問題46 比熱・熱容量 (金沢工大＋東北大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(2)の別解1: グラフの傾き（昇温速度）を用いた解法
- 模範解答が熱量の式を立てて計算するのに対し、\(T-t\) グラフの「傾き」が熱容量の逆数に比例することを利用し、幾何学的な視点から素早く熱容量を求めます。
- 設問(1)(2)の別解2: 微積分を用いた体系的解法（エネルギー保存則の時間変化率）
- 「熱量 \(Q\)」をブラックボックス化せず、供給電力 \(P\) が内部エネルギー \(U\) の時間変化率 \(\displaystyle\frac{dU}{dt}\) に等しいという、より根源的なエネルギー保存則（熱力学第一法則）から出発し、時間積分によって各設問の式を一括して導出します。
- 設問(2)の別解1: グラフの傾き（昇温速度）を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- グラフの解法: グラフの傾きを見るだけで「どちらが温まりにくいか（熱容量が大きいか）」を直感的に判断できるようになり、検算や定性的な理解に役立ちます。
- 微積分の解法: 時間変化する熱現象を扱う際、公式暗記ではなく「エネルギーの流れ」として現象を捉える物理的思考力を養います。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「比熱・熱容量と相転移を含む熱量保存則」です。
一定の仕事率で熱を供給した際の温度変化グラフ（加熱曲線）を読み解き、物質の熱的性質（比熱、融解熱）や熱平衡状態を計算します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 熱量保存則: 外部との熱の出入りがない系では、高温物体が失った熱量と低温物体が得た熱量は等しくなります。
- 顕熱（けんねつ）: 物体の温度を変化させるのに使われる熱。\(Q = C\Delta T = mc\Delta T\) で表されます。
- 潜熱（せんねつ）: 融解や蒸発など、温度を変えずに状態変化させるために使われる熱。\(Q = mL\) で表されます。
- 電力と熱量: 仕事率（電力）\(P\) [\(\text{W}\)] のヒーターで時間 \(t\) [\(\text{s}\)] 加熱したときに発生する熱量は \(Q = Pt\) [\(\text{J}\)] です。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)(2)では、グラフの各区間（AB, BC, CD）ごとに、「ヒーターが供給した熱量」と「物体が吸収した熱量」の収支式（熱量保存則）を立てます。
- (3)では、異なる温度の物体を混合した際の熱量保存則を立式します。
- (4)では、熱の移動量を具体的に計算し、状態変化（氷が解けるか、温度がどこまで上がるか）を段階的に判定します。
問(1)
思考の道筋とポイント
図2のグラフにおいて、温度が一定に保たれている区間（BC間）に着目します。
純粋な物質において、加熱し続けているにもかかわらず温度が上昇しない区間は、状態変化（ここでは氷から水への融解）が起きている区間です。
この区間でヒーターが供給したエネルギーは、すべて氷を水に変えるための「融解熱」として消費されます。
この設問における重要なポイント
- BC間の物理的意味: \(0\,^\circ\text{C}\) の氷が \(0\,^\circ\text{C}\) の水に変わる融解過程です。
- 容器の状態: 容器も \(0\,^\circ\text{C}\) のまま温度変化しないため、この区間では容器は熱を吸収しません。
具体的な解説と立式
ヒーターの電力（仕事率）を \(P\)、BC間の時間を \(\Delta t_{\text{BC}}\) とします。
氷の質量を \(m_{\text{氷}}\)、求める融解熱を \(L\) とします。
BC間における熱収支は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
(\text{ヒーターが供給した熱量}) &= (\text{氷が融解するために得た熱量})
\end{aligned}
$$
これを数式で表します。
$$
\begin{aligned}
P \Delta t_{\text{BC}} &= m_{\text{氷}} L \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 電力と熱量の関係: \(Q = Pt\)
- 状態変化に伴う熱量（潜熱）: \(Q = mL\)
問題文とグラフより、各値を読み取ります。
- \(P = 600\,\text{W}\)
- \(m_{\text{氷}} = 200\,\text{g}\)
- BC間の時間: \(\Delta t_{\text{BC}} = 124 – 12 = 112\,\text{s}\)
これらを式①に代入します。
$$
\begin{aligned}
600 \times 112 &= 200 \times L
\end{aligned}
$$
両辺を入れ替えて \(L\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
200 L &= 67200 \\[2.0ex]
