未来の得点力へ！高校物理 問題演習「自由電子モデルと電気抵抗の導出」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「自由電子の運動モデルと電気抵抗の導出」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

空欄 ア

思考の道筋とポイント
長さ\(l\)の金属導体の両端に電圧\(V\)を加えたとき、導体内部には一様な電場\(E\)が生じると考えます。電場と電位差（電圧）の関係式 \(V=Ed\) を用いて、電場\(E\)を\(V\)と\(l\)で表します。
この設問における重要なポイント

• 一様な電場中での電位差と電場の関係式 \(V=El\) を理解していること。

具体的な解説と立式
長さ\(l\) [m] の導体に電圧\(V\) [V] がかかっているため、導体内部には一様な電場\(E\)が生じます。このとき、電位差\(V\)と電場\(E\)、距離\(l\)の間には次の関係があります。
$$ V = El $$
これを\(E\)について解くことで、空欄アが求まります。

$$ E = \frac{V}{l} $$

電場は「1mあたりの電圧（電位の傾き）」と考えることができます。全長\(l\) [m] で\(V\) [V] の電圧がかかっているので、1mあたりでは \(V \div l\) となります。

金属内部に生じる電場は \(E = \displaystyle\frac{V}{l}\) [V/m] と表せます。

空欄 イ

思考の道筋とポイント
電場\(E\)の中に置かれた電荷\(q\)の粒子は、力\(F=qE\)を受けます。自由電子の電気量は\(-e\)ですが、問題文では「[N]の力を電場と逆向きに受けて」と記述されているため、力の大きさを求めます。
この設問における重要なポイント

• 荷電粒子が電場から受ける力の公式 \(F=qE\) を使えること。
• 力の大きさを問われていることを文脈から読み取ること。

具体的な解説と立式
電気量\(-e\) [C] の自由電子が、電場\(E\) [V/m] から受ける力の大きさ\(F\)は、
$$ F = |-e|E = eE $$
となります。ここに、空欄アで求めた \(E = \displaystyle\frac{V}{l}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
F &= eE \\[2.0ex]&= e \frac{V}{l}
\end{aligned}
$$

電子1個が電場から受ける力は「電気量 × 電場」で計算できます。電子の電気量の大きさは\(e\)、電場はアで求めた \(\displaystyle\frac{V}{l}\) なので、かけ合わせるだけです。

自由電子が電場から受ける力の大きさは \(e\displaystyle\frac{V}{l}\) [N] です。

空欄 ウ

思考の道筋とポイント
問題文に「自由電子は全体としては等速度\(v\)で進む」とあり、「この抵抗力が電場から受ける力とつりあって」と力のつり合いを考えるよう指示されています。電場からの力と抵抗力の式を立て、等しいと置くことで\(v\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 力のつり合いの条件を正しく立式できること。

具体的な解説と立式
自由電子が受ける力は、以下の2つです。

• 電場からの力（大きさ）: \(eE = e\displaystyle\frac{V}{l}\) （空欄イの結果）
• 陽イオンからの抵抗力（大きさ）: \(kv\) （問題文の仮定）

これらがつりあっているので、
$$ kv = e\frac{V}{l} $$
この式を、自由電子の速さ\(v\)について解きます。

$$ v = \frac{eV}{kl} $$

電子が進むのを「加速させる力（電場からの力）」と「邪魔する力（抵抗力）」が等しくなったときに、電子は一定の速さになります。問題文の指示通りに \(kv = e\displaystyle\frac{V}{l}\) という式を立て、\(v\)について解きます。

自由電子の平均速度は \(v = \displaystyle\frac{eV}{kl}\) [m/s] となります。

空欄 エ

思考の道筋とポイント
「1秒間に金属の断面を通って流れる自由電子の数」を求めます。これは、電流のミクロな定義 \(I=enSv\) を導出する過程です。まず、1秒間に断面を通過する電子が含まれる体積を考え、その体積と電子の数密度\(n\)から電子の個数を計算します。
この設問における重要なポイント

