「良問の風」攻略ガイド（101〜105問）：重要問題の解き方と物理の核心をマスター！

問題101 (琉球大＋大阪産大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、固定された二つの点電荷が作る電場と電位について、電気力線や等電位線の性質を通して理解を深めることを目的としています。対称性や基本的な法則をしっかりと適用できるかがポイントになります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

【注記】本問については、模範解答のアプローチが最も標準的かつ効率的であるため、別解の提示は省略します。

この問題のテーマは「静電場と電位」です。特に、複数の点電荷が存在する場合の電気力線、等電位線、電場の強さ、電位の概念、そして荷電粒子を移動させる際の仕事について総合的に問われています。

問(1)

思考の道筋とポイント
(ア) \(q_1\) の符号は、点Pから電気力線が湧き出しているか、吸い込まれているかで判断します。
(イ) \(q_2\) の符号は、点Qから電気力線が湧き出しているか、吸い込まれているかで判断します。
(ウ) \(|q_1|\) と \(|q_2|\) の比は、点Pから湧き出す電気力線の本数と、点Qに吸い込まれる電気力線の本数を比較して求めます。電気力線の本数は電気量の絶対値に比例します。
(エ) 帯電体が点Aで受ける力の大きさと点Bで受ける力の大きさの比較は、それぞれの点における電場の強さを比較することに相当します。電場の強さは電気力線の密度や、電荷からの距離、電荷の大きさによって決まります。
この設問における重要なポイント

• 電気力線は正電荷から出て、負電荷に入る。
• 電気力線の本数は、その源となる電荷の電気量の絶対値に比例する。
• 電場 \(\vec{E}\) 中の電荷 \(q\) が受ける力の大きさは \(F = |q|E\)。同じ帯電体であれば、電場の強い場所ほど大きな力を受ける。
• 電場の強さは電気力線の密度に比例する。

具体的な解説と立式
(ア) \(q_1\) の符号について
問題の図を見ると、点Pからは電気力線が周囲に向かって出ています。電気力線の性質として、正の電荷からは湧き出し、負の電荷へは吸い込まれます。したがって、電荷 \(q_1\) は正の符号を持つと判断できます。

(イ) \(q_2\) の符号について
同様に図を見ると、点Qへは周囲から電気力線が集まるように入っています。したがって、電荷 \(q_2\) は負の符号を持つと判断できます。

(ウ) \(|q_1|\) と \(|q_2|\) の比の値について
電気力線の本数は、その源となっている電荷の電気量の絶対値に比例します。図に描かれている電気力線の本数を数えると、点Pから出ている本数は12本、点Qに入っている本数も12本です。
したがって、\(|q_1|\) と \(|q_2|\) の比は、
$$
\begin{aligned}
|q_1| : |q_2| &= (\text{Pから出る線の本数}) : (\text{Qに入る線の本数}) \\[2.0ex]
&= 12 : 12 \\[2.0ex]
&= 1 : 1
\end{aligned}
$$
よって、この比の値は 1 です。

(エ) 帯電体が点Aで受ける力の大きさと点Bで受ける力の大きさの比較
帯電体が受ける静電気力の大きさは、その場所の電場の強さに比例します (\(F = |q|E\))。したがって、点Aと点Bにおける電場の強さ \(E_A\) と \(E_B\) を比較すればよいことになります。
電場の強さは電気力線の密度に比例します。
図中の電気力線の様子を観察すると、点Aの周辺では電気力線は比較的まばら（疎）であるのに対し、点Bの周辺（特に電荷Qの近傍）では電気力線が密になっています。
電気力線の密度が疎であるほど電場は弱く、密であるほど電場は強いです。
したがって、点Aにおける電場の強さ \(E_A\) は、点Bにおける電場の強さ \(E_B\) よりも小さいと考えられます (\(E_A < E_B\))。
よって、点Aで帯電体が受ける力の大きさは、点Bで受ける力の大きさよりも小さいです。

(ア), (イ), (エ) は図からの定性的な判断です。
(ウ) 電気力線の本数を数えて比を取ります。
Pから出る本数: 12本
Qに入る本数: 12本
したがって、\(|q_1| : |q_2| = 12 : 12 = 1 : 1\)。比の値は1です。

(ア) 電気の線が電荷から「出て」いればプラスの電気です。Pからは線が出ているので、\(q_1\) はプラスです。
(イ) 電気の線が電荷に「入って」いればマイナスの電気です。Qへは線が入っているので、\(q_2\) はマイナスです。
(ウ) 電気の線の「本数」が電気の強さ（量）を表します。Pから出ている線とQに入っている線の本数が同じなので、\(q_1\) と \(q_2\) の電気の強さ（絶対値）は同じです。だから、比は1対1で、値は1です。
(エ) 電気の線が「混んでいる」ところほど、電場が強く、大きな力を受けます。図を見ると、A点の周りよりもB点の周りの方が線が混んでいますね。だから、A点で受ける力はB点で受ける力よりも小さいです。

(ア) \(q_1\) の符号：正
(イ) \(q_2\) の符号：負
(ウ) \(|q_1|\) と \(|q_2|\) の比の値：1
(エ) 点Aで受ける力の大きさは、点Bの場合より：小さい
これらの結論は、電気力線の基本的な性質と、与えられた図を丁寧に観察することで得られます。特に(エ)は、電気力線の密度が電場の強さを視覚的に表していることを理解しているかが問われます。

問(2)

思考の道筋とポイント
等電位線を作図する際の最も重要なルールは、「等電位線は電気力線と常に直交する」ということです。点Cと点Dをそれぞれ通り、かつその点およびその近傍で電気力線と垂直に交わるような滑らかな線を描くことを目指します。
この設問における重要なポイント

• 等電位線と電気力線は互いに直交する。
• 点Cと点Dは、どちらも正電荷 \(q_1\) (P) の近くにある。
• 線分AO（PQの垂直二等分線）は、対称性から電位0Vの等電位線となります（(1)より \(|q_1|=|q_2|\) かつ符号が逆なので、これは電気双極子の性質です。無限遠を電位0Vとした場合）。

具体的な解説と立式
等電位線とは、その線上のどの点においても電位が等しい点の集まりです。電気力線が電場の方向（電位が最も急激に減少する方向）を示すのに対し、等電位線はその電場の方向と常に垂直な方向を結んだ線となります。

点Cを通る等電位線:
点Cは正電荷 \(q_1\) (P) の比較的近くに位置しています。したがって、点Cの電位は正であり、その値も比較的大きいと予想されます。作図する際は、点Cを通り、点Cおよびその周辺で電気力線と直角に交わるように滑らかな曲線を描きます。この曲線は、おおむね点Pを中心とする同心円から、負電荷 \(q_2\) の影響を受けて少し歪んだ形になります。

点Dを通る等電位線:
点Dも正電荷 \(q_1\) (P) の近くに位置しています。したがって、点Dの電位も正であると予想されます。作図する際は、点Dを通り、点Dおよびその周辺で電気力線と直角に交わるように滑らかな曲線を描きます。この曲線も、点Pを取り囲むような形になります。

