「良問の風」攻略ガイド（41〜45問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題41 (東京電機大＋長崎大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

こんにちは！この円錐振り子の問題、なかなか手強いですよね。でも大丈夫、一緒に一つ一つじっくり解き明かしていきましょう。この問題をマスターすれば、円運動や力のつり合いに関する理解がグッと深まりますよ！

この問題は、円錐の内面に沿って糸でつながれたおもりがクルクルと等速円運動をする、いわゆる「円錐振り子」の状況を扱っています。おもりは滑らかな円錐面上を運動するため、摩擦力は考えません。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の主なテーマは「等速円運動」と「力のつり合い」です。おもりは水平面内で等速円運動をしていますが、斜面からの力も受けている点がポイントです。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 力のつり合い: おもりは回転していますが、回転するおもりと一緒に運動する観測者から見ると、おもりにはたらく力（重力、張力、垂直抗力、そして遠心力）がつり合っていると考えることができます。あるいは、慣性系（静止した観測者）から見て、運動方程式を立てることもできます。ここでは、模範解答に合わせて遠心力を利用した力のつり合いで考えていきましょう。
• 力の分解: 複数の力が様々な方向にはたらいているため、力を適切な方向（通常は水平方向と鉛直方向）に分解して考えることが不可欠です。
• 等速円運動の運動方程式（向心力）または遠心力: 水平面内で等速円運動をするためには、中心に向かう力（向心力）が必要です。回転座標系では、この向心力と逆向きに同じ大きさの慣性力である「遠心力」がはたらくと考えます。遠心力の大きさは \(F_{\text{遠心力}} = mr\omega^2\) で与えられます。ここで \(r\) は回転半径、\(\omega\) は角速度です。

全体的な戦略としては、まず力を分析して運動方程式（または力のつり合いの式）を立て、各値を求めていきます。

1. (1) 張力 \(T\) と垂直抗力 \(N\) の導出:
   • まず、おもりにはたらく全ての力を図示します（重力、張力、垂直抗力）。
   • 回転運動をしているので、回転座標系で考えて遠心力 \(mr\omega^2\) も書き加えます。
   • これらの力を水平方向と鉛直方向に分解します。
   • 水平方向の力のつり合いの式と、鉛直方向の力のつり合いの式を立てます。
   • 回転半径 \(r\) を、糸の長さ \(l\) と角度 \(\theta\) を用いて表します。
   • 得られた2つのつり合いの式を連立させて解き、\(T\) と \(N\) を求めます。
2. (2) 円錐面から離れる最小の角速度の導出:
   • 「円錐面から離れる」という条件が何を意味するのかを物理的に考えます。これは、おもりが円錐面から受ける垂直抗力 \(N\) が \(0\) になる瞬間を指します。
   • (1) で求めた垂直抗力 \(N\) の式に、\(N=0\) を代入します。
   • そのときの角速度 \(\omega\) を求めます。これが面から離れるための最小の角速度となります。

問1

思考の道筋とポイント

おもりは水平面内で等速円運動をしています。この運動を解析するために、おもりにはたらく力を特定し、それらがどのようにつり合っているか（あるいは運動方程式を満たしているか）を調べます。ここでは、回転するおもりから見た立場で、遠心力を考慮した力のつり合いを考えましょう。

この設問における重要なポイント

• おもりにはたらく力をすべて正確に図示すること（重力 \(mg\)、糸の張力 \(T\)、垂直抗力 \(N\)、遠心力 \(mr\omega^2\)）。
• 各力を水平方向と鉛直方向に正しく分解すること。特に垂直抗力 \(N\) の向きと、その成分の取り方に注意が必要です。
• 回転半径 \(r\) を \(l\) と \(\theta\) で正しく表すこと。
• 水平方向と鉛直方向の力のつり合いの式を正確に立てること。

具体的な解説と立式

1. おもりにはたらく力の図示と回転半径:

おもりには以下の力がはたらいています。

• 重力: 大きさ \(mg\)、鉛直下向き。
• 糸の張力: 大きさ \(T\)、糸に沿って頂点Aの向き。
• 垂直抗力: 大きさ \(N\)、円錐面に垂直で、おもりを円錐面から押し出す向き。
• 遠心力: 大きさ \(F_{\text{遠心力}} = mr\omega^2\)、水平面内で円運動の中心から遠ざかる向き（外向き）。

おもりの回転半径 \(r\) は、図からわかるように、糸の長さ \(l\) と角度 \(\theta\) を用いて次のように表せます。
$$r = l\sin\theta$$

2. 力の分解:

次におもりにはたらく力（張力 \(T\) と垂直抗力 \(N\)）を鉛直方向と水平方向に分解します。重力 \(mg\) は鉛直下向き、遠心力 \(mr\omega^2\) は水平外向きなので、分解は不要です。

• 張力 \(T\) の分解:糸が鉛直線となす角は \(\theta\) なので、
  • 鉛直成分 (上向き): \(T_{\text{鉛直}} = T\cos\theta\)
  • 水平成分 (中心向き): \(T_{\text{水平}} = T\sin\theta\)
• 垂直抗力 \(N\) の分解:垂直抗力 \(N\) は円錐面に垂直です。円錐の母線が鉛直線となす角が \(\theta\) であることから、円錐面に垂直な方向（法線）と水平面とのなす角が \(\theta\) になります。したがって、
  • 鉛直成分 (上向き): \(N_{\text{鉛直}} = N\sin\theta\)
  • 水平成分 (中心から遠ざかる向き): \(N_{\text{水平}} = N\cos\theta\)

  （ここ、少しややこしいですよね。図をよく見て、角度の関係を確認してください。円錐の母線と水平面のなす角は \(90^\circ – \theta\) で、\(N\) はこの母線に垂直です。）

3. 力のつり合いの式:

おもりは鉛直方向には動かず、水平面内では遠心力を含めて力がつり合っていると考えます。

• 鉛直方向の力のつり合い:上向きの力の合力 = 下向きの力の合力
  $$T\cos\theta + N\sin\theta = mg \quad \cdots (式1)$$
• 水平方向の力のつり合い:中心向きの力の合力 = 中心から遠ざかる向きの力の合力張力の水平成分が中心向き、垂直抗力の水平成分と遠心力が中心から遠ざかる向きなので、
  $$T\sin\theta = N\cos\theta + mr\omega^2$$
  回転半径 \(r = l\sin\theta\) を代入すると、
  $$ T\sin\theta = N\cos\theta + m(l\sin\theta)\omega^2 \quad \cdots (式2)$$

\(T\) と \(N\) を求めるために、(式1) と (式2) を連立方程式として解きます。

まず、(式2) を \(N\) について整理しやすいように、\(N\cos\theta\) の項を移項します。
$$T\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta = N\cos\theta \quad \cdots (式2′)$$

次に、\(N\) を消去するために、(式1) \(\times \cos\theta\) と (式2) \(\times \sin\theta\) を計算します。

(式1) \(\times \cos\theta\):
$$T\cos^2\theta + N\sin\theta\cos\theta = mg\cos\theta \quad \cdots (式3)$$

(式2) \(\times \sin\theta\):
$$T\sin^2\theta = N\cos\theta\sin\theta + ml\omega^2\sin^2\theta$$
これを整理すると、
$$T\sin^2\theta – N\cos\theta\sin\theta = ml\omega^2\sin^2\theta \quad \cdots (式4)$$

(式3) + (式4) を計算すると、\(N\) の項が消えます:
$$(T\cos^2\theta + N\sin\theta\cos\theta) + (T\sin^2\theta – N\sin\theta\cos\theta) = mg\cos\theta + ml\omega^2\sin^2\theta$$
$$T\cos^2\theta + T\sin^2\theta = mg\cos\theta + ml\omega^2\sin^2\theta$$

ここで、三角関数の重要な関係式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用いると、
$$T( \cos^2\theta + \sin^2\theta ) = mg\cos\theta + ml\omega^2\sin^2\theta$$
$$T \cdot 1 = mg\cos\theta + ml\omega^2\sin^2\theta$$

よって、張力 \(T\) は、
$$T = mg\cos\theta + ml\omega^2\sin^2\theta$$
これを \(m\) でくくりだすと、
$$T = m(g\cos\theta + l\omega^2\sin^2\theta)$$

次に、\(T\) を消去して \(N\) を求めます。(式1) \(\times \sin\theta\) と (式2) \(\times \cos\theta\) を計算します。

(式1) \(\times \sin\theta\):
$$T\cos\theta\sin\theta + N\sin^2\theta = mg\sin\theta \quad \cdots (式5)$$

(式2) \(\times \cos\theta\):
$$T\sin\theta\cos\theta = N\cos^2\theta + ml\omega^2\sin\theta\cos\theta \quad \cdots (式6)$$

(式5) – (式6) を計算すると、\(T\) の項が消えます:
$$(T\cos\theta\sin\theta + N\sin^2\theta) – (T\sin\theta\cos\theta – N\cos^2\theta) = mg\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta\cos\theta$$
$$N\sin^2\theta + N\cos^2\theta = mg\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta\cos\theta$$

再び \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用いると、
$$N(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = mg\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta\cos\theta$$
$$N \cdot 1 = mg\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta\cos\theta$$

よって、垂直抗力 \(N\) は、
$$N = mg\sin\theta – ml\omega^2\sin\theta\cos\theta$$
これを \(m\sin\theta\) でくくりだすと、
$$N = m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta$$

鉛直方向（上下方向）と水平方向（左右方向）で、力がつり合っていると考えます。

【鉛直方向】おもりを上に引っ張る力（張力 \(T\) の上向き成分 \(T\cos\theta\) と垂直抗力 \(N\) の上向き成分 \(N\sin\theta\)）の合計が、下向きに働く重力 \(mg\) と等しくなります。これが (式1) です。

【水平方向】おもりを中心方向に引っ張る力（張力 \(T\) の水平成分 \(T\sin\theta\)）が、おもりを中心から遠ざけようとする力（垂直抗力 \(N\) の水平成分 \(N\cos\theta\) と遠心力 \(mr\omega^2\)）の合計と等しくなります。これが (式2) です。

この2つの式を、数学の連立方程式の解き方（一方の文字を消去する方法）で解いていきます。例えば、\(T\) を求めるには \(N\) が消えるように式を変形して足し合わせ、\(N\) を求めるには \(T\) が消えるように式を変形して引き算します。その際、\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) という三角関数の公式が役立ちます。

得られた張力 \(T\) と垂直抗力 \(N\) の式は以下の通りです。
$$T = m(g\cos\theta + l\omega^2\sin^2\theta)$$
$$N = m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta$$

これらの式の単位を確認してみましょう。
\(g\) は加速度 \([\text{m/s}^2]\)、\(l\) は長さ \([\text{m}]\)、\(\omega\) は角速度 \([\text{rad/s}]\)。
\(l\omega^2\) の単位は \([\text{m}] \cdot [\text{rad/s}]^2 = [\text{m/s}^2]\) となり、加速度の単位です。
\(\cos\theta\) や \(\sin\theta\) は無次元なので、\(g\cos\theta\) や \(l\omega^2\sin^2\theta\) や \((g – l\omega^2\cos\theta)\) はすべて加速度の次元を持ちます。
したがって、\(T\) と \(N\) は \(m \times (\text{加速度})\) の形をしており、力の単位 \([\text{N}] = [\text{kg} \cdot \text{m/s}^2]\) となっていることが確認できます。

また、もし角速度 \(\omega\) が非常に小さい (\(\omega \approx 0\)) 場合を考えてみましょう。
\(T \approx mg\cos\theta\)
\(N \approx mg\sin\theta\)
このとき、(式1) は \( (mg\cos\theta)\cos\theta + (mg\sin\theta)\sin\theta = mg(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = mg \) となり成り立ちます。
(式2) は \( (mg\cos\theta)\sin\theta = (mg\sin\theta)\cos\theta + 0 \) となり成り立ちます。
これは、おもりがゆっくり回転している（ほとんど静止に近い）状況での力のつり合いに対応しており、妥当な結果と言えます。

問2

思考の道筋とポイント

「おもりが円錐面から離れる」という現象は、物理的にどういうことかを考えます。円錐面がおもりを押す力が垂直抗力 \(N\) ですから、面から離れる瞬間は、この垂直抗力 \(N\) が \(0\) になる瞬間です。これ以上角速度が大きくなると、おもりは面から浮き上がり、糸に引かれて回転を続けることになります（ただし、その場合の回転半径や角度は変わってきます）。

この設問における重要なポイント

• 「面から離れる」という条件を「\(N=0\)」と正しく置き換えること。
• (1)で求めた \(N\) の式を正しく利用すること。
• 方程式を解く際に、物理的に意味のない解を除外すること（例えば \(\sin\theta=0\) など）。

具体的な解説と立式

おもりが円錐面から離れる条件は、垂直抗力 \(N\) が \(0\) になるときです。
$$N = 0$$
(1)で求めた \(N\) の式 \(N = m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta\) を用いると、
$$m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta = 0$$

上記の方程式を \(\omega\) について解きます。
$$m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta = 0$$
おもりの質量 \(m\) は \(0\) ではありません (\(m \neq 0\))。
また、図のような円錐を形成している状況では、角度 \(\theta\) は \(0 < \theta < \pi/2\) の範囲にあると考えられるため、\(\sin\theta \neq 0\) です。（もし \(\sin\theta = 0\) なら \(\theta=0\) または \(\theta=\pi\) となり、円錐の形になりません。）
したがって、上式が成り立つためには、括弧の中が \(0\) になる必要があります。
$$g – l\omega^2\cos\theta = 0$$
この式を \(\omega^2\) について整理します。
$$l\omega^2\cos\theta = g$$
$$\omega^2 = \frac{g}{l\cos\theta}$$
角速度 \(\omega\) は正の値なので、平方根をとると、
$$\omega = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}$$
これが、おもりが円錐面から離れる瞬間の角速度であり、これより角速度が大きくなると面から離れてしまうため、これが求める最小の角速度 \(\omega_{\text{離}}\) です。

おもりが速く回転すればするほど、遠心力が大きくなり、おもりは外へ外へと行こうとします。すると、円錐面がおもりを押す力（垂直抗力 \(N\)）はだんだん小さくなっていきます。そして、ある特定の速さ（角速度）になったとき、ついにこの押す力がゼロになり、おもりはフワッと面から浮き上がります。この「押す力がゼロ」つまり \(N=0\) という条件を、(1)で求めた \(N\) の式に入れて計算すると、そのときの角速度 \(\omega\) が求められます。

円錐面から離れるための最小の角速度 \(\omega_{\text{離}}\) は、
$$\omega_{\text{離}} = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}$$
単位を確認してみましょう。
右辺の平方根の中は \(\frac{[\text{m/s}^2]}{[\text{m}] \cdot (\text{無次元})} = \frac{1}{[\text{s}^2]}\) となっています。
したがって、\(\omega\) の単位は \(\sqrt{\frac{1}{[\text{s}^2]}} = \frac{1}{[\text{s}]}\) (または \([\text{rad/s}]\)) となり、角速度の単位として正しいです。

