「重要問題集」徹底解説（96〜100問）：未来の得点力へ！完全マスター講座

問題96 (佐賀大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、2枚のガラス板で作られた「くさび形空気層」による光の干渉を扱っています。前半(1)～(5)は基本的な干渉条件や縞模様の間隔を、後半(6)～(8)はガラス板を動かしたときの干渉縞の変化を問うています。
この問題の核心は、薄膜干渉と同様に、2つの反射光の「光路差」と「位相変化」を正しく評価することです。特に、くさび形という形状から、光路差が場所（位置\(x\)）によって変化する点が特徴です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「くさび形空気層による光の干渉」です。基本的な考え方は前問の薄膜干渉と同じですが、膜厚が場所によって変わるため、スクリーン上には明暗の縞模様ができます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路差の場所依存性: くさび形領域では、空気層の厚さ\(d\)が位置\(x\)の関数になります。三角形の相似を用いることで、\(d\)を\(x\)で表し、光路差\(p\)を\(x\)の関数として求めることが最初のステップです。
2. 反射における位相変化: 2つの反射光がそれぞれどの境界面（ガラス→空気、空気→ガラス）で反射するかを特定し、屈折率の大小関係から位相が反転するかどうかを判断します。
3. 干渉条件: 光路差と位相変化の結果を組み合わせて、明線・暗線の条件を立式します。この問題では、明線が観測される「位置\(x\)」を求めることになります。
4. 干渉縞の間隔: 明線の条件式を\(x\)について解き、隣り合う明線（次数が\(m\)と\(m+1\)）の位置の差を計算することで、縞の間隔\(\Delta x\)が求まります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、三角形の相似を使って、任意の位置\(x\)における空気層の厚さ\(d\)を求め、光路差\(p=2d\)を\(x\)で表します（問1）。
2. 次に、2つの反射光の位相変化を調べ、干渉して明るくなる条件式を立てます（問2）。
3. この条件式を\(x\)について解き、隣り合う明線の位置の差から縞の間隔\(\Delta x\)を計算します（問3）。
4. 問(4)では、透過光の干渉を考えます。反射光とは位相変化の回数が異なるため、干渉条件が逆転することに注意します。
5. 問(5)以降は、媒質を変えたり、ガラスを動かしたりする応用問題です。それぞれの操作が光路差や干渉条件にどう影響するかを考え、基本に立ち返って立式します。

問(1)

思考の道筋とポイント
位置\(x\)における空気層の厚さ\(d\)を、図形の相似関係から求めます。その後、空気層（屈折率1.0）を光が往復するときの光路差\(p\)を計算します。

この設問における重要なポイント

• 図1のくさび形領域は、2つの相似な直角三角形（底辺\(x\), 高さ\(d\)の三角形と、底辺\(L\), 高さ\(D\)の三角形）から成る。
• 光は空気層を垂直に往復するため、経路差は\(2d\)。
• 空気の屈折率は1.0なので、光路差と経路差は等しい。

具体的な解説と立式
図1において、ガラスが接する位置を原点とすると、2つの直角三角形の相似から、高さと底辺の比は等しくなります。
$$ d : x = D : L \quad \cdots ① $$
光は厚さ\(d\)の空気層を往復するので、その経路差は\(2d\)です。空気の屈折率は1.0なので、光路差\(p\)は経路差に屈折率1.0を掛けたものとなり、
$$ p = 1.0 \times (2d) = 2d \quad \cdots ② $$

式①を\(d\)について解くと、
$$ d = \frac{D}{L}x $$
これを式②に代入すると、
$$ p = 2 \left( \frac{D}{L}x \right) = \frac{2D}{L}x $$

くさび形の隙間の厚さ\(d\)は、端からの距離\(x\)に比例します。この比例関係を、大きな三角形（底辺\(L\), 高さ\(D\)）と小さな三角形（底辺\(x\), 高さ\(d\)）の相似を使って式にします。光の干渉を考えるための「光路差」は、この隙間を光が往復する距離（\(2d\)）で決まります。

光路差は \(p = \displaystyle\frac{2D}{L}x\) です。光路差が位置\(x\)に比例するという、くさび形干渉の最も基本的な関係式であり、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
2つの反射光が干渉して明るくなる条件を考えます。そのためには、それぞれの反射面で位相が反転するかどうかを調べる必要があります。

この設問における重要なポイント

• 反射面の特定:
  • 光線1: 上のガラスの下面（ガラス → 空気）で反射。
  • 光線2: 下のガラスの上面（空気 → ガラス）で反射。
• 位相変化の判定:
  • 光線1: 屈折率 大(1.4) → 小(1.0) の反射。自由端反射であり、位相は変化しない。
  • 光線2: 屈折率 小(1.0) → 大(1.4) の反射。固定端反射であり、位相が\(\pi\)反転する。
• 強めあいの条件: 片方の光だけ位相が反転するため、条件が逆転し、「光路差 = 半波長の奇数倍」となる。

具体的な解説と立式
光線1と光線2のうち、位相が反転するのは光線2のみです。
したがって、2つの光が強めあって明るくなる条件は、
$$ p = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

この設問は条件式を導出することが目的なので、これ以上の計算はありません。

上のガラスの下面での反射では、光は「硬い所（ガラス）から軟らかい所（空気）」へ向かうので、位相は変わりません。一方、下のガラスの上面での反射では、「軟らかい所（空気）から硬い所（ガラス）」へ向かうので、位相がひっくり返ります。このように片方だけがひっくり返る場合、強めあう条件は「光路差が、(0.5, 1.5, 2.5, …)×波長」となります。

明るくなる条件は \(p = (m + \frac{1}{2})\lambda\) です。これは薄膜干渉における典型的な条件式の一つであり、物理的に正しいです。

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた光路差\(p\)の式と、(2)で求めた明線の条件式を組み合わせることで、明線が現れる位置\(x\)を求めます。干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、隣り合う明線の位置の差（次数が\(m\)の明線と\(m+1\)の明線の位置の差）として計算できます。

この設問における重要なポイント

• 2つの式を連立して、\(p\)を消去し\(x\)に関する式を導く。
• 干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、\(x_{m+1} – x_m\) で計算される。

具体的な解説と立式
(1)で求めた光路差の式は、
$$ p = \frac{2D}{L}x \quad \cdots ① $$
(2)で求めた明線の条件式は、
$$ p = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ② $$
\(m\)番目の明線の位置を\(x_m\)、\(m+1\)番目の明線の位置を\(x_{m+1}\)とすると、干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m \quad \cdots ③ $$

式①と②から\(p\)を消去して、\(x\)に関する式を導きます。
$$ \frac{2D}{L}x = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
これを\(x\)について解くと、\(m\)番目の明線の位置\(x_m\)が求まります。
$$ x_m = \frac{L}{2D}\left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
同様に、\(m+1\)番目の明線の位置\(x_{m+1}\)は、
$$ x_{m+1} = \frac{L}{2D}\left((m+1) + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
これらを式③に代入して\(\Delta x\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m \\[2.0ex]
&= \frac{L}{2D}\left(m + 1 + \frac{1}{2}\right)\lambda – \frac{L}{2D}\left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \\[2.0ex]
&= \frac{L\lambda}{2D} \left\{ \left(m + \frac{3}{2}\right) – \left(m + \frac{1}{2}\right) \right\} \\[2.0ex]
&= \frac{L\lambda}{2D} \times 1 \\[2.0ex]
&= \frac{L\lambda}{2D}
\end{aligned}
$$
別解: 物理的な意味からのアプローチ
具体的な解説と立式
隣り合う明線では、次数\(m\)が1つずれます。明線の条件式 \(2d = (m+1/2)\lambda\) から、隣り合う明線が生じる場所の厚さ\(d_m\)と\(d_{m+1}\)の差を考えると、
$$ 2d_{m+1} – 2d_m = \left( (m+1)+\frac{1}{2} \right)\lambda – \left( m+\frac{1}{2} \right)\lambda = \lambda $$
よって、厚さの差は \(d_{m+1} – d_m = \lambda/2\) となります。
これは、隣り合う明線が生じる場所では、空気層の厚さが\(\lambda/2\)だけ異なることを意味します。
この厚さの差と、対応する水平方向の距離の差（＝縞の間隔\(\Delta x\)）の関係は、くさび全体の傾き（底辺\(L\), 高さ\(D\)）との相似関係から求めることができます。
$$ (d_{m+1} – d_m) : \Delta x = D : L $$
$$ \frac{\lambda}{2} : \Delta x = D : L $$
この比例式を\(\Delta x\)について解きます。

$$ D \cdot \Delta x = L \cdot \frac{\lambda}{2} $$
$$ \Delta x = \frac{L\lambda}{2D} $$

