「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 9】Step3

133 棒に通した小球の等速円運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、なめらかな棒に通された小球の等速円運動（円錐振り子に類似）を扱う問題です。力のつり合いと円運動の動力学という、力学の基本法則を組み合わせて解く能力が問われます。
この問題の核心は、小球に働く力を正しく図示・分解し、「鉛直方向の力のつり合い」と「水平方向の円運動の運動方程式」という2つの側面から現象を分析することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円錐振り子に類似した等速円運動」です。糸の張力の代わりに、なめらかな棒からの垂直抗力が小球の運動を支える点が特徴です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力の図示と分解: 小球に働く重力と垂直抗力を正しく図示し、運動を解析しやすい水平・鉛直方向に分解します。
2. 力のつり合い: 小球は水平面内を運動するため、鉛直方向の力はつり合っています。
3. 円運動の動力学: 水平方向には、力の合成分が向心力として働き、等速円運動を実現させます。この関係は、慣性系での運動方程式、または回転系での遠心力を含めた力のつり合いで記述できます。
4. 幾何学的な関係: 円運動の回転半径\(r\)は、与えられた高さ\(h\)と角度\(\theta\)から三角比を用いて求める必要があります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、小球に働く力をすべて図示します。次に、鉛直方向には運動がないことから、力のつり合いの式を立てて垂直抗力\(N\)を求めます（問1）。
2. 次に、図形情報から円運動の半径\(r\)を計算します。そして、水平方向の運動に着目し、運動方程式（または遠心力とのつり合いの式）を立て、(1)で求めた\(N\)の値を使って角速度\(\omega\)を計算します（問2）。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が受ける垂直抗力の大きさを求める問題です。まず、小球に働く力をすべて特定し、図示することが第一歩です。小球は水平面内で等速円運動をしているため、上下方向（鉛直方向）には動きません。このことから、鉛直方向の力はつり合っていると考え、立式します。
この設問における重要なポイント

• 力の図示: 小球に働く力は、鉛直下向きの「重力 \(mg\)」と、棒から棒の軸に垂直な向きに受ける「垂直抗力 \(N\)」の2つです。
• 力の分解: 垂直抗力 \(N\) は斜めを向いているため、これを「鉛直成分」と「水平成分」に分解します。棒が鉛直線と \(30^\circ\) の角度をなしているため、垂直抗力 \(N\) は水平線と \(30^\circ\) の角度をなします。
• 鉛直方向の力のつり合い: 垂直抗力の鉛直上向き成分 \(N \sin 30^\circ\) が、下向きの重力 \(mg\) とつり合います。

具体的な解説と立式
小球に働く力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、棒から受ける垂直抗力 \(N\) です。棒はなめらかなので、抗力は棒の軸に垂直な向きに働きます。
問題の図より、棒は鉛直線に対して \(30^\circ\) 傾いています。したがって、棒に垂直な力である垂直抗力 \(N\) は、水平線に対して \(30^\circ\) の角度をなします。

この運動では、小球は鉛直方向には移動しないため、鉛直方向の力はつり合っています。
垂直抗力 \(N\) の鉛直成分は \(N \sin 30^\circ\) で上向き、重力 \(mg\) は下向きです。
したがって、力のつり合いの式は以下のようになります。
$$ N \sin 30^\circ – mg = 0 $$

上記で立てた力のつり合いの式を \(N\) について解き、与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
N \sin 30^\circ &= mg \\[2.0ex]N &= \frac{mg}{\sin 30^\circ} \\[2.0ex]&= \frac{0.50 \times 9.8}{1/2} \\[2.0ex]&= 2 \times 0.50 \times 9.8 \\[2.0ex]&= 1.0 \times 9.8 \\[2.0ex]&= 9.8 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

小球が一定の高さを保って回り続けられるのは、地球が下に引く力（重力）と、棒が斜め上に押し返す力（垂直抗力）の「上向きの分力」が、ちょうど同じ大きさで打ち消し合っているからです。この「力のつり合い」の関係を数式にして、棒が押す力（垂直抗力）の大きさを計算します。

小球が棒から受ける垂直抗力の大きさは \(9.8 \text{ N}\) です。
小球の重力は \(mg = 0.50 \times 9.8 = 4.9 \text{ N}\) です。垂直抗力 \(N\) はこの2倍の大きさになりました。これは、\(N\) が傾いて作用しているため、その力の一部（鉛直成分）だけで重力全体を支えなければならないからです。したがって、\(N\) が重力そのものより大きくなるのは物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
棒が回転する角速度 \(\omega\) を求める問題です。小球が等速円運動を続けるためには、円の中心に向かう「向心力」が必要です。この向心力が、(1)で考えた垂直抗力 \(N\) の水平成分によって供給されています。この関係を、回転系で「遠心力」とのつり合いを考えるか、慣性系で「運動方程式」を立てることで解くことができます。ここでは、模範解答に沿って遠心力を用いた解法で解説します。
この設問における重要なポイント

• 回転半径の計算: 小球が描く円の半径 \(r\) を、支点からの高さ \(h\) と傾斜角 \(\theta\) を用いて幾何学的に求める必要があります。\(r = h \tan 30^\circ\) となります。
• 遠心力の導入（回転系の視点）: 小球とともに回転する観測者から見ると、小球には円の外側に向かって大きさ \(F = mr\omega^2\) の遠心力が働いているように見えます。
• 水平方向の力のつり合い: 回転系では、内側に向かう垂直抗力の水平成分 \(N \cos 30^\circ\) と、外側に向かう遠心力 \(F\) がつり合っていると考えます。

具体的な解説と立式
小球とともに回転する観測者の視点（回転系）で考えます。この観測者から見ると、小球は静止しており、水平方向の力がつり合っています。
水平方向に働く力は次の2つです。

1. 垂直抗力 \(N\) の水平成分: 円の中心向きに \(N \cos 30^\circ\)。
2. 遠心力 \(F\): 円の外向きに働く見かけの力。

水平方向の力のつり合いの式は、
$$ N \cos 30^\circ – F = 0 \quad \cdots ① $$
遠心力 \(F\) の大きさは、質量 \(m\)、回転半径 \(r\)、角速度 \(\omega\) を用いて次のように表されます。
$$ F = m r \omega^2 \quad \cdots ② $$
回転半径 \(r\) は、支点からの高さ \(h = 0.20 \text{ m}\) と棒の傾き \(30^\circ\) から、
$$ r = h \tan 30^\circ \quad \cdots ③ $$
と求められます。

まず、回転半径 \(r\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
r &= h \tan 30^\circ \\[2.0ex]&= 0.20 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
次に、①、②、③の式から \(F\) と \(r\) を消去し、\(\omega\) について解きます。
$$ N \cos 30^\circ = m (h \tan 30^\circ) \omega^2 $$
この式に、(1)で求めた \(N = 9.8 \text{ N}\) と与えられた値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\omega^2 &= \frac{N \cos 30^\circ}{m h \tan 30^\circ} \\[2.0ex]&= \frac{9.8 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.50 \times 0.20 \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}} \\[2.0ex]&= \frac{9.8 \times \sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{0.50 \times 0.20} \\[2.0ex]&= \frac{9.8 \times 3}{2 \times 0.10} \\[2.0ex]&= \frac{29.4}{0.20} \\[2.0ex]&= 147
\end{aligned}
$$
したがって、角速度 \(\omega\) は、
$$
\begin{aligned}
\omega &= \sqrt{147} \\[2.0ex]&= \sqrt{49 \times 3} \\[2.0ex]&= 7\sqrt{3} \\[2.0ex]&\approx 7 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 12.11 \text{ [rad/s]}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(12 \text{ rad/s}\) となります。

小球が円を描いて飛び去らずに回り続けられるのは、棒が円の内側へ押す力（垂直抗力の水平成分）と、小球が外側へ飛び出そうとする力（遠心力）がちょうど釣り合っているからです。この水平方向の力のつり合いの関係を数式にし、(1)で求めた垂直抗力の値を使って、棒の回転の速さ（角速度）を計算します。

角速度は \(\omega \approx 12 \text{ rad/s}\) です。
遠心力を用いた「力のつり合い」という考え方（回転系の視点）と、向心力を考えた「運動方程式」（慣性系の視点）のどちらを用いても、同じ結果が得られました。これは、遠心力が見かけの力であり、本質的には運動方程式と同じ物理現象を異なる視点から記述していることを示しています。どちらの解法も理解しておくことが重要です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力の分解とつり合い（鉛直方向）:
  • 核心: 小球は水平面内で運動し、鉛直方向には動かないため、鉛直方向の力はつり合っています。この問題では、斜め上向きに働く垂直抗力\(N\)を鉛直成分と水平成分に分解し、その鉛直成分が重力\(mg\)とつり合うと考えます。これが(1)を解くための最も重要な法則です。
  • 理解のポイント: \(N \sin 30^\circ = mg\) という関係式は、この物理現象を直接的に表現したものです。斜めの力を扱う問題では、運動方向とそれに垂直な方向に力を分解するのが定石です。
• 円運動の動力学（水平方向）:
  • 核心: 小球が等速円運動を続けるためには、常に円の中心方向を向く力、すなわち「向心力」が必要です。この向心力は、垂直抗力\(N\)の水平成分によって供給されています。この関係を運動方程式 \(ma=F\) で記述するのが(2)の核心です。
  • 理解のポイント: この問題は2つの視点から解くことができます。
    1. 慣性系（静止した観測者）: 垂直抗力の水平成分が向心力として働き、向心加速度 \(a=r\omega^2\) を生み出すと考え、運動方程式 \(m(r\omega^2) = N \cos 30^\circ\) を立てます。
    2. 回転系（小球と一緒に回る観測者）: 小球に働く力（垂直抗力の水平成分）と、見かけの力である「遠心力」がつり合っていると考え、力のつり合いの式 \(N \cos 30^\circ = mr\omega^2\) を立てます。

