「名問の森」徹底解説（4〜6問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【波動Ⅱ・電磁気・原子】

問題4 (東京医歯大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ニュートンリングと呼ばれる光の干渉現象に関するものです。平凸レンズと平面ガラスの間にできる薄い空気層（またはアルコール層）での光の干渉によって、明暗の同心円状の縞模様が観察されます。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「光の干渉」、特に「薄膜による干渉」の一例である「ニュートンリング」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

1. 光路差: 干渉を考える上で最も重要な量で、二つの光がたどる経路の長さの差に屈折率をかけたものです。
2. 位相の変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射するとき、位相が変化（\(\pi\) ずれる、または変化しない）することがあります。これは干渉条件に大きく影響します。
   • 屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射して反射する際、位相は \(\pi\) ずれます。
   • 屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ入射して反射する際、位相はずれません。
3. 干渉条件:
   • 強め合い（明るい）: 位相をそろえた光どうしの場合、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\)。一方の位相が\(\pi\)ずれている場合は、光路差が半波長の奇数倍 \((m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)。
   • 弱め合い（暗い）: 位相をそろえた光どうしの場合、光路差が半波長の奇数倍 \((m + \displaystyle\frac{1}{2})\lambda\)。一方の位相が\(\pi\)ずれている場合は、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\)。
4. 幾何学的関係: レンズの曲率と空気層の厚さの関係を求めるために、三平方の定理（またはその近似）を利用します。

基本的なアプローチは以下の通りです。

1. まず、レンズとガラス板の間の空気層の厚さ \(d\) を、レンズの中心からの距離 \(r\) とレンズの球面半径 \(R\) を用いて表します。ここでは、\(d\) が \(R\) や \(r\) に比べて非常に小さいことを利用した近似計算が鍵となります。
2. 次に、空気層の上面（レンズ下面）で反射する光と、空気層の下面（ガラス板上面）で反射する光の干渉を考えます。それぞれの反射における位相の変化を確認し、光路差を計算して、暗環（弱め合い）の条件式を導きます。
3. 中心部 (\(r=0\)) の明暗は、(2)で導いた条件式に \(r=0\) (すなわち \(d=0\)) を代入することで判断できます。
4. 実験データ（図2のグラフ）は、(2)で導いた暗環の条件式が \(r^2\) と \(m\) の比例関係にあることを示しています。このグラフの傾きを利用して、レンズの球面半径 \(R\) を求めます。
5. 同様に、アルコール中に装置全体を入れた場合の干渉条件を考えます。アルコール中では光路長が変わる（または光の波長が短くなる）ため、条件式が変化します。この新しい条件式と図2のグラフ（×印）を用いて、アルコールの屈折率 \(n\) を求めます。
6. レンズをガラス板から少しずつ離すと、空気層の厚さが全体的に増加します。このとき、特定の次数 \(m\) の暗環がどのように変化するかを、干渉条件と空気層の厚さの関係から考察します。

問(1)

思考の道筋とポイント
平凸レンズの球面の一部が平面ガラスに接している状況を考えます。レンズの中心Oから距離\(r\)の位置での、レンズ下面とガラス板上面との間の隙間の厚さ \(d\) を求める問題です。
レンズの球面半径を\(R\)とすると、レンズ下面の曲率中心、レンズ下面上の点（中心Oから水平距離\(r\)、鉛直距離\(d\)の位置）、そして球面半径\(R\)を結びつける幾何学的関係を見つけ出すことが目標です。ここでは、三平方の定理を利用します。
問題文に「\(d\)は小さいので\(d^2\) は無視してよい」という重要なヒントがあります。これを使うことで、式が簡単になります。

この設問における重要なポイント

• レンズの球面の幾何学的形状を正しく捉える。
• 三平方の定理を適用できる直角三角形を見つける。
• \(d^2 \approx 0\) の近似を適切に用いる。

具体的な解説と立式
図1を参照し、平凸レンズAの球面部分の曲率中心をCとします。レンズが平面ガラスBに接している点Oを通る鉛直線上にCがあると考えることができます。
中心Oから水平方向に距離\(r\)だけ離れたレンズ下面上の点をPとし、この点でのレンズ下面とガラス板Bの間の間隔を\(d\)とします。
点PからCOに下ろした垂線の足をQとすると、OQ = \(d\) です。
直角三角形CQPにおいて、三平方の定理を適用します。
斜辺CPはレンズの球面半径\(R\)に等しいです。
CQの長さは、COの長さが\(R\)であることから \(R-d\) となります。
QPの長さは、中心Oからの水平距離\(r\)に等しいです。
したがって、三平方の定理より、
$$CP^2 = CQ^2 + QP^2$$
$$R^2 = (R-d)^2 + r^2 \quad \cdots ①$$
ここで、\((R-d)^2\) を展開します。
$$(R-d)^2 = R^2 – 2Rd + d^2$$
これを式①に代入すると、
$$R^2 = R^2 – 2Rd + d^2 + r^2$$
問題の指示により、\(d\)は小さいので\(d^2\)は無視できます (\(d^2 \approx 0\))。この近似を用いると、
$$0 \approx -2Rd + r^2$$
この式を\(d\)について解くと、
$$2Rd \approx r^2$$

式① \(R^2 = (R-d)^2 + r^2\) を展開すると、
$$R^2 = R^2 – 2Rd + d^2 + r^2$$
両辺から \(R^2\) を引くと、
$$0 = -2Rd + d^2 + r^2$$
ここで、\(d^2\) は無視できるという条件を用います (\(d^2 \approx 0\))。
$$0 \approx -2Rd + r^2$$
\(2Rd\) を左辺に移項すると、
$$2Rd \approx r^2$$
両辺を \(2R\) で割ると（\(R \neq 0\)）、
$$d \approx \frac{r^2}{2R}$$

レンズの丸みを帯びた部分とガラス板の間のわずかな隙間の厚さ \(d\) を求めます。レンズの丸みは大きな円の一部と考えることができます。この円の半径が \(R\) です。
幾何学的な関係（ピタゴラスの定理に似たもの）を使うと、\(R^2 = (R-d)^2 + r^2\) という式が得られます。
ここで、\(d\) はとても小さいので、\(d\) を2乗した \(d^2\) はほぼ0として無視してしまいます。
そうすると、式が簡単になり、\(2Rd = r^2\) という形になります。
これを \(d\) について解くと、\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) となります。

