問題4 (東京医歯大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、ニュートンリングと呼ばれる光の干渉現象に関するものです。平凸レンズと平面ガラスの間にできる薄い空気層（またはアルコール層）での光の干渉によって、明暗の同心円状の縞模様が観察されます。
- 光源: 単色平行光、波長 \(\lambda = 5.9 \times 10^{-7} \text{ [m]}\) (ナトリウムランプ)
- 装置: 平凸レンズA（球面半径 \(R\)）、平面ガラス板B
- 観測方法: 上方から照らし、上から眺める。
- 実験データ:
- 空気中: 暗環の番号 \(m\) と \(r^2\) の関係 (図2の○点)
- アルコール中: 暗環の番号 \(m\) と \(r^2\) の関係 (図2の×点)
- 近似: \(d\) は小さく、\(d^2\) は無視できる。
- (1) 空気層の厚さ \(d\) を \(r\) と \(R\) で表す式。
- (2) 空気中での暗環の条件式。
- (3) ニュートンリング中心部の明暗。
- (4) 平凸レンズの球面半径 \(R\)。
- (5) アルコールの屈折率 \(n\)。
- (6) レンズをガラス板から離したときの暗環の半径の変化。
- (コラムQ) 異なる色の光を用いた場合のリングの現れる順序。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 問(4) 球面半径Rの別解: グラフ上の1点の座標を直接代入する解法
- 主たる解法がグラフ全体の傾きを利用するのに対し、別解ではグラフ上の特定の1点の座標（\(m, r^2\)）を暗環の条件式に直接代入してRを計算します。
- 問(5) アルコールの屈折率の別解1: 波長の変化に着目する解法
- 主たる解法が光路長の変化で考えるのに対し、別解では媒質中での波長の変化として捉え、同じ結論を導きます。
- 問(5) アルコールの屈折率の別解2: グラフ上の1点の座標を直接代入する解法
- 主たる解法がグラフの傾きの比を利用するのに対し、別解ではアルコール中の特定の1点の座標を条件式に代入してnを計算します。
- 問(6) レンズを離したときの影響の別解: 中心部の干渉条件の変化から考察する解法
- 主たる解法が特定の次数の暗環を追跡するのに対し、別解ではレンズを離したときに中心部(\(r=0\))の干渉条件がどう変化し、暗環がどのように生成・消滅するかという動的な視点から考察します。
- 問(4) 球面半径Rの別解: グラフ上の1点の座標を直接代入する解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理モデルの深化: 「光路長」と「媒質中での波長」が等価な概念であることや、干渉縞が「生成・消滅」するという動的な描像を得ることで、現象への理解が深まります。
- 計算手法の多様性: グラフ全体の傾向（傾き）から物理量を求める方法と、特定のデータ点から計算する方法の両方を学ぶことで、実験データの扱い方に対する理解が深まります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「光の干渉」、特に「薄膜による干渉」の一例である「ニュートンリング」です。平凸レンズと平面ガラスの間にできる薄い空気層（またはアルコール層）での光の干渉によって、明暗の同心円状の縞模様が観察されます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光路差: 干渉を考える上で最も重要な量で、二つの光がたどる経路の長さの差に屈折率をかけたものです。
- 反射による位相の変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射するとき、位相が変化（\(\pi\) ずれる、または変化しない）することがあります。
- 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射して反射する際、位相は \(\pi\) ずれます。
- 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ入射して反射する際、位相はずれません。
- 干渉条件:
- 強め合い（明るい）: 位相をそろえた光どうしの場合、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\)。一方の位相が\(\pi\)ずれている場合は、光路差が半波長の奇数倍 \((m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)。
- 弱め合い（暗い）: 位相をそろえた光どうしの場合、光路差が半波長の奇数倍 \((m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)。一方の位相が\(\pi\)ずれている場合は、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\)。
- 幾何学的関係: レンズの曲率と空気層の厚さの関係を求めるために、三平方の定理（またはその近似）を利用します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、レンズとガラス板の間の空気層の厚さ \(d\) を、レンズの中心からの距離 \(r\) とレンズの球面半径 \(R\) を用いて表します。
- 次に、空気層の上面（レンズ下面）で反射する光と、空気層の下面（ガラス板上面）で反射する光の干渉を考えます。それぞれの反射における位相の変化を確認し、光路差を計算して、暗環（弱め合い）の条件式を導きます。
- 中心部 (\(r=0\)) の明暗は、(2)で導いた条件式に \(r=0\) (すなわち \(d=0\)) を代入することで判断できます。
- 実験データ（図2のグラフ）は、(2)で導いた暗環の条件式が \(r^2\) と \(m\) の比例関係にあることを示しています。このグラフの傾きを利用して、レンズの球面半径 \(R\) を求めます。
- 同様に、アルコール中に装置全体を入れた場合の干渉条件を考えます。この新しい条件式と図2のグラフ（×印）を用いて、アルコールの屈折率 \(n\) を求めます。
- レンズをガラス板から少しずつ離すと、空気層の厚さが全体的に増加します。このとき、特定の次数 \(m\) の暗環がどのように変化するかを、干渉条件と空気層の厚さの関係から考察します。
問(1)
思考の道筋とポイント
平凸レンズの球面の一部が平面ガラスに接している状況を考えます。レンズの中心Oから距離\(r\)の位置での、レンズ下面とガラス板上面との間の隙間の厚さ \(d\) を求める問題です。
レンズの球面半径を\(R\)とすると、レンズ下面の曲率中心、レンズ下面上の点（中心Oから水平距離\(r\)、鉛直距離\(d\)の位置）、そして球面半径\(R\)を結びつける幾何学的関係を見つけ出すことが目標です。ここでは、三平方の定理を利用します。
問題文に「\(d\)は小さいので\(d^2\) は無視してよい」という重要なヒントがあります。これを使うことで、式が簡単になります。
