今回の問題
dynamics#21【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「合力と力のモーメント」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 合力: 複数の力を一つの力で代表させたものです。平行で同じ向きの力の場合、合力の大きさは各力の大きさの和になります。
- 力のモーメント: ある点のまわりに物体を回転させようとする能力のことで、「力 × 支点からのうでの長さ」で計算されます。
- 合力のモーメントの定理: 「複数の力の、ある点のまわりのモーメントの和」は、「それらの力の合力の、同じ点のまわりのモーメント」に等しいという非常に重要な関係があります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、まず3つの力の合力の大きさを求めます。次に、「合力のモーメントの定理」を用いて、基準点Oのまわりで「3つの力のモーメントの和 = 合力のモーメント」という式を立て、合力の作用線の位置を求めます。
- (2)では、任意の点Pを基準として、3つの力が作るモーメントをそれぞれ計算し、その和を求めます。その後、合力が0になるという特別な条件を適用し、式がどのように変化するかを考察します。
問(1)
思考の道筋とポイント
3つの平行な力を、一つの力（合力）で置き換えることを考えます。その合力の「大きさ」と「作用する位置」を特定するのが目標です。大きさは単純な足し算で求まります。作用する位置は、「合力のモーメントの定理」を使って求めます。基準点（支点）をO点に選ぶと、計算が最も簡単になります。
この設問における重要なポイント
- 合力のモーメントは、各力のモーメントの和に等しい。
- 平行な力の合力の大きさは、各力の大きさの和に等しい。
- 基準点をO点に設定すると、うでの長さがそのまま\(l_1, l_2, l_3\)となり計算しやすい。
具体的な解説と立式
3つの力の合力の大きさを\(F_{合力}\)とします。図より、3つの力はすべて同じ向きなので、
$$ F_{合力} = F_1 + F_2 + F_3 $$
この合力の作用線の位置を、端点Oから測った距離\(l\)とします。
「合力のモーメントの定理」より、O点のまわりで以下の等式が成り立ちます。
$$ (\text{合力のモーメント}) = (\text{各力のモーメントの和}) $$
- 合力のO点のまわりのモーメント: \(F_{合力} \times l\)
- 各力のO点のまわりのモーメントの和: \(F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3\)
したがって、
$$ (F_1 + F_2 + F_3) l = F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3 \quad \cdots ① $$
この式を\(l\)について解きます。
- 合力のモーメントの定理
式①を\(l\)について解きます。問題の条件より合力は0でないので、\(F_1 + F_2 + F_3 \neq 0\) であり、この式で両辺を割ることができます。
$$ l = \frac{F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3}{F_1 + F_2 + F_3} $$
3つの力を1つの力（合力）にまとめることを考えます。合力の大きさは単純に \(F_1+F_2+F_3\) です。この合力がはたらく位置は、「合力が作る回転効果（モーメント）」が「元の3つの力が作る回転効果の合計」と等しくなるような場所です。この条件から式を立てて解くと、答えが求まります。この答えの形は、質点の系の重心を求める式とよく似ています。
合力の作用線の位置は、端点Oから \(\displaystyle\frac{F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3}{F_1 + F_2 + F_3}\) の距離にある点です。これは、各力の作用点の位置を、力の大きさで重みづけした平均（加重平均）の位置を表しており、物理的に妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
任意の点Pのまわりの3力のモーメントの和を求めます。モーメントは「力 × うでの長さ」で計算されますが、このときの「うでの長さ」は、各力の作用点から点Pまでの距離になることに注意が必要です。計算後、合力が0になるという特別な場合について考察します。
この設問における重要なポイント
- 任意の点Pを基準としたときの、うでの長さを正しく表現する。
- 合力が0のとき、モーメントの和が支点の位置によらず一定になる「偶力」の性質を理解する。
具体的な解説と立式
点Pのまわりの3力のモーメントの和を \(M_P\) とします。反時計回りを正とします。
- 力\(F_1\)のうでの長さ: \(l_1 – x\)
- 力\(F_2\)のうでの長さ: \(l_2 – x\)
- 力\(F_3\)のうでの長さ: \(l_3 – x\)
したがって、モーメントの和 \(M_P\) は、
$$ M_P = F_1(l_1 – x) + F_2(l_2 – x) + F_3(l_3 – x) \quad \cdots ② $$
この式を整理します。
$$
\begin{aligned}
M_P &= F_1 l_1 – F_1 x + F_2 l_2 – F_2 x + F_3 l_3 – F_3 x \\
&= (F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3) – (F_1 + F_2 + F_3)x
\end{aligned}
$$
特に、3力の合力が0となる場合:
合力が0とは、\(F_1 + F_2 + F_3 = 0\) を意味します。（ただし、図では全ての力が上向きなので、この条件を満たすには実際には下向きの力も必要です。）
この条件を上の式に代入すると、\(x\) を含む第2項が0になります。
$$ M_P = F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3 $$
- 力のモーメント: \(M = F \times (\text{うでの長さ})\)
上記「具体的な解説と立式」の通り、各力のモーメントを計算し、和を求めて整理します。
点Pを支点として、3つの力がそれぞれ作る回転効果（モーメント）を足し合わせます。それぞれのモーメントは「力 × P点からの距離」で計算できます。これを式で表して整理すると、答えの形になります。
もし、3つの力の合計（合力）がゼロになる特別な場合、計算式の後半部分が消えてしまいます。その結果、モーメントの和はP点の位置(\(x\))に関係なく、一定の値になることがわかります。
点Pのまわりのモーメントの和は \((F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3) – (F_1 + F_2 + F_3)x\) です。
合力が0の場合、モーメントの和は \(F_1 l_1 + F_2 l_2 + F_3 l_3\) となり、これはO点のまわりのモーメントの和と等しく、支点Pの位置\(x\)に依存しません。これは「偶力」のモーメントの重要な性質です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 合力のモーメントの定理:
- 核心: この問題は、「複数の力のモーメントの和」と「それらの合力のモーメント」が等しいという、力のモーメントに関する非常に重要な定理を理解しているかを問うています。
- 理解のポイント: この定理があるからこそ、複数の力を一つの合力で代表させて、その作用点を考えることができます。(1)の重心に似た形の答えは、この定理から導かれます。また、(2)で導かれる式も、この定理を一般化したものと見なすことができます。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 重心の計算: 複数の質点からなる系の重心の位置を求める問題。各質点にはたらく重力を平行な力とみなし、その合力の作用点を求めることで、重心の位置が計算できます。その結果は(1)の答えと同じ形になります。
- 偶力: 合力が0でモーメントが0でない力の組を「偶力」と呼びます。車のハンドルを両手で回すときなどがその例です。(2)の後半は、この偶力のモーメントが支点の位置によらない、という性質を示しています。
- 初見の問題での着眼点:
- 「合力の作用線」という言葉に注目: この言葉を見たら、「合力のモーメントの定理」を使う問題であると即座に判断します。
- 基準点（支点）を設定する: モーメントを計算するには、必ず基準となる点が必要です。問題で指定されていなければ、計算が最も簡単になる点（力が多く作用する点や、端点など）を自分で選びます。
- モーメントの符号を統一する: 計算を始める前に、時計回りと反時計回りのどちらを正とするかを決め、全てのモーメント計算でそのルールを一貫して適用します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 合力の作用点と重心の混同:
- 誤解: (1)で求めた位置を、棒の「重心」であると勘違いする。
- 対策: 「重心」は、物体を構成する各部分にはたらく「重力」の合力の作用点です。一方、(1)で求めたのは、外部から加えられた力 \(F_1, F_2, F_3\) の合力の作用点です。これらは一般に異なります。
- うでの長さの計算ミス:
- 誤解: (2)で点Pのまわりのモーメントを計算する際に、うでの長さを \(l_1, l_2, l_3\) のまま使ってしまう。
- 対策: うでの長さは、常に「支点からの距離」です。支点がPに移動したので、うでの長さも \(l_1-x, l_2-x, l_3-x\) と変化することを、図を描いて確認しましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 合力のモーメントの定理:
- 選定理由: 複数の力がはたらく剛体の回転運動を考える際、個々の力の影響をいちいち考えるのは煩雑です。この定理を使うことで、複数の力を「一つの力（合力）」とその「作用点」という2つの要素に集約して考えることができ、問題を大幅に単純化できます。
- 適用根拠: この定理は、力のモーメントの定義と、力のベクトル和（合力）の定義から数学的に導かれます。物理的には、「物体全体を回転させようとする総合的な効果は、個々の力が作る回転効果を単純に足し合わせたものに等しい」という、重ね合わせの原理の一種と考えることができます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式の整理は丁寧に: (2)でモーメントの和を計算した後、\(x\) を含む項と含まない項に分ける際に、分配法則を正しく使い、符号ミスがないように注意深く整理しましょう。
- 物理的な意味を考える: (1)の答えの形が「加重平均」になっていることや、(2)の後半でモーメントが支点によらなくなることなど、計算結果が持つ物理的な意味を考えることで、自分の計算が妥当であるかを確認できます。
- 具体的な数値を代入して検算: もし時間に余裕があれば、\(F_1=1, l_1=1, F_2=2, l_2=3\) のように簡単な数値を代入してみて、(1)と(2)の関係式が成り立つかを確認するのも有効な検算方法です。
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