    どちらの視点も本質的には同じ物理現象を記述しており、同じ結果を導きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 円錐振り子: 糸の張力\(T\)が、この問題の垂直抗力\(N\)の役割を果たす、最も基本的な類似問題です。張力を分解して鉛直方向のつり合いと水平方向の運動方程式を立てる解法は全く同じです。
  • 内面が滑らかな円錐容器内での円運動: 容器の壁から受ける垂直抗力\(N\)が、この問題の棒からの垂直抗力と同じ役割を担います。
  • バンク（傾斜）のあるカーブを曲がる自動車: 地面からの垂直抗力\(N\)の水平成分が、自動車がカーブを曲がるための向心力となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の図示を徹底する: まず、物体に働く力をすべて（この問題では重力と垂直抗力）漏れなく図示します。これが解析の出発点です。
  2. 座標軸を適切に設定する: 運動を分析しやすいように、水平方向と鉛直方向に座標軸を設定します。斜めを向いている力は、この座標軸に沿って分解します。
  3. 運動の性質を見抜く: 「鉛直方向には静止（つり合い）」「水平方向には等速円運動（加速度運動）」というように、各方向の運動の性質を明確に区別します。これにより、どの物理法則（つり合いの式か、運動方程式か）を適用すべきかが決まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の分解における角度の間違い:
  • 誤解: 垂直抗力\(N\)を分解する際に、角度を取り違える。棒が「鉛直線」と\(30^\circ\)をなすため、棒に垂直な\(N\)は「水平線」と\(30^\circ\)をなします。これを\(60^\circ\)と勘違いしたり、分解後の成分が \(\sin\) と \(\cos\) が逆になったりするミスが頻発します。
  • 対策: 必ず図を丁寧に描き、錯角や同位角の関係を明確に確認しましょう。「基準線（鉛直線）と棒の角度」と「棒と垂直抗力の角度（90°）」の関係から、「水平線と垂直抗力の角度」を落ち着いて導き出す習慣をつけましょう。
• 向心力と遠心力の混同:
  • 誤解: 慣性系（静止系）で運動方程式を考えているにもかかわらず、遠心力を書き込んでしまう。あるいは、向心力と遠心力の両方を同時に考えてしまう。
  • 対策: 「向心力」は加速度運動の原因となる実在の力（の合力）であり、「遠心力」は回転系で導入される見かけの力です。これらは排他的な概念であり、一つの式に両方が登場することはありません。「慣性系なら運動方程式（\(ma=\)向心力）」「回転系なら力のつり合い（実在の力=遠心力）」と、視点を明確に区別しましょう。
• 回転半径\(r\)の誤認:
  • 誤解: 問題文で与えられた長さ（この問題では高さ\(h=0.20\text{ m}\)）を、そのまま円運動の半径\(r\)として使ってしまう。
  • 対策: 円運動の半径は、回転軸からの距離です。必ず図を描き、幾何学的な関係（三角比）を使って正しく求めましょう。この問題では \(r = h \tan 30^\circ\) です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力のベクトル図: 小球に働く「重力 \(m\vec{g}\)」（鉛直下向き）と「垂直抗力 \(\vec{N}\)」（斜め上向き）の2つのベクトルを描きます。この2つのベクトルを合成（ベクトルの足し算）すると、合力ベクトルはぴったり水平で円の中心を向きます。この合力こそが「向心力 \(\vec{F}_{\text{向心}}\)」です。\( \vec{N} + m\vec{g} = \vec{F}_{\text{向心}} \) というベクトル関係を図で理解すると、力の分解やつり合いの式の意味が直感的に把握できます。
  • 視点の切り替えイメージ:
    • 慣性系（地上から見る）: 「小球はまっすぐ進みたいはずなのに、棒が内側に引き込み続けているから、結果的に円を描いて運動している」というイメージ。
    • 回転系（小球に乗って見る）: 「自分はカーブの外側に放り出されそうな力（遠心力）を感じる。でも、棒が内側から同じ力で支えてくれているから、この場所に留まっていられる」というイメージ。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の作用点を明確に: すべての力は小球の中心（重心）から生えているように描きます。
  • 角度を正確に記入: どの角度が\(30^\circ\)なのかを明確に図に書き込みます。これにより、力の分解でのミスを防ぎます。
  • 分解した力は点線で描く: 垂直抗力\(N\)を水平・鉛直成分に分解した場合、分解後の2つの力は点線で描くと、元の力（実線）と区別しやすくなり、力の数え間違いを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(\sum F_y = 0\)):
  • 選定理由: (1)で、小球が鉛直方向には運動していない（加速度がゼロ）という事実を数式で表現するため。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（または第二法則で\(a=0\)とした場合）に基づき、加速度のない方向では力の合力がゼロになるという普遍的な原理を適用します。
• 運動方程式 (\(ma=F\)) または 遠心力とのつり合い:
  • 選定理由: (2)で、小球が水平方向に行っている等速円運動（加速度運動）のダイナミクスを記述するため。
  • 適用根拠: 運動方程式は、力（原因）と加速度（結果）を結びつけるニュートンの第二法則そのものです。遠心力とのつり合いは、この法則を回転座標系という特殊な視点から見直したもので、問題を静力学的に扱えるようにするための便利な手法です。
• 三角比 (\(r = h \tan\theta\)):
  • 選定理由: 運動方程式や遠心力の式に必要な物理量「回転半径\(r\)」が直接与えられていないため、図の幾何学的情報から導出する必要があるから。
  • 適用根拠: 図形における辺と角度の関係を数式で表現する、数学的なツールです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 垂直抗力の計算:
   • 戦略: 鉛直方向の運動がないことに着目し、力のつり合いを立てる。
   • フロー: ①小球に働く力（重力、垂直抗力）を図示 → ②垂直抗力\(N\)を鉛直・水平成分に分解 → ③鉛直方向の力のつり合いを立式 (\(N\sin 30^\circ – mg = 0\)) → ④式を\(N\)について解き、数値を代入して計算。
2. (2) 角速度の計算:
   • 戦略: 水平方向の円運動に着目し、運動方程式（または遠心力とのつり合い）を立てる。
   • フロー: ①円運動の半径\(r\)を図から求める (\(r=h\tan 30^\circ\)) → ②水平方向の運動方程式を立式 (\(m(r\omega^2) = N\cos 30^\circ\)) → ③(1)で求めた\(N\)と①で求めた\(r\)の関係を代入 → ④式を\(\omega\)について解き、数値を代入して計算。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (2)の計算では、すぐに数値を代入するのではなく、まず文字式のまま\(\omega^2\)を求めると良いでしょう。
  \(\omega^2 = \displaystyle\frac{N \cos 30^\circ}{mr}\)。ここに \(N = \displaystyle\frac{mg}{\sin 30^\circ}\) と \(r = h \tan 30^\circ\) を代入すると、
  \(\omega^2 = \displaystyle\frac{(mg/\sin 30^\circ) \cos 30^\circ}{m(h \tan 30^\circ)} = \frac{g \cot 30^\circ}{h \tan 30^\circ} = \frac{g}{h \tan^2 30^\circ}\)
  というように、物理量間の関係が明確になります。計算ミスも発見しやすくなり、最後の最後に一度だけ数値を代入すれば済みます。
• 三角関数の値の正確性: \(\sin 30^\circ = 1/2\), \(\cos 30^\circ = \sqrt{3}/2\), \(\tan 30^\circ = 1/\sqrt{3}\) といった基本的な値を正確に使いこなすことが必須です。
• 単位の確認: 計算の最終結果の単位が、求められている物理量の単位（[N]や[rad/s]）と一致しているかを確認する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 垂直抗力: \(N=9.8\text{ N}\) は、重力 \(mg=4.9\text{ N}\) よりも大きい。これは、傾いた力である垂直抗力\(N\)が、その一部の力（鉛直成分）だけで重力全体を支えなければならないため、\(N\)自体は重力より大きくなるはずだ、という直感と一致しており、妥当です。
  • (2) 角速度: もし重力\(g\)がもっと大きかったら、小球を同じ高さで支えるためにはより大きな垂直抗力が必要になり、向心力も増大するため、より速い回転\(\omega\)が必要になるはずです。導出した式 \(\omega^2 = \frac{g}{h \tan^2 30^\circ}\) は、\(\omega\)が\(g\)の平方根に比例することを示しており、この物理的直感と一致します。
• 別解との比較:
  • (2)の角速度は、慣性系での「運動方程式」と、回転系での「遠心力とのつり合い」という2つの異なるアプローチで求められました。両者で全く同じ結果 (\(\omega \approx 12 \text{ rad/s}\)) が得られたことは、計算の正しさと物理的理解の確かさを裏付ける強力な証拠となります。

134 鉛直面内での円運動

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、なめらかな半球上を滑り落ちる物体の運動を扱う、鉛直面内での非等速円運動の典型問題です。力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式を組み合わせて解く、力学の総合力が試されます。
この問題の核心は、物体の「速さ」をエネルギーの観点から求め、その速さを使って「力」（垂直抗力）を運動方程式から求めるという、2段階の思考プロセスを正確に実行することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直面内での非等速円運動」です。速さが変化しながら円弧に沿って運動する物体の力学を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 面がなめらかで、垂直抗力は常に運動方向と垂直で仕事をしないため、力学的エネルギーが保存されます。これを用いて、物体の位置（高さ）と速さを関連付けます。
2. 円運動の運動方程式: 物体は円弧上を運動するため、各点において円運動の運動方程式が成り立ちます。これを用いて、速さと物体に働く力（特に垂直抗力）を関連付けます。
3. 力の分解: 運動方程式を立てる際に、重力を円の半径方向（動径方向）と接線方向に分解することが有効です。
4. 面から離れる条件: 小物体が半球面から離れる瞬間は、面が物体を押す力、すなわち垂直抗力\(N\)が0になるときです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 始点Aと点Bの間で力学的エネルギー保存則を立て、高さの減少分を運動エネルギーの増加分に変換して速さ\(v\)を求めます。
2. (2) 点Bにおいて、円運動の運動方程式を立てます。向心力は、重力の半径方向成分と垂直抗力の合力によって供給されます。この式に(1)で求めた速さ\(v\)を代入し、垂直抗力\(N\)を求めます。
3. (3) (2)で導出した垂直抗力\(N\)の式に、面から離れる条件である\(N=0\)を代入し、そのときの\(\cos\theta\)の値を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
小物体の速さを求める問題です。運動中の物体の速さを問われた場合、エネルギーに着目するのが定石です。この問題では、動摩擦力や空気抵抗などがなく、垂直抗力は常に運動方向と垂直で仕事をしないため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。始点Aと点Bの2点間でエネルギー保存則を立式します。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用: （始点Aでの力学的エネルギー）＝（点Bでの力学的エネルギー）
• 位置エネルギーの基準点: 計算を簡単にするため、位置エネルギーの基準面を適切に設定します。ここでは、点Bの高さを基準面とすると、計算が簡潔になります。
• 高さの計算: 始点Aは、点Bの基準面からどれだけ高い位置にあるかを考えます。図より、点Bの高さは半球の中心Oから測って\(r\cos\theta\)なので、頂点Aから点Bまでの高低差は \(r – r\cos\theta\) となります。

具体的な解説と立式
始点Aと点Bの間で力学的エネルギー保存則を考えます。点Bの高さを重力による位置エネルギーの基準面（高さ0）とします。

• 始点Aでの力学的エネルギー \(E_A\):
  小物体は静かにはなされるので、運動エネルギーは0です。
  位置エネルギーは、基準面からの高さが \(h = r – r\cos\theta\) なので、\(U_A = mg(r-r\cos\theta)\) です。
  よって、\(E_A = 0 + mg(r-r\cos\theta)\)。
• 点Bでの力学的エネルギー \(E_B\):
  速さを\(v\)とすると、運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) です。
  点Bは位置エネルギーの基準面なので、位置エネルギーは0です。
  よって、\(E_B = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + 0\)。

力学的エネルギー保存則 \(E_A = E_B\) より、以下の式が成り立ちます。
$$ mg(r – r\cos\theta) = \frac{1}{2}mv^2 $$

上記で立てたエネルギー保存則の式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= mg(r – r\cos\theta) \\[2.0ex]\frac{1}{2}v^2 &= gr(1 – \cos\theta) \\[2.0ex]v^2 &= 2gr(1 – \cos\theta) \\[2.0ex]v &= \sqrt{2gr(1 – \cos\theta)}
\end{aligned}
$$
速さは正の値なので、平方根の正の方をとります。

小物体が頂点Aから点Bまで滑り落ちる間に失った「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が、すべて「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変換されたと考えます。このエネルギーの変換関係を数式にして、点Bでの速さを計算します。

点Bを通過するときの小物体の速さは \(v = \sqrt{2gr(1 – \cos\theta)}\) です。この式は、\(\theta\)が大きくなる（小物体が下に落ちる）ほど\(\cos\theta\)が小さくなり、速さ\(v\)が増加することを示しており、物理的な直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
小物体が面から受ける垂直抗力の大きさを求める問題です。垂直抗力のような「力」を求めるには、運動方程式を立てるのが基本です。小物体は円弧上を運動しているため、円運動の運動方程式を適用します。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式の適用: 円運動の運動方程式 \(ma = F\) を、円の中心方向（動径方向）について立てます。ここで \(a\) は向心加速度 \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\)、\(F\) は向心力（中心方向の力の合力）です。
• 力の分解: 点Bで小物体に働く力は、鉛直下向きの重力\(mg\)と、面から中心と逆向きに受ける垂直抗力\(N\)です。運動方程式を立てるために、重力\(mg\)を円の半径方向と接線方向に分解します。半径方向の成分は \(mg\cos\theta\) となります。
• 向心力の特定: 円の中心方向を正とすると、中心方向に向かう力は重力の成分 \(mg\cos\theta\)、中心と逆方向に向かう力は垂直抗力\(N\)です。したがって、向心力は \(F = mg\cos\theta – N\) となります。

具体的な解説と立式
点Bにおいて、小物体の円運動の運動方程式を立てます。円の中心方向を正とします。
向心加速度は \(a = \displaystyle\frac{v^2}{r}\) です。
向心力は、重力の半径方向成分 \(mg\cos\theta\) と垂直抗力 \(N\) の合力で、\(F = mg\cos\theta – N\) です。
よって、運動方程式 \(ma=F\) は以下のようになります。
$$ m\frac{v^2}{r} = mg\cos\theta – N $$

上記で立てた運動方程式を \(N\) について解きます。
$$ N = mg\cos\theta – m\frac{v^2}{r} $$
(1)で求めた \(v^2 = 2gr(1 – \cos\theta)\) を代入して、
$$
\begin{aligned}
N &= mg\cos\theta – m\frac{2gr(1 – \cos\theta)}{r} \\[2.0ex]&= mg\cos\theta – 2mg(1 – \cos\theta) \\[2.0ex]&= mg\cos\theta – 2mg + 2mg\cos\theta \\[2.0ex]&= 3mg\cos\theta – 2mg \\[2.0ex]&= mg(3\cos\theta – 2)
\end{aligned}
$$

小物体が円形のレールに沿ってカーブを曲がり続けるためには、常にレールの中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、「重力のうち中心に向かう成分」から「面が物体を押し返す力（垂直抗力）」を差し引いたものに等しくなります。この関係を運動の法則の式に当てはめ、(1)で求めた速さを使って垂直抗力の大きさを計算します。

垂直抗力の大きさは \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) です。
試しに始点A (\(\theta=0\)) での値を考えると、\(\cos 0 = 1\) なので \(N = mg(3 \times 1 – 2) = mg\) となります。これは、頂点で一瞬静止している物体に対し、重力と垂直抗力がつり合っている状態を表しており、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小物体が面から離れるときの\(\cos\theta\)の値を求める問題です。物理的に「面から離れる」とは、物体と面との間で力が及ばなくなる瞬間を意味します。つまり、垂直抗力\(N\)が0になる瞬間です。
この設問における重要なポイント

• 面から離れる条件: 垂直抗力 \(N=0\)。
• (2)の結果の利用: (2)で導出した垂直抗力\(N\)と\(\cos\theta\)の関係式に、\(N=0\)という条件を代入します。

具体的な解説と立式
小物体が面から離れるとき、垂直抗力\(N\)は0になります。
(2)で求めた式 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) に、\(N=0\) を代入します。
$$ mg(3\cos\theta – 2) = 0 $$

上記で立てた式を \(\cos\theta\) について解きます。
$$ mg(3\cos\theta – 2) = 0 $$
\(m > 0\) かつ \(g > 0\) なので、両辺を \(mg\) で割ることができます。
$$
\begin{aligned}
3\cos\theta – 2 &= 0 \\[2.0ex]3\cos\theta &= 2 \\[2.0ex]\cos\theta &= \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$

小物体が滑り落ちてスピードが上がるにつれて、遠心力のような効果で体は浮き上がろうとし、面を押し付ける力（垂直抗力）はだんだん弱くなっていきます。そして、ついにその力がゼロになった瞬間に、小物体は面から離れて空中へ飛び出します。(2)で求めた垂直抗力の式を使い、「垂直抗力 = 0」となるのは角度がいくつのときかを計算します。

