「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 3】Step1 & 例題

Step1

① 自由落下

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自由落下運動」の基本的な計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、物体が重力のみを受けて落下する「自由落下運動」を扱います。問題文の「静かに落とした」という記述は、物体の初速度が \(0\) であることを意味します。物理現象を数式で扱う際には、まず座標軸を設定することが重要です。この場合、物体が運動する向きである鉛直下向きを正とすると、速度や変位が正の値となり、計算が直感的で分かりやすくなります。
求める物理量は「塔の高さ」と「地面に達する直前の速さ」の2つです。与えられている情報は「落下時間 \(t = 3.0\) s」です。
等加速度直線運動の公式の中から、これらの既知の量と未知の量を含む適切な式を選んで問題を解いていきます。

この設問における重要なポイント

• 自由落下: 初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a = g\)（鉛直下向き）の等加速度直線運動です。
• 等加速度直線運動の公式（鉛直下向きを正とする場合）：
  • 速度と時間の関係式: \(v = gt\)
  • 変位と時間の関係式: \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
  • 速度と変位の関係式: \(v^2 = 2gy\)
• 有効数字: この問題では、時間 \(3.0\)\(\text{s}\)、重力加速度 \(9.8\)\(\text{m/s}^2\) がともに有効数字2桁で与えられています。したがって、計算結果も有効数字2桁で答える必要があります。例えば、計算結果が \(44.1\) となった場合、3桁目を四捨五入して \(44\) とします。

具体的な解説と立式
まず、物理量を整理し、座標を設定します。

• 初速度 \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)
• 落下時間 \(t = 3.0 \, \text{s}\)
• 重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

座標軸は、小石を落とし始めた点を原点とし、鉛直下向きを正の向きとします。

1. 塔の高さ \(y\) [m] を求める。
塔の高さは、小石が \(3.0\) 秒間に落下した距離（変位）に等しいです。初速度 \(v_0\)、時間 \(t\)、加速度 \(g\) と変位 \(y\) の関係を表す、等加速度直線運動の公式 \(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用います。
ここに \(v_0 = 0\)、\(a = g\) を代入すると、次の式が得られます。
$$ y = \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ① $$

2. 地面に達する直前の速さ \(v\) [m/s] を求める。
この速さは、落下し始めてから \(3.0\) 秒後の速度に等しいです。初速度 \(v_0\)、時間 \(t\)、加速度 \(g\) と速度 \(v\) の関係を表す、等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) を用います。
ここに \(v_0 = 0\)、\(a = g\) を代入すると、次の式が得られます。
$$ v = gt \quad \cdots ② $$

1. 塔の高さ \(y\) の計算
式①に、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)、\(t = 3.0 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2 \\[2.0ex]&= 4.9 \times 9.0 \\[2.0ex]&= 44.1
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(y \approx 44\) [m] となります。

2. 地面に達する直前の速さ \(v\) の計算
式②に、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)、\(t = 3.0 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 9.8 \times 3.0 \\[2.0ex]&= 29.4
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(v \approx 29\) [m/s] となります。

この問題は、物が重力に引かれてまっすぐ落ちる「自由落下」という運動を扱います。「静かに落とす」というのは、スタート時の速さが \(0\) という意味です。
まず、塔の高さを求めましょう。これは「\(3.0\)秒間でどれだけ落ちたか」という距離のことです。距離を求める公式 \(y = \frac{1}{2}gt^2\) を使います。ここに、重力の影響を表す \(g=9.8\) と、時間 \(t=3.0\) を当てはめると、
距離 \(y = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 3.0 \times 3.0 = 44.1\) [m]となります。問題で使われている数字が「3.0」のように2桁なので、答えも2桁にそろえて、44mとします。
次に、地面にぶつかる直前の速さを求めます。物は落ちるにつれてどんどん速くなります。\(3.0\)秒後の速さは、公式 \(v = gt\) で計算できます。
速さ \(v = 9.8 \times 3.0 = 29.4\) [m/s]となります。これも同じように2桁にそろえて、29m/sが答えです。

② 自由落下

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、自由落下運動における落下距離と最終速度の関係です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題も「静かに落とした」とあるため、初速度 \(v_0 = 0\) の自由落下運動です。前問との違いは、与えられている情報が「時間」ではなく「高さ（落下距離）」である点です。求めるものは「地面に達する直前の速さ」です。
このように、時間 \(t\) が問題文に与えられておらず、また求める必要もない場合には、等加速度直線運動の3つの公式のうち、時間 \(t\) を含まない \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を使うと、計算が非常に簡潔になります。この公式選択が、問題をスムーズに解くための最大のポイントです。

この設問における重要なポイント

• 公式の選択: 物理の問題では、どの公式を使うかを見極めることが重要です。
  • \(v = v_0 + at\) : 時間 \(t\) が必要
  • \(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) : 時間 \(t\) が必要
  • \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) : 時間 \(t\) が不要 → 今回の問題に最適！
• 自由落下への適用: 自由落下では初速度 \(v_0 = 0\)、加速度 \(a = g\) なので、\(v^2 = 2gy\) となります。
• 有効数字: 高さ \(19.6\)\(\text{m}\) は3桁、重力加速度 \(9.8\)\(\text{m/s}^2\) は2桁です。計算結果は、これらのうち有効数字の桁数が最も少ないものに合わせるのが原則です。したがって、答えは2桁で表します。

具体的な解説と立式
まず、物理量を整理し、座標を設定します。

• 初速度 \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)
• 落下距離（変位） \(y = 19.6 \, \text{m}\)
• 重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)
• 求める速さ \(v\) [m/s]

座標軸は、小石を落とし始めた点を原点とし、鉛直下向きを正の向きとします。

時間 \(t\) を使わずに、初速度 \(v_0\)、変位 \(y\)、加速度 \(g\)、そして最終速度 \(v\) を関係づける公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を用います。
ここに \(v_0 = 0\)、\(a = g\) を代入すると、次の式が得られます。
$$ v^2 = 2gy \quad \cdots ① $$

式①に、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)、\(y = 19.6 \, \text{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= 2 \times 9.8 \times 19.6 \\[2.0ex]&= 19.6 \times 19.6 \\[2.0ex]&= (19.6)^2
\end{aligned}
$$
したがって、\(v\) は正の値なので、
$$ v = 19.6 $$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(v \approx 20\) [m/s] となります。

この問題では、「高さ19.6mから落とした」という「距離」の情報が与えられています。前回のように「時間」が分かっていないので、時間を使わない便利な公式 \(v^2 = 2gy\) を使います。これは「速さの2乗 = 2 × 重力加速度 × 落ちた距離」という意味の式です。
この式に、わかっている数字を当てはめてみましょう。
速さの2乗 \(v^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6\)
ここで計算の工夫ですが、\(2 \times 9.8\) を先に計算すると \(19.6\) になります。
すると、式は \(v^2 = 19.6 \times 19.6\) となります。
同じ数を2回かけているので、元の速さ \(v\) は \(19.6\) [m/s] だと分かります。
最後に、答えの桁数を合わせます。問題で使われている「9.8」が2桁の数字なので、答えも2桁にします。19.6を四捨五入して、答えは20m/sとなります。

③ 鉛直投げおろし

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げおろし運動」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、初めから下向きに速さを持つ「鉛直投げおろし」運動を扱います。自由落下との違いは、初速度 \(v_0\) が \(0\) ではない点です。したがって、等加速度直線運動の公式をそのままの形で用います。
問題では「\(2.0\)s後の速さ」と「\(2.0\)s後の地面からの高さ」の2つが問われています。
「速さ」は、速度の公式 \(v = v_0 + gt\) に値を代入するだけで求められます。
一方、「地面からの高さ」を求めるには、まず「塔の上からどれだけ落下したか（落下距離 \(y\)）」を計算し、その結果を「塔の全体の高さ \(H\)」から引き算するという、2段階の思考が必要です。この「落下距離」と「地面からの高さ」を混同しないことが重要です。

この設問における重要なポイント

• 鉛直投げおろし: 初速度 \(v_0\) を持ち、鉛直下向きに運動する。鉛直下向きを正とすると、初速度 \(v_0\)、加速度 \(g\) はともに正の値となる。
• 使用する公式:
  • 速度と時間の関係式: \(v = v_0 + gt\)
  • 変位と時間の関係式: \(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
• 位置の計算: 「地面からの高さ」を \(h\)、塔の高さを \(H\)、落下距離を \(y\) とすると、\(h = H – y\) の関係になります。
• 有効数字: 初速度 \(20\)\(\text{m/s}\)、時間 \(2.0\)\(\text{s}\)、重力加速度 \(9.8\)\(\text{m/s}^2\) はすべて有効数字2桁です。計算結果はこれに合わせます。塔の高さ \(100\)\(\text{m}\) は、引き算で使うため、小数点の位を考慮します。\(100 – 59.6 = 40.4\) の計算では、\(100\) を \(100.0\) と見なせるため、結果は小数第1位まで信頼できます。この \(40.4\) を有効数字2桁に丸めて \(40\) とします。

具体的な解説と立式
まず、物理量を整理し、座標を設定します。

• 塔の高さ \(H = 100 \, \text{m}\)
• 初速度 \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)
• 時間 \(t = 2.0 \, \text{s}\)
• 重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

座標軸は、小石を投げおろした塔の頂点を原点とし、鉛直下向きを正の向きとします。

1. \(2.0\)s後の速さ \(v\) [m/s] を求める。
等加速度直線運動の速度と時間の関係式 \(v = v_0 + at\) を用います。加速度 \(a\) を重力加速度 \(g\) に置き換えて、次の式を立てます。
$$ v = v_0 + gt \quad \cdots ① $$

