問題28 (筑波大+名古屋大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、一端を固定された軽い糸につけられた小球の鉛直面内での円運動を扱います。特筆すべきは、運動の途中で糸がくぎに引っかかり、円運動の中心と半径が変わる点です。小球の速さ、糸の張力、糸がゆるむ条件、そして円運動を続けるための初期条件などが問われています。力学的エネルギー保存則と、円運動の向心力（あるいは遠心力とのつり合い）の考え方が中心となります。
- 小球の質量: \(m\) [kg]
- 糸の長さ: \(l\) [m] (軽くて細い)
- 固定点A: 糸の上端。
- くぎB: 点Aから鉛直下方 \(\frac{3}{4}l\) の位置に水平に固定（細くて滑らか）。
- 初期状態: 糸が鉛直線となす角が \(\theta = 60^\circ\) の位置で、小球を静かに放す。
- 重力加速度の大きさ: \(g\) [m/s²]
- (1) 小球が最下点Cを通るときの速さ。
- (2) 小球が点Cを通る直前での糸の張力 \(T_1\) と、通った直後の糸の張力 \(T_2\)。
- (3) 小球が点Bと同じ高さの点Dを通るときの糸の張力 \(T_D\)（モデル解答では \(T_0\)）。
- (4) 小球が点Eに達したとき糸がゆるんだ場合の \(\sin\alpha\)（\(\alpha = \angle EBD\)）。
- (5) 糸がたるむことなく小球がBを中心とする円弧を描き、Bの鉛直上方 \(\frac{1}{4}l\) の点Fに達するための、はじめの角 \(\theta_0\) に関する \(\cos\theta_0\)。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題を解く上で中心となるのは、「力学的エネルギー保存則」と「円運動の運動方程式（または遠心力を用いた力のつり合い）」です。糸の張力は常に小球の運動方向と垂直なので仕事をせず、また摩擦も考えないため、力学的エネルギーは保存されます。円運動をしている各点では、その時点での円運動の中心と半径を正確に把握し、半径方向の力の合力が向心力となっている（あるいは遠心力とつり合っている）という関係式を立てます。「糸がゆるむ」という条件は張力が0になること、「最高点を通過する」条件は最高点での張力が0以上であること、と物理的に解釈します。
問 (1)
思考の道筋とポイント
小球は、初めの位置（糸が鉛直線と60°をなす高さ）から最下点Cまで運動する間、重力と糸の張力のみを受けます。糸の張力は常に小球の運動方向と垂直なので仕事をしません。したがって、この間で小球の力学的エネルギーは保存されます。最下点Cを位置エネルギーの基準（高さ0）とし、初めの位置の高さを計算して、エネルギー保存則を適用します。
この設問における重要なポイント
- 力学的エネルギー保存則が適用できます。
- 初めの状態: 速さ0。最下点Cからの高さは \(l – l\cos60^\circ\)。
- 後の状態（最下点C）: 高さを0（基準）。速さを \(v_C\)（モデル解答では \(v_0\)）とする。
具体的な解説と立式
小球が最下点Cを通るときの速さを \(v_0\) とします。
初めの位置（糸の角度が60°）での小球の高さは、最下点Cを基準とすると、\(h_{\text{初}} = l – l\cos60^\circ\) です。\(\cos60^\circ = 1/2\) なので、\(h_{\text{初}} = l – l/2 = l/2\) となります。
初めの状態では小球は静かに放されるので、速さは0です。
力学的エネルギー保存則より、
（初めの運動エネルギー）＋（初めの位置エネルギー）＝（最下点Cでの運動エネルギー）＋（最下点Cでの位置エネルギー）
$$\frac{1}{2}m(0)^2 + mg(l(1-\cos60^\circ)) = \frac{1}{2}mv_0^2 + mg(0)$$
したがって、
$$mgl(1-\cos60^\circ) = \frac{1}{2}mv_0^2 \quad \cdots ①$$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(K_{\text{初}} + U_{\text{初}} = K_{\text{後}} + U_{\text{後}}\)
- 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
- 重力による位置エネルギー: \(U = mgh\)
式①に \(\cos60^\circ = 1/2\) を代入して \(v_0\) を求めます。
$$mgl\left(1-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}mv_0^2$$
