「名問の森」徹底解説（7〜9問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題7 (新潟大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、回折格子による光の干渉、光のドップラー効果、そして媒質中での光の干渉という複数の物理現象を組み合わせた総合的な問題です。それぞれの現象の原理を理解し、数式を正しく適用することが求められます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、波動光学の主要なテーマである「回折格子による光の干渉」、「光のドップラー効果」、そして「媒質中での光波の性質の変化」を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 回折格子の干渉条件: 格子定数を \(d\)、回折角を \(\theta\)、光の波長を \(\lambda\)、干渉の次数を \(m\) とすると、強め合い（明るい縞）の条件は \(d\sin\theta = m\lambda\) です。
2. 微小角近似: \(\theta\) が非常に小さいとき、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\)（ラジアン単位）が成り立ちます。
3. レンズによる集光: 平行光線が焦点距離 \(F\) のレンズに入射すると、焦点面（レンズから距離 \(F\) の位置）に集光します。回折角 \(\theta\) の光は、光軸から \(x = F\tan\theta\) の位置に集まります。
4. 光のドップラー効果: 光源または観測者が運動することにより、観測される光の波長（または振動数）が変化する現象です。光源が近づく場合は波長が短く（青方偏移）、遠ざかる場合は波長が長く（赤方偏移）なります。
5. 媒質中の光: 屈折率 \(n\) の媒質中では、光の波長は真空中の波長 \(\lambda_0\) に対して \(\lambda_n = \lambda_0/n\) となります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 明線間隔の計算: まず回折格子の格子定数 \(d\) を求めます。次に、回折格子による \(m\) 次の明線の条件式と、レンズの焦点面における明線の位置 \(x_m\) の関係式を立て、微小角近似を用います。これにより \(x_m\) が \(m, \lambda, F, d\) で表されるので、隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) を計算します。
2. (2) ドップラー効果の適用: 観測された縞の間隔が変化したことから、星雲から届く光の波長が変化したと判断します。\(\Delta x\) が \(\lambda\) に比例することから、波長が短くなったのか長くなったのかを特定し、星雲が地球に近づいているのか遠ざかっているのかを判断します。その後、ドップラー効果の公式を用いて、波長の変化量と縞の間隔の変化量から星雲の速さ \(v\) を求めます。
3. (3) 水中での明線間隔の計算: 装置内が水で満たされた場合、光の波長が水中で変化する（\(\lambda_n = \lambda_0/n\)）と考えるか、あるいは回折格子の条件式における光路差が変化する（\(nd\sin\theta = m\lambda_0\)）と考えて、(1)と同様の手順で新しい明線間隔 \(\Delta x’\) を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
まず、回折格子の格子定数 \(d\) を計算します。「1cm当たり400本の溝」という情報から、1本の溝の間隔（格子定数）を求めます。次に、回折格子による強め合い（明線）の条件式 \(d\sin\theta = m\lambda\) を用います。スクリーンSはレンズLの焦点面上にあるため、回折角 \(\theta\) で回折した平行光線は、レンズを通過後、スクリーン上の光軸から \(x = F\tan\theta\) の位置に集光します。「回折角は微小」との近似 \(\sin\theta \approx \tan\theta\) を用い、\(m\) 次の明線の位置 \(x_m\) を求め、隣り合う明線の間隔 \(\Delta x\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 格子定数 \(d\) の正しい計算と単位変換。
• 回折格子の強め合いの条件式: \(d\sin\theta = m\lambda\)。
• レンズによる集光位置: \(x = F\tan\theta\)。
• 微小角近似: \(\sin\theta \approx \tan\theta\)。

具体的な解説と立式
1. 格子定数 \(d\) の計算:
1cmあたり400本の溝があるので、格子定数 \(d\) は、
$$d = \frac{1 \text{ cm}}{400}$$
2. \(m\) 次の明線の位置 \(x_m\):
強め合いの条件は \(d\sin\theta_m = m\lambda\)。集光位置は \(x_m = F\tan\theta_m\)。
微小角近似 \(\sin\theta_m \approx \tan\theta_m\) より、\(d\tan\theta_m \approx m\lambda\)、すなわち \(\tan\theta_m \approx \displaystyle\frac{m\lambda}{d}\)。
よって、$$x_m \approx F \frac{m\lambda}{d}$$
3. 明るい縞の間隔 \(\Delta x\):
$$\Delta x = x_{m+1} – x_m = F \frac{(m+1)\lambda}{d} – F \frac{m\lambda}{d} = \frac{F\lambda}{d}$$

格子定数 \(d = \displaystyle\frac{1}{400} \text{ cm}\)。
波長 \(\lambda = 656 \text{ nm} = 656 \times 10^{-7} \text{ cm}\)。
焦点距離 \(F = 100 \text{ cm}\)。
明るい縞の間隔 \(\Delta x\) は、
$$\Delta x = \frac{F\lambda}{d} = \frac{100 \text{ cm} \times (656 \times 10^{-7} \text{ cm})}{\frac{1}{400} \text{ cm}}$$$$= 100 \times 656 \times 10^{-7} \times 400 \text{ cm}$$$$= 2624 \times 10^{-3} \text{ cm} = 2.624 \text{ cm}$$
有効数字2桁で、\(\Delta x \approx 2.6 \text{ cm}\)。

回折格子の溝の間隔 \(d\) は \(1/400 \text{ cm}\) です。明るい縞の間隔 \(\Delta x\) は \(\frac{F\lambda}{d}\) と表せます。これに \(F=100 \text{ cm}\)、\(\lambda = 656 \times 10^{-7} \text{ cm}\)、\(d = 1/400 \text{ cm}\) を代入して計算すると、約2.6cmとなります。

S上にできる干渉縞の明るい縞の間隔は約 \(2.6 \text{ cm}\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
縞の間隔 \(\Delta x = \frac{F\lambda}{d}\) は波長 \(\lambda\) に比例します。縞の間隔が小さくなったということは、観測された波長 \(\lambda’\) が元の波長 \(\lambda_0\) よりも短くなったことを意味します。これは光源が観測者に近づく場合のドップラー効果（青方偏移）です。星雲の速さ \(v\) は、ドップラー効果の公式 \(\lambda’ = \lambda_0 \frac{c-v}{c}\) と、縞の間隔の変化量 \(\delta(\Delta x) = \frac{F}{d}(\lambda_0 – \lambda’)\) から求めます。

この設問における重要なポイント

• 縞の間隔 \(\Delta x\) と波長 \(\lambda\) の比例関係。
• ドップラー効果：波長が短くなるのは光源が近づく場合。
• 光のドップラー効果の公式の適用。

具体的な解説と立式
1. 星雲の運動方向の判断:
縞の間隔 \(\Delta x\) が \(\lambda\) に比例するため、\(\Delta x\) が小さくなったことは \(\lambda\) が短くなったことを意味します。したがって、星雲は地球に近づいています。
2. 星雲の速さ \(v\) の計算:
観測された波長を \(\lambda’\) とすると、\(\lambda’ = \lambda_0 \displaystyle\frac{c-v}{c}\)。
縞の間隔の変化量は \(\delta(\Delta x) = \Delta x_0 – \Delta x’ = \displaystyle\frac{F}{d}(\lambda_0 – \lambda’) = 0.011 \text{ cm}\)。
\(\lambda_0 – \lambda’ = \lambda_0 \displaystyle\frac{v}{c}\) なので、
$$\frac{F}{d} \left(\lambda_0 \frac{v}{c}\right) = 0.011 \text{ cm}$$
ここで、\(\Delta x_0 = \displaystyle\frac{F\lambda_0}{d}\) なので、
$$\Delta x_0 \frac{v}{c} = 0.011 \text{ cm}$$
$$v = c \frac{0.011 \text{ cm}}{\Delta x_0}$$

運動方向: 近づいている。

速さ \(v\) の計算:
\(v = c \displaystyle\frac{\delta(\Delta x)}{\Delta x_0}\)。
\(c = 3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\)、\(\delta(\Delta x) = 0.011 \text{ cm}\)、\(\Delta x_0 = 2.624 \text{ cm}\)。
$$v = (3.0 \times 10^8 \text{ m/s}) \times \frac{0.011 \text{ cm}}{2.624 \text{ cm}}$$$$= (3.0 \times 10^8) \times 0.00419199… \text{ m/s}$$$$\approx 1.2576 \times 10^6 \text{ m/s}$$
有効数字2桁で \(v \approx 1.3 \times 10^6 \text{ m/s}\)。

縞の間隔が小さくなったので、波長が短くなり、星雲は近づいています。速さ \(v\) は \(v = c \times \frac{\text{間隔の変化量}}{\text{元の間隔}}\) で計算でき、約 \(1.3 \times 10^6 \text{ m/s}\) です。

