「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 5】Step2 (59-67)

Step 2

59 あらい斜面上での運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「あらい斜面上の往復運動」です。物体が斜面をすべり上がる「行き」の運動と、最高点からすべりおりる「帰り」の運動では、動摩擦力の向きが逆になるため、加速度が異なることが最大のポイントです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体が斜面をすべっているときにはたらく動摩擦力の大きさを求める問題です。動摩擦力の公式は \(f’ = \mu’N\) であり、これを用いるためにはまず垂直抗力 \(N\) の大きさを求める必要があります。垂直抗力は、斜面に垂直な方向の力のつり合いから計算できます。
この設問における重要なポイント

• 動摩擦力の公式は \(f’ = \mu’N\) である。
• 垂直抗力 \(N\) は、重力の斜面垂直成分 \(mg\cos\theta\) とつり合っている。

具体的な解説と立式
まず、斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えます。この方向には、斜面が物体を押し上げる上向きの「垂直抗力 \(N\)」と、物体を斜面に押し付ける下向きの「重力の垂直成分 \(mg \cos \theta\)」がはたらいています。物体はこの方向に動かないので、これらの力はつり合っています。
$$ N – mg \cos \theta = 0 $$
よって、垂直抗力の大きさは、
$$ N = mg \cos \theta $$
次に、動摩擦力の公式 \(f’ = \mu’N\) を使って、動摩擦力の大きさ \(f’\) を求めます。
$$ f’ = \mu’ N = \mu’ mg \cos \theta $$

この設問は文字式で答えるものであり、これ以上の計算は不要です。

摩擦力は「滑りにくさの係数(\(\mu’\)) × 垂直抗力(\(N\))」という公式で計算できます。まず垂直抗力 \(N\) を求めましょう。垂直抗力は「斜面が物体を垂直に押し返す力」です。これは、「重力が斜面を垂直に押す力」とちょうど同じ大きさになります。重力を分解すると、その垂直成分は \(mg \cos \theta\) となるので、これが垂直抗力 \(N\) の大きさです。最後に、求めた \(N\) を動摩擦力の公式に当てはめます。

物体にはたらく動摩擦力の大きさは \(\mu’mg \cos \theta\) です。この力は、物体が斜面をすべっている間、常に運動と逆向きにはたらき続けます。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体が斜面を「すべり上がるとき」の加速度を求める問題です。運動方程式 \(ma=F\) を立てますが、このときの合力 \(F\) を正しく求めることが鍵となります。斜面上向きを正とすると、物体にはたらく力は、斜面下向きの「重力の斜面成分」と、同じく斜面下向きの「動摩擦力」の2つです。両方ともブレーキとして働くため、合力はこれらの和になります。
この設問における重要なポイント

• 斜面上向きを正の向きとする。
• 重力の斜面成分 \(mg\sin\theta\) は、斜面下向きにはたらくので、負の力となる。
• 動摩擦力 \(f’\) も、運動を妨げる向き（斜面下向き）にはたらくので、負の力となる。

具体的な解説と立式
斜面上向きを正として、運動方程式 \(ma=F\) を立てます。
物体にはたらく斜面方向の力は、

• 重力の斜面成分: \(-mg\sin\theta\)
• 動摩擦力: \(-f’ = -\mu’mg\cos\theta\) （(1)の結果より）

したがって、運動方程式は以下のようになります。
$$ ma = -mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta $$

上記で立式した運動方程式を \(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ma &= -mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
a &= -g\sin\theta – \mu’g\cos\theta \\[2.0ex]&= -g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)
\end{aligned}
$$

物体が坂を上るとき、2つの力がブレーキとして働きます。一つは坂道を滑り落ちようとする「重力の一部」、もう一つは「摩擦力」です。両方とも運動の向きとは逆（斜面下向き）なので、運動方程式を立てるとき、この2つの力はマイナスの力として足し合わされます。

加速度は \(a = -g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\) です。\(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\mu’\), \(g\) はすべて正の値なので、加速度 \(a\) は必ず負の値になります。これは、斜面上向きを正としたので、物体が減速していることを意味し、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体が最高点に達する（一瞬静止する）までの距離を求める問題です。(2)で求めた加速度は、すべり上がっている間は一定です。したがって、この運動は等加速度直線運動として扱えます。初速度、最終速度、加速度がわかっているので、時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うと効率的に距離を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 加速度が一定なので、等加速度直線運動の公式が使える。
• 初速度は \(v_0\)、最高点での速度（最終速度）は \(v=0\) である。
• 時間 \(t\) が関係しないので、\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を選択する。

具体的な解説と立式
すべり上がる距離を \(x\) とします。等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) に、以下の値を代入します。

• 初速度: \(v_0\)
• 最終速度: \(v=0\)
• 加速度: \(a = -g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\) （(2)の結果より）

$$ 0^2 – v_0^2 = 2 \{-g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\} x $$

上記で立式した式を \(x\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-v_0^2 &= -2g(\sin\theta + \mu’\cos\theta) x \\[2.0ex]x &= \displaystyle\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)}
\end{aligned}
$$

初速度 \(v_0\) で打ち出された物体が、(2)で計算したブレーキの強さ（加速度の大きさ）で止まるまでにどれだけ進むか、という問題です。物理では、速度と加速度と距離の関係を表す便利な公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) があり、これに値を当てはめて解くだけで距離が求まります。

物体が一瞬静止するまでに上がる距離は \(x = \displaystyle\frac{v_0^2}{2g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)}\) です。もし摩擦がなければ (\(\mu’=0\))、距離は \(\displaystyle\frac{v_0^2}{2g\sin\theta}\) となります。摩擦がある場合、分母が大きくなるため、進む距離は短くなります。これは直感とも一致しており、妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
最高点に達した物体が、今度は「すべりおりる」ときの加速度を求める問題です。運動の向きが逆（斜面下向き）になるため、動摩擦力の向きも逆（斜面上向き）に変わる点に注意が必要です。この新しい力の状況で、再び運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント

• 運動の向きは「斜面下向き」。
• 動摩擦力の向きは、運動を妨げる「斜面上向き」に変わる。
• 斜面下向きを正として運動方程式を立てると計算しやすい。

具体的な解説と立式
すべりおりるときの加速度を \(a’\) とします。斜面下向きを正の向きとします。
物体にはたらく斜面方向の力は、

• 重力の斜面成分: \(+mg\sin\theta\) （駆動力）
• 動摩擦力: \(-f’ = -\mu’mg\cos\theta\) （抵抗力）

したがって、運動方程式は以下のようになります。
$$ ma’ = mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta $$

上記で立式した運動方程式を \(a’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ma’ &= mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
a’ &= g\sin\theta – \mu’g\cos\theta \\[2.0ex]&= g(\sin\theta – \mu’\cos\theta)
\end{aligned}
$$

今度は坂道を下る運動です。物体を加速させようとする力（アクセル）は「重力の一部」です。一方、運動を邪魔する力（ブレーキ）として「摩擦力」が働きます。実際に物体を加速させる正味の力は「アクセル – ブレーキ」となるので、この合力を使って運動方程式を立てれば、下るときの加速度が求まります。

すべりおりるときの加速度は \(a’ = g(\sin\theta – \mu’\cos\theta)\) です。
(2)で求めた、すべり上がるときの加速度の大きさ \(|a| = g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\) と比較すると、\(|a| > a’\) となっています。これは、上るときは重力と摩擦力が両方ともブレーキになるのに対し、下るときは重力がアクセル、摩擦力がブレーキとなり、力の打ち消し合いが起こるためです。したがって、上りの減速の度合いの方が、下りの加速の度合いよりも大きいという、物理的に正しい結果が得られました。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 動摩擦力の向きと往復運動の非対称性
  • 核心: この問題の核心は、動摩擦力が常に「運動を妨げる向き」にはたらくという性質を理解し、それによって斜面をすべり上がる「行き」の運動と、すべりおりる「帰り」の運動で、加速度が異なる（非対称になる）ことを把握する点にあります。
  • 理解のポイント:
    1. すべり上がり（行き）: 運動の向きは斜面上向き。したがって、重力の斜面成分と動摩擦力の両方が「斜面下向き」にはたらき、強いブレーキとなります。
       • 合力: \(F_{\text{行き}} = -mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta\)
       • 加速度: \(a_{\text{行き}} = -g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\)
    2. すべりおり（帰り）: 運動の向きは斜面下向き。したがって、重力の斜面成分は「斜面下向き」（アクセル）に、動摩擦力は「斜面上向き」（ブレーキ）にはたらきます。
       • 合力: \(F_{\text{帰り}} = mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta\)
       • 加速度: \(a_{\text{帰り}} = g(\sin\theta – \mu’\cos\theta)\)

    この加速度の大きさの非対称性（\(|a_{\text{行き}}| > |a_{\text{帰り}}|\)）が、この問題の本質です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 往復の時間: 最高点までの時間 \(t_1\) と、最高点から元の位置に戻るまでの時間 \(t_2\) を比較する問題。加速度の大きさが異なるため、同じ距離を運動するのにかかる時間も異なります（\(t_1 < t_2\) となる）。
  • エネルギー保存則が使えない問題: 摩擦や空気抵抗などの「非保存力」が仕事をするため、力学的エネルギーは保存しません。往復運動で失われた力学的エネルギーは、動摩擦力がした仕事に等しくなります。
  • すべりおりない条件: (4)で、もし \(mg\sin\theta \le \mu_0 mg\cos\theta\)（\(\mu_0\)は静止摩擦係数）という条件が満たされる場合、物体は最高点で静止したまま、すべりおりてきません。このような条件分岐を問う問題もあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動のフェーズを分割する: 「すべり上がり」と「すべりおり」は、物理的に異なる運動です。必ず2つのフェーズに分けて、それぞれについて力を図示し、運動方程式を立てる必要があります。
  2. 動摩擦力の向きを再確認する: フェーズが変わるたびに、「今の運動方向はどちらか？」を自問し、動摩擦力の向きをその都度正しく設定し直すことが最も重要です。
  3. 力学と運動学の連携: 各フェーズで、まず運動方程式を立てて「加速度」を求め（力学）、次にその加速度を使って等加速度直線運動の公式から「距離」や「時間」を求める（運動学）、という2段階のプロセスを意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 動摩擦力の向きを固定してしまう:
  • 誤解: (4)のすべりおりる運動を考える際に、(2)と同じように動摩擦力を斜面下向きのままで計算してしまう。
  • 対策: 動摩擦力は「運動と逆向き」と呪文のように覚えましょう。運動の向きが変われば、摩擦力の向きも必ず変わります。運動のフェーズごとに力の図を書き直す習慣をつけるのが最も効果的です。
• 垂直抗力の計算ミス:
  • 誤解: 斜面上の垂直抗力 \(N\) を、水平面と同じように \(mg\) と勘違いし、動摩擦力を \(\mu’mg\) と計算してしまう。
  • 対策: 垂直抗力は、常に「面に垂直な方向の力のつり合い」から求めます。斜面上の場合は、重力の垂直成分とつり合うため、\(N=mg\cos\theta\) となります。この \(\cos\theta\) を忘れないように徹底しましょう。
• 加速度の符号の扱い:
  • 誤解: (2)ですべり上がる運動の加速度を計算する際に、マイナス符号をつけ忘れる。
  • 対策: 最初に「斜面上向きを正」などと座標軸を明確に定義します。重力の斜面成分も動摩擦力も、この正の向きとは逆（斜面下向き）なので、運動方程式では両方ともマイナスの項として扱います。\(ma = (\text{負の力}) + (\text{負の力})\) となることを確認しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: (2)と(4)で、物体の「加速度」を問われているためです。力と加速度の関係を記述する唯一の法則が運動方程式です。
  • 適用根拠: 物体には重力と摩擦力の合力がはたらき、その結果として加速（減速）運動をしています。この原因（力）と結果（加速度）の因果関係を定量的に記述するために、運動方程式を適用します。
• 等加速度直線運動の公式 (\(v^2 – v_0^2 = 2ax\)):
  • 選定理由: (3)で「距離」を問われており、初速度・最終速度・加速度が分かっている（または求められる）状況だからです。特に、時間が関係しないため、この公式が最も直接的で計算が簡単です。
  • 適用根拠: この公式が使えるのは「加速度が一定」の場合に限られます。すべり上がりの運動では、はたらく力（重力成分、動摩擦力）がすべて一定なので、運動方程式から導かれる加速度も一定となります。この「加速度が一定である」という事実が、この公式を選択する絶対的な根拠となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • 加速度の式を \(a = -g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\) のように、共通因数 \(g\) でくくると、式がすっきりし、物理的な意味（重力加速度 \(g\) が基準となっていること）も理解しやすくなります。
• 符号の確認:
  • (3)で距離 \(x\) を計算する際、\(x = \frac{-v_0^2}{2a}\) となります。ここで \(v_0^2\) は正、加速度 \(a\) は負なので、\(x\) は正の値となり、物理的に妥当であることが確認できます。計算の各段階で符号が持つ意味を考える癖をつけましょう。
• 物理的な大小比較:
  • すべり上がるときの加速度の大きさ \(|a_{\text{行き}}| = g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\) と、すべりおりるときの加速度の大きさ \(a_{\text{帰り}} = g(\sin\theta – \mu’\cos\theta)\) を比較し、\(|a_{\text{行き}}| > a_{\text{帰り}}\) となっていることを確認するのも良い検算方法です。

