「名問の森」徹底解説（28〜30問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題28 円運動 (筑波大＋名古屋大)

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「鉛直面内での円運動と幾何学的条件の変化」です。
糸の長さ（回転半径）が途中で変化する状況下で、速さ、張力、そして円運動を維持するための条件を考察します。

問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
小球は重力のみを受けて運動しており、糸の張力は常に運動方向と垂直であるため仕事をしません。したがって、力学的エネルギー保存則が成立します。
初期位置（角度 \(60^\circ\)）と最下点Cとの高さの差を正確に求めることがポイントです。

この設問における重要なポイント

• 高さの基準: 最下点Cを高さの基準（\(h=0\)）にとると計算しやすくなります。
• 幾何学的関係: 糸の長さ \(l\) と角度 \(60^\circ\) から、初期位置の高さを求めます。

具体的な解説と立式
最下点Cを重力による位置エネルギーの基準（高さ \(0\)）とします。
初期位置において、糸は鉛直線と \(60^\circ\) の角をなしています。
点Aから最下点Cまでの距離は \(l\) です。
点Aから初期位置の小球までの鉛直距離は \(l \cos 60^\circ\) です。
したがって、最下点Cから見た初期位置の高さ \(h\) は以下のようになります。
$$
\begin{aligned}
h &= l – l \cos 60^\circ
\end{aligned}
$$
求める最下点での速さを \(v_0\) とします。
「(初期位置の力学的エネルギー) = (最下点の力学的エネルギー)」という保存則の式を立てます。
$$
\begin{aligned}
mg(l – l \cos 60^\circ) &= \frac{1}{2}mv_0^2
\end{aligned}
$$

立式した式を計算します。
$$
\begin{aligned}
mg l (1 – \cos 60^\circ) &= \frac{1}{2}mv_0^2 \\[2.0ex]
mg l \left( 1 – \frac{1}{2} \right) &= \frac{1}{2}mv_0^2 \\[2.0ex]
mg l \cdot \frac{1}{2} &= \frac{1}{2}mv_0^2 \\[2.0ex]
gl &= v_0^2
\end{aligned}
$$
\(v_0 > 0\) より、
$$
\begin{aligned}
v_0 &= \sqrt{gl}
\end{aligned}
$$

小球が高いところから低いところへ落ちることで、位置エネルギーが運動エネルギーに変わりました。
スタート地点の高さは、一番下から測ると「糸の長さ」から「糸の長さの半分（\(\cos 60^\circ\)分）」を引いた残りになります。
この高さの分だけスピードがついたと考えればOKです。

答えは \(\sqrt{gl}\) です。
次元を確認すると、\([\text{L}/\text{T}^2] \cdot [\text{L}] = [\text{L}^2/\text{T}^2]\) のルートなので、速さの次元 \([\text{L}/\text{T}]\) となり正しいです。
また、自由落下の場合の \(v=\sqrt{2gh}\) と比較しても、妥当な形をしています。

問(2)

思考の道筋とポイント
最下点Cを通過する瞬間、小球には重力と張力が働いています。
ここでは「小球と共に動く観測者」の視点に立ち、遠心力を考慮した力のつりあいを考えます。
重要なのは、くぎに当たる「直前」と「直後」で円運動の半径が劇的に変化することです。

• 直前: 中心はA、半径は \(l\)。
• 直後: 中心はB、半径は \(l – \frac{3}{4}l = \frac{1}{4}l\)。

速さ \(v_0\) は瞬間的には変化しませんが、半径が変わることで遠心力が急変し、張力も不連続に変化します。

この設問における重要なポイント

• 遠心力の公式: \(F_{\text{遠心力}} = m\frac{v^2}{r}\)。半径 \(r\) が分母にあるため、半径が小さいほど遠心力は大きくなります。
• 力のつりあい: 半径方向（鉛直方向）について、上向きの力と下向きの力がつりあいます。

具体的な解説と立式
① 直前の張力 \(T_1\)
半径は \(l\)、速さは \(v_0\) です。
小球には以下の力が働いています。

• 上向き: 張力 \(T_1\)
• 下向き: 重力 \(mg\)、遠心力 \(m\frac{v_0^2}{l}\)