この星雲は地球に近づいており、その速さは約 \(1.3 \times 10^6 \text{ m/s}\) です。

問(3)

思考の道筋とポイント
装置全体が屈折率 \(n=1.33\) の水で満たされた場合を考えます。模範解答のメイン解法は、水中での光路差が \(nd\sin\theta\) となることに着目します。強め合いの条件は \(nd\sin\theta = m\lambda_0\) となります（ここで \(\lambda_0\) は真空中の波長）。これとレンズの式 \(x’_m = F\tan\theta\)、微小角近似を用いて、水中の縞の間隔 \(\Delta x’\) を求めます。
別解として、水中では光の波長が \(\lambda_n = \lambda_0/n\) に変化すると考え、縞の間隔の公式 \(\Delta x = \frac{F\lambda}{d}\) の \(\lambda\) を \(\lambda_n\) に置き換える方法もあります。

この設問における重要なポイント

• 水中での光路差の変化、または波長の変化を正しく考慮する。
• 回折格子の条件式とレンズの式の適用。

具体的な解説と立式
メイン解法（光路差の変化を考慮）:
水中で、隣り合うスリットから角 \(\theta_m\) 方向に出る光の光路差は \(nd\sin\theta_m\) となります。ここで \(n\) は水の屈折率、\(d\) は格子定数、\(\lambda_0\) は真空中の光の波長です。
強め合いの条件は、
$$nd\sin\theta_m = m\lambda_0 \quad \cdots ⑥$$
スクリーン上の \(m\) 次の明線の位置 \(x’_m\) は、レンズの焦点距離を \(F\) として、
$$x’_m = F\tan\theta_m \quad \cdots ⑦$$
微小角近似 \(\sin\theta_m \approx \tan\theta_m\) を用いると、式⑥は \(nd\tan\theta_m \approx m\lambda_0\) となり、\(\tan\theta_m \approx \displaystyle\frac{m\lambda_0}{nd}\)。
これを式⑦に代入すると、
$$x’_m \approx F \frac{m\lambda_0}{nd}$$
したがって、水中での明るい縞の間隔 \(\Delta x’\) は、
$$\Delta x’ = x’_{m+1} – x’_m = F \frac{(m+1)\lambda_0}{nd} – F \frac{m\lambda_0}{nd} = \frac{F\lambda_0}{nd}$$
ここで、(1)で求めた空気中での縞の間隔は \(\Delta x_0 = \displaystyle\frac{F\lambda_0}{d}\) でしたので、
$$\Delta x’ = \frac{\Delta x_0}{n}$$

(1)で計算した空気中（真空中）での縞の間隔 \(\Delta x_0 = 2.624 \text{ cm}\)。
水の屈折率 \(n = 1.33\)。
水中での縞の間隔 \(\Delta x’\) は、
$$\Delta x’ = \frac{\Delta x_0}{n} = \frac{2.624 \text{ cm}}{1.33}$$
$$\Delta x’ \approx 1.9729… \text{ cm}$$有効数字2桁で答えるので、$$\Delta x’ \approx 2.0 \text{ cm}$$

メイン解法: 水の中では、回折格子で光が強め合う条件が少し変わります。光が進む道のりの差（光路差）が、水の屈折率 \(n\) の影響を受けて \(nd\sin\theta\) となります。これが真空中の波長 \(\lambda_0\) の整数倍になるときに明るい縞ができます。この条件から計算すると、縞の間隔は空気中のときの \(1/n\) 倍になります。

別解: 水の中では光の波長が \(1/n\) 倍 (\(\lambda_0/n\)) に短くなります。縞の間隔は波長に比例するので、水中での縞の間隔も空気中での間隔の \(1/n\) 倍になります。

どちらの考え方でも、(1)で求めた空気中での間隔約2.6cmを屈折率1.33で割ると、約2.0cmとなります。

別解: 水中での波長変化を考慮
具体的な解説と立式
水中での光の波長 \(\lambda_n\) は、真空中の波長を \(\lambda_0\) とすると、
$$\lambda_n = \frac{\lambda_0}{n}$$
明るい縞の間隔の公式は一般に \(\Delta x = \displaystyle\frac{F\lambda_{\text{使用波長}}}{d}\) と書けます。
したがって、水中での間隔 \(\Delta x’\) は、波長に \(\lambda_n\) を用いて、
$$\Delta x’ = \frac{F\lambda_n}{d} = \frac{F(\lambda_0/n)}{d} = \frac{1}{n} \left(\frac{F\lambda_0}{d}\right)$$
ここで、\(\displaystyle\frac{F\lambda_0}{d}\) は(1)で求めた空気中（真空中）での縞の間隔 \(\Delta x_0\) です。
よって、
$$\Delta x’ = \frac{\Delta x_0}{n}$$
この後の計算過程はメイン解法と同じです。

