「重要問題集」徹底解説(96〜100問):未来の得点力へ!完全マスター講座

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問題96 (佐賀大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、2枚のガラス板で作られた「くさび形空気層」による光の干渉を扱っています。前半(1)~(5)は基本的な干渉条件や縞模様の間隔を、後半(6)~(8)はガラス板を動かしたときの干渉縞の変化を問うています。
この問題の核心は、薄膜干渉と同様に、2つの反射光の「光路差」と「位相変化」を正しく評価することです。特に、くさび形という形状から、光路差が場所(位置\(x\))によって変化する点が特徴です。

与えられた条件
  • ガラス板: 2枚、屈折率\(1.4\)
  • くさび形領域: 長さ\(L\), 端の厚さ\(D\)
  • 媒質:
    • (1)~(4), (6)~(8): 空気(屈折率\(1.0\))
    • (5): 液体(屈折率\(1.5\))
  • 光源: 単色光(波長\(\lambda\))
  • 観測方法:
    • (1)~(3), (5)~(8): 上方からの反射光を観測
    • (4): 下方からの透過光を観測
  • 反射のルール:
    • 屈折率 大→小: 自由端反射(位相変化なし)
    • 屈折率 小→大: 固定端反射(位相\(\pi\)反転)
問われていること
  • (1) 位置\(x\)における光路差\(p\)。
  • (2) 反射光が明るくなる条件。
  • (3) 干渉縞の間隔\(\Delta x\)。
  • (4) 透過光が明るくなる条件。
  • (5) 液体で満たしたときの干渉縞の間隔。
  • (6) 下のガラスを下げたときの明線の移動方向。
  • (7) 下のガラスを下げたときの干渉縞の間隔の変化。
  • (8) 明線が\(l\)だけ移動したときの、下のガラスの下降距離。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

  1. 提示する別解
    • 問(3) 干渉縞の間隔\(\Delta x\)の別解: 物理的な意味からのアプローチ
      • 主たる解法が\(m\)番目と\(m+1\)番目の明線の位置を代数的に計算し、その差を求めるのに対し、別解では「隣り合う明線が生じる場所では、空気層の厚さが波長の半分(\(\lambda/2\))だけ異なる」という物理的な性質と、くさび全体の幾何学的形状(相似関係)から、間隔\(\Delta x\)をより直感的に導出します。
    • 問(8) 下降距離の別解: 相似関係からの直接アプローチ
      • 主たる解法が、下降前後の異なる位置における空気層の厚さの関係を代数的に立式して解くのに対し、別解では、ガラスの下降距離(\(\Delta d\))と縞の水平移動距離(\(l\))の関係を、くさび全体の傾きとの相似関係から図形的に直接導出します。
  2. 上記の別解が有益である理由
    • 物理モデルの深化: 「隣り合う明線は厚さが\(\lambda/2\)違う」といった物理的な意味や、現象の幾何学的な側面を直感的に理解することができます。
    • 計算の効率化: 特に問(8)の別解は、複雑な厚さの関係式を立てる必要がなく、図形の相似関係だけで簡潔に解くことが可能です。
    • 異なる視点の学習: 同じ問題に対して、代数的に解く方法と、物理的・幾何学的な性質を利用して解く方法の両方を学ぶことで、思考の柔軟性が養われます。
  3. 結果への影響
    • いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「くさび形空気層による光の干渉」です。基本的な考え方は薄膜干渉と同じですが、膜厚が場所によって変わるため、スクリーン上には明暗の縞模様ができます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

  1. 光路差の場所依存性: くさび形領域では、空気層の厚さ\(d\)が位置\(x\)の関数になります。三角形の相似を用いることで、\(d\)を\(x\)で表し、光路差\(p\)を\(x\)の関数として求めることが最初のステップです。
  2. 反射における位相変化: 2つの反射光がそれぞれどの境界面(ガラス→空気、空気→ガラス)で反射するかを特定し、屈折率の大小関係から位相が反転するかどうかを判断します。
  3. 干渉条件: 光路差と位相変化の結果を組み合わせて、明線・暗線の条件を立式します。この問題では、明線が観測される「位置\(x\)」を求めることになります。
  4. 干渉縞の間隔: 明線の条件式を\(x\)について解き、隣り合う明線(次数が\(m\)と\(m+1\))の位置の差を計算することで、縞の間隔\(\Delta x\)が求まります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

  1. まず、三角形の相似を使って、任意の位置\(x\)における空気層の厚さ\(d\)を求め、光路差\(p=2d\)を\(x\)で表します(問1)。
  2. 次に、2つの反射光の位相変化を調べ、干渉して明るくなる条件式を立てます(問2)。
  3. この条件式を\(x\)について解き、隣り合う明線の位置の差から縞の間隔\(\Delta x\)を計算します(問3)。
  4. 問(4)では、透過光の干渉を考えます。反射光とは位相変化の回数が異なるため、干渉条件が逆転することに注意します。
  5. 問(5)以降は、媒質を変えたり、ガラスを動かしたりする応用問題です。それぞれの操作が光路差や干渉条件にどう影響するかを考え、基本に立ち返って立式します。

問(1)

思考の道筋とポイント
位置\(x\)における空気層の厚さ\(d\)を、図形の相似関係から求めます。その後、空気層(屈折率1.0)を光が往復するときの光路差\(p\)を計算します。
この設問における重要なポイント

  • 図1のくさび形領域は、2つの相似な直角三角形(底辺\(x\), 高さ\(d\)の三角形と、底辺\(L\), 高さ\(D\)の三角形)から成る。
  • 光は空気層を垂直に往復するため、経路差は\(2d\)。
  • 空気の屈折率は1.0なので、光路差と経路差は等しい。

具体的な解説と立式
図1において、ガラスが接する位置を原点とすると、2つの直角三角形の相似から、高さと底辺の比は等しくなります。
$$ d : x = D : L \quad \cdots ① $$
光は厚さ\(d\)の空気層を往復するので、その経路差は\(2d\)です。空気の屈折率は1.0なので、光路差\(p\)は経路差に屈折率1.0を掛けたものとなり、
$$ p = 1.0 \times (2d) = 2d \quad \cdots ② $$

使用した物理公式

  • 光路差 = 屈折率 \(\times\) 経路差
  • 三角形の相似
計算過程

式①を\(d\)について解くと、
$$ d = \frac{D}{L}x $$
これを式②に代入すると、
$$ p = 2 \left( \frac{D}{L}x \right) = \frac{2D}{L}x $$

この設問の平易な説明

くさび形の隙間の厚さ\(d\)は、端からの距離\(x\)に比例します。この比例関係を、大きな三角形(底辺\(L\), 高さ\(D\))と小さな三角形(底辺\(x\), 高さ\(d\))の相似を使って式にします。光の干渉を考えるための「光路差」は、この隙間を光が往復する距離(\(2d\))で決まります。

結論と吟味

光路差は \(p = \displaystyle\frac{2D}{L}x\) です。光路差が位置\(x\)に比例するという、くさび形干渉の最も基本的な関係式であり、妥当な結果です。

解答 (1) \(\displaystyle\frac{2D}{L}x\)

問(2)

思考の道筋とポイント
2つの反射光が干渉して明るくなる条件を考えます。そのためには、それぞれの反射面で位相が反転するかどうかを調べる必要があります。
この設問における重要なポイント

  • 反射面の特定:
    • 光線1: 上のガラスの下面(ガラス → 空気)で反射。
    • 光線2: 下のガラスの上面(空気 → ガラス)で反射。
  • 位相変化の判定:
    • 光線1: 屈折率 大(1.4) → 小(1.0) の反射。自由端反射であり、位相は変化しない。
    • 光線2: 屈折率 小(1.0) → 大(1.4) の反射。固定端反射であり、位相が\(\pi\)反転する。
  • 強めあいの条件: 片方の光だけ位相が反転するため、条件が逆転し、「光路差 = 半波長の奇数倍」となる。

具体的な解説と立式
光線1と光線2のうち、位相が反転するのは光線2のみです。
したがって、2つの光が強めあって明るくなる条件は、
$$ p = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$

使用した物理公式

  • 薄膜の干渉条件(片側位相変化): 光路差 = \((m+\frac{1}{2})\lambda\) (強めあい)
計算過程

この設問は条件式を導出することが目的なので、これ以上の計算はありません。

この設問の平易な説明

上のガラスの下面での反射では、光は「硬い所(ガラス)から軟らかい所(空気)」へ向かうので、位相は変わりません。一方、下のガラスの上面での反射では、「軟らかい所(空気)から硬い所(ガラス)」へ向かうので、位相がひっくり返ります。このように片方だけがひっくり返る場合、強めあう条件は「光路差が、(0.5, 1.5, 2.5, …)×波長」となります。

結論と吟味

明るくなる条件は \(p = (m + \frac{1}{2})\lambda\) です。これは薄膜干渉における典型的な条件式の一つであり、物理的に正しいです。

解答 (2) \(p = \left(m + \displaystyle\frac{1}{2}\right)\lambda\)

問(3)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた光路差\(p\)の式と、(2)で求めた明線の条件式を組み合わせることで、明線が現れる位置\(x\)を求めます。干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、隣り合う明線の位置の差(次数が\(m\)の明線と\(m+1\)の明線の位置の差)として計算できます。
この設問における重要なポイント

  • 2つの式を連立して、\(p\)を消去し\(x\)に関する式を導く。
  • 干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、\(x_{m+1} – x_m\) で計算される。