物理的に考えてみましょう。

• もし \(\cos\theta\) が小さい（\(\theta\) が \(\pi/2\) に近い、つまり円錐が平べったい）場合、\(\omega_{\text{離}}\) は大きくなります。これは、面が水平に近いほど、おもりを面に押し付ける重力の効果が弱く、遠心力に対して面が支える役割が小さくなるため、より大きな角速度で回さないと離れないことを意味します。
• もし \(l\) が大きい（糸が長い）場合、\(\omega_{\text{離}}\) は小さくなります。
• もし \(g\) が大きい（重力が強い）場合、\(\omega_{\text{離}}\) は大きくなります。これは、重力が強いほど、おもりを面（あるいはより低い位置）に留めようとする効果が強いため、より高速で回転させる必要があることを示唆しています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等速円運動と力のつり合い: この問題の根幹は、おもりが水平面内で等速円運動をしているという事実です。これを記述するために、慣性系で運動方程式を立てるか、回転座標系で遠心力を導入して力のつり合いを考えます。今回は後者で考えましたが、どちらのアプローチでも同じ結果に至ります。遠心力 \(mr\omega^2\) の理解は必須です。
• 力の分解: 重力、張力、垂直抗力といった複数の力が関わる場合、それらを水平・鉛直などの互いに直交する成分に分解して考えることが基本戦略です。特に、垂直抗力 \(N\) の向き（面に垂直）と、その成分の角度（\(N\sin\theta\) と \(N\cos\theta\) のどちらが鉛直/水平になるか）を正確に把握することが重要でした。
• 作用・反作用の法則の応用（垂直抗力）: 垂直抗力は、面がおもりを押す力です。「面から離れる」という条件は、この垂直抗力が \(0\) になることと等価である、という理解が問2の鍵でした。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 回転する物体（例：遊園地の回転ブランコ、路面をカーブする自動車など）の安定性や、物体にはたらく力を問う問題。
  • 複数の力がつり合っている状態（静止または等速直線運動）、あるいは等加速度運動している物体の問題を解く際の基本的な考え方（力の図示、分解、立式）は共通しています。
• 初見の問題でどこに着目すべきか:
  1. 運動の種類は何か？ (等速円運動か、静止か、等加速度運動か、など)
  2. 物体にはたらく力は何か？ (重力、張力、垂直抗力、摩擦力、弾性力などをリストアップし、図示する)
  3. どの方向に力を分解すれば考えやすいか？ (運動の方向に合わせる、水平・鉛直に分解するなど)
  4. 座標系はどう設定するか？ (慣性系か、回転座標系かなど)
  5. 特別な条件は何か？ (「滑らか」なら摩擦なし、「面から離れる」なら垂直抗力 \(N=0\) など)
• 問題解決のヒントや特に注意すべき点:
  • 力のベクトル図は必ず描くこと。
  • 角度の関係を正確に把握し、三角関数（\(\sin, \cos, \tan\)）を正しく使うこと。
  • 連立方程式を解く際の計算ミスに注意すること。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力の分解の方向や角度の誤り: 特に垂直抗力 \(N\) の成分分解は間違いやすいポイントです。\(N\) が面に垂直であることを基点に、幾何学的に角度を決定する必要があります。
• 遠心力の向きと大きさの誤解: 遠心力は常に回転中心から遠ざかる向きにはたらき、大きさは \(mr\omega^2\) です。向心力と混同しないように。
• 「面から離れる」条件の誤解: これを \(T=0\) や他の条件と勘違いしないこと。あくまで \(N=0\) です。
• 連立方程式の計算ミス: 特に符号の扱いや、式の整理の仕方でミスが出やすいです。

対策:

• 定義に立ち返り、なぜそのように力がはたらくのか、なぜそのように分解できるのかを理解する。
• 多くの類題を解き、様々な力の状況に慣れる。
• 計算は一行一行丁寧に進め、検算する癖をつける。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった図:
  1. おもりにはたらく力のベクトル図: 重力、張力、垂直抗力、そして遠心力を矢印で示した図は、立式の基礎となります。
  2. 力を分解した図: 張力 \(T\) と垂直抗力 \(N\) を水平成分と鉛直成分に分けた図は、つり合いの式を立てる上で不可欠です。
  3. 幾何学的な関係を示す図: 糸の長さ \(l\)、回転半径 \(r\)、角度 \(\theta\) の関係を示す簡単な図は、\(r = l\sin\theta\) を導くのに役立ちます。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の矢印は、作用点から正しい向きに、だいたいの力の大きさを反映させて描く（特に力のつり合いを考える場合）。
  • 分解する成分は、元の力と合わせて平行四辺形（または長方形）を形成するように描く。
  • 角度 \(\theta\) が図のどこに対応するのかを明確にする。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 鉛直方向・水平方向の力のつり合い: なぜこれらの方向でつり合いを考えたのか？\(\rightarrow\) 鉛直方向には運動しておらず、水平面内で（遠心力を考慮すれば）力がつり合っている（等速円運動をしている）からです。他の方向に分解することも可能ですが、通常、水平・鉛直が最も計算しやすいことが多いです。
• 遠心力 \(F_{\text{遠心力}} = mr\omega^2\): なぜこの式を使ったのか？\(\rightarrow\) 回転座標系で運動を記述する際に現れる慣性力であり、等速円運動の解析を力のつり合いとして単純化できるからです。
• \(N=0\) (問2): なぜこの条件なのか？\(\rightarrow\) 「面から離れる」とは、面からの支え（垂直抗力）がなくなることを物理的に意味するからです。

公式をただ暗記するのではなく、「なぜこの場面でこの公式が使えるのか」「この公式は何を表しているのか」を常に自問自答する習慣が大切です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 現象の把握: 円錐振り子、等速円運動。
2. 力の分析 (問1):
   • はたらく力（重力、張力、垂直抗力、遠心力）を特定し図示。
   • 回転半径 \(r\) の確認。
   • 各力を水平・鉛直に分解。
   • 水平方向のつり合いの式を立式。
   • 鉛直方向のつり合いの式を立式。
3. 計算 (問1):
   • 立式した2つの連立方程式を解き、\(T\) と \(N\) を求める（三角関数の公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を活用）。
4. 条件の物理的解釈 (問2):
   • 「面から離れる」 \(\Leftrightarrow\) 垂直抗力 \(N=0\)。
5. 計算 (問2):
   • \(N=0\) を(1)で求めた \(N\) の式に代入し、\(\omega\) について解く。

このように、問題解決の各ステップが論理的につながっていることを意識しましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべき点:
  • 連立方程式を解く際の、項の移項、分配法則、符号の扱い。
  • 三角関数の \(\sin\theta, \cos\theta\) の付け忘れや、二乗の計算。
  • 平方根をとるときの正負（今回は角速度なので正）。
• 日頃からどのような意識で計算練習に取り組むべきか:
  • 途中式を省略せずに丁寧に書く。
  • 計算の各ステップで、何をしているのか（例：「\(N\) を消去するために～」）を意識する。
  • 単位を常に意識し、結果の単位が妥当か確認する。
  • 文字式のまま計算を進め、最後に数値を代入する（今回は数値代入なし）。
  • 計算後、時間があれば検算する（例えば、求めた \(T, N\) を元のつり合いの式に代入してみる）。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点:
  • (1) \(T, N\) の式:
    • \(\omega\) が大きくなると \(T\) はどうなるか？\(\rightarrow\) \(l\omega^2\sin^2\theta\) の項があるので \(T\) は大きくなる（より速く回すには糸が強く引く必要がある）。妥当。
    • \(\omega\) が大きくなると \(N\) はどうなるか？\(\rightarrow\) \(m(g – l\omega^2\cos\theta)\sin\theta\) で、\(l\omega^2\cos\theta\) の項が負で効いてくるので \(N\) は小さくなる。そして \(g = l\omega^2\cos\theta\) となると \(N=0\) になる。妥当。
    • もし \(\theta \to 0\) (糸がほぼ鉛直)なら？\(\sin\theta \to 0, \cos\theta \to 1\)。\(T \to mg\), \(N \to 0\)。これは、円錐面がなく、単に吊るされて回転している状況に近い（ただし \(r \to 0\) なので遠心力も \(0\)）。
    • もし \(\theta \to \pi/2\) (糸がほぼ水平、円錐は非常に平たい)なら？\(\sin\theta \to 1, \cos\theta \to 0\)。\(T \to ml\omega^2\), \(N \to mg\)。鉛直方向は \(N=mg\) で支え、張力 \(T\) が向心力の役割をほぼ全て担う \(T = mr\omega^2 = ml\omega^2\)。妥当。
  • (2) \(\omega_{\text{離}} = \sqrt{\frac{g}{l\cos\theta}}\):
    • \(\cos\theta \to 0\) (\(\theta \to \pi/2\), 平たい円錐) のとき \(\omega_{\text{離}} \to \infty\)。面が水平に近づくと、離れるためには非常に大きな角速度が必要。妥当。
    • \(\cos\theta \to 1\) (\(\theta \to 0\), 細い円錐) のとき \(\omega_{\text{離}} \to \sqrt{g/l}\)。

極端な場合を考えたり、変数を変化させたときの挙動を考察したりすることで、解の妥当性を検証し、物理的な理解を深めることができます。

この振り返りが、君の物理学習の糧になることを願っています！何度も繰り返し練習して、どんな問題にも対応できる力をつけていきましょうね。応援しています！

問題42 (山口大＋同志社大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

こんにちは！今回の問題は、ジェットコースターのように曲面や円筒面を運動する小球の力学に関する総合問題ですね。力学的エネルギー保存則と円運動の知識をフル活用して、一つ一つの現象を丁寧に解き明かしていきましょう。難しいと感じるかもしれませんが、基本法則の積み重ねで必ず理解できます。一緒に頑張りましょう！

この問題は、高さ \(h\) から静かに放たれた小球が、摩擦のない曲面を滑り降り、水平面を経て円筒面に入り、円運動を行う一連の運動を扱います。問われているのは、各ポイントでの速さや垂直抗力、そして円筒面を一周するための条件や途中で離れる条件などです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の中心的なテーマは、「力学的エネルギー保存則」と「円運動のダイナミクス（向心力や遠心力）」です。これらの法則を適切に組み合わせることで、複雑に見える運動も解析できます。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 摩擦や空気抵抗がない場合、物体が運動する経路によらず、（運動エネルギー）＋（位置エネルギー）＝一定 が成り立ちます。どの2点間でこの法則を適用するかがポイントになります。
2. 円運動の運動方程式 (向心力): 物体が円運動をするためには、円の中心に向かう力（向心力）が必要です。向心力の大きさは \(m\frac{v^2}{r}\) または \(mr\omega^2\) で与えられ、運動方程式は（半径方向の合力）＝（向心力）となります。
3. 遠心力（回転座標系での力のつり合い）: 回転する物体と一緒に運動する観測者から見ると、物体には向心力と逆向きに同じ大きさの慣性力「遠心力」がはたらいているように見え、この遠心力を含めると力がつり合っていると考えることができます。
4. 垂直抗力: 物体が面から受ける、面に垂直な力です。物体が面から離れるとき、この垂直抗力は \(0\) になります。

全体的な戦略としては、

1. 各点での速さの計算: 主に力学的エネルギー保存則を用います。始点Aと注目する点を結びつけて立式します。
2. 各点での垂直抗力の計算:
   • 水平面や円運動の特定点（最下点、最高点、一般点）での力のつり合い、または円運動の半径方向の運動方程式を立てます。
   • 遠心力の考え方を用いると、半径方向の力のつり合いとして扱えるため、計算が楽になる場合があります。
3. 条件の定式化:
   • 「最高点に達する条件」や「面から離れる条件」を、垂直抗力が \(0\) になる（または \(0\) 以上である）という形で数式に落とし込みます。

問1

思考の道筋とポイント

小球は点A（高さ \(h\)）から静かに放たれ、なめらかな曲面ABを滑り降りて水平面BCに達します。この間、摩擦はなく、重力のみが仕事をする（保存力である重力による位置エネルギーが変化する）ため、力学的エネルギーは保存されます。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則を適用する始点と終点を明確にすること（ここでは点Aと水平面BC上）。
• 位置エネルギーの基準面を定めること（ここでは水平面BCを基準 \(高さ0\) とすると計算がしやすい）。
• 点Aでは「静かに放す」ので運動エネルギーは \(0\) であること。

具体的な解説と立式

力学的エネルギー保存則を、小球を放した点Aと水平面BC上の任意の点（速さを \(v_0\) とする）との間で適用します。水平面BCを位置エネルギーの基準面（高さ \(0\)）とします。

• 点Aでの力学的エネルギー \(E_{\text{力学},A}\):
  • 運動エネルギー: \(K_A = 0\) （静かに放すため）
  • 位置エネルギー: \(U_A = mgh\)
  • よって、\(E_{\text{力学},A} = 0 + mgh = mgh\)
• 水平面BC上での力学的エネルギー \(E_{\text{力学},BC}\):
  • 運動エネルギー: \(K_{BC} = \frac{1}{2}mv_0^2\)
  • 位置エネルギー: \(U_{BC} = 0\) （基準面なので）
  • よって、\(E_{\text{力学},BC} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_0^2\)

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},A} = E_{\text{力学},BC}\) なので、
$$mgh = \frac{1}{2}mv_0^2$$

\(mgh = \frac{1}{2}mv_0^2\) の両辺から \(m\) を消去し（\(m \neq 0\) なので）、\(v_0\) について解きます。

$$ gh = \frac{1}{2}v_0^2 $$

両辺を2倍すると、

$$ v_0^2 = 2gh $$

\(v_0 > 0\) （速さなので）であるから、

$$ v_0 = \sqrt{2gh} $$

小球が高さ \(h\) から滑り落ちるとき、失った位置エネルギー (\(mgh\)) がすべて運動エネルギー (\(\frac{1}{2}mv_0^2\)) に変わったと考えます。この関係式 \(mgh = \frac{1}{2}mv_0^2\) から速さ \(v_0\) を求めます。

水平面BC上での小球の速さ \(v_0\) は \(\sqrt{2gh}\) です。これは自由落下で高さ \(h\) だけ落下したときの速さと同じですね。摩擦がない斜面を滑り降りる場合、最終的な速さは経路によらず高さだけで決まるという力学的エネルギー保存則の重要な結果です。単位も \(\sqrt{[\text{m/s}^2] \cdot [\text{m}]} = \sqrt{[\text{m}^2/\text{s}^2]} = [\text{m/s}]\) となり、速さの単位として正しいです。

問2

思考の道筋とポイント

• 点C直前: 小球は水平面BC上を運動しています。このとき、小球にはたらく鉛直方向の力は重力と垂直抗力のみで、これらがつり合っています。
• 点C直後: 小球は円筒面に入り、円運動を開始します。この瞬間、小球は円運動の最下点にあり、半径方向の運動方程式（または遠心力を考慮した力のつり合い）を考える必要があります。速さは(1)で求めた \(v_0\) を使います。

この設問における重要なポイント

• 点Cの「直前」と「直後」で、小球の運動状態（直進運動か円運動か）と、それによって考慮すべき力が変わることを理解すること。
• 円運動の半径方向の力を正確に把握すること。

具体的な解説と立式

• 点Cを通る直前の垂直抗力 \(N_1\):小球は水平面BC上を運動しており、鉛直方向には運動していません。したがって、鉛直方向の力はつり合っています。
  おもりにはたらく鉛直方向の力は、
  • 重力: \(mg\) (下向き)
  • 垂直抗力: \(N_1\) (上向き)

  力のつり合いより、
  $$N_1 = mg$$

• 点Cを通った直後の垂直抗力 \(N_2\):小球は点Cを通過した直後から、半径 \(r\) の円筒面に入り、円運動を開始します。この点は円運動の最下点にあたります。
  このとき小球にはたらく力は、
  • 重力: \(mg\) (鉛直下向き)
  • 垂直抗力: \(N_2\) (円筒面から受ける力なので、鉛直上向き)

  これらの力の合力が、円運動の向心力として働きます。円運動の中心はOなので、向心力は鉛直上向きです。
  小球の速さは \(v_0 = \sqrt{2gh}\) です。
  模範解答 に倣い、遠心力 \(F_{\text{遠心力}} = m\frac{v_0^2}{r}\) (鉛直下向き) を考えて、力のつり合いの式を立てると、
  $$N_2 = mg + m\frac{v_0^2}{r}$$
  （慣性系で運動方程式を立てる場合は、上向きを正として \(m\frac{v_0^2}{r} = N_2 – mg\) となります。）

• \(N_1\) の計算:\(N_1 = mg\)
• \(N_2\) の計算:\(N_2 = mg + m\frac{v_0^2}{r}\) に \(v_0^2 = 2gh\) を代入します。
  $$N_2 = mg + m\frac{2gh}{r}$$
  \(mg\) でくくりだすと、
  $$N_2 = mg\left(1 + \frac{2h}{r}\right)$$