\(r\)の位置でのAB間の間隔\(d\)は、\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) と表されます。
この結果は、\(r=0\) のとき \(d=0\) となり、中心ではレンズとガラスが接している状況と一致します。また、\(r\) が大きくなるほど \(d\) も大きくなり、レンズの形状から予想される傾向とも一致しています。球面半径 \(R\) が大きいほど、同じ \(r\) に対する \(d\) は小さくなることも示しており、物理的に妥当な結果と言えます。

問(2)

思考の道筋とポイント
ニュートンリングは、レンズAの下面で反射する光と、ガラス板Bの上面で反射する光との干渉によって生じます。これらの光が弱め合って暗環ができる条件を考えます。
ポイントは以下の2点です。
1. 光路差の計算: 2つの反射光の間の光路差を求めます。光は空気層を往復するので、空気層の厚さ \(d\) を用いて \(2d\) となります。
2. 反射による位相の変化:

• レンズAの下面での反射: 光はレンズ（ガラス、屈折率 \(n_{\text{ガラス}}\)）から空気（屈折率 \(n_{\text{空気}}\) \(\approx 1\)）へ向かう境界面で反射します。屈折率が大きい媒質から小さい媒質へ進む光が反射する場合、位相は変化しません。
• ガラス板Bの上面での反射: 光は空気（屈折率 \(n_{\text{空気}}\)）からガラス板B（ガラス、屈折率 \(n_{\text{ガラス}}\)）へ向かう境界面で反射します。屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ進む光が反射する場合、位相は \(\pi\) ずれます（波長でいうと \(\lambda/2\) だけ経路が伸びたことに相当）。

この2つの反射光のうち、一方（ガラス板Bの上面での反射）のみ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が波長の整数倍 \(m\lambda\) のときに弱め合います（暗環）。

この設問における重要なポイント

• 干渉する2つの光の経路を特定する。
• 光路差を正しく計算する（往復を考慮）。
• 反射における位相変化の有無を、屈折率の大小関係から判断する。
• 位相変化を考慮した弱め合い（暗環）の条件式を立てる。

具体的な解説と立式
上方から入射した光は、一部がレンズAの下面（空気との境界）で反射し（光1）、残りは透過して空気層を通過し、平面ガラスBの上面（空気との境界）で反射します（光2）。これら光1と光2が干渉します。

• 光路差: 光2は空気層の厚さ \(d\) の部分を往復するため、光1に対する光路差は \(2d\) です。
• 反射による位相変化:
  • 光1（レンズ下面での反射）: レンズ（屈折率大）から空気（屈折率小）への境界での反射なので、位相変化はなし。
  • 光2（ガラス板上面での反射）: 空気（屈折率小）からガラス板（屈折率大）への境界での反射なので、位相は \(\pi\) ずれる。

光1と光2の一方のみ位相が \(\pi\) ずれる（逆位相になる）ため、弱め合って暗環ができる条件は、光路差が波長の整数倍になるときです。
$$2d = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots) \quad \cdots ②$$
ここで \(m\) は干渉の次数と呼ばれる整数です。
(1)で求めた \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を式②に代入します。
$$2 \left(\frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda$$
$$\frac{r^2}{R} = m\lambda$$
これが、\(r\)の位置で暗環ができるための条件式です。

弱め合いの条件式は、光路差 \(2d\) と、一方の反射で位相が \(\pi\) ずれることを考慮して、
$$2d = m\lambda \quad (m=0, 1, 2, \dots)$$
(1)で求めた \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) をこの式に代入すると、
$$2 \cdot \frac{r^2}{2R} = m\lambda$$
左辺の2が約分されて、
$$\frac{r^2}{R} = m\lambda$$

レンズの下面で反射する光と、ガラス板の上面で反射する光が干渉します。
ガラス板の上面で反射するときだけ、光の位相がひっくり返ります（\(\pi\)ずれる）。
この2つの光の経路の長さの差（光路差）は、空気層の厚さ \(d\) の2倍、つまり \(2d\) です。
一方の光だけ位相がひっくり返っているので、2つの光が打ち消しあって暗くなるのは、光路差 \(2d\) が光の波長 \(\lambda\) のちょうど整数倍 (\(0\lambda, 1\lambda, 2\lambda, \dots\)) になるときです。つまり \(2d = m\lambda\)。
(1)で \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) と分かったので、これを代入すると \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) となります。

\(r\)の位置で暗環ができるための条件式は \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) です。
この式は、暗環の半径の2乗 \(r^2\) が、干渉の次数 \(m\) に比例することを示しています。これは図2のグラフ（原点を通る直線）と整合しています。\(m=0\) が中心の暗環に対応します。

問(3)

思考の道筋とポイント
ニュートンリングの中心部 (\(r=0\)) が明るいか暗いかを判断します。
中心部では、レンズAとガラス板Bが接しているので、空気層の厚さ \(d=0\) です。
このときの干渉条件を考えます。

この設問における重要なポイント

• 中心部では \(r=0\) であり、したがって \(d=0\) である。
• \(d=0\) のときの光路差と位相変化を考慮して干渉条件を判断する。

具体的な解説と立式
中心部では \(r=0\) です。(1)の結果 \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) から、\(r=0\) のとき \(d=0\) となります。
このとき、レンズ下面で反射する光とガラス板上面で反射する光の光路差は \(2d = 0\) です。
しかし、問(2)で確認したように、ガラス板上面での反射では位相が \(\pi\) ずれますが、レンズ下面での反射では位相は変化しません。
したがって、光路差が0であっても、一方の光の位相が \(\pi\) ずれているため、2つの光は逆位相で重なり合い、弱め合います。
よって、中心部は暗くなります。
これは、(2)で導いた暗環の条件式 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) に \(m=0\) を代入すると \(r^2=0\)、すなわち \(r=0\) となることからも確認できます。\(m=0\) は最も内側の暗環に対応し、それが中心 (\(r=0\)) にできることを意味します。

