「センサー総合物理 3rd Edition」徹底解説！【Chapter 2】Step1 & 例題

Step1

① ベクトルとスカラー

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「スカラーとベクトルの分類」です。それぞれの物理量の定義に立ち返って考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
物理で扱う量は、その性質によって「スカラー量」と「ベクトル量」の2種類に大別されます。この問題では、与えられた6つの物理量がどちらに属するのかを、それぞれの言葉の定義に基づいて判断します。特に、日常では同じように使われがちな「長さ」と「変位」、「速さ」と「速度」のペアの違いを明確に意識することが重要です。

この設問における重要なポイント

• スカラー: 大きさのみで定まる量。例：質量、温度、エネルギー、仕事、時間など。足し算は単純な算数の和になる。
• ベクトル: 大きさと向きで定まる量。例：力、運動量、力積など。足し算は、平行四辺形の法則などに従うベクトル和となる。
• 「変位」は物体の位置の変化を示すベクトルです。「どこからどこへ」という向きの情報を含みます。
• 「速度」は単位時間あたりの変位であり、向きを持つベクトルです。「どちらの向きに」という情報を含みます。
• 「速さ」は速度の大きさを示すスカラーです。

具体的な解説と立式
この問題は計算式を立てるのではなく、各物理量の概念的な性質を吟味します。

1. 長さ: 2点間の距離や物体の大きさなど、「量」そのものを表し、向きの概念はありません。したがって、スカラーです。例えば、「机の長さが\(1\)\(\text{m}\)」と言えば十分で、「東向きに\(1\)\(\text{m}\)」といった向きは考えません。
2. 変位: 物体の位置の変化を表します。これには「どれだけ動いたか（大きさ）」だけでなく、「どちらの向きに動いたか（向き）」という情報が不可欠です。例えば、「東に\(3\)\(\text{m}\)移動した」のように表現されます。したがって、ベクトルです。
3. 速度: 単位時間あたりの位置の変化（変位）を表します。変位がベクトルであるため、それを時間（スカラー）で割った速度も向きを持つベクトルとなります。例えば、「北向きに秒速\(10\)\(\text{m}\)で進む」のように表現されます。
4. 速さ: 移動の「勢い」や「ペース」を示す量で、速度の大きさを指します。向きの情報は含みません。例えば、自動車のスピードメーターが示すのは「時速\(60\)\(\text{km}\)」といった速さであり、どの方向に進んでいるかは示しません。したがって、スカラーです。
5. 時間: 過去から未来へと一方向に流れますが、空間的な「向き」を持つわけではありません。時刻や時間間隔は大きさだけで決まる量です。したがって、スカラーです。
6. 加速度: 単位時間あたりの速度の変化を表します。速度がベクトルであるため、その変化量である加速度も向きを持つベクトルとなります。例えば、物体が減速している場合、加速度は速度と逆向きに働きます。

この問題には計算過程はありません。上記の「具体的な解説と立式」で述べた各物理量の性質の吟味そのものが解答プロセスとなります。

• 長さ → スカラー
• 変位 → ベクトル
• 速度 → ベクトル
• 速さ → スカラー
• 時間 → スカラー
• 加速度 → ベクトル

ある物理量がベクトルかどうかを見分けるには、「『向き』を言わないと意味が通じないか？」と考えてみると分かりやすいです。

• 「変位」：「\(3\)\(\text{m}\)動いた」だけでは、元の場所から見てどこにいるか分かりません。「東に\(3\)\(\text{m}\)」のように向きを言う必要があります。だからベクトルです。
• 「速度」：「時速\(50\)\(\text{km}\)で走っている」だけでは、どこに向かっているか分かりません。「北へ時速\(50\)\(\text{km}\)」のように向きを言う必要があります。だからベクトルです。
• 「加速度」：ブレーキをかけたとき、速度は前向きですが、速度を変化させる加速度は後ろ向きです。このように向きが重要なので、ベクトルです。
• 一方、「長さ」「速さ」「時間」は、向きを言わなくても意味が通じるのでスカラーです。

② 平均の速さ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平均の速さの計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、物理の基本である「速さ」の計算です。問われているのは「平均の速さ」であり、これは単純に「総移動距離」を「かかった総時間」で割ることで求められます。問題文で与えられている数値を公式に当てはめるだけのシンプルな計算ですが、物理の計算では有効数字の扱いに注意を払う習慣をつけることが大切です。

この設問における重要なポイント

• 平均の速さ \(\bar{v}\) は、移動した距離を \(x\)、その移動にかかった時間を \(t\) とすると、\(\bar{v} = \displaystyle\frac{x}{t}\) という式で定義されます。
• この問題では、移動距離が \(50 \, \text{m}\)、経過時間が \(10 \, \text{s}\) です。
• 有効数字：問題文の「\(50\)\(\text{m}\)」「\(10\)\(\text{s}\)」は、どちらも有効数字2桁と解釈できます。したがって、計算結果も有効数字2桁で答えるのが適切です。

具体的な解説と立式
問題文から、移動距離 \(x = 50 \, \text{m}\)、経過時間 \(t = 10 \, \text{s}\) であることがわかります。
求める平均の速さを \(\bar{v}\) \([\text{m/s}]\) とします。
平均の速さは「移動距離 ÷ 経過時間」で計算できるので、以下の式を立てます。
$$ \bar{v} = \frac{x}{t} $$
この式に、問題文の数値を代入して計算します。

「具体的な解説と立式」で立てた式に、\(x = 50\)、\(t = 10\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\bar{v} &= \frac{50}{10} \\[2.0ex]&= 5.0
\end{aligned}
$$
したがって、平均の速さは \(5.0 \, \text{m/s}\) となります。
計算結果は \(5\) ですが、有効数字を2桁で表現するために \(5.0\) と表記します。

この計算は、小学校で習う「速さ＝道のり÷時間」と全く同じです。
\(50\)\(\text{m}\) の道のりを \(10\) 秒で進んだので、\(1\)秒あたりに進んだ距離は、\(50 \div 10 = 5\)\(\text{m}\) となります。つまり、秒速\(5\)\(\text{m}\)です。
物理のテストでは、答えの書き方も大切です。問題文の「\(50\)」や「\(10\)」は2桁の数字なので、答えも「\(5\)」ではなく「\(5.0\)」と2桁で書くのがより正確な答え方になります。

③ 平均の速さ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平均の速さの計算と単位変換」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、平均の速さを計算し、さらにその単位を変換するという2つのステップで構成されています。前半は「速さ = 距離 ÷ 時間」という基本的な公式で時速(km/h)を求めます。後半の単位変換がこの問題の重要なポイントです。「1km = 1000m」と「1時間 = 3600秒」という関係を正しく理解し、計算に適用する必要があります。また、問題文で与えられた数値「\(36\)\(\text{km}\)」と「\(2.0\)\(\text{h}\)」は、どちらも有効数字が2桁であるため、最終的な答えも有効数字2桁で表現することが求められます。

この設問における重要なポイント

• 平均の速さ \(\bar{v}\) は、移動距離を \(x\)、経過時間を \(t\) とすると、\(\bar{v} = \displaystyle\frac{x}{t}\) で計算できます。
• 単位変換の基本関係式は以下の通りです。
  • \(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\)
  • \(1 \, \text{h} = 60 \, \text{min} = 3600 \, \text{s}\)
• 上記の基本関係から、時速(km/h)と秒速(m/s)の変換は、\(1 \, \text{km/h} = \displaystyle\frac{1000 \, \text{m}}{3600 \, \text{s}} = \displaystyle\frac{1}{3.6} \, \text{m/s}\) となります。この「3.6」という数字は頻繁に使うので覚えておくと便利です。

具体的な解説と立式
この問題は2つの問いに分かれています。

1. 平均の速さを \(\text{km/h}\) で求める。
2. その結果を \(\text{m/s}\) に変換する。

まず、1. の時速を求めます。
移動距離 \(x = 36 \, \text{km}\)、経過時間 \(t = 2.0 \, \text{h}\) です。
求める平均の速さを \(\bar{v}_{\text{km/h}}\) とすると、以下の式が立てられます。
$$ \bar{v}_{\text{km/h}} = \frac{x}{t} \quad \cdots ① $$
次に、2. の単位変換を行います。
1. で求めた \(\bar{v}_{\text{km/h}}\) を秒速 \(\bar{v}_{\text{m/s}}\) に変換します。
\(1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\) と \(1 \, \text{h} = 3600 \, \text{s}\) の関係を使って、次のように立式します。
$$ \bar{v}_{\text{m/s}} = \bar{v}_{\text{km/h}} \times \frac{1000}{3600} \quad \cdots ② $$

まず、式①を用いて時速を計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{v}_{\text{km/h}} &= \frac{36}{2.0} \\[2.0ex]&= 18
\end{aligned}
$$
したがって、平均の速さは \(18 \, \text{km/h}\) です。

次に、この結果を式②に代入して秒速に変換します。
$$
\begin{aligned}
\bar{v}_{\text{m/s}} &= 18 \times \frac{1000}{3600} \\[2.0ex]&= 18 \times \frac{1}{3.6} \\[2.0ex]&= 5.0
\end{aligned}
$$
したがって、秒速では \(5.0 \, \text{m/s}\) となります。有効数字2桁で答えます。

この問題は2段階で考えます。
ステップ1：時速を計算する
「\(36\)\(\text{km}\)の距離を\(2.0\)時間で走った」ので、1時間あたりに進む距離は、単純な割り算で \(36 \div 2.0 = 18\)\(\text{km}\) です。つまり、時速\(18\)\(\text{km/h}\)です。

ステップ2：時速を秒速に直す
「時速\(18\)\(\text{km}\)」とは、「1時間（\(3600\)秒）で\(18\)\(\text{km}\)（\(18000\)\(\text{m}\)）進む」という意味です。
これを1秒あたりに進む距離に直すには、\(18000\)\(\text{m}\) を \(3600\)秒で割ればよいので、\(18000 \div 3600 = 5\)。つまり、秒速\(5\)\(\text{m/s}\)です。
問題文の数字が「\(36\)」と「\(2.0\)」で2桁なので、答えも「\(18\)\(\text{km/h}\)」と「\(5.0\)\(\text{m/s}\)」のように2桁で書くのが丁寧な答え方です。

④ 平均の速度・加速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平面上を動く物体の平均の速度と平均の加速度」です。向きを持つ量を、矢印をイメージしながら計算することが重要です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント（平均の速度）
まず、平均の速度を求めます。「平均の速度」は、「向き」と「大きさ」の2つの情報で表される量です。その定義は「位置の変化（変位） ÷ かかった時間」です。この定義から、平均の速度の「向き」は、位置の変化の向き（スタート地点Aからゴール地点Bへまっすぐ向かう向き）と全く同じになります。そして、平均の速度の「大きさ」は、位置の変化の大きさ（AからBまでの直線距離）を、かかった時間で割ることで計算できます。

この設問における重要なポイント（平均の速度）

• 「速さ」ではなく「速度」を問われているため、大きさと向きの両方を答える必要があります。
• 位置の変化の向きは、図から「AからBへ向かう向き」です。
• 位置の変化の大きさ（AからBの直線距離）は、図から \(3.6 \, \text{m}\) と与えられています。
• かかった時間は \(2.0 \, \text{s}\) です。

具体的な解説と立式（平均の速度）
求める平均の速度は、「向き」と「大きさ」に分けて考えます。

• 向き：物体の位置は点Aから点Bに変化したので、平均の速度の向きは「AからBに向かう向き」となります。
• 大きさ：平均の速度の大きさは、AからBまでの直線距離をかかった時間で割ることで求められます。
  $$ (\text{平均の速度の大きさ}) = \frac{\text{AからBまでの距離}}{\text{かかった時間}} $$
  問題文より、AからBまでの距離は \(3.6 \, \text{m}\)、かかった時間は \(2.0 \, \text{s}\) なので、大きさは以下の式で計算できます。
  $$ (\text{平均の速度の大きさ}) = \frac{3.6}{2.0} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
(\text{平均の速度の大きさ}) &= \frac{3.6}{2.0} \\[2.0ex]&= 1.8
\end{aligned}
$$
したがって、平均の速度は「AからBの向きに \(1.8 \, \text{m/s}\)」となります。

「平均の速度」とは、途中の曲がり角などをすべて無視して、「結局、全体として1秒あたりにどの向きへどれだけ移動したか」を表す量です。

• 向き：スタート地点のAから、ゴール地点のBをまっすぐ指し示す向きです。
• 大きさ：AからBまでの直線距離 \(3.6 \, \text{m}\) を、かかった時間 \(2.0 \, \text{s}\) で割ります。計算すると \(3.6 \div 2.0 = 1.8\) となるので、大きさは \(1.8 \, \text{m/s}\) です。

思考の道筋とポイント（平均の加速度）
次に、平均の加速度を求めます。「平均の加速度」も「向き」と「大きさ」を持つ量で、その定義は「速度の変化 ÷ かかった時間」です。この問題で最も重要なのは、「速度の変化」を正しく求めることです。「速度の変化」は、「後の速度」から「前の速度」を引き算して求めます。向きを持つ量の引き算は、矢印を使って考えます。「A – B」という矢印の引き算は、「A + (-B)」という足し算と同じです。つまり、「前の速度」の矢印をひっくり返したものと、「後の速度」の矢印を足し合わせることで、「速度の変化」の矢印を作ることができます。

この設問における重要なポイント（平均の加速度）

• 平均の加速度は、「速度がどのように変化したか」を表す量です。
• 「速度の変化」の計算が鍵となります。速度の変化 = 後の速度 – 前の速度。
• 前の速度は「北向きに \(2.0 \, \text{m/s}\)」、後の速度は「東向きに \(2.0 \, \text{m/s}\)」です。
• 「前の速度」の引き算は、向きを逆にした「南向きに \(2.0 \, \text{m/s}\)」の速度を足すことと同じです。
• したがって、「速度の変化」は、「東向きに \(2.0 \, \text{m/s}\)」の矢印と「南向きに \(2.0 \, \text{m/s}\)」の矢印を合成（足し算）することで求められます。
• 東向きと南向きの矢印を合成すると、出来上がる矢印は「南東向き」になります。
• この合成した矢印の大きさは、三平方の定理を使って計算します。

具体的な解説と立式（平均の加速度）
求める平均の加速度も、「向き」と「大きさ」に分けて考えます。

• 向き：まず「速度の変化」の向きを考えます。
  速度の変化 = (後の速度) – (前の速度)
  = (東向き \(2.0 \, \text{m/s}\)) – (北向き \(2.0 \, \text{m/s}\))
  = (東向き \(2.0 \, \text{m/s}\)) + (南向き \(2.0 \, \text{m/s}\))
  東向きの矢印と南向きの矢印を合成すると、ちょうど「南東向き」の矢印ができます。これが平均の加速度の向きです。
• 大きさ：まず「速度の変化」の大きさを求めます。これは、直角をはさむ2辺の長さがそれぞれ \(2.0\) の直角二等辺三角形の、斜辺の長さを求める計算になります。三平方の定理を使います。
  $$ (\text{速度の変化の大きさ}) = \sqrt{(2.0)^2 + (2.0)^2} \quad \cdots ① $$
  次に、この「速度の変化の大きさ」を、かかった時間 \(2.0 \, \text{s}\) で割って、平均の加速度の大きさを求めます。
  $$ (\text{平均の加速度の大きさ}) = \frac{\text{①で求めた速度の変化の大きさ}}{2.0} \quad \cdots ② $$

