「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 7】Step1 & 例題

Step1

① 仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「一定の力がする仕事の計算」です。それぞれの力がする仕事を、定義に基づいて正確に求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
物理における「仕事」とは、物体に力が作用し、その力の向きに物体が移動したときに「力が仕事をした」と表現します。仕事の量は、力の大きさと移動距離、そして両者の向きの関係によって決まります。公式 \(W = Fs \cos\theta\) の意味を正確に理解することが、この問題を解くための第一歩です。特に、力と変位のなす角 \(\theta\) が \(0^\circ\)、\(90^\circ\)、\(180^\circ\) となるそれぞれのケースを、図をイメージしながら考えることが重要です。

この設問における重要なポイント

• 仕事の定義式: \(W = Fs \cos\theta\)。\(F\) は力の大きさ、\(s\) は変位の大きさ、\(\theta\) は力と変位のなす角です。
• 仕事が正になる場合 (\(\theta < 90^\circ\)): 力が物体の運動を助ける向きに働くとき。特に \(\theta = 0^\circ\) のとき、仕事は \(W = Fs\) となり最大値をとります。
• 仕事が0になる場合 (\(\theta = 90^\circ\)): 力が物体の運動方向と垂直に働くとき。この力は物体の運動に直接寄与しません。
• 仕事が負になる場合 (\(\theta > 90^\circ\)): 力が物体の運動を妨げる向きに働くとき。特に \(\theta = 180^\circ\) のとき、仕事は \(W = -Fs\) となります。

具体的な解説と立式
この問題では、3つの異なる力（加えた力 \(\vec{F}\)、重力、動摩擦力）が物体にする仕事をそれぞれ計算します。物体の変位は、左向きに \(s = 3.0\,\text{m}\) です。

1. 力 \(\vec{F}\) がした仕事 \(W_1\):
   力 \(\vec{F}\) の大きさは \(F = 5.0\,\text{N}\) で、向きは左向きです。変位の向きも左向きなので、力と変位のなす角は \(\theta_1 = 0^\circ\) です。
   したがって、仕事 \(W_1\) を求める式は以下のようになります。
   $$ W_1 = F s \cos\theta_1 $$
2. 重力がした仕事 \(W_2\):
   物体の質量は \(m = 2.0\,\text{kg}\)、重力加速度の大きさを \(g = 9.8\,\text{m/s}^2\) とすると、重力の大きさは \(mg\) です。重力は鉛直下向きに働きます。一方、変位は水平左向きなので、力と変位のなす角は \(\theta_2 = 90^\circ\) です。
   したがって、仕事 \(W_2\) を求める式は以下のようになります。
   $$ W_2 = (mg) s \cos\theta_2 $$
3. 動摩擦力がした仕事 \(W_3\):
   動摩擦力の大きさは \(f’ = 4.0\,\text{N}\) で、向きは物体の運動方向と逆向き、つまり右向きです。変位は左向きなので、力と変位のなす角は \(\theta_3 = 180^\circ\) です。
   したがって、仕事 \(W_3\) を求める式は以下のようになります。
   $$ W_3 = f’ s \cos\theta_3 $$

上で立てた式に、具体的な数値を代入して計算します。

• 力 \(\vec{F}\) がした仕事 \(W_1\):
  $$
  \begin{aligned}
  W_1 &= 5.0 \times 3.0 \times \cos 0^\circ \\[2.0ex]&= 15 \times 1 \\[2.0ex]&= 15\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$
• 重力がした仕事 \(W_2\):
  $$
  \begin{aligned}
  W_2 &= (2.0 \times 9.8) \times 3.0 \times \cos 90^\circ \\[2.0ex]&= 19.6 \times 3.0 \times 0 \\[2.0ex]&= 0\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$
• 動摩擦力がした仕事 \(W_3\):
  $$
  \begin{aligned}
  W_3 &= 4.0 \times 3.0 \times \cos 180^\circ \\[2.0ex]&= 12 \times (-1) \\[2.0ex]&= -12\,\text{J}
  \end{aligned}
  $$

仕事は「力 × 力の向きに動いた距離」と考えると分かりやすいです。

• 力 \(\vec{F}\) の仕事: 力の向き（左）と物体の動いた向き（左）がぴったり同じです。この場合、仕事は単純に「力の大きさ × 距離」で計算できます。\(5.0\,\text{N} \times 3.0\,\text{m} = 15\,\text{J}\) となります。力が運動を後押ししているので、仕事はプラスの値です。
• 重力の仕事: 重力は真下に向かって働いていますが、物体は水平（左）に動いています。つまり、重力の向きには全く動いていません。このような場合、その力は仕事をしていないと考え、仕事は \(0\,\text{J}\) になります。
• 動摩擦力の仕事: 動摩擦力は物体の動きを邪魔する向き（右）に働きます。物体の動いた向き（左）とは真逆です。この場合、仕事はマイナスの値になり、「- (力の大きさ × 距離)」で計算します。よって、\(-(4.0\,\text{N} \times 3.0\,\text{m}) = -12\,\text{J}\) となります。

② 仕事率

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「仕事率の計算」です。仕事の定義と仕事率の定義を順に適用して、値を求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
仕事率とは、「単位時間（1秒）あたりにする仕事の大きさ」を表す量です。つまり、どれだけハイペースで仕事をしたかを示す指標と言えます。この問題を解くには、まず「①水を持ち上げるのにどれだけの仕事をしたか」を計算し、次に「②その仕事を何秒かけて行ったか」で割る、という2段階のステップで考えます。水を持ち上げるために必要な力は、少なくとも水の重力と同じ大きさと考えるのがポイントです。

この設問における重要なポイント

• 仕事率の定義: 仕事率 \(P\) [W] は、仕事 \(W\) [J] をかかった時間 \(t\) [s] で割ったもの。
  $$ P = \frac{W}{t} $$
• 重力に逆らう仕事: 質量 \(m\) [kg] の物体を高さ \(h\) [m] だけ持ち上げる仕事 \(W\) は、重力加速度を \(g\) [m/s²] として、
  $$ W = mgh $$
• 仕事率の単位: ワット [W] を使う。\(1\,\text{W}\) は、1秒間に \(1\,\text{J}\) の仕事をするときの仕事率 (\(1\,\text{W} = 1\,\text{J/s}\))。

具体的な解説と立式
まず、質量 \(m = 150\,\text{kg}\) の水を、高さ \(h = 20\,\text{m}\) のビルの屋上まで持ち上げるのに必要だった仕事 \(W\) を計算します。
水を持ち上げるためには、少なくとも水にはたらく重力 \(mg\) と同じ大きさの力 \(F\) を上向きに加え続ける必要があります。
$$ F = mg $$
この力 \(F\) で高さ \(h\) だけ持ち上げたので、その仕事 \(W\) は、力と移動距離が同じ向き（\(\theta=0^\circ\)）であることから、次のように計算できます。
$$ W = Fh = mgh $$
次に、この仕事 \(W\) をするのにかかった時間 \(t = 70\,\text{s}\) を用いて、仕事率 \(P\) を求めます。仕事率の定義式は以下の通りです。
$$ P = \frac{W}{t} $$
したがって、求める仕事率 \(P\) は、これらの式を組み合わせることで立式できます。
$$ P = \frac{mgh}{t} $$

立式した \(P = \displaystyle\frac{mgh}{t}\) に、問題文の数値を代入します。
与えられた値は、\(m = 150\,\text{kg}\)、\(g = 9.8\,\text{m/s}^2\)、\(h = 20\,\text{m}\)、\(t = 70\,\text{s}\) です。
$$
\begin{aligned}
P &= \frac{150 \times 9.8 \times 20}{70} \\[2.0ex]&= \frac{15 \times 9.8 \times 20}{7} \\[2.0ex]&= 15 \times \frac{9.8}{7} \times 20 \\[2.0ex]&= 15 \times 1.4 \times 20 \\[2.0ex]&= 420 \\[2.0ex]&= 4.2 \times 10^2 \,\text{W}
\end{aligned}
$$

この問題は、2つのステップで解くことができます。
ステップ1：まず「仕事」の量を計算します。
仕事は「力 × 距離」です。持ち上げる水の重さは \(150\,\text{kg} \times 9.8\,\text{m/s}^2\) で計算できる力（重力）に相当します。この力で \(20\,\text{m}\) 持ち上げたので、仕事 \(W\) は \( (150 \times 9.8) \times 20 = 29400\,\text{J}\) となります。

ステップ2：次に「仕事率」を計算します。
仕事率は、計算した仕事をかかった時間で割るだけです。\(29400\,\text{J}\) の仕事を \(70\,\text{s}\) で行ったので、1秒あたりの仕事量、つまり仕事率は \(29400 \div 70 = 420\,\text{W}\) となります。
答えは有効数字2桁で \(4.2 \times 10^2\,\text{W}\) と表します。

③ 運動エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「運動エネルギーの公式を用いた基本的な計算」です。運動エネルギーの定義を理解し、公式に値を代入して計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
運動エネルギーは、運動している物体が持つエネルギーのことです。その大きさは、物体の質量 \(m\) と速さ \(v\) によって決まります。公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) からわかるように、質量が大きいほど、また速さが大きいほど、運動エネルギーは増大します。特に、速さは2乗でエネルギーに影響するため、速さの変化はエネルギーの大きさに非常に大きな影響を与えるという感覚を持つことが大切です。この問題は公式に数値を当てはめるだけの基本的なものなので、計算ミスなく確実に得点したいところです。

