「良問の風」攻略ガイド（41〜45問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題41 (東京電機大＋長崎大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、円錐の内面に沿って糸でつながれたおもりがクルクルと等速円運動をする、いわゆる「円錐振り子」の状況を扱っています。おもりは滑らかな円錐面上を運動するため、摩擦力は考えません。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「円錐振り子」です。おもりにはたらく複数の力（重力、張力、垂直抗力）を適切に分解し、円運動の法則と力のつりあいを組み合わせて解くことが求められます。

問(1)

思考の道筋とポイント
おもりは水平面内で等速円運動をしています。この運動を解析するために、おもりと一緒に回転する観測者の視点に立ち、見かけの力である「遠心力」を考慮した力のつりあいを考えます。おもりにはたらく力は、重力、張力、垂直抗力、そして遠心力の4つです。これらの力を水平方向と鉛直方向に分解し、それぞれの方向でつりあいの式を立てることで、未知数である張力 \(T\) と垂直抗力 \(N\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• おもりにはたらく力をすべて正確に図示する（重力 \(mg\)、糸の張力 \(T\)、垂直抗力 \(N\)、遠心力 \(mr\omega^2\)）。
• 各力を水平方向と鉛直方向に正しく分解すること。特に垂直抗力 \(N\) の向きと、その成分の角度に注意する。
• 円運動の半径 \(r\) を \(l\) と \(\theta\) で正しく表すこと (\(r = l\sin\theta\))。
• 「上向きの力の和 = 下向きの力の和」「内向きの力の和 = 外向きの力の和」という形式で、力のつりあいの式を正確に立てること。

具体的な解説と立式
おもりにはたらく力は、重力 \(mg\)、糸の張力 \(T\)、垂直抗力 \(N\)、そして遠心力 \(F_{\text{遠心力}}\) です。

円運動の半径 \(r\) は、図より \(r = l\sin\theta\) です。したがって、遠心力の大きさは \(F_{\text{遠心力}} = m(l\sin\theta)\omega^2\) となります。

次に、張力 \(T\) と垂直抗力 \(N\) を水平・鉛直方向に分解します。

• 張力 \(T\): 鉛直上向き成分 \(T\cos\theta\)、水平内向き成分 \(T\sin\theta\)
• 垂直抗力 \(N\): 鉛直上向き成分 \(N\sin\theta\)、水平外向き成分 \(N\cos\theta\)

これらの力について、水平方向と鉛直方向のつりあいを考えます。

• 鉛直方向の力のつりあい:「上向きの力の和 = 下向きの力の和」より、
  $$ T\cos\theta + N\sin\theta = mg \quad \cdots ① $$
• 水平方向の力のつりあい:「内向きの力の和 = 外向きの力の和」より、
  $$ T\sin\theta = N\cos\theta + m(l\sin\theta)\omega^2 \quad \cdots ② $$

式①と②を連立方程式として解き、\(T\) と \(N\) を求めます。

\(T\) を求める（\(N\) を消去する）:

式②を \(N\) について解くと \(N = \frac{(T – ml\omega^2)\sin\theta}{\cos\theta}\)。これを式①に代入します。
$$ T\cos\theta + \frac{(T – ml\omega^2)\sin\theta}{\cos\theta}\sin\theta = mg $$
両辺に \(\cos\theta\) を掛けて分母を払います。
$$
\begin{aligned}
T\cos^2\theta + (T – ml\omega^2)\sin^2\theta &= mg\cos\theta \\[2.0ex]
T(\cos^2\theta + \sin^2\theta) – ml\omega^2\sin^2\theta &= mg\cos\theta
\end{aligned}
$$
\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) より、
$$
\begin{aligned}
T – ml\omega^2\sin^2\theta &= mg\cos\theta \\[2.0ex]
T &= mg\cos\theta + ml\omega^2\sin^2\theta \\[2.0ex]
&= m(g\cos\theta + l\omega^2\sin^2\theta)
\end{aligned}
$$
\(N\) を求める（\(T\) を消去する）:

式①を \(T\) について解くと \(T = \frac{mg – N\sin\theta}{\cos\theta}\)。これを式②に代入します。
$$ \left( \frac{mg – N\sin\theta}{\cos\theta} \right)\sin\theta = N\cos\theta + ml\omega^2\sin\theta $$
両辺に \(\cos\theta\) を掛けて分母を払います。
$$
\begin{aligned}
(mg – N\sin\theta)\sin\theta &= N\cos^2\theta + ml\omega^2\sin\theta\cos\theta \\[2.0ex]
mg\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta\cos\theta &= N(\cos^2\theta + \sin^2\theta)
\end{aligned}
$$
\(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) より、
$$
\begin{aligned}
N &= mg\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta\cos\theta \\[2.0ex]
&= m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta
\end{aligned}
$$