60 連結した物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「摩擦を受ける連結体の運動」です。2つの物体が糸でつながれて一体で運動する連結体問題に、片方の物体だけが摩擦を受けるという要素が加わった応用問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
台車Aと物体Bが糸でつながれ、一体となって水平に運動する問題です。ただし、物体Bのみが台から摩擦力を受けます。この非対称な状況を、運動方程式を用いて正しくモデル化することが鍵となります。
AとBは糸でつながれているため、加速度の大きさは等しく、糸の張力の大きさも共通です。この共通の加速度 \(a\) と張力 \(T\) を未知数として、AとBそれぞれについて運動方程式を立て、連立して解くのが基本的な方針です。
この設問における重要なポイント

• AとBは一体で運動するので、加速度の大きさは等しい。
• 糸が「軽くて伸びない」ので、糸の両端で物体を引く張力の大きさは等しい。
• 物体Bには、運動を妨げる向き（左向き）に動摩擦力がはたらく。
• 台車Aには摩擦力がはたらかない。

具体的な解説と立式
A, B両物体の加速度の大きさを \(a\) [m/s²]、糸の張力の大きさを \(T\) [N] とします。
水平右向きを正の向きとして、AとBそれぞれについて運動方程式を立てます。

物体Bにはたらく動摩擦力 \(f’\) の計算:
まず、物体Bにはたらく動摩擦力の大きさを求めます。物体Bの鉛直方向の力のつり合いより、垂直抗力 \(N\) は重力 \(m_B g\) に等しくなります。
$$ N = m_B g = 10 \times 9.8 = 98 \text{ N} $$
したがって、動摩擦力の大きさ \(f’\) は、
$$ f’ = \mu’ N = 0.50 \times 98 = 49 \text{ N} $$

台車Aについて:
台車Aには、右向きに引く力 \(F=89 \text{ N}\) と、左向きに糸が引く張力 \(T\) がはたらきます。
$$ m_A a = F – T $$

物体Bについて:
物体Bには、右向きに糸が引く張力 \(T\) と、左向きに動摩擦力 \(f’\) がはたらきます。
$$ m_B a = T – f’ $$

これで、未知数が \(a\) と \(T\) の2つ、式が2本の連立方程式が立てられました。

各運動方程式に数値を代入します。
$$
\begin{cases}
10 a = 89 – T & \cdots ① \\
10 a = T – 49 & \cdots ②
\end{cases}
$$
①式と②式を辺々足し合わせることで、\(T\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
(10 a) + (10 a) &= (89 – T) + (T – 49) \\[2.0ex]20 a &= 40 \\[2.0ex]a &= \displaystyle\frac{40}{20} \\[2.0ex]&= 2.0 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(a\) の値を②式に代入して \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
10 \times 2.0 &= T – 49 \\[2.0ex]20 &= T – 49 \\[2.0ex]T &= 20 + 49 \\[2.0ex]&= 69 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

AとBを別々の物体として考え、それぞれに運動方程式を立てます。
台車Aは、「右に引く89Nの力」から「糸に左に引っ張られる力（張力）」を引いた、残りの力で加速します。
物体Bは、「糸に右に引っ張られる力（張力）」から「床との摩擦力」を引いた、残りの力で加速します。
この2つの関係式を立て、連立方程式として解くと、加速度 \(a\) と張力 \(T\) が両方求まります。

加速度の大きさは \(2.0 \text{ m/s²}\)、糸の張力の大きさは \(69 \text{ N}\) です。
物体Bを \(2.0 \text{ m/s²}\) で加速させるためには、摩擦力 \(49 \text{ N}\) に打ち勝ち、さらに \(m_B a = 10 \times 2.0 = 20 \text{ N}\) の力を加える必要があります。合計すると \(49 + 20 = 69 \text{ N}\) となり、これは計算で求めた張力 \(T\) の大きさと一致するため、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 摩擦を受ける連結体の運動方程式
  • 核心: この問題は、糸でつながれた2つの物体のうち、片方だけが摩擦力を受けるという非対称な状況を扱います。核心は、各物体にはたらく力を正確に把握し、それぞれについて正しく運動方程式を立てることにあります。
  • 理解のポイント:
    1. 力の図示: 各物体にはたらく力をすべて図示します。特に、物体Bにのみ運動と逆向きの動摩擦力がはたらくこと、張力がAには左向き、Bには右向きにはたらくことを見抜くのが重要です。
    2. 共通の物理量: 「軽くて伸びない糸」でつながれているため、両物体の加速度の「大きさ」は等しく（\(a\)）、糸が両物体を引く張力の「大きさ」も等しい（\(T\)）と考えます。
    3. 運動方程式の立式: 各物体について、運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) を立てます。
       • 台車A: \(m_A a = F – T\)
       • 物体B: \(m_B a = T – f’\) （ここで \(f’ = \mu’ m_B g\)）
    4. 連立方程式の求解: 2つの運動方程式を連立させて、加速度 \(a\) と張力 \(T\) を求めます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 両方の物体に摩擦がはたらく場合: 台車Aにも摩擦力がはたらく場合。Aの運動方程式の抵抗力に、その摩擦力が追加されます。
  • 滑車を介した連結物体: 一方の物体が摩擦のある水平面上、もう一方が鉛直に吊るされている場合。系を動かす駆動力は吊るされた物体の重力、抵抗力は水平面上の動摩擦力となります。
  • 斜面上の連結体で摩擦がある場合: 2つの物体が摩擦のある斜面上にあり、連結されている場合。各物体の運動方程式に、重力の斜面成分と動摩擦力の両方が抵抗力として加わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 摩擦の有無を物体ごとに確認する: 問題文を注意深く読み、「Aと台の間は無視できる」「Bと台の間にははたらく」といった条件を正確に把握します。これが力の図示の第一歩です。
  2. 「一体法」で加速度を素早く求める: 系全体の質量（\(m_A+m_B\)）と、系全体にはたらく外力の合力（引く力 \(F\) から、Bにはたらく動摩擦力 \(f’\) を引いたもの）がわかれば、\( (m_A+m_B)a = F – f’ \) という一体の運動方程式で、加速度 \(a\) を素早く計算できます。
  3. 張力は内力である: 張力は物体間（系内部）で作用・反作用の関係にある力（内力）です。張力を求めたい場合は、必ず物体を個別に（分離して）考え、運動方程式を立てる必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 摩擦力のはたらく対象の勘違い:
  • 誤解: 摩擦力がAとBの両方にはたらく、あるいはAにだけはたらくと勘違いしてしまう。
  • 対策: 問題文の条件を丁寧に読み解くことが不可欠です。「Bと台との間」「Aと台との間」という記述を正確に区別し、力の図示に反映させましょう。
• 張力の向きの間違い:
  • 誤解: 物体Aにはたらく張力 \(T\) を、右に引く力 \(F\) と同じ右向きだと勘違いしてしまう。
  • 対策: 張力は「ひもが物体を引く力」です。物体Aから見ると、ひもはAを「左向きに」引いています。逆に物体Bから見ると、ひもはBを「右向きに」引いています。ひもがピンと張っている状態をイメージしましょう。
• 一体法での力の計算ミス:
  • 誤解: 一体法で考える際に、動摩擦力 \(f’\) を考慮し忘れて、\( (m_A+m_B)a = F \) と立式してしまう。
  • 対策: 一体法で考える場合でも、系全体にはたらく「外力」はすべて考慮しなければなりません。この問題での外力は、右向きの「引く力 \(F\)」と、左向きの「動摩擦力 \(f’\)」の2つです。張力は内力なので消えますが、摩擦力は台という外部から受ける力なので消えません。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 問題が「加速度」と「張力」という、力と運動の関係そのものを問うているため、運動方程式を用いるのが必然です。
  • 適用根拠: 2つの物体が糸という内力を介して連動しています。ニュートンの法則は個々の物体に対して成立するため、AとBをそれぞれ分離し、各々について運動方程式を立てる「分離法」が最も基本的で確実なアプローチです。未知数が \(a\) と \(T\) の2つなので、独立した方程式が2本必要となり、この方法が論理的に正当化されます。
• 動摩擦力の公式 (\(f’ = \mu’N\)):
  • 選定理由: 物体Bが台の上を「すべっている」状況で、その運動を妨げる力を定量化する必要があるためです。
  • 適用根拠: 物体が動いているときにはたらく摩擦力は動摩擦力であり、その大きさは垂直抗力 \(N\) に比例するという実験則に基づいています。この問題では、水平面上なので垂直抗力 \(N\) は重力 \(m_B g\) に等しくなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の確実な解法:
  • この問題のように、一方の式に \(-T\)、もう一方に \(+T\) が現れる場合、2式をそのまま足し算すると \(T\) がきれいに消去できます。これは計算ミスが少なく、最も推奨される方法です。
• 数値計算の順序:
  • まず、動摩擦力 \(f’ = \mu’ m_B g = 0.50 \times 10 \times 9.8 = 49 \text{ N}\) を計算してから、運動方程式に代入すると、式がすっきりして計算ミスが減ります。
• 有効数字の意識:
  • 問題文で与えられている数値（10kg, 89N, 0.50）は有効数字2桁です。重力加速度 \(g=9.8\) も有効数字2桁なので、計算結果も有効数字2桁で答えるのが適切です。（例: \(a=2.0 \text{ m/s²}\), \(T=69 \text{ N}\)）
• 検算の徹底:
  • 求めた \(a=2.0 \text{ m/s²}\) と \(T=69 \text{ N}\) を、元の2つの運動方程式に代入して、両辺が等しくなるかを確認します。
    • Aの式: 左辺 \(10 \times 2.0 = 20\)。右辺 \(89 – 69 = 20\)。OK。
    • Bの式: 左辺 \(10 \times 2.0 = 20\)。右辺 \(69 – 49 = 20\)。OK。
  • この一手間が、テストでの失点を防ぎます。

61 連結した物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜面上の運動と鉛直運動が組み合わされた連結体の運動」です。異なる方向に運動する2つの物体が、滑車と糸を介して連動する、連結体問題の典型例です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
斜面上の物体Aと鉛直に吊るされた物体Bが、滑車を介して連動する問題です。
まず、系全体がどちらに動くかを判断します。物体Bにはたらく重力は \(m_B g = 5.0 \times 9.8 = 49 \text{ N}\) です。一方、物体Aを斜面下向きに引く力は、重力の斜面成分 \(m_A g \sin 30^\circ = 2.0 \times 9.8 \times 0.5 = 9.8 \text{ N}\) です。\(49 \text{ N} > 9.8 \text{ N}\) なので、物体Bが下降し、物体Aが斜面をのぼることがわかります。
AとBは糸でつながれているため、加速度の大きさと糸の張力の大きさは共通です。この共通の加速度 \(a\) と張力 \(T\) を未知数として、AとBそれぞれの運動方程式を立て、連立して解くのが基本方針です。
この設問における重要なポイント