水で満たしたときの明るい縞の間隔は約 \(2.0 \text{ cm}\) です。
水の屈折率 \(n=1.33\) は1より大きいため、水中での実効的な波長は短くなり（または光路長が長くなり）、結果として縞の間隔も狭まります。これは物理的に妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回折格子の干渉条件:
  • 核心: 格子定数\(d\)、入射光の波長\(\lambda\)、回折角\(\theta\)、干渉次数\(m\)の間の関係式 \(d\sin\theta = m\lambda\) （強め合い）。
  • 理解のポイント: 隣り合うスリットを通過する光の光路差が波長の整数倍になるときに強め合うという、多光束干渉の基本原理を理解する。
• レンズによる集光と縞模様の形成:
  • 核心: 回折格子を通過した平行な回折光が、レンズの焦点面上に集光し、干渉縞を形成する。縞の位置は \(x \approx F\theta \approx F\lambda m/d\)。
  • 理解のポイント: 平行光線がレンズの焦点に集まる性質と、微小角近似の組み合わせを把握する。
• 光のドップラー効果:
  • 核心: 光源と観測者の相対運動により、観測される光の波長（振動数）が変化する現象。
  • 理解のポイント: 近づく場合は波長が短く（青方偏移）、遠ざかる場合は波長が長くなる（赤方偏移）という方向性を理解する。また、\(\lambda’ = \lambda_0 (1 \mp v/c)\) や \(f’ = f_0 (c/(c \pm v))\) といった公式の符号と適用条件を正しく把握する。
• 媒質中の光の波長:
  • 核心: 屈折率\(n\)の媒質中では、光の波長は真空中の\(1/n\)倍になる (\(\lambda_n = \lambda_0/n\))。
  • 理解のポイント: これにより、媒質中で干渉現象を考える場合、実効的な波長が変わるか、光路長が\(n\)倍になると解釈できる。どちらの考え方でも同じ結果に至ることを理解する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • ヤングの実験（複スリット干渉）: 縞の間隔の式は類似の形をとる。回折格子は多数のスリットの集まりと見なせる。
  • X線回折（ブラッグの条件など）: 結晶格子によるX線の回折・干渉も、周期構造による波動の干渉という点で共通の原理。
  • 天体からの光のスペクトル分析: 星や銀河の出す光のスペクトル線がドップラー効果によりずれることから、天体の視線速度を測定し、宇宙の膨張などを研究する。
  • 薄膜干渉での媒質の効果: 薄膜やその周囲の媒質の屈折率が、光路長や位相変化に影響し、干渉条件を変える。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 現象の特定: まず、問題がどの物理現象（回折格子の干渉か、ドップラー効果か、媒質中の光か、あるいはそれらの組み合わせか）を扱っているのかを正確に把握する。
  2. 関連する公式の想起: 特定した現象に対応する基本的な物理法則や公式（例: \(d\sin\theta = m\lambda\)、ドップラー効果の式など）を思い出す。
  3. 図と条件の整理: 問題文中の図や与えられた数値を整理し、未知数と既知数の関係を明確にする。特に幾何学的な配置（距離、角度など）を正確に読み取る。
  4. 近似条件の確認: 「微小角近似」のような近似条件があれば、それを適用できる場面を見極める。
  5. 段階的な立式: 複数の現象が絡む場合は、各現象ごとに式を立て、それらを連立させて解くことを考える。例えば、(2)では縞の間隔の式とドップラー効果の式を組み合わせる。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 回折格子の格子定数\(d\)は、「単位長さあたりの筋の本数」の逆数であることに注意し、単位を正しく扱う。
  • ドップラー効果の公式は複数ある（波長で表すか振動数で表すか、光源が動くか観測者が動くかなど）。問題の状況に合わせて適切な公式を選び、符号の向き（近づくか遠ざかるか）に注意する。
  • レンズが介在する場合、平行光線が焦点面に集まるという性質を理解し、回折角\(\theta\)とスクリーン上の位置\(x\)の関係 (\(x=F\tan\theta\)) を使う。
  • 媒質が変わると波長が変わるという点を忘れずに。縞の間隔などの量は波長に依存するため、媒質の効果を考慮に入れる必要がある。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 格子定数 \(d\) の計算ミス:
  • 現象: 「1cmあたりN本」という情報を、\(d=N\) [cm]や \(d=1/N\) [m] のように単位換算を誤ったり、逆数を忘れたりする。
  • 対策: 格子定数 \(d\) は「1本あたりの間隔」なので、\(d = (\text{与えられた長さ}) / (\text{本数})\) で計算する。単位はmに基本統一することを推奨（例: 1cmあたり400本なら \(d = (1 \times 10^{-2} \text{ m}) / 400\))。
• ドップラー効果の公式の符号選択ミス:
  • 現象: 光源が近づく場合と遠ざかる場合で、波長が長くなるのか短くなるのか、また公式中の \(v\) の符号をどちらにすべきか混乱する。
  • 対策: 「光源が近づく \(\rightarrow\) 波面が圧縮される \(\rightarrow\) 波長は短くなる（青方偏移）、振動数は高くなる」という物理的イメージを持つ。公式 \(\lambda’ = \lambda_0 (1 \mp v/c)\) では近づくとき「\(-\)」遠ざかるとき「\(+\)」。振動数の公式 \(f’ = f_0 (c/(c \pm v))\) では近づくとき分母が「\(c-v\)」、遠ざかるとき「\(c+v\)」。
• 微小角近似の不適切な適用や誤解:
  • 現象: \(\sin\theta \approx \theta\), \(\tan\theta \approx \theta\) の近似は\(\theta\)がラジアン単位の時に成り立つが、度数法のまま使ってしまう。また、近似が使えない比較的大きな角度でも使ってしまう。
  • 対策: 問題文に「微小角として近似し」とあれば積極的に使う。このとき\(\theta\)そのものより\(\sin\theta\)や\(\tan\theta\)の形で扱うことが多い。近似の結果、式が簡単になることを確認する。
• 媒質中での波長の扱いと光路長の混同:
  • 現象: 水中での波長を \(\lambda_0/n\) とするか、光路長を \(n\) 倍にするかのどちらか一方を適用すべきところを混同したり、両方適用してしまったりする。
  • 対策: 干渉条件 \(d\sin\theta = m\lambda\) を使う場合、右辺の\(\lambda\)を媒質中の波長\(\lambda_n = \lambda_0/n\)に置き換えるか、左辺の光路差を \(nd\sin\theta\) と考えて右辺を真空中の波長\(\lambda_0\)のままにするか、どちらか一方のアプローチで統一する。結果は同じになる。
• 単位換算の漏れ・ミス:
  • 現象: nm, cm, m が混在しているのに、適切な換算を行わずに計算を進めてしまい、桁が大きくずれる。
  • 対策: 計算を始める前に全ての物理量を基本単位（例: m）に統一するか、あるいは最終的に求められる単位に合わせて計算途中で計画的に換算する。特に波長(\(\lambda\))、格子定数(\(d\))、焦点距離(\(F\))の単位に注意。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 回折格子の光路: 平行光線が回折格子に入射し、各スリット（溝）を通過した光が異なる方向に回折していく様子。特に、隣り合うスリットからの光が特定の方向(\(\theta\))に進む際に生じる光路差(\(d\sin\theta\))を図で明確にイメージする。
  • レンズによる集光: 同じ角度\(\theta\)で回折した平行光線群が、レンズによって焦点面上の特定の一点に集められる様子。レンズの中心を通る光線と、スクリーン上の集光点までの関係 (\(x = F\tan\theta\)) を図で確認する。
  • ドップラー効果の波面: 光源が近づく場合、波面の間隔（＝波長）が進行方向で密になるイメージ。逆に遠ざかる場合は疎になるイメージ。
  • 媒質中の波の伝播: 水のような媒質中では光速が遅くなり、その結果として波長が短くなる（振動数は変わらない）イメージ。波の「目盛り」が細かくなる感じ。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 回折角\(\theta\)の定義: 格子面に垂直な線（法線）からの角度として正確に図示する。
  • 光路差の図示: 隣り合うスリットからの光路差\(d\sin\theta\)が生じる部分を、直角三角形を意識して描く。
  • レンズと焦点面: レンズの光軸、焦点距離\(F\)、スクリーン（焦点面）の位置関係を明確にする。
  • 近似の反映: 微小角近似を使う場合、図では多少角度を大きく描いても、数式上では近似が適用されていることを意識する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(d\sin\theta = m\lambda\) (回折格子の強め合い条件):
  • 選定理由: 多数のスリットからの光が干渉して明線（強め合い）を作る方向を特定するため。
  • 適用根拠: 隣り合うスリットを通過した光の光路差が、波長の整数倍になるときに同位相で重なり強め合うという、ホイヘンスの原理と重ね合わせの原理に基づく。
• \(x = F\tan\theta\) (レンズ焦点面での集光位置):
  • 選定理由: 回折角\(\theta\)で進んできた平行光線が、レンズ通過後にスクリーン（焦点面に設置）上のどの位置に集光するかを求めるため。
  • 適用根拠: レンズの光軸に平行な光線は焦点を通る。光軸に対して角度\(\theta\)で入射する平行光線は、焦点面上で光軸から距離 \(F\tan\theta\) の位置に集まるというレンズの性質。
• \(\lambda’ = \lambda_0 \frac{c-v}{c}\) (光のドップラー効果、光源が近づく場合):
  • 選定理由: 光源（星雲）が観測者（地球）に対して運動しているため、観測される光の波長が変化する効果を計算するため。
  • 適用根拠: 光速不変の原理に基づき、光源の運動によって単位時間あたりに放出される波の数（振動数）は変わらないが、その波が占める空間的長さ（波長）が光源の速度に応じて変化するという考え方。近づく場合は波が圧縮されて波長が短くなる。
• \(\Delta x’ = \Delta x_0 / n\) または \(\lambda_n = \lambda_0/n\) (水中での縞間隔または波長):
  • 選定理由: 光が屈折率\(n\)の媒質（水）中を進むことによる干渉縞の間隔の変化を計算するため。
  • 適用根拠: 媒質中では光速が\(c/n\)になるため、振動数が変わらないとすると波長が\(\lambda_0/n\)になる。縞の間隔\(\Delta x\)は波長\(\lambda\)に比例するため(\(\Delta x = F\lambda/d\))、間隔も\(1/n\)倍になる。あるいは、光路差の条件を\(nd\sin\theta = m\lambda_0\)として扱うことで同じ結果が得られる。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 静止光源・空気中での縞間隔\(\Delta x_0\):
   1. 格子定数 \(d\) を計算する (\(d = (\text{単位長さ}) / (\text{本数})\))。
   2. 回折格子の強め合いの条件 \(d\sin\theta_m = m\lambda_0\) を立てる。
   3. レンズによる集光位置 \(x_m = F\tan\theta_m\) と微小角近似 \(\sin\theta_m \approx \tan\theta_m\) を用いて、\(x_m = \frac{F m \lambda_0}{d}\) を導く。
   4. 縞の間隔 \(\Delta x_0 = x_1 – x_0 = \frac{F\lambda_0}{d}\) として計算する。
2. (2) 星雲の運動方向と速さ\(v\):
   1. 縞の間隔の変化 (\(\Delta x’ < \Delta x_0\)) から波長の変化 (\(\lambda’ < \lambda_0\)) を判断し、ドップラー効果により星雲が「近づいている」と結論づける。
   2. 元の縞の間隔 \(\Delta x_0 = \frac{F\lambda_0}{d}\) と観測された縞の間隔 \(\Delta x’ = \frac{F\lambda’}{d}\) の差 \(\delta(\Delta x) = \Delta x_0 – \Delta x’\) を計算する。
   3. \(\delta(\Delta x) = \frac{F}{d}(\lambda_0 – \lambda’)\) という関係を得る。
   4. ドップラー効果の公式（近づく場合） \(\lambda’ = \lambda_0 \frac{c-v}{c}\) から \(\lambda_0 – \lambda’ = \lambda_0 \frac{v}{c}\) を導く。
   5. 上記2式を組み合わせて \(\delta(\Delta x) = \frac{F\lambda_0}{d} \frac{v}{c} = \Delta x_0 \frac{v}{c}\) を得る。
   6. \(v = c \frac{\delta(\Delta x)}{\Delta x_0}\) として速さ\(v\)を計算する。
3. (3) 水中での縞間隔\(\Delta x’\):
   1. 水中での波長が \(\lambda_n = \lambda_0/n\) となることを用いる。
   2. 縞の間隔の公式に水中での波長を適用し、\(\Delta x’ = \frac{F\lambda_n}{d} = \frac{F(\lambda_0/n)}{d} = \frac{1}{n}\left(\frac{F\lambda_0}{d}\right) = \frac{\Delta x_0}{n}\) として計算する。（別解として光路差 \(nd\sin\theta=m\lambda_0\) から導出も可）