この設問における重要なポイント
- レンズの球面の幾何学的形状を正しく捉える。
- 三平方の定理を適用できる直角三角形を見つける。
- \(d^2 \approx 0\) の近似を適切に用いる。
具体的な解説と立式
図1を参照し、平凸レンズAの球面部分の曲率中心をCとします。レンズが平面ガラスBに接している点Oを通る鉛直線上にCがあると考えることができます。
中心Oから水平方向に距離\(r\)だけ離れたレンズ下面上の点をPとし、この点でのレンズ下面とガラス板Bの間の間隔を\(d\)とします。
点PからCOに下ろした垂線の足をQとすると、OQ = \(d\) です。
直角三角形CQPにおいて、三平方の定理を適用します。
斜辺CPはレンズの球面半径\(R\)に等しいです。
CQの長さは \(R-d\) となります。
QPの長さは \(r\)に等しいです。
したがって、三平方の定理より、
$$
\begin{aligned}
CP^2 &= CQ^2 + QP^2 \\[2.0ex]
R^2 &= (R-d)^2 + r^2
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 三平方の定理: \(a^2 + b^2 = c^2\)
- 近似: \(d^2 \approx 0\) （\(d\) が \(r\) や \(R\) に比べて十分に小さい場合）
$$
\begin{aligned}
R^2 &= R^2 – 2Rd + d^2 + r^2
\end{aligned}
$$
両辺から \(R^2\) を引くと、
$$
\begin{aligned}
0 &= -2Rd + d^2 + r^2
\end{aligned}
$$
ここで、\(d^2\) は無視できるという条件を用います (\(d^2 \approx 0\))。
$$
\begin{aligned}
0 &\approx -2Rd + r^2
\end{aligned}
$$
\(2Rd\) を左辺に移項すると、
$$
\begin{aligned}
2Rd &\approx r^2
\end{aligned}
$$
両辺を \(2R\) で割ると（\(R \neq 0\)）、
$$
\begin{aligned}
d &\approx \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
レンズの丸みを帯びた部分とガラス板の間のわずかな隙間の厚さ \(d\) を求めます。レンズの丸みは大きな円の一部と考えることができ、この円の半径が \(R\) です。幾何学的な関係（ピタゴラスの定理）を使うと、\(R^2 = (R-d)^2 + r^2\) という式が得られます。ここで、\(d\) はとても小さいので、\(d\) を2乗した \(d^2\) はほぼ0として無視してしまいます。そうすると、式が簡単になり、\(2Rd = r^2\) という形になります。これを \(d\) について解くと、\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) となります。
\(r\)の位置でのAB間の間隔\(d\)は、\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) と表されます。この結果は、\(r=0\) のとき \(d=0\) となり、中心ではレンズとガラスが接している状況と一致します。物理的に妥当な結果と言えます。
問(2)
思考の道筋とポイント
ニュートンリングは、レンズAの下面で反射する光と、ガラス板Bの上面で反射する光との干渉によって生じます。これらの光が弱め合って暗環ができる条件を考えます。ポイントは、光路差の計算と、反射による位相の変化です。
1. 光路差: 空気層を往復するので \(2d\) となります。
2. 位相の変化: レンズAの下面での反射は、屈折率が大きい媒質から小さい媒質への境界で起こるため、位相は変化しません。ガラス板Bの上面での反射は、屈折率が小さい媒質から大きい媒質への境界で起こるため、位相は \(\pi\) ずれます。
この2つの反射光のうち、一方のみ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\) のときに弱め合います（暗環）。
この設問における重要なポイント
- 干渉する2つの光の経路を特定する。
- 光路差を正しく計算する（往復を考慮）。
- 反射における位相変化の有無を、屈折率の大小関係から判断する。
- 位相変化を考慮した弱め合い（暗環）の条件式を立てる。
具体的な解説と立式
上方から入射した光は、一部がレンズAの下面で反射し（光1）、残りは透過して空気層を通過し、平面ガラスBの上面で反射します（光2）。
- 光路差: 光2は空気層の厚さ \(d\) の部分を往復するため、光1に対する光路差は \(2d\) です。
- 反射による位相変化: 光1（レンズ下面での反射）は位相変化なし。光2（ガラス板上面での反射）は位相が \(\pi\) ずれる。
一方のみ位相が \(\pi\) ずれるため、弱め合って暗環ができる条件は、光路差が波長の整数倍になるときです。
$$
\begin{aligned}
2d &= m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)
\end{aligned}
$$
(1)で求めた \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
2 \left(\frac{r^2}{2R}\right) &= m\lambda
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 光路差: \(2d\)
- 反射による位相変化
- 弱め合いの条件（一方の反射で位相が \(\pi\) ずれる場合）: \((\text{光路差}) = m\lambda\)
$$
\begin{aligned}
2 \cdot \frac{r^2}{2R} &= m\lambda
\end{aligned}
$$
左辺の2が約分されて、
$$
\begin{aligned}
\frac{r^2}{R} &= m\lambda
\end{aligned}
$$
レンズの下面で反射する光と、ガラス板の上面で反射する光が干渉します。ガラス板の上面で反射するときだけ、光の位相がひっくり返ります。この2つの光の経路の長さの差（光路差）は、空気層の厚さ \(d\) の2倍、つまり \(2d\) です。一方の光だけ位相がひっくり返っているので、2つの光が打ち消しあって暗くなるのは、光路差 \(2d\) が光の波長 \(\lambda\) のちょうど整数倍 (\(0\lambda, 1\lambda, 2\lambda, \dots\)) になるときです。つまり \(2d = m\lambda\)。(1)で \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) と分かったので、これを代入すると \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) となります。
