「良問の風」攻略ガイド（151〜154問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題151 (芝浦工大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「放射性崩壊の連鎖と核分裂におけるエネルギー分配」です。
不安定な原子核が安定な状態へ移行する過程で、どのような粒子が放出され、どのようにエネルギーが分配されるかを、保存則に基づいて解き明かします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)・問(2)

思考の道筋とポイント
ウラン \({}_{92}^{235}\text{U}\) が鉛 \({}_{82}^{207}\text{Pb}\) に変化する過程全体を見ます。
この間に起こった \(\alpha\)崩壊の回数を \(n\)、\(\beta\)崩壊の回数を \(m\) とおきます。
それぞれの崩壊が質量数 \(A\) と原子番号 \(Z\) に与える影響を整理し、保存則の式を立てます。

この設問における重要なポイント

• 質量数の変化: \(\alpha\)崩壊1回につき \(-4\)、\(\beta\)崩壊では変化なし（\(0\)）。
• 原子番号の変化: \(\alpha\)崩壊1回につき \(-2\)、\(\beta\)崩壊1回につき \(+1\)（中性子が陽子に変わるため）。
• 解く順序: 質量数は \(\alpha\)崩壊のみに依存するため、まず \(n\) を決定できます。

具体的な解説と立式
\(\alpha\)崩壊の回数を \(n\)、\(\beta\)崩壊の回数を \(m\) とします。

まず、質量数 \(A\) の変化について保存則を立式します。
$$
\begin{aligned}
(\text{変化後の質量数}) &= (\text{変化前の質量数}) – 4 \times (\alpha\text{崩壊の回数}) \\[2.0ex]
207 &= 235 – 4n \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

次に、原子番号 \(Z\) の変化について保存則を立式します。
$$
\begin{aligned}
(\text{変化後の原子番号}) &= (\text{変化前の原子番号}) – 2 \times (\alpha\text{崩壊の回数}) + 1 \times (\beta\text{崩壊の回数}) \\[2.0ex]
82 &= 92 – 2n + 1m \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①より \(n\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
4n &= 235 – 207 \\[2.0ex]
4n &= 28 \\[2.0ex]
n &= 7
\end{aligned}
$$
求めた \(n=7\) を式②に代入して \(m\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
82 &= 92 – 2(7) + m \\[2.0ex]
82 &= 92 – 14 + m \\[2.0ex]
82 &= 78 + m \\[2.0ex]
m &= 82 – 78 \\[2.0ex]
m &= 4
\end{aligned}
$$

ウランが鉛になるまでに、体重（質量数）と背番号（原子番号）がどれだけ変わったかを調べます。
体重を減らせるのは \(\alpha\)崩壊だけなので、まず体重の減り幅から \(\alpha\)崩壊の回数が決まります。
次に、背番号の変化を見ます。\(\alpha\)崩壊で減った分と、\(\beta\)崩壊で増えた分の合計が、最終的な背番号の変化になるはずです。これを使って \(\beta\)崩壊の回数を割り出しました。

\(\alpha\)崩壊は \(7\) 回、\(\beta\)崩壊は \(4\) 回です。
回数が正の整数になっているため、物理的に妥当な解です。

問(3)

思考の道筋とポイント
最初の1回の崩壊に注目します。
親核は \({}_{92}^{235}\text{U}\)、娘核は \({}_{90}^{231}\text{Th}\) です。
この変化に伴って放出された粒子 \(\text{X}\) を特定します。

この設問における重要なポイント

• 差分の確認: 質量数と原子番号がそれぞれいくつ減ったかを確認すれば、放出された粒子がわかります。

具体的な解説と立式
反応式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
{}_{92}^{235}\text{U} \to {}_{90}^{231}\text{Th} + \text{X}
\end{aligned}
$$
粒子 \(\text{X}\) の質量数を \(A_X\)、原子番号を \(Z_X\) とし、保存則を立式します。
質量数について：
$$
\begin{aligned}
235 &= 231 + A_X \\[2.0ex]
A_X &= 4
\end{aligned}
$$
原子番号について：
$$
\begin{aligned}
92 &= 90 + Z_X \\[2.0ex]
Z_X &= 2
\end{aligned}
$$