• AとBの加速度の大きさは等しい。
• 糸の張力の大きさは共通である。
• 物体Aにはたらく重力の斜面成分を抵抗力として正しく計算する。
• 物体ごとに運動方向に合わせて正の向きを設定すると計算がしやすい。Aは斜面上向き、Bは鉛直下向きを正とすると良い。

具体的な解説と立式
A, B両物体の加速度の大きさを \(a\) [m/s²]、糸の張力の大きさを \(T\) [N] とします。
それぞれの物体の運動方向に合わせて、正の向きを設定し、運動方程式を立てます。

物体Aについて（斜面上向きを正とする）:
物体Aには、斜面を上向きに引く張力 \(T\) と、斜面下向きにはたらく重力の斜面成分 \(m_A g \sin 30^\circ\) があります。
$$ m_A a = T – m_A g \sin 30^\circ \quad \cdots ① $$

物体Bについて（鉛直下向きを正とする）:
物体Bには、下向きに重力 \(m_B g\) が、上向きに張力 \(T\) がはたらきます。
$$ m_B a = m_B g – T \quad \cdots ② $$

これで、未知数が \(a\) と \(T\) の2つ、式が2本の連立方程式が立てられました。

各運動方程式に数値を代入します。
$$
\begin{cases}
2.0 a = T – 2.0 \times 9.8 \times 0.5 & \cdots ① \\
5.0 a = 5.0 \times 9.8 – T & \cdots ②
\end{cases}
$$
これを整理すると、
$$
\begin{cases}
2.0 a = T – 9.8 \\
5.0 a = 49 – T
\end{cases}
$$
①式と②式を辺々足し合わせることで、\(T\) を消去します。
$$
\begin{aligned}
(2.0 a) + (5.0 a) &= (T – 9.8) + (49 – T) \\[2.0ex]7.0 a &= 39.2 \\[2.0ex]a &= \displaystyle\frac{39.2}{7.0} \\[2.0ex]&= 5.6 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$
次に、この \(a\) の値を①式に代入して \(T\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
2.0 \times 5.6 &= T – 9.8 \\[2.0ex]11.2 &= T – 9.8 \\[2.0ex]T &= 11.2 + 9.8 \\[2.0ex]&= 21 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

AとBは糸でつながっているので、加速度の大きさと張力の大きさは同じです。
物体Aは、「張力」に引っ張られて坂を上りますが、「重力の坂道成分」に邪魔されます。
物体Bは、「B自身の重さ」で下に落ちようとしますが、「張力」に邪魔されます。
この2つの関係式を立てて、足し算すると張力がうまく消えるので、まず加速度が求まります。その加速度をどちらかの式に戻して計算すれば、張力も求まります。

加速度の大きさは \(5.6 \text{ m/s²}\)、糸の張力の大きさは \(21 \text{ N}\) です。
物体Aの重力の斜面成分は \(9.8 \text{ N}\) です。張力 \(21 \text{ N}\) はこれより大きいので、Aは確かに斜面を上向きに加速できます。
物体Bの重力は \(49 \text{ N}\) です。張力 \(21 \text{ N}\) はこれより小さいので、Bは確かに下向きに加速できます。結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 斜面と鉛直運動が組み合わさった連結体の運動方程式
  • 核心: この問題は、斜面上の物体と鉛直に吊るされた物体が滑車を介して連動する、連結体問題の代表例です。核心は、2つの物体が異なる方向に運動する状況を、それぞれの運動方向に合わせて正しく運動方程式を立て、連立させて解くことにあります。
  • 理解のポイント（解法の流れ）:
    1. 力の図示と分解: まず、各物体にはたらく力（重力、張力、垂直抗力）をすべて図示します。特に、斜面上の物体Aの重力を「斜面に平行な成分 \(m_A g\sin\theta\)」と「斜面に垂直な成分 \(m_A g\cos\theta\)」に分解することが不可欠です。
    2. 運動方向の判断: 系全体を動かそうとする力（駆動力: \(m_B g\)）と、それを妨げようとする力（抵抗力: \(m_A g\sin\theta\)）の大きさを比較し、どちら向きに加速するかを判断します。
    3. 物体ごとの座標設定: 各物体の実際の運動方向に合わせて正の向きを設定します。この問題では、Aは「斜面上向きが正」、Bは「鉛直下向きが正」とすると、両方の加速度を同じ文字 \(a\)（正の値）で扱え、計算がスムーズになります。
    4. 運動方程式の立式と求解: AとBそれぞれについて運動方程式を立て、未知数 \(a\) と \(T\) に関する連立方程式として解きます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 摩擦がある場合: 斜面が「粗い」場合。物体Aの運動方程式に、運動を妨げる向きに動摩擦力（\(\mu’N = \mu’m_A g \cos\theta\)）が抵抗力として追加されます。
  • 質量関係が逆の場合: もし \(m_A g\sin\theta > m_B g\) ならば、Aが滑り落ち、Bが上昇する運動になります。この場合、駆動力と抵抗力が入れ替わり、加速度の向きも逆になります。
  • 両方とも斜面上にある場合: 2つの物体が、頂点に滑車がある一つの斜面の両側に吊るされている場合。それぞれの重力の斜面成分の差が、系全体の駆動力となります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まずどちらに動くか力の大きさを比較する: 運動方向を最初に確定させることが、座標軸設定や力の向きを正しく判断する上で非常に重要です。\(m_B g\) と \(m_A g\sin\theta\) の大小関係を必ず比較しましょう。
  2. 「一体法」で加速度を素早く求める: 系全体の質量（\(m_A+m_B\)）と、系全体にはたらく外力の合力（駆動力 – 抵抗力 = \(m_B g – m_A g\sin\theta\)）がわかれば、\( (m_A+m_B)a = m_B g – m_A g\sin\theta \) という一体の運動方程式で、加速度 \(a\) を素早く計算できます。
  3. 張力は内力である: 張力は物体間（系内部）で作用・反作用の関係にある力（内力）です。張力を求めたい場合は、必ず物体を個別に（分離して）考え、運動方程式を立てる必要があります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 重力の斜面成分の見落とし/分解ミス:
  • 誤解: 物体Aの運動方程式を立てる際に、重力の斜面成分 \(m_A g\sin\theta\) を考慮し忘れる。または、sinとcosを逆にしてしまう。
  • 対策: 「斜面」の問題では、必ず重力を分解する、という手順を徹底しましょう。sin/cosの混同は、\(\theta=0\) の極限を考えて確認するのが有効です（斜面が水平なら、滑らせる力は0になるはず \(\rightarrow\) \(\sin 0^\circ = 0\)）。
• 座標軸設定のミス:
  • 誤解: 両方の物体について、習慣的に「鉛直上向き」や「水平右向き」を正としてしまう。すると、AとBの加速度の関係が複雑になり、符号ミスを誘発します。
  • 対策: 2つの物体が「実際に動く向き」を、それぞれの物体にとっての「正の向き」と定義するのが最も簡単です。Aは斜面上向き、Bは鉛直下向きをそれぞれ正とすれば、両方の加速度を同じ \(a\)（正の値）として扱えます。
• 一体法での力の計算ミス:
  • 誤解: 一体法で考える際に、駆動力と抵抗力の概念を理解せず、両方の重力を足したり、斜面成分でない重力そのものを式に入れてしまったりする。
  • 対策: 系全体を一つの長い物体と考え、片方の端に \(m_B g\) の力が、もう片方の端に逆向きの \(m_A g\sin\theta\) の力がかかっているとイメージします。すると、全体の合力は力の差 \(m_B g – m_A g\sin\theta\) であることが直感的に理解できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 問題が「加速度」と「張力」という、力と運動の関係そのものを問うているため、運動方程式を用いるのが必然です。
  • 適用根拠: 2つの物体が糸という内力を介して連動しています。ニュートンの法則は個々の物体に対して成立するため、AとBをそれぞれ分離し、各々について運動方程式を立てる「分離法」が最も基本的で確実なアプローチです。未知数が \(a\) と \(T\) の2つなので、独立した方程式が2本必要となり、この方法が論理的に正当化されます。
• 力の分解:
  • 選定理由: 物体Aの運動は斜面に沿った一次元的なものですが、重力は鉛直下向きにはたらくため、運動方向と力の方向が一致していません。
  • 適用根拠: 運動方程式はベクトル方程式なので、成分ごとに分けて考えるのが基本です。運動が起こる「斜面平行方向」と、運動が起こらない（力がつり合っている）「斜面垂直方向」にすべての力を分解することで、問題を1次元の運動方程式として単純化して扱うことができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の確実な解法:
  • この問題のように、一方の式に \(+T\)、もう一方に \(-T\) が現れる場合、2式をそのまま足し算すると \(T\) がきれいに消去できます。これは計算ミスが少なく、最も推奨される方法です。
• 数値計算の順序:
  • まず、\(m_A g \sin 30^\circ = 9.8 \text{ N}\) や \(m_B g = 49 \text{ N}\) といった各力の大きさを計算してから、運動方程式に代入すると、式がすっきりして計算ミスが減ります。
• 物理的な妥当性の吟味（検算）:
  • 力の大小関係の確認: 計算結果の張力 \(T=21 \text{ N}\) が、抵抗力（\(9.8 \text{ N}\)）より大きく、駆動力（\(49 \text{ N}\)）より小さい（\(9.8 < 21 < 49\)）ことを確認します。これにより、Aが上に、Bが下に加速するという状況と矛盾がないかチェックできます。
  • 極限を考える: もし \(\theta=90^\circ\) なら、これはアトウッドの器械の問題になります。計算結果の式が、その場合の結果と一致するかを確認するのも良い検算方法です。

62 接触した物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ばねで連結された物体の運動と分離」です。ばねの復元力によって加速する2つの物体が、どの瞬間に分離するかを考察する問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
ばねを縮めて手を離すと、ばねの復元力によって台車AとBは一体となって右向きに加速を始めます。このとき、AはBを右向きに押し、Bはその反作用でAを左向きに押し返しています。
ばねが伸びて自然の長さに近づくにつれて、ばねの復元力は弱まり、全体の加速度も小さくなっていきます。
やがて、AがBを押す力が不要になる瞬間、つまりAとBが互いに及ぼし合う力 \(f\) が0になる瞬間が訪れます。この瞬間を境に、BはAから離れて等速直線運動に移ります。
この「離れる瞬間の条件は \(f=0\) である」という物理的な洞察が、この問題を解く最大の鍵となります。
この設問における重要なポイント

• AとBが接触している間は、一体で運動し、加速度は等しい。
• AとBが互いに及ぼし合う力（垂直抗力）を \(f\) とする。
• 物体が離れる条件は、この及ぼし合う力 \(f\) が0になるときである。
• ばねの弾性力は、自然の長さからの縮み \(x\) に比例し、\(F_{\text{ばね}} = kx\) となる。

具体的な解説と立式
台車AとBがまだ接触しており、ばねの自然の長さからの縮みが \(x\) [m] である任意の瞬間を考えます。
このとき、AとBは共通の加速度 \(a\) [m/s²] で運動しており、互いに及ぼし合う力の大きさを \(f\) [N] とします。
水平右向きを正として、AとBそれぞれについて運動方程式を立てます。

台車Aについて:
台車Aには、右向きにばねが押す力 \(kx\) と、左向きにBから押し返される力 \(f\) がはたらきます。
$$ m_A a = kx – f \quad \cdots ① $$

台車Bについて:
台車Bには、右向きにAから押される力 \(f\) のみがはたらきます。
$$ m_B a = f \quad \cdots ② $$

次に、「BがAから離れる直前」の条件を考えます。これは、2つの台車が互いに及ぼし合う力 \(f\) が0になるときです。
$$ f = 0 $$
この条件を②式に代入すると、
$$ m_B a = 0 $$
\(m_B \neq 0\) なので、加速度も \(a=0\) となります。
さらに、\(a=0\) と \(f=0\) を①式に代入すると、
$$ m_A \times 0 = kx – 0 $$
$$ kx = 0 $$
\(k \neq 0\) なので、ばねの縮み \(x=0\) となります。

