「良問の風」攻略ガイド（151〜154問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題151 (芝浦工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ウランの放射性崩壊系列、α崩壊とβ崩壊の回数の特定、特定の崩壊過程における放出粒子や生成核の同定、そして原子核崩壊における運動量保存則とエネルギー分配に関する総合的な問題です。原子核物理の基本的な知識と計算能力が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解き進めるにあたって、以下の物理法則や概念が鍵となります。

• α崩壊とβ崩壊の法則:
  • α崩壊: 原子核がα粒子 (\(^{4}_{2}\text{He}\)) を放出し、質量数が4減少し、原子番号が2減少する。
  • β崩壊 (β⁻崩壊): 原子核内の中性子が陽子に変わり、電子 (\(e^-\)) と反電子ニュートリノ (\(\bar{\nu}_e\)) を放出する。質量数は変わらず、原子番号が1増加する。
• 原子核反応における保存則: 質量数と原子番号 (電荷) の総和は、反応や崩壊の前後で保存される。
• 運動量保存則: 外力が働かない系では、系の全運動量は保存される。静止した原子核が分裂する場合、分裂片の運動量のベクトル和はゼロとなる。
• 運動エネルギーと質量の関係: 運動量が等しい場合、運動エネルギーは質量に反比例する (\(K = p^2/(2m)\))。

問【1】および問【2】

思考の道筋とポイント
\(^{235}_{92}\text{U}\) が \(^{207}_{82}\text{Pb}\) に変化する過程で、全体の質量数の変化と原子番号の変化を考えます。質量数の変化はα崩壊によってのみ引き起こされるため、まずα崩壊の回数を決定できます。その後、原子番号の変化を考慮してβ崩壊の回数を求めます。

この設問における重要なポイント

• 質量数はα崩壊でのみ変化し (-4)、β崩壊では変化しない。
• 原子番号はα崩壊で (-2)、β崩壊で (+1) 変化する。
• 全体の質量数変化からα崩壊の回数を求める。
• 全体の原子番号変化とα崩壊による原子番号変化からβ崩壊の回数を求める。

具体的な解説と立式
始原核 \(^{235}_{92}\text{U}\) から最終核 \(^{207}_{82}\text{Pb}\) への変化を考えます。
α崩壊の回数を \(N_\alpha\) 回、β崩壊 (β⁻崩壊) の回数を \(N_\beta\) 回とします。

質量数の変化：
質量数は、始状態 \(A_{\text{初}} = 235\) から終状態 \(A_{\text{後}} = 207\) へと変化します。
その差は \(A_{\text{初}} – A_{\text{後}} = 235 – 207 = 28\) です。
α崩壊1回につき質量数は4減少します。β崩壊では質量数は変化しません。
したがって、質量数の変化はα崩壊のみによるので、
$$4 \times N_\alpha = 28 \quad \cdots ①$$

原子番号の変化：
原子番号は、始状態 \(Z_{\text{初}} = 92\) から終状態 \(Z_{\text{後}} = 82\) へと変化します。
α崩壊1回につき原子番号は2減少し、β崩壊1回につき原子番号は1増加します。
したがって、全体の原子番号の変化は、
$$Z_{\text{後}} = Z_{\text{初}} – 2 \times N_\alpha + 1 \times N_\beta$$$$82 = 92 – 2 N_\alpha + N_\beta \quad \cdots ②$$

【1】α崩壊の回数 \(N_\alpha\)：
式① \(4 \times N_\alpha = 28\) より、
$$N_\alpha = \frac{28}{4} = 7 \text{ 回}$$

【2】β崩壊の回数 \(N_\beta\)：
式② \(82 = 92 – 2 N_\alpha + N_\beta\) に \(N_\alpha = 7\) を代入します。
$$82 = 92 – 2 \times 7 + N_\beta$$$$82 = 92 – 14 + N_\beta$$$$82 = 78 + N_\beta$$
$$N_\beta = 82 – 78 = 4 \text{ 回}$$

原子核が変化するとき、α崩壊とβ崩壊という2つの主な方法があります。

• α崩壊：質量数が4減り、原子番号が2減ります。
• β崩壊：質量数は変わらず、原子番号が1増えます。

ウラン(\(^{235}_{92}\text{U}\))が鉛(\(^{207}_{82}\text{Pb}\))に変わる変化を見てみましょう。
まず、質量数（左上の数字）の変化に注目します。\(235\) から \(207\) へ、\(235 – 207 = 28\) だけ減っています。質量数が減るのはα崩壊だけなので、α崩壊が何回起きたかを計算します。1回で4減るので、\(28 \div 4 = 7\) 回のα崩壊があったことがわかります。これが【1】の答えです。
次に、原子番号（左下の数字）の変化を見ます。\(92\) から \(82\) へ変わっています。α崩壊が7回起きると、原子番号は \(2 \times 7 = 14\) だけ減ります。そうすると、\(92 – 14 = 78\) になります。しかし、最終的な原子番号は \(82\) です。この差 \(82 – 78 = 4\) は、β崩壊によって原子番号が増えた分です。β崩壊1回で原子番号は1増えるので、4回β崩壊が起きたことになります。これが【2】の答えです。

α崩壊の回数【1】は7回、β崩壊の回数【2】は4回です。
確認：質量数 \(235 – (4 \times 7) = 235 – 28 = 207\)。原子番号 \(92 – (2 \times 7) + (1 \times 4) = 92 – 14 + 4 = 78 + 4 = 82\)。計算は合っています。

問【3】

思考の道筋とポイント
最初の崩壊 \(^{235}_{92}\text{U} \rightarrow ^{231}_{90}\text{Th} + \text{X}\) について、反応の前後で質量数と原子番号が保存されることを利用して、未知の粒子Xの質量数と原子番号を決定します。

この設問における重要なポイント

• 質量数保存則の適用。
• 原子番号保存則の適用。
• 特定された質量数・原子番号から粒子を同定する。

具体的な解説と立式
与えられた最初の崩壊反応は、
$$^{235}_{92}\text{U} \rightarrow ^{231}_{90}\text{Th} + \text{X}$$
です。粒子Xの質量数を \(A_X\)、原子番号を \(Z_X\) とします。
質量数保存則より、
$$235 = 231 + A_X \quad \cdots ③$$原子番号保存則より、$$92 = 90 + Z_X \quad \cdots ④$$