2. \(2.0\)s後の地面からの高さ \(h\) [m] を求める。
まず、\(2.0\)s間の落下距離 \(y\) [m] を求めます。等加速度直線運動の変位と時間の関係式 \(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用います。加速度 \(a\) を \(g\) に置き換えて、次の式を立てます。
$$ y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$
求めた落下距離 \(y\) を、塔の全体の高さ \(H\) から引くことで、地面からの高さ \(h\) を求めます。
$$ h = H – y \quad \cdots ③ $$

1. 速さ \(v\) の計算
式①に、\(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)、\(t = 2.0 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 20 + 9.8 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 20 + 19.6 \\[2.0ex]&= 39.6
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(v \approx 40\) [m/s] となります。

2. 地面からの高さ \(h\) の計算
まず、式②を用いて落下距離 \(y\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
y &= 20 \times 2.0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 \\[2.0ex]&= 40 + 4.9 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 40 + 19.6 \\[2.0ex]&= 59.6 \, \text{[m]}
\end{aligned}
$$
次に、式③を用いて地面からの高さ \(h\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
h &= 100 – 59.6 \\[2.0ex]&= 40.4
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(h \approx 40\) [m] となります。

この問題は、ビルの屋上から下に向かってボールを「えいっ」と投げつけるイメージです。最初から速さがあるので、自由落下よりも速く、遠くまで落ちます。
まず、2秒後の速さを計算します。
スタート時の速さが \(20\)\(\text{m/s}\) です。これに、重力によって2秒間で加速された分の速さを足し算します。
重力による加速分は \(9.8 \times 2.0 = 19.6\)\(\text{m/s}\) です。
したがって、合計の速さは \(20 + 19.6 = 39.6\)\(\text{m/s}\) となります。答えは2桁の数字にそろえるルールなので、四捨五入して \(40\)\(\text{m/s}\) です。
次に、2秒後の地面からの高さを計算します。
これには、まず「2秒間でどれだけ下に落ちたか」を計算する必要があります。
落ちた距離は、公式 \(y = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\) を使います。
\(y = (20 \times 2.0) + (\frac{1}{2} \times 9.8 \times 2.0 \times 2.0) = 40 + 19.6 = 59.6\)\(\text{m}\) です。
これはあくまで「落ちた距離」です。問題で聞かれているのは「地面からの高さ」なので、最初の高さ \(100\)\(\text{m}\) からこの距離を引きます。
地面からの高さは \(100 – 59.6 = 40.4\)\(\text{m}\) となります。これも2桁の数字にそろえて、答えは \(40\)\(\text{m}\) です。

④ 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ運動」における最高点の物理的な性質の理解です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、計算ではなく鉛直投げ上げ運動の概念を問うものです。多くの人が混同しがちな「速度がゼロになる瞬間、加速度もゼロになるのではないか？」という疑問点が核心となります。
物体を真上に投げ上げると、上向きの初速度で運動を開始しますが、常に下向きの重力加速度 \(g\) が作用しているため、速度は徐々に減少します。そして、速度がちょうど \(0\) になった瞬間が「最高点」です。その後、物体は下向きに速度を増しながら落下していきます。
重要なのは、物体が手から離れてから地面に着くまでの間、物体に作用する力は（空気抵抗を無視すれば）常に鉛直下向きの重力のみであるという点です。運動の法則 \(ma=F\) から、力が一定であれば加速度も一定です。したがって、加速度は上昇中、最高点、下降中を問わず、常に鉛直下向きに \(g\) で一定となります。

この設問における重要なポイント

• 最高点の速さ: 鉛直投げ上げ運動において、物体の進行方向が上向きから下向きに変わる点。この瞬間、物体の速さは一瞬だけ \(0\) になります。
• 加速度の不変性: 物体が空中にある限り、作用する力は重力のみです。したがって、加速度は運動のどの段階（上昇中、最高点、下降中）であっても、常に鉛直下向きに大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) で一定です。
• 速度と加速度は別物: 速度が \(0\) であっても、加速度が \(0\) とは限りません。加速度は「速度を変化させる働き」です。最高点では、速度が \(0\) ですが、次の瞬間には下向きに動き出すため、まさに速度が変化している最中です。この速度変化を引き起こしているのが、鉛直下向きの重力加速度です。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、各物理量の概念的な性質を吟味します。

1. 最高点での物体の速さ
物体を鉛直上向きに投げ上げると、重力に逆らって上昇するため、その速さはだんだん遅くなります。やがて、一瞬だけ静止し、その後、今度は下向きに落下を始めます。この「一瞬だけ静止する点」が最高点です。したがって、最高点での物体の速さは \(0 \, \text{m/s}\) です。

2. 加速度の向きと大きさ
物体が投げ上げられて手から離れた後、運動中に物体にはたらく力は常に鉛直下向きの「重力」のみです（空気抵抗は無視します）。運動の法則 \(ma = F\) によれば、物体にはたらく力が一定であれば、加速度も一定です。重力は、物体が上昇しているときも、最高点に達したときも、下降しているときも、常に変わらず鉛直下向きにはたらき続けます。
したがって、加速度も運動の全過程を通じて常に「鉛直下向き」に、大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) で一定です。もし最高点で加速度が \(0\) になってしまうと、物体はそこで速度の変化を止め、静止し続けてしまうことになり、現実の現象と矛盾します。

この問題には計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた各物理量の性質の吟味そのものが解答プロセスとなります。

• 最高点での速さ → \(0 \, \text{m/s}\)
• 加速度 → 常に鉛直下向きに \(9.8 \, \text{m/s}^2\)

ボールを真上にポーンと投げる場面を想像してみてください。

• 速さはどうなる？
  ボールは上に飛んでいきますが、だんだんスピードが落ちて、一番高いところで一瞬だけ「ピタッ」と止まりますよね。そして、そこから下に落ちてきます。この「ピタッと止まる瞬間」が最高点なので、最高点での速さは \(0 \, \text{m/s}\) です。
• 加速度はどうなる？
  「加速度」は、物体を動かしている「力」が原因で生まれます。ボールが手から離れた後、ボールにはどんな力がかかっているでしょうか？それは、地球がボールを引っ張る「重力」だけです。この重力は、ボールが上に昇っているときも、最高点で止まっているときも、下に落ちてくるときも、ずーっと下向きにかかり続けています。
  だから、加速度もずーっと「鉛直下向きに \(9.8 \, \text{m/s}^2\)」で一定なのです。もし最高点で加速度（＝重力の影響）がなくなってしまったら、ボールは二度と落ちてこなくなってしまいます。ちゃんと落ちてくるのは、最高点でも重力がしっかり働いている証拠です。

⑤ 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ運動」の具体的な計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、地面から物体を真上に投げ上げる「鉛直投げ上げ」運動を扱います。この運動の最大の特徴は、運動の向き（初速度は上向き）と加速度の向き（重力加速度は下向き）が逆であることです。
物理の問題を解く第一歩として、座標軸を設定します。ここでは、運動の開始方向である鉛直上向きを正とすると、計算が直感的になります。この場合、初速度 \(v_0\) は正の値ですが、常に下向きに作用する重力加速度 \(g\) は負の値、つまり \(a = -g\) として扱う必要があります。この符号の扱が、この問題を解く上での最も重要な鍵となります。
あとは、等加速度直線運動の公式に、これらの値を代入して計算を進めるだけです。

この設問における重要なポイント

• 座標軸と符号: 鉛直上向きを正の向きと設定します。すると、初速度 \(v_0 = +20 \, \text{m/s}\)、加速度 \(a = -g = -9.8 \, \text{m/s}^2\) となります。
• 公式の変形: 等加速度直線運動の基本公式に \(a = -g\) を代入すると、鉛直投げ上げ専用の公式として扱うことができます。
  • \(v = v_0 + at \rightarrow v = v_0 – gt\)
  • \(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2 \rightarrow y = v_0t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
• 速さと速度: 計算で求まる \(v\) は速度です。もし \(v\) が負の値になった場合、それは物体が下向きに運動していることを意味します。問題で問われている「速さ」は速度の大きさ（絶対値）なので、注意が必要です。（この問題では \(t=1.5\)s の時点ではまだ上昇中のため、速度 \(v\) は正の値です。）
• 有効数字: 問題で与えられている数値 \(20\)\(\text{m/s}\), \(1.5\)\(\text{s}\), \(9.8\)\(\text{m/s}^2\) は、いずれも有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁に丸めて答えます。

具体的な解説と立式
まず、物理量を整理し、座標を設定します。

• 初速度 \(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)
• 時間 \(t = 1.5 \, \text{s}\)
• 重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

座標軸は、地面を原点とし、鉛直上向きを正の向きとします。

1. \(1.5\)s後の物体の速さ \(v\) [m/s] を求める。
等加速度直線運動の速度と時間の関係式 \(v = v_0 + at\) を用います。加速度 \(a\) に \(-g\) を代入して、次の式を立てます。
$$ v = v_0 – gt \quad \cdots ① $$

2. \(1.5\)s後の地面からの高さ \(y\) [m] を求める。
等加速度直線運動の変位と時間の関係式 \(y = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用います。加速度 \(a\) に \(-g\) を代入して、次の式を立てます。
$$ y = v_0t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$

1. 速さ \(v\) の計算
式①に、\(v_0 = 20 \, \text{m/s}\)、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)、\(t = 1.5 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= 20 – 9.8 \times 1.5 \\[2.0ex]&= 20 – 14.7 \\[2.0ex]&= 5.3
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(v \approx 5.3\)\(\text{m/s}\) となります。問題の解答ではこれをさらに丸めて \(5\)\(\text{m/s}\) としています。これは、引き算の有効数字のルール（結果の末位を、元の数値の中で最も末位が高いものに合わせる）を適用し、\(20\) の末位（一の位）に合わせた結果です。