模範解答では、これらの等電位線が赤線で示されています。作図する際は、この模範解答の図を参考に、電気力線との直交関係を意識して丁寧に描く必要があります。

これは作図問題であるため、数式を用いた計算過程はありません。物理法則（電気力線と等電位線の直交）に基づいて図示します。

等電位線は、地図の「等高線」のようなものです。電気力線が「坂道（水が流れる方向）」だとすると、等電位線は「同じ高さの場所を結んだ線」で、坂道とは必ず直角に交わります。
点Cと点Dのそれぞれについて、その点を通るように、周りの電気力線とぶつかる時に直角になるように、滑らかな線を引いてあげればOKです。CもDもP（プラス）の近くなので、どちらも高い山の等高線のようなイメージです。

点Cを通る等電位線と点Dを通る等電位線は、どちらも点Pを取り囲むように、電気力線と直交しながら描かれます。これらの線は、概ね電荷を中心とする円形から、もう一方の電荷の影響で歪んだ形となります。

問(3)

思考の道筋とポイント
各点の電位 \(V_O, V_A, V_B, V_C, V_D\) の大小関係を決定します。これには以下の知識と図からの読み取りが重要です。
1. 電気力線は電位の高い方から低い方へ向かう。
2. 正電荷の近くは電位が高く（無限遠を0Vとした場合）、負電荷の近くは電位が低い。
3. PQの垂直二等分線AO上は、(1)で \(q_1\) が正、\(q_2\) が負で \(|q_1|=|q_2|\) とわかったため、電気双極子の性質から電位が0Vとなる（無限遠を電位0Vの基準とした場合）。
この設問における重要なポイント

• \(V_O, V_A\): 点Oと点AはPQの垂直二等分線上にあり、電位は0Vになります。
• \(V_B\): 点Bは負電荷 \(q_2\) (Q) の非常に近くにあり、電位は負になると考えられます。
• \(V_C, V_D\): 点Cと点Dはどちらも正電荷 \(q_1\) (P) の近くにあり、電位は正になると考えられます。両者の大小関係は、Pからの距離で判断します。
• 電気力線は電位の高い方から低い方へ向かうという原則を常に意識する。

具体的な解説と立式
まず、基本的な電位基準を設定します。問題の条件と対称性から、PQの垂直二等分線AO上は電位が0Vであるとします（無限遠点を電位0Vの基準とした場合）。点Oと点Aはこの直線上にあるため、
$$
\begin{aligned}
V_A &= V_O = 0 \text{ [V]}
\end{aligned}
$$

次に、点Bの電位 \(V_B\) を考えます。点Bは負電荷 \(q_2\) (Q) のごく近傍にあります。負電荷の近くでは電位は負になるため、
$$
\begin{aligned}
V_B &< 0
\end{aligned}
$$
したがって、\(V_B < V_A = V_O\) となります。

次に、点Cと点Dの電位 \(V_C, V_D\) を考えます。点Cと点Dはどちらも正電荷 \(q_1\) (P) の近くにあるため、電位は正です。
$$
\begin{aligned}
V_C &> 0 \\
V_D &> 0
\end{aligned}
$$
正電荷がつくる電位は、電荷からの距離が近いほど高くなります。図を観察すると、点Cは点Dよりも正電荷Pに近い位置にあります。したがって、点Cの電位は点Dの電位よりも高いと考えられます。
$$
\begin{aligned}
V_C > V_D
\end{aligned}
$$
また、点Dは明らかに電位0Vの直線AOよりもP側に位置しているため、その電位は正です。\(V_D > V_O (=0)\)。

以上の考察をまとめると、電位の低い順に並べると、
1. \(V_B\) （負で最も低い）
2. \(V_A = V_O\) （0V）
3. \(V_D\) （正で、0Vより高く \(V_C\) より低い）
4. \(V_C\) （正で最も高い）

したがって、これらの大小関係は、
$$
\begin{aligned}
V_B < V_A = V_O < V_D < V_C
\end{aligned}
$$
となります。

この設問は、各点の電位の値を具体的に計算するのではなく、その大小関係を定性的に判断するものです。上記「具体的な解説と立式」で述べた論理的な比較が計算過程に相当します。

電気の世界での「高さ（電位）」を比べてみましょう。
1. A点とO点は、P（プラス君）とQ（マイナス君）のちょうど真ん中を通る特別な線の上にあって、ここの高さは基準の0メートルとします。
2. B点は、Q（マイナス君）のすぐそばなので、地面よりずっと低い、マイナスの高さです。
3. C点とD点は、どちらもP（プラス君）の近くなので、プラスの高さです。図を見ると、C点の方がD点よりもPに近いので、C点の方が高い場所になります。
これを高さの低い順に並べると、Bがいちばん低く、次にAとO（同じ0メートル）、次にD、そしてCがいちばん高い、となります。

各点の電位の大小関係は \(V_B < V_A = V_O < V_D < V_C\) となります。
この結果は、以下の点から妥当であると考えられます。

• AO線が0Vであること（電気双極子の対称性）。
• Bが負電荷Qに最も近いため電位が最も低いこと。
• Cが正電荷Pに最も近いため電位が最も高いこと。
• Dの電位が0Vと最高電位の間にあることは、図中の相対的な位置関係から読み取れる情報と一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
正の電荷 \(q_0\) (\(q_0 > 0\)) をある点から別の点へゆっくり移動させるとき、外力のする仕事 \(W_{\text{外}}\) は、その間の静電気力による位置エネルギーの変化に等しく、\(W_{\text{外}} = q_0 (V_{\text{終}} – V_{\text{初}})\) と表されます。
外力の仕事が正 (\(W_{\text{外}} > 0\)) となるのは、\(q_0 > 0\) であることから、電位が上昇する区間 (\(V_{\text{終}} > V_{\text{初}}\)) です。
全体（一周して元の位置に戻る）の仕事は、始点と終点の電位が同じであるため、0になります。これは静電気力が保存力であることの現れです。
この設問における重要なポイント

• 外力のする仕事の公式: \(W_{\text{外}} = q_0 \Delta V = q_0 (V_{\text{終}} – V_{\text{初}})\)。
• \(q_0 > 0\) であるため、外力の仕事の符号は電位変化 \(\Delta V\) の符号と一致する。
• 静電気力は保存力であるため、閉じた経路（一周）に沿って電荷を移動させたとき、外力のする全体の仕事は0になる。

具体的な解説と立式
正の電荷 \(q_0\) をゆっくりと移動させる場合、外力がする仕事 \(W_{\text{外}}\) は、移動の始点の電位を \(V_{\text{初}}\)、終点の電位を \(V_{\text{終}}\) とすると、次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{外}} = q_0 (V_{\text{終}} – V_{\text{初}})
\end{aligned}
$$
問題の条件より \(q_0 > 0\) です。