式③ \(235 = 231 + A_X\) より、
$$A_X = 235 – 231 = 4$$式④ \(92 = 90 + Z_X\) より、$$Z_X = 92 – 90 = 2$$
したがって、粒子Xは質量数4、原子番号2の粒子です。これはヘリウム原子核 (\(^{4}_{2}\text{He}\))、すなわちα粒子です。

最初の崩壊は \(^{235}_{92}\text{U} \rightarrow ^{231}_{90}\text{Th} + \text{X}\) と表されています。
質量数（左上の数字）に注目すると、反応前は235です。反応後は \(231 + \text{Xの質量数}\) です。これらが等しいので、Xの質量数は \(235 – 231 = 4\) です。
原子番号（左下の数字）に注目すると、反応前は92です。反応後は \(90 + \text{Xの原子番号}\) です。これらが等しいので、Xの原子番号は \(92 – 90 = 2\) です。
質量数が4で原子番号が2の粒子といえば、ヘリウムの原子核、つまりα粒子です。

【3】は \(^{4}_{2}\text{He}\) (α粒子) です。この崩壊はα崩壊であることがわかります。

問【4】および問【5】

思考の道筋とポイント
与えられた崩壊系列 \(^{231}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{x}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{y}_{89}\text{Ac}\) を順に追います。各崩壊ステップで原子番号と質量数がどのように変化するかを見ることで、崩壊の種類を判断し、未知数 \(x\) (Paの質量数) と \(y\) (Acの質量数) を決定します。

この設問における重要なポイント

• 各崩壊段階での原子番号と質量数の変化に注目する。
• 原子番号が1増加し質量数不変ならβ⁻崩壊。
• 原子番号が2減少し質量数が4減少ならα崩壊。

具体的な解説と立式
修正された崩壊系列は \(^{231}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{x}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{y}_{89}\text{Ac}\) です。

第1ステップ: \(^{231}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{x}_{91}\text{Pa}\) の崩壊

この崩壊では、原子番号が90から91へ1増加しています。質量数は231から \(x\) へ変化しています。
原子番号が1増加するのはβ⁻崩壊の特徴です。β⁻崩壊では質量数は変化しません。
したがって、この崩壊はβ⁻崩壊であり、プロトアクチニウム Pa の質量数 \(x\) は、

$$x = 231 \quad \cdots ⑤$$

この結果、\(^{231}_{91}\text{Pa}\) が生成されます。

第2ステップ: \(^{x}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{y}_{89}\text{Ac}\) の崩壊

上で \(x=231\) とわかったので、この崩壊は \(^{231}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{y}_{89}\text{Ac}\) と書けます。
この崩壊では、原子番号が91から89へ2減少しています。これはα崩壊の特徴です。
α崩壊では質量数は4減少します。元のプロトアクチニウム Pa の質量数は \(x=231\) だったので、生成されるアクチニウム Ac の質量数 \(y\) は、

$$y = x – 4 \quad \cdots ⑥$$

【4】\(x\) の値 (Paの質量数):
式⑤より、
$$x = 231$$

【5】\(y\) の値 (Acの質量数):
式⑥に \(x = 231\) を代入します。
$$y = 231 – 4 = 227$$

与えられた崩壊の連鎖を順番に見ていきましょう。
まず、\(^{231}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{x}_{91}\text{Pa}\) です。
原子番号（左下の数字）が90から91に1増えています。これはβ崩壊です。β崩壊のとき、質量数（左上の数字）は変わりません。なので、Paの質量数である \(x\) は、Thの質量数と同じ231です。これが【4】の答えです。
次に、\(^{x}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{y}_{89}\text{Ac}\) です。上で \(x=231\) とわかったので、これは \(^{231}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{y}_{89}\text{Ac}\) という崩壊です。
原子番号が91から89へと2減っています。これはα崩壊です。α崩壊のとき、質量数は4減ります。元のPaの質量数は231だったので、Acの質量数である \(y\) は \(231-4=227\) となります。これが【5】の答えです。

【4】は \(x=231\)、【5】は \(y=227\) です。各崩壊段階における原子番号と質量数の変化から、崩壊の種類を正しく判断し、未知数を特定できました。

問【6】

思考の道筋とポイント
はじめの \(^{235}_{92}\text{U}\) 原子核は静止しているので、崩壊前の全運動量はゼロです。崩壊後、\(^{231}_{90}\text{Th}\) 原子核と粒子X（α粒子）が放出されますが、運動量保存則により、これら2つの粒子の運動量のベクトル和もゼロでなければなりません。つまり、2つの粒子は互いに反対方向に、同じ大きさの運動量で飛び出します。
運動エネルギー \(K\) と運動量 \(p\)、質量 \(m\) の間には \(K = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\) の関係があります。運動量の大きさが等しい場合、運動エネルギーは質量に反比例します。質量の比は、質量数の比で近似できます。

この設問における重要なポイント

• 静止系からの分裂では、運動量保存則が成り立つ。
• 分裂片の運動量の大きさは等しく、向きは逆。
• 運動エネルギーは質量に反比例する (\(K_1/K_2 = m_2/m_1\))。
• 質量の比は質量数の比で近似してよい。