上記で示した通り、BがAから離れる瞬間の条件は、AとBが及ぼし合う力 \(f=0\) となることです。
運動方程式② (\(m_B a = f\)) に \(f=0\) を代入すると、\(m_B a = 0\)。質量 \(m_B=2.0 \text{ kg}\) は0ではないので、加速度 \(a=0\) でなければなりません。
次に、運動方程式① (\(m_A a = kx – f\)) に \(a=0\) と \(f=0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
3.0 \times 0 &= 10x – 0 \\[2.0ex]0 &= 10x \\[2.0ex]x &= 0
\end{aligned}
$$
これは、ばねの自然の長さからの縮みが0であることを意味します。つまり、ばねがちょうど自然の長さ \(L\) に戻った瞬間に、BはAから離れます。
したがって、離れる直前のばねの長さは \(L\) [m] です。

AとBが離れるのは、AがBを押さなくなったときです。つまり、2つの台車の間で押し合う力 \(f\) がゼロになった瞬間です。
台車Bの運動方程式は「Bの質量 × 加速度 = 押し合う力 \(f\)」なので、\(f\) がゼロになるということは、Bの加速度もゼロになるということです。
次に、台車Aの運動方程式は「Aの質量 × 加速度 = ばねの力 – 押し合う力 \(f\)」です。加速度と \(f\) が両方ゼロになるのですから、ばねの力もゼロでなければなりません。ばねの力がゼロになるのは、ばねが自然の長さに戻ったときです。
したがって、AとBが離れるのは、ばねが自然の長さ \(L\) になったときです。

BがAから離れる直前のばねの長さは、自然の長さである \(L\) [m] です。
手を離した瞬間から、ばねの復元力は2台車を加速させますが、ばねが伸びるにつれて復元力は減少し、加速度も減少します。ばねが自然長になった瞬間、復元力と加速度がともに0になります。この瞬間を過ぎると、ばねはAを左向きに引っ張り始め、Aは減速しますが、Bは力を受けないため、その瞬間の速度で等速直線運動を続けます。こうして2台車は離れていきます。この一連の流れを考えると、ばねが自然長になった瞬間に離れるという結論は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 接触した物体が「離れる条件」の物理的解釈
  • 核心: この問題の核心は、接触している2つの物体が「離れる」という現象を、物理的に正しく解釈することにあります。それは、2物体間で及ぼし合っている力（この場合は互いに押し合う垂直抗力）がゼロになる瞬間である、と理解することが全てです。
  • 理解のポイント（解法の流れ）:
    1. 運動方程式の立式: まず、2物体が接触して一体で運動している、ある任意の瞬間について、各物体の運動方程式を立てます。このとき、物体間で及ぼし合う力 \(f\) を未知数として式に含めます。
    2. 「離れる条件」の適用: 物体が離れる瞬間の条件は \(f=0\) である、という物理法則を適用します。
    3. 条件の分析: \(f=0\) を片方の物体の運動方程式（この場合はBの式 \(m_B a = f\)）に代入すると、その瞬間の加速度 \(a\) がどうなるかがわかります（この場合は \(a=0\)）。
    4. 結論の導出: 求まった \(f=0\) と \(a=0\) を、もう片方の物体の運動方程式（Aの式 \(m_A a = kx – f\)）に代入することで、その瞬間のばねの状態（この場合は縮み \(x=0\)）が明らかになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直方向のばね振り子: 床に置かれた台の上に物体をのせ、全体をばねで単振動させる問題。物体が台から離れる（ジャンプする）瞬間は、物体と台の間にはたらく垂直抗力がゼロになるときです。
  • 円運動と垂直抗力: ジェットコースターが円形ループの最頂点を通過する際、乗客が座席から浮き上がらない（離れない）ための条件を考える問題。これも、座席からの垂直抗力がゼロ以上である、という条件で解くことができます。
  • 連結した物体がたるむ条件: 糸でつながれた2物体が運動しているとき、糸がたるむ瞬間は、糸の張力がゼロになるときです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「離れる」「たるむ」「浮き上がる」というキーワード: これらの言葉はすべて、物体間で作用していた力がゼロになる「限界状態」を示唆しています。問題文中のこれらのキーワードを見つけたら、「垂直抗力=0」や「張力=0」という条件式を立てる準備をします。
  2. 力を及ぼし合う相手を明確にする: この問題では、台車Aは「ばね」と「台車B」の両方から力を受けますが、台車Bは「台車A」からしか力を受けません。このように、各物体がどの物体から力を受けているのかを正確に図示することが、正しい運動方程式を立てるための鍵です。
  3. 運動の全体像をイメージする: 手を離してから、ばねが伸びて2物体が加速し、やがて離れていくまでの一連の流れを想像することで、どの瞬間に何が起こるのかを物理的に考察する助けになります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 「離れる」条件の誤解:
  • 誤解: 物体が離れるのは、速度が最大になったときや、ばねが最も縮んだときなど、別の物理現象と混同してしまう。
  • 対策: 「離れる」とは、接触していた物体同士が力を及ぼし合わなくなること、と定義に立ち返って考えましょう。力がゼロになるから、それ以降は束縛されずに別々の運動をする、という因果関係を理解することが重要です。
• ばねの力の向き:
  • 誤解: ばねが伸びているときも縮んでいるときも、力の向きを同じだと考えてしまう。
  • 対策: ばねの力（弾性力）は、常に「自然の長さに戻ろうとする向き」にはたらきます。ばねが縮んでいるときは「伸びようとする向き（押し出す向き）」に、伸びているときは「縮もうとする向き（引き込む向き）」に力がはたらくことを、常に意識しましょう。
• 運動方程式の力の項の符号ミス:
  • 誤解: 台車Aの運動方程式を立てる際、ばねの力 \(kx\) と、Bからの反作用 \(f\) を両方とも正としてしまう（\(m_A a = kx + f\)）。
  • 対策: 最初に「右向きを正」などと座標軸を明確に定めます。ばねの力は右向きなので \(+kx\)、BがAを押し返す力は左向きなので \(-f\) となります。各力の向きを一つずつ確認し、符号を割り振る手順を徹底しましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: ばねの力によって2物体が加速運動しており、その運動と力の関係を記述する必要があるためです。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則は、運動している任意の瞬間の、各物体に対して成立します。この問題では、2つの物体が相互に力を及ぼし合っているので、それぞれについて運動方程式を立て、連立させるのが最も基本的なアプローチです。
• フックの法則 (\(F_{\text{ばね}}=kx\)):
  • 選定理由: 運動の原因となっている力が「ばねの弾性力」であり、その大きさを定量的に表現する必要があるためです。
  • 適用根拠: この法則は、ばねの復元力が自然長からの変位 \(x\) に比例するという、ばねの基本的な性質を数式化したものです。運動方程式の力の項に、この弾性力を組み込むために使用します。
• 物体が離れる条件 (\(f=0\)):
  • 選定理由: 問題で問われている「離れる直前」という特定の物理的イベントを、数式で表現する必要があるためです。
  • 適用根拠: 垂直抗力や張力のような「接触力」は、物体が実際に接触している場合にのみはたらきます。物体が離れるということは、その接触が失われ、力が作用しなくなることを意味します。したがって、力がゼロになる瞬間が、離れる瞬間の境界条件となります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の扱いに慣れる:
  • この問題はすべて文字式で解くため、各文字がどの物理量を表しているのかを常に意識しながら計算を進めましょう。特に、\(x\) が「ばねの長さ」ではなく「自然長からの縮み」である点を混同しないように注意が必要です。
• 連立方程式の代入法:
  • ②式 \(f = m_B a\) を①式 \(m_A a = kx – f\) に代入すると、\((m_A+m_B)a = kx\) という、一体と見なしたときの運動方程式が得られます。この関係から、加速度 \(a\) がばねの縮み \(x\) に比例することもわかります。
• 論理の連鎖を追う:
  • この問題の解答は、「\(f=0 \rightarrow a=0 \rightarrow x=0\)」という論理の連鎖で成り立っています。一つの条件から次の条件が導かれ、最終的な結論に至るプロセスを、一つずつ丁寧に確認しながら解き進めることが重要です。

63 重ねた物体の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「重ねた物体の運動と摩擦力」です。外から加える力に応じて、2つの物体が「一体で運動する」場合と、「互いにすべって別々に運動する」場合の2つの状況を、運動方程式を用いて正しく分析することが求められます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「AとBは一体となって動いた」という記述が最大のヒントです。これは、AとBが同じ加速度で運動していることを意味します。このような場合、AとBを質量 \((M+m)\) の一つの物体と見なす「一体法」で考えると、物体間にはたらく内力（この場合は静止摩擦力）を考慮する必要がなくなり、計算が非常に簡単になります。
この設問における重要なポイント

• AとBは一体で運動するため、加速度は共通である。
• 一体と見なした場合、考えるべき水平方向の外力は、Aを引く力 \(F_1\) のみである。（床とBの間には摩擦がないため）
• AとBの間にはたらく静止摩擦力は「内力」なので、一体法では考慮しない。

具体的な解説と立式
台車Aと物体Bを、質量が \((M+m)\) の一つの物体と見なします。
この一体の物体にはたらく水平方向の外力は、糸でAを引く力 \(F_1\) のみです。
共通の加速度を \(a\) として、この一体の物体について運動方程式を立てます。
$$ (M+m)a = F_1 $$

上記で立式した運動方程式を \(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
a = \displaystyle\frac{F_1}{M+m}
\end{aligned}
$$

AとBがずれることなく一緒に動くので、AとBをガチッと合体させて「質量が \((M+m)\) の大きな一つの物体」と考えることができます。この大きな物体を力 \(F_1\) で引くので、運動方程式「全体の質量 × 加速度 = 引く力」を立てて、加速度を計算します。

AとBの加速度の大きさは \(\displaystyle\frac{F_1}{M+m}\) です。引く力 \(F_1\) が大きいほど、また全体の質量 \((M+m)\) が小さいほど加速度が大きくなるという、物理的に妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「AはBの上をすべった」という記述から、AとBはもはや一体ではなく、それぞれ異なる加速度で運動していると判断します。このとき、AとBの間にはたらく摩擦力は「動摩擦力」となります。AとBを分離して考え、それぞれにはたらく力をすべて考慮して運動方程式を立てる必要があります。
この設問における重要なポイント

• AとBは別々の加速度 \(a_A\), \(a_B\) で運動する。
• AとBの間にはたらく摩擦力は、動摩擦力 \(f’ = \mu’N\) である。
• Aにはたらく動摩擦力は、Aの運動を妨げる向き（左向き）。
• Bにはたらく動摩擦力は、その反作用でBを動かす向き（右向き）。

具体的な解説と立式
AとBの加速度をそれぞれ \(a_A\), \(a_B\) とします。
まず、AとBの間にはたらく動摩擦力の大きさ \(f’\) を計算します。そのためには、Aにはたらく垂直抗力 \(N\) を求める必要があります。Aの鉛直方向の力のつり合いより、
$$ N = mg $$
したがって、動摩擦力の大きさ \(f’\) は、
$$ f’ = \mu’N = \mu’mg $$
次に、AとBそれぞれについて、水平右向きを正として運動方程式を立てます。

物体Aについて:
Aには、右向きに引く力 \(F_2\) と、左向きにBからの動摩擦力 \(f’\) がはたらきます。
$$ ma_A = F_2 – f’ $$

物体Bについて:
Bには、右向きにAからの動摩擦力の反作用 \(f’\) のみがはたらきます。（床とBの間には摩擦がないため）
$$ Ma_B = f’ $$

上記で立てた2つの運動方程式に \(f’ = \mu’mg\) を代入し、それぞれ \(a_A\) と \(a_B\) について解きます。

物体Aの加速度 \(a_A\):
$$
\begin{aligned}
ma_A &= F_2 – \mu’mg \\[2.0ex]a_A &= \displaystyle\frac{F_2}{m} – \mu’g
\end{aligned}
$$

物体Bの加速度 \(a_B\):
$$
\begin{aligned}
Ma_B &= \mu’mg \\[2.0ex]a_B &= \displaystyle\frac{\mu’m}{M}g
\end{aligned}
$$