外力のする仕事が正となる区間:
外力の仕事 \(W_{\text{外}}\) が正になるのは、\(V_{\text{終}} – V_{\text{初}} > 0\)、すなわち \(V_{\text{終}} > V_{\text{初}}\) となるときです。これは、電荷が電位の低い方から高い方へ移動する（電位が上昇する）区間を意味します。
(3)で求めた電位の大小関係 \(V_B < V_A = V_O < V_D < V_C\) を利用して、各区間での電位変化を調べます。
経路は A→B→C→D→A です。

• 区間 A→B: \(V_B < V_A\) なので、\(V_B – V_A < 0\)。仕事は負です。
• 区間 B→C: \(V_C > V_B\) なので、\(V_C – V_B > 0\)。仕事は正です。
• 区間 C→D: \(V_D < V_C\) なので、\(V_D – V_C < 0\)。仕事は負です。
• 区間 D→A: \(V_A < V_D\) なので、\(V_A – V_D < 0\)。仕事は負です。

以上より、外力のする仕事が正となる区間は B→C です。

全体での仕事:
電荷 \(q_0\) を A→B→C→D→A の順に移動させて一周し、元の点Aに戻します。
この場合、始点の電位は \(V_A\)、終点の電位も \(V_A\) です。
したがって、全体での外力の仕事 \(W_{\text{全}}\) は、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{全}} &= q_0 (V_A – V_A) \\[2.0ex]
&= q_0 \times 0 \\[2.0ex]
&= 0 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$

仕事が正となる区間の特定：
(3)で得られた電位の大小関係 \(V_B < V_A = V_O < V_D < V_C\) を用いて、各区間 \((V_{\text{終}} – V_{\text{初}})\) の符号を評価します。

• A(\(V_A\)) → B(\(V_B\)): \(V_B – V_A < 0\) (負)
• B(\(V_B\)) → C(\(V_C\)): \(V_C – V_B > 0\) (正) ← この区間で仕事が正
• C(\(V_C\)) → D(\(V_D\)): \(V_D – V_C < 0\) (負)
• D(\(V_D\)) → A(\(V_A\)): \(V_A – V_D < 0\) (負)

全体の仕事の計算：
始点と終点が同じA点であるため、電位の変化は \(V_A – V_A = 0\)。
よって、\(W_{\text{全}} = q_0 \times 0 = 0 \text{ [J]}\)。

プラスの電気を持った玉 \(q_0\) を運ぶことを考えます。運ぶ人がする仕事がプラスになるのは、玉を「電気的な坂道」を登らせるように、低い電位から高い電位へ運ぶときです。
(3)で調べた電位の高さ（\(V_B < V_A = V_O < V_D < V_C\)）を思い出しましょう。

• AからBへ：A(高さ0)からB(低いマイナスの高さ)へ。坂を下るので、運ぶ人の仕事はマイナス。
• BからCへ：B(低いマイナスの高さ)からC(とても高いプラスの高さ)へ。これは急な坂を登るので、運ぶ人の仕事はプラス！
• CからDへ：C(とても高いプラスの高さ)からD(少し低いプラスの高さ)へ。坂を下るので、仕事はマイナス。
• DからAへ：D(少し高いプラスの高さ)からA(高さ0)へ。これも坂を下るので、仕事はマイナス。

というわけで、仕事がプラスになるのは「B→C」の区間です。
そして、Aから出発してぐるっと一周してAに戻ってきた場合、出発点と到着点の高さが同じなので、結局、運ぶ人がした仕事の合計はプラスマイナスゼロ、つまり0ジュールになります。