$$mgl \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}mv_0^2$$両辺の \(\frac{1}{2}m\) を消去します（\(m \neq 0\)）。$$gl = v_0^2$$速さ \(v_0\) は正なので、平方根をとると、$$v_0 = \sqrt{gl} \quad \cdots ②$$
小球が最初の位置から一番下の点Cまで動くとき、重力だけが仕事をするので、エネルギーの合計（運動エネルギーと位置エネルギーの和）は変わりません。最初の位置では小球は止まっているので運動エネルギーはゼロ、位置エネルギーは一番下の点Cを基準にすると \(mg \times (\text{高さの差})\) です。一番下の点Cでは位置エネルギーはゼロ、運動エネルギーは \(\frac{1}{2}mv_0^2\) です。これらのエネルギーの合計が等しいという式を立てて、速さ \(v_0\) を計算します。
小球が最下点Cを通るときの速さは \(v_0 = \sqrt{gl}\) です。
この結果は、振り子の運動でよく見られる速さの形です。単位も [m/s] となり、速さの単位として正しいです。
問 (2)
思考の道筋とポイント
点Cを通る直前と直後では、小球は円運動をしています。円運動の中心と半径が直前と直後で変わる点に注意が必要です。どちらの場合も、小球の速さは(1)で求めた \(v_0 = \sqrt{gl}\) です（くぎBに引っかかる瞬間には張力以外の力は仕事をしないので、速さは変わりません）。
円運動をしている物体には、円の中心に向かう方向の合力（向心力）が働いています。この向心力は、糸の張力と重力の合力（またはその成分）によって供給されます。あるいは、小球と共に回転する観測者の立場から見れば、遠心力と他の力がつり合っていると考えます。
この設問における重要なポイント
- 点Cでの速さは \(v_0 = \sqrt{gl}\) です。
- 点C直前: 円運動の中心はA、半径は \(l\)。
- 点C直後: 円運動の中心はB、半径は \(l’ = l – \frac{3}{4}l = \frac{1}{4}l\)。
- それぞれの状況で、半径方向の力のつり合い（遠心力を考慮）または運動方程式（向心力）を立てます。
具体的な解説と立式
点Cを通る直前の張力 \(T_1\):
このとき、小球は点Aを中心とする半径 \(l\) の円運動の一部をなしています。最下点Cでは、小球に働く力は、鉛直上向きの張力 \(T_1\) と鉛直下向きの重力 \(mg\) です。小球と共に回転する観測者から見ると、これらに加えて鉛直下向き（円運動の中心Aから遠ざかる向き）に遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_0^2}{l}\) が働いてつり合っていると考えられます。
力のつり合い（鉛直上向きを正）：
$$T_1 – mg – m\frac{v_0^2}{l} = 0$$したがって、$$T_1 = mg + m\frac{v_0^2}{l} \quad \cdots ③$$
点Cを通った直後の張力 \(T_2\):
糸がくぎBに引っかかったため、この瞬間から小球は点Bを中心とする半径 \(r’ = l – \frac{3}{4}l = \frac{1}{4}l\) の円運動を始めます。点Cでの速さは直前と変わらず \(v_0\) です。
最下点Cでは、小球に働く力は、鉛直上向きの張力 \(T_2\) と鉛直下向きの重力 \(mg\) です。小球と共に回転する観測者から見ると、これらに加えて鉛直下向き（円運動の中心Bから遠ざかる向き）に遠心力 \(m\displaystyle\frac{v_0^2}{r’} = m\frac{v_0^2}{l/4}\) が働いてつり合っていると考えられます。
力のつり合い（鉛直上向きを正）：
$$T_2 – mg – m\frac{v_0^2}{l/4} = 0$$したがって、$$T_2 = mg + m\frac{4v_0^2}{l} \quad \cdots ④$$
使用した物理公式
- 力のつり合い（遠心力を考慮）: \(\sum F_{\text{半径方向}} = 0\)
- 遠心力: \(F_{\text{遠心}} = mv^2/r\)
- 円運動の半径の変化
まず、点C直前の張力 \(T_1\) を求めます。式③に \(v_0^2 = gl\) (式②の2乗) を代入します。
$$T_1 = mg + m\frac{gl}{l} = mg + mg$$
$$T_1 = 2mg \quad \cdots ⑤$$
次に、点C直後の張力 \(T_2\) を求めます。式④に \(v_0^2 = gl\) を代入します。
$$T_2 = mg + m\frac{4(gl)}{l} = mg + 4mg$$
$$T_2 = 5mg \quad \cdots ⑥$$