おもりと一緒に回る人から見ると、おもりは静止しています。これは、おもりにはたらく力が上下方向も水平方向も完全につりあっているからです。
【上下方向】：「張力の上向き成分」と「垂直抗力の上向き成分」の合計が、「重力」とつりあっています。
【水平方向】：「張力の内向き成分」が、「垂直抗力の外向き成分」と「遠心力」の合計とつりあっています。
この2つのつりあいの式を連立方程式として解くことで、張力と垂直抗力を求めます。

張力 \(T = m(g\cos\theta + l\omega^2\sin^2\theta)\)、垂直抗力 \(N = m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta\) となります。
角速度 \(\omega\) が大きくなると、張力 \(T\) は大きくなり、垂直抗力 \(N\) は小さくなることが式からわかります。これは、回転が速くなるほど糸が強く引っぱられ、おもりが浮き上がろうとして斜面を押す力が弱まるという直感と一致しており、物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「おもりが円錐面から離れる」という現象は、物理的には、おもりが円錐面から受ける力がゼロになることを意味します。円錐面がおもりを押す力は垂直抗力 \(N\) なので、この条件は \(N=0\) と数学的に表現できます。この条件を、問(1)で導出した垂直抗力 \(N\) の式に適用することで、その瞬間の角速度を求めます。

この設問における重要なポイント

• 「面から離れる」という物理現象を「\(N=0\)」という数式に正しく置き換えること。
• 問(1)で求めた \(N\) の式を正しく利用すること。
• 方程式を解く際に、物理的に意味のない解（この場合は \(\sin\theta=0\)）を除外すること。

具体的な解説と立式
おもりが円錐面から離れる条件は、垂直抗力 \(N\) が \(0\) になるときです。
$$ N = 0 $$
問(1)で求めた \(N\) の式 \(N = m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta\) を用いると、
$$ m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta = 0 $$

上記の方程式を \(\omega\) について解きます。
$$ m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta = 0 $$
おもりの質量 \(m\) は \(0\) ではありません (\(m \neq 0\))。

また、図のような円錐を形成している状況では、角度 \(\theta\) は \(0 < \theta < 90^\circ\) の範囲にあるため、\(\sin\theta \neq 0\) です。

したがって、上式が成り立つためには、括弧の中が \(0\) になる必要があります。
$$
\begin{aligned}
g – l\omega^2\cos\theta &= 0 \\[2.0ex]
l\omega^2\cos\theta &= g \\[2.0ex]
\omega^2 &= \frac{g}{l\cos\theta}
\end{aligned}
$$
角速度 \(\omega\) は正の値なので、平方根をとると、
$$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}} $$
これが、おもりが円錐面から離れる瞬間の角速度であり、これより角速度が大きくなると面から離れてしまうため、これが求める最小の角速度です。

おもりの回転が速くなると、遠心力が大きくなっておもりは外側に膨らもうとします。すると、おもりは円錐面をあまり押さなくなり、面からの支え（垂直抗力）がだんだん小さくなっていきます。そして、ある特定の角速度になったとき、ついにこの支えがゼロになり、おもりはフワッと面から浮き上がります。この「支えがゼロ」、つまり \(N=0\) という条件を、問(1)で求めた \(N\) の式に入れて計算すると、そのときの角速度が求められます。