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の一貫性の徹底:
  • 現象: nm（ナノメートル）、cm（センチメートル）、m（メートル）が混在しており、換算を忘れたり間違えたりしやすい。特に格子定数\(d\)、波長\(\lambda\)、焦点距離\(F\)の単位。
  • 対策: 計算を始める前に、全ての物理量を基本単位であるメートル(m)に統一する。あるいは、最終的に求めたい単位（例: cm）に合わせて、計算の各段階で意識的に単位を揃える。指数計算（\(10^{-9}, 10^{-7}, 10^{-2}\)など）を正確に行う。
• 格子定数 \(d\) の正確な計算:
  • 現象: 「1cmあたり400本」から格子定数を求める際に、単純に400を使ったり、逆数を取る際に単位を誤る。
  • 対策: 格子定数\(d\)は「1本あたりの溝の間隔」であるため、\(d = \frac{1 \text{ cm}}{400} = \frac{10^{-2} \text{ m}}{400}\) と正しく計算する。
• 有効数字の適切な処理:
  • 現象: 計算途中で不用意に丸めて最終結果の精度が落ちる、または問題文の指示（有効数字2桁）を無視する。
  • 対策: 計算途中では有効数字より1～2桁多く保持し、最終的な答えを出す段階で指定された有効数字に正しく丸める。
• 分数の計算:
  • 現象: \(\Delta x = F\lambda/d\) のような分数計算で、分母と分子を取り違えたり、割り算を間違えたりする。
  • 対策: 式を丁寧に書き、どの物理量が分母に来てどれが分子に来るのかを明確に意識する。特に \(d\) が分数になる場合（例: \(d=1/400\) cm）は、逆数を掛ける操作を慎重に行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 縞間隔のオーダーの確認:
  • (1)で求めた縞の間隔（約2.6cm）が、実験室の光学装置で観察される干渉縞として現実的な大きさ（オーダー）であるか。極端に大きすぎたり小さすぎたりしないか。
• 星雲の速さの物理的妥当性:
  • (2)で求めた星雲の速さ（約 \(1.3 \times 10^6 \text{ m/s}\)）が、光速 (\(3.0 \times 10^8 \text{ m/s}\)) に比べて十分に小さいか（ドップラー効果の非相対論的公式の適用範囲内か）。また、天文学的な速度としてあり得る範囲の値か。
  • 運動方向（「近づいている」）が、波長の短縮（青方偏移）という現象と矛盾していないか。
• 水中での縞間隔の変化の方向:
  • (3)で水中に装置を浸した場合、屈折率 \(n > 1\) なので、水中での波長は真空中に比べて短くなるはず。その結果、縞の間隔は空気中（真空中）よりも狭くなるはず (\(\Delta x’ < \Delta x_0\))。計算結果がこの定性的な予測と一致しているか。
• 近似の妥当性:
  • 微小角近似 (\(\sin\theta \approx \tan\theta\)) を用いたが、実際に得られる\(\theta\)が十分に小さい範囲に収まっているか（例えば、\(\sin\theta = \lambda/d \approx (656 \times 10^{-9}) / (1/400 \times 10^{-2}) \approx 0.026\)、これは約1.5度程度なので微小角と見なせる）。

問題8 (東京理科大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、マイケルソン干渉計を用いた光の干渉に関するものです。鏡の移動や波長の変更、媒質の挿入によって光路差が変化し、それに伴い干渉条件（強め合い・弱め合い）がどのように変わるかを考察します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「光の干渉」の代表的な装置である「マイケルソン干渉計」の動作原理と応用を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路差: 干渉する二つの光がたどる経路の光学的距離の差。
2. 干渉条件: 強め合いは光路差が \(m\lambda\)、弱め合いは光路差が \((m+1/2)\lambda\)。
3. 光学的距離: 媒質中では \(n \times (\text{幾何学的距離})\)。
4. 干渉の次数の変化: 光路差や波長の変化に伴う次数の変化。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 強め合いの回数: M₁の移動による光路差の変化 \(2d_1\) を計算し、強め合いの条件から回数を求めます。
2. (2) 波長変更による再強め合い: (1)の最終状態での光路差を固定し、波長変化と次数変化の関係から新しい波長を求めます。
3. (3) 波長変更による初弱め合い: (1)の最終状態での光路差を固定し、波長変化と次数変化（弱め合いの条件）から新しい波長を求めます。
4. (4) 膜挿入による干渉: 平行平面膜の挿入による光路長の変化を計算し、干渉条件と与えられた厚さの範囲から実際の厚さを決定します。

問(1)

思考の道筋とポイント
鏡M₁を距離 \(d_1\) だけ平行移動させると、M₁で反射する光の経路は往復で \(2d_1\) だけ長くなります。初期状態では光路差がなく強め合っていたので、この \(2d_1\) がそのまま新たな光路差となります。強め合う条件は、光路差が波長の整数倍、すなわち \(2d = m\lambda_0\) （\(m=1, 2, 3, \dots\)）です。この条件を満たす最大の整数 \(m\) が、移動開始後に強め合う回数です。

この設問における重要なポイント

• 鏡の移動距離 \(d\) と光路差 \(2d\) の関係。
• 強め合いの干渉条件: 光路差 \( = m\lambda\)。
• 与えられた移動距離内で条件を満たす最大の次数 \(m\) が回数となる。

具体的な解説と立式
鏡M₁を距離 \(d\) だけ移動させたときの光路差は \(2d\) です。検出器Dで光が強め合う条件は、
$$2d = m\lambda_0 \quad (m = 1, 2, 3, \dots) \quad \cdots ①$$
M₁の移動距離の上限を \(d_{\text{移動}} = 2.25 \times 10^{-3} \text{ mm} = 2.25 \times 10^{-6} \text{ m}\)、波長を \(\lambda_0 = 5.00 \times 10^{-7} \text{ m}\) とします。
強め合いが観測されるのは \(d = \frac{m\lambda_0}{2}\) のときなので、\(d \le d_{\text{移動}}\) の範囲で、
$$\frac{m\lambda_0}{2} \le d_{\text{移動}}$$
すなわち、
$$m \le \frac{2d_{\text{移動}}}{\lambda_0}$$
この条件を満たす最大の整数 \(m\) が強め合った回数です。

与えられた値を代入して \(m\) の最大値を求めます。
$$m \le \frac{2 \times (2.25 \times 10^{-6} \text{ m})}{5.00 \times 10^{-7} \text{ m}} = \frac{4.50 \times 10^{-6}}{5.00 \times 10^{-7}} = 0.9 \times 10^1 = 9.0$$
\(m\) は整数なので、\(m \le 9\)。移動開始後、\(m=1, 2, \dots, 9\) の9回強め合います。
このとき、M₁が \(d_1 = 2.25 \times 10^{-3} \text{ mm}\) 移動した位置では \(m=9\) で強め合っており、光路差は \(2d_1 = 9\lambda_0\) です。

別解: 強め合いの間隔を利用
具体的な解説と立式
鏡M₁を \(\lambda_0/2\) 動かすたびに光路差は \(\lambda_0\) 変化し、強め合いが1回起こります。
移動距離 \(d_1 = 2.25 \times 10^{-6} \text{ m}\) の間に \(\lambda_0/2\) が何回含まれるかを計算します。
$$\frac{\lambda_0}{2} = \frac{5.00 \times 10^{-7} \text{ m}}{2} = 2.50 \times 10^{-7} \text{ m}$$

強め合う回数 \(N\) は、
$$N = \frac{d_1}{\lambda_0/2} = \frac{2.25 \times 10^{-6} \text{ m}}{2.50 \times 10^{-7} \text{ m}} = \frac{2.25}{0.250} = 9$$
よって9回強め合います。

鏡M₁を動かすと光路差が \(2d\) 変化します。これが波長 \(\lambda_0\) の整数倍 (\(m\lambda_0\)) になるたびに強め合います。M₁を \(2.25 \times 10^{-3} \text{ mm}\) 動かす間に、この条件を満たす \(m\) が9回あります。または、鏡を \(\lambda_0/2\) 動かすごとに強め合いが1回起こると考えても、同じく9回と求まります。

M₁を図のように距離 \(d_1 = 2.25 \times 10^{-3} \text{ mm}\) までに移動させる間に、Dでは光は9回強め合うのが観測されます。最終的な位置では \(m=9\) で強め合っています。

問(2)