\(r\)の位置で暗環ができるための条件式は \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) です。この式は、暗環の半径の2乗 \(r^2\) が、干渉の次数 \(m\) に比例することを示しており、図2のグラフと整合しています。
問(3)
思考の道筋とポイント
ニュートンリングの中心部 (\(r=0\)) が明るいか暗いかを判断します。中心部では、レンズAとガラス板Bが接しているので、空気層の厚さ \(d=0\) です。このときの干渉条件を考えます。
この設問における重要なポイント
- 中心部では \(r=0\) であり、したがって \(d=0\) である。
- \(d=0\) のときの光路差と位相変化を考慮して干渉条件を判断する。
具体的な解説と立式
中心部では \(r=0\) です。(1)の結果 \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) から、\(r=0\) のとき \(d=0\) となります。
このとき、光路差は \(2d = 0\) です。
しかし、問(2)で確認したように、ガラス板上面での反射では位相が \(\pi\) ずれますが、レンズ下面での反射では位相は変化しません。
したがって、光路差が0であっても、一方の光の位相が \(\pi\) ずれているため、2つの光は逆位相で重なり合い、弱め合います。
よって、中心部は暗くなります。
中心 \(r=0\) では \(d=0\)。光路差 \(2d = 0\)。
レンズ下面での反射：位相変化なし。
ガラス板上面での反射：位相 \(\pi\) ずれる。
光路差0で一方の位相が \(\pi\) ずれているので、干渉の結果は弱め合い（暗）。
または、暗環の条件 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) で \(m=0\) とすると \(r=0\)。これは中心が \(m=0\) の暗環であることを示す。
リングの中心では、レンズとガラス板がくっついているので、隙間の厚さ \(d\) は0です。光の進む距離の差（光路差）も0になります。しかし、ガラス板で反射する方の光だけ位相がひっくり返るので、たとえ光路差が0でも、2つの光は打ち消しあってしまいます。したがって、中心は暗くなります。
ニュートンリングの中心部は暗い。これは、接触点 (\(d=0\)) であっても、反射による位相のずれにより弱め合いが生じるためです。実験的にもよく知られた事実です。
問(4)
思考の道筋とポイント
平凸レンズの球面半径 \(R\) を求めます。問(2)で導いた暗環の条件式 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) と、図2の実験データ（○点: 空気中）を用います。条件式を変形すると \(r^2 = (\lambda R)m\) となり、\(r^2\) は \(m\) に比例することがわかります。比例定数は \(\lambda R\) です。図2のグラフは、横軸が \(m\)、縦軸が \(r^2\) であり、原点を通る直線になっています。この直線の傾きが \(\lambda R\) に相当します。
この設問における重要なポイント
- 暗環の条件式 \(r^2 = (\lambda R)m\) とグラフの関係を理解する。
- グラフの傾きが \(\lambda R\) を表すことを見抜く。
- グラフから傾きを読み取る際、できるだけ離れた2点を選ぶなどして精度を高める。
- 単位の換算（特に \(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) であることに注意）を正しく行う。
具体的な解説と立式
暗環の条件式は、\(r^2 = (\lambda R) m\)。
この式は、\(r^2\) が \(m\) に比例し、その比例定数（グラフの傾き）が \(\lambda R\) であることを示しています。
図2のグラフ（○点）から、空気中の場合の傾きを読み取ります。点 \((m=12, r^2=58 \text{ mm}^2)\) を使うと、
傾き \(k_1\) は、
$$
\begin{aligned}
k_1 &= \frac{58 \text{ mm}^2 – 0}{12 – 0} = \frac{58}{12} \text{ mm}^2
\end{aligned}
$$
この傾きが \(\lambda R\) に等しいので、
$$
\begin{aligned}
\lambda R &= \frac{58}{12} \text{ mm}^2
\end{aligned}
$$
単位を合わせるために \(\text{mm}^2\) を \(\text{m}^2\) に変換します。\(1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)。
$$
\begin{aligned}
\lambda R &= \frac{58}{12} \times 10^{-6} \text{ m}^2
\end{aligned}
$$
この式から \(R\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{1}{\lambda} \left( \frac{58}{12} \times 10^{-6} \right)
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 暗環の条件: \(r^2 = (\lambda R) m\)
- グラフの傾きの利用
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{1}{5.9 \times 10^{-7} \text{ m}} \left( \frac{58}{12} \times 10^{-6} \text{ m}^2 \right) \\[2.0ex]
&= \frac{58 \times 10^{-6}}{12 \times 5.9 \times 10^{-7}} \text{ m} \\[2.0ex]
&= \frac{580}{12 \times 5.9} \text{ m} \\[2.0ex]
&\approx 8.19 \dots \text{ m}
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮すると、\(R \approx 8.2 \text{ [m]}\)。
(2)で求めた暗い輪っかの条件 \(r^2 = (\lambda R)m\) は、\(r^2\) が \(m\) に比例することを示しています。比例定数は \(\lambda \times R\) です。図2のグラフの傾きが \(\lambda \times R\) になります。グラフから傾きを読み取り、光の波長 \(\lambda\) はわかっているので、これらを使って \(R\) を計算します。ただし、\(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) なので、\(\text{m}^2\) に直すのを忘れないようにしましょう。計算すると、\(R\) は約 \(8.2 \text{ m}\) となります。