この設問における重要なポイント

• 運動エネルギーの公式: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。ここで \(K\) は運動エネルギー（単位: J）、\(m\) は質量（単位: kg）、\(v\) は速さ（単位: m/s）です。
• エネルギーは向きを持たないスカラー量です。
• 計算結果の有効数字は、問題文で与えられた数値の桁数に合わせることが基本です。この問題では「50kg」「10m/s」ともに2桁なので、結果も2桁で表すのが適切です。

具体的な解説と立式
この問題で求めるのは、人が持つ運動エネルギー \(K\) です。
問題文から、人の質量 \(m\) と速さ \(v\) は以下のように与えられています。

• 質量: \(m = 50\,\text{kg}\)
• 速さ: \(v = 10\,\text{m/s}\)

運動エネルギー \(K\) を求めるための公式は次の通りです。
$$ K = \frac{1}{2}mv^2 $$
この式に、上記の数値を代入することで、運動エネルギーを計算できます。

運動エネルギーの公式に、\(m = 50\,\text{kg}\)、\(v = 10\,\text{m/s}\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
K &= \frac{1}{2} \times 50 \times (10)^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 50 \times 100 \\[2.0ex]&= 25 \times 100 \\[2.0ex]&= 2500 \\[2.0ex]&= 2.5 \times 10^3 \,\text{J}
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁で表すため、\(2.5 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

運動エネルギーは、その物体がどれくらいの「勢い」で動いているかを示すエネルギーの一種です。計算はとてもシンプルで、公式「\(K = \displaystyle\frac{1}{2} \times (\text{質量}) \times (\text{速さ}) \times (\text{速さ})\)」に当てはめるだけです。
この問題の場合、

• 質量は \(50\,\text{kg}\)
• 速さは \(10\,\text{m/s}\)

なので、
運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{1}{2} \times 50 \times 10 \times 10 = 2500\,\text{J}\) となります。
これを科学的な書き方（指数表記）にすると、\(2.5 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

④ 重力による位置エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「重力による位置エネルギーの公式を用いた基本的な計算」です。位置エネルギーの定義を理解し、公式に値を代入して計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
重力による位置エネルギーは、物体が重力に逆らってある高さまで持ち上げられることによって蓄えられるエネルギーです。高い場所にある物体ほど、落下するときに他の物体に大きな仕事をすることができる、という潜在的なエネルギーと考えることができます。この問題は、公式 \(U=mgh\) に数値を当てはめるだけの基本的なものですが、「基準面」という言葉の意味を正しく理解することが重要です。位置エネルギーは、どこを高さ \(0\) とするか（基準面）によって値が変わる相対的な量です。

この設問における重要なポイント

• 重力による位置エネルギーの公式: \(U = mgh\)。ここで \(U\) は位置エネルギー（単位: J）、\(m\) は質量（単位: kg）、\(g\) は重力加速度の大きさ（単位: m/s²）、\(h\) は基準面からの高さ（単位: m）です。
• 基準面: 位置エネルギーを計算する上での高さの基準点 (\(h=0\))。問題文で指定されている場合はそれに従います。
• エネルギーは向きを持たないスカラー量です。
• 計算結果の有効数字は、問題文で与えられた数値の桁数に合わせます。この問題では「50kg」「10m」ともに2桁なので、結果も2桁で表すのが適切です。

具体的な解説と立式
この問題で求めるのは、人が持つ重力による位置エネルギー \(U\) です。
問題文から、人の質量 \(m\) と基準面からの高さ \(h\) は以下のように与えられています。

• 質量: \(m = 50\,\text{kg}\)
• 基準面からの高さ: \(h = 10\,\text{m}\)

重力加速度の大きさは、特に指定がないため \(g = 9.8\,\text{m/s}^2\) を用います。

重力による位置エネルギー \(U\) を求めるための公式は次の通りです。
$$ U = mgh $$
この式に、上記の数値を代入することで、位置エネルギーを計算できます。

位置エネルギーの公式に、\(m = 50\,\text{kg}\)、\(g = 9.8\,\text{m/s}^2\)、\(h = 10\,\text{m}\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
U &= 50 \times 9.8 \times 10 \\[2.0ex]&= 500 \times 9.8 \\[2.0ex]&= 4900 \\[2.0ex]&= 4.9 \times 10^3 \,\text{J}
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁で表すため、\(4.9 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

重力による位置エネルギーは、よく「高さのエネルギー」と呼ばれます。計算はとてもシンプルで、公式「\(U = (\text{質量}) \times (\text{重力加速度}) \times (\text{高さ})\)」に当てはめるだけです。
この問題の場合、

• 質量は \(50\,\text{kg}\)
• 高さは \(10\,\text{m}\)
• 重力加速度は \(9.8\,\text{m/s}^2\)

なので、これらをすべて掛け合わせます。
位置エネルギー \(U = 50 \times 9.8 \times 10 = 4900\,\text{J}\) となります。
これを科学的な書き方（指数表記）にすると、\(4.9 \times 10^3\,\text{J}\) となります。

⑤ 弾性力による位置エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「弾性力による位置エネルギーの公式を用いた基本的な計算」です。弾性エネルギーの定義を理解し、公式に値を代入して計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
ばねを伸ばしたり縮めたりすると、ばねは元の形に戻ろうとする性質（弾性）によってエネルギーを蓄えます。これを「弾性力による位置エネルギー」または単に「弾性エネルギー」と呼びます。蓄えられるエネルギーの大きさは、ばねの硬さを示す「ばね定数 \(k\)」と、変形の大きさである「自然の長さからの伸び・縮み \(x\)」によって決まります。公式 \(U = \displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) から、変形量 \(x\) が2倍になるとエネルギーは \(2^2=4\) 倍になるという関係を理解しておくことが重要です。

この設問における重要なポイント

• 弾性力による位置エネルギーの公式: \(U = \displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)。ここで \(U\) は位置エネルギー [J]、\(k\) はばね定数 [N/m]、\(x\) は自然の長さからの伸びまたは縮み [m] です。
• エネルギーの基準点: ばねが伸びも縮みもしていない「自然の長さ」の状態が、エネルギーが \(0\) となる基準点 (\(x=0\)) です。
• エネルギーは向きを持たないスカラー量です。
• 変形量 \(x\) は2乗されるため、ばねを伸ばした場合でも縮めた場合でも、蓄えられるエネルギーは正の値になります。

具体的な解説と立式
この問題で求めるのは、ばねに蓄えられる弾性力による位置エネルギー \(U\) です。
問題文から、ばね定数 \(k\) と自然の長さからの伸び \(x\) は以下のように与えられています。

• ばね定数: \(k = 800\,\text{N/m}\)
• 自然の長さからの伸び: \(x = 0.20\,\text{m}\)

弾性力による位置エネルギー \(U\) を求めるための公式は次の通りです。
$$ U = \frac{1}{2}kx^2 $$
この式に、上記の数値を代入することで、エネルギーを計算できます。

弾性力による位置エネルギーの公式に、\(k = 800\,\text{N/m}\)、\(x = 0.20\,\text{m}\) を代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
U &= \frac{1}{2} \times 800 \times (0.20)^2 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 800 \times 0.04 \\[2.0ex]&= 400 \times 0.04 \\[2.0ex]&= 16 \,\text{J}
\end{aligned}
$$

ばねが蓄えるエネルギーは、公式「\(U = \displaystyle\frac{1}{2} \times (\text{ばね定数}) \times (\text{伸び}) \times (\text{伸び})\)」に当てはめるだけで計算できます。
この問題の場合、

• ばね定数は \(800\,\text{N/m}\)
• 伸びは \(0.20\,\text{m}\)

なので、
エネルギー \(U = \displaystyle\frac{1}{2} \times 800 \times 0.20 \times 0.20\) となります。
まず、\(\displaystyle\frac{1}{2} \times 800 = 400\)。
次に、\(0.20 \times 0.20 = 0.04\)。
最後に、\(400 \times 0.04 = 16\)。
したがって、ばねに蓄えられるエネルギーは \(16\,\text{J}\) です。

⑥ 運動エネルギーと仕事

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「仕事と運動エネルギーの関係（エネルギー原理）」です。物体がされた仕事とその運動エネルギーの変化を結びつけて考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題の核心は、「物体にされた仕事は、その物体の運動エネルギーの変化量に等しい」という非常に重要な物理法則（エネルギー原理）を適用することです。物体に \(W\) の仕事をすると、その物体の運動エネルギーは \(W\) だけ増加します。この問題では、物体は最初「静止している」ため、初めの運動エネルギーは \(0\) です。したがって、物体にされた仕事 \(4.0\,\text{J}\) が、そのまま仕事の後の物体の運動エネルギーになる、というシンプルな関係に気づくことができれば、計算は容易です。

この設問における重要なポイント

• 仕事と運動エネルギーの関係（エネルギー原理）: 物体がされた仕事 \(W\) は、物体の運動エネルギーの変化量 \(\Delta K\) に等しくなります。
  $$ \Delta K = K_{\text{後}} – K_{\text{前}} = W $$
  これを具体的に書くと、以下のようになります。
  $$ \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = W $$
• 初速度: 「静止している」という記述は、初速度 \(v_0 = 0\) を意味します。このとき、初めの運動エネルギー \(K_{\text{前}}\) は \(0\) です。
• 速さの求め方: エネルギー原理の式を \(v\) について解きます。速さは大きさ（スカラー量）なので、負の値は不適となります。

具体的な解説と立式
求める物体の速さを \(v\) [m/s] とします。
問題文から、以下の値がわかります。

• 質量: \(m = 2.0\,\text{kg}\)
• 初速度: 物体は「静止している」ので、\(v_0 = 0\,\text{m/s}\)
• された仕事: \(W = 4.0\,\text{J}\)

