「名問の森」徹底解説（4〜6問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題4 (東京医歯大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ニュートンリングと呼ばれる光の干渉現象に関するものです。平凸レンズと平面ガラスの間にできる薄い空気層（またはアルコール層）での光の干渉によって、明暗の同心円状の縞模様が観察されます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の干渉」、特に「薄膜による干渉」の一例である「ニュートンリング」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路差: 干渉を考える上で最も重要な量で、二つの光がたどる経路の長さの差に屈折率をかけたものです。
2. 位相の変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射するとき、位相が変化（\(\pi\) ずれる、または変化しない）することがあります。これは干渉条件に大きく影響します。
   • 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射して反射する際、位相は \(\pi\) ずれます。
   • 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ入射して反射する際、位相はずれません。
3. 干渉条件:
   • 強め合い（明るい）: 位相をそろえた光どうしの場合、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\)。一方の位相が\(\pi\)ずれている場合は、光路差が半波長の奇数倍 \((m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)。
   • 弱め合い（暗い）: 位相をそろえた光どうしの場合、光路差が半波長の奇数倍 \((m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)。一方の位相が\(\pi\)ずれている場合は、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\)。
4. 幾何学的関係: レンズの曲率と空気層の厚さの関係を求めるために、三平方の定理（またはその近似）を利用します。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、レンズとガラス板の間の空気層の厚さ \(d\) を、レンズの中心からの距離 \(r\) とレンズの球面半径 \(R\) を用いて表します。ここでは、\(d\) が \(R\) や \(r\) に比べて非常に小さいことを利用した近似計算が鍵となります。
2. 次に、空気層の上面（レンズ下面）で反射する光と、空気層の下面（ガラス板上面）で反射する光の干渉を考えます。それぞれの反射における位相の変化を確認し、光路差を計算して、暗環（弱め合い）の条件式を導きます。
3. 中心部 (\(r=0\)) の明暗は、(2)で導いた条件式に \(r=0\) (すなわち \(d=0\)) を代入することで判断できます。
4. 実験データ（図2のグラフ）は、(2)で導いた暗環の条件式が \(r^2\) と \(m\) の比例関係にあることを示しています。このグラフの傾きを利用して、レンズの球面半径 \(R\) を求めます。
5. 同様に、アルコール中に装置全体を入れた場合の干渉条件を考えます。アルコール中では光路長が変わる（または光の波長が短くなる）ため、条件式が変化します。この新しい条件式と図2のグラフ（×印）を用いて、アルコールの屈折率 \(n\) を求めます。
6. レンズをガラス板から少しずつ離すと、空気層の厚さが全体的に増加します。このとき、特定の次数 \(m\) の暗環がどのように変化するかを、干渉条件と空気層の厚さの関係から考察します。

問(1)

思考の道筋とポイント
平凸レンズの球面の一部が平面ガラスに接している状況を考えます。レンズの中心Oから距離\(r\)の位置での、レンズ下面とガラス板上面との間の隙間の厚さ \(d\) を求める問題です。
レンズの球面半径を\(R\)とすると、レンズ下面の曲率中心、レンズ下面上の点（中心Oから水平距離\(r\)、鉛直距離\(d\)の位置）、そして球面半径\(R\)を結びつける幾何学的関係を見つけ出すことが目標です。ここでは、三平方の定理を利用します。
問題文に「\(d\)は小さいので\(d^2\) は無視してよい」という重要なヒントがあります。これを使うことで、式が簡単になります。

この設問における重要なポイント

• レンズの球面の幾何学的形状を正しく捉える。
• 三平方の定理を適用できる直角三角形を見つける。
• \(d^2 \approx 0\) の近似を適切に用いる。

具体的な解説と立式
図1を参照し、平凸レンズAの球面部分の曲率中心をCとします。レンズが平面ガラスBに接している点Oを通る鉛直線上にCがあると考えることができます。
中心Oから水平方向に距離\(r\)だけ離れたレンズ下面上の点をPとし、この点でのレンズ下面とガラス板Bの間の間隔を\(d\)とします。
点PからCOに下ろした垂線の足をQとすると、OQ = \(d\) です。
直角三角形CQPにおいて、三平方の定理を適用します。
斜辺CPはレンズの球面半径\(R\)に等しいです。
CQの長さは、COの長さが\(R\)であることから \(R-d\) となります。
QPの長さは、中心Oからの水平距離\(r\)に等しいです。
したがって、三平方の定理より、
$$CP^2 = CQ^2 + QP^2$$
$$R^2 = (R-d)^2 + r^2 \quad \cdots ①$$
ここで、\((R-d)^2\) を展開します。
$$(R-d)^2 = R^2 – 2Rd + d^2$$
これを式①に代入すると、
$$R^2 = R^2 – 2Rd + d^2 + r^2$$
問題の指示により、\(d\)は小さいので\(d^2\)は無視できます (\(d^2 \approx 0\))。この近似を用いると、
$$0 \approx -2Rd + r^2$$
この式を\(d\)について解くと、
$$2Rd \approx r^2$$

式① \(R^2 = (R-d)^2 + r^2\) を展開すると、
$$R^2 = R^2 – 2Rd + d^2 + r^2$$
両辺から \(R^2\) を引くと、
$$0 = -2Rd + d^2 + r^2$$
ここで、\(d^2\) は無視できるという条件を用います (\(d^2 \approx 0\))。
$$0 \approx -2Rd + r^2$$
\(2Rd\) を左辺に移項すると、
$$2Rd \approx r^2$$
両辺を \(2R\) で割ると（\(R \neq 0\)）、
$$d \approx \frac{r^2}{2R}$$

レンズの丸みを帯びた部分とガラス板の間のわずかな隙間の厚さ \(d\) を求めます。レンズの丸みは大きな円の一部と考えることができます。この円の半径が \(R\) です。
幾何学的な関係（ピタゴラスの定理に似たもの）を使うと、\(R^2 = (R-d)^2 + r^2\) という式が得られます。
ここで、\(d\) はとても小さいので、\(d\) を2乗した \(d^2\) はほぼ0として無視してしまいます。
そうすると、式が簡単になり、\(2Rd = r^2\) という形になります。
これを \(d\) について解くと、\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) となります。

\(r\)の位置でのAB間の間隔\(d\)は、\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) と表されます。
この結果は、\(r=0\) のとき \(d=0\) となり、中心ではレンズとガラスが接している状況と一致します。また、\(r\) が大きくなるほど \(d\) も大きくなり、レンズの形状から予想される傾向とも一致しています。球面半径 \(R\) が大きいほど、同じ \(r\) に対する \(d\) は小さくなることも示しており、物理的に妥当な結果と言えます。

問(2)

思考の道筋とポイント
ニュートンリングは、レンズAの下面で反射する光と、ガラス板Bの上面で反射する光との干渉によって生じます。これらの光が弱め合って暗環ができる条件を考えます。
ポイントは以下の2点です。
1. 光路差の計算: 2つの反射光の間の光路差を求めます。光は空気層を往復するので、空気層の厚さ \(d\) を用いて \(2d\) となります。
2. 反射による位相の変化:

• レンズAの下面での反射: 光はレンズ（ガラス、屈折率 \(n_{\text{ガラス}}\)）から空気（屈折率 \(n_{\text{空気}}\) \(\approx 1\)）へ向かう境界面で反射します。屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ進む光が反射する場合、位相は変化しません。
• ガラス板Bの上面での反射: 光は空気（屈折率 \(n_{\text{空気}}\)）からガラス板B（ガラス、屈折率 \(n_{\text{ガラス}}\)）へ向かう境界面で反射します。屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ進む光が反射する場合、位相は \(\pi\) ずれます（波長でいうと \(\lambda/2\) だけ経路が伸びたことに相当）。

この2つの反射光のうち、一方（ガラス板Bの上面での反射）のみ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\) のときに弱め合います（暗環）。

この設問における重要なポイント

• 干渉する2つの光の経路を特定する。
• 光路差を正しく計算する（往復を考慮）。
• 反射における位相変化の有無を、屈折率の大小関係から判断する。
• 位相変化を考慮した弱め合い（暗環）の条件式を立てる。

具体的な解説と立式
上方から入射した光は、一部がレンズAの下面（空気との境界）で反射し（光1）、残りは透過して空気層を通過し、平面ガラスBの上面（空気との境界）で反射します（光2）。これら光1と光2が干渉します。

• 光路差: 光2は空気層の厚さ \(d\) の部分を往復するため、光1に対する光路差は \(2d\) です。
• 反射による位相変化:
  • 光1（レンズ下面での反射）: レンズ（屈折率大）から空気（屈折率小）への境界での反射なので、位相変化はなし。
  • 光2（ガラス板上面での反射）: 空気（屈折率小）からガラス板（屈折率大）への境界での反射なので、位相は \(\pi\) ずれる。

光1と光2の一方のみ位相が \(\pi\) ずれる（逆位相になる）ため、弱め合って暗環ができる条件は、光路差が波長の整数倍になるときです。
$$2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) \quad \cdots ②$$
ここで \(m\) は干渉の次数と呼ばれる整数です。
(1)で求めた \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を式②に代入します。
$$2 \left(\frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda$$
$$\frac{r^2}{R} = m\lambda$$
これが、\(r\)の位置で暗環ができるための条件式です。

弱め合いの条件式は、光路差 \(2d\) と、一方の反射で位相が \(\pi\) ずれることを考慮して、
$$2d = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)$$
(1)で求めた \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) をこの式に代入すると、
$$2 \cdot \frac{r^2}{2R} = m\lambda$$
左辺の2が約分されて、
$$\frac{r^2}{R} = m\lambda$$

レンズの下面で反射する光と、ガラス板の上面で反射する光が干渉します。
ガラス板の上面で反射するときだけ、光の位相がひっくり返ります（\(\pi\)ずれる）。
この2つの光の経路の長さの差（光路差）は、空気層の厚さ \(d\) の2倍、つまり \(2d\) です。
一方の光だけ位相がひっくり返っているので、2つの光が打ち消しあって暗くなるのは、光路差 \(2d\) が光の波長 \(\lambda\) のちょうど整数倍 (\(0\lambda, 1\lambda, 2\lambda, \dots\)) になるときです。つまり \(2d = m\lambda\)。
(1)で \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) と分かったので、これを代入すると \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) となります。

\(r\)の位置で暗環ができるための条件式は \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) です。
この式は、暗環の半径の2乗 \(r^2\) が、干渉の次数 \(m\) に比例することを示しています。これは図2のグラフ（原点を通る直線）と整合しています。\(m=0\) が中心の暗環に対応します。

問(3)

思考の道筋とポイント
ニュートンリングの中心部 (\(r=0\)) が明るいか暗いかを判断します。
中心部では、レンズAとガラス板Bが接しているので、空気層の厚さ \(d=0\) です。
このときの干渉条件を考えます。