上記立式より、\(\text{X}\) は質量数 \(4\)、原子番号 \(2\) の粒子です。
これはヘリウム原子核 \({}_{2}^{4}\text{He}\) であり、すなわち \(\alpha\)粒子です。

ウランがトリウムに変わるとき、質量数が \(4\) 減り、原子番号が \(2\) 減っています。
この失われた部分を持ち去ったのが粒子 \(\text{X}\) です。
質量数 \(4\)、原子番号 \(2\) の正体はヘリウムの原子核です。

\(\text{X}\) は \({}_{2}^{4}\text{He}\) です。これは \(\alpha\)崩壊の特徴と一致します。

問(4)・問(5)

思考の道筋とポイント
続く2段階の崩壊を順に追跡します。
1. \({}_{90}^{231}\text{Th} \to {}_{91}^{x}\text{Pa}\)
2. \({}_{91}^{x}\text{Pa} \to {}_{89}^{y}\text{Ac}\)
それぞれの反応で、原子番号の変化から崩壊の種類（\(\alpha\) か \(\beta\) か）を特定し、質量数 \(x, y\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 原子番号が増える場合: \(\beta\)崩壊（中性子 \(\to\) 陽子 \(+\) 電子）が起きています。質量数は変わりません。
• 原子番号が減る場合: \(\alpha\)崩壊（\(-2\)）の可能性があります。

具体的な解説と立式
まず、\({}_{90}^{231}\text{Th} \to {}_{91}^{x}\text{Pa}\) について考えます。
原子番号が \(90 \to 91\) と \(1\) 増加しています。これは \(\beta\)崩壊です。
\(\beta\)崩壊では質量数は変化しないため、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
x &= 231
\end{aligned}
$$

次に、\({}_{91}^{x}\text{Pa} \to {}_{89}^{y}\text{Ac}\) について考えます。
原子番号が \(91 \to 89\) と \(2\) 減少しています。これは \(\alpha\)崩壊です。
\(\alpha\)崩壊では質量数が \(4\) 減少するため、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
y &= x – 4
\end{aligned}
$$

\(x = 231\) を2つ目の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
y &= 231 – 4 \\[2.0ex]
y &= 227
\end{aligned}
$$

トリウムからプロトアクチニウムへの変化では、原子番号が1つ増えているので、これは「中性子が陽子に変身する」\(\beta\)崩壊です。このとき重さ（質量数）は変わりません。
次にプロトアクチニウムからアクチニウムへの変化では、原子番号が2つ減っているので、これは「ヘリウムの核を捨てる」\(\alpha\)崩壊です。このとき重さは4つ軽くなります。

\(x=231, y=227\) です。
原子番号の変化と崩壊の種類が矛盾なく対応しています。

問(6)

思考の道筋とポイント
静止していた \({}_{92}^{235}\text{U}\) が、\({}_{90}^{231}\text{Th}\) と \({}_{2}^{4}\text{He}\)（粒子 \(\text{X}\)）に分裂しました。
外力が働かない分裂現象なので、運動量保存則が成立します。
質量数の比を質量の比として近似し、エネルギーの分配を計算します。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則: 静止状態からの分裂では、2つの破片は「逆向きに同じ大きさの運動量」を持ちます。
• エネルギーと質量の関係: 運動量 \(p\) が等しいとき、運動エネルギー \(K = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\) は質量 \(m\) に反比例します。

具体的な解説と立式
\({}_{90}^{231}\text{Th}\) の質量を \(M\)、速度を \(V\)、運動エネルギーを \(K_{Th}\) とします。
\({}_{2}^{4}\text{He}\) の質量を \(m\)、速度を \(v\)、運動エネルギーを \(K_{He}\) とします。
問題文より \(K_{He} = 7.0 \times 10^{-13}\,\text{J}\) です。
質量比は質量数の比で近似できるため、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
M : m &= 231 : 4
\end{aligned}
$$

