問題73 反射の法則・屈折の法則 (京都工繊大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解: 速度比を用いた屈折の法則の導出
- 模範解答の別解にある通り、屈折率の定義 \(n = c/v\) を用いて、媒質中の光速比から屈折の法則を導き、臨界角の条件を求めます。
- 設問(1)〜(5)の別解: フェルマーの原理（最小時間の原理）を用いた体系的解法
- 幾何光学の根本原理である「光は所要時間が最小（極値）となる経路を通る」というフェルマーの原理から、スネルの法則（屈折の法則）を微分を用いて導出し、全反射や光ファイバー内の伝播時間を統一的に解説します。
- 設問(2)の別解: 速度比を用いた屈折の法則の導出
- 上記の別解が有益である理由
- 速度比の解法: 屈折率の物理的意味（光の遅れ具合）を直接的に理解でき、公式を忘れた際の再導出にも役立ちます。
- フェルマーの原理: 「なぜ光は折れ曲がるのか」という根本的な問いに答え、変分原理という物理学の深遠な枠組みへの入り口となります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「光ファイバーの原理と全反射」です。
屈折率の異なる媒質の境界で光がどのように進むか（屈折・反射）を理解し、光が媒質中に閉じ込められて進む条件（全反射条件）を導きます。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 屈折の法則（スネルの法則）: \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\)
- 全反射: 屈折率の大きい媒質から小さい媒質へ光が入射するとき、入射角がある臨界角を超えると、光は境界面ですべて反射されます。
- 幾何学的関係: 入射角、屈折角、反射角の関係を図形的に把握します。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)〜(3)では、境界面ごとの屈折の法則と全反射の条件式を立てて解きます。
- (4)では、光の経路長と媒質中の光速から時間を求めます。
- (5)では、(3)で求めた条件式に具体的な屈折率を代入して範囲を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
空気（屈折率 \(1\)）からガラス棒A（屈折率 \(n_{\text{A}}\)）への光の入射を考えます。
入射角は \(\alpha\)、屈折角は \(\beta\) です。
屈折の法則をそのまま適用します。
この設問における重要なポイント
- 屈折率の定義: 空気の屈折率は \(1\) とします。
- スネルの法則: \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) の形を常に意識します。
具体的な解説と立式
空気側（媒質1）の屈折率を \(n_1 = 1\)、入射角を \(\theta_1 = \alpha\) とします。
ガラス棒A側（媒質2）の屈折率を \(n_2 = n_{\text{A}}\)、屈折角を \(\theta_2 = \beta\) とします。
これらを屈折の法則に適用します。
$$
\begin{aligned}
1 \cdot \sin \alpha &= n_{\text{A}} \sin \beta \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 屈折の法則: \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\)
式①を変形して、関係式として整理します。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{A}} &= \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}
\end{aligned}
$$
（または \(\sin \alpha = n_{\text{A}} \sin \beta\)）
空気中を進んできた光がガラスに入るとき、進むスピードが遅くなるため、進行方向が曲がります。
この曲がり具合は「屈折率」によって決まり、入射角のサインと屈折角のサインの比が屈折率に等しくなるというルールがあります。
\(\sin \alpha = n_{\text{A}} \sin \beta\) （または \(n_{\text{A}} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\)）
基本的な法則の確認であり、妥当です。
問(2)
思考の道筋とポイント
光がガラス棒Aから媒質Bへ進む際の全反射条件を求めます。
全反射は、屈折角が \(90^\circ\) になるときの入射角（臨界角 \(\theta_0\)）以上で起こります。
ここでは臨界角 \(\theta_0\) そのものの定義式を求めます。
この設問における重要なポイント
- 全反射の条件: \(n_{\text{入射}} > n_{\text{透過}}\) （今回は \(n_{\text{A}} > n_{\text{B}}\)）である必要があります。
- 臨界角: 屈折角が \(90^\circ\) になる瞬間の入射角です。
具体的な解説と立式
ガラス棒A（屈折率 \(n_{\text{A}}\)）から媒質B（屈折率 \(n_{\text{B}}\)）への入射を考えます。
入射角が臨界角 \(\theta_0\) のとき、屈折角は \(90^\circ\) となります。