• 「速さ\(v\)」とは「1秒間に進む距離」であることを理解していること。
• 数密度（単位体積あたりの個数）の概念を正しく使えること。

具体的な解説と立式
自由電子は速さ\(v\) [m/s] で進むので、1秒間に進む距離は\(v\) [m] です。
断面積\(S\) [m^2] の面を1秒間に通過する電子は、底面積\(S\)、高さ\(v\)の円柱状の領域に含まれていた電子です。
この領域の体積は、
$$ \text{体積} = S \times v = Sv \, [\text{m}^3] $$
単位体積（1 m^3）あたりに\(n\)個の自由電子があるので、この体積\(Sv\)に含まれる自由電子の数は、
$$ \text{電子の数} = n \times (\text{体積}) = nSv $$
となります。問題文はこれを「エ × V」の形で表すよう求めているので、空欄ウで求めた \(v = \displaystyle\frac{eV}{kl}\) を代入します。

$$
\begin{aligned}
\text{電子の数} &= nSv \\[2.0ex]&= nS \left( \frac{eV}{kl} \right) \\[2.0ex]&= \left( \frac{neS}{kl} \right) V
\end{aligned}
$$
この式と問題文の「エ × V」を比較すると、空欄エに当てはまる式がわかります。

1秒間に断面を通り過ぎる電子の数を数えます。まず、電子が1秒間に移動する距離は\(v\)メートルです。断面積が\(S\)なので、1秒間に断面を通過する電子は、体積\(S \times v\)の空間にいた電子たちです。この体積の中に電子が何個いるかは、「1m^3あたりの個数\(n\)」に「体積\(Sv\)」を掛ければ求まります。最後に、問題の形式に合わせるため、ウで求めた\(v\)の式を代入します。

1秒間に流れる自由電子の数は \(\left( \displaystyle\frac{neS}{kl} \right) V\) [個] と表せます。

空欄 オ

思考の道筋とポイント
電流の大きさ\(I\)は、「1秒間に断面を通過する電気量の大きさ」として定義されます。これは、「1秒間に通過する電子の数」に「電子1個が持つ電気量の大きさ\(e\)」を掛けることで求められます。
この設問における重要なポイント

• 電流の定義をミクロな視点で理解していること。

具体的な解説と立式
電流\(I\) [A] は、1秒間に断面を通過する電気量の大きさです。
$$ I = (\text{1秒間に通過する電子の数}) \times (\text{電子1個の電気量の大きさ}) $$
空欄エの結果から、1秒間に通過する電子の数は \(\left( \displaystyle\frac{neS}{kl} \right) V\) 個、電子1個の電気量の大きさは\(e\) [C] なので、
$$ I = \left( \frac{neS}{kl} V \right) \times e $$
これを整理して、問題文の「オ × V」の形にします。

$$
\begin{aligned}
I &= \left( \frac{neS}{kl} V \right) e \\[2.0ex]&= \left( \frac{ne^2S}{kl} \right) V
\end{aligned}
$$
この式と問題文の「オ × V」を比較すると、空欄オに当てはまる式がわかります。

電流とは、1秒間に流れる電気の量のことです。エで「1秒間に流れる電子の個数」を求めたので、これに「電子1個あたりの電気量\(e\)」を掛ければ、1秒間に流れる総電気量、つまり電流\(I\)が求まります。

電流の大きさは \(I = \left( \displaystyle\frac{ne^2S}{kl} \right) V\) [A] と表せます。

空欄 カ

思考の道筋とポイント
オームの法則 \(V=RI\) より、電気抵抗\(R\)は \(R = \displaystyle\frac{V}{I}\) と表せます。空欄オで求めた\(I\)と\(V\)の関係式を、この\(R\)の定義式に代入して整理します。最終的に、問題文で指定された「カ × \(\displaystyle\frac{l}{S}\)」の形に変形します。
この設問における重要なポイント

• オームの法則 \(R=V/I\) を理解していること。
• 抵抗の公式 \(R = \rho \displaystyle\frac{l}{S}\) の形を念頭に置いて式変形できること。

