「名問の森」徹底解説（4〜6問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題4 剛体のつり合い (徳島大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「壁に立てかけられたはしごの剛体のつり合い」です。
剛体が静止し続けるための条件（並進運動の停止と回転運動の停止）を、力とモーメントのつり合い式を用いて解析します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
はしごは静止しているので、力もモーメントもつり合っています。
未知数は、壁からの垂直抗力 \(R\)、床からの垂直抗力 \(N\)、床からの静止摩擦力 \(F\) の3つです。
これらを求めるために、水平方向のつり合い、鉛直方向のつり合い、そして任意の点周りのモーメントのつり合いの3つの式を立てます。
モーメントの中心は、未知の力が多く集まっている点Bを選ぶと計算が楽になります。

この設問における重要なポイント

• 力の図示: 重力 \(Mg\)（重心位置）、壁からの抗力 \(R\)（垂直抗力のみ、壁は滑らか）、床からの抗力（垂直抗力 \(N\) と静止摩擦力 \(F\)）を漏れなく描きます。
• 幾何学的関係: はしごの長さ \(10l\)、壁までの距離 \(6l\) より、三平方の定理から壁に接する高さは \(\sqrt{(10l)^2 – (6l)^2} = 8l\) となります。はしごと床のなす角を \(\theta\) とすると、\(\cos \theta = 3/5, \sin \theta = 4/5\) です。
• モーメントの向き: 点Bを回転軸とすると、
  • 重力 \(Mg\): 点Bの左側にあるため、はしごを左に倒そうとする（反時計回り）のモーメント。
  • 壁からの抗力 \(R\): 点Bの上側で右向きに押すため、はしごを右に倒そうとする（時計回り）のモーメント。

具体的な解説と立式
はしごに働く力は以下の通りです。

• 重力: \(Mg\)（鉛直下向き、重心は中点 \(5l\) の位置）
• 壁からの垂直抗力: \(R\)（水平右向き）
• 床からの垂直抗力: \(N\)（鉛直上向き）
• 床からの静止摩擦力: \(F\)（水平左向き、滑ろうとする方向と逆）

力のつり合い:
水平方向（右向き正）:
$$
\begin{aligned}
(\text{右向きの力}) &= (\text{左向きの力}) \\
R &= F \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$
鉛直方向（上向き正）:
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力}) &= (\text{下向きの力}) \\
N &= Mg \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
力のモーメントのつり合い（点B周り）:
反時計回りを正とします。
重力 \(Mg\) は反時計回りのモーメント、壁からの抗力 \(R\) は時計回りのモーメントを生じます。点Bを通る \(N\) と \(F\) のモーメントは \(0\) です。
腕の長さは、力の作用線までの垂直距離です。
重力の腕の長さ: \(5l \cos \theta\)
抗力 \(R\) の腕の長さ: \(10l \sin \theta\)
$$
\begin{aligned}
(\text{反時計回りのモーメント}) &= (\text{時計回りのモーメント}) \\
Mg \times (5l \cos \theta) &= R \times (10l \sin \theta) \quad \cdots ③
\end{aligned}
$$

幾何学的関係より、\(\cos \theta = \frac{6l}{10l} = \frac{3}{5}\)、\(\sin \theta = \frac{8l}{10l} = \frac{4}{5}\) です。

まず、式③から \(R\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
Mg \cdot 5l \cdot \frac{3}{5} &= R \cdot 10l \cdot \frac{4}{5} \\[2.0ex]
3l Mg &= 8l R \\[2.0ex]
R &= \frac{3}{8} Mg
\end{aligned}
$$
これが上端Aが受ける抗力の大きさです。

次に、下端Bが受ける抗力の大きさを求めます。
「抗力」とは、床から受ける全抗力（垂直抗力と摩擦力の合力）を指します。
式①、②より、
$$
\begin{aligned}
F &= R = \frac{3}{8} Mg \\[2.0ex]
N &= Mg
\end{aligned}
$$
床からの抗力の大きさ \(F_{\text{床}}\) は、三平方の定理より、
$$
\begin{aligned}
F_{\text{床}} &= \sqrt{N^2 + F^2} \\[2.0ex]
&= \sqrt{(Mg)^2 + \left( \frac{3}{8} Mg \right)^2} \\[2.0ex]
&= Mg \sqrt{1 + \frac{9}{64}} \\[2.0ex]
&= Mg \sqrt{\frac{73}{64}} \\[2.0ex]
&= \frac{\sqrt{73}}{8} Mg
\end{aligned}
$$