小物体が面から離れるときの\(\cos\theta\)の値は \(\displaystyle\frac{2}{3}\) です。
この値は \(0 < \cos\theta < 1\) の範囲にあるため、物理的に可能な角度 (\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)) で面から離れることを示しています。このとき、速さは \(v^2 = 2gr(1 – 2/3) = \frac{2}{3}gr > 0\) であり、速さを持ったまま面から離れて放物運動に移行するという、物理的に妥当な結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 面がなめらかで垂直抗力が仕事をしないため、物体の「位置エネルギー」と「運動エネルギー」の和は常に一定に保たれます。これが、物体の位置（角度\(\theta\)）と速さ\(v\)を関係づける鍵となります。
  • 理解のポイント: (1)は、この法則を始点Aと任意の点Bに適用することで解かれます。失われた位置エネルギー \(mg(r-r\cos\theta)\) が、そのまま運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に変換されるという関係式が基本です。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: 物体は円弧に沿って運動しているため、各瞬間において円運動の法則に従います。特に、円の中心方向（動径方向）の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\) が、物体の速さ\(v\)と物体に働く力（垂直抗力\(N\)と重力の分力）を関係づけます。
  • 理解のポイント: (2)は、この運動方程式を立て、(1)で求めた速さ\(v\)を代入することで垂直抗力\(N\)を求める問題です。向心力 \(F_{\text{向心}}\) が、重力の動径方向成分 \(mg\cos\theta\) と垂直抗力 \(N\) の合力（\(mg\cos\theta – N\)）で与えられることを見抜くのが重要です。
• 面から離れる条件 (\(N=0\)):
  • 核心: 物体が面から「離れる」という物理現象は、面から受ける垂直抗力がゼロになることと等価です。
  • 理解のポイント: (3)は、(2)で導出した垂直抗力\(N\)の式に、この \(N=0\) という条件を適用するだけで解ける問題です。物理現象と数式上の条件を正しく結びつける能力が試されます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ジェットコースターのループ: 鉛直な円形ループを回る台車の問題。最頂点でループから落ちないための条件（垂直抗力\(N \ge 0\)）などが問われます。
  • 糸で吊るしたおもりの鉛直面内円運動: 糸の張力\(T\)が垂直抗力\(N\)の役割をします。糸がたるまない条件（\(T \ge 0\)）が、面から離れない条件に対応します。
  • 内面が滑らかな円筒内での運動: 円筒の側面を滑り落ちる物体の運動も、同じく力学的エネルギー保存則と円運動の運動方程式で解析できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギー保存則が使えるか？: まず、摩擦や空気抵抗など、力学的エネルギーを失わせる要因がないかを確認します。なければ、エネルギー保存則が強力なツールになります。
  2. 運動の幾何学的拘束は？: 物体が円弧や斜面など、特定の経路上を動く場合、その運動を記述するために運動方程式が必要になります。特に円運動では、中心方向の運動方程式を立てるのが定石です。
  3. 「条件」を数式に変換する: 「面から離れる」「最高点に達する」「糸がたるむ」といった問題文の物理的な条件を、\(N=0\), \(v=0\), \(T=0\) のような数式上の条件に正確に翻訳することが解法の鍵となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向心力の扱い方:
  • 誤解: 向心力を、重力や垂直抗力とは別の「第3の力」として力の図に書き込んでしまう。
  • 対策: 向心力は、実際に働いている力（この問題では重力と垂直抗力）の「合力」です。力の図には実在の力のみを描き、それらの合力が向心力の役割を果たす、という関係で運動方程式を立てましょう。
• 力の分解方向の間違い:
  • 誤解: 重力を水平・鉛直方向に分解してしまう。
  • 対策: 円運動では、力の分解は「円の半径方向（動径方向）」と「接線方向」に行うのが基本です。これにより、運動方程式（半径方向）と運動の変化（接線方向）を分けて考えることができます。
• エネルギー保存則の基準点の混同:
  • 誤解: 位置エネルギーの基準点を途中で変えたり、高さの計算を間違えたりする。
  • 対策: 最初に位置エネルギーの基準点を一つ決め（例：最下点、中心Oなど）、すべての点の高さはその基準点から測るように一貫させましょう。図を描いて、各点の高さを半径\(r\)と角度\(\theta\)で正確に表現することが重要です。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • エネルギーの棒グラフ: 頂点Aでは「位置エネルギー」の棒グラフが最大で「運動エネルギー」は0。滑り落ちるにつれて、位置エネルギーのグラフが減り、その分だけ運動エネルギーのグラフが増えていく様子をイメージします。力学的エネルギーの合計（棒グラフの全長）は常に一定です。
  • 力のベクトル図（動径方向）: 点Bにおいて、中心向きの「重力の分力 \(mg\cos\theta\)」（実線ベクトル）と、外向きの「垂直抗力 \(N\)」（実線ベクトル）を描きます。この2つの合力が、中心向きの「向心力 \(F_{\text{向心}}\)」（点線ベクトル）となります。滑り落ちて\(v\)が大きくなると、向心力も大きくなる必要があります。しかし\(mg\cos\theta\)は減少していくため、\(N\)がどんどん小さくなり、やがて0になる、という力関係の変化をイメージします。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度\(\theta\)の位置を明確に: 鉛直線と動径のなす角が\(\theta\)であることを図に明記します。これにより、重力を分解する際の角度の取り違えを防ぎます。
  • 力の作用点を重心に: 重力も垂直抗力も、小物体の重心に作用しているように描きます。
  • 基準線を引く: 位置エネルギーを考える際は、基準となる高さの水平線を点線で描くと、各点の高低差が視覚的に分かりやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: (1)で、物体の「位置」と「速さ」という2つの状態量を結びつけるため。力が保存力（重力）と仕事をしない力（垂直抗力）のみであるため、この法則が適用できます。
  • 適用根拠: 仕事とエネルギーの関係において、非保存力が仕事をしない場合に成り立つ物理法則です。
• 円運動の運動方程式 (\(m\frac{v^2}{r} = F\)):
  • 選定理由: (2)で、物体の運動状態（速さ\(v\)）と、その運動を引き起こしている「力」（垂直抗力\(N\)）を結びつけるため。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則 \(ma=F\) を、円運動という特殊な加速度運動に適用したものです。
• 遠心力を用いた力のつり合い:
  • 選定理由: (2)の別解として。運動方程式の代わりに、静力学的な力のつり合いとして問題を扱うための手法。
  • 適用根拠: 非慣性系（回転座標系）において、慣性力を導入することでニュートンの法則が形式的に成り立つことを利用したものです。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 速さの計算:
   • 戦略: エネルギー保存則を用いる。
   • フロー: ①始点Aと点Bで力学的エネルギーを定義 → ②\(E_A = E_B\) として立式 → ③式を\(v\)について解く。
2. (2) 垂直抗力の計算:
   • 戦略: 円運動の運動方程式を用いる。
   • フロー: ①点Bで物体に働く力を図示し、動径方向に分解 → ②動径方向の運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = mg\cos\theta – N\) を立式 → ③(1)で求めた\(v^2\)を代入 → ④式を\(N\)について解く。
3. (3) 面から離れる条件:
   • 戦略: (2)で求めた\(N\)の式に、\(N=0\)を代入する。
   • フロー: ①\(N=0\)という条件を立てる → ②\(mg(3\cos\theta – 2) = 0\) を\(\cos\theta\)について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: (2)の計算で、\(v^2\)を代入した後にすぐに展開せず、\(mg\cos\theta\)と\(m\frac{v^2}{r}\)の項を分けて整理すると見通しが良くなります。
• 単位と次元の確認: 例えば、\(v^2 = 2gr(1-\cos\theta)\) の右辺の次元は、(m/s²)(m) = (m/s)² となり、左辺の\(v^2\)の次元と一致します。このような次元チェックは、立式ミスを発見するのに有効です。
• 極端な場合で検算: (2)で求めた\(N = mg(3\cos\theta – 2)\)の式を、\(\theta=0\)（始点）で検算すると \(N=mg\) となり、物理的に正しい結果が得られます。このような簡単な検算で、式の妥当性を確認する習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) \(\cos\theta = 2/3\) は、\(0 < 2/3 < 1\) なので、\(\theta\)は鋭角です。つまり、物体は半球の頂点を越えてから、水平になる前に面から離れることを意味しており、直感と合致します。もし\(\cos\theta > 1\)や\(\cos\theta < 0\)のような値が出たら、計算ミスを疑うべきです。
• 別解との比較:
  • (2)の垂直抗力は、慣性系での「運動方程式」と、非慣性系での「遠心力とのつり合い」という2つのアプローチで求められました。両者で全く同じ結果 \(N = mg(3\cos\theta – 2)\) が得られたことは、それぞれの物理モデルの理解と計算の正しさを強く裏付けます。

135 エレベーター内の円錐振り子

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、加速度運動するエレベーター内での円錐振り子を扱います。静止系での円運動の知識に加え、非慣性系における「慣性力」の考え方を正しく適用できるかが問われる問題です。
この問題の核心は、(1)でまず基本となる円錐振り子の周期を求め、(2)ではエレベーターの加速度によって生じる「慣性力」を「見かけの重力」として取り込み、(1)の結果を応用して解く、という思考の流れにあります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「慣性力を考慮した円錐振り子」です。観測者のいる座標系（この場合はエレベーター）が加速度運動する場合に、物体に「見かけの力」である慣性力が働くことを理解しているかが問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 円運動の動力学: おもりの円運動を維持する向心力と、おもりに働く力（張力、重力）の関係を、運動方程式または遠心力とのつり合いで記述します。
2. 慣性力: 加速度運動する座標系（非慣性系）で物体の運動を考える際に導入する見かけの力です。大きさは \(ma\)、向きは座標系の加速度と逆向きです。
3. 見かけの重力: 慣性力が重力と同じ方向に働く場合、それらを合成して「見かけの重力」として扱うと、問題を簡潔に解くことができます。
4. 周期と角速度の関係: 周期 \(T\) と角速度 \(\omega\) の間には \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) の関係があります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) エレベーターは等速なので加速度は0、つまり慣性力は働きません。これは地上で静止している場合の円錐振り子と全く同じです。力のつり合いと円運動の関係式を立てて周期 \(T\) を求めます。
2. (2) エレベーターが上向きに加速しているため、エレベーター内の観測者から見ると、おもりには下向きの慣性力が働きます。この慣性力と重力を合わせて「見かけの重力」と考え、(1)で求めた周期の公式の重力加速度 \(g\) を「見かけの重力加速度 \(g’\)」に置き換えることで、新しい周期 \(T’\) を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
エレベーターが等速で上昇しているため、加速度はゼロです。したがって、エレベーター内の観測者にとっては慣性力が働かず、地上で静止している場合と全く同じ状況になります。おもりに働く「重力」と「糸の張力」の関係から、円運動の周期を求めます。
この問題は、エレベーター内の観測者の視点（非慣性系）で「遠心力」を含めた力のつり合いを考える方法と、地上の観測者の視点（慣性系）で「運動方程式」を立てる方法の2通りで解くことができます。ここでは模範解答に沿って非慣性系で解説し、慣性系での解法を別解として示します。
この設問における重要なポイント

• 力の図示: おもりに働く力は、鉛直下向きの「重力 \(mg\)」と、糸に沿った向きの「張力 \(S\)」です。
• 非慣性系での力の追加: エレベーター内の観測者から見ると、おもりには円の外側に向かう「遠心力 \(F = mr\omega^2\)」が働いているように見えます。
• 力のつり合い: この観測者から見るとおもりは静止しているので、鉛直方向と水平方向の力がそれぞれつり合っています。
• 円運動のパラメータ: 回転半径は \(r = L\sin\theta\)、角速度は \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) です。

具体的な解説と立式
エレベーター内の観測者から見ると、おもりは静止しており、以下の力がつり合っています。

1. 重力: 鉛直下向きに \(mg\)
2. 張力: 糸に沿って \(S\)
3. 遠心力: 水平外向きに \(F\)

張力 \(S\) を鉛直成分 \(S\cos\theta\) と水平成分 \(S\sin\theta\) に分解します。

• 鉛直方向の力のつり合い:
  $$ S\cos\theta – mg = 0 \quad \cdots ① $$
• 水平方向の力のつり合い:
  $$ S\sin\theta – F = 0 \quad \cdots ② $$

遠心力 \(F\) は、回転半径 \(r=L\sin\theta\) と角速度 \(\omega = \displaystyle\frac{2\pi}{T}\) を用いて、
$$ F = mr\omega^2 = m(L\sin\theta)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \quad \cdots ③ $$
と表せます。

①、②式から \(S\) を消去します。①より \(S = \displaystyle\frac{mg}{\cos\theta}\) となるので、これを②に代入します。
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{mg}{\cos\theta}\right)\sin\theta – F &= 0 \\[2.0ex]mg\tan\theta &= F
\end{aligned}
$$
この式に③を代入します。
$$ mg\tan\theta = m(L\sin\theta)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 $$
式を \(T\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
g\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= (L\sin\theta)\frac{4\pi^2}{T^2} \\[2.0ex]\frac{g}{\cos\theta} &= L\frac{4\pi^2}{T^2} \\[2.0ex]T^2 &= \frac{4\pi^2 L\cos\theta}{g} \\[2.0ex]T &= 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}
\end{aligned}
$$