分裂直後の運動量保存則（右向き正）を立式します。
$$
\begin{aligned}
(\text{分裂後の運動量の和}) &= (\text{分裂前の運動量の和}) \\[2.0ex]
MV – mv &= 0 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
（※ここでは互いに逆向きに飛ぶため、大きさ \(V, v\) を用いて \(MV + (-mv) = 0\) と考え、移項して \(MV=mv\) としています）

運動エネルギーの定義式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
K_{Th} &= \frac{1}{2}MV^2 \quad \cdots ④ \\[2.0ex]
K_{He} &= \frac{1}{2}mv^2 \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$

式③より \(V = \displaystyle\frac{m}{M}v\) です。これを式④に代入して整理します。
$$
\begin{aligned}
K_{Th} &= \frac{1}{2}M \left( \frac{m}{M}v \right)^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}M \frac{m^2}{M^2}v^2 \\[2.0ex]
&= \frac{m}{M} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right)
\end{aligned}
$$
ここで、括弧内は \(K_{He}\) そのものです。
$$
\begin{aligned}
K_{Th} &= \frac{m}{M} K_{He}
\end{aligned}
$$
数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
K_{Th} &= \frac{4}{231} \times (7.0 \times 10^{-13}) \\[2.0ex]
&= \frac{28}{231} \times 10^{-13}
\end{aligned}
$$
\(28 \div 231\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
28 \div 231 &\approx 0.1212\dots
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
K_{Th} &\approx 0.1212 \times 10^{-13} \\[2.0ex]
&= 1.212 \times 10^{-14}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で丸めます。
$$
\begin{aligned}
K_{Th} &\approx 1.2 \times 10^{-14}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

止まっていたものが2つに割れて飛び出すとき、軽い破片ほど勢いよく（速く）飛び出し、重い破片はゆっくり動きます。
計算してみると、エネルギーは質量の逆比（軽いほうがエネルギー大、重いほうがエネルギー小）に分配されることがわかります。
今回はヘリウム（質量4）とトリウム（質量231）なので、重いトリウムが受け取るエネルギーは、ヘリウムの \(4/231\) 倍というごくわずかな量になります。