小球が一番下の点Cを通るとき、小球は円運動をしています。このとき、糸が小球を引っ張る力（張力）は、小球の重力と、円運動による外向きの力（遠心力）の合計と釣り合っています。
点Cの直前では、円運動の半径は糸の全長 \(l\) です。点Cを通過した直後では、糸がくぎBに引っかかるため、円運動の半径は \(l/4\) に短くなります。しかし、点Cでの小球の速さは直前と直後で変わりません。それぞれの半径を使って遠心力を計算し、張力を求めます。半径が小さいほど、同じ速さでも遠心力は大きくなるため、張力も大きくなるはずです。
小球が点Cを通る直前での糸の張力 \(T_1\) は \(2mg\) です。
点Cを通った直後の糸の張力 \(T_2\) は \(5mg\) です。
円運動の半径が \(l\) から \(l/4\) へと1/4になったことで、同じ速さ \(v_0\) であっても遠心力は4倍 (\(m v_0^2 / (l/4) = 4 m v_0^2 / l\)) になります。その結果、張力も \(mg + (\text{遠心力})\) の形で大きく変化し、\(T_2 > T_1\) となっています。これは物理的に妥当な結果です。
問 (3)
思考の道筋とポイント
小球が点Bと同じ高さの点Dを通るときを考えます。このとき、小球は点Bを中心とする半径 \(r’ = l/4\) の円運動の途中にあります。点Dでの速さを \(v_D\) とします。まず、最下点Cと点Dの間で力学的エネルギー保存則を適用して \(v_D\) を求めます。点Dは点Cから見て高さ \(l/4\) の位置にあります。次に、点Dでは糸BDが水平になるため、糸の張力 \(T_D\) がそのまま向心力となります（重力は鉛直下向きなので、この瞬間の半径方向には成分を持ちません）。
この設問における重要なポイント
- 点Dは点Bと同じ高さなので、最下点Cからの高さは \(l/4\) です。
- 力学的エネルギー保存則を用いて点Dでの速さ \(v_D\) を求めます。
- 点Dでは、糸BDは水平となり、張力 \(T_D\) が向心力となります。円運動の半径は \(l/4\)。
具体的な解説と立式
点Dでの小球の速さを \(v_D\) とします。最下点Cを位置エネルギーの基準（高さ0）とします。点Dの高さは \(l/4\) です。
最下点Cと点Dの間での力学的エネルギー保存則より、
（Cでの運動エネルギー）＋（Cでの位置エネルギー）＝（Dでの運動エネルギー）＋（Dでの位置エネルギー）
$$\frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_D^2 + mg\left(\frac{l}{4}\right) \quad \cdots ⑦$$
（ここで \(v_0\) は(1)で求めた最下点Cでの速さ \(\sqrt{gl}\) です。）
点Dでは、糸BDは水平になっています。このとき、小球に働く半径方向（水平方向、中心B向き）の力は張力 \(T_D\) のみです（重力 \(mg\) は鉛直下向きなので、この方向の成分はありません）。この張力 \(T_D\) が向心力となります。円運動の半径は \(r’ = l/4\)、速さは \(v_D\) なので、運動方程式（または遠心力とのつり合い）は、
$$T_D = m\frac{v_D^2}{l/4} \quad \cdots ⑧$$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則
- 円運動の運動方程式（向心力）または力のつり合い（遠心力）
まず、式⑦から \(v_D^2\) を求めます。(1)で求めた \(v_0^2 = gl\) (式②の2乗) を代入します。
$$\frac{1}{2}m(gl) = \frac{1}{2}mv_D^2 + \frac{1}{4}mgl$$両辺の \(m\) を消去し、2倍すると、$$gl = v_D^2 + \frac{1}{2}gl$$
$$v_D^2 = gl – \frac{1}{2}gl = \frac{1}{2}gl \quad \cdots ⑨$$次に、この \(v_D^2\) を式⑧に代入して張力 \(T_D\) を求めます。$$T_D = m\frac{\frac{1}{2}gl}{l/4} = m \frac{gl}{2} \cdot \frac{4}{l}$$
$$T_D = 2mg \quad \cdots ⑩$$
小球が点D（くぎBと同じ高さ）を通るときを考えます。まず、小球が一番下の点Cから点Dまで上がるときのエネルギーの変化を見ます。エネルギーの合計は変わらないので、点Dでの運動エネルギー（つまり速さ）がわかります。次に、点Dでは糸が水平になっているので、小球を円の中心Bに向かって引いているのは糸の力（張力 \(T_D\)）だけです。この張力が、円運動を続けるために必要な力（向心力、あるいは外向きの遠心力とつり合う力）になっていると考え、速さを使って張力 \(T_D\) を計算します。