円錐面から離れるための最小の角速度は、\(\omega = \sqrt{\displaystyle\frac{g}{l\cos\theta}}\) となります。

この式は、糸の長さ \(l\) が長いほど、また \(\theta\) が \(90^\circ\) に近い（円錐が平べったい）ほど、小さな角速度で面から離れることを示しています。これは、糸が長かったり円錐が平べったかったりする方が、おもりが外側に動きやすいという直感と一致しており、物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつりあいと運動方程式の組み合わせ:
  • 核心: この問題は、複数の力がはたらく中での円運動を扱います。物理法則を適用する方向を適切に分けることが重要です。小球は鉛直方向には動かないため、鉛直方向については「力のつりあい」が成り立ちます。一方、水平面内では円運動という加速度運動をしているため、水平方向については「円運動の運動方程式」（または回転系での力のつりあい）が成り立ちます。この2つの法則を連立させて解くのが、この種の問題の基本戦略です。
  • 理解のポイント:
    1. 運動の分解: 物体の運動を、静止している方向（鉛直）と加速している方向（水平）に分けて考える視点が重要です。
    2. 力の分解: 運動の分解に合わせて、斜めを向いている力（張力や垂直抗力）を、それぞれの方向に分解します。
• 向心力（または遠心力）の実体:
  • 核心: 円運動の問題で最も重要な概念は、「向心力は、実在する力の合力によって作られる」という点です。この問題では、張力の水平成分と垂直抗力の水平成分の「合力」が向心力の役割を担っています。向心力という名前の特別な力が単独で存在するわけではないことを理解することが、円運動をマスターする鍵です。
  • 理解のポイント:
    1. 静止系: 中心向きの力の合力を求め、それを \(mr\omega^2\) に等しいと置きます。
    2. 回転系: 中心から外向きに遠心力 \(mr\omega^2\) を導入し、それを含めたすべての力の合力がゼロになる（つりあう）と考えます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • バンク（傾斜）のあるカーブを走る自動車: 垂直抗力と摩擦力の合力が向心力となる問題。力の分解の考え方が共通しています。
  • 回転する円盤上の物体: 摩擦力が向心力となる問題。
  • 人工衛星の円運動: 万有引力が向心力となる問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 座標軸の選択: この問題では、力を「水平・鉛直」に分解する方法と、「斜面に沿った方向・斜面に垂直な方向」に分解する方法の2通りがありました。どちらが計算しやすいかを見極めることが重要です。一般に、未知数が特定の軸に沿っている場合、その軸と直交する軸で力のつりあいを考えると、その未知数を消去して式を立てられることがあります。
  2. 「離れる」「滑る」の物理的解釈: 問題文中の「面から離れる」「滑り出す」といった言葉を、物理的な条件式に翻訳する能力が求められます。
     • 「面から離れる」は、垂直抗力 \(N=0\) を意味します。
     • 「滑り出す」は、静止摩擦力が最大値 \(f = \mu N\) に達することを意味します。
  3. 幾何学的関係の把握: 円運動の半径 \(r\) や、力を分解する際の角度 \(\theta\) など、図形的な関係を正確に把握することが、正しい立式の前提となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の分解における角度の誤り:
  • 誤解: 垂直抗力 \(N\) を分解する際に、\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) を逆にしてしまう。
  • 対策: 力を分解するときは、必ず大きな直角三角形を描き、どの角が \(\theta\) になるかを幾何学的に確認する癖をつける。この問題では、円錐の母線と鉛直線のなす角が \(\theta\) なので、母線に垂直な \(N\) と水平線のなす角が \(\theta\) となる。このため、鉛直成分が \(N\sin\theta\)、水平成分が \(N\cos\theta\) となる。
• 力の数え忘れ・数えすぎ:
  • 誤解: 静止系で考えているのに遠心力を書き加えたり、回転系で考えているのに遠心力を忘れたりする。
  • 対策: 問題を解き始める前に、「静止系で解く（向心力は力の合力）」か「回転系で解く（遠心力を加えてつりあい）」かを明確に宣言し、方針を固定する。
• 連立方程式の計算ミス:
  • 誤解: 2つの未知数（\(T, N\)）を含む連立方程式を解く際に、代入や式の整理で計算ミスをする。
  • 対策: 複雑な連立方程式を解く際は、代入法だけでなく、式どうしを加減乗除して未知数を消去する方法も試す。特に、三角関数を含む場合は、\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) をうまく利用できる形に変形できないか考える。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつりあい（鉛直方向 or 回転系）:
  • 選定理由: 物体がその方向に対して「静止」または「等速直線運動」している（＝加速度がゼロ）状況を記述するため。
  • 適用根拠: 静止系では鉛直方向の加速度がゼロ。回転系では、観測者に対する相対加速度がゼロであるため、すべての方向で（見かけの力を含めて）力がつりあう。
• 円運動の運動方程式（水平方向）:
  • 選定理由: 物体が「等速円運動」という加速度運動をしている状況を記述するため。
  • 適用根拠: 静止系から見ると、おもりは水平方向に常に中心向きの加速度（向心加速度）を持っている。ニュートンの第二法則 \(ma=F\) をこの運動に適用したものが円運動の運動方程式である。
• 垂直抗力がゼロ (\(N=0\)):
  • 選定理由: 問題文の「円錐面から離れる」という物理的な現象を、数式で表現するため。
  • 適用根拠: 垂直抗力は、面が物体を押す力である。面から離れるということは、接触がなくなり、面から押されなくなることを意味する。したがって、その瞬間の垂直抗力はゼロである。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の戦略:
  • 特に注意すべき点: この問題のように、未知数が2つ（\(T, N\)）で式が2本の場合、やみくもに代入すると式が複雑化しやすい。
  • 日頃の練習: 式全体を眺めて、どうすれば計算が楽になるか戦略を立てる癖をつける。例えば、別解2のように座標軸を工夫して未知数を分離する方法や、式どうしを加減して一方の未知数を消去する方法（\(T\cos^2\theta + T\sin^2\theta = T\) を利用するなど）を練習する。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: \(m, g, l, \omega, \sin\theta, \cos\theta\) など多くの文字が登場するため、書き間違いや項の抜け漏れが起こりやすい。
  • 日頃の練習: 共通の因子（この問題では \(m\) や \(\sin\theta\) など）でくくりだすことを常に意識する。これにより、式がシンプルになり、見通しが良くなるだけでなく、計算ミスも減る。
• 物理量の次元（単位）チェック:
  • 特に注意すべき点: 計算の最終結果だけでなく、途中の式変形でも次元が合っているかを確認すると、ミスを発見しやすくなる。
  • 日頃の練習: 例えば、\(g\cos\theta\) と \(l\omega^2\sin^2\theta\) は、どちらも加速度の次元 \([\text{m/s}^2]\) を持っている。このように、足し算や引き算をしている項どうしが同じ次元を持っているかを確認する習慣をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(1) 垂直抗力 \(N = m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta\):
    • 吟味の視点: この式から、角速度 \(\omega\) が大きくなるにつれて、\(N\) は小さくなることがわかる。これは、回転が速くなるほど遠心力が大きくなり、おもりが外側に浮き上がろうとするため、面を押す力が弱まるという物理的なイメージと一致する。
  • 問(2) 最小の角速度 \(\omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}\):
    • 吟味の視点: この式は、\(N=0\) となる角速度を表している。もし、これより \(\omega\) が大きくなると、\(N\) の式の中の \((g – l\omega^2\cos\theta)\) が負になる。垂直抗力は面から押す力なので負の値はとれない。これは、おもりが既に面から離れており、この力のつりあいの式が成立しない状況になっていることを意味する。このように、式の成立条件を考えることで、物理現象の境界を理解できる。
• 極端な場合を考える:
  • もし \(\theta \to 90^\circ\) なら（円錐がほぼ水平な皿になる）:
    • \(\cos\theta \to 0\), \(\sin\theta \to 1\)。
    • \(T \to ml\omega^2\), \(N \to mg\)。これは、水平面上で糸につながれたおもりが回転している状況に相当する。張力が向心力となり、垂直抗力が重力を支える。物理的に正しい。
    • 面から離れる角速度 \(\omega \to \infty\)。水平な面からは、いくら速く回っても（理論上は）離れない。これも直感と一致する。
  • もし \(\theta \to 0\) なら（円錐が非常に細い）:
    • \(\cos\theta \to 1\), \(\sin\theta \to 0\)。
    • \(T \to mg\), \(N \to 0\)。これは、おもりがほとんど鉛直にぶら下がっている状態に相当する。張力が重力を支え、面からの力はほとんどない。物理的に正しい。
    • 面から離れる角速度 \(\omega \to \sqrt{g/l}\)。これは、単振り子が最も下にきたときの速さと関連する値であり、物理的に意味のある値となっている。