まず、式①を用いて速度の変化の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
(\text{速度の変化の大きさ}) &= \sqrt{(2.0)^2 + (2.0)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{4.0 + 4.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{8.0} \\[2.0ex]&= 2.0\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
次に、式②にこの結果を代入して、平均の加速度の大きさを計算します。
$$
\begin{aligned}
(\text{平均の加速度の大きさ}) &= \frac{2.0\sqrt{2}}{2.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{2}
\end{aligned}
$$
問題文の指示に従い、\(\sqrt{2} \approx 1.41\) を使い、有効数字2桁で答えます。
$$ (\text{平均の加速度の大きさ}) \approx 1.4 \, [\text{m/s}^2] $$
したがって、平均の加速度は「南東の向きに \(1.4 \, \text{m/s}^2\)」となります。

「平均の加速度」とは、「結局、全体として1秒あたりに速度がどの向きへどれだけ変化したか」を表す量です。

• 向き：速度の変化の向きを考えます。速度は「北向き」から「東向き」に変わりました。この変化は、矢印で考えると「南東」方向への変化になります。（北向きの矢印をひっくり返した南向きの矢印と、東向きの矢印を足し合わせるイメージです。）
• 大きさ：まず、速度がどれだけ変化したか、その変化の大きさを計算します。これは、タテ・ヨコの長さがどちらも \(2.0\) の直角三角形の斜辺の長さを求めるのと同じです。三平方の定理から、変化の大きさは \(2.0\sqrt{2}\) となります。この速度の変化が \(2.0\) 秒の間に起きたので、1秒あたりの変化に直すために \(2.0\) で割ります。\(2.0\sqrt{2} \div 2.0 = \sqrt{2}\) となります。\(\sqrt{2}\) はおよそ \(1.41\) なので、答えは \(1.4 \, \text{m/s}^2\) となります。

⑤ 速度の分解

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の分解」です。斜め方向の運動を、水平方向と鉛直方向の2つの独立した運動に分けて考えるための基本的な計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
斜め方向に進む物体の運動は、そのままでは扱いにくいことが多いです。そこで、この斜めの動きを、水平方向（x軸方向）と鉛直方向（y軸方向）という、互いに直角な2方向の動きに分解して考えます。これが「速度の分解」です。これは、斜め向きの力を水平な力と鉛直な力に分解する「力の分解」と全く同じ考え方です。
具体的には、速度の矢印の先端からx軸とy軸に垂線を下ろし、速度の矢印を斜辺とする長方形（今回はその一部である直角三角形）を考えます。このとき、x軸上の辺の長さが速度の「x成分」、y軸上の辺の長さが速度の「y成分」に相当します。

この設問における重要なポイント

• 速度の分解：斜めの速度の大きさを \(v\)、その速度がx軸となす角を \(\theta\) とすると、x成分の大きさ \(v_x\) とy成分の大きさ \(v_y\) は、以下の式で求められます。
  • x成分: \(v_x = v \times \cos\theta\)
  • y成分: \(v_y = v \times \sin\theta\)
• \(30^\circ\) の角を持つ直角三角形では、辺の比が「高さ：斜辺：底辺」= \(1:2:\sqrt{3}\) となります。この関係を知っていると、三角比の値を思い出さなくても計算できます。
• 問題で与えられている速度の大きさが \(2.0 \, \text{m/s}\) と有効数字2桁なので、計算結果も有効数字2桁で答える必要があります。

具体的な解説と立式
物体の速度の大きさを \(v = 2.0 \, \text{m/s}\)、速度の向きがx軸の正の向きとなす角を \(\theta = 30^\circ\) とします。
この速度のx成分の大きさを \(v_x\)、y成分の大きさを \(v_y\) とします。
速度の矢印を斜辺とする直角三角形を考えると、x成分 \(v_x\) はその三角形の底辺の長さに、y成分 \(v_y\) は高さに相当します。
三角比の定義を用いると、それぞれの成分は以下のように立式できます。
$$ v_x = v \times \cos\theta $$
$$ v_y = v \times \sin\theta $$
これに具体的な数値を代入すると、以下のようになります。
$$ v_x = 2.0 \times \cos 30^\circ \quad \cdots ① $$
$$ v_y = 2.0 \times \sin 30^\circ \quad \cdots ② $$

式①と②を、\(\cos 30^\circ = \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\sin 30^\circ = \displaystyle\frac{1}{2}\) を用いて計算します。

x成分の計算（式①より）:
$$
\begin{aligned}
v_x &= 2.0 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\[2.0ex]&= \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
ここで、\(\sqrt{3} \approx 1.732…\) であり、問題の有効数字は2桁なので、\(v_x \approx 1.7 \, \text{[m/s]}\) となります。

y成分の計算（式②より）:
$$
\begin{aligned}
v_y &= 2.0 \times \frac{1}{2} \\[2.0ex]&= 1.0
\end{aligned}
$$
こちらは計算結果がちょうど \(1\) ですが、有効数字2桁で答えるため、\(v_y = 1.0 \, \text{[m/s]}\) と表記します。

斜め \(30^\circ\) の方向に進む速さ \(2.0 \, \text{m/s}\) を、「ヨコ方向（x方向）にどれくらいの速さか」と「タテ方向（y方向）にどれくらいの速さか」の2つに分解して考えます。
速度の矢印を斜辺とする直角三角形を描くと、角度が \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) の特別な三角形ができます。この三角形は、辺の長さの比が「一番短い辺（高さ）：一番長い辺（斜辺）：中くらいの辺（底辺）」＝「\(1:2:\sqrt{3}\)」になるという性質があります。
今、一番長い辺（斜辺）の長さが \(2.0 \, \text{m/s}\) にあたります。この比を使うと、

• タテ方向の速さ（y成分）は、斜辺の \(\displaystyle\frac{1}{2}\) なので、\(2.0 \times \displaystyle\frac{1}{2} = 1.0 \, \text{m/s}\)。
• ヨコ方向の速さ（x成分）は、斜辺の \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) 倍なので、\(2.0 \times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \approx 1.7 \, \text{m/s}\)。

と計算できます。

⑥ 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」で、特に流水中の物体の運動を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント（川上に向かって泳ぐとき）
まず、「川上に向かって泳ぐとき」の速さを考えます。岸から見たときの人の速さは、人が自力で泳いで進む速さと、川の流れによって押し戻される速さの合成によって決まります。この場合、人が進もうとする向き（川上）と川が流れる向き（川下）はちょうど真逆です。したがって、岸から見た速さは、人の速さから川の速さを単純に引き算することで求められます。

この設問における重要なポイント（川上に向かって泳ぐとき）

• 岸から見た速さ = 静水での速さ – 川の流速
• 向きが反対の速度を合成する場合、その大きさは2つの速さの大きさの差になります。
• 人が泳ぐ速さは \(1.6 \, \text{m/s}\)、川の流速は \(1.2 \, \text{m/s}\) です。

具体的な解説と立式（川上に向かって泳ぐとき）
岸から見たときの、川上に向かって泳ぐ人の速さを \(v_1\) \([\text{m/s}]\) とします。
川上へ進む向きを正とすると、人が泳ぐ速さは \(+1.6 \, \text{m/s}\) です。一方、川の流れは川下へ向かうので、その速さは \(-1.2 \, \text{m/s}\) と考えることができます。
岸から見た速さ \(v_1\) は、この2つの速度を足し合わせる（合成する）ことで求められます。
$$ v_1 = 1.6 + (-1.2) $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= 1.6 – 1.2 \\[2.0ex]&= 0.4
\end{aligned}
$$
したがって、川上に向かって泳ぐときの岸に対する速さは \(0.4 \, \text{m/s}\) となります。

動く歩道を逆向きに歩く状況を想像すると分かりやすいです。自分が \(1.6 \, \text{m/s}\) の速さで前に進もうとしても、川の流れが \(1.2 \, \text{m/s}\) の速さで後ろに押し戻してきます。その結果、岸に立っている人から見ると、差し引き \(1.6 – 1.2 = 0.4 \, \text{m/s}\) の速さで、ゆっくりと川上へ進んでいるように見えます。

思考の道筋とポイント（川の流れに垂直に泳ぐとき）
次に、「川の流れに対して垂直な向きに泳ぐとき」の速さを考えます。この場合も、岸から見た速さは、人が泳ぐ速さと川の流れの速さの合成で決まります。人は川岸に対して垂直に（川をまっすぐ横切るように）泳ごうとしますが、同時に川の流れによって下流に流されます。その結果、岸から見ている人には、人は斜め下流に向かって進んでいるように見えます。この斜め方向の速さを求めることが目標です。

この設問における重要なポイント（川の流れに垂直に泳ぐとき）

• 岸から見た速度は、人が泳ぐ速度（川を横切る方向）と川の流れの速度（下流方向）を合成した速度になります。
• この2つの速度の向きは互いに直角です。
• 互いに直角な2つの速度を合成した後の速さ（大きさ）は、三平方の定理を使って計算できます。

具体的な解説と立式（川の流れに垂直に泳ぐとき）
岸から見たときの、川の流れに垂直に泳ぐ人の速さを \(v_2\) \([\text{m/s}]\) とします。
このとき、人の動きは「川を横切る方向の速さ \(1.6 \, \text{m/s}\)」と「川の流れの方向の速さ \(1.2 \, \text{m/s}\)」の2つの成分に分けられます。この2つの方向は互いに直角です。
岸から見た速さ \(v_2\) は、この2つの速度を合成したものであり、その大きさは、2つの速度の大きさを辺とする直角三角形の斜辺の長さに相当します。
したがって、三平方の定理を用いて次のように立式できます。
$$ v_2 = \sqrt{(1.6)^2 + (1.2)^2} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \sqrt{(1.6)^2 + (1.2)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{2.56 + 1.44} \\[2.0ex]&= \sqrt{4.00} \\[2.0ex]&= 2.0
\end{aligned}
$$
したがって、川の流れに垂直に泳ぐときの岸に対する速さは \(2.0 \, \text{m/s}\) となります。

川をまっすぐ向こう岸に向かって泳ごうとしても、川が流れているので、実際にはどんどん下流に流されてしまいます。岸から見ると、この「前に進む動き」と「横に流される動き」が合わさって、斜めに進んでいるように見えます。
この斜めの速さを求めるのは、数学で習う三平方の定理を使うのと同じです。

• タテ方向の速さが \(1.6\)
• ヨコ方向の速さが \(1.2\)

この2つを辺とする直角三角形の斜辺の長さを求めます。
\(\sqrt{(1.6)^2 + (1.2)^2} = \sqrt{2.56 + 1.44} = \sqrt{4} = 2\)
よって、岸から見た速さは \(2.0 \, \text{m/s}\) となります。
（ちなみに、\(1.2\) と \(1.6\) は、\(1.2 = 3 \times 0.4\)、\(1.6 = 4 \times 0.4\) なので、これは辺の比が「3:4:5」の有名な直角三角形です。なので、斜辺の速さは \(5 \times 0.4 = 2.0 \, \text{m/s}\) と暗算することもできます。）

⑦ 速度の合成・分解

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」です。互いに直角な2つの速度成分から、元の速度の大きさ（速さ）を求める計算です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、以前に学んだ「速度の分解」とは逆の操作である「速度の合成」を行います。水平方向（x成分）と鉛直方向（y成分）の2つの動きが合わさって、斜め方向の1つの動き（元の速度）になっていると考えます。
x成分とy成分は互いに直角なので、これらを2辺とする直角三角形を考えることができます。求めたい「速さ」は、この直角三角形の斜辺の長さに等しくなります。したがって、この問題は数学で学ぶ三平方の定理を使って解くことができます。

この設問における重要なポイント

• 速度のx成分の大きさを \(v_x\)、y成分の大きさを \(v_y\) とすると、元の速度の大きさ（速さ） \(v\) は、三平方の定理を用いて \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) で計算できます。
• この問題では、\(v_x = 3.0 \, \text{m/s}\)、\(v_y = 4.0 \, \text{m/s}\) が与えられています。
• 辺の比が「3:4:5」の直角三角形は非常に有名で、物理の問題でも頻繁に登場します。これを知っていると、計算を瞬時に行うことができます。

具体的な解説と立式
物体の速度のx成分の大きさを \(v_x = 3.0 \, \text{m/s}\)、y成分の大きさを \(v_y = 4.0 \, \text{m/s}\) とします。
求める速さを \(v\) \([\text{m/s}]\) とします。
図のように、速度のx成分とy成分は互いに直角です。したがって、元の速さ \(v\) は、\(v_x\) と \(v_y\) を2辺とする直角三角形の斜辺の長さに相当します。
三平方の定理より、以下の式を立てることができます。
$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式に、\(v_x = 3.0\)、\(v_y = 4.0\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{(3.0)^2 + (4.0)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{9.0 + 16.0} \\[2.0ex]&= \sqrt{25.0} \\[2.0ex]&= 5.0
\end{aligned}
$$
したがって、物体の速さは \(5.0 \, \text{m/s}\) となります。

この問題は、「ヨコ方向の速さが \(3.0 \, \text{m/s}\)」「タテ方向の速さが \(4.0 \, \text{m/s}\)」という2つの動きが合わさったとき、実際の斜め方向の速さはいくつになるか？という問いです。
これは、数学で習う三平方の定理を使って解くことができます。底辺が3で高さが4の直角三角形の、斜辺の長さを求めるのと同じです。
計算すると、\(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) となります。
また、「3:4:5」は直角三角形の辺の比として非常に有名なので、「底辺が3、高さが4なら、斜辺は5だ！」とすぐに分かると、計算がとても速くなります。
問題で与えられた数字が「3.0」「4.0」と小数点以下1桁まで書かれている（有効数字2桁）ので、答えも「5」ではなく「5.0」と書くのが丁寧な答え方です。

⑧ 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度」です。動いている観測者から見た、別の動いている物体の速度を求める問題です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント（北向きに走る自動車から見る場合）
まず、「北向きに速さ\(20\)\(\text{m/s}\)で走っている自動車」から見た電車の速さを考えます。相対速度の基本は「相手の速度 – 自分の速度」です。この場合、相手は電車、自分は自動車です。電車も自動車も同じ北向きに進んでいるため、これは一直線上の運動として考えることができます。自分が乗っている自動車の方が電車より速いので、自分から見ると電車は後ろ向き（南向き）に遠ざかっていくように見えます。その速さを計算します。

この設問における重要なポイント（北向きに走る自動車から見る場合）

• 相対速度 = 相手の速度 – 自分の速度
• 同じ向きに進んでいる場合、相対的な速さは、2つの速さの大きさの差になります。
• 相手（電車）の速度：北向きに \(15 \, \text{m/s}\)
• 自分（自動車）の速度：北向きに \(20 \, \text{m/s}\)

具体的な解説と立式（北向きに走る自動車から見る場合）
自動車に乗っている人から見た電車の速さを \(v_1\) \([\text{m/s}]\) とします。
北向きを正の向きとすると、電車の速度は \(+15 \, \text{m/s}\)、自動車の速度は \(+20 \, \text{m/s}\) となります。
相対速度は「相手の速度 – 自分の速度」で計算できるので、
$$ (\text{相対速度}) = 15 – 20 = -5 \, \text{[m/s]} $$
この計算結果のマイナスは、向きが南向き（自分が進む向きと逆向き）であることを示しています。問題で問われているのは「速さ」なので、この速度の大きさ（絶対値）を答えます。
$$ v_1 = |15 – 20| $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_1 &= |15 – 20| \\[2.0ex]&= |-5| \\[2.0ex]&= 5
\end{aligned}
$$
したがって、北向きに走る自動車から見た電車の速さは \(5 \, \text{m/s}\) となります。

高速道路で、自分が時速100kmの車に乗っていて、隣の車線を時速90kmの車が走っている状況を想像してみてください。自分から見ると、隣の車はゆっくりと後ろに下がっていくように見えます。その速さは、時速 \(100 – 90 = 10\)\(\text{km}\) ではなく、\(90 – 100 = -10\)\(\text{km}\) と計算され、「後ろ向きに時速10km」となります。
この問題も同じで、自分が \(20 \, \text{m/s}\) で北に進み、相手の電車は \(15 \, \text{m/s}\) で北に進んでいます。自分から見ると、電車は \(15 – 20 = -5 \, \text{m/s}\) の速度、つまり「南向きに \(5 \, \text{m/s}\)」の速さで遠ざかっていくように見えます。