2. 地面からの高さ \(y\) の計算
式②に各数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= 20 \times 1.5 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1.5)^2 \\[2.0ex]&= 30 – 4.9 \times 2.25 \\[2.0ex]&= 30 – 11.025 \\[2.0ex]&= 18.975
\end{aligned}
$$
計算の途中に出てくる \(20 \times 1.5 = 30\) (有効数字2桁) と \(4.9 \times 2.25 \approx 11\) (有効数字2桁) の引き算と考え、\(30 – 11 = 19\) となります。また、最終結果 \(18.975\) を有効数字2桁に丸めても \(19\) となります。
したがって、\(y \approx 19\) [m] です。

ボールを真上に投げたときの運動を考えます。上向きをプラス(+)、下向きをマイナス(-)として計算するのがポイントです。

• 1.5秒後の速さは？
  スタート時の速さは上向きに \(20\)\(\text{m/s}\) です。ここから、重力によって下向きにブレーキがかかります。
  ブレーキで遅くなる分の速さは \(9.8 \times 1.5 = 14.7\)\(\text{m/s}\) です。
  したがって、1.5秒後の速さは、\(20 – 14.7 = 5.3\)\(\text{m/s}\) となります。まだプラスなので、上向きに動いていることがわかりますね。答えは有効数字2桁にそろえるので、四捨五入して \(5\)\(\text{m/s}\) となります。
• 1.5秒後の高さは？
  もし重力がなければ、ボールは \(20 \times 1.5 = 30\)\(\text{m}\) の高さまで到達します。
  しかし、実際には重力によって下向きに引き戻されるため、この高さより低くなります。
  引き戻される距離は、\(\frac{1}{2} \times 9.8 \times 1.5 \times 1.5 = 11.025\)\(\text{m}\) です。
  したがって、実際の高さは、\(30 – 11.025 = 18.975\)\(\text{m}\) となります。
  これも有効数字2桁にそろえるので、四捨五入して \(19\)\(\text{m}\) が答えです。

⑥ 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、鉛直投げ上げ運動における最高到達点の情報から初速度を逆算することです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、これまでの問題とは逆に、運動の結果（最高到達点 \(y=40\)\(\text{m}\)）が与えられ、その運動を引き起こした原因（初速度 \(v_0\)）を求める形式です。
問題を解く上で最も重要なのは、適切な公式を選択することです。問題文には「時間」に関する情報が一切なく、また時間を求める必要もありません。このような状況では、時間 \(t\) を含まない等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を利用するのが定石です。
また、「最高点」という言葉が物理的に「速度 \(v=0\)」を意味することを理解している必要があります。これらの情報を組み合わせ、鉛直上向きを正（\(a=-g\)）として立式すれば、未知数である初速度 \(v_0\) を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 最高点の条件: 物理学において「最高点」とは、鉛直方向の速度が \(0\) になる点を指します。つまり \(v=0\)。
• 公式の選択: 時間 \(t\) が未知、かつ不要な問題では、\(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を使うと計算が簡潔になります。
• 座標軸と符号: 鉛直上向きを正とすると、初速度 \(v_0\) と変位 \(y\) は正の値ですが、重力加速度は常に下向きなので、加速度 \(a\) は負の値（\(a=-g\)）となります。
• 式の変形: \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) に \(a=-g\) を代入すると、\(v^2 – v_0^2 = -2gy\) となります。

具体的な解説と立式
まず、物理量を整理し、座標を設定します。

• 最高点の高さ（変位） \(y = 40 \, \text{m}\)
• 最高点での速度 \(v = 0 \, \text{m/s}\)
• 重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)
• 求める物理量: 初速度の大きさ \(v_0\) [m/s]

座標軸は、投げ上げた地面を原点とし、鉛直上向きを正の向きとします。

時間 \(t\) を使わずに、初速度 \(v_0\)、最終速度 \(v\)、加速度 \(a\)、変位 \(y\) を関係づける公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ay\) を用います。
鉛直上向きを正としているので、加速度は \(a = -g\) となります。これを代入すると、
$$ v^2 – v_0^2 = -2gy \quad \cdots ① $$
この式に、最高点の条件 \(v=0\) と \(y=40\)\(\text{m}\) を代入することで、\(v_0\) を求めます。

式①に、\(v = 0 \, \text{m/s}\)、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)、\(y = 40 \, \text{m}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
0^2 – v_0^2 &= -2 \times 9.8 \times 40 \\[2.0ex]-v_0^2 &= -784 \\[2.0ex]v_0^2 &= 784
\end{aligned}
$$
初速度 \(v_0\) は正の値なので、平方根をとります。
$$
\begin{aligned}
v_0 &= \sqrt{784} \\[2.0ex]&= 28
\end{aligned}
$$
したがって、初速度の大きさは \(28\) [m/s] となります。
（問題で与えられた数値の有効数字は \(40\)\(\text{m}\) と \(9.8\)\(\text{m/s}^2\) でともに2桁なので、答えも2桁の \(28\)\(\text{m/s}\) で適切です。）

この問題は「ボールを真上に投げたら、ちょうど40mの高さまで届いた。さて、最初にどれくらいの速さで投げたでしょう？」という、原因を当てるクイズのようなものです。
ここでも、時間が出てこないので、時間を使わない便利な公式 \(v^2 – v_0^2 = -2gy\) を使います。
「後の速さ \(v\)」は、最高点での速さなので \(0\) です。
「高さ \(y\)」は \(40\)\(\text{m}\) です。
これを公式に当てはめてみましょう。
\(0^2 – (\text{初めの速さ } v_0)^2 = -2 \times 9.8 \times 40\)
計算すると、
\(-v_0^2 = -784\)
両側にあるマイナスを消すと、
\(v_0^2 = 784\)
となります。あとは、「2回かけると784になる数」を見つければOKです。計算すると \(28 \times 28 = 784\) なので、答えは \(28\)\(\text{m/s}\) とわかります。

⑦ 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射」の基本的な計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
水平投射は、物体が放物線を描く2次元の運動ですが、難しく考える必要はありません。この運動は、単純な2つの1次元運動が同時に起こっているだけと捉えるのが基本です。「水平方向の運動」と「鉛直方向の運動」は、互いに干渉しない独立した運動として扱うことができます。

• 水平方向: 物体を投げた後は、水平方向には何の力も働きません（空気抵抗は無視します）。したがって、物体は最初に与えられた水平方向の速さのまま、ずっと等速で進み続けます。
• 鉛直方向: 物体には常に鉛直下向きの重力が働いています。水平方向に投げた瞬間、鉛直方向の初速度は \(0\) です。したがって、鉛直方向の運動は、単にその場から静かに物体を落とした「自由落下運動」と全く同じになります。

この2つの運動を、共通の時間 \(t\) で計算することで、任意の時刻における物体の位置（水平距離と落下距離）を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 運動の分解: 水平投射は、以下の2つの運動の合成として考えます。
  • 水平方向: 初速度 \(v_0\) の等速直線運動。
  • 鉛直方向: 初速度 \(0\) の自由落下運動。
• 水平方向の計算:
  • 加速度 \(a_x = 0\)
  • 距離 \(x = v_0 t\)
• 鉛直方向の計算（鉛直下向きを正とする）:
  • 初速度 \(v_{0y} = 0\)
  • 加速度 \(a_y = g\)
  • 距離 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
• 有効数字: 問題で与えられている数値 \(10\)\(\text{m/s}\), \(4.0\)\(\text{s}\), \(9.8\)\(\text{m/s}^2\) は、いずれも有効数字2桁です。したがって、計算結果も有効数字2桁に丸めて答えます。

具体的な解説と立式
運動を水平方向と鉛直方向に分けて考えます。座標軸は、物体を投げた点を原点(0, 0)とし、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとります。

• 水平方向の初速度 \(v_0 = 10 \, \text{m/s}\)
• 鉛直方向の初速度 \(v_{0y} = 0 \, \text{m/s}\)
• 時間 \(t = 4.0 \, \text{s}\)
• 重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

1. 水平到達距離 \(x\) [m] を求める。
水平方向は、初速度 \(v_0\) の等速直線運動です。距離は「速さ × 時間」で求められます。
$$ x = v_0 t \quad \cdots ① $$

2. 鉛直方向の落下距離 \(y\) [m] を求める。
鉛直方向は、初速度 \(0\) の自由落下運動です。変位の公式 \(y = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) において、\(v_0=0\), \(a=g\) を代入します。
$$ y = \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$

1. 水平到達距離 \(x\) の計算
式①に、\(v_0 = 10 \, \text{m/s}\)、\(t = 4.0 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= 10 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 40
\end{aligned}
$$
したがって、水平到達距離は \(40\) [m] です。

2. 鉛直方向の落下距離 \(y\) の計算
式②に、\(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)、\(t = 4.0 \, \text{s}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0)^2 \\[2.0ex]&= 4.9 \times 16 \\[2.0ex]&= 78.4
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(y \approx 78\) [m] となります。