小球が点Bと同じ高さの点Dを通るときの糸の張力 \(T_D\) は \(2mg\) です。
このとき、小球の速さは \(v_D = \sqrt{gl/2}\) となっています。興味深いことに、この張力 \(2mg\) は、最下点Cを通る直前の張力 \(T_1 = 2mg\) と同じ値です。これは、点Dでは重力が向心力に直接寄与しない（張力のみが向心力となる）のに対し、点C（直前）では張力が重力に打ち勝った上でさらに向心力を供給する必要があるため、状況は異なりますが、特定の速度と半径の関係によって偶然同じ値になったと考えられます。
問 (4)
思考の道筋とポイント
小球が点Eに達したとき、糸がゆるむとあります。糸がゆるむ瞬間は、糸の張力が0になるときです (\(T_E=0\))。このとき、小球は点Bを中心とする半径 \(r’=l/4\) の円運動の途上にあり、糸BEが水平線BDとなす角が \(\alpha\)（\(\angle EBD = \alpha\)）です。点Eでの速さを \(v_E\) とします。
まず、点Eでの半径方向の力のつり合い（または運動方程式）を考えます。張力 \(T_E=0\) なので、重力の半径方向成分が向心力の役割を果たす（あるいは遠心力の半径方向成分とつり合う）ことになります。
次に、最下点C（または初めの放出点）と点Eとの間で力学的エネルギー保存則を立てます。点Eの高さは、Bの高さ（Cから \(l/4\)）と角度 \(\alpha\) を用いて表す必要があります。モデル解答の図から、点Eは点Bの水平線BDより上にあると解釈できます。
これらの2つの式を連立させて \(\sin\alpha\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 糸がゆるむ条件は、張力 \(T_E = 0\) です。
- 点Eでの円運動の半径は \(l/4\)。
- 点Eでの半径方向の力のつり合い（または運動方程式）を立てます。このとき、重力 \(mg\) の半径方向（糸の方向）成分を考慮します。モデル解答の図に基づくと、\(\alpha = \angle EBD\) であり、EがBより上方にある場合、重力の糸に沿った成分は \(mg\sin\alpha\) となります（糸が水平線となす角が \(\alpha\) のため）。
- 力学的エネルギー保存則を、例えば最下点Cと点Eの間で立てます。点Eの高さ（C基準）を \(\alpha\) を用いて正しく表すことが重要です。点EのCからの高さは \(\frac{l}{4} + \frac{l}{4}\sin\alpha\)。
具体的な解説と立式
小球が点Eに達したとき糸がゆるむので、その瞬間の張力 \(T_E = 0\) です。点Eでの速さを \(v_E\) とします。糸BEの長さ（円運動の半径）は \(r’ = l/4\) です。糸BEが水平線BDとなす角が \(\alpha\) (\(\angle EBD = \alpha\)) です。
点Eにおいて、小球に働く力の半径方向（中心B向き）の成分を考えます。張力は \(T_E=0\)。重力 \(mg\) の糸BEに沿った成分（中心B向き）は \(mg\sin\alpha\) です（EがBの水平線より上方にあるため）。これが向心力となります。
したがって、半径方向の運動方程式は、
$$m\frac{v_E^2}{l/4} = mg\sin\alpha \quad \cdots ⑪$$
（小球と共に回転する観測者から見れば、遠心力 \(m\frac{v_E^2}{l/4}\)（外向き）と重力の糸に沿った成分 \(mg\sin\alpha\)（中心向き）がつり合っている、と考えます。）
次に、力学的エネルギー保存則を考えます。最下点Cを位置エネルギーの基準（高さ0）とします。点Cでの速さは \(v_0 = \sqrt{gl}\) でした。
点Eの高さ \(h_E\) を求めます。点BのCからの高さは \(l/4\) です。点Eは、点Bから見て水平線BDより角度 \(\alpha\) だけ上に上がった位置なので、Bの高さからさらに \((l/4)\sin\alpha\) だけ高い位置にあります。したがって、点EのCからの高さは \(h_E = \frac{l}{4} + \frac{l}{4}\sin\alpha = \frac{l}{4}(1+\sin\alpha)\) です。
力学的エネルギー保存則より、（Cでの力学的エネルギー）＝（Eでの力学的エネルギー）
$$\frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv_E^2 + mg\frac{l}{4}(1+\sin\alpha) \quad \cdots ⑫$$
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式（向心力）または力のつり合い（遠心力）
- 糸がゆるむ条件: 張力 \(T=0\)
- 力学的エネルギー保存則