思考の道筋とポイント（東向きに走る自動車から見る場合）
次に、「東向きに速さ\(20\)\(\text{m/s}\)で走っている自動車」から見た電車の速さを考えます。この場合も、相対速度の基本「相手の速度 – 自分の速度」は同じです。しかし、今回は相手（電車）が北向き、自分（自動車）が東向きと、進む方向が互いに直角です。このような場合、「自分の速度を引く」という計算は、矢印を使って考えます。「自分の速度（東向き）」を引くことは、「逆向きの速度（西向き）」を足すことと同じです。したがって、自動車から見た電車の動きは、「電車本来の動き（北向き）」と「自分が動くことによる見かけの動き（西向き）」が合わさったものになります。

この設問における重要なポイント（東向きに走る自動車から見る場合）

• 相手（電車）の速度：北向きに \(15 \, \text{m/s}\)
• 自分（自動車）の速度：東向きに \(20 \, \text{m/s}\)
• 相対速度は、「北向き \(15 \, \text{m/s}\)」と「西向き \(20 \, \text{m/s}\)」の2つの速度を合成したものになります。
• 北向きと西向きは互いに直角なので、合成後の速さ（大きさ）は三平方の定理で計算できます。

具体的な解説と立式（東向きに走る自動車から見る場合）
東向きに走る自動車に乗っている人から見た電車の速さを \(v_2\) \([\text{m/s}]\) とします。
この人から見た電車の速度は、「電車の北向きの速度」と、「自動車が東へ動くことによって生じる見かけ上の西向きの速度」の合成として考えられます。

• 北向きの速度成分：\(15 \, \text{m/s}\)
• 西向きの速度成分：\(20 \, \text{m/s}\)

この2つの速度成分は互いに直角なので、合成後の速さ \(v_2\) は、この2つの成分を辺とする直角三角形の斜辺の長さに相当します。三平方の定理より、
$$ v_2 = \sqrt{(15)^2 + (20)^2} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_2 &= \sqrt{(15)^2 + (20)^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{225 + 400} \\[2.0ex]&= \sqrt{625} \\[2.0ex]&= 25
\end{aligned}
$$
したがって、東向きに走る自動車から見た電車の速さは \(25 \, \text{m/s}\) となります。

自分が自動車に乗って東にまっすぐ進んでいると、周りの静止している景色はすべて西向きに動いて見えます。このとき、北に進んでいる電車は、自分から見ると「本来の北向きの動き」に加えて「見かけ上の西向きの動き」もしているように見えます。
つまり、観測者から見た電車の動きは、

• タテ方向（北向き）の速さ：\(15 \, \text{m/s}\)
• ヨコ方向（西向き）の速さ：\(20 \, \text{m/s}\)

という2つの動きが合わさった、斜め方向の動きになります。この斜め方向の速さは、三平方の定理で計算できます。
\(\sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25\)。
（ちなみに、これは辺の比が「3:4:5」の直角三角形の応用です。\(15 = 3 \times 5\)、\(20 = 4 \times 5\) なので、斜辺は \(5 \times 5 = 25\) と暗算することもできます。）

⑨ 等速直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等速直線運動の計算」です。一定の速さで直線上を動く物体の位置と時刻の関係を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント（点Aを通過する時刻）
まず、物体が点A（位置 \(x=7.2 \, \text{m}\)）を通過する時刻を求めます。これは等速直線運動なので、「（移動距離）＝（速さ）×（時間）」という単純な関係が成り立ちます。物理の公式としては \(x = x_0 + vt\) を使います。ここで \(x\) は時刻 \(t\) での位置、\(x_0\) は時刻 \(0\) での位置（初期位置）、\(v\) は速度です。問題文の情報をこの式に当てはめて、未知の量である時間 \(t\) を求めます。

この設問における重要なポイント（点Aを通過する時刻）

• 等速直線運動の公式は \(x = x_0 + vt\) です。これは「時刻 \(t\) の位置 \(x\) は、初期位置 \(x_0\) から、速さ \(v\) で \(t\) 秒間進んだ場所にある」という意味です。
• 問題文より、時刻 \(t=0\) のときに原点Oを通過しているので、初期位置は \(x_0 = 0\) です。
• 物体の速さは一定で \(v = 1.2 \, \text{m/s}\) です。
• 求めたいのは、位置 \(x = 7.2 \, \text{m}\) に到達するときの時刻 \(t\) です。

具体的な解説と立式（点Aを通過する時刻）
求める時刻を \(t\) \([\text{s}]\) とします。
等速直線運動の公式 \(x = x_0 + vt\) に、問題文から読み取れる値を代入します。

• 最終的な位置: \(x = 7.2 \, \text{m}\)
• 初期位置: \(x_0 = 0 \, \text{m}\) （時刻 \(t=0\) で原点を通過）
• 速さ: \(v = 1.2 \, \text{m/s}\)

これらの値を公式に入れると、以下の方程式が立てられます。
$$ 7.2 = 0 + 1.2 \times t $$

「具体的な解説と立式」で立てた方程式を \(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
7.2 &= 1.2t \\[2.0ex]t &= \frac{7.2}{1.2} \\[2.0ex]&= 6.0
\end{aligned}
$$
したがって、点Aを通過する時刻は \(6.0 \, \text{s}\) 後となります。

これは小学校で習う「時間＝距離÷速さ」の計算と同じです。
原点から \(7.2 \, \text{m}\) の距離を、秒速 \(1.2 \, \text{m/s}\) で進むのにかかる時間を求めます。
計算は \(7.2 \div 1.2 = 6\) となります。
問題文の数値が \(1.2\) や \(7.2\) のように有効数字2桁で与えられているので、答えも \(6.0 \, \text{s}\) と書くのが適切です。

思考の道筋とポイント（点Aから2.0s後の位置）
次に、「点Aを通過してから \(2.0 \, \text{s}\) 後に通過する位置」を求めます。これも等速直線運動なので、同じく公式 \(x = x_0 + vt\) を使います。この問いで重要なのは、「初期位置 \(x_0\)」と「時間 \(t\)」を正しく設定することです。「点Aを通過してから」とあるので、この運動のスタート地点を点Aの位置、つまり \(x_0 = 7.2 \, \text{m}\) と考えます。そして、そこから \(t = 2.0 \, \text{s}\) の間にどれだけ進むかを計算し、元の位置に足し合わせます。

この設問における重要なポイント（点Aから2.0s後の位置）

• ここでも公式 \(x = x_0 + vt\) を使います。
• 「点Aを通過してから」という記述がポイントです。この計算における「スタート地点」、つまり初期位置 \(x_0\) は点Aの位置 \(7.2 \, \text{m}\) となります。
• 経過時間は \(t = 2.0 \, \text{s}\) です。
• 速さは変わらず \(v = 1.2 \, \text{m/s}\) です。

具体的な解説と立式（点Aから2.0s後の位置）
求める位置を \(x\) \([\text{m}]\) とします。
等速直線運動の公式 \(x = x_0 + vt\) に、この状況の値を代入します。

• 初期位置: \(x_0 = 7.2 \, \text{m}\) （点Aの位置）
• 速さ: \(v = 1.2 \, \text{m/s}\)
• 経過時間: \(t = 2.0 \, \text{s}\)

これらの値を公式に入れると、以下の式が立てられます。
$$ x = 7.2 + 1.2 \times 2.0 $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 7.2 + 1.2 \times 2.0 \\[2.0ex]&= 7.2 + 2.4 \\[2.0ex]&= 9.6
\end{aligned}
$$
したがって、求める位置は原点から \(9.6 \, \text{m}\) の地点となります。

2段階で考えると分かりやすいです。

1. まず、点Aから \(2.0\) 秒間でどれだけ進むかを計算します。
   「距離＝速さ×時間」なので、\(1.2 \, \text{m/s} \times 2.0 \, \text{s} = 2.4 \, \text{m}\) 進みます。
2. 次に、最終的な位置を求めます。
   物体はもともと原点から \(7.2 \, \text{m}\) の地点（点A）にいました。そこからさらに \(2.4 \, \text{m}\) 進んだので、原点からの最終的な位置は、\(7.2 \, \text{m} + 2.4 \, \text{m} = 9.6 \, \text{m}\) となります。

⑩ 等速直線運動のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「x-tグラフから等速直線運動を読み解く」ことです。グラフが示す物理的な意味を理解することが重要です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1) 物体の速さ

思考の道筋とポイント
まず、設問(1)「物体の速さ」を求めます。物理でx-tグラフ（位置-時間グラフ）が与えられたとき、最も重要な情報の一つがグラフの「傾き」です。x-tグラフの傾きは、(縦軸の変化量) ÷ (横軸の変化量) すなわち (位置の変化) ÷ (時間の変化) を意味し、これは速度の定義そのものです。グラフは原点を通る直線なので、傾きは一定です。これは物体が一定の速度で運動していること、つまり「等速直線運動」をしていることを示しています。

この設問における重要なポイント

• x-tグラフの傾き = 速度
• 傾きの計算式は \(\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) （位置の変化量 ÷ 時間の変化量）です。
• グラフから、時刻 \(t=0 \, \text{s}\) のとき位置 \(x=0 \, \text{m}\)（原点）、時刻 \(t=6 \, \text{s}\) のとき位置 \(x=12 \, \text{m}\) であることを読み取ります。

具体的な解説と立式
求める速さを \(v\) \([\text{m/s}]\) とします。
物体の速さ \(v\) は、x-tグラフの傾きに等しくなります。グラフから2点（\(t=0, x=0\) と \(t=6, x=12\)）を読み取り、傾きを計算します。
$$ v = \frac{\text{位置の変化量}}{\text{時間の変化量}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} $$
$$ v = \frac{12 – 0}{6 – 0} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= \frac{12}{6} \\[2.0ex]&= 2
\end{aligned}
$$
したがって、物体の速さは \(2 \, \text{m/s}\) となります。

このグラフは、物体の「位置」と「時間」の関係を表しています。グラフをよく見ると、「6秒間で12m進んだ」ということが読み取れます。
「速さ」とは「1秒あたりに何m進むか」ということなので、単純な割り算で求めることができます。
\(12 \, \text{m} \div 6 \, \text{s} = 2 \, \text{m/s}\)。
つまり、この物体は秒速 \(2 \, \text{m}\) で進んでいることがわかります。

(2) 時刻t=4sにおける位置

思考の道筋とポイント
次に、設問(2)「時刻 \(t=4 \, \text{s}\) における位置」を求めます。設問(1)で、この物体が速さ \(2 \, \text{m/s}\) の等速直線運動をしていることがわかりました。等速直線運動の公式 \(x = x_0 + vt\) を利用して、指定された時刻の位置を計算します。グラフが原点から始まっていることから、時刻 \(t=0\) での位置（初期位置 \(x_0\)）は \(0\) です。

この設問における重要なポイント

• 等速直線運動の公式: \(x = x_0 + vt\)
• 初期位置 \(x_0 = 0 \, \text{m}\) （グラフが原点を通ることから）
• 速さ \(v = 2 \, \text{m/s}\) （設問(1)で求めた値）
• 求めたいのは、時刻 \(t=4 \, \text{s}\) のときの物体の位置 \(x\) です。

具体的な解説と立式
求める位置を \(x\) \([\text{m}]\) とします。
等速直線運動の公式 \(x = x_0 + vt\) に、わかっている値を代入します。

• 初期位置: \(x_0 = 0 \, \text{m}\)
• 速さ: \(v = 2 \, \text{m/s}\)
• 時間: \(t = 4 \, \text{s}\)

これらの値を公式に入れると、以下の式が立てられます。
$$ x = 0 + 2 \times 4 $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 0 + 2 \times 4 \\[2.0ex]&= 8
\end{aligned}
$$
したがって、時刻 \(t=4 \, \text{s}\) における位置は \(8 \, \text{m}\) となります。

設問(1)で、この物体は「1秒間に2m進む」という速さであることがわかりました。
では、スタートしてから4秒後にはどこにいるでしょうか？
「距離＝速さ×時間」なので、\(2 \, \text{m/s} \times 4 \, \text{s} = 8 \, \text{m}\) 進むことになります。
スタート地点は原点（\(0 \, \text{m}\) の場所）だったので、4秒後の位置はそのまま \(8 \, \text{m}\) の地点となります。

⑪ 平均の加速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平均の加速度の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
「加速度」とは、物体の「速度」が時間とともにどれくらい変化するかを示す量です。特に「平均の加速度」とは、ある時間区間における、単位時間あたりの平均的な速度の変化率を指します。この問題では、物体はx軸の正の向きにずっと進んでいるため、向きの変化はなく、速さの変化だけを考えればよいシンプルなケースです。公式「平均の加速度 = 速度の変化 ÷ かかった時間」に、問題文の数値を当てはめることで、簡単に計算することができます。

この設問における重要なポイント

• 平均の加速度の公式は \(\bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{\text{後}} – v_{\text{前}}}{\Delta t}\) です。
• 「後の速度」(\(v_{\text{後}}\))は、点Qを通過するときの速さで \(15 \, \text{m/s}\) です。
• 「前の速度」(\(v_{\text{前}}\))は、点Pを通過するときの速さで \(8 \, \text{m/s}\) です。
• この速度変化にかかった時間（経過時間 \(\Delta t\)）は \(3.5 \, \text{s}\) です。

具体的な解説と立式
求める平均の加速度の大きさを \(\bar{a}\) \([\text{m/s}^2]\) とします。
平均の加速度は、単位時間あたりの速度の変化量として定義されます。
$$ \bar{a} = \frac{\text{速度の変化}}{\text{かかった時間}} $$
ここで、「速度の変化」は「後の速度」から「前の速度」を引いたものです。

• 速度の変化: \(15 \, \text{m/s} – 8 \, \text{m/s}\)
• かかった時間: \(3.5 \, \text{s}\)

したがって、これらの値を公式に当てはめると、以下のように立式できます。
$$ \bar{a} = \frac{15 – 8}{3.5} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{a} &= \frac{15 – 8}{3.5} \\[2.0ex]&= \frac{7}{3.5} \\[2.0ex]&= 2
\end{aligned}
$$
したがって、PQ間の平均の加速度の大きさは \(2 \, \text{m/s}^2\) となります。

「加速度」とは、すごく簡単に言うと「1秒あたりに、どれだけスピードアップ（またはダウン）するか」を表す数字です。
この問題では、物体は \(3.5\) 秒間で、速さが \(8 \, \text{m/s}\) から \(15 \, \text{m/s}\) になりました。
つまり、\(3.5\) 秒の間に、速さは \(15 – 8 = 7 \, \text{m/s}\) だけ増えています。
では、これを「1秒あたり」に直すとどうなるでしょうか？
\(7 \, \text{m/s}\) のスピードアップが \(3.5\) 秒間で起きたので、1秒あたりのスピードアップ量は \(7 \div 3.5 = 2\) となります。
つまり、この物体は1秒間に \(2 \, \text{m/s}\) ずつ速くなっている、ということです。これを物理では「加速度が \(2 \, \text{m/s}^2\) である」と表現します。

⑫ 平均の加速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「向きが変わる運動の平均の加速度」です。速度の向きを正負の符号で表現することが重要になります。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、物体の運動の向きが途中で変わる（東向き→西向き）点が特徴です。加速度を計算する際には、速度の「向き」が非常に重要になります。一直線上の運動では、向きを「＋（プラス）」と「－（マイナス）」の符号で区別するのが一般的です。
まず、基準となる向き（正の向き）を決めます。ここでは、最初に進んでいた「東向き」を正としましょう。すると、後の速度である「西向き」は負の符号で表すことになります。このルールに従って、平均の加速度の公式 \(\bar{a} = (v_{\text{後}} – v_{\text{前}}) / \Delta t\) に値を代入します。計算結果の符号が正なら東向き、負なら西向きの加速度を意味します。