具体的な解説と立式
静止していた \(^{235}_{92}\text{U}\) が崩壊して、\(^{231}_{90}\text{Th}\) (質量 \(M_{\text{Th}}\)) と粒子X (\(^{4}_{2}\text{He}\)、質量 \(m_X\)) になったとします。
\(^{235}_{92}\text{U}\) の初めの運動量は \(0\) です。運動量保存則より、崩壊後の \(^{231}_{90}\text{Th}\) の運動量を \(\vec{p}_{\text{Th}}\)、粒子Xの運動量を \(\vec{p}_X\) とすると、
$$\vec{0} = \vec{p}_{\text{Th}} + \vec{p}_X$$したがって、\(\vec{p}_{\text{Th}} = -\vec{p}_X\) となり、運動量の大きさは等しくなります。$$p_{\text{Th}} = p_X = p \quad (\text{とおく}) \quad \cdots ⑦$$
運動エネルギーは \(K = \displaystyle\frac{p^2}{2m}\) と表せるので、
\(^{231}_{90}\text{Th}\) の運動エネルギー \(K_{\text{Th}}\) は、
$$K_{\text{Th}} = \frac{p^2}{2M_{\text{Th}}} \quad \cdots ⑧$$粒子Xの運動エネルギー \(K_X\) は、$$K_X = \frac{p^2}{2m_X} \quad \cdots ⑨$$式⑧と⑨から \(p^2\) を消去すると、\(p^2 = 2M_{\text{Th}}K_{\text{Th}} = 2m_X K_X\) なので、$$M_{\text{Th}}K_{\text{Th}} = m_X K_X$$よって、$$K_{\text{Th}} = \frac{m_X}{M_{\text{Th}}} K_X \quad \cdots ⑩$$
ここで、\(m_X\) は粒子X（α粒子 \(^{4}_{2}\text{He}\)）の質量、\(M_{\text{Th}}\) は \(^{231}_{90}\text{Th}\) の質量です。これらの質量の比は、それぞれの質量数の比で近似できます。
\(m_X \approx 4u\), \(M_{\text{Th}} \approx 231u\) (ここで \(u\) は原子質量単位)。
したがって、\(\displaystyle\frac{m_X}{M_{\text{Th}}} \approx \frac{4}{231}\)。
粒子Xの運動エネルギー \(K_X = 7.0 \times 10^{-13} \text{ [J]}\) が与えられています。

式⑩に、質量数の比と \(K_X\) の値を代入します。
$$K_{\text{Th}} = \frac{4}{231} \times (7.0 \times 10^{-13} \text{ J})$$
$$K_{\text{Th}} = \frac{28}{231} \times 10^{-13} \text{ J}$$
ここで、\(\displaystyle\frac{28}{231}\) を計算します。
\(28 \div 231 \approx 0.121212…\)
よって、
$$K_{\text{Th}} \approx 0.121212… \times 10^{-13} \text{ J}$$これを整理して有効数字2桁で表すと（\(K_X\) が有効数字2桁なので）、$$K_{\text{Th}} \approx 1.212 \times 10^{-14} \text{ J} \approx 1.2 \times 10^{-14} \text{ J}$$

原子核が分裂するとき、もともと止まっていた場合、分裂してできた粒子たちは運動量保存の法則に従って飛び出します。具体的には、2つの粒子に分裂した場合、それらは反対方向に同じ大きさの「勢い」（運動量）で飛び出します。
運動エネルギーは、この「勢い」と「質量」に関係していて、勢いが同じなら、質量が軽い粒子ほど大きな運動エネルギーを持ちます（質量に反比例します）。
今回の分裂では、\(^{235}_{92}\text{U}\) が \(^{231}_{90}\text{Th}\) と粒子X（α粒子 \(^{4}_{2}\text{He}\)）に分かれました。
粒子Xの質量（質量数4）は、トリウムThの質量（質量数231）よりもずっと軽いです。
したがって、トリウムThの運動エネルギー \(K_{\text{Th}}\) は、粒子Xの運動エネルギー \(K_X\) に比べて \(\displaystyle\frac{\text{粒子Xの質量}}{\text{トリウムThの質量}}\) 倍になります。
質量の代わりに質量数を使って計算すると、
\(K_{\text{Th}} = \displaystyle\frac{4}{231} \times K_X\)
粒子Xの運動エネルギー \(K_X\) は \(7.0 \times 10^{-13}\) J なので、
\(K_{\text{Th}} = \displaystyle\frac{4}{231} \times (7.0 \times 10^{-13}) \approx 0.1212 \times 10^{-13} \approx 1.2 \times 10^{-14}\) J となります。