中心 \(r=0\) では \(d=0\)。
光路差 \(2d = 0\)。
レンズ下面での反射：位相変化なし。
ガラス板上面での反射：位相 \(\pi\) ずれる。
光路差0で一方の位相が \(\pi\) ずれているので、干渉の結果は弱め合い（暗）。
または、暗環の条件 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) で \(m=0\) とすると \(r=0\)。これは中心が \(m=0\) の暗環であることを示す。

リングの中心では、レンズとガラス板がくっついているので、隙間の厚さ \(d\) は0です。
光の進む距離の差（光路差）も0になります。
しかし、ガラス板で反射する方の光だけ位相がひっくり返るので、たとえ光路差が0でも、2つの光は打ち消しあってしまいます。
したがって、中心は暗くなります。

ニュートンリングの中心部は暗い。これは、接触点 (\(d=0\)) であっても、反射による位相のずれにより弱め合いが生じるためです。実験的にもよく知られた事実です。

問(4)

思考の道筋とポイント
平凸レンズの球面半径 \(R\) を求めます。問(2)で導いた暗環の条件式 \(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\) と、図2の実験データ（○点: 空気中）を用います。
条件式を変形すると \(r^2 = (\lambda R)m\) となり、\(r^2\) は \(m\) に比例することがわかります。比例定数は \(\lambda R\) です。
図2のグラフは、横軸が \(m\)、縦軸が \(r^2\) であり、原点を通る直線になっています。この直線の傾きが \(\lambda R\) に相当します。
グラフから傾きを正確に読み取り、既知の \(\lambda\) の値を使って \(R\) を計算します。

この設問における重要なポイント

• 暗環の条件式 \(r^2 = (\lambda R)m\) とグラフの関係を理解する。
• グラフの傾きが \(\lambda R\) を表すことを見抜く。
• グラフから傾きを読み取る際、できるだけ離れた2点を選ぶなどして精度を高める。
• 単位の換算（特に \(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) であることに注意）を正しく行う。

具体的な解説と立式
暗環の条件式は、
$$\frac{r^2}{R} = m\lambda$$
これを \(r^2\) について解くと、
$$r^2 = (\lambda R) m \quad \cdots ③$$
この式は、\(r^2\) が \(m\) に比例し、その比例定数（グラフの傾き）が \(\lambda R\) であることを示しています。
図2のグラフ（○点）から、空気中の場合の傾きを読み取ります。グラフはほぼ原点を通る直線なので、読み取りやすい点を選びます。例えば、\(m=12\) のとき \(r^2 = 58 \text{ mm}^2\) と読み取れます。
傾き \(k_1\) は、
$$k_1 = \frac{\Delta (r^2)}{\Delta m}$$
原点 (0,0) と点 (\(m=12, r^2=58 \text{ mm}^2\)) を使うと、
$$k_1 = \frac{58 \text{ mm}^2 – 0}{12 – 0} = \frac{58}{12} \text{ mm}^2$$
この傾きが \(\lambda R\) に等しいので、
$$\lambda R = k_1 = \frac{58}{12} \text{ mm}^2$$
ここで、\(\lambda = 5.9 \times 10^{-7} \text{ [m]}\) です。単位を合わせるために \(\text{mm}^2\) を \(\text{m}^2\) に変換します。
\(1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}\) なので、\(1 \text{ mm}^2 = (10^{-3} \text{ m})^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)。
したがって、
$$\lambda R = \frac{58}{12} \times 10^{-6} \text{ m}^2$$
この式から \(R\) を求めます。
$$R = \frac{1}{\lambda} \left( \frac{58}{12} \times 10^{-6} \right)$$

グラフ（○点）より、傾き \(k_1 = \lambda R\) を求めます。
点 \((m, r^2) = (12, 58 \text{ mm}^2)\) を用いると、
$$k_1 = \frac{58 \text{ mm}^2}{12} = \frac{29}{6} \text{ mm}^2$$
単位を \(\text{m}^2\) に変換します。\(1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)。
$$k_1 = \frac{29}{6} \times 10^{-6} \text{ m}^2$$
よって、
$$\lambda R = \frac{29}{6} \times 10^{-6} \text{ m}^2$$
与えられた波長 \(\lambda = 5.9 \times 10^{-7} \text{ m}\) を用いて \(R\) を計算します。
$$R = \frac{k_1}{\lambda} = \frac{\frac{29}{6} \times 10^{-6} \text{ m}^2}{5.9 \times 10^{-7} \text{ m}}$$
まず、指数の部分を計算します。
$$\frac{10^{-6}}{10^{-7}} = 10^{-6 – (-7)} = 10^{-6+7} = 10^1 = 10$$
次に、係数の部分を計算します。
$$R = \frac{29}{6 \times 5.9} \times 10 \text{ m} = \frac{290}{35.4} \text{ m}$$
この割り算を実行すると、
$$R \approx 8.19209\dots \text{ m}$$
有効数字を考慮すると、\(\lambda\) が2桁、グラフの読み取りも2桁～3桁程度なので、結果も2桁で答えるのが適切です。
$$R \approx 8.2 \text{ [m]}$$

(2)で求めた暗い輪っかの条件 \(r^2 = (\lambda R)m\) は、\(r^2\)（輪っかの半径の2乗）が \(m\)（輪っかの番号）に比例することを示しています。比例定数は \(\lambda \times R\) です。
図2のグラフは、まさにこの関係を表しており、横軸が \(m\)、縦軸が \(r^2\) です。このグラフの傾きが \(\lambda \times R\) になります。
グラフから傾きを読み取ります。例えば、\(m=12\) のとき \(r^2=58 \text{ mm}^2\) なので、傾きは \(58/12 \text{ mm}^2\) です。
光の波長 \(\lambda\) は \(5.9 \times 10^{-7} \text{ m}\) とわかっているので、これらを使って \(R\) を計算します。
ただし、\(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) なので、\(\text{m}^2\) に直す（\(10^{-6}\) 倍する）のを忘れないようにしましょう。
計算すると、\(R\) は約 \(8.2 \text{ m}\) となります。