答えは \(1.2 \times 10^{-14}\,\text{J}\) です。
重い原子核（Th）のエネルギーが、軽い粒子（He）のエネルギーよりも一桁小さくなっています。分裂では軽い粒子がエネルギーの大半を持ち去るという物理的直感と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 保存則の連鎖的適用
  • 核心: 核反応においては、「質量数（核子の総数）」と「電荷数（陽子数）」が反応の前後で厳密に保存されます。さらに、外力が働かない分裂過程では「運動量」も保存されます。
  • 理解のポイント:
    • 粒子の正体: \(\alpha\)粒子は \({}_{2}^{4}\text{He}\)、\(\beta\)粒子は \({}_{-1}^{0}\text{e}\) であることを暗記ではなく、構成要素（陽子・中性子）から理解しておきましょう。
    • 静止からの分裂: 元が止まっていれば、分裂後の運動量の総和もゼロです。これは2つの破片が「逆向きに同じ運動量」を持つことを意味します。
• エネルギー分配の逆比則
  • 核心: 静止した物体が2つに分裂する場合、運動エネルギーは質量の「逆比」に分配されます。軽い破片ほど、圧倒的に大きなエネルギーを持ち去ります。
  • 理解のポイント:
    • 導出のロジック: 運動量 \(p\) が共通であるため、\(K = p^2 / 2m\) より \(K \propto 1/m\) となります。この式変形は、速度 \(v\) を介さずにエネルギー比を直感的に理解する最強のツールです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 崩壊系列の追跡: 「ウラン系列」や「トリウム系列」など、長い崩壊連鎖の一部を切り取って出題されるケース。今回のように始点と終点の差分を見るだけで、途中の経路に関わらず \(\alpha, \beta\) の総回数は特定できます。
  • 原子核反応とエネルギー: 核分裂だけでなく、核融合や人工核変換の問題でも、質量欠損 \(\Delta m\) とエネルギー \(E = \Delta mc^2\) の関係とセットで、運動量保存則が頻出します。
  • 3体への分裂: もし3つに分裂する場合でも、運動量ベクトル \(\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = \vec{0}\) は成立します。この場合、ベクトル図（三角形）を描く解法が有効になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 保存量のチェック: まず質量数と原子番号の収支を合わせます。未知の粒子があれば、この収支から特定します。
  2. 「静止」のキーワード: 「静止した原子核が崩壊」という文言を見たら、即座に「運動量保存則 \(\to\) 運動量は逆向き等大」と反応できるようにしましょう。
  3. 比の計算の活用: 質量そのもの（kg）ではなく、質量数（u）の比を使って計算できる場合がほとんどです。巨大な指数計算を避けるため、最後まで文字式のまま比を扱い、最後に数値を代入しましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(\beta\)崩壊の質量数変化の勘違い:
  • 誤解: 「電子が出るから少し軽くなるはず」と考え、質量数を減らしてしまう。あるいは、原子番号が増えることを忘れてしまう。
  • 対策: \(\beta\)崩壊の本質は「中性子 \(\to\) 陽子 \(+\) 電子」です。核子の総数（質量数）は変わらず、陽子が1つ増える（原子番号 \(+1\)）というルールを徹底しましょう。電子の質量は原子核に比べて無視できるほど小さいので、質量数は不変として扱います。
• 運動エネルギー計算での速度の混同:
  • 誤解: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) の式を使う際、運動量保存則 \(MV=mv\) から \(V\) を求める計算で、分母分子を取り違えたり、2乗の計算でミスをする。
  • 対策: 別解で示した \(K = p^2 / 2m\) の形を使うことを強く推奨します。これにより、速度 \(V\) を計算するステップ自体をスキップでき、計算ミスを劇的に減らせます。「運動量が同じなら、エネルギーは質量の逆比」と呪文のように覚えておくと検算にも役立ちます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(6)での公式選択（\(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) vs \(K = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\)）:
  • 選定理由: 模範解答では定義通りの \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\) を使っていますが、これは速度 \(v\) が既知の場合に便利です。一方、今回の問題のように「運動量が保存（共通）」している状況では、\(K = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\) を選ぶ方が論理的にスマートです。
  • 適用根拠: どちらも数学的に等価ですが、変数が「速度」か「運動量」かの違いです。保存量である「運動量」を変数に選ぶことで、連立方程式を解く手間を省き、物理的本質（質量との反比例）を直接式に反映できます。
• 問(6)別解での公式選択（運動方程式の積分）:
  • 選定理由: 「運動量保存則」を忘れてしまった場合や、外力が働く複雑なケース（例：電場中での崩壊）に応用する場合に備え、原理から導く力を養うためです。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式 \(F = dp/dt\) は力学の全ての出発点です。これを積分すれば必ず運動量の変化量（力積）が得られます。内力のみの系では和がゼロになるため、保存則が自然に導かれます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 文字式での完遂:
  • いきなり \(231\) や \(7.0 \times 10^{-13}\) などの数値を代入せず、\(M, m, K_{He}\) などの文字のまま \(K_{Th} = \displaystyle\frac{m}{M} K_{He}\) まで変形しきってください。形がシンプルになってから代入することで、計算回数を減らし、ミスを防げます。
• 指数の処理:
  • \(10^{-13}\) などの指数部分は、計算の最後に取り付ける「飾り」として扱い、係数部分（\(4/231 \times 7.0\)）の計算に集中しましょう。途中で指数を展開したりすると、桁間違いの元になります。
• 常識的な見積もり（フェルミ推定的な感覚）:
  • 「重い戦車（Th）と軽いボール（He）が押し合って離れる」状況をイメージしてください。ボールの方が圧倒的に速く飛び、エネルギーも大きいはずです。もし計算結果で戦車の方がエネルギーが大きくなったら、その時点で「逆だ！」と気づける感覚を持ちましょう。

問題152 (立教大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「原子核崩壊と素粒子反応における保存則」です。
ミクロな世界でも、エネルギーや運動量といった物理量は厳密に保存されます。特に、質量とエネルギーが等価であるというアインシュタインの関係式（\(E=mc^2\)）が重要な役割を果たします。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1) [ア][イ]