この実験に用いた平凸レンズの球面半径 \(R\) は約 \(8.2 \text{ [m]}\) です。問題文に「球面半径の大きい平凸レンズ」とある通り、妥当な大きさと言えます。
思考の道筋とポイント
グラフの傾きを計算する代わりに、読み取った特定のデータ点（\(m\) と \(r^2\) の組）を暗環の条件式 \(r^2 = (\lambda R)m\) に直接代入して \(R\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 暗環の条件式に、具体的な \(m\) と \(r^2\) の値を代入する。
- 単位換算を忘れずに行う。
具体的な解説と立式
暗環の条件式 \(r^2 = \lambda R m\) に、グラフから読み取った点 \((m, r^2) = (12, 58 \text{ mm}^2)\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
58 \text{ mm}^2 &= \lambda \times R \times 12
\end{aligned}
$$
単位をmに統一します。\(58 \text{ mm}^2 = 58 \times 10^{-6} \text{ m}^2\)。
$$
\begin{aligned}
58 \times 10^{-6} &= (5.9 \times 10^{-7}) \times R \times 12
\end{aligned}
$$
この式を \(R\) について解きます。
使用した物理公式
- 暗環の条件: \(r^2 = (\lambda R) m\)
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{58 \times 10^{-6}}{5.9 \times 10^{-7} \times 12} \\[2.0ex]
&= \frac{580}{5.9 \times 12} \\[2.0ex]
&\approx 8.19 \dots \text{ m}
\end{aligned}
$$
結果は主たる解法と完全に一致します。
グラフの傾きを考える代わりに、グラフ上の読みやすい一点、例えば「12番目の暗い輪のとき、半径の2乗は58 mm\(^2\)」というデータを、(2)で立てた式に直接当てはめて \(R\) を計算することもできます。結果は同じになります。
特定のデータ点を用いても、同じく \(R \approx 8.2 \text{ [m]}\) という結果が得られます。
問(5)
思考の道筋とポイント
装置全体をアルコール液（屈折率 \(n\)）の中に入れた場合の、アルコールの屈折率 \(n\) を求めます。アルコール中では光路長が \(n \times 2d\) となります。反射による位相変化の条件は空気中と同じと仮定すると、暗環の条件は \(n \cdot 2d = m\lambda\) となります。この新しい条件式と図2の実験データ（×点）のグラフの傾きを利用して \(n\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- アルコール中での光路長の変化を正しく考慮する。
- 反射による位相変化の条件が空気中と変わらないか確認する。
- アルコール中での暗環の条件式を立て、グラフの傾きと比較する。
- (4)で求めた \(\lambda R\) の値を利用する。
具体的な解説と立式
アルコール（屈折率 \(n\)）中で干渉を考えます。
アルコール中での光路差は \(n \cdot 2d\) です。
暗環の条件は、
$$
\begin{aligned}
n \cdot 2d &= m\lambda
\end{aligned}
$$
\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
n \frac{r^2}{R} &= m\lambda
\end{aligned}
$$
これを \(r^2\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
r^2 &= \left(\frac{\lambda R}{n}\right) m
\end{aligned}
$$
この式は、アルコール中ではグラフの傾きが \(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\) になることを示しています。
使用した物理公式
- アルコール中の暗環の条件: \(r^2 = \left(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\right) m\)
- 光路長: (屈折率) × (幾何学的距離)
アルコール中のグラフ（×点）の傾きを \(k_2\) とすると、\(k_2 = \displaystyle\frac{\lambda R}{n}\)。
グラフより、点 \((m, r^2) = (14, 50 \text{ mm}^2)\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
k_2 &= \frac{50 \text{ mm}^2}{14} = \frac{25}{7} \text{ mm}^2
\end{aligned}
$$
空気中のグラフの傾きは、(4) より \(k_1 = \lambda R = \displaystyle\frac{58}{12} \text{ mm}^2 = \frac{29}{6} \text{ mm}^2\)。
したがって、\(\frac{k_1}{n} = k_2\)。これを \(n\) について解くと、
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{k_1}{k_2} = \frac{29/6}{25/7} = \frac{29 \times 7}{6 \times 25} = \frac{203}{150} \approx 1.353 \dots
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮して2桁で答えると、\(n \approx 1.4\)。
アルコールの中に装置を入れると、光はアルコールの中を進むため、光路長が長くなります。暗い輪っかの条件式が少し変わり、\(r^2 = \left(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\right) m\) となります。ここで \(n\) がアルコールの屈折率です。つまり、グラフの傾きが \(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\) に変わります。空気中での傾きは \(\lambda R\) でした。図2の×印のグラフからアルコール中での傾きを読み取り、空気中の傾きと比較することで、屈折率 \(n\) が求まります。計算すると、\(n\) は約 \(1.4\) となります。