具体的な解説と立式
空欄オの結果より、電流\(I\)と電圧\(V\)の関係は、
$$ I = \left( \frac{ne^2S}{kl} \right) V $$
と表せます。
この金属の電気抵抗\(R\)は、オームの法則より \(R = \displaystyle\frac{V}{I}\) です。上の式を \(\displaystyle\frac{V}{I}\) について解きます。
$$ \frac{V}{I} = \frac{kl}{ne^2S} $$
したがって、
$$ R = \frac{kl}{ne^2S} $$
この式を、問題文の「カ × \(\displaystyle\frac{l}{S}\)」の形になるように変形します。
$$ R = \left( \frac{k}{ne^2} \right) \frac{l}{S} $$
この式と問題文の形式を比較すると、空欄カに当てはまる式がわかります。

$$
\begin{aligned}
R &= \frac{V}{I} \\[2.0ex]&= V \div \left( \left( \frac{ne^2S}{kl} \right) V \right) \\[2.0ex]&= V \times \frac{kl}{ne^2SV} \\[2.0ex]&= \frac{kl}{ne^2S} \\[2.0ex]&= \left( \frac{k}{ne^2} \right) \frac{l}{S}
\end{aligned}
$$

抵抗\(R\)は「電圧\(V\) ÷ 電流\(I\)」です。オで求めた電流\(I\)の式を使って、\(\displaystyle\frac{V}{I}\) を計算します。計算結果を、問題文で指定されている「カ × \(\displaystyle\frac{l}{S}\)」の形になるように、\(\displaystyle\frac{l}{S}\) の部分を外に出して残りをカッコでまとめます。

