「名問の森」徹底解説（58〜60問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題58 (センター試験+岐阜大+室蘭工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、真空中に水平に固定され、滑らかに動くピストンで連結された断熱容器A、B内の理想気体の状態変化を扱うものです。セクションIでは両容器の断面積が同じ場合、セクションIIではBの断面積がAの2倍の場合について、温度変化や熱の出入り、体積変化などを考察します。最後に、大気圧が存在する場合の影響についても問われています。理想気体の状態方程式、熱力学第一法則、そしてピストンの力のつり合いを正確に適用することが鍵となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く上で中心となるのは、「理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\)」、「熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)」、そして「ピストンの力のつり合い」です。特に、単原子分子理想気体の内部エネルギーが \(U = \frac{3}{2}nRT\) であること、断熱変化では \(Q=0\) であること、そして連結されたピストンの動きによる体積変化の関係を正確に捉えることが重要になります。

問 (1)

思考の道筋とポイント
ピストンは滑らかに動き、最終的にAとBの気体が及ぼす力がつり合って静止します。両容器の断面積が同じなので、これはA内の気体の圧力とB内の気体の圧力が等しくなることを意味します。この等しい圧力を\(P_A\)とします。Aの体積が\(V_A\)になったとき、容器全体の体積は\(V_0 + V_0 = 2V_0\)で一定なので、Bの体積は\(2V_0 – V_A\)となります。これらの情報と、AとBそれぞれの最終的な温度を使って状態方程式を立てれば、未知数である\(V_A\)と\(P_A\)を求めることができます。
この設問における重要なポイント

• ピストンが静止する条件は、両側の気体の圧力が等しくなることです（断面積が等しい場合）。
• AとB、それぞれについて理想気体の状態方程式を適用します。
• AとBの体積の和が、初期の体積の和\(2V_0\)に等しいことを利用します。

具体的な解説と立式
操作後のA内の気体の圧力を\(P_A\)、体積を\(V_A\)、温度を\(T_1\)とします。
操作後のB内の気体の圧力も\(P_A\) (ピストンにかかる力がつりあうため)、体積を\(V_B\)、温度を\(T_0\)とします。
各気体の物質量は\(n=1 \, \text{mol}\)です。

気体Aについて、理想気体の状態方程式は、
$$
\begin{aligned}
P_A V_A &= R T_1 \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
気体Bについて、理想気体の状態方程式は、
$$
\begin{aligned}
P_A V_B &= R T_0 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
系全体の体積は\(2V_0\)で一定なので、
$$
\begin{aligned}
V_A + V_B &= 2V_0 \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
式③から\(V_B = 2V_0 – V_A\)として式②に代入すると、
$$
\begin{aligned}
P_A (2V_0 – V_A) &= R T_0 \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
これで、未知数\(P_A\)と\(V_A\)に関する連立方程式①と④が得られました。

式①を\(P_A\)について解くと\(P_A = \displaystyle\frac{R T_1}{V_A}\)となります。これを式④に代入します。
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{R T_1}{V_A}\right) (2V_0 – V_A) &= R T_0
\end{aligned}
$$
両辺の\(R\)を消去し、\(V_A\)を掛けて分母を払います。
$$
\begin{aligned}
T_1 (2V_0 – V_A) &= T_0 V_A \\[2.0ex]
2V_0 T_1 – V_A T_1 &= T_0 V_A \\[2.0ex]
2V_0 T_1 &= (T_0 + T_1) V_A
\end{aligned}
$$
したがって、\(V_A\)は次のように求まります。
$$
\begin{aligned}
V_A &= \frac{2T_1}{T_0 + T_1} V_0
\end{aligned}
$$
次に、この\(V_A\)の結果を式①に代入して\(P_A\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
P_A &= \frac{R T_1}{V_A} = \frac{R T_1}{\frac{2T_1}{T_0 + T_1} V_0} \\[2.0ex]
&= R T_1 \cdot \frac{T_0 + T_1}{2T_1 V_0} \\[2.0ex]
&= \frac{R(T_0 + T_1)}{2V_0}
\end{aligned}
$$