(1)と(2)の式を合体させると、\(m\)番目の明るい縞模様が現れる位置\(x_m\)を計算する式が作れます。縞模様の間隔を知るには、\(m\)番目の縞の位置と、その隣の\(m+1\)番目の縞の位置を計算し、その差をとればOKです。

干渉縞の間隔は \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) です。この結果は、縞の間隔が次数\(m\)によらず一定であることを示しています。つまり、スクリーン上には等間隔の明暗の縞模様が観測されることになり、これは実験事実と一致する妥当な結果です。

問(4)

思考の道筋とポイント
ガラスの下側で透過光の干渉を観測する場合を考えます。干渉するのは、①そのまま透過してきた光と、②くさび形空気層で2回反射して戻ってきた後、下のガラスを透過する光です。この2つの光の光路差と位相変化を評価します。

この設問における重要なポイント

• 光路差: 透過光の場合も、干渉に関わる光の光路差は、反射光の場合と同じく空気層の往復分 \(p=2d\) となる。
• 明暗の逆転: 反射光が強めあう（明）とき、エネルギー保存則から透過光は弱めあう（暗）必要がある。逆に反射光が弱めあう（暗）とき、透過光は強めあう（明）。
• 反射光の弱めあいの条件: 光路差 = \(m\lambda\)。

具体的な解説と立式
反射光が明るくなる条件は、(2)より \(p = (m+\frac{1}{2})\lambda\) でした。
これより、反射光が暗くなる（弱めあう）条件は、
$$ p = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
エネルギー保存則により、反射光が暗いとき、透過光は明るくなります。
したがって、位置\(x\)の鉛直下方が明るくなる条件は、反射光が暗くなる条件と同じです。

この設問は条件式を導出することが目的なので、これ以上の計算はありません。

上からのぞいて明るく見える場所は、光のエネルギーが反射に多く使われている場所です。エネルギーは保存されるので、その場所を通り抜ける光は弱く（暗く）なります。逆に、上から見て暗い場所は、通り抜ける光が強い（明るい）場所です。したがって、下から見て明るくなる条件は、上から見て暗くなる条件と同じになります。

透過光が明るくなる条件は \(p = m\lambda\) です。これに(1)の結果を代入すると \(\displaystyle\frac{2D}{L}x = m\lambda\) となります。反射光が明るくなる条件 \(p=(m+1/2)\lambda\) と比較すると、明暗の条件が完全に入れ替わっていることがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

問(5)

思考の道筋とポイント
くさび形の空間を屈折率\(n=1.5\)の液体で満たした場合の干渉縞の間隔を求めます。媒質が変わることで、光の波長と位相変化のルールが変わる点に注意が必要です。

この設問における重要なポイント

• 光路差: 経路差\(2d\)に対し、媒質の屈折率\(n\)を掛けるので、光路差は \(p’ = n \times (2d) = 2nd\)。
• 位相変化の判定:
  • 光線1（ガラス→液体）: \(1.4 < 1.5\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
  • 光線2（液体→ガラス）: \(1.5 > 1.4\) なので、大→小の反射。位相は変化しない。
• 干渉縞の間隔の式: (3)で求めた \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) の光路差の考え方を応用する。

具体的な解説と立式
液体で満たした場合、光路差は \(p’ = 2nd = \displaystyle\frac{2nDx}{L}\) となります。
位相変化は、空気の場合とは逆に、上のガラス下面（光線1）で起こり、下のガラス上面（光線2）では起こりません。結局「片側のみ位相が反転する」という状況は同じです。
したがって、明線の条件は、
$$ p’ = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
$$ \frac{2nDx}{L} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
この式から、(3)と同様の計算で、干渉縞の間隔\(\Delta x’\)は、
$$ \Delta x’ = \frac{L\lambda}{2nD} $$
与えられた値は、\(\lambda = 6.3 \times 10^{-7}\) m, \(L=1.0\) m, \(D=1.0 \times 10^{-5}\) m, \(n=1.5\)。

$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{1.0 \times (6.3 \times 10^{-7})}{2 \times 1.5 \times (1.0 \times 10^{-5})} \\[2.0ex]
&= \frac{6.3 \times 10^{-7}}{3.0 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]
&= 2.1 \times 10^{-7 – (-5)} \\[2.0ex]
&= 2.1 \times 10^{-2} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

隙間を液体で満たすと、光路差が空気のときの\(n\)倍になります。そのため、縞模様の間隔は\(1/n\)倍に縮まります。(3)で求めた間隔の式を、屈折率\(n\)で割るだけで計算できます。

干渉縞の間隔は \(2.1 \times 10^{-2}\) m です。空気のときよりも屈折率の大きい液体で満たしたことで、縞の間隔が狭くなったことを示しており、妥当な結果です。

問(6)

思考の道筋とポイント
下のガラス板を鉛直下方に動かすと、任意の位置\(x\)における空気層の厚さ\(d\)は増加します。もともと位置\(x\)にあった\(m\)番目の明線が、この厚さの変化に伴ってどこへ移動するかを考えます。

この設問における重要なポイント

• 明線は「特定の厚さ」の場所で生じる。
• 下のガラスを下げると、すべての場所で厚さ\(d\)が増加する。
• もともと位置\(x\)にあった厚さ\(d\)の場所は、よりガラスの接点に近い、つまり\(x\)が小さい位置（左側）へ移動する。

具体的な解説と立式
\(m\)番目の明線は、特定の光路差 \(p_m = (m+1/2)\lambda\) を満たす場所、すなわち特定の厚さ \(d_m = p_m/2\) の場所で生じます。
下のガラス板を下に動かすと、くさび全体の厚みが増します。
その結果、以前は位置\(x\)にあった厚さ\(d_m\)の場所は、より原点に近い位置、つまり\(x\)座標が小さい場所（左側）に現れることになります。
したがって、スクリーン上で観測される明線は左に動きます。

思考問題なので、計算はありません。

明るい縞模様は、いわば「特定の厚さの等高線」のようなものです。下のガラスを下げると、くさび全体の地形が底上げされます。すると、今まで位置\(x\)にあった「高さ（厚さ）」の場所は、より坂のふもと（左側）に移動します。そのため、縞模様は左に動いて見えます。

明線は「左に動く」。これは現象の直感的なイメージとも一致しており、妥当です。

問(7)

思考の道筋とポイント
下のガラスを下降させたとき、干渉縞の間隔\(\Delta x\)がどうなるかを考えます。(3)で求めた間隔の式 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) が、この操作によって変化するかどうかを分析します。