この実験に用いた平凸レンズの球面半径 \(R\) は約 \(8.2 \text{ [m]}\) です。
問題文に「球面半径の大きい平凸レンズ」とある通り、\(R\) の値は数メートルオーダーとなっており、妥当な大きさと言えます。もし \(R\) が数mmや数cmのような小さな値になった場合は、計算間違いや単位換算のミスを疑うべきです。

問(5)

思考の道筋とポイント
装置全体をアルコール液（屈折率 \(n\)）の中に入れた場合の、アルコールの屈折率 \(n\) を求めます。
考え方は2通りあります。
1. 光路長の変化: 空気層の代わりにアルコール層（厚さ \(d\)）ができると、光路長は \(n \times 2d\) となります。
2. 波長の変化: アルコール中では光の波長が \(\lambda’ = \lambda/n\) となります。光路差は幾何学的な距離 \(2d\) のままですが、用いる波長が \(\lambda/n\) に変わります。
どちらの考え方でも同じ結果に至ります。
反射による位相変化については、模範解答に「一般に、アルコールを含め液体の屈折率はガラスの屈折率より小さいので、反射による位相変化は変わっていない」とあります。つまり、レンズA下面（ガラス \(\rightarrow\) アルコール）での反射は位相変化なし（\(n_{\text{ガラス}} > n_{\text{アルコール}}\) と仮定）、平面ガラスB上面（アルコール \(\rightarrow\) ガラス）での反射は位相 \(\pi\) ずれる（\(n_{\text{アルコール}} < n_{\text{ガラス}}\) と仮定）と考え、空気中の場合と同様に一方の反射でのみ位相が \(\pi\) ずれる状況が維持されるとします。
この仮定のもと、アルコール中での暗環の条件式を導き、図2の実験データ（×点）のグラフの傾きを利用して \(n\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• アルコール中での光路長（または波長）の変化を正しく考慮する。
• 反射による位相変化の条件が空気中と変わらないか確認する（ここでは変わらないと仮定）。
• アルコール中での暗環の条件式を立て、グラフの傾きと比較する。
• (4)で求めた \(R\) の値（または \(\lambda R\) の値）を利用する。

具体的な解説と立式
アルコール（屈折率 \(n\)）中で干渉を考えます。レンズとガラス板の間の隙間の厚さは \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) で変わりません。

方法1: 光路長で考える
アルコール中での光路差は \(n \cdot 2d\) です。
反射による位相変化の条件は空気中と同じ（レンズ下面：変化なし、ガラスB上面：\(\pi\)ずれる）と仮定すると、暗環の条件は、
$$n \cdot 2d = m\lambda$$
\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$n \cdot 2 \left(\frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda$$
$$n \frac{r^2}{R} = m\lambda$$
これを \(r^2\) について解くと、
$$r^2 = \left(\frac{\lambda R}{n}\right) m \quad \cdots ④$$
この式は、アルコール中ではグラフの傾きが \(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\) になることを示しています。

アルコール中のグラフ（×点）の傾きを \(k_2\) とすると、式④より \(k_2 = \displaystyle\frac{\lambda R}{n}\)。
グラフより、点 \((m, r^2) = (14, 50 \text{ mm}^2)\) を用いると、
$$k_2 = \frac{50 \text{ mm}^2}{14} = \frac{25}{7} \text{ mm}^2$$
空気中のグラフ（○点）の傾きは、(4) より \(k_1 = \lambda R = \displaystyle\frac{58}{12} \text{ mm}^2 = \frac{29}{6} \text{ mm}^2\)。
したがって、
$$\frac{\lambda R}{n} = k_2$$
という関係から、
$$\frac{k_1}{n} = k_2$$
これを \(n\) について解くと、
$$n = \frac{k_1}{k_2}$$
値を代入します。
$$n = \frac{\frac{29}{6} \text{ mm}^2}{\frac{25}{7} \text{ mm}^2} = \frac{29}{6} \times \frac{7}{25}$$
分母同士、分子同士を掛け合わせると、
$$n = \frac{29 \times 7}{6 \times 25} = \frac{203}{150}$$
この分数を小数で表すと、
$$n \approx 1.35333\dots$$
有効数字を考慮して2桁で答えると、
$$n \approx 1.4$$

別解: 波長の変化で考える
具体的な解説と立式
アルコール中での光の波長は \(\lambda’ = \displaystyle\frac{\lambda}{n}\) となります。
光路差は幾何学的な距離 \(2d\) のままです。
暗環の条件は、
$$2d = m\lambda’ = m \frac{\lambda}{n}$$
\(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$2 \left(\frac{r^2}{2R}\right) = m \frac{\lambda}{n}$$
$$\frac{r^2}{R} = m \frac{\lambda}{n}$$
これを \(r^2\) について解くと、
$$r^2 = \left(\frac{\lambda R}{n}\right) m$$
となり、方法1と同じ結果 ④ が得られます。計算過程は同様です。

アルコールの中に装置を入れると、光はアルコールの中を進みます。アルコールのような物質の中では、光の波長が空気中よりも短くなるか、または同じ距離でも光がたくさん進んだこと（光路長が長くなる）になります。どちらで考えても、暗い輪っかの条件式が少し変わります。
新しい条件式は \(r^2 = \left(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\right) m\) となります。ここで \(n\) がアルコールの屈折率です。
つまり、グラフの傾きが \(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\) に変わります。
空気中での傾きは \(\lambda R\) でした（問(4)）。
図2の×印のグラフからアルコール中での傾きを読み取ります。\(m=14\) のとき \(r^2=50 \text{ mm}^2\) なので、傾きは \(50/14 \text{ mm}^2\) です。
空気中の傾きをアルコール中の傾きで割ると、屈折率 \(n\) が求まります。（正確には、空気中の傾きを \(k_1\)、アルコール中の傾きを \(k_2\) とすると、\(k_1/n = k_2\) なので \(n = k_1/k_2\) となります。）
計算すると、\(n\) は約 \(1.4\) となります。

このアルコールの屈折率 \(n\) は約 \(1.4\) です。
水の屈折率が約1.33、多くの有機溶媒の屈折率が1.3～1.5程度の範囲にあることを考えると、この値は物理的に妥当な値です。
グラフの傾きが空気中 (\(k_1 \approx 4.83\)) よりもアルコール中 (\(k_2 \approx 3.57\)) の方が小さくなっている (\(k_2 < k_1\)) ことは、\(n = k_1/k_2 > 1\) であることを示しており、これも屈折率が1より大きいという物理的な性質と一致します。