問題42 (山口大＋同志社大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、高さ \(h\) から静かに放たれた小球が、摩擦のない曲面を滑り降り、水平面を経て円筒面に入り、円運動を行う一連の運動を扱います。問われているのは、各ポイントでの速さや垂直抗力、そして円筒面を一周するための条件や途中で離れる条件などです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、「力学的エネルギー保存則」と「円運動」の融合です。高さの変化によって速さが変わり、その速さによって円運動を維持するための垂直抗力が変化する、という一連の流れを物理法則に基づいて定量的に追跡します。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球は点A（高さ \(h\)）から静かに放たれ、なめらかな曲面ABを滑り降りて水平面BCに達します。この間、摩擦はなく、仕事をする力は保存力である重力のみなので、力学的エネルギーは保存されます。始点Aと終点である水平面BC上でエネルギー保存則を立てることで、速さ \(v_0\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用する始点と終点を明確にする（ここでは点Aと水平面BC上）。
• 位置エネルギーの基準面を定める（ここでは水平面BCを基準 \(高さ0\) とすると計算がしやすい）。
• 点Aでは「静かに放す」ので運動エネルギーは \(0\) であること。

具体的な解説と立式
力学的エネルギー保存則を、小球を放した点Aと水平面BC上の点との間で適用します。水平面BCを位置エネルギーの基準面（高さ \(0\)）とします。

• 点Aでの力学的エネルギー \(E_A\):運動エネルギー \(K_A = 0\)、位置エネルギー \(U_A = mgh\)。
  $$ E_A = 0 + mgh $$
• 水平面BC上での力学的エネルギー \(E_{BC}\):速さを \(v_0\) とすると、運動エネルギー \(K_{BC} = \frac{1}{2}mv_0^2\)、位置エネルギー \(U_{BC} = 0\)。
  $$ E_{BC} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 $$

力学的エネルギー保存則 \(E_A = E_{BC}\) より、
$$ mgh = \frac{1}{2}mv_0^2 $$

\(mgh = \frac{1}{2}mv_0^2\) の両辺から \(m\) を消去し、\(v_0\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v_0^2 &= 2gh
\end{aligned}
$$
\(v_0 > 0\) （速さなので）であるから、
$$ v_0 = \sqrt{2gh} $$

小球が高さ \(h\) から滑り落ちるとき、持っていた「高さのエネルギー（位置エネルギー）」が、すべて「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わったと考えます。この関係を「エネルギー保存の法則」といい、数式にすることで速さを計算できます。

水平面BC上での小球の速さ \(v_0\) は \(\sqrt{2gh}\) です。これは自由落下で高さ \(h\) だけ落下したときの速さと同じです。摩擦がない斜面を滑り降りる場合、最終的な速さは経路によらず高さだけで決まるという力学的エネルギー保存則の重要な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
点C直前では、小球は水平面を直進運動しています。このとき、鉛直方向の力は重力と垂直抗力のみで、これらがつりあっています。

点C直後では、小球は円筒面に入り、円運動を開始します。この瞬間は円運動の最下点にあたり、半径方向の力の関係を考える必要があります。模範解答に倣い、遠心力を考慮した力のつり合いで考えます。速さは問(1)で求めた \(v_0\) を使います。