この設問における重要なポイント

• 中心部では \(r=0\) であり、したがって \(d=0\) である。
• \(d=0\) のときの光路差と位相変化を考慮して干渉条件を判断する。

具体的な解説と立式
中心部では \(r=0\) です。(1)の結果 \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) から、\(r=0\) のとき \(d=0\) となります。
このとき、レンズ下面で反射する光とガラス板上面で反射する光の光路差は \(2d = 0\) です。
しかし、問(2)で確認したように、ガラス板上面での反射では位相が \(\pi\) ずれますが、レンズ下面での反射では位相は変化しません。
したがって、光路差が0であっても、一方の光の位相が \(\pi\) ずれているため、2つの光は逆位相で重なり合い、弱め合います。
よって、中心部は暗くなります。
これは、(2)で導いた暗環の条件式 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) に \(m=0\) を代入すると \(r^2=0\)、すなわち \(r=0\) となることからも確認できます。\(m=0\) は最も内側の暗環に対応し、それが中心 (\(r=0\)) にできることを意味します。

中心 \(r=0\) では \(d=0\)。
光路差 \(2d = 0\)。
レンズ下面での反射：位相変化なし。
ガラス板上面での反射：位相 \(\pi\) ずれる。
光路差0で一方の位相が \(\pi\) ずれているので、干渉の結果は弱め合い（暗）。
または、暗環の条件 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) で \(m=0\) とすると \(r=0\)。これは中心が \(m=0\) の暗環であることを示す。

リングの中心では、レンズとガラス板がくっついているので、隙間の厚さ \(d\) は0です。
光の進む距離の差（光路差）も0になります。
しかし、ガラス板で反射する方の光だけ位相がひっくり返るので、たとえ光路差が0でも、2つの光は打ち消しあってしまいます。
したがって、中心は暗くなります。

ニュートンリングの中心部は暗い。これは、接触点 (\(d=0\)) であっても、反射による位相のずれにより弱め合いが生じるためです。実験的にもよく知られた事実です。

問(4)

思考の道筋とポイント
平凸レンズの球面半径 \(R\) を求めます。問(2)で導いた暗環の条件式 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) と、図2の実験データ（○点: 空気中）を用います。
条件式を変形すると \(r^2 = (\lambda R)m\) となり、\(r^2\) は \(m\) に比例することがわかります。比例定数は \(\lambda R\) です。
図2のグラフは、横軸が \(m\)、縦軸が \(r^2\) であり、原点を通る直線になっています。この直線の傾きが \(\lambda R\) に相当します。
グラフから傾きを正確に読み取り、既知の \(\lambda\) の値を使って \(R\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 暗環の条件式 \(r^2 = (\lambda R)m\) とグラフの関係を理解する。
• グラフの傾きが \(\lambda R\) を表すことを見抜く。
• グラフから傾きを読み取る際、できるだけ離れた2点を選ぶなどして精度を高める。
• 単位の換算（特に \(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) であることに注意）を正しく行う。

具体的な解説と立式
暗環の条件式は、
$$\frac{r^2}{R} = m\lambda$$
これを \(r^2\) について解くと、
$$r^2 = (\lambda R) m \quad \cdots ③$$
この式は、\(r^2\) が \(m\) に比例し、その比例定数（グラフの傾き）が \(\lambda R\) であることを示しています。
図2のグラフ（○点）から、空気中の場合の傾きを読み取ります。グラフはほぼ原点を通る直線なので、読み取りやすい点を選びます。例えば、\(m=12\) のとき \(r^2 = 58 \text{ mm}^2\) と読み取れます。
傾き \(k_1\) は、
$$k_1 = \frac{\Delta (r^2)}{\Delta m}$$
原点 (0,0) と点 (\(m=12, r^2=58 \text{ mm}^2\)) を使うと、
$$k_1 = \frac{58 \text{ mm}^2 – 0}{12 – 0} = \frac{58}{12} \text{ mm}^2$$
この傾きが \(\lambda R\) に等しいので、
$$\lambda R = k_1 = \frac{58}{12} \text{ mm}^2$$
ここで、\(\lambda = 5.9 \times 10^{-7} \text{ [m]}\) です。単位を合わせるために \(\text{mm}^2\) を \(\text{m}^2\) に変換します。
\(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\) なので、\(1 \text{ mm}^2 = (10^{-3} \text{ m})^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)。
したがって、
$$\lambda R = \frac{58}{12} \times 10^{-6} \text{ m}^2$$
この式から \(R\) を求めます。
$$R = \frac{1}{\lambda} \left( \frac{58}{12} \times 10^{-6} \right)$$

グラフ（○点）より、傾き \(k_1 = \lambda R\) を求めます。
点 \((m, r^2) = (12, 58 \text{ mm}^2)\) を用いると、
$$k_1 = \frac{58 \text{ mm}^2}{12} = \frac{29}{6} \text{ mm}^2$$
単位を \(\text{m}^2\) に変換します。\(1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)。
$$k_1 = \frac{29}{6} \times 10^{-6} \text{ m}^2$$
よって、
$$\lambda R = \frac{29}{6} \times 10^{-6} \text{ m}^2$$
与えられた波長 \(\lambda = 5.9 \times 10^{-7} \text{ m}\) を用いて \(R\) を計算します。
$$R = \frac{k_1}{\lambda} = \frac{\frac{29}{6} \times 10^{-6} \text{ m}^2}{5.9 \times 10^{-7} \text{ m}}$$
まず、指数の部分を計算します。
$$\frac{10^{-6}}{10^{-7}} = 10^{-6 – (-7)} = 10^{-6+7} = 10^1 = 10$$
次に、係数の部分を計算します。
$$R = \frac{29}{6 \times 5.9} \times 10 \text{ m} = \frac{290}{35.4} \text{ m}$$
この割り算を実行すると、
$$R \approx 8.19209\dots \text{ m}$$
有効数字を考慮すると、\(\lambda\) が2桁、グラフの読み取りも2桁～3桁程度なので、結果も2桁で答えるのが適切です。
$$R \approx 8.2 \text{ [m]}$$

(2)で求めた暗い輪っかの条件 \(r^2 = (\lambda R)m\) は、\(r^2\)（輪っかの半径の2乗）が \(m\)（輪っかの番号）に比例することを示しています。比例定数は \(\lambda \times R\) です。
図2のグラフは、まさにこの関係を表しており、横軸が \(m\)、縦軸が \(r^2\) です。このグラフの傾きが \(\lambda \times R\) になります。
グラフから傾きを読み取ります。例えば、\(m=12\) のとき \(r^2=58 \text{ mm}^2\) なので、傾きは \(58/12 \text{ mm}^2\) です。
光の波長 \(\lambda\) は \(5.9 \times 10^{-7} \text{ m}\) とわかっているので、これらを使って \(R\) を計算します。
ただし、\(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) なので、\(\text{m}^2\) に直す（\(10^{-6}\) 倍する）のを忘れないようにしましょう。
計算すると、\(R\) は約 \(8.2 \text{ m}\) となります。

この実験に用いた平凸レンズの球面半径 \(R\) は約 \(8.2 \text{ [m]}\) です。
問題文に「球面半径の大きい平凸レンズ」とある通り、\(R\) の値は数メートルオーダーとなっており、妥当な大きさと言えます。もし \(R\) が数mmや数cmのような小さな値になった場合は、計算間違いや単位換算のミスを疑うべきです。

問(5)

思考の道筋とポイント
装置全体をアルコール液（屈折率 \(n\)）の中に入れた場合の、アルコールの屈折率 \(n\) を求めます。
考え方は2通りあります。
1. 光路長の変化: 空気層の代わりにアルコール層（厚さ \(d\)）ができると、光路長は \(n \times 2d\) となります。
2. 波長の変化: アルコール中では光の波長が \(\lambda’ = \lambda/n\) となります。光路差は幾何学的な距離 \(2d\) のままですが、用いる波長が \(\lambda/n\) に変わります。
どちらの考え方でも同じ結果に至ります。
反射による位相変化については、模範解答に「一般に、アルコールを含め液体の屈折率はガラスの屈折率より小さいので、反射による位相変化は変わっていない」とあります。つまり、レンズA下面（ガラス \(\rightarrow\) アルコール）での反射は位相変化なし（\(n_{\text{ガラス}} > n_{\text{アルコール}}\) と仮定）、平面ガラスB上面（アルコール \(\rightarrow\) ガラス）での反射は位相 \(\pi\) ずれる（\(n_{\text{アルコール}} < n_{\text{ガラス}}\) と仮定）と考え、空気中の場合と同様に一方の反射でのみ位相が \(\pi\) ずれる状況が維持されるとします。
この仮定のもと、アルコール中での暗環の条件式を導き、図2の実験データ（×点）のグラフの傾きを利用して \(n\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• アルコール中での光路長（または波長）の変化を正しく考慮する。
• 反射による位相変化の条件が空気中と変わらないか確認する（ここでは変わらないと仮定）。
• アルコール中での暗環の条件式を立て、グラフの傾きと比較する。
• (4)で求めた \(R\) の値（または \(\lambda R\) の値）を利用する。

具体的な解説と立式
アルコール（屈折率 \(n\)）中で干渉を考えます。レンズとガラス板の間の隙間の厚さは \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) で変わりません。

方法1: 光路長で考える
アルコール中での光路差は \(n \cdot 2d\) です。
反射による位相変化の条件は空気中と同じ（レンズ下面：変化なし、ガラスB上面：\(\pi\)ずれる）と仮定すると、暗環の条件は、
$$n \cdot 2d = m\lambda$$
\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$n \cdot 2 \left(\frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda$$
$$n \frac{r^2}{R} = m\lambda$$
これを \(r^2\) について解くと、
$$r^2 = \left(\frac{\lambda R}{n}\right) m \quad \cdots ④$$
この式は、アルコール中ではグラフの傾きが \(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\) になることを示しています。

アルコール中のグラフ（×点）の傾きを \(k_2\) とすると、式④より \(k_2 = \displaystyle\frac{\lambda R}{n}\)。
グラフより、点 \((m, r^2) = (14, 50 \text{ mm}^2)\) を用いると、
$$k_2 = \frac{50 \text{ mm}^2}{14} = \frac{25}{7} \text{ mm}^2$$
空気中のグラフ（○点）の傾きは、(4) より \(k_1 = \lambda R = \displaystyle\frac{58}{12} \text{ mm}^2 = \frac{29}{6} \text{ mm}^2\)。
したがって、
$$\frac{\lambda R}{n} = k_2$$
という関係から、
$$\frac{k_1}{n} = k_2$$
これを \(n\) について解くと、
$$n = \frac{k_1}{k_2}$$
値を代入します。
$$n = \frac{\frac{29}{6} \text{ mm}^2}{\frac{25}{7} \text{ mm}^2} = \frac{29}{6} \times \frac{7}{25}$$
分母同士、分子同士を掛け合わせると、
$$n = \frac{29 \times 7}{6 \times 25} = \frac{203}{150}$$
この分数を小数で表すと、
$$n \approx 1.35333\dots$$
有効数字を考慮して2桁で答えると、
$$n \approx 1.4$$

別解: 波長の変化で考える
具体的な解説と立式
アルコール中での光の波長は \(\lambda’ = \displaystyle\frac{\lambda}{n}\) となります。
光路差は幾何学的な距離 \(2d\) のままです。
暗環の条件は、
$$2d = m\lambda’ = m \frac{\lambda}{n}$$
\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$2 \left(\frac{r^2}{2R}\right) = m \frac{\lambda}{n}$$
$$\frac{r^2}{R} = m \frac{\lambda}{n}$$
これを \(r^2\) について解くと、
$$r^2 = \left(\frac{\lambda R}{n}\right) m$$
となり、方法1と同じ結果 ④ が得られます。計算過程は同様です。

