問題4 光の干渉 (東京医歯大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: 方べきの定理を用いた幾何学的解法
- 模範解答が三平方の定理と近似式を用いるのに対し、別解では円の幾何学的性質（方べきの定理）を用いて、より直接的に関係式を導きます。
- 設問(1)〜(3)の別解: 波動関数と重ね合わせの原理を用いた体系的解法（微積分・複素数）
- 「光路差」や「反射の位相ずれ」を公式として暗記するのではなく、光を波動関数（正弦波）として記述し、その重ね合わせ（合成）から干渉条件を数学的に導出します。また、円の形状近似をマクローリン展開として捉えます。
- 設問(5)の別解: 波長の短縮に着目した解法
- 模範解答が「光路長（屈折率×距離）」の変化として扱うのに対し、媒質中での「波長の縮み」に着目して条件式を立て直します。
- 設問(1)の別解: 方べきの定理を用いた幾何学的解法
- 上記の別解が有益である理由
- 方べきの定理: 近似計算の負担を減らし、図形的直感に基づいた素早い導出が可能になります。
- 波動関数の解法: 干渉現象の本質である「波の重ね合わせ」を数式で可視化でき、位相差の起源を深く理解できます。
- 波長の視点: 屈折率の物理的意味（波の速度と波長の変化）を多角的に理解する助けとなります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「ニュートンリング（球面レンズと平面ガラス板による光の干渉）」です。
微小な隙間における光の干渉現象を利用して、レンズの曲率半径や液体の屈折率を測定する実験を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光の干渉: 2つの光の経路差によって、強め合い（明）や弱め合い（暗）が生じる現象。
- 反射による位相変化: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ反射する場合（固定端反射）、位相が \(\pi\) ずれます。
- 幾何学的近似: 球面と平面の隙間 \(d\) は、中心からの距離 \(r\) の2乗に比例します（\(d \approx \frac{r^2}{2R}\)）。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、図形の幾何学的関係（三平方の定理など）から隙間 \(d\) の式を導きます。
- (2)では、経路差と反射の位相変化を考慮して、暗環ができる条件式を立てます。
- (4)(5)では、導出した理論式と実験データのグラフ（傾き）を比較して、物理量を逆算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
ニュートンリングの幾何学的構造を理解し、球面と平面の隙間の距離 \(d\) を近似計算で求めます。
図1の断面図（直角三角形）に着目します。
\(d\) は \(R\) に比べて非常に小さい（\(d \ll R\)）ため、\(d^2\) の項は無視できるという近似を使います。
この設問における重要なポイント
- 三平方の定理: 直角三角形の辺の長さの関係を利用します。
- 近似計算: \(A \ll B\) のとき、\(A/B\) は非常に小さく、\(A^2\) はさらに無視できるほど小さくなります。
具体的な解説と立式
図1の幾何学的関係から、直角三角形を見つけます。
斜辺は球の半径 \(R\)、底辺は \(r\)、高さは \(R-d\) となります。
三平方の定理より、以下の式が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
R^2 &= r^2 + (R-d)^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三平方の定理: \(c^2 = a^2 + b^2\)
上式を展開し、\(d\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
R^2 &= r^2 + (R^2 – 2Rd + d^2) \\[2.0ex]
R^2 &= r^2 + R^2 – 2Rd + d^2 \\[2.0ex]
0 &= r^2 – 2Rd + d^2
\end{aligned}
$$
ここで、\(d\) は \(R\) に比べて非常に小さいため、\(d^2\) は \(2Rd\) や \(r^2\) に比べて無視できるほど小さいとみなせます（\(d^2 \approx 0\)）。
$$
\begin{aligned}
2Rd &\approx r^2 \\[2.0ex]
d &\approx \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
大きなボールを床に置いたとき、接点から少し離れた場所での「床とボールの隙間」を計算しています。
ボールが非常に大きいため、隙間はごくわずかです。