崖の上からボールを真横に投げたときの運動をイメージしてください。この複雑に見える運動も、「横方向の動き」と「縦方向の動き」に分解すると、とても簡単になります。

• 横方向（水平到達距離）の計算
  ボールを投げた後、横方向には誰もボールを押したり引いたりしません。なので、ボールは最初に投げたときの横向きの速さ \(10\)\(\text{m/s}\) のまま、ずっと進み続けます。
  4.0秒後にはどれくらい進んでいるかというと、単純に「速さ × 時間」で計算できます。
  距離 \(x = 10 \times 4.0 = 40\)\(\text{m}\) です。
• 縦方向（落下距離）の計算
  ボールを「真横」に投げたので、投げた瞬間の縦方向の速さはゼロです。これは、崖の上からそっとボールを落とした「自由落下」と全く同じ状況です。
  自由落下の距離を求める公式 \(y = \frac{1}{2}gt^2\) を使います。
  距離 \(y = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 4.0 \times 4.0 = 78.4\)\(\text{m}\) です。
  問題の数字が2桁なので、答えも2桁にそろえて \(78\)\(\text{m}\) とします。

⑧ 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射における初速度の分解」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
斜めに投げ上げる「斜方投射」は、一見複雑に見えますが、これも「水平方向の運動」と「鉛直方向の運動」に分解して考えるのが基本です。この問題は、その第一歩として、運動の出発点である「初速度」を水平成分と鉛直成分に分解する練習です。
初速度のベクトルを、図のように直角三角形の斜辺と見なします。すると、水平成分 \(v_x\) は三角形の底辺、鉛直成分 \(v_y\) は高さに相当します。斜辺の長さ（初速度の大きさ \(10\)\(\text{m/s}\)）と角度（仰角 \(30^\circ\)）が分かっているので、三角比（\(\cos\), \(\sin\)）を使えば、底辺と高さの長さを計算することができます。

この設問における重要なポイント

• ベクトルの分解: 大きさ \(v_0\)、水平となす角が \(\theta\) のベクトルを、水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解する際は、以下の関係を用います。
  • 水平成分（角度を挟む辺）: \(v_x = v_0 \cos\theta\)
  • 鉛直成分（角度の対辺）: \(v_y = v_0 \sin\theta\)
• 三角比の値: 特によく使われる角度の三角比は覚えておく必要があります。
  • \(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\)
  • \(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2} = 0.5\)
• 有効数字: 初速度 \(10\)\(\text{m/s}\) は有効数字2桁です。問題文で \(\sqrt{3}=1.73\)（有効数字3桁）を使うよう指示されている場合でも、元の数値の桁数に合わせて、最終的な答えは有効数字2桁で示します。

具体的な解説と立式
初速度ベクトルを、水平方向のx軸と鉛直方向のy軸に分解します。

• 初速度の大きさ \(v_0 = 10 \, \text{m/s}\)
• 仰角 \(\theta = 30^\circ\)
• 求める物理量: 水平成分 \(v_x\) [m/s] と 鉛直成分 \(v_y\) [m/s]

図のように、初速度ベクトルを斜辺とする直角三角形を考えます。
1. 水平成分 \(v_x\) の立式
水平成分は、角度 \(\theta\) を挟む辺（底辺）にあたるため、\(\cos\theta\) を用いて表します。
$$ v_x = v_0 \cos\theta \quad \cdots ① $$

2. 鉛直成分 \(v_y\) の立式
鉛直成分は、角度 \(\theta\) の対辺（高さ）にあたるため、\(\sin\theta\) を用いて表します。
$$ v_y = v_0 \sin\theta \quad \cdots ② $$

1. 水平成分 \(v_x\) の計算
式①に、\(v_0 = 10 \, \text{m/s}\)、\(\theta = 30^\circ\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_x &= 10 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 5\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
ここで、問題の指示に従い \(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算します。
$$
\begin{aligned}
v_x &\approx 5 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 8.65
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(v_x \approx 8.7\) [m/s] となります。

2. 鉛直成分 \(v_y\) の計算
式②に、\(v_0 = 10 \, \text{m/s}\)、\(\theta = 30^\circ\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 10 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex]&= 10 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 5.0
\end{aligned}
$$
有効数字2桁を考慮して、鉛直成分は \(5.0\) [m/s] となります。

斜め \(30^\circ\) の向きに飛んでいくボールの速さを、「真横方向の速さ」と「真上方向の速さ」の2つに分けて考える作業です。速度の矢印を使って直角三角形を描くのがコツです。

• 水平成分（横方向の速さ）
  これは三角形の「底辺」の長さにあたります。計算には \(\cos\) を使います。
  \(v_x = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 10 \times 0.866 = 8.66\)。
  答えは2桁の数字にそろえるので、四捨五入して \(8.7\)\(\text{m/s}\) です。
• 鉛直成分（縦方向の速さ）
  これは三角形の「高さ」にあたります。計算には \(\sin\) を使います。
  \(v_y = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5\)。
  こちらも答えを2桁の数字にそろえるため、\(5.0\)\(\text{m/s}\) と書きます。

⑨ 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射」の基本的な計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、地面から斜め上方に物体を投げ上げる「斜方投射」を扱います。この運動は、水平方向の「等速直線運動」と、鉛直方向の「鉛直投げ上げ運動」という2つの単純な運動が同時に起こっているものとして考えます。
この考え方に基づき、まず初速度 \(v_0\) を水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解することが計算の第一歩です。

• 水平成分: \(v_x = v_0 \cos\theta\)
• 鉛直成分: \(v_y = v_0 \sin\theta\)

分解した後は、それぞれの方向について独立に計算を進めます。水平方向の距離は \(x = v_x t\) で、鉛直方向の高さは \(y = v_y t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) で求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 運動の分解: 斜方投射は、以下の2つの運動の合成として考えます。
  • 水平方向: 初速度 \(v_x = v_0 \cos\theta\) の等速直線運動。
  • 鉛直方向: 初速度 \(v_y = v_0 \sin\theta\) の鉛直投げ上げ運動（加速度 \(-g\)）。
• 座標設定: 地面を原点とし、水平方向をx軸、鉛直上向きをy軸の正の向きとします。
• 使用する公式:
  • 水平到達距離: \(x = (v_0 \cos\theta) t\)
  • 地面からの高さ: \(y = (v_0 \sin\theta) t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)
• 有効数字: 初速度 \(39.2\)\(\text{m/s}\) は3桁、時間 \(2.0\)\(\text{s}\) と重力加速度 \(9.8\)\(\text{m/s}^2\) は2桁です。計算結果は、これらのうち有効数字の桁数が最も少ない2桁に合わせるのが原則です。

具体的な解説と立式
運動を水平方向と鉛直方向に分解して考えます。座標軸は、地面を原点とし、水平右向きにx軸、鉛直上向きにy軸をとります。

• 初速度の大きさ \(v_0 = 39.2 \, \text{m/s}\)
• 仰角 \(\theta = 30^\circ\)
• 時間 \(t = 2.0 \, \text{s}\)
• 重力加速度の大きさ \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\)

1. 水平到達距離 \(x\) [m] を求める。
水平方向の初速度は \(v_x = v_0 \cos\theta\) です。水平方向は等速直線運動なので、距離は「速さ × 時間」で求められます。
$$ x = (v_0 \cos\theta) t \quad \cdots ① $$

2. 地面からの高さ \(y\) [m] を求める。
鉛直方向の初速度は \(v_y = v_0 \sin\theta\) です。鉛直方向は鉛直投げ上げ運動なので、変位の公式は \(y = v_y t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) となります。
$$ y = (v_0 \sin\theta) t – \frac{1}{2}gt^2 \quad \cdots ② $$

1. 水平到達距離 \(x\) の計算
式①に各数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
x &= (39.2 \times \cos 30^\circ) \times 2.0 \\[2.0ex]&= \left(39.2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times 2.0 \\[2.0ex]&= 39.2 \times \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算します。
$$
\begin{aligned}
x &\approx 39.2 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 67.816
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(x \approx 68\) [m] となります。

2. 地面からの高さ \(y\) の計算
式②に各数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= (39.2 \times \sin 30^\circ) \times 2.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 \\[2.0ex]&= \left(39.2 \times \frac{1}{2}\right) \times 2.0 – 4.9 \times 4.0 \\[2.0ex]&= 19.6 \times 2.0 – 19.6 \\[2.0ex]&= 39.2 – 19.6 \\[2.0ex]&= 19.6
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁にすると、\(y \approx 20\) [m] となります。

斜めに投げたボールの2秒後の位置を、「横」と「縦」に分けて探す問題です。

• 横方向（水平到達距離）の計算
  まず、横方向の速さを求めます。\(v_x = 39.2 \times \cos 30^\circ = 39.2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
  横方向には力が働かないので、この速さのまま進み続けます。2秒後の距離は「速さ × 時間」です。
  距離 \(x = \left(39.2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \times 2.0 = 39.2 \times \sqrt{3}\)。
  \(\sqrt{3}\) はおよそ \(1.73\) なので、\(39.2 \times 1.73 = 67.816\)\(\text{m}\)。
  答えは2桁の数字にそろえるので、四捨五入して \(68\)\(\text{m}\) です。
• 縦方向（地面からの高さ）の計算
  縦方向は、初めは上に昇り、やがて下に落ちる「鉛直投げ上げ」です。
  まず、縦方向の初速を求めます。\(v_y = 39.2 \times \sin 30^\circ = 39.2 \times \frac{1}{2} = 19.6\)\(\text{m/s}\)。
  もし重力がなければ、2秒後には \(19.6 \times 2.0 = 39.2\)\(\text{m}\) の高さにいます。
  しかし、実際には重力によって下に引き戻されます。2秒間で引き戻される距離は \(\frac{1}{2} \times 9.8 \times (2.0)^2 = 19.6\)\(\text{m}\) です。
  したがって、実際の高さは、\(39.2 – 19.6 = 19.6\)\(\text{m}\) となります。
  これも2桁の数字にそろえて、四捨五入して \(20\)\(\text{m}\) が答えです。