アルコールの中に装置を入れると、光はアルコールの中を進みます。アルコールのような物質の中では、光の波長が空気中よりも短くなるか、または同じ距離でも光がたくさん進んだこと（光路長が長くなる）になります。どちらで考えても、暗い輪っかの条件式が少し変わります。
新しい条件式は \(r^2 = \left(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\right) m\) となります。ここで \(n\) がアルコールの屈折率です。
つまり、グラフの傾きが \(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\) に変わります。
空気中での傾きは \(\lambda R\) でした（問(4)）。
図2の×印のグラフからアルコール中での傾きを読み取ります。\(m=14\) のとき \(r^2=50 \text{ mm}^2\) なので、傾きは \(50/14 \text{ mm}^2\) です。
空気中の傾きをアルコール中の傾きで割ると、屈折率 \(n\) が求まります。（正確には、空気中の傾きを \(k_1\)、アルコール中の傾きを \(k_2\) とすると、\(k_1/n = k_2\) なので \(n = k_1/k_2\) となります。）
計算すると、\(n\) は約 \(1.4\) となります。

このアルコールの屈折率 \(n\) は約 \(1.4\) です。
水の屈折率が約1.33、多くの有機溶媒の屈折率が1.3～1.5程度の範囲にあることを考えると、この値は物理的に妥当な値です。
グラフの傾きが空気中 (\(k_1 \approx 4.83\)) よりもアルコール中 (\(k_2 \approx 3.57\)) の方が小さくなっている (\(k_2 < k_1\)) ことは、\(n = k_1/k_2 > 1\) であることを示しており、これも屈折率が1より大きいという物理的な性質と一致します。

問(6)

思考の道筋とポイント
平凸レンズAを板ガラスBから少しずつ上へ離していくと、暗環の半径\(r\)がどうなるかを考えます。
レンズを離すということは、レンズとガラス板の間に人為的に隙間を作る、つまり中心部 (\(r=0\)) での空気層の厚さ \(d_0\) が0でなくなるということです。
中心からの距離 \(r\) の位置での空気層の全体の厚さ \(d_{\text{全体}}\) は、レンズを持ち上げたことによる均一な厚さ \(d_0\) と、レンズの曲率による厚さ \(r^2/(2R)\) の和、すなわち \(d_{\text{全体}} = d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) となります。
暗環の条件 \(2d_{\text{全体}} = m\lambda\) (空気中なので屈折率は1) は変わりません。
\(m\) が一定の特定の暗環に着目したとき、\(d_0\) が増加すると \(r\) がどうなるかを考えます。

この設問における重要なポイント

• レンズを離すことの意味を、空気層の厚さの変化として捉える。
• 特定の次数 \(m\) の暗環（つまり、光路差が \(m\lambda\) となる場所）がどう移動するかを考える。

具体的な解説と立式
レンズAをガラス板Bから距離 \(d_0\) だけ鉛直上方に持ち上げたとします。
このとき、中心Oからの距離が \(r\) の位置におけるレンズA下面とガラス板B上面との間の空気層の厚さは、
$$d'(r) = d_0 + \frac{r^2}{2R}$$
となります。ここで \(\displaystyle\frac{r^2}{2R}\) は、レンズが接していた場合にレンズの曲面によって生じる隙間の厚さです。
空気中での暗環の条件は、光路差が波長の整数倍になることでした（一方の反射で位相が \(\pi\) ずれるため）。
$$2 d'(r) = m\lambda$$
$$2 \left(d_0 + \frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda \quad \cdots ⑤$$
ここで、ある特定の次数 \(m\) の暗環について考えます（\(m\) は一定）。
レンズを離す、つまり \(d_0\) が徐々に増加すると、式⑤の左辺の \(d_0\) の項が大きくなります。
右辺の \(m\lambda\) は一定なので、左辺のもう一方の項 \(\displaystyle\frac{r^2}{R}\) は小さくならなければなりません (\(2 \cdot \displaystyle\frac{r^2}{2R} = \displaystyle\frac{r^2}{R}\))。
\(R\) は一定なので、\(r^2\) が小さくなる、つまり \(r\) が小さくなる必要があります。
したがって、暗環の半径 \(r\) は減少します。暗環は中心に向かって縮んでいくように見えます。

定性的な考察、または以下の数式での比較により判断します。
式⑤ \(2 \left(d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda\) より、\(m, \lambda, R\) が一定のとき、
\(d_0\) が増加すると、\(2d_0\) も増加します。
等式を保つためには、\(2 \cdot \displaystyle\frac{r^2}{2R} = \displaystyle\frac{r^2}{R}\) が減少しなければなりません。
\(\displaystyle\frac{r^2}{R}\) が減少するということは、\(r^2\) が減少する（\(R>0\) なので）、つまり \(r\) が減少することを意味します (\(r \ge 0\))。

暗い輪っか（暗環）は、特定の厚さの空気の層がある場所にできます。
レンズをガラス板から少し持ち上げると、全体の空気層が厚くなりますね。
そうすると、以前と同じ厚さの空気層（つまり同じ番号の暗環ができる場所）は、レンズの中心にもっと近いところ（半径が小さいところ）に移動します。
イメージとしては、レンズを持ち上げると、輪っかが中心に向かって吸い込まれていくように見えます。だから、暗環の半径は減ります。

平凸レンズAを板ガラスBから少しずつ上へ離していくと、暗環の半径\(r\)は減少します。
これは、特定の次数の暗環に対応する光路差（つまり空気層の厚さ）は一定であるため、レンズが持ち上げられて全体の隙間が増えると、その一定の厚さを実現するレンズの曲面部分はより中心に近い位置になるからです。

【コラム】Q. 図1で、赤色、青色、黄色の光を同時に上方から当てると、同じ次数のリングは中心Oからどのような順で現れるか。

思考の道筋とポイント
異なる色の光（つまり異なる波長の光）を用いた場合、同じ次数の干渉リングがどの位置に現れるかを問うています。
可視光の波長の大小関係は、一般に \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\) です。
Qの模範解答では明線の条件で議論していますが、暗線の条件で考えても同様の結論が得られます。ここではQの解答に合わせて明線の条件を用います。
空気中での明線の条件は、光路差 \(2d\) が半波長の奇数倍になるときです（一方の反射で位相が \(\pi\) ずれるため）。
$$2d = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)$$
これに \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$\frac{r^2}{R} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda$$
$$r^2 = R \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda$$
この式から、同じ次数 \(m\) の明環の半径の2乗 \(r^2\) は、波長 \(\lambda\) に比例することがわかります。

この設問における重要なポイント

• 明線（または暗線）の条件式における半径 \(r\) と波長 \(\lambda\) の関係を把握する。
• 可視光の色の波長の大小関係を知っていること。

具体的な解説と立式
明環の条件式は、
$$r^2 = R \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ⑥$$
ここで、\(R\) はレンズの球面半径（一定）、\(m\) は干渉の次数（同じ次数で比較するので一定）です。
したがって、\(r^2\) は \(\lambda\) に比例し、\(r\) は \(\sqrt{\lambda}\) に比例します。
つまり、波長 \(\lambda\) が大きいほど、同じ次数 \(m\) の明環の半径 \(r\) は大きくなります。
可視光の一般的な波長の大小関係は、
\(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\)
となります。
したがって、同じ次数の明環の半径は、波長の大きい順に大きくなります。
\(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\)
つまり、中心Oから外側に向かって、青色、黄色、赤色の順で同じ次数のリングが現れます。（半径が小さい順から言えば、青、黄、赤）

明線の条件式: \(r^2 = R \left(m + \displaystyle\frac{1}{2}\right)\lambda\)。
\(m\) が一定のとき、\(r \propto \sqrt{\lambda}\)。
波長の大小関係: \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\)。
したがって、半径の大小関係: \(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\)。
中心Oから近い順（半径が小さい順）に並べると、青色、黄色、赤色となります。

明るい輪っか（または暗い輪っか）ができる場所の半径 \(r\) は、光の波長 \(\lambda\) が大きいほど大きくなります。
光の色と波長の関係は、赤がいちばん波長が長く、次に黄色、そして青が短いです。
（虹の色の順番「赤・橙・黄・緑・青・藍・紫」を思い出してください。赤が外側＝波長が長い、紫が内側＝波長が短い。）
なので、同じ番号の輪っかでも、赤色の光で作られた輪っかが一番外側（半径が大きい）にでき、次に黄色、そして青色の輪っかが一番内側（半径が小さい）にできます。
中心から見ると、青、黄、赤の順番で輪っかが見えることになります。