エレベーターの中にいる人から見ると、おもりは静止しているように見えます。これは、おもりが下に引っ張られる「重力」と、糸が斜め上に引く「張力の上向き成分」が釣り合っているからです。また、おもりが外側に飛び出そうとする「遠心力」と、糸が内側に引く「張力の水平成分」も釣り合っています。この２つの釣り合いの式を組み合わせることで、回転の周期を計算できます。

エレベーターが等速で上昇しているときのおもりの回転周期は \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L\cos\theta}{g}}\) です。この式は、重力加速度 \(g\) が大きいほど周期 \(T\) が短くなることを示しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
エレベーターが上向きに加速度 \(\displaystyle\frac{1}{3}g\) で運動しています。この場合、エレベーター内の観測者（非慣性系）から見ると、おもりには実在の力に加えて、エレベーターの加速度と逆向き、すなわち鉛直下向きに「慣性力」が働いているように見えます。
この慣性力は重力と同じ向きなので、2つの力を合わせて「見かけの重力」として扱うと、問題が非常にシンプルになります。(1)で導出した周期の公式の \(g\) を、この「見かけの重力加速度 \(g’\)」に置き換えるだけで解くことができます。
この設問における重要なポイント

• 慣性力: エレベーターの加速度が上向きに \(a = \displaystyle\frac{1}{3}g\) なので、慣性力は下向きに \(F_{\text{慣性}} = ma = m\left(\displaystyle\frac{1}{3}g\right)\) となる。
• 見かけの重力: おもりに働く鉛直下向きの力は、本来の重力 \(mg\) と慣性力 \(F_{\text{慣性}}\) の和になる。これを見かけの重力 \(mg’\) と考える。
• 公式の適用: (1)で求めた周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L\cos\theta}{g}}\) の \(g\) を、見かけの重力加速度 \(g’\) に置き換える。

具体的な解説と立式
エレベーター内の観測者から見ると、おもりには鉛直下向きに慣性力 \(F_{\text{慣性}} = \displaystyle\frac{1}{3}mg\) が働きます。
したがって、おもりが感じる見かけの重力 \(mg’\) は、
$$ mg’ = mg + F_{\text{慣性}} = mg + \frac{1}{3}mg = \frac{4}{3}mg $$
よって、見かけの重力加速度 \(g’\) は、
$$ g’ = \frac{4}{3}g $$
この状況は、重力加速度の大きさが \(g’\) である世界で円錐振り子を行うのと同じことです。したがって、新しい周期 \(T’\) は、(1)の周期の公式の \(g\) を \(g’\) に置き換えることで得られます。
$$ T’ = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g’}} $$

上記 \(T’\) の式に \(g’ = \displaystyle\frac{4}{3}g\) を代入します。
$$ T’ = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{\frac{4}{3}g}} = 2\pi\sqrt{\frac{3L\cos\theta}{4g}} $$
(1)で求めた周期 \(T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L\cos\theta}{g}}\) との比を計算します。
$$
\begin{aligned}
\frac{T’}{T} &= \frac{2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{3L\cos\theta}{4g}}}{2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L\cos\theta}{g}}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{\displaystyle\frac{3L\cos\theta}{4g}}{\displaystyle\frac{L\cos\theta}{g}}} \\[2.0ex]&= \sqrt{\frac{3}{4}} \\[2.0ex]&= \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$

エレベーターが上に加速すると、中にいる人は体が下に押し付けられるように感じます。これは、下向きの「慣性力」が働くためで、あたかも重力が強くなったかのように感じられます。この「見かけの強くなった重力」のもとで振り子がどう動くかを考えます。(1)で求めた周期の式は重力に依存するので、この式の重力gを「見かけの重力g’」に置き換えるだけで、新しい周期が計算できます。

周期 \(T’\) は周期 \(T\) の \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) 倍です。
\(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 < 1\) なので、周期は短くなります。見かけの重力が大きくなると、おもりを円運動から引き戻そうとする力が強くなるため、同じ角度を保つにはより速く回転する必要があり、結果として周期が短くなる、という物理的な直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 円運動の動力学:
  • 核心: (1)では、おもりが等速円運動を続けるための条件を、力の関係から導き出します。これは、慣性系（静止系）で考えれば「張力の水平成分が向心力になる」という運動方程式、非慣性系（回転系）で考えれば「張力の水平成分と遠心力がつり合う」という力のつり合いで記述されます。
  • 理解のポイント: 鉛直方向の力のつり合い（\(S\cos\theta = mg\)）と、水平方向の運動方程式（\(S\sin\theta = mr\omega^2\)）の連立が、円錐振り子を解く基本パターンです。
• 慣性力と見かけの重力:
  • 核心: (2)では、加速度運動するエレベーター（非慣性系）内部での運動を考えます。このとき、実在の力に加えて、座標系の加速度と逆向きに「慣性力」という見かけの力が働くことを考慮する必要があります。
  • 理解のポイント: この問題では、エレベーターが上向きに加速するため、おもりには下向きの慣性力 \(ma\) が働きます。この慣性力は重力 \(mg\) と同じ向きなので、2つを合成した「見かけの重力 \(mg+ma\)」を考え、重力加速度が \(g’ = g+a\) になったと見なすことで、問題を(1)と全く同じ形に帰着させることができます。これがこの問題で最も重要な思考法です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 電車内で揺れる吊り革: 電車が加速・減速するとき、吊り革は慣性力によって進行方向と逆向きに傾きます。
  • 加速するトラックの荷台にある物体: トラックが加速すると、荷台上の物体には後ろ向きの慣性力が働き、滑り出す条件などが問われます。
  • 自由落下するエレベーター内の現象: エレベーターが加速度\(g\)で自由落下する場合、内部では下向きの重力\(mg\)と上向きの慣性力\(mg\)が打ち消し合い、「無重力」状態が実現します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 観測者はどこにいるか？: まず、問題がどの座標系（静止した地面か、動いている乗り物か）から見た現象を記述しているかを確認します。
  2. 座標系は加速しているか？: 観測者がいる座標系が加速度運動をしている（非慣性系である）場合、「慣性力」を考慮に入れる必要があります。
  3. 慣性力の向きと大きさは？: 慣性力の大きさは \(ma\)、向きは座標系の加速度\(a\)と「逆向き」です。これを正確に力の図に書き加えることが最重要です。
  4. 「見かけの重力」は使えるか？: 慣性力が鉛直方向に働く場合、重力と合成して「見かけの重力」として扱うと、計算が大幅に簡略化できないか検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の向きの間違い:
  • 誤解: 慣性力の向きを、座標系の加速度と同じ向きにしてしまう。
  • 対策: 慣性力は、あくまで加速度運動する座標系から見たときの「見かけの力」です。電車が発進するときに体が後ろに押されるように、必ず「加速度と逆向き」と覚えましょう。
• 慣性系と非慣性系の混同:
  • 誤解: 地上で静止した観測者（慣性系）の視点で考えているのに、慣性力や遠心力を書き込んでしまう。
  • 対策: 「遠心力」や「慣性力」は、非慣性系（回転系や加速系）でのみ導入される便利な道具です。慣性系で考える場合は、ニュートンの運動方程式（\(ma=F\)）のみを使い、これらの見かけの力は登場させないと、明確に区別しましょう。
• 見かけの重力加速度の計算ミス:
  • 誤解: (2)で見かけの重力加速度を \(g’ = \displaystyle\frac{1}{3}g\) のように、加速度そのものと勘違いする。
  • 対策: 見かけの重力加速度は、もとの重力加速度\(g\)に、慣性力による加速度\(a\)をベクトル的に足し合わせたものです。この問題では \(g’ = g+a = g+\displaystyle\frac{1}{3}g = \frac{4}{3}g\) となります。必ず「もとのgに加える」という意識を持ちましょう。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力の合成（ベクトル和）のイメージ: (1)では、斜め上向きの「張力 \(\vec{S}\)」と真下向きの「重力 \(m\vec{g}\)」をベクトル的に足し合わせると、合力がぴったり水平で円の中心を向く「向心力 \(\vec{F}_{\text{向心}}\)」になる、という力の三角形をイメージします。
  • 見かけの重力ベクトルのイメージ: (2)では、エレベーター内にいる観測者にとって、下向きの「重力 \(m\vec{g}\)」と、同じく下向きの「慣性力 \(m\vec{a}\)」が働いているように見えます。この2つのベクトルを合成して、より長い下向きのベクトル「見かけの重力 \(m\vec{g’}\)」を描きます。この観測者にとっては、この \(m\vec{g’}\) が「本当の重力」であるかのように振る舞うため、(1)と同じ状況に帰着できると直感的に理解できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 座標系を明記する: 図の片隅に「慣性系」または「非慣性系（エレベーター内）」と明記し、どの視点で描いた図なのかをはっきりさせます。
  • 見かけの力は点線で: 慣性力や遠心力は実在の力ではないため、点線で描くと、重力や張力といった実在の力（実線）と区別しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 / 運動方程式:
  • 選定理由: (1)で、おもりに働く力と運動（円運動）の関係を記述するため。非慣性系なら遠心力を含めた「力のつり合い」、慣性系なら向心力を考えた「運動方程式」を選びます。
  • 適用根拠: ニュートンの運動法則という、力学の最も基本的な原理に基づきます。
• 慣性力の式 (\(F=ma\)):
  • 選定理由: (2)で、加速度運動するエレベーター内で観測したときの運動を記述するため。非慣性系での運動解析に必須の概念です。
  • 適用根拠: 慣性系での運動方程式を、非慣性系でも同じ形で扱えるように座標変換した結果として導入される「見かけの力」です。
• 周期の公式の応用（\(g \rightarrow g’\)）:
  • 選定理由: (2)を最も効率的に解くため。(1)で導出した周期の公式が、重力加速度\(g\)にどのように依存するかが分かっていれば、\(g\)を見かけの重力加速度\(g’\)に置き換えるだけで、複雑な計算を省略して答えを導けます。
  • 適用根拠: (1)と(2)の物理的状況が、重力加速度の値が異なるだけで本質的に同じ（円錐振り子）であるというアナロジー（類推）に基づいています。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 等速上昇時の周期:
   • 戦略: 通常の円錐振り子として解く。
   • フロー: ①鉛直方向の力のつり合いを立式。②水平方向の運動方程式（または遠心力とのつり合い）を立式。③2式を連立して角速度\(\omega\)または周期\(T\)を求める。
2. (2) 加速上昇時の周期:
   • 戦略: 見かけの重力を考え、(1)の結果を利用する。
   • フロー: ①上向きの加速度\(a\)により、下向きの慣性力\(ma\)が生じることを確認。②見かけの重力加速度 \(g’ = g+a\) を計算。③(1)で求めた周期の公式の\(g\)を\(g’\)に置き換えて新しい周期\(T’\)を求める。④\(T’/T\)の比を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比の計算を有効活用: (2)では、\(T’\)と\(T\)の値をそれぞれ具体的に計算するのではなく、最初から比（\(T’/T\)）を計算すると、多くの項（\(2\pi\), \(L\), \(\cos\theta\)）が約分され、計算が非常に簡単になります。
• 文字式のまま進める: (2)で \(a = \displaystyle\frac{1}{3}g\) をすぐに代入せず、\(g’ = g+a\) のまま計算を進めると、周期が \(T’ = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{L\cos\theta}{g+a}}\) となり、加速度\(a\)が周期に与える影響が一般的に理解できます。
• 平方根の扱いに注意: 周期の比を計算する際、\(\displaystyle\frac{T’}{T} = \sqrt{\frac{g}{g’}}\) のように、比が平方根の内側に入ることを忘れないようにしましょう。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2)で得られた比は \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) で、1より小さいです。これは、エレベーターが上に加速すると周期が短くなることを意味します。直感的に、上に加速すると体が重く感じる（見かけの重力が大きくなる）ので、振り子の揺れ（回転）は速くなり、周期は短くなるはずです。この直感と計算結果が一致しており、妥当性が確認できます。
  • 逆に、エレベーターが下に加速する場合は、見かけの重力が小さくなり、周期は長くなるはずです。もし問題が「下向きに\(\frac{1}{3}g\)で加速」だったら、\(g’ = g – \frac{1}{3}g = \frac{2}{3}g\) となり、周期の比は \(\sqrt{\frac{g}{2g/3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} > 1\) となることが予想できます。
• 別解との比較:
  • この問題は、(1)も(2)も「慣性系」と「非慣性系」の2つの視点で解くことができます。両方のアプローチで同じ結果が得られることを確認することで、運動方程式、力のつり合い、慣性力といった複数の概念の理解が正しいことを検証できます。

136 慣性力

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、加速度運動する斜面の上にある物体の運動を扱います。静止した座標系（慣性系）ではなく、動いている座標系（非慣性系）から見たときの物体の運動を考えるため、「慣性力」という概念の理解が不可欠です。
この問題の核心は、斜面と一緒に動く観測者の視点に立ち、物体に働く「慣性力」を他の力（重力、垂直抗力）と合わせて考え、運動方程式や力のつり合いの式を立てる能力です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「加速度運動する座標系における物体の運動（慣性力）」です。静止した斜面上の運動に、斜面自体の加速度によって生じる「慣性力」の影響を加えて考える問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 非慣性系と慣性力: 加速度運動する斜面と一緒に動く観測者（非慣性系）の視点では、物体に「慣性力」という見かけの力が働きます。慣性力の大きさは\(ma\)、向きは座標系の加速度と逆向きです。
2. 力の分解: 物体に働く力（重力、垂直抗力、慣性力）を、運動を解析しやすい「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に分解します。
3. 運動方程式: 斜面に沿った運動については、力の合力を求めて運動方程式（\(mb = F_{\text{平行}}\)）を立てます。
4. 力のつり合いと物体が離れない条件: 斜面に垂直な方向には運動しないため、この方向の力はつり合っています。物体が斜面から離れない条件は、垂直抗力\(N\)が0以上（\(N \ge 0\)）であることです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 斜面と一緒に動く観測者の視点に立ち、物体に働く力をすべて（重力、垂直抗力、慣性力）図示します。これらの力を斜面に平行な方向に分解し、その合力から運動方程式を立てて加速度\(b\)を求めます。
2. (2) (1)と同様に、各力を今度は斜面に垂直な方向に分解し、力のつり合いの式を立てて垂直抗力\(N\)を求めます。物体が離れない条件 \(N \ge 0\) を適用して、加速度\(a\)が満たすべき条件を導きます。

