「名問の森」徹底解説（46〜48問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題46 (金沢工大＋東北大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、ヒーターを内蔵した容器内で氷を加熱し、その状態変化や温度上昇の様子をグラフから読み取り、氷の融解熱、容器の熱容量、氷の比熱を求めるものです。さらに、その後、高温の水と容器に低温の銅塊を投入した際の熱平衡について考察し、最後に初期状態の低温の氷と容器に高温の銅塊を投入した場合の最終状態を予測します。熱量の保存が中心的なテーマとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは、熱量の保存と物質の状態変化、比熱・熱容量の計算です。与えられた電力と時間から熱量を計算し、それによって引き起こされる物質の温度変化や状態変化（融解）を分析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

• 熱量: ヒーターが発生する熱量 \(Q = Pt\)、温度変化に伴う熱量 \(Q = mc\Delta T\) または \(Q = C\Delta T\)。
• 融解熱（潜熱）: 固体が液体に状態変化する際に吸収する熱量 \(Q = mL_f\)。この間、温度は一定。
• 熱量の保存: 断熱された系内で高温物体が失った熱量の総和と低温物体が得た熱量の総和は等しい。

これらの概念をグラフの各区間や、異なる物質を混合する各状況に適用して、未知の量を求めていきます。
全体的な戦略としては、まず(1)でグラフのBC間から融解熱を求めます。(2)ではCD間とAB間の熱収支から容器の熱容量と氷の比熱を順に求めます。(3)では熱量保存の法則を用いて銅の比熱を計算し、(4)では0℃を基準とした各段階での熱の出入りを計算して最終状態を判断します。

問(1)

思考の道筋とポイント
図2のグラフのBC間に注目します。この区間では、温度が0℃で一定に保たれたまま時間が経過しています。これは、ヒーターから供給された熱がすべて氷の融解（固体から液体への状態変化）に使われていることを意味します。供給された熱量を計算し、それを氷の質量で割ることで、単位質量あたりの融解熱を求めます。

この設問における重要なポイント

• 状態変化中の温度一定: 固体が融解して液体になる間、物質の温度は一定（融点）に保たれます。
• ヒーターからの供給熱量: 電力 \(P\) のヒーターが時間 \(t\) の間に供給する熱量 \(Q\) は \(Q = Pt\)。
• 融解熱の定義: 単位質量の固体を融点で液体にするのに必要な熱量。質量 \(m\) の物質の融解に必要な熱量は \(Q = mL_f\)、ここで \(L_f\) は融解熱。
• BC間では容器の温度も0℃で一定なので、容器は熱を吸収も放出もしません。

具体的な解説と立式
BC間で氷の融解にかかった時間は、グラフより \(t_{BC} = 124 \text{ s} – 12 \text{ s} = 112 \text{ s}\) です。
ヒーターの電力は \(P = 600 \text{ W} = 600 \text{ J/s}\) なので、この間にヒーターが供給した熱量 \(Q_{BC}\) は、
$$Q_{BC} = P \times t_{BC} \quad \cdots ①$$
この熱量 \(Q_{BC}\) が、質量 \(m_{\text{氷}} = 200 \text{ g}\) の氷をすべて0℃の水にするために使われました。氷の融解熱を \(L_f\) [J/g] とすると、融解に必要な熱量は、
$$Q_{BC} = m_{\text{氷}} L_f \quad \cdots ②$$

式①を用いて \(Q_{BC}\) を計算します。
$$Q_{BC} = 600 \text{ J/s} \times 112 \text{ s} = 67200 \text{ J}$$
次に、式② \(Q_{BC} = m_{\text{氷}} L_f\) より \(L_f\) を求めます。
$$67200 \text{ J} = 200 \text{ g} \times L_f$$
$$L_f = \frac{67200 \text{ J}}{200 \text{ g}} = 336 \text{ J/g} \quad \cdots ③$$