問(6)

思考の道筋とポイント
平凸レンズAを板ガラスBから少しずつ上へ離していくと、暗環の半径\(r\)がどうなるかを考えます。
レンズを離すということは、レンズとガラス板の間に人為的に隙間を作る、つまり中心部 (\(r=0\)) での空気層の厚さ \(d_0\) が0でなくなるということです。
中心からの距離 \(r\) の位置での空気層の全体の厚さ \(d_{\text{全体}}\) は、レンズを持ち上げたことによる均一な厚さ \(d_0\) と、レンズの曲率による厚さ \(r^2/(2R)\) の和、すなわち \(d_{\text{全体}} = d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) となります。
暗環の条件 \(2d_{\text{全体}} = m\lambda\) (空気中なので屈折率は1) は変わりません。
\(m\) が一定の特定の暗環に着目したとき、\(d_0\) が増加すると \(r\) がどうなるかを考えます。

この設問における重要なポイント

• レンズを離すことの意味を、空気層の厚さの変化として捉える。
• 特定の次数 \(m\) の暗環（つまり、光路差が \(m\lambda\) となる場所）がどう移動するかを考える。

具体的な解説と立式
レンズAをガラス板Bから距離 \(d_0\) だけ鉛直上方に持ち上げたとします。
このとき、中心Oからの距離が \(r\) の位置におけるレンズA下面とガラス板B上面との間の空気層の厚さは、
$$d'(r) = d_0 + \frac{r^2}{2R}$$
となります。ここで \(\displaystyle\frac{r^2}{2R}\) は、レンズが接していた場合にレンズの曲面によって生じる隙間の厚さです。
空気中での暗環の条件は、光路差が波長の整数倍になることでした（一方の反射で位相が \(\pi\) ずれるため）。
$$2 d'(r) = m\lambda$$
$$2 \left(d_0 + \frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda \quad \cdots ⑤$$
ここで、ある特定の次数 \(m\) の暗環について考えます（\(m\) は一定）。
レンズを離す、つまり \(d_0\) が徐々に増加すると、式⑤の左辺の \(d_0\) の項が大きくなります。
右辺の \(m\lambda\) は一定なので、左辺のもう一方の項 \(\displaystyle\frac{r^2}{R}\) は小さくならなければなりません (\(2 \cdot \displaystyle\frac{r^2}{2R} = \displaystyle\frac{r^2}{R}\))。
\(R\) は一定なので、\(r^2\) が小さくなる、つまり \(r\) が小さくなる必要があります。
したがって、暗環の半径 \(r\) は減少します。暗環は中心に向かって縮んでいくように見えます。

定性的な考察、または以下の数式での比較により判断します。
式⑤ \(2 \left(d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\right) = m\lambda\) より、\(m, \lambda, R\) が一定のとき、
\(d_0\) が増加すると、\(2d_0\) も増加します。
等式を保つためには、\(2 \cdot \displaystyle\frac{r^2}{2R} = \displaystyle\frac{r^2}{R}\) が減少しなければなりません。
\(\displaystyle\frac{r^2}{R}\) が減少するということは、\(r^2\) が減少する（\(R>0\) なので）、つまり \(r\) が減少することを意味します (\(r \ge 0\))。

暗い輪っか（暗環）は、特定の厚さの空気の層がある場所にできます。
レンズをガラス板から少し持ち上げると、全体の空気層が厚くなりますね。
そうすると、以前と同じ厚さの空気層（つまり同じ番号の暗環ができる場所）は、レンズの中心にもっと近いところ（半径が小さいところ）に移動します。
イメージとしては、レンズを持ち上げると、輪っかが中心に向かって吸い込まれていくように見えます。だから、暗環の半径は減ります。

平凸レンズAを板ガラスBから少しずつ上へ離していくと、暗環の半径\(r\)は減少します。
これは、特定の次数の暗環に対応する光路差（つまり空気層の厚さ）は一定であるため、レンズが持ち上げられて全体の隙間が増えると、その一定の厚さを実現するレンズの曲面部分はより中心に近い位置になるからです。

【コラム】Q. 図1で、赤色、青色、黄色の光を同時に上方から当てると、同じ次数のリングは中心Oからどのような順で現れるか。

思考の道筋とポイント
異なる色の光（つまり異なる波長の光）を用いた場合、同じ次数の干渉リングがどの位置に現れるかを問うています。
可視光の波長の大小関係は、一般に \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\) です。
Qの模範解答では明線の条件で議論していますが、暗線の条件で考えても同様の結論が得られます。ここではQの解答に合わせて明線の条件を用います。
空気中での明線の条件は、光路差 \(2d\) が半波長の奇数倍になるときです（一方の反射で位相が \(\pi\) ずれるため）。
$$2d = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \dots)$$
これに \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入すると、
$$\frac{r^2}{R} = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda$$
$$r^2 = R \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda$$
この式から、同じ次数 \(m\) の明環の半径の2乗 \(r^2\) は、波長 \(\lambda\) に比例することがわかります。

この設問における重要なポイント

• 明線（または暗線）の条件式における半径 \(r\) と波長 \(\lambda\) の関係を把握する。
• 可視光の色の波長の大小関係を知っていること。

具体的な解説と立式
明環の条件式は、
$$r^2 = R \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad \cdots ⑥$$
ここで、\(R\) はレンズの球面半径（一定）、\(m\) は干渉の次数（同じ次数で比較するので一定）です。
したがって、\(r^2\) は \(\lambda\) に比例し、\(r\) は \(\sqrt{\lambda}\) に比例します。
つまり、波長 \(\lambda\) が大きいほど、同じ次数 \(m\) の明環の半径 \(r\) は大きくなります。
可視光の一般的な波長の大小関係は、
\(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\)
となります。
したがって、同じ次数の明環の半径は、波長の大きい順に大きくなります。
\(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\)
つまり、中心Oから外側に向かって、青色、黄色、赤色の順で同じ次数のリングが現れます。（半径が小さい順から言えば、青、黄、赤）