仕事と運動エネルギーの関係式は次の通りです。
$$ \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = W $$
この式に、上記の値を代入することで、後の速さ \(v\) を求める方程式を立てることができます。

仕事と運動エネルギーの関係式に、\(m = 2.0\,\text{kg}\)、\(v_0 = 0\,\text{m/s}\)、\(W = 4.0\,\text{J}\) を代入して \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \times 2.0 \times v^2 – \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0^2 &= 4.0 \\[2.0ex]1.0 \times v^2 – 0 &= 4.0 \\[2.0ex]v^2 &= 4.0 \\[2.0ex]v &= \pm 2.0
\end{aligned}
$$
速さ \(v\) は負の値をとらないので、\(v \ge 0\) です。したがって、求める速さは \(v = 2.0\,\text{m/s}\) となります。

この問題は、「物体にしてあげた仕事は、すべて物体の運動エネルギーに変わる」というルールで解くことができます。

1. 最初に物体は止まっているので、運動エネルギーは \(0\,\text{J}\) です。
2. この物体に \(4.0\,\text{J}\) の仕事をしたので、物体の運動エネルギーは \(0 + 4.0 = 4.0\,\text{J}\) になります。
3. あとは、「運動エネルギーが \(4.0\,\text{J}\) のとき、速さはいくらか？」を計算するだけです。

運動エネルギーの公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を使って、
$$ 4.0 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times v^2 $$
これを計算すると \(4.0 = v^2\) となり、速さ \(v\) は \(2.0\,\text{m/s}\) であることがわかります。

⑦ 力学的エネルギー保存の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「力学的エネルギー保存の法則」を用いた振り子の運動解析です。保存力以外の力が仕事をしない場合に、力学的エネルギーが保存されることを利用して解きます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題のように、重力によって高さと速さが変化する運動では、まず「力学的エネルギー保存の法則」が使えないかを考えます。物体にはたらく力は「重力」と「糸の張力」です。重力は保存力であり、糸の張力は常におもりの運動方向（円弧の接線方向）に対して垂直にはたらくため、仕事をしません。保存力以外の力（張力）が仕事をしないので、この運動では力学的エネルギーが保存されます。したがって、運動の始点（水平位置）と終点（最下点）での力学的エネルギーを比較することで、速さを求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー \(E\) は、運動エネルギー \(K\) と位置エネルギー \(U\) の和で表されます。\(E = K + U = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh\)。
• 力学的エネルギー保存の法則: 保存力以外の力が仕事をしないとき、\(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) が成り立ちます。
• 基準面の選び方: 計算を簡単にするため、最も低い位置である最下点を位置エネルギーの基準面 (\(h=0\)) とするのが一般的です。
• 初めの状態（水平位置）: 「静かにはなす」とあるので、初速度は \(v_{\text{初}} = 0\)。高さは糸の長さと同じ \(h_{\text{初}} = 0.10\,\text{m}\)。
• 後の状態（最下点）: 求める速さを \(v\)、高さは基準面なので \(h_{\text{後}} = 0\)。

具体的な解説と立式
おもりの質量を \(m\) [kg]、最下点での速さを \(v\) [m/s] とします。
重力による位置エネルギーの基準面を、おもりが到達する最下点とします。

1. 初めの状態（水平位置）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\):
   静かにはなすので、初速度は \(v_{\text{初}} = 0\)。運動エネルギーは \(K_{\text{初}} = 0\)。
   最下点の基準面から \(h_{\text{初}} = 0.10\,\text{m}\) の高さにあるので、位置エネルギーは \(U_{\text{初}} = mgh_{\text{初}} = mg(0.10)\)。
   よって、初めの力学的エネルギーは、
   $$ E_{\text{初}} = K_{\text{初}} + U_{\text{初}} = 0 + mg(0.10) $$
2. 後の状態（最下点）の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\):
   速さは \(v\)。運動エネルギーは \(K_{\text{後}} = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。
   高さは基準面なので \(h_{\text{後}} = 0\)。位置エネルギーは \(U_{\text{後}} = 0\)。
   よって、後の力学的エネルギーは、
   $$ E_{\text{後}} = K_{\text{後}} + U_{\text{後}} = \frac{1}{2}mv^2 + 0 $$

力学的エネルギー保存の法則 \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) より、次の方程式が成り立ちます。
$$ mg(0.10) = \frac{1}{2}mv^2 $$

上で立てた力学的エネルギー保存の法則の式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
mg(0.10) &= \frac{1}{2}mv^2 \\[2.0ex]g \times 0.10 &= \frac{1}{2}v^2 \\[2.0ex]9.8 \times 0.10 &= \frac{1}{2}v^2 \\[2.0ex]0.98 &= \frac{1}{2}v^2 \\[2.0ex]v^2 &= 1.96
\end{aligned}
$$
速さ \(v\) は \(v \ge 0\) なので、
$$ v = \sqrt{1.96} = 1.4\,\text{m/s} $$

この運動は、ジェットコースターが高いところから下りてきてスピードが上がるのと同じ原理です。「失われた位置エネルギー」が、そっくりそのまま「得られた運動エネルギー」に変換されると考えます。

• 初めに持っていたのは、高さ \(0.10\,\text{m}\) 分の位置エネルギーだけです。
• 最下点では、高さが \(0\) になるので位置エネルギーは \(0\) になり、その分がすべて運動エネルギーに変わります。
• つまり、「初めの位置エネルギー = 後の運動エネルギー」という式を立てます。
  \(m \times 9.8 \times 0.10 = \displaystyle\frac{1}{2} \times m \times v^2\)
• この式を見ると、両側に \(m\) があるので消すことができます。つまり、おもりの重さに関係なく速さは決まります。計算すると、\(v = 1.4\,\text{m/s}\) となります。

⑧ 動摩擦力と力学的エネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動摩擦力がはたらく場合の、仕事とエネルギーの関係」です。非保存力である動摩擦力がする仕事によって、物体の力学的エネルギーがどのように変化するかを段階的に考察します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
この設問は、運動エネルギーの定義を問う基本的な問題です。物体の運動エネルギーは、その質量と速さによって決まります。公式 \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) に、問題で与えられている質量 \(m\) と初速度 \(v_0\) を代入するだけで計算できます。物理量を具体的な数値ではなく文字で扱うことに慣れましょう。

この設問における重要なポイント

• 運動エネルギーの公式: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)。
• この問題では、初めの状態について問われているので、速さには初速度 \(v_0\) を用います。

具体的な解説と立式
初めに物体がもつ運動エネルギーを \(K_{\text{初}}\) とします。
物体の質量は \(m\)、初速度の大きさは \(v_0\) です。
運動エネルギーの公式にこれらの値を代入します。
$$ K_{\text{初}} = \frac{1}{2}mv_0^2 $$
これがそのまま設問(1)の答えとなります。

この設問は、上記の立式そのものが解答となるため、特別な計算過程はありません。

運動エネルギーは「\(\displaystyle\frac{1}{2} \times\) 質量 \(\times\) 速さ \(\times\) 速さ」という式で計算できます。この問題では、質量が \(m\)、速さが \(v_0\) なので、これらをそのまま公式に当てはめると、答えは \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\) となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
この設問は、仕事の定義を正しく理解しているかを問う問題です。仕事の量は、力の大きさと移動距離、そしてその2つのベクトルのなす角 \(\theta\) によって決まります。動摩擦力は、常に物体の運動方向とは逆向きにはたらく、という点が最も重要です。

この設問における重要なポイント

• 仕事の公式: \(W = Fs \cos\theta\)。
• 動摩擦力の向き: 運動方向と常に逆向きにはたらくため、力と変位のなす角は \(\theta = 180^\circ\) となります。
• \(\cos 180^\circ = -1\) であるため、動摩擦力がする仕事は常に負の値になります。これは、動摩擦力が物体のエネルギーを奪う（運動を妨げる）働きをすることを示しています。

具体的な解説と立式
動摩擦力が物体にした仕事を \(W_f\) とします。
動摩擦力の大きさは \(f\)、物体がすべった距離は \(L\) です。
動摩擦力は物体の運動方向と逆向きにはたらくため、力と変位のなす角は \(\theta = 180^\circ\) です。
仕事の公式 \(W = Fs \cos\theta\) にこれらの値を代入します。
$$ W_f = f \cdot L \cdot \cos 180^\circ $$

上記の式を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_f &= f \cdot L \cdot \cos 180^\circ \\[2.0ex]&= f \cdot L \cdot (-1) \\[2.0ex]&= -fL
\end{aligned}
$$

仕事は「力 × 力の向きに動いた距離」と考えることができます。動摩擦力は、運動を妨げる「ブレーキ」のような力です。物体は進行方向に距離 \(L\) だけ進みますが、動摩擦力は逆向きに大きさ \(f\) でかかっています。このように、力の向きと動く向きが真逆の場合、仕事はマイナスの値になり、「\(-\)力の大きさ \(\times\) 距離」で計算します。したがって、動摩擦力がした仕事は \(-fL\) となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
この設問は、この問題全体の核心部分であり、「力学的エネルギーと非保存力の仕事の関係」を正しく適用できるかが問われます。物体が最終的に止まったのは、初めに持っていた運動エネルギーが、動摩擦力という非保存力の仕事によってすべて失われたためです。このエネルギーの収支関係を式にすることで、動摩擦力の大きさを求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギーと非保存力の仕事の関係: \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)。力学的エネルギーの変化量は、非保存力がした仕事に等しい。
• 水平面上の運動: この問題では、物体は水平面上を運動するため、高さの変化はありません。したがって、重力による位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) は \(0\) です。
• 力学的エネルギーの変化 \(\Delta E\) は、運動エネルギーの変化 \(\Delta K\) に等しくなります (\(\Delta E = \Delta K + \Delta U = \Delta K + 0 = \Delta K\))。
• 関係式の適用: 以上のことから、この問題では \(\Delta K = W_{\text{非保存力}}\) という関係式を立てることができます。

