「物理のエッセンス(熱・電磁気・原子)」徹底解説（熱力学16〜20問）：物理の”土台”を固める！完全マスター講座

熱力学範囲 16～20

16 熱力学第１法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱力学第一法則の基本的な適用」です。気体のエネルギー保存則である熱力学第一法則を正しく理解し、各項（内部エネルギーの変化、熱、仕事）の符号の意味を正確に扱えるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

内部エネルギーの変化と温度変化

思考の道筋とポイント
この問題は、気体のエネルギー収支を考える「熱力学第一法則」を適用する典型的な問題です。
熱力学第一法則は、気体のエネルギー保存則であり、「気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) は、外部から吸収した熱量 \(Q\) と、外部からされた仕事 \(W\) の合計に等しい」と表現されます。数式で書くと、
$$ \Delta U = Q + W $$
です。

この公式を使う上で最も重要なのが、各項の「符号」のルールを正確に理解することです。

• \(\Delta U\): 内部エネルギーが増加すれば正、減少すれば負。
• \(Q\): 気体が熱を吸収すれば正、放出すれば負。
• \(W\): 気体が外部から仕事をされれば正、外部へ仕事をすれば負。

問題文の情報を、このルールに従って数式に代入していきます。

• 「\(200 \, \text{J}\) の熱を吸収し」→ \(Q = +200 \, \text{J}\)
• 「外へ \(100 \, \text{J}\) の仕事をした」→ これは「された仕事 \(W\)」とは逆なので、\(W = -100 \, \text{J}\) となります。

これらの値を公式に代入すれば、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) が計算できます。
最後に、\(\Delta U\) の符号を見れば、温度が上がったか下がったかがわかります。理想気体の内部エネルギーは温度に比例するため、\(\Delta U\) が正なら温度は上昇、負なら温度は下降します。
この設問における重要なポイント

• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W\)
• 熱の吸収は \(Q > 0\)。
• 外部への仕事は \(W < 0\)。
• 内部エネルギーの増加 (\(\Delta U > 0\)) は、温度の上昇を意味する。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)、気体が吸収した熱量 \(Q\)、気体が外部からされた仕事 \(W\) の間に成り立つ以下の関係式です。
$$ \Delta U = Q + W $$
問題文から、各項の値を読み取ります。

• 気体が \(200 \, \text{J}\) の熱を吸収したので、\(Q = +200 \, \text{J}\)。
• 気体が外へ \(100 \, \text{J}\) の仕事をしたので、気体が「された」仕事 \(W\) はその逆で、\(W = -100 \, \text{J}\)。

これらの値を熱力学第一法則の式に代入します。
$$ \Delta U = 200 + (-100) $$
この計算により、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) が求まります。

また、理想気体の内部エネルギーは絶対温度に比例するため、\(\Delta U\) の符号が正であれば温度は上昇し、負であれば下降します。

上記で立式した式を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U &= 200 – 100 \\[2.0ex]
&= 100 \, [\text{J}]
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの変化は \(100 \, \text{J}\) の増加となります。
\(\Delta U = 100 > 0\) なので、内部エネルギーは増加しました。したがって、気体の温度は上がったことがわかります。

気体をお財布に例えてみましょう。「内部エネルギー」はお財布の中身（貯金）です。

• 「熱を吸収する」のは、お小遣いをもらうこと（収入）。
• 「外へ仕事をする」のは、何かを買うこと（支出）。

今回は、「\(200\) 円のお小遣いをもらい（\(Q=+200\)）、\(100\) 円の買い物をした（\(W’ = +100\)）」という状況です。
お財布の中身の変化は、「収入 – 支出」なので、\(200 – 100 = 100\) 円の増加となります。
つまり、内部エネルギーは \(100 \, \text{J}\) 増加したことになります。
気体の内部エネルギー（貯金）が増えたということは、気体の元気度、すなわち温度が上がったことを意味します。