思考の道筋とポイント
ビスマス \({}^{212}_{83}\text{Bi}\) が \(\alpha\)崩壊してタリウム \({}^{\text{ア}}_{\text{イ}}\text{Tl}\) になる反応を考えます。
\(\alpha\)崩壊とは、原子核がヘリウム原子核 \({}^{4}_{2}\text{He}\)（\(\alpha\)粒子）を放出して別の原子核に変わる現象です。
反応の前後で、質量数の総和と電荷数（原子番号）の総和が等しくなるように式を立てます。

この設問における重要なポイント

• \(\alpha\)粒子の正体: \({}^{4}_{2}\text{He}\) です。質量数が \(4\)、原子番号が \(2\) です。
• 保存則の適用:
  • 質量数保存: \((\text{親核}) = (\text{娘核}) + 4\)
  • 電荷数保存: \((\text{親核}) = (\text{娘核}) + 2\)

具体的な解説と立式
崩壊後のタリウムの質量数を \(\text{ア}\)、原子番号を \(\text{イ}\) とします。
反応式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
{}^{212}_{83}\text{Bi} \to {}^{\text{ア}}_{\text{イ}}\text{Tl} + {}^{4}_{2}\text{He}
\end{aligned}
$$

質量数の保存則より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
212 &= \text{ア} + 4 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

電荷数（原子番号）の保存則より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
83 &= \text{イ} + 2 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

式①より \(\text{ア}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\text{ア} &= 212 – 4 \\[2.0ex]
&= 208
\end{aligned}
$$

式②より \(\text{イ}\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\text{イ} &= 83 – 2 \\[2.0ex]
&= 81
\end{aligned}
$$

原子核が「身軽になりたい」といって、陽子2個と中性子2個のセット（ヘリウムの核）を外に放り出しました。
もともと体重（質量数）が212あったのが4減って208になり、背番号（原子番号）が83だったのが2減って81になりました。

アは \(208\)、イは \(81\) です。
これはタリウム（Tl）の同位体として妥当な数値です。

問(1) [ウ]

思考の道筋とポイント
崩壊後にできたタリウム原子核が、余分なエネルギーを光子（ガンマ線）として放出して安定になります。
与えられた光子のエネルギー \(E\) から、振動数 \(\nu\) を求めます。
エネルギーの単位が電子ボルト \([\text{eV}]\) で与えられているため、ジュール \([\text{J}]\) に換算してからプランク定数 \(h\) を用いて計算します。

この設問における重要なポイント

• 単位換算: \(1\,\text{eV} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。物理定数表にある電気素量 \(e\) の値を使います。
• 光量子仮説: 光子のエネルギーと振動数の関係は \(E = h\nu\) です。

具体的な解説と立式
光子のエネルギーを \(E\)、振動数を \(\nu\)、プランク定数を \(h\) とします。
与えられたエネルギーは \(E_{\text{eV}} = 4.5 \times 10^5\,\text{eV}\) です。
これをジュール単位の \(E_{\text{J}}\) に換算する式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{J}} &= E_{\text{eV}} \times (1.6 \times 10^{-19})
\end{aligned}
$$

光子のエネルギーと振動数の関係式 \(E_{\text{J}} = h\nu\) より、\(\nu\) を求める式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\nu &= \frac{E_{\text{J}}}{h} \\[2.0ex]
&= \frac{E_{\text{eV}} \times (1.6 \times 10^{-19})}{h} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

式③に数値を代入します。
$$
\begin{aligned}
\nu &= \frac{(4.5 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-19})}{6.6 \times 10^{-34}}
\end{aligned}
$$

まず、分子の係数部分と指数部分を計算します。
$$
\begin{aligned}
(\text{分子}) &= (4.5 \times 1.6) \times 10^{5-19} \\[2.0ex]
&= 7.2 \times 10^{-14}
\end{aligned}
$$
（※ \(4.5 \times 1.6 = 4.5 \times (2 \times 0.8) = 9.0 \times 0.8 = 7.2\) と計算すると楽です）