L &= \frac{67200}{200} \\[2.0ex]
&= 336
\end{aligned}
$$
グラフの平らな部分は、熱を加えても温度が上がらず、ひたすら氷が解けている時間です。
この112秒間にヒーターが出した熱エネルギーの合計を計算し、それを氷の重さで割り算することで、氷1gを解かすのに必要なエネルギー（融解熱）を求めました。
答えは \(336\,\text{J/g}\) です。
水の融解熱として知られる値（約 \(334\,\text{J/g}\)）と非常に近く、物理的に妥当な数値です。
問(2)
思考の道筋とポイント
グラフの傾きがある区間（AB間とCD間）に着目します。ここでは温度が上昇しており、供給された熱は「物質」と「容器」の温度を上げるために使われています。
- CD間: すべて「水」の状態です。水と容器が温められています。
- AB間: すべて「氷」の状態です。氷と容器が温められています。
未知数は「容器の熱容量 \(C\)」と「氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\)」の2つなので、2つの区間で式を立てて連立させます。
この設問における重要なポイント
- 熱の分配: ヒーターの熱は、中身（水や氷）だけでなく、容器も同時に温めることに注意が必要です。
- 比熱と熱容量の違い: 水や氷は質量あたりの「比熱 \(c\)」を使いますが、容器は全体としての「熱容量 \(C\)」をそのまま使います。
具体的な解説と立式
1. CD間（水＋容器の昇温）について
時間を \(\Delta t_{\text{CD}}\)、温度変化を \(\Delta T_{\text{CD}}\) とします。
水の質量を \(m_{\text{水}}\)（氷が全て解けたので \(m_{\text{氷}}\) と同じ）、水の比熱を \(c_{\text{水}}\) とします。
熱収支の式は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
(\text{供給熱量}) &= (\text{水が得た熱量}) + (\text{容器が得た熱量}) \\[2.0ex]
P \Delta t_{\text{CD}} &= m_{\text{水}} c_{\text{水}} \Delta T_{\text{CD}} + C \Delta T_{\text{CD}} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
2. AB間（氷＋容器の昇温）について
時間を \(\Delta t_{\text{AB}}\)、温度変化を \(\Delta T_{\text{AB}}\) とします。
氷の比熱を \(c_{\text{氷}}\) とします。
同様に熱収支の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{供給熱量}) &= (\text{氷が得た熱量}) + (\text{容器が得た熱量}) \\[2.0ex]
P \Delta t_{\text{AB}} &= m_{\text{氷}} c_{\text{氷}} \Delta T_{\text{AB}} + C \Delta T_{\text{AB}} \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 比熱を用いた熱量: \(Q = mc\Delta T\)
- 熱容量を用いた熱量: \(Q = C\Delta T\)
ステップ1: CD間の式から容器の熱容量 \(C\) を求める
グラフと問題文より値を読み取ります。
- \(P = 600\,\text{W}\)
- \(\Delta t_{\text{CD}} = 199 – 124 = 75\,\text{s}\)
- \(m_{\text{水}} = 200\,\text{g}\)
- \(c_{\text{水}} = 4.2\,\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})\)
- \(\Delta T_{\text{CD}} = 50 – 0 = 50\,\text{K}\)
これらを式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
600 \times 75 &= 200 \times 4.2 \times 50 + C \times 50 \\[2.0ex]
45000 &= 42000 + 50C
\end{aligned}
$$
\(C\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
50C &= 45000 – 42000 \\[2.0ex]
50C &= 3000 \\[2.0ex]
C &= \frac{3000}{50} \\[2.0ex]
&= 60
\end{aligned}
$$
よって、容器の熱容量は \(C = 60\,\text{J/K}\) です。
ステップ2: AB間の式から氷の比熱 \(c_{\text{氷}}\) を求める
グラフより値を読み取ります。
- \(\Delta t_{\text{AB}} = 12 – 0 = 12\,\text{s}\)
- \(\Delta T_{\text{AB}} = 0 – (-15) = 15\,\text{K}\)