- 力の分解、幾何学的関係
式⑪から \(v_E^2\) を求めると、
$$v_E^2 = \frac{gl}{4}\sin\alpha$$この \(v_E^2\) と、\(v_0^2 = gl\) (式②の2乗) を式⑫に代入します。$$\frac{1}{2}m(gl) = \frac{1}{2}m\left(\frac{gl}{4}\sin\alpha\right) + mg\frac{l}{4}(1+\sin\alpha)$$両辺の \(mg\) を消去し（\(m \neq 0, g \neq 0\)）、さらに両辺を2倍すると、
$$l = \frac{l}{4}\sin\alpha + \frac{l}{2}(1+\sin\alpha)$$両辺を \(l\) で割ります（\(l \neq 0\)）。
$$1 = \frac{1}{4}\sin\alpha + \frac{1}{2}(1+\sin\alpha)$$両辺を4倍して分母を払います。
$$4 = \sin\alpha + 2(1+\sin\alpha)$$$$4 = \sin\alpha + 2 + 2\sin\alpha$$$$4 = 3\sin\alpha + 2$$
$$3\sin\alpha = 4 – 2 = 2$$したがって、$$\sin\alpha = \frac{2}{3} \quad \cdots ⑬$$
小球が点Eで糸がゆるむというのは、その瞬間、糸が小球を引く力（張力）がゼロになったということです。このときでも、小球はまだ速さ \(v_E\) を持って円運動（あるいはその一部）をしようとしています。円運動をするためには中心に向かう力が必要ですが、張力がゼロなので、この力は重力の成分によって供給される（あるいは遠心力と重力の成分がつり合う）ことになります。この関係から、点Eでの速さ \(v_E\) と角度 \(\alpha\) の間に一つの式が成り立ちます。
もう一つはエネルギーのルールです。小球が最初の位置から点Eまで動く間、エネルギーの合計は変わりません。これを使って、点Eでの速さ \(v_E\) と角度 \(\alpha\) の間にもう一つの式を立てます。
こうして得られた2つの式を組み合わせる（連立方程式を解く）ことで、\(\sin\alpha\) の値を求めます。
\(\sin\alpha = \displaystyle\frac{2}{3}\) です。
この値は \(0 < \sin\alpha \le 1\) の範囲内にあるため、物理的に意味のある角度として存在し得ます。糸がたるむのは、円運動を続けるために必要な張力が供給できなくなったときであり、この問題では張力が0になる点をその限界としています。
問 (5)
思考の道筋とポイント
小球が糸がたるむことなく、Bを中心とする円弧を描いてBの鉛直上方 \(\frac{1}{4}l\) のところにある点F（つまり、Bを中心とする円運動の最高点）に達するための条件を考えます。物体が円運動を続けるためには、軌道上の各点で張力が0以上である必要があります。特に、円運動の最高点Fで張力がちょうど0になる（あるいは0より大きい）ことが、円を描いて運動を続けるためのぎりぎりの条件となります。この限界条件（最高点Fで張力 \(T_F \ge 0\)、ぎりぎりなら \(T_F=0\)）から、点Fでの最小限必要な速さ \(v_F\) を求めます。次に、初めの放出角を \(\theta_0\) とし、初めの位置と点Fとの間で力学的エネルギー保存則を立て、この \(v_F\) を用いて \(\cos\theta_0\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 円運動の最高点Fを通過するための条件は、最高点Fでの張力 \(T_F \ge 0\) です。ぎりぎりの場合は \(T_F=0\)。
- 点Fでの円運動の半径は \(l/4\)。
- 点Fでの半径方向の力のつり合い（または運動方程式）から、\(T_F=0\) となる場合の速さ \(v_F\) を求めます。このとき、重力も向心方向（下向き）に働くことに注意します。
- 力学的エネルギー保存則を、初めの放出位置（角度 \(\theta_0\)）と点Fの間で立てます。
具体的な解説と立式
小球が点F（点Bの真上 \(l/4\) の位置、すなわちBを中心とする円運動の最高点）に達するためのぎりぎりの条件を考えます。このとき、点Fでの張力 \(T_F\) がちょうど0になるとします。点Fでの速さを \(v_F\) とします。
点Fでは、小球に働く力は鉛直下向きの重力 \(mg\) と、もし張力があれば鉛直下向きの張力 \(T_F\) です。これらの力の合力が向心力となります（円運動の中心Bに向かう力）。円運動の半径は \(r’ = l/4\) です。
半径方向（鉛直下向きを正とする）の運動方程式は、
$$mg + T_F = m\frac{v_F^2}{l/4}$$