思考の道筋とポイント
M₁は(1)の移動後の位置で固定され、光路差は \(2d_1 = 9\lambda_0\) です。この光路差は一定のまま、波長を \(\lambda_1\) に減少させて再び強め合ったので、次数は \(m_1 = 9+1=10\) となります。この関係から新しい波長 \(\lambda_1\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 光路差が一定の条件下で、波長と次数が変化する。
• 波長を減少させて次に強め合う場合、次数は \(m \rightarrow m+1\) となる。

具体的な解説と立式
(1)の最終状態での光路差は \(2d_1 = 9\lambda_0\)。
この光路差のまま、波長を \(\lambda_1\) に変えて次数 \(m_1=10\) で強め合ったので、
$$2d_1 = 10\lambda_1 \quad \cdots ②$$
\(9\lambda_0 = 10\lambda_1\) の関係が成り立ちます。

\(9\lambda_0 = 10\lambda_1\) より、
$$\lambda_1 = \frac{9}{10}\lambda_0$$
\(\lambda_0 = 5.00 \times 10^{-7} \text{ m}\) を代入すると、
$$\lambda_1 = \frac{9}{10} \times (5.00 \times 10^{-7} \text{ m}) = 4.50 \times 10^{-7} \text{ m}$$

光路差は \(9\lambda_0\) で固定されています。波長を短くして次に強め合うのは、この光路差が新しい波長 \(\lambda_1\) の10倍になるとき、つまり \(9\lambda_0 = 10\lambda_1\) です。これから \(\lambda_1\) を求めます。

再び強め合ったときの波長は \(\lambda_1 = 4.50 \times 10^{-7} \text{ m}\) です。これは元の波長より短く、次数が増えたことと整合します。

問(3)

思考の道筋とポイント
光路差は \(2d_1 = 9\lambda_0\) のまま、波長を \(\lambda_0\) から増加させて最初に弱め合ったときの波長 \(\lambda_2\) を求めます。弱め合いの条件は光路差 \( = (m’ + 1/2)\lambda_2\) です。\(m=9\) の強め合いから波長を増加させて最初に弱め合うのは、次数に相当する係数が \(9\) から最も近い「整数+0.5」の形、つまり \(8.5\) (\(m’=8\)) になるときです。

この設問における重要なポイント

• 光路差が一定の条件下で、波長と次数（または半整数）が変化する。
• 弱め合いの条件: 光路差 \( = (m’ + \frac{1}{2})\lambda\)。

具体的な解説と立式
光路差は \(2d_1 = 9\lambda_0\)。
波長を \(\lambda_2\) に増加させて最初に弱め合ったときの条件は、
$$2d_1 = \left(8 + \frac{1}{2}\right)\lambda_2 = \frac{17}{2}\lambda_2 \quad \cdots ③$$
よって、\(9\lambda_0 = \displaystyle\frac{17}{2}\lambda_2\) が成り立ちます。

\(9\lambda_0 = \displaystyle\frac{17}{2}\lambda_2\) より、
$$\lambda_2 = \frac{18}{17}\lambda_0$$
\(\lambda_0 = 5.00 \times 10^{-7} \text{ m}\) を代入すると、
$$\lambda_2 = \frac{18}{17} \times (5.00 \times 10^{-7} \text{ m}) = \frac{90}{17} \times 10^{-7} \text{ m} \approx 5.2941… \times 10^{-7} \text{ m}$$
有効数字3桁で \(\lambda_2 \approx 5.29 \times 10^{-7} \text{ m}\)。

光路差は \(9\lambda_0\) で固定されています。波長を長くして最初に弱め合うのは、この光路差が新しい波長 \(\lambda_2\) の \(8.5\) 倍になるとき、つまり \(9\lambda_0 = (17/2)\lambda_2\) です。これから \(\lambda_2\) を求めます。

はじめに弱め合ったときの波長は \(\lambda_2 \approx 5.29 \times 10^{-7} \text{ m}\) です。これは元の波長より長く、次数に相当する係数が \(9\) から \(8.5\) に減少したことと整合します。

問(4)

思考の道筋とポイント
M₁は \(d_1\) 移動後の位置（光路差 \(2d_1 = 9\lambda_0\)）にあり、波長は \(\lambda_0\)。HとM₂の間に屈折率 \(n_{\text{膜}}=1.500\)、厚さ \(t_{\text{膜}}\) の膜を挿入すると、H-M₂経路の光路長が往復で \(2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}}\) だけ増加します。膜挿入後も強め合っているので、この光路長の変化が波長 \(\lambda_0\) の整数 \(i\) 倍であれば、強め合いの関係は保たれます。

この設問における重要なポイント

• 媒質（膜）を挿入したときの光学的距離の変化を正しく計算する（往復分）。
• 膜挿入後も強め合っているという条件から、光路差の変化が波長の整数倍になることを利用する。

具体的な解説と立式
メイン解法（LECTURE(4)の別解の考え方）:
膜を挿入したことによるH-M₂経路の光路長の変化 \(\Delta L_{\text{変化}}\) は、
$$\Delta L_{\text{変化}} = 2(n_{\text{膜}}t_{\text{膜}} – 1 \cdot t_{\text{膜}}) = 2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}}$$
膜を挿入する前も後も強め合っているので、この光路長の変化が元の波長 \(\lambda_0\) の整数 \(i\) 倍であればよいと考えられます。
$$2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}} = i\lambda_0 \quad (i \text{ は整数}) \quad \cdots ⑤$$
与えられた値を代入します: \(n_{\text{膜}} = 1.500\), \(\lambda_0 = 5.00 \times 10^{-7} \text{ m} = 0.500 \text{ µm}\)。
$$2(1.500-1)t_{\text{膜}} = i \times 0.500 \text{ µm}$$
$$t_{\text{膜}} = 0.500 i \text{ [µm]}$$
厚さの範囲 \(48.8 \text{ µm} \le t_{\text{膜}} \le 49.4 \text{ µm}\) にこれを適用します。
$$48.8 \le 0.500 i \le 49.4$$
$$97.6 \le i \le 98.8$$
この範囲の整数 \(i\) は \(98\) です。
よって、\(t_{\text{膜}} = 0.500 \times 98 \text{ µm}\)。

\(t_{\text{膜}} = 0.500 i \text{ [µm]}\)
\(97.6 \le i \le 98.8\) より \(i=98\)。
\(t_{\text{膜}} = 0.500 \times 98 = 49.0 \text{ [µm]}\)。

別解: LECTURE(4)のメイン解法
具体的な解説と立式
元の光路差は \(2d_1 = 9\lambda_0\)。H-M₂間に膜を挿入すると、S-H-M₂-H-D経路の光路長が \(2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}}\) だけ長くなる。
全体の光路差は \(|2d_1 – 2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}}|\) となる。これが新しい次数 \((9-i)\) で強め合うとする。
$$2d_1 – 2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}} = (9-i)\lambda_0$$
\(2d_1 = 9\lambda_0\) を代入すると、
$$9\lambda_0 – 2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}} = 9\lambda_0 – i\lambda_0$$
$$2(n_{\text{膜}}-1)t_{\text{膜}} = i\lambda_0$$
これは最初の解法で用いた式⑤と同じです。以降の計算も同様になります。

膜を入れると光の道のりが実質的に \(2(n-1)t\) だけ変化します。膜を入れても強め合っているので、この変化量が波長の整数倍になっていればよいです。この条件と膜の厚さの範囲から、厚さを求めます。

この膜の厚さは \(49.0 \text{ µm}\) です。この値は与えられた範囲内にあり妥当です。

【コラム】Q₁. M₁をある位置に置き、そこから右へ移していくと、Dでの光の強さは単調に減少し、\(\Delta x\)だけ移したとき最小となった。また、M₁を初めの位置から左へ移していくと、光の強さは単調に増加し、\(2\Delta x\)だけ移したとき最大となった。光の波長\(\lambda\)を\(\Delta x\)で表せ。

思考の道筋とポイント
鏡M₁を \(\lambda/4\) 動かすと光路差が \(\lambda/2\) 変化し、強め合いと弱め合いが入れ替わります。強め合いの位置は鏡の移動距離で \(\lambda/2\) 間隔、弱め合いの位置はその中間です。与えられた条件から、これらの位置関係を特定し、\(\lambda\) と \(\Delta x\) の関係を導きます。