Aの部屋を温めると、中の気体は元気になって膨らもうとし、ピストンを右に押します。ピストンはBの部屋の気体を押し縮めながら右に動き、やがてAの気体が押す力とBの気体が押す力が釣り合ったところで止まります。今回はピストンの面積が左右で同じなので、これはAとBの「圧力」が等しくなったことを意味します。
この最終状態について、AとBそれぞれで気体の法則「圧力×体積＝物質量×R×温度」が成り立ちます。また、Aの体積とBの体積を足したものは、全体の長さが変わらないので、最初の体積の合計\(2V_0\)のままです。これら3つの関係式を組み合わせることで、最終的なAの体積と圧力を計算することができます。

操作後のA内の気体の体積は\(V_A = \displaystyle\frac{2T_1}{T_0 + T_1} V_0\)、圧力は\(P_A = \displaystyle\frac{R(T_0 + T_1)}{2V_0}\)です。
もし\(T_1 = T_0\)なら、\(V_A = V_0\), \(P_A = RT_0/V_0\)となり、初期状態と一致します。また、\(T_1 > T_0\)なら\(V_A > V_0\)となり、Aは膨張します。これは物理的に妥当です。

問 (2)

思考の道筋とポイント
Aは熱\(Q_\alpha\)を吸収し、温度が\(T_0 \rightarrow T_1\)に変化し、体積も変化します。この過程でAはBに対して仕事をします。Bは温度が\(T_0\)で一定に保たれながら、Aから仕事をされます。温度を一定に保つために、Bは熱\(Q_\beta\)を放出します。
AとBそれぞれについて熱力学第一法則の式を立て、Aがした仕事とBがされた仕事の大きさが等しいことを利用して\(Q_\beta\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 気体A、気体Bそれぞれに熱力学第一法則\(\Delta U = Q – W_{\text{した}}\)を適用します。
• 単原子分子理想気体の内部エネルギー変化は\(\Delta U = \displaystyle\frac{3}{2}nR\Delta T\)で計算します。
• 気体Aがした仕事の大きさと、気体Bがされた仕事の大きさは等しくなります。
• 気体Bの温度は\(T_0\)で一定なので、Bの内部エネルギー変化は0です。

具体的な解説と立式
気体Aについて。Aが吸収した熱量は\(Q_\alpha\)。内部エネルギーの変化\(\Delta U_A\)は、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_A &= \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)
\end{aligned}
$$
Aが外部にした仕事を\(W\)とすると、熱力学第一法則より、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_A &= Q_\alpha – W \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
気体Bについて。Bが放出した熱量を\(Q_\beta\)とします（Bが吸収した熱は\(-Q_\beta\)）。Bの温度は\(T_0\)で一定なので、内部エネルギーの変化\(\Delta U_B\)は、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_B &= 0
\end{aligned}
$$
気体Bがされた仕事は\(W\)です（した仕事は\(-W\)）。熱力学第一法則をBに適用すると、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_B &= (-Q_\beta) – (-W) \\[2.0ex]
0 &= -Q_\beta + W \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$

式⑥より、Aがした仕事\(W\)は、
$$
\begin{aligned}
W &= Q_\beta
\end{aligned}
$$
これを式⑤に代入します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_A &= Q_\alpha – Q_\beta
\end{aligned}
$$
ここに\(\Delta U_A = \displaystyle\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)を代入すると、
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}R(T_1 – T_0) &= Q_\alpha – Q_\beta
\end{aligned}
$$
これを\(Q_\beta\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
Q_\beta &= Q_\alpha – \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)
\end{aligned}
$$

この問題は、エネルギーのお金の流れを追うようなものです。
まずAの部屋。Aは温度調節器\(\alpha\)から熱というお小遣い\(Q_\alpha\)をもらいます。Aはこのお小遣いを二つのことに使います。一つは自分の体温を上げる（内部エネルギーを増やす）こと、もう一つは隣のBの部屋を押してあげる（仕事をする）ことです。
次にBの部屋。BはAから仕事という形でエネルギーをもらいますが、温度調節器\(\beta\)によって体温は一定に保たれています。これは、BがAからもらったエネルギーを、そのまま全部\(\beta\)に熱\(Q_\beta\)として渡してしまっている、ということです。
つまり、AがBにしてあげた仕事の大きさは、Bが放出した熱\(Q_\beta\)と全く同じです。この関係を使うと、Aのお金の使い道（熱力学第一法則）の式から、\(Q_\beta\)がいくらになるかを計算できます。