このアルコールの屈折率 \(n\) は約 \(1.4\) です。水の屈折率が約1.33であることを考えると、この値は物理的に妥当な値です。
思考の道筋とポイント
アルコール中では光の波長が \(\lambda’ = \lambda/n\) となります。光路差は幾何学的な距離 \(2d\) のままですが、用いる波長が \(\lambda/n\) に変わります。
この設問における重要なポイント
- 媒質中では波長が \(1/n\) 倍になる。
- 幾何学的経路差 \(2d\) と媒質中の波長 \(\lambda’\) で干渉条件を立てる。
具体的な解説と立式
アルコール中での光の波長は \(\lambda’ = \displaystyle\frac{\lambda}{n}\) となります。
暗環の条件は、
$$
\begin{aligned}
2d &= m\lambda’ = m \frac{\lambda}{n}
\end{aligned}
$$
\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{r^2}{R} &= m \frac{\lambda}{n}
\end{aligned}
$$
これを \(r^2\) について解くと、\(r^2 = \left(\frac{\lambda R}{n}\right) m\) となり、主たる解法と同じ結果が得られます。
使用した物理公式
- 媒質中の波長: \(\lambda_{\text{媒質中}} = \lambda_{\text{真空中}}/n\)
主たる解法と同様の計算により、\(n \approx 1.4\) が得られます。
アルコールの中では光の波長が \(n\) 分の1に縮む、と考えることもできます。暗い輪っかの条件式で、波長 \(\lambda\) の部分を \(\lambda/n\) に置き換えて計算します。この方法でも、主たる解法と全く同じ結果が得られます。
波長の変化で考えても、光路長の変化で考えても、同じ結論に至ります。
思考の道筋とポイント
アルコール中の暗環の条件式 \(n \frac{r^2}{R} = m\lambda\) に、グラフ（×点）から読み取った特定のデータ点と、(4)で求めたRの値を代入してnを求めます。
この設問における重要なポイント
- アルコール中の暗環の条件式に、具体的な \(m\) と \(r^2\) の値を代入する。
- (4)で求めた \(R\) の値を利用する。
具体的な解説と立式
アルコール中の暗環の条件式 \(n \frac{r^2}{R} = m\lambda\) に、グラフから読み取った点 \((m, r^2) = (14, 50 \text{ mm}^2)\) と、\(\lambda, R\) の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
n \times \frac{50 \times 10^{-6}}{8.2} &= 14 \times (5.9 \times 10^{-7})
\end{aligned}
$$
この式を \(n\) について解きます。
使用した物理公式
- アルコール中の暗環の条件: \(n \frac{r^2}{R} = m\lambda\)
$$
\begin{aligned}
n &= \frac{14 \times 5.9 \times 10^{-7} \times 8.2}{50 \times 10^{-6}} \\[2.0ex]
&= \frac{14 \times 5.9 \times 8.2}{500} \\[2.0ex]
&\approx 1.35
\end{aligned}
$$
有効数字を考慮すると \(n \approx 1.4\) となり、主たる解法と一致します。
(4)の別解と同じように、グラフの傾きではなく、アルコール中のデータ（×印）から読みやすい一点、例えば「14番目の暗い輪のとき、半径の2乗は50 mm\(^2\)」というデータを、アルコール中での条件式に直接当てはめて \(n\) を計算することもできます。
特定のデータ点を用いても、同じく \(n \approx 1.4\) という結果が得られます。
問(6)
思考の道筋とポイント
平凸レンズAを板ガラスBから少しずつ上へ離していくと、暗環の半径\(r\)がどうなるかを考えます。レンズを離すということは、中心部 (\(r=0\)) での空気層の厚さ \(d_0\) が0でなくなるということです。中心からの距離 \(r\) の位置での空気層の全体の厚さ \(d_{\text{全体}} = d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) となります。\(m\) が一定の特定の暗環に着目したとき、\(d_0\) が増加すると \(r\) がどうなるかを考えます。
この設問における重要なポイント
- レンズを離すことの意味を、空気層の厚さの変化として捉える。
- 特定の次数 \(m\) の暗環（つまり、光路差が \(m\lambda\) となる場所）がどう移動するかを考える。
具体的な解説と立式
レンズAをガラス板Bから距離 \(d_0\) だけ持ち上げたとします。
このとき、中心Oからの距離が \(r\) の位置における空気層の厚さは、
$$
\begin{aligned}
d'(r) &= d_0 + \frac{r^2}{2R}
\end{aligned}
$$
空気中での暗環の条件は、
$$
\begin{aligned}
2 d'(r) &= m\lambda \\[2.0ex]
2 \left(d_0 + \frac{r^2}{2R}\right) &= m\lambda
\end{aligned}
$$
ここで、ある特定の次数 \(m\) の暗環について考えます。\(d_0\) が徐々に増加すると、右辺の \(m\lambda\) は一定なので、左辺の \(\displaystyle\frac{r^2}{R}\) は小さくならなければなりません。したがって、\(r\) が小さくなる必要があります。
\(2 \left(d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda\) より、\(m, \lambda, R\) が一定のとき、\(d_0\) が増加すると、等式を保つためには \(r^2\) が減少しなければなりません。つまり \(r\) が減少します。
暗い輪っか（暗環）は、特定の厚さの空気の層がある場所にできます。レンズをガラス板から少し持ち上げると、全体の空気層が厚くなります。そうすると、以前と同じ厚さの空気層（つまり同じ番号の暗環ができる場所）は、レンズの中心にもっと近いところ（半径が小さいところ）に移動します。イメージとしては、レンズを持ち上げると、輪っかが中心に向かって吸い込まれていくように見えます。だから、暗環の半径は減ります。
平凸レンズAを板ガラスBから少しずつ上へ離していくと、暗環の半径\(r\)は減少します。
思考の道筋とポイント
レンズを離したときの中心部(\(r=0\))の干渉条件の変化に着目します。レンズが接触しているときは中心部は暗い(\(m=0\))ですが、レンズを離すと中心部の空気層の厚さ\(d_0\)が0より大きくなります。この\(d_0\)が増加するにつれて、中心部が暗くなったり明るくなったりする条件が変化し、それに応じて暗環がどのように振る舞うかを考察します。