はしごが倒れないのは、壁が押す力と床の摩擦力がバランスし、重力と床の突き上げがバランスしているからです。
さらに、回転しないためには、重力が「左に倒そうとする回転力」と、壁が「右に倒そうとする回転力」が釣り合っていなければなりません。
点Bを基準に回転力を計算すると、壁が押す力 \(R\) が求まります。
床からの力は、上向きの力と横向きの摩擦力の合成（斜め上向きの力）として計算しました。

\(R = \frac{3}{8} Mg\) は重力よりも小さく、妥当な値です。
床からの抗力は重力より少し大きく、はしごを支えるために必要な力として適切です。

問(2)

思考の道筋とポイント
はしごが滑ってしまう条件を求めます。
滑り出す直前、静止摩擦力 \(F\) は最大静止摩擦力 \(F_{\text{max}} = \mu N\) に達します。
滑らない条件は \(F \le \mu N\) です。

この設問における重要なポイント

• 滑る条件: 静止摩擦力が最大静止摩擦力を超えることはできません。滑ってしまうということは、つり合いに必要な摩擦力 \(F\) が確保できない、つまり \(F > \mu N\) となる場合です。
• 数値の代入: (1)で求めた \(F\) と \(N\) を代入します。

具体的な解説と立式
はしごが滑らずに静止していられる条件は、
$$
\begin{aligned}
F &\le \mu N
\end{aligned}
$$
です。逆に、滑ってしまう条件は、
$$
\begin{aligned}
F &> \mu N
\end{aligned}
$$
となりますが、ここでは「ある値より小さければ滑る」その境界値（限界の摩擦係数）を求めます。
限界の状態では等号が成立します。
$$
\begin{aligned}
F &= \mu N
\end{aligned}
$$

(1)の結果 \(F = \frac{3}{8} Mg\)、\(N = Mg\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{8} Mg &= \mu Mg
\end{aligned}
$$
両辺を \(Mg\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
\mu &= \frac{3}{8}
\end{aligned}
$$
したがって、\(\mu\) がこれより小さければ滑ります。

床がツルツルだと滑ります。どれくらいザラザラ（摩擦係数 \(\mu\)）なら耐えられるかの限界を計算しました。
必要な摩擦力は \(3/8 Mg\) で、床が踏ん張れる最大力は \(\mu Mg\) です。これらが等しくなるときの \(\mu\) が境界線です。

問題文にある \(\mu = 1/2\) は \(3/8 (=0.375)\) より大きいため、現在は滑らずに止まっています。計算結果は状況と整合しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
人が登ると、重心の位置が変わり、モーメントのバランスが変化します。
人が登るほど、はしごを倒そうとする（壁から離そうとする）モーメントが大きくなり、必要な摩擦力 \(F\) が増大します。
摩擦力 \(F\) が最大静止摩擦力 \(F_{\text{max}}\) に達したときが、登れる限界の高さです。

この設問における重要なポイント

• 新しい力のつり合い: 人の重力 \(5Mg\) が加わります。
  • \(N’ = Mg + 5Mg = 6Mg\)
• 新しいモーメントのつり合い: 人の位置を \(x\)（点Bからの距離）とし、その位置での重力モーメントを追加します。
• 限界条件: \(F’ = \mu N’ = \frac{1}{2} N’\)

具体的な解説と立式
人が下端Bから距離 \(x\) まで登ったとします。
このときの垂直抗力を \(N’\)、壁からの抗力を \(R’\)、摩擦力を \(F’\) とします。

力のつり合い:
鉛直方向:
$$
\begin{aligned}
N’ &= Mg + 5Mg = 6Mg \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
水平方向:
$$
\begin{aligned}
R’ &= F’ \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
限界条件:
滑り出す直前なので、摩擦力は最大値になります。
$$
\begin{aligned}
F’ &= \mu N’ = \frac{1}{2} \cdot 6Mg = 3Mg \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
よって、\(R’ = 3Mg\) です。

モーメントのつり合い（点B周り）:
人の重力 \(5Mg\) の腕の長さは \(x \cos \theta\) です。
$$
\begin{aligned}
(\text{反時計回り}) &= (\text{時計回り}) \\
Mg \times (5l \cos \theta) + 5Mg \times (x \cos \theta) &= R’ \times (10l \sin \theta) \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
（※注：人が登ると、はしごを左（反時計回り）に倒そうとする重力のモーメントが増えます。それを支えるために壁からの抗力 \(R’\)（時計回り）も増える必要があります。）