\(\beta\)が吸収した熱量（Bが放出した熱量）は\(Q_\beta = Q_\alpha – \displaystyle\frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)です。
この結果は、Aが吸収した熱\(Q_\alpha\)の一部がAの内部エネルギー増加に使われ、残りが仕事\(W\)となり、その仕事\(W\)がそのままBから放出される熱\(Q_\beta\)に等しいことを示しています。

問 (3)

思考の道筋とポイント
セクションIIでは、Bの断面積がAの2倍(\(S_B = 2S_A\))となります。初めの状態では、ピストンはつり合って静止しています。Aの断面積を\(S_A\)、Bの断面積を\(S_B = 2S_A\)とし、A内の初めの圧力を\(P_{A0}\)、B内の初めの圧力を\(P_{B0}\)とすると、力のつり合いは\(P_{A0}S_A = P_{B0}S_B = P_{B0}(2S_A)\)となります。Aの初めの体積は\(V_0\)、温度は\(T_0\)。Bの初めの体積を\(V_{B0}\)、温度は\(T_0\)。それぞれについて状態方程式を立て、圧力の関係を用いることで\(V_{B0}\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• ピストンにかかる力のつり合いを考えます。今回は断面積が異なるため、\(P_A S_A = P_B S_B\)の形になります。
• AとB、それぞれについて初期状態の理想気体の状態方程式を適用します。

具体的な解説と立式
初めの状態において、A内の圧力を\(P_{A0}\)、B内の圧力を\(P_{B0}\)とします。
力のつり合いより、
$$
\begin{aligned}
P_{A0}S_A &= P_{B0}(2S_A)
\end{aligned}
$$
両辺の\(S_A\)を消去すると、
$$
\begin{aligned}
P_{A0} &= 2P_{B0} \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
AとBそれぞれについて理想気体の状態方程式を立てます(\(n=1 \, \text{mol}\), \(T=T_0\))。
Aについて:
$$
\begin{aligned}
P_{A0}V_0 &= RT_0 \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$
Bについて:
$$
\begin{aligned}
P_{B0}V_{B0} &= RT_0 \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$

式⑧と⑨の右辺は等しいので、左辺も等しくなります。
$$
\begin{aligned}
P_{A0}V_0 &= P_{B0}V_{B0}
\end{aligned}
$$
ここに式⑦の\(P_{A0} = 2P_{B0}\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
(2P_{B0})V_0 &= P_{B0}V_{B0}
\end{aligned}
$$
両辺の\(P_{B0}\)を消去すると、
$$
\begin{aligned}
2V_0 &= V_{B0}
\end{aligned}
$$

ピストンが止まっているということは、Aの気体がピストンを押す力と、Bの気体がピストンを押す力がつり合っているということです。ただし、今回はB側のピストンの面積がA側の2倍なので、Bの気圧はAの気圧の半分でなければなりません（同じ力で押すために）。AとB、それぞれの部屋の最初の状態について状態方程式を立て、この圧力の関係を使うと、Bの最初の体積がAの最初の体積\(V_0\)の何倍になるかが分かります。

初めのB内の気体の体積は\(V_{B0} = 2V_0\)です。
Bのピストン断面積がAの2倍であるため、同じ力でピストンを支えるにはBの圧力がAの半分で済みます。同じ温度・物質量で圧力が半分なら、体積は2倍になる、というのは状態方程式からも妥当な結果です。

問 (4)

思考の道筋とポイント
Aに熱量\(q\)を供給し、Aの温度は\(T_1\)に、Bは断熱変化で温度\(T_2\)になります。AとBを合わせた全体を一つの系とみなします。この系が外部から得た熱は\(q\)です（Bは断熱なので熱の出入りなし）。系内部でAがBにする仕事は「内部仕事」となり、系全体として外部にする仕事はゼロです。したがって、系全体の内部エネルギーの変化は、系全体が吸収した熱量\(q\)に等しくなります。
この設問における重要なポイント

• 気体Bは断熱変化なので、Bが吸収する熱量は0です(\(Q_B = 0\))。
• AとBを合わせた全体を一つの系とみなし、熱力学第一法則を適用する。
• 系全体の内部エネルギー変化は、各部分の内部エネルギー変化の和である。