- \(m_{\text{氷}} = 200\,\text{g}\)
- \(C = 60\,\text{J/K}\) （先ほど求めた値）
これらを式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
600 \times 12 &= 200 \times c_{\text{氷}} \times 15 + 60 \times 15 \\[2.0ex]
7200 &= 3000 c_{\text{氷}} + 900
\end{aligned}
$$
\(c_{\text{氷}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
3000 c_{\text{氷}} &= 7200 – 900 \\[2.0ex]
3000 c_{\text{氷}} &= 6300 \\[2.0ex]
c_{\text{氷}} &= \frac{6300}{3000} \\[2.0ex]
&= \frac{6.3}{3} \\[2.0ex]
&= 2.1
\end{aligned}
$$
まず、中身が「水」であることがわかっているCD間のデータを使います。ヒーターが出した熱のうち、水を温めるのに使われた分を差し引けば、残りが容器を温めるのに使われたことになります。そこから容器の熱容量（温まりにくさ）がわかります。
次に、その容器のデータを使ってAB間（氷）の計算をします。ヒーターの熱から容器に使われた分を引けば、氷を温めるのに使われた熱がわかり、そこから氷の比熱が求まります。
容器の熱容量 \(C = 60\,\text{J/K}\)、氷の比熱 \(c_{\text{氷}} = 2.1\,\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})\)。
氷の比熱は水の比熱（\(4.2\)）のちょうど半分であり、これは一般的な物理定数と一致するため妥当です。
思考の道筋とポイント
\(T-t\) グラフ（温度-時間グラフ）において、直線の「傾き」は温度上昇の速さを表します。
同じ電力で加熱している場合、熱容量（熱の容量）が大きいほど温度は上がりにくく、傾きは緩やかになります。
この「傾き」と「熱容量」の逆比例の関係を利用して計算します。
この設問における重要なポイント
- 傾きの物理的意味: 単位時間あたりの温度上昇 \(\displaystyle\frac{\Delta T}{\Delta t}\) です。
- 関係式: \(P = C_{\text{全}} \frac{\Delta T}{\Delta t}\) より、全熱容量 \(C_{\text{全}} = P \times \frac{1}{\text{傾き}}\) となります。
具体的な解説と立式
系全体の熱容量を \(C_{\text{全}}\) とすると、供給電力 \(P\) との関係は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
P &= C_{\text{全}} \frac{\Delta T}{\Delta t} \\[2.0ex]
C_{\text{全}} &= P \frac{\Delta t}{\Delta T} \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
1. CD間（水＋容器）
全熱容量は \(C_{\text{全,CD}} = m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C\) です。
式④に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C &= P \frac{\Delta t_{\text{CD}}}{\Delta T_{\text{CD}}}
\end{aligned}
$$
2. AB間（氷＋容器）
全熱容量は \(C_{\text{全,AB}} = m_{\text{氷}} c_{\text{氷}} + C\) です。
同様に式④に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
m_{\text{氷}} c_{\text{氷}} + C &= P \frac{\Delta t_{\text{AB}}}{\Delta T_{\text{AB}}}
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 熱容量と昇温速度の関係: \(P = C_{\text{全}} \frac{\Delta T}{\Delta t}\)
CD間の計算:
$$
\begin{aligned}
200 \times 4.2 + C &= 600 \times \frac{75}{50} \\[2.0ex]
840 + C &= 600 \times 1.5 \\[2.0ex]
840 + C &= 900 \\[2.0ex]
C &= 900 – 840 \\[2.0ex]
&= 60
\end{aligned}
$$
AB間の計算:
$$
\begin{aligned}
200 \times c_{\text{氷}} + 60 &= 600 \times \frac{12}{15} \\[2.0ex]
200 c_{\text{氷}} + 60 &= 600 \times 0.8 \\[2.0ex]