例題

例題6 鉛直投げ上げ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直投げ上げ運動の解析」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球が地上から投射され、4.0s後に再び地上に戻ってきたという情報が与えられています。この「行って戻ってくる」運動全体を考えることで、未知の初速度を特定します。鉛直投げ上げの変位の公式を使い、時刻 \(t=4.0 \text{ s}\) のときに変位 \(y=0 \text{ m}\) となる条件を立式します。
この設問における重要なポイント

• 鉛直上向きを正の向きと設定する。
• 投射点（地上）を原点(\(y=0\))とすると、4.0s後の位置も地上なので変位は \(y=0\) である。
• 変位の公式 \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正の向きとし、初速度の大きさを \(v_0\) [m/s]、重力加速度の大きさを \(g=9.8\) m/s² とします。時刻 \(t\) [s] における地上からの高さ（変位） \(y\) [m] は、次の式で表されます。
$$ y = v_0 t – \frac{1}{2}gt^2 $$
問題の条件より、\(t=4.0 \text{ s}\) のときに地上に戻る、すなわち \(y=0 \text{ m}\) となるので、これらの値を代入します。
$$ 0 = v_0 \times 4.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4.0)^2 $$
この式を \(v_0\) について解くことで、初速度の大きさが求まります。

立式した方程式を \(v_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 4.0 v_0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16.0 \\[2.0ex]0 &= 4.0 v_0 – 78.4 \\[2.0ex]4.0 v_0 &= 78.4 \\[2.0ex]v_0 &= \frac{78.4}{4.0} \\[2.0ex]v_0 &= 19.6
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字は2桁（4.0s）なので、答えも2桁に丸めます。
$$ v_0 \approx 20 \text{ [m/s]} $$

ボールを投げてからキャッチするまで4.0秒かかった、という状況です。このとき、ボールは元の位置に戻ってきているので、位置の変化（変位）はゼロです。この「\(t=4.0\) のとき \(y=0\)」という情報を、位置を表す公式 \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に入れてあげます。すると、わからない文字は初速度 \(v_0\) だけになるので、方程式を解けば \(v_0\) が計算できます。

小球の初速度の大きさは \(19.6 \text{ m/s}\) であり、有効数字2桁で \(20 \text{ m/s}\) となります。正の値で求まったので、最初に設定した上向きの初速度という仮定と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
小球が最高点に達するまでの時間を求めます。物理的に「最高点に達する」とは、「速度が一時的に0になる」ということです。この条件を、速度と時間の関係式に適用して時間を求めます。(1)で求めた初速度 \(v_0 = 19.6 \text{ m/s}\) を使用します。
この設問における重要なポイント

• 最高点では速度 \(v\) が \(0\) になる。
• 速度の公式 \(v = v_0 – gt\) を利用する。
• 運動の対称性から、全飛行時間の半分が最高点までの時間になる。

具体的な解説と立式
最高点では速度が \(v=0 \text{ m/s}\) となります。初速度は(1)より \(v_0 = 19.6 \text{ m/s}\) です。速度の公式 \(v = v_0 – gt\) にこれらの値を代入し、最高点に達するまでの時間 \(t\) [s] を求めます。
$$ 0 = 19.6 – 9.8 \times t $$
この式を \(t\) について解きます。

立式した方程式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 19.6 – 9.8t \\[2.0ex]9.8t &= 19.6 \\[2.0ex]t &= \frac{19.6}{9.8} \\[2.0ex]t &= 2.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

ボールが一番高いところに届いた瞬間は、一瞬だけ止まります。つまり、速度が \(0\) になります。この「最高点では \(v=0\)」という条件を、速度の公式 \(v = v_0 – gt\) に入れてあげます。(1)で初速度 \(v_0\) は \(19.6 \text{ m/s}\) とわかっているので、これを代入すれば、最高点に着くまでの時間 \(t\) が計算できます。

最高点に達するまでの時間は \(2.0 \text{ s}\) です。これは全飛行時間 \(4.0 \text{ s}\) のちょうど半分であり、鉛直投げ上げ運動の対称性（上昇にかかる時間と下降にかかる時間は等しい）と一致しており、物理的に妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
小球が達する最高点の高さを求めます。ここでも「最高点では速度が0になる」という条件を使います。時間 \(t\) を使わずに速度と変位（高さ）を直接関係づける公式 \(v^2 – v_0^2 = -2gy\) を使うと、計算が簡単になります。
この設問における重要なポイント

• 最高点では速度 \(v\) が \(0\) になる。
• 時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = -2gy\) を利用すると効率的。
• (2)で求めた時間 \(t=2.0 \text{ s}\) を変位の公式 \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に代入しても求められる。

具体的な解説と立式
最高点では速度が \(v=0 \text{ m/s}\) となります。初速度は \(v_0 = 19.6 \text{ m/s}\) です。求める最高点の高さを \(y\) [m] として、公式 \(v^2 – v_0^2 = -2gy\) に値を代入します。
$$ 0^2 – (19.6)^2 = -2 \times 9.8 \times y $$
この式を \(y\) について解きます。

立式した方程式を \(y\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
– (19.6)^2 &= -19.6 y \\[2.0ex]y &= \frac{(19.6)^2}{19.6} \\[2.0ex]y &= 19.6
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えると、\(y \approx 20 \text{ m}\) となります。

一番高いところの高さを知りたい問題です。ここでも「最高点では速度が0」という条件が使えます。物理の公式には、時間 \(t\) が入っていない便利なもの (\(v^2 – v_0^2 = -2gy\)) があります。これを使えば、初速度 \(v_0\) と最高点での速度 \(v=0\) を代入するだけで、一発で高さ \(y\) が計算できます。

最高点の高さは \(19.6 \text{ m}\)、有効数字2桁で \(20 \text{ m}\) となります。物理的に妥当な値です。

問(4)

思考の道筋とポイント
小球が高さ \(14.7 \text{ m}\) の地点を通過する時刻を求めます。変位 \(y=14.7 \text{ m}\) となる時刻 \(t\) を、変位の公式 \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を使って求めます。この式は \(t\) に関する二次方程式になるため、解が2つ出てくる可能性があります。
この設問における重要なポイント

• 特定の高さ \(y\) を通過する時刻 \(t\) を求める問題は、\(t\) の二次方程式になる。
• 解が2つある場合、それぞれ上昇中にその高さを通過する時刻と、下降中に通過する時刻に対応する。
• 変位の公式 \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
高さ \(y=14.7 \text{ m}\) となる時刻を \(t\) [s] とします。初速度 \(v_0 = 19.6 \text{ m/s}\) を変位の公式に代入します。
$$ 14.7 = 19.6 t – \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
この \(t\) に関する二次方程式を解きます。

立式した方程式を整理します。
$$
\begin{aligned}
14.7 &= 19.6t – 4.9t^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(4.9\) で割ると計算が簡単になります。(\(14.7 = 3 \times 4.9\), \(19.6 = 4 \times 4.9\))
$$
\begin{aligned}
3 &= 4t – t^2
\end{aligned}
$$
これを整理して二次方程式の標準形にします。
$$ t^2 – 4.0t + 3.0 = 0 $$
因数分解すると、
$$ (t – 1.0)(t – 3.0) = 0 $$
よって、解は \(t = 1.0 \text{ s}\) と \(t = 3.0 \text{ s}\) です。

「高さ14.7mになるのはいつ？」という問題です。位置の公式 \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に、\(y=14.7\) を代入します。すると、時刻 \(t\) の二乗の項があるので、これは \(t\) についての二次方程式になります。二次方程式を解くと、答えが2つ出てきます。これは、ボールが「上っていくとき」と「下りてくるとき」の2回、同じ高さ14.7mの地点を通るからです。