次に、全体を計算します。
$$
\begin{aligned}
\nu &= \frac{7.2 \times 10^{-14}}{6.6 \times 10^{-34}} \\[2.0ex]
&= \frac{7.2}{6.6} \times 10^{-14 – (-34)} \\[2.0ex]
&= \frac{12}{11} \times 10^{20}
\end{aligned}
$$
\(12 \div 11\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
12 \div 11 &= 1.0909\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で丸めます。
$$
\begin{aligned}
\nu &\approx 1.1 \times 10^{20}\,\text{Hz}
\end{aligned}
$$

光の粒（光子）1個が持つエネルギーは、その光の「振動数（波としての揺れの速さ）」で決まります。
エネルギーの値がわかっているので、それをプランク定数という決まった数で割れば、振動数が求まります。
ただし、エネルギーの単位が「電子ボルト」という特殊なものなので、計算する前に普通の「ジュール」に直す必要があります。

答えは \(1.1 \times 10^{20}\,\text{Hz}\) です。
ガンマ線の振動数は通常 \(10^{19}\,\text{Hz}\) 以上なので、オーダーとして妥当です。

問(1) [エ]

思考の道筋とポイント
静止していたタリウム原子核が光子を放出した際、反作用で原子核自身も動きます（反跳）。
外力が働かないため、系全体の運動量は保存されます。
光子の運動量と原子核の運動量が、逆向きで同じ大きさになることを利用します。

この設問における重要なポイント

• 光子の運動量: 質量ゼロの光子も運動量を持ちます。その大きさは \(p_{\gamma} = \displaystyle\frac{E}{c}\) です。
• 運動量保存則: \((\text{原子核の運動量}) + (\text{光子の運動量}) = 0\) （ベクトル和）。

具体的な解説と立式
光子放出後のタリウム原子核の運動量の大きさを \(P_{\text{Tl}}\)、光子の運動量の大きさを \(p_{\gamma}\) とします。
初期状態では原子核は静止していたので、全運動量は \(0\) です。
運動量保存則（大きさの関係）より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{Tl}} &= p_{\gamma} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$

光子の運動量の大きさ \(p_{\gamma}\) は、エネルギー \(E_{\text{J}}\) と光速 \(c\) を用いて次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
p_{\gamma} &= \frac{E_{\text{J}}}{c} \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$

これらを組み合わせると、求める運動量の大きさ \(P_{\text{Tl}}\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{Tl}} &= \frac{E_{\text{J}}}{c}
\end{aligned}
$$

前問で求めた \(E_{\text{J}} = 7.2 \times 10^{-14}\,\text{J}\) を使用します。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{Tl}} &= \frac{7.2 \times 10^{-14}}{3.0 \times 10^8}
\end{aligned}
$$

係数部分と指数部分を計算します。
$$
\begin{aligned}
P_{\text{Tl}} &= \frac{7.2}{3.0} \times 10^{-14 – 8} \\[2.0ex]
&= 2.4 \times 10^{-22}
\end{aligned}
$$

ピストルを撃つと反動で手が後ろに押されるのと同じように、原子核が光子という「弾丸」を発射すると、原子核自身も反対側に勢いよく押されます。
もともと止まっていたので、発射された光子の勢い（運動量）と、原子核が後ろに下がる勢いは、ちょうど同じ大きさになります。
光子の勢いはエネルギーを光の速さで割ることで計算できます。

答えは \(2.4 \times 10^{-22}\,\text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}\) です。
原子核の質量は非常に大きいため、この程度の運動量では速度は小さいですが、確実に反跳が起きています。

問(2) [オ]

思考の道筋とポイント
電子（物質）と陽電子（反物質）が衝突して消滅し、光エネルギーに変わる「対消滅」という現象です。
反応前の質量エネルギーが、反応後の光子のエネルギーに変換されます。
静止した電子と陽電子の質量は等しく \(m_e\) です。
発生する2個の光子は、運動量保存則により逆向きに飛び、対称性から等しいエネルギーを持ちます。

この設問における重要なポイント

• 質量とエネルギーの等価性: 質量 \(m\) の物体は、静止していても \(E = mc^2\) というエネルギーを持ちます。
• エネルギー保存則: \((\text{反応前の全エネルギー}) = (\text{反応後の全エネルギー})\)。