屈折の法則を適用します。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{A}} \sin \theta_0 &= n_{\text{B}} \sin 90^\circ \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 屈折の法則: \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\)
\(\sin 90^\circ = 1\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{A}} \sin \theta_0 &= n_{\text{B}} \cdot 1 \\[2.0ex]
\sin \theta_0 &= \frac{n_{\text{B}}}{n_{\text{A}}}
\end{aligned}
$$
光が「濃い」媒質（屈折率大）から「薄い」媒質（屈折率小）へ出ようとするとき、屈折角は入射角より大きくなります。
入射角を大きくしていくと、屈折角が先に \(90^\circ\) に達してしまい、光が外に出られなくなります。このギリギリの角度を臨界角といいます。
\(\sin \theta_0 = \frac{n_{\text{B}}}{n_{\text{A}}}\)
\(n_{\text{A}} > n_{\text{B}}\) より右辺は1より小さくなり、\(\sin \theta_0\) の値として定義可能です。
思考の道筋とポイント
屈折率 \(n\) は、真空中での光速 \(c\) と媒質中での光速 \(v\) の比 \(n = c/v\) で定義されます。
これを用いて、媒質Aと媒質Bでの光速の比から屈折の法則を導きます。
この設問における重要なポイント
- 光速と屈折率: \(v = c/n\)
- 相対屈折率: \(n_{\text{AB}} = \frac{n_{\text{B}}}{n_{\text{A}}} = \frac{v_{\text{A}}}{v_{\text{B}}}\)
具体的な解説と立式
媒質A中の光速を \(v_{\text{A}}\)、媒質B中の光速を \(v_{\text{B}}\) とします。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{A}} &= \frac{c}{n_{\text{A}}} \\[2.0ex]
v_{\text{B}} &= \frac{c}{n_{\text{B}}}
\end{aligned}
$$
屈折の法則は、波面の幾何学的関係から速度比で表されます。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin \theta_{\text{A}}}{\sin \theta_{\text{B}}} &= \frac{v_{\text{A}}}{v_{\text{B}}} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
ここで、入射角 \(\theta_{\text{A}} = \theta_0\)、屈折角 \(\theta_{\text{B}} = 90^\circ\) とします。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin \theta_0}{\sin 90^\circ} &= \frac{v_{\text{A}}}{v_{\text{B}}} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 屈折率の定義: \(n = c/v\)
- 屈折の法則（速度形）
式④に速度の式を代入します。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_0 &= \frac{c/n_{\text{A}}}{c/n_{\text{B}}} \\[2.0ex]
&= \frac{c}{n_{\text{A}}} \cdot \frac{n_{\text{B}}}{c} \\[2.0ex]
&= \frac{n_{\text{B}}}{n_{\text{A}}}
\end{aligned}
$$
光の速さが変わる比率がそのまま、角度のサインの比率になります。
速さと屈折率は逆数の関係にあるので、屈折率の比としては逆になります。
メイン解法と同じ結果が得られました。
問(3)
思考の道筋とポイント
光が側面から外に出ない、つまり側面で全反射するための条件を求めます。
側面への入射角を幾何学的に求め、それが臨界角 \(\theta_0\) より大きくなる条件を立式します。
この設問における重要なポイント
- 入射角の変換: 上端面での屈折角 \(\beta\) と、側面への入射角 \(\theta_{\text{側面}}\) の関係は、直角三角形の幾何学から \(\theta_{\text{側面}} = 90^\circ – \beta\) となります。
- 全反射条件: 入射角 \(> \theta_0\) すなわち \(\sin(\text{入射角}) > \sin \theta_0\)
具体的な解説と立式
側面への入射角を \(\theta’\) とします。図より、
$$
\begin{aligned}
\theta’ &= 90^\circ – \beta
\end{aligned}
$$
全反射するための条件は、この入射角 \(\theta’\) が臨界角 \(\theta_0\) より大きいことです。
$$
\begin{aligned}
\theta’ &> \theta_0 \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