同じ次数のリングは、中心Oから半径が小さい順に、青色、黄色、赤色の順で現れます。
これは、波長が短い光ほど干渉の条件を満たす半径が小さくなるためです。ニュートンリングで白色光を用いた場合、リングが色づいて見えるのはこのためです。中心が暗く、その周りに紫、青、緑、黄、橙、赤といった色の順でリングが見え、これが繰り返されます（ただし、次数が大きくなると色が重なり合って白っぽくなります）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 薄膜干渉の原理:
  • 核心: 平凸レンズと平面ガラスの間の薄い空気層（または液体層）の前後面で反射した光が干渉し、明暗の縞模様（ニュートンリング）を生じる現象です。
  • 理解のポイント:
    1. 光路差の計算: 干渉する2つの光がたどる経路の長さの差。ニュートンリングの場合、空気層の厚さ \(d\) の往復分 \(2d\) (媒質が屈折率 \(n\) なら \(2nd\)) が基本となります。
    2. 反射における位相変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射する際に、位相が \(\pi\) ずれる（逆になる）か変化しないか。これは屈折率の大小関係で決まります（小 \(\rightarrow\) 大で反射なら \(\pi\) ずれる、大 \(\rightarrow\) 小で反射なら変化なし）。ニュートンリングでは、片方の反射面でのみ位相が \(\pi\) ずれるのが一般的です。
    3. 干渉条件（強め合い・弱め合い）: 位相変化を考慮した上で、光路差が波長の整数倍か半整数倍かで明暗が決まります。ニュートンリング（中心が暗い場合）の暗環条件は \(2d = m\lambda\) (空気中)、または \(2nd = m\lambda\) (屈折率 \(n\) の媒質中) です。
• ニュートンリングの式 \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\):
  • 核心: レンズの球面形状から導かれる、中心からの距離 \(r\) と空気層の厚さ \(d\) の関係です。
  • 理解のポイント: 三平方の定理と、\(d\) が \(r, R\) に比べて非常に小さいという近似 (\(d^2 \approx 0\)) を用いて導出されます。この関係式が干渉条件と結びつくことで、リングの半径と次数、波長、レンズの曲率半径の関係が明らかになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • くさび形空気層の干渉: 2枚のガラス板を重ね、一方の端に薄い紙などを挟んでくさび形の空気層を作った場合の干渉縞。考え方はニュートンリングとほぼ同じで、場所によって空気層の厚さが直線的に変わります。
  • 薄膜（シャボン玉、油膜など）の色づき: 薄膜の表裏で反射した光が干渉する現象。膜の厚さや見る角度、光の波長によって強め合う色が変わるため、鮮やかな色が見えます。この場合、光路差の計算に膜の厚さだけでなく入射角も関わってきます。
  • 反射防止膜（レンズコーティングなど）: 特定の波長の光に対して反射を抑える（弱め合う）ように膜の厚さと屈折率を設計します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 干渉が起きる場所の特定: どの部分（空気層、薄膜など）で光が干渉しているのかを把握します。
  2. 干渉する光の経路の特定: どの面で反射した光どうしが干渉するのかを明確にします（通常2つの光）。
  3. 光路差の計算: その2つの光の経路差を、層の厚さや入射角などから幾何学的に求めます。
  4. 反射点での位相変化の確認: 各反射面での屈折率の大小関係を確認し、位相が \(\pi\) ずれるかどうかを判断します。両方ずれるか両方ずれない場合は同位相、片方だけずれる場合は逆位相として扱います。
  5. 干渉条件の適用: 上記を踏まえ、強め合い（明線・明るい）または弱め合い（暗線・暗い）の条件式を立てます。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 近似の利用: 「薄膜」というからには層の厚さは非常に小さいことが多いです。ニュートンリングの \(d^2 \approx 0\) のような近似が使える場面があります。
  • 単位の統一: 波長、厚さ、半径などの単位（m, mm, nmなど）を計算過程で統一することが非常に重要です。特にグラフの読み取りでは注意が必要です。
  • 媒質中の波長/光路長: 光が屈折率 \(n\) の媒質中を進む場合、波長が \(\lambda/n\) になる（または幾何学的経路長に \(n\) をかけたものが光路長になる）ことを忘れないようにしましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 反射における位相変化の条件の混同:
  • 誤解: 屈折率が大きい・小さいに関わらず、反射すれば常に位相がずれる、あるいは全くずれないと思い込む。
  • 対策: 「屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射し反射するときに位相が \(\pi\) ずれる」というルールを正確に覚える。図を描いて媒質の屈折率を書き込み、光の進行方向と反射面を確認する習慣をつける。
• 光路差の計算ミス:
  • 誤解: 単純に層の厚さ \(d\) を光路差としてしまう（往復分の \(2d\) を忘れる）。斜め入射の場合の光路差計算の複雑化。
  • 対策: ニュートンリングや垂直入射に近い薄膜干渉では、光はほぼ垂直に層を往復すると考えて \(2d\) とするのが基本です。図で光の経路を丁寧に追うことが大切です。
• 干渉条件式の符号の混同:
  • 誤解: 強め合いと弱め合いの条件式 \(m\lambda\) と \((m+1/2)\lambda\) を、位相変化の有無を考慮せずに使ってしまう。
  • 対策:
    • 反射で位相のずれがない（または両方でずれる）場合: 強め合い \(2d = m\lambda\)、弱め合い \(2d = (m+1/2)\lambda\)。
    • 片方の反射でのみ位相が \(\pi\) ずれる場合: 強め合い \(2d = (m+1/2)\lambda\)、弱め合い \(2d = m\lambda\)。ニュートンリング（中心暗）はこちらのケースです。
• \(m=0\) の扱いの誤解:
  • 誤解: \(m=0\) は必ず明線（または暗線）の中心だと思い込む。
  • 対策: \(m=0\) が物理的に何を意味するか（例えばニュートンリングの中心では \(d=0\)）を考え、条件式と照らし合わせる。\(m=0\) が最初の明環/暗環に対応します。
• グラフの傾きと物理量の対応ミス:
  • 誤解: \(r^2 = (\lambda R)m\) のような式で、どの部分がグラフの傾きで、どの変数が軸に対応するかを間違える。単位換算を忘れる。
  • 対策: 式を \(y=ax\) の形に整理し、\(y\)軸の量、\(x\)軸の量、傾き \(a\) に対応する物理量を明確にする。グラフの軸の単位と物理量の単位を常に確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • レンズとガラス板の接点付近の拡大図: 問(1)で \(d, r, R\) の関係を導く際に、円弧の一部であるレンズ下面と平面ガラスの関係を拡大して描くことで、三平方の定理を適用する直角三角形が見えやすくなります（模範解答の図が参考になります）。
  • 光の反射経路図: レンズ下面とガラス板上面で反射する2つの光の経路を模式的に描くことで、光路差が生じる部分（空気層の往復）や反射点が明確になります。
  • 位相変化の書き込み: 反射点に「位相 \(\pi\) ずれる」「変化なし」などと書き込むことで、干渉条件を間違えにくくなります。
  • グラフ \(r^2\) vs \(m\): 問題で与えられたグラフ自体が、\(r^2\) と \(m\) の比例関係を視覚的に示しており、式の妥当性を確認したり、傾きから物理量を求めたりする上で非常に重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 誇張表現: 実際のニュートンリングでは空気層の厚さ \(d\) は波長程度で非常に薄いですが、図で光路差や幾何学的関係を示す際には、ある程度誇張して描かないと分かりにくい場合があります。ただし、近似 (\(d^2 \approx 0\)) の意味合いは理解しておく必要があります。
  • 光線の角度: 実際には上方から平行光で照らし、ほぼ真上から観測するため、光は空気層に対してほぼ垂直に入射・反射しますが、図では経路を分かりやすくするために少し斜めに描くこともあります。
  • 記号の明記: \(d, r, R, \lambda, m, n\) などの記号が図のどの部分や物理量を指すのかを明確にすることが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) (空気層の厚さの公式):
  • 選定理由: ニュートンリング特有の、レンズの曲率と中心からの距離による空気層の厚さを求めるため。
  • 適用根拠: レンズが球面の一部であり、その球面半径 \(R\) が既知（または未知数）で、\(d \ll R, d \ll r\) という近似が成り立つという幾何学的条件。
• \(2d = m\lambda\) または \(2nd = m\lambda\) (暗環の条件式):
  • 選定理由: 観測されるのが「暗環」であるため、弱め合いの干渉条件を選びます。
  • 適用根拠:
    1. 光路差が \(2d\) (または \(2nd\)) であること。
    2. ニュートンリングでは、一方の反射面（空気→ガラス）でのみ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が波長の整数倍で弱め合うという物理的状況。（もし両方の反射で位相がずれない、または両方でずれる場合は、弱め合いの条件は \(2d = (m+1/2)\lambda\) となります。）
• \(r^2 = (\text{定数}) \times m\) (グラフとの関連):
  • 選定理由: 導出した暗環の条件式を、実験結果のグラフ（\(r^2\) と \(m\) の関係）と比較し、未知数を求めるため。
  • 適用根拠: 条件式が \(r^2\) と \(m\) の比例関係を示しており、グラフの傾きが物理的パラメータ（\(\lambda, R, n\) を含む）に対応するという数学的構造。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 現象の把握: ニュートンリングは薄膜干渉の一種である。レンズとガラス間の空気層（または液体層）で光が干渉する。
2. (1) 幾何学的関係の導出:
   • 目的: 空気層の厚さ \(d\) を \(r, R\) で表す。
   • 方法: レンズの曲率を考慮し、三平方の定理を適用。\(d^2 \approx 0\) の近似を用いる。
   • 結果: \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\)
3. (2) 干渉条件の立式（空気中・暗環）:
   • 目的: 暗環ができる条件を \(r, R, \lambda, m\) で表す。
   • 考察1 (光路差): 空気層を往復するので \(2d\)。
   • 考察2 (位相変化): レンズ下面反射（大→小）は変化なし。ガラス板上面反射（小→大）は \(\pi\) ずれる。そのため、片方だけずれる。
   • 条件: 弱め合いなので、光路差 \(2d = m\lambda\)。
   • 結合: \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入し、\(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\)。
4. (3) 中心部の明暗判断:
   • 条件: \(r=0\) のとき、その結果として \(d=0\)。
   • 判断: 光路差0で片方位相がずれるため、弱め合い（暗）となる。または \(m=0\) を条件式に代入。
5. (4) 球面半径 \(R\) の計算:
   • 関係式: \(r^2 = (\lambda R)m\)。これは \(y = (\text{傾き})x\) の形。
   • グラフ: \(y \leftrightarrow r^2\), \(x \leftrightarrow m\)。傾き \(\leftrightarrow \lambda R\)。
   • 手順: 図2（○）から傾きを読み取る \(\rightarrow\) 単位換算 \(\rightarrow\) \(\lambda R = (\text{傾き})\) より \(R\) を計算。
6. (5) アルコールの屈折率 \(n\) の計算:
   • 考察1 (光路長/波長): アルコール中では光路長が \(2nd\) または波長が \(\lambda/n\)。
   • 考察2 (位相変化): 空気中と同様と仮定。
   • 条件（暗環）: \(2nd = m\lambda\)。これに \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入し、\(r^2 = \left(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\right)m\)。
   • グラフ: 傾き \(\leftrightarrow \displaystyle\frac{\lambda R}{n}\)。
   • 手順: 図2（×）から傾きを読み取る \(\rightarrow\) (4)で得た \(\lambda R\) の値（または傾きの比）から \(n\) を計算。
7. (6) レンズを離したときの影響:
   • 状況変化: 中心部の隙間 \(d_0 > 0\)。全厚さ \(d’ = d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\)。
   • 条件（暗環）: \(2d’ = m\lambda\)。
   • 推論: \(m\) 一定で \(d_0\) が増えると、\(\displaystyle\frac{r^2}{2R}\) は減る必要があり、結果 \(r\) は減る。
8. (Q) 色によるリング順序:
   • 条件（明環）: \(r^2 = R(m+1/2)\lambda\)。
   • 関係: \(m\) 一定なら \(r \propto \sqrt{\lambda}\)。
   • 波長: \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\)。
   • 結論: \(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\)。よって中心から青、黄、赤の順。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算の徹底確認:
  • 特に注意すべき点: この問題では \(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) で与えられていますが、波長 \(\lambda\) は \(\text{m}\) で与えられています。球面半径 \(R\) を \(\text{m}\) で求める場合、\(\text{mm}^2\) を \(\text{m}^2\) に変換 (\(1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)) する必要があります。この \(10^{-6}\) を忘れると、結果が大きくずれます。
  • 日頃の練習: 計算の各ステップで単位を併記し、最終的な答えの単位が物理的に正しいかを確認する習慣をつける。
• グラフの読み取り精度:
  • 特に注意すべき点: グラフから値を読み取る際は、誤差が生じやすいです。できるだけ原点から遠い、目盛りに乗っている点を複数選び、平均的な傾きを求めるか、問題作成者が意図したであろう格子点を正確に読み取ることが望ましいです。（この問題では格子点に乗っているようです。）
  • 日頃の練習: 定規を使い、丁寧に読み取る練習をする。グラフの1目盛りが何を表すのかを最初に確認する。
• 分数の計算・指数の計算:
  • 特に注意すべき点: (4)や(5)では、\(R = \displaystyle\frac{(\text{傾き}) \times (\text{単位変換係数})}{\lambda}\) のような計算や、\(n = \displaystyle\frac{(\text{空気中の傾き})}{(\text{アルコール中の傾き})}\) のような分数の割り算が出てきます。指数 (\(10^{-7}\), \(10^{-6}\)など) の計算も伴います。
  • 日頃の練習: 文字式だけでなく、具体的な数値での計算練習も行い、計算のスピードと正確性を高める。特に指数法則（\(10^a / 10^b = 10^{a-b}\)など）をスムーズに使えるようにする。
• 近似計算の適用範囲の理解:
  • 特に注意すべき点: (1)の \(d^2 \approx 0\) は非常に強力な近似ですが、これが使えるのは \(d\) が他の量に比べて十分に小さい場合のみです。この問題では明示されていますが、そうでない場合は近似の妥当性を検討する必要があります。
• 式の代入は慎重に:
  • 特に注意すべき点: \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を干渉条件に代入する際など、単純な代入ミスや符号ミスがないか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (4) 球面半径 \(R\):
    • 吟味の視点: \(R \approx 8.2 \text{ m}\) という値は、ニュートンリングを観察できるような「球面半径の大きい」平凸レンズとして妥当な大きさか？ 日常で見かけるレンズはもっと曲率がきつい（\(R\)が小さい）ものが多いですが、実験用の特殊なものと考えればあり得る範囲です。もしこれが数mmのような極端に小さい値や、地球の半径のような極端に大きい値になったら、計算を疑うべきです。
    • 比較: 身の回りのものの曲率半径を想像してみる（例：眼鏡のレンズ、ボールなど）。
  • (5) アルコールの屈折率 \(n\):
    • 吟味の視点: \(n \approx 1.4\) という値は、液体として妥当か？ 水の屈折率が約1.33、多くの有機溶媒（エタノールは約1.36）が1.3～1.5程度であることを考えると、これは非常に妥当な値です。屈折率が1未満になったり、2を超えるような大きな値になった場合は、計算ミスを疑います。
    • 比較: \(n_{\text{空気}} \approx 1\) と比較して、液体なので1より大きいことは当然。グラフの傾きが空気中より小さくなったこと (\(\lambda R/n < \lambda R\)) からも \(n>1\) が示唆されます。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (3) 中心の明暗: 中心部では \(r=0\) であり、その結果 \(d=0\) となります。光路差0で片方の反射で位相が \(\pi\) ずれるので暗くなる、というのは基本的な知識とも一致します。もし明るいという結果が出たら、位相変化の考察が間違っている可能性が高いです。
  • (Q) 色とリングの半径: 波長が長い赤色光の方が、波長が短い青色光よりも大きな半径のリングを作る (\(r \propto \sqrt{\lambda}\)) というのは、回折格子など他の干渉・回折現象で見られる傾向（波長が長いほど広がる）とも整合性があります。
• 条件式の \(m\) の意味の再確認:
  • \(m=0, 1, 2, \dots\) という整数が、中心から数えて何番目の暗環（または明環）に対応するか。\(m=0\) が中心の暗環（半径0）に対応することは、式と現象がうまく合致していることを示します。