200 c_{\text{氷}} + 60 &= 480 \\[2.0ex]
200 c_{\text{氷}} &= 420 \\[2.0ex]
c_{\text{氷}} &= 2.1
\end{aligned}
$$
グラフの傾きが急なほど「熱容量が小さい（温まりやすい）」ことを意味します。
CD間とAB間の傾きを数値化し、そこから逆算して全体の熱容量を求めました。
計算式がシンプルになり、見通しが良くなります。
メインの解法と全く同じ結果が得られました。
傾きが緩やかなCD間の方が、傾きが急なAB間よりも全体の熱容量が大きい（\(900 > 480\)）ことが確認でき、直感的にも整合します。
思考の道筋とポイント
熱力学第一法則（エネルギー保存則）の時間変化率から出発します。
外部から供給される仕事率（電力）\(P\) は、系の内部エネルギー \(U\) の時間変化率に等しいと考えます。
$$
\begin{aligned}
P &= \frac{dU}{dt}
\end{aligned}
$$
内部エネルギーの変化 \(dU\) は、温度変化 \(dT\) に伴う項と、状態変化（質量変化 \(dm\)）に伴う項の和として表せます。
$$
\begin{aligned}
dU &= (mc + C_{\text{容器}})dT + L dm
\end{aligned}
$$
これを時間 \(t\) で積分することで、各区間の式を一括して導出します。
この設問における重要なポイント
- エネルギーの流れ: 電力が瞬時瞬時に内部エネルギーに変換されるプロセスを記述します。
- 変数の分離: 温度 \(T\) が変化する区間と、質量 \(m\)（相の状態）が変化する区間を、積分の項として明確に区別します。
具体的な解説と立式
エネルギー保存則の微分形を立てます。
$$
\begin{aligned}
P \, dt &= (mc + C_{\text{容器}}) \, dT + L \, dm
\end{aligned}
$$
これを任意の区間（時刻 \(t_1\) から \(t_2\)）で積分します。
$$
\begin{aligned}
\int_{t_1}^{t_2} P \, dt &= \int_{T_1}^{T_2} (mc + C_{\text{容器}}) \, dT + \int_{m_1}^{m_2} L \, dm
\end{aligned}
$$
左辺は供給された総エネルギー \(P(t_2 – t_1)\) となります。
右辺は区間の状態によって項が残ります。
1. BC間（融解過程）
温度一定（\(dT=0\)）で、氷が全て水に変わる（\(dm\) の積分が \(m_{\text{氷}}\)）ので、第1項が消え第2項が残ります。
$$
\begin{aligned}
P \Delta t_{\text{BC}} &= m_{\text{氷}} L \quad (\text{問1の式})
\end{aligned}
$$
2. CD間（水の昇温）
状態変化なし（\(dm=0\)）で、温度が上昇するので、第2項が消え第1項が残ります。質量 \(m\) は \(m_{\text{水}}\)、比熱 \(c\) は \(c_{\text{水}}\) です。
$$
\begin{aligned}
P \Delta t_{\text{CD}} &= (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C_{\text{容器}}) \Delta T_{\text{CD}} \quad (\text{問2の式})
\end{aligned}
$$
3. AB間（氷の昇温）
同様に \(dm=0\) で、質量 \(m\) は \(m_{\text{氷}}\)、比熱 \(c\) は \(c_{\text{氷}}\) です。
$$
\begin{aligned}
P \Delta t_{\text{AB}} &= (m_{\text{氷}} c_{\text{氷}} + C_{\text{容器}}) \Delta T_{\text{AB}} \quad (\text{問2の式})
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 熱力学第一法則（微分形）: \(P = \frac{dU}{dt}\)
- 内部エネルギー変化: \(dU = C_{\text{全}} dT + L dm\)
導出された式はメイン解法と全く同じ形になるため、具体的な数値計算はメイン解法と同様です。
問(1)で \(L=336\)、問(2)で \(C=60, c_{\text{氷}}=2.1\) が得られます。
「熱量 \(Q\)」という塊で考える代わりに、「1秒ごとのエネルギーの収支」を積み重ねる（積分する）ことで式を作りました。
温度が変わる時は「温度変化の項」が、氷が解ける時は「状態変化の項」が、それぞれエネルギーを吸収するという構造が数式からはっきりと見えます。
原理的な式から出発しても、高校物理の公式と同じ結果が自然に導かれることが確認できました。
これにより、熱量保存則がエネルギー保存則の積分形であることが理解できます。
解答 (2) 容器の熱容量: \(60\,\text{J/K}\), 氷の比熱: \(2.1\,\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})\)
問(3)
思考の道筋とポイント
問題文の状況を整理します。