求める時刻は \(1.0 \text{ s}\) 後と \(3.0 \text{ s}\) 後です。最高点に達するのが \(2.0 \text{ s}\) 後なので、それより前の時刻 \(1.0 \text{ s}\) が上昇中に通過する時刻、後の時刻 \(3.0 \text{ s}\) が下降中に通過する時刻に対応しており、物理的に妥当な解です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の公式の適用:
  • 核心: 鉛直投げ上げ運動は、重力という一定の加速度（\(-g\)）のもとでの直線運動、すなわち「等加速度直線運動」の一種です。したがって、この運動を記述する3つの基本公式を正しく選択し、適用することが全ての基本となります。
  • 理解のポイント:
    • \(v = v_0 – gt\): 速度と時間の関係。最高点(\(v=0\))の時刻を求める(2)などで使う。
    • \(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\): 位置と時間の関係。特定の時間後の位置や、特定の位置になる時間を求める(1)(4)などで使う。
    • \(v^2 – v_0^2 = -2gy\): 速度と位置の関係。時間を含まないため、最高点の高さ(\(v=0\))を求める(3)などで使うと便利。
• 運動の対称性:
  • 核心: 空気抵抗を無視した場合、上昇と下降の運動は時間的に対称になります。つまり、上昇にかかる時間と下降にかかる時間は等しく、同じ高さでの速さの大きさも等しくなります。
  • 理解のポイント:
    • この対称性を理解していると、(2)のように全飛行時間から最高点到達時間を即座に計算できたり、検算に利用したりすることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ビルからの投げ上げ/投げ下ろし: 投射点と着地点の高さが異なる問題。座標軸の原点をどこに設定するか（地面か、投射点か）で式の形が変わりますが、物理法則は同じです。変位 \(y\) が最終的な位置と初期位置の差であることに注意が必要です。
  • 2物体のすれ違い・衝突: 2つの物体を異なる時刻や初速度で投げ上げる問題。それぞれの物体の位置 \(y_1(t)\), \(y_2(t)\) を時刻 \(t\) の関数として表し、\(y_1(t) = y_2(t)\) となる時刻 \(t\) を求めます。
  • 気球からの物体の投下: 上昇中（または下降中）の気球から物体を放す問題。物体の初速度は、放された瞬間の気球の速度と同じになることがポイントです（慣性の法則）。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: まず、どちらの向きを正とするか（通常は鉛直上向き）、原点 \(y=0\) をどこに置くか（通常は地面か投射点）を明確に決めます。これにより、初速度、変位、加速度の符号が決まります。
  2. 既知の量と未知の量を整理: 問題文から \(v_0, v, y, t, g\) のうち、何が分かっていて、何を求めたいのかをリストアップします。
  3. 最適な公式の選択: 整理した量を見て、3つの公式のうち、未知数が1つだけで解ける最もシンプルな式を選びます。例えば、時間を問われていないのに最高点の高さを求めるなら \(v^2 – v_0^2 = -2gy\) が最適です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号のミス:
  • 誤解: 鉛直上向きを正と決めたにもかかわらず、重力加速度 \(g\) を正の値として公式 \(v = v_0 + gt\) などを使ってしまう。
  • 対策: 最初に「鉛直上向きを正とする。したがって加速度は \(a = -g\) である」と宣言し、ノートに大きく書いておく。全ての公式で加速度の項はマイナスになることを徹底する。
• 初速度の誤解（特に別解の対称性利用時）:
  • 誤解: (3)の別解で、最高点からの自由落下と考えて \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を使う際に、\(t\) に全飛行時間の \(4.0\) s を代入してしまう。
  • 対策: 「最高点から地上まで」の運動を考えるなら、時間は「下降にかかる時間」である \(2.0\) s を使う必要があることを明確に意識する。どの区間の運動について立式しているのかを常に確認する。
• 変位と道のりの混同:
  • 誤解: 4.0s後の「道のり」を考えてしまい、変位 \(y=0\) を正しく使えない。
  • 対策: 公式の \(y\) は、常に始点から終点への「変位（位置の変化）」であると覚える。4.0s後は始点（地上）に戻ってきているので、変位は \(0\) です。道のり（移動距離）は最高点までの高さの2倍になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 変位の公式 (\(y = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (1)では「時間 \(t=4.0\) s」と「変位 \(y=0\)」が与えられ、「初速度 \(v_0\)」を求めたい。この3つの量を含む公式はこれしかないため、必然的に選択されます。(4)でも同様に「変位 \(y=14.7\)」から「時間 \(t\)」を求めるため、この公式が選ばれます。
  • 適用根拠: この公式は、等加速度運動する物体の移動距離が「平均の速さ \(\times\) 時間」で計算できること（\(\displaystyle\frac{v_0+v}{2} \times t\)）と、\(v=v_0-gt\) を組み合わせることで導出される、最も基本的な関係式の一つです。
• 速度の公式 (\(v = v_0 – gt\)):
  • 選定理由: (2)では「最高点」という条件から「最終速度 \(v=0\)」がわかり、「初速度 \(v_0\)」も既知です。求めたいのは「時間 \(t\)」なので、これら3つの量を含むこの公式が最も直接的です。
  • 適用根拠: 加速度の定義 \(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\) を変形したものであり、速度が時間と共に一定の割合で変化する様子を表しています。
• 時間を含まない公式 (\(v^2 – v_0^2 = -2gy\)):
  • 選定理由: (3)では「最高点」(\(v=0\))と「初速度 \(v_0\)」がわかっていて、「高さ \(y\)」を求めたい。時間を経由せずにこれらの量を直接結びつけるため、計算が最も速く、間違いが少ないです。
  • 適用根拠: 上の2つの公式から \(t\) を消去することで導出される関係式です。計算途中の値（時間）を使わずに済むため、誤差の蓄積や計算ミスを防ぐ上で非常に有効です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の計算: \(9.8\) は \(2 \times 4.9\) や \(0.2 \times 49\) のように、素因数分解に近い形で捉えておくと、約分しやすくなります。(4)の \(14.7 = 3 \times 4.9\), \(19.6 = 4 \times 4.9\) のように、問題で与えられる数値は \(4.9\) の倍数になっていることが非常に多いです。このパターンに気づくと、二次方程式を解く前に両辺を割ることができ、計算が劇的に楽になります。
• 二次方程式の解の吟味: (4)のように解が2つ出てきた場合、それで終わりとせず、それぞれの解が物理的に何を意味するのかを考える習慣をつける。「\(t=1.0\) s は上昇中、\(t=3.0\) s は下降中だな」と確認することで、解の妥当性を検証できます。もし負の解や、最高到達時間との関係がおかしい解が出た場合は、計算ミスを疑うきっかけになります。
• 単位の確認: 計算の最終段階で、求めた物理量の単位が正しいかを確認する。速度なら [m/s]、時間なら [s]、高さなら [m] になっているか。基本的なことですが、ミスを防ぐ最後の砦です。

例題7 水平投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「水平投射運動の解析」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
ボールが地面に達するまでの時間を求める問題です。この時間は、ボールの鉛直方向の運動だけで決まります。水平方向にどれだけ速く飛んでいても、真下にポトリと落とした場合と地面に到達するまでの時間は同じです。したがって、高さ \(19.6\) mからの自由落下運動として考え、落下時間を計算します。
この設問における重要なポイント

• 運動を水平方向と鉛直方向に分解して考える。
• 地面に達するまでの時間は、鉛直方向の運動（自由落下）のみによって決まる。
• 自由落下の変位の公式 \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直下向きを正の向きとします。ボールが落下する距離はビルの高さに等しいので、\(y = 19.6 \text{ m}\)です。鉛直方向の初速度は \(0\) なので、自由落下の公式が適用できます。地面に達するまでの時間を \(t\) [s] とすると、以下の式が成り立ちます。
$$ 19.6 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
この式を \(t\) について解きます。

立式した方程式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
19.6 &= 4.9 t^2 \\[2.0ex]t^2 &= \frac{19.6}{4.9} \\[2.0ex]t^2 &= 4.0
\end{aligned}
$$
\(t>0\) なので、
$$ t = 2.0 \text{ [s]} $$

ボールが横に飛ぶことと、下に落ちることは、別々に考えることができます。地面に着くまでの時間を知りたいので、ボールが下に落ちる運動だけを見ます。これは、高さ19.6mの場所からボールを静かに手放したとき（自由落下）と同じです。自由落下の公式に高さ \(y=19.6 \text{ m}\) を代入して、時間 \(t\) を計算します。

ボールが地面に達するまでの時間は \(2.0 \text{ s}\) です。計算結果は正の値であり、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
ボールが水平方向に飛んだ距離 \(L\) を求める問題です。水平方向には力が働かないため、ボールは初速度の大きさ \(14.7 \text{ m/s}\) のまま等速直線運動を続けます。地面に達するまでの時間は(1)で \(2.0 \text{ s}\) と求まっているので、この時間だけ等速で進んだ距離を計算します。
この設問における重要なポイント

• 水平方向の運動は、初速度のままの等速直線運動である。
• 「距離 = 速さ × 時間」の関係を利用する。
• 時間は、(1)で求めた落下時間 \(t = 2.0 \text{ s}\) を用いる。

具体的な解説と立式
水平方向の運動は、速さ \(v_x = 14.7 \text{ m/s}\) の等速直線運動です。この速さで \(t = 2.0 \text{ s}\) の間進むので、水平方向に飛んだ距離 \(L\) [m] は以下の式で計算できます。
$$ L = v_x \times t $$
値を代入して、
$$ L = 14.7 \times 2.0 $$

$$
\begin{aligned}
L &= 14.7 \times 2.0 \\[2.0ex]L &= 29.4
\end{aligned}
$$
問題で与えられた数値の有効数字は、\(19.6\) m (3桁)、\(14.7\) m/s (3桁)、重力加速度 \(g=9.8\) m/s² (2桁)です。計算結果は、最も少ない有効数字に合わせて2桁とするのが適切です。
$$ L \approx 29 \text{ [m]} $$

ボールは横方向には、ずっと同じ速さ \(14.7 \text{ m/s}\) でまっすぐ進みます。(1)で、ボールが空中にいる時間は \(2.0\) 秒だとわかりました。したがって、「速さ \(14.7 \text{ m/s}\) で \(2.0\) 秒間進んだら、距離は何mか？」という単純な計算をすればOKです。

水平方向に飛んだ距離は \(29.4 \text{ m}\) であり、有効数字2桁で \(29 \text{ m}\) となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
地面に達する直前のボールの「速さ」を求める問題です。この瞬間のボールの速度は、水平方向の成分と鉛直方向の成分を持っています。水平方向の速度成分 \(v_x\) は常に一定ですが、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) は \(2.0 \text{ s}\)間の自由落下によって増加しています。これら2つの成分をそれぞれ求め、三平方の定理を使って合成することで、全体の速さ \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 速度はベクトル量であり、水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) に分解して考える。
• 水平方向の速度 \(v_x\) は、初速度のままで一定である。
• 鉛直方向の速度 \(v_y\) は、自由落下の速度の公式 \(v_y = gt\) で計算する。
• 全体の速さ \(v\) は、三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) を用いて合成する。

具体的な解説と立式
地面に達する直前の速度の水平成分を \(v_x\)、鉛直成分を \(v_y\) とします。
水平成分は初速度のままなので、
$$ v_x = 14.7 \text{ [m/s]} $$
鉛直成分は、\(t=2.0 \text{ s}\) 後の自由落下の速さなので、
$$ v_y = gt = 9.8 \times 2.0 $$
これらの2つの成分は互いに直交しているので、合成後の速さ \(v\) は三平方の定理より、
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$
となります。