内部エネルギーの変化は \(100 \, \text{J}\) の増加であり、それに伴い温度は上がります。
気体は \(200 \, \text{J}\) のエネルギーを熱として受け取り、そのうち \(100 \, \text{J}\) を外部への仕事として使いましたが、残りの \(100 \, \text{J}\) は自身の内部エネルギーとして蓄えられた、というエネルギーの収支が明確に示されており、物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則（エネルギー保存則）:
  • 核心: この問題の根幹は、気体という系におけるエネルギー保存則である「熱力学第一法則」です。これは、「気体の内部エネルギーの変化量は、外部から得た熱と、外部からされた仕事の和に等しい」という法則です。
  • 理解のポイント:
    • エネルギーの出入り: 気体のエネルギー（内部エネルギー）を変化させる方法は、「熱を加える（奪う）」か「仕事をする（される）」かの2種類しかありません。この法則は、そのエネルギーの出入りを定量的に記述したものです。
    • 二つの表現形式: この法則には、主に2つの数式表現があります。
      1. \(\Delta U = Q + W\): 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を主役にした形式。\(W\) は「された仕事」。
      2. \(Q = \Delta U + W’\): 吸収した熱 \(Q\) の使い道を示した形式。\(W’\) は「した仕事」。

      本質的には同じことを言っており、\(W = -W’\) の関係で結ばれています。どちらの形式を使うにせよ、各項の符号のルールを正確に理解することが極めて重要です。

• 内部エネルギーと温度の関係:
  • 核心: 理想気体の内部エネルギーは、その気体の絶対温度にのみ比例します。
  • 理解のポイント:
    • 温度の指標: この関係により、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) の符号を調べるだけで、温度が上がったか (\(\Delta U > 0\))、下がったか (\(\Delta U < 0\))、あるいは変わらないか (\(\Delta U = 0\)) を判断することができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 定積変化: 体積が一定なので、気体は仕事をしません（\(W’=0, W=0\)）。したがって、熱力学第一法則は \(\Delta U = Q\) となり、加えられた熱はすべて内部エネルギーの増加（温度上昇）に使われます。
  • 等温変化: 温度が一定なので、内部エネルギーは変化しません（\(\Delta U = 0\)）。したがって、熱力学第一法則は \(Q = W’\) (または \(Q = -W\)) となり、吸収した熱はすべて外部への仕事に使われます。
  • 断熱変化: 外部との熱のやりとりがないので、\(Q=0\) です。したがって、熱力学第一法則は \(\Delta U = W\) (または \(\Delta U = -W’\)) となります。気体が断熱膨張して外部に仕事 (\(W’>0\)) をすると、その分だけ内部エネルギーが減少し (\(\Delta U < 0\))、温度が下がります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーの出入りをリストアップ: 問題文から、「熱を吸収したか／放出したか」「仕事をしたか／されたか」という情報を抜き出し、それぞれの量を \(Q, W, W’\) の記号と数値でメモします。
  2. 符号を確定させる: メモした各量について、符号のルール（吸収は＋、放出は－、した仕事は \(W’\) が＋、された仕事は \(W\) が＋）に従って、符号を確定させます。
  3. 公式を選択し代入: 自分が使うと決めた熱力学第一法則の公式（\(\Delta U = Q+W\) または \(Q = \Delta U + W’\)）に、符号を確定させた数値を代入して計算します。
  4. \(\Delta U\) の符号から温度変化を判断: 計算結果の \(\Delta U\) の符号を見て、温度の上昇・下降を結論づけます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の符号のミス:
  • 誤解: 「した仕事」と「された仕事」を混同し、符号を逆にして公式に代入してしまう。特に、\(\Delta U = Q+W\) の公式を使う際に、問題文の「\(100 \, \text{J}\) の仕事をした」をそのまま \(W=+100\) として代入するミスが非常に多いです。
  • 対策: 自分がどちらの公式（\(\Delta U = Q+W\) か \(Q = \Delta U + W’\)）を使うのかをまず明確にし、その公式に対応する仕事の定義（\(W\) なのか \(W’\) なのか）と符号のルールを正確に適用します。自信がなければ、「収入＝貯金＋支出」のイメージで直感的に理解しやすい \(Q = \Delta U + W’\) を使うことをお勧めします。
• 熱量 \(Q\) の符号のミス:
  • 誤解: 「熱を放出した」場合にも、\(Q\) を正の値として代入してしまう。
  • 対策: 気体を主語にして考えます。気体が熱を得る（吸収する）のがプラス、気体が熱を失う（放出する）のがマイナス、というルールを徹底しましょう。
• 内部エネルギーと温度の関係の誤解:
  • 誤解: 内部エネルギーが増加しても、温度は下がることがあるなどと勘違いしてしまう。
  • 対策: 理想気体においては、「内部エネルギー ＝ 温度」とほぼ同義である、と強くインプットしておきましょう。内部エネルギーは分子の運動エネルギーの総和であり、温度はその激しさの指標なので、両者は必ず連動します。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 熱力学第一法則の選択:
  • 選定理由: 問題が「内部エネルギーの変化」「熱の吸収」「仕事」という、熱力学第一法則を構成する3つの要素の関係を直接問うているからです。これは、この法則を適用するために作られたような、最も基本的な問題設定です。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則は、力学におけるエネルギー保存則を、熱現象を含む系に拡張したものです。閉じた系全体のエネルギーは不変である、という物理学の大原則に基づいているため、あらゆる熱力学的な過程に適用できる、極めて信頼性の高い法則です。
• \(Q = \Delta U + W’\) という形式の有効性（別解）:
  • 選定理由: エネルギーの流れを「収支」として捉えることができるため、物理的なイメージが非常に掴みやすいからです。「入ってきた熱エネルギー \(Q\) が、内部エネルギーの増加 \(\Delta U\) と外部への仕事 \(W’\) に分配される」という描像は、日常的な金銭の出入りに例えることができ、直感的です。
  • 適用根拠: これは \(\Delta U = Q + W\) という式で \(W = -W’\) と置き換えただけの、数学的に完全に等価な式です。どちらを使うかは純粋に好みや問題の状況によりますが、物理的な意味を考えながら解きたい場合には、こちらの形式が思考の助けになることが多いです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号を明記した立式: 計算を始める前に、\(Q = +200 \, \text{J}\), \(W = -100 \, \text{J}\) のように、各項の符号を明確にしたメモ書きをする習慣をつけましょう。この一手間が、代入時の符号ミスを防ぎます。
• 言葉で確認しながら計算する: 「200ジュールの熱をもらって、100ジュールの仕事をしたから、差し引き100ジュールが内部エネルギーとして残った」のように、計算プロセスを言葉で追いながら確認すると、単純な計算ミスや符号の取り違えに気づきやすくなります。
• 結論の二重チェック:
  1. \(\Delta U\) の値を求める。
  2. \(\Delta U\) の符号から温度変化を判断する。