外力のする仕事が正となる区間は B→C です。これは、この区間で正電荷 \(q_0\) が最も電位の低い点Bから最も電位の高い点Cへ移動し、電位が大きく上昇するためです。
全体での仕事は 0 [J] です。これは、静電気力が保存力であるため、電荷がどのような経路を通っても、始点と終点が同じであれば（特に一周して元の位置に戻れば）、その間に外力がする正味の仕事は0になるという、物理学の重要な原理に基づいています。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電気力線とその性質の理解と応用:
  • 核心: 電気力線が正電荷から出て負電荷に入ること、その本数が電気量の絶対値に比例すること、そして接線方向が電場の向きを、密度が電場の強さを表すという基本性質をしっかりと理解し、図から情報を読み取る能力が求められました（問1）。
  • 理解のポイント: これらの性質の本質は、目に見えない「電場」というベクトル場を、線と矢印で視覚的に表現する手段であるということです。
• 等電位面（等電位線）と電気力線の関係:
  • 核心: 等電位線が電気力線と常に直交するという関係は、作図問題（問2）の根幹をなす非常に重要な法則です。
  • 理解のポイント: 電場は電位が最も急激に変化する方向を向いており、等電位線はその変化がない方向を結んだ線なので、両者が直交するのは必然的な関係です。これは地図の等高線と、水が流れる最も急な坂の向きが直交するのと同じ関係です。
• 電位の概念と重ね合わせ:
  • 核心: 電位はスカラー量であり、空間の各点に定まる「高さ」のようなものです。正電荷の近くは電位が高く、負電荷の近くは低いという基本的な理解が必要です（問3）。
  • 理解のポイント: 複数の電荷がある場合、各点が作る電位の代数和でその点の電位が決まります。特に、本問のような電気双極子（大きさが等しく符号が逆の二電荷）の垂直二等分線上の電位が0Vになる（無限遠基準）という事実は、対称性の高い問題で頻繁に利用されます。
• 仕事と静電気的ポテンシャルエネルギー:
  • 核心: 電荷 \(q\) を電位 \(V_1\) から \(V_2\) へゆっくり運ぶときの外力の仕事は \(W = q(V_2 – V_1)\) であり、これは位置エネルギーの変化に等しいという関係が問われました（問4）。
  • 理解のポイント: 静電気力が保存力であるため、閉回路を一周したときの仕事は0になるという重要な性質も問われました。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • 異なる配置の複数の点電荷（例：同符号の電荷同士、一直線上にない電荷など）が作る電気力線や等電位線の概形を描かせる問題。
  • 特定の点の電場の強さや電位を具体的に計算させる問題（クーロンの法則や電位の公式 \(V=kq/r\) を使用）。
  • 与えられた電場や電位のグラフから、電荷の存在や種類を推測する問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 電荷の配置と対称性: まず、電荷の数、符号、位置関係を把握し、系に対称性がないか確認します。対称性があれば、電場や電位の計算、作図が大幅に簡略化されることがあります（例：本問のAO線）。
  2. 電気力線のイメージ: 問題に図がなくても、頭の中で大まかな電気力線を描いてみることで、電場の向きや強さ、電位の高低の傾向をつかむことができます。
  3. 電位の基準点: 特に指定がない場合、無限遠点を電位0Vとすることが多いですが、問題によっては特定の点の電位が与えられることもあります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場の強さと電位の混同:
  • 誤解: 電場はベクトル（向きと大きさ）、電位はスカラー（大きさのみ）です。電気力線が密でも、その場所の電位が高いとは限りません（負電荷の近傍など）。
  • 対策: 物理用語の定義を正確に、自分の言葉で説明できるようにする。電場は「力」、電位は「エネルギー（高さ）」に関わる量だと区別する。
• 電気力線の本数と密度の混同:
  • 誤解: 電気力線の「密度」が電場の強さを表し、電荷から出る/入る「総本数」が電気量の大きさに比例します。
  • 対策: それぞれの意味を明確に区別して覚える。
• 等電位線の間隔の意味:
  • 誤解: 等電位線の間隔が「狭い」ほど、電位の空間的変化が急、つまり電場が「強い」ことを意味します。
  • 対策: 地図の等高線が密な場所は坂が急であることと同じ、と類推して理解する。
• 仕事の正負の判断ミス:
  • 誤解: 正電荷が電位の「上がる」方向に動くとき、外力の仕事は「正」です。
  • 対策: 直感的に「坂を押し上げる」イメージを持つと良いでしょう。電荷の符号 (\(q\)) と電位変化 (\(\Delta V\)) の符号の両方に注意を払う。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(|q_1|:|q_2| = N_1:N_2\):
  • 選定理由: 電気力線の本数が電気量に比例するという定義（または実験的事実）に基づくため。
  • 適用根拠: 図から本数を数えることで適用可能。
• 等電位線 \(\perp\) 電気力線:
  • 選定理由: 電位の勾配が電場であり、等電位面（線）はその勾配と垂直であるという数学的・物理的帰結のため。
  • 適用根拠: 作図問題では常に成り立つ普遍的な法則。
• AO線上が \(V=0\):
  • 選定理由: 電気双極子の重要な性質を利用するため。
  • 適用根拠: \(|q_1|=|q_2|\) かつ符号が逆であることと、系の対称性から、Pからの正の電位とQからの負の電位がこの線上で打ち消しあうため。
• \(W_{\text{外}} = q_0 (V_{\text{終}} – V_{\text{初}})\):
  • 選定理由: 電荷を運ぶ仕事と電位差の関係を問われているため。
  • 適用根拠: 静電気的ポテンシャルエネルギーの定義 \(U=qV\) と、仕事とエネルギーの関係 \(W=\Delta U\) から導かれる基本公式。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: この問題では複雑な計算は少ないですが、電荷の符号 (\(q_1, q_2, q_0\))、電位の符号 (\(V_B\))、仕事の符号を混同しないように注意深く追うことが重要です。
  • 日頃の練習: 式を立てる際に、各物理量の正負が持つ意味を常に意識する習慣をつける。
• 図の正確な解釈:
  • 特に注意すべき点: 電気力線の本数、密度、対称性、点の相対的位置などを正しく読み取る。特にAO線がPQの垂直二等分線であることを意識する。
  • 日頃の練習: 様々な電場の図を見て、そこから読み取れる情報を言語化する訓練をする。
• 論理のステップを飛ばさない:
  • 特に注意すべき点: 例えば、AO線上が0Vであることの根拠（\(|q_1|=|q_2|\) で符号が逆、無限遠基準）を意識するなど、結論に至るまでの論理を省略しない。
  • 日頃の練習: 解答を記述する際に、なぜその結論に至るのかを言葉で説明する癖をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1)の結果の整合性: もし \(q_1\) と \(q_2\) が同符号なら、電気力線は反発しあうような形になるはず。図は明らかに異符号（引力系）の形をしており、整合性がある。
  • (3)の電位の序列: もし \(q_1\) が負で \(q_2\) が正だったら、電位の大小関係は全て逆転するはず。
  • (4)の仕事の区間: もし運ぶ電荷 \(q_0\) が負だったら、仕事が正になる区間は電位が「下がる」区間 (A→B, C→D, D→A) になる。全体の仕事が0であることは変わらない。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もしQの電荷がなかったら（\(q_2=0\)）、電気力線はPから放射状に広がり、等電位線はPを中心とする同心円になる。今回の図がそこから変形したものであることを確認する。
  • 物理的な直感との照らし合わせ: 「正電荷を、他の正電荷に近づける（電位が上がる）には、外から力を加えて押し込む必要があるので、外力の仕事は正になる」といった直感的な理解と、公式から導かれる結果が一致するかを確認する。

問題102 (東京電機大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、対称的な配置に置かれた2つの正の点電荷が作る電場と電位、そしてその中での荷電粒子の運動や仕事について考察する問題です。クーロンの法則、電場の重ね合わせ、電位の概念、仕事とエネルギーの関係、エネルギー保存則といった静電気学の基本法則を総合的に活用します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、静電気学の分野における「電場と電位」および「荷電粒子のエネルギー」に関する典型的な問題です。複数の点電荷が存在する場合の電場や電位の求め方、そして電場中での荷電粒子の運動をエネルギーの観点からどのように扱うかを理解することが重要になります。

問(1)

思考の道筋とポイント
原点Oと点Cにおける電場の強さを求めます。電場はベクトル量なので、各電荷が作る電場のベクトル和を計算する必要があります。

• 原点O: 点Aの電荷\(Q\)が作る電場と、点Bの電荷\(Q\)が作る電場をそれぞれ求め、ベクトル的に合成します。対称性から結果を予測できます。
• 点C: 点Aの電荷\(Q\)が作る電場と、点Bの電荷\(Q\)が作る電場をそれぞれ求め、ベクトル的に合成します。各電場ベクトルの成分を考えるか、対称性を利用して合成ベクトルの大きさを求めます。

この設問における重要なポイント

• 電場はベクトル量であり、重ね合わせの原理に従う。
• 点電荷 \(Q\) が距離 \(r\) の点につくる電場の強さは \(E = k \displaystyle\frac{Q}{r^2}\) (電荷 \(Q\) が正の場合)。
• 対称性をうまく利用すると、計算が簡略化できる場合がある。
• ベクトル合成は、図を描いて行うと分かりやすい。必要に応じて成分分解する。

具体的な解説と立式
クーロンの法則の比例定数を \(k\) とします。電荷 \(Q\) は正です。

原点Oにおける電場の強さ \(E_O\):
点A\((0, d)\) にある正電荷 \(Q\) が原点Oにつくる電場を \(\vec{E}_{AO}\) とします。原点Oから点Aまでの距離は \(d\) です。電荷 \(Q\) は正なので、\(\vec{E}_{AO}\) の向きはAからOへ向かう向き（\(y\)軸負の向き）です。その大きさ \(E_{AO}\) は、点電荷の作る電場の公式より、
$$
\begin{aligned}
E_{AO} = k \displaystyle\frac{Q}{d^2}
\end{aligned}
$$
同様に、点B\((0, -d)\) にある正電荷 \(Q\) が原点Oにつくる電場を \(\vec{E}_{BO}\) とします。原点Oから点Bまでの距離は \(d\) です。\(\vec{E}_{BO}\) の向きはBからOへ向かう向き（\(y\)軸正の向き）です。その大きさ \(E_{BO}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{BO} = k \displaystyle\frac{Q}{d^2}
\end{aligned}
$$
原点Oにおける合成電場 \(\vec{E}_O\) は、これらのベクトル和です。
$$
\begin{aligned}
\vec{E}_O = \vec{E}_{AO} + \vec{E}_{BO}
\end{aligned}
$$
その強さ \(E_O\) を求めます。