具体的な解説と立式
気体Aと気体Bを一つの系と見なします。
系全体の内部エネルギー変化\(\Delta U_{\text{全体}}\)は、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{全体}} &= \Delta U_A + \Delta U_B
\end{aligned}
$$
Aの内部エネルギー変化は\(\Delta U_A = \frac{3}{2}R(T_1 – T_0)\)。
Bの内部エネルギー変化は\(\Delta U_B = \frac{3}{2}R(T_2 – T_0)\)。
よって、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{全体}} &= \frac{3}{2}R(T_1 – T_0) + \frac{3}{2}R(T_2 – T_0)
\end{aligned}
$$
系全体が外部から吸収した熱は\(q\)です。系全体は外部に仕事をしていないので\(W_{\text{全体}}=0\)。
熱力学第一法則\(\Delta U_{\text{全体}} = q – W_{\text{全体}}\)より、
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{全体}} &= q
\end{aligned}
$$
したがって、
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{3}{2}R(T_1 – T_0) + \frac{3}{2}R(T_2 – T_0)
\end{aligned}
$$

上の式を整理すると、
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{3}{2}R(T_1 – T_0 + T_2 – T_0) \\[2.0ex]
&= \frac{3}{2}R(T_1 + T_2 – 2T_0)
\end{aligned}
$$

AとBをひとまとめのグループとして考えます。このグループ全体がもらった熱は、\(\alpha\)からの\(q\)だけです（Bは断熱なので熱の出入りなし）。このグループは外部に対しては何も仕事をしていないので、もらった熱\(q\)はすべてグループ全体の内部エネルギーの増加に使われます。グループ全体の内部エネルギーの増加は、Aの増加分とBの増加分の合計です。この関係から、\(q\)を計算できます。

\(\alpha\)が供給した熱量は\(q = \displaystyle\frac{3}{2}R(T_1 + T_2 – 2T_0)\)です。
AとB両方の内部エネルギーが増加するので、そのエネルギーは外部からの熱供給\(q\)によってまかなわれる必要があります。結果は物理的に妥当です。

問 (5)

思考の道筋とポイント
操作後のAの体積を\(V_A’\)とします。このとき、Aの圧力は\(P_A’\)、温度は\(T_1\)。Bの圧力は\(P_B’\)、体積は\(V_B’\)、温度は\(T_2\)。
ピストンはつり合っているので、力の関係\(P_A’S_A = P_B'(2S_A)\)が成り立ちます。つまり\(P_A’ = 2P_B’\)。
AとBそれぞれについて状態方程式を立てます。
さらに、体積変化の関係が必要です。Aの初期体積は\(V_0\)、Bの初期体積は\(V_{B0}=2V_0\)。ピストンの移動によりAの体積が\(\Delta V_A = V_A’ – V_0\)だけ変化したとき、Bの断面積はAの2倍なので、Bの体積変化は\(\Delta V_B = -2\Delta V_A\)となります。
これらの式を連立して\(V_A’\)を求めます。
この設問における重要なポイント

• 操作後のピストンにかかる力のつり合い(\(P_A’ = 2P_B’\))。
• AとB、それぞれについての操作後の状態方程式。
• Aの体積変化量とBの体積変化量の関係(\(\Delta V_B = -2\Delta V_A\))。

具体的な解説と立式
操作後のAの圧力を\(P_A’\)、体積を\(V_A’\)。Bの圧力を\(P_B’\)、体積を\(V_B’\)とします。
力のつり合いより、
$$
\begin{aligned}
P_A’ &= 2P_B’ \quad \cdots ⑫
\end{aligned}
$$
Aについて状態方程式:
$$
\begin{aligned}
P_A’V_A’ &= RT_1 \quad \cdots ⑬
\end{aligned}
$$
Bについて状態方程式:
$$
\begin{aligned}
P_B’V_B’ &= RT_2 \quad \cdots ⑭
\end{aligned}
$$
体積の関係。Aの体積変化を\(\Delta V_A = V_A’ – V_0\)とすると、Bの体積変化は\(\Delta V_B = -2\Delta V_A\)。
よって、Bの最終体積\(V_B’\)は、
$$
\begin{aligned}
V_B’ &= V_{B0} + \Delta V_B = 2V_0 – 2(V_A’ – V_0) = 4V_0 – 2V_A’ \quad \cdots ⑮
\end{aligned}
$$