• 【点C直前】小球は平らな面を走っているので、地面から受ける垂直抗力 \(N_1\) は、小球の重さ \(mg\) と同じです。
• 【点C直後】小球は円の内側に入り、カーブを曲がり始めます。このとき、円の中心に向かってグッと押し付けられるような力が働かないと円運動できません。垂直抗力 \(N_2\) は、重力 \(mg\) を支えるだけでなく、この円運動に必要な力（向心力）も提供するため、\(mg\) より大きくなります。具体的には、重力 \(mg\) と遠心力 \(m\frac{v_0^2}{r}\) の合計が \(N_2\) になります（模範解答の考え方）。

• 点C直前の垂直抗力 \(N_1 = mg\)。
• 点C直後の垂直抗力 \(N_2 = mg(1 + \frac{2h}{r})\)。

\(N_2\) は \(N_1 = mg\) よりも \(mg\frac{2h}{r}\) だけ大きくなっています。これは、円運動をするために追加の力が必要であることを示しており、妥当です。\(h>0\) であれば \(v_0>0\) であり、円運動が始まるため \(N_2 > mg\) となります。

問3

思考の道筋とポイント

• 速さ \(v\): 点Aから点Pまで、摩擦がないので力学的エネルギーが保存されます。点Pの高さを \(\theta\) を用いて表し、エネルギー保存則を適用します。
• 垂直抗力 \(N\): 点Pにおいて、小球は円運動の一部をなしています。模範解答 では遠心力を考慮した力のつり合いを用いています。小球にはたらく力を半径方向に分解し、力のつり合いを考えます。

この設問における重要なポイント

• 点Pの高さ（位置エネルギーの計算に必要）を正しく求めること。点C（水平面BC上）を基準とすると、点Pの高さは \(r(1-\cos\theta)\) です。
• 点Pでの半径方向の力を正確に把握すること。模範解答の立式に従い解説します。

具体的な解説と立式

• 点Pでの速さ \(v\):水平面BCを位置エネルギーの基準（高さ0）とします。
  点Pの高さ \(h_P\) は、円筒の最下点Cからの高さで \(r – r\cos\theta = r(1-\cos\theta)\) です。
  点Aと点Pの間で力学的エネルギー保存則を適用します。点Aでの力学的エネルギー: \(E_{\text{力学},A} = mgh\)点Pでの力学的エネルギー: \(E_{\text{力学},P} = \frac{1}{2}mv^2 + mg \cdot r(1-\cos\theta)\)力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},A} = E_{\text{力学},P}\) なので、
  $$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mgr(1-\cos\theta)$$
• 点Pでの垂直抗力 \(N\):模範解答 によると、「遠心力を考えると、半径方向では力のつり合いが成り立つので \(N = mg\cos\theta + m\frac{v^2}{r}\)」とされています。
  ここで、\(N\) は円筒内面から小球が受ける垂直抗力（円の中心Oから離れる向き）、\(mg\cos\theta\) は重力の半径方向成分、\(m\frac{v^2}{r}\) は遠心力（円の中心Oから離れる向き）です。この立式の詳細な導出や力の向きの解釈は複雑になる可能性があるため、ここでは模範解答に示されたこの式を所与として解説を進めます。
  $$N = mg\cos\theta + m\frac{v^2}{r}$$

• 速さ \(v\) の計算:\(mgh = \frac{1}{2}mv^2 + mgr(1-\cos\theta)\)両辺の \(m\) を消去し、\(\frac{1}{2}v^2\) について解くと、
  $$\frac{1}{2}v^2 = gh – gr(1-\cos\theta) = g(h – r + r\cos\theta)$$
  よって、\(v^2 = 2g(h – r + r\cos\theta)\)。速さ \(v\) は正なので、
  $$v = \sqrt{2g(h – r + r\cos\theta)}$$
• 垂直抗力 \(N\) の計算:\(N = mg\cos\theta + m\frac{v^2}{r}\) に、上で求めた \(v^2 = 2g(h – r + r\cos\theta)\) を代入します。
  $$N = mg\cos\theta + m\frac{2g(h – r + r\cos\theta)}{r}$$
  $$N = mg\cos\theta + \frac{2mg}{r}(h – r) + \frac{2mg}{r}(r\cos\theta)$$
  $$N = mg\cos\theta + \frac{2mgh}{r} – \frac{2mgr}{r} + 2mg\cos\theta$$
  $$N = mg\cos\theta + \frac{2mgh}{r} – 2mg + 2mg\cos\theta$$
  \(mg\cos\theta\) の項をまとめると \(3mg\cos\theta\)。
  $$N = \frac{2mgh}{r} – 2mg + 3mg\cos\theta$$
  \(mg\) でくくりだすと、
  $$N = mg\left(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta\right)$$

• 【速さ \(v\)】 小球が点Aから点Pまで動く間に、失った位置エネルギーが運動エネルギーに変わります。点Pの高さを正確に計算し、エネルギー保存の式を立てて \(v\) を求めます。
• 【垂直抗力 \(N\)】 模範解答では、点Pで小球にはたらく垂直抗力 \(N\) が、重力の半径方向の成分と遠心力の和として表されています。上で求めた \(v^2\) をこの式に代入して \(N\) を計算します。

• 点Pでの速さ \(v = \sqrt{2g(h – r + r\cos\theta)}\)。
• 点Pでの垂直抗力 \(N = mg(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta)\)。

これらの式は複雑に見えますが、\(\theta\) の値によって具体的な状況を表します。例えば、円筒の最下点Cでは \(\theta=0\) (\(\cos\theta=1\))。
\(v_C = \sqrt{2g(h-r+r)} = \sqrt{2gh}\) となり、(1)の \(v_0\) と一致します。
\(N_C = mg(\frac{2h}{r} – 2 + 3) = mg(\frac{2h}{r} + 1)\) となり、(2)の \(N_2\) と一致します。
このように、特定の場合で既知の結果と一致することを確認するのは、式の妥当性を吟味する上で有効です。

問4

思考の道筋とポイント

小球が円筒面の最高点Dに達するためには、点Dで円筒面から離れずに運動を続けられることが必要です。これは、点Dでの垂直抗力 \(N_D\) が \(0\) 以上 (\(N_D \ge 0\)) であることを意味します。ぎりぎり達する場合、\(N_D = 0\) となります。このときの速さを \(u\) とし、力学的エネルギー保存則を始点A（高さ \(h_0\)）と点D（高さ \(2r\)）の間で適用します。

この設問における重要なポイント

• 「最高点Dに達する条件」は、最高点Dで面から離れないこと、つまり \(N_D \ge 0\) であること。最小の高さ \(h_0\) を考える場合は、\(N_D=0\) のギリギリの状況を考える。
• 点Dでの力のつり合い（または運動方程式）と、エネルギー保存則を組み合わせること。

具体的な解説と立式

• 点Dでの条件:最高点Dにおいて、小球にはたらく力は、重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力 \(N_D\)（鉛直下向き、もし面から離れていなければ）。これらの合力が向心力となります。
  点Dでの速さを \(u\) とすると、半径方向（鉛直下向きを正）の運動方程式は、
  $$m\frac{u^2}{r} = mg + N_D$$
  小球が点Dに達するための最小の条件は、ここでちょうど面から離れるか離れないかの境目、すなわち \(N_D = 0\) のときです。
  このとき、\(m\frac{u^2}{r} = mg\)。よって、\(u^2 = gr\)、あるいは \(u = \sqrt{gr}\) (速さなので \(u>0\))。
  これが、最高点Dを通過できる最小の速さです。
• 力学的エネルギー保存則の適用:初めの高さが \(h_0\) の点Aから静かに放し、点D（高さ \(2r\)、速さ \(u=\sqrt{gr}\)）に達したとします。
  水平面BCを位置エネルギーの基準とすると、点Aでの力学的エネルギー: \(E_{\text{力学},A} = mgh_0\)点Dでの力学的エネルギー: \(E_{\text{力学},D} = \frac{1}{2}mu^2 + mg(2r)\)エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},A} = E_{\text{力学},D}\) なので、
  $$mgh_0 = \frac{1}{2}mu^2 + 2mgr$$

\(mgh_0 = \frac{1}{2}mu^2 + 2mgr\) に \(u^2 = gr\) を代入します。
$$mgh_0 = \frac{1}{2}m(gr) + 2mgr$$
両辺の \(m\) を消去し、\(g\) で割ると（\(m \neq 0, g \neq 0\)）、
$$h_0 = \frac{1}{2}r + 2r$$
$$h_0 = \left(\frac{1}{2} + \frac{4}{2}\right)r = \frac{5}{2}r$$

• 別解（模範解答 より）:(3)で求めた垂直抗力 \(N = mg(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta)\) を利用します。
  最高点Dでは \(\theta = 180^\circ = \pi\) なので、\(\cos\pi = -1\)。
  このときの高さを \(h_0\) とし、垂直抗力を \(N_D\) とすると、
  $$N_D = mg\left(\frac{2h_0}{r} – 2 + 3(-1)\right) = mg\left(\frac{2h_0}{r} – 2 – 3\right) = mg\left(\frac{2h_0}{r} – 5\right)$$
  小球が点Dに達するためには \(N_D \ge 0\) である必要があります。
  $$mg\left(\frac{2h_0}{r} – 5\right) \ge 0$$
  \(mg > 0\) なので、括弧の中が \(0\) 以上であればよい。
  $$\frac{2h_0}{r} – 5 \ge 0$$
  $$\frac{2h_0}{r} \ge 5$$
  $$h_0 \ge \frac{5}{2}r$$
  したがって、必要な高さ \(h\) の最小値 \(h_0\) は \(\frac{5}{2}r\) です。

小球がてっぺんの点Dをギリギリ通過するということは、点Dでちょうど円筒面から離れるか離れないかの境目にあるということです。このとき、垂直抗力は \(0\) になります。この条件から点Dでの速さが求まり、次にエネルギー保存の法則を使って、最初の高さ \(h_0\) がどれだけ必要だったかを逆算します。
別解では、(3)で求めた一般的な点Pでの垂直抗力の式を使い、点D (\(\theta=180^\circ\)) で垂直抗力が \(0\) 以上になる条件から \(h_0\) を求めます。

小球が円筒面の最高点Dに達するための最小の初めの高さ \(h_0\) は \(\frac{5}{2}r\) です。
これは \(2.5r\) であり、円筒の直径 \(2r\) よりも高い位置から放す必要があることを示しています。もし \(h_0 = 2r\) から放したとすると、エネルギー的には最高点に達するかもしれませんが、速さが足りずに途中で面から離れてしまうか、最高点で速度が0になってしまいます（実際には \(N_D=0\) となるには速度が必要）。

問5

思考の道筋とポイント

小球が円筒面から離れるのは、垂直抗力 \(N\) が \(0\) になるときです。(3)で求めた垂直抗力 \(N\) の一般式 \(N = mg(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta)\) を用い、この式に \(N=0\) と \(h=2r\) を代入して \(\cos\theta\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 「面から離れる条件」は \(N=0\) であること。
• (3)で導出した \(N\) の式を正しく利用すること。
• 与えられた条件 \(h=2r\) を代入すること。

具体的な解説と立式

小球が円筒面から離れるとき、垂直抗力 \(N=0\) となります。
(3)で求めた垂直抗力の式は、
$$N = mg\left(\frac{2h}{r} – 2 + 3\cos\theta\right)$$
ここに \(N=0\) と \(h=2r\) を代入します。
$$0 = mg\left(\frac{2(2r)}{r} – 2 + 3\cos\theta\right)$$

\(mg \neq 0\) なので、括弧の中が \(0\) になります。
$$\frac{2(2r)}{r} – 2 + 3\cos\theta = 0$$
$$\frac{4r}{r} – 2 + 3\cos\theta = 0$$
$$4 – 2 + 3\cos\theta = 0$$
$$2 + 3\cos\theta = 0$$
\(3\cos\theta\) について解くと、
$$3\cos\theta = -2$$
よって、
$$\cos\theta = -\frac{2}{3}$$

小球が円筒の側面を登っていく途中で面から離れるのは、面が小球を押す力（垂直抗力 \(N\)）が \(0\) になったときです。(3)で求めた \(N\) の式に、\(N=0\) と、問題で与えられた \(h=2r\) を入れて、そのときの角度 \(\theta\) (の \(\cos\) の値) を計算します。

\(h=2r\) のときに小球が円筒面から離れる点での \(\cos\theta = -\frac{2}{3}\) です。
\(\cos\theta\) の値が負である（約 -0.667）ということは、\(\theta\) が \(90^\circ\) より大きく \(180^\circ\) より小さいことを意味します。つまり、小球は円筒の最下点Cを過ぎ、水平な高さ（中心Oと同じ高さ）よりも上の位置で、かつ最高点Dに達する前に面から離れることになります。
(4)では、最高点Dに達するためには \(h_0 = \frac{5}{2}r = 2.5r\) が必要でした。\(h=2r\) はこれよりも低いので、途中で離れるというのは物理的に妥当な結果です。また、\(|\cos\theta| = |-\frac{2}{3}| < 1\) なので、このような角度 \(\theta\) は実在します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則: 摩擦がない限り、(運動エネルギー) + (位置エネルギー) = 一定。どの2点で比較するか、位置エネルギーの基準をどこに置くかがポイント。
• 円運動と向心力（または遠心力）: 円運動をする物体には必ず中心向きの力（向心力）が働いています。運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\) を立てるか、回転系で遠心力を導入して力のつり合いを考えます。
• 垂直抗力と「面から離れる条件」: 垂直抗力は面が物体を押す力。物体が面から離れる瞬間は、この垂直抗力が \(0\) になる時です。これは円運動の最高点到達条件や途中離脱条件を考える上で非常に重要。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • ジェットコースターや振り子のように、高さの変化と円運動が組み合わさった運動。
  • 物体がループを一周できるための条件を問う問題。
  • 張力や垂直抗力が途中で \(0\) になる条件を問う問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. エネルギーは保存されるか？\(\rightarrow\) 保存力（重力、弾性力など）のみが仕事をするか、非保存力（摩擦力など）が仕事をするかを確認。
  2. 円運動をしている部分はどこか？\(\rightarrow\) その部分では半径方向の運動方程式（または遠心力考慮のつり合い）を立てる。
  3. 「離れる」「たるむ」「ギリギリ通過する」などのキーワードの意味は？\(\rightarrow\) 垂直抗力や張力が \(0\) になる条件に置き換える。
  4. どの物理量を未知数として、どの法則で式を立てるか？\(\rightarrow\) 速さをエネルギー保存則で、力を運動方程式/つり合いで、という組み合わせが多い。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • まずは現象を正確に把握し、力の図示を丁寧に行う。
  • エネルギー保存則と運動方程式（または力のつり合い）は、独立した別の法則であることを意識し、適切に使い分ける。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 力学的エネルギー保存則の基準点の設定ミス: どこを高さの基準にしても解けますが、計算が楽になるように適切に設定しましょう（例：最も低い点を基準にする）。
• 円運動の半径方向の力の分解ミス: 特に重力の成分を半径方向と接線方向に分解する際に、角度 \(\theta\) の取り方と \(\sin, \cos\) の使い分けに注意。
• 向心力と遠心力の混同、または力のつり合いの式の誤り: 慣性系で考えるか回転系で考えるかを明確にし、それぞれの場合で正しく立式する。
• 「最高点に達する＝速さが0」という誤解: 円運動の最高点では、一般に速さは \(0\) ではありません。面から離れないためにはある程度の速さが必要です（(4)の \(u=\sqrt{gr}\)）。

対策:

• 図を丁寧に描き、力の向きや成分を正確に把握する。
• 各法則の適用条件を再確認する。
• 複雑な問題は、部分部分に分けて考える。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった図:
  1. 全体の運動経路の図: 小球がどの点を通り、高さがどう変化するかを把握する。
  2. 各注目点での力のベクトル図: 特に円運動をしている点C、P、Dで、重力、垂直抗力（＋遠心力）を正確に図示することが立式の第一歩。
  3. 重力の分解図: 点Pで重力を半径方向と接線方向に分解する図は、半径方向の力の分析に不可欠。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の作用点を明確にする。
  • 角度 \(\theta\) がどの部分の角度なのかを正確に示す。
  • 座標軸を設定する場合は、その向きを明示する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則: 「摩擦がない」「保存力（重力）のみが仕事をする」から適用可能と判断。
• 円運動の運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\): 円軌道を描いている物体に対して、その半径方向の運動を記述するために適用。\(F_{\text{向心}}\) は実際に働いている力の合力（中心向き）。
• \(N=0\): 「面から離れる」という物理現象を数式で表現したもの。

なぜその公式を選んだのか、その公式が適用できる条件を満たしているのかを常に意識する訓練が重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問(1): A \(\rightarrow\) BC間でのエネルギー保存 \(\Rightarrow\) \(v_0\) 算出。
2. 問(2): C直前 \(\rightarrow\) 水平面上の力のつり合い \(\Rightarrow\) \(N_1\) 算出。C直後 \(\rightarrow\) 円運動最下点での半径方向の力の分析 \(\Rightarrow\) \(N_2\) 算出（\(v_0\) 利用）。
3. 問(3): A \(\rightarrow\) P間でのエネルギー保存 \(\Rightarrow\) \(v\) 算出。P点での半径方向の力の分析 \(\Rightarrow\) \(N\) 算出（\(v\) 利用）。
4. 問(4): D点で \(N_D \ge 0\) (ギリギリで \(N_D=0\)) \(\Rightarrow\) D点での速さ \(u\) 決定。A \(\rightarrow\) D間でのエネルギー保存 \(\Rightarrow\) \(h_0\) 算出。
5. 問(5): \(N=0\) (離れる条件) を(3)の \(N\) の式に適用。\(h=2r\) を代入 \(\Rightarrow\) \(\cos\theta\) 算出。

このように、前の設問の結果を次の設問で利用したり、基本法則を段階的に適用したりする流れを意識しましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべき点:
  • \(v^2\) の代入時の展開ミスや符号ミス。
  • 分数計算や平方根の処理。
  • 文字が多く複雑な式での整理（共通因数でくくるなど）。
• 日頃の練習:
  • 途中式を丁寧に、かつ整理して書く癖をつける。
  • 単位の次元を意識して、おかしな結果になっていないかチェックする。
  • 計算結果が出たら、それが物理的に妥当な値か（例えば、速さが負にならないか、\(\cos\theta\) が \(\pm 1\) を超えないかなど）を考える。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • (4)の \(h_0 = \frac{5}{2}r\): 最高点の高さ \(2r\) よりも大きいので、理にかなっている（ある程度の初速を最高点でもつために、それ以上の高さから落とす必要がある）。
  • (5)の \(\cos\theta = -\frac{2}{3}\): \(\theta\) が鈍角であることを示し、円筒の上部で離れることを意味する。\(h=2r\) が \(h_0=2.5r\) より小さいので、最高点Dに達する前に離れるのは自然。
• 極端な場合を考える: 例えば、\(h\) が非常に大きい場合、\(N_2\) や \(N\) はどうなるか？ \(\theta=0\) (最下点) や \(\theta=\pi\) (最高点) で(3)の式が(2)や(4)と整合するか確認するなど。

解きっぱなしにせず、得られた答えが何を意味しているのかを考えることで、物理への理解が深まります。

この問題は多くの重要な要素を含んでいます。何度も解き直し、これらのポイントを自分のものにしてください。そうすれば、どんな応用問題にも自信を持って立ち向かえるようになりますよ！

問題43 (名古屋大＋神戸大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

こんにちは！この問題は、振り子の運動が途中で障害物に引っかかり、回転半径が変わるという面白い設定ですね。力学的エネルギー保存則や円運動の法則を段階的に適用していくことが鍵となります。一つ一つのステップを丁寧に見ていきましょう！きっと理解できるはずです。

この問題では、質点がまず点Oを中心とする振り子運動を行い、最下点Bを通過した直後からは点Pに固定された棒に糸が引っかかり、点Pを中心とする円運動に移行します。摩擦はないものとし、力学的エネルギーは保存されると考えられます。糸がゆるむ条件や、特定の点に到達するための条件などが問われています。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、「力学的エネルギー保存則」「円運動（向心力、張力）」「糸がゆるむ条件」「放物運動」といった複数の重要な物理概念を組み合わせた総合問題です。特に、運動の途中で円運動の回転中心と半径が変化する点が特徴的です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 外力や非保存力（摩擦など）が仕事をしない場合、運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定に保たれます。
2. 円運動の運動方程式: 円運動をする物体には、中心に向かう力（向心力）が働いています。運動方程式は \(m\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\) と表されます。あるいは、回転系で遠心力を考えて力のつり合いを議論することもできます。
3. 糸の張力: 糸が物体を引く力。糸がゆるむとは、この張力が \(0\) になることを意味します。
4. 放物運動: 物体が初速度を持って重力だけの影響を受けて運動するものです。

全体的な戦略としては、

1. (1) 速さ \(v_0\) の計算: 点Aから点Bへの運動に力学的エネルギー保存則を適用します。
2. (2) 張力 \(T_1, T_2\) の計算:
   • 点B直前：Oを中心とする半径 \(l\) の円運動の最下点として、半径方向の力のつり合い（遠心力考慮）または運動方程式を立てます。
   • 点B直後：Pを中心とする半径 \(l/2\) の円運動の最下点として、同様に半径方向の力のつり合いまたは運動方程式を立てます。点Bを通過する瞬間では速さは変わらないことに注意します。
3. (3) 点Cでの速さ \(v\) と \(\sin\theta_0\) の計算:
   • 糸がゆるむ条件（張力 \(T=0\)）を点Cでの円運動（中心P、半径 \(l/2\)）に適用し、力のつり合いの式を立てます。
   • 点Aから点Cへの運動に力学的エネルギー保存則を適用します。
   • 上記2つの式を連立させて \(v\) と \(\sin\theta_0\) を求めます。
4. (4) 最高到達点の計算: 点Cで糸がゆるんだ後、質点は初速 \(v\) で放物運動を始めます。点Cでの速度の鉛直成分を求め、最高点の高さを計算します。
5. (5) 初速 \(u\) の計算: 点OはPを中心とする円運動の最高点です。質点が点Oに達するためには、点Oで糸がたるまない（張力が \(0\) 以上、または遠心力が重力以上）という条件が必要です。この条件から点Oでの速さを求め、点Aから点Oへの力学的エネルギー保存則（初速 \(u\) を考慮）と結びつけます。

問1

思考の道筋とポイント

質点が点Aから点Bまで運動する間、重力のみが仕事をします（糸の張力は常に運動方向と垂直なので仕事をしません）。したがって、力学的エネルギーが保存されます。点Aを高さの基準とすると考えやすいですが、ここでは模範解答に合わせて点Bを高さの基準（高さ0）とします。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用。
• 位置エネルギーの基準点の設定。点Bを基準とすると、点Aの高さは \(l\) となります。
• 点Aでは「静かに放す」ので初速度は0。

具体的な解説と立式

点Bを位置エネルギーの基準面（高さ0）とします。

• 点Aでの力学的エネルギー \(E_{\text{力学},A}\):
  • 運動エネルギー: \(K_A = 0\) （静かに放すため）
  • 位置エネルギー: \(U_A = mgl\) （点Bを基準とした点Aの高さは \(l\)）
  • よって、\(E_{\text{力学},A} = 0 + mgl = mgl\)
• 点Bでの力学的エネルギー \(E_{\text{力学},B}\):
  • 運動エネルギー: \(K_B = \frac{1}{2}mv_0^2\) （点Bでの速さを \(v_0\) とする）
  • 位置エネルギー: \(U_B = 0\) （基準面なので）
  • よって、\(E_{\text{力学},B} = \frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_0^2\)

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},A} = E_{\text{力学},B}\) なので、
$$mgl = \frac{1}{2}mv_0^2$$

\(mgl = \frac{1}{2}mv_0^2\) の両辺から \(m\) を消去し（\(m \neq 0\)）、\(v_0\) について解きます。

$$ gl = \frac{1}{2}v_0^2 $$

両辺を2倍すると、

$$ v_0^2 = 2gl $$

速さ \(v_0\) は正なので、

$$ v_0 = \sqrt{2gl} $$

質点が点Aから点Bまで落下するとき、失った位置エネルギー (\(mgl\)) がすべて運動エネルギー (\(\frac{1}{2}mv_0^2\)) に変わります。この関係式 \(mgl = \frac{1}{2}mv_0^2\) から速さ \(v_0\) を求めます。

点Bを通過するときの速さ \(v_0\) は \(\sqrt{2gl}\) です。これは、初速度0で高さ \(l\) を自由落下した物体が得る速さと同じです。単位も \(\sqrt{[\text{m/s}^2] \cdot [\text{m}]} = [\text{m/s}]\) であり、速さの単位として正しいです。

問2

思考の道筋とポイント

• 直前 (\(T_1\)): 質点は点Oを中心とする半径 \(l\) の円運動の最下点にあります。質点には重力 \(mg\)（下向き）と張力 \(T_1\)（上向き）が働き、これらの合力が向心力となります。模範解答では遠心力を考慮した力のつり合いで解いています。
• 直後 (\(T_2\)): 質点は点Pを中心とする半径 \(l/2\) の円運動の最下点にあります。質点の速さは点Bを通過する瞬間では変わらず \(v_0\) ですが、回転中心と回転半径が変わるため、張力は変化します。同様に遠心力を考慮した力のつり合いで考えます。

この設問における重要なポイント

• 円運動の最下点における半径方向の力のつり合い（または運動方程式）。
• 点B通過の直前と直後で、円運動の半径が変わるが、速さは変わらない（接触の瞬間には力積が働かない限り、速度は急に変わらない）。

具体的な解説と立式

• 点B通過直前の張力 \(T_1\):質点は点Oを中心とする半径 \(l\) の円運動をしています。最下点Bでの速さは \(v_0 = \sqrt{2gl}\)。
  遠心力 \(F_{\text{遠心力},1} = m\frac{v_0^2}{l}\)（下向き）を考えると、力のつり合いは（上向きの張力 \(T_1\)）＝（下向きの重力 \(mg\) ＋ 下向きの遠心力 \(F_{\text{遠心力},1}\)）。
  $$T_1 = mg + m\frac{v_0^2}{l}$$
• 点B通過直後の張力 \(T_2\):質点は点Pを中心とする半径 \(r’ = l – l/2 = l/2\) の円運動に移行します。最下点Bでの速さは変わらず \(v_0 = \sqrt{2gl}\)。
  遠心力 \(F_{\text{遠心力},2} = m\frac{v_0^2}{l/2}\)（下向き）を考えると、力のつり合いは同様に、
  $$T_2 = mg + m\frac{v_0^2}{l/2}$$

• \(T_1\) の計算:\(v_0^2 = 2gl\) を \(T_1 = mg + m\frac{v_0^2}{l}\) に代入します。
  $$T_1 = mg + m\frac{2gl}{l} = mg + 2mg = 3mg$$
• \(T_2\) の計算:\(v_0^2 = 2gl\) を \(T_2 = mg + m\frac{v_0^2}{l/2}\) に代入します。
  $$T_2 = mg + m\frac{2gl}{l/2} = mg + m\frac{2gl \cdot 2}{l} = mg + 4mg = 5mg$$

円運動の最も低い点では、糸の張力は質点の重力を支えるだけでなく、質点を円軌道に沿って運動させるための向心力（あるいは遠心力とつりあう成分）も提供しなければなりません。

【直前】回転半径が \(l\) の場合、張力 \(T_1\) は重力 \(mg\) と遠心力 \(m\frac{v_0^2}{l}\) の和です。

【直後】回転半径が \(l/2\) と小さくなると、同じ速さでもより急なカーブを描くことになるため、遠心力が大きくなり、それを支える張力 \(T_2\) も大きくなります。

点B通過直前の張力 \(T_1 = 3mg\)、直後の張力 \(T_2 = 5mg\)。
質点の速さは変わらないにもかかわらず、回転半径が半分になることで張力が \(3mg\) から \(5mg\) へと不連続に増加します。これは、より小さい半径で同じ速さの円運動を維持するためには、より大きな向心力（したがってより大きな張力）が必要になるためで、物理的に妥当な結果です。

問3

思考の道筋とポイント

「糸がゆるみ始めた」とは、その瞬間の糸の張力が \(T=0\) になったことを意味します。質点は点Pを中心とする半径 \(r’ = l/2\) の円運動をしています。点Cにおいて、半径方向の力のつり合い（遠心力考慮）を考えます。また、点Aから点Cまでの力学的エネルギー保存則も用います。これら2つの式を連立させて、未知数である \(v\) と \(\sin\theta_0\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 「糸がゆるむ」条件を \(T=0\) と正しく数式化すること。
• 点Cにおける半径方向の力の成分を正確に把握すること。図より、PCが水平となす角が \(\theta_0\) であるため、重力の半径方向（PC方向）の成分は \(mg\sin\theta_0\) となり、これは円の中心Pへ向かう向きです。
• 点Cの高さを正しく計算し、力学的エネルギー保存則を適用すること。

具体的な解説と立式

• 点Cでの力のつり合い (糸がゆるむ条件 \(T=0\)):点Cにおいて、質点は点Pを中心とする半径 \(r’ = l/2\) の円運動をしています。糸の張力が \(T=0\) になったとします。
  質点にはたらく力は、重力 \(mg\) と遠心力 \(F_{\text{遠心力},C} = m\frac{v^2}{l/2}\)（PCに沿って外向き）。
  重力 \(mg\) の、PCに沿った方向（円の中心Pへ向かう向き）の成分は \(mg\sin\theta_0\) です。（PCと水平線のなす角が \(\theta_0\) なので、PCと鉛直線のなす角は \(90^\circ – \theta_0\)。したがって、重力のPC方向成分は \(mg\cos(90^\circ – \theta_0) = mg\sin\theta_0\)）。
  半径方向の力のつり合いより、（PCに沿って外向きの遠心力）＝（PCに沿って内向きの重力成分）。
  $$m\frac{v^2}{l/2} = mg\sin\theta_0 \quad \cdots (式①)$$
• 点Aから点Cまでの力学的エネルギー保存則:点Bを位置エネルギーの基準（高さ0）とします。
  点Aの高さは \(l\)。点Aでの力学的エネルギーは \(E_{\text{力学},A} = mgl\)。
  点Pの高さは \(l/2\)。点Cは、点Pから見て水平線と角 \(\theta_0\) をなす位置にあり、PCの長さは \(l/2\)。したがって、点CのPからの鉛直上向きの高さは \((l/2)\sin\theta_0\)。
  よって、点Cの点Bを基準とした高さ \(h_C\) は、\(h_C = (\text{Pの高さ}) + (\text{CのPからの高さ}) = \frac{l}{2} + \frac{l}{2}\sin\theta_0\)。
  点Cでの力学的エネルギーは \(E_{\text{力学},C} = \frac{1}{2}mv^2 + mg\left(\frac{l}{2} + \frac{l}{2}\sin\theta_0\right)\)。
  エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},A} = E_{\text{力学},C}\) なので、
  $$mgl = \frac{1}{2}mv^2 + mg\left(\frac{l}{2} + \frac{l}{2}\sin\theta_0\right) \quad \cdots (式②)$$

(式①) より
$$ v^2 = \frac{gl}{2}\sin\theta_0 $$

これを (式②) に代入します。まず (式②) の両辺を \(mg\) で割ると（\(mg \neq 0\)）、
$$l = \frac{1}{2g}v^2 + \left(\frac{l}{2} + \frac{l}{2}\sin\theta_0\right)$$
ここに \(v^2 = \frac{gl}{2}\sin\theta_0\) を代入すると、
$$l = \frac{1}{2g}\left(\frac{gl}{2}\sin\theta_0\right) + \frac{l}{2} + \frac{l}{2}\sin\theta_0$$
$$l = \frac{l}{4}\sin\theta_0 + \frac{l}{2} + \frac{l}{2}\sin\theta_0$$
両辺を \(l\) で割ると（\(l \neq 0\)）、
$$1 = \frac{1}{4}\sin\theta_0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sin\theta_0$$
移項して整理すると、
$$1 – \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{4} + \frac{2}{4}\right)\sin\theta_0$$
$$\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\sin\theta_0$$
よって、
$$\sin\theta_0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$