グラフのB点からC点までは、温度が0℃のままです。これは氷が水にとけている最中です。この間、ヒーターからの熱はすべて氷をとかすために使われます。ヒーターは1秒間に600ジュールの熱を出し、氷がとけるのに112秒かかっています。この熱量で200gの氷がとけたので、1gあたりの融解熱を計算します。

氷の融解熱は \(336 \text{ J/g}\) です。これは水の融解熱として知られる値と近いものであり、妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
まず容器の熱容量 \(C_{\text{容器}}\) を求めます。図2のCD間では0℃の水と容器が50℃まで温度上昇します。供給された熱量が、水の温度上昇と容器の温度上昇の和に等しいという式を立てます。
次に氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) を求めます。図2のAB間では-15℃の氷と容器が0℃まで温度上昇します。供給された熱量が、氷の温度上昇と容器の温度上昇の和に等しいという式を立て、先ほど求めた \(C_{\text{容器}}\) を用います。

この設問における重要なポイント

• 熱量と温度変化の関係: \(Q = mc\Delta T\)（比熱）、\(Q = C\Delta T\)（熱容量）。
• 複合系の熱量: 複数の物質が同時に温度変化する場合、各物質が得た熱量の総和を考える。
• ヒーターからの供給熱量: \(Q = Pt\)。

具体的な解説と立式（容器の熱容量 \(C_{\text{容器}}\)）
CD間: 0℃の水 \(m_{\text{水}} = 200 \text{ g}\) と容器が \(50 \text{ K}\) 温度上昇。時間は \(t_{CD} = 199 \text{ s} – 124 \text{ s} = 75 \text{ s}\)。
ヒーター供給熱量 \(Q_{CD}\) は、
$$Q_{CD} = P \times t_{CD} \quad \cdots ④$$
熱量の関係式は、
$$Q_{CD} = m_{\text{水}} c_{\text{水}} \Delta T_{CD} + C_{\text{容器}} \Delta T_{CD} \quad \cdots ⑤$$
（ここで \(\Delta T_{CD} = 50 \text{ K}\)）

具体的な解説と立式（氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\)）
AB間: -15℃の氷 \(m_{\text{氷}} = 200 \text{ g}\) と容器が \(15 \text{ K}\) 温度上昇。時間は \(t_{AB} = 12 \text{ s} – 0 \text{ s} = 12 \text{ s}\)。
ヒーター供給熱量 \(Q_{AB}\) は、
$$Q_{AB} = P \times t_{AB} \quad \cdots ⑥$$
熱量の関係式は、
$$Q_{AB} = m_{\text{氷}} c_{\text{氷}} \Delta T_{AB} + C_{\text{容器}} \Delta T_{AB} \quad \cdots ⑦$$
（ここで \(\Delta T_{AB} = 15 \text{ K}\)）

式④より \(Q_{CD} = 600 \text{ J/s} \times 75 \text{ s} = 45000 \text{ J}\)。
式⑤に値を代入します: \(m_{\text{水}} = 200 \text{ g}\), \(c_{\text{水}} = 4.2 \text{ J/(g·K)}\), \(\Delta T_{CD} = 50 \text{ K}\)。
$$45000 \text{ J} = (200 \text{ g} \times 4.2 \text{ J/(g·K)} \times 50 \text{ K}) + (C_{\text{容器}} \times 50 \text{ K})$$
$$45000 = 42000 + 50 C_{\text{容器}}$$
$$50 C_{\text{容器}} = 3000$$
$$C_{\text{容器}} = 60 \text{ J/K} \quad \cdots ⑧$$

式⑥より \(Q_{AB} = 600 \text{ J/s} \times 12 \text{ s} = 7200 \text{ J}\)。
式⑦に値を代入します: \(m_{\text{氷}} = 200 \text{ g}\), \(\Delta T_{AB} = 15 \text{ K}\), \(C_{\text{容器}} = 60 \text{ J/K}\)。
$$7200 \text{ J} = (200 \text{ g} \times c_{\text{氷}} \times 15 \text{ K}) + (60 \text{ J/K} \times 15 \text{ K})$$
$$7200 = 3000 c_{\text{氷}} + 900$$
$$3000 c_{\text{氷}} = 6300$$
$$c_{\text{氷}} = \frac{6300}{3000} = 2.1 \text{ J/(g·K)} \quad \cdots ⑨$$