【6】の \(^{231}_{90}\text{Th}\) 原子核の運動エネルギーは約 \(1.2 \times 10^{-14} \text{ J}\) です。これは粒子Xの運動エネルギー \(7.0 \times 10^{-13} \text{ J}\) よりも小さく、質量の重い粒子の方が運動エネルギーが小さいという関係 (\(K \propto 1/m\)) と整合しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• α崩壊・β崩壊の法則: 各崩壊で原子番号 \(Z\) と質量数 \(A\) がどのように変化するかを正確に理解していることが、崩壊系列の問題を解く上での大前提です。
  • α崩壊: \(A \rightarrow A-4\), \(Z \rightarrow Z-2\)
  • β⁻崩壊: \(A \rightarrow A\), \(Z \rightarrow Z+1\)
• 質量数保存則と原子番号保存則: これらは全ての原子核反応や崩壊において厳密に成り立つため、未知の粒子や崩壊回数を決定する際に不可欠なツールです。
• 運動量保存則: 特に、静止している系が分裂する際には、分裂後の各粒子の運動量のベクトル和がゼロになるという形で適用され、放出される粒子の運動方向や速さの比を決定します。
• 運動エネルギーと運動量の関係 (\(K=p^2/2m\)): 運動量保存則と組み合わせることで、分裂片の運動エネルギーの分配（質量の逆比になること）を導き出すことができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • 複雑な崩壊系列の解析: 複数のα崩壊とβ崩壊が混在する長い崩壊系列でも、各ステップを丁寧に追うことで最終生成物や途中の核種を特定できます。
  • 核分裂反応: 原子核がほぼ等しい大きさの二つ以上の原子核に分裂する際も、運動量保存則やエネルギー保存則（質量欠損と放出エネルギーの関係）が重要になります。
  • 粒子の衝突と散乱: 原子核や素粒子の衝突実験においても、運動量保存則とエネルギー保存則は基本的な解析ツールです。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 崩壊系列全体を見渡す: まず始原核と最終核の質量数・原子番号の変化から、α崩壊とβ崩壊の総回数を把握します（問【1】【2】のアプローチ）。
  2. 個別の崩壊ステップに着目: 各崩壊段階で、質量数と原子番号がどのように変化しているかを確認し、それがα崩壊なのかβ崩壊なのかを判断します（問【3】【4】【5】のアプローチ）。
  3. 「静止していた」「分裂した」というキーワード: これらは運動量保存則が使える典型的な状況を示唆しています（問【6】のアプローチ）。
  4. エネルギーに関する問い: 運動エネルギーが問われている場合、運動量保存則と \(K=p^2/2m\) の関係、あるいはエネルギー保存則（特に崩壊エネルギーが関わる場合）を考慮します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• α崩壊とβ崩壊のルールの混同:
  • 原子番号や質量数の変化量を間違える（例: β崩壊で質量数も変化させてしまう）。
  • 対策: 各崩壊の定義と結果を明確に区別して覚える。簡単な表にまとめておくのも有効。
• 保存則の立式ミス:
  • 反応の前後で足し合わせるべき数値を間違える、符号を間違えるなど。
  • 対策: 反応式を丁寧に書き出し、各粒子の質量数・原子番号を正確に把握した上で、慎重に方程式を立てる。
• 運動エネルギーの分配:
  • 運動エネルギーが質量に比例すると誤解する（正しくは運動量が等しい場合、質量に反比例）。
  • 対策: \(K=p^2/2m\) の関係から、\(p\) が一定なら \(K \propto 1/m\) であることを導けるようにしておく。または「軽い方が速く飛んで大きな運動エネルギーを持つ」とイメージで覚える。
• 単位の扱い:
  • エネルギーの単位（J、eV、MeVなど）の換算が必要な場合に間違える。本問では[J]で統一。
  • 対策: 常に単位を意識し、必要に応じて換算を行う。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• 崩壊系列の図示:
  • 元素記号を縦軸に原子番号、横軸に中性子数（または質量数）をとった核図表（セグレチャートのようなもの）上で、α崩壊（左下に斜めに移動）やβ⁻崩壊（右上に斜めに移動）の軌跡をイメージすると、系列全体の流れが掴みやすくなります。
• 原子核分裂のイメージ:
  • 静止した大きな塊（親核）が、内部からの力で二つ（またはそれ以上）の小さな塊に分裂し、それらが互いに反発し合って飛び去る様子をイメージします。このとき、全体の重心は動かない（運動量保存）ことが重要です。
  • 分裂片の質量の違いによって、飛び出す速さや運動エネルギーが異なることを具体的に想像してみましょう。軽い破片は速く、重い破片はゆっくりと。
• 図を描く際の注意点:
  • 崩壊反応では、反応前後の原子核と放出される粒子を明確に描く。質量数と原子番号を付記する。
  • 運動量保存を考える際は、分裂前後の速度ベクトルを図示すると、向きや大きさの関係が分かりやすくなります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• α崩壊・β崩壊の法則:
  • 選定理由: 問題文で「αまたはβ崩壊をくり返し」や個別の崩壊過程が記述されているため、これらの法則の適用が必須です。
• 質量数保存則・原子番号保存則:
  • 選定理由: 原子核の変換が伴う現象（崩壊、反応）では、常にこれらの保存則が成り立ちます。未知の粒子や核種を決定する際の基本ルールです。
• 運動量保存則:
  • 選定理由: 問【6】で「はじめの原子核は静止しており」という条件があり、その後の分裂による粒子の運動エネルギーを問われているため。孤立系での分裂・衝突では運動量保存則が強力な手がかりとなります。
• \(K = p^2/(2m)\) および運動エネルギーの分配比:
  • 選定理由: 運動量保存則から各粒子の運動量の関係がわかった後、その運動エネルギーを求めるためにこの関係式を用います。特に静止からの2体分裂では、運動エネルギーが質量の逆比に分配されるという結果は頻用されます。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問【1】【2】 (崩壊回数の決定):
   1. 始原核と最終核の質量数の差を計算し、4で割ることでα崩壊の回数 \(N_\alpha\) を求める。
   2. 始原核と最終核の原子番号の差を計算する。
   3. \(N_\alpha\) 回のα崩壊による原子番号の減少分を考慮し、残りの原子番号の変化をβ崩壊で調整するようにしてβ崩壊の回数 \(N_\beta\) を求める。(\(Z_{\text{終}} = Z_{\text{始}} – 2N_\alpha + N_\beta\))
2. 問【3】 (粒子Xの特定):
   1. 与えられた崩壊反応式で、質量数保存の式を立てる。
   2. 同様に、原子番号保存の式を立てる。
   3. 上記2式から粒子Xの質量数と原子番号を求め、粒子を同定する。
3. 問【4】【5】 (\(x, y\) の特定 (修正済)):
   1. 崩壊系列の最初のステップ (\(^{231}_{90}\text{Th} \rightarrow ^{x}_{91}\text{Pa}\)) に着目。原子番号の変化から崩壊の種類（β⁻崩壊）を判断し、質量数 \(x\) を決定する。
   2. 次のステップ (\(^{x}_{91}\text{Pa} \rightarrow ^{y}_{89}\text{Ac}\)) に着目。原子番号の変化から崩壊の種類（α崩壊）を判断し、質量数 \(y\) を決定する。(\(y = x-4\))
4. 問【6】 (運動エネルギーの計算):
   1. 静止している親核の崩壊なので、運動量保存則を適用 (\(p_{\text{Th}} = p_X\))。
   2. 運動エネルギーと運動量の関係 \(K=p^2/(2m)\) から、\(K_{\text{Th}}/K_X = m_X/M_{\text{Th}}\) を導く。
   3. 質量の比を質量数の比で近似 (\(m_X/M_{\text{Th}} \approx A_X/A_{\text{Th}}\))。
   4. 与えられた \(K_X\) の値と質量数の比を用いて \(K_{\text{Th}}\) を計算する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認: 原子番号の変化で、α崩壊なら減少(-2)、β⁻崩壊なら増加(+1)といった符号の扱いに注意する。
• 代入ミス防止: 複数の未知数やステップがある場合、どの値をどこに代入するかを明確にする。
• 分数・小数の計算: 問【6】のような運動エネルギーの比の計算では、分数の約分や小数計算を正確に行う。特に \(10^n\) の指数計算は丁寧に。
• 検算の実施:
  • 問【1】【2】では、求めた崩壊回数で実際に質量数と原子番号が合うか確認する。
  • 問【6】では、質量の軽い方がエネルギーが大きいという関係になっているか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理量のオーダー感覚:
  • 原子核崩壊で放出される粒子の運動エネルギーは、MeVオーダーが多いですが、ジュール[J]で与えられている場合は換算せずにそのまま扱います。今回の値 (\(10^{-13} \text{ J} \sim 10^{-14} \text{ J}\)) は、MeVに換算すると数MeV程度であり、α崩壊のエネルギーとしては妥当な範囲です。(\(1 \text{ MeV} \approx 1.6 \times 10^{-13} \text{ J}\))
• 保存則の再確認: 全ての問いで、基本的な保存則（質量数、原子番号、運動量）が破られていないかを振り返ることが重要です。
• 問題文の条件の利用漏れがないか: 「静止しており」などの初期条件は、運動量保存則を適用する上で非常に重要なので、見落とさないようにします。