この設問における重要なポイント

• 平均の加速度の公式は \(\bar{a} = \displaystyle\frac{v_{\text{後}} – v_{\text{前}}}{\Delta t}\) です。
• 向きを定めることが最重要です。東向きを正（＋）とすると、西向きは負（－）になります。
• 前の速度 \(v_{\text{前}}\)：東向きに \(12 \, \text{m/s}\) なので、\(+12 \, \text{m/s}\) と表せます。
• 後の速度 \(v_{\text{後}}\)：西向きに \(6 \, \text{m/s}\) なので、\(-6 \, \text{m/s}\) と表せます。
• 経過時間 \(\Delta t\) は \(3 \, \text{s}\) です。

具体的な解説と立式
求める平均の加速度を \(\bar{a}\) \([\text{m/s}^2]\) とします。
まず、東向きを正の向きと定めます。
すると、各物理量は次のように表せます。

• 前の速度: \(v_{\text{前}} = +12 \, \text{m/s}\)
• 後の速度: \(v_{\text{後}} = -6 \, \text{m/s}\)
• 経過時間: \(\Delta t = 3 \, \text{s}\)

これらの値を、平均の加速度の公式 \(\bar{a} = \displaystyle\frac{v_{\text{後}} – v_{\text{前}}}{\Delta t}\) に代入します。
$$ \bar{a} = \frac{(-6) – (+12)}{3} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{a} &= \frac{-6 – 12}{3} \\[2.0ex]&= \frac{-18}{3} \\[2.0ex]&= -6
\end{aligned}
$$
計算結果が \(-6\) となりました。最初に東向きを正と定めたので、負の符号は「西向き」を意味します。
したがって、平均の加速度は「西向きに大きさ \(6 \, \text{m/s}^2\)」となります。

加速度は「1秒あたりに速度がどれだけ変化したか」です。
まず、「速度の変化」を考えましょう。速度は「東向き12」から「西向き6」に変わりました。数直線で考えると、\(+12\) の点から \(-6\) の点まで移動したことになります。その変化量は「後の値 – 前の値」なので、\((-6) – (+12) = -18\) となります。つまり、速度は「西向きに18」だけ変化したのです。
この大きな速度変化が \(3\) 秒間で起きました。
では、1秒あたりの変化量はどうなるでしょうか？
「西向きに18」の変化を \(3\) 秒で割るので、\(18 \div 3 = 6\)。
つまり、1秒あたり「西向きに6」ずつ速度が変化していることになります。
これを物理では「西向きに \(6 \, \text{m/s}^2\) の加速度」と表現します。

⑬ 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等加速度直線運動の公式の使い分け」です。与えられた情報に応じて、3つの公式の中から最適なものを選んで加速度を求めます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1) 5.0s後に速さが20m/sになった運動

思考の道筋とポイント
設問(1)では、「静止していた」という記述から初速度 \(v_0=0\) であることがわかります。与えられている情報は「時間 \(t\)」と「後の速度 \(v\)」で、求めたいのは「加速度 \(a\)」です。これらの4つの量（\(v, v_0, a, t\)）を含む公式 \(v = v_0 + at\) を使うのが最も直接的です。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式①: \(v = v_0 + at\)
• この公式は「後の速度は、初速度に、加速度\(a\)で\(t\)秒間加速した分を足したもの」という意味です。
• 初速度 \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\) （静止していたため）
• 後の速度 \(v = 20 \, \text{m/s}\)
• 経過時間 \(t = 5.0 \, \text{s}\)

具体的な解説と立式
求める加速度の大きさを \(a\) \([\text{m/s}^2]\) とします。
等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) に、問題文の値を代入します。
$$ 20 = 0 + a \times 5.0 $$

「具体的な解説と立式」で立てた方程式を \(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
20 &= 5.0a \\[2.0ex]a &= \frac{20}{5.0} \\[2.0ex]&= 4.0
\end{aligned}
$$
したがって、加速度の大きさは \(4.0 \, \text{m/s}^2\) となります。

加速度とは「1秒あたりにどれだけスピードアップするか」です。この問題では、\(5.0\)秒間で速さが \(0\) から \(20 \, \text{m/s}\) になりました。つまり、\(5.0\)秒間で \(20 \, \text{m/s}\) スピードアップしたわけです。では、1秒あたりではどれだけスピードアップしたかというと、\(20 \div 5.0 = 4.0\)。よって、加速度は \(4.0 \, \text{m/s}^2\) です。

(2) 4.0s間に12m進んだ運動

思考の道筋とポイント
設問(2)でも、初速度は \(v_0=0\) です。与えられている情報は「時間 \(t\)」と「移動距離 \(x\)」で、求めたいのは「加速度 \(a\)」です。これらの4つの量（\(x, v_0, a, t\)）を含む公式 \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) を使います。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式②: \(x = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)
• この公式は、だんだん速くなる運動の移動距離を計算するのに使います。
• 初速度 \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)
• 移動距離 \(x = 12 \, \text{m}\)
• 経過時間 \(t = 4.0 \, \text{s}\)

具体的な解説と立式
求める加速度の大きさを \(a’\) \([\text{m/s}^2]\) とします。
等加速度直線運動の公式 \(x = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) に、問題文の値を代入します。
$$ 12 = 0 \times 4.0 + \frac{1}{2} \times a’ \times (4.0)^2 $$

「具体的な解説と立式」で立てた方程式を \(a’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
12 &= 0 + \frac{1}{2} \times a’ \times 16.0 \\[2.0ex]12 &= 8.0a’ \\[2.0ex]a’ &= \frac{12}{8.0} \\[2.0ex]&= 1.5
\end{aligned}
$$
したがって、加速度の大きさは \(1.5 \, \text{m/s}^2\) となります。

「4.0秒で12m進んだ」という情報から加速度を求めます。だんだん速くなる運動なので、単純な割り算では計算できません。こういう時に物理の公式が役立ちます。問題で与えられた「時間」と「距離」を使って加速度を求められる \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) という公式に、数字をパズルのように当てはめていくと、答えが計算できます。

(3) 8.0m進んで速さが4.0m/sになった運動

思考の道筋とポイント
設問(3)でも、初速度は \(v_0=0\) です。与えられている情報は「移動距離 \(x\)」と「後の速度 \(v\)」です。この問題には「時間 \(t\)」の情報がありません。そこで、時間 \(t\) を含まない3つ目の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うと便利です。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式③: \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)
• この公式は、時間(\(t\))が分からない、または不要な場合に非常に役立ちます。
• 初速度 \(v_0 = 0 \, \text{m/s}\)
• 後の速度 \(v = 4.0 \, \text{m/s}\)
• 移動距離 \(x = 8.0 \, \text{m}\)

具体的な解説と立式
求める加速度の大きさを \(a”\) \([\text{m/s}^2]\) とします。
時間 \(t\) を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) に、問題文の値を代入します。
$$ (4.0)^2 – 0^2 = 2 \times a” \times 8.0 $$

「具体的な解説と立式」で立てた方程式を \(a”\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
16.0 – 0 &= 16.0a” \\[2.0ex]16.0 &= 16.0a” \\[2.0ex]a” &= 1.0
\end{aligned}
$$
したがって、加速度の大きさは \(1.0 \, \text{m/s}^2\) となります。

この問題のように「何秒かかったか」が分からず、「どれだけ進んだら」「どれくらいの速さになったか」という情報が与えられている場合に、とても便利な公式があります。それが \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) です。この公式を使えば、時間の情報がなくても、初めの速さ、後の速さ、移動距離から、一発で加速度を計算することができます。

⑭ 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等加速度直線運動の公式を用いた速度の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、一定の加速度でまっすぐ進む「等加速度直線運動」の典型的な計算問題です。初めにある程度の速さ（初速度）で動いている物体が、さらに加速した場合の後の速さを求めます。使うべき公式は、速度と時間の関係を表す \(v = v_0 + at\) です。この公式は「後の速さ \(v\) は、初めの速さ \(v_0\) に、加速度 \(a\) で \(t\) 秒間加速した分の速さ（\(at\)）を足したもの」という、直感的な意味を持っていることを理解することが重要です。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式: \(v = v_0 + at\)
• 問題文から各物理量を正確に読み取ります。
  • 初速度 \(v_0 = 3.0 \, \text{m/s}\)
  • 加速度 \(a = 0.80 \, \text{m/s}^2\)
  • 経過時間 \(t = 5.0 \, \text{s}\)
• 求めたいのは、後の速さ \(v\) です。

具体的な解説と立式
求める速さを \(v\) \([\text{m/s}]\) とします。
等加速度直線運動の速度の公式 \(v = v_0 + at\) を用います。
問題文から、初速度 \(v_0 = 3.0 \, \text{m/s}\)、加速度 \(a = 0.80 \, \text{m/s}^2\)、時間 \(t = 5.0 \, \text{s}\) を読み取り、これらの値を公式に代入して立式します。
$$ v = 3.0 + 0.80 \times 5.0 $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= 3.0 + 0.80 \times 5.0 \\[2.0ex]&= 3.0 + 4.0 \\[2.0ex]&= 7.0
\end{aligned}
$$
したがって、加速し始めてから \(5.0 \, \text{s}\) 後の速さは \(7.0 \, \text{m/s}\) となります。

この問題は2段階で考えると分かりやすいです。

1. まず、加速によってどれだけ速くなったかを計算します。
   加速度が \(0.80 \, \text{m/s}^2\) というのは、「1秒あたりに \(0.80 \, \text{m/s}\) 速くなる」という意味です。
   \(5.0\) 秒間加速したので、速くなった分は \(0.80 \times 5.0 = 4.0 \, \text{m/s}\) です。
2. 次に、元の速さに、速くなった分を足します。
   もともと \(3.0 \, \text{m/s}\) の速さで動いていました。
   そこに \(4.0 \, \text{m/s}\) が加わったので、最終的な速さは \(3.0 + 4.0 = 7.0 \, \text{m/s}\) となります。

⑮ 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等加速度直線運動の公式を用いた時間の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
この問題は、初速度、加速度、移動距離が与えられていて、時間を求める問題です。等加速度直線運動の3つの公式のうち、これらの量（\(x, v_0, a, t\)）を含む公式 \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) を選択します。この公式に値を代入すると、\(t\) についての二次方程式が得られます。二次方程式を解くと、解が2つ出てくることがありますが、時間は負の値をとらないので、正の解を選ぶ必要があります（解の吟味）。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式②: \(x = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を使います。
• 問題文から各物理量を読み取ります。
  • 初速度 \(v_0 = 2.0 \, \text{m/s}\)
  • 加速度 \(a = 4.0 \, \text{m/s}^2\)
  • 移動距離 \(x = 12 \, \text{m}\)
• 求めたいのは時間 \(t\) です。
• 二次方程式を解いた後、\(t > 0\) という物理的な条件から、適切な解を選ぶ必要があります。

具体的な解説と立式
求める時間を \(t\) \([\text{s}]\) とします。
等加速度直線運動の変位の公式 \(x = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用います。
問題文から、\(v_0 = 2.0 \, \text{m/s}\)、\(a = 4.0 \, \text{m/s}^2\)、\(x = 12 \, \text{m}\) を読み取り、公式に代入して \(t\) に関する二次方程式を立てます。
$$ 12 = 2.0 \times t + \frac{1}{2} \times 4.0 \times t^2 $$

「具体的な解説と立式」で立てた方程式を解きます。
$$
\begin{aligned}
12 &= 2.0t + \frac{1}{2} \times 4.0 \times t^2 \\[2.0ex]12 &= 2.0t + 2.0t^2
\end{aligned}
$$
この式の両辺を \(2.0\) で割り、移項して整理します。
$$
\begin{aligned}
6 &= t + t^2 \\[2.0ex]t^2 + t – 6 &= 0
\end{aligned}
$$
この二次方程式を因数分解します。
$$ (t+3.0)(t-2.0) = 0 $$
したがって、解は \(t = -3.0\) または \(t = 2.0\) となります。
時間は負の値をとらないので、\(t > 0\) より、求める時間は \(t = 2.0 \, \text{s}\) です。

この問題では、「初めの速さ」「加速度」「進んだ距離」がわかっていて、「かかった時間」を求めたい状況です。
こういう時に便利なのが、\(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\) という公式です。
この公式にわかっている数字を当てはめると、時間 \(t\) についての二次方程式ができます。
二次方程式を解くと、答えが2つ出てくることがあります（今回は \(2.0\) と \(-3.0\)）。
物理の世界では、時間はマイナスになることはないので、プラスの方の \(2.0\) 秒が答えになります。

⑯ 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等加速度直線運動の公式の選択と応用」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
等加速度直線運動の問題を解く際の最初のステップは、問題文で与えられている物理量（既知の量）と、求めたい物理量（未知の量）を整理することです。この問題では、初速度、後の速度、移動距離が分かっており、加速度を求めたい状況です。
ここで重要なのは、3つある等加速度直線運動の公式のうち、どれを使うかです。問題文には「時間 \(t\)」に関する情報が一切ありません。このような「時間が分からない」状況で、他の2つの公式（\(v = v_0 + at\) や \(x = v_0t + \frac{1}{2}at^2\)）を使おうとすると、未知数が2つ（\(a\) と \(t\)）になってしまい、連立方程式を解く必要が出てきて計算が複雑になります。しかし、時間 \(t\) を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使えば、一発で加速度を求めることができます。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動には、主に3つの公式があります。
  1. \(v = v_0 + at\)
  2. \(x = v_0t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\)
  3. \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)
• 問題文から読み取れる物理量は以下の通りです。
  • 初速度 \(v_0 = 10 \, \text{m/s}\)
  • 後の速度 \(v = 15 \, \text{m/s}\)
  • 移動距離 \(x = 25 \, \text{m}\)
• 求めたいのは加速度 \(a\) です。
• 時間 \(t\) が未知であるため、3つ目の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うのが最も賢い選択です。

具体的な解説と立式
求める加速度の大きさを \(a\) \([\text{m/s}^2]\) とします。
初速度 \(v_0\)、後の速度 \(v\)、移動距離 \(x\)、加速度 \(a\) の関係を表す、時間 \(t\) を含まない等加速度直線運動の公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を用います。
問題文の値をこの公式に代入して、以下のように立式します。
$$ (15)^2 – (10)^2 = 2 \times a \times 25 $$

「具体的な解説と立式」で立てた方程式を \(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
(15)^2 – (10)^2 &= 2 \times a \times 25 \\[2.0ex]225 – 100 &= 50a \\[2.0ex]125 &= 50a \\[2.0ex]a &= \frac{125}{50} \\[2.0ex]a &= 2.5
\end{aligned}
$$
したがって、加速度の大きさは \(2.5 \, \text{m/s}^2\) となります。

物理の運動の問題を解くコツは、どの道具（公式）を使うかを見極めることです。
この問題では、「何秒かかったか」という時間の情報がありません。そんなときにとても便利なのが、「時間を使わない」公式である \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) です。
この公式に、問題文に書かれている「初めの速さ = 10」「後の速さ = 15」「進んだ距離 = 25」という3つの情報を、パズルのピースをはめるように当てはめてみましょう。
すると、求めたい「加速度 \(a\)」だけが分からない式ができあがり、あとは簡単な計算で答えを出すことができます。

⑰ 等加速度直線運動のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「v-tグラフから等加速度直線運動を読み解く」ことです。グラフの「傾き」と「面積」がそれぞれ重要な物理量を表すことを理解するのが鍵です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