この設問における重要なポイント

• 干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、\(L, \lambda, D\)のみに依存する。
• \(L\): ガラスが接する位置から金属箔までの距離。固定。
• \(\lambda\): 入射光の波長。固定。
• \(D\): 金属箔の厚さ。固定。
• 下のガラスを下降させる操作は、\(L, \lambda, D\)のいずれの値も変化させない。

具体的な解説と立式
干渉縞の間隔の式は、
$$ \Delta x = \frac{L\lambda}{2D} $$
です。この操作では、くさび形空気層の傾きを決める\(L\)と\(D\)は変化しません。また、入射光の波長\(\lambda\)も変わりません。
したがって、\(\Delta x\)を構成するすべての物理量が不変であるため、干渉縞の間隔も変化しません。

思考問題なので、計算はありません。

縞模様の間隔は、くさびの「傾き」(\(D/L\))と光の「波長」(\(\lambda\))だけで決まります。下のガラスを平行に上げ下げしても、くさびの傾きは変わりません。したがって、縞模様の間隔も変わることはありません。

干渉縞の間隔は「変化しない」。これも物理的に正しい結論です。

問(8)

思考の道筋とポイント
下のガラスを\(\Delta d\)だけ下降させた結果、もともと位置\(x\)にあった\(m\)番目の明線が、位置\(x-l\)に移動した状況を考えます。これは、2つの異なる場所の空気層の厚さの関係から、下降距離\(\Delta d\)を求める問題です。

この設問における重要なポイント

• 同じ\(m\)番目の明線なので、それが見える場所の「光路差」は前後で等しい。
• しかし、この問題では「同じ厚さの場所が移動する」と考える方が分かりやすい。
• 下降前の位置\(x-l\)での厚さを\(d_1\)、下降後の位置\(x-l\)での厚さを\(d\)とする。
• 下降前の位置\(x\)での厚さが\(d\)である。
• 図形的に、\(d = d_1 + \Delta d\) の関係が成り立つ。

具体的な解説と立式
下降前の位置\(x\)での空気層の厚さを\(d\)、位置\(x-l\)での厚さを\(d_1\)とします。三角形の相似より、
$$ d = \frac{D}{L}x \quad \cdots ① $$
$$ d_1 = \frac{D}{L}(x-l) \quad \cdots ② $$
下のガラスを\(\Delta d\)だけ下降させると、位置\(x-l\)での空気層の厚さは\(d_1+\Delta d\)になります。
この場所で、もともと位置\(x\)にあった\(m\)番目の明線が観測されたので、下降後の位置\(x-l\)での厚さは、下降前の位置\(x\)での厚さ\(d\)に等しくなります。
$$ d_1 + \Delta d = d \quad \cdots ③ $$

式③に式①と式②を代入して、\(\Delta d\)を求めます。
$$ \frac{D}{L}(x-l) + \Delta d = \frac{D}{L}x $$
\(\Delta d\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
\Delta d &= \frac{D}{L}x – \frac{D}{L}(x-l) \\[2.0ex]
&= \frac{D}{L} \{ x – (x-l) \} \\[2.0ex]
&= \frac{D}{L}l
\end{aligned}
$$
別解: 相似関係からの直接アプローチ
具体的な解説と立式
下のガラスを\(\Delta d\)だけ下降させると、同じ厚さの場所が水平方向に\(l\)だけ左に移動します。
この関係は、模範解答の図gのように、くさびの傾きを表す大きな三角形（底辺\(L\), 高さ\(D\)）と、ガラスの下降によって生じる小さな三角形（底辺\(l\), 高さ\(\Delta d\)）が相似であることから直接導くことができます。
$$ \Delta d : l = D : L $$

この比例式を\(\Delta d\)について解くと、
$$ L \cdot \Delta d = D \cdot l $$
$$ \Delta d = \frac{D}{L}l $$

もともと位置\(x\)にあった明るい縞が、ガラスを下げたことで位置\(x-l\)に移動しました。これは、ガラスを下げた後の「位置\(x-l\)での隙間の厚さ」が、下げる前の「位置\(x\)での隙間の厚さ」と等しくなった、ということです。この関係を図形的に考えると、ガラスを下げた距離\(\Delta d\)は、移動した距離\(l\)を使って計算できます。

下のガラスを移動させた距離は \(\Delta d = \displaystyle\frac{Dl}{L}\) です。これは、くさびの傾き(\(D/L\))に、縞が水平に移動した距離(\(l\))を掛けたものになっており、幾何学的に妥当な関係です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路差の計算（特に位置依存性）:
  • 核心: くさび形領域では、空気層の厚さ\(d\)がガラスの接触点からの距離\(x\)に比例して変化します。三角形の相似を用いて \(d = \displaystyle\frac{D}{L}x\) と表し、光路差 \(p=2d=\displaystyle\frac{2Dx}{L}\) を\(x\)の関数として求めることが全ての出発点です。
  • 理解のポイント: 光路差が場所によって異なるため、スクリーン上には連続的な明暗の縞模様（干渉縞）が形成されます。
• 反射における位相変化:
  • 核心: 薄膜干渉と同様に、反射面での位相変化が干渉条件を決定します。この問題では、ガラス（屈折率1.4）と空気（屈折率1.0）の間の反射を考えます。
  • 理解のポイント:
    • 上のガラス下面（ガラス→空気）: 屈折率 大→小 のため、位相変化はなし（自由端反射）。
    • 下のガラス上面（空気→ガラス）: 屈折率 小→大 のため、位相が\(\pi\)反転する（固定端反射）。