問題5 (立命館大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、くさび形の空気層における光の干渉（薄膜干渉の一種）を利用して、金属薄膜の厚さを測定する方法について考察するものです。ガラス平板の上に一部薄膜を置いたものと、別のガラス平板を重ねてくさび形の隙間を作り、そこに単色光を当てて反射光の干渉縞を観察します。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の干渉」の中でも、特に「くさび形薄膜（空気層）による干渉」を扱います。これはニュートンリングと同様の原理に基づいています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路差: 干渉する二つの光がたどる経路の長さの差。ここでは主に空気層の厚さの2倍が光路差の基本となります。
2. 反射による位相の変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射する際に生じる位相の変化（\(\pi\)ずれるか、ずれないか）が干渉条件を左右します。
   • 屈折率小の媒質から大の媒質へ入射し反射 \(\rightarrow\) 位相 \(\pi\) ずれる。
   • 屈折率大の媒質から小の媒質へ入射し反射 \(\rightarrow\) 位相変化なし。
3. 干渉条件（弱め合い）: 一方の反射光のみ位相が\(\pi\)ずれる場合、光路差が波長の整数倍で弱め合います。
4. 幾何学的関係: くさび形の傾き（\(\tan\theta\)）を利用して、任意の位置における空気層の厚さを求めます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) A側の干渉条件: 薄膜の上の空気層で反射する光を考えます。一方の光は上のガラス板下面（ガラス→空気）で反射し、もう一方は薄膜上面（空気→薄膜または下のガラス板）で反射します。これらの光の光路差と位相変化から弱め合いの条件を立てます。
2. (2) A側の暗線位置: A側の空気層の厚さ \(d\) を、図形的な関係から位置 \(x\) と傾角 \(\theta\) で表します。傾角 \(\theta\) は \(L, D, t\) から \(\tan\theta = \frac{D+t}{L}\) として表せます。これを(1)の条件式に代入して \(x\) を求めます。
3. (3) B側の暗線位置: B側（薄膜がない側）の空気層の厚さ \(d’\) を同様に位置 \(x’\) と \(\theta\) で表します。B側では空気層の下はガラス平板です。この \(d’\) を用いて弱め合いの条件から \(x’\) を求めます。
4. (4) 薄膜の厚さの算出: (2)の結果から暗線の間隔 \(a\) を求めます。また、(2)と(3)の結果（同じ次数の暗線）からA側とB側の暗線の位置のズレ \(b\) を求めます。これらの \(a\) と \(b\) の関係式から、薄膜の厚さ \(t\) を消去されるべき他のパラメータ（\(L, D\)など）を含まない形で表します。

問(1)

思考の道筋とポイント
A側（薄膜がある側）で反射光が干渉し弱め合う条件を考えます。干渉する主な光は、上のガラス平板の下面（点P）で反射する光と、薄膜の上面（点Q）で反射する光です。これらの光の光路差と、反射の際の位相変化を考慮して弱め合いの条件を立てます。

この設問における重要なポイント

• 干渉する2つの光の経路を特定する（P反射光とQ反射光）。
• 光路差を計算する（空気層の厚さ \(d\) の往復分 \(2d\)）。
• 各反射面での位相変化を確認する。
  • 点P（上のガラス平板下面）での反射：ガラス（屈折率大）から空気（屈折率小）へ向かう界面なので、位相変化はなし。
  • 点Q（薄膜上面または下のガラス平板上面）での反射：空気から屈折率が大きい物質（薄膜やガラス）の表面で反射するので、位相は \(\pi\) ずれる。
• 片方の反射でのみ位相が\(\pi\)ずれるため、弱め合いの条件は光路差が波長の整数倍となる。

具体的な解説と立式
A側において、上方から入射した光の一部は、上のガラス平板の下面Pで反射します（光1）。残りの一部は下の薄膜の上面Qとの間の空気層（厚さ \(d\)）を通過し、Qで反射します（光2）。これら光1と光2が干渉します。

• 光路差: 光2は厚さ \(d\) の空気層を往復するため、光1に対する光路差は \(2d\) です。
• 反射による位相変化:
  • 光1（点Pでの反射）：ガラス（大）\(\rightarrow\) 空気（小）の界面なので、位相変化はなし。
  • 光2（点Qでの反射）：空気から薄膜またはガラス（空気より屈折率が大と仮定）の表面で反射するので、位相は \(\pi\) ずれる。

光1と光2の一方のみ位相が \(\pi\) ずれるため、弱め合って暗線ができる条件は、光路差が波長の整数倍になるときです。
$$2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) \quad \cdots ①$$
ここで \(m\) は干渉の次数（0を含む非負の整数）です。

条件式は \(2d = m\lambda\) です。

A側では、上のガラス板の裏面で反射する光と、その下の薄膜の表面で反射する光が干渉します。上のガラス板の裏面での反射では光の位相は変わりませんが、下の面での反射では位相がひっくり返ります（\(\pi\)ずれます）。この2つの光が進む距離の差（光路差）は、間の空気のすき間の厚さ \(d\) の2倍、つまり \(2d\) です。片方の光だけ位相がひっくり返っているので、2つの光が打ち消しあって暗くなるのは、光路差 \(2d\) が光の波長 \(\lambda\) のちょうど整数倍になるときです。式で書くと \(2d = m\lambda\) となります。

A側で反射光が干渉し弱め合う条件は \(2d = m\lambda\) （\(m=0, 1, 2, \dots\)）です。

問(2)

思考の道筋とポイント
A側で暗線が生じる位置 \(x\) を求めます。 \(x\) は図2のH点からの距離です。 空気層の厚さ \(d\) を、位置 \(x\) と装置の幾何学的配置（\(L, D, t\)）を用いて表します。上のガラス平板は傾角 \(\theta\) で置かれており、\(\tan\theta = \displaystyle\frac{D+t}{L}\) です。 A側の位置 \(x\) における空気層の厚さ \(d\) は、\(d = x \tan\theta\) と表せます。 この \(d\) を(1)で求めた条件式 \(2d = m\lambda\) に代入し、\(x\) について解きます。

この設問における重要なポイント

• くさび形空気層の傾角 \(\theta\) を正しく設定する (\(\tan\theta = \frac{D+t}{L}\))。
• 位置 \(x\) における空気層の厚さ \(d\) を \(x\) と \(\tan\theta\) で表す (\(d=x\tan\theta\))。
• (1)の弱め合いの条件式に代入して \(x\) を求める。

具体的な解説と立式
図2より、上のガラス平板の傾斜角を \(\theta\) とすると、水平距離 \(L\) に対して高さ \(D+t\) だけ変化しているので、
$$\tan\theta = \frac{D+t}{L} \quad \cdots ②$$
A側のH点からの距離が \(x\) の位置における空気層の厚さ \(d\) は、
$$d = x \tan\theta \quad \cdots ③$$
(1)のA側の暗線の条件式 \(2d = m\lambda\) に③を代入すると、
$$2(x \tan\theta) = m\lambda$$
さらに、②の \(\tan\theta\) を代入すると、
$$2x \left(\frac{D+t}{L}\right) = m\lambda$$

A側の暗線の条件式 \(2x \left(\displaystyle\frac{D+t}{L}\right) = m\lambda\) を \(x\) について解きます。
両辺に \(\displaystyle\frac{L}{2(D+t)}\) を掛けると、
$$x = m\lambda \cdot \frac{L}{2(D+t)}$$
$$x = \frac{m\lambda L}{2(D+t)}$$

A側の暗い縞ができる場所 \(x\) を見つけます。傾きは \(\frac{D+t}{L}\) です。位置 \(x\) での空気のすき間の厚さ \(d\) は \(x \frac{D+t}{L}\) となります。暗くなる条件は \(2d = m\lambda\) でしたので、これを代入し \(x\) について整理すると、\(x = \displaystyle\frac{m\lambda L}{2(D+t)}\) と求まります。

A側で暗線が生じる位置 \(x\) は \(x = \displaystyle\frac{m\lambda L}{2(D+t)}\) です。 この式は \(x\) が \(m\) に比例することを示しており、等間隔の縞ができることを意味します。

問(3)