この設問における重要なポイント
- レンズを離すと中心部の光路差が0でなくなる。
- 中心部の明暗の変化が、リング全体の動的な振る舞いを反映する。
具体的な解説と立式
レンズを\(d_0\)だけ離すと、中心部(\(r=0\))での光路差は\(2d_0\)になります。
\(d_0\)が0から増加していくと、光路差\(2d_0\)も0から増加します。
暗環の条件は光路差が\(m\lambda\) (m=0, 1, 2, …)、明環の条件は\((m+1/2)\lambda\)です。
- \(d_0=0\)のとき、光路差0で\(m=0\)の暗点。
- \(d_0\)が増加し、光路差\(2d_0\)が\(\lambda/2\)になると、中心は\(m=0\)の明点になります。
- さらに\(d_0\)が増加し、光路差\(2d_0\)が\(\lambda\)になると、中心は\(m=1\)の暗点になります。
このとき、もともと半径\(r_1\)の位置にあった\(m=1\)の暗環は、中心に到達して消滅したことになります。
このように、レンズを離していくと、外側にあった暗環が中心に向かって移動し、次々と消えていくように見えます。したがって、特定の次数\(m\)の暗環の半径は減少します。
使用した物理公式
- 干渉条件（明暗）
（定性的な考察のため、計算過程は省略）
レンズをゆっくり持ち上げていく様子を想像してみましょう。最初は中心が暗いですが、少し持ち上げると中心が明るくなり、さらに持ち上げるとまた暗くなります。中心が再び暗くなった瞬間、それは「1番目の暗い輪っかが中心にやってきて消えた」ことを意味します。このように、外側にあった輪っかが中心に向かって吸い込まれて消えていくように見えるので、輪っかの半径は減っていきます。
この動的な視点からも、暗環の半径は減少するという同じ結論が得られます。
【コラム】Q. 図1で、赤色、青色、黄色の光を同時に上方から当てると、同じ次数のリングは中心Oからどのような順で現れるか。
思考の道筋とポイント
異なる色の光（つまり異なる波長の光）を用いた場合、同じ次数の干渉リングがどの位置に現れるかを問うています。可視光の波長の大小関係は、一般に \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\) です。暗環の条件式 \(r^2 = (\lambda R)m\) から、同じ次数 \(m\) の暗環の半径の2乗 \(r^2\) は、波長 \(\lambda\) に比例することがわかります。
この設問における重要なポイント
- 暗環の条件式における半径 \(r\) と波長 \(\lambda\) の関係を把握する。
- 可視光の色の波長の大小関係を知っていること。
具体的な解説と立式
暗環の条件式は、
$$
\begin{aligned}
r^2 &= R m\lambda
\end{aligned}
$$
ここで、\(R\) は一定、\(m\) は同じ次数で比較するので一定です。
したがって、\(r^2\) は \(\lambda\) に比例し、\(r\) は \(\sqrt{\lambda}\) に比例します。
つまり、波長 \(\lambda\) が大きいほど、同じ次数 \(m\) の暗環の半径 \(r\) は大きくなります。
可視光の一般的な波長の大小関係は、\(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\) となります。
したがって、同じ次数の暗環の半径は、\(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\) となります。
つまり、中心Oから外側に向かって、青色、黄色、赤色の順で同じ次数のリングが現れます。
使用した物理公式
- 暗線の条件: \(r^2 = R m \lambda\)
- 可視光の波長の大小関係
暗線の条件式: \(r^2 = R m\lambda\)。
\(m\) が一定のとき、\(r \propto \sqrt{\lambda}\)。
波長の大小関係: \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\)。
したがって、半径の大小関係: \(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\)。
中心Oから近い順（半径が小さい順）に並べると、青色、黄色、赤色となります。
暗い輪っかができる場所の半径 \(r\) は、光の波長 \(\lambda\) が大きいほど大きくなります。光の色と波長の関係は、赤がいちばん波長が長く、次に黄色、そして青が短いです。なので、同じ番号の輪っかでも、赤色の光で作られた輪っかが一番外側（半径が大きい）にでき、次に黄色、そして青色の輪っかが一番内側（半径が小さい）にできます。中心から見ると、青、黄、赤の順番で輪っかが見えることになります。
同じ次数のリングは、中心Oから半径が小さい順に、青色、黄色、赤色の順で現れます。これは、波長が短い光ほど干渉の条件を満たす半径が小さくなるためです。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 薄膜干渉の原理:
- 核心: 平凸レンズと平面ガラスの間の薄い空気層（または液体層）の前後面で反射した光が干渉し、明暗の縞模様（ニュートンリング）を生じる現象です。
- 理解のポイント:
- 光路差の計算: 干渉する2つの光がたどる経路の長さの差。ニュートンリングの場合、空気層の厚さ \(d\) の往復分 \(2d\) (媒質が屈折率 \(n\) なら \(2nd\)) が基本となります。
- 反射における位相変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射する際に、位相が \(\pi\) ずれる（逆になる）か変化しないか。これは屈折率の大小関係で決まります（小 \(\rightarrow\) 大で反射なら \(\pi\) ずれる、大 \(\rightarrow\) 小で反射なら変化なし）。ニュートンリングでは、片方の反射面でのみ位相が \(\pi\) ずれるのが一般的です。
- 干渉条件（強め合い・弱め合い）: 位相変化を考慮した上で、光路差が波長の整数倍か半整数倍かで明暗が決まります。ニュートンリング（中心が暗い場合）の暗環条件は \(2d = m\lambda\) (空気中)、または \(2nd = m\lambda\) (屈折率 \(n\) の媒質中) です。
- ニュートンリングの式 \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\):
- 核心: レンズの球面形状から導かれる、中心からの距離 \(r\) と空気層の厚さ \(d\) の関係です。