問題152 (立教大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、(1)では原子核のα崩壊とそれに続く光子（γ線）の放出、光子のエネルギー・振動数・運動量、そして運動量保存則を扱い、(2)では電子と陽電子の対消滅における質量とエネルギーの等価性、エネルギー保存則を扱います。原子核物理と現代物理の基本的な概念と計算が問われます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解き進めるにあたって、以下の物理法則や概念が鍵となります。

• α崩壊の法則: 原子核がα粒子 (\(^{4}_{2}\text{He}\)) を放出すると、質量数が4減少し、原子番号が2減少する。
• 光子のエネルギーと振動数: \(E = h\nu\)
• 光子の運動量: \(p = E/c\)
• 運動量保存則: 外力が働かない系では、系の全運動量は保存される。
• エネルギーの単位換算: \(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\)
• 質量とエネルギーの等価性: \(E = mc^2\)
• エネルギー保存則: エネルギーの総量は形態を変えても常に一定に保たれる。

問【ア】および問【イ】

思考の道筋とポイント
α崩壊では、原子核からα粒子(\(^{4}_{2}\text{He}\))が放出されます。その結果、元の原子核の質量数は4減少し、原子番号は2減少します。このルールをビスマス \(^{212}_{83}\text{Bi}\) に適用して、崩壊後のタリウムの質量数【ア】と原子番号【イ】を求めます。

この設問における重要なポイント

• α崩壊では質量数が4減少する。
• α崩壊では原子番号が2減少する。

具体的な解説と立式
ビスマス \(^{212}_{83}\text{Bi}\) がα崩壊してタリウム \(^{\text{ア}}_{\text{イ}}\text{Tl}\) になる反応を考えます。
α崩壊により、タリウムの質量数【ア】は、
$$\text{【ア】} = (\text{Biの質量数}) – 4 = 212 – 4 \quad \cdots ①$$
タリウムの原子番号【イ】は、
$$\text{【イ】} = (\text{Biの原子番号}) – 2 = 83 – 2 \quad \cdots ②$$

式①より、【ア】(タリウムの質量数)を計算します。
$$\text{【ア】} = 212 – 4 = 208$$
式②より、【イ】(タリウムの原子番号)を計算します。
$$\text{【イ】} = 83 – 2 = 81$$

α崩壊とは、原子核がヘリウムの原子核（陽子2個、中性子2個の塊）を放出する現象です。ヘリウムの原子核は質量数が4、原子番号が2です。
したがって、元のビスマス(\(^{212}_{83}\text{Bi}\))からα粒子が飛び出すと、
質量数（原子の重さの目安）は4だけ小さくなります。\(212 – 4 = 208\)。これが【ア】です。
原子番号（原子の種類を決める番号）は2だけ小さくなります。\(83 – 2 = 81\)。これが【イ】です。
こうしてできた原子はタリウム(\(^{\text{208}}_{\text{81}}\text{Tl}\))です。

【ア】は208、【イ】は81です。したがって、崩壊後のタリウムは \(^{208}_{81}\text{Tl}\) となります。これはα崩壊の法則に正しく従っています。数値は整数なので有効数字の指示は適用されません。

問【ウ】

思考の道筋とポイント
光子のエネルギー \(E\) と振動数 \(\nu\) の間には \(E = h\nu\) という関係があります。与えられた光子のエネルギーは \(4.5 \times 10^5 \text{ eV}\) です。このエネルギーを、プランク定数 \(h\) の単位 (J・s) に合わせて、ジュール(J)単位に換算する必要があります。\(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\) の関係（電気素量 \(e\) の値を利用）を用います。

この設問における重要なポイント

• 光子のエネルギーと振動数の関係式 \(E=h\nu\)。
• エネルギーの単位 eV と J の換算。
• 有効数字2桁での解答。

具体的な解説と立式
放出された光子のエネルギー \(E_{\text{光子}}\) は \(4.5 \times 10^5 \text{ eV}\) です。
まず、このエネルギーをジュール単位に換算します。電気素量 \(e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\) を用いて、\(1 \text{ eV} = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (1 \text{ V}) = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\) となります。
$$E_{\text{光子, J}} = (4.5 \times 10^5 \text{ eV}) \times (1.6 \times 10^{-19} \text{ J/eV}) \quad \cdots ③$$
光子のエネルギー \(E\) と振動数 \(\nu\)、プランク定数 \(h\) の間には \(E = h\nu\) の関係があります。
したがって、光子の振動数【ウ】(\(\nu\)) は、
$$\nu = \frac{E_{\text{光子, J}}}{h} \quad \cdots ④$$
ここで、プランク定数 \(h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\) を用います。

式③を用いて、光子のエネルギーをジュールで計算します。
$$E_{\text{光子, J}} = (4.5 \times 1.6) \times 10^{5 + (-19)} \text{ J}$$
$$E_{\text{光子, J}} = 7.2 \times 10^{-14} \text{ J}$$
次に、式④を用いて振動数 \(\nu\) を計算します。
$$\nu = \frac{7.2 \times 10^{-14} \text{ J}}{6.6 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}}$$
$$\nu = \frac{7.2}{6.6} \times 10^{-14 – (-34)} \text{ Hz}$$
$$\nu = \frac{72}{66} \times 10^{20} \text{ Hz} = \frac{12}{11} \times 10^{20} \text{ Hz}$$
ここで、\(\displaystyle\frac{12}{11} \approx 1.090909…\) です。
問題の指示に従い、有効数字2桁で答えるため、
$$\nu \approx 1.1 \times 10^{20} \text{ Hz}$$