ぎりぎりの条件として \(T_F=0\) とすると、
$$mg = m\frac{v_F^2}{l/4} \quad \cdots ⑭$$
次に、初めの放出位置（糸が鉛直線となす角 \(\theta_0\)、このとき小球の高さは最下点Cを基準として \(l(1-\cos\theta_0)\)）と点F（最下点Cからの高さは、CからBまでが \(l/4\)、BからFまでが \(l/4\) なので、合計 \(l/4 + l/4 = l/2\)）の間で力学的エネルギー保存則を立てます。最下点Cを位置エネルギーの基準（高さ0）とします。
（初めの運動エネルギー）＋（初めの位置エネルギー）＝（Fでの運動エネルギー）＋（Fでの位置エネルギー）
$$0 + mgl(1-\cos\theta_0) = \frac{1}{2}mv_F^2 + mg\left(\frac{l}{2}\right) \quad \cdots ⑮$$
使用した物理公式
- 円運動の運動方程式（向心力）または力のつり合い（遠心力）
- 円運動を続けるための条件（最高点での張力 \(\ge 0\)）
- 力学的エネルギー保存則
まず、式⑭から \(v_F^2\) を求めます。
$$mg = m\frac{4v_F^2}{l}$$
\(m\) を消去すると、
$$g = \frac{4v_F^2}{l}$$
したがって、
$$v_F^2 = \frac{gl}{4}$$
次に、この \(v_F^2\) の値を式⑮に代入します。
$$mgl(1-\cos\theta_0) = \frac{1}{2}m\left(\frac{gl}{4}\right) + mg\frac{l}{2}$$
両辺の \(mgl\) で割ります（\(mgl \neq 0\) と仮定）。
$$1-\cos\theta_0 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{2}$$
$$1-\cos\theta_0 = \frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{5}{8}$$
\(\cos\theta_0\) について解くと、
$$\cos\theta_0 = 1 – \frac{5}{8} = \frac{3}{8} \quad \cdots ⑯$$
小球がくぎBを中心とした円軌道のちょうど真上（点F）まで、糸がたるむことなく到達できるための、最初の振り出し角度 \(\theta_0\) を求めます。円軌道のてっぺんである点Fをぎりぎり通過できる条件は、その点で糸の張力がちょうどゼロになる（しかし、たるみはしない）ときです。このとき、小球の重力が円運動を続けるために必要な力（向心力）になっていると考えます（あるいは、見かけの力である遠心力と重力が釣り合っている）。この条件から、点Fでの小球の速さ \(v_F\) が決まります。
次に、最初の振り出し位置（角度 \(\theta_0\) で静かに放す）から点Fまでの間で、エネルギーの合計（運動エネルギーと位置エネルギーの和）が変わらないというルール（力学的エネルギー保存則）を使います。最初の位置エネルギーと、点Fでの運動エネルギー（上で求めた \(v_F\) を使います）および点Fでの位置エネルギーが等しいという式を立て、これを最初の角度 \(\theta_0\)（の余弦 \(\cos\theta_0\)）について解きます。
はじめの角 \(\theta_0\) は、\(\cos\theta_0 = \displaystyle\frac{3}{8}\) を満たす角度である必要があります。問題文は「いくら以上でなければならないか」と聞いていますが、これは \(\theta_0\) の値がこのときの角度よりも小さい（つまり、より高い位置から放す）必要があることを意味します（\(\cos\theta_0\) の値としては、この値以下である必要がある）。
\(\cos\theta_0 = 3/8 \approx 0.375\) であり、これは \(0 < \cos\theta_0 < 1\) を満たすので、物理的に意味のある角度です。この角度は、最初の設問の \(\theta=60^\circ\)（\(\cos60^\circ = 0.5 = 4/8\)）と比較すると、\(\cos\theta_0 = 3/8 < 4/8\) なので、\(\theta_0 > 60^\circ\) となります。つまり、(1)の初期状態よりもさらに大きな角度（より低い位置）から放すと、最高点Fには到達できない可能性があることを示唆しています。一周するためには、より高い位置（より小さい \(\theta_0\)）から放す必要がある、という直感とは逆の結果に見えるかもしれませんが、これは「いくら以上」という言葉が角度 \(\theta_0\) そのものの値ではなく、振り上げの高さ（\(1-\cos\theta_0\) に比例）に関連していると解釈できます。