思考の道筋とポイント
B側（薄膜がない側）で暗線が生じる位置 \(x’\) を求めます。反射における位相変化の条件はA側と同様で、弱め合いの条件は \(2d’ = m\lambda\) となります。ここで \(d’\) はB側の空気層の厚さです。 B側の空気層の厚さ \(d’\) は、A側の同位置での厚さ \(x’\tan\theta\) に比べて、基準面が薄膜の厚さ \(t\) だけ下がっているため、その分だけ厚くなると考え、\(d'(x’) = x’\tan\theta + t\) とします。この \(d’\) を弱め合いの条件に代入し、\(x’\) について解きます。

この設問における重要なポイント

• B側の空気層の厚さ \(d’\) を正しく設定する。基準面の違いを考慮し、\(d'(x’) = x’\tan\theta + t\) となる。
• B側の弱め合いの条件 (\(2d’ = m\lambda\)) はA側と同じ形である。

具体的な解説と立式
B側の弱め合いの条件は、空気層の厚さを \(d’\) として、
$$2d’ = m\lambda \quad \cdots ④$$
B側の位置 \(x’\) における空気層の厚さ \(d’\) は、傾角 \(\theta = \displaystyle\frac{D+t}{L}\) を用いて、
$$d’ = x’\left(\frac{D+t}{L}\right) + t \quad \cdots ⑤$$
この \(d’\) を式④に代入します。
$$2\left(x’\left(\frac{D+t}{L}\right) + t\right) = m\lambda$$

B側の暗線の条件式 \(2\left(x’\displaystyle\frac{D+t}{L} + t\right) = m\lambda\) を \(x’\) について解きます。
両辺を2で割ると、
$$x’\frac{D+t}{L} + t = \frac{m\lambda}{2}$$
\(t\) を右辺に移項すると、
$$x’\frac{D+t}{L} = \frac{m\lambda}{2} – t$$
両辺に \(\displaystyle\frac{L}{D+t}\) を掛けて \(x’\) について解くと、
$$x’ = \frac{L}{D+t}\left(\frac{m\lambda}{2} – t\right)$$

B側の暗い縞ができる場所 \(x’\) を見つけます。B側には薄膜がないため、空気のすき間の厚さ \(d’\) は、A側で同じ \(x’\) の場所のすき間の厚さよりも、薄膜の厚さ \(t\) だけ全体的に厚くなっていると考えます。つまり \(d’ = x’\frac{D+t}{L} + t\) です。暗くなる条件は \(2d’ = m\lambda\) なので、これを代入し \(x’\) について整理すると、\(x’ = \displaystyle\frac{L}{D+t}\left(\frac{m\lambda}{2} – t\right)\) と求まります。

B側で暗線が生じる位置 \(x’\) は \(x’ = \displaystyle\frac{L}{D+t}\left(\frac{m\lambda}{2} – t\right)\) です。 この式は、A側の暗線位置の式と形が異なります。

問(4)

思考の道筋とポイント
観察された縞模様から薄膜の厚さ \(t\) を求めます。暗線の間隔 \(a\) と、A側とB側での同じ次数の暗線のズレ \(b\) を用います。
1. 暗線の間隔 \(a = x_{m+1} – x_m\) を計算します。
2. 暗線のズレ \(b = x_m – x’_m\) を計算します。
3. 得られた \(a\) と \(b\) の式から \(t\) を \(a, b, \lambda\) で表します。

この設問における重要なポイント

• 暗線間隔 \(a\) を \(x_{m+1} – x_m\) から求める。
• 暗線のズレ \(b\) を \(x_m – x’_m\) （同じ次数 \(m\) で）から求める。
• \(a\) と \(b\) の式から \(t\) を測定可能な量で表す。

具体的な解説と立式
暗線の間隔 \(a\) は、A側の \(m\) 次と \((m+1)\) 次の暗線の位置の差です。
$$a = x_{m+1} – x_m = \frac{(m+1)\lambda L}{2(D+t)} – \frac{m\lambda L}{2(D+t)} = \frac{\lambda L}{2(D+t)} \quad \cdots ⑥$$
同じ次数 \(m\) の暗線のA側とB側でのズレ \(b\) は、\(b = x_m – x’_m\) です。
$$b = \frac{m\lambda L}{2(D+t)} – \frac{L}{D+t}\left(\frac{m\lambda}{2} – t\right) = \frac{Lt}{D+t} \quad \cdots ⑦$$
式⑥より \(\displaystyle\frac{L}{D+t} = \frac{2a}{\lambda}\) です。これを式⑦に代入すると、
$$b = \left(\frac{2a}{\lambda}\right) t$$
この式を \(t\) について解きます。

1. 暗線間隔 \(a\) の計算:
$$a = x_{m+1} – x_m = \frac{\lambda L}{2(D+t)}$$
2. 暗線のズレ \(b\) の計算:
$$b = x_m – x’_m = \frac{Lt}{D+t}$$
3. \(t\) の算出:
\(\displaystyle\frac{b}{a} = \frac{\frac{Lt}{D+t}}{\frac{\lambda L}{2(D+t)}} = \frac{Lt}{D+t} \cdot \frac{2(D+t)}{\lambda L} = \frac{2t}{\lambda}\)
これを \(t\) について解くと、
$$t = \frac{b}{2a}\lambda$$

薄膜の厚さ \(t\) を、縞模様の性質から求めます。A側の暗い縞の間隔 \(a\) は \(\displaystyle\frac{\lambda L}{2(D+t)}\) と計算できます。 同じ番号の暗い縞のA側とB側でのずれ \(b\) は \(\displaystyle\frac{Lt}{D+t}\) と計算できます。 \(b\) を \(a\) で割ると \(\displaystyle\frac{2t}{\lambda}\) となるので、これから \(t = \displaystyle\frac{b}{2a}\lambda\) と求まります。

薄膜の厚さ \(t\) は \(t = \displaystyle\frac{b}{2a}\lambda\) と表されます。 この結果は、薄膜の厚さ \(t\) が、干渉縞から測定可能な量（暗線間隔\(a\)、暗線のズレ\(b\)、光の波長\(\lambda\)）のみで表されることを示しています。

【コラム】Q. 図3のように、A側とB側で同じ次数の光を対応させるには薄膜にある工夫をしておく必要がある。それはどのような工夫か。

思考の道筋とポイント
A側とB側では薄膜の有無により、同じ次数の干渉縞の位置がずれます。このずれた縞の対応を明確にするための工夫が問われています。Qの解答図は薄膜の端を斜めにカットする案を示しています。

この設問における重要なポイント

• A側とB側で縞の位置がずれる理由（薄膜の厚さ \(t\) による影響）を理解する。
• 縞の連続性を保ち、次数の対応を明確にするための実験的工夫を考察する。

具体的な解説と立式
Qの解答に示されているように、薄膜のB側に近い端を斜めにカットする工夫が考えられます。 これにより、空気層の厚さが連続的に変化し、同じ次数の干渉縞がA領域からB領域へと連続的につながって見えるようになります。 これにより、A側の縞とB側の縞の対応付けが容易になります。

この問いは実験的工夫に関するものであり、数式を用いた計算過程はありません。

A側の縞とB側の縞は、薄膜の有無で位置がずれます。この対応を分かりやすくするため、薄膜の端を斜めに削り、縞模様が滑らかにつながるようにします。

薄膜のB側に近い端を斜めにカットすることで、A側とB側の同じ次数の干渉縞の対応が明確になります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• くさび形空気層の干渉:
  • 核心: 厚さが連続的に変化する薄い空気層で光が干渉する現象。
  • 理解のポイント: 光路差 \(2d(x)\) と反射時の位相変化を考慮し、干渉条件（弱め合いは \(2d(x) = m\lambda\) など）から縞の位置が決まる。
• 幾何学的光学との連携:
  • 核心: 空気層の厚さ \(d\) を装置の幾何学的配置（傾斜角など）から求める。
  • 理解のポイント: \(\tan\theta\) を用いた厚さの計算、基準面の取り方の違いによる厚みの変化を把握する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ニュートンリング。
  • 薄膜（シャボン玉、油膜など）の色づき。
  • 反射防止膜の設計。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 干渉が起きる場所の特定。
  2. 干渉する光の経路の特定。
  3. 光路差の計算。
  4. 反射点での位相変化の確認。
  5. 干渉縞の形状と位置の数式化。
  6. 測定量との関連付け。
• 問題解決のヒント・特に注意すべき点:
  • 「非常に小さな傾角」は、\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\) や垂直入射の仮定を示唆。
  • 基準点（原点）の取り方で厚さの式が変わる点に注意。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 位相変化のルールの適用ミス:
  • 対策: 「小→大の屈折率変化での反射で\(\pi\)ずれる」を徹底。
• 空気層の厚さ \(d(x)\) の設定ミス:
  • 対策: 図を丁寧に描き、各部の寸法や高さ、原点を明確にする。
• 暗線・明線の条件の混同:
  • 対策: 位相変化の有無から「同位相干渉か逆位相干渉か」を判断し条件を適用。
• 記号の混同:
  • 対策: 各記号の意味を問題文と図で常に確認。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • くさび形空気層の断面図（寸法、角度、位置関係を明記）。
  • 光の反射経路の模式図（光路差発生部を明確に）。
  • 干渉縞の平面図（縞の形状、間隔 \(a\)、ズレ \(b\) の対応）。
  • Qの工夫の図解（縞の連続性）。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 誇張表現と幾何学的正確性のバランス。
  • 座標軸と原点の明確化。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(2d = m\lambda\) (弱め合いの条件):
  • 選定理由: 「暗線」の条件、かつ反射の位相変化を考慮した結果。
  • 適用根拠: 光路差 \(2d\)、一方の反射面でのみ位相 \(\pi\) ずれる状況。
• \(d(x) = x \tan\theta\) または \(d'(x’) = x’\tan\theta + t\) (空気層の厚さ):
  • 選定理由: 位置における空気層の厚さを幾何パラメータで表現。
  • 適用根拠: ガラス平板の一定傾角、基準面の取り方。
• \(\tan\theta = \frac{D+t}{L}\):
  • 選定理由: 未知の傾角 \(\theta\) を既知寸法で表現。
  • 適用根拠: 図2の全体的な幾何学的配置。
• \(a = x_{m+1} – x_m\), \(b = x_m – x’_m\):
  • 選定理由: 観測量「間隔」「ズレ」を理論式から数式化。
  • 適用根拠: \(x_m\), \(x’_m\) が暗線位置を表す定義。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 基本原理の確認: くさび形空気層の干渉、反射時の位相変化、光路差。
2. (1) A側条件: 光路差 \(2d\)、片側位相ずれ \(\pi\) なので弱め合い \(2d=m\lambda\)。
3. (2) A側位置 \(x_m\):
   • 幾何: \(\tan\theta = (D+t)/L\), \(d = x_m \tan\theta\)。
   • 代入・解法: \(x_m = \frac{m\lambda L}{2(D+t)}\)。
4. (3) B側位置 \(x’_m\):
   • 幾何 (B側厚さ): \(d’ = x’_m \tan\theta + t\)。
   • 条件: \(2d’ = m\lambda\)。
   • 代入・解法: \(x’_m = \frac{L}{D+t}(\frac{m\lambda}{2}-t)\)。
5. (4) 薄膜厚さ \(t\):
   • 間隔 \(a = \frac{\lambda L}{2(D+t)}\)。
   • ズレ \(b = \frac{Lt}{D+t}\)。
   • 関係構築と解法: \(t = \frac{b\lambda}{2a}\)。
6. (Q) 対応の工夫: 縞の連続性確保のため薄膜端の斜めカット。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 記号の定義の再確認: \(D, d, t, L, x, x’\) 等の各記号が図のどの部分を指すか常に意識する。
• 基準点の統一と変化の把握: 位置 \(x, x’\) の原点、高さの基準を明確にする。A側とB側での基準面の違いを正確に反映させる。
• \(\tan\theta\) の扱い: \(\tan\theta = \frac{D+t}{L}\) の関係を適切に代入し、分数の計算を丁寧に行う。
• 共通因子の利用: (4)の計算で \(\frac{L}{D+t}\) を共通因子として扱うと簡略化される。
• 式の整理と代入: 目的を明確にして計算を進める。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• (2),(3) 暗線位置の式の吟味:
  • \(x_m\) は \(m\) に比例し、\(m=0\) で \(x_m=0\)（H点が0次暗線）。
  • \(x’_m\) は \(t=0\) なら \(x_m\) と一致するはず（ただし分母の\(D+t\)も\(D\)になる）。
• (4) 薄膜の厚さ \(t\) の式の吟味:
  • \(t = \frac{b\lambda}{2a}\)。 次元の確認 ([長さ])。
  • ズレ \(b=0\) なら \(t=0\)（薄膜なし）、物理的に正しい。
• 全体を通して:
  • 「非常に小さな傾角\(\theta\)」という条件が、近似や仮定の妥当性を保証。
  • 最終的な \(t\) の式に直接測定しにくい \(D, L, \theta\) が含まれていない点が測定方法としての利点。