式⑦に \(R’ = 3Mg\) と \(\sin \theta = 4/5, \cos \theta = 3/5\) を代入して \(x\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
Mg \cdot 5l \cdot \frac{3}{5} + 5Mg \cdot x \cdot \frac{3}{5} &= 3Mg \cdot 10l \cdot \frac{4}{5}
\end{aligned}
$$
両辺を \(Mg\) で割り、\(5\) を掛けて分母を払います。
$$
\begin{aligned}
5l \cdot 3 + 5 \cdot x \cdot 3 &= 3 \cdot 10l \cdot 4 \\[2.0ex]
15l + 15x &= 120l
\end{aligned}
$$
両辺を \(15\) で割ります。
$$
\begin{aligned}
l + x &= 8l \\[2.0ex]
x &= 7l
\end{aligned}
$$

人が登ると、はしごを下に押し付ける力が増えるので、摩擦の限界（最大静止摩擦力）も増えます（\(6\)倍になります）。
しかし、人が上に行くほど「はしごを倒そうとする回転力」も急激に増えます。
計算の結果、下から \(7l\) の地点までは摩擦が耐えられますが、それ以上登ると支えきれずに滑り出すことがわかりました。

\(x = 7l\) ははしごの長さ \(10l\) 以内であり、物理的にあり得る解です。
重心より上まで登れることがわかります。

問(4)

思考の道筋とポイント
剛体に働く3つの力（重力の合力、壁からの抗力、床からの抗力）がつり合っているとき、それらの作用線は1点で交わります。
この定理を使って、床からの抗力の作用線が通る点Pを図示します。

この設問における重要なポイント

• 力の合成: はしごの重力 \(Mg\) と人の重力 \(5Mg\) を合わせて、1つの「全重力 \(6Mg\)」として扱います。この合力の作用線（重心G’を通る鉛直線）を特定します。
• 3力の共点定理: 平行でない3つの力がつり合うとき、作用線は1点で交わります。
  1. 壁からの抗力 \(R\)（水平線）
  2. 全重力 \(6Mg\)（鉛直線）
  3. 床からの抗力（点Bからの斜めの力）

  これら3直線が交わる点がPです。

具体的な解説と立式
まず、全重力の作用線（全体の重心G’の水平位置）を求めます。
人が下端Bから \(2l\) の位置にいるとき、全体の重心G’のBからの水平距離 \(x_G’\) は、モーメントの和を全質量で割ることで求まります（あるいは内分点の公式）。
はしごの重心（質量 \(M\)）: Bから左へ水平に \(5l \cos \theta = 3l\)
人の重心（質量 \(5M\)）: Bから左へ水平に \(2l \cos \theta = 2l \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}l\)
全体の重心の水平位置 \(X_G\)（Bから左への距離）:
$$
\begin{aligned}
X_G &= \frac{M \cdot 3l + 5M \cdot \frac{6}{5}l}{M + 5M} \\[2.0ex]
&= \frac{3l + 6l}{6} \\[2.0ex]
&= \frac{9}{6}l = \frac{3}{2}l = 1.5l
\end{aligned}
$$
点Pは、以下の2直線の交点です。

1. 壁からの抗力 \(R\) の作用線: 上端Aを通る水平線。
2. 全重力の作用線: 下端Bから左へ \(1.5l\) の位置を通る鉛直線。

図中への示し方:
上端Aから水平に引いた線と、全体の重心を通る鉛直線の交点がPです。
床からの抗力の作用線は、点Bとこの点Pを結ぶ直線となります。

重心位置の計算は上記の通りです。
図示する際は、

1. はしごの中点（\(5l\)）より少し下、人がいる \(2l\) との中間あたりに全体の重心があることを意識します。
2. その重心を通る鉛直線を描きます。
3. Aを通る水平線を描きます。
4. その交点をPとします。

物体に3つの力が働いて止まっているとき、その3つの力の矢印を延長すると、必ず1点で交わるというルールがあります。
壁からの力（横向き）と、重力（下向き）の交点を見つければ、床からの力も必ずそこを通るはずです。
重力は「はしご」と「人」を合わせた合計の重力がどこにかかるか（新しい重心）を計算して求めました。