点C\((d, 0)\) における電場の強さ \(E_C\):
点A\((0, d)\) にある正電荷 \(Q\) が点C\((d, 0)\) につくる電場を \(\vec{E}_{AC}\) とします。点Aと点Cの間の距離を \(r_{AC}\) とすると、三平方の定理より \(r_{AC} = \sqrt{d^2 + d^2} = \sqrt{2}d\) となります。\(\vec{E}_{AC}\) の向きは点Aから点Cへ向かう向きです。その大きさ \(E_{AC}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{AC} = k \displaystyle\frac{Q}{r_{AC}^2}
\end{aligned}
$$
同様に、点B\((0, -d)\) にある正電荷 \(Q\) が点C\((d, 0)\) につくる電場を \(\vec{E}_{BC}\) とします。点Bと点Cの間の距離を \(r_{BC}\) とすると、\(r_{BC} = \sqrt{d^2 + (-d)^2} = \sqrt{2}d\) となります。\(\vec{E}_{BC}\) の向きは点Bから点Cへ向かう向きです。その大きさ \(E_{BC}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{BC} = k \displaystyle\frac{Q}{r_{BC}^2}
\end{aligned}
$$
点Cにおける合成電場 \(\vec{E}_C\) は \(\vec{E}_C = \vec{E}_{AC} + \vec{E}_{BC}\) です。
図からわかるように、\(\vec{E}_{AC}\) と \(\vec{E}_{BC}\) の \(y\)成分は対称性により打ち消し合います。合成電場の強さ \(E_C\) は、それぞれの電場の \(x\)成分の和になります。三角形AOCは辺の比が \(d:d:\sqrt{2}d\) の直角二等辺三角形なので、\(\vec{E}_{AC}\) が \(x\)軸の正の向きとなす角は \(45^\circ\) です。
したがって、\(E_C\) は次のように表せます。
$$
\begin{aligned}
E_C = E_{AC} \cos 45^\circ + E_{BC} \cos 45^\circ
\end{aligned}
$$

原点Oにおける電場の強さ \(E_O\):
$$
\begin{aligned}
E_{AO} &= k \displaystyle\frac{Q}{d^2} \\[2.0ex]
E_{BO} &= k \displaystyle\frac{Q}{d^2}
\end{aligned}
$$
\(\vec{E}_{AO}\) は \(y\)軸負向き、\(\vec{E}_{BO}\) は \(y\)軸正向きであり、大きさが等しいため、これらのベクトル和 \(\vec{E}_O\) は \(\vec{0}\) となります。
よって、強さ \(E_O = 0\) [N/C]。

点C\((d, 0)\) における電場の強さ \(E_C\):
$$
\begin{aligned}
E_{AC} &= k \displaystyle\frac{Q}{(\sqrt{2}d)^2} = k \displaystyle\frac{Q}{2d^2} \\[2.0ex]
E_{BC} &= k \displaystyle\frac{Q}{(\sqrt{2}d)^2} = k \displaystyle\frac{Q}{2d^2}
\end{aligned}
$$
\(\cos 45^\circ = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\) を用いて \(E_C\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
E_C &= E_{AC} \cos 45^\circ + E_{BC} \cos 45^\circ \\[2.0ex]
&= 2 E_{AC} \cos 45^\circ \\[2.0ex]
&= 2 \cdot \left( k \displaystyle\frac{Q}{2d^2} \right) \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex]
&= k \displaystyle\frac{Q}{d^2} \cdot \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{kQ}{\sqrt{2}d^2} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{2d^2} \quad \text{[N/C]}
\end{aligned}
$$

(1) 原点Oの電場: O点は、A点のプラス電荷から下向きに、B点のプラス電荷から上向きに、同じ強さの電気的な「風」（電場）を受けます。これらはちょうど打ち消し合うので、O点では風は吹いていない状態、つまり電場の強さは0です。
(2) 点Cの電場: C点は、A点のプラス電荷から右斜め下向きに、B点のプラス電荷から右斜め上向きに、同じ強さの電気的な「風」を受けます。この二つの風の、上下方向の成分は打ち消し合います。しかし、右方向の成分は同じ向きなので強め合います。この強め合った右向きの風の強さを計算します。

原点Oにおける電場の強さは 0 [N/C]です。これは、2つの電荷が対称的な位置にあり、原点では互いの影響が逆向きに打ち消しあうため、物理的に妥当です。
点C\((d, 0)\) における電場の強さは \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{2d^2}\) [N/C] で、その向きは \(x\)軸の正の向きです。これも、電荷の配置と対称性から、\(y\)成分が消え \(x\)成分のみが残ることが予想され、その大きさを正しく計算した結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
原点Oと点Cにおける電位を求めます。電位はスカラー量なので、各電荷が作る電位を単純に足し合わせることで求めることができます。電位の基準は無限遠点です。
この設問における重要なポイント

• 電位はスカラー量であり、重ね合わせの原理に従う。
• 点電荷 \(Q\) が距離 \(r\) の点につくる電位は \(V = k \displaystyle\frac{Q}{r}\) (無限遠基準)。
• 距離の計算を正確に行う。

具体的な解説と立式
原点Oにおける電位 \(V_O\):
点A\((0, d)\) にある正電荷 \(Q\) が原点Oにつくる電位を \(V_{AO}\) とします。原点Oから点Aまでの距離は \(d\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{AO} = k \displaystyle\frac{Q}{d}
\end{aligned}
$$
同様に、点B\((0, -d)\) にある正電荷 \(Q\) が原点Oにつくる電位を \(V_{BO}\) とします。原点Oから点Bまでの距離は \(d\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{BO} = k \displaystyle\frac{Q}{d}
\end{aligned}
$$
原点Oにおける電位 \(V_O\) は、これらのスカラー和なので、
$$
\begin{aligned}
V_O = V_{AO} + V_{BO}
\end{aligned}
$$

点C\((d, 0)\) における電位 \(V_C\):
点A\((0, d)\) にある正電荷 \(Q\) が点C\((d, 0)\) につくる電位を \(V_{AC}\) とします。点Aと点Cの間の距離は \(r_{AC} = \sqrt{2}d\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{AC} = k \displaystyle\frac{Q}{r_{AC}}
\end{aligned}
$$
同様に、点B\((0, -d)\) にある正電荷 \(Q\) が点C\((d, 0)\) につくる電位を \(V_{BC}\) とします。点Bと点Cの間の距離は \(r_{BC} = \sqrt{2}d\) なので、
$$
\begin{aligned}
V_{BC} = k \displaystyle\frac{Q}{r_{BC}}
\end{aligned}
$$
点Cにおける電位 \(V_C\) は、これらのスカラー和なので、
$$
\begin{aligned}
V_C = V_{AC} + V_{BC}
\end{aligned}
$$