問(1)

思考の道筋とポイント
斜面と一緒に動く観測者（非慣性系）の立場で考えます。この観測者から見ると、物体には重力と垂直抗力に加えて、斜面の加速度と逆向き（水平左向き）に大きさ\(ma\)の「慣性力」が働いているように見えます。これらの力をすべて考慮し、斜面に沿った方向の運動方程式を立てることで、斜面に対する加速度\(b\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 非慣性系の設定: 水平右向きに加速度\(a\)で動く斜面を基準とする座標系で考える。
• 慣性力の導入: 物体には、大きさ\(ma\)、向きが水平左向きの慣性力が働く。
• 力の分解（斜面平行方向）: 運動方程式を立てるため、重力\(mg\)と慣性力\(ma\)を斜面に平行な方向に分解する。
• 運動方程式の立式: 斜面に沿って下向きを正とし、\(mb = F_{\text{平行}}\)の形で式を立てる。

具体的な解説と立式
斜面上の観測者から見ると、物体には以下の3つの力が働いています。

1. 重力 \(mg\) （鉛直下向き）
2. 垂直抗力 \(N\) （斜面に垂直上向き）
3. 慣性力 \(ma\) （水平左向き）

これらの力を、斜面に沿って下向きを正とする方向に分解します。

• 重力\(mg\)の斜面平行成分: \(mg\sin\theta\)
• 慣性力\(ma\)の斜面平行成分: \(ma\cos\theta\)
• 垂直抗力\(N\)の斜面平行成分: 0

したがって、斜面に沿った方向の力の合力 \(F_{\text{平行}}\) は、
$$ F_{\text{平行}} = ma\cos\theta + mg\sin\theta $$
斜面に沿った方向の運動方程式は、斜面に対する加速度を\(b\)として、
$$ mb = ma\cos\theta + mg\sin\theta $$

上記で立てた運動方程式の両辺を質量\(m\)で割ります。
$$
\begin{aligned}
b &= a\cos\theta + g\sin\theta
\end{aligned}
$$

動く坂の上にいる人の視点で考えます。この人から見ると、物体にはいつもの「重力」に加えて、坂が加速することによる「慣性力」という横向きの力が加わります。この２つの力が物体を坂に沿って滑らせる原因になります。「重力が滑らせる力」と「慣性力が滑らせる力」を足し合わせたものが、全体の滑らせる力となり、そこから加速度を計算します。

斜面上から見たときの物体の加速度の大きさは \(b = a\cos\theta + g\sin\theta\) です。この結果は、斜面の加速度\(a\)が大きくなるほど、また重力加速度\(g\)が大きくなるほど、滑り落ちる加速度\(b\)も大きくなることを示しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体が斜面から「離れない」という条件は、斜面が物体を押し返す力、すなわち「垂直抗力 \(N\) が0以上である」 (\(N \ge 0\)) という条件に置き換えられます。問(1)と同様に非慣性系で考え、今度は斜面に垂直な方向の力のつり合いの式を立て、この条件を適用します。
この設問における重要なポイント

• 離れない条件: 垂直抗力 \(N \ge 0\)。
• 力のつり合い: 斜面に垂直な方向には物体は動かない（加速度0）ので、この方向の力はつり合っている。
• 力の分解（斜面垂直方向）: 重力\(mg\)と慣性力\(ma\)を斜面に垂直な方向に分解する。

具体的な解説と立式
斜面に垂直な方向（上向きを正）の力のつり合いを考えます。
各力の斜面垂直上向き成分は、

• 垂直抗力: \(N\)
• 重力\(mg\)の成分: \(-mg\cos\theta\)
• 慣性力\(ma\)の成分: \(ma\sin\theta\)

斜面に垂直な方向には運動しないので、これらの力の合力は0になります。
$$ N + ma\sin\theta – mg\cos\theta = 0 $$
物体が斜面から離れないための条件は \(N \ge 0\) です。
上の式を\(N\)について解くと、
$$ N = mg\cos\theta – ma\sin\theta $$
したがって、条件式は以下のようになります。
$$ mg\cos\theta – ma\sin\theta \ge 0 $$

上記で立てた条件式を、加速度\(a\)について解きます。
$$ mg\cos\theta – ma\sin\theta \ge 0 $$
移項して、
$$ mg\cos\theta \ge ma\sin\theta $$
両辺を \(m>0\) で割ると、
$$ g\cos\theta \ge a\sin\theta $$
両辺を \(\sin\theta > 0\) で割ると（\(0 < \theta < 90^\circ\)）、
$$ \frac{g\cos\theta}{\sin\theta} \ge a $$
したがって、
$$ a \le \frac{g}{\tan\theta} $$

坂が速く加速しすぎると、物体は坂から浮き上がってしまいます。浮き上がらないギリギリの条件は、坂が物体を押す力（垂直抗力）がちょうどゼロになるときです。物体を坂に押し付けるのは「重力の垂直成分」で、浮き上がらせようとするのは「慣性力の垂直成分」です。押し付ける力が浮き上がらせる力以上であれば、物体は離れません。この関係から、加速度の上限を求めます。

物体が斜面から離れずにすべり下りるためには、斜面の加速度\(a\)が \(a \le \displaystyle\frac{g}{\tan\theta}\) という範囲にある必要があります。加速度\(a\)がこの値を超えると垂直抗力が負になり、物体は斜面から浮き上がってしまうことを意味します。これは物理的に妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 慣性力:
  • 核心: この問題は、加速度運動する斜面という「非慣性系」の上での物体の運動を扱います。このような座標系で運動を記述する際に最も重要な概念が「慣性力」です。慣性力は、座標系の加速度と逆向きに、大きさ\(ma\)で働く「見かけの力」です。
  • 理解のポイント: 斜面と一緒に動く観測者の視点に立つと、物体には重力や垂直抗力といった実在の力に加えて、この慣性力が働いているように見えます。この慣性力を考慮することで、非慣性系の上での運動も、静止系と同じように運動方程式や力のつり合いで分析できます。
• 力の分解と運動方程式・力のつり合い:
  • 核心: 物体に働くすべての力（重力、垂直抗力、慣性力）を、「斜面に平行な方向」と「斜面に垂直な方向」に分解することが解析の鍵です。
  • 理解のポイント:
    • (1)の加速度を求めるには、斜面に平行な方向の運動方程式（\(mb = F_{\text{平行}}\)）を立てます。
    • (2)の離れない条件を求めるには、斜面に垂直な方向の力のつり合い（\(F_{\text{垂直}}=0\)）から垂直抗力\(N\)を求め、\(N \ge 0\)という条件を適用します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 加速する電車内の振り子や吊り革: 電車が水平に加速すると、慣性力は水平逆向きに働きます。重力と慣性力の合力の向きに振り子や吊り革は静止します。
  • 回転する円盤上の物体: 円運動する物体と一緒に回転する観測者から見ると、中心から遠ざかる向きに慣性力（遠心力）が働きます。
  • 人工衛星内の無重力状態: 自由落下する人工衛星内では、重力と逆向き（上向き）の慣性力が働くため、両者が打ち消し合って見かけ上無重力になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標系を定める: まず、静止した地面（慣性系）から見るか、加速する物体（非慣性系）の上から見るかを決めます。問題文に「斜面上から見たとき」とあるため、非慣性系で考えるのが自然です。
  2. すべての力を図示する: 非慣性系を選んだら、実在の力（重力、垂直抗力など）に加えて、必ず「慣性力」を書き込みます。慣性力の向き（加速度と逆）と大きさ（\(ma\)）を間違えないことが重要です。
  3. 適切な軸に分解する: 斜面上の運動では、斜面に平行・垂直な方向に軸を取るのが定石です。すべての力をこの2方向に分解すれば、運動方程式と力のつり合いの式を立てやすくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の書き忘れ・向きの間違い:
  • 誤解: 非慣性系で考えているのに慣性力を考慮し忘れる、または加速度と同じ向きに描いてしまう。
  • 対策: 「非慣性系で考えるなら、必ず加速度と逆向きに大きさ\(ma\)の慣性力を追加する」と機械的に覚えるくらい徹底しましょう。バスが発進すると体が後ろに倒れる、という日常体験と結びつけるのも有効です。
• 力の分解における角度のミス:
  • 誤解: 水平方向の慣性力\(ma\)を、斜面に平行・垂直な方向に分解する際に、\(\sin\theta\)と\(\cos\theta\)を取り違える。
  • 対策: 大きな図を丁寧に描き、斜面の角度\(\theta\)と、分解によってできる直角三角形の角度の関係（錯角など）をしっかり確認しましょう。
• 「離れない条件」の誤解:
  • 誤解: \(N=0\)（離れる瞬間）だけを考えてしまい、\(N>0\)（離れていない状態）を含め忘れて不等号を間違える。
  • 対策: 「離れない」とは、「面が物体を押し続けている」状態、つまり\(N\)が正の値であるか、ギリギリ押している\(N=0\)の状態を指します。したがって、条件は \(N \ge 0\) となります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力の合成イメージ: 物体には鉛直下向きの「重力」と水平左向きの「慣性力」が働いています。この2つの力を合成した「見かけの重力」が、斜め左下を向いているとイメージします。物体はこの「見かけの重力」によって、この合成力の向きに引っ張られようとします。その結果、斜面に沿って滑り落ち、同時に斜面に押し付けられる（または浮き上がろうとする）と理解できます。
  • (2)の条件のイメージ化: 加速度\(a\)をどんどん大きくしていくと、水平左向きの慣性力も大きくなります。慣性力の「斜面を押し上げる成分（\(ma\sin\theta\)）」が、重力の「斜面に押し付ける成分（\(mg\cos\theta\)）」と等しくなったとき、物体はフワッと浮き始めます。この力関係のバランスが、\(a\)の上限を決めているとイメージします。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の矢印の始点をそろえる: 重力、垂直抗力、慣性力のすべての矢印を、物体の重心から出発するように描くと、力の全体像が把握しやすくなります。
  • 分解した力は点線で: 重力や慣性力を分解した成分は、点線で描くことで元の力と区別し、力の二重カウントを防ぎます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 慣性力の式 (\(F=ma\)):
  • 選定理由: 加速する斜面という非慣性系の上での運動を、静止系と同じように運動方程式や力のつり合いで扱うために導入する。
  • 適用根拠: ニュートンの運動法則を非慣性系に拡張するための数学的な道具です。
• 運動方程式 (\(mb = F_{\text{平行}}\)):
  • 選定理由: (1)で、斜面に沿った方向の運動（加速度\(b\)）と、その原因となる力（\(F_{\text{平行}}\)）の関係を記述するため。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則そのものです。非慣性系では、慣性力も力の合力に含めます。
• 力のつり合いの式 (\(F_{\text{垂直}}=0\)):
  • 選定理由: (2)で垂直抗力\(N\)を求めるため。斜面に垂直な方向には運動（加速度）がないという事実を数式化します。
  • 適用根拠: 運動方程式において、加速度がゼロの場合に相当します。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 斜面上の加速度\(b\)の計算:
   • 戦略: 非慣性系で、斜面平行方向の運動方程式を立てる。
   • フロー: ①物体に働く力（重力、垂直抗力、慣性力）を図示 → ②重力と慣性力を斜面平行方向に分解 → ③平行方向の力の合力を計算 (\(ma\cos\theta + mg\sin\theta\)) → ④運動方程式 \(mb = ma\cos\theta + mg\sin\theta\) を立て、\(b\)を求める。
2. (2) 離れないための\(a\)の範囲:
   • 戦略: 非慣性系で、斜面垂直方向の力のつり合いから\(N\)を求め、\(N \ge 0\)の条件を適用する。
   • フロー: ①重力と慣性力を斜面垂直方向に分解 → ②垂直方向の力のつり合いの式 (\(N + ma\sin\theta – mg\cos\theta = 0\)) を立てる → ③式を\(N\)について解く (\(N = mg\cos\theta – ma\sin\theta\)) → ④\(N \ge 0\) の不等式を立て、\(a\)について解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の整理: 計算過程で多くの文字が登場します。求めるべき文字（(1)では\(b\)、(2)では\(a\)）と、与えられた文字を意識して式を整理しましょう。
• 不等式の変形: (2)で \(mg\cos\theta \ge ma\sin\theta\) という不等式を解く際、両辺を \(\sin\theta\) で割ります。このとき、問題設定から \(0 < \theta < 90^\circ\) なので \(\sin\theta > 0\) であり、不等号の向きは変わりません。このような基本的な確認を怠らないことが重要です。
• 単位の確認: (1)の答え \(a\cos\theta + g\sin\theta\) は、加速度の次元を持つ項の和になっていることを確認します。(2)の答え \(g/\tan\theta\) も、(m/s²)/無次元 = (m/s²) となり、加速度の次元と一致しています。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 極端な条件で検証する:
  • もし斜面が静止していたら (\(a=0\))、(1)の答えは \(b = g\sin\theta\)、(2)の答えは \(0 \le g/\tan\theta\) となり、静止した斜面を滑り落ちる物体の加速度の公式と、常に離れないという自明な結果に一致します。
  • もし斜面が水平だったら (\(\theta=0\))、(1)の答えは \(b=a\)、(2)の答えは \(a \le \infty\) となり、物体は斜面と同じ加速度で動き、決して離れないという直感に合います。
• 物理的な意味を考える: (2)の条件 \(a \le g/\tan\theta\) は、傾斜角\(\theta\)が急になるほど（\(\tan\theta\)が大きくなるほど）、許容される加速度\(a\)の上限が小さくなることを示しています。これは、坂が急なほうが物体が浮き上がりやすいという直感と一致しており、結果の妥当性を裏付けています。