この設問における重要なポイント

• 点Cの「直前」と「直後」で、小球の運動状態（直進運動か円運動か）が変化することを理解する。
• 直後では、円運動の最下点として、半径方向の力の関係（遠心力とのつりあい）を考える。

具体的な解説と立式

• 点Cを通る直前の垂直抗力 \(N_1\):小球は水平面BC上を運動しており、鉛直方向には運動していません。したがって、鉛直方向の力はつりあっています。

  「上向きの力 = 下向きの力」より、
  $$ N_1 = mg $$

• 点Cを通った直後の垂直抗力 \(N_2\):小球は円運動の最下点にいます。小球と一緒に運動する観測者から見ると、小球にはたらく力は、鉛直上向きの垂直抗力 \(N_2\)、鉛直下向きの重力 \(mg\)、そして円運動の中心から遠ざかる向き（鉛直下向き）の遠心力 \(F_{\text{遠心力}} = m\frac{v_0^2}{r}\) です。これらの力がつりあっています。

  「上向きの力の和 = 下向きの力の和」より、
  $$ N_2 = mg + m\frac{v_0^2}{r} $$

• \(N_1\) の計算:
  $$ N_1 = mg $$
• \(N_2\) の計算:\(N_2 = mg + m\frac{v_0^2}{r}\) に、問(1)で求めた \(v_0^2 = 2gh\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  N_2 &= mg + m\frac{2gh}{r} \\[2.0ex]
  &= mg\left(1 + \frac{2h}{r}\right)
  \end{aligned}
  $$

【点C直前】小球は平らな面を走っているので、地面から受ける支えの力（垂直抗力）は、小球の重さと同じです。

【点C直後】小球は円の内側に入り、上にカーブします。このとき、面は小球の重さを支えるだけでなく、小球を無理やり円軌道に乗せるためにも、追加で押す必要があります。そのため、垂直抗力は重さよりも大きくなります。

点C直前の垂直抗力 \(N_1 = mg\)、点C直後の垂直抗力 \(N_2 = mg(1 + \frac{2h}{r})\) となります。

\(h>0\) であれば \(v_0>0\) であり、円運動が始まるため \(N_2 > mg = N_1\) となります。これは、カーブの内側を通過するときに体がシートに強く押し付けられる感覚と同じで、物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
速さ \(v\)は、始点Aから点Pまでの力学的エネルギー保存則で求めます。そのためには、まず点Pの高さを \(\theta\) を用いて表す必要があります。

垂直抗力 \(N\)は、点Pにおける半径方向の力の関係から求めます。模範解答に倣い、遠心力を考慮した力のつり合いで考えます。このとき、重力を半径方向と接線方向に分解する必要があります。

この設問における重要なポイント

• 点Pの高さ（位置エネルギーの計算に必要）を正しく求めること。点C（水平面BC上）を基準とすると、点Pの高さは \(r(1-\cos\theta)\) です。
• 点Pで重力を半径方向と接線方向に分解すること。重力の半径方向成分は、中心から遠ざかる向きに \(mg\cos\theta\) となります。

具体的な解説と立式

• 点Pでの速さ \(v\):水平面BCを位置エネルギーの基準（高さ0）とします。

  点Pの高さ \(h_P\) は、\(r – r\cos\theta = r(1-\cos\theta)\) です。

  点Aと点Pの間で力学的エネルギー保存則を適用します。

  「Aでのエネルギー = Pでのエネルギー」より、
  $$ mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mg \cdot r(1-\cos\theta) $$

• 点Pでの垂直抗力 \(N\):点Pで小球と一緒に運動する観測者から見ると、半径方向の力がつりあっています。

  半径方向にはたらく力は、内向きの垂直抗力 \(N\)、外向きの遠心力 \(m\frac{v^2}{r}\)、そして外向きの重力の半径方向成分 \(mg\cos\theta\) です。

  「内向きの力の和 = 外向きの力の和」より、
  $$ N = mg\cos\theta + m\frac{v^2}{r} $$

• 速さ \(v\) の計算:\(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mgr(1-\cos\theta)\) の両辺から \(m\) を消去し、\(\frac{1}{2}v^2\) について解きます。
  $$
  \begin{aligned}
  \frac{1}{2}v^2 &= gh – gr(1-\cos\theta) \\[2.0ex]
  &= g(h – r + r\cos\theta)
  \end{aligned}
  $$
  よって、\(v^2 = 2g(h – r + r\cos\theta)\)。速さ \(v\) は正なので、
  $$ v = \sqrt{2g(h – r + r\cos\theta)} $$
• 垂直抗力 \(N\) の計算:\(N = mg\cos\theta + m\frac{v^2}{r}\) に、上で求めた \(v^2 = 2g(h – r + r\cos\theta)\) を代入します。
  $$
  \begin{aligned}
  N &= mg\cos\theta + m\frac{2g(h – r + r\cos\theta)}{r} \\[2.0ex]
  &= mg\cos\theta + \frac{2mgh}{r} – 2mg + 2mg\cos\theta \\[2.0ex]
  &= \frac{2mgh}{r} – 2mg + 3mg\cos\theta
  \end{aligned}
  $$
  \(mg\) でくくりだすと、
  $$ N = mg\left(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta\right) $$