原点Oにおける電位 \(V_O\):
$$
\begin{aligned}
V_O &= V_{AO} + V_{BO} \\[2.0ex]
&= k \displaystyle\frac{Q}{d} + k \displaystyle\frac{Q}{d} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{2kQ}{d} \quad \text{[V]}
\end{aligned}
$$

点C\((d, 0)\) における電位 \(V_C\):
$$
\begin{aligned}
V_C &= V_{AC} + V_{BC} \\[2.0ex]
&= k \displaystyle\frac{Q}{\sqrt{2}d} + k \displaystyle\frac{Q}{\sqrt{2}d} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{2kQ}{\sqrt{2}d} \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{d} \quad \text{[V]}
\end{aligned}
$$

(1) 原点Oの電位: 電位は電気的な「高さ」のようなものです。O点は、A点のプラス電荷から \(kQ/d\) の高さ、B点のプラス電荷からも同じく \(kQ/d\) の高さの影響を受けます。電位は向きがないので、単純に足し算して \(2kQ/d\) となります。
(2) 点Cの電位: C点は、A点のプラス電荷から \(kQ/(\sqrt{2}d)\) の高さ、B点のプラス電荷からも同じく \(kQ/(\sqrt{2}d)\) の高さの影響を受けます。これらを足し算して \(2kQ/(\sqrt{2}d)\) となり、整理すると \(\sqrt{2}kQ/d\) となります。

原点Oにおける電位は \(\displaystyle\frac{2kQ}{d}\) [V]、点C\((d, 0)\) における電位は \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{d}\) [V] です。
\(2 \approx 2\) と \(\sqrt{2} \approx 1.414\) を比較すると、\(V_O > V_C\) であることがわかります。これは、原点Oの方が2つの正電荷により近い位置にあるため、電位が高くなるという直感とも一致します。

問(3)

思考の道筋とポイント
点C\((d, 0)\) に正電荷 \(q\)、質量 \(m\) の点電荷Pを置いたとき、Pが受ける静電気力の大きさと向きを求めます。静電気力は \(\vec{F} = q\vec{E}\) で与えられます。問1で点Cにおける電場 \(\vec{E}_C\) を求めているので、これを利用します。
この設問における重要なポイント

• 静電気力の公式: \(\vec{F} = q\vec{E}\)。
• 電荷 \(q\) が正なので、力の向きは電場の向きと同じ。
• 問1で求めた点Cにおける電場の強さと向きを正しく用いる。

具体的な解説と立式
点Cにおける電場 \(\vec{E}_C\) の向きは \(x\)軸の正の向きで、その強さ \(E_C\) は問1で求めた値です。
点Cに置かれた点電荷Pは正電荷 \(q\) なので、受ける静電気力 \(\vec{F}\) の向きは電場 \(\vec{E}_C\) の向きと同じ、すなわち \(x\)軸の正の向きです。
その力の大きさ \(F\) は、静電気力の公式 \(F = |q|E\) より、\(q>0\) なので、
$$
\begin{aligned}
F = qE_C
\end{aligned}
$$
ここで \(E_C\) は問1で求めた点Cにおける電場の強さです。

問1の解答より、点Cにおける電場の強さは \(E_C = \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{2d^2}\) [N/C] です。
これを代入すると、力の大きさ \(F\) は、
$$
\begin{aligned}
F &= q \left( \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{2d^2} \right) \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{\sqrt{2}kqQ}{2d^2} \quad \text{[N]}
\end{aligned}
$$
力の向きは、電荷 \(q\) が正であり、点Cにおける電場の向きが \(x\)軸の正の向きであることから、同じく \(x\)軸の正の向きです。

点Cには、(1)で計算したように右向き (\(x\)軸正向き) の電場（電気的な風）が \(\sqrt{2}kQ/(2d^2)\) の強さで吹いています。ここにプラスの電気 \(q\) を持つP君を置くと、P君は風と同じ向きに力を受けます。力の強さは「電気の量 \(q\) × 風の強さ \(E_C\)」なので、\(q \times \sqrt{2}kQ/(2d^2)\) となります。向きは風と同じ右向きです。

点Cに置かれた点電荷Pが受ける静電気力の大きさは \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}kqQ}{2d^2}\) [N] で、その向きは \(x\)軸の正の向きです。
電荷 \(Q\) と \(q\) が共に正なので、PはAとBの両方から斥力を受けます。これらの斥力の合力が、計算結果の大きさと向きになるはずであり、図から考えても \(x\)軸の正の向きになることは妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
点電荷P（電荷 \(q\), 質量 \(m\)）を点C\((d, 0)\) から原点Oまで静かに運ぶのに要する外力の仕事 \(W_1\) と、その際の静電気力のする仕事 \(W_2\) を求めます。
外力の仕事 \(W_1\) は、\(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{初}})\) で計算できます。ここでは終点がO、初点がCです。問2で求めた電位の値を使用します。
静電気力のする仕事 \(W_2\) は、外力の仕事と符号が逆で大きさが等しくなります (\(W_2 = -W_1\))。
この設問における重要なポイント

• 外力のする仕事: \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{終}} – V_{\text{初}})\)。
• 静電気力のする仕事: \(W_{\text{静電気力}} = -W_{\text{外}}\) (静かに運ぶ場合)。
• 問2で求めた \(V_O\) と \(V_C\) の値を用いる。

具体的な解説と立式
点電荷Pを点C（初点、電位 \(V_C\)）から原点O（終点、電位 \(V_O\)）まで静かに運ぶのに要する外力の仕事 \(W_1\) は、公式より次のように表されます。
$$
\begin{aligned}
W_1 = q(V_O – V_C)
\end{aligned}
$$
このとき、静電気力のする仕事 \(W_2\) は、外力のする仕事 \(W_1\) とは逆の仕事になるため、
$$
\begin{aligned}
W_2 = -W_1
\end{aligned}
$$
ここで、\(V_O\) および \(V_C\) は問2で求めた値です。

問2の解答より、\(V_O = \displaystyle\frac{2kQ}{d}\) および \(V_C = \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{d}\) です。
これらの値を代入して \(W_1\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_1 &= q \left( \displaystyle\frac{2kQ}{d} – \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{d} \right) \\[2.0ex]
&= q \cdot \displaystyle\frac{kQ}{d} (2 – \sqrt{2}) \\[2.0ex]
&= \displaystyle\frac{(2-\sqrt{2})kqQ}{d} \quad \text{[J]}
\end{aligned}
$$
次に、\(W_2\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_2 &= -W_1 \\[2.0ex]
&= -\displaystyle\frac{(2-\sqrt{2})kqQ}{d} \quad \text{[J]}
\end{aligned}
$$