次に、この \(\sin\theta_0\) の値を \(v^2 = \frac{gl}{2}\sin\theta_0\) に代入して \(v\) を求めます。
$$v^2 = \frac{gl}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{gl}{3}$$
速さ \(v\) は正なので、
$$v = \sqrt{\frac{gl}{3}}$$

糸がゆるむ点Cでは、糸の張力が \(0\) になります。このとき、質点にはたらく遠心力と重力の半径方向の成分がつり合っています（式①）。また、質点が点Aから点Cまで運動する間、力学的エネルギーは保存されます（式②）。この2つの式を連立方程式として解くことで、点Cでの速さ \(v\) と角度 \(\sin\theta_0\) が求まります。

糸がゆるみ始める点Cでの速さ \(v = \sqrt{\frac{gl}{3}}\)、そのときの角度について \(\sin\theta_0 = \frac{2}{3}\)。
\(\sin\theta_0 = 2/3\) は \(0\) より大きく \(1\) より小さいので、このような角度 \(\theta_0\) (約 \(41.8^\circ\)) は実在します。このとき質点は点Pより上方にあり、円運動の途中で糸がゆるむ状況として妥当です。

問4

思考の道筋とポイント

点Cで糸がゆるんだ瞬間から、質点は初速 \(v = \sqrt{\frac{gl}{3}}\) で、その速度方向（円の接線方向）に投げ出されたのと同じ放物運動を始めます。この放物運動で到達する最高点の高さを求めます。最高点では鉛直方向の速度成分が \(0\) になります。

この設問における重要なポイント

• 点Cでの速度の向き（円の接線方向）と、その鉛直成分を正しく求めること。PCが水平となす角が \(\theta_0\) なので、接線（速度の向き）が鉛直となす角は \(\theta_0\) となる（図形的考察より）。
• 鉛直投げ上げ運動の公式の適用。

具体的な解説と立式

点Cでの質点の速さは \(v = \sqrt{\frac{gl}{3}}\)。糸PCが水平となす角は \(\theta_0\) です。
速度 \(v\) の方向は、円軌道の接線方向です。半径PCと接線は垂直です。
PCが水平となす角が \(\theta_0\) なので、速度 \(v\) の方向が鉛直方向となす角は \(\theta_0\) となります。
したがって、点Cでの速度の鉛直成分 \(v_{yC}\) は、
$$v_{yC} = v\cos\theta_0$$
点Cから質点が上がる最高の高さを \(y\)（点Cからの高さ）とすると、最高点では鉛直方向の速度が \(0\) になるので、鉛直投げ上げの公式 \(v_f^2 – v_i^2 = 2ay\) を用いて、
$$0^2 – (v\cos\theta_0)^2 = 2(-g)y$$
ここで、\(\cos\theta_0\) の値が必要です。\(\sin\theta_0 = \frac{2}{3}\) であり、図から \(\theta_0\) は鋭角と考えられるので \(\cos\theta_0 > 0\)。
三角関数の関係式 \(\sin^2\theta_0 + \cos^2\theta_0 = 1\) より、
$$\cos^2\theta_0 = 1 – \sin^2\theta_0 = 1 – \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 – \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$
よって、\(\cos\theta_0 = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\)。

$$ y = \frac{(v\cos\theta_0)^2}{2g} = \frac{v^2\cos^2\theta_0}{2g} $$

ここに、\(v^2 = \frac{gl}{3}\) と \(\cos^2\theta_0 = \frac{5}{9}\) を代入します。
$$y = \frac{\left(\frac{gl}{3}\right) \cdot \left(\frac{5}{9}\right)}{2g} = \frac{\frac{5gl}{27}}{2g}$$
分母分子の \(g\) を消去すると、
$$y = \frac{5l/27}{2} = \frac{5l}{54}$$

点Cで糸がゆるむと、質点はその瞬間の速度で斜め上に飛び出します。これはボールを斜めに投げ上げるのと同じ放物運動です。その初速度の鉛直方向の成分を使って、どれだけの高さまで上昇するかを計算します。

質点は点Cから \(\frac{5l}{54}\) の高さまで上がります。これは点Cからの相対的な高さです。
\(\frac{5}{54}l \approx 0.0926l\)。小さな値ですが、物理的に妥当な範囲と考えられます。

問5

思考の道筋とポイント

質点が点Oに達するということは、点Pを中心とする半径 \(r’ = l/2\) の円運動の最高点（点O）に到達することを意味します。最高点Oで質点が円軌道から離れない（糸がたるまない）ための条件は、点Oでの張力 \(T_O\) が \(0\) 以上であることです。ギリギリ達する場合は \(T_O=0\) となります。この条件から点Oでの速さを求め、次に点Aから点Oまでの力学的エネルギー保存則（初速 \(u\) を考慮）を適用して \(u\) を求めます。模範解答では、点Oでの速さを \(u\) とは別の文字でおかずに、最終的に求める初速 \(u\) と同じになると結論付けています。

この設問における重要なポイント

• 円運動の最高点で糸がたるまない条件（またはギリギリたるむ条件）。
• 点Aと点Oの高さが同じであるため、力学的エネルギー保存則を適用すると、運動エネルギーの変化と初速の関係がシンプルになること。

具体的な解説と立式

• 点Oでの条件 (円運動の最高点):点Oは、点Pを中心とする半径 \(r’ = l/2\) の円運動の最高点です。点Oでの質点の速さを \(v_O\) とします。
  質点にはたらく力は、重力 \(mg\)（鉛直下向き）と糸の張力 \(T_O\)（鉛直下向き）。これらの合力が向心力となります。
  半径方向（鉛直下向きを正）の運動方程式は、
  $$m\frac{v_O^2}{l/2} = mg + T_O$$
  質点が点Oに達するための最小の条件（ギリギリたるまない条件）は \(T_O=0\) のときです。
  このとき、\(m\frac{v_O^2}{l/2} = mg\)。
  よって、\(v_O^2 = \frac{gl}{2}\)、あるいは \(v_O = \sqrt{\frac{gl}{2}}\) (速さなので \(v_O > 0\))。
  これが、点Oを通過できる最小の速さです。
• 点Aから点Oまでの力学的エネルギー保存則:点Aで鉛直下向きに初速 \(u\) を与えます。点Aと点Oは同じ高さにあります。
  点Aを位置エネルギーの基準（高さ0）とします。
  点Aでの力学的エネルギー: \(E_{\text{力学},A} = \frac{1}{2}mu^2 + 0 = \frac{1}{2}mu^2\)
  点Oでの力学的エネルギー: \(E_{\text{力学},O} = \frac{1}{2}mv_O^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_O^2\)
  （点Oの高さも点Aと同じなので位置エネルギーは0）
  力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},A} = E_{\text{力学},O}\) なので、
  $$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv_O^2$$
  したがって、\(u^2 = v_O^2\)。速さは正なので \(u = v_O\)。

上記より、必要な初速 \(u\) は、点Oを通過できる最小の速さ \(v_O\) に等しい。
$$u = v_O = \sqrt{\frac{gl}{2}}$$

質点が点O（円運動のてっぺん）にギリギリ到達するためには、点Oである程度の速さを持っている必要があります。この速さは、点Oで遠心力と重力がつり合う（張力がちょうど0になる）条件から求まります。
一方、点Aと点Oは同じ高さなので、途中でエネルギーの損失がなければ、点Aで与えた運動エネルギーがそのまま点Oでの運動エネルギーになります。つまり、点Aでの初速が、点Oで必要な速さそのものになります。

点Aで質点に与えるべき鉛直下向きの初速 \(u\) は \(\sqrt{\frac{gl}{2}}\) です。
この速さで打ち出せば、質点はちょうど点Oに達し、その瞬間には糸の張力が \(0\) になっている（ギリギリたるまない）状態となります。これより初速が小さいと点Oに達する前に落下し、これより大きいと点Oを通過してさらに運動を続けることになります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則: 摩擦がない場面での基本法則。どの区間で適用するか、基準点をどこに置くかがポイント。
• 円運動の動力学: 向心力、遠心力、張力といった、円運動特有の力の扱いに習熟することが不可欠。特に最下点、最高点、一般点での力の関係を理解すること。
• 運動の変化点での条件: 糸が障害物に引っかかり回転半径が変わる点(B)、糸がゆるむ点(C)など、運動の状況が変化する点での物理的条件（速さは連続、張力は不連続に変化しうる、張力=0など）を正確に捉えること。
• 放物運動: 糸がゆるんだ後の運動は、重力のみを受ける放物運動として扱われる。初速度の分解が鍵。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • 振り子の途中に釘があり回転半径が変わる問題。
  • ジェットコースターのループなど、円運動の途中で物体が面から離れるかどうかの判定問題。
  • 糸や棒でつながれた物体の円運動で、張力や抗力が \(0\) になる条件を扱う問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 運動のフェーズ分け: 質点の運動が、どの点を境にどのように変化するか（例: O中心の円運動 \(\rightarrow\) P中心の円運動 \(\rightarrow\) 放物運動）。
  2. 各フェーズで保存されるものは何か、変化するものは何か: エネルギーは保存されるか？ 回転半径は？ 張力は？
  3. キーワードの物理的解釈: 「静かに放す」(\(v=0\))、「糸がゆるむ」(\(T=0\))、「点Oに達する」（円運動の最高点での条件）。
  4. 図を丁寧に描く: 力のベクトル、角度、高さの関係などを正確に図示し、立式の助けとする。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 各局面で、どの点を回転中心として考えるのかを明確にする。
  • エネルギー保存則を立てる際は、始点と終点の状態（速さ、高さ）を正確に把握する。
  • 円運動の式を立てる際は、半径方向の力を全てリストアップし、向きに注意して運動方程式または力のつり合いの式を作る。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• (2)の \(T_1\) と \(T_2\): 点Bを通過する瞬間、速さは同じでも回転半径が変わるため、張力は不連続に変化することを見落としやすい。
• (3)の \(\sin\theta_0\): 図における \(\theta_0\) の定義（PCと水平線のなす角）から、重力の半径方向成分を \(mg\sin\theta_0\) と正しく導けるか。また、エネルギー保存則での点Cの高さの計算。
• (4)の放物運動の初速の分解: 点Cでの速度 \(v\) は円の接線方向。この速度ベクトルが鉛直方向となす角を正しく \(\theta_0\) と判断できるか（幾何学的考察）。
• (5)の「点Oに達する」条件: これを単に「点Oに到達すればよい」と捉えず、「円運動の最高点として、糸がたるまずに通過できる」条件として捉える必要がある。

対策:

• 各物理量の定義（特に角度）を正確に把握し、図と照らし合わせる。
• 条件が変わる点では、変化しない量（速さなど）と変化する量（半径、張力など）を区別する。
• 公式を丸暗記するのではなく、その導出過程や意味を理解する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった図:
  1. 全体の運動軌跡の概略図: 質点がA→B→C→放物運動、あるいはA→B→P周りの円運動→Oという流れを把握する。
  2. 各注目点 (B, C, O) での力のベクトル図: 重力、張力、遠心力（または向心力に関わる力）を明示する。
  3. 点CやOでの角度の関係を示す図: \(\theta_0\) の定義、速度の方向、力の分解に必要な角度などを明確にする。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 回転中心がどこかを常に意識する（OかPか）。
  • 力の向きを正確に（特に張力は糸に沿って引く向き、重力は鉛直下向き、遠心力は中心から離れる向き）。
  • 速度ベクトルは常に軌道の接線方向。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則: 「なめらかな面」「なめらかな棒」「仕事をするのは重力のみ」という条件から適用。
• 円運動の運動方程式/力のつり合い: 質点が円軌道を描いている部分で適用。半径方向の力を特定し、向心力との関係（または遠心力とのつり合い）を記述。
• \(T=0\): 「糸がゆるむ」という現象の数学的表現。

これらの公式が使える「なぜなら～だから」という根拠を、常に自分の中で説明できるようにすることが大切。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) A \(\rightarrow\) B: エネルギー保存 \(\Rightarrow v_0\)。
2. (2) B直前: O中心円運動、最下点 \(\Rightarrow T_1\)。 B直後: P中心円運動、最下点（半径変化） \(\Rightarrow T_2\)。
3. (3) C点: \(T=0\) で力のつり合い + A \(\rightarrow\) C エネルギー保存 \(\Rightarrow v, \sin\theta_0\)。
4. (4) C点以降: 放物運動。初速 \(v\)、射出角から鉛直成分計算 \(\Rightarrow\) 最高点の高さ。
5. (5) O点: P中心円運動、最高点、\(T_O \ge 0\) (\(T_O=0\) がギリギリ) \(\Rightarrow v_O\)。 A \(\rightarrow\) O エネルギー保存（初速 \(u\)） \(\Rightarrow u\)。

このように、問題全体をいくつかのステップに分解し、各ステップで適切な法則を適用する流れを掴むことが重要。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべき点:
  • (2)の \(T_2\) で分母の半径が \(l/2\) になる点。
  • (3)の連立方程式の計算（代入、整理）。
  • (4)の \(\cos\theta_0\) の計算と、その後の \(v^2\cos^2\theta_0\) の値の代入。
  • (5)の \(v_O^2 = gl/2\) の導出と、その後の \(u=v_O\)。
• 日頃の練習:
  • 複雑な計算でも、一つ一つのステップを丁寧に書き出す。
  • 文字式のまま計算を進め、最後に値を代入する方がミスが減る場合もある。
  • 計算結果の単位や、物理的な妥当性（例：\(\sin\theta_0 \le 1\)）を常にチェックする。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • \(T_2 > T_1\): 半径が小さくなったので、同じ速さでもより大きな張力が必要。妥当。
  • \(\sin\theta_0 = 2/3 < 1\): 物理的にあり得る角度。
  • (4)の高さ \(y\): 正の値であり、\(l\) に比例する。
  • (5)の \(u\): 正の値。\(l\) と \(g\) の組み合わせで速度の次元になっている。
• 特殊なケースを考える: 例えば、もし棒Pの位置が異なったらどうなるか？初速が \(0\) の場合に点Oに到達できるか？（できない、\(u=0\) だと \(v_O=0\) となり \(mg=0\) で矛盾）

解の数値を具体的なイメージと結びつける（例：\(\sin\theta_0=2/3\) は約42度なので、水平よりかなり上でゆるむ）。

この問題のように、複数の物理現象が組み合わさった問題は、それぞれの局面で基本に立ち返って考えることが大切です。今回の経験を活かして、さらに難しい問題にも挑戦していきましょう！応援しています！

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問題44 (北海道大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

こんにちは！この半円柱を滑り降りる小球の問題、一見シンプルに見えますが、エネルギー保存則や円運動の理解を深めるのにとても良い問題ですね。一緒に一つ一つの空欄を丁寧に埋めていきましょう。

この問題は、質量 \(m\) の小球が、半径 \(a\) の滑らかな半円柱の頂点Aから静かに滑り出し、円柱面上の点Pを通過し、やがて面を離れて放物運動をし、水平面上の点Qに到達するまでの一連の運動を扱います。摩擦はないので、力学的エネルギーは保存されます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の主なテーマは、「力学的エネルギー保存則」と「円運動」、そして「放物運動」です。これらの物理法則を各局面で正しく適用することが鍵となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 力学的エネルギー保存則: 摩擦がないため、小球の運動エネルギーと位置エネルギーの和は常に一定です。
2. 円運動の運動方程式 (向心力): 小球が円柱面上を運動している間は円運動の一部と見なせます。半径方向の運動方程式を立てることで、垂直抗力などを求めることができます。
3. 物体が面から離れる条件: 物体が面から離れる瞬間は、面からの垂直抗力が \(0\) になるときです。
4. 放物運動: 面から離れた後の小球は、重力のみを受けて放物運動をします。

