未来の得点力へ！物理基礎 問題演習「圧力の計算（人が台におよぼす圧力と大気圧）」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「圧力の計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

台にのる人数を求める

思考の道筋とポイント
この問題は、圧力の定義式 \(P = \frac{F}{S}\) を中心に組み立てられています。目標とする圧力\(P\)（大気圧）と面積\(S\)は与えられているので、まず台にかかる力\(F\)がいくらになればよいかを計算します。次に、その力\(F\)が、質量60kgの人の何人分の重さに相当するかを計算することで、人数を求めます。

この設問における重要なポイント

• 圧力の定義式 \(P = \frac{F}{S}\) を正しく使える。
• 力\(F\)が、台の上の人々の総重量であることを理解している。
• 質量と重さ（力）の関係 \(F=mg\) を理解している。

具体的な解説と立式
台にのる人数を\(N\)人とおきます。
台にはたらく圧力が大気圧に等しくなるときの、台にはたらく力の大きさを\(F\) [N]とします。
圧力の定義式 \(P = \frac{F}{S}\) より、\(F = P \cdot S\) となります。
問題の条件より、

• 圧力 \(P = 1.0 \times 10^5\) Pa
• 面積 \(S = 5.0 \, \text{m}^2\)

なので、必要な力の大きさ\(F\)は、
$$ F = (1.0 \times 10^5) \times 5.0 = 5.0 \times 10^5 \text{ [N]} $$
この力\(F\)は、台にのった\(N\)人の人々の総重量と等しくなります。
一人の人の質量を \(m = 60\) kg、重力加速度の大きさを \(g = 9.8 \, \text{m/s}^2\) とすると、一人あたりの重量 \(W_1\) は、
$$ W_1 = mg = 60 \times 9.8 $$
\(N\)人の総重量は \(N \cdot W_1\) なので、
$$ F = N \cdot W_1 = N \times (60 \times 9.8) $$
したがって、次の等式が成り立ちます。
$$ N \times (60 \times 9.8) = 5.0 \times 10^5 \quad \cdots ① $$
この方程式を解いて、人数\(N\)を求めます。

式①を\(N\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
N \times 588 &= 5.0 \times 10^5 \\[2.0ex]N &= \frac{5.0 \times 10^5}{588} \\[2.0ex]&= \frac{500000}{588} \\[2.0ex]&\approx 850.34…
\end{aligned}
$$
問題文では「およそ何人」と問われており、与えられた数値の有効数字は2桁が最も少ないです。したがって、計算結果を有効数字2桁に丸めます。
$$ N \approx 8.5 \times 10^2 $$
よって、およそ \(850\) 人となります。

1. まず、大気圧と同じ圧力をかけるのに必要な「力」を計算します。力 = 圧力 × 面積 なので、\(1.0 \times 10^5 \times 5.0 = 500000\) N の力が必要です。
2. 次に、一人の人が台を押す力（重さ）を計算します。力 = 質量 × 重力加速度 なので、\(60 \times 9.8 = 588\) N です。
3. 最後に、必要な総力(500000 N)を一人あたりの力(588 N)で割れば、必要な人数がわかります。\(500000 \div 588 \approx 850\) 人となります。