(1) 物体の加速度の大きさ

思考の道筋とポイント
まず、設問(1)「物体の加速度の大きさ」を求めます。v-tグラフ（速度-時間グラフ）において、グラフの「傾き」は(縦軸の変化量) ÷ (横軸の変化量)、すなわち(速度の変化) ÷ (時間の変化)を意味します。これは加速度の定義そのものです。グラフは直線なので傾きは一定であり、物体が「等加速度直線運動」をしていることがわかります。

この設問における重要なポイント

• v-tグラフの傾き = 加速度
• 傾きの計算式は \(\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\) （速度の変化量 ÷ 時間の変化量）です。
• グラフから、時刻 \(t=0 \, \text{s}\) のとき速度 \(v=2.0 \, \text{m/s}\)（初速度）、時刻 \(t=5.0 \, \text{s}\) のとき速度 \(v=4.0 \, \text{m/s}\) であることを読み取ります。

具体的な解説と立式
求める加速度の大きさを \(a\) \([\text{m/s}^2]\) とします。
物体の加速度 \(a\) は、v-tグラフの傾きに等しくなります。グラフから2点（\(t=0, v=2.0\) と \(t=5.0, v=4.0\)）を読み取り、傾きを計算します。
$$ a = \frac{\text{速度の変化量}}{\text{時間の変化量}} = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
$$ a = \frac{4.0 – 2.0}{5.0 – 0} $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{2.0}{5.0} \\[2.0ex]&= 0.40
\end{aligned}
$$
したがって、物体の加速度の大きさは \(0.40 \, \text{m/s}^2\) となります。

加速度とは「1秒あたりにどれだけ速くなるか」です。グラフを見ると、この物体は \(5.0\) 秒間で、速さが \(2.0 \, \text{m/s}\) から \(4.0 \, \text{m/s}\) になっています。
つまり、\(5.0\) 秒の間に、速さは \(4.0 – 2.0 = 2.0 \, \text{m/s}\) だけ増えました。
では、1秒あたりではどれだけ増えたかというと、\(2.0 \div 5.0 = 0.40\)。
よって、加速度は \(0.40 \, \text{m/s}^2\) です。

(2) 時刻t=5.0sにおける位置

思考の道筋とポイント
次に、設問(2)「時刻 \(t=5.0 \, \text{s}\) における位置」を求めます。v-tグラフにおいて、グラフと時間軸（横軸）で囲まれた部分の「面積」は、物体の「移動距離」を表します。この問題では、時刻 \(t=0\) から \(t=5.0 \, \text{s}\) までの移動距離を求めれば、それがそのまま \(t=5.0 \, \text{s}\) での位置になります（なぜなら、スタート地点が原点 \(x=0\) だからです）。グラフが作る図形は台形なので、台形の面積を求める公式を使えば計算できます。

この設問における重要なポイント

• v-tグラフの面積 = 移動距離
• 求める図形は、上底が \(2.0\)、下底が \(4.0\)、高さが \(5.0\) の台形です。
• 台形の面積の公式は「（上底＋下底）× 高さ ÷ 2」です。

具体的な解説と立式
求める位置を \(x\) \([\text{m}]\) とします。
時刻 \(t=0\) から \(t=5.0 \, \text{s}\) までの移動距離は、v-tグラフの \(0 \le t \le 5.0\) の範囲とt軸で囲まれた台形の面積に等しくなります。

• 上底: \(v_0 = 2.0 \, \text{m/s}\)
• 下底: \(v = 4.0 \, \text{m/s}\)
• 高さ: \(\Delta t = 5.0 \, \text{s}\)

台形の面積を求める公式にこれらの値を代入して、移動距離 \(x\) を計算します。
$$ x = \frac{1}{2} \times (2.0 + 4.0) \times 5.0 $$

「具体的な解説と立式」で立てた式を計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{1}{2} \times (6.0) \times 5.0 \\[2.0ex]&= 3.0 \times 5.0 \\[2.0ex]&= 15
\end{aligned}
$$
時刻 \(t=0\) で原点にいたので、\(5.0 \, \text{s}\) 後の位置は \(15 \, \text{m}\) となります。

v-tグラフでは、グラフの下の部分の「面積」が「進んだ距離」になります。
今回は、グラフの下の部分が台形になっています。

• 上の辺の長さ（スタート時の速さ）が \(2.0\)
• 下の辺の長さ（ゴール時の速さ）が \(4.0\)
• 高さ（かかった時間）が \(5.0\)

この台形の面積を計算する公式「（上底＋下底）× 高さ ÷ 2」を使うと、
\( (2.0 + 4.0) \times 5.0 \div 2 = 6.0 \times 5.0 \div 2 = 30 \div 2 = 15 \)。
したがって、進んだ距離は \(15 \, \text{m}\) となります。スタートが原点なので、これがそのまま位置になります。

例題

例題1 直線運動と \(x-t\) グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(x-t\)グラフの物理的解釈」です。グラフから運動の様子を読み取るための基本的な知識が試されます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント

物体Aの\(x-t\)グラフから、特定の時刻における「瞬間の速さ」と、ある時間区間における「平均の速さ」を求める問題です。この2つの速さの定義と、それらがグラフ上で何を意味するのかを正確に理解しているかが鍵となります。瞬間の速さはグラフに描かれた「接線」の傾きから、平均の速さは2点を結ぶ「直線」の傾きから求めます。

この設問における重要なポイント

• \(x-t\)グラフの傾きは速度を表す。
• 瞬間の速さ = グラフ上の点における接線の傾き。
• 平均の速さ = 2点を結ぶ直線の傾き（割線の傾き）。

具体的な解説と立式

\(x-t\)グラフの傾きが速度を表すことを利用して、各速さを計算します。

点P（時刻 \(t=2.0 \text{ s}\)）での瞬間の速さ \(v_{\text{P}}\)

点Pにおける接線の傾きに等しくなります。グラフから、この接線は2点（\(t_1=2.0 \text{ s}, x_1=1.0 \text{ m}\)）と（\(t_2=4.0 \text{ s}, x_2=3.0 \text{ m}\)）を通ることが読み取れます。
$$ v_{\text{P}} = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1} $$

点Q（時刻 \(t=4.0 \text{ s}\)）での瞬間の速さ \(v_{\text{Q}}\)

点Qにおける接線の傾きに等しくなります。グラフから、この接線は2点（\(t_3=2.0 \text{ s}, x_3=0 \text{ m}\)）と（\(t_4=4.0 \text{ s}, x_4=5.0 \text{ m}\)）を通ることが読み取れます。
$$ v_{\text{Q}} = \frac{x_4 – x_3}{t_4 – t_3} $$

時刻 \(2.0 \text{ s} \sim 4.0 \text{ s}\) の間の平均の速さ \(\bar{v}\)

点Pと点Qを結ぶ直線の傾きに等しくなります。点Pの座標は（\(t_{\text{P}}=2.0 \text{ s}, x_{\text{P}}=1.0 \text{ m}\)）、点Qの座標は（\(t_{\text{Q}}=4.0 \text{ s}, x_{\text{Q}}=5.0 \text{ m}\)）です。
$$ \bar{v} = \frac{x_{\text{Q}} – x_{\text{P}}}{t_{\text{Q}} – t_{\text{P}}} $$

点Pでの瞬間の速さの計算:
$$
\begin{aligned}
v_{\text{P}} &= \frac{3.0 – 1.0}{4.0 – 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{2.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 1.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
点Qでの瞬間の速さの計算:
$$
\begin{aligned}
v_{\text{Q}} &= \frac{5.0 – 0.0}{4.0 – 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{5.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 2.5 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
平均の速さの計算:
$$
\begin{aligned}
\bar{v} &= \frac{5.0 – 1.0}{4.0 – 2.0} \\[2.0ex]&= \frac{4.0}{2.0} \\[2.0ex]&= 2.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

グラフの「傾き」が「速さ」に対応することを使います。「瞬間の速さ」は、その瞬間のグラフの傾きを知りたいので、グラフに引かれた「接線」の傾きを計算します。一方、「平均の速さ」は、ある区間での全体の傾きを知りたいので、区間の始点と終点をまっすぐ結んだ「直線」の傾きを計算します。それぞれの直線の傾きは、「縦の変化量（位置の変化）÷ 横の変化量（時間の変化）」で求められます。

点Pでの瞬間の速さは \(1.0 \text{ m/s}\)、点Qでの瞬間の速さは \(2.5 \text{ m/s}\)、\(2.0 \text{ s}\) から \(4.0 \text{ s}\) の間の平均の速さは \(2.0 \text{ m/s}\) です。物体Aのグラフは下に凸であり、傾きが徐々に急になっていることから、物体が加速していることがわかります。したがって、時刻が後のQ点での速さがP点での速さより大きく、平均の速さがその間の値になるという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント

物体Bの\(x-t\)グラフの形状から、どのような運動をしているかを答える問題です。グラフが「原点を通る直線」であるという特徴が、物理的にどのような運動を意味するのかを理解しているかが問われます。

この設問における重要なポイント

• \(x-t\)グラフが直線の場合、その傾き（＝速度）は一定である。
• 速度が一定の運動を「等速直線運動」または「等速度運動」という。

具体的な解説と立式

物体Bの\(x-t\)グラフは、原点を通る傾きが一定の直線です。\(x-t\)グラフにおいて、傾きは速度を表します。グラフの傾きが一定であるということは、物体Bの速度が常に一定であることを意味します。このように、速度が一定で、一直線上を進む運動を「等速直線運動」と呼びます。

この設問はグラフの形状から運動の種類を判断するものであり、具体的な計算は不要です。

物体Bのグラフは、時間が経っても傾きが変わらない、まっすぐな坂道のようになっています。グラフの傾きは速さを表すので、傾きがずっと同じということは、速さがずっと同じということです。このような運動を「等速直線運動」と呼びます。

物体Bは等速直線運動（または等速度運動）をしています。\(x-t\)グラフが直線であることから、速度が一定であると正しく判断できました。

問(3)

思考の道筋とポイント

物体Bの運動を、縦軸を速度\(v\)、横軸を時刻\(t\)とする\(v-t\)グラフで表現する問題です。(2)で明らかになった運動の種類（等速直線運動）と、\(x-t\)グラフから計算できる具体的な速さの値をもとに、正しいグラフを作成します。

この設問における重要なポイント

• 等速直線運動では、速度\(v\)は時刻\(t\)によらず一定である。
• \(v-t\)グラフは、横軸（\(t\)軸）に平行な直線になる。
• 速度の具体的な値は、\(x-t\)グラフの傾きから計算する。

具体的な解説と立式

(2)で述べた通り、物体Bは等速直線運動をしています。その一定の速さ\(v_{\text{B}}\)は、\(x-t\)グラフの傾きから求められます。グラフは原点（\(t_1=0 \text{ s}, x_1=0 \text{ m}\)）と、点（\(t_2=5.0 \text{ s}, x_2=6.0 \text{ m}\)）を通ることが読み取れます。
$$ v_{\text{B}} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 – x_1}{t_2 – t_1} $$
この計算で得られた速度は、運動中ずっと一定です。したがって、\(v-t\)グラフは、縦軸の速度の値が\(v_{\text{B}}\)で一定の、横軸に平行な直線となります。

物体Bの速さ\(v_{\text{B}}\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{B}} &= \frac{6.0 – 0}{5.0 – 0} \\[2.0ex]&= \frac{6.0}{5.0} \\[2.0ex]&= 1.2 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
この速さ\(1.2 \text{ m/s}\)は時刻によらず一定です。

まず、物体Bの速さを計算します。これは\(x-t\)グラフの傾きを求めればよく、「位置の変化量 \(6.0 \text{ m}\) ÷ 時間の変化量 \(5.0 \text{ s}\)」で \(1.2 \text{ m/s}\) となります。(2)でわかったように、この速さは運動中ずっと変わりません。したがって、速度\(v\)と時刻\(t\)のグラフ（\(v-t\)グラフ）を描くと、縦軸の\(v\)の値がずっと\(1.2\)のままの、真横に伸びる直線になります。

物体Bの速さは\(1.2 \text{ m/s}\)で一定です。したがって、\(v-t\)グラフは、縦軸の値が\(1.2\)で、横軸に平行な直線となります。これは等速直線運動の\(v-t\)グラフとして正しい表現です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(x-t\)グラフの傾きと速度の関係:
  • 核心: \(x-t\)グラフの「傾き」が物体の「速度」を意味するという、運動学の最も基本的な関係を理解することが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 瞬間の速さ: グラフ上の特定の点における「接線」の傾き。その一瞬一瞬の速度を表します。
    • 平均の速さ: グラフ上の2点を結ぶ「直線（割線）」の傾き。ある時間区間全体をならした速度を表します。
• グラフの形状と運動の種類:
  • 核心: \(x-t\)グラフの形状から、物体がどのような運動（等速、加速、減速）をしているかを即座に判断できる能力。
  • 理解のポイント:
    • 直線: 傾きが一定なので「等速直線運動」。
    • 曲線（下に凸）: 接線の傾きが時間とともに増加するので「加速運動」。
    • 曲線（上に凸）: 接線の傾きが時間とともに減少するので「減速運動」。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(v-t\)グラフからの情報読み取り: 逆に\(v-t\)グラフが与えられ、加速度（グラフの傾き）や移動距離（グラフと軸で囲まれた面積）を求める問題。
  • 2物体のすれ違い・追い越し: 2つの物体の\(x-t\)グラフを同一の座標軸に描き、グラフの交点が「すれ違う」または「追いつく」時刻と位置を表すことを利用する問題。
  • 相対速度: 一方の物体から見たもう一方の物体の運動を問う問題。\(x-t\)グラフ上では、2つのグラフの縦軸の差（位置の差）がどのように変化するかを分析します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認: まず、縦軸が位置\(x\)なのか、速度\(v\)なのか、加速度\(a\)なのかを絶対に確認する。これを間違えると全てが崩れます。
  2. グラフの形状を大まかに把握: グラフが直線か、曲線か、折れ線かを見て、運動の全体像（等速、加速・減速、運動の変化）を掴みます。
  3. 「瞬間の値」か「区間の値」か: 問題文が「時刻\(t\)における〜」を問うているのか、「\(t_1\)から\(t_2\)の間の〜」を問うているのかを区別し、それぞれ「接線」と「割線」のどちらを考えるべきかを判断します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 瞬間の速さと平均の速さの混同:
  • 誤解: (1)で、点Pでの瞬間の速さを求めるときに、原点と点Pを結ぶ直線の傾きを計算してしまう。
  • 対策: 「瞬間」という言葉は「その点での接線」、「平均」という言葉は「区間の両端を結ぶ直線」と機械的に結びつけて覚える。加速・減速運動では、この2つは一致しないことを常に意識する。
• \(x-t\)グラフと\(v-t\)グラフの解釈の混同:
  • 誤解: \(x-t\)グラフが水平な直線になっている部分を「静止」ではなく「等速運動」と勘違いする。（\(v-t\)グラフなら等速運動）
  • 対策: 常に「このグラフの傾きは何を意味するか？」「このグラフの面積は何を意味するか？」と自問自答する習慣をつける。\(x-t\)グラフでは傾きが速度、\(v-t\)グラフでは傾きが加速度、面積が移動距離、という基本を徹底する。
• 接線の傾きの計算ミス:
  • 誤解: (1)の点Pでの接線の傾きを計算する際、点Pの座標（\(2.0, 1.0\)）と、接線が通るもう一点（\(4.0, 3.0\)）を正しく読み取れず、計算を間違う。
  • 対策: グラフから座標を読み取る際は、必ずx軸とy軸に点線を引いて、値を慎重に確認する。計算に使う2点が、確かにその接線上にあることを指でなぞって確認する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の定義式 (\(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)と(3)で、グラフの傾きから具体的な速度の値を計算するために使用します。これは速度の定義そのものです。
  • 適用根拠:
    • 平均の速さの場合: ある有限の時間区間 \(\Delta t\) での位置の変化 \(\Delta x\) を用いて計算します。これは\(x-t\)グラフ上の2点を結ぶ直線の傾きに直接対応します。
    • 瞬間の速さの場合: 時間区間 \(\Delta t\) を非常に短くしていくと、平均の速さはその瞬間における速さに近づいていきます。グラフ上では、2点を結ぶ直線が「接線」に近づいていくことに対応します。そのため、高校物理では、瞬間の速さを「接線の傾き」として求めます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の読み取り: グラフから座標を読み取る際は、必ずx軸、y軸の目盛り単位を確認する。特に、切片が0でない場合や、目盛りが1, 2, 3…と単純でない場合に注意が必要です。
• 引き算の順序: \(\Delta x = x_{\text{後}} – x_{\text{前}}\), \(\Delta t = t_{\text{後}} – t_{\text{前}}\) の順序を徹底する。今回は速さ（スカラー）を問われているので問題になりにくいですが、速度（ベクトル）を問われた場合に符号ミスを防ぐために重要です。
• 分数の計算: (3)の \(6.0/5.0\) のような簡単な割り算でも、焦るとミスをします。筆算するか、毎回きちんと計算する癖をつける。