全体的な戦略としては、

1. (1) 点Pでの速さ: 点Aと点Pの間で力学的エネルギー保存則を適用します。
2. (2) 点Pで小球が円柱面を押す力: 点Pでの半径方向の運動方程式を立てて垂直抗力を求め、その反作用として小球が面を押す力を求めます。
3. (3) 面を離れるときの \(\cos\theta_0\): (2)で求めた垂直抗力の式で、垂直抗力が \(0\) になる条件から \(\cos\theta_0\) を求めます。
4. (4) 面を離れるときの速さ \(v_0\): (1)で求めた速さの式に、(3)で求めた \(\cos\theta_0\) を代入します。
5. (5) Q点での速さ \(v_1\): 小球が面を離れた点とQ点の間で力学的エネルギー保存則を適用します。

解説 (1)

思考の道筋とポイント

小球が最高点Aから点Pまで滑り降りる間、摩擦はなく重力のみが仕事をするため、力学的エネルギーが保存されます。水平面（点Oを通る面）を位置エネルギーの基準面（高さ0）とします。

この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則の適用。
• 位置エネルギーの基準点と各点の高さの正確な把握。点Aの高さは \(a\)、点Pの高さは \(a\cos\theta\)。
• 点Aでは「静かに置く」ので初速度は0。

具体的な解説と立式

水平面（点Oを通る面）を位置エネルギーの基準面（高さ \(0\)）とします。

• 点Aでの力学的エネルギー \(E_{\text{力学},A}\):
  • 運動エネルギー \(K_A = 0\) （静かに置くため）。
  • 位置エネルギー \(U_A = mga\) （点Aは基準面から高さ \(a\)）。
  • よって、\(E_{\text{力学},A} = mga\)。
• 点Pでの力学的エネルギー \(E_{\text{力学},P}\):点Pでの速さを \(v_P\) とします。
  点Pの高さ \(h_P\) は、図から \(a\cos\theta\) です (\(\angle \text{AOP} = \theta\) なので、Oからの鉛直上向きの高さ)。
  • 運動エネルギー \(K_P = \frac{1}{2}mv_P^2\)。
  • 位置エネルギー \(U_P = mga\cos\theta\)。
  • よって、\(E_{\text{力学},P} = \frac{1}{2}mv_P^2 + mga\cos\theta\)。

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},A} = E_{\text{力学},P}\) なので、
$$mga = \frac{1}{2}mv_P^2 + mga\cos\theta$$

\(mga = \frac{1}{2}mv_P^2 + mga\cos\theta\) の両辺から \(m\) を消去し（\(m \neq 0\)）、\(\frac{1}{2}v_P^2\) について解きます。

$$ga = \frac{1}{2}v_P^2 + ga\cos\theta$$
$$\frac{1}{2}v_P^2 = ga – ga\cos\theta = ga(1-\cos\theta)$$

両辺を2倍すると、

$$v_P^2 = 2ga(1-\cos\theta)$$

速さ \(v_P\) は正なので、

$$v_P = \sqrt{2ga(1-\cos\theta)}$$

これが空欄(1)の答えです。

小球が点Aから点Pに滑り降りるとき、高さが \(a\) から \(a\cos\theta\) に変わります。この間に減少した位置エネルギー \(mga – mga\cos\theta = mga(1-\cos\theta)\) が、すべて運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv_P^2\) に変わったと考えます。

点Pでの速さは \(\sqrt{2ga(1-\cos\theta)}\) です。
\(\theta=0\) のとき（点A）は \(v_P = \sqrt{2ga(1-1)} = 0\) となり、初速度0と一致します。
\(\theta=\pi/2\) のとき（円柱の側面でOと同じ高さの点）は \(v_P = \sqrt{2ga(1-0)} = \sqrt{2ga}\) となります。
単位も \(\sqrt{[\text{m/s}^2] \cdot [\text{m}]} = [\text{m/s}]\) であり、速さの単位として正しいです。

解説 (2)

思考の道筋とポイント

小球が円柱面を押す力は、円柱面が小球を押す力（垂直抗力）の反作用です。まず垂直抗力 \(N_P\) を求めます。点Pにおいて、小球は円運動の一部をなしており、半径方向の運動方程式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 円運動の半径方向の運動方程式（向心力）。
• 重力を半径方向と接線方向に分解すること。
• 小球が面を押す力は、面が小球を押す垂直抗力の反作用であること。

具体的な解説と立式

点Pにおいて、小球にはたらく力は、

• 重力 \(mg\)（鉛直下向き）
• 円柱面からの垂直抗力 \(N_P\)（半径方向外向き、つまり中心Oから点Pへ向かう向き）

これらの力を円の半径方向（中心Oへ向かう向きを正とする）に分解します。

• 垂直抗力 \(N_P\) は、半径方向外向きなので、運動方程式では \(-N_P\) となります。 (あるいは、\(N_P\) を中心向きの力として定義し、最後にその大きさを求める方法もあります。ここでは、\(N_P\) を面から受ける力として外向きとします。）
• 重力 \(mg\) の半径方向成分（中心Oへ向かう向き）は \(mg\cos\theta\) です。

点Pでの速さは \(v_P = \sqrt{2ga(1-\cos\theta)}\) です。
半径方向の運動方程式 \(m\frac{v^2}{r} = F_{\text{向心}}\) を立てます。ここで半径は \(a\)、向心力は中心Oへ向かう力の合力です。
中心Oへ向かう向きを正とすると、向心力は \(mg\cos\theta – N_P\) となります。
$$m\frac{v_P^2}{a} = mg\cos\theta – N_P$$
ここから垂直抗力 \(N_P\) を求めます。
$$N_P = mg\cos\theta – m\frac{v_P^2}{a}$$

\(N_P = mg\cos\theta – m\frac{v_P^2}{a}\) に、(1)で求めた \(v_P^2 = 2ga(1-\cos\theta)\) を代入します。
$$N_P = mg\cos\theta – m\frac{2ga(1-\cos\theta)}{a}$$
$$N_P = mg\cos\theta – 2mg(1-\cos\theta)$$
$$N_P = mg\cos\theta – 2mg + 2mg\cos\theta$$
$$N_P = 3mg\cos\theta – 2mg = mg(3\cos\theta – 2)$$
小球が円柱面を押す力 \(F_{\text{押}}\) は、この垂直抗力 \(N_P\) の反作用なので、大きさは等しくなります。
$$F_{\text{押}} = N_P = mg(3\cos\theta – 2)$$
これが空欄(2)の答えです。

点Pで小球はカーブを描いて運動しています。このとき、円柱面が小球を支える力（垂直抗力 \(N_P\)）と、重力の半径方向成分 \(mg\cos\theta\) の差が、円運動に必要な向心力 \(m\frac{v_P^2}{a}\) となっています。この関係から垂直抗力 \(N_P\) を求め、その反作用として小球が面を押す力を答えます。

点Pで小球が円柱面を押す力は \(mg(3\cos\theta – 2)\) です。
\(\theta=0\) のとき（点A）、\(F_{\text{押}} = mg(3\cos0 – 2) = mg(3-2) = mg\)。これは、頂点Aで小球が静止している（実際には滑り始める直前）と考えると、重力 \(mg\) のうち面を押す成分が \(mg\cos0 = mg\) であり、この瞬間の速度は0なので遠心的な効果はないですが、運動方程式からは \(N_P=mg\)。妥当です。
もし、\(3\cos\theta – 2 < 0\) になると \(N_P\) が負となり、これは小球が面から離れていることを意味します（実際には垂直抗力は負になれないので0になる）。

解説 (3)

思考の道筋とポイント

小球が円柱面を離れるのは、円柱面から受ける垂直抗力 \(N_P\) が \(0\) になるときです。(2)で求めた垂直抗力の式を \(0\) とおき、そのときの角度を \(\theta_0\) として \(\cos\theta_0\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 面から離れる条件は垂直抗力 \(N=0\)。
• (2)で求めた \(N_P\) の一般式を利用する。

具体的な解説と立式

小球が円柱面を離れるとき、垂直抗力 \(N_P = 0\)。
(2)で求めた \(N_P = mg(3\cos\theta – 2)\) より、離れるときの角度を \(\theta_0\) とすると、
$$mg(3\cos\theta_0 – 2) = 0$$

\(mg \neq 0\) なので、括弧の中が \(0\) になります。
$$3\cos\theta_0 – 2 = 0$$
$$3\cos\theta_0 = 2$$
$$\cos\theta_0 = \frac{2}{3}$$
これが空欄(3)の答えです。

小球が円柱面を滑り降りていくと、だんだん円柱面を押し付ける力が弱くなっていき、ある角度 \(\theta_0\) でついに面から離れてしまいます。この「離れる瞬間」は、円柱面が小球を支える力（垂直抗力）がちょうど \(0\) になったときです。この条件を(2)で求めた力の式に入れて計算します。

小球が円柱面を離れるときの \(\cos\theta_0 = \frac{2}{3}\) です。
\(\cos\theta_0 \approx 0.667\) なので、\(\theta_0\) は鋭角（約 \(48.2^\circ\)）であり、半円柱の頂点と水平面の間で離れることになり、物理的に妥当です。

解説 (4)

思考の道筋とポイント

小球が円柱面を離れる瞬間の速さ \(v_0\) を求めます。これは、(1)で求めた点Pでの速さの一般式 \(v_P = \sqrt{2ga(1-\cos\theta)}\) に、(3)で求めた面を離れるときの条件 \(\cos\theta = \cos\theta_0 = \frac{2}{3}\) を代入することで得られます。

この設問における重要なポイント

• (1)で求めた速さの一般式と、(3)で求めた面を離れるときの角度の条件を結びつける。

具体的な解説と立式

(1)で求めた、角度 \(\theta\) のきの速さの二乗は \(v_P^2 = 2ga(1-\cos\theta)\) でした。
面を離れるときの角度が \(\theta_0\) で、そのときの速さが \(v_0\) なので、
$$v_0^2 = 2ga(1-\cos\theta_0)$$
ここに、(3)で求めた \(\cos\theta_0 = \frac{2}{3}\) を代入します。

$$v_0^2 = 2ga\left(1 – \frac{2}{3}\right)$$
$$v_0^2 = 2ga\left(\frac{3-2}{3}\right) = 2ga\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2ga}{3}$$

速さ \(v_0\) は正なので、

$$v_0 = \sqrt{\frac{2ga}{3}}$$

これが空欄(4)の答えです。

(1)で、ある角度 \(\theta\) のときの速さを求める式を作りました。小球が面から離れるときの角度 \(\theta_0\) は(3)で分かったので、そのときの角度を(1)の速さの式に入れて計算すれば、面から離れる瞬間の速さ \(v_0\) が求まります。

円柱面を離れるときの小球の速さ \(v_0 = \sqrt{\frac{2ga}{3}}\) です。
この速さで、角度 \(\theta_0\) の方向（円柱面の接線方向）に投げ出される形で放物運動を開始します。

解説 (5)

思考の道筋とポイント

小球が円柱面を離れた点（この点をR点とします）から水平面上のQ点に到達するまで、小球は重力のみを受けて放物運動をします。この間も力学的エネルギーは保存されます。R点の高さと速さ（\(v_0\)）、Q点の高さ（水平面なので0）を用いてエネルギー保存則を適用します。

この設問における重要なポイント

• 面を離れた後の運動は放物運動であり、力学的エネルギーが保存される。
• 面を離れる点Rの高さと、Q点の高さを正しく設定する。

具体的な解説と立式

小球が円柱面を離れる点Rは、角度が \(\theta_0\) で \(\cos\theta_0 = \frac{2}{3}\) の位置です。
水平面（点Oを通る面、Q点が存在する面）を位置エネルギーの基準面（高さ \(0\)）とします。

• 点R（面を離れる点）での状態:
  • 高さ \(h_R = a\cos\theta_0 = a \cdot \frac{2}{3} = \frac{2a}{3}\)。
  • 速さ \(v_0 = \sqrt{\frac{2ga}{3}}\)。
  • 点Rでの力学的エネルギー \(E_{\text{力学},R} = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_R\)。
• 点Q（水平面上の落下点）での状態:
  • 高さ \(h_Q = 0\)。
  • 速さ \(v_1\)。
  • 点Qでの力学的エネルギー \(E_{\text{力学},Q} = \frac{1}{2}mv_1^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_1^2\)。

力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{力学},R} = E_{\text{力学},Q}\) なので、
$$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_R = \frac{1}{2}mv_1^2$$
あるいは、もっと簡単に、小球が最初に置かれた点Aと、最終的に到達する点Qの間でも力学的エネルギーは保存されます（途中の経路によらず）。
点Aの高さは \(a\)、初速0。点Qの高さは \(0\)、速さ \(v_1\)。
$$mga + 0 = \frac{1}{2}mv_1^2 + 0$$

（簡単な方の、点Aと点Qでのエネルギー保存則を用いる）
$$mga = \frac{1}{2}mv_1^2$$

両辺の \(m\) を消去し、\(v_1^2\) について解くと、

$$v_1^2 = 2ga$$

速さ \(v_1\) は正なので、

$$v_1 = \sqrt{2ga}$$

これが空欄(5)の答えです。

（点Rと点Qでのエネルギー保存則から計算した場合）

$$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh_R = \frac{1}{2}mv_1^2$$

\(v_0^2 = \frac{2ga}{3}\) と \(h_R = \frac{2a}{3}\) を代入します。
$$\frac{1}{2}m\left(\frac{2ga}{3}\right) + mg\left(\frac{2a}{3}\right) = \frac{1}{2}mv_1^2$$
$$\frac{mga}{3} + \frac{2mga}{3} = \frac{1}{2}mv_1^2$$
$$\frac{3mga}{3} = \frac{1}{2}mv_1^2$$
$$mga = \frac{1}{2}mv_1^2$$

結果は同じく \(v_1 = \sqrt{2ga}\) となります。

小球が面から離れた後、Q点に落ちるまでの間も、空気抵抗がなければ力学的エネルギーは保存されます。面を離れた瞬間の運動エネルギーと位置エネルギーの和が、Q点に落ちた瞬間の運動エネルギー（位置エネルギーは0）と等しくなります。
もっと簡単なのは、一番最初の点Aと最後の点Qの間でエネルギー保存を考えることです。点Aでの位置エネルギーが、すべて点Qでの運動エネルギーに変わったと考えられます。

Q点に到達するときの速さ \(v_1 = \sqrt{2ga}\) です。
これは、小球が最初にあった点Aの高さ \(a\) から直接水平面まで自由落下（あるいは摩擦なく滑り落ちた）場合の速さと同じです。途中で面から離れて放物運動をしても、最終的に同じ高さ（水平面）に達したときの速さは、力学的エネルギー保存則により、初めの全エネルギーに依存することを示しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力学的エネルギー保存則: 摩擦のない運動では、運動エネルギーと位置エネルギーの和が常に一定であるという、非常に強力な法則です。特に、複雑な経路をたどる運動でも、始点と終点の状態だけで速さなどを議論できる場合があります（(5)など）。
• 円運動の運動方程式（向心力）: 物体が円軌道を描くためには、常に円の中心に向かう力（向心力）が必要です。この向心力は、重力や垂直抗力などの合力によって供給されます。半径方向の運動方程式を立てることが基本です。
• 物体が面から離れる条件 (\(N=0\)): 物体が曲面から離れる瞬間は、面からの垂直抗力が \(0\) になる瞬間であるという物理的な理解が重要です。これにより、離れる位置や速さを決定できます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • 半球上や円筒内面・外面を物体が滑る運動。
  • ジェットコースターのループなど、円運動の途中で物体が面から離れるかどうかを判定する問題。
  • 振り子の運動で、糸の張力が \(0\) になる（ゆるむ）条件を考える問題。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 保存則の確認: まず、力学的エネルギーが保存されるか（摩擦や非保存力の仕事がないか）を確認します。
  2. 運動の種類の特定: 直線運動か、円運動か、放物運動か、あるいはそれらの組み合わせかを見極めます。
  3. 力の図示: 各局面で物体にはたらく力を正確に図示し、特に円運動の場合は半径方向と接線方向に分解することを考えます。
  4. 「離れる」「ゆるむ」「ギリギリ」の条件: これらのキーワードを \(N=0\) や \(T=0\) のような数式条件に置き換えます。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 位置エネルギーの基準点はどこに取ると計算が楽になるか考える。
  • 角度 \(\theta\) の定義（どこを基準にした角度か）を正確に読み取る。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位置エネルギーの高さの取り違え: 基準面からの高さを正確に計算すること。特に角度 \(\theta\) を用いた三角関数での表現。
• 力の分解の誤り: 円運動における重力の半径方向成分（\(mg\cos\theta\) か \(mg\sin\theta\) かなど）を間違えないように、図を描いて確認する。
• 向心力の向きと運動方程式の符号: 運動方程式を立てる際に、正の向きをどちらに取るか、各力の成分の符号をどうするかを明確にする。
• 「面から離れる」と「速さが0になる」の混同: 面から離れるとき、一般に速さは \(0\) ではありません。垂直抗力が \(0\) になることが条件です。