    この結果、2つの反射光のうち片方のみ位相が反転するため、干渉条件が逆転します。

• 干渉縞の間隔の導出:
  • 核心: 明線の条件式を位置\(x\)について解き、隣り合う明線（次数\(m\)と\(m+1\)）の位置の差 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) を計算することで、縞の間隔が求まります。
  • 理解のポイント: くさび形領域の場合、縞の間隔 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) は次数\(m\)に依存せず、一定となります。これは、くさびの傾きが一定であるため、光路差が\(x\)に比例して直線的に増加することに起因します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いたときの干渉。空気層の厚さが中心からの距離の2乗にほぼ比例する点が異なりますが、場所によって厚さが変わる空気層の干渉という点で本質は同じです。
  • 薄膜干渉（前問）: 均一な厚さの薄膜による干渉。本問は、この厚さが場所によって変化する応用版と位置づけられます。
  • 液体を満たす問題: 媒質を屈折率\(n\)の液体で満たすと、光路差は\(n\)倍、波長は\(1/n\)倍になります。結果として、干渉縞の間隔は\(1/n\)倍になります。この関係は様々な干渉問題で共通です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 形状と光路差の関係を把握する: まず、干渉が起こる領域の形状（くさび形、レンズ形など）を確認し、位置\(x\)と厚さ\(d\)の関係を幾何学的に立式します。これが光路差の基本形となります。
  2. 反射面と位相変化を特定する: 干渉する2つの光がどの境界面で反射するかを特定し、それぞれの屈折率の大小関係から位相変化の有無を判断します。これは薄膜干渉と全く同じ手順です。
  3. 観測方法を確認する: 反射光を観測するのか、透過光を観測するのかで明暗の条件が逆転します。問題文を注意深く読みましょう。
  4. 操作の意味を物理的に解釈する: (6)～(8)のように装置の一部を動かす問題では、その操作が「厚さ」「傾き」「光路差」などの物理量にどのような変化をもたらすかを考えます。「同じ縞は同じ厚さの場所に現れる」という原理を理解することが、縞の移動を考える鍵となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路差と経路差の混同:
  • 誤解: 媒質が空気（屈折率1.0）でない場合にも、光路差を経路差\(2d\)のまま計算してしまう。
  • 対策: 常に「光路差 = 屈折率 \(\times\) 経路差」という定義に立ち返る習慣をつけましょう。問(5)のように液体で満たした場合は、光路差は\(2nd\)となります。
• 反射光と透過光の条件の混同:
  • 誤解: 反射光の干渉条件と透過光の干渉条件が同じだと考えてしまう。
  • 対策: エネルギー保存則をイメージしましょう。反射が強ければ透過は弱く、反射が弱ければ透過は強い。つまり、明暗の条件は必ず逆転します。反射光の条件（明暗）が分かれば、透過光の条件はその逆、と機械的に判断できます。
• 縞の移動方向の誤解:
  • 誤解: (6)で下のガラスを下げると厚さが増えるから、縞は厚い方（右）へ動くと直感的に考えてしまう。
  • 対策: 「特定の縞（例：m番目の明線）は、特定の厚さの場所に現れる」という原理を思い出しましょう。下のガラスを下げると、くさび全体の厚さが増します。その結果、今まで位置\(x\)にあった厚さの場所は、より原点に近い（左の）位置にずれます。したがって、縞は左へ動きます。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 等高線としての干渉縞: 干渉縞を、くさび形空気層の「厚さの等高線」と見なすイメージが非常に有効です。明線は特定の厚さのラインに沿って現れます。このイメージを持つと、(6)でガラスを下げたときに「等高線」がどう動くかを直感的に理解できます。
  • 相似関係の明示: 問(1)や(8)の別解のように、くさびの傾きに関する三角形の相似を図に描き込むことで、厚さ\(d\)と位置\(x\)の関係や、ガラスの下降距離\(\Delta d\)と縞の移動距離\(l\)の関係が視覚的に明らかになります。
  • 別解の図解（図b）: 隣り合う明線の間隔\(\Delta x\)を考える際に、その場所の厚さの差が\(\lambda/2\)になるという物理的意味を図示（模範解答の図b）すると、相似関係から\(\Delta x\)をより直感的に導出できます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 誇張して描く: 実際のくさびの傾きは非常に小さいですが、図を描くときはDやdを大きく誇張して描くと、幾何学的な関係が見やすくなります。
  • 変数を書き込む: \(x, L, d, D, \Delta x, \Delta d\)など、問題に出てくる変数を図の中に正確に書き込むことが、立式のミスを防ぐ基本です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 三角形の相似 \(d:x = D:L\):
  • 選定理由: 光路差が場所によって変わるため、その依存関係を数式で表現する必要があるから。くさび形という幾何学的形状から、最も単純で直接的な関係式が相似比です。
  • 適用根拠: 問題設定が、直線的な傾きを持つくさび形であるという幾何学的条件に基づきます。
• 明線条件 \(p = (m+\frac{1}{2})\lambda\):
  • 選定理由: 問題が「明るくなる」条件を問うており、物理状況が「片側のみ位相が反転する」ため。
  • 適用根拠: 片方の波が半波長分ずれている状況で、2つの波が強めあう（山と山が重なる）ためには、光路差がそのずれを補正し、さらに整数波長分ずれる必要があります。結果、光路差が半波長の奇数倍のときに強めあいます。
• 縞の間隔 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\):
  • 選定理由: 問題が「干渉縞の間隔」という、周期的なパターンの長さを問うているため。
  • 適用根拠: 干渉縞が等間隔に並ぶ場合、隣り合う縞の位置の差を計算すれば、その間隔が求められるという定義に基づきます。この計算によって、間隔が次数\(m\)に依存しない定数であることが示されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 光路差:
   • 戦略: 三角形の相似から厚さ\(d\)を\(x\)で表し、光路差\(p=2d\)を計算する。
   • フロー: \(d:x=D:L\) \(\rightarrow\) \(d=\frac{D}{L}x\) \(\rightarrow\) \(p=2d=\frac{2D}{L}x\)。
2. (2) 明線条件:
   • 戦略: 位相変化を判定し、強めあいの条件式を立てる。
   • フロー: 片側反転を確認 \(\rightarrow\) 強めあいは光路差が半波長の奇数倍 \(\rightarrow\) \(p=(m+\frac{1}{2})\lambda\)。
3. (3) 縞の間隔:
   • 戦略: (1)と(2)の式を連立して\(m\)番目の明線の位置\(x_m\)を求め、\(\Delta x = x_{m+1}-x_m\)を計算する。
   • フロー: \(\frac{2Dx_m}{L}=(m+\frac{1}{2})\lambda\) から \(x_m\) を解く \(\rightarrow\) \(x_{m+1}\) との差を計算し \(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\) を得る。
4. (4) 透過光の条件:
   • 戦略: 透過光の干渉は反射光と明暗が逆転することを利用する。
   • フロー: 反射光の「暗線」の条件が、透過光の「明線」の条件となる \(\rightarrow\) \(p=m\lambda\)。(1)を代入し \(\frac{2D}{L}x=m\lambda\)。
5. (5) 液体中の間隔:
   • 戦略: (3)で求めた間隔の式\(\Delta x\)において、光路差が\(n\)倍になる効果を考慮する。
   • フロー: \(\Delta x’ = \frac{L\lambda}{2nD}\) となる \(\rightarrow\) 数値を代入して計算。
6. (6), (7) ガラスを動かす:
   • 戦略: (6)「特定の厚さ」の場所がどこへ動くかを考える。(7)間隔の式\(\Delta x\)の変数が変化しないことを確認する。
   • フロー: (6)厚さが増えるので、同じ厚さの場所は左へ移動。(7)\(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\) の\(L, \lambda, D\)は不変なので、\(\Delta x\)も不変。
7. (8) 移動距離:
   • 戦略: 下降後の位置\(x-l\)での厚さが、下降前の位置\(x\)での厚さと等しくなる、という関係を幾何学的に立式する。
   • フロー: 下降後の厚さ \(d’ = d_1+\Delta d = \frac{D}{L}(x-l)+\Delta d\)。これが下降前の厚さ \(d=\frac{D}{L}x\) に等しいとおき、\(\Delta d\)を解く。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字の区別: \(d\)と\(D\)、\(x\)と\(\Delta x\)、\(l\)と\(L\)など、似た文字を混同しないように注意深く書き分けましょう。特に\(D\)は定数（金属箔の厚さ）、\(d\)は変数（位置\(x\)での空気層の厚さ）であり、意味が全く異なります。
• 分数の計算: (3)や(5)の計算では、分母・分子の整理を慎重に行いましょう。特に(5)では、屈折率\(n\)が分母に来ることを間違えないようにします。
• 式の意味を考える: (8)では、複数の解法が考えられます（模範解答の別解など）。式を立てる際に「この項は何の厚さを表しているか」など、物理的な意味を常に意識することで、複雑な状況でも正しい立式ができます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (3) \(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\): 縞の間隔が、くさびが長い(\(L\)大)ほど、また波長が長い(\(\lambda\)大)ほど広くなり、くさびの傾きが急(\(D\)大)なほど狭くなる、という結果は直感と一致します。
  • (5) \(\Delta x’ < \Delta x\): 屈折率の大きい液体で満たすと縞の間隔が狭くなる(\(\Delta x’ = \Delta x / n\))という結果は、他の干渉実験とも共通する性質であり、妥当です。
  • (7) \(\Delta x\)は変化しない: ガラスを平行に上下させても、くさびの傾き(\(D/L\))は変わらないので、縞の間隔も変わらないはずだ、という考察と一致します。
• 別解との比較:
  • (3)の別解では、隣り合う明線では厚さの差が\(\lambda/2\)になるという物理的考察から、三角形の相似を用いて\(\Delta x\)を直接求めています。代数的に\(x_{m+1}-x_m\)を計算するメインの解法と同じ結果になることを確認することで、答えの信頼性が高まります。