具体的な解説と立式
力学的エネルギーの変化 \(\Delta E\) が、非保存力（この場合は動摩擦力）のした仕事 \(W_f\) に等しいという関係を用います。
$$ \Delta E = W_f $$
水平面上なので、位置エネルギーの変化はないため、力学的エネルギーの変化は運動エネルギーの変化 \(\Delta K\) に等しくなります。
$$ \Delta E = \Delta K = K_{\text{後}} – K_{\text{前}} $$

• 初めの運動エネルギー \(K_{\text{前}}\) は、設問(1)より \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\)。
• 後の運動エネルギー \(K_{\text{後}}\) は、物体が静止したので \(0\)。

したがって、力学的エネルギーの変化は、
$$ \Delta E = 0 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{2}mv_0^2 $$
一方、動摩擦力がした仕事 \(W_f\) は、設問(2)より \(-fL\)。
これらを \(\Delta E = W_f\) の関係式に代入すると、次の方程式が成り立ちます。
$$ -\frac{1}{2}mv_0^2 = -fL $$

上で立てた方程式を \(f\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-\frac{1}{2}mv_0^2 &= -fL \\[2.0ex]\frac{1}{2}mv_0^2 &= fL \\[2.0ex]f &= \frac{mv_0^2}{2L}
\end{aligned}
$$

物体が止まったのは、動摩擦力という「エネルギー泥棒」が、物体の持っていた運動エネルギーを根こそぎ奪っていったからです。

• 初めに物体が持っていた運動エネルギーは、(1)で求めた \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\) です。
• 動摩擦力によって奪われたエネルギー（仕事の大きさ）は、(2)の結果から \(fL\) です。
• 「初めに持っていたエネルギー」と「奪われたエネルギー」が等しいので、
  「初めの運動エネルギー = 動摩擦力に奪われたエネルギー」
  という等式を立てることができます。
  $$ \frac{1}{2}mv_0^2 = fL $$
• この式を \(f\) について解くと、\(f = \displaystyle\frac{mv_0^2}{2L}\) が求まります。

例題

例題22 力学的エネルギー保存の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「なめらかな斜面と放物運動における力学的エネルギー保存の法則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が斜面上を運動しているときにはたらく力を特定し、点Aから点Bへ移動する間にそれぞれの力がした仕事を計算する問題です。力を正しく見つけ出すことと、「仕事」の物理的な意味（力 × 力の向きに動いた距離）を正確に理解しているかが問われます。
この設問における重要なポイント

• 物体にはたらく力は、地球からの「重力」と、面からの「垂直抗力」の2つです。
• 重力のした仕事は、経路に関係なく、鉛直方向の高さの変化だけで決まります。
• 垂直抗力は、常に物体の運動方向と垂直にはたらくため、仕事をしません（\(W=0\))。

具体的な解説と立式
小球が斜面上を運動しているとき、小球にはたらく力は鉛直下向きの「重力」と、斜面から垂直に受ける「垂直抗力」の2つです。

重力のした仕事 \(W_{\text{重力}}\)
仕事は「力の大きさ」と「力の向きに移動した距離」の積で計算されます。点Aから点Bに移動する際、重力の向き（鉛直下向き）には \(h_A = 2.5 \text{ m}\) だけ移動しています。したがって、重力のした仕事 \(W_{\text{重力}}\) は、重力の大きさ \(mg\) とこの高さ \(h_A\) の積で表せます。
$$ W_{\text{重力}} = m g h_A $$

垂直抗力のした仕事 \(W_{\text{垂直抗力}}\)
垂直抗力は常に斜面に垂直な向き、つまり小球の運動方向と直角にはたらきます。力が運動方向と直角である場合、その力は物体の運動を助けも妨げもしないので、仕事は0となります。
$$ W_{\text{垂直抗力}} = 0 \text{ [J]} $$

与えられた数値を代入して、重力のした仕事を計算します。
質量 \(m = 2.0 \text{ kg}\)、重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \text{ m/s}^2\)、高さ \(h_A = 2.5 \text{ m}\) です。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{重力}} &= 2.0 \times 9.8 \times 2.5 \\[2.0ex]&= 49 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

小球にはたらいている力は、地球が下に引く「重力」と、斜面が支える「垂直抗力」の2つです。
「仕事」とは、力が物体を動かすのにどれだけ貢献したか、という量です。重力は小球を \(2.5 \text{ m}\) の高さから引き下ろす働きをしたので、その仕事は「重さ × 高さ」で計算でき、\(49 \text{ J}\) となります。
一方、垂直抗力は小球が進む向きとは常に直角の方向を向いているため、小球を前に進める手助けは一切していません。そのため、垂直抗力の仕事は \(0 \text{ J}\) です。

小球にはたらく力は重力と垂直抗力。AからBまで運動する間に、重力のした仕事は \(49 \text{ J}\)、垂直抗力のした仕事は \(0 \text{ J}\) です。重力によって位置エネルギーが運動エネルギーに変換されており、仕事が正の値になるのは妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
なめらかな斜面上の運動では、仕事をする力が保存力である重力のみなので、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。これを利用して、各点での速さを求めます。どの2点間でエネルギー保存の式を立てるか、また位置エネルギーの基準面をどこに置くかを最初に決めることが重要です。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー \(E = (\text{運動エネルギー}) + (\text{位置エネルギー}) = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh\)。
• 非保存力（この問題では垂直抗力）が仕事をしないため、力学的エネルギーは保存されます。
• 位置エネルギーの基準面（\(h=0\) の場所）を明確に設定します。通常、最下点を基準にすると計算が簡単になります。

具体的な解説と立式
斜面はなめらかで、垂直抗力は仕事をしないため、力学的エネルギーは保存されます。ここでは、最下点Bの高さを重力による位置エネルギーの基準面（\(h=0\)）とします。

点Bでの速さ \(v_{\text{B}}\)
点Aと点Bの間で力学的エネルギー保存則を考えます。点Aでは静かにはなしたので、初速度は \(0\) です。
$$ (\text{Aでの力学的エネルギー}) = (\text{Bでの力学的エネルギー}) $$
点Aの高さは \(h_A = 2.5 \text{ m}\)、点Bの高さは \(0\) なので、
$$ \frac{1}{2}m(0)^2 + mgh_A = \frac{1}{2}mv_{\text{B}}^2 + mg(0) $$

点Cでの速さ \(v_{\text{C}}\)
同様に、点Aと点Cの間で力学的エネルギー保存則を考えます。点Cの高さは \(h_C = 0.90 \text{ m}\) です。
$$ (\text{Aでの力学的エネルギー}) = (\text{Cでの力学的エネルギー}) $$
$$ \frac{1}{2}m(0)^2 + mgh_A = \frac{1}{2}mv_{\text{C}}^2 + mgh_C $$

点Bでの速さ \(v_{\text{B}}\) の計算:
立式した \(mgh_A = \displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{B}}^2\) の両辺から \(m\) を消去し、\(v_{\text{B}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{B}}^2 &= 2gh_A \\[2.0ex]v_{\text{B}} &= \sqrt{2gh_A} \\[2.0ex]&= \sqrt{2 \times 9.8 \times 2.5} \\[2.0ex]&= \sqrt{49} \\[2.0ex]&= 7.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
点Cでの速さ \(v_{\text{C}}\) の計算:
立式した \(mgh_A = \displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{C}}^2 + mgh_C\) の両辺から \(m\) を消去し、\(v_{\text{C}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}v_{\text{C}}^2 &= g(h_A – h_C) \\[2.0ex]v_{\text{C}}^2 &= 2g(h_A – h_C) \\[2.0ex]v_{\text{C}} &= \sqrt{2g(h_A – h_C)} \\[2.0ex]&= \sqrt{2 \times 9.8 \times (2.5 – 0.90)} \\[2.0ex]&= \sqrt{19.6 \times 1.6} \\[2.0ex]&= \sqrt{31.36} \\[2.0ex]&= 5.6 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

摩擦がないので、小球が持つ「力学的エネルギー（速さのエネルギーと高さのエネルギーの合計）」は常に一定です。
A点では高さが最大で速さは0です。この「高さのエネルギー」が、B点ではすべて「速さのエネルギー」に変わります。この関係からB点での速さを計算すると \(7.0 \text{ m/s}\) になります。
同様に、A点の「高さのエネルギー」が、C点では「高さのエネルギー」と「速さのエネルギー」に分け与えられます。この関係からC点での速さを計算すると \(5.6 \text{ m/s}\) となります。

点Bでの速さは \(7.0 \text{ m/s}\)、点Cでの速さは \(5.6 \text{ m/s}\) です。点Bから点Cへは坂を上るため、位置エネルギーが増加し、その分運動エネルギーが減少して速さが遅くなります。\(v_{\text{B}} > v_{\text{C}}\) という結果は物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Cから飛び出した後の運動は、空気抵抗を無視すれば重力のみを受ける「放物運動」となります。放物運動では、速度の水平成分が保存されるという重要な性質があります。最高点Dでの速さは、この性質から求められます。その後、運動の全区間（例えばAからD）で力学的エネルギーが保存されることを利用して、Dの高さを求めます。
この設問における重要なポイント