サイン関数は \(0^\circ\) から \(90^\circ\) で単調増加なので、両辺のサインをとっても大小関係は変わりません。
$$
\begin{aligned}
\sin(90^\circ – \beta) &> \sin \theta_0 \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
左辺は \(\cos \beta\) に変形できます。
$$
\begin{aligned}
\cos \beta &> \sin \theta_0 \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
ここで、\(\cos \beta\) を \(\sin \alpha\) で表す必要があります。
問(1)の結果 \(\sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n_{\text{A}}}\) と、三角関数の相互関係 \(\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1\) を用います。
$$
\begin{aligned}
\cos \beta &= \sqrt{1 – \sin^2 \beta} \\[2.0ex]
&= \sqrt{1 – \left( \frac{\sin \alpha}{n_{\text{A}}} \right)^2} \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
また、右辺の \(\sin \theta_0\) は問(2)の結果を用います。
$$
\begin{aligned}
\sin \theta_0 &= \frac{n_{\text{B}}}{n_{\text{A}}} \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
これらを式⑦に代入して不等式を作ります。
使用した物理公式
- 三角関数の公式: \(\sin(90^\circ – \theta) = \cos \theta\), \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
式⑧、⑨を式⑦に代入します。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{1 – \frac{\sin^2 \alpha}{n_{\text{A}}^2}} &> \frac{n_{\text{B}}}{n_{\text{A}}}
\end{aligned}
$$
両辺は共に正なので、2乗しても大小関係は変わりません。
$$
\begin{aligned}
1 – \frac{\sin^2 \alpha}{n_{\text{A}}^2} &> \frac{n_{\text{B}}^2}{n_{\text{A}}^2}
\end{aligned}
$$
両辺に \(n_{\text{A}}^2\) を掛けます。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{A}}^2 – \sin^2 \alpha &> n_{\text{B}}^2
\end{aligned}
$$
\(\sin \alpha\) について整理します。
$$
\begin{aligned}
\sin^2 \alpha &< n_{\text{A}}^2 – n_{\text{B}}^2
\end{aligned}
$$
\(\alpha\) は \(0^\circ \le \alpha < 90^\circ\) なので \(\sin \alpha \ge 0\) です。
$$
\begin{aligned}
\sin \alpha &< \sqrt{n_{\text{A}}^2 – n_{\text{B}}^2}
\end{aligned}
$$
光が側面で反射されるためには、側面に対して「浅い角度」で当たる必要があります。
そのためには、最初の面（上端面）であまり大きく曲がってはいけません。
最初の入射角 \(\alpha\) が大きすぎると、屈折角 \(\beta\) も大きくなり、結果として側面に「深い角度（垂直に近い角度）」で当たってしまい、外に漏れてしまいます。
だから、\(\alpha\) には上限があります。
\(\sin \alpha < \sqrt{n_{\text{A}}^2 – n_{\text{B}}^2}\)
ルートの中身が正であるためには \(n_{\text{A}} > n_{\text{B}}\) が必要ですが、これは問題の前提条件と一致します。
問(4)
思考の道筋とポイント
光がガラス棒の中をジグザグに進んで反対側まで到達する時間を求めます。
光が進む実際の道のりの長さ \(L\) を求め、それをガラス中の光速 \(v_{\text{A}}\) で割ります。
この設問における重要なポイント
- 光速の低下: ガラス中の光速は \(v_{\text{A}} = c/n_{\text{A}}\) です。
- 経路長: ガラス棒の長さ \(l\) は「軸方向の長さ」です。光は斜めに進むので、実際の道のり \(L\) は \(l\) より長くなります。
- 幾何学的関係: 図より、\(l = L \cos \beta\) の関係があります。
具体的な解説と立式
ガラス棒Aの中での光速 \(v_{\text{A}}\) は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{A}} &= \frac{c}{n_{\text{A}}} \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$