137 ばねのついた円錐振り子

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、糸の代わりにばねを用いた円錐振り子を扱います。ばねの弾性力が伸びによって変化するため、糸の場合よりも考慮すべき要素が増える、力学の総合問題です。
この問題の核心は、まずばねの基本特性（ばね定数）を静的な条件から特定し、次に円運動という動的な状況において、幾何学的な関係、フックの法則、運動方程式、力のつり合いを段階的に適用していく能力です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばねによる円錐振り子」です。糸の代わりにばねを用いることで、張力がばねの伸びに依存する弾性力に置き換わる点が特徴です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. フックの法則と力のつり合い: まず、問題の冒頭の条件（つり下げたときの伸び）から、フックの法則と力のつり合いを用いてばね定数\(k\)を求めます。
2. 幾何学的な関係: 円運動中のばねの長さ\(L’\)や回転半径\(r\)を、与えられた高さ\(L\)と角度\(\theta\)から三角比を用いて求めます。
3. 円運動の動力学: 小球の円運動を維持する向心力と、小球に働く力（弾性力、重力、垂直抗力）の関係を、運動方程式で記述します。
4. 面から離れる条件: 小球が水平面から離れる瞬間は、面が小球を押す力、すなわち垂直抗力\(N\)が0になるときです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) まず、つり下げ時の力のつり合いからばね定数\(k\)を求めます。次に、円運動時のばねの長さ\(L’\)を三角比で求め、フックの法則 \(F=k \times (\text{伸び})\) を使って弾性力\(F\)を計算します。
2. (2) 小球の水平方向の運動に着目し、運動方程式を立てます。弾性力の水平成分が向心力となることを利用して、周期\(T\)を求めます。
3. (3) 小球の鉛直方向の力のつり合いの式を立て、垂直抗力\(N\)を求めます。面から離れる条件 \(N=0\) をこの式に適用し、そのときの角度\(\theta\)を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
ばねの弾性力の大きさを求める問題です。弾性力はフックの法則 \(F=k \times (\text{伸び})\) で決まります。したがって、まず「ばね定数\(k\)」を求め、次に円運動しているときの「ばねの伸び」を求める、という2段階のプロセスが必要です。
この設問における重要なポイント

• ばね定数\(k\)の算出: 問題の冒頭にある「質量\(m\)の小球をつり下げると\(\frac{L}{2}\)伸びた」という情報から、力のつり合い（\(mg = k \cdot \frac{L}{2}\)）を立てて\(k\)を求めます。
• 円運動時のばねの長さ\(L’\)の算出: 図の幾何学的関係から、固定点Pの高さが\(L\)、ばねの角度が\(\theta\)であることから、ばねの現在の長さ\(L’\)を \(L’ = \displaystyle\frac{L}{\cos\theta}\) と求めます。
• 弾性力の計算: \(F = k(L’ – L)\) の式に、上で求めた\(k\)と\(L’\)を代入して計算します。

具体的な解説と立式
Step 1: ばね定数\(k\)を求める

質量\(m\)の小球をつり下げたとき、弾性力と重力がつり合っています。このときの伸びは \(\displaystyle\frac{L}{2}\) なので、フックの法則より、
$$ k \cdot \frac{L}{2} = mg $$
これを\(k\)について解くと、
$$ k = \frac{2mg}{L} \quad \cdots ① $$

Step 2: 弾性力\(F\)を求める

円運動しているとき、固定点Pの高さが\(L\)で、ばねと鉛直線のなす角が\(\theta\)なので、このときのばねの長さ\(L’\)は、
$$ L’ = \frac{L}{\cos\theta} \quad \cdots ② $$
ばねの伸びは \(L’ – L\) なので、弾性力\(F\)はフックの法則より、
$$ F = k(L’ – L) \quad \cdots ③ $$

③式に①と②を代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= \left(\frac{2mg}{L}\right) \left(\frac{L}{\cos\theta} – L\right) \\[2.0ex]&= \frac{2mg}{L} \cdot L \left(\frac{1}{\cos\theta} – 1\right) \\[2.0ex]&= 2mg\left(\frac{1}{\cos\theta} – 1\right)
\end{aligned}
$$

ばねの力を知るには、まずそのばねの「硬さ」（ばね定数）を知る必要があります。問題の最初の条件「おもりをぶら下げたらどれだけ伸びたか」から、ばねの硬さを計算します。次に、円運動しているときの「ばねの長さ」を図から計算し、「自然の長さ」との差（伸び）を求めます。最後に、「ばねの硬さ」×「伸び」で、弾性力を計算します。

ばねの弾性力の大きさは \(F = 2mg\left(\displaystyle\frac{1}{\cos\theta} – 1\right)\) です。角度\(\theta\)が大きくなるほど\(\cos\theta\)は小さくなり、弾性力\(F\)は大きくなります。これは、より速く回転させる（\(\theta\)を大きくする）には、より大きな向心力が必要となり、そのためにはばねがより強く引く必要がある、という物理的直感と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球の回転周期を求める問題です。小球が等速円運動を続けるためには、円の中心に向かう「向心力」が必要です。この向心力は、(1)で求めた弾性力\(F\)の水平成分によって供給されています。この関係を運動方程式で記述します。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式の適用: 水平方向の円運動について、運動方程式 \(ma = F_{\text{向心}}\) を立てます。
• 向心力の特定: 向心力は、弾性力\(F\)の水平成分 \(F\sin\theta\) です。
• 円運動のパラメータ: 回転半径は \(r = L’\sin\theta = \left(\displaystyle\frac{L}{\cos\theta}\right)\sin\theta = L\tan\theta\)。向心加速度は \(a = r\omega^2 = r\left(\displaystyle\frac{2\pi}{T}\right)^2\)。

具体的な解説と立式
小球の水平方向の運動について、運動方程式を立てます。
向心力は弾性力\(F\)の水平成分なので、
$$ F_{\text{向心}} = F\sin\theta $$
回転半径\(r\)は、
$$ r = L\tan\theta $$
運動方程式 \(m(r\omega^2) = F_{\text{向心}}\) は、
$$ m(L\tan\theta)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = F\sin\theta $$

上記で立てた運動方程式に、(1)で求めた \(F = 2mg\left(\displaystyle\frac{1}{\cos\theta} – 1\right)\) を代入します。
$$ m(L\tan\theta)\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = 2mg\left(\frac{1}{\cos\theta} – 1\right)\sin\theta $$
この式を周期\(T\)について解きます。
$$ m L \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \frac{4\pi^2}{T^2} = 2mg\left(\frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}\right)\sin\theta $$
両辺の \(m, \sin\theta, \cos\theta\) を約分すると、
$$
\begin{aligned}
L \frac{4\pi^2}{T^2} &= 2g(1-\cos\theta) \\[2.0ex]\frac{2\pi^2 L}{T^2} &= g(1-\cos\theta) \\[2.0ex]T^2 &= \frac{2\pi^2 L}{g(1-\cos\theta)} \\[2.0ex]T &= \pi\sqrt{\frac{2L}{g(1-\cos\theta)}}
\end{aligned}
$$

小球が円を描いて回り続けられるのは、ばねが円の中心に向かって引っ張る力（弾性力の水平成分）が、円運動に必要な向心力として働いているからです。この関係を運動の法則の式に当てはめ、(1)で求めた弾性力の式を使って、回転の周期を計算します。

回転の周期は \(T = \pi\sqrt{\displaystyle\frac{2L}{g(1-\cos\theta)}}\) です。この式は、角度\(\theta\)が大きくなるほど周期\(T\)が短くなることを示しており、より速く回転していることに対応します。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球が水平面から離れるときの角度\(\theta\)を求める問題です。物理的に「面から離れる」とは、面が小球を押す力、すなわち「垂直抗力\(N\)が0になる」瞬間を意味します。小球に働く鉛直方向の力のつり合いを考え、この条件を適用します。
この設問における重要なポイント

• 面から離れる条件: 垂直抗力 \(N=0\)。
• 鉛直方向の力のつり合い: 小球は水平面内を運動するため、鉛直方向の力はつり合っている。
• 力の分解（鉛直方向）: 弾性力\(F\)を鉛直成分\(F\cos\theta\)に分解する。

具体的な解説と立式
小球に働く鉛直方向の力は以下の3つです。

1. 重力 \(mg\) （下向き）
2. 弾性力\(F\)の鉛直成分 \(F\cos\theta\) （上向き）
3. 垂直抗力 \(N\) （上向き）

これらの力がつり合っているので、
$$ N + F\cos\theta – mg = 0 $$
小球が水平面から離れるときは \(N=0\) なので、
$$ F\cos\theta – mg = 0 $$

上記で立てた式に、(1)で求めた \(F = 2mg\left(\displaystyle\frac{1}{\cos\theta} – 1\right)\) を代入します。
$$ 2mg\left(\frac{1}{\cos\theta} – 1\right)\cos\theta – mg = 0 $$
両辺を \(mg\) で割ると、
$$ 2\left(\frac{1}{\cos\theta} – 1\right)\cos\theta – 1 = 0 $$
この式を \(\cos\theta\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
2(1 – \cos\theta) – 1 &= 0 \\[2.0ex]2 – 2\cos\theta – 1 &= 0 \\[2.0ex]1 – 2\cos\theta &= 0 \\[2.0ex]\cos\theta &= \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$
\(\cos\theta = \displaystyle\frac{1}{2}\) となる角度は、\(\theta = 60^\circ\) です。

小球が地面についている間は、地面が小球を支える力（垂直抗力）が働いています。回転の周期を短くする（＝速く回す）と、ばねがより強く上に引っ張るようになり、地面が支える力はだんだん小さくなります。そして、ついに「ばねが上に引く力」が「重力」と等しくなった瞬間に、地面の支えは不要になり（垂直抗力がゼロになり）、小球は浮き上がります。この力のつり合いの条件から、そのときの角度を計算します。