問題6 (福井大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、平行平面な薄膜における光の干渉（特に透過光の干渉）を扱い、その条件式を用いて未知の薄膜の屈折率と厚さを実験データから決定する応用問題です。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の干渉」の中でも、特に「薄膜による干渉」の透過光に関するものです。薄膜の表面と裏面で反射・屈折を繰り返した光が干渉し合う現象を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路差: 干渉する複数の光がたどる経路の長さの差に、それぞれの媒質の屈折率を乗じたものの差。薄膜干渉では、膜中を往復する経路が重要になります。
2. 屈折の法則（スネルの法則）: \(n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2\)。真空から薄膜へ入射する場合、\(1 \cdot \sin\theta = n \sin\phi\)。
3. 反射・透過における位相の変化: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射し境界面で反射する際、位相は \(\pi\) ずれます。屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ入射し境界面で反射する際、位相はずれません。透過する際には位相は変化しません。
4. 干渉条件（強め合い・弱め合い）: 光路差と位相変化を総合して、光が強め合う（明るい）か弱め合う（暗い）かを判断します。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. (1) 透過光の強め合い条件の導出: まず、薄膜を透過する主要な二つの光の光路差を求めます。次に、これらの光が薄膜の境界面で反射・透過する際の位相変化を確認します。透過光の場合、関連する反射では位相変化がないため、光路差が波長の整数倍のときに強め合う条件となります。この条件式を、スネルの法則を用いて入射角 \(\theta\) の形に書き換えます。
2. (2) 反射光の状態の判断: 透過光が強め合っているとき、エネルギー保存則を考えると、反射光に回るエネルギーは少なくなるはずなので、反射光は弱め合っていると推測できます。
3. (3) 干渉次数の決定: (1)で導いた強め合いの条件式に、与えられた二つの実験条件を代入し、2つの式を作ります。これらの式から未知数である \(m\) を求めます。
4. (4)(5) 屈折率と厚さの決定: (3)で求めた次数 \(m\) と、別の実験条件を用いて、再び(1)の条件式から2つの式を立てます。これらの式を連立させて解くことで、未知数である \(n\) と \(d\) を決定します。

問(1)

思考の道筋とポイント
薄膜を透過する光の干渉を考えます。光路差は \(2nd \cos\phi\) であり、透過光の干渉では関連する反射で位相変化がないため、この光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\) で強め合います。屈折の法則 \(1 \cdot \sin\theta = n \sin\phi\) を用いて、\(\cos\phi\) を入射角 \(\theta\) と屈折率 \(n\) で表し、条件式に代入します。

この設問における重要なポイント

• 透過光の干渉に関わる光路差が \(2nd \cos\phi\) であること。
• 透過光の干渉では、関連する反射で位相変化がないため、光路差が \(m\lambda\) で強め合う。
• 屈折の法則を用いて \(\cos\phi\) を \(\theta\) と \(n\) で表す。

具体的な解説と立式
薄膜を透過する光が強め合う条件を考えます。薄膜の厚さを \(d\)、屈折率を \(n\)、真空中の波長を \(\lambda\)、入射角を \(\theta\)、屈折角を \(\phi\) とします。
透過光の干渉における光路差は \(2nd \cos\phi\) です。透過光が強め合う条件は、光路差が波長の整数倍になるときなので、
$$2nd \cos\phi = m\lambda \quad (m = 1, 2, 3, \dots) \quad \cdots ①’$$
屈折の法則より、\(1 \cdot \sin\theta = n \sin\phi\)、すなわち \(\sin\phi = \displaystyle\frac{\sin\theta}{n}\)。
これを用いて \(\cos\phi\) を表すと、\(\cos\phi = \sqrt{1-\sin^2\phi} = \sqrt{1 – \left(\displaystyle\frac{\sin\theta}{n}\right)^2} = \displaystyle\frac{\sqrt{n^2 – \sin^2\theta}}{n}\)。
これを式①’に代入すると、最終的に求める条件式が得られます。
$$2nd \left(\frac{\sqrt{n^2 – \sin^2\theta}}{n}\right) = m\lambda$$

透過光が強め合う条件式 \(2nd \cos\phi = m\lambda\) に、\(\cos\phi = \displaystyle\frac{\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{n}\) を代入します。
$$2nd \cdot \frac{\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{n} = m\lambda$$
左辺の \(n\) が約分されるので、
$$2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda$$

薄膜を通り抜ける光が強め合う条件は、光路差 \(2nd\cos\phi\) が波長の整数倍 \(m\lambda\) となるときです。屈折の法則と三角関数の関係を使って \(\cos\phi\) を入射角 \(\theta\) と屈折率 \(n\) で表し代入すると、\(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda\) が得られます。

透過光が干渉によって強め合うための関係式は \(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda\) です。

問(2)

思考の道筋とポイント
(1)で透過光が強め合っているとき、反射光がどうなっているかを考えます。エネルギー保存則、または反射光の干渉条件（上面での反射で位相が\(\pi\)ずれる）から判断します。

この設問における重要なポイント

• 透過光と反射光の干渉条件は一般に相補的である。
• 反射光の干渉における位相変化（上面での反射で\(\pi\)ずれる）を考慮する。

具体的な解説と立式
(1)の条件 \(2nd \cos\phi = m\lambda\) （すなわち \(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda\)）が成り立つとき、透過光は強め合っています。
反射光の干渉を考えます。薄膜上面（真空→薄膜）での反射では位相が \(\pi\) ずれます。薄膜下面（薄膜→真空）での反射では位相はずれません。したがって、干渉する主要な2つの反射光（上面反射光と、下面反射後に上面から出てくる光）は、一方のみ位相が \(\pi\) ずれた状態で干渉します。
この場合の光路差は透過光と同じく \(2nd \cos\phi\) です。
一方の位相のみが \(\pi\) ずれているため、弱め合い（暗くなる）の条件は光路差が波長の整数倍になるときです。
$$2nd \cos\phi = m\lambda \quad (\text{反射光の弱め合い})$$
これは(1)の透過光の強め合いの条件と全く同じです。したがって、透過光が強め合うとき、反射光は弱め合っています。
エネルギー保存則からも、透過光が強められる（エネルギーが最大になる）場合、反射光は弱められる（エネルギーが最小になる）と考えられます。

(1)の条件 \(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda\) が成り立つとき、これは反射光の弱め合いの条件に一致します。

通り抜ける光が干渉でとても明るくなっているとき、光のエネルギーの大部分が通り抜けていることを意味します。このとき、反射する光は干渉で打ち消しあい、とても暗くなっている（弱め合っている）と考えられます。

透過光が強め合うとき、反射光は干渉によって弱め合っています。

問(3)

思考の道筋とポイント
実験条件から、最初の干渉の次数 \(m\) を求めます。光路差 \(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta}\) は一定のまま、波長 \(\lambda\) と次数 \(m\) が変わる2つの条件を用います。\(\lambda_1 = 682 \text{ nm}\) で次数 \(m\)、\(\lambda_2 = 660 \text{ nm}\) で次数 \(m+1\) となります。

この設問における重要なポイント

• 光路差が一定の条件下で、波長と次数が \(m\lambda = \text{一定}\) の関係を持つ。
• 波長を短くして次に強め合う場合、次数は \(m \rightarrow m+1\) となる。

具体的な解説と立式
透過光の強め合いの条件式は \(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda\)。
条件1: \(\theta = 45^\circ\), \(\lambda_1 = 682 \text{ nm}\) のとき、次数 \(m\)。
$$2d\sqrt{n^2-\sin^2 45^\circ} = m \lambda_1 \quad \cdots (B)$$
条件2: \(\theta = 45^\circ\), \(\lambda_2 = 660 \text{ nm}\) のとき、次数 \(m+1\)。
$$2d\sqrt{n^2-\sin^2 45^\circ} = (m+1) \lambda_2 \quad \cdots (C)$$
式(B)と(C)の左辺は等しいので、
$$m \lambda_1 = (m+1) \lambda_2$$

\(m \lambda_1 = (m+1) \lambda_2\) に \(\lambda_1 = 682\), \(\lambda_2 = 660\) を代入します。
$$m \times 682 = (m+1) \times 660$$
$$682m = 660m + 660$$
$$682m – 660m = 660$$
$$22m = 660$$
$$m = \frac{660}{22} = 30$$

最初の実験（波長682nm、次数\(m\)）と次の実験（波長660nm、次数\(m+1\)）では、光路差は同じです。したがって、「\(m \times 682 = (m+1) \times 660\)」という式が成り立ちます。これを解くと、\(m=30\) が求まります。

初めの次数 \(m\) は 30 です。

問(4)および問(5)

思考の道筋とポイント
次数 \(m=30\) と、2つの実験条件（条件1: \(\lambda_1=682 \text{ nm}\), \(\theta_1=45^\circ\), \(m_1=30\) と 条件3: \(\lambda_1=682 \text{ nm}\), \(\theta_2=60^\circ\), \(m_2=29\)）を用いて、\(n\) と \(d\) を求めます。強め合いの条件式から2つの式を立て、連立させて解きます。

この設問における重要なポイント

• 2つの異なる実験条件から連立方程式を立てる。
• 入射角を増加させて光路差が減少し、同じ波長で再び強め合う場合、次数は減少する。
• 連立方程式を解いて \(n\) と \(d\) を求める。