この設問における重要なポイント

• 強め合いの位置は鏡の移動距離 \(\lambda/2\) ごと。
• 弱め合いの位置は強め合いの位置から鏡の移動距離で \(\lambda/4\) ずれる。

具体的な解説と立式
初期位置をPとします。Pから右へ \(\Delta x\) 移動した位置Bで最小（弱め合い）。Pから左へ \(2\Delta x\) 移動した位置Aで最大（強め合い）。
強め合いの位置Aと弱め合いの位置Bの間の鏡の移動距離は \(\Delta x + 2\Delta x = 3\Delta x\) です。
強め合いの位置から隣の弱め合いの位置までの最短の鏡の移動距離は \(\lambda/4\) です。
したがって、
$$3\Delta x = \frac{\lambda}{4}$$
これを \(\lambda\) について解くと、
$$\lambda = 12\Delta x$$

\(3\Delta x = \displaystyle\frac{\lambda}{4}\) より、\(\lambda = 12\Delta x\)。

最も強い点から最も弱い点まで鏡を動かす距離は、波長の1/4 (\(\lambda/4\)) です。問題文の条件から、最も強い点Aと最も弱い点Bの間の鏡の移動距離は \(3\Delta x\) となります。したがって、\(3\Delta x = \lambda/4\) という関係が成り立ち、ここから \(\lambda = 12\Delta x\) が導かれます。

光の波長 \(\lambda\) は \(\lambda = 12\Delta x\) と表されます。

【コラム】Q₂. M₂だけを光線に垂直な状態からわずかに傾けると、Dではどのような干渉模様が見られるか（Sからの光線には幅があるとする）。

思考の道筋とポイント
鏡M₂を傾けると、M₁の鏡面と、M₂の半透明鏡Hによる像M₂’の鏡面とが平行でなくなり、わずかな角度を持つようになります。これは実質的に、2枚のガラス板の間にできる「くさび形の空気層」での干渉と類似の状況を作り出します。

この設問における重要なポイント

• 鏡の傾きが、実質的にくさび形の空気層（または等価なもの）を形成すること。
• くさび形薄膜の干渉では、等厚の場所が同じ干渉条件を満たし、平行な縞模様が生じること。

具体的な解説と立式
鏡M₂をわずかに傾けると、M₁ と M₂ の像M₂’ との間に、場所によって厚さが異なるくさび形の空気層が形成されたと考えることができます。光源からの光に幅がある場合、このくさび形の各部分からの光が検出器（スクリーン）D上の異なる位置で干渉します。くさび形の空気層の厚さが等しい場所では、光路差が等しくなるため、同じ干渉条件を満たし、結果としてスクリーンD上には平行な直線状の干渉縞（等間隔の縞模様）が見られます。

定性的な説明を求めるものであり、数式を用いた計算過程はありません。

一方の鏡M₂を少し傾けると、二つの光が干渉するときの「すき間」の厚さが場所によって変わる「くさび形」のすき間ができたのと同じことになります。このような状況では、平行な明るい線と暗い線が交互に並んだ縞模様が見えます。

M₂をわずかに傾けると、D（スクリーン）では等間隔の平行な直線状の干渉縞が見られます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• マイケルソン干渉計の原理と光路差:
  • 核心: 光を二つに分け、異なる経路を通った後に再び合成して干渉させる装置。一方の鏡を精密に移動させることで、二つの光路の差（光路差）を連続的に変化させることができる。鏡の移動距離を\(d\)とすると、光路差の変化は往復分の\(2d\)。
  • 理解のポイント: 初期状態（光路差0など）から鏡を動かしたときの光路差の計算、およびそれが干渉条件にどう影響するか。
• 干渉条件（強め合い・弱め合い）:
  • 核心: 光路差が波長の整数倍 (\(m\lambda\)) で強め合い、半整数倍 (\((m+1/2)\lambda\)) で弱め合う（反射による位相変化が相殺される場合）。
  • 理解のポイント: \(m\)（次数）が整数であること。光路差と波長の関係で次数が決まる。
• 光学的距離と媒質の影響:
  • 核心: 屈折率\(n\)の媒質中を距離\(t\)進む光の光学的距離は\(nt\)。媒質を挿入すると、その部分の光学的距離が変化し、全体の光路差に影響を与える。
  • 理解のポイント: 膜の挿入による光路長の変化分は \(2(n-1)t\)（往復、空気または真空との比較）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 波長の精密測定。
  • 微小な長さ・変位の測定。
  • 屈折率の測定。
  • 他の干渉計（マッハ・ツェンダー干渉計など）。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 光路の特定。
  2. 光路差の計算（鏡の移動、媒質挿入、波長変化）。
  3. 初期条件の確認と数式化。
  4. 変化量と干渉条件の適用。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 鏡の移動距離\(d\)と光路差\(2d\)の関係を混同しない。
  • 波長を変化させたとき、光路差が一定なら次数\(m\)がどう変わるか。
  • 弱め合いの条件は光路差が半整数倍であること。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路差の計算ミス:
  • 現象: 鏡の移動距離\(d\)をそのまま光路差としてしまう。
  • 対策: 光は鏡で反射して往復するため、光路長の変化は\(2d\)になることを常に意識する。
• 反射による位相変化の扱い:
  • 現象: マイケルソン干渉計でも反射の位相変化を複雑に考えてしまう。
  • 対策: 通常、二つの光路で反射の回数や条件が同じになるように設計されており、位相変化の影響は相殺されると考えてよい場合が多い。
• 次数\(m\)の扱いの混乱:
  • 現象: 波長や光路差が変わったときに、新しい次数をどう設定すればよいか迷う。
  • 対策: 「次に強め合った」「最初に弱め合った」などの言葉に注目し、次数が整数または半整数でどのように変化するかを考える。
• 媒質挿入時の光路長変化の計算ミス:
  • 現象: 単純に\(nt\)だけ変化すると考える、あるいは往復を忘れる。
  • 対策: 挿入された部分の光学的距離が「幾何学的距離\(t\)」から「\(nt\)」に変わる。その差は\((n-1)t\)。往復なら\(2(n-1)t\)。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • マイケルソン干渉計の光路図（光の分割と再合成）。
  • 鏡の移動と光路長の変化のイメージ。
  • 膜の挿入と光学的距離の変化のイメージ。
  • Q₂の干渉縞（くさび形空気層との類似性）。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 半透明鏡での光の分割と合成の経路を正確に。
  • 等価な光路（M₂の像M₂’を考えるなど）も理解の助けになる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \((\text{光路差}) = m\lambda\) (強め合いの条件):
  • 選定理由: 検出器Dで光が「強め合う」という現象に対応するため。
  • 適用根拠: 二つの光波が同位相で重なり合うための条件。
• \((\text{光路差}) = (m+1/2)\lambda\) (弱め合いの条件):
  • 選定理由: 検出器Dで光が「弱め合う」という現象に対応するため。
  • 適用根拠: 二つの光波が逆位相で重なり合うための条件。
• 光路差 \( = 2d\) (鏡の移動による):
  • 選定理由: 一方の鏡を距離\(d\)だけ動かしたときの光路差を計算するため。
  • 適用根拠: 光がその経路を往復するため、実際の経路長の変化は\(2d\)となる。
• 光路長の変化 \( = 2(n-1)t\) (膜の挿入による):
  • 選定理由: 厚さ\(t\)、屈折率\(n\)の膜を光路に挿入したことによる、往復分の光学的距離の変化を計算するため。
  • 適用根拠: 媒質中では光学的距離が\(n\)倍になる。元々そこにあった真空（または空気）の分の光学的距離を差し引いた差が実質的な変化分であり、それが往復する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 初期状態と変化の把握: 問題の各段階で、何が固定され、何が変化し、その結果何が観測されるのかを正確に把握する。
2. 光路差の計算: それぞれの状況に応じて、二つの光の光路差を正しく計算する。
3. 干渉条件の適用: 「強め合い」か「弱め合い」かの条件に応じて、適切な数式を光路差と結びつける。
4. 連立方程式の利用: 未知数が複数ある場合は、複数の条件から連立方程式を立てて解く。
5. 次数\(m\)の決定: 波長や光路差の変化に伴い、次数がどのように変わるのか（または変わらないのか）を論理的に判断する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の統一と換算: この問題ではm, mm, µm, nmが混在するため、特に注意が必要。計算初期にmに統一するのが安全。
• 指数計算の正確性: \(10^{-3}, 10^{-6}, 10^{-7}, 10^{-9}\) などの指数計算を正確に行う。
• 有効数字の処理: 問題文で特に指定がない場合でも、与えられた数値の桁数に合わせて結果の有効数字を適切に処理する。
• 方程式の変形: 移項や割り算などの基本的な操作を正確に行う。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理量のオーダーの確認: 計算結果（波長、厚さ、回数など）が、その物理量として現実的なオーダー（大きさの範囲）になっているかを確認する。
• 条件変化と結果の整合性:
  • 波長を短くしたら次数が増えたか（問2）。
  • 波長を長くしたら、強め合いの次数が減る方向で弱め合いが起きたか（問3）。
  • 膜を入れたことで光路長が伸び、強め合いの次数（またはその変化の整数）が妥当な値になったか（問4）。