問題97 (千葉大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、平凸レンズと平面ガラスによって作られる「ニュートンリング」という干渉現象を扱っています。中心からの距離\(r\)によって空気層の厚さ\(d\)が変化するため、同心円状の干渉縞が観測されます。
前半(1)～(4)は基本的な幾何学と干渉条件、後半(5)～(9)はレンズを動かしたり、間を液体で満たしたりする応用的な状況を考察します。
この問題の核心は、くさび形空気層の干渉（前問）と同様に、場所によって変わる光路差と、反射面での位相変化を正しく評価することです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「ニュートンリング」です。空気層の厚さが中心からの距離の2乗に比例する点が、くさび形空気層との主な違いです。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 三平方の定理: 球面の形状から、中心からの距離\(r\)と空気層の厚さ\(d\)の関係を導出するために用います。
2. 近似式の利用: \(r \ll R\) という条件の下で、複雑な平方根の式を単純な2次関数に近似します。これにより、以降の計算が大幅に簡略化されます。
3. 光路差と位相変化: 基本的な考え方は薄膜干渉と同じです。2つの反射光（レンズ下面での反射とガラス上面での反射）の光路差（\(2d\)）と、それぞれの反射面での位相変化を評価し、干渉条件を立てます。
4. パラメータの変化: レンズを動かしたり（空気層の厚さが一様に変化）、液体で満たしたり（屈折率と位相変化のルールが変化）したときに、干渉条件がどう変わるかを考察します。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、図に描かれた直角三角形に三平方の定理を適用し、\(d\)を\(r\)と\(R\)で表します（問1）。
2. 次に、問題で与えられた近似式を用いて、\(d\)を簡単な\(r\)の2次式で表します（問2）。
3. 反射光の干渉を考え、位相変化のルールから明環の条件式を立てます（問3）。
4. (2)と(3)の結果を組み合わせて、明環の半径\(r\)を求めます（問4）。
5. 問(5)以降は応用問題です。レンズを距離\(h\)だけ離すと、光路差が\(2d\)から\(2(d+h)\)に変わることを利用します。また、液体で満たすと、光路差が\(n\)倍になり、位相変化のルールも変わる可能性があることに注意して、各設問の条件を立式していきます。

問(1)

思考の道筋とポイント
図に示された、球面の中心、点Q、点Pを含む直角三角形に三平方の定理を適用します。これにより、\(d, r, R\)の間の厳密な関係式を導き出します。

この設問における重要なポイント

• 直角三角形の3辺の長さを\(d, r, R\)で正しく表現する。
  • 斜辺: \(R\)
  • 高さ: \(R-d\)
  • 底辺: \(r\)

具体的な解説と立式
図の直角三角形において、三平方の定理を適用します。
$$ R^2 = r^2 + (R-d)^2 $$
この式を\(d\)について解くことが目的です。

$$
\begin{aligned}
(R-d)^2 &= R^2 – r^2 \\[2.0ex]
R-d &= \sqrt{R^2 – r^2} \quad (\text{ここで } R>d \text{ より } R-d>0) \\[2.0ex]
d &= R – \sqrt{R^2 – r^2}
\end{aligned}
$$

レンズの球面の中心と、点P、点Qを結ぶと直角三角形ができます。この三角形の3つの辺の長さを、半径\(R\)、距離\(r\)、厚さ\(d\)を使って表し、「斜辺の2乗 = 他の2辺の2乗の和」という三平方の定理の式を立てて、\(d\)について解きます。

空気層の厚さは \(d = R – \sqrt{R^2 – r^2}\) と表されます。これは幾何学的に厳密な関係式です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた厳密な式を、問題で与えられた近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) を使って、\(r \ll R\) の場合に成り立つ簡単な式に変形します。

この設問における重要なポイント

• (1)の式を、近似式が使える形 \(\sqrt{1+x}\) に変形する。
• \(x = -(r/R)^2\) と対応させる。
• \(r \ll R\) のとき、\(x\)の絶対値が1に比べて非常に小さいとみなせる。

具体的な解説と立式
(1)で求めた式は、
$$ d = R – \sqrt{R^2 – r^2} $$
この式の平方根の中を\(R\)でくくり出し、近似式が使える形に変形します。
$$ d = R – \sqrt{R^2 \left(1 – \frac{r^2}{R^2}\right)} = R – R\sqrt{1 – \left(\frac{r}{R}\right)^2} $$
ここで、\(x = -\left(\frac{r}{R}\right)^2\) とおくと、近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) が適用できます。

$$
\begin{aligned}
d &\approx R – R\left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( -\left(\frac{r}{R}\right)^2 \right) \right\} \\[2.0ex]
&= R – R\left( 1 – \frac{r^2}{2R^2} \right) \\[2.0ex]
&= R – \left( R – \frac{Rr^2}{2R^2} \right) \\[2.0ex]
&= R – R + \frac{r^2}{2R} \\[2.0ex]
&= \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
問題文の \(d=Ar^2\) と比較すると、係数\(A\)は、
$$ A = \frac{1}{2R} $$

(1)で求めた式はルートが入っていて複雑なので、簡単な形に近似します。指定された近似の公式が使えるように、(1)の式をうまく変形してあげます。変形後に公式を当てはめて整理すると、\(d\)が簡単な\(r\)の2次式で表せます。

\(A = \displaystyle\frac{1}{2R}\) であり、空気層の厚さ\(d\)は中心からの距離\(r\)の2乗に比例することがわかります。これは放物線で近似できることを意味し、ニュートンリングの議論で用いられる基本的な関係です。

問(3)

思考の道筋とポイント
上から観察したときに明環となる条件を考えます。これは、平凸レンズ下面と平面ガラス上面からの反射光が強めあう条件です。光路差と位相変化を評価して立式します。

この設問における重要なポイント

• 光路差: 空気層の厚さ\(d\)の場所での光路差は\(2d\)。
• 位相変化の判定:
  • レンズ下面（ガラス→空気）: 屈折率 大(\(n_0\)) → 小(1) の反射。位相変化なし。
  • ガラス上面（空気→ガラス）: 屈折率 小(1) → 大(\(n_0\)) の反射。位相が\(\pi\)反転する。
• 強めあいの条件: 片側のみ位相が反転するため、「光路差 = 半波長の奇数倍」となる。
• \(m\)番目の明環の定義: 問題文では\(m=1, 2, 3, \dots\)と指定されている。一般的な干渉の次数(\(m’=0, 1, 2, \dots\))との対応を考える必要がある。最も光路差が小さい明環(\(m=1\))は、次数\(m’=0\)に対応する。よって、\(m\)番目の明環は次数\(m-1\)に対応する。

具体的な解説と立式
光路差は\(2d\)。位相変化はガラス上面での反射時のみ。
したがって、強めあいの条件は、次数を\(m’\)とすると、
$$ 2d = \left(m’ + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m’=0, 1, 2, \dots) $$
問題文では、明環を\(m=1, 2, 3, \dots\)で数えているため、\(m\)番目の明環は次数\(m’ = m-1\)に対応します。
$$ 2d = \left((m-1) + \frac{1}{2}\right)\lambda = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$

上の式を\(d\)について解くと、
$$ d = \left(\frac{m}{2} – \frac{1}{4}\right)\lambda = \frac{\lambda}{2}m – \frac{\lambda}{4} $$
この式と問題文の \(d=Bm+C\) を比較すると、係数\(B, C\)は、
$$ B = \frac{\lambda}{2}, \quad C = -\frac{\lambda}{4} $$

明るいリングが見える条件を考えます。光が進む距離の差（光路差）は、隙間の厚さ\(d\)の2倍である\(2d\)です。反射するとき、下のガラス面でだけ位相がひっくり返るので、強めあう条件は「光路差 = (0.5, 1.5, 2.5, …)×波長」となります。問題文ではリングを1番目、2番目と数えるので、\(m\)番目のリングは「光路差 = \((m-0.5)\)×波長」という条件に対応します。