具体的な解説と立式
電子の質量を \(m_e\)、光速を \(c\) とします。
反応前の全エネルギー \(E_{\text{前}}\) は、電子と陽電子の静止エネルギーの和です。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{前}} &= m_e c^2 + m_e c^2 \\[2.0ex]
&= 2m_e c^2
\end{aligned}
$$

反応後の全エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、2個の光子のエネルギーの和です。光子1個のエネルギーを \(E_{\gamma}\) とします。
$$
\begin{aligned}
E_{\text{後}} &= E_{\gamma} + E_{\gamma} \\[2.0ex]
&= 2E_{\gamma}
\end{aligned}
$$

エネルギー保存則 \(E_{\text{前}} = E_{\text{後}}\) より、以下の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
2m_e c^2 &= 2E_{\gamma} \\[2.0ex]
E_{\gamma} &= m_e c^2 \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$

式⑥に数値を代入して \(E_{\gamma}\)（ジュール単位）を求めます。
$$
\begin{aligned}
E_{\gamma} &= (9.1 \times 10^{-31}) \times (3.0 \times 10^8)^2 \\[2.0ex]
&= 9.1 \times 10^{-31} \times 9.0 \times 10^{16} \\[2.0ex]
&= (9.1 \times 9.0) \times 10^{-31+16} \\[2.0ex]
&= 81.9 \times 10^{-15}\,\text{J}
\end{aligned}
$$

これを \([\text{MeV}]\) 単位に換算します。
\(1\,\text{MeV} = 10^6\,\text{eV} = 10^6 \times (1.6 \times 10^{-19})\,\text{J} = 1.6 \times 10^{-13}\,\text{J}\) です。
$$
\begin{aligned}
E_{\gamma}[\text{MeV}] &= \frac{81.9 \times 10^{-15}}{1.6 \times 10^{-13}} \\[2.0ex]
&= \frac{81.9}{1.6} \times 10^{-15 – (-13)} \\[2.0ex]
&= 51.1875 \times 10^{-2} \\[2.0ex]
&= 0.511875
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で丸めます。
$$
\begin{aligned}
E_{\gamma} &\approx 0.51\,\text{MeV}
\end{aligned}
$$

物質（電子）と反物質（陽電子）が出会うと、お互いの質量を完全にエネルギーに変えて消滅してしまいます。
アインシュタインの有名な式 \(E=mc^2\) を使って、電子の質量がどれだけのエネルギーになるかを計算しました。
できたエネルギーは2つの光子に半分ずつ分けられますが、もともと電子と陽電子は同じ重さなので、結局「電子1個分の質量エネルギー」が「光子1個分のエネルギー」になります。

