245 反射の法則
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、ホイヘンスの原理を用いて、波の反射において入射角と反射角が等しくなる「反射の法則」を、作図と幾何学的な考察によって証明する過程を穴埋め形式で問うものです。物理法則の根本的な導出プロセスを理解しているかが試されます。
- ホイヘンスの原理に基づく、反射の法則の導出過程（文章と図）
- 波の速さ: \(v\)
- 点Bが点B’に達するまでの時間: \(t\)
- 入射角: \(i = \angle\text{BAB’}\)
- 文章中の空欄①〜④に当てはまる適切な語句、式、または記号。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「ホイヘンスの原理を用いた反射の法則の導出」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- ホイヘンスの原理: 波面上の各点が新しい波源（素元波）となり、それらの波の共通接線が次の波面を形成するという考え方。
- 素元波: 波面上の各点から発生する二次的な球面波（あるいは円形波）。
- 波の伝播: 波は速さ\(v\)で進み、時間\(t\)の間に\(vt\)の距離を進む。
- 幾何学（三角形の合同）: 反射の法則を証明するための数学的な道具。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、問題文と図を照らし合わせ、ホイヘンスの原理による作図のプロセスを順に追っていきます。
- 次に、各空欄について、物理法則や幾何学的な関係から、最も適切な語句や式を導き出します。
問(1) 空欄①について
思考の道筋とポイント
ホイヘンスの原理の最も基本的な用語を問う問題です。波面上の各点から次々と発生し、次の波面を形成する元となる波が何と呼ばれるかを理解しているかがポイントです。
この設問における重要なポイント
- ホイヘンスの原理では、ある瞬間の波面上のすべての点が、それぞれを中心とする新しい波を出す「波源」になると考えます。
- この新しい波源から発生する波を「素元波（そげんは）」または「二次波」と呼びます。
具体的な解説と立式
問題文の「Aに近いほうから順に①波が出ていく」という記述は、ホイヘンスの原理そのものを説明しています。波面が媒質の各点に到達すると、その点が新たな波源となり、そこから球面状（あるいは円状）の波が広がっていきます。この個々の波のことを「素元波」と呼びます。
使用した物理公式
- (物理用語の定義)
(なし)
波の面が壁にぶつかると、ぶつかった点から次々と新しい小さな波が生まれていく、と考えるのがホイヘンスの原理です。この「新しい小さな波」のことを物理用語で「素元波」と呼びます。
したがって、空欄①には「素元」が入ります。
問(2) 空欄②について
思考の道筋とポイント
点Aから出た素元波が、ある時間\(t\)の間に進む距離を求める問題です。波の速さが与えられているので、基本的な「距離・速さ・時間」の関係を用います。
この設問における重要なポイント
- 波は、媒質中を一定の速さ\(v\)で伝わります。
- 距離、速さ、時間の関係式は「距離 = 速さ × 時間」です。
具体的な解説と立式
問題文によると、入射波の波面上の点Bが反射面上の点B’に到達するのにかかる時間が\(t\)です。この時間\(t\)の間に、点Aで発生した素元波も、同じ速さ\(v\)で周囲に広がっていきます。素元波は円形（または球状）に広がるため、その半径は波が進んだ距離に等しくなります。
使用した物理公式
- 距離 = 速さ × 時間
$$
\begin{aligned}
\text{半径} &= \text{速さ} \times \text{時間} \\[2.0ex]
&= v \times t \\[2.0ex]
&= vt
\end{aligned}
$$
点Bが点B’まで進むのにかかった時間と、点Aから新しい波（素元波）が広がっていく時間は同じ\(t\)です。波の速さは\(v\)なので、時間\(t\)の間に進む距離は「速さ\(v\) × 時間\(t\)」、つまり\(vt\)となります。これが、点Aを中心として広がる素元波の円の半径になります。
したがって、空欄②には「\(vt\)」が入ります。
問(3) 空欄③について
思考の道筋とポイント
反射角\(i’\)が、図中のどの角で表現されるかを特定する問題です。入射角\(i\)の定義 \(i=\angle\text{BAB’}\) を参考に、反射角も同様の形式で表現します。
この設問における重要なポイント
- 入射角・反射角は、本来は「波の進行方向」と「面の法線」とのなす角です。
- 幾何学的には、「波面」と「面」とのなす角とも等しくなります。
- この問題では、特定の三角形の角として定義されています。
具体的な解説と立式
まず、反射角\(i’\)の基本的な定義を確認します。図において、反射角\(i’\)は、点Aにおける反射波の進行方向（波面A’B’に垂直な方向）と、反射面の法線（反射面に垂直な破線）とのなす角として示されています。
次に、この角\(i’\)が、三角形のどの角に等しいかを幾何学的に考えます。