具体的な解説と立式
(1)で求めた光路差の式は、
$$ p = \frac{2D}{L}x \quad \cdots ① $$
(2)で求めた明線の条件式は、
$$ p = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ② $$
\(m\)番目の明線の位置を\(x_m\)、\(m+1\)番目の明線の位置を\(x_{m+1}\)とすると、干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、
$$ \Delta x = x_{m+1} – x_m \quad \cdots ③ $$

使用した物理公式

  • (1), (2)で導出した関係式
計算過程

式①と②から\(p\)を消去して、\(x\)に関する式を導きます。
$$ \frac{2D}{L}x = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
これを\(x\)について解くと、\(m\)番目の明線の位置\(x_m\)が求まります。
$$ x_m = \frac{L}{2D}\left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
同様に、\(m+1\)番目の明線の位置\(x_{m+1}\)は、
$$ x_{m+1} = \frac{L}{2D}\left((m+1) + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
これらを式③に代入して\(\Delta x\)を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta x &= x_{m+1} – x_m \\[2.0ex]
&= \frac{L}{2D}\left(m + 1 + \frac{1}{2}\right)\lambda – \frac{L}{2D}\left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \\[2.0ex]
&= \frac{L\lambda}{2D} \left\{ \left(m + \frac{3}{2}\right) – \left(m + \frac{1}{2}\right) \right\} \\[2.0ex]
&= \frac{L\lambda}{2D} \times 1 \\[2.0ex]
&= \frac{L\lambda}{2D}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

(1)と(2)の式を合体させると、\(m\)番目の明るい縞模様が現れる位置\(x_m\)を計算する式が作れます。縞模様の間隔を知るには、\(m\)番目の縞の位置と、その隣の\(m+1\)番目の縞の位置を計算し、その差をとればOKです。

結論と吟味

干渉縞の間隔は \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) です。この結果は、縞の間隔が次数\(m\)によらず一定であることを示しています。つまり、スクリーン上には等間隔の明暗の縞模様が観測されることになり、これは実験事実と一致する妥当な結果です。

別解: 物理的な意味からのアプローチ

思考の道筋とポイント
隣り合う明線が生じる場所では、空気層の厚さが波長の半分(\(\lambda/2\))だけ異なるという物理的な性質を利用します。この厚さの差と、対応する水平距離の差(\(\Delta x\))を、くさび全体の幾何学的な相似関係に適用して解きます。
この設問における重要なポイント

  • 隣り合う明線では、光路差が\(\lambda\)だけ異なる。
  • 光路差\(2d\)が\(\lambda\)異なるとき、厚さ\(d\)は\(\lambda/2\)異なる。
  • この厚さの差\(\lambda/2\)と、縞の間隔\(\Delta x\)の比は、くさび全体の傾き\(D/L\)に等しい。

具体的な解説と立式
隣り合う明線では、次数\(m\)が1つずれます。明線の条件式 \(2d = (m+1/2)\lambda\) から、隣り合う明線が生じる場所の厚さ\(d_m\)と\(d_{m+1}\)の差を考えると、
$$ 2d_{m+1} – 2d_m = \left( (m+1)+\frac{1}{2} \right)\lambda – \left( m+\frac{1}{2} \right)\lambda = \lambda $$
よって、厚さの差は \(d_{m+1} – d_m = \lambda/2\) となります。
この厚さの差と、対応する水平方向の距離の差(=縞の間隔\(\Delta x\))の関係は、くさび全体の傾き(底辺\(L\), 高さ\(D\))との相似関係から求めることができます。
$$ (d_{m+1} – d_m) : \Delta x = D : L $$
$$ \frac{\lambda}{2} : \Delta x = D : L $$

使用した物理公式

  • 干渉条件
  • 三角形の相似
計算過程

上記の比例式を\(\Delta x\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
D \cdot \Delta x &= L \cdot \frac{\lambda}{2} \\[2.0ex]
\Delta x &= \frac{L\lambda}{2D}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

隣の明るい縞が見える場所は、今の場所よりもちょうど隙間の厚さが「光の波長の半分」だけ厚い(または薄い)場所です。この「厚さの差」と「水平方向の距離(縞の間隔)」の比率は、くさび全体の「厚さ\(D\)」と「長さ\(L\)」の比率と同じはずです。この関係から縞の間隔を計算できます。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この解法は、代数計算を減らし、現象の物理的・幾何学的な側面を直接的に利用するため、見通しが良いという利点があります。

解答 (3) \(\displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\)

問(4)

思考の道筋とポイント
ガラスの下側で透過光の干渉を観測する場合を考えます。反射光の干渉と透過光の干渉は、エネルギー保存則により明暗が逆転する関係にあります。この性質を利用して、透過光が明るくなる条件を導きます。
この設問における重要なポイント

  • 光路差: 透過光の場合も、干渉に関わる光の光路差は、反射光の場合と同じく空気層の往復分 \(p=2d\) となる。
  • 明暗の逆転: 反射光が強めあう(明)とき、エネルギー保存則から透過光は弱めあう(暗)必要がある。逆に反射光が弱めあう(暗)とき、透過光は強めあう(明)。
  • 反射光の弱めあいの条件: 光路差 = \(m\lambda\)。

具体的な解説と立式
反射光が明るくなる条件は、(2)より \(p = (m+\frac{1}{2})\lambda\) でした。
これより、反射光が暗くなる(弱めあう)条件は、
$$ p = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots) $$
エネルギー保存則により、反射光が暗いとき、透過光は明るくなります。
したがって、位置\(x\)の鉛直下方が明るくなる条件は、反射光が暗くなる条件と同じです。
これに(1)で求めた \(p = \displaystyle\frac{2D}{L}x\) を代入します。

使用した物理公式

  • 薄膜の干渉条件(片側位相変化): \(p = m\lambda\) (弱めあい)
  • エネルギー保存則(反射光と透過光の明暗は逆転)
計算過程

$$ \frac{2D}{L}x = m\lambda $$

この設問の平易な説明

上からのぞいて明るく見える場所は、光のエネルギーが反射に多く使われている場所です。エネルギーは保存されるので、その場所を通り抜ける光は弱く(暗く)なります。逆に、上から見て暗い場所は、通り抜ける光が強い(明るい)場所です。したがって、下から見て明るくなる条件は、上から見て暗くなる条件と同じになります。

結論と吟味

透過光が明るくなる条件は \(\displaystyle\frac{2D}{L}x = m\lambda\) です。反射光が明るくなる条件 \(p=(m+1/2)\lambda\) と比較すると、明暗の条件が完全に入れ替わっていることがわかります。これは物理的に妥当な結果です。

解答 (4) \(\displaystyle\frac{2D}{L}x = m\lambda\)

問(5)

思考の道筋とポイント
くさび形の空間を屈折率\(n=1.5\)の液体で満たした場合の干渉縞の間隔を求めます。媒質が変わることで、光路差の定義と位相変化のルールが変わる点に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

  • 光路差: 経路差\(2d\)に対し、媒質の屈折率\(n\)を掛けるので、光路差は \(p’ = n \times (2d) = 2nd\)。
  • 位相変化の判定:
    • 光線1(ガラス→液体): \(1.4 < 1.5\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
    • 光線2(液体→ガラス): \(1.5 > 1.4\) なので、大→小の反射。位相は変化しない。
  • 干渉条件: 位相変化のルールは空気のときと逆になるが、結局「片側のみ位相が反転する」という状況は同じ。
  • 干渉縞の間隔の式: (3)で求めた \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) の考え方を応用する。

具体的な解説と立式
液体で満たした場合、光路差は \(p’ = 2nd = \displaystyle\frac{2nDx}{L}\) となります。
位相変化は、空気の場合とは逆に、上のガラス下面(光線1)で起こり、下のガラス上面(光線2)では起こりません。結局「片側のみ位相が反転する」という状況は同じです。
したがって、明線の条件は、
$$ p’ = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
$$ \frac{2nDx}{L} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
この式から、(3)と同様の計算で、干渉縞の間隔\(\Delta x’\)は、
$$ \Delta x’ = \frac{L\lambda}{2nD} $$
与えられた値は、\(\lambda = 6.3 \times 10^{-7}\) m, \(L=1.0\) m, \(D=1.0 \times 10^{-5}\) m, \(n=1.5\)。

使用した物理公式

  • 光路差 = \(n \times\) 経路差
  • 干渉縞の間隔の公式の応用
計算過程

$$
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \frac{1.0 \times (6.3 \times 10^{-7})}{2 \times 1.5 \times (1.0 \times 10^{-5})} \\[2.0ex]
&= \frac{6.3 \times 10^{-7}}{3.0 \times 10^{-5}} \\[2.0ex]
&= 2.1 \times 10^{-7 – (-5)} \\[2.0ex]
&= 2.1 \times 10^{-2} \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

隙間を液体で満たすと、光路差が空気のときの\(n\)倍になります。そのため、縞模様の間隔は\(1/n\)倍に縮まります。(3)で求めた間隔の式を、屈折率\(n\)で割るだけで計算できます。

結論と吟味

干渉縞の間隔は \(2.1 \times 10^{-2}\) m です。空気のときよりも屈折率の大きい液体で満たしたことで、縞の間隔が狭くなったことを示しており、妥当な結果です。

解答 (5) \(2.1 \times 10^{-2}\)