対策:

• 基本に忠実に、定義から式を立てる練習をする。
• 多くの類題を解き、様々な状況での力の扱いに慣れる。
• 計算ミスを減らすため、途中式を丁寧に書く。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった図:
  1. 小球の運動経路と各点の位置関係を示す図: A, O, P, R(離れる点), Q の位置関係、特に高さと角度。
  2. 点Pや離れる点Rでの力のベクトル図: 重力、垂直抗力を描き、必要に応じて半径方向と接線方向に分解する。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 力の矢印は作用点から正しい向きに。
  • 角度 \(\theta\) がどこを指すのかを明確に。
  • 分解した力の成分も図示すると分かりやすい。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力学的エネルギー保存則: 「滑らかな面」であり、仕事をするのが保存力（重力）のみであるため適用。
• 円運動の運動方程式: 小球が円柱面に沿って運動している間は、円軌道を描いているため適用。
• \(N=0\): 「面を離れる」という物理的状況を数式で表すために適用。

なぜその公式を使うのか、その公式が使える条件は何か、を常に自問自答する姿勢が大切です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) A \(\rightarrow\) P でエネルギー保存 \(\Rightarrow\) \(v_P\)。
2. (2) P点で半径方向の運動方程式 \(\Rightarrow\) \(N_P\)。反作用で押す力。
3. (3) \(N_P=0\) の条件を(2)の式に適用 \(\Rightarrow\) \(\cos\theta_0\)。
4. (4) \(\cos\theta_0\) を(1)の式に代入 \(\Rightarrow\) \(v_0\)。
5. (5) A \(\rightarrow\) Q でエネルギー保存（またはR \(\rightarrow\) Qでエネルギー保存） \(\Rightarrow\) \(v_1\)。

このように、各設問が前の設問の結果を利用したり、基本法則を段階的に適用したりする流れを理解することが重要です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべき点:
  • \(1-\cos\theta\) のような項の扱い。
  • \(v^2\) を代入する際の計算。
  • 最終的な平方根の取り忘れや、符号ミス。
• 日頃の練習:
  • 文字式の計算に慣れる。最後まで文字で計算し、最後に値を代入する方がミスが少ないことも。
  • 単位を意識する。例えば、速さの次元は \([\text{L}][\text{T}]^{-1}\)。
  • 検算をする習慣をつける（例えば、極端な場合 \(\theta=0\) で式が成り立つかなど）。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理的な妥当性:
  • (3) \(\cos\theta_0 = 2/3\): \(0 < \cos\theta_0 < 1\) なので、\(\theta_0\) は \(0\) と \(\pi/2\) の間の妥当な角度。
  • (5) \(v_1 = \sqrt{2ga}\): 最初に持っていた位置エネルギーがすべて運動エネルギーに変わった場合の速さであり、直感的にも理解しやすい。
• 単位の確認: 全ての答えが正しい物理量の単位を持っているか。

こうした吟味を通じて、物理現象への洞察を深めることができます。

この問題は、力学の基本法則をしっかりと理解し、それらを組み合わせて応用する力を養うための良い練習になります。何度も見直し、自分のものにしてくださいね！

問題45 (東京学芸大＋名古屋大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

こんにちは！この問題は、ばねにつながれた二つの物体が一緒に運動したり、途中で分離したりする面白いシチュエーションですね。運動方程式、エネルギー保存則、そして単振動のグラフと、力学の重要な要素がたくさん詰まっています。一つ一つ丁寧に解き明かしていきましょう！

この問題は、ばねで連結された物体Aと、それに接触している物体Bが、ばねの復元力によって運動を開始し、ある時点でBがAから離れていくという一連の運動を扱います。AとBが一緒に運動しているときと、Bが離れた後でAが単独で運動するときで、運動の様子が変わる点に注意が必要です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題の主なテーマは「連結された物体の運動」「ばねによる単振動」「運動量保存則（は使わないが分離の概念）」「力学的エネルギー保存則」そして「物体が離れる条件」です。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 運動方程式 (\(ma=F\)): 各物体にはたらく力を正しく把握し、運動の法則を適用します。
2. 作用・反作用の法則: AがBを押す力とBがAから受ける力（問題文ではNそのものと、Nの反作用）は大きさが等しく向きが反対です。
3. フックの法則: ばねの弾性力は \(F = -kx\) （\(x\) は自然長からの変位）または \(k \times (\text{伸びまたは縮み})\)で与えられます。力の向きに注意が必要です。
4. 力学的エネルギー保存則: 床がなめらかで、ばねの弾性力と重力（今回は水平運動なので主に弾性力）以外の外力が仕事をしない場合、運動エネルギーと弾性エネルギーの和は保存されます。
5. 物体が離れる条件: BがAから離れるのは、AがBを押す力 \(N\) が \(0\) になるときです。これ以降、BはAからの力を受けなくなります。
6. 単振動: ばねにつながれた物体の運動は、単振動として記述できます。周期や振幅の概念が重要になります。

全体的な戦略としては、

1. (1)(ア),(イ): AとBそれぞれに運動方程式を立て、連立して \(N\) を求めます。\(N=0\) からBが離れる条件を導きます。
2. (2): 手を離した瞬間からBが離れる瞬間までの、AとBを一体とみなした系の力学的エネルギー保存則を用いて、離れる瞬間の速さを求めます。この速さが、離れた後のBの速さになります。
3. (3): Bが離れた後、Aは単独で単振動（またはその一部）を行います。Bが離れた瞬間のAの運動エネルギーが、ばねが最大に伸びたときの弾性エネルギーに変わると考えて、最大の長さを求めます。
4. (4): 運動を二つのフェーズに分けて考えます。
   • フェーズ1: AとBが一体で運動する単振動（\(t=0\) からBが離れるまで）。
   • フェーズ2: Bが離れた後、Aが単独で行う単振動。

   それぞれのフェーズでの周期、振幅、初期条件を考慮してグラフを繋ぎ合わせます。

問1 (ア)

思考の道筋とポイント

AとBが一緒に運動しているとき、両者の加速度 \(a\) は等しいです。Aにはばねの弾性力と、Bから押される力（\(N\) の反作用）がはたらきます。BにはAから押される力 \(N\) がはたらきます。ばねの自然長を \(l_0\) とすると、長さが \(l\) のときのばねの変位（伸びまたは縮み）を考え、弾性力の向きと大きさを決定します。ここでは、ばねが縮んだ状態から伸びていく方向（右向き）を加速度 \(a\) の正の向きとします。

この設問における重要なポイント

• 各物体にはたらく力を正確に図示する。
• 作用・反作用の関係を理解する（AがBを押す力 \(N\) と、BがAを押す力）。
• ばねの弾性力の向きと大きさを正しく表す。\(l < l_0\)（縮んでいる）のとき、弾性力は右向きに \(k(l_0-l)\)。

具体的な解説と立式

右向きを正の向きとします。

• 物体Aにはたらく力:
  • ばねの弾性力: ばねの長さが \(l\)、自然長が \(l_0\) のとき、ばねの縮みは \(l_0-l\)（\(l < l_0\) の場合）。このとき弾性力は右向きに \(k(l_0-l)\)。
  • 物体Bから押される力: 左向きに \(N\)（AがBを押す力 \(N\) の反作用）。

  したがって、物体Aの運動方程式は、
  $$ma = k(l_0-l) – N \quad \cdots (式①)$$

• 物体Bにはたらく力:
  • 物体Aから押される力: 右向きに \(N\)。

  したがって、物体Bの運動方程式は、
  $$3ma = N \quad \cdots (式②)$$

問1 (イ)

思考の道筋とポイント

(ア)で立てた2つの運動方程式 (式①) と (式②) を連立させて、加速度 \(a\) を消去すれば \(N\) を求めることができます。BがAから離れるのは、AがBを押す力 \(N\) が \(0\) になるときです。

この設問における重要なポイント

• 連立方程式の解法。
• 物体が離れる条件は、接触している物体間で及ぼしあう力（この場合は \(N\)）が \(0\) になるとき。

具体的な解説と立式

(式①) と (式②) より加速度 \(a\) を消去します。
(式②) から \(a = \frac{N}{3m}\)。これを (式①) に代入します。
$$m\left(\frac{N}{3m}\right) = k(l_0-l) – N$$
$$\frac{N}{3} = k(l_0-l) – N$$
この式を \(N\) について解きます。
$$\frac{N}{3} + N = k(l_0-l)$$
$$\left(\frac{1}{3} + 1\right)N = k(l_0-l)$$
$$\frac{4}{3}N = k(l_0-l)$$
よって、
$$N = \frac{3}{4}k(l_0-l)$$
これが \(N\) を \(l, l_0, k\) で表した式です。

次に、BがAから離れるときのばねの長さ \(l\) を求めます。離れるのは \(N=0\) となるときなので、
$$\frac{3}{4}k(l_0-l) = 0$$
ばね定数 \(k \neq 0\) なので、
$$l_0-l = 0$$
$$l = l_0$$
つまり、BがAから離れるのは、ばねが自然長のときに起こります。

上記立式に計算過程は含まれています。

AとBの運動方程式から、AがBを押す力 \(N\) を、ばねの長さ \(l\) の関数として求めます。ばねが縮んでいる（\(l < l_0\)）うちは \(N > 0\) でAはBを押し続けますが、ばねが伸びていく（あるいは縮みが小さくなる）につれて \(N\) は小さくなります。\(N\) が \(0\) になった瞬間、AはBを押さなくなり、BはAから離れます。

AがBを押す力 \(N = \frac{3}{4}k(l_0-l)\)。
BがAから離れるときのばねの長さは \(l=l_0\)（自然長）。
この結果は直感的にも理解できます。ばねが自然長になるまでは、ばねはAを右に押そうとし、AもBを右に押します。ばねが自然長を超えて伸び始めると、ばねはAを左に引こうとし始めますが（Aの右向きの動きにブレーキをかける）、Bは慣性で右に進もうとするため、AとBの間には隙間ができ、力が及ばなくなると考えられます。厳密には \(N=0\) の条件で判断するのが正しく、結果として自然長で離れることが示されました。

問2

思考の道筋とポイント

BがAから離れるのは、ばねが自然長のときです ((1)(イ)より)。手を離した瞬間からBがAから離れる瞬間まで、AとBは一体となって運動します。この間の力学的エネルギー保存則を用いて、ばねが自然長になったときの速さ \(v\) を求めます。この速さ \(v\) が、Aから離れた直後のBの速さとなります（離れた後、Bは力を受けないので等速直線運動をする）。

この設問における重要なポイント

• BがAから離れるのは、ばねが自然長のとき。
• 手を離した瞬間からBが離れるまで、AとBを一体（質量 \(m+3m = 4m\)）として力学的エネルギー保存則を考える。
• 初期のエネルギーは、ばねが \(x_0\) だけ縮んでいることによる弾性エネルギー。
• Bが離れる瞬間（ばねは自然長）のエネルギーは、AとB全体の運動エネルギー。

具体的な解説と立式

手を離した瞬間（ばねの縮み \(x_0\)、\(l=l_0-x_0\)）の力学的エネルギー \(E_{\text{初}}\) は、弾性エネルギーのみです（初速度0なので運動エネルギーは0）。
$$E_{\text{初}} = \frac{1}{2}kx_0^2$$
BがAから離れる瞬間（ばねは自然長 \(l=l_0\)、したがって弾性エネルギーは0）、AとBが一体となって速さ \(v\) で運動しているとすると、そのときの力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、運動エネルギーのみです。全体の質量は \(m+3m = 4m\)。
$$E_{\text{後}} = \frac{1}{2}(m+3m)v^2 = \frac{1}{2}(4m)v^2 = 2mv^2$$
力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{初}} = E_{\text{後}}\) なので、
$$\frac{1}{2}kx_0^2 = 2mv^2$$

\(\frac{1}{2}kx_0^2 = 2mv^2\) を \(v\) について解きます。
$$v^2 = \frac{1}{4m}kx_0^2 = \frac{k x_0^2}{4m}$$
速さ \(v\) は正なので、
$$v = \sqrt{\frac{k x_0^2}{4m}} = \frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}$$
これがBがAから離れた直後のBの速さです。

最初にばねが持っていた「縮みによるエネルギー」（弾性エネルギー）が、AとBが一緒に動いている間に「速さによるエネルギー」（運動エネルギー）に変わっていきます。BがAから離れるのは、ばねが自然の長さに戻ったときです。この瞬間のAとBの運動エネルギーの合計が、最初の弾性エネルギーと等しくなります。この関係から、離れる瞬間の速さを計算します。離れた後のBは、もう力を受けないので、この速さで進み続けます。

Aから離れたあとのBの速さは \(\frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\) です。
この速さは、初期の縮み \(x_0\) が大きいほど、また、ばね定数 \(k\) が大きいほど（ばねが強いほど）大きくなり、物体の総質量 \(4m\) が小さいほど大きくなるという直感と一致します（分母に \(m\) があるのは、\(\sqrt{k/m}\) が角振動数に関連する項であるため、そのように見えます）。

問3

思考の道筋とポイント

BがAから離れた後、物体Aは単独でばねにつながれて運動します。Bが離れた瞬間（ばねは自然長、\(x=0\)）、Aは(2)で求めた速さ \(v = \frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\) を持っています。この後、Aは単振動（の一部）を行い、その運動エネルギーがすべてばねの弾性エネルギーに変わったときに、ばねの伸びが最大になります（Aの速さが一瞬0になる）。

この設問における重要なポイント

• Bが離れた後のA単独の運動について、力学的エネルギー保存則を考える。
• Bが離れた瞬間が、A単独の運動の「初期状態」となる。このときばねは自然長。
• ばねの長さが最大になるとき、Aの速さは \(0\) になる。

具体的な解説と立式

Bが離れた瞬間（ばねは自然長）の物体Aの力学的エネルギー \(E_{\text{A,初}}\) は、運動エネルギーのみです。
$$E_{\text{A,初}} = \frac{1}{2}mv^2$$
ここで \(v = \frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\)。
ばねの長さが最大になったとき、Aの速さは \(0\) になります。このときの自然長からの伸びを \(x_m\) とすると、そのときのばねの弾性エネルギーは \(\frac{1}{2}kx_m^2\)。
この瞬間のAの力学的エネルギー \(E_{\text{A,後}}\) は、弾性エネルギーのみです。
$$E_{\text{A,後}} = \frac{1}{2}kx_m^2$$
力学的エネルギー保存則 \(E_{\text{A,初}} = E_{\text{A,後}}\) より、
$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx_m^2$$