\(B = \displaystyle\frac{\lambda}{2}, C = -\frac{\lambda}{4}\) となります。この結果は、明環が生じる厚さ\(d\)が\(m\)の1次関数で表せることを示しています。

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた厚さの近似式 \(d=Ar^2\) と、(3)で求めた\(m\)番目の明環の条件式を組み合わせて、\(m\)番目の明環の半径\(r\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• 2つの\(d\)に関する式を等しいと置く。
• \(r\)について解き、平方根をとる。

具体的な解説と立式
(2)より、厚さ\(d\)と半径\(r\)の関係は、
$$ d = Ar^2 \quad \cdots ① $$
(3)より、\(m\)番目の明環ができる厚さ\(d\)の条件は、
$$ 2d = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ② $$

式①を式②に代入します。
$$ 2(Ar^2) = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$
これを\(r^2\)について解くと、
$$ r^2 = \frac{(m – \frac{1}{2})\lambda}{2A} = \frac{(2m-1)\lambda}{4A} $$
\(r>0\)なので、平方根をとると、
$$ r = \sqrt{\frac{(2m-1)\lambda}{4A}} $$

(2)で「厚さ\(d\)と半径\(r\)の関係式」を、(3)で「\(m\)番目の明るいリングができる厚さ\(d\)の条件式」を求めました。この2つの式を合体させることで、\(m\)番目の明るいリングの半径\(r\)を計算できます。

\(m\)番目の明環の半径は \(r = \sqrt{\displaystyle\frac{(2m-1)\lambda}{4A}}\) です。\(m\)が大きくなるほど半径\(r\)も大きくなりますが、その間隔は徐々に狭まっていく（\(r \propto \sqrt{m}\) の関係）ことを示しており、ニュートンリングの典型的な特徴と一致します。

問(5)

思考の道筋とポイント
平凸レンズを距離\(h\)だけ真上に離した状況を考えます。このとき、空気層の厚さは\(d\)から\(d+h\)に変わります。この新しい厚さで明環となる条件を立て、半径の変化についての問題文の条件と連立させて\(h\)を求めます。

この設問における重要なポイント

• レンズを離すと、光路差は \(2d \rightarrow 2(d+h)\) に変化する。
• 最も近い明環は \(m=1\) に対応する。
• 離す前の半径\(r_1\)と、離した後の半径\(r_1’\)の関係が \(r_1′ = r_1/2\) である。

具体的な解説と立式
最も近い明環(\(m=1\))について考えます。
離す前の半径を\(r_1\)、離した後の半径を\(r_1’\)とします。
(4)の結果から、\(r_1^2\)は、
$$ r_1^2 = \frac{(2 \cdot 1 – 1)\lambda}{4A} = \frac{\lambda}{4A} \quad \cdots ① $$
レンズを\(h\)離した後の明環の条件は、光路差が\(2(d+h)\)になることから、
$$ 2(d+h) = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$
ここに\(d=Ar^2\)を代入し、\(m=1\)とすると、
$$ 2(A(r_1′)^2+h) = \left(1 – \frac{1}{2}\right)\lambda = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ② $$
問題文の条件は、
$$ r_1′ = \frac{1}{2}r_1 \quad \cdots ③ $$

式②を\((r_1′)^2\)について解くと、
$$ A(r_1′)^2+h = \frac{\lambda}{4} $$
$$ (r_1′)^2 = \frac{1}{A}\left(\frac{\lambda}{4} – h\right) $$
式③より \((r_1′)^2 = r_1^2/4\)。これと式①を代入すると、
$$ \frac{1}{4}\left(\frac{\lambda}{4A}\right) = \frac{1}{A}\left(\frac{\lambda}{4} – h\right) $$
両辺に\(4A\)を掛けると、
$$ \frac{\lambda}{4} = 4\left(\frac{\lambda}{4} – h\right) = \lambda – 4h $$
これを\(h\)について解きます。
$$ 4h = \lambda – \frac{\lambda}{4} = \frac{3\lambda}{4} $$
$$ h = \frac{3\lambda}{16} $$

レンズを少し持ち上げると、隙間全体の厚さが\(h\)だけ増えます。この状態で、一番内側の明るいリングの半径を測ったら、持ち上げる前の半分になっていた、という状況です。持ち上げる前と後、それぞれの「一番内側のリングの半径を計算する式」を立て、この2つの式を問題文の条件でつなぐことで、持ち上げた高さ\(h\)を計算できます。

離した距離は \(h = \displaystyle\frac{3\lambda}{16}\) です。光の波長程度の非常に小さな距離であり、物理的に妥当な値です。

問(6)

思考の道筋とポイント
レンズを距離\(h’\)だけ離したとき、「離す前と同じ縞模様が初めて現れた」状況を考えます。これは、離す前に\(m\)番目の明環があった場所に、離した後に\(m+1\)番目（あるいはそれ以上）の明環が移動してきたことを意味します。「初めて」現れるのは、隣の縞が移動してきたとき、つまり次数が1つずれたときです。

この設問における重要なポイント

• 同じ位置\(r\)で、異なる次数の明環が観測される。
• 離す前: 位置\(r\)で\(m\)番目の明環が観測される条件。
• 離した後: 同じ位置\(r\)で\(m+1\)番目の明環が観測される条件。
• 「初めて」なので、次数が1つだけずれる場合を考える。

具体的な解説と立式
ある位置\(r\)での空気層の厚さを\(d\)とします。
離す前の\(m\)番目の明環の条件は、
$$ 2d = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ① $$
レンズを\(h’\)離すと、同じ位置\(r\)での光路差は \(2(d+h’)\) となります。この場所で\(m+1\)番目の明環が見える条件は、
$$ 2(d+h’) = \left((m+1) – \frac{1}{2}\right)\lambda = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ② $$

式②を展開します。
$$ 2d + 2h’ = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
この式に、式①から \(2d\) を代入します。
$$ \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda + 2h’ = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
\(h’\)について解くと、
$$ 2h’ = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda – \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$
$$ 2h’ = \lambda $$
$$ h’ = \frac{\lambda}{2} $$

レンズを持ち上げると、(問5のように)縞模様は中心に向かって移動します。ちょうど波長\(\lambda\)の半分だけ持ち上げると、光路差が往復で\(\lambda\)だけ変化し、すべての縞が一つ内側の縞の位置にぴったり重なります。その結果、見た目上は元の縞模様が再現されます。

離した距離は \(h’ = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) です。この結果は、次数\(m\)や位置\(r\)に依存しません。つまり、レンズを半波長だけ動かすと、全ての縞が隣の縞の位置に移動し、全体として元のパターンが再現されることを意味しており、物理的に非常に興味深く、妥当な結果です。

問(7)

思考の道筋とポイント
レンズとガラスの間を屈折率\(n\)の液体で満たした場合を考えます。これにより、光路差と位相変化のルールが変わります。この新しい条件の下で、最も近い明環(\(m=1\))の半径を求めます。

この設問における重要なポイント

• 光路差: 液体で満たすと、光路差は \(2nd\) となる。
• 位相変化の判定 (\(1<n<n_0\)):
  • レンズ下面（ガラス→液体）: \(n_0 > n\) なので、大→小の反射。位相変化なし。
  • ガラス上面（液体→ガラス）: \(n < n_0\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
• 干渉条件: 結局、空気のときと同じく「片側のみ位相が反転する」状況になる。