- 理解のポイント: 三平方の定理と、\(d\) が \(r, R\) に比べて非常に小さいという近似 (\(d^2 \approx 0\)) を用いて導出されます。この関係式が干渉条件と結びつくことで、リングの半径と次数、波長、レンズの曲率半径の関係が明らかになります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- くさび形空気層の干渉: 2枚のガラス板を重ね、一方の端に薄い紙などを挟んでくさび形の空気層を作った場合の干渉縞。考え方はニュートンリングとほぼ同じで、場所によって空気層の厚さが直線的に変わります。
- 薄膜（シャボン玉、油膜など）の色づき: 薄膜の表裏で反射した光が干渉する現象。膜の厚さや見る角度、光の波長によって強め合う色が変わるため、鮮やかな色が見えます。この場合、光路差の計算に膜の厚さだけでなく入射角も関わってきます。
- 反射防止膜（レンズコーティングなど）: 特定の波長の光に対して反射を抑える（弱め合う）ように膜の厚さと屈折率を設計します。
- 初見の問題での着眼点:
- 干渉が起きる場所の特定: どの部分（空気層、薄膜など）で光が干渉しているのかを把握します。
- 干渉する光の経路の特定: どの面で反射した光どうしが干渉するのかを明確にします（通常2つの光）。
- 光路差の計算: その2つの光の経路差を、層の厚さや入射角などから幾何学的に求めます。
- 反射点での位相変化の確認: 各反射面での屈折率の大小関係を確認し、位相が \(\pi\) ずれるかどうかを判断します。両方ずれるか両方ずれない場合は同位相、片方だけずれる場合は逆位相として扱います。
- 干渉条件の適用: 上記を踏まえ、強め合い（明線・明るい）または弱め合い（暗線・暗い）の条件式を立てます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 反射における位相変化の条件の混同:
- 誤解: 屈折率が大きい・小さいに関わらず、反射すれば常に位相がずれる、あるいは全くずれないと思い込む。
- 対策: 「屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射し反射するときに位相が \(\pi\) ずれる」というルールを正確に覚える。図を描いて媒質の屈折率を書き込み、光の進行方向と反射面を確認する習慣をつける。
- 光路差の計算ミス:
- 誤解: 単純に層の厚さ \(d\) を光路差としてしまう（往復分の \(2d\) を忘れる）。
- 対策: ニュートンリングや垂直入射に近い薄膜干渉では、光はほぼ垂直に層を往復すると考えて \(2d\) とするのが基本です。図で光の経路を丁寧に追うことが大切です。
- 干渉条件式の符号の混同:
- 誤解: 強め合いと弱め合いの条件式 \(m\lambda\) と \((m+1/2)\lambda\) を、位相変化の有無を考慮せずに使ってしまう。
- 対策: 片方の反射でのみ位相が \(\pi\) ずれる場合、強め合い \(2d = (m+1/2)\lambda\)、弱め合い \(2d = m\lambda\) となることを理解する。ニュートンリング（中心暗）はこちらのケースです。
- \(m=0\) の扱いの誤解:
- 誤解: \(m=0\) は必ず明線（または暗線）の中心だと思い込む。
- 対策: \(m=0\) が物理的に何を意味するか（例えばニュートンリングの中心では \(d=0\)）を考え、条件式と照らし合わせる。\(m=0\) が最初の明環/暗環に対応します。
- グラフの傾きと物理量の対応ミス:
- 誤解: \(r^2 = (\lambda R)m\) のような式で、どの部分がグラフの傾きで、どの変数が軸に対応するかを間違える。単位換算を忘れる。
- 対策: 式を \(y=ax\) の形に整理し、\(y\)軸の量、\(x\)軸の量、傾き \(a\) に対応する物理量を明確にする。グラフの軸の単位と物理量の単位を常に確認する。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) (空気層の厚さの公式):
- 選定理由: ニュートンリング特有の、レンズの曲率と中心からの距離による空気層の厚さを求めるため。
- 適用根拠: レンズが球面の一部であり、その球面半径 \(R\) が既知（または未知数）で、\(d \ll R, d \ll r\) という近似が成り立つという幾何学的条件。
- \(2d = m\lambda\) または \(2nd = m\lambda\) (暗環の条件式):
- 選定理由: 観測されるのが「暗環」であるため、弱め合いの干渉条件を選びます。
- 適用根拠:
- 光路差が \(2d\) (または \(2nd\)) であること。
- ニュートンリングでは、一方の反射面（空気→ガラス）でのみ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が波長の整数倍で弱め合うという物理的状況。
- \(r^2 = (\text{定数}) \times m\) (グラフとの関連):
- 選定理由: 導出した暗環の条件式を、実験結果のグラフ（\(r^2\) と \(m\) の関係）と比較し、未知数を求めるため。
- 適用根拠: 条件式が \(r^2\) と \(m\) の比例関係を示しており、グラフの傾きが物理的パラメータ（\(\lambda, R, n\) を含む）に対応するという数学的構造。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 単位換算の徹底確認:
- 特に注意すべき点: この問題では \(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) で与えられていますが、波長 \(\lambda\) は \(\text{m}\) で与えられています。球面半径 \(R\) を \(\text{m}\) で求める場合、\(\text{mm}^2\) を \(\text{m}^2\) に変換 (\(1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)) する必要があります。
- 日頃の練習: 計算の各ステップで単位を併記し、最終的な答えの単位が物理的に正しいかを確認する習慣をつける。
- グラフの読み取り精度:
- 特に注意すべき点: グラフから値を読み取る際は、誤差が生じやすいです。できるだけ原点から遠い、目盛りに乗っている点を複数選び、平均的な傾きを求めるか、問題作成者が意図したであろう格子点を正確に読み取ることが望ましいです。
- 日頃の練習: 定規を使い、丁寧に読み取る練習をする。グラフの1目盛りが何を表すのかを最初に確認する。
- 分数の計算・指数の計算:
- 特に注意すべき点: (4)や(5)では、\(R = \displaystyle\frac{(\text{傾き}) \times (\text{単位変換係数})}{\lambda}\) のような計算や、\(n = \displaystyle\frac{(\text{空気中の傾き})}{(\text{アルコール中の傾き})}\) のような分数の割り算が出てきます。指数 (\(10^{-7}\), \(10^{-6}\)など) の計算も伴います。