問題9 (東北大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、光の干渉を利用した気体の屈折率測定（マッハ・ツェンダー干渉計やジャマン干渉計に類似の構成）と、熱力学の知識を用いた気体の物質量測定、そしてそれらを関連付けて標準状態での屈折率を求めるという、物理の異なる分野を融合した総合問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は「光の干渉」と「熱力学」の融合問題です。光の干渉の原理を用いて気体の屈折率を求め、次に熱量の出入りから気体の物質量を求め、最終的に気体の状態方程式や密度と屈折率の関係を用いて標準状態での屈折率を推定します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路長と光路差: 光が屈折率 \(n\) の媒質中を距離 \(l\) 進むときの光学的距離（光路長）は \(nl\) です。干渉は、複数の光の光路差によって決まります。
2. 干渉条件（明暗の繰り返し）: 光路差が波長の整数倍変化するごとに、干渉縞の明暗は一周期変化します。「明暗がm回繰り返された」とは、光路差が \(m\lambda\) だけ変化したことを意味します。
3. 熱容量と比熱: 物体の温度を \(1\text{K}\) (または \(1^\circ\text{C}\)) 上昇させるのに必要な熱量が熱容量 \(C\) です。モル比熱は1モルあたりの熱容量です。単原子分子理想気体（アルゴンなど）の定積モル比熱は \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\) です。
4. 熱量保存（エネルギー保存）: 容器が断熱されている場合、加えられた熱量は容器と内部気体の内部エネルギー増加（温度上昇）に使われます。\(Q = C\Delta T + x C_{V,m} \Delta T\)。
5. 屈折率と密度の関係: \(n-1 = k\rho\) という関係式が与えられています。
6. 理想気体の状態と密度: 理想気体の密度 \(\rho\) は、モル質量を \(M\)、体積を \(V\)、物質量を \(x\) とすると \(\rho = \frac{xM}{V}\) と表せます。また、標準状態での密度はモル質量と標準状態でのモル体積から計算できます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 屈折率の導出: 容器Aにアルゴンを入れる前後での光路長の変化 \((n-1)l\) が、明暗が\(m\)回繰り返される原因となる光路差 \(m\lambda\) に等しいとおき、\(n\) について解きます。
2. (2) アルゴンの物質量の計算: まず、容器のみの熱容量 \(C\) を求めます。次に、アルゴンが入っている場合に加えられた熱量が、アルゴンの内部エネルギー増加と容器の温度上昇に使われるとして式を立て、物質量 \(x\) を求めます。
3. (3) 標準状態での屈折率の計算: (1)の結果から実験条件下での屈折率 \(n\) を計算し、(2)の結果から実験条件下での密度 \(\rho\) を表します。同様に標準状態での密度 \(\rho_0\) も表し、\(n-1=k\rho\) の関係を用いて \(n_0\) を計算します。

問(1)

思考の道筋とポイント
容器Aにアルゴンを入れると、容器Aを通る光の光路長が真空のときから \(nl-l = (n-1)l\) だけ変化します。「明暗が \(m\) 回繰り返された」とは、この光路差の変化が \(m\lambda\) に等しいことを意味します。

この設問における重要なポイント

• 光学的距離（光路長）の概念: 屈折率 \(n\) の媒質中を距離 \(l\) 進む光の光路長は \(nl\)。
• 光路差の変化と干渉縞の移動の関係: 光路差が \(m\lambda\) 変化すると、明暗が \(m\) 回繰り返される。

具体的な解説と立式
容器Aが真空のときの光路長を \(l\)、屈折率 \(n\) のアルゴンを満たしたときの光路長を \(nl\) とします。
Aにアルゴンを入れたことによるAの経路の光路長の変化は、\(\Delta L_A = nl – l = (n-1)l\)。
この光路長の変化により、スクリーンS上で明暗が \(m\) 回繰り返されたので、
$$(n-1)l = m\lambda \quad \cdots ①$$

式① \((n-1)l = m\lambda\) を \(n\) について解きます。
まず両辺を \(l\) で割ると、
$$n-1 = \frac{m\lambda}{l}$$
次に、1を右辺に移項すると、
$$n = 1 + \frac{m\lambda}{l}$$

容器Aに気体を入れると光路長が \((n-1)l\) 変化します。明暗が \(m\) 回繰り返されたので、この変化量が波長 \(\lambda\) の \(m\) 倍に等しくなります。つまり \((n-1)l = m\lambda\) です。これを \(n\) について解きます。

この状態でのアルゴンの屈折率 \(n\) は \(n = 1 + \displaystyle\frac{m\lambda}{l}\) と表されます。\(m=0\) (気体を入れない) なら \(n=1\) となり、真空の屈折率と一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
A内のアルゴンの物質量 \(x\) を求めます。まず、Aが真空のときのデータから容器の熱容量 \(C\) を \(Q = C \Delta T_{\text{真空}}\) で求めます。次に、Aにアルゴン（物質量 \(x\)、定積モル比熱 \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\)）が入っているときの熱量収支 \(Q = (x C_{V,m} + C) \Delta T_{\text{気体}}\) から \(x\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• 熱容量の定義: \(Q = C\Delta T\)。
• 単原子分子理想気体の定積モル比熱: \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\)。
• エネルギー保存（熱量の分配）。

具体的な解説と立式
容器の熱容量を \(C \text{ [J/K]}\) とします。
Aを真空にしたとき、加えた熱量 \(Q = 1.500 \times 10^3 \text{ J}\) により容器の温度が \(\Delta T_{\text{真空}} = 91.67 – 20.00 = 71.67 \text{ K}\) 上昇したので、
$$Q = C \Delta T_{\text{真空}} \quad \cdots ②$$
Aに物質量 \(x \text{ [mol]}\) のアルゴンを入れたとき、同じ熱量 \(Q\) でアルゴンと容器の温度が \(\Delta T_{\text{気体}} = 90.74 – 20.00 = 70.74 \text{ K}\) 上昇しました。アルゴンの定積モル比熱は \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\) なので、
$$Q = \left(x \cdot \frac{3}{2}R + C\right) \Delta T_{\text{気体}} \quad \cdots ③$$

式②より、容器の熱容量 \(C\) は、
$$C = \frac{Q}{\Delta T_{\text{真空}}} = \frac{1.500 \times 10^3 \text{ J}}{71.67 \text{ K}}$$
この \(C\) を式③に代入します。
$$1.500 \times 10^3 = \left(x \cdot \frac{3}{2} \cdot 8.3 + \frac{1.500 \times 10^3}{71.67}\right) \times 70.74$$
両辺を \(70.74\) で割ると、
$$\frac{1.500 \times 10^3}{70.74} = x \cdot 12.45 + \frac{1.500 \times 10^3}{71.67}$$
数値計算を進めると、
$$21.1990… = 12.45x + 20.9292…$$
$$12.45x = 21.1990… – 20.9292… = 0.2698…$$
$$x = \frac{0.2698…}{12.45} \approx 0.02167… \text{ mol}$$
有効数字2桁で \(x \approx 2.2 \times 10^{-2} \text{ mol}\)。

まず容器自体の熱容量 \(C\) を求めます（\(C = \text{熱量} / \text{温度上昇(真空時)}\)）。次にアルゴンが入った状態で、加えられた熱量はアルゴンと容器の両方を温めるのに使われるとして式を立て（\(\text{熱量} = (\text{アルゴンの熱容量} + C) \times \text{温度上昇(気体時)}\)）、アルゴンのモル数を求めます。

A内のアルゴンは約 \(2.2 \times 10^{-2} \text{ mol}\) です。

問(3)

思考の道筋とポイント
0℃、1気圧（標準状態）でのアルゴンの屈折率 \(n_0\) を求めます。
1. (1)の式と実験値から、実験条件下での \(n_{\text{実験}}-1\) を計算します。
2. 実験条件下での密度 \(\rho_{\text{実験}}\) と標準状態での密度 \(\rho_0\) の比 \(\rho_0/\rho_{\text{実験}}\) を、(2)で求めたモル数 \(x\)、容器容積 \(V_A\)、標準状態での1モルの体積 \(V_m\) を用いて計算します（モル質量は消去されます）。
3. 関係式 \(n-1 = k\rho\) より \((n_0-1)/(n_{\text{実験}}-1) = \rho_0/\rho_{\text{実験}}\) を導き、\(n_0\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 実験データから、その実験条件下での屈折率 \(n\) と密度 \(\rho\) を関連付ける。
• 標準状態での密度 \(\rho_0\) を計算する。
• 比例関係 \(n-1 = k\rho\) を利用して、異なる状態の屈折率と密度を結びつける。