問(6)

思考の道筋とポイント
下のガラス板を鉛直下方に動かすと、任意の位置\(x\)における空気層の厚さ\(d\)は増加します。もともと位置\(x\)にあった\(m\)番目の明線が、この厚さの変化に伴ってどこへ移動するかを考えます。
この設問における重要なポイント

  • 明線は「特定の厚さ」の場所で生じる。
  • 下のガラスを下げると、すべての場所で厚さ\(d\)が増加する。
  • もともと位置\(x\)にあった厚さ\(d\)の場所は、よりガラスの接点に近い、つまり\(x\)が小さい位置(左側)へ移動する。

具体的な解説と立式
\(m\)番目の明線は、特定の光路差 \(p_m = (m+1/2)\lambda\) を満たす場所、すなわち特定の厚さ \(d_m = p_m/2\) の場所で生じます。
下のガラス板を下に動かすと、くさび全体の厚みが増します。
その結果、以前は位置\(x\)にあった厚さ\(d_m\)の場所は、より原点に近い位置、つまり\(x\)座標が小さい場所(左側)に現れることになります。
したがって、スクリーン上で観測される明線は左に動きます。

使用した物理公式

  • 干渉条件は特定の厚さで決まる。
計算過程

思考問題なので、計算はありません。

この設問の平易な説明

明るい縞模様は、いわば「特定の厚さの等高線」のようなものです。下のガラスを下げると、くさび全体の地形が底上げされます。すると、今まで位置\(x\)にあった「高さ(厚さ)」の場所は、より坂のふもと(左側)に移動します。そのため、縞模様は左に動いて見えます。

結論と吟味

明線は「左に動く」。これは現象の直感的なイメージとも一致しており、妥当です。

解答 (6) 左に動く

問(7)

思考の道筋とポイント
下のガラスを下降させたとき、干渉縞の間隔\(\Delta x\)がどうなるかを考えます。(3)で求めた間隔の式 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) が、この操作によって変化するかどうかを分析します。
この設問における重要なポイント

  • 干渉縞の間隔\(\Delta x\)は、\(L, \lambda, D\)のみに依存する。
  • \(L\): ガラスが接する位置から金属箔までの距離。固定。
  • \(\lambda\): 入射光の波長。固定。
  • \(D\): 金属箔の厚さ。固定。
  • 下のガラスを下降させる操作は、くさびの傾き(\(D/L\))を変化させない。

具体的な解説と立式
干渉縞の間隔の式は、
$$ \Delta x = \frac{L\lambda}{2D} $$
です。この操作では、くさび形空気層の傾きを決める\(L\)と\(D\)は変化しません。また、入射光の波長\(\lambda\)も変わりません。
したがって、\(\Delta x\)を構成するすべての物理量が不変であるため、干渉縞の間隔も変化しません。

使用した物理公式

  • \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\)
計算過程

思考問題なので、計算はありません。

この設問の平易な説明

縞模様の間隔は、くさびの「傾き」(\(D/L\))と光の「波長」(\(\lambda\))だけで決まります。下のガラスを平行に上げ下げしても、くさびの傾きは変わりません。したがって、縞模様の間隔も変わることはありません。

結論と吟味

干渉縞の間隔は「変化しない」。これも物理的に正しい結論です。

解答 (7) 変化しない

問(8)

思考の道筋とポイント
下のガラスを\(\Delta d\)だけ下降させた結果、もともと位置\(x\)にあった\(m\)番目の明線が、位置\(x-l\)に移動した状況を考えます。これは、2つの異なる場所の空気層の厚さの関係から、下降距離\(\Delta d\)を求める問題です。
この設問における重要なポイント

  • 同じ\(m\)番目の明線なので、それが見える場所の「空気層の厚さ」は前後で等しい。
  • 下降前の位置\(x\)での厚さと、下降後の位置\(x-l\)での厚さが等しくなる。
  • この関係を、三角形の相似を用いて立式する。

具体的な解説と立式
下降前の位置\(x\)での空気層の厚さを\(d\)、位置\(x-l\)での厚さを\(d_1\)とします。三角形の相似より、
$$ d = \frac{D}{L}x \quad \cdots ① $$
$$ d_1 = \frac{D}{L}(x-l) \quad \cdots ② $$
下のガラスを\(\Delta d\)だけ下降させると、位置\(x-l\)での空気層の厚さは\(d_1+\Delta d\)になります。
この場所で、もともと位置\(x\)にあった\(m\)番目の明線が観測されたので、下降後の位置\(x-l\)での厚さは、下降前の位置\(x\)での厚さ\(d\)に等しくなります。
$$ d_1 + \Delta d = d \quad \cdots ③ $$

使用した物理公式

  • 三角形の相似: \(d = \frac{D}{L}x\)
計算過程

式③に式①と式②を代入して、\(\Delta d\)を求めます。
$$ \frac{D}{L}(x-l) + \Delta d = \frac{D}{L}x $$
\(\Delta d\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
\Delta d &= \frac{D}{L}x – \frac{D}{L}(x-l) \\[2.0ex]
&= \frac{D}{L} \{ x – (x-l) \} \\[2.0ex]
&= \frac{D}{L}l
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

もともと位置\(x\)にあった明るい縞が、ガラスを下げたことで位置\(x-l\)に移動しました。これは、ガラスを下げた後の「位置\(x-l\)での隙間の厚さ」が、下げる前の「位置\(x\)での隙間の厚さ」と等しくなった、ということです。この関係を図形的に考えると、ガラスを下げた距離\(\Delta d\)は、移動した距離\(l\)を使って計算できます。

結論と吟味

下のガラスを移動させた距離は \(\Delta d = \displaystyle\frac{Dl}{L}\) です。これは、くさびの傾き(\(D/L\))に、縞が水平に移動した距離(\(l\))を掛けたものになっており、幾何学的に妥当な関係です。

別解: 相似関係からの直接アプローチ

思考の道筋とポイント
下のガラスを\(\Delta d\)だけ下降させると、同じ厚さの場所が水平方向に\(l\)だけ左に移動します。この関係を、くさび全体の傾きを表す三角形との相似関係から直接導きます。
この設問における重要なポイント

  • ガラスの下降距離\(\Delta d\)は、くさびの傾斜に沿った「高さ」の変化に対応する。
  • 縞の移動距離\(l\)は、同じ高さの場所が移動した「水平距離」に対応する。
  • この「高さ」と「水平距離」の比は、くさび全体の傾き\(D/L\)に等しい。

具体的な解説と立式
模範解答の図gのように、くさびの傾きを表す大きな三角形(底辺\(L\), 高さ\(D\))と、ガラスの下降によって生じる小さな三角形(底辺\(l\), 高さ\(\Delta d\))は相似です。
したがって、これらの辺の比は等しくなります。
$$ \Delta d : l = D : L $$

使用した物理公式

  • 三角形の相似
計算過程

この比例式を\(\Delta d\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
L \cdot \Delta d &= D \cdot l \\[2.0ex]
\Delta d &= \frac{D}{L}l
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

くさびの坂道をイメージしてください。坂を垂直に\(\Delta d\)だけ掘り下げると、同じ高さの地点は、坂に沿って水平方向に\(l\)だけ手前にずれます。この「掘り下げた深さ\(\Delta d\)」と「ずれた水平距離\(l\)」の比率は、坂全体の「高さ\(D\)」と「水平距離\(L\)」の比率と同じになります。この簡単な比例式から答えが求まります。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この解法は、\(x\)や\(d\)といった中間的な変数を導入する必要がなく、現象を幾何学的に直接モデル化しているため、非常に簡潔で理解しやすいです。

解答 (8) \(\displaystyle\frac{Dl}{L}\)

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ!完全マスター講座

最重要ポイント:この問題の核心となる物理法則は?

  • 光路差の計算(特に位置依存性):
    • 核心: くさび形領域では、空気層の厚さ\(d\)がガラスの接触点からの距離\(x\)に比例して変化します。三角形の相似を用いて \(d = \displaystyle\frac{D}{L}x\) と表し、光路差 \(p=2d=\displaystyle\frac{2Dx}{L}\) を\(x\)の関数として求めることが全ての出発点です。
    • 理解のポイント: 光路差が場所によって異なるため、スクリーン上には連続的な明暗の縞模様(干渉縞)が形成されます。
  • 反射における位相変化:
    • 核心: 薄膜干渉と同様に、反射面での位相変化が干渉条件を決定します。この問題では、ガラス(屈折率1.4)と空気(屈折率1.0)の間の反射を考えます。
    • 理解のポイント:
      1. 上のガラス下面(ガラス→空気): 屈折率 大→小 のため、位相変化はなし(自由端反射)。
      2. 下のガラス上面(空気→ガラス): 屈折率 小→大 のため、位相が\(\pi\)反転する(固定端反射)。

      この結果、2つの反射光のうち片方のみ位相が反転するため、干渉条件が逆転します。

  • 干渉縞の間隔の導出:
    • 核心: 明線の条件式を位置\(x\)について解き、隣り合う明線(次数\(m\)と\(m+1\))の位置の差 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\) を計算することで、縞の間隔が求まります。
    • 理解のポイント: くさび形領域の場合、縞の間隔 \(\Delta x = \displaystyle\frac{L\lambda}{2D}\) は次数\(m\)に依存せず、一定となります。これは、くさびの傾きが一定であるため、光路差が\(x\)に比例して直線的に増加することに起因します。