直角三角形の定理を使って計算すると、隙間の距離は「中心からの距離の2乗」に比例し、「ボールの半径」に反比例することがわかります。
\(d = \frac{r^2}{2R}\) となります。
\(r\) が大きくなると \(d\) は2次関数的に増えること、\(R\) が大きい（カーブが緩やか）ほど \(d\) は小さくなることは、直感と一致します。
思考の道筋とポイント
円の幾何学的性質である「方べきの定理」を利用すると、三平方の定理よりも計算が楽になります。
この設問における重要なポイント
- 方べきの定理: 円の弦と接線、あるいは2つの弦が交わるときに成り立つ線分の積の等式。
具体的な解説と立式
図を、完全な円と接線として捉えます。
接点Oを通る直径を引くと、その長さは \(2R\) です。
位置 \(r\) における隙間 \(d\) を考えたとき、円の弦が垂直に交わっていると見なせます。
交点から円周までの長さは、水平方向がそれぞれ \(r\)、垂直方向が \(d\) と \(2R-d\) です。
方べきの定理より、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
r \cdot r &= d \cdot (2R – d)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 方べきの定理
$$
\begin{aligned}
r^2 &= 2Rd – d^2
\end{aligned}
$$
\(d \ll R\) より \(d^2\) を無視すると、
$$
\begin{aligned}
r^2 &\approx 2Rd \\[2.0ex]
d &\approx \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
円の性質を使うと、展開や整理の手間を省いて、一発で関係式にたどり着けます。
メイン解法と同じ結果が得られました。
問(2)
思考の道筋とポイント
光の干渉条件を求めます。
2つの反射光（レンズ下面からの反射光と、ガラス上面からの反射光）の経路差と、反射に伴う位相の変化を考慮します。
この設問における重要なポイント
- 経路差: 往復分の距離 \(2d\)。
- 固定端反射: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射して反射する場合（空気→ガラス）、位相が \(\pi\)（半波長分）ずれます。
- 自由端反射: 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ入射して反射する場合（ガラス→空気）、位相はずれません。
- 干渉条件の反転: 位相のずれが片方だけで起こるため、強め合いと弱め合いの条件が通常（ヤングの実験など）と逆になります。
具体的な解説と立式
レンズ下面での反射（ガラス→空気）は自由端反射なので、位相変化はありません。
ガラス上面での反射（空気→ガラス）は固定端反射なので、位相が \(\pi\) ずれます。
したがって、2つの光の間の位相差は、経路差 \(2d\) に由来するものと、反射による \(\pi\) のずれの合計になります。
暗環（弱め合い）となる条件は、経路差 \(2d\) が波長 \(\lambda\) の整数倍であることです。
（通常は整数倍で強め合いますが、反射で \(\pi\) ずれているため、整数倍のときに山と谷が重なって弱め合います）
$$
\begin{aligned}
2d &= m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光の干渉条件（反射による位相変化あり）:
- 暗線: \(2d = m\lambda\)
- 明線: \(2d = (m + \frac{1}{2})\lambda\)
これに(1)の結果 \(d = \frac{r^2}{2R}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2 \cdot \frac{r^2}{2R} &= m\lambda \\[2.0ex]
\frac{r^2}{R} &= m\lambda
\end{aligned}
$$
光は波なので、山と山が重なると明るく、山と谷が重なると暗くなります。
この実験では、下のガラスで跳ね返る光だけが「ひっくり返る（位相が逆になる）」という性質があります。
そのため、距離の差が波長のぴったり整数倍のとき、本来なら強め合うはずが、片方がひっくり返っているせいで打ち消し合って暗くなります。
条件式は \(\frac{r^2}{R} = m\lambda\) です。
\(m\) が大きくなる（外側に行く）ほど \(r\) も大きくなる関係になっており、妥当です。
問(3)
思考の道筋とポイント
ニュートンリングの中心（\(r=0\)）の状態を考えます。
(2)で求めた条件式や、物理的な接触点の状況から判断します。
この設問における重要なポイント
- 接触点の光路差: \(r=0\) では \(d=0\) なので、光路差は \(0\) です。