- 状態1: 水と容器が \(50\,^\circ\text{C}\) になった瞬間にスイッチを切る。
- 状態2: そこに \(-10\,^\circ\text{C}\) の銅の塊を入れる。
- 状態3: 十分時間が経ち、全体の温度が \(47.7\,^\circ\text{C}\) で一定になった（熱平衡）。
この過程で、外部との熱の出入りはない（断熱）とみなせるため、高温物体（水と容器）が失った熱量と、低温物体（銅）が得た熱量は等しくなります。
この設問における重要なポイント
- 高温側: 水 \(200\,\text{g}\) と容器（熱容量 \(C=60\)）。温度は \(50 \to 47.7\,^\circ\text{C}\) へ下がる。
- 低温側: 銅 \(90\,\text{g}\)。温度は \(-10 \to 47.7\,^\circ\text{C}\) へ上がる。
- 温度差の定義: 熱量計算 \(Q=mc\Delta T\) では、常に「高い温度 – 低い温度」で正の値として計算します。
具体的な解説と立式
銅の比熱を \(c_{\text{銅}}\) とします。
熱量保存則「(高温物体が失った熱量) = (低温物体が得た熱量)」を立式します。
左辺（水と容器が失った熱）:
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{失}} &= (m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C) \times (50 – 47.7)
\end{aligned}
$$
右辺（銅が得た熱）:
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{得}} &= m_{\text{銅}} c_{\text{銅}} \times \{47.7 – (-10)\}
\end{aligned}
$$
これらを等号で結びます。
$$
\begin{aligned}
(m_{\text{水}} c_{\text{水}} + C) (50 – 47.7) &= m_{\text{銅}} c_{\text{銅}} (47.7 + 10) \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 熱量保存則: \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\)
- 比熱・熱容量の熱量: \(Q = mc\Delta T\), \(Q = C\Delta T\)
値を代入して計算します。
- \(m_{\text{水}} = 200\), \(c_{\text{水}} = 4.2\), \(C = 60\)
- \(m_{\text{銅}} = 90\)
- 温度差（左辺）: \(50 – 47.7 = 2.3\)
- 温度差（右辺）: \(47.7 – (-10) = 57.7\)
式⑤に代入します。
$$
\begin{aligned}
(200 \times 4.2 + 60) \times 2.3 &= 90 \times c_{\text{銅}} \times 57.7 \\[2.0ex]
(840 + 60) \times 2.3 &= 90 \times 57.7 \times c_{\text{銅}} \\[2.0ex]
900 \times 2.3 &= 5193 c_{\text{銅}} \\[2.0ex]
2070 &= 5193 c_{\text{銅}}
\end{aligned}
$$
\(c_{\text{銅}}\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
c_{\text{銅}} &= \frac{2070}{5193}
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
c_{\text{銅}} &\approx 0.3986\dots
\end{aligned}
$$
有効数字2桁で答えるため、3桁目を四捨五入します。
$$
\begin{aligned}
c_{\text{銅}} &\approx 0.40
\end{aligned}
$$
温かいお風呂（水と容器）に冷たい石（銅）を入れたら、お湯が少しぬるくなった、という状況です。
お湯と容器が冷めることで放出した熱エネルギーを、銅がすべて受け取って温まったと考え、その収支バランスから銅の温まりやすさ（比熱）を計算しました。
答えは \(0.40\,\text{J}/(\text{g}\cdot\text{K})\) です。
金属の比熱は水の比熱（\(4.2\)）に比べてかなり小さい（温まりやすく冷めやすい）のが一般的であり、\(0.4\) という値は妥当です。
問(4)
思考の道筋とポイント
今度は逆に、冷たい状態（図1：氷と容器が \(-15\,^\circ\text{C}\)）に、非常に熱い銅塊（\(80\,^\circ\text{C}\), \(500\,\text{g}\)）を投入します。
最終的にどうなるかは、銅が持っている「余剰な熱エネルギー」がどれくらいあるかで決まります。
以下の順序で思考実験を行います。
- 銅が \(0\,^\circ\text{C}\) まで冷えるときに放出できる「最大熱量」を計算する。
- 氷と容器が \(0\,^\circ\text{C}\) まで温まるのに必要な熱量を計算する。