- 日頃の練習: 文字式だけでなく、具体的な数値での計算練習も行い、計算のスピードと正確性を高める。特に指数法則をスムーズに使えるようにする。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (4) 球面半径 \(R\): \(R \approx 8.2 \text{ m}\) という値は、「球面半径の大きい」平凸レンズとして妥当な大きさか？実験用の特殊なものと考えればあり得る範囲です。
- (5) アルコールの屈折率 \(n\): \(n \approx 1.4\) という値は、液体として妥当か？水の屈折率が約1.33であることを考えると、非常に妥当な値です。屈折率が1未満になったり、2を超えるような大きな値になった場合は、計算ミスを疑います。
- 極端な場合や既知の状況との比較:
- (3) 中心の明暗: 中心部では \(r=0\) であり、その結果 \(d=0\) となります。光路差0で片方の反射で位相が \(\pi\) ずれるので暗くなる、というのは基本的な知識とも一致します。
- (Q) 色とリングの半径: 波長が長い赤色光の方が、波長が短い青色光よりも大きな半径のリングを作る (\(r \propto \sqrt{\lambda}\)) というのは、回折格子など他の干渉・回折現象で見られる傾向（波長が長いほど広がる）とも整合性があります。
- 条件式の \(m\) の意味の再確認:
- \(m=0, 1, 2, \dots\) という整数が、中心から数えて何番目の暗環（または明環）に対応するか。\(m=0\) が中心の暗環（半径0）に対応することは、式と現象がうまく合致していることを示します。
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問題5 (立命館大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、くさび形の空気層における光の干渉（薄膜干渉の一種）を利用して、金属薄膜の厚さを測定する方法について考察するものです。ガラス平板の上に一部薄膜を置いたものと、別のガラス平板を重ねてくさび形の隙間を作り、そこに単色光を当てて反射光の干渉縞を観察します。
- \(D\): 下のガラス平板の厚さ（のうち、傾斜の基準となる部分に関連する高さ）
- \(t\): 薄膜の厚さ
- 上のガラス平板の傾角: \(\theta\)（非常に小さい）
- \(\lambda\): 単色光の波長
- \(L\): GH間の距離（上のガラス平板が下の基準面に対して \(D+t\) だけ高くなる水平距離）
- \(d\): A側（薄膜がある側）の、上のガラス板下面と薄膜上面との間の間隙の長さ（空気層の厚さ）
- \(x\): A側の暗線が生じる位置（図2のHからの距離）
- \(x’\): B側（薄膜がない側）の暗線が生じる位置（図2のHからの距離と解釈）
- \(m\): 干渉の次数を表す整数 (\(m=0, 1, 2, \dots\))
- \(a\): 暗線の間隔
- \(b\): 同じ次数の暗線のA側とB側での位置のズレ
- (1) A側での弱め合い（暗線）の条件式。
- (2) A側の暗線の位置 \(x\) の表式。
- (3) B側の暗線の位置 \(x’\) の表式。
- (4) 薄膜の厚さ \(t\) を \(a, b, \lambda\) で表す式。
- (コラムQ) A側とB側の縞の対応をつけるための工夫。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 問(4) 薄膜の厚さの別解: 光路差の直接比較による解法
- 主たる解法が、暗線間隔\(a\)と暗線のズレ\(b\)という観測量から代数的に\(t\)を導出するのに対し、別解では「A側の\(m\)次の暗線」と「B側の\(m\)次の暗線」の空気層の厚さの関係に立ち返り、光路差が等しくなる条件から直接\(t\)を求めます。
- 問(4) 薄膜の厚さの別解: 光路差の直接比較による解法
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的本質の深化: 「同じ次数の暗線は、同じ光路差を持つ」という干渉の根本原理に直接基づいて立式するため、物理的な意味合いがより明確になります。
- 思考の単純化: 暗線間隔\(a\)やズレ\(b\)という中間的な量を介さずに済むため、思考のプロセスがより直接的になります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、計算過程や思考の出発点が異なるだけで、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「光の干渉」の中でも、特に「くさび形薄膜（空気層）による干渉」を扱います。これはニュートンリングと同様の原理に基づいています。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 光路差: 干渉する二つの光がたどる経路の長さの差。ここでは主に空気層の厚さの2倍が光路差の基本となります。
- 反射による位相の変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射する際に生じる位相の変化（\(\pi\)ずれるか、ずれないか）が干渉条件を左右します。
- 屈折率小の媒質から大の媒質へ入射し反射 \(\rightarrow\) 位相 \(\pi\) ずれる。
- 屈折率大の媒質から小の媒質へ入射し反射 \(\rightarrow\) 位相変化なし。
- 干渉条件（弱め合い）: 一方の反射光のみ位相が\(\pi\)ずれる場合、光路差が波長の整数倍で弱め合います。
- 幾何学的関係: くさび形の傾き（\(\tan\theta\)）を利用して、任意の位置における空気層の厚さを求めます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1) A側の干渉条件: 薄膜の上の空気層で反射する光を考えます。一方の光は上のガラス板下面（ガラス→空気）で反射し、もう一方は薄膜上面（空気→薄膜または下のガラス板）で反射します。これらの光の光路差と位相変化から弱め合いの条件を立てます。
- (2) A側の暗線位置: A側の空気層の厚さ \(d\) を、図形的な関係から位置 \(x\) と傾角 \(\theta\) で表します。傾角 \(\theta\) は \(L, D, t\) から \(\tan\theta = \frac{D+t}{L}\) として表せます。これを(1)の条件式に代入して \(x\) を求めます。
- (3) B側の暗線位置: B側（薄膜がない側）の空気層の厚さ \(d’\) を同様に位置 \(x’\) と \(\theta\) で表します。B側では空気層の下はガラス平板です。この \(d’\) を用いて弱め合いの条件から \(x’\) を求めます。
- (4) 薄膜の厚さの算出: (2)の結果から暗線の間隔 \(a\) を求めます。また、(2)と(3)の結果（同じ次数の暗線）からA側とB側の暗線の位置のズレ \(b\) を求めます。これらの \(a\) と \(b\) の関係式から、薄膜の厚さ \(t\) を消去されるべき他のパラメータ（\(L, D\)など）を含まない形で表します。