  という2つの問いに、それぞれ明確に答えることを意識します。片方だけ答えて満足しないように注意しましょう。

17 熱力学第１法則

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱力学第一法則の基本的な適用」です。気体のエネルギー保存則である熱力学第一法則を正しく理解し、各項（内部エネルギーの変化、熱、仕事）の符号の意味を正確に扱えるかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

熱の吸収・放出とその大きさ

思考の道筋とポイント
この問題は、前問に引き続き、気体のエネルギー収支を考える「熱力学第一法則」を適用する問題です。今回は、内部エネルギーの変化と仕事が与えられ、熱の出入りを求めます。

用いる法則は、熱力学第一法則 \(\Delta U = Q + W\) です。
この公式の各項の符号のルールを正確に適用することが、正解への唯一の道です。

• \(\Delta U\): 内部エネルギーが増加すれば正、減少すれば負。
• \(Q\): 気体が熱を吸収すれば正、放出すれば負。
• \(W\): 気体が外部から仕事をされれば正、外部へ仕事をすれば負。

問題文の情報を、このルールに従って数式に代入していきます。

• 「内部エネルギーが \(200 \, \text{J}\) 増した」→ \(\Delta U = +200 \, \text{J}\)
• 「\(300 \, \text{J}\) の仕事をされ」→ \(W = +300 \, \text{J}\)

これらの値を公式に代入すれば、未知数である熱量 \(Q\) を計算することができます。
最後に、計算された \(Q\) の符号を見ることで、熱を吸収したのか、放出したのかを判断します。
この設問における重要なポイント

• 熱力学第一法則: \(\Delta U = Q + W\)
• 内部エネルギーの増加は \(\Delta U > 0\)。
• 外部から仕事をされるのは \(W > 0\)。
• 熱の吸収は \(Q > 0\)、放出は \(Q < 0\)。

具体的な解説と立式
熱力学第一法則は、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)、気体が吸収した熱量 \(Q\)、気体が外部からされた仕事 \(W\) の間に成り立つ以下の関係式です。
$$ \Delta U = Q + W $$
問題文から、各項の値を読み取ります。

• 内部エネルギーが \(200 \, \text{J}\) 増したので、\(\Delta U = +200 \, \text{J}\)。
• 気体が \(300 \, \text{J}\) の仕事をされたので、\(W = +300 \, \text{J}\)。