- 位相差: 光路差が \(0\) でも、反射による位相のずれ \(\pi\) は存在します。
具体的な解説と立式
中心部 \(r=0\) では、空気層の厚さ \(d=0\) です。
経路差は \(0\) ですが、ガラス上面での反射により位相が \(\pi\) ずれています。
したがって、位相差は \(\pi\) となり、波の山と谷が重なるため、弱め合います。
また、(2)の条件式 \(\frac{r^2}{R} = m\lambda\) において \(r=0\) とすると \(m=0\) となり、これは暗環の条件（\(m\) が整数）を満たします。
使用した物理公式
- 干渉の原理
特になし（概念的な判断）。
真ん中の接点では隙間がありません。距離の差はないのですが、片方の光だけが反射でひっくり返っているため、元に戻ってきたときには逆向きの波になっています。プラスとマイナスで打ち消し合い、暗くなります。
中心は暗くなります。これはニュートンリングの典型的な特徴です。
思考の道筋とポイント
幾何学的な近似や公式の暗記に頼らず、円の方程式のマクローリン展開による形状近似と、波動関数の重ね合わせによる干渉条件の導出を一貫して行います。
この設問における重要なポイント
- マクローリン展開: 関数 \(f(x)\) を \(x=0\) 付近で多項式近似します。\((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x\) （\(|x| \ll 1\)）。
- 波動関数: 波を \(y = A \sin(\omega t – kx + \phi_0)\) の形で表します。
- 重ね合わせの原理: 複数の波が重なるとき、変位は単純な和になります。
具体的な解説と立式
1. 形状の近似（\(d\) の導出）
円の方程式（中心 \((0, R)\)、半径 \(R\)）を考えます。
$$
\begin{aligned}
x^2 + (y-R)^2 &= R^2
\end{aligned}
$$
ここで \(x=r\) とし、レンズ下面の \(y\) 座標を求めます。
$$
\begin{aligned}
(y-R)^2 &= R^2 – r^2 \\[2.0ex]
y – R &= – \sqrt{R^2 – r^2} \quad (\text{下半円なので負}) \\[2.0ex]
y &= R – R\sqrt{1 – \left(\frac{r}{R}\right)^2} \\[2.0ex]
y &= R \left\{ 1 – \left( 1 – \left(\frac{r}{R}\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right\}
\end{aligned}
$$
ここで、\((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x\) の近似を用います（\(r \ll R\) より \((r/R)^2 \ll 1\)）。
$$
\begin{aligned}
\left( 1 – \left(\frac{r}{R}\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} &\approx 1 + \frac{1}{2} \left( – \frac{r^2}{R^2} \right) \\[2.0ex]
&= 1 – \frac{r^2}{2R^2}
\end{aligned}
$$
これを \(y\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
y &\approx R \left\{ 1 – \left( 1 – \frac{r^2}{2R^2} \right) \right\} \\[2.0ex]
&= \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
この \(y\) が隙間 \(d\) に相当します。よって \(d \approx \frac{r^2}{2R}\)。
2. 干渉条件の導出
入射光を単色平面波とし、角振動数を \(\omega\)、波数を \(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) とします。
位置 \(z\) における波を \(E = E_0 \sin(\omega t – kz)\) と表します。
観測点（上面）を \(z=0\) とします。
* 反射波1（レンズ下面）:
空気層への反射（自由端）なので位相変化なし。往復距離はほぼ0とみなせる基準波。
$$
\begin{aligned}
E_1 &= E_0 \sin(\omega t)
\end{aligned}
$$
* 反射波2（ガラス上面）:
空気層を往復（距離 \(2d\)）し、ガラス表面で反射（固定端、位相 \(+\pi\)）。
$$
\begin{aligned}
E_2 &= E_0 \sin(\omega t – k(2d) + \pi)
\end{aligned}
$$