具体的な解説と立式
光路差は \(2nd\)。位相変化はガラス上面でのみ起こります。
したがって、強めあいの条件は、
$$ 2nd = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m=1, 2, 3, \dots) $$
ここに、厚さの近似式 \(d=Ar^2\) を代入します。
$$ 2n(Ar^2) = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$
最も近い明環は\(m=1\)の場合なので、その半径を\(r\)とすると、
$$ 2nAr^2 = \left(1 – \frac{1}{2}\right)\lambda = \frac{\lambda}{2} $$

上の式を\(r^2\)について解きます。
$$ r^2 = \frac{\lambda}{4nA} $$
\(r>0\)なので、
$$ r = \sqrt{\frac{\lambda}{4nA}} $$

隙間を液体で満たすと、光路差が\(n\)倍になります。明るくなる条件式を立て、一番内側のリング（\(m=1\)）に対応する半径\(r\)を計算します。

最も近い明環の半径は \(r = \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{4nA}}\) です。空気のとき(\(r_1 = \sqrt{\lambda/4A}\))と比較すると、半径が \(1/\sqrt{n}\) 倍に小さくなっていることがわかります。

問(8)

思考の道筋とポイント
液体で満たしたときの中心(\(r=0, d=0\))の明るさを考えます。中心では光路差が0なので、明るさは位相変化のみで決まります。\(n>n_0\)の場合と\(1<n<n_0\)の場合で、位相変化のルールがどう変わるかを調べます。

この設問における重要なポイント

• 中心(\(d=0\))では光路差は0。
• 光路差0のとき、位相差が0なら強めあい（明）、\(\pi\)なら弱めあう（暗）。
• 位相差は、2つの反射面での位相変化の「差」で決まる。
  • 両方反転 or 両方反転しない \(\rightarrow\) 位相差0 \(\rightarrow\) 明
  • 片方だけ反転 \(\rightarrow\) 位相差\(\pi\) \(\rightarrow\) 暗

具体的な解説と立式

• \(n > n_0\) の場合:
  • レンズ下面（ガラス→液体）: \(n_0 < n\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
  • ガラス上面（液体→ガラス）: \(n > n_0\) なので、大→小の反射。位相変化なし。
  • 結果: 片側のみ反転するので、位相差は\(\pi\)。中心は暗くなる。よって、中心が暗い同心円状の縞模様が見える。
• \(1 < n < n_0\) の場合:
  • レンズ下面（ガラス→液体）: \(n_0 > n\) なので、大→小の反射。位相変化なし。
  • ガラス上面（液体→ガラス）: \(n < n_0\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
  • 結果: こちらも片側のみ反転するので、位相差は\(\pi\)。中心は暗くなる。よって、中心が暗い同心円状の縞模様が見える。

思考問題なので、計算はありません。

リングの中心は隙間の厚さがゼロなので、光路差もゼロです。したがって、明るいか暗いかは、2つの反射光の位相が「揃っているか」「逆向きか」だけで決まります。それぞれの反射面で屈折率の大小関係を調べ、位相がひっくり返るかどうかをチェックします。

\(n>n_0\) の場合も \(1<n<n_0\) の場合も、いずれも片側のみ位相が反転するため、中心は暗くなります。したがって、どちらの場合も選択肢①が正解です。

問(9)

思考の道筋とポイント
問(8)と同じ状況で、今度は下方から透過光を観察します。透過光の干渉は、反射光の干渉と明暗が逆転する性質を利用して考えます。

この設問における重要なポイント

• 透過光と反射光の明暗は逆転する。
• 問(8)で、反射光の中心はどちらの場合も「暗」だった。
• したがって、透過光の中心はどちらの場合も「明」になる。

具体的な解説と立式
エネルギー保存則により、反射光が弱めあう（暗い）場所では、透過光は強めあう（明るい）ことになります。
問(8)の考察より、\(n>n_0\) の場合も \(1<n<n_0\) の場合も、反射光は中心で弱めあって暗くなりました。
したがって、透過光はどちらの場合も中心で強めあって明るくなります。
よって、中心が明るい同心円状の縞模様が見えます。

思考問題なので、計算はありません。

(8)で、上から見ると中心は暗くなることがわかりました。光のエネルギーは消えるわけではないので、反射されなかった分のエネルギーは下へ通り抜けていきます。つまり、上から見て暗い場所は、下から見ると明るくなります。

\(n>n_0\) の場合も \(1<n<n_0\) の場合も、透過光の中心は明るくなります。したがって、どちらの場合も選択肢②が正解です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 厚さの幾何学的計算と近似:
  • 核心: ニュートンリングの議論の出発点。まず三平方の定理を用いて、空気層の厚さ\(d\)と中心からの距離\(r\)の厳密な関係式 \(d = R – \sqrt{R^2 – r^2}\) を導出します。次に、\(r \ll R\) という条件下で近似計算を行い、扱いやすい関係式 \(d \approx \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を得ることが極めて重要です。この近似式が、以降のすべての設問の土台となります。
  • 理解のポイント: この近似により、厚さ\(d\)が距離\(r\)の2乗に比例することがわかり、半径\(r\)と干渉の次数\(m\)の関係をシンプルに議論できるようになります。
• 光路差と位相変化:
  • 核心: 薄膜や、くさび形空気層の干渉と全く同じ原理です。光路差（空気層の往復分 \(2d\)）と、2つの反射面（レンズ下面とガラス上面）での位相変化を正しく評価することが、干渉条件を決定づけます。
  • 理解のポイント:
    • レンズ下面（ガラス\(n_0\)→空気1）: 大→小の反射。位相変化なし。
    • ガラス上面（空気1→ガラス\(n_0\)）: 小→大の反射。位相が\(\pi\)反転。