- もし銅の熱が余れば、その熱で氷が解け始める。
- 全ての氷を解かすのに足りるか確認する。
この設問における重要なポイント
- プロセスの分割: 一気に方程式を立てるのではなく、「昇温」→「融解」→「さらに昇温？」と段階を追って熱の収支を確認します。
- 0℃の壁: 氷が解け終わるまでは温度は \(0\,^\circ\text{C}\) で一定です。
具体的な解説と立式
ステップ1: 銅が \(0\,^\circ\text{C}\) まで冷えるときに放出する熱量 \(Q_{\text{銅}}\)
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{銅}} &= m_{\text{銅}}’ c_{\text{銅}} \Delta T_{\text{銅}} \\[2.0ex]
&= 500 \times 0.40 \times (80 – 0)
\end{aligned}
$$
ステップ2: 氷と容器が \(-15\,^\circ\text{C}\) から \(0\,^\circ\text{C}\) になるのに必要な熱量 \(Q_{\text{昇温}}\)
これは問(2)のAB間でヒーターが供給した熱量と同じです（電力 \(600\,\text{W}\) で \(12\,\text{s}\)）。
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{昇温}} &= P \Delta t_{\text{AB}} \\[2.0ex]
&= 600 \times 12
\end{aligned}
$$
ステップ3: 融解に使える熱量 \(Q_{\text{残}}\)
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{残}} &= Q_{\text{銅}} – Q_{\text{昇温}}
\end{aligned}
$$
この \(Q_{\text{残}}\) が正であれば氷が解け始めます。
ステップ4: 解ける氷の質量 \(m_{\text{融解}}\)
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{残}} &= m_{\text{融解}} L
\end{aligned}
$$
ここから \(m_{\text{融解}}\) を求め、元の氷 \(200\,\text{g}\) と比較します。
使用した物理公式
- 熱量: \(Q = mc\Delta T\)
- 融解熱: \(Q = mL\)
ステップ1の計算:
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{銅}} &= 500 \times 0.40 \times 80 \\[2.0ex]
&= 200 \times 80 \\[2.0ex]
&= 16000\,\text{J}
\end{aligned}
$$
ステップ2の計算:
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{昇温}} &= 600 \times 12 \\[2.0ex]
&= 7200\,\text{J}
\end{aligned}
$$
ステップ3の判定:
\(16000\,\text{J}\)（供給可能） \(>\) \(7200\,\text{J}\)（昇温に必要）なので、氷と容器は \(0\,^\circ\text{C}\) に達し、さらに氷が解けます。
融解に使える熱量は：
$$
\begin{aligned}
Q_{\text{残}} &= 16000 – 7200 \\[2.0ex]
&= 8800\,\text{J}
\end{aligned}
$$
ステップ4の計算:
この熱量で解ける氷の質量 \(m_{\text{融解}}\) を求めます。\(L=336\) を使います。
$$
\begin{aligned}
8800 &= m_{\text{融解}} \times 336 \\[2.0ex]
m_{\text{融解}} &= \frac{8800}{336}
\end{aligned}
$$
割り算を実行します。
$$
\begin{aligned}
m_{\text{融解}} &\approx 26.19\dots \\[2.0ex]
&\approx 26\,\text{g}
\end{aligned}
$$
元の氷は \(200\,\text{g}\) なので、\(26\,\text{g}\) だけ解けて、残りは氷のままです。
氷と水が共存しているため、最終温度は \(0\,^\circ\text{C}\) です。
熱々の銅塊が持っているエネルギーを「貯金」だと考えます。
まず、氷と容器を \(0\,^\circ\text{C}\) まで温めるための「支払い」を済ませます。
それでも貯金が余ったので、その分を使って氷を解かしました。
計算の結果、全ての氷を解かすほどの貯金はなかったので、一部が水になり、残りは氷のまま、全体として \(0\,^\circ\text{C}\) で落ち着くことがわかりました。
最終状態は、温度 \(0\,^\circ\text{C}\) で、水 \(26\,\text{g}\) と氷 \(174\,\text{g}\)（\(200-26\)）が共存する状態になります。
