁を取り、最後に四捨五入するのが鉄則です。

例題3 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射の運動解析」です。地面から斜め上方に物体を投げ出したときの運動を、水平方向と鉛直方向に分解して考える、放物運動の代表的な問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
斜め向きの初速度を、今後の計算で扱いやすいように水平方向（x軸方向）と鉛直方向（y軸方向）の成分に分解する問題です。速度はベクトル量なので、三角比を用いて正しく分解できるかが鍵となります。初速度のベクトルとx軸、y軸が作る直角三角形をイメージし、\(\cos\) と \(\sin\) を適切に使い分けます。
この設問における重要なポイント

• 初速度 \(v_0\) と仰角 \(\theta\) が与えられたとき、速度の成分は以下のように分解される。
• 水平成分: \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) （角度を挟む辺）
• 鉛直成分: \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) （角度の対辺）

具体的な解説と立式
初速度の大きさを \(v_0 = 58.8 \text{ m/s}\)、仰角を \(\theta = 30^\circ\) とします。
初速度の水平成分を \(v_{0x}\)、鉛直成分を \(v_{0y}\) とすると、三角比の関係から次のように立式できます。

水平成分 \(v_{0x}\):
$$ v_{0x} = v_0 \cos 30^\circ $$
鉛直成分 \(v_{0y}\):
$$ v_{0y} = v_0 \sin 30^\circ $$

それぞれの式に数値を代入して計算します。

水平成分の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{0x} &= 58.8 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 58.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 29.4 \times \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を用いて計算し、有効数字2桁に丸めます。
$$
\begin{aligned}
v_{0x} &\approx 29.4 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 50.862 \\[2.0ex]&\approx 51 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
鉛直成分の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{0y} &= 58.8 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex]&= 58.8 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 29.4
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めます。
$$ v_{0y} \approx 29 \text{ [m/s]} $$

斜め \(30^\circ\) に打ち出されたボールの速さを、「真横に進む速さ」と「真上に進む速さ」の2つに分けます。これは、速度の矢印を2つの辺とする長方形を考え、その辺の長さを三角比を使って求める作業と同じです。

初速度の水平成分は \(51 \text{ m/s}\)、鉛直成分は \(29 \text{ m/s}\) です。問題文の指示通り、有効数字2桁で解答できています。

問(2)

思考の道筋とポイント
ボールが最高点に達するまでの時間と、その高さを求める問題です。これらの量は、鉛直方向の運動（鉛直投げ上げ）のみに注目することで求められます。
最も重要なポイントは、「最高点では、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) が一瞬だけ0になる」という物理的条件です。この条件を使ってまず時間を求め、その時間を使って高さを計算するという流れで解きます。
この設問における重要なポイント

• 鉛直方向の運動は、初速度 \(v_{0y}\) の「鉛直投げ上げ運動」である。
• 最高点の条件は、鉛直方向の速度が \(v_y = 0\) となること。
• 鉛直投げ上げの速度の公式 \(v_y = v_{0y} – gt\) と、変位の公式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正の向きとします。重力加速度の大きさを \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\) とします。

最高点までの時間 \(t\):
鉛直方向の速度の式 \(v_y = v_{0y} – gt\) を用います。最高点では \(v_y = 0\) なので、(1)で求めた \(v_{0y} = 29.4 \text{ m/s}\) を代入して、
$$ 0 = 29.4 – 9.8t $$
最高点の高さ \(y_{\text{最大}}\):
上で求めた時間 \(t\) を、鉛直方向の変位の式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に代入して求めます。
$$ y_{\text{最大}} = 29.4 \times t – \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$

まず、時間を計算します。
$$
\begin{aligned}
0 &= 29.4 – 9.8t \\[2.0ex]9.8t &= 29.4 \\[2.0ex]t &= \frac{29.4}{9.8} \\[2.0ex]t &= 3.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
次に、この時間 \(t=3.0 \text{ s}\) を使って高さを計算します。
$$
\begin{aligned}
y_{\text{最大}} &= 29.4 \times 3.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2 \\[2.0ex]&= 88.2 – 4.9 \times 9.0 \\[2.0ex]&= 88.2 – 44.1 \\[2.0ex]&= 44.1
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めます。
$$ y_{\text{最大}} \approx 44 \text{ [m]} $$

ボールが一番高いところまで上がる、ということは、上向きに進む勢いが一瞬だけゼロになるということです。この条件を使って、そこまでにかかる時間をまず計算します。次に、その時間と上向きの初速度を使って、ボールがどれくらいの高さまで到達したのかを計算します。