• 放物運動中、水平方向には力がはたらかないので、速度の水平成分は一定に保たれます。
• 放物運動の最高点では、速度の鉛直成分が一時的に \(0\) になります。
• 空中を運動している間も、はたらく力は重力のみなので、力学的エネルギーは保存されます。

具体的な解説と立式
点Dでの速さ \(v_{\text{D}}\)
小球は点Cを飛び出した後、放物運動をします。水平方向には力がはたらかないため、速度の水平成分は常に一定です。最高点Dでは、速度の鉛直成分が \(0\) になるため、点Dでの速さ \(v_{\text{D}}\) は、点Cでの速度 \(v_{\text{C}}\) の水平成分に等しくなります。点Cで飛び出すときの角度は仰角 \(60^\circ\) なので、
$$ v_{\text{D}} = v_{\text{C}} \cos 60^\circ $$

点Dの高さ \(h_{\text{D}}\)
点Cから点Dまでの間も、はたらく力は重力のみなので力学的エネルギーは保存されます。点Dの基準面Bからの高さを \(h_{\text{D}}\) として、点Cと点Dで力学的エネルギー保存則を立てます。
$$ (\text{Cでの力学的エネルギー}) = (\text{Dでの力学的エネルギー}) $$
$$ \frac{1}{2}mv_{\text{C}}^2 + mgh_C = \frac{1}{2}mv_{\text{D}}^2 + mgh_{\text{D}} $$

点Dでの速さ \(v_{\text{D}}\) の計算:
問(2)で求めた \(v_{\text{C}} = 5.6 \text{ m/s}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{D}} &= 5.6 \times \cos 60^\circ \\[2.0ex]&= 5.6 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 2.8 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
点Dの高さ \(h_{\text{D}}\) の計算 (CとDで比較):
\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{C}}^2 + mgh_C = \frac{1}{2}mv_{\text{D}}^2 + mgh_{\text{D}}\) の両辺から \(m\) を消去し、\(h_{\text{D}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
gh_{\text{D}} &= \frac{1}{2}v_{\text{C}}^2 – \frac{1}{2}v_{\text{D}}^2 + gh_C \\[2.0ex]h_{\text{D}} &= \frac{v_{\text{C}}^2 – v_{\text{D}}^2}{2g} + h_C \\[2.0ex]&= \frac{5.6^2 – 2.8^2}{2 \times 9.8} + 0.90 \\[2.0ex]&= \frac{31.36 – 7.84}{19.6} + 0.90 \\[2.0ex]&= \frac{23.52}{19.6} + 0.90 \\[2.0ex]&= 1.2 + 0.90 \\[2.0ex]&= 2.1 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

C点から飛び出した小球は、ボールを投げたときと同じ放物運動をします。一番高い点Dでは、一瞬だけ上下方向の動きが止まるため、速さは横方向の成分だけになります。C点での速さの水平成分を計算すると \(2.8 \text{ m/s}\) となり、これがD点での速さです。
次にD点の高さを求めます。ここでもエネルギー保存則が使えます。C点での「速さと高さのエネルギーの合計」と、D点での「速さと高さのエネルギーの合計」は等しくなります。この関係から計算すると、D点の高さは \(2.1 \text{ m}\) と求まります。
【別解の平易な説明】
もっと簡単な方法として、最初のA点と最後のD点を直接比べることもできます。この間もエネルギーは保存されているので、A点の「高さのエネルギー」が、D点での「速さのエネルギー」と「高さのエネルギー」に変わった、と考えることができます。この方法だと、途中のC点の計算を飛ばして、一気にD点の高さを \(2.1 \text{ m}\) と求めることができ、検算にもなります。

点Dでの速さは \(2.8 \text{ m/s}\)、点Bからの高さは \(2.1 \text{ m}\) です。最高点Dの高さ \(2.1 \text{ m}\) は、出発点Aの高さ \(2.5 \text{ m}\) よりも低くなっています。これは、最高点Dでも \(2.8 \text{ m/s}\) の速さ、つまり運動エネルギーが残っているため、その分だけ位置エネルギーがAの時より小さくなることを意味しており、物理的に妥当な結果です。別解でも同じ答えが得られることから、計算の正しさが確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存の法則:
  • 核心: この問題は、摩擦のない環境で物体の高さと速さが変化する典型的な状況であり、その関係を記述する「力学的エネルギー保存の法則」が全ての設問を貫く最も重要な法則です。
  • 理解のポイント:
    • 力学的エネルギーとは、「運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)」と「重力による位置エネルギー \(mgh\)」の和のことです。
    • この法則が成り立つ条件は、「保存力（この問題では重力）以外の力が仕事をしない」ことです。斜面からの垂直抗力は常に運動方向と直角なので仕事をせず、空中では重力しかはたらかないため、全区間でこの法則が適用できます。
• 仕事とエネルギーの関係:
  • 核心: (1)で問われるように、各力が物体に対してどのような影響を与えたかを「仕事」という量で評価する考え方です。力学的エネルギー保存則は、この仕事とエネルギーの関係から導かれる特別な場合に相当します。
  • 理解のポイント:
    • 重力のした仕事 \(W_{\text{重力}}\) は、位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) を使って \(W_{\text{重力}} = -\Delta U\) と表せます。
    • 垂直抗力のした仕事は、力と運動方向が直角なので常に \(0\) です。
• 放物運動における速度の性質:
  • 核心: (3)で最高点での速さを求める際に不可欠な知識です。重力だけを受ける物体の運動では、水平方向と鉛直方向の運動を独立して考えることができます。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向には力がはたらかないため、速度の水平成分は常に一定です。
    • 最高点とは、鉛直方向の速度が一時的に \(0\) になる点です。したがって、最高点での速さは、その時点での水平方向の速度成分に等しくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦のある斜面の問題: もし斜面が「なめらか」でなく「粗い」場合、動摩擦力が仕事をするため力学的エネルギーは保存しません。この場合は、「（後の力学的エネルギー）-（前の力学的エネルギー）=（動摩擦力がした仕事）」というエネルギーと仕事の関係式を立てて解きます。
  • ばねが関わる問題: 斜面の先にばねが設置されている場合、力学的エネルギーに「弾性エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)」も加えて考えます。ばねの力も保存力なので、摩擦がなければ全体の力学的エネルギーは保存されます。
  • 円運動と組み合わせた問題: 小球が円筒面の内側を運動するような問題。この場合も力学的エネルギー保存則が使えますが、最高点や最下点を通過するための条件を「向心力」の関係式と組み合わせて考える必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーは保存されるか？: まず問題文を読み、「なめらか」「空気抵抗は無視」などのキーワードを探します。摩擦力や空気抵抗、人が加える力など、非保存力が仕事をするかどうかを最初に見極めることが最重要です。
  2. 基準面の設定: 力学的エネルギー保存則を立てる前に、位置エネルギーの基準（\(h=0\)）をどこにするか決めます。計算が最も簡単になるよう、最下点や始点などを選ぶのが定石です。
  3. どの2点で式を立てるか？: 保存則はどの2点間でも成り立ちます。求める量と既知の量が最もシンプルに関係づけられる2点を選びましょう。(3)の別解のように、始点Aと終点Dを直接結びつけると、途中の計算を省略できて効率的です。
  4. 放物運動の最高点か、衝突か？: 飛び出した後の運動で何を問われているかを確認します。「最高点」なら速度の鉛直成分が0、「地面に落下した瞬間」なら高さが0、というように、注目する点の物理的な条件を正確に把握します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 放物運動の最高点での速さを \(0\) と誤解する:
  • 誤解: (3)で、最高点Dに達したので速さは \(0\) だと考えてしまう。
  • 対策: 最高点はあくまで「鉛直方向の速度が \(0\) になる点」であり、水平方向には等速で運動を続けています。斜めに打ち出された物体の最高点での速さは、初速度の水平成分に等しいことを徹底して覚えましょう。
• 力学的エネルギー保存則を万能だと思い込む:
  • 誤解: 摩擦力がはたらいているのに、力学的エネルギー保存則をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、必ず物体にはたらく力をすべて図示する癖をつけます。その中に摩擦力などの非保存力があれば、エネルギー保存則は使えない（あるいは、その仕事分を考慮する必要がある）と判断します。
• 重力の仕事の計算で、斜面の距離を使う:
  • 誤解: (1)で重力のした仕事を計算するときに、高さ \(2.5 \text{ m}\) ではなく、AからBまでの斜面の距離（問題では与えられていない）を使おうとして混乱する。
  • 対策: 重力は鉛直下向きの力なので、その仕事は「鉛直方向の移動距離（＝高さの変化）」だけで決まります。\(W_{\text{重力}} = mgh\) の \(h\) は高さである、と強く意識してください。
• エネルギー保存の式で片方の辺の項を書き忘れる:
  • 誤解: \((\text{Aでのエネルギー}) = (\text{Bでのエネルギー})\) を立てる際に、Aでの位置エネルギー \(mgh_A\) だけを書き、Bでの運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{\text{B}}^2\) を忘れるなど、式の片側の項を不完全に記述してしまう。
  • 対策: 「運動エネルギー + 位置エネルギー = 運動エネルギー + 位置エネルギー」という基本の形を必ず書き出してから、各項に \(v=0\) や \(h=0\) を代入していく手順を踏むことで、項の抜け漏れを防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存の法則 (\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \text{一定}\)):
  • 選定理由: この問題は、物体の「速さ」と「高さ」という2つの状態量の関係性を問うています。運動方程式 \(ma=F\) を立てて時間 \(t\) を介して解くことも可能ですが、時間が問われていない場合、エネルギーの観点からアプローチする方が圧倒的に速く、簡単です。
  • 適用根拠: (1)の考察で、仕事をする力が保存力である重力のみ（垂直抗力の仕事は0）であることが確認できています。これが、この法則を適用するための絶対的な論理的根拠となります。
• 仕事の定義式 (\(W = Fs\)):
  • 選定理由: (1)で「仕事」を直接問われているため、定義式に立ち返る必要があります。
  • 適用根拠: 重力については、力の向き（鉛直下向き）と高さの変化の向きが一致するため、単純な積 \(mg \times h\) で計算できます。垂直抗力については、力の向きと運動方向が常に直角であるため、仕事は \(0\) となります。これは仕事の定義 \(W = Fs \cos\theta\) において \(\theta=90^\circ\) であることに対応します。
• 速度の水平成分 (\(v_x = v \cos\theta\)):
  • 選定理由: (3)で放物運動の最高点での速さを求めるためです。放物運動を水平・鉛直に分けて考えるという定石アプローチにおいて、初速度の分解は必須の操作です。
  • 適用根拠: 最高点では鉛直速度成分が \(0\) になり、速さは水平速度成分のみになる、という物理的性質を利用するために、この分解が必要となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 式の両辺から \(m\) を消去する: (2)や(3)のエネルギー保存則の式では、すべての項に質量 \(m\) が含まれています。数値を代入する前に両辺を \(m\) で割って式を簡単にしてから計算を始めると、計算量が減り、ミスを防げます。
• \(v^2\) のまま計算を進める: (2)の \(v_{\text{C}}\) の計算のように、途中で平方根を計算すると小数になってしまい、その後の計算が煩雑になることがあります。できるだけ \(v^2\) の形で計算を進め、最後の最後に平方根 \(\sqrt{\quad}\) を取るようにすると、計算が正確かつ楽になることが多いです。
• 別解による検算: (3)の \(h_{\text{D}}\) の計算では、「CとDで比較する方法」と「AとDで比較する方法（別解）」の2通りがありました。このように、異なるアプローチで同じ答えが導き出せるかを確認することは、最も強力な検算方法の一つです。時間に余裕があれば積極的に試しましょう。
• 単位を書き込む習慣: 計算結果に \(7.0 \text{ [m/s]}\) や \(49 \text{ [J]}\) のように単位を必ず書くことで、自分が何を求めたのかを常に意識でき、物理的な妥当性の判断（速さなのにJになっていないか、など）がしやすくなります。