光の粒である「光子」のエネルギー \(E\) は、その振動数 \(\nu\) とプランク定数 \(h\) を使って \(E=h\nu\) と表せます。
問題では、光子のエネルギーが \(4.5 \times 10^5 \text{ eV}\)（電子ボルト）と与えられています。プランク定数 \(h\) の単位がジュール・秒なので、エネルギーもジュール(J)に直す必要があります。\(1 \text{ eV}\) は約 \(1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\) です。
光子のエネルギー (J) \( = (4.5 \times 10^5) \times (1.6 \times 10^{-19}) = 7.2 \times 10^{-14} \text{ J} \)。
これを \(\nu = E/h\) の式に入れて、\(h = 6.6 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\) で割ると、
\(\nu = (7.2 \times 10^{-14}) / (6.6 \times 10^{-34}) \approx 1.0909… \times 10^{20} \text{ Hz}\)。
有効数字2桁で答えるので、\(1.1 \times 10^{20} \text{ Hz}\) となります。

【ウ】の光子の振動数は約 \(1.1 \times 10^{20} \text{ Hz}\) です。単位換算、公式の適用、有効数字の処理が適切に行われています。

問【エ】

思考の道筋とポイント
初め静止していたタリウム原子核が光子を放出すると、運動量保存則により、タリウム原子核は光子と反対方向に同じ大きさの運動量を持って反跳します。光子の運動量 \(p_{\text{光子}}\) は、そのエネルギー \(E_{\text{光子}}\) と光速 \(c\) を用いて \(p_{\text{光子}} = E_{\text{光子}}/c\) と表されます。問【ウ】で計算した光子のエネルギー（ジュール単位）を利用するのが効率的です。

この設問における重要なポイント

• 運動量保存則の適用（静止系からの放出）。
• 光子の運動量とエネルギーの関係式 \(p=E/c\)。
• 有効数字2桁での解答。

具体的な解説と立式
タリウム原子核は光子を放出する前は静止していたため、系の初期運動量はゼロです。光子放出後、タリウム原子核が運動量 \(\vec{p}_{\text{Tl}}\) を持ち、光子が運動量 \(\vec{p}_{\text{光子}}\) を持つとすると、運動量保存則より、
$$\vec{0} = \vec{p}_{\text{Tl}} + \vec{p}_{\text{光子}}$$
したがって、タリウム原子核の運動量の大きさと光子の運動量の大きさは等しくなります: \(|\vec{p}_{\text{Tl}}| = |\vec{p}_{\text{光子}}|\)。
よって、タリウム原子核に与えられた運動量の大きさ【エ】は、放出された光子の運動量の大きさに等しいです。
光子の運動量 \(p_{\text{光子}}\) は、そのエネルギー \(E_{\text{光子, J}}\) と光速 \(c\) を用いて次のように表せます。
$$\text{【エ】} = p_{\text{光子}} = \frac{E_{\text{光子, J}}}{c} \quad \cdots ⑤$$
問【ウ】の計算過程で求めた \(E_{\text{光子, J}} = 7.2 \times 10^{-14} \text{ J}\) と、真空中の光速 \(c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\) を用います。

式⑤に値を代入して【エ】を計算します。
$$\text{【エ】} = \frac{7.2 \times 10^{-14} \text{ J}}{3.0 \times 10^8 \text{ m/s}}$$
$$\text{【エ】} = \left(\frac{7.2}{3.0}\right) \times 10^{-14-8} \text{ kg}\cdot\text{m/s}$$
$$\text{【エ】} = 2.4 \times 10^{-22} \text{ kg}\cdot\text{m/s}$$

物体が静止している状態から何かを放出すると、本体は放出物と反対方向に動きます。これは運動量が保存されるためです。この場合、タリウム原子核は光子を放出し、自身はその反動で動きます。タリウムの運動量の大きさと光子の運動量の大きさは等しくなります。
光子の運動量 \(p\) は、そのエネルギー \(E\) を光速 \(c\) で割ったもの、つまり \(p=E/c\) で計算できます。
問【ウ】で計算した光子のエネルギーは \(7.2 \times 10^{-14} \text{ J}\)、光速は \(3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\) です。
したがって、光子の運動量は \((7.2 \times 10^{-14}) / (3.0 \times 10^8) = 2.4 \times 10^{-22} \text{ kg}\cdot\text{m/s}\) となります。これがタリウムに与えられた運動量の大きさ【エ】です。

【エ】のタリウムに与えられた運動量の大きさは \(2.4 \times 10^{-22} \text{ kg}\cdot\text{m/s}\) です。運動量保存則と光子の運動量の公式が正しく適用され、有効数字も2桁で適切です。

問【オ】

思考の道筋とポイント
静止している陽電子と電子が対消滅すると、それらが持っていた静止エネルギーの合計が、発生する2個の光子のエネルギーの合計に変換されます（エネルギー保存則）。陽電子の質量は電子の質量 \(m_e\) に等しいので、反応前の全エネルギーは \(m_e c^2 (\text{電子}) + m_e c^2 (\text{陽電子}) = 2m_e c^2\) です。これがエネルギーの等しい2個の光子になるので、光子1個のエネルギーは \( (2m_e c^2) / 2 = m_e c^2 \) となります。この値を計算し、MeV単位に換算します。

この設問における重要なポイント

• 対消滅におけるエネルギー保存則。
• 質量とエネルギーの等価性 \(E=mc^2\)。
• MeV と J の単位換算 (\(1 \text{ MeV} = 1.6 \times 10^{-13} \text{ J}\))。
• 有効数字2桁での解答。