AとBが別々に動くので、それぞれについて考えます。
Aは、力 \(F_2\) で右に引かれますが、下のBとの摩擦によって左向きにブレーキをかけられます。その差し引きの力でAは加速します。
一方のBは、上でAが滑ることによる摩擦力によって、右向きに「引きずられて」加速します。
それぞれの運動方程式を立てて解けば、それぞれの加速度がわかります。

Aの加速度の大きさは \(a_A = \displaystyle\frac{F_2}{m} – \mu’g\)、Bの加速度の大きさは \(a_B = \displaystyle\frac{\mu’m}{M}g\) です。
Bの加速度 \(a_B\) は、Aを引く力 \(F_2\) の大きさによらず一定の値をとることがわかります。これは、Bを動かす力がAからの動摩擦力のみであり、その動摩擦力の大きさが一定であるためです。物理的に理にかなった結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 重ねた物体の運動状態の遷移と摩擦力の役割
  • 核心: この問題の核心は、重ねた物体が、外から加える力に応じて「一体で運動する状態」と「互いにすべる状態」という2つの異なる運動状態をとることを理解する点にあります。そして、この2つの状態をつなぐ鍵となるのが「摩擦力」の働きです。
  • 理解のポイント:
    1. 一体で運動する状態（問1）:
       • AとBの加速度は等しい。このため、2物体を一つの系と見なす「一体法」が有効。
       • AとBの間には「静止摩擦力」がはたらいている。この静止摩擦力が、BをAと一緒に動かすための「駆動力」となっている。
    2. 別々に運動する状態（問2）:
       • AとBの加速度は異なる。このため、各物体を分離して考える「分離法」で解く必要がある。
       • AとBの間には「動摩擦力」がはたらいている。Aにとっては運動を妨げる「抵抗力」となり、Bにとっては運動を生み出す「駆動力」となる。この作用・反作用の関係が重要。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 下の物体Bに力を加える場合: この場合、Bを動かそうとする外力に対し、Aからの静止摩擦力がブレーキとして働きます。Aを動かすのはBからの摩擦力の反作用のみです。
  • すべり出す瞬間の力を求める問題: 「一体で運動できる限界の力 \(F\)」を問う問題。この限界状態では、Bを加速させるのに必要な静止摩擦力が、最大静止摩擦力 \(\mu_0 N\) に達している、という条件から解きます。まずBの運動方程式 \(m_B a = f\) から、Bが持ちこたえられる最大の加速度 \(a_{\text{max}}\) を求め、その加速度で系全体を動かすのに必要な力 \(F\) を一体法で計算します。
  • 床にも摩擦がある場合: 床とBの間にも摩擦がある場合。一体法で考える際には、外力として床からの摩擦力も考慮に入れる必要があります。分離法で考える際には、Bの運動方程式に床からの摩擦力が抵抗力として加わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動状態を判断する: 問題文の「一体となって動いた」「すべった」というキーワードから、2つの物体の運動状態（加速度が等しいか、異なるか）を判断します。これが解法の第一歩です。
  2. 摩擦力の種類と向きを特定する:
     • 一体で動いているなら「静止摩擦力」。
     • すべっているなら「動摩擦力」。
     • 摩擦力の向きは、必ず「相対的な運動を妨げる向き」です。AはBの上を右にすべろうとするので、Aには左向きの摩擦力がはたらきます。BはAに右にすべられるので、Bには右向きの摩擦力がはたらきます（作用・反作用）。
  3. 解法戦略を立てる: 一体で動くなら「一体法」、別々に動くなら「分離法」を基本戦略とします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 摩擦力の向きの誤解:
  • 誤解: 物体Bにはたらく摩擦力を、運動を妨げる左向きだと勘違いしてしまう。
  • 対策: Bに水平方向の力を直接加えているものはありません。Bが右に動くのは、上の物体Aが動くことで、Aとの間の摩擦力によって「引きずられる」からです。したがって、Bにはたらく摩擦力はBを加速させる向き（右向き）です。
• 一体法と分離法の混同:
  • 誤解: (2)ですべっているのに、一体法を使おうとしてしまう。
  • 対策: 加速度が異なる物体を、一体として扱うことはできません。「すべった」という記述を見たら、必ず物体を分離して、それぞれに運動方程式を立てる必要があります。
• 垂直抗力の計算ミス:
  • 誤解: 物体Bの垂直抗力を考える際に、Aの重さも考慮してしまう。
  • 対策: 垂直抗力は、接触している面の間で作用する力です。AとBの間の垂直抗力 \(N\) は、Aの重力 \(mg\) とつり合います。床がBを押す垂直抗力 \(N_{\text{床}}\) は、AとBの重さの合計 \((M+m)g\) とつり合います。どの面の垂直抗力かを明確に区別することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: 問題が「加速度」を問うており、力と運動の関係を記述する根源的な法則であるため、これを用いるのが必然です。
  • 適用根拠:
    • (1)では、AとBを一つの系と見なし、その系全体の運動を記述するために一体法として適用します。
    • (2)では、AとBが別々の運動をするため、それぞれの物体に対して個別に法則を適用し、連立させて解く必要があります。
• 動摩擦力の公式 (\(f’ = \mu’N\)):
  • 選定理由: (2)で「すべっている」状況を扱うため、その際に物体間にはたらく力を定量化する必要があります。
  • 適用根拠: 物体が実際にすべっているとき、その運動を妨げる力は動摩擦力であり、その大きさは（高校物理の範囲では）垂直抗力 \(N\) に比例するという実験則に基づいています。この力を運動方程式に組み込むことで、すべっている最中の運動を解析できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • 計算結果の式が物理的に妥当かを確認する癖をつけましょう。例えば、\(a_B = \frac{\mu’m}{M}g\) という式は、上の物体が軽い(\(m\)が小さい)ほど、また下の物体が重い(\(M\)が大きい)ほど、下の物体の加速度が小さくなることを示しており、直感と一致します。
• 作用・反作用の確認:
  • 分離法で運動方程式を立てる際、Aの式に \(-f’\) が現れたら、Bの式には必ず \(+f’\) が現れるはずです。この符号の関係を確認するだけで、内力の扱いのミスを防げます。
• 単位の確認:
  • 加速度の単位は [m/s²] です。計算結果の式の単位（次元）が合っているかを確認するのも良い検算方法です。例えば、\(a_A = \frac{F_2}{m} – \mu’g\) の各項の単位は、\(\frac{[\text{N}]}{[\text{kg}]} = \frac{[\text{kg}\cdot\text{m/s²}]}{[\text{kg}]} = [\text{m/s²}]\) と、\([] \cdot [\text{m/s²}] = [\text{m/s²}]\) となり、加速度の単位と一致しています。

64 空気抵抗

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「空気抵抗を受ける物体の落下運動」です。これまでの問題と異なり、抵抗力が速度に比例して変化するため、加速度が一定ではない運動を扱います。最終的に力がつり合って等速運動になる「終端速度」の概念を理解することが重要です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
落下の速さが \(v\) である「瞬間」の加速度を求める問題です。この瞬間、物体にはたらく力は、下向きの「重力 \(mg\)」と、上向きの「空気抵抗 \(kv\)」の2つです。これらの合力を求め、運動方程式 \(ma=F\) に代入することで、その瞬間の加速度を計算します。
この設問における重要なポイント

• 空気抵抗は、運動を妨げる向き（上向き）にはたらく。
• その大きさは、その瞬間の速さ \(v\) を用いて \(kv\) と表される。
• 運動方程式を立てる際は、下向きを正とすると計算が直感的になる。

具体的な解説と立式
物体の質量を \(m\)、その瞬間の速さを \(v\)、加速度を \(a\) とします。
鉛直下向きを正の向きとします。
物体にはたらく力は、

• 重力: \(+mg\)
• 空気抵抗: \(-kv\)

したがって、運動方程式 \(ma=F\) は以下のようになります。
$$ ma = mg – kv $$

上記で立式した運動方程式を \(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
ma &= mg – kv
\end{aligned}
$$
両辺を \(m\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
a &= \displaystyle\frac{mg – kv}{m} \\[2.0ex]&= g – \displaystyle\frac{kv}{m}
\end{aligned}
$$

物体には、下向きに引っ張る「重力」と、上に押し返そうとする「空気抵抗」の2つの力がかかっています。実際に物体を加速させる正味の力（合力）は、この2つの力の引き算（重力 – 空気抵抗）で求まります。この合力を使って運動方程式「質量 × 加速度 = 合力」を立て、加速度について解けば答えが得られます。

加速度の大きさは \(a = g – \displaystyle\frac{kv}{m}\) です。
この式から、落下し始め（\(v=0\)）のときは \(a=g\) で、自由落下と同じ加速度ですが、速度 \(v\) が増加するにつれて加速度 \(a\) は小さくなっていくことがわかります。これは物理的に妥当な振る舞いです。

問(2)

思考の道筋とポイント
「落下し始めてから十分に時間が経過した」後の運動を考える問題です。
(1)の結果からわかるように、物体が落下して速さ \(v\) が増すと、空気抵抗 \(kv\) も増え、加速度 \(a = g – \frac{kv}{m}\) はだんだん小さくなっていきます。
そして、ついに空気抵抗 \(kv\) が重力 \(mg\) と同じ大きさになると、合力が0となり、加速度も \(a=0\) となります。
加速度が0になったということは、それ以上速度は変化しない、つまり「等速直線運動」に移行したことを意味します。このときの速度が「終端速度」です。
この設問における重要なポイント

• 「十分に時間が経過した」 \(\rightarrow\) 加速度が0になり、等速直線運動に達した状態。
• 加速度 \(a=0\) のとき、物体にはたらく力はつり合っている。
• 力のつり合いの条件は、重力 = 空気抵抗 (\(mg = kv\))。

具体的な解説と立式
十分に時間が経過すると、物体の加速度は \(a=0\) となり、等速直線運動をします。
このとき、物体にはたらく力はつり合っているので、下向きの重力 \(mg\) と上向きの空気抵抗 \(kv\) の大きさが等しくなります。このときの速度（終端速度）を \(v_f\) とすると、
$$ mg = k v_f $$

上記で立てたつり合いの式を、終端速度 \(v_f\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
k v_f &= mg \\[2.0ex]v_f &= \displaystyle\frac{mg}{k}
\end{aligned}
$$
このときの運動は、下向きに一定の速さ \(v_f\) で進む等速直線運動です。

物体が落ちてスピードが上がると、空気抵抗もどんどん強くなります。やがて、空気抵抗の強さが物体の重さとちょうど同じになると、下向きの力と上向きの力がつり合って、それ以上加速しなくなります。このとき、物体は一定の速度で落ち続ける「等速直線運動」をします。このときの速度を求めるには、「重力 = 空気抵抗」という力のつり合いの式を立てて、速度について解けばOKです。