例題23 力学的エネルギー保存の法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばねによる単振動における力学的エネルギー保存の法則」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ばねを伸ばした状態から手をはなすと、物体はばねの弾性力に引かれて動き始めます。このとき、ばねに蓄えられていた「弾性エネルギー」が、物体の「運動エネルギー」に変換されていきます。なめらかな水平面上で摩擦によるエネルギーの損失がないため、力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）は一定に保たれます。この保存則を利用して、ばねが自然の長さになったときの物体の速さを求めます。
この設問における重要なポイント

• 水平面上のばね振り子では、力学的エネルギーは運動エネルギーと弾性エネルギーの和で表される。
• 力学的エネルギー \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)。
• 手をはなした瞬間は、ばねの伸びが最大（\(x=0.50 \text{ m}\)）で、速さは \(0\)。
• ばねが自然の長さのときは、伸びが \(0\)（\(x=0\)）となり、速さが最大になる。

具体的な解説と立式
なめらかな水平面上なので、動摩擦力ははたらきません。また、重力と垂直抗力は運動方向（水平方向）と垂直なので仕事をしません。仕事をするのは保存力であるばねの弾性力のみです。したがって、物体の力学的エネルギー（運動エネルギーと弾性エネルギーの和）は保存されます。
ばねが自然の長さになったときの物体の速さを \(v \text{ [m/s]}\) とします。
手をはなした瞬間（初期状態）と、ばねが自然の長さになった瞬間（最終状態）で力学的エネルギー保存則を立てます。

初期状態：伸び \(x_{\text{初}} = 0.50 \text{ m}\), 速さ \(v_{\text{初}} = 0 \text{ m/s}\)
最終状態：伸び \(x_{\text{終}} = 0 \text{ m}\), 速さ \(v_{\text{終}} = v \text{ [m/s]}\)

$$ (\text{初期状態の力学的エネルギー}) = (\text{最終状態の力学的エネルギー}) $$
$$ \frac{1}{2}mv_{\text{初}}^2 + \frac{1}{2}kx_{\text{初}}^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{終}}^2 + \frac{1}{2}kx_{\text{終}}^2 $$

立式したエネルギー保存則の式に、与えられた値 \(m=2.0 \text{ kg}\), \(k=8.0 \text{ N/m}\), \(x_{\text{初}}=0.50 \text{ m}\), \(v_{\text{初}}=0\), \(x_{\text{終}}=0\) を代入します。
$$ \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0^2 + \frac{1}{2} \times 8.0 \times (0.50)^2 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times v^2 + \frac{1}{2} \times 8.0 \times 0^2 $$
この式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 + 4.0 \times 0.25 &= 1.0 \times v^2 + 0 \\[2.0ex]1.0 &= v^2 \\[2.0ex]v &= 1.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
速さは正の値なので、\(v=1.0 \text{ m/s}\) となります。

最初にばねを \(0.50 \text{ m}\) 引っ張ったとき、ばねにはゴムを伸ばしたときのようにエネルギーが蓄えられています（弾性エネルギー）。手をはなすと、この蓄えられたエネルギーが、物体の速さのエネルギー（運動エネルギー）にどんどん変わっていきます。ばねが元の自然の長さに戻ったとき、蓄えられていた弾性エネルギーはすべて運動エネルギーに変換されます。この「はじめの弾性エネルギー」＝「あとの運動エネルギー」という関係式を解くことで、速さが \(1.0 \text{ m/s}\) であることがわかります。

ばねが自然の長さになったときの物体の速さは \(1.0 \text{ m/s}\) です。これは、最初に蓄えられた弾性エネルギーがすべて運動エネルギーに変換された点であり、この運動における最大の速さとなります。結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体は自然長の位置を通過した後も、勢い（慣性）で運動を続け、ばねを縮めていきます。この過程では、物体の運動エネルギーが再びばねの弾性エネルギーに変換されていきます。問(1)と同様に、運動のどの瞬間においても力学的エネルギーの総量は一定に保たれます。比較する2つの瞬間を正しく設定することが重要で、ここでも手をはなした最初の瞬間と比較するのが最も簡単です。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則は、運動中のどの2点間でも成り立つ。
• ばねの「伸び」も「縮み」も、弾性エネルギーの計算では同じように扱います。弾性エネルギーは自然の長さからの変化量 \(x\) の2乗に比例するため、伸びていても縮んでいても \(U = \displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) は正の値となります。

具体的な解説と立式
問(1)と同様に、力学的エネルギーは保存されます。ばねが \(0.30 \text{ m}\) 縮んだときの物体の速さを \(v’ \text{ [m/s]}\) とします。
手をはなした瞬間（初期状態）と、ばねが \(0.30 \text{ m}\) 縮んだ瞬間（最終状態）で力学的エネルギー保存則を立てます。

初期状態：伸び \(x_{\text{初}} = 0.50 \text{ m}\), 速さ \(v_{\text{初}} = 0 \text{ m/s}\)
最終状態：縮み \(x_{\text{終}} = 0.30 \text{ m}\), 速さ \(v_{\text{終}} = v’ \text{ [m/s]}\)

$$ (\text{初期状態の力学的エネルギー}) = (\text{最終状態の力学的エネルギー}) $$
$$ \frac{1}{2}mv_{\text{初}}^2 + \frac{1}{2}kx_{\text{初}}^2 = \frac{1}{2}mv_{\text{終}}^2 + \frac{1}{2}kx_{\text{終}}^2 $$

立式したエネルギー保存則の式に、与えられた値 \(m=2.0 \text{ kg}\), \(k=8.0 \text{ N/m}\), \(x_{\text{初}}=0.50 \text{ m}\), \(v_{\text{初}}=0\), \(x_{\text{終}}=0.30 \text{ m}\) を代入します。
$$ \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0^2 + \frac{1}{2} \times 8.0 \times (0.50)^2 = \frac{1}{2} \times 2.0 \times (v’)^2 + \frac{1}{2} \times 8.0 \times (0.30)^2 $$
この式を \(v’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 + 4.0 \times 0.25 &= 1.0 \times (v’)^2 + 4.0 \times 0.09 \\[2.0ex]1.0 &= (v’)^2 + 0.36 \\[2.0ex](v’)^2 &= 1.0 – 0.36 \\[2.0ex](v’)^2 &= 0.64 \\[2.0ex]v’ &= 0.80 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
速さは正の値なので、\(v’=0.80 \text{ m/s}\) となります。

物体は、ばねが自然の長さになった後も勢いで進み、今度はばねを縮めていきます。このとき、物体の「速さのエネルギー」の一部が、ばねを縮めるための「弾性エネルギー」に再び変換されます。ここでも、全体のエネルギーの量は変わりません。最初の状態（引っ張って止まっている）のエネルギーと、ばねが \(0.30 \text{ m}\) 縮んだ状態のエネルギー（速さのエネルギーと弾性エネルギーの合計）が等しいという式を立てて計算すると、その瞬間の速さは \(0.80 \text{ m/s}\) であることがわかります。