応用テクニック:似た問題が出たらココを見る!解法の鍵と着眼点

  • 応用できる類似問題のパターン:
    • ニュートンリング: 平面ガラスの上に凸レンズを置いたときの干渉。空気層の厚さが中心からの距離の2乗にほぼ比例する点が異なりますが、場所によって厚さが変わる空気層の干渉という点で本質は同じです。
    • 薄膜干渉: 均一な厚さの薄膜による干渉。本問は、この厚さが場所によって変化する応用版と位置づけられます。
    • 液体を満たす問題: 媒質を屈折率\(n\)の液体で満たすと、光路差は\(n\)倍になります。結果として、干渉縞の間隔は\(1/n\)倍になります。この関係は様々な干渉問題で共通です。
  • 初見の問題での着眼点:
    1. 形状と光路差の関係を把握する: まず、干渉が起こる領域の形状(くさび形、レンズ形など)を確認し、位置\(x\)と厚さ\(d\)の関係を幾何学的に立式します。これが光路差の基本形となります。
    2. 反射面と位相変化を特定する: 干渉する2つの光がどの境界面で反射するかを特定し、それぞれの屈折率の大小関係から位相変化の有無を判断します。これは薄膜干渉と全く同じ手順です。
    3. 観測方法を確認する: 反射光を観測するのか、透過光を観測するのかで明暗の条件が逆転します。問題文を注意深く読みましょう。
    4. 操作の意味を物理的に解釈する: (6)~(8)のように装置の一部を動かす問題では、その操作が「厚さ」「傾き」「光路差」などの物理量にどのような変化をもたらすかを考えます。「同じ縞は同じ厚さの場所に現れる」という原理を理解することが、縞の移動を考える鍵となります。

要注意!ありがちなミス・誤解とその対策

  • 光路差と経路差の混同:
    • 誤解: 媒質が空気(屈折率1.0)でない場合にも、光路差を経路差\(2d\)のまま計算してしまう。
    • 対策: 常に「光路差 = 屈折率 \(\times\) 経路差」という定義に立ち返る習慣をつけましょう。問(5)のように液体で満たした場合は、光路差は\(2nd\)となります。
  • 反射光と透過光の条件の混同:
    • 誤解: 反射光の干渉条件と透過光の干渉条件が同じだと考えてしまう。
    • 対策: エネルギー保存則をイメージしましょう。反射が強ければ透過は弱く、反射が弱ければ透過は強い。つまり、明暗の条件は必ず逆転します。反射光の条件(明暗)が分かれば、透過光の条件はその逆、と機械的に判断できます。
  • 縞の移動方向の誤解:
    • 誤解: (6)で下のガラスを下げると厚さが増えるから、縞は厚い方(右)へ動くと直感的に考えてしまう。
    • 対策: 「特定の縞(例:m番目の明線)は、特定の厚さの場所に現れる」という原理を思い出しましょう。下のガラスを下げると、くさび全体の厚さが増します。その結果、今まで位置\(x\)にあった厚さの場所は、より原点に近い(左の)位置にずれます。したがって、縞は左へ動きます。

なぜその公式?論理的な公式選択と適用の思考法

  • 三角形の相似 \(d:x = D:L\):
    • 選定理由: 光路差が場所によって変わるため、その依存関係を数式で表現する必要があるから。くさび形という幾何学的形状から、最も単純で直接的な関係式が相似比です。
    • 適用根拠: 問題設定が、直線的な傾きを持つくさび形であるという幾何学的条件に基づきます。
  • 明線条件 \(p = (m+\frac{1}{2})\lambda\):
    • 選定理由: 問題が「明るくなる」条件を問うており、物理状況が「片側のみ位相が反転する」ため。
    • 適用根拠: 片方の波が半波長分ずれている状況で、2つの波が強めあう(山と山が重なる)ためには、光路差がそのずれを補正し、さらに整数波長分ずれる必要があります。結果、光路差が半波長の奇数倍のときに強めあいます。
  • 縞の間隔 \(\Delta x = x_{m+1} – x_m\):
    • 選定理由: 問題が「干渉縞の間隔」という、周期的なパターンの長さを問うているため。
    • 適用根拠: 干渉縞が等間隔に並ぶ場合、隣り合う縞の位置の差を計算すれば、その間隔が求められるという定義に基づきます。この計算によって、間隔が次数\(m\)に依存しない定数であることが示されます。

計算ミスをなくす!日頃の意識と実践テクニック

  • 文字の区別:
    • 特に注意すべき点: \(d\)と\(D\)、\(x\)と\(\Delta x\)、\(l\)と\(L\)など、似た文字を混同しないように注意深く書き分けましょう。特に\(D\)は定数(金属箔の厚さ)、\(d\)は変数(位置\(x\)での空気層の厚さ)であり、意味が全く異なります。
    • 日頃の練習: 問題文の記号を自分なりに整理し、定数と変数を明確に区別する癖をつけましょう。
  • 分数の計算:
    • 特に注意すべき点: (3)や(5)の計算では、分母・分子の整理を慎重に行いましょう。特に(5)では、屈折率\(n\)が分母に来ることを間違えないようにします。
    • 日頃の練習: 複雑な分数式でも、どの物理量に比例し、どの物理量に反比例するのかを意識しながら計算すると、間違いに気づきやすくなります。
  • 式の意味を考える:
    • 特に注意すべき点: (8)では、複数の解法が考えられます。式を立てる際に「この項は何の厚さを表しているか」など、物理的な意味を常に意識することで、複雑な状況でも正しい立式ができます。
    • 日頃の練習: 答えが出た後、その式が物理的にどのような意味を持つかを言葉で説明する練習をすると、理解が深まります。

解きっぱなしはNG!解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

  • 得られた答えの物理的妥当性の検討:
    • (3) \(\Delta x = \frac{L\lambda}{2D}\): 縞の間隔が、くさびが長い(\(L\)大)ほど、また波長が長い(\(\lambda\)大)ほど広くなり、くさびの傾きが急(\(D\)大)なほど狭くなる、という結果は直感と一致します。
    • (5) \(\Delta x’ < \Delta x\): 屈折率の大きい液体で満たすと縞の間隔が狭くなる(\(\Delta x’ = \Delta x / n\))という結果は、他の干渉実験とも共通する性質であり、妥当です。
    • (7) \(\Delta x\)は変化しない: ガラスを平行に上下させても、くさびの傾き(\(D/L\))は変わらないので、縞の間隔も変わらないはずだ、という考察と一致します。
  • 別解との比較:
    • (3)の別解では、隣り合う明線では厚さの差が\(\lambda/2\)になるという物理的考察から、三角形の相似を用いて\(\Delta x\)を直接求めています。代数的に\(x_{m+1}-x_m\)を計算するメインの解法と同じ結果になることを確認することで、答えの信頼性が高まります。
    • (8)も同様に、代数的な解法と幾何学的な解法が一致することを確認することで、両方のアプローチの正しさを検証できます。

問題97 (千葉大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、平凸レンズと平面ガラスによって作られる「ニュートンリング」という干渉現象を扱っています。中心からの距離\(r\)によって空気層の厚さ\(d\)が変化するため、同心円状の干渉縞が観測されます。
前半(1)~(4)は基本的な幾何学と干渉条件、後半(5)~(9)はレンズを動かしたり、間を液体で満たしたりする応用的な状況を考察します。
この問題の核心は、くさび形空気層の干渉(前問)と同様に、場所によって変わる光路差と、反射面での位相変化を正しく評価することです。

与えられた条件
  • 平凸レンズ: 球面の半径\(R\), 屈折率\(n_0\)
  • 平面ガラス: 屈折率\(n_0\) (\(n_0>1\))
  • 媒質:
    • (1)~(6): 空気(屈折率1)
    • (7)~(9): 液体(屈折率\(n\))
  • 光源: 単色光(波長\(\lambda\))、垂直入射
  • 近似: \(r \ll R\) のとき \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\)
問われていること
  • (1) 空気層の厚さ\(d\)を\(R, r\)で表す(近似なし)。
  • (2) \(r \ll R\)のときの\(d\)の近似式における係数\(A\)。
  • (3) \(m\)番目の明環の条件式における係数\(B, C\)。
  • (4) \(m\)番目の明環の半径。
  • (5) レンズを離したときの、最も近い明環の半径の変化から、離した距離を求める。
  • (6) レンズを離したときに、元の干渉縞が再現されるときの距離。
  • (7) 液体で満たしたときの、最も近い明環の半径。
  • (8) 液体で満たしたときの、反射光の中心の様子。
  • (9) 液体で満たしたときの、透過光の中心の様子。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

  1. 提示する別解
    • 問(6)の別解: 光路差の変化量に着目する解法
      • 模範解答が「離す前のm番目の縞の位置に、離した後のm+1番目の縞が来る」という考え方で解くのに対し、別解では「レンズをh’離すと、任意の点での光路差が2h’だけ増加し、これがちょうど1波長λに等しいときに元の縞模様が再現される」という、より物理的本質に基づいた考え方で解きます。
  2. 上記の別解が有益である理由
    • 物理的本質の深化: 干渉縞の周期性が、光路差が波長\(\lambda\)だけ変化することに対応するという、波動の基本的な性質への理解が深まります。
    • 計算の簡略化: 複雑な半径の式や次数の対応を考える必要がなく、「光路差の変化量 = \(\lambda\)」という非常にシンプルな式から直接答えを導出でき、計算ミスを減らせます。
  3. 結果への影響
    • いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「ニュートンリング」です。空気層の厚さが中心からの距離の2乗に比例する点が、くさび形空気層との主な違いです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

