無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「気体の状態変化とピストン」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「気体の状態変化と力のつりあい」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
容器Aの気体の温度を上昇させたときの、気体部分の長さを求める問題です。「自由に動くピストン」であり、「ゆっくり移動」することから、この過程でピストンの内外の圧力が常につりあっている、すなわち容器内の気体の圧力が常に大気圧 \(p_0\) で一定であると判断することが最も重要です。これは「定圧変化」にあたり、シャルルの法則を適用できます。
この設問における重要なポイント

• 自由に動くピストンは、内部の気体の圧力が外部の圧力（大気圧）と等しいことを意味する。
• 圧力が一定のまま温度と体積が変化する場合、シャルルの法則 \(\displaystyle\frac{V}{T} = \text{一定}\) が成り立つ。
• 気体の体積 \(V\) は、断面積 \(S\) と長さ \(L\) を用いて \(V = SL\) と表せる。

具体的な解説と立式
変化前の気体の状態を「状態1」、温度を上昇させた後の状態を「状態2」とします。求める気体の長さを \(L\) とおきます。

状態1（変化前）:
圧力 \(p_1 = p_0\)
絶対温度 \(T_1 = T_0\)
体積 \(V_1 = Sl\)

状態2（変化後）:
圧力 \(p_2 = p_0\) （定圧変化のため）
絶対温度 \(T_2 = T_0 + t\)
体積 \(V_2 = SL\)

この変化は定圧変化なので、シャルルの法則が成り立ちます。
$$ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} $$
それぞれの状態の体積と温度を代入すると、以下の関係式が得られます。
$$ \frac{Sl}{T_0} = \frac{SL}{T_0 + t} \quad \cdots ① $$

式①の両辺から断面積 \(S\) を消去すると、
$$ \frac{l}{T_0} = \frac{L}{T_0 + t} $$
この式を \(L\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
L &= \frac{T_0 + t}{T_0} l \\[2.0ex]
&= \left( 1 + \frac{t}{T_0} \right) l
\end{aligned}
$$

ピストンが自由に動けるので、中の気体の圧力は外の大気圧とずっと同じです。このように圧力が一定のまま温度を上げると、気体は膨張します。このとき、「体積 ÷ 絶対温度」の値が変化しないという「シャルルの法則」が使えます。はじめの状態と後の状態でこの値が等しいという式を立てます。
「はじめの体積 \(Sl\) ÷ はじめの絶対温度 \(T_0\)」 = 「後の体積 \(SL\) ÷ 後の絶対温度 \((T_0 + t)\)」。
この式を、求めたい「後の長さ \(L\)」について解くと、答えが得られます。

Aの気体の入っている部分の長さは \(\left( 1 + \displaystyle\frac{t}{T_0} \right) l\) となります。
温度を上昇させているので \(t>0\) であり、\(\left( 1 + \displaystyle\frac{t}{T_0} \right) > 1\) となります。したがって、長さ \(L\) は元の長さ \(l\) よりも長くなり、気体が熱膨張したという物理的な状況と一致しており、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
連結されたピストンに右向きの力 \(F\) を加えて \(x\) だけ動かしたとき、その力の大きさを求める問題です。ピストンが静止してつりあっているため、「力のつりあい」の考え方を用います。ピストンには、加えた外力 \(F\) のほかに、容器A内の気体が押す力と容器B内の気体が押す力が働きます。これらの力を求めるために、まず各気体の圧力を計算する必要があります。問題文に「温度を常に \(T_0\) に保ちながら」とあるため、気体A、Bの変化は「等温変化」であり、ボイルの法則が適用できます。
この設問における重要なポイント

• 温度が一定のまま圧力と体積が変化する場合、ボイルの法則 \(PV = \text{一定}\) が成り立つ。
• ピストンが静止している状態では、ピストンに働く力の合計はゼロである（力のつりあい）。
• 気体がピストンを押す力は、気体の圧力 \(P\) とピストンの断面積 \(S\) の積 \(PS\) で与えられる。

具体的な解説と立式
まず、力を加える前の初期状態と、力を加えてつりあった後の最終状態について、気体の圧力と体積を整理します。加えた力の大きさを \(F\) とします。