【速さ \(v\)】 小球が点Aから点Pまで動く間に、失った位置エネルギーが運動エネルギーに変わります。点Pの高さを三角関数を使って計算し、エネルギー保存の式を立てて \(v\) を求めます。

【垂直抗力 \(N\)】 点Pでは、小球はカーブの内側にいます。このとき、内向きに働く「垂直抗力」が、外向きに働こうとする「遠心力」と「重力の斜面から離れようとする成分」の合計とつりあっています。この力のつりあいから、垂直抗力を計算します。

速さ \(v = \sqrt{2g(h – r + r\cos\theta)}\)、垂直抗力 \(N = mg(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta)\) となります。

これらの式に \(\theta=0\)（最下点C）を代入すると、問(1), (2)の結果と一致することから、式の妥当性が確認できます。

問(4)

思考の道筋とポイント
小球が円筒面の最高点Dに達するためには、点Dで円筒面から離れずに運動を続けられることが必要です。これは、点Dでの垂直抗力 \(N_D\) が \(0\) 以上 (\(N_D \ge 0\)) であることを意味します。最小の高さを求めるので、ギリギリ達する場合、つまり \(N_D = 0\) となる状況を考えます。この条件から最高点Dでの速さの最小値 \(u\) を求め、次に力学的エネルギー保存則を始点A（高さ \(h_0\)）と点D（高さ \(2r\)）の間で適用して \(h_0\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 「最高点Dに達する条件」は、最高点Dで面から離れないこと、つまり \(N_D \ge 0\) であること。
• 最小の高さを考える場合は、\(N_D=0\) のギリギリの状況を考える。
• 点Dでの力の関係（運動方程式 or 遠心力とのつりあい）と、エネルギー保存則を組み合わせること。

具体的な解説と立式

• 点Dでの条件:最高点Dにおいて、小球にはたらく力は、鉛直下向きの重力 \(mg\) と、もし接していれば鉛直下向きの垂直抗力 \(N_D\) です。これらの合力が向心力となります。

  点Dでの速さを \(u\) とすると、半径方向（鉛直下向きを正）の運動方程式は、
  $$ m\frac{u^2}{r} = mg + N_D $$
  小球が点Dに達するための最小の条件は、\(N_D = 0\) のときです。
  $$ m\frac{u^2}{r} = mg $$

• 力学的エネルギー保存則の適用:初めの高さが \(h_0\) の点Aから、点D（高さ \(2r\)、速さ \(u\)）に達したとします。

  「Aでのエネルギー = Dでのエネルギー」より、
  $$ mgh_0 = \frac{1}{2}mu^2 + mg(2r) $$

まず、点Dでの速さの最小値 \(u\) を求めます。

\(m\frac{u^2}{r} = mg\) より、
$$ u^2 = gr $$
次に、この \(u^2\) をエネルギー保存則の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
mgh_0 &= \frac{1}{2}m(gr) + 2mgr \\[2.0ex]
mgh_0 &= \frac{5}{2}mgr
\end{aligned}
$$
両辺の \(mg\) を消去すると、
$$ h_0 = \frac{5}{2}r $$

問(5)

思考の道筋とポイント
小球が円筒面から離れるのは、垂直抗力 \(N\) が \(0\) になるときです。問(3)で求めた垂直抗力 \(N\) の一般式を用い、この式に \(N=0\) と、問題で与えられた条件 \(h=2r\) を代入して、そのときの \(\cos\theta\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 「面から離れる条件」は \(N=0\) であること。
• (3)で導出した \(N\) の式を正しく利用すること。
• 与えられた条件 \(h=2r\) を代入すること。

具体的な解説と立式
小球が円筒面から離れるとき、垂直抗力 \(N=0\) となります。

問(3)で求めた垂直抗力の式は、
$$ N = mg\left(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta\right) $$
ここに \(N=0\) と \(h=2r\) を代入します。
$$ 0 = mg\left(\frac{2(2r)}{r} – 2 + 3\cos\theta\right) $$

\(mg \neq 0\) なので、括弧の中が \(0\) になります。
$$
\begin{aligned}
\frac{2(2r)}{r} – 2 + 3\cos\theta &= 0 \\[2.0ex]
4 – 2 + 3\cos\theta &= 0 \\[2.0ex]
2 + 3\cos\theta &= 0 \\[2.0ex]
3\cos\theta &= -2 \\[2.0ex]
\cos\theta &= -\frac{2}{3}
\end{aligned}
$$

小球が円筒の側面を登っていく途中で面から離れるのは、面が小球を押す力（垂直抗力）が \(0\) になったときです。問(3)で求めた、任意の場所での垂直抗力を表す式に、\(N=0\) と、問題で与えられた「スタートの高さ \(h=2r\)」を代入して、そのときの角度 \(\theta\) (の \(\cos\) の値) を計算します。