例題2 速度の合成

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「速度の合成」です。動いている物体の上でさらに物体が動くとき、地面から見た速度がどうなるかを考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント

船が川の流れと同じ向きに進む場合の、岸から見た速度を求める問題です。「静水に対する船の速さ」に「川の流れの速さ」が加わるため、岸から見ると船はより速く進むように見えます。2つの速度が同じ向きであるため、合成後の速さは単純な足し算で計算できます。

この設問における重要なポイント

• 岸から見た速度 = 静水に対する船の速度 + 川の流れの速度
• 同じ向きの速度を合成する場合、速さは単純な和で求められる。

具体的な解説と立式

岸から見た船の速度を \(v\)、静水に対する船の速さを \(v_{\text{船}}\)、川の流れの速さを \(v_{\text{川}}\) とします。
問題(1)では、船は川の流れと同じ向き（川下）に進むため、2つの速度は同一直線上で同じ向きです。
したがって、岸から見た船の速さ \(v\) は、2つの速さの和となります。川下の向きを正の向きとして立式します。
$$ v = v_{\text{船}} + v_{\text{川}} $$

与えられた値を代入して、岸から見た船の速さ \(v\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v &= 4.0 + 3.0 \\[2.0ex]&= 7.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

空港にある「動く歩道」をイメージすると分かりやすいです。自分の歩く速さに、動く歩道自体の速さが加わって、周りから見るととても速く進んでいるように見えます。これと同じで、船自身の進む速さ \(4.0 \text{ m/s}\) に、川が船を運ぶ速さ \(3.0 \text{ m/s}\) がそのまま加わります。したがって、岸から見た速さは \(4.0 + 3.0 = 7.0 \text{ m/s}\) となります。

岸から見た船の速度は、川下の向きに \(7.0 \text{ m/s}\) となります。船は川の流れに乗っているため、静水時よりも速くなるという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント

船首を川岸に対して垂直な向き（対岸に向かう向き）に進める場合の問題です。船は対岸に向かって進もうとしますが、同時に川の流れによって川下に流されます。その結果、岸から見ると船は斜め川下の方向に進んでいくように見えます。この「対岸へ向かう運動」と「川下に流される運動」という互いに垂直な2つの運動を合成して考えます。

この設問における重要なポイント

• 互いに垂直な速度を合成して、岸から見た速度を求める。
• 合成後の「速さ」は、2つの速度を2辺とする直角三角形を考え、三平方の定理で求める。
• 合成後の「向き」は、同じ直角三角形の角度を三角比（\(\tan\)）で表す。

具体的な解説と立式

船は船首を川岸に垂直な向きに向けているため、船が自力で進む速度（静水に対する速度 \(4.0 \text{ m/s}\)）は川岸と垂直な向きです。一方、川は川岸と平行な向き（川下）に \(3.0 \text{ m/s}\) で流れています。
岸から見た船の運動は、この2つの互いに垂直な速度を合成したものになります。
合成後の速さを \(v’\) とすると、速度を矢印で描いたとき、元の2つの速度の矢印を2辺、合成後の速度の矢印を斜辺とする直角三角形ができます。
三平方の定理を適用して、合成後の速さ \(v’\) を求めます。
$$ (v’)^2 = (4.0)^2 + (3.0)^2 $$
また、船が進む向きは、川岸に垂直な向きからどれだけ川下に傾いているかを示す角度 \(\theta\) で表すことができます。この角度 \(\theta\) は、直角三角形の辺の比（三角比）で定義できます。
$$ \tan\theta = \frac{\text{川の流れの速さ}}{\text{静水に対する船の速さ}} $$

合成後の速さ \(v’\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v’ &= \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} \\[2.0ex]&= \sqrt{16 + 9} \\[2.0ex]&= \sqrt{25} \\[2.0ex]&= 5.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
次に、進む向きを表す角度 \(\theta\) について計算します。
$$
\begin{aligned}
\tan\theta &= \frac{3.0}{4.0} \\[2.0ex]&= 0.75
\end{aligned}
$$

船は対岸に向かってまっすぐ \(4.0 \text{ m/s}\) で進もうとしますが、同時に真横から \(3.0 \text{ m/s}\) の速さで川に流されます。この2つの動きが合わさるため、船は斜めに進みます。この斜めに進むときの速さは、縦 \(4.0\)、横 \(3.0\) の直角三角形の斜辺の長さを求めるのと同じです。三平方の定理を使うと、速さは \(5.0 \text{ m/s}\) と計算できます。向きについては、どれくらい斜めに傾いているかを角度で表し、その角度のタンジェント（\(\tan\)）が「横方向の速さ ÷ 縦方向の速さ」で \(0.75\) になる、と表現します。

岸から見た船の速度は、川岸に垂直な向きから川下の向きへ \(\tan\theta = 0.75\) となる角 \(\theta\) だけ傾いた向きに、速さ \(5.0 \text{ m/s}\) となります。合成後の速さ \(5.0 \text{ m/s}\) は、船の静水での速さ \(4.0 \text{ m/s}\) より速く、流れと同じ向きに進んだときの速さ \(7.0 \text{ m/s}\) よりは遅くなっています。これは、川の流れの力が船を速くする効果と、進路を曲げる効果の両方を持っているためで、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 速度の合成の概念
  • 核心: 「岸から見た船の速度」は、「静水に対する船の速度」と「川の流れの速度」を足し合わせたものになる、という関係を理解することが基本です。これは動く歩道の上を歩く人の速度を考えるのと同じです。
  • 理解のポイント: 速度は「速さ」と「向き」を併せ持つ量です。この「向き」を考慮して足し算（合成）する必要があります。
• 速度の合成方法
  • 核心: 速度の向きによって、合成の計算方法が変わります。
  • 理解のポイント:
    • 同じ向きの場合 (問1): 速さは単純な足し算になります。
    • 垂直な向きの場合 (問2): 速度を矢印で描くと直角三角形ができます。合成後の速さは「三平方の定理」で、向きは「三角比」で求めます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 川を最短時間で渡る問題: 船首をまっすぐ対岸に向けるのが最短時間になります。これは、今回の(2)の状況そのものです。川に垂直な方向の速度成分が最大になるためです。
  • 川を最短距離で渡る問題: 岸から見てまっすぐ対岸に進むには、あらかじめ船首を少し上流に向けておく必要があります。合成後の速度の向きが、川岸に垂直になるように調整する問題です。
  • 風の中を飛ぶ飛行機の問題: 「川と船」を「風と飛行機」に置き換えただけで、考え方は全く同じです。「地面に対する飛行機の速度」＝「空気に対する飛行機の速度」＋「風の速度」として計算します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 基準は何かを確認する: 問題文の速度が「静水に対して」なのか、「岸に対して」なのか、「空気に対して」なのか、誰から見た速度なのかを最初に明確にします。
  2. 必ず図を描く: 速度を矢印で描くことが、このタイプの問題を解く最大の鍵です。矢印の長さが速さ、矢印の向きが速度の向きです。矢印の始点を揃えて描くと、合成の関係が視覚的に理解しやすくなります。
  3. 速度の間の角度を確認する: 合成したい2つの速度の矢印が、同じ向きか、反対向きか、垂直か、それ以外の角度かを把握します。これにより、どの計算方法（ただの足し算か、三平方の定理か、など）を使うかが決まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 向きを無視して速さを足してしまう:
  • 誤解: (2)のように船の進行方向と川の流れが垂直な場合でも、速さを単純に \(4.0 + 3.0 = 7.0 \text{ [m/s]}\) と足してしまう。
  • 対策: 速度は向きを持つ量だと常に意識しましょう。図を描いて、速度の矢印がどの方向を向いているかを確認する癖をつけることが最も効果的です。向きが違えば、単純な足し算はできません。
• 三平方の定理の辺の対応を間違える:
  • 誤解: 「静水に対する船の速さ」「川の流れの速さ」「岸から見た船の速さ」の3つが、直角三角形のどの辺（底辺、高さ、斜辺）に対応するのかを混同してしまう。
  • 対策: 「岸から見た速度」は、他の2つの速度を合成した結果（＝斜辺）であることをしっかり理解しましょう。図を描く際に、「静水での速度」の矢印の終点から「川の流れの速度」の矢印を描き足す（あるいはその逆）と、始点と最終的な終点を結んだものが「岸から見た速度」になる、という関係を覚えると間違いが減ります。
• 「速度」を問われているのに「向き」を答えない:
  • 誤解: (2)で、速さ \(5.0 \text{ m/s}\) だけを計算して満足し、向き（\(\tan\theta = 0.75\) となる向き）を答え忘れてしまう。
  • 対策: 問題文が「速度を求めよ」と問うているか、「速さを求めよ」と問うているかを確認しましょう。「速度」なら「速さ」と「向き」の両方が答えに必要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 速度の合成則（岸から見た速度 = 静水での速度 + 川の速度）:
  • 選定理由: 複数の運動が重なっている状況で、静止している観測者（岸）から見た全体の運動を正しく知るために不可欠な法則だからです。
  • 適用根拠: これは物理学の基本的な考え方（ガリレイの相対性原理）に基づいています。ある基準（水）に対して動いている物体の速度に、その基準自体の速度（川の流れ）を足し合わせると、静止した基準（岸）から見た速度が得られます。
• 三平方の定理:
  • 選定理由: (2)のように、互いに直角な2つの運動（対岸へ進む運動と川下に流される運動）が合わさった結果の「速さ」を求めるのに最適な数学的ツールだからです。
  • 適用根拠: 速度を矢印で表現すると、互いに直角な2つの速度の矢印は直角三角形の隣り合う2辺をなし、その合成速度の矢印は斜辺となります。斜辺の長さを求めるのは、まさに三平方の定理そのものです。
• 三角比 (\(\tan\)):
  • 選定理由: 合成後の速度の「向き」を、基準の方向からどれだけ傾いているかという角度で、客観的かつ定量的に示すために使います。
  • 適用根拠: 三平方の定理と同様に、速度の矢印が作る直角三角形において、辺の長さの比は角度を決定します。\(\tan\theta\) は（基準に垂直な辺）/（基準に平行な辺）で計算でき、傾き具合を表すのに非常に便利です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 有名な直角三角形の活用: (2)の \(3.0, 4.0\) という数字を見たら、すぐに「3:4:5の直角三角形だ」と気づけると、計算するまでもなく斜辺が \(5.0\) であると予測でき、計算ミスを防げます。他に 5:12:13 や 1:1:\(\sqrt{2}\) なども覚えておくと便利です。
• 平方根の計算を丁寧に: \(\sqrt{A^2 + B^2}\) の計算では、まず \(A^2\) と \(B^2\) をそれぞれ正確に計算し、それから足し算、最後に平方根を取る、という手順を焦らずに行いましょう。
• 向きの表現を正確に: 「川岸に垂直な向きから川下の向きへ \(\tan\theta = 0.75\) となる角 \(\theta\) だけ傾いた向き」のように、どの方向からどちらの向きに傾いているのかを明確に記述する練習をしましょう。

例題3 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度」です。動いている観測者から見た物体の運動が、静止している観測者から見た場合とどう異なるかを考えます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント

この問題は、動いている自動車の中から雨を見たときに、雨がどのように見えるか、という状況を扱っています。静止している人から見れば、風がないので雨はまっすぐ真下に降ります。しかし、自動車が前に進むと、自分自身が動いている影響で、雨は前方からではなく、斜め後ろから降ってくるように見えます。この「見かけの速度」が「相対速度」です。

求めたいのは「地面に対する雨の速さ（雨が実際に落下する速さ）」です。この問題を解く鍵は、「自動車から見た雨の速度」が、「地面に対する雨の速度」と「地面に対する自動車の速度の『逆向き』の速度」を合成したものである、と理解することです。なぜなら、自分が前に進むと、周りの静止した景色は後ろに流れていくように見えます。この「後ろに流れる効果」に「実際に真下に降る雨」を重ね合わせることで、見かけの雨の動きが説明できるからです。

この関係性を速度の矢印で図に描き、幾何学的な問題として解いていきます。

この設問における重要なポイント

• (自動車から見た雨の速度) = (地面に対する雨の速度) + (地面に対する自動車の逆向きの速度)
• 上記の速度の関係を、矢印の足し算（合成）として図で表現する。
• 図に現れる直角三角形を見つけ出し、三角比を適用する。

具体的な解説と立式

地面に対する自動車の速さを \(v_{\text{自}}\) (\(12 \text{ m/s}\))、地面に対する雨の速さを \(v_{\text{雨}}\)（求めたい値）とします。

自動車から見た雨の運動は、以下の2つの運動の合成として考えられます。

1. 雨が実際に落下する運動（速さ \(v_{\text{雨}}\) で鉛直下向き）
2. 自動車が前に進むことによる、見かけ上の雨の運動（速さ \(v_{\text{自}}\) で水平後ろ向き）

これらの速度を矢印で図示すると、鉛直下向きの矢印（\(v_{\text{雨}}\)）と水平後ろ向きの矢印（\(v_{\text{自}}\)）を2辺とする直角三角形ができます。この直角三角形の斜辺が、自動車の中から見た雨の速度（相対速度）の矢印になります。

問題文より、自動車から見た雨は鉛直方向と \(60^\circ\) の角をなして降って見えたとあります。これは、図に描いた直角三角形において、鉛直の辺（\(v_{\text{雨}}\)）と斜辺（相対速度）のなす角が \(60^\circ\) であることを意味します。

この直角三角形に三角比を適用すると、次の関係が成り立ちます。
$$ \tan 60^\circ = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}} = \frac{v_{\text{自}}}{v_{\text{雨}}} $$

上記で立てた式を、求めたい \(v_{\text{雨}}\) について解きます。
$$ v_{\text{雨}} = \frac{v_{\text{自}}}{\tan 60^\circ} $$
ここに、\(v_{\text{自}} = 12 \text{ m/s}\) と \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{雨}} &= \frac{12}{\sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{12 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} \\[2.0ex]&= \frac{12\sqrt{3}}{3} \\[2.0ex]&= 4\sqrt{3}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{3} \approx 1.73\) として近似値を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{雨}} &\approx 4 \times 1.73 \\[2.0ex]&= 6.92
\end{aligned}
$$
問題文の数値が有効数字2桁なので、答えも有効数字2桁に丸めて \(6.9 \text{ m/s}\) とします。