光が進む実際の距離を \(L\) とします。
光の進行方向と中心軸のなす角は \(\beta\) なので、軸方向の長さ \(l\) との関係は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
L \cos \beta &= l \\[2.0ex]
L &= \frac{l}{\cos \beta} \quad \cdots ⑪
\end{aligned}
$$
求める時間 \(t\) は、距離 \(L\) を速さ \(v_{\text{A}}\) で割ったものです。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{L}{v_{\text{A}}} \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 時間 = 距離 / 速さ
式⑩、⑪を式⑫に代入します。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{l / \cos \beta}{c / n_{\text{A}}} \\[2.0ex]
&= \frac{l}{\cos \beta} \cdot \frac{n_{\text{A}}}{c} \\[2.0ex]
&= \frac{n_{\text{A}} l}{c \cos \beta}
\end{aligned}
$$
光は真っ直ぐ進むのではなく、ジグザグに進むので、その分だけ余計に距離を走ります。
さらに、ガラスの中では光のスピードが落ちます。
「距離が伸びる」効果と「スピードが落ちる」効果の両方を考慮して時間を計算します。
\(t = \frac{n_{\text{A}} l}{c \cos \beta}\)
\(\beta=0\)（直進）なら \(t = n_{\text{A}} l / c\) となり、単純な透過時間と一致します。
問(5)
思考の道筋とポイント
問(3)で求めた条件式 \(\sin \alpha < \sqrt{n_{\text{A}}^2 – n_{\text{B}}^2}\) を具体的な状況に適用します。
「\(\alpha\) の値にかかわらず」とは、あらゆる入射角（\(0^\circ \le \alpha < 90^\circ\)）で条件が成立することを意味します。つまり、\(\sin \alpha\) の最大値である \(1\) よりも右辺が大きいということです。
「\(\alpha\) の値によっては」とは、条件が成立しない場合がある、つまり右辺が \(1\) より小さいことを意味します。
この設問における重要なポイント
- 空気の場合: \(n_{\text{B}} = 1\)。常に全反射 \(\Rightarrow\) 右辺 \(> 1\)
- 水の場合: \(n_{\text{B}} = 4/3\)。全反射しない場合あり \(\Rightarrow\) 右辺 \(< 1\)
具体的な解説と立式
問(3)の条件式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
\sin \alpha &< \sqrt{n_{\text{A}}^2 – n_{\text{B}}^2} \quad \cdots ⑬
\end{aligned}
$$
\(\sin \alpha\) の取りうる最大値は \(1\)（\(\alpha = 90^\circ\) のとき）です。
条件1: 媒質Bが空気（\(n_{\text{B}}=1\)）のとき
すべての \(\alpha\) で全反射するということは、不等式の右辺が \(\sin \alpha\) の最大値 \(1\) よりも大きければよいです（等号を含めてもよいですが、厳密には \(\alpha < 90^\circ\) なので \(1\) 以上）。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{n_{\text{A}}^2 – 1^2} &> 1 \quad \cdots ⑭
\end{aligned}
$$
（注：問題文のニュアンスから、\(\alpha=90^\circ\) ギリギリでも全反射するという意味で、等号を含めて \(\ge 1\) と考えるのが一般的です。模範解答も等号を含めています。）
条件2: 媒質Bが水（\(n_{\text{B}}=4/3\)）のとき
\(\alpha\) によっては光が出てくる（全反射しない）ということは、条件式⑬が成り立たない場合があるということです。
つまり、右辺が \(\sin \alpha\) の最大値 \(1\) よりも小さければ、大きな \(\alpha\) のときに不等式が満たされなくなります。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{n_{\text{A}}^2 – \left( \frac{4}{3} \right)^2} &< 1 \quad \cdots ⑮
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 不等式の成立条件
式⑭を解きます。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{A}}^2 – 1 &> 1 \\[2.0ex]
n_{\text{A}}^2 &> 2 \\[2.0ex]
n_{\text{A}} &> \sqrt{2} \quad (n_{\text{A}} > 0)
\end{aligned}
$$
式⑮を解きます。
$$
\begin{aligned}
n_{\text{A}}^2 – \frac{16}{9} &< 1 \\[2.0ex]
n_{\text{A}}^2 &< 1 + \frac{16}{9} \\[2.0ex]