これらの値を熱力学第一法則の式に代入します。
$$ 200 = Q + 300 $$
この方程式を解くことで、熱量 \(Q\) が求まります。

上記で立式した方程式を \(Q\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
Q &= 200 – 300 \\[2.0ex]
&= -100 \, [\text{J}]
\end{aligned}
$$
計算結果が \(Q = -100 \, \text{J}\) となりました。
\(Q\) の符号は負なので、これは気体が熱を「吸収」したのではなく、「放出」したことを意味します。その大きさは \(100 \, \text{J}\) です。

今回もお財布の例えで考えてみましょう。「内部エネルギー」は貯金です。

• 「\(300 \, \text{J}\) の仕事をされた」というのは、外部からエネルギーをもらったということなので、「\(300\) 円の臨時収入があった」と考えます。
• 「内部エネルギーが \(200 \, \text{J}\) 増した」というのは、「貯金が \(200\) 円増えた」ということです。

さて、ここで疑問が湧きます。\(300\) 円も収入があったのに、なぜ貯金は \(200\) 円しか増えていないのでしょうか？
その差額の \(100\) 円はどこへ消えたのでしょう。考えられるのは、どこかへお金が出て行った、ということです。熱力学では、この「出て行ったお金」が「放出した熱」にあたります。
したがって、この気体は \(100 \, \text{J}\) の熱を放出した、と結論できます。