自分が前に \(12 \text{ m/s}\) で進むと、静止している雨も、自分にとっては「後ろに \(12 \text{ m/s}\) で下がりながら」落ちてくるように見えます。
この「見かけ上、後ろに下がる速さ \(12 \text{ m/s}\)」と、「実際に真下に落ちる速さ（求めたい値）」という2つの動きが合わさった結果、雨は鉛直方向から \(60^\circ\) 傾いて見えました。
これを図にすると、底辺が「雨が真下に落ちる速さ」、高さが「\(12 \text{ m/s}\)」の直角三角形が描けます。
この三角形の内角が \(60^\circ\) なので、タンジェントを使うと \(\tan 60^\circ = \frac{\text{高さ}}{\text{底辺}} = \frac{12}{\text{求めたい速さ}}\) という関係が成り立ちます。この方程式を解くことで、雨が実際に落ちる速さを計算できます。

雨滴が落下する速さは \(6.9 \text{ m/s}\) です。自動車の速さ \(12 \text{ m/s}\) は時速に換算すると約 \(43 \text{ km/h}\) であり、かなり速く走っています。そのため、雨が大きく傾いて（\(60^\circ\) も）見えるのは自然な状況であり、計算結果は物理的に妥当と考えられます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度の概念
  • 核心: 動いている人（自動車）から見た物（雨）の速度は、静止している人から見た場合とは異なる、という「相対速度」の考え方を理解することが全てです。
  • 理解のポイント: 「Aから見たBの速度」は、「Bの（地面に対する）速度」に「Aの（地面に対する）速度の『逆向き』の速度」を足し合わせたもの、と考えるのが最も分かりやすいです。
• 速度の図示と三角比の利用
  • 核心: 速度は向きを持つ量なので、矢印で図に描いて考えることが不可欠です。この問題では、速度の矢印の関係が「直角三角形」を形成することを見抜くことが鍵となります。
  • 理解のポイント: 速度の矢印が作る直角三角形に対して、辺の長さ（速さ）と角度の関係を結びつける数学的道具として、三角比（特に\(\tan\)）を正しく適用する能力が求められます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 川を最短距離で渡る船: 岸から見てまっすぐ対岸に進むには、船首を少し上流に向けておく必要があります。これは「岸から見た船の速度」が川岸に垂直になるように、「静水に対する船の速度」と「川の流れの速度」を合成する問題で、相対速度の考え方と全く同じ構造です。
  • 斜めに吹く風の中をまっすぐ進みたい飛行機: 上記の船の問題と同様に、目的地にまっすぐ進むために、機首をどの方向に向けるべきかを考える問題です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 誰から見た速度か？を区別する: 問題文に出てくる速度が「地面に対して」なのか、「自動車に対して」なのかを明確に区別します。「〜から見た」「〜に対する」という言葉が相対速度のキーワードです。
  2. 3つの速度を特定する: 「Aの速度」「Bの速度」「Aから見たBの速度」の3つの速度を問題文から見つけ出します。このうち2つが分かっていれば、残りの1つが求められます。
  3. 速度の関係図を描く: 「(Aから見たBの速度) = (Bの速度) + (Aの逆向きの速度)」という関係を、矢印の足し算として図に描きます。この図が正しく描けるかどうかが勝負の分かれ目です。
  4. 図形（特に直角三角形）を見つける: 描いた図の中に、計算に使える幾何学的な関係（特に直角三角形）がないか探します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• どの速度がどの矢印か混乱する:
  • 誤解: 「地面に対する雨の速度」「地面に対する自動車の速度」「自動車から見た雨の速度」の3つが、図に描いた直角三角形のどの辺（底辺、高さ、斜辺）に対応するのかを混同してしまう。
  • 対策: 「Aから見たBの速度」は、Aの速度を逆向きにしてBの速度に足したもの（合成したもの）なので、必ず「斜辺」になるとは限りません。必ず「(Aから見たB) = (B) + (-A)」の矢印の足し算のルールに従って作図し、どの辺がどの速度に対応するかを一つ一つ確認しましょう。
• 速度の引き算と足し算の混同:
  • 誤解: 相対速度を「速度の引き算」とだけ覚えていると、図を描くときにどの矢印をどう引けばいいか分からなくなる。
  • 対策: 「観測者の速度を逆向きにして、観測対象の速度に足す」という「足し算（合成）」の手順で覚えるのが、作図ミスを防ぐ上で最も安全で確実です。
• 三角比の適用ミス:
  • 誤解: 直角三角形のどの角が問題の \(60^\circ\) に対応するのか、どの辺が対辺・底辺になるのかを間違え、\(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) の選択を誤る。
  • 対策: 図を大きく丁寧に描き、問題文で与えられた角度や分かっている辺の長さを正確に書き込みます。その上で、\(\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{底辺}}\) などの定義に忠実に当てはめる練習をしましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の考え方「(Aから見たB) = (B) + (-A)」:
  • 選定理由: 動いている観測者からの視点を記述するための、物理学の基本的な法則だからです。
  • 適用根拠: 自分が前に進むと、周りの静止した世界は逆向きに動いて見えます。この「見かけの動き（-A）」に「相手の本当の動き（B）」を重ね合わせることで、相手が自分に対してどう動いて見えるか（Aから見たB）がわかります。この直感的な理解を、速度の矢印の足し算として表現したものがこの考え方です。
• 三角比 (\(\tan\)):
  • 選定理由: 速度の矢印が作る直角三角形において、分かっている「角度」と「辺の長さ（速さ）」から、未知の「辺の長さ（速さ）」を求めるための最も直接的な数学的ツールだからです。
  • 適用根拠: この問題では、直角を挟む2辺（自動車の速度と雨の速度）が関係しています。そして、与えられた角度 \(60^\circ\) は、求めたい辺（雨の速度）と分かっている辺（自動車の速度）の両方に関係しています。このような「角度」と「対辺」「底辺」の関係を扱うのは \(\tan\) の役割です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(\sqrt{3}\) の扱い: \(\frac{12}{\sqrt{3}}\) のような計算では、まず有理化を確実に行いましょう。\(4\sqrt{3}\) まで変形してから、最後に近似値 \(1.73\) を代入するのが基本です。途中で近似計算をすると誤差が大きくなる可能性があります。
• 三角比の値の暗記: \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) などの基本的な三角比の値は、即座に出てくるようにしておくことが時間短縮とミス防止に繋がります。
• 有効数字の確認: 問題文で与えられている数値（\(12 \text{ m/s}\)）の有効数字を確認し、最終的な答えの桁数を合わせる習慣をつけましょう。\(12\) は2桁なので、答えも \(6.9\) のように2桁で答えるのが適切です。\(6.92\) や \(4\sqrt{3}\) のままでは不十分な場合があります。

例題4 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等加速度直線運動」です。一定の加速度で運動する物体の速度や位置が、時間とともにどのように変化するかを扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント

物体の加速度の大きさと向きを求める問題です。問題文には、初速度 \(v_0\)、時刻 \(t\)、その時刻での速度 \(v\) が与えられています。これらの4つの物理量（\(v, v_0, a, t\)）を含む等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) を利用して、未知の加速度 \(a\) を求めます。計算結果の \(a\) の符号から、加速度の向きを判断します。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) を選択する。
• 最初に正の向き（ここでは右向き）を定め、速度の向きを符号で表す。初速度は右向きなので正、後の速度は左向きなので負となる。
• 計算された加速度の符号が正なら右向き、負なら左向きを意味する。

具体的な解説と立式

まず、運動の向きを定めるため、右向きを正とします。
問題文から、各物理量を整理します。

• 初速度 \(v_0 = +8.0 \text{ m/s}\) （右向き）
• 時刻 \(t = 4.0 \text{ s}\)
• \(t=4.0 \text{ s}\) での速度 \(v = -2.0 \text{ m/s}\) （左向き）

求める加速度を \(a\) として、等加速度直線運動の公式にこれらの値を代入します。
$$ v = v_0 + at $$

上記で立てた式に数値を代入し、加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
-2.0 &= 8.0 + a \times 4.0 \\[2.0ex]4.0a &= -2.0 – 8.0 \\[2.0ex]4.0a &= -10 \\[2.0ex]a &= \frac{-10}{4.0} \\[2.0ex]a &= -2.5 \text{ [m/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$
計算結果の加速度 \(a\) は \(-2.5 \text{ m/s}^2\) となりました。右向きを正としたので、負の符号は加速度が左向きであることを意味します。

物体の速度は、4.0秒間で「右向き8.0 m/s」から「左向き2.0 m/s」に変化しました。これは、速度が全体で \(10.0 \text{ m/s}\) だけ左向きに変化したことを意味します。加速度は1秒あたりの速度の変化なので、\(10.0 \text{ m/s}\) を \(4.0 \text{ s}\) で割ると、\(2.5 \text{ m/s}^2\) となります。速度が左向きに変化しているので、加速度の向きも左向きです。

加速度の大きさは \(2.5 \text{ m/s}^2\) で、向きは左向きです。初めに右向きに進んでいた物体が減速し、やがて左向きに動き始めていることから、常に左向きの力が加わっている（＝左向きの加速度が生じている）と考えられ、この結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント

物体が点Oから「右に最も離れる」ときの時刻と変位を求める問題です。この「最も離れる」という言葉は、物理的に「運動の向きが変わる折り返し点」を指します。ボールを真上に投げたときに最高点で一瞬止まるのと同じで、この折り返し点では物体の速度が一瞬だけ \(0\) になります。この \(v=0\) という条件を使って、時刻と変位を計算します。

この設問における重要なポイント

• 「右に最も離れる」という条件は、速度 \(v=0\) となる瞬間を意味する。
• 時刻を求めるには、\(v=0\) を公式 \(v = v_0 + at\) に代入する。
• 変位を求めるには、時刻 \(t\) を使わずに計算できる公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うと計算が簡単になる。

具体的な解説と立式

(1)と同様に右向きを正とします。初速度 \(v_0 = +8.0 \text{ m/s}\)、加速度 \(a = -2.5 \text{ m/s}^2\) です。
「右に最も離れる」とき、速度は \(v=0\) となります。
このときの時刻を \(t_1\)、点Oからの変位を \(x_1\) とします。

時刻 \(t_1\) を求めるために、公式 \(v = v_0 + at\) を用います。
$$ 0 = v_0 + at_1 $$
変位 \(x_1\) を求めるために、公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を用います。
$$ 0^2 – v_0^2 = 2ax_1 $$

時刻 \(t_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
0 &= 8.0 + (-2.5) \times t_1 \\[2.0ex]2.5 t_1 &= 8.0 \\[2.0ex]t_1 &= \frac{8.0}{2.5} \\[2.0ex]t_1 &= 3.2 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
次いで、変位 \(x_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
0^2 – (8.0)^2 &= 2 \times (-2.5) \times x_1 \\[2.0ex]-64 &= -5.0 x_1 \\[2.0ex]x_1 &= \frac{-64}{-5.0} \\[2.0ex]x_1 &= 12.8 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
問題文の有効数字が2桁であるため、変位は \(13 \text{ m}\) と答えるのが適切です。

物体が一番右側に行くのは、右向きに進むのをやめて、左向きに進み始める直前、つまり一瞬だけ速度が \(0\) になる瞬間です。
まず、初速度 \(8.0 \text{ m/s}\) が加速度 \(-2.5 \text{ m/s}^2\) によって \(0\) になるまでの時間を計算します。それが \(3.2\) 秒です。
次に、その \(3.2\) 秒間にどれだけ進んだかを計算します。公式を使うと \(12.8 \text{ m}\) となります。

物体が最も右に離れるのは、時刻 \(3.2 \text{ s}\) のときで、その位置は点Oより右へ約 \(13 \text{ m}\) の地点です。この時刻は \(t=4.0 \text{ s}\) よりも前なので、物体は一度折り返してから \(t=4.0 \text{ s}\) を迎えることになり、話のつじつまが合っています。

問(3)

思考の道筋とポイント

時刻 \(t=4.0 \text{ s}\) における物体の位置を求める問題です。物体の初速度 \(v_0\)、加速度 \(a\)、そして時刻 \(t\) が分かっている状況で、位置（変位） \(x\) を求めます。これらの物理量（\(x, v_0, a, t\)）を直接結びつける公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を使うのが最も簡単です。

この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の公式 \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を選択する。
• 各物理量に、向きを考慮した符号（プラス・マイナス）を付けて正しく代入する。

具体的な解説と立式

右向きを正とします。初速度 \(v_0 = +8.0 \text{ m/s}\)、加速度 \(a = -2.5 \text{ m/s}^2\)、時刻 \(t = 4.0 \text{ s}\) です。
このときの点Oからの位置（変位）を \(x_2\) として、公式に値を代入します。
$$ x_2 = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 $$

上記で立てた式に数値を代入し、位置 \(x_2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
x_2 &= (+8.0) \times 4.0 + \frac{1}{2} \times (-2.5) \times (4.0)^2 \\[2.0ex]&= 32.0 + \frac{1}{2} \times (-2.5) \times 16.0 \\[2.0ex]&= 32.0 – 2.5 \times 8.0 \\[2.0ex]&= 32.0 – 20.0 \\[2.0ex]&= 12 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
計算結果は正の値なので、物体の位置は点Oより右側です。

4.0秒後の位置を知りたいので、位置と時間の関係を表す公式を使います。初速度で進んだ距離から、加速度によって減速された分の距離を引く、というイメージです。公式に初速度 \(8.0\)、加速度 \(-2.5\)、時間 \(4.0\) を入れて計算すると、位置が \(12 \text{ m}\) と求まります。