重ね合わせの原理より、合成波 \(E\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
E &= E_1 + E_2 \\[2.0ex]
&= E_0 \sin(\omega t) + E_0 \sin(\omega t – 2kd + \pi)
\end{aligned}
$$
和積の公式 \(\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\) を利用します。
$$
\begin{aligned}
E &= 2E_0 \sin \left( \omega t – kd + \frac{\pi}{2} \right) \cos \left( kd – \frac{\pi}{2} \right)
\end{aligned}
$$
光の強度 \(I\) は振幅の2乗に比例します。振幅部分は \(2E_0 \cos(kd – \frac{\pi}{2})\) です。
暗くなる（強度0）条件は、振幅が0になることです。
$$
\begin{aligned}
\cos \left( kd – \frac{\pi}{2} \right) &= 0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- マクローリン展開: \((1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x\)
- 波動関数: \(y = A \sin(\omega t – kx)\)
- 和積の公式
コサインが0になるのは、角度が \(\frac{\pi}{2} + m\pi\) （\(m\) は整数）のときです。
$$
\begin{aligned}
kd – \frac{\pi}{2} &= \frac{\pi}{2} + m\pi \\[2.0ex]
kd &= (m+1)\pi
\end{aligned}
$$
\(k = \frac{2\pi}{\lambda}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{2\pi}{\lambda} d &= (m+1)\pi \\[2.0ex]
2d &= (m+1)\lambda
\end{aligned}
$$
ここで \(m\) は整数なので、\(m+1\) も整数です。これを改めて \(m\) （\(m=1, 2, \dots\)）と置けば、\(2d = m\lambda\) となります。
（\(m=-1\) のとき \(d=0\) となり、\(m\) を \(0\) から始めれば \(2d = m\lambda\) と一致します）
円の形を数式で正確に書き、それを「平らな部分からのズレ」として計算しました。
また、光を波の式として書き下し、足し算することで、強め合い・弱め合いの条件を数学的に導きました。
結果として、公式を覚えることなく、全てを基本原理から導き出せることがわかります。
幾何学的近似と波動光学的計算の両面から、標準的な公式と完全に一致する結果が得られました。
問(4)
思考の道筋とポイント
実験データ（グラフ）から物理量を読み取ります。
(2)で求めた理論式と、グラフの形（直線）を対応させます。
この設問における重要なポイント
- グラフの物理的解釈: 縦軸 \(r^2\)、横軸 \(m\) のグラフにおいて、傾きが何を表しているかを式から読み取ります。
- 最小二乗法的な視点: 1点だけでなく、直線の傾き全体から値を求めることで精度を高めます。
具体的な解説と立式
(2)の式を変形して、グラフの縦軸 \(y = r^2\) と横軸 \(x = m\) の関係にします。
$$
\begin{aligned}
r^2 &= (\lambda R) m
\end{aligned}
$$
これは原点を通る直線の方程式 \(y = ax\) の形をしており、傾き \(a\) は \(\lambda R\) に相当します。
グラフ（図2の○点）から、直線の傾きを読み取ります。
模範解答の読み取り値（\(m=12\) で \(r^2 = 58\)）を採用します。
$$
\begin{aligned}
\text{傾き} &= \frac{58 – 0}{12 – 0} \\[2.0ex]
&= \frac{58}{12}\,\text{mm}^2
\end{aligned}
$$
これが \(\lambda R\) に等しいので、以下の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
\lambda R &= \frac{58}{12} \times 10^{-6}\,\text{m}^2
\end{aligned}
$$
（\(1\,\text{mm}^2 = 10^{-6}\,\text{m}^2\) に換算）
使用した物理公式
- 直線の式: \(y = ax\)
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{1}{\lambda} \times \frac{58}{12} \times 10^{-6} \\[2.0ex]