明線の条件式: \(r^2 = R \left(m + \displaystyle\frac{1}{2}\right)\lambda\)。
\(m\) が一定のとき、\(r \propto \sqrt{\lambda}\)。
波長の大小関係: \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\)。
したがって、半径の大小関係: \(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\)。
中心Oから近い順（半径が小さい順）に並べると、青色、黄色、赤色となります。

明るい輪っか（または暗い輪っか）ができる場所の半径 \(r\) は、光の波長 \(\lambda\) が大きいほど大きくなります。
光の色と波長の関係は、赤がいちばん波長が長く、次に黄色、そして青が短いです。
（虹の色の順番「赤・橙・黄・緑・青・藍・紫」を思い出してください。赤が外側＝波長が長い、紫が内側＝波長が短い。）
なので、同じ番号の輪っかでも、赤色の光で作られた輪っかが一番外側（半径が大きい）にでき、次に黄色、そして青色の輪っかが一番内側（半径が小さい）にできます。
中心から見ると、青、黄、赤の順番で輪っかが見えることになります。

同じ次数のリングは、中心Oから半径が小さい順に、青色、黄色、赤色の順で現れます。
これは、波長が短い光ほど干渉の条件を満たす半径が小さくなるためです。ニュートンリングで白色光を用いた場合、リングが色づいて見えるのはこのためです。中心が暗く、その周りに紫、青、緑、黄、橙、赤といった色の順でリングが見え、これが繰り返されます（ただし、次数が大きくなると色が重なり合って白っぽくなります）。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 薄膜干渉の原理:
  • 核心: 平凸レンズと平面ガラスの間の薄い空気層（または液体層）の前後面で反射した光が干渉し、明暗の縞模様（ニュートンリング）を生じる現象です。
  • 理解のポイント:
    1. 光路差の計算: 干渉する2つの光がたどる経路の長さの差。ニュートンリングの場合、空気層の厚さ \(d\) の往復分 \(2d\) (媒質が屈折率 \(n\) なら \(2nd\)) が基本となります。
    2. 反射における位相変化: 光が屈折率の異なる媒質の境界で反射する際に、位相が \(\pi\) ずれる（逆になる）か変化しないか。これは屈折率の大小関係で決まります（小 \(\rightarrow\) 大で反射なら \(\pi\) ずれる、大 \(\rightarrow\) 小で反射なら変化なし）。ニュートンリングでは、片方の反射面でのみ位相が \(\pi\) ずれるのが一般的です。
    3. 干渉条件（強め合い・弱め合い）: 位相変化を考慮した上で、光路差が波長の整数倍か半整数倍かで明暗が決まります。ニュートンリング（中心が暗い場合）の暗環条件は \(2d = m\lambda\) (空気中)、または \(2nd = m\lambda\) (屈折率 \(n\) の媒質中) です。
• ニュートンリングの式 \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\):
  • 核心: レンズの球面形状から導かれる、中心からの距離 \(r\) と空気層の厚さ \(d\) の関係です。
  • 理解のポイント: 三平方の定理と、\(d\) が \(r, R\) に比べて非常に小さいという近似 (\(d^2 \approx 0\)) を用いて導出されます。この関係式が干渉条件と結びつくことで、リングの半径と次数、波長、レンズの曲率半径の関係が明らかになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • くさび形空気層の干渉: 2枚のガラス板を重ね、一方の端に薄い紙などを挟んでくさび形の空気層を作った場合の干渉縞。考え方はニュートンリングとほぼ同じで、場所によって空気層の厚さが直線的に変わります。
  • 薄膜（シャボン玉、油膜など）の色づき: 薄膜の表裏で反射した光が干渉する現象。膜の厚さや見る角度、光の波長によって強め合う色が変わるため、鮮やかな色が見えます。この場合、光路差の計算に膜の厚さだけでなく入射角も関わってきます。
  • 反射防止膜（レンズコーティングなど）: 特定の波長の光に対して反射を抑える（弱め合う）ように膜の厚さと屈折率を設計します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 干渉が起きる場所の特定: どの部分（空気層、薄膜など）で光が干渉しているのかを把握します。
  2. 干渉する光の経路の特定: どの面で反射した光どうしが干渉するのかを明確にします（通常2つの光）。
  3. 光路差の計算: その2つの光の経路差を、層の厚さや入射角などから幾何学的に求めます。
  4. 反射点での位相変化の確認: 各反射面での屈折率の大小関係を確認し、位相が \(\pi\) ずれるかどうかを判断します。両方ずれるか両方ずれない場合は同位相、片方だけずれる場合は逆位相として扱います。
  5. 干渉条件の適用: 上記を踏まえ、強め合い（明線・明るい）または弱め合い（暗線・暗い）の条件式を立てます。
• 問題解決のヒント・注意点:
  • 近似の利用: 「薄膜」というからには層の厚さは非常に小さいことが多いです。ニュートンリングの \(d^2 \approx 0\) のような近似が使える場面があります。
  • 単位の統一: 波長、厚さ、半径などの単位（m, mm, nmなど）を計算過程で統一することが非常に重要です。特にグラフの読み取りでは注意が必要です。
  • 媒質中の波長/光路長: 光が屈折率 \(n\) の媒質中を進む場合、波長が \(\lambda/n\) になる（または幾何学的経路長に \(n\) をかけたものが光路長になる）ことを忘れないようにしましょう。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 反射における位相変化の条件の混同:
  • 誤解: 屈折率が大きい・小さいに関わらず、反射すれば常に位相がずれる、あるいは全くずれないと思い込む。
  • 対策: 「屈折率が小さい媒質から大きい媒質へ入射し反射するときに位相が \(\pi\) ずれる」というルールを正確に覚える。図を描いて媒質の屈折率を書き込み、光の進行方向と反射面を確認する習慣をつける。
• 光路差の計算ミス:
  • 誤解: 単純に層の厚さ \(d\) を光路差としてしまう（往復分の \(2d\) を忘れる）。斜め入射の場合の光路差計算の複雑化。
  • 対策: ニュートンリングや垂直入射に近い薄膜干渉では、光はほぼ垂直に層を往復すると考えて \(2d\) とするのが基本です。図で光の経路を丁寧に追うことが大切です。
• 干渉条件式の符号の混同:
  • 誤解: 強め合いと弱め合いの条件式 \(m\lambda\) と \((m+1/2)\lambda\) を、位相変化の有無を考慮せずに使ってしまう。
  • 対策:
    • 反射で位相のずれがない（または両方でずれる）場合: 強め合い \(2d = m\lambda\)、弱め合い \(2d = (m+1/2)\lambda\)。
    • 片方の反射でのみ位相が \(\pi\) ずれる場合: 強め合い \(2d = (m+1/2)\lambda\)、弱め合い \(2d = m\lambda\)。ニュートンリング（中心暗）はこちらのケースです。
• \(m=0\) の扱いの誤解:
  • 誤解: \(m=0\) は必ず明線（または暗線）の中心だと思い込む。
  • 対策: \(m=0\) が物理的に何を意味するか（例えばニュートンリングの中心では \(d=0\)）を考え、条件式と照らし合わせる。\(m=0\) が最初の明環/暗環に対応します。
• グラフの傾きと物理量の対応ミス:
  • 誤解: \(r^2 = (\lambda R)m\) のような式で、どの部分がグラフの傾きで、どの変数が軸に対応するかを間違える。単位換算を忘れる。
  • 対策: 式を \(y=ax\) の形に整理し、\(y\)軸の量、\(x\)軸の量、傾き \(a\) に対応する物理量を明確にする。グラフの軸の単位と物理量の単位を常に確認する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題での有効なイメージ化と図示:
  • レンズとガラス板の接点付近の拡大図: 問(1)で \(d, r, R\) の関係を導く際に、円弧の一部であるレンズ下面と平面ガラスの関係を拡大して描くことで、三平方の定理を適用する直角三角形が見えやすくなります（模範解答の図が参考になります）。
  • 光の反射経路図: レンズ下面とガラス板上面で反射する2つの光の経路を模式的に描くことで、光路差が生じる部分（空気層の往復）や反射点が明確になります。
  • 位相変化の書き込み: 反射点に「位相 \(\pi\) ずれる」「変化なし」などと書き込むことで、干渉条件を間違えにくくなります。
  • グラフ \(r^2\) vs \(m\): 問題で与えられたグラフ自体が、\(r^2\) と \(m\) の比例関係を視覚的に示しており、式の妥当性を確認したり、傾きから物理量を求めたりする上で非常に重要です。
• 図を描く際に注意すべき点:
  • 誇張表現: 実際のニュートンリングでは空気層の厚さ \(d\) は波長程度で非常に薄いですが、図で光路差や幾何学的関係を示す際には、ある程度誇張して描かないと分かりにくい場合があります。ただし、近似 (\(d^2 \approx 0\)) の意味合いは理解しておく必要があります。
  • 光線の角度: 実際には上方から平行光で照らし、ほぼ真上から観測するため、光は空気層に対してほぼ垂直に入射・反射しますが、図では経路を分かりやすくするために少し斜めに描くこともあります。
  • 記号の明記: \(d, r, R, \lambda, m, n\) などの記号が図のどの部分や物理量を指すのかを明確にすることが大切です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) (空気層の厚さの公式):
  • 選定理由: ニュートンリング特有の、レンズの曲率と中心からの距離による空気層の厚さを求めるため。
  • 適用根拠: レンズが球面の一部であり、その球面半径 \(R\) が既知（または未知数）で、\(d \ll R, d \ll r\) という近似が成り立つという幾何学的条件。
• \(2d = m\lambda\) または \(2nd = m\lambda\) (暗環の条件式):
  • 選定理由: 観測されるのが「暗環」であるため、弱め合いの干渉条件を選びます。
  • 適用根拠:
    1. 光路差が \(2d\) (または \(2nd\)) であること。
    2. ニュートンリングでは、一方の反射面（空気→ガラス）でのみ位相が \(\pi\) ずれるため、光路差が波長の整数倍で弱め合うという物理的状況。（もし両方の反射で位相がずれない、または両方でずれる場合は、弱め合いの条件は \(2d = (m+1/2)\lambda\) となります。）
• \(r^2 = (\text{定数}) \times m\) (グラフとの関連):
  • 選定理由: 導出した暗環の条件式を、実験結果のグラフ（\(r^2\) と \(m\) の関係）と比較し、未知数を求めるため。
  • 適用根拠: 条件式が \(r^2\) と \(m\) の比例関係を示しており、グラフの傾きが物理的パラメータ（\(\lambda, R, n\) を含む）に対応するという数学的構造。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 現象の把握: ニュートンリングは薄膜干渉の一種である。レンズとガラス間の空気層（または液体層）で光が干渉する。
2. (1) 幾何学的関係の導出:
   • 目的: 空気層の厚さ \(d\) を \(r, R\) で表す。
   • 方法: レンズの曲率を考慮し、三平方の定理を適用。\(d^2 \approx 0\) の近似を用いる。
   • 結果: \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\)
3. (2) 干渉条件の立式（空気中・暗環）:
   • 目的: 暗環ができる条件を \(r, R, \lambda, m\) で表す。
   • 考察1 (光路差): 空気層を往復するので \(2d\)。
   • 考察2 (位相変化): レンズ下面反射（大→小）は変化なし。ガラス板上面反射（小→大）は \(\pi\) ずれる。そのため、片方だけずれる。
   • 条件: 弱め合いなので、光路差 \(2d = m\lambda\)。
   • 結合: \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入し、\(\displaystyle\frac{r^2}{R} = m\lambda\)。
4. (3) 中心部の明暗判断:
   • 条件: \(r=0\) のとき、その結果として \(d=0\)。
   • 判断: 光路差0で片方位相がずれるため、弱め合い（暗）となる。または \(m=0\) を条件式に代入。
5. (4) 球面半径 \(R\) の計算:
   • 関係式: \(r^2 = (\lambda R)m\)。これは \(y = (\text{傾き})x\) の形。
   • グラフ: \(y \leftrightarrow r^2\), \(x \leftrightarrow m\)。傾き \(\leftrightarrow \lambda R\)。
   • 手順: 図2（○）から傾きを読み取る \(\rightarrow\) 単位換算 \(\rightarrow\) \(\lambda R = (\text{傾き})\) より \(R\) を計算。
6. (5) アルコールの屈折率 \(n\) の計算:
   • 考察1 (光路長/波長): アルコール中では光路長が \(2nd\) または波長が \(\lambda/n\)。
   • 考察2 (位相変化): 空気中と同様と仮定。