ばねが \(0.30 \text{ m}\) 縮んだときの物体の速さは \(0.80 \text{ m/s}\) です。この速さは、自然長を通過したときの速さ \(1.0 \text{ m/s}\) よりも遅くなっています。これは、運動エネルギーの一部がばねの弾性エネルギーに変換されたためであり、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存の法則（ばねを含む系）:
  • 核心: この問題は、摩擦のない水平面上でばねに繋がれた物体の運動を扱っており、その「速さ」とばねの「伸び・縮み」の関係を記述する「力学的エネルギー保存の法則」が中心的な原理です。
  • 理解のポイント:
    • この系における力学的エネルギーは、「運動エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)」と「弾性エネルギー \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)」の和で定義されます。
    • この法則が成り立つ条件は、保存力（この問題では弾性力）以外の力が仕事をしないことです。なめらかな水平面上では、重力と垂直抗力は運動方向と垂直で仕事をせず、摩擦力もはたらかないため、この法則が適用できます。
• エネルギーの変換:
  • 核心: 物体が振動する全過程は、弾性エネルギーと運動エネルギーが相互に形を変えている現象として理解できます。
  • 理解のポイント:
    • 振動の端（最大変位点）: 速さが \(0\) になり、運動エネルギーは \(0\)。弾性エネルギーが最大になります。
    • 振動の中心（自然長の位置）: ばねの伸び・縮みが \(0\) になり、弾性エネルギーは \(0\)。運動エネルギーが最大（つまり速さが最大）になります。
    • 振動の途中: 運動エネルギーと弾性エネルギーの両方を持ち、その和は常に一定に保たれます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直ばね振り子: ばねを鉛直に吊るし、物体を振動させる問題。この場合、力学的エネルギーに「重力による位置エネルギー \(mgh\)」も加わります。力学的エネルギーの式は \(E = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \displaystyle\frac{1}{2}kx^2 + mgh\) となり、この総和が保存されることを利用して解きます。
  • 斜面上のばね振り子: 斜面上にばねを設置し、物体を振動させる問題。これも鉛直ばね振り子と同様に、運動エネルギー、弾性エネルギー、重力による位置エネルギーの3つの和が保存されることを考えます。
  • 摩擦のある面でのばね運動: もし水平面が「粗い」場合、動摩擦力が仕事をするため力学的エネルギーは保存しません。この場合は、「（後の力学的エネルギー）-（前の力学的エネルギー）=（動摩擦力がした仕事）」というエネルギーと仕事の関係式を立てて解きます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギー保存の条件を確認: まず問題文から「なめらか」「軽いばね」などのキーワードを探し、力学的エネルギー保存則が使えるか判断します。摩擦や空気抵抗があれば、その仕事分を考慮する必要があります。
  2. エネルギーの種類を特定: 水平ばね振り子なら「運動エネルギー」と「弾性エネルギー」。鉛直や斜面上のばね振り子なら、さらに「重力による位置エネルギー」も加わります。どのエネルギーを考慮すべきかを最初に明確にします。
  3. 基準点を明確にする: 弾性エネルギーの基準は「ばねの自然長の位置（\(x=0\)）」。重力による位置エネルギーが関わる場合は、その基準（\(h=0\)）も自分で設定します。
  4. 比較する2点を決める: エネルギー保存則の式を立てる際、どの2つの状態で比較するかを考えます。通常は、情報が最も多い「初期状態（手をはなした瞬間など）」と、求めたい物理量を含む「最終状態」を選びます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 弾性エネルギーの \(x\) を座標と混同する:
  • 誤解: ばねの伸び縮み \(x\) を、原点からの位置座標と勘違いしてしまう。特に、振動中心が原点でない場合にミスが起こりやすい。
  • 対策: 弾性エネルギーの公式 \(\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\) の \(x\) は、常に「ばねの自然の長さからの変化量（伸びまたは縮み）」であると強く意識する。問題で座標が与えられていても、必ず自然長の位置を基準に \(x\) を計算する癖をつける。
• ばねの「縮み」を負の値で代入する:
  • 誤解: (2)でばねが \(0.30 \text{ m}\) 縮んでいるので、\(x = -0.30\) として計算しようとする。
  • 対策: 弾性エネルギーの公式は \(x^2\) なので、伸び（\(x>0\)）でも縮み（\(x<0\)）でも結果は同じ正の値になります。\(x\) は変化量の「大きさ」として \(0.30\) をそのまま代入すれば良い、と覚えておくと混乱が少ないです。
• エネルギー保存則の式を立てる際の項の抜け漏れ:
  • 誤解: 「初期状態の弾性エネルギー」＝「最終状態の運動エネルギー」のように、片方の状態に存在するはずの別のエネルギー項（例えば最終状態の弾性エネルギー）を書き忘れてしまう。
  • 対策: 「(初)運動E + (初)弾性E = (後)運動E + (後)弾性E」という基本の形を必ず書き出し、それぞれの項が \(0\) になるかどうかを確認しながら値を代入する手順を踏む。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存の法則 (\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + \displaystyle\frac{1}{2}kx^2 = \text{一定}\)):
  • 選定理由: この問題は、物体の「速さ」とばねの「変位」という、時刻 \(t\) を介さない2つの状態量の関係を問うています。運動方程式（\(ma = -kx\)）を解いて \(x(t)\) や \(v(t)\) を求める方法もありますが、特定の瞬間の速さを知りたいだけなら、エネルギー保存則を使う方がはるかに直接的で計算も簡単です。
  • 適用根拠: 問題の条件「なめらかな水平面上」から、仕事をする力が保存力である「弾性力」のみであることが確定します。これが、この法則を適用できる絶対的な理由です。
• 弾性エネルギーの公式 (\(U = \displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)):
  • 選定理由: ばねが持つ位置エネルギーを定量的に表すために必要です。力学的エネルギー保存則を構成する必須の要素です。
  • 適用根拠: この公式は、フックの法則 \(F=kx\) に従うばねを、自然長から \(x\) だけ伸ばす（または縮める）のに必要な仕事に等しく、ばねに蓄えられるポテンシャルエネルギーとして定義されています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 小数の2乗計算を丁寧に行う: この問題では \((0.50)^2 = 0.25\) や \((0.30)^2 = 0.09\) といった計算が出てきます。焦ると \(0.50^2 = 2.5\) のようなミスをしがちです。筆算などで慎重に計算するか、分数（\(0.5 = 1/2\)）に直して計算するとミスを減らせます。
• 式の両辺を整理してから代入する: 例えば、\(\displaystyle\frac{1}{2}k x_{\text{初}}^2 = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}k x_{\text{終}}^2\) のような式は、最初に両辺を2倍して \(k x_{\text{初}}^2 = m v^2 + k x_{\text{終}}^2\) と整理してから数値を代入すると、分数の計算が減って楽になります。
• 単位の確認: ばね定数 \(k\) の単位は \(\text{[N/m]}\)、質量 \(m\) は \(\text{[kg]}\)、変位 \(x\) は \(\text{[m]}\) であることを確認します。もし \(x\) が \(\text{[cm]}\) で与えられていたら、必ず \(\text{[m]}\) に直してから計算する必要があります。
• 物理的な妥当性の確認: (2)の答え \(0.80 \text{ m/s}\) が、(1)の答え（速さが最大の点）である \(1.0 \text{ m/s}\) よりも小さいことを確認します。振動中心から離れるほど速さは遅くなるはずなので、この大小関係が成り立っていれば、計算が合っている可能性が高いと判断できます。

例題24 動摩擦力のする仕事とエネルギー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動摩擦力がはたらく斜面上の運動とエネルギー」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
物体は動摩擦力がはたらく粗い斜面をすべり上がるため、力学的エネルギーは保存されません。このような問題では、「力学的エネルギーの変化が、非保存力である動摩擦力のした仕事に等しい」という、より一般的なエネルギーと仕事の関係式を立てて解くのが定石です。動摩擦力の大きさを計算するために、まず斜面に垂直な方向の力のつりあいから垂直抗力を求めるステップが不可欠です。
この設問における重要なポイント

• エネルギーと仕事の関係式: \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\)
• 動摩擦力の大きさ: \(f = \mu’ N\)
• 斜面垂直方向の力のつりあい: \(N = mg \cos\theta\)
• 動摩擦力のする仕事: \(W = -f \times (\text{距離})\) （運動と逆向きなので負）

具体的な解説と立式
物体にはたらく力は、鉛直下向きの「重力 \(mg\)」、斜面から垂直上向きの「垂直抗力 \(N\)」、斜面に沿って下向きの「動摩擦力 \(f\)」の3つです。このうち、非保存力は動摩擦力です。

1. 動摩擦力のした仕事 \(W_{\text{動摩擦力}}\) を求める
まず、動摩擦力の大きさを求めます。斜面に垂直な方向の力のつりあいより、垂直抗力 \(N\) は重力の斜面垂直成分と等しくなります。
$$ N = mg \cos\theta $$
したがって、動摩擦力 \(f\) の大きさは、
$$ f = \mu’ N = \mu’ mg \cos\theta $$
物体は斜面に沿って上向きに距離 \(L\) だけすべるので、動摩擦力はその逆向き（下向き）にはたらきます。よって、動摩擦力がした仕事 \(W_{\text{動摩擦力}}\) は負の値となり、
$$ W_{\text{動摩擦力}} = -f L = -(\mu’ mg \cos\theta) L \quad \cdots ① $$

2. 力学的エネルギーの変化 \(\Delta E\) を求める
初めの位置（打ち出した点）を重力による位置エネルギーの基準面（\(h=0\)）とします。

• 初めの状態: 速さ \(v_0\), 高さ \(0\)。
  力学的エネルギー \(E_{\text{前}} = \displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2 + mg \cdot 0 = \displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\)
• 終わりの状態（静止した点）: 速さ \(0\), 高さ \(L\sin\theta\)。
  力学的エネルギー \(E_{\text{後}} = \displaystyle\frac{1}{2}m \cdot 0^2 + mg(L\sin\theta) = mgL\sin\theta\)