計算プロセスに矛盾はなく、物理的に妥当な結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 熱量保存則とエネルギー収支の徹底理解
- 核心: 外部と熱の出入りがない系（断熱系）において、「高温物体が失った熱量」と「低温物体が得た熱量」の総量は常に等しくなります。また、ヒーターによる加熱では、「供給された電気エネルギー」が「物体の内部エネルギー上昇（温度上昇または状態変化）」に完全に変換されるというエネルギー保存則が基礎となります。
- 理解のポイント:
- 顕熱と潜熱の区別: 温度変化に使われる熱 \(Q=mc\Delta T\)（顕熱）と、状態変化に使われる熱 \(Q=mL\)（潜熱）を明確に区別し、グラフの形状（傾きがあるか、平坦か）と対応させて式を立てることが不可欠です。
- グラフの幾何学的特徴と物理量の対応
- 核心: 温度-時間グラフ（\(T-t\) グラフ）において、直線の「傾き」は昇温速度を表し、その逆数は系の熱容量に比例します。また、「平坦な区間」は温度が変わらない相転移（融解・沸騰）を表します。
- 理解のポイント:
- 傾きの意味: 傾きが急 \(\rightarrow\) 温度が上がりやすい \(\rightarrow\) 熱容量が小さい。傾きが緩やか \(\rightarrow\) 温度が上がりにくい \(\rightarrow\) 熱容量が大きい。この直感的な理解は、計算結果の妥当性を確認する強力な武器になります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 冷却曲線の問題: 加熱とは逆に、熱を奪っていく場合のグラフ。凝固点で平坦になりますが、過冷却などの現象が含まれる場合もあります。基本原理は同じく熱量保存則です。
- 熱仕事当量の問題: ヒーターの代わりに、重りの落下や摩擦熱で水を温める問題。\(W = JQ\) の関係を使いますが、結局は「供給エネルギー = 熱容量 \(\times\) 温度上昇」という構造は変わりません。
- 熱平衡の最終状態が不明な問題: 問(4)のように、氷が全て解けるかどうかわからない問題。
- 初見の問題での着眼点:
- 「容器」の存在をチェック: 問題文に「容器」という単語があったら、即座にアンダーラインを引き、熱容量 \(C\) を考慮する必要があるか確認します。多くの受験生が、中身（水や氷）だけの計算をして失点します。
- 段階的な判定プロセスの実行: 最終状態が見えない混合問題（問4タイプ）では、いきなり方程式を立ててはいけません。「まずは \(0\,^\circ\text{C}\) まで行くエネルギーがあるか？」「次に氷を全部解かすエネルギーがあるか？」と、フェーズごとに収支を計算する手順を確立しましょう。
- グラフの特異点を探す: グラフが折れ曲がっている点や、平坦になっている区間は、物理現象が切り替わる（氷が解け終わった、沸騰し始めたなど）重要なタイミングです。ここを境界にして式を立て分けます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 比熱 \(c\) と熱容量 \(C\) の混同:
- 誤解: 容器の熱量計算で、うっかり質量を掛けて \(mC\Delta T\) としたり、逆に水の計算で質量を掛け忘れたりするミスが多発します。
- 対策: 単位を必ず確認してください。比熱 \(c\) は \([\text{J}/(\text{g} \cdot \text{K})]\) なので質量 \([\text{g}]\) が必要。熱容量 \(C\) は \([\text{J/K}]\) なので質量は不要（すでに含まれている）です。単位が計算式のガイド役になります。
- 温度差 \(\Delta T\) の符号ミス:
- 誤解: 熱量保存則の式 \(Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}\) を立てる際、\((T_{\text{後}} – T_{\text{前}})\) なのか \((T_{\text{前}} – T_{\text{後}})\) なのか混乱し、符号が合わなくなる。
- 対策: 物理では「高い温度 – 低い温度」として、常に正の値で熱量の大きさを計算し、「失った分 = 得た分」と等号で結ぶのが最もミスが少ない方法です。数式的な \(\Delta T\)（後 – 前）を使う場合は、総和が \(0\)（\(Q_{\text{和}} = 0\)）の形に統一しましょう。
- 状態変化の区間での温度上昇計算:
- 誤解: 融解中（BC間）にもかかわらず、\(mc\Delta T\) の項を入れてしまう。
- 対策: 「温度一定 \(\rightarrow\) \(\Delta T = 0\)」です。平坦なグラフを見たら、\(mc\Delta T\) は消え、代わりに \(mL\) が主役になると条件反射できるようにしましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(2)での公式選択（熱量保存則 vs グラフの傾き）:
- 選定理由: 模範解答の「熱量保存則」は、エネルギーの収支を厳密に記述する王道であり、記述試験では最も減点されにくい手法です。一方、別解の「グラフの傾き」は、計算量が少なく直感的に理解しやすいため、マーク式試験や検算に最適です。