具体的な解説と立式
静止している陽電子（質量 \(m_e\)）と電子（質量 \(m_e\)）が対消滅し、エネルギーの等しい2個の光子（各光子のエネルギーを \(E_{\text{1光子}}\) とする）が発生します。
エネルギー保存則より、消滅前の全エネルギー（電子と陽電子の静止エネルギーの和）と、消滅後の全エネルギー（2個の光子のエネルギーの和）は等しくなります。
$$m_e c^2 + m_e c^2 = E_{\text{1光子}} + E_{\text{1光子}}$$
$$2 m_e c^2 = 2 E_{\text{1光子}} \quad \cdots ⑥$$
したがって、発生した光子1個のエネルギー \(E_{\text{1光子}}\) は、
$$E_{\text{1光子}} = m_e c^2 \quad \cdots ⑦$$
このエネルギーをまずジュール(J)で計算し、その後MeV(メガ電子ボルト)に換算します。
与えられた値: \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\), \(c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\)。
換算係数: \(1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}\), \(1 \text{ MeV} = 10^6 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-13} \text{ J}\)。
ジュールで計算したエネルギーを \(E_{\text{1光子, J}}\) とすると、MeV単位のエネルギー【オ】は、
$$\text{【オ】} = \frac{E_{\text{1光子, J}}}{1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}} \quad \cdots ⑧$$

まず、式⑦を用いて光子1個のエネルギー \(E_{\text{1光子, J}}\) をジュール単位で計算します。
$$E_{\text{1光子, J}} = (9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}) \times (3.0 \times 10^8 \text{ m/s})^2$$
$$E_{\text{1光子, J}} = (9.1 \times 10^{-31}) \times (9.0 \times 10^{16}) \text{ J}$$
$$E_{\text{1光子, J}} = (9.1 \times 9.0) \times 10^{-31+16} \text{ J}$$
$$E_{\text{1光子, J}} = 81.9 \times 10^{-15} \text{ J} = 8.19 \times 10^{-14} \text{ J}$$
次に、式⑧を用いてこのエネルギーをMeV単位に換算します。
$$\text{【オ】} = \frac{8.19 \times 10^{-14} \text{ J}}{1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}}$$
$$\text{【オ】} = \frac{8.19}{1.6} \times 10^{-14 – (-13)} \text{ MeV}$$
$$\text{【オ】} = \frac{8.19}{1.6} \times 10^{-1} \text{ MeV}$$
ここで、\(\displaystyle\frac{8.19}{1.6} = \frac{819}{160} \approx 5.11875\) です。
$$\text{【オ】} \approx 5.11875 \times 10^{-1} \text{ MeV} = 0.511875 \text{ MeV}$$
問題の指示に従い、有効数字2桁で答えるため、
$$\text{【オ】} \approx 0.51 \text{ MeV}$$

電子とその「鏡写し」のような粒子である陽電子がぶつかると、両方とも消えてしまい、その代わりに光のエネルギー（光子）が生まれます。このとき、アインシュタインの \(E=mc^2\) という有名な式に従って、質量がエネルギーに変わります。
電子と陽電子は静止していたので、運動エネルギーはゼロです。持っているのは質量 \(m_e\) による「静止エネルギー」\(m_e c^2\) だけです。2つあるので、消滅前の全エネルギーは \(2m_e c^2\) です。
これが同じエネルギーを持つ2個の光子に変わったので、1個の光子が持つエネルギーは \( (2m_e c^2) / 2 = m_e c^2 \) となります。
電子の質量 \(m_e = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}\)、光速 \(c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\) を代入して \(m_e c^2\) を計算すると、約 \(8.19 \times 10^{-14} \text{ J}\) となります。
これをMeV（メガ電子ボルト）という単位に直します。\(1 \text{ MeV}\) は \(1.6 \times 10^{-13} \text{ J}\) なので、
エネルギー(MeV) \( = (8.19 \times 10^{-14} \text{ J}) / (1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV}) \approx 0.511875 \text{ MeV}\)。
有効数字2桁にすると、約 \(0.51 \text{ MeV}\) です。