最高点に達するまでの時間は \(3.0 \text{ s}\)、最高点の高さは \(44 \text{ m}\) です。計算過程、有効数字の処理ともに問題ありません。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解（斜方投射）:
  • 核心: 水平投射と同様に、斜め方向の運動を「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」という2つの独立した運動に分解して考えることが、この問題の全ての基礎となります。
  • 理解のポイント:
    • 初速度の分解: まず、斜め向きの初速度を三角比（\(\cos, \sin\)）を使って水平成分と鉛直成分に分解することから全てが始まります。
    • 水平方向: 力が働かないため、速度は初速度の水平成分のままずっと一定です。
    • 鉛直方向: 重力の影響を受け、初速度の鉛直成分による鉛直投げ上げ運動をします。速度は徐々に減少し、最高点で0になった後、今度は下向きに加速していきます。
• 最高点の物理的条件:
  • 核心: 物体が最高点に達した瞬間、その「鉛直方向の速度成分が0になる」という事実。これは、最高点までの時間や高さを計算する上で決定的な条件となります。
  • 注意点: 鉛直速度は0になりますが、水平速度は一定のまま存在するため、物体全体が静止するわけではありません。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水平到達距離と全飛行時間: 最高点までの時間を2倍すれば、元の高さに戻るまでの全飛行時間が求まります。その時間と水平速度を使えば、水平到達距離を計算できます。
  • ビルからの斜方投射: 投射点の高さが0でない問題。鉛直方向の運動を考える際に、初期位置を考慮に入れる必要があります。力学的エネルギー保存則も有効な選択肢になります。
  • 特定の角度での最大到達距離: 仰角が \(45^\circ\) のときに水平到達距離が最大になる、という有名な性質を証明・利用する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 何はともあれ初速度を分解: 問題を読んだら、まず初速度 \(v_0\) を \(v_{0x} = v_0 \cos\theta\) と \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\) に分解する作業を儀式のように行います。
  2. 鉛直運動に着目: 時間や高さを問う問題のほとんどは、鉛直方向の運動を解析することで解決します。「最高点 \(\rightarrow v_y=0\)」「地面に落下 \(\rightarrow y=0\)」など、状況に応じた条件式を立てます。
  3. 公式の選択: 「時間を求めたい」のか、「高さを求めたい」のか、「時間を経由せず求めたい」のかによって、使う公式（\(v_y = v_{0y} – gt\), \(y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\), \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\)）を戦略的に選びます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 三角比の混同（\(\cos\) と \(\sin\) の間違い）:
  • 誤解: (1)で水平成分を \(\sin\)、鉛直成分を \(\cos\) で計算してしまう。
  • 対策: 角度 \(\theta\) を「挟む」辺が \(\cos\theta\)、角度の「向かい側（対辺）」が \(\sin\theta\) と図形的に覚えましょう。毎回簡単な直角三角形を描いて確認する癖をつけると確実です。
• 最高点での速度を完全に0と勘違いする:
  • 誤解: 最高点ではボールが一瞬止まると思い、水平速度も0だと考えてしまう。
  • 対策: 0になるのはあくまで「鉛直方向の速度」だけです。ボールは最高点でも水平方向には飛び続けていることを常に意識してください。
• 重力加速度 \(g\) の符号ミス:
  • 誤解: 鉛直上向きを正と設定したにもかかわらず、公式 \(v_y = v_{0y} + gt\) のように、\(g\) を正として扱ってしまう。
  • 対策: 最初に「鉛直上向きを正」と決めたら、その向きと逆向きに働く重力加速度は「\(-g\)」として扱うことを徹底します。公式のマイナス符号の意味を正しく理解することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ベクトルの分解 (\(v_{0x} = v_0 \cos\theta, v_{0y} = v_0 \sin\theta\)):
  • 選定理由: 2次元の運動を、独立した1次元の運動（水平・鉛直）として扱うための必須の準備段階です。ベクトル量を、直交する成分に分けるための数学的な手続きが三角比です。
• 鉛直投げ上げの公式群:
  • 選定理由: 運動を分解した結果、鉛直方向の運動は初速度 \(v_{0y}\) を持ち、一定の重力加速度 \(-g\) を受ける「鉛直投げ上げ運動」そのものになるためです。
  • 適用根拠:
    • 最高点までの時間 (問2前半): 「初速度 \(v_{0y}\) がわかっていて、最終速度 \(v_y=0\) になるまでの時間 \(t\) を知りたい」という状況なので、これら3つの量を含む \(v_y = v_{0y} – gt\) が最適です。
    • 最高点の高さ (問2後半):
      • 解法1: 時間 \(t\) が既に求まっているので、\(t\) と高さ \(y\) を結びつける \(y = v_{0y}t – \frac{1}{2}gt^2\) を使うのが自然な流れです。
      • 解法2（別解）: 「時間 \(t\) を使わずに、初速度 \(v_{0y}\) と最終速度 \(v_y=0\) から直接高さ \(y\) を知りたい」という状況なので、時間を含まない \(v_y^2 – v_{0y}^2 = -2gy\) が最も効率的です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 数値のからくりに気づく:
  • この問題の数値 \(58.8\) や \(29.4\) は、\(g=9.8\) で割り切れるように作られています。\(58.8 = 6 \times 9.8\), \(29.4 = 3 \times 9.8\) です。この関係に気づくと、(2)の時間計算 \(t = 29.4 / 9.8\) が暗算で \(3.0\) と求まり、計算が大幅に楽になります。
• 有効数字の厳守:
  • 問題文に「有効数字2桁で答えよ」という明確な指示があります。計算の途中では \(29.4\) のように多めに桁を残しておき、最終的な答えを出す段階で \(50.862 \to 51\), \(29.4 \to 29\), \(44.1 \to 44\) のように指示に従って丸めることが重要です。
• 分数のまま計算する:
  • (1)の水平成分の計算で、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) を掛ける前に、\(58.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 29.4\sqrt{3}\) のように、まずは式を整理してから最後に数値を代入する癖をつけると、計算ミスが減り、見通しも良くなります。

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