力学的エネルギーの変化 \(\Delta E\) は、
$$ \Delta E = E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = mgL\sin\theta – \frac{1}{2}mv_0^2 \quad \cdots ② $$

3. 関係式を立てる
「力学的エネルギーの変化」＝「動摩擦力のした仕事」なので、①式と②式より、
$$ mgL\sin\theta – \frac{1}{2}mv_0^2 = -(\mu’ mg \cos\theta) L $$

エネルギーと仕事の関係式を \(\mu’\) について解きます。
$$ mgL\sin\theta – \frac{1}{2}mv_0^2 = -\mu’ mgL \cos\theta $$
両辺の \(m\) を消去します。
$$ gL\sin\theta – \frac{1}{2}v_0^2 = -\mu’ gL \cos\theta $$
\(\mu’\) の項を左辺に、それ以外を右辺に移項します。
$$
\begin{aligned}
\mu’ gL \cos\theta &= \frac{1}{2}v_0^2 – gL\sin\theta \\[2.0ex]\mu’ &= \frac{\displaystyle\frac{1}{2}v_0^2 – gL\sin\theta}{gL \cos\theta} \\[2.0ex]&= \frac{v_0^2 – 2gL\sin\theta}{2gL\cos\theta}
\end{aligned}
$$

この問題では、摩擦によってエネルギーが熱に変わってしまうため、力学的エネルギーは保存されません。そこで、「力学的エネルギーがどれだけ減ったか」と「摩擦がどれだけ仕事をしたか」を考えます。
最初に持っていたエネルギーは速さによる運動エネルギーです。坂を上りきって止まったときには、高さによる位置エネルギーに変わっています。この「(後のエネルギー) – (前のエネルギー)」という変化量が、摩擦によって奪われたエネルギー、つまり「摩擦がした仕事（マイナスの値）」と等しくなります。この関係式を立てて、未知の動摩擦係数を計算します。

物体と斜面との間の動摩擦係数は \(\mu’ = \displaystyle\frac{v_0^2 – 2gL\sin\theta}{2gL\cos\theta}\) です。この式は、初速度 \(v_0\) が大きいほど、また傾き \(\theta\) が小さいほど、動摩擦係数が大きくなることを意味しており、物理的に直感と合致します。また、運動方程式を用いた別解でも同じ結果が得られたことから、計算の正しさが確認できます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• エネルギーと仕事の関係（非保存力がはたらく場合）:
  • 核心: この問題の最も重要なポイントは、力学的エネルギーが保存されない状況をどう扱うかです。その答えが「力学的エネルギーの変化量 \(\Delta E\) は、非保存力がした仕事 \(W_{\text{非保存力}}\) に等しい」という法則です。
  • 理解のポイント:
    • 力学的エネルギー保存則は、\(W_{\text{非保存力}}=0\) の特別な場合に過ぎません。この問題のように動摩擦力が仕事をすると、その仕事（通常は負の値）の分だけ力学的エネルギーが減少します。
    • この関係式は、\(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{動摩擦力}}\) と表され、エネルギーの損失を定量的に扱うための万能なツールです。
• 動摩擦力の性質:
  • 核心: 動摩擦力の大きさと向きを正しく理解し、その仕事量を計算できることが不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 大きさ: \(f = \mu’ N\)。動摩擦係数 \(\mu’\) と垂直抗力 \(N\) の積で決まります。垂直抗力 \(N\) は、斜面上の運動では多くの場合 \(mg\cos\theta\) となりますが、常に力のつりあいから求める必要があります。
    • 向き: 常に物体の運動方向と逆向きにはたらきます。
    • 仕事: 運動と逆向きなので、仕事は常に負の値（\(W = -f \times (\text{距離})\)）となり、エネルギーを系から奪う役割をします。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜面をすべり下りる運動: 物体が斜面をすべり下りる場合、動摩擦力は斜面上向きにはたらきます。エネルギーと仕事の関係式を立てる点は同じですが、重力による位置エネルギーが運動エネルギーに変換される過程で、摩擦によってエネルギーが失われます。
  • 往復運動: 粗い水平面上のばね振り子や、粗い斜面を上がって下りてくる運動。この場合、往路と復路で動摩擦力の向きは同じですが、物体の運動方向が変わるため、往路と復路で動摩擦力の仕事がそれぞれ計算されます。例えば、往復して元の位置に戻ってきた場合、移動距離は0でも動摩擦力のした仕事は0にはなりません。
  • 外部から力を加え続ける運動: 人が一定の力で物体を押し（引き）続ける場合、その「人がした仕事」も非保存力の仕事として考慮します。エネルギーと仕事の関係式は \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{動摩擦力}} + W_{\text{人の力}}\) のようになります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 力の図示と分類: まず、物体にはたらく力をすべて図示します。次に、それぞれの力を「保存力（重力、弾性力）」と「非保存力（動摩擦力、人が加える力など）」に分類します。
  2. 解法選択（エネルギーか、運動方程式か）:
     • 問題が「速さ」「距離」「高さ」の関係を問うていて、途中の「時間」が関係ない場合 → エネルギーと仕事の関係式が有効。
     • 問題が「加速度」や「時間」を問うている、あるいはそれらが与えられている場合 → 運動方程式が有効。
     • この問題のように、どちらのアプローチでも解ける場合が多いです。両方で解けるようになっておくと、検算にも使えて強力です。
  3. エネルギー計算の始点と終点を設定: エネルギーで解く場合、運動の「前」と「後」の状態を明確に定義します。それぞれの状態での運動エネルギーと位置エネルギーを計算し、変化量を求めます。
  4. 非保存力の仕事を計算: 非保存力の大きさと、その力がはたらいた距離を正確に求め、仕事 \(W = Fs\cos\theta\) を計算します。特に、力の向きと運動の向きに注意し、仕事の符号（正か負か）を間違えないようにします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動摩擦力の仕事を正としてしまう:
  • 誤解: 動摩擦力の仕事の計算で、マイナス符号をつけ忘れる。
  • 対策: 動摩擦力は「運動を妨げる力」であり、常にエネルギーを奪う（熱として散逸させる）役割をすると覚える。したがって、その仕事は常に負になると機械的に覚えておくとミスが減ります。
• 垂直抗力を \(mg\) と誤解する:
  • 誤解: 斜面上の運動なのに、垂直抗力 \(N\) を水平面と同じように \(mg\) だと思い込み、動摩擦力を \(\mu’mg\) と計算してしまう。
  • 対策: 必ず「斜面に垂直な方向の力のつりあい」を図から立てる癖をつける。斜面上の垂直抗力は \(N=mg\cos\theta\) であることを徹底する。
• エネルギーと仕事の関係式の符号を間違える:
  • 誤解: \(E_{\text{前}} – E_{\text{後}} = W_{\text{非保存力}}\) のように、変化量の引き算の順序を逆にしてしまう。
  • 対策: 変化量は常に「（後）-（前）」であると統一ルールを決めておく。そうすれば、\(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\) という一貫した式で対応できます。
• 位置エネルギーの基準面を混同する:
  • 誤解: 初めの位置と終わりの位置で、異なる高さを基準にして位置エネルギーを計算してしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に、必ず「どこを \(h=0\) の基準面とするか」を一つだけ決め、すべての位置エネルギーをその基準面から測るように徹底する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• エネルギーと仕事の関係式 (\(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\)):
  • 選定理由: この問題は、動摩擦という非保存力が介在する中で、運動の始点と終点の状態（速さと位置）を結びつける必要があるため、この公式が最も直接的です。力学的エネルギー保存則が使えない状況を打開するための、より普遍的な法則として選択します。
  • 適用根拠: 運動エネルギーの変化量が「すべての力がした仕事の和」に等しい（仕事とエネルギーの定理）という基本原理から導かれます。すべての力の中から保存力（重力）の仕事を位置エネルギーの変化として左辺に移項したものが、この関係式です。
• 運動方程式 (\(ma=F\)) と等加速度運動の公式 (\(v^2-v_0^2=2ax\)):
  • • 選定理由: （別解として）運動を力の時間的・空間的な変化として捉える、力学のもう一つの基本的なアプローチです。エネルギーの概念を使わずに、純粋に力と加速度の関係から解を導き出せます。

  – 適用根拠: 物体にはたらく合力が一定（この問題では、重力成分と動摩擦力の和が一定）であるため、物体の加速度は一定となります。したがって、等加速度直線運動の公式を適用することができます。もし力が変化する場合は、この方法は使えません。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式のまま計算を進める: この問題のように、具体的な数値が与えられていない場合は、最後まで文字式のまま計算を進める必要があります。途中で混乱しないよう、各文字が何を表しているかを常に意識します。
• 両辺の共通因子を消去する: 計算の早い段階で、両辺に共通して含まれる文字（この問題では \(m\)）を消去すると、式がシンプルになり、後の計算が楽になります。
• 移項の際の符号ミスに注意: 式を変形する際、項を右辺から左辺へ、あるいはその逆に移すときの符号の変化（プラスがマイナスに、マイナスがプラスに）は、最も基本的ながら頻発するミスです。一つ一つ確認しながら慎重に行います。
• 分数の整理: 最終的な答えが分数になるとき、分母と分子を整理して最も簡単な形にします。この問題では、分母・分子に2を掛けて、分母から分数をなくす操作を行っています。見栄えが良く、物理的な解釈もしやすくなります。

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