容器の熱容量: グラフC→Dでは0℃の水と容器が50℃に。ヒーターからの熱がこれらに分配されます。水の分を引けば容器の分がわかり、熱容量が求まります。
氷の比熱: グラフA→Bでは-15℃の氷と容器が0℃に。同様にヒーターからの熱が分配されます。容器の分（上で計算済み）を引けば氷の分がわかり、比熱が求まります。

容器の熱容量 \(C_{\text{容器}}\) は \(60 \text{ J/K}\) です。氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) は \(2.1 \text{ J/(g·K)}\) です。水の比熱の半分であり、妥当な値です。

問(3)

思考の道筋とポイント
50℃の水と容器に、-10℃の銅の塊を入れると熱平衡状態になります。高温側（水と容器）が失った熱量の総和と、低温側（銅の塊）が得た熱量の総和は等しくなります（熱量保存の法則）。最終的な平衡温度は \(47.7 \text{ ℃}\) です。

この設問における重要なポイント

• 熱量保存の法則: \(Q_{\text{失った熱量}} = Q_{\text{得た熱量}}\)。
• 各物質の熱量の計算: \(Q = mc\Delta T\) または \(Q = C\Delta T\)。
• 有効数字に注意して最終的な答えを出す。

具体的な解説と立式
水と容器の初期温度 \(T_{\text{高初}} = 50 \text{ ℃}\)。銅塊の初期温度 \(T_{\text{低初}} = -10 \text{ ℃}\)。最終平衡温度 \(T_{\text{終}} = 47.7 \text{ ℃}\)。
水が失った熱量 \(Q_{\text{水失}} = m_{\text{水}} c_{\text{水}} (T_{\text{高初}} – T_{\text{終}})\)。
容器が失った熱量 \(Q_{\text{容器失}} = C_{\text{容器}} (T_{\text{高初}} – T_{\text{終}})\)。
銅塊が得た熱量 \(Q_{\text{銅得}} = m_{\text{銅1}} c_{\text{銅}} (T_{\text{終}} – T_{\text{低初}})\)。
熱量保存より、
$$m_{\text{水}} c_{\text{水}} (T_{\text{高初}} – T_{\text{終}}) + C_{\text{容器}} (T_{\text{高初}} – T_{\text{終}}) = m_{\text{銅1}} c_{\text{銅}} (T_{\text{終}} – T_{\text{低初}}) \quad \cdots ⑩$$

式⑩に値を代入します。\(T_{\text{高初}} – T_{\text{終}} = 50 – 47.7 = 2.3 \text{ K}\)。\(T_{\text{終}} – T_{\text{低初}} = 47.7 – (-10) = 57.7 \text{ K}\)。
$$(200 \text{ g} \times 4.2 \text{ J/(g·K)} \times 2.3 \text{ K}) + (60 \text{ J/K} \times 2.3 \text{ K}) = 90 \text{ g} \times c_{\text{銅}} \times 57.7 \text{ K}$$
$$(1932 \text{ J}) + (138 \text{ J}) = (5193 \text{ g·K}) \cdot c_{\text{銅}}$$
$$2070 \text{ J} = (5193 \text{ g·K}) \cdot c_{\text{銅}}$$
$$c_{\text{銅}} = \frac{2070}{5193} \approx 0.3986135 \text{ J/(g·K)}$$
有効数字2けたで、
$$c_{\text{銅}} \approx 0.40 \text{ J/(g·K)} \quad \cdots ⑪$$

温かいもの（水と容器）が冷たいもの（銅）に熱を渡して、全体が同じ温度になります。「温かいものが失った熱」＝「冷たいものが得た熱」という式を立てて、銅の比熱を計算します。

銅の比熱は \(0.40 \text{ J/(g·K)}\)（有効数字2けた）です。一般的な金属の比熱として妥当なオーダーの値です。

問(4)