小球が水平面から離れるときの角度は \(\theta = 60^\circ\) です。このとき、弾性力は \(F = 2mg(\frac{1}{1/2}-1) = 2mg\) となり、その鉛直成分は \(F\cos\theta = 2mg \times \frac{1}{2} = mg\) となって、確かに重力とつり合っています。物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• フックの法則と力のつり合い:
  • 核心: この問題は、まず未知のパラメータである「ばね定数\(k\)」を特定することから始まります。問題文の冒頭にある「質量\(m\)の小球をつり下げると\(\frac{L}{2}\)伸びた」という静的な力のつり合いの条件と、フックの法則（\(F=kx\)）を組み合わせることが、解析の第一歩です。
  • 理解のポイント: 複雑な運動を解析する前に、与えられた静的な条件から物体の基本的な特性（この場合はばねの硬さ）を明らかにする、という問題解決の定石が試されます。
• 円運動の動力学と力の分解:
  • 核心: 小球の等速円運動は、ばねの弾性力によって引き起こされています。この弾性力を「水平成分」と「鉛直成分」に分解し、それぞれの方向で物理法則を適用することが核心です。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 弾性力の水平成分が「向心力」の役割を果たしており、円運動の運動方程式（\(ma=F\)）が成り立ちます。これが(2)の周期を求める鍵です。
    • 鉛直方向: 弾性力の鉛直成分、重力、垂直抗力の3つの力がつり合っています。これが(3)で「面から離れる条件」を考えるための基礎となります。
• 物理的条件の数式化 (\(N=0\)):
  • 核心: (3)で問われる「小球が水平面から離れた」という物理的な現象を、「垂直抗力\(N\)が0になる」という数式上の条件に正確に翻訳する能力が重要です。
  • 理解のポイント: このように、言葉で表現された物理的状況を、数式に落とし込んで方程式を解くというプロセスは、物理の問題解決において普遍的に重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ゴムひもによる円錐振り子: 自然長より縮むことがないという点以外は、ばねと同じく弾性力として扱えます。
  • 斜面上の円運動: 円運動が水平面ではなく、傾いた斜面上で起こる問題。重力の分解がより複雑になりますが、向心力と、面に垂直な方向の力のつり合いを考える基本は同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 未知の定数を特定する: 問題文にばね定数\(k\)が与えられていない場合、まず他の条件（つり合いなど）から\(k\)を求める必要があると予測します。
  2. 運動中の幾何学を把握する: 運動している瞬間の、ばねの長さ、回転半径、角度などの関係性を、図を描いて正確に把握します。
  3. 運動を直交する2方向に分解して考える: 円運動では、運動平面（水平方向）とそれに垂直な方向（鉛直方向）に分けて考えるのが定石です。水平方向は運動方程式、鉛直方向は力のつり合い、と適用する法則を明確に区別します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ばねの「長さ」と「伸び」の混同:
  • 誤解: フックの法則 \(F=kx\) の \(x\) に、ばねの現在の長さ\(L’\)を代入してしまう。
  • 対策: \(x\)は常に「自然の長さからの変化量（伸びまたは縮み）」です。必ず \(x = L’ – L\) のように、現在の長さから自然長を引く計算を行いましょう。
• 向心力と弾性力の混同:
  • 誤解: ばねの弾性力\(F\)そのものが向心力であると勘違いする。
  • 対策: 向心力は、常に円運動の中心を向く力の「合力」です。この問題では、弾性力\(F\)は斜めを向いているため、その水平成分\(F\sin\theta\)のみが向心力として働きます。必ず力を分解して考えましょう。
• 回転半径\(r\)の誤認:
  • 誤解: ばねの自然長\(L\)や現在の長さ\(L’\)を、そのまま回転半径\(r\)として使ってしまう。
  • 対策: 回転半径は、回転の中心軸（この場合は鉛直線）から物体までの距離です。図を描いて三角比を使い、\(r = L’\sin\theta = L\tan\theta\) と正しく求める必要があります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 力のベクトル図: 小球に働く3つの力（重力\(mg\)、弾性力\(F\)、垂直抗力\(N\)）をベクトルとして描きます。これらのベクトルをすべて足し合わせると、合力は水平で円の中心を向くベクトル（向心力）になります。特に(3)の「離れる瞬間」は、垂直抗力\(N\)のベクトルが消え、弾性力\(F\)と重力\(mg\)の合力が向心力と等しくなる瞬間としてイメージできます。
  • 回転速度と力の変化の連動イメージ: 回転の周期を短くする（＝速く回す）と、より大きな向心力が必要になります。そのためには弾性力の水平成分\(F\sin\theta\)を大きくする必要があり、結果としてばねが伸びて角度\(\theta\)が大きくなります。すると、弾性力の鉛直成分\(F\cos\theta\)も大きくなり、やがて重力\(mg\)を支えきって垂直抗力\(N\)が不要になる（＝浮き上がる）、という一連の因果関係をイメージすることが重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 長さの区別: 「自然の長さ\(L\)」、「つり下げ時の伸び\(\frac{L}{2}\)」、「円運動時のばねの長さ\(L’\)」、「円運動時の伸び\(L’-L\)」、「回転半径\(r\)」など、多くの長さが登場します。これらを混同しないよう、図に明確に描き分けましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• フックの法則 (\(F=kx\)):
  • 選定理由: ばねの弾性力を計算するため。ばねの問題における最も基本的な法則です。
  • 適用根拠: 弾性限界内で、ばねの弾性力は伸び（または縮み）に比例するという実験則に基づきます。
• 円運動の運動方程式 (\(ma=F_{\text{向心}}\)):
  • 選定理由: (2)で、運動（周期\(T\)）と力（弾性力\(F\)）の関係を記述するため。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則を、円運動という加速度運動に適用したものです。
• 力のつり合いの式 (\(\sum F_y = 0\)):
  • 選定理由: (1)のばね定数決定、および(3)の垂直抗力\(N\)の計算のため。物体がその方向に加速していない（静止または等速直線運動している）という事実を数式化します。
  • 適用根拠: 運動方程式において加速度がゼロの場合に相当します。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 弾性力の計算:
   • 戦略: ばね定数\(k\)と、円運動時の伸びを求める。
   • フロー: ①つり下げ時の力のつり合いから\(k\)を算出 → ②円運動時の幾何学からばねの長さ\(L’\)を\(\theta\)で表現 → ③フックの法則 \(F=k(L’-L)\) に代入して\(F\)を求める。
2. (2) 周期の計算:
   • 戦略: 水平方向の円運動の運動方程式を立てる。
   • フロー: ①向心力が\(F\sin\theta\)であることを確認 → ②回転半径\(r\)を\(\theta\)で表現 → ③運動方程式 \(m(r\omega^2) = F\sin\theta\) を立てる → ④(1)で求めた\(F\)を代入し、\(\omega=2\pi/T\) を使って\(T\)について解く。
3. (3) 離れる角度の計算:
   • 戦略: 鉛直方向の力のつり合いから\(N\)を求め、\(N=0\)の条件を適用する。
   • フロー: ①鉛直方向の力のつり合いの式 (\(N+F\cos\theta-mg=0\)) を立てる → ②(1)で求めた\(F\)を代入し、\(N\)を\(\theta\)の式で表現 → ③\(N=0\)として方程式を解き、\(\cos\theta\)の値を求め、角度\(\theta\)を特定する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の整理と代入のタイミング: (1)で求めた\(k\)や\(F\)を、(2)や(3)で代入する際に、式が複雑になります。どの式をどこに代入するのか、計算の見通しを立ててから進めましょう。
• 三角関数の扱いに習熟する: \(\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta\) の関係を使った約分や、\(\cos\theta=1/2\) から \(\theta=60^\circ\) を導くなど、三角関数の基本的な計算に慣れておくことが不可欠です。
• 検算: (3)で求めた \(\cos\theta=1/2\) を(1)の\(F\)の式に代入すると \(F=2mg\) となります。このとき、鉛直成分は \(F\cos\theta = 2mg \times (1/2) = mg\) となり、確かに重力とつり合うことが確認できます。このような検算は有効です。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (2)の周期の式 \(T = \pi\sqrt{\displaystyle\frac{2L}{g(1-\cos\theta)}}\) は、\(\theta \rightarrow 0\) の極限で \(1-\cos\theta \approx \theta^2/2\) となるため、分母が0に近づき、周期が無限大に発散します。これは、回転がほぼ止まっている状態に対応し、物理的に妥当です。
  • (3)で求めた角度 \(\theta=60^\circ\) は、物理的に意味のある値です。もし計算結果が \(\cos\theta > 1\) などになれば、計算ミスを疑うべきです。この角度は、ばね定数や質量によらず決まるという点も、この問題の興味深い特徴です。

138 おもりが釘に巻きつく条件

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、振り子の運動の途中で回転中心が変わり、円運動の半径が変化する、鉛直面内での円運動の応用問題です。力学的エネルギー保存則と、状況に応じて変化する円運動の運動方程式を的確に使い分ける能力が試されます。
この問題の核心は、最下点Bを境に運動の局面が「半径Rの円運動」から「半径rの円運動」へと切り替わる点を正確に理解し、各局面で適切な物理法則を適用すること、そして「糸がたるまない」といった物理的条件を数式に翻訳することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直面内での円運動とエネルギー保存則」です。特に、円運動の半径が途中で変化する点が特徴的で、各局面での力学的関係を正確に把握する能力が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 糸の張力は常に運動方向と垂直で仕事をしないため、おもりの力学的エネルギーは保存されます。これを用いて、異なる位置での速さを計算します。
2. 円運動の運動方程式（または遠心力とのつり合い）: 各点での円運動について、張力、重力、そして速さの関係を記述します。最下点Bの直前と直後で円運動の半径が変わるため、それぞれについて考える必要があります。
3. 糸がたるまない条件: 糸がたるまないための条件は、最高点Cでの張力が0以上（\(T_C \ge 0\)）であることです。
4. 張力の最大値: 糸が耐えるべき力は、運動全体を通して生じる張力の最大値です。どの時点で張力が最大になるかを考察する必要があります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) A→B間での力学的エネルギー保存則を立て、速さ\(v_B\)を求めます。
2. (2) 点B直前は半径\(R\)の円運動と考え、運動方程式（または遠心力とのつり合い）から張力\(T\)を求めます。
3. (3) 点B直後は半径\(r\)の円運動と考え、運動方程式から張力\(T’\)を求めます。速さは\(v_B\)のままです。
4. (4) A→C間での力学的エネルギー保存則から最高点Cでの速さ\(v_C\)を求め、Cで張力が0以上になる条件を適用して\(r\)の範囲を求めます。
5. (5) (2)と(3)で求めた張力の式を比較し、(4)の条件下で張力が最大となる値を求めます。

問(1)

思考の道筋とポイント
点Aから最下点Bまで運動する間の速さを求めます。高さが変化するときの速さを問われた場合、力学的エネルギー保存則を利用するのが定石です。
この設問における重要なポイント

• エネルギー保存則の適用: （点Aでの力学的エネルギー）＝（点Bでの力学的エネルギー）
• 基準点の設定: 位置エネルギーの基準面を最下点Bとすると計算が簡単になります。
• 高さの関係: 点Aは基準面Bから見て高さ\(R\)の位置にあります。

具体的な解説と立式
点Aから点Bまでの運動において、力学的エネルギー保存則を適用します。位置エネルギーの基準面を点Bとします。

• 点Aでの力学的エネルギー \(E_A\): 静かにはなすので運動エネルギーは0。位置エネルギーは \(mgR\)。
  $$ E_A = 0 + mgR $$
• 点Bでの力学的エネルギー \(E_B\): 速さを\(v_B\)とすると運動エネルギーは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_B^2\)。位置エネルギーは0。
  $$ E_B = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0 $$

エネルギー保存則 \(E_A = E_B\) より、
$$ mgR = \frac{1}{2}mv_B^2 $$

上記で立てた式を \(v_B\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v_B^2 &= 2gR \\[2.0ex]v_B &= \sqrt{2gR}
\end{aligned}
$$
速さは正なので、正の平方根をとります。

おもりが点Aから点Bまで落下する間に失った「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が、すべて「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わったと考えます。このエネルギーの変換式から速さを計算します。

最下点Bでのおもりの速さは \(\sqrt{2gR}\) です。これは自由落下で距離Rを落下したときの速さと同じであり、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点Bを通過する「直前」の張力を求めます。この瞬間、おもりは点Oを中心とする半径\(R\)の円運動の最下点にあります。円運動をしている物体に働く力と速さの関係は、運動方程式（または遠心力とのつり合い）で記述します。
この設問における重要なポイント

• 円運動のモデル: 点Oが中心、半径が\(R\)の円運動。
• 力の関係（慣性系）: 上向きの張力\(T\)と下向きの重力\(mg\)の合力が、上向きの向心力として働きます。
• 力の関係（非慣性系）: おもりと一緒に運動する観測者から見ると、上向きの張力\(T\)が、下向きの重力\(mg\)と下向きの遠心力\(F\)の和とつり合っています。

具体的な解説と立式
おもりと一緒に運動する観測者（非慣性系）の視点で考えます。点Bでは、鉛直方向の力がつり合っています。

• 上向きの力: 張力\(T\)
• 下向きの力: 重力\(mg\) と 遠心力\(F\)

遠心力\(F\)の大きさは、
$$ F = m\frac{v_B^2}{R} $$
力のつり合いの式は、
$$ T – mg – F = 0 $$

(1)で求めた \(v_B^2 = 2gR\) を遠心力の式に代入します。
$$ F = m\frac{2gR}{R} = 2mg $$
これをつり合いの式に代入して\(T\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
T &= mg + F \\[2.0ex]&= mg + 2mg \\[2.0ex]&= 3mg
\end{aligned}
$$

最下点では、糸は「おもりの重さ」を支えるだけでなく、おもりが円運動から飛び出さないように「内側に引き留める力（向心力）」も加えなければなりません。この２つの力の合計が張力になります。

点B直前の張力は\(3mg\)です。重力の3倍という大きな力がかかっており、物理的に妥当な大きさです。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Bを通過した「直後」の張力を求めます。この瞬間、おもりは釘Pを中心とする半径\(r\)の円運動を開始します。速さは点Bを通過する瞬間で変わらないので\(v_B\)のままですが、円運動の半径が\(R\)から\(r\)に変わるため、張力の大きさが変化します。
この設問における重要なポイント

• 円運動のモデル: 釘Pが中心、半径が\(r\)の円運動。
• 速さ: 点Bを通過する瞬間なので、速さは(1)で求めた\(v_B\)のまま。
• 力の関係: (2)と同様に、上向きの張力\(T’\)が、下向きの重力\(mg\)と下向きの遠心力\(F’\)の和とつり合います。

具体的な解説と立式
(2)と同様に、非慣性系の視点で考えます。
遠心力\(F’\)の大きさは、半径が\(r\)に変わるため、
$$ F’ = m\frac{v_B^2}{r} $$
力のつり合いの式は、
$$ T’ – mg – F’ = 0 $$

\(v_B^2 = 2gR\) を遠心力の式に代入します。
$$ F’ = m\frac{2gR}{r} = 2mg\frac{R}{r} $$
これをつり合いの式に代入して\(T’\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
T’ &= mg + F’ \\[2.0ex]&= mg + 2mg\frac{R}{r} \\[2.0ex]&= mg\left(1 + 2\frac{R}{r}\right)
\end{aligned}
$$

(2)と考え方は同じですが、今度は半径がより小さい円を回るため、おもりを「内側に引き留める力（向心力）」がより大きくなります。そのため、張力も(2)より大きくなります。

点B直後の張力は \(mg(1 + 2\displaystyle\frac{R}{r})\) です。\(r<R\)なので、この値は(2)で求めた\(3mg\)より大きくなります。急なカーブ（半径が小さい）ほど大きな向心力が必要という直感と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
糸がたるむことなく最高点Cに達するための条件を求めます。これには2つの条件が隠されています。