【オ】の光子1個のエネルギーは約 \(0.51 \text{ MeV}\) です。これは電子（または陽電子）の静止エネルギーとしてよく知られている値であり、物理的に妥当です。計算過程、単位換算、有効数字の処理も適切です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• α崩壊の法則: 質量数と原子番号の変化 (\(A \rightarrow A-4, Z \rightarrow Z-2\))。これは原子核の安定性を理解する上で基本的な崩壊様式の一つです。
• 光子の粒子性（エネルギーと運動量）: 光子は波としての性質だけでなく、エネルギー \(E=h\nu\) と運動量 \(p=E/c\) を持つ粒子としても振る舞います。この二重性は現代物理学の根幹です。
• 運動量保存則: 外力が作用しない系において、全運動量は常に保存されます。これは原子核の崩壊や衝突、光子の放出・吸収など、ミクロな世界の現象にも適用される普遍的な法則です。
• 質量とエネルギーの等価性 (\(E=mc^2\)): 質量はエネルギーの一形態であり、互いに変換しうるというアインシュタインの発見は、原子核物理学（特に核反応や対消滅・対生成）を理解する上で不可欠です。
• エネルギー保存則: 孤立系において、エネルギーの総量は形態を変えても常に一定に保たれます。対消滅では、粒子の静止エネルギーが光子のエネルギーに変換されます。
• 単位系の理解と換算: 物理量の計算において、エネルギーの単位ジュール(J)と電子ボルト(eV, MeV)の換算は頻繁に現れます。その定義と換算係数を正確に把握することが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題への応用:
  • β崩壊やγ崩壊を含む原子核反応全般。
  • 光電効果、コンプトン散乱など、光子のエネルギーや運動量が関わる現象。
  • 素粒子の対生成（高エネルギー光子から粒子と反粒子のペアが生まれる現象）。
  • 原子核反応における反応エネルギー（Q値）の計算と、それが生成物の運動エネルギーにどう分配されるか。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 現象の特定: 問題文が記述している物理現象（α崩壊、光子放出、対消滅など）を正確に把握する。
  2. 保存則の確認: その現象に適用できる保存則（エネルギー保存、運動量保存、質量数保存、原子番号保存など）は何かを考える。
  3. 関与する粒子とその性質: 電子、陽電子、光子、原子核など、登場する粒子の質量、電荷、エネルギー、運動量の関係式を思い出す。
  4. 単位の確認: 与えられている数値や定数の単位を確認し、必要に応じて計算前に換算する。特にエネルギー単位(J と eV/MeV) は要注意。
  5. 初期条件と最終状態: 「静止していた」「衝突した」「消滅した」などの記述から、系の状態変化を明確にする。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 単位換算のミス: eV と J の換算係数 (\(1.6 \times 10^{-19}\)) の適用忘れや、指数計算の誤り。
  • 対策: 物理定数や換算係数は正確に記憶し、単位もセットで覚える。計算の最初か最後にまとめて換算するなどルールを決める。
• 光子の運動量の扱い: 光子の運動量を \(p=mc\) と誤って計算してしまう（光子に静止質量はない）。
  • 対策: 正しくは \(p=E/c\) または \(p=h/\lambda\)。光子の性質（質量0、エネルギー \(h\nu\)、運動量 \(h/\lambda\)）を正確に理解する。
• 対消滅・対生成のエネルギー計算: 関与する粒子の数（例: 対消滅で2光子生成）や、エネルギーの分配を誤る。
  • 対策: 対消滅・対生成の基本的なプロセスを図で理解し、エネルギー保存則を正しく適用する。
• 運動量保存の適用の誤り: ベクトル量である運動量の向きを考慮しない、またはスカラー量のように扱ってしまう。
  • 対策: 図を描いて現象を視覚化し、特にベクトル量は向きも考慮する。
• 有効数字の処理: 指示された有効数字で解答するための丸め処理のタイミングや方法の誤り。
  • 対策: 有効数字のルールを再確認し、計算の最終段階で適切に処理する。途中の計算では1桁多く保持すると精度が保たれる。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• (1) α崩壊と光子放出:
  • α崩壊では、大きな原子核から小さなα粒子が「飛び出し」、残りの原子核（娘核）ができるイメージ。
  • その後、娘核が励起状態にある場合、余分なエネルギーを光子（γ線）として放出して安定な状態に落ち着くイメージ。この際、光子と娘核が互いに反対方向に運動量を持って飛び出す（反跳）様子を図示すると、運動量保存が理解しやすい。
• (2) 電子・陽電子の対消滅:
  • 電子と陽電子が近づき、衝突して「消滅」し、その場から2つの光子が正反対の方向に飛び出していくイメージ。これは、元の電子・陽電子対の運動量がゼロ（静止していたため）なので、生成される光子対の全運動量もゼロでなければならないためです。
• 図を描く際の注意点:
  • 反応や崩壊の前後で、関与する粒子とそれらの運動量ベクトル（向きと相対的な大きさ）を明確に描く。
  • エネルギーの出入りや変換の様子を矢印などで示すと、エネルギー保存の概念が捉えやすくなる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• α崩壊の法則 (\(A-4, Z-2\)): 「α崩壊するビスマス」と明記されているため、この法則を適用して娘核を特定する。
• \(E=h\nu\): 「光子の振動数は」という問いと、光子のエネルギーが与えられていることから、この公式が適切であると判断する。
• \(p=E/c\): 「運動量の大きさは」という問いで、光子のエネルギーが既知である場合、この関係式から光子の運動量を求めるのが最も直接的。
• 運動量保存則: 「静止した」「放出した」という記述から、外力の影響がない（または無視できる）系での運動量の変化を考える際に適用する。
• \(E=mc^2\): 「陽電子と電子は消滅し、エネルギーの等しい2個の光子が発生した」という、質量がエネルギーに変換される典型的な現象であるため、この公式を適用する。エネルギー保存則と組み合わせて用いる。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 【ア】【イ】: α崩壊の定義に基づき、質量数と原子番号の差を計算する。
2. 【ウ】:
   1. 光子のエネルギーをeVからJに換算する (\(E_{\text{J}} = E_{\text{eV}} \times e\))。
   2. \(E=h\nu\) を \(\nu\) について解き (\(\nu = E/h\))、値を代入して計算する。
3. 【エ】:
   1. 運動量保存則から、Tlの運動量の大きさが光子の運動量の大きさに等しいことを確認する。
   2. 光子の運動量を \(p=E/c\) で計算する（Eはジュール単位）。
4. 【オ】:
   1. エネルギー保存則から、2光子の全エネルギーが電子と陽電子の静止エネルギーの和 (\(2m_e c^2\)) に等しいことを理解する。
   2. 光子1個のエネルギーが \(m_e c^2\) であることを導く。
   3. \(m_e c^2\) をジュール単位で計算する。
   4. 計算結果をジュールからMeVに換算する (\(\text{値[J]} / (1.6 \times 10^{-13} \text{ J/MeV})\))。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性: 計算途中では単位をジュール(J)、キログラム(kg)、メートル(m)、秒(s)といった基本単位（または揃えた単位）で行うことを意識する。最終的に求められる単位に換算する。
• 指数計算の正確性: \(10^n \times 10^m = 10^{n+m}\), \(10^n / 10^m = 10^{n-m}\) といった指数法則を確実に適用する。特に符号に注意。
• 定数の値の正確な入力: 与えられた物理定数（\(m_e, e, c, h\)）の値を正確に用いる。
• 有効数字の処理: 計算の最終段階で、問題文の指示（整数でない場合は2桁）に従って有効数字を処理する。途中の計算では1桁多く保持すると精度が保たれる。
• 概算による検算: 大きな桁の計算や指数計算では、オーダー（\(10\) の何乗か）が大きくずれていないか概算して確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 【ア】【イ】: 生成されたタリウムの原子番号と質量数が、周期表や核図表上で不自然な値でないか（極端に軽すぎたり重すぎたりしていないか）。
• 【ウ】: 計算された振動数のオーダーが、光子のエネルギーに対して妥当か。X線やγ線の領域になるはず。
• 【エ】: 運動量の値が極端に大きすぎたり小さすぎたりしないか。単位が正しいか (\(\text{kg}\cdot\text{m/s}\))。
• 【オ】: 電子の静止エネルギーとして \(0.511 \text{ MeV}\) は非常に有名な値であり、これに近い値が得られれば計算が正しい可能性が高い。
• 全体を通して、計算結果の物理的な意味を考え、ありえないような値が出ていないかを確認する。例えば、エネルギーや質量が負になる、光速を超える速度になるなど。

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問題153 (東海大)