P君（電荷 \(q\)）をC点からO点へゆっくり運ぶことを考えます。運ぶ人がする仕事 \(W_1\) は、「P君の電気の量 \(q\) ×（O点の電気的な高さ \(V_O\) ー C点の電気的な高さ \(V_C\)）」で計算できます。問2で \(V_O > V_C\) とわかっているので、これは電位の低いC点から電位の高いO点へ運ぶことに対応します。坂を上るように力を加えるので、運ぶ人の仕事はプラスになります。
一方、電気的な力（静電気力）がする仕事 \(W_2\) は、運ぶ人がする仕事とちょうど反対向きの力なので、\(W_2 = -W_1\) となります。

外力のする仕事 \(W_1 = \displaystyle\frac{(2-\sqrt{2})kqQ}{d}\) [J]、静電気力のする仕事 \(W_2 = -\displaystyle\frac{(2-\sqrt{2})kqQ}{d}\) [J] です。
\(V_O > V_C\) なので、正電荷 \(q\) を電位の低いC点から電位の高いO点へ運ぶので、外力は正の仕事をし、静電気力は負の仕事をすることは物理的に妥当です。

問(5)

思考の道筋とポイント
点C\((d, 0)\) に点電荷P（電荷 \(q\), 質量 \(m\)）を置いて静かに放したとき、Pは静電気力を受けて運動を始めます。十分に時間が経過した後、Pは無限遠点に達すると考えられます（斥力を受け続けるため）。この過程で、静電気力のみが仕事をするため、力学的エネルギー保存則が成り立ちます。
初状態（点C）と終状態（無限遠点）での力学的エネルギーを比較して速さ \(v\) を求めます。
この設問における重要なポイント

• 力学的エネルギー保存則: (運動エネルギー) + (静電気力による位置エネルギー) = 一定。
• 位置エネルギー: \(U = qV\)。
• 初状態 (点C): 速度 0, 電位 \(V_C\)。
• 終状態 (無限遠点): 速度 \(v\), 電位 \(V_{\text{無限遠}} = 0\)。

具体的な解説と立式
点電荷Pが点Cから無限遠点まで運動する間、保存力である静電気力のみが仕事をするので、力学的エネルギーは保存されます。
点CにおけるPの初期状態を考えます。「静かに放す」とあるので、初速度は \(v_{\text{C}} = 0\) です。点Cの電位は \(V_C\) です。
したがって、点CにおけるPの力学的エネルギー \(E_{\text{力学,C}}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{力学,C}} = \displaystyle\frac{1}{2}m v_{\text{C}}^2 + qV_C
\end{aligned}
$$
十分に時間が経過した後、Pは無限遠点に達し、そのときの速さを \(v\) とします。無限遠点における電位は \(V_{\text{無限遠}} = 0\) です。
したがって、無限遠点におけるPの力学的エネルギー \(E_{\text{力学,無限遠}}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{力学,無限遠}} = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + qV_{\text{無限遠}}
\end{aligned}
$$
力学的エネルギー保存則より \(E_{\text{力学,C}} = E_{\text{力学,無限遠}}\) なので、次の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}m v_{\text{C}}^2 + qV_C = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + qV_{\text{無限遠}}
\end{aligned}
$$

\(v_{\text{C}} = 0\)、\(V_{\text{無限遠}} = 0\) をエネルギー保存則の式に代入すると、
$$
\begin{aligned}
\displaystyle\frac{1}{2}m \cdot 0^2 + qV_C &= \displaystyle\frac{1}{2}mv^2 + q \cdot 0 \\[2.0ex]
qV_C &= \displaystyle\frac{1}{2}mv^2
\end{aligned}
$$
この式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
v^2 &= \displaystyle\frac{2qV_C}{m} \\[2.0ex]
v &= \sqrt{\displaystyle\frac{2qV_C}{m}}
\end{aligned}
$$
ここで、問2の解答より点Cの電位 \(V_C = \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{d}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v &= \sqrt{\displaystyle\frac{2q}{m} \left( \displaystyle\frac{\sqrt{2}kQ}{d} \right)} \\[2.0ex]
&= \sqrt{\displaystyle\frac{2\sqrt{2}kqQ}{md}} \quad \text{[m/s]}
\end{aligned}
$$

P君をC点でそっと放すと、電気の力で押されて動き出します。このとき、P君が持っている「電気的な高さによるエネルギー（位置エネルギー）」が、だんだん「速さのエネルギー（運動エネルギー）」に変わっていきます。エネルギーの合計量は変わらないというルール（エネルギー保存則）を使います。
C点では、速さは0なので運動エネルギーは0、位置エネルギーは \(qV_C\) です。
ずっと遠く（無限遠）まで行くと、電気的な高さは0になるので位置エネルギーは0、そのかわり速さ \(v\) を持っているので運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv^2\) です。
「C点でのエネルギー合計 = 無限遠でのエネルギー合計」なので、\(qV_C = \frac{1}{2}mv^2\) という式が成り立ちます。これを \(v\) について解けばOKです。