   • 条件（暗環）: \(2nd = m\lambda\)。これに \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を代入し、\(r^2 = \left(\displaystyle\frac{\lambda R}{n}\right)m\)。
   • グラフ: 傾き \(\leftrightarrow \displaystyle\frac{\lambda R}{n}\)。
   • 手順: 図2（×）から傾きを読み取る \(\rightarrow\) (4)で得た \(\lambda R\) の値（または傾きの比）から \(n\) を計算。
7. (6) レンズを離したときの影響:
   • 状況変化: 中心部の隙間 \(d_0 > 0\)。全厚さ \(d’ = d_0 + \displaystyle\frac{r^2}{2R}\)。
   • 条件（暗環）: \(2d’ = m\lambda\)。
   • 推論: \(m\) 一定で \(d_0\) が増えると、\(\displaystyle\frac{r^2}{2R}\) は減る必要があり、結果 \(r\) は減る。
8. (Q) 色によるリング順序:
   • 条件（明環）: \(r^2 = R(m+1/2)\lambda\)。
   • 関係: \(m\) 一定なら \(r \propto \sqrt{\lambda}\)。
   • 波長: \(\lambda_{\text{赤}} > \lambda_{\text{黄}} > \lambda_{\text{青}}\)。
   • 結論: \(r_{\text{赤}} > r_{\text{黄}} > r_{\text{青}}\)。よって中心から青、黄、赤の順。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算の徹底確認:
  • 特に注意すべき点: この問題では \(r^2\) の単位が \(\text{mm}^2\) で与えられていますが、波長 \(\lambda\) は \(\text{m}\) で与えられています。球面半径 \(R\) を \(\text{m}\) で求める場合、\(\text{mm}^2\) を \(\text{m}^2\) に変換 (\(1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2\)) する必要があります。この \(10^{-6}\) を忘れると、結果が大きくずれます。
  • 日頃の練習: 計算の各ステップで単位を併記し、最終的な答えの単位が物理的に正しいかを確認する習慣をつける。
• グラフの読み取り精度:
  • 特に注意すべき点: グラフから値を読み取る際は、誤差が生じやすいです。できるだけ原点から遠い、目盛りに乗っている点を複数選び、平均的な傾きを求めるか、問題作成者が意図したであろう格子点を正確に読み取ることが望ましいです。（この問題では格子点に乗っているようです。）
  • 日頃の練習: 定規を使い、丁寧に読み取る練習をする。グラフの1目盛りが何を表すのかを最初に確認する。
• 分数の計算・指数の計算:
  • 特に注意すべき点: (4)や(5)では、\(R = \displaystyle\frac{(\text{傾き}) \times (\text{単位変換係数})}{\lambda}\) のような計算や、\(n = \displaystyle\frac{(\text{空気中の傾き})}{(\text{アルコール中の傾き})}\) のような分数の割り算が出てきます。指数 (\(10^{-7}\), \(10^{-6}\)など) の計算も伴います。
  • 日頃の練習: 文字式だけでなく、具体的な数値での計算練習も行い、計算のスピードと正確性を高める。特に指数法則（\(10^a / 10^b = 10^{a-b}\)など）をスムーズに使えるようにする。
• 近似計算の適用範囲の理解:
  • 特に注意すべき点: (1)の \(d^2 \approx 0\) は非常に強力な近似ですが、これが使えるのは \(d\) が他の量に比べて十分に小さい場合のみです。この問題では明示されていますが、そうでない場合は近似の妥当性を検討する必要があります。
• 式の代入は慎重に:
  • 特に注意すべき点: \(d = \displaystyle\frac{r^2}{2R}\) を干渉条件に代入する際など、単純な代入ミスや符号ミスがないか確認する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (4) 球面半径 \(R\):
    • 吟味の視点: \(R \approx 8.2 \text{ m}\) という値は、ニュートンリングを観察できるような「球面半径の大きい」平凸レンズとして妥当な大きさか？ 日常で見かけるレンズはもっと曲率がきつい（\(R\)が小さい）ものが多いですが、実験用の特殊なものと考えればあり得る範囲です。もしこれが数mmのような極端に小さい値や、地球の半径のような極端に大きい値になったら、計算を疑うべきです。
    • 比較: 身の回りのものの曲率半径を想像してみる（例：眼鏡のレンズ、ボールなど）。
  • (5) アルコールの屈折率 \(n\):
    • 吟味の視点: \(n \approx 1.4\) という値は、液体として妥当か？ 水の屈折率が約1.33、多くの有機溶媒（エタノールは約1.36）が1.3～1.5程度であることを考えると、これは非常に妥当な値です。屈折率が1未満になったり、2を超えるような大きな値になった場合は、計算ミスを疑います。
    • 比較: \(n_{\text{空気}} \approx 1\) と比較して、液体なので1より大きいことは当然。グラフの傾きが空気中より小さくなったこと (\(\lambda R/n < \lambda R\)) からも \(n>1\) が示唆されます。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • (3) 中心の明暗: 中心部では \(r=0\) であり、その結果 \(d=0\) となります。光路差0で片方の反射で位相が \(\pi\) ずれるので暗くなる、というのは基本的な知識とも一致します。もし明るいという結果が出たら、位相変化の考察が間違っている可能性が高いです。
  • (Q) 色とリングの半径: 波長が長い赤色光の方が、波長が短い青色光よりも大きな半径のリングを作る (\(r \propto \sqrt{\lambda}\)) というのは、回折格子など他の干渉・回折現象で見られる傾向（波長が長いほど広がる）とも整合性があります。
• 条件式の \(m\) の意味の再確認:
  • \(m=0, 1, 2, \dots\) という整数が、中心から数えて何番目の暗環（または明環）に対応するか。\(m=0\) が中心の暗環（半径0）に対応することは、式と現象がうまく合致していることを示します。

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問題5 (立命館大)