思考の道筋とポイント
初期状態（図1: -15℃の氷200gと容器）に、80℃、500gの銅の塊を入れる場合、最終的にどのような状態になるかを考えます。段階的に熱のやり取りを追っていく必要があります。
1. 銅塊が0℃まで冷えるときに出す熱量 \(Q_{\text{銅放出}}\) を計算。
2. -15℃の氷と容器が0℃まで温まるのに必要な熱量 \(Q_{\text{氷+容 吸収}}\) を計算。
3. これらを比較し、残った熱量でどれだけ氷が融けるか計算します。

この設問における重要なポイント

• 熱量の段階的計算: 0℃を基準として、各物質が0℃になるまでに放出または吸収する熱量をまず計算する。
• 状態変化の考慮: 0℃に達した後、融解に必要な熱量を考える。
• 熱平衡の条件: すべての物質が同じ最終温度になり、かつ熱のやり取りが終了した状態。

具体的な解説と立式
銅の比熱は \(c_{\text{銅}} \approx 0.40 \text{ J/(g·K)}\) を使用します。
1. 銅塊(500g, 80℃)が0℃まで冷えるときに出す熱量 \(Q_{\text{銅放出}}\):
$$\Delta T_{\text{銅}} = 80 \text{ K}$$
$$Q_{\text{銅放出}} = m_{\text{銅2}} c_{\text{銅}} \Delta T_{\text{銅}} \quad \cdots ⑫$$
2. -15℃の氷(200g)と容器が0℃まで温まるのに必要な熱量 \(Q_{\text{氷+容 吸収}}\) (図2のAB間のヒーター供給熱量):
$$Q_{\text{氷+容 吸収}} = 7200 \text{ J} \quad \text{(問(2)計算過程より)}$$

1. \(Q_{\text{銅放出}}\) の計算:
$$Q_{\text{銅放出}} = 500 \text{ g} \times 0.40 \text{ J/(g·K)} \times 80 \text{ K} = 16000 \text{ J}$$
2. \(Q_{\text{氷+容 吸収}} = 7200 \text{ J}\)。
3. 比較と氷の融解:
\(Q_{\text{銅放出}} (16000 \text{ J}) > Q_{\text{氷+容 吸収}} (7200 \text{ J})\) なので、氷と容器は0℃に達し、銅塊も0℃に達します。
氷の融解に使える熱量 \(Q_{\text{余剰}}\) は、
$$Q_{\text{余剰}} = Q_{\text{銅放出}} – Q_{\text{氷+容 吸収}} = 16000 \text{ J} – 7200 \text{ J} = 8800 \text{ J}$$
この熱量で融ける氷の質量 \(m_{\text{融解氷}}\) を計算します。氷の融解熱 \(L_f = 336 \text{ J/g}\)（問(1)の結果）を用いると、
$$m_{\text{融解氷}} = \frac{Q_{\text{余剰}}}{L_f} = \frac{8800 \text{ J}}{336 \text{ J/g}} \approx 26.19 \text{ g}$$
約 \(26 \text{ g}\) の氷が融けます。元の氷の質量は \(200 \text{ g}\) なので、すべての氷が融けるわけではありません。
したがって、最終状態では氷と水が0℃で共存します。
融けた水の質量: 約 \(26 \text{ g}\)
残った氷の質量: \(200 \text{ g} – 26 \text{ g} = 174 \text{ g}\)

熱い銅を、冷たい氷と容器の中に入れます。
1. まず、銅が80℃から0℃まで冷めるときに出す熱量を計算します。
2. 次に、-15℃の氷と容器が0℃まで温まるのに必要な熱量を計算します。
3. 銅が出す熱と、氷と容器が必要とする熱を比べると、銅が出す熱の方が多いので、氷と容器は0℃まで温まり、銅も0℃まで冷めます。それでも銅が出し切れなかった熱が残ります。
4. この残った熱が、0℃の氷をとかすのに使われます。計算すると、氷は一部だけがとけることがわかります。なので、最終的には0℃で、水と氷が混ざった状態になります。