&= \frac{1}{5.9 \times 10^{-7}} \times \frac{58}{12} \times 10^{-6} \\[2.0ex]
&= \frac{58}{5.9 \times 12} \times \frac{10^{-6}}{10^{-7}} \\[2.0ex]
&= \frac{58}{70.8} \times 10 \\[2.0ex]
&\approx 0.819 \times 10 \\[2.0ex]
&= 8.19\,\text{m}
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
R &\approx 8.2\,\text{m}
\end{aligned}
$$
実験データのグラフは綺麗な直線になっています。この直線の傾きが、理論式の係数（波長×半径）に対応します。
グラフから傾きを読み取り、わかっている波長で割り算することで、未知の半径 \(R\) を逆算しました。
\(R = 8.2\,\text{m}\)。
問題文に「球面半径の大きい平凸レンズ」とある通り、8メートルという非常に大きな半径（カーブが緩やか）が得られました。これはニュートンリングが観測できる条件として妥当です。
問(5)
思考の道筋とポイント
隙間をアルコール液（屈折率 \(n\)）で満たした時の変化を考えます。
屈折率 \(n\) の媒質中では、光の進む距離（光路長）が \(n\) 倍になる、あるいは波長が \(1/n\) 倍になると考えます。
この設問における重要なポイント
- 光路長（光学距離）: 屈折率 \(n\) の媒質中の距離 \(d\) は、真空中（空気中）の距離 \(nd\) に相当します。
- グラフの傾きの変化: 条件式の係数が変わり、グラフの傾きが変化します。
具体的な解説と立式
液体中では、幾何学的な距離 \(d\) に対し、光路長は \(nd\) となります。
したがって、経路差（往復）の光路長は \(2nd\) となります。
反射の位相変化条件（ガラスと液体の屈折率の大小関係）について考えます。
通常、ガラスの屈折率（約1.5）はアルコール（約1.36）より大きいため、
* 上面反射（ガラス→液）: 自由端（位相変化なし）
* 下面反射（液→ガラス）: 固定端（位相変化 \(\pi\)）
となり、空気中の場合と位相変化の条件は変わりません。
よって、暗環の条件式は光路長を用いて以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2nd &= m\lambda
\end{aligned}
$$
これに \(d = \frac{r^2}{2R}\) を代入し、\(r^2\) と \(m\) の関係式に変形します。
$$
\begin{aligned}
2n \frac{r^2}{2R} &= m\lambda \\[2.0ex]
\frac{n r^2}{R} &= m\lambda \\[2.0ex]
r^2 &= \left( \frac{\lambda R}{n} \right) m
\end{aligned}
$$
これは、グラフ（×点）の傾き \(a_{\text{液}}\) が \(\frac{\lambda R}{n}\) であることを示しています。
空気中の傾き \(a_{\text{空気}} = \lambda R\) と比較すると、以下の関係が成り立ちます。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{a_{\text{空気}}}{a_{\text{液}}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路長: \(L = nd\)
グラフ（図2）より、空気中の傾き \(a_{\text{空気}}\) と液体中の傾き \(a_{\text{液}}\) を読み取ります。
模範解答の数値を採用します。
* 空気中（○）: \(m=12\) で \(r^2=58\)
* 液体中（×）: \(m=14\) で \(r^2=50\)
$$
\begin{aligned}
a_{\text{空気}} &= \frac{58}{12} \\[2.0ex]
a_{\text{液}} &= \frac{50}{14}
\end{aligned}
$$
これらを比の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{58/12}{50/14} \\[2.0ex]
&= \frac{58}{12} \times \frac{14}{50} \\[2.0ex]
&= \frac{58}{6} \times \frac{7}{50} \\[2.0ex]
&= \frac{406}{300} \\[2.0ex]
&\approx 1.353…
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えます。
$$
\begin{aligned}