時刻 \(4.0 \text{ s}\) における物体の位置は、点Oより右へ \(12 \text{ m}\) の地点です。(2)で求めた最も離れた位置（\(12.8 \text{ m}\)）よりも原点Oに近い位置にあります。これは、物体が \(t=3.2 \text{ s}\) で折り返した後、\(0.8\) 秒間だけ左向きに戻ってきたことを示しており、物理的な運動の様子と一致しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の3公式の使い分け
  • 核心: 状況に応じて、以下の3つの公式を適切に選択し、使い分ける能力がこの問題の全てです。
    1. \(v = v_0 + at\) （変位 \(x\) が関係ないとき）
    2. \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) （最終速度 \(v\) が関係ないとき）
    3. \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) （時間 \(t\) が関係ないとき）
• 物理量のベクトル的性質（向きと符号）
  • 核心: 速度、変位、加速度は向きを持つ量（ベクトル）であり、一直線上の運動では、正の向きを一つ決め、その向きならプラス、逆向きならマイナスの符号を付けて扱うというルールを徹底することが重要です。
• 運動の「折り返し点」の物理的意味
  • 核心: 物体が最も遠くまで進んで向きを変える瞬間（折り返し点）では、速度が一時的に \(0\) になるという物理現象を理解していることが、(2)を解くための鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直投げ上げ運動: 地球の重力による運動なので、加速度が常に鉛直下向きの \(g\) (\(\approx 9.8 \text{ m/s}^2\)) である等加速度直線運動です。最高点での速度が \(0\) になる点が、今回の(2)の「最も離れるとき」に対応します。
  • 斜方投射: 水平方向は等速直線運動、鉛直方向は鉛直投げ上げ運動として、別々に考えることができます。鉛直方向の運動は、この問題と全く同じ公式で扱えます。
  • \(v-t\)グラフの問題: 等加速度直線運動の\(v-t\)グラフは直線になります。グラフの傾きが加速度 \(a\) を、グラフと軸で囲まれた面積が変位 \(x\) を表すことを利用して、公式を使わずに解くこともできます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 最初に正の向きを決める: 問題を読み始めたら、まず「右向きを正とする」など、基準となる向きを自分で宣言します。
  2. 物理量をリストアップする: 問題文から、初速度 \(v_0\)、最終速度 \(v\)、加速度 \(a\)、時間 \(t\)、変位 \(x\) のうち、分かっている量と求めたい量を整理します。このとき、向きを考慮して符号を付けます。
  3. 最適な公式を選ぶ: リストアップした物理量を見て、どの公式を使えば最も少ない手間で答えにたどり着けるかを考えます。例えば、「時間が分かっていないのに変位を求めたい」なら、\(v^2 – v_0^2 = 2ax\) が最有力候補です。
  4. 物理的なキーワードに注目する: 「静止の状態から」「最も高い点」「折り返す」などの言葉は、それぞれ \(v_0=0\) や \(v=0\) といった重要な条件を示しています。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 符号の付け忘れ・間違い:
  • 誤解: (1)で、左向きの速度 \(-2.0 \text{ m/s}\) を、符号を付けずに \(2.0\) として式に代入してしまう。
  • 対策: 物理量をリストアップする段階で、必ず向きを確認し、符号を付けて書き出す癖をつけましょう。「速さ」は大きさのみを指しますが、公式に代入するのは向きを含む「速度」であると常に意識することが重要です。
• 「最も離れる」＝ \(v=0\) に気づかない:
  • 誤解: (2)で、何を計算すればよいか分からなくなってしまう。
  • 対策: 「最も〜する点」や「折り返し点」は、その方向への速度成分が \(0\) になる点である、としっかり覚えておきましょう。これは投げ上げ運動の最高点など、多くの問題で共通する重要なポイントです。
• 公式の選択ミスによる遠回り:
  • 誤解: (2)で変位を求める際に、まず \(t=3.2 \text{ s}\) を計算し、それを \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) に代入して計算する。
  • 対策: もちろんそれでも解けますが、計算が複雑になり、\(t\) の計算ミスを引き継ぐリスクもあります。\(t\) が不要な \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使えば、より速く、より安全に解けることを知っておきましょう。常に「もっと楽な公式はないか？」と考える癖をつけると良いです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v = v_0 + at\) を選ぶとき (問1, 問2の時刻)
  • 選定理由: この式は、加速度の定義「\(a = \frac{v-v_0}{t}\)」を書き換えたもので、運動の「時間変化」と「速度変化」を最も直接的に結びつけます。
  • 適用根拠: (1)では、\(v_0, t, v\) が分かっていて \(a\) を知りたい。(2)では、\(v_0, a, v=0\) が分かっていて \(t\) を知りたい。どちらの場面も、変位 \(x\) が全く関係していません。したがって、\(x\) を含まないこの式が最もシンプルで合理的です。
• \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を選ぶとき (問2の変位)
  • 選定理由: この式は、時間 \(t\) を消去して、運動の「空間変化（変位）」と「速度変化」を直接結びつけます。
  • 適用根拠: (2)で変位を求める際、時間は問いに含まれていません。「時刻 \(t\) に関係なく、速度が \(v_0\) から \(v=0\) に変わるまでにどれだけ進むか？」を知りたいので、\(t\) を含まないこの式が最適です。
• \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\) を選ぶとき (問3)
  • 選定理由: この式は、運動の「時間変化」と「位置（変位）」を直接結びつけます。
  • 適用根拠: (3)では、「時刻 \(t=4.0 \text{ s}\) における位置はどこか？」と、時間と位置の関係が直接問われています。したがって、これらの量を含むこの式を使うのが最も自然です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号付きの代入: 負の値を代入するときは、\(+ (-2.5)\) のように、必ず括弧を付けて代入する習慣をつけましょう。これにより、符号の計算ミスを大幅に減らせます。
• 2乗の計算: \(v^2 – v_0^2\) の計算では、\(v_0\) が負の値であっても \(v_0^2\) は正の値になります。例えば \(v_0 = -8.0\) なら \(v_0^2 = (-8.0)^2 = 64\) です。\( -8.0^2 = -64\) と混同しないように注意が必要です。
• 単位の確認: 計算結果が出たら、単位が正しいか（加速度なら \(\text{m/s}^2\)、変位なら \(\text{m}\)）を確認する癖をつけましょう。
• 物理的な吟味: (3)で求めた位置 \(12 \text{ m}\) が、(2)で求めた最大到達点 \(12.8 \text{ m}\) よりも手前にあることを確認するなど、計算結果が物理的な状況と矛盾していないかを最後にチェックすることで、大きな間違いに気づくことができます。

例題5 直線運動の \(v-t\) グラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(v-t\)グラフの物理的解釈」です。与えられた速度と時間の関係を表すグラフから、加速度や移動距離といった他の物理量を読み取る方法が問われます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント

与えられた\(v-t\)グラフから、加速度\(a\)と時刻\(t\)の関係を表す\(a-t\)グラフを作成する問題です。この問題を解くための最も重要な知識は、「\(v-t\)グラフの傾きが加速度を表す」という関係です。与えられたグラフは、運動の様子が変化する3つの区間に分けられるため、それぞれの区間について傾き（＝加速度）を計算し、グラフにまとめていきます。

この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフの傾きは加速度\(a\)に等しい。
• 傾きが正の値の区間は、正の加速度（加速）。
• 傾きが0の区間（水平な直線）は、加速度0（等速直線運動）。
• 傾きが負の値の区間は、負の加速度（減速）。

具体的な解説と立式

\(v-t\)グラフは、以下の3つの区間に分けられます。

1. \(0 \le t < 25\) s の区間（加速）
2. \(25 \le t < 60\) s の区間（等速）
3. \(60 \le t \le 100\) s の区間（減速）

それぞれの区間の加速度を \(a_1, a_2, a_3\) とし、グラフの傾きを計算して求めます。加速度は、速度の変化量 \(\Delta v\) を、その変化にかかった時間 \(\Delta t\) で割ることで求められます。
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} $$
区間1: \(t=0\) s で \(v=0\) m/s、\(t=25\) s で \(v=10\) m/s なので、
$$ a_1 = \frac{10 – 0}{25 – 0} $$
区間2: \(t=25\) s で \(v=10\) m/s、\(t=60\) s で \(v=10\) m/s なので、
$$ a_2 = \frac{10 – 10}{60 – 25} $$
区間3: \(t=60\) s で \(v=10\) m/s、\(t=100\) s で \(v=0\) m/s なので、
$$ a_3 = \frac{0 – 10}{100 – 60} $$

各区間の加速度を計算します。

区間1 (\(0 \le t < 25\) s):
$$
\begin{aligned}
a_1 &= \frac{10 – 0}{25 – 0} \\[2.0ex]&= \frac{10}{25} \\[2.0ex]&= 0.40 \text{ [m/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$
区間2 (\(25 \le t < 60\) s):
$$
\begin{aligned}
a_2 &= \frac{10 – 10}{60 – 25} \\[2.0ex]&= \frac{0}{35} \\[2.0ex]&= 0 \text{ [m/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$
区間3 (\(60 \le t \le 100\) s):
$$
\begin{aligned}
a_3 &= \frac{0 – 10}{100 – 60} \\[2.0ex]&= \frac{-10}{40} \\[2.0ex]&= -0.25 \text{ [m/s}^2\text{]}
\end{aligned}
$$

加速度は、\(v-t\)グラフの「傾き」を計算すればわかります。

・最初の \(0 \sim 25\) 秒の区間は、傾きが「縦の変化10 ÷ 横の変化25」で \(0.40\) です。

・次の \(25 \sim 60\) 秒の区間は、グラフが真横で平らなので、傾きは \(0\) です。

・最後の \(60 \sim 100\) 秒の区間は、傾きが「縦の変化-10 ÷ 横の変化40」で \(-0.25\) です。

これらの値を、それぞれの時間区間でグラフに描くと、\(a-t\)グラフが完成します。

各区間の加速度は、\(0.40 \text{ m/s}^2\), \(0 \text{ m/s}^2\), \(-0.25 \text{ m/s}^2\) となります。これを\(a-t\)グラフで表すと、各区間で加速度の値が一定の、階段状のグラフになります。加速→等速→減速という運動の様子と、加速度が正→0→負と変化する結果は、物理的に正しく対応しています。

問(2)

思考の道筋とポイント

点Aから点Bまでの距離、すなわち自動車が \(t=0\) から \(t=100\) s までに移動した総距離を求める問題です。この問題を解くための最も重要な知識は、「\(v-t\)グラフと時間軸で囲まれた面積が移動距離を表す」という関係です。グラフ全体の形が台形であることに着目し、台形の面積公式を用いて計算するのが最も効率的です。

この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフと時間軸で囲まれた面積が、移動距離に等しい。
• 図形全体の形（台形）を見抜き、面積公式を適用する。

具体的な解説と立式

点Aから点Bまでの距離 \(x\) は、\(v-t\)グラフと \(t\) 軸で囲まれた、\(t=0\) から \(t=100\) s までの台形の面積に等しくなります。
台形の面積は、公式「\(\frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ}\)」で求められます。
グラフから、各部分の長さを読み取ります。

• 上底: 速度が一定だった区間の長さ。\(t=25\) s から \(t=60\) s までなので、\(60 – 25 = 35\) s。
• 下底: 運動していた全体の時間。\(t=0\) s から \(t=100\) s までなので、\(100 – 0 = 100\) s。
• 高さ: グラフの最大速度。\(10\) m/s。

これらの値を台形の面積公式に代入して、移動距離 \(x\) を求めます。
$$ x = \frac{1}{2} \times \{ (60 – 25) + 100 \} \times 10 $$

移動距離 \(x\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= \frac{1}{2} \times \{ (60 – 25) + 100 \} \times 10 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times (35 + 100) \times 10 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 135 \times 10 \\[2.0ex]&= 675 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
問題文で与えられた数値の有効数字は2桁と考えられるため、答えも有効数字2桁で表します。
$$ x \approx 6.8 \times 10^2 \text{ [m]} $$

自動車が進んだ距離は、\(v-t\)グラフの下側の面積を計算することで求められます。このグラフの形は「台形」なので、小学校で習った台形の面積公式「（上底＋下底）× 高さ ÷ 2」が使えます。
・上底は、グラフの平らな部分の横の長さで、\(60 – 25 = 35\)。
・下底は、グラフ全体の横の長さで、\(100\)。
・高さは、グラフの一番高いところで、\(10\)。
これを公式に入れると、「\((35 + 100) \times 10 \div 2 = 675\)」となり、進んだ距離は \(675 \text{ m}\) とわかります。

結論と吟味

点Aと点Bの間の距離は \(675 \text{ m}\) です。有効数字を考慮すると \(6.8 \times 10^2 \text{ m}\) となります。
この計算は、3つの区間（三角形、長方形、三角形）の面積をそれぞれ計算して足し合わせても同じ結果が得られます。
・区間1（三角形）: \(\frac{1}{2} \times 25 \times 10 = 125 \text{ m}\)
・区間2（長方形）: \(35 \times 10 = 350 \text{ m}\)
・区間3（三角形）: \(\frac{1}{2} \times 40 \times 10 = 200 \text{ m}\)
合計: \(125 + 350 + 200 = 675 \text{ m}\)。計算結果が一致するため、妥当であると確認できます。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(v-t\)グラフの2大原則
  • 核心: この問題は、\(v-t\)グラフが持つ2つの重要な物理的意味を理解しているかを問うています。
    1. グラフの傾き = 加速度 (\(a\)): グラフがどれだけ急か（緩やかか）が、速度の変化の度合い（加速度）を表します。
    2. グラフと軸で囲まれた面積 = 移動距離 (\(x\)): グラフの下の部分の面積が、その時間内に物体が進んだ距離の総和を表します。
  • 理解のポイント: この2つの原則さえ覚えていれば、\(v-t\)グラフに関するほとんどの問題は解くことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(a-t\)グラフからの情報読み取り: 逆に加速度\(a\)と時刻\(t\)のグラフが与えられ、速度変化（面積）や\(v-t\)グラフを求めさせる問題。\(a-t\)グラフの面積が速度の変化量 \(\Delta v\) を表すことを利用します。
  • \(x-t\)グラフからの情報読み取り: 位置\(x\)と時刻\(t\)のグラフが与えられ、その傾きから速度\(v\)を求めて\(v-t\)グラフを作成し、さらに加速度や移動距離を分析する問題。
  • 2物体の追い越し・すれ違い: 2つの物体の\(v-t\)グラフを同じ座標軸に描き、グラフの面積の差が初期の距離と等しくなる時刻を求める、といった問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を絶対確認: まず、縦軸が\(v\)（速度）か、\(x\)（位置）か、\(a\)（加速度）かを確認します。これを間違えると全てが台無しになります。
  2. 運動の区間を分ける: グラフの形が変わる点（折れ曲がる点）で区切りを入れ、「加速区間」「等速区間」「減速区間」のように、運動の種類を把握します。
  3. 問われているのは「傾き」か「面積」か？: 問題が「加速度」を問うていれば傾きに、「距離」や「変位」を問うていれば面積に注目します。この対応関係を瞬時に引き出せるようにしましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(v-t\)グラフと\(x-t\)グラフの解釈の混同:
  • 誤解: \(v-t\)グラフの水平な部分（\(25 \le t < 60\) s）を「静止している」と勘違いする。
  • 対策: 正しくは「速度が一定（等速直線運動）」です。静止している場合は \(v=0\) となり、グラフは時間軸に重なります。常に「このグラフの縦軸は何を表しているか？」と自問する癖をつけましょう。
• 傾きの計算ミス:
  • 誤解: (1)の減速区間（\(60 \le t \le 100\) s）の傾きを計算する際、速度の変化を \(10-0=10\) と正の数で計算してしまい、加速度の符号を間違える。
  • 対策: 傾きの計算は必ず「後の値 – 前の値」で行うことを徹底しましょう。速度の変化は \(v_{\text{後}} – v_{\text{前}} = 0 – 10 = -10\) です。この順序を守れば、符号ミスは防げます。
• 面積の計算ミス（特に台形）:
  • 誤解: (2)で台形の面積を計算する際、上底の長さを \(60\) や \(25\) と勘違いする。
  • 対策: 上底は「速度が一定だった区間の時間」なので、\(60 – 25 = 35\) s です。図形に「上底=35」「下底=100」「高さ=10」と数値を書き込んでから、\(\frac{1}{2} \times (35+100) \times 10\) のように式を立てると、ミスが減ります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 加速度の定義 (\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)で加速度を求めるために使用します。これは、\(v-t\)グラフの「傾き」の計算そのものです。
  • 適用根拠: 加速度は「単位時間あたりの速度の変化量」として定義されています。グラフ上では、これは「縦軸の変化量（\(\Delta v\)）を横軸の変化量（\(\Delta t\)）で割ったもの」に他ならず、数学的な傾きの定義と完全に一致します。
• \(v-t\)グラフの面積 = 移動距離:
  • 選定理由: (2)で移動距離を求めるために使用します。
  • 適用根拠: もし物体が一定の速さ \(v\) で時間 \(t\) だけ動けば、移動距離は \(x = vt\) です。これは、\(v-t\)グラフに描かれる高さ\(v\)、横幅\(t\)の長方形の面積と一致します。速度が変化する場合でも、非常に短い時間 \(\Delta t\) を考えれば、その間の移動距離は \(v \Delta t\)（細い長方形の面積）とみなせます。この細い長方形を全時間で足し合わせたものが総移動距離であり、それはグラフ全体の面積に等しくなる、という考え方に基づいています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 座標の読み取りを正確に: グラフの折れ曲がる点の座標（\(t=25, v=10\)）、（\(t=60, v=10\)）、（\(t=100, v=0\)）などを、最初に正確に読み取ってメモしておくと、計算ミスを防げます。
• 区間ごとの計算: 面積を求める際、台形の公式に自信がなければ、三角形、長方形、三角形の3つの部分に分けて、それぞれの面積を計算して最後に足し合わせる方法も有効です。これは良い検算にもなります。
• 有効数字の扱い: (2)の答えが \(675 \text{ m}\) から \(6.8 \times 10^2 \text{ m}\) になっているのは、有効数字を2桁に揃えるためです。問題文の数値（10, 25, 60, 100）が2桁の精度を持つと解釈した場合、答えもそれに合わせるのが一般的です。テストでは問題の指示に従いましょう。

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