反射波の波面はA’B’、反射面はAB’です。この2つの線分のなす角は∠AB’A’です。
点A’において、半径AA’と接線A’B’は垂直なので、∠AA’B’ = 90°です。
直角三角形△AA’B’において、∠B’AA’ + ∠AB’A’ = 90° です。
一方、反射波の進行方向は波面A’B’に垂直であり、法線は反射面AB’に垂直です。「2つの直線がなす角は、それぞれの直線の法線がなす角に等しい」という幾何学的な性質から、反射角\(i’\)は、波面A’B’と反射面AB’のなす角に等しくなります。
したがって、反射角\(i’\)は∠AB’A’と等しくなります。
使用した物理公式
- (なし。幾何学的な考察)
(なし)
入射角が図中の特定の角 \(\angle\text{BAB’}\) で表されているのと同様に、反射角も図中の角で表すことを考えます。図形をよく見ると、反射波の進行方向と法線のなす角\(i’\)は、反射波の波面A’B’と反射面AB’のなす角 \(\angle\text{AB’A’}\) と等しいことがわかります。
したがって、空欄③には「∠AB’A’」が入ります。
問(4) 空欄④について
思考の道筋とポイント
反射の法則 \(i=i’\) を証明するために、2つの三角形がどのような関係にあるかを答える問題です。辺の長さなどを比較し、三角形の合同条件を適用して結論を導きます。
この設問における重要なポイント
- 証明のゴールは \(i=i’\)、すなわち \(\angle\text{BAB’} = \angle\text{AB’A’}\) を示すことです。
- この2つの角を含む2つの三角形を見つけ、それらが合同であることを示します。
- 直角三角形の合同条件「斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」を利用します。
具体的な解説と立式
反射の法則 \(i=i’\) を証明するため、図中の2つの三角形に着目します。問題文では「△A’AB’と△BB’A」とありますが、これは頂点の順序が一般的でなく、比較対象が分かりにくいため、図形的に対応関係が明確な △B’AA’ と △AB’B を比較して考えます。
- 辺の長さの比較:
- 辺AA’は、点Aから出た素元波が時間\(t\)で進む距離なので、その長さは \(AA’ = vt\) です。
- 辺BB’は、点Bにいた波が点B’に到達するまでの距離で、時間\(t\)、速さ\(v\)で進むので、その長さは \(BB’ = vt\) です。
- よって、\(AA’ = BB’\) となります。
- 辺AB’は、2つの三角形で共通の辺です。
- 角度の比較:
- ∠B’A’A: 点Aを中心とする円と、点B’からの接線A’B’の接点がA’なので、半径AA’と接線は垂直に交わります。よって、∠B’A’A = 90°です。
- ∠ABB’: 波の進行方向（線分BB’の方向）と、その波の波面（線分AB）は常に垂直です。よって、∠ABB’ = 90°です。
- 合同の証明:
- 以上のことから、△B’AA’と△AB’Bは、共に直角三角形です。
- 斜辺AB’が共通です。
- 他の一辺が \(AA’ = BB’ = vt\) で等しいです。
- 「直角三角形において、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」という合同条件を満たすため、△B’AA’と△AB’Bは合同です。
使用した物理公式
- (なし。三角形の合同条件)
(なし)
反射の法則（入射角＝反射角）を証明するために、図の中に隠れている2つの直角三角形（△B’AA’と△AB’B）を見つけます。この2つの三角形は、(1)斜辺の長さが共通で、(2)もう一つの辺の長さがどちらも\(vt\)で等しい、という条件を満たします。したがって、この2つの三角形は形も大きさも全く同じ「合同」であると言えます。
したがって、空欄④には「合同」が入ります。2つの三角形が合同であるため、対応する角は等しくなり、\(\angle\text{BAB’} = \angle\text{AB’A’}\)、すなわち \(i=i’\) が成立することが証明されます。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- ホイヘンスの原理:
- 核心: 波の伝播を説明するための基本原理です。「波面上の各点が、それぞれ新しい波源（素元波）となり、それらの無数の素元波に共通して接する面（包絡面）が、次の瞬間の新しい波面となる」という考え方です。この原理によって、波の直進、反射、屈折、回折といったすべての現象を統一的に説明できます。
- 理解のポイント: この問題では、反射面上の点Aに到達した波が素元波を出し、その素元波が広がる様子と、遅れて点B’に到達した波面とを組み合わせることで、反射波の新しい波面A’B’が作図されています。この作図プロセスそのものがホイヘンスの原理の応用です。
- 波の基本性質（距離＝速さ×時間）:
- 核心: 波が媒質中を一定の速さ\(v\)で伝播するという性質です。これにより、時間\(t\)が経過した後に波が進む距離は\(vt\)と計算できます。