気体は \(100 \, \text{J}\) の熱を放出しました。
エネルギー収支を考えると、外部から仕事として \(300 \, \text{J}\) のエネルギーを受け取りましたが、同時に熱として \(100 \, \text{J}\) のエネルギーを失いました。その結果、差し引きで \(300 – 100 = 200 \, \text{J}\) のエネルギーが気体の中に残り、これが内部エネルギーの増加分となった、という物理的な流れと完全に一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱力学第一法則（エネルギー保存則）:
  • 核心: この問題の根幹は、前問に引き続き、気体という系におけるエネルギー保存則である「熱力学第一法則」です。今回は、内部エネルギーの変化と仕事の情報から、熱の出入りを特定するためにこの法則を適用します。
  • 理解のポイント:
    • エネルギー収支の計算: この法則は、\(\Delta U, Q, W\) の3つの量のうち、2つが分かれば残りの1つを計算できる、という関係式です。問題に応じて、どの量を未知数として解くかが変わります。
    • 符号の物理的意味: 計算結果として得られた物理量の「符号」が、物理的な現象（増加／減少、吸収／放出、した／された）を決定づける、という点が極めて重要です。特に、\(Q\) が負の値として計算された場合、それは「熱を放出した」と解釈する必要があります。
• 仕事の符号の正確な理解:
  • 核心: 熱力学第一法則を正しく適用する上で、最も間違いやすいのが仕事の符号の扱いです。気体を主語としたとき、「仕事をする」ことと「仕事をされる」ことのエネルギー的な意味の違いを明確に理解することが不可欠です。
  • 理解のポイント:
    • 仕事をされる (\(W>0\)): 気体が外部から圧縮されるなどして、エネルギーを受け取る場合です。これは気体の内部エネルギーを増加させる要因になります。
    • 仕事をする (\(W’>0\)): 気体が膨張するなどして、外部に対してエネルギーを消費する場合です。これは気体の内部エネルギーを減少させる要因になります。
    • 問題文との対応: 問題文の「仕事をされ」という表現を、自分が使う公式の記号（\(W\) または \(W’\)）と符号のルールに正しく変換できるかが、正解への鍵となります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 内部エネルギーの変化を問う問題: （前問16）熱の出入り \(Q\) と仕事 \(W\) (または \(W’\)) が与えられ、\(\Delta U\) を計算する。
  • 仕事の量を問う問題: 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) と熱の出入り \(Q\) が与えられ、仕事 \(W\) (または \(W’\)) を計算する。
  • 特定の状態変化における熱量を問う問題: （例：定圧変化で温度が \(\Delta T\) 上昇した。吸収した熱量はいくらか？）。この場合、まず \(\Delta U = nC_v\Delta T\) と \(W’ = nR\Delta T\) を計算し、\(Q = \Delta U + W’\) から熱量を求めます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 熱力学第一法則の3要素を特定: 問題文に「熱」「仕事」「内部エネルギー」という3つのキーワードのうち、どの2つが与えられ、どの1つが問われているのかを把握します。
  2. 各量の符号を確定: 与えられた2つの量について、符号のルールに従ってプラスかマイナスかを確定させます。「増した」→ \(\Delta U > 0\)。「仕事をされ」→ \(W > 0\) (または \(W’ < 0\))。
  3. 公式に代入し、未知数を解く: 熱力学第一法則の式に、符号を確定させた数値を代入し、残りの未知数についての方程式を解きます。
  4. 結果の符号を解釈する: 計算で得られた未知数の符号から、物理的な意味（吸収か放出か、など）を正しく読み取り、言葉で解答します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 仕事の符号のミス:
  • 誤解: 「仕事をされ」という言葉を、エネルギーが「出ていく」イメージと結びつけてしまい、\(W\) を負の値としてしまう。
  • 対策: 仕事の符号は、常に「気体を主語」として考えます。気体がエネルギーをもらうのがプラス、気体がエネルギーを使うのがマイナス、と覚えましょう。「仕事をされる」のは、外部からエネルギーを注入されることなので、気体にとってはプラスのエネルギー流入です。したがって、\(\Delta U = Q+W\) の形式では \(W>0\) となります。
• 計算結果の符号の解釈ミス:
  • 誤解: \(Q=-100\) という計算結果が出たときに、大きさだけを見て「\(100 \, \text{J}\) の熱を吸収した」と答えてしまう。
  • 対策: 計算で出てきたマイナス符号には、「放出」という重要な物理的意味があることを忘れないようにします。最終的な答えは、符号の意味を言葉に翻訳して「\(100 \, \text{J}\) の熱を放出した」と記述する必要があります。
• エネルギー収支の直感的な誤り:
  • 誤解: 内部エネルギーが増加した（\(\Delta U > 0\)）のだから、必ず熱を吸収した（\(Q>0\)）はずだ、と早合点してしまう。
  • 対策: 内部エネルギーを増加させる要因は「熱の吸収」と「仕事をされる」の2つがあります。この問題のように、仕事をされた量 (\(300 \, \text{J}\)) が内部エネルギーの増加量 (\(200 \, \text{J}\)) よりも大きい場合、その差額は熱として外部に逃げている (\(Q<0\)) ことになります。必ず熱力学第一法則の式に基づいて、定量的に判断する癖をつけましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 熱力学第一法則の選択:
  • 選定理由: 問題が「内部エネルギーの変化」「熱」「仕事」という、熱力学第一法則を構成する3つの要素の関係を直接問うているため、この法則を選択するのは必然です。
  • 適用根拠: 熱力学第一法則は、マクロなスケールでのエネルギー保存則であり、気体の状態変化をエネルギーの出入りという観点から記述する、熱力学の根幹をなす法則です。
• \(\Delta U = Q + W\) という形式の有効性（主たる解法）:
  • 選定理由: この形式は、内部エネルギーの変化 \(\Delta U\) を主役としており、「内部エネルギーは何によって変化するのか」という視点を提供します。また、問題文で「仕事をされ」という言葉が使われている場合、\(W\) に正の値をそのまま代入できるため、思考のステップが少なく済みます。
  • 適用根拠: これは熱力学第一法則の標準的な表現の一つであり、物理的に厳密に正しい関係式です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• エネルギーの収支図を描く: 気体を円で表し、系に入ってくるエネルギー（熱の吸収、仕事をされる）を内向きの矢印、系から出ていくエネルギー（熱の放出、仕事をする）を外向きの矢印で描く、簡単なエネルギー収支図を描くと、状況を視覚的に整理できます。この問題では、「\(W=300 \, \text{J}\) が入ってきて、\(\Delta U=200 \, \text{J}\) が中に溜まった。では、熱 \(Q\) は入ってきたのか、出ていったのか？」という図になります。
• 移項の際の符号ミスに注意: \(200 = Q + 300\) という式から \(Q\) を求める際に、\(Q = 200 – 300\) と正しく移項することが基本ですが、焦っているとミスしやすいポイントです。落ち着いて計算しましょう。
• 言葉での最終確認: 計算結果 \(Q=-100\) が出たら、「マイナスは放出を意味する。大きさは100ジュール。だから、100ジュールの熱を放出した。これでOK」というように、自分の答えを言葉で再確認するプロセスを入れると、符号の解釈ミスを防げます。

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18 熱力学第１法則

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この問題のテーマは「等温変化における熱力学第一法則」です。気体のエネルギー保存則である熱力学第一法則を、等温変化という特殊な条件下で適用する問題です。各項（内部エネルギーの変化、熱、仕事）の符号の意味と、等温変化の物理的な特性を正確に理解しているかが問われます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

熱の吸収・放出とその大きさ