式⑬と⑭から\(P_A’ = \frac{RT_1}{V_A’}\), \(P_B’ = \frac{RT_2}{V_B’}\)。これらを式⑫に代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{RT_1}{V_A’} &= 2\left(\frac{RT_2}{V_B’}\right)
\end{aligned}
$$
両辺の\(R\)を消去し、整理すると、
$$
\begin{aligned}
T_1 V_B’ &= 2T_2 V_A’
\end{aligned}
$$
ここに式⑮の\(V_B’ = 4V_0 – 2V_A’\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
T_1 (4V_0 – 2V_A’) &= 2T_2 V_A’ \\[2.0ex]
4V_0 T_1 – 2V_A’ T_1 &= 2T_2 V_A’ \\[2.0ex]
4V_0 T_1 &= 2V_A’ T_1 + 2T_2 V_A’ \\[2.0ex]
4V_0 T_1 &= 2V_A’ (T_1 + T_2)
\end{aligned}
$$
\(V_A’\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
V_A’ &= \frac{4V_0 T_1}{2(T_1 + T_2)} = \frac{2T_1}{T_1 + T_2} V_0
\end{aligned}
$$

操作が終わった後、ピストンは止まっているので、Aの気体がピストンを押す力とBの気体がピストンを押す力がつり合っています。AとBのそれぞれの部屋について、変化後の状態で状態方程式が成り立ちます。さらに、Aの部屋の体積が増えた（または減った）分と、Bの部屋の体積が減った（または増えた）分の間には、ピストンの断面積の違いを反映した関係があります（Aの体積変化の2倍がBの体積変化になる）。これらの式をすべて組み合わせることで、変化後のAの部屋の体積を計算できます。

あとのA内の気体の体積は\(V_A’ = \displaystyle\frac{2T_1}{T_1 + T_2} V_0\)です。
この結果は、設問I-(1)の\(V_A = \displaystyle\frac{2T_1}{T_0 + T_1} V_0\)と非常に似た形をしています。これは、一部の条件が異なりますが、基本的な物理法則の組み合わせが同様の構造の解を導くことを示唆しています。

【コラム】Q. 装置が大気圧 \(P_0\) の大気中に置かれていたとして、問(1)～(4)に答えよ。

Qの設問(1)について (本文の設問I-(1)に対応)

思考の道筋とポイント
ピストンの両外側に大気圧\(P_0\)がかかります。ピストン全体にかかる力を考えると、Aの気体が押す力とB側の外の大気が押す力の和が、Bの気体が押す力とA側の外の大気が押す力の和とつり合います。断面積が等しい(\(S\))ため、この力のつり合いの式から大気圧の項は相殺され、結局\(P_A = P_B\)という真空中の場合と同じ関係が導かれます。したがって、結果は変わりません。
具体的な解説と立式
ピストンを右に押す力: \(P_A S + P_0 S\)
ピストンを左に押す力: \(P_B S + P_0 S\)
力のつり合いより、
$$
\begin{aligned}
P_A S + P_0 S &= P_B S + P_0 S \\[2.0ex]
P_A S &= P_B S \\[2.0ex]
P_A &= P_B
\end{aligned}
$$
これは真空中の場合と同じ条件なので、以降の計算も同じになります。
結論と吟味
大気圧\(P_0\)がピストンの両外側に等しくかかる場合、ピストン内部の気体AとBの圧力バランスには影響を与えません。よって、体積と圧力の結果は真空中の場合と同じです。

Qの設問(2)について (本文の設問I-(2)に対応)

思考の道筋とポイント
系全体（A+B）で考えます。系全体が大気にした仕事は、Aが大気にする仕事とBが大気にする仕事の和です。Aの体積が\(\Delta V\)増加するとBの体積は\(\Delta V\)減少するため、系全体として大気にする仕事は\(P_0 \Delta V + P_0 (-\Delta V) = 0\)となります。大気との仕事のやり取りは相殺されるため、系全体のエネルギー収支は真空中の場合と変わらず、結果も同じになります。
具体的な解説と立式
系全体で熱力学第一法則を考えます。
\(\Delta U_{\text{全体}} = Q_{\text{全体}} – W_{\text{全体}}\)
\(\Delta U_{\text{全体}} = \frac{3}{2}R(T_1-T_0)\)
\(Q_{\text{全体}} = Q_\alpha – Q_\beta\)
\(W_{\text{全体}} = W_{\text{大気へ}} = 0\)
よって、
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}R(T_1-T_0) &= Q_\alpha – Q_\beta
\end{aligned}
$$
これは真空中の場合と同じ式です。
結論と吟味
大気圧があっても、AとBの体積変化が互いに打ち消しあう形になるため、系全体として大気がする正味の仕事は0です。したがって、熱量の関係は真空中の場合と変わりません。