十分に時間が経過すると、物体は下向きに速さ \(\displaystyle\frac{mg}{k}\) の等速直線運動をします。
この終端速度は、質量 \(m\) が大きいほど、また空気抵抗の比例定数 \(k\) が小さいほど大きくなります。重い物ほど速く落ち、空気抵抗を受けにくい形状の物ほど速く落ちるという、日常的な感覚とも一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度に依存する抵抗力と終端速度
  • 核心: この問題の核心は、抵抗力が速度に比例して変化し、その結果として加速度が一定ではない運動を理解することです。そして、最終的に重力と抵抗力がつり合って加速度がゼロになり、物体が一定速度（終端速度）で落下するという、物理現象のプロセス全体を把握することが重要です。
  • 理解のポイント（運動のプロセス）:
    1. 落下開始時 (\(v=0\)): 空気抵抗は0。物体には重力のみがはたらき、加速度は \(a=g\) で最大。
    2. 加速中 (\(v>0\)): 速度が増加するにつれて、空気抵抗 \(kv\) も増加。合力 \(mg-kv\) は減少し、加速度 \(a = g – \frac{kv}{m}\) も減少していく。
    3. 終端速度到達時 (\(v=v_f\)): 速度が十分に大きくなり、ついに空気抵抗が重力と等しくなる（\(kv_f = mg\)）。このとき、合力がゼロとなり、加速度も \(a=0\) となる。
    4. その後の運動: 加速度がゼロなので、速度はそれ以上変化しない。物体は終端速度 \(v_f = \frac{mg}{k}\) のまま、等速直線運動を続ける。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水中を沈む物体の運動: 空気抵抗が、水の抵抗（粘性抵抗）に変わるだけで、考え方は全く同じです。浮力も考慮する必要がある場合は、運動方程式が \(ma = mg – (\text{浮力}) – kv\) のようになります。
  • 上向きに物体を投げ上げた場合: 初速を持って上向きに運動する場合、重力と空気抵抗の両方が下向きにはたらくため、強いブレーキがかかります。最高点に達した後、下向きに加速を始め、最終的には同じ終端速度に達します。
  • 微分方程式としての扱い（大学レベル）: 運動方程式 \(m\frac{dv}{dt} = mg – kv\) は、速度 \(v\) に関する一階の線形微分方程式です。これを解くことで、任意の時刻 \(t\) における速度 \(v(t)\) を求めることができ、\(v(t) = \frac{mg}{k}(1 – e^{-\frac{k}{m}t})\) という形で表されます。高校物理では、この過渡的な振る舞いではなく、始点（\(t=0\)）と終点（\(t \to \infty\)）の状態のみを問います。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 抵抗力の性質を確認する: 抵抗力が「一定（動摩擦など）」なのか、「速度に比例する（空気抵抗など）」のかを問題文から読み取ります。これにより、加速度が一定かどうかが決まります。
  2. 「瞬間の加速度」を問われた場合: (1)のように、特定の速度 \(v\) での加速度を問われたら、その瞬間の力の状態で運動方程式を立てます。
  3. 「十分に時間が経過した」という記述: このキーワードは、「加速度がゼロになり、力がつり合った状態」を意味します。運動方程式ではなく、「力のつり合いの式」を立てるのが最も簡単な解法です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 加速度が一定だと勘違いする:
  • 誤解: 自由落下の問題と同じように、加速度は常に \(g\) で一定だと考えてしまう。
  • 対策: 抵抗力が速度 \(v\) の関数である \(kv\) の形をしていることに注目します。\(v\) が変化すれば抵抗力も変化し、したがって合力も変化します。合力が変化する以上、加速度も一定ではありえません。
• 終端速度の概念の誤解:
  • 誤解: (2)で「十分に時間が経過した」後も、物体は加速し続けると考えてしまい、運動方程式を立てようとして行き詰まる。
  • 対策: 「抵抗力のある落下運動では、いつか必ず力がつり合って等速になる」という物理モデルをしっかり頭に入れましょう。「十分に時間が経過」＝「力のつり合い」＝「等速直線運動」という思考の連鎖を確立することが重要です。
• 力の向きのミス:
  • 誤解: 運動方程式を立てる際に、重力と空気抵抗を同じ向きの力として足してしまう（\(ma = mg + kv\)）。
  • 対策: 必ず力の図を描きましょう。重力は常に鉛直下向き、空気抵抗は常に運動を妨げる向き（この場合は鉛直上向き）です。下向きを正とした場合、重力は \(+mg\)、空気抵抗は \(-kv\) となります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: (1)で、力がつり合っていない加速中の「瞬間」における加速度を問われているためです。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則は、どのような状況であれ、その瞬間の力と加速度の関係を記述する普遍的な法則です。力が変化し、加速度が一定でない運動に対しても、各瞬間においてこの法則は成立します。
• 力のつり合いの式 (\(F_{\text{合力}}=0\)):
  • 選定理由: (2)で、「十分に時間が経過した」後の定常状態（安定した状態）を問われているためです。
  • 適用根拠: 運動のプロセスを考えると、速度が増加するにつれて抵抗力が増し、加速度がゼロに漸近していくことがわかります。十分に時間が経過した後の状態は、この加速度がゼロになった極限状態と見なせます。加速度がゼロであるということは、力がつり合っていることを意味するため、この法則を適用するのが最も合理的かつ簡単なアプローチとなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • (1)の答えを \(a = g – \frac{k}{m}v\) ではなく、\(a = \frac{mg-kv}{m}\) のままでも間違いではありませんが、\(g\) を分離することで、「重力加速度から抵抗による減速分を引いたもの」という物理的な意味がより明確になります。
• 単位の確認:
  • 終端速度 \(v_f = \frac{mg}{k}\) の単位をチェックしてみましょう。抵抗力 \(kv\) の単位は [N] なので、比例定数 \(k\) の単位は \([\text{N/(m/s)}]\) です。したがって、\(\frac{mg}{k}\) の単位は \(\frac{[\text{N}]}{[\text{N/(m/s)}]} = [\text{m/s}]\) となり、確かに速度の単位と一致します。
• 物理的な意味の考察:
  • 落下開始直後（\(v=0\)）は \(a=g\)。終端速度に達したとき（\(v=mg/k\)）は \(a=0\)。このように、特定の状況を代入して、式が物理的に正しい振る舞いを示すかを確認するのも良い検算方法です。

65 気球の運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「浮力と運動方程式」です。気球の運動を通して、合力、浮力、そして質量が変化したときの加速度の変化を、運動方程式を用いて段階的に解き明かしていく問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
気球にはたらく「力の合力」の大きさを求める問題です。運動方程式 \(F=ma\) は、物体の質量 \(m\) と加速度 \(a\) がわかっていれば、その物体にはたらいている合力 \(F\) を直接計算できる、という使い方があります。問題文で質量と加速度が与えられているので、公式に代入するだけで答えが求まります。
この設問における重要なポイント

• 運動方程式 \(F=ma\) を、合力を求めるために使う。
• 与えられた数値を正確に代入する。

具体的な解説と立式
気球にはたらく合力の大きさを \(F_{\text{合力}}\) とします。
気球の質量は \(m=80 \text{ kg}\)、加速度は \(a=0.20 \text{ m/s²}\) です。
運動方程式 \(F=ma\) より、
$$ F_{\text{合力}} = ma $$

上記の式に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
F_{\text{合力}} &= 80 \times 0.20 \\[2.0ex]&= 16 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$

運動方程式「力 = 質量 × 加速度」を使います。問題に質量と加速度が与えられているので、これらを掛け算するだけで、気球を加速させている正味の力（合力）が計算できます。

気球にはたらく力の合力の大きさは \(16 \text{ N}\) です。加速度が上向きなので、合力も上向きであるとわかります。

問(2)

思考の道筋とポイント
気球にはたらく「浮力」の大きさを求める問題です。(1)で求めた「合力」が、具体的にどのような力の組み合わせで生じているのかを考えます。気球にはたらく鉛直方向の力は、上向きの「浮力」と下向きの「重力」の2つです。したがって、合力はこれらの差として表されます。
この設問における重要なポイント

• 合力 = (上向きの力の合計) – (下向きの力の合計)。
• 気球にはたらく力は、上向きの浮力と下向きの重力である。

具体的な解説と立式
気球にはたらく浮力の大きさを \(f\)、重力の大きさを \(mg\) とします。
鉛直上向きを正とすると、気球にはたらく力の合力 \(F_{\text{合力}}\) は、
$$ F_{\text{合力}} = f – mg $$
(1)より \(F_{\text{合力}} = 16 \text{ N}\) なので、
$$ 16 = f – mg $$

上記の式を浮力 \(f\) について解き、数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
f &= 16 + mg \\[2.0ex]&= 16 + 80 \times 9.8 \\[2.0ex]&= 16 + 784 \\[2.0ex]&= 800 \text{ [N]}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮すると、\(8.0 \times 10^2 \text{ N}\) となります。

(1)で計算した「合力16N」は、気球を上に持ち上げる「浮力」と、下に引っ張る「重力」の綱引きの結果、上向きに16Nだけ力が余っている状態を意味します。つまり、「浮力 – 重力 = 16N」という関係が成り立っています。ここから、重力を計算して移項すれば、浮力の大きさがわかります。

気球にはたらく浮力の大きさは \(8.0 \times 10^2 \text{ N}\) です。この浮力が重力（\(784 \text{ N}\)）よりも大きいため、気球は上向きに加速できるということが確認でき、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
荷物を捨てた後の、気球の新しい加速度を求める問題です。
まず、変化する物理量と変化しない物理量を整理します。

• 変化しない量: 浮力。気球の体積は変わらないので、押しのける空気の量も変わらず、浮力の大きさは(2)で求めた値のままです。
• 変化する量: 質量。荷物 \(10 \text{ kg}\) を捨てたので、気球全体の質量は減少します。

この新しい質量と、変わらない浮力を使って、再び運動方程式を立てることで、新しい加速度を求めます。
この設問における重要なポイント

• 荷物を捨てても、気球の体積は変わらないので、浮力の大きさは一定である。
• 荷物を捨てた分、気球全体の質量は減少する。
• 新しい質量と、(2)で求めた浮力を使って、再度運動方程式を立てる。

具体的な解説と立式
荷物を捨てた後の気球の質量を \(m’\) とします。
$$ m’ = 80 – 10 = 70 \text{ kg} $$
このときの加速度を \(a’\) とします。
気球にはたらく力は、上向きの浮力 \(f = 800 \text{ N}\) と、下向きの新しい重力 \(m’g\) です。
鉛直上向きを正として、運動方程式を立てます。
$$ m’a’ = f – m’g $$

上記の式に数値を代入して、\(a’\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
70 a’ &= 800 – 70 \times 9.8 \\[2.0ex]70 a’ &= 800 – 686 \\[2.0ex]70 a’ &= 114 \\[2.0ex]a’ &= \displaystyle\frac{114}{70} \\[2.0ex]&= 1.628… \\[2.0ex]&\approx 1.6 \text{ [m/s²]}
\end{aligned}
$$

荷物を捨てたので、気球は軽くなります。しかし、気球を上に持ち上げる浮力の大きさは変わりません。軽くなったのに持ち上げる力が同じなので、気球はもっと勢いよく（より大きい加速度で）上昇するはずです。
新しい質量（\(70 \text{ kg}\)）と、(2)で求めた浮力を使って、もう一度「質量 × 加速度 = 浮力 – 重力」という運動方程式を立てて、新しい加速度を計算します。