より正確には、\(\cos\theta_0 \le 3/8\) を満たすような初期角 \(\theta_0\) から放す必要がある、つまり \(\theta_0\) はある値よりも大きく（より低い位置から）放してしまうとFに到達できない、という限界の角度を求めたことになります。したがって、Fに達するためには、この \(\cos\theta_0 = 3/8\) に対応する \(\theta_0\) よりも「小さい」角度（より高い位置）から放す必要がある、というのが正しい解釈です。モデル解答は \(\cos\theta_0 = 3/8\) を求めています。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力学的エネルギー保存則: 糸の張力は常に小球の運動方向と垂直であるため仕事をせず、また摩擦や空気抵抗も無視できるため、系全体の力学的エネルギー（運動エネルギーと重力による位置エネルギーの和）は常に保存される。これが各点での速さを求める上での基本となった。
- 円運動の動力学（向心力または遠心力とのつり合い）: 小球が円運動をしている各点において、円の中心に向かう方向の力の合成分が向心力 \(m v^2/r\) となっている（慣性系）。あるいは、小球と共に回転する観測者から見れば、遠心力 \(m v^2/r\) が働き、これと他の実在の力の半径方向成分とがつり合っている（非慣性系）。張力を求める際にこの考え方を用いた。
- 糸がゆるむ条件: 糸が張力を及ぼさなくなる、すなわち張力 \(T=0\) となる瞬間が「糸がゆるむ」ときである。これは、円運動を継続できなくなる限界条件の一つ。
- 円運動を継続する条件（最高点通過条件）: 物体が円軌道の最高点を通過するためには、最高点である程度の速さが必要であり、その結果として張力が0以上（ぎりぎりなら張力0）を保つ必要がある。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
- 鉛直面内での振り子の運動、ジェットコースターのループ運動など、重力下での円運動全般。
- 途中で運動の条件が変わる問題（この問題ではくぎに引っかかって回転半径が変わる）。
- 物体が軌道から離れる条件や、一周するための条件を問う問題。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- エネルギー保存則の適用可能性: まず、非保存力（摩擦など）が仕事をしているかを確認し、力学的エネルギー保存則が使えるか判断する。使える場合は、どの2点間でエネルギーを比較するかを考える。
- 円運動をしている部分の特定: 物体が円運動をしている区間や瞬間を見抜き、その円運動の中心と半径を正確に把握する。
- 力の図示と半径方向の運動方程式（またはつり合い）: 円運動をしている物体にはたらく全ての力を図示し、円の半径方向に運動方程式（または遠心力を含めた力のつり合いの式）を立てる。
- 限界条件の数式化: 「糸がゆるむ」「面から離れる」「最高点を通過するぎりぎり」といった言葉で表される物理的な限界条件を、張力や垂直抗力、速度などを用いた数式（例: \(T=0\), \(N=0\)）に置き換える。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 円運動の半径の誤認:
- 現象: くぎに引っかかった後など、円運動の半径が変わる場合に、常に最初の糸の長さ \(l\) を半径として計算してしまう。
- 対策: 運動の各段階で、どの点を中心に、どのくらいの半径で円運動しているのかを常に図で確認する。
- 最高点での速度の誤解:
- 現象: 円運動の最高点で物体が一瞬止まる（速度ゼロ）と誤解し、エネルギー保存則や運動方程式を立ててしまう。鉛直面内の円運動では、最高点でも一般に速度はゼロではない（重力があるため）。
- 対策: 最高点を通過するためにはある程度の速さが必要であり、その条件は張力や垂直抗力が0以上であることから導かれることを理解する。
- 力の分解の方向や成分の誤り:
- 現象: 重力や張力などを、円運動の半径方向（向心方向）と接線方向に分解する際に、角度の取り方や \(\sin, \cos\) の適用を間違える。
- 対策: 丁寧に力を図示し、分解する方向の軸も描き入れ、三角比の関係を正確に用いる。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- 小球が振り子運動を始め、最下点を通過するときに最も速くなる様子をイメージします。
- 糸がくぎBに引っかかった瞬間、円運動の中心がAからBに、半径が \(l\) から \(l/4\) にパッと切り替わるイメージをします。半径が急に短くなるため、同じ速さでも張力が急増する様子 ((2)の結果) を理解します。