点Pの位置が特定できました。床からの抗力ベクトルはBからPに向かう向きになります。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 剛体のつり合いの2大条件
  • 核心: 剛体が静止し続けるためには、「並進運動しない（力がつり合う）」ことと、「回転運動しない（モーメントがつり合う）」ことの両方が必要です。
  • 理解のポイント:
    • 力のつり合い: \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) （上下左右の力がキャンセルする）
    • モーメントのつり合い: \(\sum M = 0\) （回転させようとする働きがキャンセルする）
    • この2つは独立した条件であり、必ず両方を立式して連立させる必要があります。
• 摩擦力の性質と限界
  • 核心: 静止摩擦力 \(F\) は、外力に合わせて変化する「受動的な力」ですが、その大きさには限界（最大静止摩擦力 \(\mu N\)）があります。
  • 理解のポイント:
    • 静止中: \(F < \mu N\) （外力とつり合うだけの大きさ）
    • 滑り出し: \(F = \mu N\) （限界ギリギリ）
    • 滑り中: \(F’ = \mu’ N\) （動摩擦力、一定値）
    • 問題文の「滑ってしまう条件」や「登れる限界」は、この \(F = \mu N\) の瞬間を捉えることが鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 壁に摩擦がある場合: 壁からの摩擦力（鉛直上向き）が追加されます。未知数が増えますが、つり合いの式を立てる手順は全く同じです。
  • 棒が床と壁から離れる問題: 重心が偏っている場合など、棒が回転して壁から離れる（\(R=0\)）か、床から浮く（\(N=0\)）かを判定する問題に応用できます。
  • 蝶番（ちょうつがい）の問題: 棒の一端が固定されている場合、その点からの抗力（\(R_x, R_y\)）を未知数として置きます。モーメントの中心を蝶番にとると計算が楽になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 回転軸の選び方: 未知の力が多く集まっている点（この問題では点B）を回転軸に選ぶと、それらの力のモーメントが \(0\) になり、式が簡単になります。
  2. 作用線の交点: 3つの力がつり合っている場合、それらの作用線は必ず1点で交わります。計算が複雑なときや、図形的な位置関係を問われたときに、この定理が強力な武器になります。
  3. 解法の選択:
     • 「力を求めよ」 \(\rightarrow\) つり合いの式を連立（基本）。
     • 「滑る条件」 \(\rightarrow\) \(F = \mu N\) を代入。
     • 「位置を図示せよ」 \(\rightarrow\) 3力の共点定理（幾何学的アプローチ）。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• モーメントの腕の長さの取り違え:
  • 誤解: 力の作用点までの直線距離（例えば \(5l\)）をそのまま腕の長さとしてしまう。
  • 対策: 必ず「回転軸から力の作用線に下ろした垂線の長さ」を腕の長さとします。あるいは、力を分解して「垂直成分 \(\times\) 距離」で計算します（別解1の手法）。
• 摩擦力の向きのミス:
  • 誤解: 摩擦力の向きを適当に決めてしまう。
  • 対策: 「もし摩擦がなかったらどっちに動くか？」を想像します。はしごの下端は左に滑ろうとするので、摩擦力はそれを止める右向き（壁側）に働きます。
• 最大静止摩擦力の誤用:
  • 誤解: 常に \(F = \mu N\) だと思い込んで計算してしまう。
  • 対策: 「滑り出す直前」「限界」という言葉があるときだけ \(F = \mu N\) を使います。それ以外は単なる未知数 \(F\) として扱い、つり合い式から求めます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 問(1)での回転軸選択（点B vs 点A）:
  • 選定理由: 点Bには \(N\) と \(F\) という2つの未知の力が働いています。点Bを回転軸に選べば、これら2つのモーメントが消え、未知数が \(R\) だけの式になるため、計算が最短で済みます。
  • 適用根拠: 剛体が静止しているとき、どの点周りのモーメントも \(0\) になるという物理法則に基づいています。
• 問(4)での解法選択（共点定理）:
  • 選定理由: 「位置を図示せよ」という設問に対し、計算で座標を求めるよりも、力の作用線の交点として作図する方が、物理的な意味（バランスの中心）を直感的に示せるため。
  • 適用根拠: 平行でない3力がつり合うための必要条件（作用線が1点で交わる）を利用しています。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 次元解析（単位チェック）:
  • 力の答えは \([M][L][T]^{-2}\)（\(Mg\) と同じ次元）、モーメントの答えは \([M][L]^2[T]^{-2}\)（\(Mg \times l\) と同じ次元）になっているか確認します。係数は無次元数（\(3/8\) など）であるべきです。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(\theta = 90^\circ\)（垂直に立つ）だったら？ \(\cos 90^\circ = 0\) なので、重力のモーメントがなくなり、壁からの抗力 \(R\) も \(0\) になるはずです。式 \(R = \frac{3}{8} Mg \cot \theta\) （\(\cos/\sin\)）で \(\theta \to 90^\circ\) とすると \(R \to 0\) となり整合します。
• 図を描く習慣:
  • 腕の長さや力の分解を行う際は、頭の中だけでやらず、必ず図に補助線（垂線や分解ベクトル）を描き込みます。視覚的に確認することで、\(\sin\) と \(\cos\) の取り違えなどのミスを激減させることができます。

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問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)