n_{\text{A}}^2 &< \frac{25}{9} \\[2.0ex]
n_{\text{A}} &< \frac{5}{3} \quad (n_{\text{A}} > 0)
\end{aligned}
$$
これらを合わせます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2} &< n_{\text{A}} < \frac{5}{3}
\end{aligned}
$$
模範解答に従い、等号を含めるかどうかの吟味をします。
境界条件（\(\alpha=90^\circ\)）を含めるなら等号がつきます。
$$
\begin{aligned}
\sqrt{2} \le n_{\text{A}} < \frac{5}{3}
\end{aligned}
$$
（水の場合は「出てくる」条件なので、\(<1\) で正しいですが、境界値を含めるなら \(\le\) となります。ただし、物理的には臨界角ジャストでは全反射とみなすことが多いです。）
ガラスの屈折率 \(n_{\text{A}}\) が大きいほど、光を閉じ込める力（全反射させる力）が強くなります。
外が空気（スカスカ）なら閉じ込めやすいですが、外が水（そこそこ詰まっている）だと閉じ込めにくいです。
「空気なら絶対閉じ込めるけど、水だと漏れちゃう」という絶妙な屈折率の範囲を計算しました。
\(\sqrt{2} \le n_{\text{A}} < \frac{5}{3}\)
\(\sqrt{2} \approx 1.41\)、\(5/3 \approx 1.67\) なので、一般的なガラスの屈折率（1.5程度）はこの範囲に入っており、現実的な設定です。
思考の道筋とポイント
幾何光学の基本原理である「フェルマーの原理（最小時間の原理）」から出発し、スネルの法則を導出します。
これにより、公式を暗記せずとも現象を記述できます。
この設問における重要なポイント
- フェルマーの原理: 光は2点間を移動する際、所要時間が極値（通常は最小）となる経路を通る。
- 所要時間の関数化: 経路を座標変数で表し、時間をその関数として記述します。
- 微分による極値探索: 時間関数を座標で微分して0とおきます。
具体的な解説と立式
スネルの法則の導出
媒質1（屈折率 \(n_1\)、光速 \(v_1\)）と媒質2（屈折率 \(n_2\)、光速 \(v_2\)）の境界面を \(x\) 軸とします。
点A \((0, a)\) から出た光が、\(x\) 軸上の点P \((x, 0)\) を通って、点B \((L, -b)\) に到達するとします。
所要時間 \(T(x)\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
T(x) &= \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{(L-x)^2 + b^2}}{v_2} \quad \cdots ⑯
\end{aligned}
$$
フェルマーの原理より、\(dT/dx = 0\) となる \(x\) を光は通ります。
$$
\begin{aligned}
\frac{dT}{dx} &= \frac{1}{v_1} \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{1}{v_2} \frac{-(L-x)}{\sqrt{(L-x)^2 + b^2}} \quad \cdots ⑰
\end{aligned}
$$
この式を \(0\) とおきます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{v_1} \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} – \frac{1}{v_2} \frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + b^2}} &= 0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 微分の公式: \(\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)} = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\)
- 屈折率の定義: \(n = c/v\)
図形的に \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \sin \theta_1\)、\(\frac{L-x}{\sqrt{(L-x)^2 + b^2}} = \sin \theta_2\) です。
$$
\begin{aligned}
\frac{\sin \theta_1}{v_1} – \frac{\sin \theta_2}{v_2} &= 0 \\[2.0ex]
\frac{\sin \theta_1}{v_1} &= \frac{\sin \theta_2}{v_2}
\end{aligned}
$$
\(v = c/n\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{n_1 \sin \theta_1}{c} &= \frac{n_2 \sin \theta_2}{c} \\[2.0ex]
n_1 \sin \theta_1 &= n_2 \sin \theta_2
\end{aligned}
$$
これで問(1)の基礎となる法則が導かれました。
全反射条件の導出