- (4)で糸がゆるむのは、小球がある程度高い位置まで上がり、速度が落ちて円運動を維持できなくなり、重力の影響で内側に「落ち込む」ような動きになるため、糸の張りがなくなるというイメージを持ちます。
- (5)で円軌道の最高点Fを通過するぎりぎりの状態は、糸がピンと張っているか辛うじて張力を保っている状態で、まるで無重力のようにフワッと通過するのではなく、重力に逆らって円運動を維持しているというイメージを持つことが大切です。
- 運動の各段階（初期位置、最下点C、点D、糸がゆるむ点E、最高点F）での小球の位置と、そのときの円運動の中心、半径を明確に図示します。
- 各点での小球にはたらく力（重力、張力）をベクトルで正確に描き、特に円運動の半径方向と接線方向を意識します。
- 位置エネルギーを考える上で、高さの基準点と各点の高さを図中に明記します。角度（\(\theta, \alpha\)）もどの部分の角度なのかを正確に示します。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力学的エネルギー保存則の選択と適用根拠:
- 選定理由: 運動の途中で働く力が重力（保存力）と糸の張力（常に運動方向と垂直なので仕事をしない）のみであり、摩擦や空気抵抗が無視できるため。
- 適用根拠: 非保存力が仕事をしない系では、力学的エネルギーの総和は一定であるという物理学の基本原理。
- 円運動の運動方程式（または遠心力を用いた力のつり合い）の選択と適用根拠:
- 選定理由: 小球が円軌道上を運動しているため、その運動を記述するために必要。
- 適用根拠: 物体が円運動をするためには、円の中心に向かう向きの合力（向心力）が必要であるというニュートンの第二法則の応用。あるいは、回転系では遠心力と実質の力がつり合うと考える。
- 糸がゆるむ条件 (\(T=0\))、最高点通過条件 (\(T \ge 0\)) の選択と適用根拠:
- 選定理由: 問題文で問われている物理的な限界状況を数式で表現するため。
- 適用根拠: 張力は糸が物体を引く力であり、負の値をとることはない（糸は押せない）。張力が0になることは、糸がたるみ始め、円運動の拘束が解けることを意味する。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 運動の各段階（A中心の円運動、B中心の円運動）と注目する点（C, D, E, F）を明確に区別する。
- 力学的エネルギー保存則を適用できる範囲を見極め、適切な2点間で立式し、速さを求める。
- 円運動をしている点では、その時点での円運動の中心、半径、速さ、そして働く力を正確に把握し、半径方向の運動方程式（または力のつり合いの式）を立てる。
- 「糸がゆるむ」「最高点を通過する」といった条件を、張力に関する数式（\(T=0\) や \(T \ge 0\)）に置き換えて処理する。
- 複数の式や条件を連立させ、未知数を求める。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
- 力学的エネルギー保存則を立てる際の位置エネルギーの基準点と、各点の高さの正確な計算（特に角度や半径が変わる場合）。
- 円運動の運動方程式を立てる際の、半径 \(r\) の値の使い分け（\(l\) なのか \(l/4\) なのか）。
- 力の分解（特に(4)の点Eでの重力の半径方向成分）における三角関数の適用の正確性。
- 連立方程式を解く際の代数計算の丁寧さ。
- 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
- 複雑な設定の問題でも、基本法則（エネルギー保存、運動方程式）に立ち返り、一つ一つのステップを丁寧に立式する。
- 文字式の計算に習熟し、特に複数の物理量や幾何学的関係が絡む場合の整理・代入を正確に行う。
- 図を有効に活用し、力の向きや幾何学的関係を視覚的に確認しながら計算を進める。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
- 例えば、(2)で \(T_2 > T_1\) となったのは、回転半径が小さくなったことで同じ速さでもより大きな向心力（張力）が必要になったため、と物理的に解釈できるか。
- (4)で \(\sin\alpha = 2/3\) という値は、\(\sin\alpha \le 1\) を満たしており、物理的にあり得る角度か。
- (5)で求めた \(\cos\theta_0 = 3/8\) は、\(\theta_0\) が鋭角であることを意味し、また、この条件が「ぎりぎり一周できる」という物理的な状況と矛盾しないか（例えば、エネルギーが負になったりしないか）。
- 吟味の習慣: 計算結果が出たら、それが物理的にどのような状況を表しているのかを考えることで、理解が深まるだけでなく、計算ミスや立式の誤りに気づくきっかけにもなります。
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