荷物を捨てた後の加速度の大きさは \(1.6 \text{ m/s²}\) です。これは、荷物を捨てる前の加速度 \(0.20 \text{ m/s²}\) よりも大きくなっています。荷物を捨てて軽くなった分、より大きく加速するという直感的な考察と一致しており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式の応用と物理量の因果関係
  • 核心: この問題の核心は、運動方程式 \(F=ma\) を、単に \(F\) から \(a\) を求めるだけでなく、様々な形で応用する能力にあります。具体的には、①\(m\) と \(a\) から合力 \(F\) を求め、②その合力 \(F\) と既知の力（重力）から未知の力（浮力）を求め、③変化した \(m\) と求めた浮力から新しい \(a\) を求める、という一連の論理的な思考プロセスをたどることが重要です。
  • 理解のポイント（解法の流れ）:
    1. 問(1) 合力の計算: \(F_{\text{合力}} = ma\)。運動の結果（加速度）から、その原因（合力）を逆算します。
    2. 問(2) 未知の力の特定: \(F_{\text{合力}} = f – mg\)。合力の正体が、浮力 \(f\) と重力 \(mg\) の差であることを利用し、未知の力である浮力 \(f\) を特定します。
    3. 問(3) 条件変化後の運動予測: \(m’a’ = f – m’g\)。質量が \(m \to m’\) に変化したという条件変更を反映させ、(2)で特定した不変量（浮力 \(f\)）を使って、新しい運動（加速度 \(a’\)）を予測します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ロケットの運動: 燃料を噴射しながら上昇するロケット。燃料を消費するにつれて質量が連続的に減少していくため、推力が一定でも加速度は増加していきます（高校では段階的な質量変化として出題されることが多い）。
  • 雨粒の運動: 落下しながら水蒸気を取り込んで成長する雨粒。質量が増加しながら落下するため、空気抵抗を無視すれば加速度は \(g\) で一定ですが、空気抵抗を考慮すると、質量と速度の両方が変化する複雑な運動になります。
  • 連結した物体の一部が脱落する問題: 上昇中のエレベーターから荷物が落ちる、走行中の貨物列車から貨車が切り離されるなど、運動の途中で系の質量が変化する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動方程式の三要素（\(m, a, F\)）を把握する: 問題文を読み、三要素のうち、何が与えられていて、何を求めるべきなのかを整理します。この問題では、設問ごとに役割が変わるのが特徴です。
  2. 「不変量」と「可変量」を見極める: (3)のように状況が変化する問題では、「何が変わらず、何が変わるのか」を特定することが極めて重要です。この問題では、「浮力は不変」「質量は可変」であることを見抜くのが鍵です。
  3. 力の図示を徹底する: 各設問の状況に応じて、物体にはたらく力を正確に図示します。特に、合力は目に見える力ではないため、浮力や重力といった具体的な力と区別して考えることが重要です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 合力と個々の力の混同:
  • 誤解: (1)で合力を求めた後、(2)で浮力を問われているのに、(1)の答え（合力）を浮力だと勘違いしてしまう。
  • 対策: 「合力」は、物体にはたらく全ての力をベクトル的に足し合わせた「正味の力」であり、浮力や重力といった「個々の力」とは区別される概念であることを明確に理解しましょう。力の図を描き、\(F_{\text{合力}} = f – mg\) のように、各力の関係を式で表現する癖をつけることが有効です。
• 浮力が変化すると考えてしまう:
  • 誤解: (3)で荷物を捨てて軽くなったのだから、浮力も変化するのではないかと考えてしまう。
  • 対策: 浮力の原理（アルキメデスの原理）に立ち返りましょう。浮力は「物体が押しのけた流体の重さ」で決まります。気球の体積（＝押しのけている空気の体積）が変わらない限り、浮力は一定です。荷物の体積は無視できるとあるので、浮力は不変と判断します。
• 質量の扱い:
  • 誤解: (3)で運動方程式を立てる際に、荷物を捨てた後の質量 \(m’\) ではなく、元の質量 \(m\) を使ってしまう。
  • 対策: 状況が変化した後は、すべての物理量を新しい状況に合わせて見直す習慣をつけましょう。特に質量は、運動方程式の根幹をなす重要なパラメータなので、変化の有無を最初に確認することが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 (\(ma=F\)):
  • 選定理由: この問題は、一貫して「力と加速度の関係」を扱っているため、運動方程式がすべての設問を解くための基本法則となります。
  • 適用根拠:
    • (1)では、運動の様子（\(m, a\)）から力の原因（\(F_{\text{合力}}\)）を求めるために適用します。
    • (2)では、力の構成要素（\(F_{\text{合力}}, f, mg\)）の関係を明らかにするために、概念的に適用します。
    • (3)では、変化した条件（\(m’, f\)）から新しい運動の様子（\(a’\)）を予測するために適用します。

    このように、一つの法則を異なる角度から多角的に利用する良い例となっています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有効数字の扱い:
  • (2)の計算で \(f = 16 + 784 = 800\) となります。元のデータ（80kg, 0.20m/s², 9.8m/s²）がすべて有効数字2桁なので、答えも \(8.0 \times 10^2 \text{ N}\) と表現するのが最も適切です。
  • (3)の計算で \(a’ = 114 / 70 \approx 1.628…\) となります。これも有効数字2桁に丸めて \(1.6 \text{ m/s²}\) とします。
• 計算の順序:
  • (2)で \(f = 16 + 80 \times 9.8\) のような計算が出てきます。掛け算を先に（\(80 \times 9.8 = 784\)）、その後に足し算をするという四則演算のルールを落ち着いて守りましょう。
• 物理的な意味での検算:
  • (3)で荷物を捨てて軽くなった結果、加速度が \(0.20 \text{ m/s²}\) から \(1.6 \text{ m/s²}\) に増加しました。軽くなった分、より大きく加速するという直感と一致しており、計算結果が妥当であることを裏付けています。このような物理的な考察は、単純な計算ミスを発見するのに役立ちます。

66 水圧による力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水圧と力のつり合い」です。円筒の底にあてた板が、どのような力の関係によって支えられ、どの瞬間に外れるのかを考察する問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
水中のある点での圧力を求める問題です。水圧の公式 \(p = p_0 + \rho g d\) を正しく使えるかが問われます。この公式の \(d\) は「水面からの深さ」を意味します。円筒の底面の深さは \(H\) なので、これを公式に代入します。
この設問における重要なポイント

• 水圧は、水面にかかる大気圧 \(p_0\) と、水の重さによる圧力 \(\rho g d\) の和で表される。
• 円筒の底面の深さは \(H\) である。

具体的な解説と立式
水圧の公式 \(p = p_0 + \rho g d\) を用います。
円筒の底面は、水面からの深さが \(d=H\) の位置にあります。
したがって、円筒の底面にはたらく圧力 \(p\) は、
$$ p = p_0 + \rho g H $$

この設問は公式に値を代入するだけであり、さらなる計算は不要です。

水の中の圧力は、上にある空気の重さ（大気圧 \(p_0\)）と、その点より上にある水の重さ（水圧 \(\rho g d\)）の合計で決まります。円筒の底は深さ \(H\) の場所にあるので、圧力は \(p_0 + \rho g H\) となります。

円筒の底面にはたらく圧力は \(p_0 + \rho g H\) [Pa] です。深さに比例して圧力が大きくなるという物理法則に則った、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「板が外れた」瞬間の水深を求める問題です。この「板が外れる」という現象が、物理的に何を意味するのかを考えることが最大の鍵です。
板は、円筒の底面と接しています。板が外れない間は、円筒の縁が板を下向きに押す力（垂直抗力）も働いて、板を支えています。しかし、円筒を上げていくと、板の下面にかかる水圧が小さくなっていきます。やがて、板の下面を押し上げる水の力が、板の上面にかかる力（おもりの重力など）とちょうど等しくなり、円筒の縁が板を支える必要がなくなった瞬間、つまり「円筒から板への垂直抗力が0」になった瞬間に、板は自重で外れます。
この「板にはたらく力のつり合い」と「垂直抗力=0」という条件から、そのときの水深 \(h\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 板が外れる瞬間は、円筒から板にはたらく垂直抗力が0になるときである。
• 板にはたらく力は、①下面を押し上げる水の力、②上面にかかる圧力による力、③おもりの重力、の3つである。
• 円筒の内部は、円筒の深さによらず大気圧 \(p_0\) がかかっている。

具体的な解説と立式
板が外れる瞬間の、円筒の底面の水深を \(h\) とします。このとき、板にはたらく力は以下の通りです。

• 板の下面を押し上げる力:
  板の下面は水深 \(h\) の水に接しているので、水圧は \(p_0 + \rho g h\) です。この圧力が面積 \(S\) の板の下面全体にはたらくので、上向きの力は \((p_0 + \rho g h)S\) となります。
• 板の上面にかかる力:
  板の上面には、円筒内部の空気が接しており、その圧力は大気圧 \(p_0\) です。したがって、大気圧が板を押し下げる力は \(p_0 S\) です。
  さらに、板の上には質量 \(m\) のおもりが乗っているので、おもりの重力 \(mg\) も下向きにはたらきます。
  よって、板の上面にかかる下向きの力の合計は \(p_0 S + mg\) です。

板が外れる瞬間は、これらの力がつり合っているときです（板自身の重さは「軽い」ので無視します）。
$$ (\text{上向きの力}) = (\text{下向きの力の合計}) $$
$$ (p_0 + \rho g h)S = p_0 S + mg $$

上記で立てたつり合いの式を、水深 \(h\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
(p_0 + \rho g h)S &= p_0 S + mg \\[2.0ex]p_0 S + \rho g h S &= p_0 S + mg \\[2.0ex]\rho g h S &= mg
\end{aligned}
$$
両辺を \(\rho g S\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
h &= \displaystyle\frac{mg}{\rho g S} \\[2.0ex]&= \displaystyle\frac{m}{\rho S}
\end{aligned}
$$

板がポロっと落ちる瞬間は、板を上に押し上げる力と、下に押し下げる力がちょうど等しくなったときです。

• 下に押し下げる力: 板の上に乗っている「おもりの重さ」と、円筒の中の「空気が押す力」の合計です。
• 上に押し上げる力: 板の下にある「水が押す力」です。この力は水深が浅くなるほど弱くなります。

この2つの力が等しくなる瞬間の水深を、力のつり合いの式を立てて計算します。

板が外れるときの水深は \(h = \displaystyle\frac{m}{\rho S}\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• おもりの質量 \(m\) が大きいほど、より深い水深（\(h\) が大きい）でないと板は外れない（比例）。
• 水の密度 \(\rho\) が大きいほど、また板の面積 \(S\) が大きいほど、水が板を押し上げる力が強くなるため、より浅い水深（\(h\) が小さい）で板が外れる（反比例）。

これらは物理的な直感と一致しており、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 水圧による力と「接触が失われる条件」
  • 核心: この問題の核心は、(2)で問われている「板が外れる」という現象を、物理的に「板と円筒の間にはたらく垂直抗力がゼロになる」という限界状態として捉え、その瞬間の力のつり合いを考えることにあります。
  • 理解のポイント（解法の流れ）:
    1. 力の分析対象: 考察の対象を「円筒」ではなく、外れる「板」そのものに設定することが重要です。
    2. 板にはたらく力の列挙: 板にはたらく力をすべて図示します。
       • 上向きの力: 板の下面を水が押す力 \((p_0 + \rho g h)S\)。
       • 下向きの力: ①板の上面を空気が押す力 \(p_0 S\)、②おもりの重力 \(mg\)、③円筒の縁が板を押す力（垂直抗力）。
    3. 「外れる条件」の適用: 板が外れる瞬間は、円筒の縁の支えが不要になる、つまり「垂直抗力 = 0」のときです。
    4. 力のつり合い: この限界状態において、板にはたらく上向きの力と下向きの力がつり合っていると考え、\((p_0 + \rho g h)S = p_0 S + mg\) という式を立てます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 浮き上がらないように蓋をする問題: 水で満たされたコップに蓋をして逆さまにしたとき、蓋が落ちない条件を考える問題。蓋の重さと、蓋の上面を水が押す力（水圧による力）の合計が、蓋の下面を大気圧が押す力以下であれば、蓋は落ちません。
  • 水門にはたらく力: ダムの水門など、片側だけに水圧がかかる板にはたらく力の合力を計算する問題。圧力は深さによって変化するため、積分を用いて計算する必要があります（大学レベル）。
  • U字管の問題: U字管に異なる液体を入れたときの液面の高さの差を、圧力のつり合いから求める問題。同じ高さの点では圧力が等しいという原理を利用します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「外れる」「離れる」「浮き上がる」というキーワード: これらの言葉はすべて、物体間で作用していた接触力（垂直抗力や張力）がゼロになる「限界状態」を示唆しています。このキーワードを見つけたら、「垂直抗力=0」や「張力=0」という条件式を立てる準備をします。
  2. 圧力の基準点を明確にする: 水圧を考える際は、必ず水面（大気圧 \(p_0\) がかかる場所）を基準とします。円筒の内部は水に接しておらず、外部の空気とつながっているため、内部の圧力は常に大気圧 \(p_0\) であると考えるのがポイントです。
  3. 力の作用点を意識する: 板の「下面」には水圧が、「上面」には大気圧とおもりの重力がかかっています。どの面にどの力がはたらくのかを正確に図示することが、正しいつり合いの式を立てるための鍵です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 円筒内部の圧力の誤解:
  • 誤解: 円筒内部の圧力も、水深に応じて変化すると考えてしまう。
  • 対策: 円筒の内部は水で満たされておらず、外の空気とつながっています。したがって、内部の圧力は場所によらず一定で、大気圧 \(p_0\) に等しいと考えるのが正しいです。
• 力のつり合いの対象を間違える:
  • 誤解: (2)で、円筒全体（＋おもり＋板）の力のつり合いを考えてしまい、どう解けばいいかわからなくなる。
  • 対策: 問題で問われている現象の主役は何かを見極めましょう。「板が外れる」のですから、考察すべきは「板」そのものです。板だけをシステムとして取り出し、板にはたらく力のみを考えることが重要です。
• 大気圧の扱い:
  • 誤解: (2)の計算で、大気圧をどう扱っていいかわからなくなる、あるいは無視してしまう。
  • 対策: 板の下面には「大気圧＋水圧」が、上面には「大気圧」がかかっています。力のつり合いの式を立てると、結果的に大気圧の項 \(p_0 S\) は両辺から相殺されて消えますが、立式の段階では両方の面に大気圧がかかっていることを忘れないようにしましょう。厳密な立式を心がけることで、応用問題にも対応できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 水圧の公式 (\(p = p_0 + \rho g d\)):
  • 選定理由: (1)で水中の特定の深さにおける圧力を問われているため、また(2)で水圧による力を計算するために、この公式の適用が必須です。
  • 適用根拠: この公式は、静止した流体中では、圧力は上にある流体の重さに比例して増加するという静水圧の基本原理を数式化したものです。
• 力のつり合いの式 (\(F_{\text{合力}}=0\)):
  • 選定理由: (2)で「板が外れる」という、かろうじて静止している限界状態を考えるためです。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（慣性の法則）によれば、静止している物体にはたらく力の合力はゼロです。この問題では、板が外れる直前まで板は静止しているため、この法則を適用して、板にはたらく上向きの力と下向きの力の合計が等しいという式を立てることができます。
• 板が外れる条件（垂直抗力=0）:
  • 選定理由: 「外れる」という物理現象を、数式で扱える条件に変換する必要があるためです。
  • 適用根拠: 垂直抗力は、物体同士が接触し、互いに押し合っているときにのみ存在する力です。接触が失われる（＝外れる）ということは、この押し合う力がゼロになることを意味します。これは、接触・分離を伴う問題で共通して用いられる重要な考え方です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の整理:
  • (2)のつり合いの式 \((p_0 + \rho g h)S = p_0 S + mg\) を立てた後、まず両辺を展開して \(p_0 S + \rho g h S = p_0 S + mg\) とします。ここで、両辺にある共通項 \(p_0 S\) を消去することで、式が単純化され、計算ミスを防ぐことができます。
• 単位の確認:
  • (2)で求めた水深 \(h = \frac{m}{\rho S}\) の単位をチェックしてみましょう。\( \frac{[\text{kg}]}{[\text{kg/m³}] \times [\text{m²}]} = \frac{[\text{kg}]}{[\text{kg/m}]} = [\text{m}] \) となり、確かに長さの単位になっています。このように、文字式でも単位計算（次元解析）を行うことで、式の妥当性を検証できます。
• 物理的な意味の考察:
  • 最終的な答え \(h = \frac{m}{\rho S}\) を変形すると、\(mg = (\rho h S)g\) となります。左辺は「おもりの重さ」、右辺は「水深h、断面積Sの水の柱の重さ」を意味します。つまり、板が外れるのは、「おもりの重さ」と「板の下面にかかる水圧によって生じる力のうち、大気圧による力を除いた部分（純粋な水圧による力）」が等しくなったとき、と解釈できます。