    この「片側のみ位相が反転する」という事実から、強めあいの条件は光路差 \(2d = (m’+\frac{1}{2})\lambda\) となります。

• パラメータ変化への対応:
  • 核心: レンズを動かしたり（問5, 6）、媒質を変えたり（問7, 8, 9）したときに、どの物理量がどう変化するかを正確に追跡する能力が問われます。
  • 理解のポイント:
    • レンズを距離\(h\)離す \(\rightarrow\) 光路差が \(2d\) から \(2(d+h)\) に変化。
    • 屈折率\(n\)の液体で満たす \(\rightarrow\) 光路差が \(2d\) から \(2nd\) に変化。さらに、反射面での屈折率の大小関係が変わり、位相変化のルールが変化する可能性がある。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • くさび形空気層の干渉（前問）: 厚さ\(d\)が距離\(x\)に比例する(\(d \propto x\))点が異なりますが、光路差と位相変化を考えて干渉縞を議論する流れは全く同じです。ニュートンリングは厚さが\(r^2\)に比例する応用版と見なせます。
  • 薄膜の干渉: 均一な厚さの薄膜。ニュートンリングは、この厚さが場所によって連続的に変化する系と考えることができます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 厚さ\(d\)と位置\(r\)（または\(x\)）の関係式を立てる: まずは幾何学的な考察から、干渉が起こる層の厚さと位置の関係を立式します。近似計算が必要な場合が多いです。
  2. 位相変化のルールを確認する: 干渉する2つの光がどの境界面で反射するかを特定し、それぞれの屈折率の大小関係から位相変化の有無を判断します。これは光の干渉問題における定石です。
  3. 「\(m\)番目」の定義に注意する: 問題文で「\(m\)番目の明環（\(m=1, 2, \dots\)）」と指定されているか、物理で一般的な次数「\(m=0, 1, 2, \dots\)」で考えるべきかを確認します。両者の間には \(m_{\text{番目}} = m_{\text{次数}} + 1\) のような関係があることが多く、これを間違えると条件式がずれます。
  4. 中心（\(r=0, d=0\)）の明暗を考える: 中心では光路差が0になるため、明暗は位相変化のみで決まります。これは問題を解く上での良いチェックポイントになります。位相差0なら明、\(\pi\)なら暗です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 近似計算のミス:
  • 誤解: (2)の近似計算で、式の変形や符号の扱いを間違える。
  • 対策: \(\sqrt{R^2-r^2} = R\sqrt{1-(r/R)^2}\) のように、まずは近似式\(\sqrt{1+x}\)が使える形に正確に変形する手順を確実にマスターしましょう。焦って計算しないことが重要です。
• \(m\)と「\(m\)番目」の混同:
  • 誤解: (3)で、\(m\)番目の明環の条件を、次数の\(m\)をそのまま使って \(2d = (m+1/2)\lambda\) と立式してしまう。
  • 対策: 物理的な次数\(m’\)は0から始まるのに対し、問題文の「番目」は1から始まります。1番目の明環は、光路差が最小の\(m’=0\)に対応するため、\(m\)番目の明環は次数\(m’=m-1\)に対応すると考え、\(2d = ((m-1)+1/2)\lambda = (m-1/2)\lambda\) と立式するのが確実です。
• 液体で満たしたときの位相変化:
  • 誤解: (7), (8)で液体を注入した後も、空気のときと同じ位相変化のルールを適用してしまう。
  • 対策: 媒質が変わったら、必ず屈折率の大小関係を再確認しましょう。特に(8)では、液体の屈折率\(n\)とガラスの屈折率\(n_0\)の大小関係によって、レンズ下面での反射が「大→小」から「小→大」に変わる可能性があり、これが位相変化のルールを根本的に変えます。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 三平方の定理の図示: (1)では、問題図に球面の中心を点として描き加え、半径\(R\)、\(R-d\)、\(r\)を辺とする直角三角形を明示することが、立式の第一歩です。
  • レンズを離すイメージ（図c）: (5), (6)では、レンズ全体を距離\(h\)だけ持ち上げた図を描くと、光路差が\(2d\)から\(2(d+h)\)に変化することが視覚的に理解できます。
  • 位相変化の書き込み（図b）: レンズ下面とガラス上面の反射点に、位相が反転する（ずれる）かしないかを記号（例：×、○）で書き込むと、干渉条件の選択ミスを防げます。
  • 屈折率の大小関係の図示（図d, e）: (8)のように媒質が変わる場合は、各層の屈折率の大小関係を矢印などで図示すると、位相変化のルールを判断しやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 三平方の定理:
  • 選定理由: 球面の一部という幾何学的形状から、厚さ\(d\)と半径\(r\)の関係を導出するため。これは円や球が関わる幾何の問題における最も基本的なツールです。
  • 適用根拠: ユークリッド幾何学の基本的な定理であり、直角三角形が存在する場面で常に適用可能です。
• 近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1+x/2\):
  • 選定理由: 三平方の定理から導かれる厳密な式は平方根を含み扱いにくいため、\(r \ll R\) という物理的な条件を利用して、より単純な多項式に変換するためです。
  • 適用根拠: テイラー展開（マクローリン展開）の1次までの近似であり、\(|x| \ll 1\) のときに数学的に保証されています。
• 明線条件 \(2d = (m-1/2)\lambda\):
  • 選定理由: 問題が「明環」の条件を問うており、物理状況が「片側のみ位相が反転する」ため。
  • 適用根拠: 片方の波が半波長分ずれているため、強めあうには光路差が半波長の奇数倍になる必要があります。さらに「\(m\)番目」という数え方(\(m=1,2,\dots\))を物理的な次数(\(m’=0,1,\dots\))に変換した結果、この式が選択されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 厳密な厚さ:
   • 戦略: 三平方の定理を適用する。
   • フロー: \(R^2 = r^2 + (R-d)^2\) \(\rightarrow\) \(d\)について解く。
2. (2) 近似的な厚さ:
   • 戦略: (1)の式を近似公式が使える形に変形し、適用する。
   • フロー: \(d = R – R\sqrt{1-(r/R)^2}\) \(\rightarrow\) \(\sqrt{1+x}\)の近似を適用し、\(d=r^2/(2R)\)を得る。\(A=1/(2R)\)。
3. (3) 明環の条件:
   • 戦略: 位相変化を考慮して強めあいの条件を立て、\(m\)番目と次数を対応させる。
   • フロー: 片側反転 \(\rightarrow\) \(2d=(m’+1/2)\lambda\)。\(m=m’+1\)より\(2d=(m-1/2)\lambda\)。\(d\)について解き\(B, C\)を求める。
4. (4) 明環の半径:
   • 戦略: (2)の近似式と(3)の条件式を連立する。
   • フロー: \(Ar^2 = (m-1/2)\lambda/2\) \(\rightarrow\) \(r\)について解く。
5. (5) レンズを離す(1):
   • 戦略: 離す前の半径\(r_1\)と、離した後の半径\(r_1’\)の条件式を立て、\(r_1’=r_1/2\)の関係で結ぶ。
   • フロー: \(2Ar_1^2 = \lambda/2\)。\(2(A(r_1′)^2+h)=\lambda/2\)。この2式と\(r_1’=r_1/2\)から\(h\)を求める。
6. (6) レンズを離す(2):
   • 戦略: 同じ位置\(r\)で、離す前（次数\(m\)）と離した後（次数\(m+1\)）の条件式を立てて連立する。
   • フロー: \(2d=(m-1/2)\lambda\) と \(2(d+h’)=(m+1/2)\lambda\) から\(d, m\)を消去し\(h’\)を求める。
7. (7) 液体で満たす:
   • 戦略: 光路差が\(2nd\)になることを考慮して、明環の条件式を立て直す。
   • フロー: 位相変化は片側反転のまま。\(2nd=(m-1/2)\lambda\)。\(d=Ar^2\)を代入し、\(m=1\)の\(r\)を求める。
8. (8), (9) 中心部分の明暗:
   • 戦略: 中心(\(d=0\))では光路差が0なので、位相変化のみで明暗を判断する。透過光は反射光と明暗が逆転する。
   • フロー: \(n\)と\(n_0\)の大小関係から各反射面での位相変化を判定し、反射光の中心の明暗を決める。透過光はその逆。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 近似計算の丁寧な実行: (2)の計算は、この問題の根幹をなす部分です。符号ミスや展開ミスがないよう、一行一行慎重に計算を進めましょう。
• 次数の扱いの統一: (3)のように「\(m\)番目」という表現が出てきたら、まずそれを物理的な次数（0から始まる）に変換してから式を立てる、という手順を自分の中でルール化すると、混乱が少なくなります。
• パラメータの整理: (5)や(6)のように装置の状態が変化する問題では、「変化前」「変化後」で何が定数で何が変数かを明確に意識することが重要です。特に、同じ文字（例：\(d, r\)）が異なる状態を表す場合は、\(d_1, d_2\)のように添え字をつけて区別するとミスを防げます。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (4) \(r \propto \sqrt{m-1/2}\): 明環の半径\(r\)は、次数\(m\)が大きくなるにつれて大きくなるが、その間隔は徐々に狭まっていくことを示しています。これは実際のニュートンリングの見た目と一致します。
  • (6) \(h’=\lambda/2\): レンズを半波長だけ動かすと、光路差がちょうど1波長分変化し、隣の縞が元の位置にやってくる、という結果は非常にシンプルで物理的な意味が明快です。このような美しい結果は、答えが正しい可能性が高いことを示唆します。
  • (7) \(r \propto 1/\sqrt{n}\): 屈折率\(n\)の液体で満たすと、空気のときに比べて半径が小さくなるという結果は、光路差が\(n\)倍になることで、より小さな厚さ（＝より中心に近い場所）で干渉条件が満たされるため、と解釈でき妥当です。

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問題98 (横浜市大 改)