\(\sin \theta_2 = \frac{n_1}{n_2} \sin \theta_1\) において、\(\sin \theta_2 > 1\) となる条件（解なし）が全反射に対応します。
臨界角は \(\sin \theta_2 = 1\) となる \(\theta_1\) です。
$$
\begin{aligned}
1 &= \frac{n_1}{n_2} \sin \theta_0 \\[2.0ex]
\sin \theta_0 &= \frac{n_2}{n_1}
\end{aligned}
$$
これは問(2)の結果（\(n_1=n_{\text{A}}, n_2=n_{\text{B}}\)）と一致します。
光ファイバー内の伝播時間
問(4)の時間 \(t\) も、光路長（光学距離）\(S = \int n ds\) を用いて \(t = S/c\) と表せます。
実際の経路長 \(L = l/\cos \beta\) なので、光学距離は \(n_{\text{A}} L\) です。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{n_{\text{A}} L}{c} \\[2.0ex]
&= \frac{n_{\text{A}} l}{c \cos \beta}
\end{aligned}
$$
これも問(4)と一致します。
「光は最短時間で進む」というたった一つのルールから、光がどう曲がるか、いつ反射するか、どれくらい時間がかかるか、すべてを計算で導き出せました。
これが物理学の強力なところです。
フェルマーの原理という一つの原理から、屈折の法則、全反射、伝播時間のすべてが整合的に導かれました。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- スネルの法則（屈折の法則）
- 核心: 異なる媒質の境界において、光の進行方向の変化（屈折）は、各媒質の屈折率と入射角・屈折角のサインの積が保存されるという法則 \(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\) に従います。
- 理解のポイント:
- 屈折率の意味: 屈折率 \(n\) が大きいほど光速 \(v=c/n\) は遅くなり、光は「遅い媒質」の方へ曲がろうとします（法線に近づく）。
- 可逆性: 光の経路は逆向きに進んでも同じ道をたどります。
- 全反射と臨界角
- 核心: 光が「屈折率の大きい媒質」から「小さい媒質」へ進む際、入射角がある角度（臨界角）を超えると、屈折光が存在できなくなり、すべての光が反射されます。
- 理解のポイント:
- 条件: \(n_{\text{入}} > n_{\text{出}}\) かつ \(\sin \theta_{\text{入}} > n_{\text{出}}/n_{\text{入}}\)。
- 臨界角の定義: 屈折角が \(90^\circ\) になる瞬間の入射角 \(\theta_0\) です。\(\sin \theta_0 = n_{\text{出}}/n_{\text{入}}\)。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 光ファイバー: 本問そのものです。芯（コア）の屈折率を鞘（クラッド）より高くすることで、光を閉じ込めて長距離伝送します。
- プリズム: ガラスの三角柱内での屈折と全反射を組み合わせた問題。各面でのスネルの法則と幾何学的関係（三角形の内角の和など）を連立させます。
- 蜃気楼: 空気の密度（屈折率）が連続的に変化する場合、光が徐々に曲げられて全反射のような現象が起きます。
- 初見の問題での着眼点:
- 屈折率の大小関係: どっちが「濃い（\(n\)大）」でどっちが「薄い（\(n\)小）」かを確認します。全反射は「濃い \(\to\) 薄い」でしか起きません。
- 角度の変換: 「境界面への入射角」と「前の面での屈折角」の関係を、直角三角形や錯角を使って見つけ出します（例: \(\theta’ = 90^\circ – \beta\)）。
- 不等式の向き: 「全反射する条件」なら \(\sin \theta > \sin \theta_0\)、「外に出る条件」なら \(\sin \theta < \sin \theta_0\) です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 入射角の取り違え:
- 誤解: 境界面と光線のなす角を「入射角」として公式に代入してしまう。
- 対策: 入射角・屈折角・反射角はすべて「法線（面に垂直な線）」とのなす角です。図に必ず法線を引き、角度をマークする癖をつけましょう。
- 全反射条件の逆転:
- 誤解: \(n_{\text{A}} < n_{\text{B}}\) なのに全反射の計算をしてしまう、あるいは \(\sin \theta_0 = n_{\text{A}}/n_{\text{B}}\) （\(>1\) になってしまう）としてしまう。
- 対策: \(\sin \theta\) は必ず1以下です。分数は必ず「小さい方 / 大きい方」になります。また、全反射は「スピードが速くなる側へ出るとき」にしか起きないと直感的に覚えておきます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(3)での「三角関数の合成と不等式」:
- 選定理由: 幾何学的な条件（\(90^\circ – \beta\)）と物理的な条件（スネルの法則）を繋ぐために、\(\cos \beta\) を \(\sin \alpha\) に変換する必要があったため、\(\sin^2 + \cos^2 = 1\) を経由しました。
- 適用根拠: 角度が \(0^\circ \sim 90^\circ\) の範囲にあるため、平方根をとっても符号の曖昧さがなく、不等式の向きが保存されます。