- 理解のポイント: この問題では、点Bの波が点B’に到達する時間\(t\)の間に、点Aから出た素元波が広がる半径を\(vt\)と計算するために用いられています。これが、反射の法則を幾何学的に証明する上での重要な辺の長さを与えています。
- 三角形の合同条件（幾何学）:
- 核心: 物理法則である反射の法則（\(i=i’\)）を、数学的な厳密さで証明するための道具です。
- 理解のポイント: 物理現象を作図した結果、2つの直角三角形（△B’AA’と△AB’B）が現れます。これらの三角形が「斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」という合同条件を満たすことを示すことで、対応する角である入射角\(i\)と反射角\(i’\)が等しいことを論理的に導き出します。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 屈折の法則の導出: この問題と全く同じアプローチで、屈折の法則も証明できます。違いは、反射面が媒質の境界面になり、境界面を通過した後の波の速さが\(v_2\)に変わる点です。これにより、2つの三角形は合同にはなりませんが、辺の比の関係から \(\displaystyle\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}\) という関係式を導出できます。
- 回折現象の説明: 狭いスリットを通過した波が、スリットの向こう側で円形に広がっていく現象も、スリットを一つの素元波の波源と考えることで、ホイヘンスの原理から説明されます。
- 初見の問題での着眼点:
- 波面の動きを時間追跡する: ホイヘンスの原理を扱う問題では、波面上の代表的な2点（この問題ではAとB）の動きを時間\(t\)の間、追いかけることが基本です。
- 「時間」を共通の媒介変数とする: 一方の点が移動する時間と、もう一方の点から素元波が広がる時間は等しい、という関係が鍵になります。この共通の時間\(t\)を使って、各部が進む距離（\(v_1t\), \(v_2t\)など）を計算します。
- 図形的な関係性を見抜く: 作図した結果できあがる図形（多くは直角三角形）に着目し、辺の長さや角度の関係を三角比や合同・相似の知識を使って解き明かします。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 入射角・反射角の定義の混同:
- 誤解: 入射角や反射角を、「波面」と「法線」の間の角や、「進行方向」と「面」の間の角と勘違いしてしまう。
- 対策: 角度の定義は「波の進行方向と、面の法線とのなす角」であることを常に意識しましょう。ただし、幾何学的な関係から「波面と、面そのものとのなす角」に等しくなることも理解しておくと、作図問題では非常に便利です。この問題では、後者の定義（\(i=\angle\text{BAB’}\)）が使われています。
- 三角形の対応関係の間違い:
- 誤解: 合同な三角形を比較する際に、対応する頂点や辺、角を取り違えてしまう。問題文の表記「△A’AB’と△BB’A」は頂点の対応が分かりにくく、混乱の原因になり得ます。
- 対策: 自分で図を描き直し、対応する頂点の順序を揃えて（例：△B’AA’と△AB’B）考える習慣をつけましょう。斜辺、直角、そして計算で求めた辺（\(vt\)）がそれぞれどの部分に対応するのかを明確に意識することで、ミスを防げます。
- 素元波の半径の誤認:
- 誤解: 素元波の半径を、何となく与えられた辺の長さ（AB’など）と勘違いしてしまう。
- 対策: 素元波の半径は、あくまで「波が広がった距離」です。必ず「速さ×時間」で計算される物理量であることを徹底しましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- 波面を「兵士の列」でイメージする: 入射波の波面ABを、横一列に並んで行進する兵士の列だと想像します。反射面AB’は、彼らが向きを変えるべき壁です。
- まず、列の左端の兵士Aが壁に到達します。彼はその場で方向転換を開始します（素元波の発生）。
- その間も、列の右側の兵士たちはまだ前進を続けています。右端の兵士Bが壁のB’点に到達した瞬間を考えます。
- 兵士BがBからB’まで進むのにかかった時間と、兵士Aが方向転換して新しい方向に進んだ時間は同じです。
- 最終的に、壁に到達した兵士たちが作る新しい列の向き（反射波の波面A’B’）が決まります。このイメージは、時間の経過と各点の動きを直感的に理解するのに役立ちます。
- 波面を「兵士の列」でイメージする: 入射波の波面ABを、横一列に並んで行進する兵士の列だと想像します。反射面AB’は、彼らが向きを変えるべき壁です。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 垂直関係を明確に描く: 「波の進行方向と波面は垂直」「半径と接線は垂直」といった、図の中の90°になる箇所を直角記号で明記することが極めて重要です。これが直角三角形を見つけるための最大のヒントになります。