\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx_m^2\) の両辺から \(\frac{1}{2}\) を消去し、\(v^2 = \frac{k x_0^2}{4m}\) を代入します。
$$m\left(\frac{k x_0^2}{4m}\right) = kx_m^2$$
$$\frac{kx_0^2}{4} = kx_m^2$$
両辺の \(k\) を消去すると（\(k \neq 0\)）、
$$x_m^2 = \frac{x_0^2}{4}$$
伸び \(x_m\) は正なので、
$$x_m = \frac{x_0}{2}$$
これは自然長からの最大の伸びです。したがって、ばねの最大の長さ \(l_m\) は、自然長 \(l_0\) にこの最大の伸び \(x_m\) を加えたものなので、
$$l_m = l_0 + x_m = l_0 + \frac{x_0}{2}$$

Bが離れた後、Aはばねの力だけを受けて運動します。Bが離れた瞬間にAが持っていた運動エネルギーが、今度はばねを伸ばす仕事に使われ、すべてばねの弾性エネルギーに変わったとき、ばねの伸びは最大になります。このエネルギーの関係から、最大の伸びを計算し、自然長に足し合わせます。

Bが離れたあと、ばねの最大の長さは \(l_0 + \frac{x_0}{2}\) です。
Bが離れるまでの間にAとBが持っていた運動エネルギーのうち、Aの質量分に応じた運動エネルギーが、A単独の単振動のエネルギーとなります。初期の全体の弾性エネルギー \(\frac{1}{2}kx_0^2\) が、Bが離れる瞬間の全体の運動エネルギー \(2mv^2\) になりました。Aの運動エネルギーはそのうち \(\frac{1}{2}mv^2\) です。
\(v^2 = \frac{kx_0^2}{4m}\) なので、\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \frac{kx_0^2}{4m} = \frac{1}{8}kx_0^2\)。
これがA単独の振動エネルギーとなり、\(\frac{1}{2}k x_m^2 = \frac{1}{8}kx_0^2\) から \(x_m = \frac{x_0}{2}\) が得られます。これは正しいです。

問4

思考の道筋とポイント

この運動は二つのフェーズに分けて考える必要があります。

• フェーズ1 (\(0 \le t < T_{離}\)): AとBが一体となって運動する期間。\(t=0\) で \(x=-x_0\) (最も縮んだ状態)。この後、AとBは一体（質量 \(4m\)）となって単振動を始めます。振動の中心はばねの自然長の位置 (\(x=0\)) です。BがAから離れるのは \(x=0\) のときです。この間の運動の周期と、\(x=0\) に達するまでの時間を計算します。
• フェーズ2 (\(t \ge T_{離}\)): Bが離れた後、Aが単独で運動する期間。Bが離れた瞬間 (\(x=0\)) のAの速さは(2)で求めた \(v\) です。この後、Aは単独（質量 \(m\)）で単振動を続けます。この単振動の周期と振幅を求め、グラフを繋げます。

この設問における重要なポイント

• 運動が二つの異なる単振動の組み合わせであることを理解する。
• 各フェーズでの振動の周期（質量が異なるため周期も異なる）と振幅を正しく求める。
• グラフを滑らかに（ただし、運動の性質が変わる点で変化の仕方が変わる可能性も吟味）つなぐこと。特に \(x=0\) になる時刻で、運動の種類が切り替わる。

具体的な解説と立式・グラフ

• フェーズ1: AとBの一体運動 (\(0 \le t < T_{離}\))
  • 質量: \(M = m+3m = 4m\)
  • ばね定数: \(k\)
  • 角振動数: \(\omega_{AB} = \sqrt{\frac{k}{M}} = \sqrt{\frac{k}{4m}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\)
  • 周期: \(T_{AB} = \frac{2\pi}{\omega_{AB}} = 2\pi \cdot 2\sqrt{\frac{m}{k}} = 4\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\)。
    問題文で \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\) と定義されているので、\(T_{AB} = 2T\)。
  • 振動の中心: \(x=0\) (ばねの自然長)
  • 初期条件: \(t=0\) で \(x=-x_0\) (振幅 \(x_0\))、初速度 \(0\)。
  • 運動の式: \(x(t) = -x_0 \cos(\omega_{AB}t) = -x_0 \cos\left(\frac{\pi}{T}t\right)\) ( \(\omega_{AB} = 2\pi/T_{AB} = 2\pi/(2T) = \pi/T\) )
  • Bが離れるのは \(x=0\) のとき。\( -x_0 \cos(\omega_{AB}T_{離}) = 0 \Rightarrow \cos(\omega_{AB}T_{離}) = 0\)。
    最初に \(x=0\) となるのは、\(\omega_{AB}T_{離} = \pi/2\) のとき。
    $$T_{離} = \frac{\pi/2}{\omega_{AB}} = \frac{\pi/2}{\pi/T} = \frac{T}{2}$$これは \(T_{AB}/4\) に相当します。
• フェーズ2: A単独の運動 (\(t \ge T_{離} = T/2\))
  • Bが離れる瞬間 (\(t=T/2\)) で、Aの位置は \(x=0\)、速さは \(v = \frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\)。
  • 質量: \(m\)
  • ばね定数: \(k\)
  • 角振動数: \(\omega_A = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
  • 周期: \(T_A = \frac{2\pi}{\omega_A} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = T\)。
  • 振動の中心: \(x=0\)
  • この単振動の振幅 \(A’\) は、エネルギー保存から求めるか、\(v_{\text{max}} = A’\omega_A\) の関係から求めます。
    Bが離れた瞬間のAのエネルギーは \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{x_0}{2}\sqrt{\frac{k}{m}}\right)^2 = \frac{1}{2}m \frac{x_0^2 k}{4m} = \frac{1}{8}kx_0^2\)。
    これがA単独の単振動の全エネルギーなので、振幅を \(A’\) とすると \(\frac{1}{2}k(A’)^2 = \frac{1}{8}kx_0^2\)。
    よって \((A’)^2 = \frac{1}{4}x_0^2 \Rightarrow A’ = \frac{x_0}{2}\)。
  • 運動の式: \(t’=t-T/2\) とおくと、\(t’=0\) で \(x=0\)、\(v>0\)。
    なので、\(x(t’) = A’\sin(\omega_A t’) = \frac{x_0}{2}\sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}(t-\frac{T}{2})\right) = \frac{x_0}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{T}(t-\frac{T}{2})\right)\)。
• グラフの描画:
  • \(t=0\) で \(x=-x_0\)。
  • \(0 \le t \le T/2\) の区間: 周期 \(2T\) のコサインカーブの一部（マイナス側から0へ）。\(t=T/2\) で \(x=0\) に達する。
  • \(t \ge T/2\) の区間: 周期 \(T\)、振幅 \(x_0/2\) のサインカーブ（\(t=T/2\) で原点を正の向きに通る）。
    • \(t=T/2\) で \(x=0\)。
    • \(t=T/2 + T/4 = 3T/4\) で \(x=x_0/2\) (最初の極大値)。
    • \(t=T/2 + T/2 = T\) で \(x=0\)。
    • \(t=T/2 + 3T/4 = 5T/4\) で \(x=-x_0/2\)。
    • \(t=T/2 + T = 3T/2\) で \(x=0\)。

  グラフは、\(t=T/2\) の点で滑らかにつながります（速度が連続なため、傾きも連続になるはずです）。

グラフを描くには、まずAとBが一緒に動く部分（最初）と、Aだけが動く部分（Bが離れた後）に分けて考えます。

【最初】AとBが一緒のときは、全体の質量が \(4m\) なので、動きはゆっくりした単振動（周期 \(2T\)）になります。\(t=0\) で一番縮んだ \(x=-x_0\) からスタートし、\(t=T/2\) で自然長 \(x=0\) に戻ります。

【Bが離れた後】Aだけの単振動になるので、質量は \(m\) と小さくなり、動きは速い単振動（周期 \(T\)）になります。\(t=T/2\) で \(x=0\) の位置から、(3)で求めた最大の伸び (\(x_0/2\)) を振幅として振動します。

この2つの動きをつなげてグラフにします。

グラフは以下のようになります（模範解答の図を参照）。

• \(0 \le t \le T/2\): \(x(t) = -x_0 \cos(\frac{\pi}{T}t)\)。 \(t=0\) で \(x=-x_0\)、\(t=T/2\) で \(x=0\)。
• \(t \ge T/2\): \(x(t) = \frac{x_0}{2}\sin(\frac{2\pi}{T}(t-\frac{T}{2}))\)。\(t=T/2\) で \(x=0\)、ここから振幅 \(\frac{x_0}{2}\) で振動。

\(t=T/2\) での速度は、
フェーズ1: \(v(t) = x_0 \frac{\pi}{T}\sin(\frac{\pi}{T}t)\)。\(v(T/2) = x_0 \frac{\pi}{T}\sin(\pi/2) = x_0 \frac{\pi}{T}\)。
\(\pi/T = \omega_{AB} = \frac{1}{2}\sqrt{k/m}\)。よって \(v(T/2) = \frac{x_0}{2}\sqrt{k/m}\)。これは(2)の速さ \(v\) と一致。
フェーズ2: \(v(t) = \frac{x_0}{2} \frac{2\pi}{T}\cos(\frac{2\pi}{T}(t-\frac{T}{2}))\)。 \(v(T/2) = \frac{x_0 \pi}{T}\cos(0) = \frac{x_0 \pi}{T}\)。
これも一致するので、グラフは \(t=T/2\) で滑らかにつながります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動方程式と作用・反作用: (1)では、連結された物体A, Bそれぞれに働く力を正確に把握し、運動方程式を立てる必要がありました。特にAとBの間で及ぼし合う力 \(N\) は作用・反作用の関係にあります。
• 物体が離れる条件 (\(N=0\)): 接触していた物体が離れる瞬間は、互いに及ぼし合う垂直抗力（この問題では \(N\)）が \(0\) になるときであるという普遍的な条件を理解することが重要です。
• 力学的エネルギー保存則: 滑らかな水平面上でばねの弾性力のみが仕事をする場合（または保存力のみが仕事をする場合）、系の力学的エネルギーは保存されます。(2)や(3)でこの法則が活躍しました。
• 単振動の性質（周期と振幅）: (4)では、運動が二段階の単振動からなることを見抜く必要がありました。一体のときの質量と分離後の質量で周期が異なること、分離の瞬間の条件から分離後の単振動の振幅が決まることなどがポイントです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • ばねで繋がれた複数の物体が運動する問題（特に途中で連結が外れたり、くっついたりするタイプ）。
  • 摩擦のある面でのばね振り子や、斜面でのばね振り子など、条件が少し変わった問題。
  • 単振動のグラフを描かせる問題全般。
• 初見の問題への着眼点:
  1. 運動のフェーズ分け: 問題の状況が途中で変化する場合（例: 物体が離れる、衝突する、など）、それぞれのフェーズで物理法則を適用することを考える。
  2. 各物体にはたらく力の徹底的な図示: これが運動方程式を正しく立てるための第一歩。
  3. 保存則が使えるかどうかの判断: エネルギー保存則や運動量保存則が適用できる条件（外力や非保存力の仕事の有無など）を常に確認する。
  4. 「離れる」「衝突する」「最大・最小」などのキーワードの物理的意味の把握: これらを数式（\(N=0\), \(v=0\) など）に置き換える。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 運動方程式はベクトル量なので、正の向きを明確に設定する。
  • エネルギーはスカラー量なので扱いやすいが、適用条件を確認する。
  • 単振動のグラフでは、初期位相、振幅、周期を正確に読み取る（または求める）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 物体が離れるタイミングの誤解: \(N=0\) という条件を見落とし、直感だけで判断しようとすると間違えることがあります（この問題では結果的に自然長でしたが、常にそうとは限りません）。
• 単振動の周期の計算ミス: 質量が変わると周期が変わることを忘れない。
• 分離後の単振動の振幅の決定ミス: 分離した瞬間の位置と速度から、新しい単振動のエネルギーを計算し、そこから振幅を求めるという手順を理解する。
• グラフの接続点での不連続性への誤解: この問題では \(t=T/2\) で速度は連続なのでグラフは滑らかに繋がりますが、問題によっては速度が不連続に変化する場合もあり、その場合はグラフの傾きが不連続になります。

対策:

• 必ず力の図示を行い、各物体に対する運動方程式を愚直に立ててみる。
• 「離れる」＝「力が働かなくなる」＝ \(N=0\) や \(T=0\) と機械的に置き換えられるようにする。
• 単振動の基本公式（周期、角振動数、エネルギー）とその意味をしっかり理解する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題で有効だった図:
  1. 各物体にはたらく力のベクトル図: (1)の運動方程式を立てる際に不可欠。
  2. \(x-t\) グラフの概形: (4)で、まずどのような動きになるかを大まかにイメージし、その後詳細なパラメータ（周期、振幅、接続点）を決定していく。
  3. エネルギーの移り変わりの図（概念図）: 弾性エネルギー \(\Leftrightarrow\) 運動エネルギーの変換をイメージする。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 正の向き（座標軸の向き）と原点の位置を明確にする。
  • 力の矢印は、作用点と向きを正確に。
  • グラフでは、横軸と縦軸の物理量、目盛りの意味（特に \(T, x_0\) など）を明記する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式 \(ma=F\): 物体の運動（加速度）と力との関係を表す基本法則。複数の力が働く場合は合力を考える。
• 力学的エネルギー保存則: 非保存力（摩擦など）が仕事をしない場合に成立。系のエネルギーの総和が一定であることを示す。
• 単振動の公式群: ばね振り子など、復元力が変位に比例する運動に適用。周期や振幅、エネルギーの計算に用いる。

これらの公式が「なぜこの場面で使えるのか」という根拠（適用条件）を常に意識することが、応用力を高める上で重要です。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 状況分析 \(\rightarrow\) 各物体への力の図示 \(\rightarrow\) 運動方程式立式 \(\rightarrow\) 連立して \(N\) を導出 \(\rightarrow\) \(N=0\) から分離条件。
2. (2) 初期状態と分離時の状態を比較 \(\rightarrow\) エネルギー保存則立式 \(\rightarrow\) 分離時の速さ \(v\) 算出。
3. (3) 分離時のAの状態と最大伸長時の状態を比較 \(\rightarrow\) エネルギー保存則立式 \(\rightarrow\) 最大伸長 \(x_m\) と最大長 \(l_m\) 算出。
4. (4) 運動を2フェーズに分割 \(\rightarrow\) 各フェーズの単振動のパラメータ（周期、振幅、初期条件）を決定 \(\rightarrow\) グラフ描画。

このように、問題を部分に分け、それぞれの部分で適切な法則を選び、論理的に解き進める練習をしましょう。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべき点:
  • (1)の連立方程式の計算。
  • (2),(3)のエネルギー保存則の式の \(v^2\) の扱いや、平方根の計算。
  • (4)の周期の計算での質量の違い（\(4m\) か \(m\) か）。振幅の計算。
• 日頃の練習:
  • 文字式の計算に慣れ、丁寧に扱う。特に符号や係数。
  • 計算の各ステップで、自分が何をしているのかを意識する。
  • 可能であれば、別の方法で検算してみる（例えば、(3)の振幅を \(v_{\text{max}}=A\omega\) から求めてみるなど）。

解の吟味の習慣化

• 物理的な妥当性:
  • (1)(イ) \(l=l_0\) で離れるのは直感的にも妥当。
  • (2) \(v\) が \(x_0\) に比例し、\(\sqrt{k/m}\) に比例するのも理解できる。
  • (3) \(x_m = x_0/2\)。初期の縮みより振幅が小さくなるのは、エネルギーがBにも分配されたため。
  • (4) グラフの接続点 \(t=T/2\) で \(x=0\) であり、その後の周期が短く（動きが速く）なり、振幅が小さくなる様子が描けているか。
• 単位の確認: 各物理量の単位が正しいか（例：速さなら [m/s]、長さなら [m]）。

答えが出た後に「これは物理的におかしくないか？」と一度立ち止まって考える習慣は、ミスを発見し、理解を深める上で非常に有効です。

この問題は、いくつかの基本法則を組み合わせる典型的な力学の問題です。それぞれの法則を正しく理解し、適用する練習を重ねることで、より複雑な問題にも対応できるようになります。頑張ってください！

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