まず、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_y &= 9.8 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 19.6 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、水平成分 \(v_x = 14.7 \text{ m/s}\) と鉛直成分 \(v_y = 19.6 \text{ m/s}\) を合成して、速さ \(v\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(14.7)^2 + (19.6)^2}
\end{aligned}
$$
ここで、\(14.7 = 3 \times 4.9\)、\(19.6 = 4 \times 4.9\) という関係に気づくと、計算が簡単になります。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(3 \times 4.9)^2 + (4 \times 4.9)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{9 \times (4.9)^2 + 16 \times (4.9)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{(9+16) \times (4.9)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{25 \times (4.9)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{5^2 \times (4.9)^2} \\[2.0ex]&= 5 \times 4.9 \\[2.0ex]&= 24.5
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めると、
$$ v \approx 25 \text{ [m/s]} $$

地面にぶつかる瞬間のボールは、横向きの速さ（ずっと変わらない \(14.7 \text{ m/s}\)）と、下向きの速さ（\(2.0\) 秒間、重力で加速された結果の速さ）の両方を持っています。この斜め方向の全体の速さを求めるには、数学で習うピタゴラスの定理（三平方の定理）を使います。横向きの速さと下向きの速さをそれぞれ2乗して足し合わせ、その平方根をとれば、全体の速さが求まります。

地面に達する直前のボールの速さは \(24.5 \text{ m/s}\) であり、有効数字2桁で \(25 \text{ m/s}\) となります。この速さは、水平方向の初速度 \(14.7 \text{ m/s}\) よりも大きくなっており、鉛直方向に加速されたことを考えれば物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の独立性（運動の分解）:
  • 核心: 水平投射のような2次元の運動は、互いに影響を与えない「水平方向の運動」と「鉛直方向の運動」という2つの1次元運動に分解して考えることができる、という原理が最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないので「等速直線運動」(\(a_x=0\))。速度は常に一定 (\(v_x = v_0\))、位置は \(x = v_0 t\)。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くので「自由落下運動」(\(a_y=g\))。速度は \(v_y = gt\)、位置は \(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)。
    • この2つの運動は「時間 \(t\)」という共通のパラメータだけで結びついています。
• ベクトルの合成:
  • 核心: 速度や力などのベクトル量は、成分に分解して考えることができますが、最終的に全体の大きさを問われた場合は、各成分を正しく合成する必要があります。
  • 理解のポイント:
    • 水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) は直交しているため、その合成ベクトルである速度 \(v\) の大きさは、三平方の定理 \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) で求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 斜方投射: 初速度が斜め上向きや斜め下向きの投射運動。これも水平方向（等速直線運動）と鉛直方向（鉛直投げ上げ/投げ下ろし）に分解して考えます。鉛直方向の初速度が0でない点が水平投射との違いです。
  • 動く物体からの投射: 例えば、一定速度で水平に飛ぶ飛行機から物資を投下する問題。投下された物資の初速度は、飛行機の速度と同じになります。地上から見ると、これは水平投射と同じ運動になります。
  • 目標物に当てる問題: 特定の距離にある目標に当てるための初速度や角度を求める問題。水平方向の式から目標到達時間を \(t = L/v_{0x}\) のように文字で表し、それを鉛直方向の式に代入して解く、という手法が有効です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の設定: まず、水平方向（右向きを正など）と鉛直方向（下向きを正か、上向きを正か）の座標軸と原点を明確に設定します。水平投射では、投射点を原点、鉛直下向きを正とすると、全ての量が正になり計算ミスが減ります。
  2. 運動の分解を宣言: 頭の中で「水平方向は等速直線運動」「鉛直方向は自由落下」と明確に分離して考え、それぞれの運動で使う公式を書き出します。
  3. 時間 \(t\) を媒介変数として利用: 多くの問題では、一方の運動（例えば鉛直方向）から時間 \(t\) を求め、その \(t\) をもう一方の運動（水平方向）の計算に使う、という流れになります。時間 \(t\) が2つの運動をつなぐ架け橋であることを意識します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 水平方向と鉛直方向の運動の混同:
  • 誤解: 水平方向の運動にも重力加速度 \(g\) の影響があると考えてしまう。例えば、水平距離を求める際に \(L = v_0 t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) のような式を立ててしまう。
  • 対策: 問題を解き始める前に「水平：等速」「鉛直：自由落下」とノートに大きく書く。水平方向には加速度は \(0\)、鉛直方向には加速度は \(g\) であることを常に意識する。
• 速度の合成忘れ:
  • 誤解: (3)で地面に達する直前の速さを問われたときに、鉛直方向の速さ \(v_y = 19.6\) m/s だけを答えてしまう。
  • 対策: 「速さ」はスカラー量ですが、その元となる「速度」はベクトル量であることを意識する。水平投射の最終速度は必ず斜め方向を向いているので、水平と鉛直の両方の成分を合成する必要があると機械的に思い出す。
• 有効数字の処理ミス:
  • 誤解: (2)で \(14.7 \times 2.0 = 29.4\) [m] と計算してそのまま答えてしまう。
  • 対策: 計算に用いた数値の中で、最も有効数字の桁数が少ないものに合わせるというルールを徹底する。この問題では \(g=9.8\) m/s² (2桁) と \(t=2.0\) s (2桁) を使っているので、最終的な答えも2桁にするのが適切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 自由落下の変位の式 (\(y = \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (1)では「落下距離 \(y\)」が既知で、「時間 \(t\)」を求めたい。鉛直方向の運動（自由落下）において、この2つの量と定数 \(g\) を結びつける最も直接的な公式だからです。
  • 適用根拠: これは等加速度直線運動の変位の公式 \(y = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) において、初速度 \(v_0=0\)、加速度 \(a=g\) とした場合の特別な形です。
• 等速直線運動の距離の式 (\(x = v_0 t\)):
  • 選定理由: (2)では「水平方向の速さ \(v_0\)」が既知で、(1)で求めた「時間 \(t\)」を使って「水平距離 \(x\)」を求めたい。水平方向の運動（等速直線運動）において、これら3つの量を結びつける唯一の公式です。
  • 適用根拠: 加速度が0の運動では、単純に「距離＝速さ×時間」が成り立ちます。
• 速度の合成 (\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)):
  • 選定理由: (3)で求めたいのは、水平成分と鉛直成分を合わせた「全体の速さ」です。互いに直交する2つのベクトル成分から合成ベクトルの大きさを求めるには、三平方の定理を用いるのが数学的な定義だからです。
  • 適用根拠: 速度ベクトル \(\vec{v}\) が、直交する基底ベクトルを用いて \(\vec{v} = v_x \vec{i} + v_y \vec{j}\) と表されるとき、その大きさ \(|\vec{v}|\) は \(\sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) となります。これは2次元ベクトル空間におけるノルム（大きさ）の定義そのものです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の倍数に注目: (3)の計算のように、問題に出てくる数値は \(g=9.8\) やその半分の \(4.9\) の倍数になっていることが非常に多いです。\(14.7 = 3 \times 4.9\), \(19.6 = 4 \times 4.9\) のような関係に気づくと、三平方の定理の計算が \(3:4:5\) の直角三角形の辺の比の関係に帰着でき、複雑な平方根の計算を避けられます。
• 計算順序の工夫: (1)で \(t^2 = 19.6 / 4.9\) を計算する際、筆算しても良いですが、\(19.6 = 2 \times 9.8 = 2 \times 2 \times 4.9 = 4 \times 4.9\) と分解すると、\(t^2 = (4 \times 4.9) / 4.9 = 4\) と暗算で求めることも可能です。
• 単位を書き込む: 計算の途中式にも単位を書き込む癖をつけると、次元の異なる量を足し合わせるなどの根本的なミスを防げます。例えば、\(v = v_x + v_y\) のような間違い（ベクトルとスカラーの混同、単位の違う量の加算）に気づきやすくなります。

例題8 斜方投射

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「斜方投射運動の解析」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
斜め向きに打ち出されたボールの初速度を、今後の計算のために水平方向と鉛直方向の成分に分解する問題です。速度はベクトル量なので、三角比を用いて2つの直交する成分に分けることができます。仰角が \(30^\circ\) なので、水平成分には \(\cos 30^\circ\)、鉛直成分には \(\sin 30^\circ\) を使います。
この設問における重要なポイント

• 速度はベクトル量であり、水平成分と鉛直成分に分解して考える。
• 仰角 \(\theta\) が水平面となす角である場合、水平成分は \(v_0 \cos\theta\)、鉛直成分は \(v_0 \sin\theta\) となる。
• \(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) という三角比の値を正しく使う。

具体的な解説と立式
初速度の大きさを \(v_0 = 58.8\) m/s、仰角を \(\theta = 30^\circ\) とします。
初速度の水平成分を \(v_{0x}\) [m/s] とすると、
$$ v_{0x} = v_0 \cos\theta = 58.8 \cos 30^\circ $$
初速度の鉛直成分を \(v_{0y}\) [m/s] とすると、
$$ v_{0y} = v_0 \sin\theta = 58.8 \sin 30^\circ $$
これらの式に具体的な値を代入して計算します。

水平成分 \(v_{0x}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{0x} &= 58.8 \times \cos 30^\circ \\[2.0ex]&= 58.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= 29.4 \times \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として計算し、有効数字2桁に丸めます。
$$
\begin{aligned}
v_{0x} &\approx 29.4 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 50.862 \\[2.0ex]&\approx 51 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
鉛直成分 \(v_{0y}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
v_{0y} &= 58.8 \times \sin 30^\circ \\[2.0ex]&= 58.8 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 29.4
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めます。
$$ v_{0y} \approx 29 \text{ [m/s]} $$