やがて、全体の温度は0℃になります。このとき、約26gの氷が融けて水になり、残りの約174gは氷のままです。したがって、最終状態は「0℃で、水 約26g と 氷 約174g が容器と共存している」となります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 熱量の保存と、比熱・熱容量・潜熱（融解熱）の概念の正しい理解と適用。
  • ヒーターによる供給熱量 \(Q=Pt\)。
  • 温度変化に伴う熱量 \(Q=mc\Delta T, Q=C\Delta T\)。
  • 状態変化に伴う熱量（融解熱 \(Q=mL_f\)）。この間、温度は一定。
  • 熱量保存の法則: 断熱された系内で、高温物体が失う熱量と低温物体が得る熱量が等しい。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 異なる温度・異なる物質を混合したときの最終温度や状態を求める問題（カロリメトリー）。
  • 複数の状態変化（融解、蒸発など）が連続して起こる問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 熱の出入り（断熱か、ヒーター供給か、放熱か）。
  2. 関与する物質とその状態（質量、比熱、熱容量、潜熱、初期温度、初期状態）。
  3. 温度変化と状態変化の区別（グラフの傾きや平坦な部分）。
  4. 熱量保存の式の立式（どの物体が熱を得て、どの物体が熱を失ったか）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 状態変化中の温度上昇の誤認:
  • 現象: 融解中や蒸発中も温度が上昇すると誤解する。
  • 対策: 潜熱は状態変化のみに使われ、温度は一定に保たれることを理解する。
• 熱容量と比熱の混同: \(C=mc\)。
• 熱量保存の式での符号ミスや考慮漏れ:
  • 現象: \(Q_{\text{失った}} = Q_{\text{得た}}\) で温度変化の取り方を誤る。容器の熱容量を無視する。
  • 対策: 熱の移動方向を明確にし、関与する全ての要素をリストアップする。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • 温度-時間グラフから、各区間（昇温、融解）を明確にイメージする。
  • 熱の移動を高温物体から低温物体へのエネルギーの流れとして捉える。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 与えられたグラフの読解が主だが、熱平衡の問題では各物質の温度変化を線分図で整理すると良い。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(Q=Pt\): 一定電力のヒーターによる供給熱量。
• \(Q=mc\Delta T\), \(Q=C\Delta T\): 状態変化がない区間の温度変化に伴う熱量。
• \(Q=mL_f\): 融解時の状態変化（温度一定）に伴う熱量。
• 熱量保存の法則: 断熱系内での熱のやり取り。
• 現象と公式を正しく結びつける。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. グラフ分析と熱的過程の特定。
2. 問(1) 融解熱: BC区間に着目。\(Pt = mL_f\)。
3. 問(2) 熱容量・比熱: CD区間 (\(Pt = m_wc_w\Delta T + C_{\text{容器}}\Delta T\)) で \(C_{\text{容器}}\) 決定。AB区間 (\(Pt = m_{\text{氷}}c_{\text{氷}}\Delta T’ + C_{\text{容器}}\Delta T’\)) で \(c_{\text{氷}}\) 決定。
4. 問(3) 銅の比熱: 熱量保存 \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\)。
5. 問(4) 最終状態予測: 段階的熱量計算と比較（銅の放出熱、氷+容の吸収熱、融解熱）。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • グラフからの時間読み取り。
  • 単位の統一（今回は問題なし）。
  • 基本的な四則演算。
  • 問(4)の多段階計算での熱量の引き継ぎ。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 途中式を丁寧に書く。
  • 単位も一緒に書く習慣（検算のため）。
  • 概算で見積もる。
  • 有効数字の扱いに注意。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 問(1) 融解熱: 水の融解熱として一般的な値（約334 J/g）と比較。
  • 問(2) 熱容量・比熱: 正の値か。氷の比熱が水の比熱より小さいのは一般的か。
  • 問(3) 銅の比熱: 一般的な金属の比熱と比較。
  • 問(4) 最終状態: 熱量のバランスが直感と合うか。0℃で氷と水が共存するのは妥当か。

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問題47 (東京大)