答えは \(0.51\,\text{MeV}\) です。
電子の静止質量エネルギーが約 \(0.51\,\text{MeV}\) であることは、原子物理における基本的な定数としてよく知られており、正しい結果です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 質量とエネルギーの等価性（\(E=mc^2\)）
  • 核心: 質量はエネルギーの一形態であり、核反応や素粒子反応において相互に変換可能です。特に対消滅では、質量が完全に消失し、等量の光エネルギーに変わります。
  • 理解のポイント:
    • 静止エネルギー: 物体は動いていなくても、存在するだけで \(mc^2\) という莫大なエネルギーを持っています。
    • 単位の感覚: 原子の世界ではジュール \([\text{J}]\) は大きすぎるため、電子ボルト \([\text{eV}]\) やメガ電子ボルト \([\text{MeV}]\) が標準的に使われます。換算係数 \(1.6 \times 10^{-19}\) は電気素量 \(e\) と同じ値です。
• 光子の粒子性（エネルギーと運動量）
  • 核心: 光は波であると同時に粒子（光子）でもあります。質量ゼロですが、エネルギー \(E=h\nu\) と運動量 \(p=E/c=h/\lambda\) を持ち、物質と衝突すれば力を及ぼします（光圧）。
  • 理解のポイント:
    • 運動量保存則の適用: 光子放出や吸収の際も、力学的な衝突と同様に運動量保存則が厳密に成立します。これにより原子核の反跳などが起こります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • コンプトン効果: 電子と光子の弾性衝突です。エネルギー保存則と運動量保存則を連立させて解く、原子物理の最重要テーマの一つです。
  • 核分裂・核融合: 質量欠損 \(\Delta m\) を計算し、放出されるエネルギー \(E = \Delta m c^2\) を求める問題。今回の対消滅はその極端な例（質量が全てエネルギーになる）と言えます。
  • 対生成: 光子から電子と陽電子が生まれる、対消滅の逆反応です。この場合、光子のエネルギーは少なくとも \(2m_e c^2\) 以上である必要があります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 反応前後の収支チェック: 質量数、電荷数、エネルギー、運動量の4つが保存されているかを確認します。
  2. 単位の確認: \([\text{eV}]\) なのか \([\text{J}]\) なのか、\([\text{Hz}]\) なのか \([\text{m}]\)（波長）なのか。計算前に必ず単位を揃えましょう。
  3. 「静止」からの反応: 「静止した〜が崩壊/消滅」という設定は、運動量の総和がゼロであることを意味します。生成物は必ず逆向きに飛び出し、運動量の大きさは等しくなります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算の方向ミス:
  • 誤解: \([\text{eV}]\) から \([\text{J}]\) に直すとき、\(1.6 \times 10^{-19}\) で割ってしまう（あるいはその逆）。
  • 対策: 「\(1\,\text{eV}\) は電子1個を \(1\,\text{V}\) で加速するエネルギー」という定義を思い出しましょう。\(W=qV\) より、\(1.6 \times 10^{-19}\,\text{C} \times 1\,\text{V} = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{J}\) です。つまり \([\text{eV}]\) の値に \(e\) を掛けると \([\text{J}]\) になります。
• 光子の運動量公式の失念:
  • 誤解: 運動量 \(p=mv\) の式を使おうとして、光子の質量 \(m=0\) を代入し、運動量ゼロとしてしまう。
  • 対策: 光子にはニュートン力学の \(p=mv\) は通用しません。相対論的な関係式 \(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) において \(m=0\) とした \(E=pc\) （すなわち \(p=E/c\)）を使いましょう。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)[エ]での公式選択（運動量保存則）:
  • 選定理由: 「原子核が反動で動く」という現象は、力学的な作用・反作用の結果です。外力が働かない系での分裂現象なので、運動量保存則が最も直接的かつ強力なツールとなります。
  • 適用根拠: 光子も運動量を持つ粒子として扱えるため、原子核と光子の系全体に対して保存則を適用できます。
• 問(2)での公式選択（\(E=mc^2\)）:
  • 選定理由: 物質（質量）が消えてエネルギーに変わるという現象を記述できるのは、アインシュタインの質量エネルギー等価式だけです。
  • 適用根拠: 対消滅は質量の完全なエネルギー変換プロセスそのものです。運動エネルギーなどの他のエネルギー形態を考慮する必要がない（静止しているため）ので、静止エネルギー \(mc^2\) だけを考えれば十分です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 指数の計算管理:
  • 原子物理の計算では \(10^{-34}\) や \(10^{20}\) といった極端な指数が頻出します。係数部分（\(1.2 \times 3.4\) など）と指数部分（\(10^{-19+8}\) など）を完全に分離して計算し、最後に合体させる手順を徹底してください。
• 定数の事前計算:
  • \(hc\) や \(m_e c^2\) などの定数の組み合わせは頻繁に登場します。\(hc \approx 1.24 \times 10^{-6}\,\text{eV}\cdot\text{m}\) や \(m_e c^2 \approx 0.51\,\text{MeV}\) といった値を知識として持っておくと、計算結果の桁が正しいかどうかの強力な検算になります（ただし、解答記述では問題文の数値を使って計算すること）。

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問題153 (東海大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「原子核反応と結合エネルギー」です。
原子核を構成する陽子や中性子の質量と、原子核そのものの質量にはわずかな差（質量欠損）があります。この差が莫大なエネルギーの源となります。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(a)