具体的な解説と立式
条件1より (\(m_1=30, \lambda_1=682 \text{ nm}, \theta_1=45^\circ\)):
$$2d\sqrt{n^2-\sin^2 45^\circ} = 30 \lambda_1 \quad \cdots (D)$$
条件3より (\(m_2=29, \lambda_1=682 \text{ nm}, \theta_2=60^\circ\)):
$$2d\sqrt{n^2-\sin^2 60^\circ} = 29 \lambda_1 \quad \cdots (E)$$
\(\sin^2 45^\circ = 1/2\), \(\sin^2 60^\circ = 3/4\)。
式(D)を式(E)で割ると、
$$\frac{\sqrt{n^2-1/2}}{\sqrt{n^2-3/4}} = \frac{30}{29}$$
両辺を2乗します。
$$\frac{n^2-1/2}{n^2-3/4} = \left(\frac{30}{29}\right)^2$$

(4) 屈折率 \(n\) の計算:
$$\frac{n^2-1/2}{n^2-3/4} = \left(\frac{30}{29}\right)^2$$
$$29^2 (n^2-1/2) = 30^2 (n^2-3/4)$$
$$841(n^2-0.5) = 900(n^2-0.75)$$
$$841n^2 – 420.5 = 900n^2 – 675$$
$$675 – 420.5 = 900n^2 – 841n^2$$
$$254.5 = 59n^2$$
$$n^2 = \frac{254.5}{59} = \frac{509}{118} \approx 4.313559$$
$$n = \sqrt{\frac{509}{118}} \approx 2.07691 \dots$$
有効数字2桁で \(n \approx 2.1\)。

(5) 厚さ \(d\) の計算:
式(D) \(2d\sqrt{n^2-\sin^2 45^\circ} = 30 \lambda_1\) を用います。
\(\lambda_1 = 682 \text{ nm} = 682 \times 10^{-9} \text{ m}\)。
\(n^2 = 509/118\), \(\sin^2 45^\circ = 1/2 = 59/118\)。
$$2d\sqrt{\frac{509}{118} – \frac{59}{118}} = 30 \times 682 \times 10^{-9}$$
$$2d\sqrt{\frac{450}{118}} = 30 \times 682 \times 10^{-9}$$
$$2d \frac{\sqrt{450}}{\sqrt{118}} = 2d \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{118}} = 30 \times 682 \times 10^{-9}$$
両辺の30を約分（左辺は \(2 \times 15 = 30\) なので）、
$$d \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{118}} = 682 \times 10^{-9}$$
$$d = 682 \times 10^{-9} \times \sqrt{\frac{118}{2}} = 682 \times 10^{-9} \times \sqrt{59}$$
$$\sqrt{59} \approx 7.6811$$
$$d \approx 682 \times 7.6811 \times 10^{-9} \approx 5238.5 \times 10^{-9} \text{ m} = 5.2385 \times 10^{-6} \text{ m}$$
有効数字2桁で \(d \approx 5.2 \times 10^{-6} \text{ m}\)。

(4) 2つの実験条件から得られる式を割り算することで、厚さ \(d\) を消去し、屈折率 \(n\) についての方程式を立てて解きます。
(5) 求めた \(n\) と実験条件の1つを最初の条件式に代入し、厚さ \(d\) を計算します。

(4) 薄膜の屈折率 \(n\) は約 2.1 です。
(5) 薄膜の厚さ \(d\) は約 \(5.2 \times 10^{-6} \text{ m}\) (\(5.2 \text{ µm}\)) です。これらの値は物理的に妥当な範囲です。

【コラム】Q. (1)を、公式を用いず、図2のQ→R→TとQ→S間の光路差を計算することにより解いてみよ。また、位相差を計算することによって解いてみよ。さらに、波数差を計算することによっても解いてみよ。

思考の道筋とポイント
薄膜干渉の条件式 \(2nd\cos\phi = m\lambda\) を、光路差の直接計算、位相差、波数差の考え方から導出します。

この設問における重要なポイント

• 光路差の幾何学的な導出。
• 光学的距離の概念。
• 光路差、位相差、波数と干渉条件（強め合い）の関係。

具体的な解説と立式
1. 光路差の計算:
経路Q→R→Tの光学的距離は \(n(QR+RT)\)。QSは基準となる光線が真空中を進む距離とします。
\(QR = RT = d/\cos\phi\)。\(QT = 2d\tan\phi\)。点Sは、点Tから光線AQに下ろした垂線の足です。よって \(QS = QT\sin\theta = (2d\tan\phi)\sin\theta\)。
光路差 \(\Delta L = n(QR+RT) – QS = n\left(\displaystyle\frac{2d}{\cos\phi}\right) – (2d\tan\phi)\sin\theta\)。
\(\sin\theta = n\sin\phi\) を用いて整理すると、\(\Delta L = 2dn\cos\phi\)。
強め合いの条件は \(\Delta L = m\lambda\)、よって \(2dn\cos\phi = m\lambda\)。

2. 位相差による解法:
位相差 \(\Delta\Psi = \displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}\Delta L\)。強め合いは \(\Delta\Psi = 2m\pi\)。
\(\displaystyle\frac{2\pi}{\lambda}(2dn\cos\phi) = 2m\pi\) という関係から、両辺を \(2\pi\) で割ると \( \displaystyle\frac{2dn\cos\phi}{\lambda} = m \)、すなわち \(2dn\cos\phi = m\lambda\) が得られます。

3. 波数差による解法:
波数の差（経路中の波の数の差）が整数で強め合う。
\(\displaystyle\frac{n(QR+RT)}{\lambda} – \frac{QS}{\lambda} = m\) という関係から、両辺に \(\lambda\) を掛けると \(n(QR+RT) – QS = m\lambda\) が得られます。
結果は \(2dn\cos\phi = m\lambda\)。

光路差の計算: \(QR = d/\cos\phi\)。光路QRTの光学的距離は \(n \cdot 2d/\cos\phi\)。
対応する真空中の距離QSは、点Tから入射光の波面に下ろした垂線までの距離と考える。点QからTまでの水平距離を \(x_T = 2d\tan\phi\)。SはQから見て \(x_T \sin\theta\) だけ手前にある。
模範解答のQの解説PDFにある導出に従うと、光路差は \(2dn\cos\phi\)。
よって強め合いは \(2dn\cos\phi = m\lambda\)。
これは(1)の条件式 \(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda\) に帰着します（\(\cos\phi = \frac{\sqrt{n^2-\sin^2\theta}}{n}\) の関係があるため）。

公式 \(2nd\cos\phi = m\lambda\) を使わずに、光の経路の差から直接計算します。薄膜の中を通る光と、それを基準とする光の「光が進む道のり」の差（光路差）を計算すると \(2dn\cos\phi\) となります。これが波長の整数倍になると光は強め合います。位相や波の数で考えても同じ結果に至ります。

公式 \(2nd\cos\phi = m\lambda\) は、光路差の幾何学的な計算からも導出できる普遍的な条件式です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 薄膜干渉（透過光）:
  • 核心: 薄膜の表面と裏面で反射・屈折を繰り返した光のうち、特定の経路を通った光どうしが透過側で干渉する現象。
  • 理解のポイント:
    1. 光路差 \(2nd\cos\phi\)。
    2. 透過光の干渉では関連する反射で位相変化がないか相殺されるため、光路差が波長の整数倍で「強め合う」。
    3. 屈折の法則 (\(\sin\theta = n\sin\phi\)) を用い、光路差の式を\(\theta\)で表現。
• 干渉条件の応用:
  • 核心: 導出した干渉条件式を用いて未知の物理量を実験データから決定する。
  • 理解のポイント: 複数の実験条件から連立方程式を立て、解を導く。波長や入射角を変化させたときに次数\(m\)がどう変わるか判断する。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 反射光の薄膜干渉。
  • ニュートンリング、くさび形空気層。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 干渉する光の経路の特定。
  2. 光路差の計算 (\(\cos\phi\)の項)。
  3. 位相変化の確認（反射・透過時）。
  4. 強め合い/弱め合いの条件判断。
  5. 変数の関係（屈折の法則など）。
• 問題解決のヒント・特に注意すべき点:
  • 「波長を減らし再び強め合った」\(\rightarrow\) 次数\(m\)が1増加。
  • 「入射角を増やし再び強め合った」\(\rightarrow\) 光路差が減少し次数\(m\)が1減少。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 透過光と反射光の干渉条件の混同:
  • 対策: それぞれのケースで位相変化を個別に検討。
• 位相変化の適用の誤り:
  • 対策: 必ず反射面の前後での屈折率の大小関係で判断。
• 光路差の計算における\(\cos\phi\)の項の失念:
  • 対策: 斜め入射の場合の経路長と位相の遅れを考慮。
• 次数の変化の判断ミス:
  • 対策: \((\text{光路差}) = m\lambda\) の関係から、各変数の変化と\(m\)の変化の関係を考察。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • 光線の追跡図（反射・屈折経路、光路差が生じる部分の明確化）。
  • 幾何学的な補助線（角度、距離、垂線など）。
  • 波面のイメージ（強め合いは波面がそろう）。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 角度の正確性（例: \(\theta > \phi\) for \(n>1\)）。
  • 光路差の部分の強調。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(2nd\cos\phi = m\lambda\) (薄膜干渉の光路差条件):
  • 選定理由: 平行平面薄膜における干渉の基本的関係。
  • 適用根拠: 光が薄膜内で1往復する経路、膜のパラメータで記述。
• \(\sin\theta = n\sin\phi\) (スネルの法則):
  • 選定理由: 観測可能な\(\theta\)と光路差の式内の\(\phi\)を関連付ける。
  • 適用根拠: 異なる媒質界面での光の屈折の基本法則。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. (1) 条件式の導出: 透過光の光路差と位相変化から強め合い条件 \(2nd\cos\phi = m\lambda\)。スネルの法則で\(\cos\phi\)を消去し \(2d\sqrt{n^2-\sin^2\theta} = m\lambda\)。
2. (2) 反射光の状態: エネルギー保存則または反射光の干渉条件から弱め合いと判断。
3. (3) 次数 \(m\) の決定: \(\theta\)一定、光路差一定で\(\lambda\)変化。\(m\lambda_1 = (m+1)\lambda_2\) より \(m\) を解く。
4. (4)(5) \(n, d\) の決定: \(\lambda\)一定、光路差変化で\(\theta\)変化。2つの条件式から連立方程式を立て、比を取って\(d\)を消去し\(n\)を求め、次に\(d\)を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位の統一: nmからmへの換算 (\(10^{-9}\))。
• 三角関数の値と2乗: \(\sin 45^\circ, \sin 60^\circ\) およびその2乗の正確な使用。
• 平方根の計算。
• 連立方程式の計算: 式変形、代入を慎重に。
• 有効数字: 指定された有効数字を守る。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 物理量の妥当性: \(n>1\)、\(d\)が光の波長と比較して妥当な範囲か、\(m\)が正の整数か。
• 条件変化と結果の傾向: \(\lambda\)減少で\(m\)増加、\(\theta\)増加で光路差減少し\(m\)減少、などの傾向が結果と合うか。

関連記事

物理基礎・高校物理 無料問題演習サイト – 全単元を網羅し実力アップ！

[mathjax] SNSでのシェアはご自由にどうぞ。(上のボタンをクリック) ブログで引用する際には、こちらのリンクを添えてください。【引用】https://makoto-physics-school.com[…]