電気抵抗の値は \(\left( \displaystyle\frac{k}{ne^2} \right) \displaystyle\frac{l}{S}\) [Ω] となります。カッコの部分が抵抗率\(\rho\)に相当することがわかります。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ミクロな現象とマクロな法則の架け橋:
  • 核心: この問題の核心は、個々の自由電子のミクロな運動（電場からの力、抵抗力、力のつり合い）から出発して、我々が日常的に測定するマクロな物理法則（オームの法則 \(V=RI\) や抵抗の公式 \(R=\rho l/S\)）がどのようにして現れるのか、その導出過程を論理的に追体験することにあります。
  • 理解のポイント: \(R = \left( \displaystyle\frac{k}{ne^2} \right) \displaystyle\frac{l}{S}\) という最終結果は、抵抗が「長さ\(l\)に比例し、断面積\(S\)に反比例する」というマクロな性質だけでなく、抵抗率\(\rho = \displaystyle\frac{k}{ne^2}\)が「電子の動きにくさ(\(k\))」や「電子の数(\(n\))」といったミクロな量で決まることを示しています。この繋がりを理解することが最も重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 半導体の問題: 半導体では、電子（負電荷）と正孔（正電荷）の両方が電流の担い手（キャリア）となります。それぞれのキャリアについて同様のモデルを考え、電流を足し合わせる問題に応用されます。
  • ホール効果: 磁場中の導体を考える問題では、電子はローレンツ力を受け、導体の側面に偏ります。これによりホール電圧が生じる現象（ホール効果）も、この自由電子モデルを基礎として説明されます。
  • 温度依存性の説明: なぜ金属の温度が上がると抵抗が増えるのか？それは、温度上昇により陽イオンの格子振動が激しくなり、電子との衝突が増えるためです。このモデルでは、比例定数\(k\)が大きくなることに対応し、結果として抵抗率\(\rho\)と抵抗\(R\)が増加すると説明できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 文章の誘導に乗る: この種の問題は、一連のストーリーになっています。前の空欄を埋めるためにどの物理法則を使うか、そしてその結果が次の空欄にどう繋がるかを意識しながら、一歩ずつ着実に進めましょう。
  2. 力のつり合いに注目: 「等速度で運動する」という記述は、「力がつりあっている」または「合力が0である」という物理的に極めて重要な条件を示唆しています。このキーワードを見逃さないようにしましょう。
  3. 電流の定義を思い出す: 電流\(I\)を求めるとき、\(I=enSv\)という公式を丸暗記していると、この問題のように導出過程を問われたときに手が出なくなります。「電流＝単位時間あたりの電気量」という基本定義から、「(単位体積あたりの電子数)×(断面積)×(速さ)×(電気素量)」という各要素に分解して考える癖をつけましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の向きと大きさの混同:
  • 誤解: 電子の電荷が\(-e\)なので、電場から受ける力を\(-eE\)としてしまい、力のつり合いの式で符号を間違える。
  • 対策: 力のつり合いを考えるときは、まず力の向きを図に描き、それぞれの力の「大きさ」が等しい、という式を立てるのが安全です。この問題でも「電場と逆向きに」と書かれているので、大きさ\(eE\)と\(kv\)が等しいと考えれば間違いません。
• 文字の定義を見失う:
  • 誤解: \(n, e, S, v, k, l\)など多くの文字が登場するため、途中でどの文字が何を表しているか混乱してしまう。
  • 対策: 問題文の各文字の定義（例: \(n\)は数密度、\(k\)は抵抗力の比例定数）を、計算の前に軽くメモしておくと、混乱を防げます。特に、自分がどの物理量を求めようとしているのかを常に意識することが重要です。
• 式変形のゴールを見失う:
  • 誤解: 空欄カを求める際に、\(R = \displaystyle\frac{kl}{ne^2S}\)まで計算できたものの、そこからどう変形すれば良いかわからなくなる。
  • 対策: 問題文が「カ × \(\displaystyle\frac{l}{S}\)」という形を要求していることを常に念頭に置きましょう。ゴールから逆算して、与えられた式から\(\displaystyle\frac{l}{S}\)を「くくり出す」ように変形すれば、残りが自然と答えになります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(V=El\) と \(F=qE\):
  • 選定理由: これらは電場に関する最も基本的な2つの公式です。問題設定が「電圧\(V\)がかかった導体中の電子」であるため、電圧を電場に変換し(\(V=El\))、その電場が電子に及ぼす力を計算する(\(F=qE\))という流れは、この分野の定石です。
  • 適用根拠: 電位（電圧）は電場を積分したものであり、力は電場と電荷の積で定義されます。これらは電磁気学の根幹をなす定義そのものです。
• 力のつり合い:
  • 選定理由: 「等速度」というキーワードが力のつり合いを選択する直接的な理由です。運動の法則（ニュートンの第二法則 \(ma=F\)）において、加速度\(a=0\)であることは、合力\(F=0\)を意味します。
  • 適用根拠: もし電場からの力しかなければ電子は無限に加速し続けますが、実際には抵抗があるため一定の速度に落ち着きます。この現実的な現象をモデル化するために、速度に比例する抵抗力を仮定し、加速力と釣り合う状況を考えるのは、物理学における非常に一般的な思考法です。
• \(I = (\text{電子数}) \times e\):
  • 選定理由: 電流というマクロな量を、その担い手である電子のミクロな振る舞いから説明するための定義式です。
  • 適用根拠: 電流の定義は「単位時間あたりに断面を通過する電気量」です。通過する粒子の数がわかり、粒子1個あたりの電気量がわかっていれば、総電気量はかけ算で求まります。これは定義そのものであり、論理的な必然です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 分数の割り算は逆数のかけ算に: 空欄カの計算で \(\displaystyle\frac{V}{I}\) を求める際、\(I\)の式が分数になっているため、\(V \div (\text{Iの式})\) を \(V \times (\text{Iの式の逆数})\) と直してから計算すると、分母と分子の取り違えミスが減ります。
• 一つずつ代入する: 複雑な式を一度に扱おうとせず、段階的に計算を進めましょう。例えば、エを求める際に、まず\(v\)を求め、その結果を使って電子数を計算する、というように、前の空欄の結果をブラックボックスとして利用すると、思考が整理されます。
• 最終的な式の次元（単位）を確認する: 例えば、空欄カで求めた \(\displaystyle\frac{k}{ne^2}\) が抵抗率\(\rho\)に相当しますが、それぞれの物理量の単位を代入して、最終的に\(\rho\)の単位[\(\Omega \cdot \text{m}\)]になるか検算する（次元解析）ことで、式の正しさを確認できます。（これは発展的なテクニックですが、非常に有効です）

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