1. そもそも最高点Cに到達できること（Cでの速さが虚数にならない）。
2. 最高点Cで糸がたるまないこと（Cでの張力が0以上）。

この2つの条件を両方満たす\(r\)の範囲を求めます。
この設問における重要なポイント

• 到達条件: A→C間での力学的エネルギー保存則からCでの速さ\(v_C\)を求め、\(v_C^2 \ge 0\) であることを確認する。
• たるまない条件: 最高点Cでの円運動について力の関係式を立て、張力\(T_C \ge 0\) という条件を適用する。

具体的な解説と立式
Step 1: 到達条件を求める

A→C間で力学的エネルギー保存則を適用します。基準面をBとすると、Cの高さは\(2r\)です。
$$ mgR = \frac{1}{2}mv_C^2 + mg(2r) $$
これを\(v_C^2\)について解くと、
$$ v_C^2 = 2g(R-2r) $$
速さが実数であるためには \(v_C^2 \ge 0\) なので、
$$ R-2r \ge 0 \quad \rightarrow \quad r \le \frac{R}{2} \quad \cdots ① $$

Step 2: たるまない条件を求める

最高点Cでの力のつり合い（非慣性系）を考えます。

• 下向きの力: 張力\(T_C\)、重力\(mg\)
• 上向きの力: 遠心力\(F_C = m\displaystyle\frac{v_C^2}{r}\)

つり合いの式は、
$$ F_C – T_C – mg = 0 $$
たるまない条件は \(T_C \ge 0\) です。
$$ T_C = F_C – mg = m\frac{v_C^2}{r} – mg \ge 0 $$
この式に \(v_C^2 = 2g(R-2r)\) を代入します。
$$ m\frac{2g(R-2r)}{r} – mg \ge 0 $$

たるまない条件の不等式を\(r\)について解きます。
$$ m\frac{2g(R-2r)}{r} – mg \ge 0 $$
両辺を\(mg\)で割ると、
$$ \frac{2(R-2r)}{r} – 1 \ge 0 $$
両辺に\(r>0\)を掛けて、
$$
\begin{aligned}
2(R-2r) – r &\ge 0 \\[2.0ex]2R – 4r – r &\ge 0 \\[2.0ex]2R &\ge 5r \\[2.0ex]r &\le \frac{2}{5}R \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
①(\(r \le \frac{R}{2}\))と②(\(r \le \frac{2}{5}R\))の両方を満たす必要があり、\(\frac{2}{5} = 0.4\)、\(\frac{1}{2} = 0.5\) なので、より厳しい条件は②です。

おもりがてっぺんのC点までたどり着くには、まずC点までの高さ分のエネルギーを賄えるだけの初めのエネルギーが必要です（到達条件）。さらに、てっぺんで糸がピンと張ったままでいるためには、おもりが外に飛び出そうとする力（遠心力）が、重力に負けないくらい大きくないといけません（たるまない条件）。この２つの条件のうち、より厳しい方を採用します。

糸がたるむことなく最高点Cに達するためには、\(r \le \displaystyle\frac{2}{5}R\) を満たす必要があります。

問(5)

思考の道筋とポイント
糸が耐えなければならない力の最小値を求めます。これは、(4)の条件を満たす運動の中で、張力が最大になる値を求めることに相当します。張力が最大になるのはどの瞬間かを考察します。
この設問における重要なポイント

• 張力の比較: 運動中の各点（B直前、B直後、Cなど）での張力を比較する。
• 張力の最大値: 張力は速さが最大で、かつ回転半径が最小のときに大きくなる傾向がある。この問題では、最下点Bを通過した直後が該当する。
• 条件の適用: (4)で求めた条件 \(r \le \displaystyle\frac{2}{5}R\) の下で、張力の最大値を考える。

具体的な解説と立式
運動全体を通して、張力が最大になる可能性があるのは、速さが最大となる最下点Bです。

• B直前の張力: \(T = 3mg\)
• B直後の張力: \(T’ = mg\left(1 + 2\displaystyle\frac{R}{r}\right)\)

\(r<R\)なので、\(T’ > 3mg\)となり、張力はBを通過した直後に最大値をとります。
この張力\(T’\)は、\(r\)が小さいほど大きくなります。
(4)より、糸がたるまずにCに達するためには \(r \le \displaystyle\frac{2}{5}R\) という条件が必要です。
この条件の下で、\(T’\)がどのような値をとるかを考えます。
$$ r \le \frac{2}{5}R \quad \rightarrow \quad \frac{1}{r} \ge \frac{5}{2R} \quad \rightarrow \quad \frac{R}{r} \ge \frac{5}{2} $$
この関係を\(T’\)の式に適用します。
$$ T’ = mg\left(1 + 2\frac{R}{r}\right) \ge mg\left(1 + 2 \cdot \frac{5}{2}\right) $$

上記の不等式を計算します。
$$
\begin{aligned}
T’ &\ge mg(1 + 5) \\[2.0ex]T’ &\ge 6mg
\end{aligned}
$$
これは、(4)の条件を満たす運動中、張力はB直後で必ず\(6mg\)以上の値をとることを意味します。したがって、糸が切れないためには、少なくとも\(6mg\)の力に耐える必要があります。

糸が一番強く引っ張られるのはいつかを考えます。それは、おもりが一番速く、かつ一番急なカーブを曲がる瞬間、つまり最下点Bを通過して釘に引っかかった直後です。このときの張力は、(4)で求めた「たるまない条件」を満たす中で最も小さくなる場合でも\(6mg\)になります。したがって、糸は最低でも\(6mg\)の力に耐えられないと、この運動は成立しません。

糸は少なくとも\(6mg\)の力に耐えなければなりません。これは、\(r=\frac{2}{5}R\)というギリギリの条件で運動させた場合に、B直後にかかる張力の値です。妥当な結論です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: 糸の張力は常に物体の運動方向と垂直であるため、仕事をしません。したがって、重力のみが仕事をするこの系では、力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）が常に保存されます。これが、異なる2点間での速さと高さを関係づける最も重要な法則です。
  • 理解のポイント: (1)のA→B間、(4)のA→C間など、複数の場面でこの法則を適用して速さを計算します。基準点をどこに置くかで式の形は変わりますが、本質は同じです。
• 円運動の運動方程式:
  • 核心: おもりは円弧上を運動しているため、各瞬間において円運動の法則に従います。特に、円の中心方向（動径方向）の運動方程式 \(m\displaystyle\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\) が、物体の速さ\(v\)と、その運動を引き起こしている力（張力と重力の分力）を関係づけます。
  • 理解のポイント: この問題の最大の特徴は、最下点Bを境に円運動の半径が\(R\)から\(r\)に変わることです。(2)と(3)では、この半径の変化を運動方程式に正しく反映させる必要があります。
• 物理的条件の数式化:
  • 核心: 「糸がたるむことなく」や「糸が切れることなく」といった言葉で表現された物理的な条件を、数式に正確に翻訳する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • 「糸がたるまない」 \(\iff\) 「張力 \(T \ge 0\)」
    • 「糸が切れない」 \(\iff\) 「糸の最大張力 \(\le\) 糸が耐えられる力」

    これらの変換が、(4)や(5)を解く上での出発点となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ジェットコースターのループ運動: 鉛直面内の円運動として、最高点で落下しない条件（垂直抗力\(N \ge 0\)）や、ループを一周するための初速度などが問われます。
  • 振り子の途中に障害物がある問題: この問題と同様に、運動の途中で回転中心や半径が変化するパターンです。変化の前後でエネルギーと運動量を正しく接続することが鍵となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーは保存されるか？: まず、摩擦や空気抵抗の有無を確認します。なければ、力学的エネルギー保存則が強力な武器になります。
  2. 運動の局面を分割する: 運動の性質が変わる点（この問題では最下点B）で問題を分割して考えます。「A→B」「B直前」「B直後」「B→C」のように、各局面でどの法則が適用できるかを整理します。
  3. 張力が最大・最小になる点を予測する: 一般に、鉛直面内の円運動では、張力は最下点で最大、最高点で最小になります。速さが大きく、かつ重力が張力と同じ向きに加わるためです。この予測を基に、(5)のような問題を考えます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 円運動の半径の取り違え:
  • 誤解: (3)のB点直後の運動や、(4)のC点での運動で、半径を\(R\)のまま計算してしまう。
  • 対策: 運動の局面が変わるたびに、その時点での「回転中心はどこか」「回転半径はいくらか」を必ず図で確認する習慣をつけましょう。B直後からは中心がP、半径が\(r\)になります。
• 「たるまない条件」の適用の誤り:
  • 誤解: (4)で、最高点Cに「到達する条件」(\(v_C \ge 0\))だけで十分だと考え、張力の条件を見落とす。
  • 対策: 鉛直面内の円運動で「一周する」「最高点に達する」という場合、最高点での速さだけでなく、張力（または垂直抗力）が0以上であるという条件が必ず必要になります。この2つの条件を常にセットで考えるようにしましょう。
• (5)での張力の最大値の考察不足:
  • 誤解: (2)や(3)で求めた張力のどちらか一方だけを考えてしまう、あるいは最高点Cでの張力を最大値と勘違いする。
  • 対策: 運動全体を通して、張力がどのように変化するかを考察する必要があります。\(T’ = mg(1+2R/r)\) の式から、張力は\(r\)が小さいほど大きくなることがわかります。(4)の条件 \(r \le 2R/5\) と組み合わせることで、\(T’\)の最小値（これが耐えるべき力）が求まります。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • エネルギーのシーソー: 点Aでの位置エネルギー\(mgR\)を初期資産とします。運動中、この資産が位置エネルギー\(mgh\)と運動エネルギー\(\frac{1}{2}mv^2\)に振り分けられます。高さが下がれば速さが増し、高さが上がれば速さが減る、というシーソーのような関係をイメージします。
  • 張力の正体: 張力は「重力のおもりを円軌道から引き離す成分を打ち消す力」＋「向心力」の2つの役割を担っているとイメージします。最下点では、重力\(mg\)が丸ごと軌道から引き離す力として働き、かつ速さが最大なので向心力も最大となり、張力は最大になります。最高点では、重力\(mg\)が向心力の一部を助ける向きに働くため、張力の負担は最も小さくなります。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 半径の変化を明確に: Bを境に、円運動の軌道が半径\(R\)の円弧から半径\(r\)の円弧に切り替わる様子を、色を変えるなどして明確に図示します。
  • 各点のエネルギーの内訳をメモする: 図のA、B、Cの各点の横に、\(E = K+U\) の内訳（例: A点では \(E=0+mgR\)、C点では \(E=\frac{1}{2}mv_C^2+mg(2r)\)）を書き込むと、エネルギー保存の立式ミスを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: (1)や(4)で、異なる2点間の「速さ」と「高さ」を関係づけるため。力が保存力のみの場合に最も強力なツールです。
  • 適用根拠: 非保存力である張力が仕事をしないため、エネルギーの総和は一定に保たれるという物理法則に基づきます。
• 円運動の運動方程式（または遠心力とのつり合い）:
  • 選定理由: (2), (3), (4)で、円運動をしている瞬間の「力（張力）」と「速さ」を関係づけるため。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則を円運動に適用したものです。非慣性系（遠心力）で考えると、静的な力のつり合いとして扱えるため、直感的に理解しやすい場合があります。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) B点の速さ: A→Bのエネルギー保存。
2. (2) B直前の張力: 半径\(R\)の円運動として、B点での運動方程式を立てる。
3. (3) B直後の張力: 半径\(r\)の円運動として、B点での運動方程式を立てる。速さは(1)の値を使用。
4. (4) たるまない条件:
   • 戦略: 最高点Cで「到達可能」かつ「張力\(\ge 0\)」の2条件を考える。
   • フロー: ①A→Cのエネルギー保存から\(v_C^2\)を求める → ②\(v_C^2 \ge 0\) から\(r\)の一次条件を出す → ③C点での運動方程式から\(T_C\)を求める → ④\(T_C \ge 0\) から\(r\)の二次条件を出す → ⑤両条件を満たす、より厳しい方の範囲を選ぶ。
5. (5) 耐えるべき力:
   • 戦略: 運動全体で張力が最大になる瞬間とその値を求める。
   • フロー: ①張力がB直後で最大になることを確認 → ②(3)の\(T’\)の式に、(4)で求めた\(r\)の条件を適用 → ③\(T’\)が取りうる最小値（これが耐えるべき力）を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 代入の正確性: (2)以降、前の設問で求めた結果（\(v_B^2\)など）を代入する場面が多くあります。代入ミスや計算ミスに注意しましょう。
• 不等式の扱いに注意: (4)で\(r\)の範囲を求める際や、(5)で\(T’\)の範囲を求める際に、不等号の向きを間違えないように慎重に計算を進めましょう。特に、逆数をとる場合は向きが変わることに注意が必要です。
• 文字式の整理: 式が複雑になりがちなので、\(mg\)や\(R/r\)などを一つの塊として捉えながら計算を進めると、見通しが良くなります。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3)の張力\(T’\)は、\(r\)が小さいほど大きくなります。これは、急カーブほど大きな力が必要という直感に合致します。
  • (4)の条件 \(r \le \frac{2}{5}R\) は、半径\(r\)が小さすぎると（カーブが急すぎると）、最高点まで到達する前にエネルギー不足になるか、途中でたるんでしまうことを示唆しており、物理的に妥当です。
  • (5)の\(6mg\)という値は、静止時のおもりの重さの6倍です。高速で運動する物体には、しばしば自重の何倍もの力がかかることがあり、極端ではありますが物理的にあり得る値です。

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