\(h=2r\) のときに小球が円筒面から離れる点での \(\cos\theta = -\frac{2}{3}\) です。

\(\cos\theta\) の値が負であるということは、\(\theta\) が \(90^\circ\) より大きいことを意味します。つまり、小球は円筒の水平な直径よりも上の位置で、かつ最高点Dに達する前に面から離れることになります。

問(4)では、最高点Dに達するためには \(h_0 = 2.5r\) が必要でした。\(h=2r\) はこれよりも低いので、途中で離れるというのは物理的に妥当な結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則:
  • 核心: この問題のように、なめらかな面を物体が運動する場合、仕事をするのは保存力である重力のみです。したがって、運動のどの2点間をとっても「運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定である」という力学的エネルギー保存則が成り立ちます。物体の「速さ」を問われたら、まずこの法則の適用を考えるのが基本戦略です。
  • 理解のポイント:
    1. 基準点の選択: 位置エネルギーを計算するための高さの基準（\(h=0\) の点）は、自分で自由に設定できます。通常、最も低い点を基準にすると計算が簡単になります。
    2. 2点の選択: エネルギー保存則は、始点と、求めたい物理量が含まれる点の2点で立てるのが基本です。
• 円運動の運動方程式（向心力）:
  • 核心: 物体が円運動をするためには、常に円の中心方向を向いた力、すなわち「向心力」が必要です。この向心力は、重力や垂直抗力といった「実在する力の合力」によって供給されます。物体の「垂直抗力」や「張力」など、力を問われた場合は、この法則の適用を考えます。
  • 理解のポイント:
    1. 力の分解: 円運動の中心に向かう「半径方向」と、それに垂直な「接線方向」に力を分解する視点が重要です。
    2. 立式: 半径方向の力の合力を \(F_{\text{半径}}\) とし、運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = F_{\text{半径}}\) を立てます。このとき、中心向きを正とすると計算しやすくなります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ジェットコースターのループ: ループの最高点を通過できるための条件を求める問題。本問の問(4)と全く同じ構造です。
  • 振り子の運動: 最下点での速さや最高点に達する条件など、エネルギー保存則と円運動の法則を組み合わせて解く問題。
  • 斜方投射された物体がループに入る運動: 初速を持つ物体のエネルギー計算が加わりますが、基本的な考え方は同じです。
• 初見の問題での着眼点:
  1. エネルギーは保存されるか？: 問題文に「なめらかな」「摩擦はなく」といった記述があるかを確認します。あれば、エネルギー保存則が強力な武器になります。
  2. 円運動の局面はどこか？: 物体が円軌道の一部を運動している箇所を特定します。その箇所では、必ず半径方向の運動方程式を立てる必要があります。
  3. 「離れる」「たるむ」「ギリギリ通過」の翻訳: これらのキーワードは、物理的な条件式に変換するためのサインです。
     • 「面から離れる」は、垂直抗力 \(N=0\) を意味します。
     • 「糸がたるむ」は、張力 \(T=0\) を意味します。
     • 「ギリギリ最高点を通過」は、最高点での垂直抗力または張力が \(N \ge 0\) または \(T \ge 0\) の境界、つまり \(N=0\) または \(T=0\) となる状況を考えます。
  4. 速さと力の関係: 「速さ」はエネルギー保存則、「力（垂直抗力など）」は運動方程式、というように、求める物理量と適用すべき法則を対応付けて考えるのが定石です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 最高点での速さをゼロと置く誤解:
  • 誤解: 物体がループの最高点に「ギリギリ達する」とき、その点での速さはゼロだと考えてしまう。
  • 対策: 円運動を続けるためには、最高点でもある程度の速さが必要です。速さがゼロになると、その瞬間に放物運動（落下）に移行してしまいます。「ギリギリ達する」とは、最高点で垂直抗力や張力がちょうどゼロになる状態であり、そのときでも速さはゼロではない（重力が向心力となる速さ \(v=\sqrt{gr}\) を持つ）ことを理解する。
• 位置エネルギーの計算ミス:
  • 誤解: 問(3)の点Pのような、中途半端な高さの位置エネルギーを計算する際に、高さを間違える。
  • 対策: 必ず図を描き、基準面からの高さを三角関数（特に \(\cos\theta\)）を用いて正確に求める。\(r – r\cos\theta\) のような形が頻出するので、導出に慣れておく。
• 力の分解の誤り:
  • 誤解: 円運動の半径方向への重力の分解を間違える。
  • 対策: 半径方向の直線と、重力のベクトル（鉛直線）がなす角が \(\theta\) であることを、図を描いて幾何学的に確認する。これにより、半径方向の成分が \(mg\cos\theta\) となることが導ける。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則:
  • 選定理由: 異なる2点間の「速さ」と「高さ」の関係を知りたい、かつ、その間で非保存力（摩擦など）が仕事をしないため。
  • 適用根拠: 垂直抗力は常に運動方向と垂直なので仕事をしない。仕事をするのは重力のみであり、重力は保存力であるため、力学的エネルギーは保存される。