Qの設問(3)について (本文の設問II-(3)に対応)

思考の道筋とポイント
Bの断面積がAの2倍(\(S_B = 2S_A\))の場合、ピストンにかかる力のつり合いに大気圧が影響します。
ピストンを右に押す力: \(P_{A0}S_A + P_0 S_B = P_{A0}S_A + P_0(2S_A)\)
ピストンを左に押す力: \(P_{B0}S_B + P_0 S_A = P_{B0}(2S_A) + P_0S_A\)
この力のつり合いの式と、各気体の状態方程式を連立させて初期体積\(V_{B0}\)を求めます。
具体的な解説と立式
力のつり合いより、
$$
\begin{aligned}
P_{A0}S_A + 2P_0S_A &= 2P_{B0}S_A + P_0S_A
\end{aligned}
$$
両辺を\(S_A\)で割ると、
$$
\begin{aligned}
P_{A0} + 2P_0 &= 2P_{B0} + P_0 \\[2.0ex]
P_{B0} &= \frac{1}{2}(P_{A0} + P_0)
\end{aligned}
$$
AとBの状態方程式\(P_{A0}V_0 = RT_0\), \(P_{B0}V_{B0} = RT_0\)と連立させます。
計算過程
\(P_{A0} = \frac{RT_0}{V_0}\)を上のつり合いの式に代入します。
$$
\begin{aligned}
P_{B0} &= \frac{1}{2}\left(\frac{RT_0}{V_0} + P_0\right)
\end{aligned}
$$
これをBの状態方程式\(V_{B0} = \frac{RT_0}{P_{B0}}\)に代入します。
$$
\begin{aligned}
V_{B0} &= \frac{RT_0}{\frac{1}{2}\left(\frac{RT_0}{V_0} + P_0\right)} = \frac{2RT_0}{\frac{RT_0 + P_0 V_0}{V_0}} \\[2.0ex]
&= \frac{2RT_0 V_0}{RT_0 + P_0 V_0}
\end{aligned}
$$
結論と吟味
初めのB内の気体の体積は \(V_{B0} = \displaystyle\frac{2RT_0}{RT_0 + P_0V_0} V_0\) です。
大気圧\(P_0=0\)なら、\(V_{B0} = 2V_0\)となり、真空中の場合と一致します。大気圧が存在すると、ピストンにかかる力のバランスが変わり、Bの初期体積は真空中の場合より小さくなります。

Qの設問(4)について (本文の設問II-(4)に対応)