67 液体中での浮力

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「浮力と力のつり合い」です。液体に浮かぶ物体が、どのくらいの深さまで沈むのかを、アルキメデスの原理を用いて解き明かす問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
物体が液体に浮かんで静止している状態は、物体を下に引く「重力」と、物体を上に押し上げる「浮力」がちょうど等しくなり、つり合っている状態です。
この問題では、まず円柱全体の重さを計算します。次に、円柱が液体中に沈んでいる部分の体積を使って、浮力の大きさを計算します。
そして、「重力 = 浮力」という力のつり合いの式を立てることで、未知数である「沈んでいる部分の長さ」を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• 円柱の重力は、円柱「全体」の体積と密度を使って計算する。
• 円柱にはたらく浮力は、円柱が液体中に「沈んでいる部分」の体積と、周りの「液体」の密度を使って計算する。
• 静止しているので、重力と浮力はつり合っている。

具体的な解説と立式
液体中に沈んでいる部分の円柱の長さを \(l\) [m]、円柱の断面積を \(S\) [m²] とします。
円柱にはたらく力は、鉛直下向きの重力と、鉛直上向きの浮力の2つです。

重力の大きさ \(W\):
円柱の密度は \(\rho_0\)、全体の長さは \(L\)、断面積は \(S\) なので、円柱全体の体積は \(SL\) です。
したがって、円柱の質量は \(\rho_0 SL\) となり、重力の大きさは、
$$ W = (\rho_0 SL)g $$

浮力の大きさ \(F_{\text{浮力}}\):
浮力は、物体が押しのけた液体の重さに等しくなります。
円柱が液体中に沈んでいる部分の体積は、断面積 \(S\) と沈んでいる長さ \(l\) の積で \(Sl\) です。
液体の密度は \(\rho\) なので、押しのけた液体の質量は \(\rho Sl\) となります。
したがって、浮力の大きさは、
$$ F_{\text{浮力}} = (\rho Sl)g $$

円柱は静止して浮いているので、これらの力はつり合っています。
$$ W = F_{\text{浮力}} $$
$$ \rho_0 SLg = \rho Slg $$

上記で立てたつり合いの式を、求めたい長さ \(l\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\rho_0 SLg &= \rho Slg
\end{aligned}
$$
両辺に共通する \(Sg\) を消去します。（\(S \neq 0, g \neq 0\)）
$$
\begin{aligned}
\rho_0 L &= \rho l \\[2.0ex]l &= \displaystyle\frac{\rho_0}{\rho}L
\end{aligned}
$$

物体が水に浮かぶとき、「物体の重さ」と「浮力」が等しくなります。

• 物体の重さ = (物体の密度 \(\rho_0\)) × (物体全体の体積 \(SL\)) × (重力加速度 \(g\))
• 浮力 = (液体の密度 \(\rho\)) × (液体に沈んでいる部分の体積 \(Sl\)) × (重力加速度 \(g\))

この2つが等しいという式を立てて、不要な文字（\(S\) と \(g\)）を消去し、沈んでいる長さ \(l\) について解けば答えが求まります。

液体中に沈んでいる部分の円柱の長さは \(l = \displaystyle\frac{\rho_0}{\rho}L\) [m] です。
この結果を吟味してみましょう。

• 問題の条件より \(\rho > \rho_0\) なので、分数 \(\displaystyle\frac{\rho_0}{\rho}\) は1より小さくなります。したがって、\(l < L\) となり、円柱の一部が液面上に出ているという、物体が「浮かんでいる」状況と一致します。
• もし物体の密度 \(\rho_0\) と液体の密度 \(\rho\) が等しければ、\(l=L\) となり、円柱全体が液体中に沈んで静止します。
• もし物体の密度 \(\rho_0\) が液体の密度 \(\rho\) より大きければ、計算上 \(l>L\) となってしまいますが、これは物理的にあり得ず、物体は完全に沈んでしまう（浮かない）ことを意味します。

これらの考察から、得られた結果は物理的に妥当であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• アルキメデスの原理と力のつり合い
  • 核心: この問題の核心は、物体が液体に浮かんで静止している状態を、「物体の重力」と「浮力」がつり合っている状態として捉えることです。そして、その浮力をアルキメデスの原理を用いて正しく表現できるかが問われます。
  • 理解のポイント:
    1. 重力の計算: 物体の重力は、物体の「全体の体積」と「物体の密度」を用いて計算します。
       • \(W = m_{\text{物体}}g = (\rho_{\text{物体}} V_{\text{全体}})g\)
    2. 浮力の計算: 浮力は、「物体が液体に沈んでいる部分の体積」と「液体の密度」を用いて計算します。
       • \(F_{\text{浮力}} = (\rho_{\text{液体}} V_{\text{沈んでいる部分}})g\)
    3. 力のつり合い: 物体が静止して浮いているので、この2つの力が等しいという式を立てます。
       • \(W = F_{\text{浮力}}\)
       • \((\rho_{\text{物体}} V_{\text{全体}})g = (\rho_{\text{液体}} V_{\text{沈んでいる部分}})g\)

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 氷が水に浮かぶ問題: 氷の密度は水の密度よりわずかに小さいため、氷は水に浮きます。その際、水面上の部分と水面下の部分の体積比を計算する問題は頻出です。
  • 船が荷物を積む問題: 船が荷物を積むと、全体の質量が増加します。増えた重力を支えるために、より大きな浮力が必要となり、船はより深く水に沈みます。
  • 密度が異なる液体が層になっている場合: 油と水のように混ざり合わない2種類の液体に物体を浮かべた場合。物体にはたらく浮力は、「油に沈んでいる部分が押しのけた油の重さ」と「水に沈んでいる部分が押しのけた水の重さ」の合計になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 密度を区別する: 問題文に出てくる2つの密度（\(\rho_0\) と \(\rho\)）が、それぞれ「物体の密度」なのか「液体の密度」なのかを正確に区別します。これを間違えると、重力と浮力の計算が逆になります。
  2. 体積を区別する: 重力の計算に使うのは「物体全体の体積」、浮力の計算に使うのは「液体に沈んでいる部分の体積」です。この2つを混同しないように注意します。
  3. 力のつり合いの式を立てる: 物体が「浮かんだ」という記述を見たら、それは「静止している」状態なので、力のつり合いの式（重力＝浮力）を立てる、という思考パターンを確立しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 重力と浮力の計算で使う密度や体積の混同:
  • 誤解: 重力を計算するときに液体の密度を使ったり、浮力を計算するときに物体の密度や全体の体積を使ったりしてしまう。
  • 対策: 言葉の定義に立ち返りましょう。
    • 「重力」は「物体自身の重さ」\(\rightarrow\) 物体の密度 \(\times\) 物体の全体積
    • 「浮力」は「物体が押しのけた液体の重さ」\(\rightarrow\) 液体の密度 \(\times\) 物体が液体に沈んでいる部分の体積

    この2つの定義を明確に区別して覚えることが最も重要です。

• 断面積 \(S\) や重力加速度 \(g\) が消去できることに気づかない:
  • 誤解: つり合いの式を立てた後、文字が多くて混乱し、計算に行き詰まる。
  • 対策: 式を立てた後は、両辺をよく見比べて、共通に含まれている文字がないかを探しましょう。この問題では、\(S\) と \(g\) が両辺に共通しているので、これらを消去することで式が非常に単純になります。物理の問題では、このように問題設定によらない定数が最終的に消去されることがよくあります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(W = F_{\text{浮力}}\)):
  • 選定理由: 問題文に「液体に浮かべた」とあり、物体が静止している状態を考えるためです。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（慣性の法則）によれば、静止している物体にはたらく力の合力はゼロです。この物体にはたらく鉛直方向の力は重力と浮力のみなので、この2つの力がつり合っていると判断できます。
• アルキメデスの原理 (\(F_{\text{浮力}} = \rho V g\)):
  • 選定理由: 物体が液体から受ける上向きの力である「浮力」の大きさを、定量的に計算する必要があるためです。
  • 適用根拠: この原理は、流体中の圧力差によって生じる力の合力を、より扱いやすい形（押しのけた流体の重さ）で表現したものです。物体が液体に浮かぶ現象を解析する上で、最も基本的かつ強力な法則です。この問題では、浮力を計算するために、液体の密度 \(\rho\) と、液体に沈んでいる部分の体積 \(V_{\text{沈んでいる部分}} = Sl\) を用いて適用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式の扱いに慣れる:
  • この問題はすべて文字式で解くため、各文字がどの物理量を表しているのかを常に意識しながら計算を進めましょう。\(\rho_0, \rho, L, l, S, g\) の役割を混同しないことが重要です。
• 比の形で答えを解釈する:
  • 最終的な答え \(l = \frac{\rho_0}{\rho}L\) は、「沈んでいる長さ \(l\) と全体の長さ \(L\) の比が、物体と液体の密度の比 \(\frac{\rho_0}{\rho}\) に等しい」ということを意味します。このように、比の関係として結果を解釈すると、物理的な意味がより深く理解できます。
• 物理的な妥当性の吟味:
  • 問題文の条件 \(\rho > \rho_0\) から、\(\frac{\rho_0}{\rho} < 1\) であることがわかります。したがって、\(l < L\) となり、物体が完全に沈まずに一部が液面上に出ている、という直感的なイメージと計算結果が一致することを確認できます。このような簡単なチェックで、大きな間違いを防ぐことができます。

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