• 円運動の運動方程式:
  • 選定理由: 円運動をしている点での「力」（特に垂直抗力や張力）を知りたいため。力と運動（加速度）の関係を記述する基本法則だから。
  • 適用根拠: 物体は円軌道に沿って運動しており、常に中心向きの加速度（向心加速度）を持っている。ニュートンの第二法則 \(ma=F\) をこの運動に適用したものが円運動の運動方程式である。
• 垂直抗力がゼロ (\(N=0\)):
  • 選定理由: 問題文の「面から離れる」や「ギリギリ最高点に達する」という物理的な現象を、数式で表現するため。
  • 適用根拠: 垂直抗力は、面が物体を「押す」力である。面から離れるということは、接触がなくなり、押す力がなくなることを意味する。したがって、その瞬間の垂直抗力はゼロである。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• \(v^2\) のまま代入する:
  • 特に注意すべき点: エネルギー保存則で求めた速さ \(v\) を、運動方程式に代入する際、一度 \(\sqrt{\dots}\) の形にしてから二乗すると、手間が増え計算ミスを誘発しやすい。
  • 日頃の練習: エネルギー保存則から \(v^2 = \dots\) の形を導き、運動方程式の \(m\frac{v^2}{r}\) の部分に、\(v^2\) のまま代入する習慣をつける。これにより、計算が大幅に簡略化され、ミスも減る。
• 文字式の整理:
  • 特に注意すべき点: 問(3)のように、多くの項を含む文字式を整理する際にミスが起こりやすい。
  • 日頃の練習: 共通の因子（この問題では \(mg\) など）でくくりだすことを常に意識する。分配法則を適用する際は、符号に細心の注意を払う。最終的な答えだけでなく、途中の式も物理的な意味（例：これは運動エネルギー、これは位置エネルギーの変化分）を考えながら変形すると、間違いに気づきやすくなる。
• 単位（次元）チェック:
  • 特に注意すべき点: 計算の最終結果だけでなく、途中の式変形でも次元が合っているかを確認すると、ミスを発見しやすくなる。
  • 日頃の練習: 例えば、\(mgh\) と \(\frac{1}{2}mv^2\) はどちらもエネルギーの次元 \([\text{J}]\) を持っている。\(mg\cos\theta\) と \(m\frac{v^2}{r}\) はどちらも力の次元 \([\text{N}]\) を持っている。このように、足し算や引き算、等号で結ばれている項どうしが同じ次元を持っているかを確認する習慣をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • 問(4) \(h_0 = \frac{5}{2}r\):
    • 吟味の視点: 最高点の高さは \(2r\) なので、\(h_0\) は \(2r\) より大きい必要がある。\(2.5r > 2r\) なので、この条件を満たしている。もし \(h_0=2r\) なら、最高点での速さがゼロになってしまい、円運動を維持できない（重力に負けて落下する）。最高点でも速さを持つために、余分な高さ（この場合は \(0.5r\)）が必要である、という解釈は物理的に妥当である。
  • 問(5) \(\cos\theta = -\frac{2}{3}\):
    • 吟味の視点: \(\cos\theta\) が負の値なので、\(\theta\) は \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) の範囲にある。これは、小球が円筒の水平中心線より上で面から離れることを意味する。スタートの高さ \(h=2r\) は、最高点を通過できる高さ \(h_0=2.5r\) よりも低いので、途中で離脱するのは当然の結果である。
• 特定の値で検算する:
  • 問(3)で得た速さ \(v\) と垂直抗力 \(N\) の一般式は、他の設問の状況を特別な場合として含んでいるはずである。
    • 最下点C (\(\theta=0\)): \(v = \sqrt{2g(h-r+r)} = \sqrt{2gh}\)。これは問(1)の \(v_0\) と一致。\(N = mg(\frac{2h}{r}-2+3) = mg(1+\frac{2h}{r})\)。これは問(2)の \(N_2\) と一致。
    • 最高点D (\(\theta=180^\circ\)): \(v = \sqrt{2g(h-r-r)} = \sqrt{2g(h-2r)}\)。\(N = mg(\frac{2h}{r}-2-3) = mg(\frac{2h}{r}-5)\)。問(4)の別解で使った式と一致。
  • このように、一般式が特別な場合の結果を正しく再現できることを確認することで、計算の信頼性を大幅に高めることができる。

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問題43 (名古屋大＋神戸大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題では、質点がまず点Oを中心とする振り子運動を行い、最下点Bを通過した直後からは点Pに固定された棒に糸が引っかかり、点Pを中心とする円運動に移行します。摩擦はないものとし、力学的エネルギーは保存されると考えられます。糸がゆるむ条件や、特定の点に到達するための条件などが問われています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、「力学的エネルギー保存則」と「円運動」を組み合わせた総合問題です。特に、運動の途中で円運動の回転中心と半径が変化する点が特徴的です。

問(1)