- 等しい長さを明記する: 計算によって等しいと分かった辺（AA’とBB’）には、同じ印（チョンチョンなど）を付けると、合同条件が一目で分かるようになります。
- 角度を正しく記入する: 入射角\(i\)と反射角\(i’\)が、図形のどの部分に対応するのかを正確に書き込みましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- ホイヘンスの原理:
- 選定理由: この問題は、反射の法則というマクロな現象を、波の基本的な性質というミクロな視点から説明・証明することが目的だからです。ホイヘンスの原理は、そのための唯一無二の理論的道具です。
- 適用根拠: 波の伝播に関するあらゆる現象（反射、屈折、回折）の根源的なモデルとして確立されている原理です。
- 距離 = 速さ × 時間 (\(L=vt\)):
- 選定理由: ホイヘンスの原理に基づいて作図する際、素元波が広がる半径や、波面が移動する距離を具体的に決定する必要があるため。
- 適用根拠: 等速直線運動における最も基本的な関係式であり、波の伝播にもそのまま適用できます。
- 三角形の合同条件:
- 選定理由: 最終的に証明したいのが「角度が等しい（\(i=i’\)）」ことであるため、その角度を含む2つの図形が同じ形・大きさであること（合同）を示せば、結論を導けるからです。
- 適用根拠: ユークリッド幾何学における基本的な定理であり、図形の性質を論理的に証明するための数学的なツールです。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1)〜(4) 穴埋めの論理フロー:
- ① 素元波の特定: ホイヘンスの原理の定義から、波面上の各点から出る波は「素元波」であると特定する。
- ② 半径の計算: 点BがB’に達する時間\(t\)と、波の速さ\(v\)から、点Aから出た素元波の半径（進んだ距離）は\(vt\)であると計算する。
- ③ 反射角の特定: 反射角\(i’\)の定義（進行方向と法線のなす角）と、図形的な関係（波面と面のなす角）から、\(i’ = \angle\text{AB’A’}\) であると特定する。
- ④ 合同の証明: 2つの直角三角形（△B’AA’と△AB’B）に着目する。
- 斜辺AB’が共通。
- 他の一辺が AA’ = BB’ = \(vt\) で等しい。
- 直角三角形の合同条件を満たすため、2つの三角形は「合同」であると結論づける。
- 結論: 合同な図形の対応する角は等しいので、\(i=i’\)が成立する。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- この問題は計算を含まないが、類似問題（屈折の法則）への応用を考える:
- 文字式のまま計算を進める: 屈折の法則を導く際は、\(\sin i = \displaystyle\frac{BB’}{AB’} = \frac{v_1 t}{AB’}\) や \(\sin r = \displaystyle\frac{AA’}{AB’} = \frac{v_2 t}{AB’}\) のように、各要素を文字で表現します。
- 比を取って不要な文字を消去する: 上記の2つの式の比を取ることで、共通の辺AB’や時間\(t\)が消去され、\(\displaystyle\frac{\sin i}{\sin r} = \frac{v_1}{v_2}\) という本質的な関係式だけが残ります。途中で数値を代入せず、最後にまとめて整理するのが、見通しを良くし、ミスを減らすコツです。
- 定義の正確な理解: この問題では、計算ミスよりも「素元波」「入射角」といった物理用語や幾何学的な定義の誤解がミスの原因となります。言葉の定義を一つ一つ正確に覚えることが、結果的に正解への近道です。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (1) 素元波: ホイヘンスの原理を説明する文脈で「素元波」という言葉が出てくるのは、極めて自然であり、妥当です。
- (2) vt: 半径は距離の次元を持つ必要があります。速さ\(v\) [m/s] と時間\(t\) [s] の積\(vt\)は、単位が [m] となり、距離を表す量として妥当です。
- (3) ∠AB’A’: 入射角が波面と面のなす角で定義されているため、反射角も同様に反射波の波面と面のなす角で表現されるはずだ、という類推が働き、妥当な答えだと判断できます。
- (4) 合同: もし2つの三角形が合同でなければ、角度が等しいという結論は導けません。反射の法則を証明するという目的から逆算しても、「合同」という結論は論理的に必須であり、妥当です。
- 思考プロセスの自己検証:
- ホイヘンスの原理から出発し、作図を行い、幾何学的な証明を経て、最終的に反射の法則という既知の法則を導き出せました。この一連の流れに論理的な飛躍や矛盾がないかを確認することで、自分の理解の確かさを検証できます。「なぜこの手順で証明できるのか？」を自分の言葉で説明できるかどうかが、理解度を測る良いバロメーターになります。
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