n &\approx 1.4
\end{aligned}
$$
液体のせいで光の進むスピードが遅くなり、見かけ上の距離（光路長）が伸びました。
その分、条件を満たす場所 \(r\) が変化し、グラフの傾きが緩やかになりました。
「空気の時の傾き」と「液体の時の傾き」の比率が、そのまま「光がどれくらい遅くなったか（屈折率）」を表しています。
\(n = 1.4\)。アルコールの屈折率として妥当な値です。
思考の道筋とポイント
媒質中では光の速さが遅くなるため、振動数が変わらないまま波長が短くなります。
「距離が伸びる」と考える代わりに「定規（波長）の目盛りが細かくなる」と考えます。
この設問における重要なポイント
- 媒質中の波長: 屈折率 \(n\) の媒質中での波長 \(\lambda’\) は、真空中の波長 \(\lambda\) を用いて \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) となります。
具体的な解説と立式
経路差は幾何学的な距離 \(2d\) のまま考えます。
その代わり、この空間を満たす波の波長が \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) に縮んでいます。
暗環の条件式は「経路差が波長の整数倍」なので、以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2d &= m \lambda’
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 媒質中の波長: \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\)
これに \(\lambda’ = \frac{\lambda}{n}\) と \(d = \frac{r^2}{2R}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2 \cdot \frac{r^2}{2R} &= m \frac{\lambda}{n} \\[2.0ex]
\frac{r^2}{R} &= \frac{m\lambda}{n} \\[2.0ex]
r^2 &= \frac{\lambda R}{n} m
\end{aligned}
$$
これはメイン解法で導いた式と完全に一致します。
以降の計算はメイン解法と同様です。
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{a_{\text{空気}}}{a_{\text{液}}} \\[2.0ex]
&= 1.4
\end{aligned}
$$
水の中では光の歩幅（波長）が小さくなります。
同じ距離 \(2d\) を進むのに、歩幅が小さい分だけたくさんの歩数（\(m\)）が必要になります。
あるいは、同じ歩数 \(m\) で到達できる距離 \(d\) が短くなります。
この式変形から、メイン解法と全く同じ結果が得られることがわかります。
結果はメイン解法と一致します。物理現象の捉え方が異なるだけで、等価な記述です。
問(6)
思考の道筋とポイント
レンズを持ち上げると、中心 \(O\) での隙間が \(0\) ではなくなります。
全体的に隙間 \(d\) が増加することによる干渉縞の移動方向を考察します。
この設問における重要なポイント
- 干渉次数の保存: 特定の暗環（例えば \(m=3\) のリング）は、常に「経路差が \(3\lambda\) になる場所」に現れます。
- 隙間の増加: レンズを持ち上げると、全ての位置 \(r\) で隙間 \(d\) が一律に増えます（\(d \to d + \Delta z\)）。
具体的な解説と立式
ある次数 \(m\) の暗環ができるための条件は、隙間 \(d\) が特定の値 \(d_m = \frac{m\lambda}{2}\) になることです。
レンズを持ち上げる前、この隙間 \(d_m\) はある位置 \(r_{\text{旧}}\) で実現していました。
レンズを持ち上げると、全体的に隙間が広がります。
そのため、以前と同じ隙間 \(d_m\) になる場所は、より隙間の狭い方、つまり中心に近い方へ移動しなければなりません。
数式で考えると、持ち上げ量を \(h\) として、隙間は \(d’ = \frac{r^2}{2R} + h\) となります。
条件式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
2\left(\frac{r^2}{2R} + h\right) &= m\lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉条件式
$$
\begin{aligned}
\frac{r^2}{R} + 2h &= m\lambda \\[2.0ex]
\frac{r^2}{R} &= m\lambda – 2h
\end{aligned}
$$
右辺の \(2h\)（正の値）を引くため、\(r^2\) の値は小さくなります。