およそ \(850\) 人が台にのった場合に、台にはたらく圧力が大気圧と等しくなります。大気圧は非常に大きな圧力であり、それを実現するためには多数の人が必要になるという結果は、直感的にも妥当です。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 圧力の定義 \(P = F/S\):
  • 核心: この問題は、圧力(\(P\))、力(\(F\))、面積(\(S\))という3つの物理量の関係を正しく理解し、数式で扱えるかにかかっています。
  • 理解のポイント: 圧力は「単位面積あたりの力」であり、力が分散する度合いを表します。同じ力でも、作用する面積が小さいほど圧力は大きくなります（画鋲の針が刺さる原理）。この問題では、人々の総重量という「力」が、台の「面積」に分散して「圧力」を生み出している、という構造を捉えることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 水圧の問題: 水の重さによって生じる圧力を計算する問題。水圧は深さに比例し、\(P = \rho h g\)（\(\rho\):水の密度, \(h\):深さ, \(g\):重力加速度）で表されます。これも圧力の定義から導かれます。
  • 浮力の問題: 物体が流体から受ける浮力は、物体の下面と上面にはたらく圧力差によって生じます。
  • 気体の圧力: ピストン付き容器内の気体の圧力など。気体分子が壁に衝突することによって力が及び、圧力が生じます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「圧力」という言葉に反応する: 問題文に「圧力」とあれば、即座に \(P=F/S\) の公式を思い出します。
  2. 力\(F\)の正体を特定する: 公式の\(F\)が、この問題では何に相当するかを考えます。ここでは「台の上の人々の総重量」です。
  3. 面積\(S\)を確認する: 力が作用している面積\(S\)が何かを確認します。ここでは「台の面積」です。
  4. 単位を確認する: 圧力の計算では、力は[N]、面積は[\(\text{m}^2\)]、圧力は[Pa]に統一されているかを確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 圧力と力を混同する:
  • 誤解: 力と圧力を同じものとして扱ってしまう。
  • 対策: 「力」の単位は[N]、「圧力」の単位は[Pa] = [N/\(\text{m}^2\)]と、単位が全く違うことを意識しましょう。圧力は力が面積に分散した結果です。
• 質量と重さ（力）を混同する:
  • 誤解: 力\(F\)を計算する際に、質量の合計 \(60N\) [kg] をそのまま使ってしまう。
  • 対策: 質量は物質そのものの量[kg]、重さはその物体にはたらく重力という「力」[N]です。力\(F\)を求めるには、必ず質量\(m\)に重力加速度\(g\)を掛ける（\(F=mg\)）必要があります。
• 有効数字の扱い:
  • 誤解: \(500000 \div 588\) の計算結果 \(850.34…\) をそのまま答えたり、不適切な桁数で丸めたりする。
  • 対策: 計算に用いた数値（\(5.0, 60, 9.8, 1.0 \times 10^5\)）の有効数字を確認します。この場合、2桁が最も少ないので、答えも2桁（\(8.5 \times 10^2\)）に合わせるのが最も厳密です。「およそ」とあるので、\(850\)人と答えても許容されることが多いです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 圧力の定義式 \(P = F/S\):
  • 選定理由: この公式は「圧力」という物理量を定義する、まさにそのものです。法則というよりは定義式であり、圧力に関する問題を解く際の全ての出発点となります。
  • 適用根拠: 問題文で「圧力」と「大気圧」が等しくなる、という条件が与えられているため、この定義式を用いて「人が作る圧力」を数式で表現することが、問題を解くための唯一の道筋となります。
• 重力の式 \(F=mg\):
  • 選定理由: 圧力の定義式に出てくる力\(F\)の正体を明らかにするために必要となります。
  • 適用根-拠: 地球上の物体にはたらく重力という「力」は、その物体の「質量」に比例するという、ニュートンの運動法則から導かれる基本的な関係です。この問題では、人々の質量が与えられているため、この式を使って力に変換する必要があります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 大きな数の計算は指数表記を活用する: \(5.0 \times 10^5\) のような指数表記は、0の数を間違えるリスクを減らします。計算の最後まで指数表記のまま扱うと、桁数の管理が楽になります。
• 概算で見当をつける: \(N = \frac{5.0 \times 10^5}{588}\) を計算する前に、分母の588をざっくり600と見積もってみます。\(N \approx \frac{500000}{600} = \frac{5000}{6} \approx 833\)。この概算値と、電卓で計算した精密な値(\(850.34…\))が大きくずれていなければ、計算ミスをしている可能性は低いと判断できます。
• 立式を整理してから代入する: \(P = \frac{Nmg}{S}\) という式を立て、これを \(N\) について解いた \(N = \frac{PS}{mg}\) という形にしてから、最後にまとめて数値を代入するのも良い方法です。これにより、計算の全体像が見えやすくなります。

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