思考の道筋とポイント
系全体で熱力学第一法則を考えます。系全体が大気からされる仕事は、Aの体積が\(V_0 \rightarrow V_A’\)に変化したとき、\(W_{\text{外部から}} = P_0(S_B – S_A)l = P_0(2S_A – S_A)l = P_0 S_A l = P_0(V_A’ – V_0)\)となります。この仕事の分だけ、必要な熱量\(q\)が真空中の場合と比べて変化します。
具体的な解説と立式
系全体の内部エネルギー変化は真空中の場合と同じです。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{全体}} &= \frac{3}{2}R(T_1 + T_2 – 2T_0)
\end{aligned}
$$
系が吸収した熱は\(q\)。系が大気からされた仕事は\(W_{\text{atm,total}} = P_0 (V_A’ – V_0)\)。
熱力学第一法則\(\Delta U_{\text{全体}} = q + W_{\text{atm,total}}\)より、
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{2}R(T_1 + T_2 – 2T_0) &= q + P_0 (V_A’ – V_0)
\end{aligned}
$$
計算過程
上の式を\(q\)について解くと、
$$
\begin{aligned}
q &= \frac{3}{2}R(T_1 + T_2 – 2T_0) – P_0 (V_A’ – V_0)
\end{aligned}
$$
結論と吟味
\(\alpha\)が供給した熱量は \(q = \displaystyle\frac{3}{2}R(T_1 + T_2 – 2T_0) – P_0 (V_A’ – V_0)\) です。
真空中の場合に比べ、\(P_0 (V_A’ – V_0)\)の項だけ結果が異なります。もしAが膨張(\(V_A’ > V_0\))すれば、大気が系に正の仕事をするため、必要な熱量\(q\)はその分だけ少なくて済みます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 力のつり合いと熱力学第一法則の連携:
  • 核心: この問題は、連結されたピストンにはたらく「力のつり合い」から気体の圧力間の関係を導き出し、その関係を「理想気体の状態方程式」や「熱力学第一法則」と連携させて解く、力学と熱力学の融合問題です。特に、ピストンの断面積が異なる場合に、圧力ではなく「力」でつり合いを考える点が重要です。
  • 理解のポイント:
    1. 力のつり合い: ピストンが静止しているとき、ピストンを左から押す力の総和と右から押す力の総和は等しくなります。断面積が異なれば、\(P_A S_A = P_B S_B\)のように、圧力は等しくなりません。
    2. 熱力学第一法則の適用範囲: 法則は個々の気体（AやB）にも、それらを合わせた系全体にも適用できます。どちらの視点で考えるかで、仕事の扱い（内部仕事か外部仕事か）が変わり、問題の見通しが大きく変わることがあります。
    3. 体積変化の束縛条件: ピストンが棒で連結されているため、Aの体積変化とBの体積変化は独立ではありません。断面積を考慮した関係式（例: \(\Delta V_B = -2\Delta V_A\)）を正しく導出することが、連立方程式を解く上で不可欠です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • U字管内の液体で仕切られた気体: U字管の両端に封入された気体が、中央の液体（水銀など）を介して圧力を及ぼしあう問題。液柱の重さも考慮した力のつり合いを考えます。
  • ばねで連結されたピストン: 本問の棒の代わりにばねでピストンが連結されている問題。力のつり合いに、ばねの弾性力が加わります。
  • 複数のピストンを持つシリンダー: 複数のピストンが複雑に連結・配置されている問題。各ピストンについて力のつり合いを立て、気体の状態方程式と連立させます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. まず「力のつり合い」から: 複雑な熱力学の問題に見えても、動けるピストンがあれば、まずその力のつり合いを考えるのが定石です。これにより、未知の圧力間の関係式が得られ、問題を解く突破口になります。
  2. 「系」の取り方を工夫する: 問(2)や(4)のように、個別に考えると仕事の項が複雑になる場合でも、系全体で考えると内部仕事として相殺され、計算が劇的に簡単になることがあります。「個別の視点」と「全体の視点」を使い分ける意識を持ちましょう。
  3. 保存量・不変量を探す: 容器全体の体積、気体の総物質量など、操作の前後で変化しない量を見つけることが重要です。これらが方程式を立てる際の強力な制約条件となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 圧力と力の混同:
  • 誤解: ピストンの断面積が異なるのに、安易に圧力が等しい(\(P_A=P_B\))としてしまう。
  • 対策: ピストンがつり合うのは「力」であり、「圧力」ではありません。必ず\(F=PS\)の定義に立ち返り、\(P_A S_A = P_B S_B\)という力のつり合いの式を立てる習慣をつけましょう。
• 仕事の計算ミス:
  • 誤解: Aがした仕事とBがされた仕事の大きさが常に等しいと思い込む。
  • 対策: 本問のようにピストンが一体で動く場合は仕事の大きさは等しくなりますが、例えばピストンが別々に動ける場合はそうとは限りません。仕事は\(W=\int P dV\)で定義されることを常に念頭に置き、各気体の圧力と体積変化から個別に計算するのが基本です。