十分に時間が経過した後のPの速さ \(v\) は \(\sqrt{\displaystyle\frac{2\sqrt{2}kqQ}{md}}\) [m/s] です。
点Cの電位 \(V_C\) は正であり、電荷 \(q\) も正なので、PはC点から無限遠（電位0）へ向かう際に静電気力から正の仕事をされ、運動エネルギーが増加します。この結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 電場の重ね合わせ:
  • 核心: 複数の電荷が存在する場合、ある点での電場は、各電荷が個別に作る電場のベクトル和で求められます（問1）。
  • 理解のポイント: 電場はベクトルなので、向きを考慮した合成が必要です。図を描いて、力の矢印を合成するイメージを持つことが重要です。
• 電位の重ね合わせ:
  • 核心: 複数の電荷が存在する場合、ある点での電位は、各電荷が個別に作る電位の代数和（スカラー和）で求められます（問2）。
  • 理解のポイント: 電位はスカラーなので、向きを気にする必要はなく、単純な足し算で計算できます。電気的な「高さ」が足し合わされるイメージです。
• 静電気力 \(F=qE\):
  • 核心: 電荷 \(q\) が電場 \(E\) から受ける力は、電場の向きと電荷の符号によって決まります（問3）。
  • 理解のポイント: 電場は「単位電荷あたりが受ける力」と定義されるため、この式は電場の定義そのものと言えます。
• 仕事とポテンシャルエネルギー \(W_{\text{外}} = q\Delta V\):
  • 核心: 電荷を電位差のある2点間でゆっくり運ぶ際に外力がする仕事は、電荷と電位差の積で与えられます（問4）。
  • 理解のポイント: 静電気力による位置エネルギーが \(U=qV\) であることから、外力の仕事は位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) に等しい、という仕事とエネルギーの基本的な関係に基づいています。
• 力学的エネルギー保存則 \(\frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定}\):
  • 核心: 保存力である静電気力のみが働く場合、運動エネルギーと静電気力による位置エネルギーの和は一定に保たれます（問5）。
  • 理解のポイント: これは荷電粒子の運動を解析する上で非常に強力なツールであり、「失われた位置エネルギーが運動エネルギーに変わる」というエネルギー変換の法則を数式で表したものです。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 類似問題のパターン:
  • 異なる幾何学的配置（例：正方形の頂点、三角形の頂点など）に複数の電荷が置かれた場合の電場・電位の計算。
  • 電場が0になる点や、電位が0になる点を求める問題。
  • 一様な電場中での荷電粒子の運動（放物運動など）との比較。
  • 電位の等高線（等電位線）を描かせたり、その性質を問う問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 対称性の利用: 電荷の配置に対称性があれば、電場の特定の成分が消えたり、電位の計算が簡略化されたりすることが多いです。まず対称性を見抜くことが重要です（本問では\(y\)軸対称、原点Oや点Cでの電場の\(y\)成分の相殺など）。
  2. ベクトル量とスカラー量の区別: 電場はベクトルなので向きを含めて合成、電位はスカラーなので単純な和で計算します。これを混同しないこと。
  3. 基準点の明確化: 特に電位を扱う場合、どこを電位の基準（0V）としているかを確認する（本問では無限遠点）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 電場の向きの誤解:
  • 誤解: 特に複数の電荷がある場合、各電荷からの距離だけでなく、電荷の符号と位置関係から合成電場の向きを正しく判断する必要がある。
  • 対策: 必ず図を描き、各電荷が作る電場ベクトルを矢印で図示してから合成する。
• 電位の計算での符号ミス:
  • 誤解: 電荷 \(Q\) が負の場合、電位 \(V=kQ/r\) も負になることを忘れてしまう。
  • 対策: 電位はスカラー和なので、電荷の符号を含めて足し合わせることを徹底する。
• 仕事の正負の判断:
  • 誤解: 外力がする仕事か、静電気力がする仕事か、どちらを問われているか混同する。\(W_{\text{外}} = q\Delta V\) の \(\Delta V = V_{\text{終}} – V_{\text{初}}\) の順番を間違える。
  • 対策: 「外力」は電位の坂に逆らって運ぶイメージ、「静電気力」は坂を転がり落ちるイメージを持つ。始点と終点を明確にして立式する。
• エネルギー保存則の適用条件:
  • 誤解: 静電気力以外の外力（例えば手で支える力など）が仕事をする場合に、単純な力学的エネルギー保存則を使ってしまう。
  • 対策: 「静かに放す」「滑らかな面」など、保存力以外の力が仕事をしない条件が問題文にあるかを確認する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(E = k |Q|/r^2\):
  • 選定理由: 問題が「電場」を問うており、その源が「点電荷」であるため。
  • 適用根拠: 点電荷が作る電場の基本公式であり、距離 \(r\) の2乗に反比例するという性質を記述している。
• \(V = k Q/r\):
  • 選定理由: 問題が「電位」を問うており、その源が「点電荷」であるため。
  • 適用根拠: 点電荷が作る電位の基本公式。電荷の符号をそのまま使い、距離 \(r\) に反比例する。
• \(\vec{F} = q\vec{E}\):
  • 選定理由: 電場の中に置かれた電荷が受ける「静電気力」を問われているため。
  • 適用根拠: 電場の定義そのもの（単位電荷あたりが受ける力）から導かれる関係式。
• \(W_{\text{外}} = q(V_{\text{後}} – V_{\text{初}})\):
  • 選定理由: 電荷を運ぶ「仕事」と「電位」の関係を問われているため。
  • 適用根拠: 静電気力による位置エネルギーが \(U=qV\) と定義され、外力の仕事が位置エネルギーの変化に等しい \((W=\Delta U)\) ことから導かれる。
• \(\frac{1}{2}mv^2 + qV = \text{一定}\):
  • 選定理由: 静電気力のみを受けて荷電粒子が「運動」する場合の速さを問われているため。
  • 適用根拠: 静電気力が保存力であり、他の非保存力が仕事をしない状況で、力学的エネルギーが保存されるという物理法則。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 平方根や分数の処理:
  • 特に注意すべき点: 距離の計算で \(\sqrt{ }\) が出てきたり、電場や電位の式で分母に \(d\) や \(d^2\) が出てくるので、計算間違いをしないように丁寧に。特に \(\cos 45^\circ = 1/\sqrt{2}\) の扱いや有理化。
  • 日頃の練習: 三角比や三平方の定理など、基本的な数学の計算練習を怠らない。
• 文字の混同:
  • 特に注意すべき点: \(Q\) と \(q\)、\(V_O\) と \(V_C\) など、似た文字や添え字を間違えないように注意する。
  • 日頃の練習: 自分で図を描く際に、各物理量を明確に書き分けて整理する癖をつける。
• 符号の確認:
  • 特に注意すべき点: 電荷の符号、電位の符号、仕事の符号、エネルギーの符号（位置エネルギーは負にもなりうるが本問では正）など、符号が重要な意味を持つ量については特に注意する。
  • 日頃の練習: 計算結果が出た後に、その符号が物理的に妥当か（例：斥力なのに引力の向きになっていないか）を一度立ち止まって考える習慣をつける。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) 電場の向き:
    • 吟味の視点: 得られた電場の向きが、電荷の配置から直感的に予想される向きと一致するか確認する。C点では2つの正電荷からの斥力の合力なので、\(x\) 軸正の向きは妥当である。
  • (2) 電位の大小:
    • 吟味の視点: \(V_O\) と \(V_C\) のどちらが大きいか、その理由は何かを考察する。Oの方が2つの電荷に総じて近いので、正電荷がつくる電位は高くなるはずであり、\(V_O > V_C\) という結果は妥当である。
  • (4) 仕事の符号:
    • 吟味の視点: \(V_O > V_C\) なので、CからOへ正電荷を運ぶには、斥力に逆らって押し込む必要がある。よって外力は正の仕事をするはず (\(W_1 > 0\))。計算結果の \((2-\sqrt{2}) > 0\) と一致する。
  • (5) 速さの実在性:
    • 吟味の視点: \(v = \sqrt{…}\) の中身が正になるか確認する。\(q, Q\) が正、\(k, m, d\) も正なので、ルートの中身は正になり実数解を持つ。これは物理的に妥当である。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし \(d \to \infty\) とすると、C点も無限遠になり、電場も電位も0に近づくはず。計算式を見ると、分母に \(d\) や \(d^2\) があるため、確かに0に収束し、整合性がある。
  • もし電荷 \(q\) が負だったら、(5)で静かに放しても斥力ではなく引力を受けるため、無限遠には飛ばず、原点Oに向かって振動するような運動をすることが予想される。

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問題103 (福岡大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、一様な電場中での荷電粒子の運動や、電位、静電気力のする仕事について考察するものです。電場から受ける力と重力の両方を考慮する必要がある場面もあり、運動学と電磁気学の融合問題と言えます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、「一様電場中の荷電粒子の運動とエネルギー」です。電場が荷電粒子に及ぼす力（静電気力）と、重力が同時に働く状況下での運動を解析します。電位や電位差の概念、静電気力がする仕事の計算、運動方程式の適用、そして場合によってはエネルギー保存則の考え方も重要になります。特に、運動を水平方向と鉛直方向に分解して考えることが有効な場面が多くあります。

問(1)