- 適用根拠: 傾きを用いた解法は、供給電力 \(P\) が一定である場合にのみ有効です。本問は \(P=600\,\text{W}\) で一定なので、傾きと熱容量の逆比例関係が成立します。
- 問(1)(2)別解2での公式選択（微積分アプローチ）:
- 選定理由: 「熱量 \(Q\)」という結果だけでなく、「加熱している最中に何が起きているか」というプロセスの詳細を理解するために採用しました。
- 適用根拠: 熱力学第一法則 \(d’Q = dU + d’W\)（本問では仕事なし）の時間微分形 \(P = dU/dt\) は、あらゆる熱現象に適用可能な普遍的な原理です。これを積分することで、高校物理の公式 \(Q=mc\Delta T\) や \(Q=mL\) が導出される過程を確認できます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 物理定数の相場観を持つ:
- 水の比熱 \(4.2\,\text{J}/(\text{g} \cdot \text{K})\) は基準として覚えましょう。氷の比熱はその約半分（\(2.1\)）、金属の比熱はさらに小さい（\(0.4\) 程度）という相場観があれば、計算結果が \(40\) や \(0.04\) になった瞬間に「おかしい」と気づけます。
- 大きな数の処理と指数の活用:
- \(600 \times 112\) のような計算をする際、ゼロを並べると桁ミスが起きやすくなります。\(6.0 \times 10^2\) のように指数表記を活用するか、最後にまとめて \(10^n\) を処理することで、ケアレスミスを防げます。
- 単位の次元解析（ディメンションチェック）:
- 最終的な答えが出たら、単位を確認します。例えば熱容量 \(C\) を求めたはずなのに、計算過程で質量で割ってしまい単位が \([\text{J}/(\text{g} \cdot \text{K})]\) になっていたら、それは比熱です。式変形の各段階で単位が整合しているか意識しましょう。
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問題47 気体の法則 (東京大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(4)の別解: 微積分を用いた体系的解法（静水圧平衡と測高公式）
- 模範解答が「平均密度」を用いて高度差と圧力差を比例関係（線形近似）で処理しているのに対し、別解では微小な高さにおける力のつりあい（静水圧平衡）を微分方程式として立式し、それを積分することで高度と気圧の厳密な関係式（測高公式）を導出します。
- 設問(4)の別解: 微積分を用いた体系的解法（静水圧平衡と測高公式）
- 上記の別解が有益である理由
- 物理的厳密性: 大気の密度は高度とともに変化するため、本来は単純な比例計算ができません。微積分を用いることで、気圧が高度に対して指数関数的に減少するという大気の真の構造を理解できます。
- 近似の根拠: 厳密解を導出した上で近似を行うことで、模範解答のアプローチがどのような条件下で正当化されるのかを論理的に把握できます。
- 結果への影響
- 厳密解に対して適切な近似（\(\ln(1+x) \approx x\)）を適用することで、模範解答の数値と整合することを確認します。
この問題のテーマは「熱気球の浮上原理と大気の構造」です。
気球が浮く仕組みを「アルキメデスの原理（浮力）」と「気体の状態方程式」を組み合わせて解き明かし、さらに高度による気圧の変化を考察します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- アルキメデスの原理: 流体中の物体は、その物体が押しのけた流体の重さ（\(\rho V g\)）に等しい大きさの浮力を、鉛直上向きに受けます。
- 気体の状態方程式: 理想気体において、圧力 \(P\)、体積 \(V\)、温度 \(T\)、物質量 \(n\) の間に \(PV = nRT\) が成り立ちます。密度 \(\rho\) を用いると \(P = \frac{\rho}{M}RT\)（\(M\) はモル質量）と表せます。
- 力のつりあい: 気球が浮上・静止する際、鉛直上向きの浮力と、鉛直下向きの重力（気球本体＋内部の空気）がつりあいます。
- 静水圧平衡: 大気中において、ある高度の圧力差は、その区間の空気の重さによって生じます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)(2)では、気球にはたらく「浮力」と「重力（殻＋内部空気＋積荷）」のつりあいの式を立てます。内部と外部で圧力が等しい（開口部があるため）という条件から、密度と温度の関係式を導き、連立させて解きます。
- (3)では、等温大気の仮定に基づき、ボイルの法則（または状態方程式）を用いて高度による圧力変化を求めます。
- (4)では、地表と上空の圧力差が、その間の空気柱の重さに等しいという関係を用いて高度を計算します。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
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なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
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