• 体積変化の関係の見落とし:
  • 誤解: セクションIIで、Aの体積が\(\Delta V\)変化したらBの体積も\(\Delta V\)変化するとしてしまう。
  • 対策: 体積変化は「断面積 × 移動距離」です。ピストンの移動距離は共通なので、体積変化の比は断面積の比に等しくなります。図を描いて、ピストンの移動と体積変化の関係を視覚的に確認することが有効です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合い \(P_A S_A = P_B S_B\):
  • 選定理由: 問題に「滑らかに動くピストン」があり、それが最終的に「静止」する状況を扱うため。静止している物体にはたらく力はつり合っているという力学の基本法則です。
  • 適用根拠: ピストンが静止している、またはゆっくり動いている（準静的過程）という物理的状況。
• 熱力学第一法則 \(\Delta U = Q – W\):
  • 選定理由: 問題が「熱の放出・吸収」や「仕事」といったエネルギーの出入りを伴う状態変化を扱っているため。これはエネルギー保存則の熱力学における表現であり、これらの量を関係づける唯一の法則です。
  • 適用根拠: あらゆる熱力学的な状態変化。
• 理想気体の状態方程式 \(PV=nRT\):
  • 選定理由: 問題が「理想気体」の状態量（P, V, T, n）を扱っており、これらの間の関係を記述する必要があるため。
  • 適用根拠: 各容器内の気体がそれぞれ均一な熱平衡状態にあるという状況。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 連立方程式の処理:
  • 特に注意すべき点: この問題は、複数の物理法則から導かれる複数の式を連立させて解く必要があります。どの式からどの変数を消去するか、見通しを立ててから計算を始めることが重要です。
  • 日頃の練習: 式に番号を振り、どの式を使って何をしたかをメモしながら計算を進める。例えば、「①を④に代入してPを消去」のように、操作を言語化する癖をつけると、計算ミスや混乱を防げます。
• 文字の定義を明確にする:
  • 特に注意すべき点: \(V_0, V_A, V_B, V_{B0}, V_A’\)など、似たような記号が多く登場します。どの記号がどの状態のどの部分の体積を表すのかを混同しやすい。
  • 日頃の練習: 問題を解き始める前に、自分で使う文字を定義するリストを作る（例: \(V_A\): Iの後のAの体積）。図に状態を書き込むなどして、記号と物理的状況を常に対応させながら考える。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えの物理的妥当性の検討:
  • (1) \(V_A\): \(T_1 > T_0\)なら、Aは膨張するので\(V_A > V_0\)となるはず。式を見ると\(\frac{2T_1}{T_0+T_1} > 1\)となり、確かに\(V_A > V_0\)。妥当。
  • (3) \(V_{B0}\): BはAより断面積が大きく、圧力が低いはず。同じ温度・物質量なら、圧力が低いほど体積は大きくなる。\(V_{B0} = 2V_0 > V_0\)という結果は直感と一致。
  • (4) 熱量\(q\): AとBの両方の温度が上昇（または一方が上昇し他方が断熱圧縮される）すれば、内部エネルギーは増加する。系全体は外部に仕事をしていないので、正の熱量\(q\)が供給されるはず。\(T_1+T_2 > 2T_0\)なら\(q>0\)となり、妥当。
• 極端な場合や既知の状況との比較:
  • もし断面積が等しかったら(\(S_B=S_A\))、セクションIIはどうなるか？
    • (3) 力のつり合いは\(P_{A0}=P_{B0}\)となり、状態方程式から\(V_{B0}=V_0\)。
    • (5) 体積変化の関係は\(\Delta V_B = -\Delta V_A\)となり、\(V_B’ = V_0 – (V_A’-V_0) = 2V_0 – V_A’\)。これを解くと、(1)と同じ\(V_A’ = \frac{2T_1}{T_0+T_2}V_0\)が得られるはず（Bの終状態温度が\(T_0\)ではなく\(T_2\)になるため）。
    • このように、条件を単純な場合に置き換えてみることで、式の構造の正しさを検証できる。

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問題59 (名古屋大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、鉛直に置かれたシリンダー内の単原子理想気体が、ピストンの運動とどのように関わるかを熱力学と力学の両面から考察するものです。前半部（I）では気体の微小な断熱変化に注目し、圧力、体積、温度の変化の関係や仕事について解析します。後半部（II）では、その気体の圧力変化がピストンに及ぼす力となり、ピストンがどのような運動をするか（特に単振動）を明らかにしていきます。大気圧の存在やピストンの質量も考慮に入れる必要がある点がポイントです。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題は、熱力学の法則と力学の法則が融合した典型的な問題です。前半では、微小な断熱変化における理想気体の性質を状態方程式と熱力学第一法則から導きます。後半では、前半で得られた気体の圧力変化がピストンに及ぼす力を復元力として捉え、ピストンの単振動を解析します。

問 (1)