斜め \(58.8\) m/s の速さを、「横方向の速さ」と「縦方向の速さ」に分解します。これは、直角三角形の斜辺の長さから、他の二辺の長さを求めるのと同じです。三角関数を使い、横方向はコサイン(\(\cos\)), 縦方向はサイン(\(\sin\))を掛けて計算します。

初速度の水平成分は約 \(51\) m/s、鉛直成分は約 \(29\) m/s となります。

問(2)

思考の道筋とポイント
ボールが最高点に達するまでの時間と、その高さを求める問題です。この問題は、鉛直方向の運動だけを考えれば解くことができます。鉛直方向の運動は、(1)で求めた初速度の鉛直成分 \(v_{0y}\) を持つ「鉛直投げ上げ運動」と全く同じです。最高点では、鉛直方向の速度 \(v_y\) が一瞬 \(0\) になるという条件が鍵となります。
この設問における重要なポイント

• 斜方投射の鉛直方向の運動は、鉛直投げ上げ運動とみなせる。
• 最高点では、鉛直方向の速度成分 \(v_y\) が \(0\) になる。
• 鉛直投げ上げの公式 \(v_y = v_{0y} – gt\) と \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) を利用する。

具体的な解説と立式
鉛直上向きを正とします。鉛直方向の初速度は(1)より \(v_{0y} = 29.4\) m/s です。

最高点に達するまでの時間を \(t\) [s] とします。最高点では \(v_y = 0\) となるので、速度の公式 \(v_y = v_{0y} – gt\) に値を代入します。
$$ 0 = 29.4 – 9.8t $$
この式を解くことで、時間が求まります。

次に、最高点の高さを \(y\) [m] とします。上で求めた時間 \(t\) を、変位の公式 \(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\) に代入します。
$$ y = 29.4 \times t – \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 $$
この式を計算することで、高さが求まります。

まず、最高点に達するまでの時間 \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 29.4 – 9.8t \\[2.0ex]9.8t &= 29.4 \\[2.0ex]t &= \frac{29.4}{9.8} \\[2.0ex]t &= 3.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
次に、この時間 \(t=3.0\) s を使って最高点の高さ \(y\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
y &= 29.4 \times 3.0 – \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3.0)^2 \\[2.0ex]&= 88.2 – 4.9 \times 9.0 \\[2.0ex]&= 88.2 – 44.1 \\[2.0ex]&= 44.1
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めます。
$$ y \approx 44 \text{ [m]} $$

ボールの縦の動きだけに着目します。これは、初速度 \(29.4\) m/s で真上にボールを投げた場合と同じです。
まず、ボールが一番高いところに着く時間を求めます。一番高いところでは、縦向きの速さが一瞬ゼロになるので、その条件を使って時間を計算します。
次に、その時間を使って、ボールがどれくらいの高さまで上がったかを計算します。

最高点に達するまでの時間は \(3.0\) s、最高点の高さは約 \(44\) m です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の分解（斜方投射）:
  • 核心: 水平投射と同様に、斜方投射も「水平方向の等速直線運動」と「鉛直方向の鉛直投げ上げ運動」という2つの単純な運動の組み合わせとして完全に記述できる、という原理が根幹にあります。
  • 理解のポイント:
    • 水平方向: 力が働かないので「等速直線運動」。速度は初速度の水平成分 \(v_{0x}\) のまま一定。
    • 鉛直方向: 重力のみが働くので「鉛直投げ上げ運動」。初速度は \(v_{0y}\) で、加速度は \(-g\)。
    • この問題では、まず初速度ベクトルをこの2方向に正しく分解することが第一歩となります。
• 最高点の物理的条件:
  • 核心: 物体が放物運動の最高点に達した瞬間、その速度の「鉛直成分」だけが \(0\) になります。
  • 理解のポイント:
    • 速度ベクトル全体が \(0\) になるわけではなく、水平方向には進み続けている点に注意が必要です。この \(v_y = 0\) という条件は、最高点までの時間や高さを計算する上で極めて重要な鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水平到達距離と最大到達高さ: 地面に再び落下するまでの時間（最高点到達時間の2倍）を求め、その時間を使って水平到達距離 \(R\) を計算する問題。
  • 特定の高さ・位置を通過する時刻: ある高さ \(y\) や水平位置 \(x\) を通過する時刻 \(t\) を求める問題。\(y\) や \(x\) の式が \(t\) の二次方程式になることがあります。
  • 最大到達距離を与える角度: 初速度の大きさが一定のとき、水平到達距離 \(R\) が最大になるのは仰角が \(45^\circ\) のときである、という有名な性質を導出または利用する問題。
  • 壁への衝突: 特定の距離にある壁に、いつ、どの高さで衝突するかを問う問題。水平方向の運動から壁に到達する時間を求め、その時間における鉛直方向の位置を計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 即座に速度を分解: 問題文で初速度の大きさと角度が与えられたら、何も考えずにまず水平成分 \(v_{0x}\) と鉛直成分 \(v_{0y}\) を計算し、値をメモします。これが全ての計算の出発点になります。
  2. 運動を完全に分離: 「水平方向」と「鉛直方向」の2つの欄を作り、それぞれの初速度、加速度、任意の時刻 \(t\) での速度と位置の式を書き出します。これにより思考が整理され、混同を防げます。
  3. 「最高点」という言葉に反応: 問題文に「最高点」とあれば、即座に「\(v_y = 0\) を使う」と連想します。これにより、最高点到達時間や高さを求める公式をスムーズに選択できます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 三角比の選択ミス:
  • 誤解: 水平成分を求めるときに \(\sin\theta\)、鉛直成分を求めるときに \(\cos\theta\) を使ってしまう。
  • 対策: 角度 \(\theta\) が水平線となす角であることを確認し、「角度を挟む辺がコサイン(\(\cos\))」と覚える。図を描いて、速度ベクトルの矢印と水平・鉛直成分で直角三角形を作り、三角比の定義（\(\cos\theta = \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}\)など）に立ち返って確認する習慣をつける。
• 最高点での速度の誤解:
  • 誤解: 最高点ではボールが一瞬完全に停止する、つまり速度が \(0\) になると考えてしまう。
  • 対策: 斜方投射の軌跡をイメージし、最高点でもボールは水平方向には進み続けていることを理解する。止まるのはあくまで「鉛直方向の速度成分 \(v_y\)」だけであることを徹底する。
• 計算過程での丸め誤差:
  • 誤解: (1)で求めた \(v_{0x} \approx 51\), \(v_{0y} \approx 29\) という丸めた値を、(2)の計算に使ってしまう。
  • 対策: 計算の途中では、できるだけ正確な値（この場合は \(v_{0x} = 29.4\sqrt{3}\), \(v_{0y} = 29.4\)）を用いる。最終的な答えを出す段階で、初めて有効数字のルールに従って丸める。これにより、計算途中の丸めによる誤差の拡大を防げます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• ベクトルの分解 (\(v_{0x} = v_0 \cos\theta\), \(v_{0y} = v_0 \sin\theta\)):
  • 選定理由: (1)で斜め向きの初速度を、後の計算で扱いやすい水平・鉛直の2方向の運動に分けるために必須の操作です。これは運動の分解という物理的要請と、ベクトルを成分表示するという数学的要請の両方を満たします。
  • 適用根拠: 速度ベクトル、水平軸、鉛直軸がなす直角三角形において、三角比の定義そのものです。
• 鉛直投げ上げの速度の式 (\(v_y = v_{0y} – gt\)):
  • 選定理由: (2)の時間計算では、「最高点」という条件から最終速度 \(v_y=0\) がわかり、初速度 \(v_{0y}\) も既知です。求めたいのは「時間 \(t\)」なので、これら3つの量を結びつけるこの公式が最適です。
  • 適用根拠: 鉛直方向の運動は、初速度 \(v_{0y}\) の等加速度直線運動であり、その速度が時間と共にどう変化するかを表す基本式です。
• 鉛直投げ上げの変位の式 (\(y = v_{0y}t – \displaystyle\frac{1}{2}gt^2\)):
  • 選定理由: (2)の高さ計算では、「初速度 \(v_{0y}\)」と、先ほど求めた「時間 \(t\)」がわかっています。求めたいのは「高さ（変位） \(y\)」なので、これらの量を結びつけるこの公式が適しています。
  • 適用根拠: 鉛直方向の等加速度直線運動において、時間と変位の関係を表す基本式です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(g=9.8\) の計算のコツ: \(9.8\) という数値は、\(29.4\) や \(58.8\) といった数値と相性が良いことが多いです。\(29.4 = 3 \times 9.8\), \(58.8 = 6 \times 9.8\) という関係に気づくと、(2)の時間計算 \(t = 29.4 / 9.8\) が \(3.0\) であると即座にわかります。問題作成者は計算が煩雑になりすぎないように数値を設定していることが多いので、このような倍数関係を疑うと計算が楽になります。
• 有効数字の意識: 問題文に「有効数字2桁で答えよ」と明記されている場合、計算の最終段階で必ずこの指示に従う。途中計算では多めの桁数（3桁や4桁、あるいは分数のまま）で計算を進め、最後に四捨五入する。
• 単位のチェック: 水平成分と鉛直成分を求めた後、どちらも単位が [m/s] になっているかを確認する。時間を求めたら [s]、高さを求めたら [m] になっているか、最終確認する癖をつける。

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