初期状態:
容器A, B内の気体はともに、問題文の条件と(1)の初期状態から、圧力が大気圧 \(p_0\) に等しいと考えられます。
圧力 \(p_{\text{A,初}} = p_{\text{B,初}} = p_0\)
体積 \(V_{\text{A,初}} = V_{\text{B,初}} = Sl\)
温度 \(T_{\text{A,初}} = T_{\text{B,初}} = T_0\)

最終状態（ピストンが右に \(x\) 移動後）:
気体A:
体積は \(V_A = S(l+x)\) に増加します。このときの圧力を \(p_A\) とします。
気体B:
体積は \(V_B = S(l-x)\) に減少します。このときの圧力を \(p_B\) とします。

気体A, Bともに等温変化なので、ボイルの法則を適用します。
気体Aについて: \(p_0 V_{\text{A,初}} = p_A V_A\)
$$ p_0 (Sl) = p_A S(l+x) \quad \cdots ① $$
気体Bについて: \(p_0 V_{\text{B,初}} = p_B V_B\)
$$ p_0 (Sl) = p_B S(l-x) \quad \cdots ② $$

次に、連結されたピストン全体の力のつりあいを考えます。ピストンには、以下の3つの力が水平方向に働きます。

1. 気体Aがピストンを右向きに押す力: \(p_A S\)
2. 加えた右向きの外力: \(F\)
3. 気体Bがピストンを左向きに押す力: \(p_B S\)

力のつりあいの式は、右向きの力の和と左向きの力の和が等しいことから、
$$ p_A S + F = p_B S \quad \cdots ③ $$

まず、式①と②から、最終状態の圧力 \(p_A\) と \(p_B\) を求めます。
式①より、
$$
\begin{aligned}
p_A S(l+x) &= p_0 S l \\[2.0ex]
p_A &= p_0 \frac{l}{l+x}
\end{aligned}
$$
式②より、
$$
\begin{aligned}
p_B S(l-x) &= p_0 S l \\[2.0ex]
p_B &= p_0 \frac{l}{l-x}
\end{aligned}
$$
次に、これらの圧力の式を、力のつりあいの式③を変形した \(F = p_B S – p_A S\) に代入します。
$$
\begin{aligned}
F &= (p_B – p_A)S \\[2.0ex]
&= \left( p_0 \frac{l}{l-x} – p_0 \frac{l}{l+x} \right) S \\[2.0ex]
&= p_0 S l \left( \frac{1}{l-x} – \frac{1}{l+x} \right) \\[2.0ex]
&= p_0 S l \left( \frac{(l+x) – (l-x)}{(l-x)(l+x)} \right) \\[2.0ex]
&= p_0 S l \left( \frac{l+x-l+x}{l^2 – x^2} \right) \\[2.0ex]
&= p_0 S l \left( \frac{2x}{l^2 – x^2} \right) \\[2.0ex]
&= \frac{2 p_0 S l x}{l^2 – x^2}
\end{aligned}
$$

ピストンを右に \(x\) だけ押すと、Aの部屋は \(l+x\) に広がり、Bの部屋は \(l-x\) に狭くなります。温度は変わらないので、Aの気圧は下がり、Bの気圧は上がります。この気圧の変化は「ボイルの法則（圧力×体積＝一定）」を使って計算できます。
まず、AとBの新しい気圧を、はじめの気圧 \(p_0\) と体積 \(Sl\) を使ってそれぞれ求めます。
次に、ピストンが止まっているのは、力がつりあっているからです。ピストンには「加えた力 \(F\)」と「Aの気体が押す力」が右向きに、「Bの気体が押す力」が左向きに働いています。「右向きの力の合計＝左向きの力」というつりあいの式を立て、先ほど計算したAとBの新しい気圧（に面積Sを掛けた力）を代入して、加えた力 \(F\) を求めます。

ピストンに加えた力の大きさは \(\displaystyle\frac{2 p_0 S l x}{l^2 – x^2}\) です。
この式は、移動距離 \(x\) が大きいほど、また初期圧力 \(p_0\) や断面積 \(S\) が大きいほど、必要な力 \(F\) が大きくなることを示しており、直感と一致します。特に、\(x\) が \(l\) に近づくと（気体Bを潰しきる寸前）、分母が0に近づくため \(F\) は無限大に発散します。これは、体積をゼロにするには無限の力が必要であることを意味し、物理的に妥当な結果です。

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