具体的な解説と立式
1. 実験条件下での \(n_{\text{実験}}-1\):
$$n_{\text{実験}}-1 = \frac{m\lambda}{l} = \frac{178 \times (6.3 \times 10^{-7} \text{ m})}{0.20 \text{ m}}$$
2. 密度比 \(\rho_0 / \rho_{\text{実験}}\) の計算:
モル質量を \(M\) とすると、\(\rho_{\text{実験}} = \frac{xM}{V_A}\), \(\rho_0 = \frac{M}{V_m}\)。
よって、$$\frac{\rho_0}{\rho_{\text{実験}}} = \frac{M/V_m}{xM/V_A} = \frac{V_A}{xV_m}$$
3. 標準状態での屈折率 \(n_0\) の計算:
\(n-1 = k\rho\) より、\(\displaystyle\frac{n_0-1}{n_{\text{実験}}-1} = \frac{\rho_0}{\rho_{\text{実験}}}\)。
$$n_0-1 = (n_{\text{実験}}-1) \frac{\rho_0}{\rho_{\text{実験}}} = \left(\frac{m\lambda}{l}\right) \left(\frac{V_A}{xV_m}\right)$$
$$n_0 = 1 + \left(\frac{m\lambda}{l}\right) \left(\frac{V_A}{xV_m}\right)$$

1. \(n_{\text{実験}}-1 = \displaystyle\frac{178 \times 6.3 \times 10^{-7}}{0.20} = 5.607 \times 10^{-4}\)。(模範解答に合わせ \(5.6 \times 10^{-4}\) を使用)
\(n_{\text{実験}}-1 = 5.6 \times 10^{-4}\)。
2. \(\displaystyle\frac{\rho_0}{\rho_{\text{実験}}} = \frac{V_A}{xV_m} = \frac{2.5 \times 10^{-4} \text{ m}^3}{(2.2 \times 10^{-2} \text{ mol}) \times (2.24 \times 10^{-2} \text{ m}^3/\text{mol})} = \frac{2.5}{2.2 \times 2.24} \approx 0.50728\)。
3. \(n_0-1 = (5.6 \times 10^{-4}) \times 0.50728 \approx 2.8407 \times 10^{-4}\)。
\(n_0 = 1 + 2.8407 \times 10^{-4} \approx 1.00028407\)。
模範解答の \(1.00028\) に合わせます。

まず実験時の屈折率 \(n_{\text{実験}}\) を求めます。次に実験時の密度と標準状態の密度の比を計算します。「屈折率マイナス1」が密度に比例する関係を使って、標準状態の屈折率 \(n_0\) を求めます。

0℃、1気圧のアルゴンの屈折率 \(n_0\) は約 \(1.00028\) です。気体の屈折率は1に非常に近いので妥当です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 光路長と干渉条件:
  • 核心: 光が異なる媒質を進む際に生じる光学的距離（光路長）の差が干渉現象を引き起こす。
  • 理解のポイント: 光路長は「屈折率 × 幾何学的距離」。明暗が1回繰り返されることは、光路差が \(1\lambda\) 変化することに対応。本問では容器Aの光路長変化 \((n-1)l\) が \(m\lambda\) に等しい。
• 熱力学（熱容量と内部エネルギー）:
  • 核心: 加えられた熱量が物質の内部エネルギー増加（温度上昇）を引き起こす。
  • 理解のポイント: 容器の熱容量 \(C=Q/\Delta T\)。単原子分子理想気体の定積モル比熱 \(C_{V,m} = \frac{3}{2}R\)。熱量保存 \(Q = (x C_{V,m} + C)\Delta T\)。
• 屈折率と密度の関係 (\(n-1 = k\rho\)):
  • 核心: 気体の屈折率（から1を引いた値）がその気体の密度に比例する。
  • 理解のポイント: 異なる状態の屈折率を密度比で関連付けることができる。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 他の干渉計（マイケルソン干渉計など）を用いた屈折率や微小変位の測定。
  • 気体の状態変化に伴う屈折率変化の予測。
  • 熱量測定と気体の比熱や物質量の決定。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 干渉部分を特定し、何の変化が光路差を生むか把握する。
  2. 「\(m\)回の変化」と光路差「\(m\lambda\)の変化」を対応させる。
  3. 熱力学部分では、熱の出入りとエネルギー分配を明確にする。
  4. 与えられた関係式（例: \(n-1=k\rho\)）の活用法を見通す。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 光路差は往復か片道か注意（本問の容器部分は片道分の差）。
  • 温度変化\(\Delta T\)はセルシウス度でもKでも同じだが、絶対温度はK。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 光路長の計算ミス:
  • 現象: 屈折率 \(n\) の媒質中の長さを \(l\) のまま扱う。変化分 \((n-1)l\) を見落とす。
  • 対策: 光路長は \(nl\)。変化量は \((n_{\text{後}} – n_{\text{前}})l\)。
• 干渉縞の「\(m\)回の繰り返し」の解釈ミス:
  • 現象: 光路差の変化を \(m\lambda\) と正しく対応付けられない。
  • 対策: 「明暗が1回繰り返す \(\Leftrightarrow\) 光路差が\(\lambda\)変化」と理解。
• 熱容量と比熱の混同:
  • 現象: 容器の熱容量 \(C\) [J/K] と気体のモル比熱 \(C_m\) [J/(mol・K)] を混同する。
  • 対策: 単位と定義を明確に区別。\(Q_{\text{気体}} = x C_{V,m} \Delta T\)。
• 密度とモル数の関係、単位換算ミス:
  • 現象: \(\rho = xM/V\) での単位混同（Lとm³など）。
  • 対策: SI基本単位系に統一。\(1\text{L} = 10^{-3} \text{m}^3\)。
• 比例関係 \(n-1=k\rho\) の扱い:
  • 現象: \(n=k\rho\) と誤解。\(k\) の消去で手間取る。
  • 対策: \(n-1\) が密度に比例。異なる2状態で比を取り \(k\) を消去。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題では、物理現象をどのようにイメージし、図にどのように表現することが有効だったか:
  • 干渉計の光路図で、AとBの経路差が生じる部分を意識する。
  • 気体導入によるAの光学的「長さ」が伸びるイメージ。
  • 熱量\(Q\)が容器と気体に分配されるブロック図的なイメージ。
  • 密度と粒子数、それが屈折率に影響するミクロなイメージ。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 光路を明確に区別し、光路差発生箇所をハイライトする。
  • 熱の出入り、状態変化を矢印や記号で示す。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \((n-1)l = m\lambda\) (光路差変化と干渉縞):
  • 選定理由: 気体導入による光路長変化と観測された干渉縞移動を結びつけるため。
  • 適用根拠: 光路長変化\((n-1)l\)が波長の整数倍\(m\lambda\)のとき干渉縞がm回シフトする原理。
• \(Q = C\Delta T\) (熱容量):
  • 選定理由: 容器の温度上昇と熱量の関係を表すため。
  • 適用根拠: 熱容量\(C\)の定義。
• \(Q = (x \cdot \frac{3}{2}R + C)\Delta T\) (気体と容器への熱分配):
  • 選定理由: 加熱時のエネルギー保存を表すため。
  • 適用根拠: アルゴンを単原子分子理想気体とみなし、その定積モル比熱が\(\frac{3}{2}R\)であること。
• \(n-1 = k\rho\) (屈折率と密度):
  • 選定理由: 屈折率と気体の状態（密度）を結びつけるため。
  • 適用根拠: 問題文で与えられた希薄気体の性質を表す関係式。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 屈折率\(n\): 光路長変化 \((n-1)l\) = 干渉縞移動 \(m\lambda\)。
2. (2) モル数\(x\): ①容器の熱容量 \(C\) 算出。②気体＋容器の熱量保存から \(x\) 算出。
3. (3) 標準状態屈折率\(n_0\): ①実験時の\(n-1\)算出。②密度比 \(\rho_0/\rho_{\text{実験}}\)算出。③比例関係から\(n_0-1\)を求め\(n_0\)算出。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の統一: 特に長さ(m, cm)、体積(m³, L)、エネルギー(J)、温度(K, °Cの差)の単位に注意。
• 指数計算: \(10^3, 10^{-7}, 10^{-4}, 10^{-2}\)などの計算を正確に。
• 有効数字: 指示がある場合は従い、ない場合は与えられた数値の桁数を考慮。
• 代数計算: 移項、整理、代入を慎重に。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 屈折率\(n, n_0\)の妥当性: 気体の屈折率は1に非常に近い正の値か。
• モル数\(x\)の妥当性: 容器の容積に対して極端すぎないか。
• 物理現象との整合性: 気体導入で光路長は増えるはず(\(n>1\))。熱を加えると温度は上昇するはず。

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