- 問(4)での「経路長の計算」:
- 選定理由: 単純に軸方向の長さ \(l\) を速度で割るのではなく、実際に光が走るジグザグの道のり \(L\) を使う必要があります。
- 適用根拠: 等速直線運動の公式 \(t = x/v\) は、実際の移動距離 \(x\) に対して適用されるものです。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 極限のチェック:
- 意識: 角度が \(0\) や \(90^\circ\) のとき、式がどうなるか確認します。
- 実践: 問(1)で \(\alpha=0\) なら \(\beta=0\) （直進）になるか？ \(\sin 0 = n \sin 0\) で成立。問(4)で \(\beta=0\) なら \(t = nl/c\) （最短時間）になるか？ \(\cos 0 = 1\) なので成立。
- 屈折率の相対関係:
- 意識: 屈折率 \(n\) は通常1より大きい値です。式変形の結果、\(\sin \theta\) が1を超えたり、ルートの中が負になったりしていないか確認します。
- 実践: 問(5)の \(\sqrt{n_{\text{A}}^2 – n_{\text{B}}^2}\) において、もし \(n_{\text{A}} < n_{\text{B}}\) ならルート内が負になり、物理的にあり得ない（全反射しない）ことが数式からも分かります。
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問題74 レンズ (熊本大＋東京電機大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている「レンズの公式」を用いた解法を主たる解説としつつ、以下の別解を提示します。
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: ニュートンの公式を用いた解法
- 模範解答がレンズの中心を基準とするガウスの公式 \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) を用いるのに対し、焦点を基準とするニュートンの公式 \(xx’ = f^2\) を用いて計算を簡略化します。
- 設問(2)の別解: 光の逆進性と対称性を用いた解法
- 2次方程式を解く代わりに、光の経路が逆になっても成り立つ性質（逆進性）を利用し、計算なしで直感的に解を導きます。
- 設問(4)の別解: 虚物体としての検証（模範解答Qの補足）
- レンズ \(L_2\) の位置関係が不明な場合（\(l < 40\) のケース）でも、虚物体の概念を用いることで矛盾なく同じ結果が得られることを数式で検証します。
- 設問(5)の後の体系的別解: 微積分（フェルマーの原理）を用いたレンズ公式の導出
- レンズの公式を既知とせず、「光は所要時間が最小（極値）となる経路を通る（フェルマーの原理）」という根本原理から出発し、近軸近似を用いて公式そのものを導出します。
- 設問(1)の別解: ニュートンの公式を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- ニュートンの公式: 焦点距離と物体・像の位置関係が明確になり、特に倍率計算や位置関係の把握において計算ミスを減らせます。
- 光の逆進性: 物理現象の対称性を理解することで、複雑な計算を回避し、瞬時に答えを見抜く洞察力を養います。
- フェルマーの原理: 公式の暗記に頼らず、幾何光学の根底にある物理法則を理解することで、応用問題への対応力を高めます。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「組み合わせレンズと光の屈折」です。複数のレンズや媒質が存在する場合の像の追跡方法を扱います。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- レンズの公式（ガウスの公式）: 焦点距離 \(f\)、物体距離 \(a\)、像距離 \(b\) の間に成り立つ \(\displaystyle \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}\) の関係。
- 倍率の公式: 像の倍率 \(m\) は \(m = \left| \frac{b}{a} \right|\) で表されます。
- 実像と虚像、虚物体: 光が集まってできる実像（\(b>0\)）、光の発散中心となる虚像（\(b<0\)）、そしてレンズの後方に集まろうとする光を遮ってレンズを置いた場合の虚物体（\(a<0\)）の区別が重要です。
- 見かけの深さ: 屈折率 \(n\) の媒質中にある物体は、空気中から見ると浅い位置にあるように見えます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)(2)では、単一の凸レンズにおける基本的な結像公式の適用と、物体と像の共役関係（入れ替え可能性）を利用します。
- (3)では、液体の屈折による「見かけの深さ」を考慮し、実質的な物体距離の変化として処理します。
- (4)(5)では、2枚目のレンズにとって「1枚目のレンズが作った像」が「物体」として振る舞うことを利用し、段階的に像の位置を追跡します。特に(5)では虚物体の扱いが鍵となります。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
市販の解説では省略されてしまう「行間の思考」を、泥臭く解説しています。
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