  1. 三平方の定理: 球面の形状から、中心からの距離\(r\)と空気層の厚さ\(d\)の関係を導出するために用います。
  2. 近似式の利用: \(r \ll R\) という条件の下で、複雑な平方根の式を単純な2次関数に近似します。これにより、以降の計算が大幅に簡略化されます。
  3. 光路差と位相変化: 基本的な考え方は薄膜干渉と同じです。2つの反射光(レンズ下面での反射とガラス上面での反射)の光路差(\(2d\))と、それぞれの反射面での位相変化を評価し、干渉条件を立てます。
  4. パラメータの変化: レンズを動かしたり(空気層の厚さが一様に変化)、液体で満たしたり(屈折率と位相変化のルールが変化)したときに、干渉条件がどう変わるかを考察します。

基本的なアプローチは以下の通りです。

  1. まず、図に描かれた直角三角形に三平方の定理を適用し、\(d\)を\(r\)と\(R\)で表します(問1)。
  2. 次に、問題で与えられた近似式を用いて、\(d\)を簡単な\(r\)の2次式で表します(問2)。
  3. 反射光の干渉を考え、位相変化のルールから明環の条件式を立てます(問3)。
  4. (2)と(3)の結果を組み合わせて、明環の半径\(r\)を求めます(問4)。
  5. 問(5)以降は応用問題です。レンズを距離\(h\)だけ離すと、光路差が\(2d\)から\(2(d+h)\)に変わることを利用します。また、液体で満たすと、光路差が\(n\)倍になり、位相変化のルールも変わる可能性があることに注意して、各設問の条件を立式していきます。

問(1)

思考の道筋とポイント
図に示された、球面の中心、点Q、点Pを含む直角三角形に三平方の定理を適用します。これにより、\(d, r, R\)の間の厳密な関係式を導き出します。
この設問における重要なポイント

  • 直角三角形の3辺の長さを\(d, r, R\)で正しく表現する。
    • 斜辺: \(R\)
    • 高さ: \(R-d\)
    • 底辺: \(r\)

具体的な解説と立式
図の直角三角形において、三平方の定理を適用します。
$$ R^2 = r^2 + (R-d)^2 $$
この式を\(d\)について解くことが目的です。

使用した物理公式

  • 三平方の定理
計算過程

$$
\begin{aligned}
(R-d)^2 &= R^2 – r^2 \\[2.0ex]
R-d &= \sqrt{R^2 – r^2} \quad (\text{ここで } R>d \text{ より } R-d>0) \\[2.0ex]
d &= R – \sqrt{R^2 – r^2}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

レンズの球面の中心と、点P、点Qを結ぶと直角三角形ができます。この三角形の3つの辺の長さを、半径\(R\)、距離\(r\)、厚さ\(d\)を使って表し、「斜辺の2乗 = 他の2辺の2乗の和」という三平方の定理の式を立てて、\(d\)について解きます。

結論と吟味

空気層の厚さは \(d = R – \sqrt{R^2 – r^2}\) と表されます。これは幾何学的に厳密な関係式です。

解答 (1) \(R – \sqrt{R^2 – r^2}\)

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で求めた厳密な式を、問題で与えられた近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) を使って、\(r \ll R\) の場合に成り立つ簡単な式に変形します。
この設問における重要なポイント

  • (1)の式を、近似式が使える形 \(\sqrt{1+x}\) に変形する。
  • \(x = -(r/R)^2\) と対応させる。
  • \(r \ll R\) のとき、\(x\)の絶対値が1に比べて非常に小さいとみなせる。

具体的な解説と立式
(1)で求めた式は、
$$ d = R – \sqrt{R^2 – r^2} $$
この式の平方根の中を\(R^2\)でくくり出し、近似式が使える形に変形します。
$$
\begin{aligned}
d &= R – \sqrt{R^2 \left(1 – \frac{r^2}{R^2}\right)} \\[2.0ex]
&= R – R\sqrt{1 – \left(\frac{r}{R}\right)^2}
\end{aligned}
$$
ここで、\(x = -\left(\frac{r}{R}\right)^2\) とおくと、近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\) が適用できます。

使用した物理公式

  • (1)で導出した関係式
  • 近似式: \(\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2\)
計算過程

$$
\begin{aligned}
d &\approx R – R\left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( -\left(\frac{r}{R}\right)^2 \right) \right\} \\[2.0ex]
&= R – R\left( 1 – \frac{r^2}{2R^2} \right) \\[2.0ex]
&= R – \left( R – \frac{Rr^2}{2R^2} \right) \\[2.0ex]
&= R – R + \frac{r^2}{2R} \\[2.0ex]
&= \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
問題文の \(d=Ar^2\) と比較すると、係数\(A\)は、
$$ A = \frac{1}{2R} $$

この設問の平易な説明

(1)で求めた式はルートが入っていて複雑なので、簡単な形に近似します。指定された近似の公式が使えるように、(1)の式をうまく変形してあげます。変形後に公式を当てはめて整理すると、\(d\)が簡単な\(r\)の2次式で表せます。

結論と吟味

\(A = \displaystyle\frac{1}{2R}\) であり、空気層の厚さ\(d\)は中心からの距離\(r\)の2乗に比例することがわかります。これは放物線で近似できることを意味し、ニュートンリングの議論で用いられる基本的な関係です。

解答 (2) \(\displaystyle\frac{1}{2R}\)

問(3)

思考の道筋とポイント
上から観察したときに明環となる条件を考えます。これは、平凸レンズ下面と平面ガラス上面からの反射光が強めあう条件です。光路差と位相変化を評価して立式します。
この設問における重要なポイント

  • 光路差: 空気層の厚さ\(d\)の場所での光路差は\(2d\)。
  • 位相変化の判定:
    • レンズ下面(ガラス→空気): 屈折率 大(\(n_0\)) → 小(1) の反射。位相変化なし。
    • ガラス上面(空気→ガラス): 屈折率 小(1) → 大(\(n_0\)) の反射。位相が\(\pi\)反転する。
  • 強めあいの条件: 片側のみ位相が反転するため、「光路差 = 半波長の奇数倍」となる。
  • \(m\)番目の明環の定義: 問題文では\(m=1, 2, 3, \dots\)と指定されている。一般的な干渉の次数(\(m’=0, 1, 2, \dots\))との対応を考える必要がある。最も光路差が小さい明環(\(m=1\))は、次数\(m’=0\)に対応する。よって、\(m\)番目の明環は次数\(m-1\)に対応する。

具体的な解説と立式
光路差は\(2d\)。位相変化はガラス上面での反射時のみ。
したがって、強めあいの条件は、次数を\(m’\)とすると、
$$ 2d = \left(m’ + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m’=0, 1, 2, \dots) $$
問題文では、明環を\(m=1, 2, 3, \dots\)で数えているため、\(m\)番目の明環は次数\(m’ = m-1\)に対応します。
$$ 2d = \left((m-1) + \frac{1}{2}\right)\lambda = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$

使用した物理公式

  • 薄膜の干渉条件(片側位相変化): \(2d = (m’+\frac{1}{2})\lambda\) (強めあい)
計算過程

上の式を\(d\)について解くと、
$$ d = \frac{1}{2}\left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda = \frac{\lambda}{2}m – \frac{\lambda}{4} $$
この式と問題文の \(d=Bm+C\) を比較すると、係数\(B, C\)は、
$$ B = \frac{\lambda}{2}, \quad C = -\frac{\lambda}{4} $$

この設問の平易な説明

明るいリングが見える条件を考えます。光が進む距離の差(光路差)は、隙間の厚さ\(d\)の2倍である\(2d\)です。反射するとき、下のガラス面でだけ位相がひっくり返るので、強めあう条件は「光路差 = (0.5, 1.5, 2.5, …)×波長」となります。問題文ではリングを1番目、2番目と数えるので、\(m\)番目のリングは「光路差 = \((m-0.5)\)×波長」という条件に対応します。

結論と吟味

\(B = \displaystyle\frac{\lambda}{2}, C = -\frac{\lambda}{4}\) となります。この結果は、明環が生じる厚さ\(d\)が\(m\)の1次関数で表せることを示しています。

解答 (3) \(B=\displaystyle\frac{\lambda}{2}, C=-\displaystyle\frac{\lambda}{4}\)

問(4)

思考の道筋とポイント
(2)で求めた厚さの近似式 \(d=Ar^2\) と、(3)で求めた\(m\)番目の明環の条件式を組み合わせて、\(m\)番目の明環の半径\(r\)を求めます。
この設問における重要なポイント

  • 2つの\(d\)に関する式を等しいと置く。
  • \(r\)について解き、平方根をとる。

具体的な解説と立式
(2)より、厚さ\(d\)と半径\(r\)の関係は、
$$ d = Ar^2 \quad \cdots ① $$
(3)より、\(m\)番目の明環ができる厚さ\(d\)の条件は、
$$ 2d = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ② $$