したがって、\(r\) は減ります。
「隙間がちょうど \(1\,\mu\text{m}\) の場所にリングができる」と想像してください。
レンズ全体を持ち上げると、今まで \(1\,\mu\text{m}\) だった場所は \(1.1\,\mu\text{m}\) のように広くなってしまいます。
再び \(1\,\mu\text{m}\) の隙間を探すには、もっと狭い場所、つまりレンズの中心方向へ移動する必要があります。
だから、リングは内側へ縮んでいくように見えます。
暗環の半径 \(r\) は減ります。
逆にレンズを押し付けるとリングは外へ広がります。
Q (色によるリングの順序)
思考の道筋とポイント
光の色（波長 \(\lambda\)）とリングの半径 \(r\) の関係を考察します。
可視光の波長の大小関係（赤 \(>\) 黄 \(>\) 青）が鍵となります。
この設問における重要なポイント
- 波長の大小: 赤（約 \(700\,\text{nm}\)） \(>\) 黄（約 \(580\,\text{nm}\)） \(>\) 青（約 \(450\,\text{nm}\)）。
- 半径と波長の関係: \(r = \sqrt{m\lambda R}\) より、\(r \propto \sqrt{\lambda}\)。
具体的な解説と立式
(2)の条件式 \(r^2 = m\lambda R\) より、次数 \(m\) が同じであれば、半径 \(r\) は波長 \(\lambda\) の平方根に比例します。
$$
\begin{aligned}
r &= \sqrt{mR} \cdot \sqrt{\lambda}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 干渉条件式: \(r^2 = m\lambda R\)
波長 \(\lambda\) が小さい光ほど、リングの半径 \(r\) は小さく（内側に）なります。
波長の順序は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\lambda_{\text{青}} &< \lambda_{\text{黄}} < \lambda_{\text{赤}}
\end{aligned}
$$
よって、リングが現れる順序（内側から順に）は、青色、黄色、赤色となります。
リングの大きさは光の波長で決まります。
波長の短い青い光は小さなリングを作り、波長の長い赤い光は大きなリングを作ります。
中心から見ると、まず青いリング、次に黄色、一番外側に赤いリングが見えます。
青色、黄色、赤色の順。
虹と同じ並び順（内側が紫/青）になることとも整合します。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 光の干渉と位相変化
- 核心: 2つの光の経路差と、反射による位相のずれ（\(\pi\)）の組み合わせが、明暗の条件を決定します。
- 理解のポイント:
- 固定端反射: 屈折率小 \(\to\) 大の反射で位相が \(\pi\) ずれる。
- 自由端反射: 屈折率大 \(\to\) 小の反射で位相はずれない。
- 条件の反転: 位相差 \(\pi\) があるため、経路差が波長の整数倍で「弱め合い（暗）」になる。
- 幾何学的近似（球面と平面の隙間）
- 核心: 球面の一部を放物線（2次関数）として近似することで、隙間 \(d\) と半径 \(r\) の単純な関係式を導きます。
- 理解のポイント:
- 近似式: \(d \approx \frac{r^2}{2R}\) （\(d \ll R\) のとき）。
- 導出法: 三平方の定理または方べきの定理から導かれる。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- くさび形空気層: 2枚の平面ガラスを片側だけ挟んで傾けた場合。\(d\) が位置 \(x\) に比例するため、干渉縞は等間隔の直線になります。
- 薄膜干渉: シャボン玉や油膜など。膜の厚さが一定でない場合や、見る角度によって色が変わる現象も、基本原理（経路差と位相差）は同じです。
- マイケルソン干渉計: 鏡を動かして経路差を変える装置。ニュートンリングのレンズを持ち上げる操作と本質的に同じです。
- 初見の問題での着眼点:
- 反射の回数と種類を確認: 「屈折率の大小関係」を見て、固定端反射が何回起こるか（位相が \(\pi\) ずれる回数が奇数か偶数か）をチェックします。
- 経路差の幾何学的計算: 図形的に経路差（往復 \(2d\) など）を求め、近似が必要なら適用します。
- 媒質の変化: 間に液体が入った場合、光路長（\(nd\)）を使うか、波長（\(\lambda/n\)）を使うかを決めて式を修正します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 明暗条件の取り違え:
- 誤解: 「整数倍なら強め合い（明）」と機械的に覚えてしまい、反射による位相のずれを忘れる。
- 対策: 必ず「固定端反射の回数」を数え、奇数回なら条件が逆転すると意識する習慣をつける。
- 単位換算のミス:
- 誤解: グラフの軸の単位（\(\text{mm}^2\)）を見落とし、そのまま \(\text{m}^2\) として計算してしまう。
- 対策: グラフの軸ラベルを指差し確認し、必ずSI単位系（\(\text{m}\)）に直してから計算式に代入する。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 方べきの定理（別解）:
- 選定理由: 三平方の定理を使うよりも式変形が少なく、近似計算のステップも単純化できるため、計算ミスを減らせる。
- 適用根拠: レンズの断面が円の一部であり、隙間 \(d\) が弦の一部とみなせる幾何学的配置であるため。
- 波動関数による導出（別解）:
- 選定理由: 「なぜ整数倍で暗くなるのか」という根本的な疑問に対し、数式（三角関数の合成）で厳密な答えを出せるため。
- 適用根拠: 光を正弦波として近似できる状況（単色光、コヒーレント光）であれば、常に成立する普遍的な原理であるため。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- グラフの傾きの読み取り:
- 意識: 1点だけで計算せず、原点を通ることを確認し、できるだけ遠くの点（原点から離れた点）を使って精度を高める。
- 実践: 格子点（グリッドの交点）に乗っている点を慎重に選び、読み取り値の座標 \((x, y)\) を余白に書き出してから傾き \(\frac{y}{x}\) を計算する。
- 次数の確認（ディメンションチェック）:
- 意識: 最終的な答えの単位が正しいか確認する。
- 実践: \(R = \frac{r^2}{m\lambda}\) なら、単位は \([\text{L}]^2 / [\text{L}] = [\text{L}]\) （メートル）となり正しい。もし \(\lambda\) が分母になかったら次元が合わないと気づく。
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問題5 光の干渉 (立命館大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)〜(3)の別解: 波動関数を用いた体系的解法（微積分・複素数）
- 「経路差」や「反射の位相ずれ」を公式として暗記するのではなく、光を波動関数（正弦波）として記述し、その重ね合わせ（合成）から干渉条件を数学的に導出します。
- 設問(4)の別解: 幾何学的考察（等光路差の原理）を用いた解法
- 模範解答が数式（\(x_m\) と \(x’_m\) の差）からズレ \(b\) を計算するのに対し、別解では「図形的な相似関係」を利用して、計算なしで直感的に \(t\) と \(b\) の関係を導きます。
- 設問(1)〜(3)の別解: 波動関数を用いた体系的解法（微積分・複素数）
- 上記の別解が有益である理由
- 波動関数の解法: 干渉現象の本質である「波の重ね合わせ」を数式で可視化でき、位相差の起源を深く理解できます。
- 幾何学的解法: 複雑な計算を回避し、現象の物理的な意味（厚さ \(t\) がズレ \(b\) に変換される仕組み）を視覚的に捉えることができます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「くさび形空気層による光の干渉」です。
微小な傾角を持つ2枚のガラス板の間にできる空気層で光が干渉し、等間隔の縞模様（干渉縞）ができる現象を扱います。さらに、薄膜による段差が干渉縞にどのようなズレを生じさせるかを考察します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光の干渉: 経路差によって生じる位相差が、強め合い・弱め合いを決定します。
- 反射の位相変化: 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ反射する場合（固定端反射）、位相が \(\pi\) ずれます。
- 幾何学的関係: くさび形の隙間 \(d\) は、頂点からの距離 \(x\) に比例します（\(d = x \tan \theta\)）。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、経路差と反射の位相変化を考慮して、暗線（弱め合い）の条件式を立てます。
- (2)(3)では、A側（薄膜なし）とB側（薄膜あり）それぞれの幾何学的条件から、暗線の位置 \(x, x’\) を求めます。
- (4)では、縞の間隔 \(a\) とズレ \(b\) の関係式から、薄膜の厚さ \(t\) を導出します。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
市販の解説では省略されてしまう「行間の思考」を、泥臭く解説しています。
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