使用した物理公式

  • \(d=Ar^2\)
  • \(2d = (m-1/2)\lambda\)
計算過程

式①を式②に代入します。
$$ 2(Ar^2) = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$
これを\(r^2\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
r^2 &= \frac{(m – \frac{1}{2})\lambda}{2A} \\[2.0ex]
&= \frac{(\frac{2m-1}{2})\lambda}{2A} \\[2.0ex]
&= \frac{(2m-1)\lambda}{4A}
\end{aligned}
$$
\(r>0\)なので、平方根をとると、
$$ r = \sqrt{\frac{(2m-1)\lambda}{4A}} $$

この設問の平易な説明

(2)で「厚さ\(d\)と半径\(r\)の関係式」を、(3)で「\(m\)番目の明るいリングができる厚さ\(d\)の条件式」を求めました。この2つの式を合体させることで、\(m\)番目の明るいリングの半径\(r\)を計算できます。

結論と吟味

\(m\)番目の明環の半径は \(r = \sqrt{\displaystyle\frac{(2m-1)\lambda}{4A}}\) です。\(m\)が大きくなるほど半径\(r\)も大きくなりますが、その間隔は徐々に狭まっていく(\(r \propto \sqrt{m}\) の関係)ことを示しており、ニュートンリングの典型的な特徴と一致します。

解答 (4) \(\sqrt{\displaystyle\frac{(2m-1)\lambda}{4A}}\)

問(5)

思考の道筋とポイント
平凸レンズを距離\(h\)だけ真上に離した状況を考えます。このとき、空気層の厚さは\(d\)から\(d+h\)に変わります。この新しい厚さで明環となる条件を立て、半径の変化についての問題文の条件と連立させて\(h\)を求めます。
この設問における重要なポイント

  • レンズを離すと、光路差は \(2d \rightarrow 2(d+h)\) に変化する。
  • 最も近い明環は \(m=1\) に対応する。
  • 離す前の半径\(r_1\)と、離した後の半径\(r_1’\)の関係が \(r_1′ = r_1/2\) である。

具体的な解説と立式
最も近い明環(\(m=1\))について考えます。
離す前の半径を\(r_1\)、離した後の半径を\(r_1’\)とします。
(4)の結果から、\(r_1^2\)は、
$$ r_1^2 = \frac{(2 \cdot 1 – 1)\lambda}{4A} = \frac{\lambda}{4A} \quad \cdots ① $$
レンズを\(h\)離した後の明環の条件は、光路差が\(2(d+h)\)になることから、
$$ 2(d+h) = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$
ここに\(d=Ar^2\)を代入し、\(m=1\)とすると、
$$ 2(A(r_1′)^2+h) = \left(1 – \frac{1}{2}\right)\lambda = \frac{\lambda}{2} \quad \cdots ② $$
問題文の条件は、
$$ r_1′ = \frac{1}{2}r_1 \quad \cdots ③ $$

使用した物理公式

  • (4)で導出した半径の式
  • 光路差の変化
計算過程

式②を\((r_1′)^2\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
A(r_1′)^2+h &= \frac{\lambda}{4} \\[2.0ex]
(r_1′)^2 &= \frac{1}{A}\left(\frac{\lambda}{4} – h\right)
\end{aligned}
$$
式③より \((r_1′)^2 = r_1^2/4\)。これと式①を代入すると、
$$ \frac{1}{4}\left(\frac{\lambda}{4A}\right) = \frac{1}{A}\left(\frac{\lambda}{4} – h\right) $$
両辺に\(4A\)を掛けると、
$$
\begin{aligned}
\frac{\lambda}{4} &= 4\left(\frac{\lambda}{4} – h\right) \\[2.0ex]
&= \lambda – 4h
\end{aligned}
$$
これを\(h\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
4h &= \lambda – \frac{\lambda}{4} \\[2.0ex]
&= \frac{3\lambda}{4} \\[2.0ex]
h &= \frac{3\lambda}{16}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

レンズを少し持ち上げると、隙間全体の厚さが\(h\)だけ増えます。この状態で、一番内側の明るいリングの半径を測ったら、持ち上げる前の半分になっていた、という状況です。持ち上げる前と後、それぞれの「一番内側のリングの半径を計算する式」を立て、この2つの式を問題文の条件でつなぐことで、持ち上げた高さ\(h\)を計算できます。

結論と吟味

離した距離は \(h = \displaystyle\frac{3\lambda}{16}\) です。光の波長程度の非常に小さな距離であり、物理的に妥当な値です。

解答 (5) \(\displaystyle\frac{3\lambda}{16}\)

問(6)

思考の道筋とポイント
レンズを距離\(h’\)だけ離したとき、「離す前と同じ縞模様が初めて現れた」状況を考えます。これは、離す前に\(m\)番目の明環があった場所に、離した後に\(m+1\)番目(あるいはそれ以上)の明環が移動してきたことを意味します。「初めて」現れるのは、隣の縞が移動してきたとき、つまり次数が1つずれたときです。
この設問における重要なポイント

  • 同じ位置\(r\)で、異なる次数の明環が観測される。
  • 離す前: 位置\(r\)で\(m\)番目の明環が観測される条件。
  • 離した後: 同じ位置\(r\)で\(m+1\)番目の明環が観測される条件。
  • 「初めて」なので、次数が1つだけずれる場合を考える。

具体的な解説と立式
ある位置\(r\)での空気層の厚さを\(d\)とします。
離す前の\(m\)番目の明環の条件は、
$$ 2d = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ① $$
レンズを\(h’\)離すと、同じ位置\(r\)での光路差は \(2(d+h’)\) となります。この場所で\(m+1\)番目の明環が見える条件は、
$$ 2(d+h’) = \left((m+1) – \frac{1}{2}\right)\lambda = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ② $$

使用した物理公式

  • 明環の条件式
計算過程

式②を展開します。
$$ 2d + 2h’ = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
この式に、式①から \(2d\) を代入します。
$$ \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda + 2h’ = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda $$
\(h’\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
2h’ &= \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda – \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda \\[2.0ex]
2h’ &= \lambda \\[2.0ex]
h’ &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

レンズを持ち上げると、縞模様は中心に向かって移動します。ちょうど波長\(\lambda\)の半分だけ持ち上げると、光路差が往復で\(\lambda\)だけ変化し、すべての縞が一つ内側の縞の位置にぴったり重なります。その結果、見た目上は元の縞模様が再現されます。

結論と吟味

離した距離は \(h’ = \displaystyle\frac{\lambda}{2}\) です。この結果は、次数\(m\)や位置\(r\)に依存しません。つまり、レンズを半波長だけ動かすと、全ての縞が隣の縞の位置に移動し、全体として元のパターンが再現されることを意味しており、物理的に非常に興味深く、妥当な結果です。

別解: 光路差の変化量に着目する解法

思考の道筋とポイント
レンズを\(h’\)離すと、どの位置\(r\)においても、光が往復する経路が\(2h’\)だけ長くなります。これにより、光路差が\(2h’\)だけ増加します。元の縞模様が再現されるということは、この光路差の増加分がちょうど1波長\(\lambda\)に相当し、干渉条件が元に戻った(次数が1つずれた)と解釈できます。
この設問における重要なポイント

  • レンズを\(h’\)離すと、光路差は一様に\(2h’\)増加する。
  • 干渉縞のパターンは、光路差が\(\lambda\)変化するごとに元に戻る。
  • 「初めて」元に戻るのは、光路差の変化がちょうど\(\lambda\)のとき。

具体的な解説と立式
ある位置での干渉を考えます。
離す前の光路差を\(p_{\text{前}}\)、離した後の光路差を\(p_{\text{後}}\)とします。
$$ p_{\text{前}} = 2d $$
$$ p_{\text{後}} = 2(d+h’) = 2d + 2h’ $$
光路差の変化量\(\Delta p\)は、
$$ \Delta p = p_{\text{後}} – p_{\text{前}} = 2h’ $$
干渉縞の模様が初めて元と同じになるのは、この光路差の変化量がちょうど1波長分になったときです。
$$ \Delta p = \lambda $$

使用した物理公式

  • 光路差の定義
  • 干渉の周期性
計算過程

$$
\begin{aligned}
2h’ &= \lambda \\[2.0ex]
h’ &= \frac{\lambda}{2}
\end{aligned}
$$

この設問の平易な説明

レンズを持ち上げると、光の往復する距離が長くなるため、光路差が増えます。光路差がちょうど1波長分だけ増えると、波の位相が360度回転して元に戻るため、干渉の様子も元と全く同じになります。光の往復で光路差が\(\lambda\)増えるためには、レンズをその半分の\(\lambda/2\)だけ持ち上げればよいことになります。

結論と吟味

主たる解法と完全に同じ結果が得られました。この解法は、特定の縞(\(m\)番目など)を追跡する必要がなく、「光路差の変化」という物理現象の本質に直接着目するため、非常に見通しが良く、計算も簡潔です。

解答 (6) \(\displaystyle\frac{\lambda}{2}\)

問(7)

思考の道筋とポイント
レンズとガラスの間を屈折率\(n\)の液体で満たした場合を考えます。これにより、光路差と位相変化のルールが変わります。この新しい条件の下で、最も近い明環(\(m=1\))の半径を求めます。
この設問における重要なポイント

  • 光路差: 液体で満たすと、光路差は \(2nd\) となる。
  • 位相変化の判定 (\(1<n<n_0\)):
    • レンズ下面(ガラス→液体): \(n_0 > n\) なので、大→小の反射。位相変化なし。
    • ガラス上面(液体→ガラス): \(n < n_0\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
  • 干渉条件: 結局、空気のときと同じく「片側のみ位相が反転する」状況になる。

具体的な解説と立式
光路差は \(2nd\)。位相変化はガラス上面でのみ起こります。
したがって、強めあいの条件は、
$$ 2nd = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m=1, 2, 3, \dots) $$
ここに、厚さの近似式 \(d=Ar^2\) を代入します。
$$ 2n(Ar^2) = \left(m – \frac{1}{2}\right)\lambda $$
最も近い明環は\(m=1\)の場合なので、その半径を\(r\)とすると、
$$ 2nAr^2 = \left(1 – \frac{1}{2}\right)\lambda = \frac{\lambda}{2} $$

使用した物理公式

  • 液体中の干渉条件
  • \(d=Ar^2\)
計算過程

上の式を\(r^2\)について解きます。
$$ r^2 = \frac{\lambda}{4nA} $$
\(r>0\)なので、
$$ r = \sqrt{\frac{\lambda}{4nA}} $$

この設問の平易な説明

隙間を液体で満たすと、光路差が\(n\)倍になります。明るくなる条件式を立て、一番内側のリング(\(m=1\))に対応する半径\(r\)を計算します。

結論と吟味

最も近い明環の半径は \(r = \sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{4nA}}\) です。空気のとき(\(r_1 = \sqrt{\lambda/4A}\))と比較すると、半径が \(1/\sqrt{n}\) 倍に小さくなっていることがわかります。

解答 (7) \(\sqrt{\displaystyle\frac{\lambda}{4nA}}\)

問(8)

思考の道筋とポイント
液体で満たしたときの中心(\(r=0, d=0\))の明るさを考えます。中心では光路差が0なので、明るさは位相変化のみで決まります。\(n>n_0\)の場合と\(1<n<n_0\)の場合で、位相変化のルールがどう変わるかを調べます。
この設問における重要なポイント

  • 中心(\(d=0\))では光路差は0。
  • 光路差0のとき、位相差が0なら強めあい(明)、\(\pi\)なら弱めあう(暗)。
  • 位相差は、2つの反射面での位相変化の「差」で決まる。
    • 両方反転 or 両方反転しない \(\rightarrow\) 位相差0 \(\rightarrow\) 明
    • 片方だけ反転 \(\rightarrow\) 位相差\(\pi\) \(\rightarrow\) 暗

具体的な解説と立式

  • \(n > n_0\) の場合:
    • レンズ下面(ガラス→液体): \(n_0 < n\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
    • ガラス上面(液体→ガラス): \(n > n_0\) なので、大→小の反射。位相変化なし。
    • 結果: 片側のみ反転するので、位相差は\(\pi\)。中心は暗くなる。よって、中心が暗い同心円状の縞模様が見える。
  • \(1 < n < n_0\) の場合:
    • レンズ下面(ガラス→液体): \(n_0 > n\) なので、大→小の反射。位相変化なし。
    • ガラス上面(液体→ガラス): \(n < n_0\) なので、小→大の反射。位相が\(\pi\)反転する。
    • 結果: こちらも片側のみ反転するので、位相差は\(\pi\)。中心は暗くなる。よって、中心が暗い同心円状の縞模様が見える。

使用した物理公式

  • 反射における位相変化のルール
計算過程

思考問題なので、計算はありません。

この設問の平易な説明

リングの中心は隙間の厚さがゼロなので、光路差もゼロです。したがって、明るいか暗いかは、2つの反射光の位相が「揃っているか」「逆向きか」だけで決まります。それぞれの反射面で屈折率の大小関係を調べ、位相がひっくり返るかどうかをチェックします。

結論と吟味

\(n>n_0\) の場合も \(1<n<n_0\) の場合も、いずれも片側のみ位相が反転するため、中心は暗くなります。したがって、どちらの場合も選択肢①が正解です。

解答 (8) \(n>n_0\)のとき①, \(1<n<n_0\)のとき①

問(9)

思考の道筋とポイント
問(8)と同じ状況で、今度は下方から透過光を観察します。透過光の干渉は、反射光の干渉と明暗が逆転する性質を利用して考えます。
この設問における重要なポイント

  • 透過光と反射光の明暗は逆転する。
  • 問(8)で、反射光の中心はどちらの場合も「暗」だった。
  • したがって、透過光の中心はどちらの場合も「明」になる。

具体的な解説と立式
エネルギー保存則により、反射光が弱めあう(暗い)場所では、透過光は強めあう(明るい)ことになります。
問(8)の考察より、\(n>n_0\) の場合も \(1<n<n_0\) の場合も、反射光は中心で弱めあって暗くなりました。
したがって、透過光はどちらの場合も中心で強めあって明るくなります。
よって、中心が明るい同心円状の縞模様が見えます。

使用した物理公式

  • エネルギー保存則(反射光と透過光の明暗は逆転)
計算過程

思考問題なので、計算はありません。

この設問の平易な説明

(8)で、上から見ると中心は暗くなることがわかりました。光のエネルギーは消えるわけではないので、反射されなかった分のエネルギーは下へ通り抜けていきます。つまり、上から見て暗い場所は、下から見ると明るくなります。

結論と吟味

\(n>n_0\) の場合も \(1<n<n_0\) の場合も、透過光の中心は明るくなります。したがって、どちらの場合も選択肢②が正解です。

解答 (9) \(n>n_0\)のとき②, \(1<n<n_0\)のとき②

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ!完全マスター講座

最重要ポイント:この問題の核心となる物理法則は?

  • 厚さの幾何学的計算と近似:
    • 核心: ニュートンリングの議論の出発点。まず三平方の定理を用いて、空気層の厚さ\(d\)と中心からの距離\(r\)の厳密な関係式 \(d = R – \sqrt{R^2 – r^2}\) を導出します。次に、\(r \ll R\) という条件下で近似計算を行い、扱いやすい関係式 \(d \approx \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を得ることが極めて重要です。この近似式が、以降のすべての設問の土台となります。
    • 理解のポイント: この近似により、厚さ\(d\)が距離\(r\)の2乗に比例することがわかり、半径\(r\)と干渉の次数\(m\)の関係をシンプルに議論できるようになります。
  • 光路差と位相変化:
    • 核心: 薄膜や、くさび形空気層の干渉と全く同じ原理です。光路差(空気層の往復分 \(2d\))と、2つの反射面(レンズ下面とガラス上面)での位相変化を正しく評価することが、干渉条件を決定づけます。
    • 理解のポイント:
      1. レンズ下面(ガラス\(n_0\)→空気1): 大→小の反射。位相変化なし。
      2. ガラス上面(空気1→ガラス\(n_0\)): 小→大の反射。位相が\(\pi\)反転。

      この「片側のみ位相が反転する」という事実から、強めあいの条件は光路差 \(2d = (m’+\frac{1}{2})\lambda\) となります。

  • パラメータ変化への対応:
    • 核心: レンズを動かしたり(問5, 6)、媒質を変えたり(問7, 8, 9)したときに、どの物理量がどう変化するかを正確に追跡する能力が問われます。
    • 理解のポイント:
      • レンズを距離\(h\)離す \(\rightarrow\) 光路差が \(2d\) から \(2(d+h)\) に変化。
      • 屈折率\(n\)の液体で満たす \(\rightarrow\) 光路差が \(2d\) から \(2nd\) に変化。さらに、反射面での屈折率の大小関係が変わり、位相変化のルールが変化する可能性がある。

応用テクニック:似た問題が出たらココを見る!解法の鍵と着眼点

  • 応用できる類似問題のパターン:
    • くさび形空気層の干渉(前問): 厚さ\(d\)が距離\(x\)に比例する(\(d \propto x\))点が異なりますが、光路差と位相変化を考えて干渉縞を議論する流れは全く同じです。ニュートンリングは厚さが\(r^2\)に比例する応用版と見なせます。
    • 薄膜の干渉: 均一な厚さの薄膜。ニュートンリングは、この厚さが場所によって連続的に変化する系と考えることができます。
  • 初見の問題での着眼点:
    1. 厚さ\(d\)と位置\(r\)(または\(x\))の関係式を立てる: まずは幾何学的な考察から、干渉が起こる層の厚さと位置の関係を立式します。近似計算が必要な場合が多いです。
    2. 位相変化のルールを確認する: 干渉する2つの光がどの境界面で反射するかを特定し、それぞれの屈折率の大小関係から位相変化の有無を判断します。これは光の干渉問題における定石です。
    3. 「\(m\)番目」の定義に注意する: 問題文で「\(m\)番目の明環(\(m=1, 2, \dots\))」と指定されているか、物理で一般的な次数「\(m=0, 1, 2, \dots\)」で考えるべきかを確認します。両者の間には \(m_{\text{番目}} = m_{\text{次数}} + 1\) のような関係があることが多く、これを間違えると条件式がずれます。
    4. 中心(\(r=0, d=0\))の明暗を考える: 中心では光路差が0になるため、明暗は位相変化のみで決まります。これは問題を解く上での良いチェックポイントになります。位相差0なら明、\(\pi\)なら暗です。

要注意!ありがちなミス・誤解とその対策

  • 近似計算のミス:
    • 誤解: (2)の近似計算で、式の変形や符号の扱いを間違える。
    • 対策: \(\sqrt{R^2-r^2} = R\sqrt{1-(r/R)^2}\) のように、まずは近似式\(\sqrt{1+x}\)が使える形に正確に変形する手順を確実にマスターしましょう。焦って計算しないことが重要です。
  • \(m\)と「\(m\)番目」の混同:
    • 誤解: (3)で、\(m\)番目の明環の条件を、次数の\(m\)をそのまま使って \(2d = (m+1/2)\lambda\) と立式してしまう。
    • 対策: 物理的な次数\(m’\)は0から始まるのに対し、問題文の「番目」は1から始まります。1番目の明環は、光路差が最小の\(m’=0\)に対応するため、\(m\)番目の明環は次数\(m’=m-1\)に対応すると考え、\(2d = ((m-1)+1/2)\lambda = (m-1/2)\lambda\) と立式するのが確実です。
  • 液体で満たしたときの位相変化:
    • 誤解: (7), (8)で液体を注入した後も、空気のときと同じ位相変化のルールを適用してしまう。
    • 対策: 媒質が変わったら、必ず屈折率の大小関係を再確認しましょう。特に(8)では、液体の屈折率\(n\)とガラスの屈折率\(n_0\)の大小関係によって、レンズ下面での反射が「大→小」から「小→大」に変わる可能性があり、これが位相変化のルールを根本的に変えます。

なぜその公式?論理的な公式選択と適用の思考法

  • 三平方の定理:
    • 選定理由: 球面の一部という幾何学的形状から、厚さ\(d\)と半径\(r\)の関係を導出するため。これは円や球が関わる幾何の問題における最も基本的なツールです。
    • 適用根拠: ユークリッド幾何学の基本的な定理であり、直角三角形が存在する場面で常に適用可能です。
  • 近似式 \(\sqrt{1+x} \approx 1+x/2\):
    • 選定理由: 三平方の定理から導かれる厳密な式は平方根を含み扱いにくいため、\(r \ll R\) という物理的な条件を利用して、より単純な多項式に変換するためです。
    • 適用根拠: テイラー展開(マクローリン展開)の1次までの近似であり、\(|x| \ll 1\) のときに数学的に保証されています。
  • 明線条件 \(2d = (m-1/2)\lambda\):
    • 選定理由: 問題が「明環」の条件を問うており、物理状況が「片側のみ位相が反転する」ため。
    • 適用根拠: 片方の波が半波長分ずれているため、強めあうには光路差が半波長の奇数倍になる必要があります。さらに「\(m\)番目」という数え方(\(m=1,2,\dots\))を物理的な次数(\(m’=0,1,\dots\))に変換した結果、この式が選択されます。

計算ミスをなくす!日頃の意識と実践テクニック

  • 近似計算の丁寧な実行:
    • 特に注意すべき点: (2)の計算は、この問題の根幹をなす部分です。符号ミスや展開ミスがないよう、一行一行慎重に計算を進めましょう。
    • 日頃の練習: \(\sqrt{R^2-r^2} = R\sqrt{1-(r/R)^2}\) のように、まずは近似式\(\sqrt{1+x}\)が使える形に正確に変形する手順を確実にマスターしましょう。
  • 次数の扱いの統一:
    • 特に注意すべき点: (3)のように「\(m\)番目」という表現が出てきたら、まずそれを物理的な次数(0から始まる)に変換してから式を立てる、という手順を自分の中でルール化すると、混乱が少なくなります。
    • 日頃の練習: 複数の問題で「番目」と「次数」の対応関係を意識的に確認し、変換に慣れておきましょう。
  • パラメータの整理:
    • 特に注意すべき点: (5)や(6)のように装置の状態が変化する問題では、「変化前」「変化後」で何が定数で何が変数かを明確に意識することが重要です。特に、同じ文字(例:\(d, r\))が異なる状態を表す場合は、\(d_1, d_2\)のように添え字をつけて区別するとミスを防げます。
    • 日頃の練習: 状況が変化する問題では、それぞれの状況を図示し、対応する変数を書き込む習慣をつけましょう。

解きっぱなしはNG!解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

  • 得られた答えの物理的妥当性の検討:
    • (4) \(r \propto \sqrt{m-1/2}\): 明環の半径\(r\)は、次数\(m\)が大きくなるにつれて大きくなるが、その間隔は徐々に狭まっていくことを示しています。これは実際のニュートンリングの見た目と一致します。
    • (6) \(h’=\lambda/2\): レンズを半波長だけ動かすと、光路差がちょうど1波長分変化し、隣の縞が元の位置にやってくる、という結果は非常にシンプルで物理的な意味が明快です。このような美しい結果は、答えが正しい可能性が高いことを示唆します。
    • (7) \(r \propto 1/\sqrt{n}\): 屈折率\(n\)の液体で満たすと、空気のときに比べて半径が小さくなるという結果は、光路差が\(n\)倍になることで、より小さな厚さ(=より中心に近い場所)で干渉条件が満たされるため、と解釈でき妥当です。
  • 別解との比較:
    • (6)の別解(光路差の変化量に着目)は、より本質的で計算も簡単です。主たる解法と結果が一致することを確認することで、答えの信頼性が高まります。
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問題98 (横浜市大 改)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、光の干渉を応用した精密な測定装置である「マイケルソン干渉計」をテーマにしています。光源から出た光を半透明鏡で2つの経路に分け、再び合成することで生じる干渉を利用します。
設問は、鏡の移動、薄膜の挿入、容器へのガス注入といった操作によって、2つの光路の間に「光路差の変化」が生じる状況を扱っています。
この問題の核心は、それぞれの操作によって2つの光路の光路差が「どれだけ変化したか」を正しく計算し、その変化が干渉の強めあいの条件(極大)とどう結びつくかを理解することです。

与えられた条件
  • 光源: 単色光(波長\(\lambda_0\))
  • 装置: マイケルソン干渉計(半透明鏡H, 平面鏡M₁, M₂)、検出器D
  • 初期状態: 装置全体は真空中。M₂の位置を調整し、Dでの光の強度が極大になっている。
  • 操作1 (問1): M₂を距離\(L_1\)だけ移動させると、再び強度が極大になった。
  • 操作2 (問2): H-M₁間に厚さ\(d\)、屈折率\(n_1\)の薄膜を挿入。
  • 操作3 (問3,4): H-M₁間に長さ\(L_2\)の真空容器Aを設置し、屈折率\(n_2\)のアルゴンガスを注入すると、強度の極大が\(p\)回繰り返された。
  • その他:
    • (4) \(n-1\)は気体の密度に比例する。
    • 0℃, 1気圧の1molの理想気体の体積は22.4L。
問われていること
  • (1) 鏡の移動距離\(L_1\)を、自然数\(m\)を用いて表す。
  • (2) 薄膜挿入による光路差の変化量。
  • (3) ガス注入後のアルゴンガスの屈折率\(n_2\)。
  • (4) 0℃, 1気圧でのアルゴンガスの屈折率に関する値 \(n_3-1\)。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【相違点に関する注記】

本解説は、模範解答で採用されている解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。

  1. 提示する別解
    • 問(4)の別解: 状態方程式とアボガドロの法則を用いる解法
      • 模範解答が分子量\(M\)を介して密度を計算し、比例式を立てるのに対し、別解では気体の状態方程式 \(PV=nRT\) とアボガドロの法則(同温・同圧では単位体積あたりの分子数が等しい)を用いて、より物理法則に根差した形で密度比を導出します。
  2. 上記の別解が有益である理由
    • 物理法則の横断的理解: 光学の問題(屈折率)と熱力学の法則(状態方程式)を結びつけて考えることで、物理学の異なる分野間の関連性を深く理解できます。
    • 思考の汎用性向上: 分子量\(M\)のような具体的な物質の性質に依存しない、より一般的で抽象的なアプローチを学ぶことができます。これは、未知の気体などを扱うより複雑な問題に応用できる思考法です。
  3. 結果への影響
    • いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。

この問題のテーマは「マイケルソン干渉計」です。光の干渉を利用した精密測定の原理を理解することが求められます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

  1. 光路差の変化: マイケルソン干渉計では、2つの光路(H→M₁→HとH→M₂→H)の光路差が、波長の整数倍なら強めあい(極大)、半波長の奇数倍なら弱めあいます。重要なのは、何らかの操作によってこの光路差が「変化」した量です。
  2. 鏡の移動と光路差: 鏡M₂を距離\(L_1\)だけ動かすと、光はそこを往復するため、経路長は\(2L_1\)変化します。媒質が真空(屈折率1)なので、光路差の変化も\(2L_1\)です。
  3. 媒質の挿入と光路差: ある区間に屈折率\(n\)の媒質を挿入すると、その区間の光路長が変化します。長さ\(L\)の真空の区間を、屈折率\(n\)の媒質で満たすと、光路長は\(1 \times L\)から\(n \times L\)に変化し、その変化量は\((n-1)L\)です。光が往復する場合は、この2倍の\(2(n-1)L\)が光路差の変化量となります。
  4. 極大の繰り返し: 光路差の変化量がちょうど1波長分(\(\lambda_0\))になるたびに、強めあいの条件が1回繰り返されます。したがって、極大が\(p\)回繰り返された場合、光路差の変化量は\(p\lambda_0\)に等しくなります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

  1. 各設問の操作によって、2つの光路の光路差がどれだけ変化したかを計算します。
  2. その光路差の変化が、干渉の条件(極大)とどう関係するかを立式します。
  3. 問(4)では、物理法則「\(n-1\)は気体の密度に比例する」と、気体の状態方程式やアボガドロの法則に関する知識を用いて、比例計算を行います。

問(1)

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