力のつりあいの式（上向きの力の和 = 下向きの力の和）を立てます。
$$
\begin{aligned}
T_1 &= mg + m\frac{v_0^2}{l} \quad \cdots ①
\end{aligned}
$$

② 直後の張力 \(T_2\)
半径は \(\frac{1}{4}l\)、速さは \(v_0\)（変化なし）です。
小球には以下の力が働いています。

• 上向き: 張力 \(T_2\)
• 下向き: 重力 \(mg\)、遠心力 \(m\frac{v_0^2}{\frac{1}{4}l}\)

力のつりあいの式（上向きの力の和 = 下向きの力の和）を立てます。
$$
\begin{aligned}
T_2 &= mg + m\frac{v_0^2}{\frac{1}{4}l} \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$

まず、問(1)の結果 \(v_0^2 = gl\) を用います。

式①より、
$$
\begin{aligned}
T_1 &= mg + m\frac{gl}{l} \\[2.0ex]
&= mg + mg \\[2.0ex]
&= 2mg
\end{aligned}
$$

式②より、
$$
\begin{aligned}
T_2 &= mg + m\frac{gl}{\frac{1}{4}l} \\[2.0ex]
&= mg + 4mg \\[2.0ex]
&= 5mg
\end{aligned}
$$

くぎに糸がひっかかった瞬間、回転の中心が変わり、回転半径が一気に \(1/4\) に縮まりました。
同じスピードでカーブを曲がるとき、カーブがきつい（半径が小さい）ほど、外に放り出されようとする力（遠心力）は強烈になります。
今回は半径が \(1/4\) になったので、遠心力は4倍に跳ね上がりました。
糸はこの強烈な遠心力と重力の両方を支えなければならないため、張力も一気に大きくなります。

\(T_1 = 2mg\)、\(T_2 = 5mg\) です。
半径が小さくなったことで張力が増大しており、物理的直感と一致します。
特に \(T_2\) は \(5mg\) もあり、糸が切れやすくなる瞬間であることがわかります。

問(3)

思考の道筋とポイント
点Dは点Bと同じ高さにあります。
まず、点Dでの速さ \(v_D\) をエネルギー保存則から求めます。
次に、点Dにおける力のつりあいを考えます。点Dでは糸は水平になっているため、重力と張力の向きは直交します。

この設問における重要なポイント

• 高さの関係: 点Dは点Bと同じ高さであり、最下点Cからの高さは半径と同じ \(\frac{1}{4}l\) です。
• 力の向き: 点Dでは、張力 \(T_D\) は水平方向（中心向き）、重力 \(mg\) は鉛直下向きに働きます。遠心力は水平方向（外向き）に働きます。

具体的な解説と立式
点Dでの速さを \(v_D\) とします。
最下点C（高さ \(0\)、速さ \(v_0\)）と点D（高さ \(\frac{1}{4}l\)、速さ \(v_D\)）の間で力学的エネルギー保存則を立てます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_0^2 &= \frac{1}{2}mv_D^2 + mg \cdot \frac{1}{4}l \quad \cdots ⑤
\end{aligned}
$$
次に、点Dにおける水平方向の力のつりあいを考えます。
小球と共に動く観測者から見ると、以下の力が水平方向に働いています。

• 中心向き（左向き）: 張力 \(T_D\)
• 外向き（右向き）: 遠心力 \(m\frac{v_D^2}{\frac{1}{4}l}\)

水平方向の力のつりあいの式（左向きの力 = 右向きの力）を立てます。
$$
\begin{aligned}
T_D &= m\frac{v_D^2}{\frac{1}{4}l} \quad \cdots ⑥
\end{aligned}
$$
（※鉛直方向には重力が働いていますが、張力には寄与しません）

まず、式⑤から \(v_D^2\) を求めます。\(v_0^2 = gl\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m(gl) &= \frac{1}{2}mv_D^2 + \frac{1}{4}mgl \\[2.0ex]
gl &= v_D^2 + \frac{1}{2}gl \\[2.0ex]
v_D^2 &= \frac{1}{2}gl
\end{aligned}
$$
これを式⑥に代入して \(T_D\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
T_D &= m \frac{\frac{1}{2}gl}{\frac{1}{4}l} \\[2.0ex]
&= m \cdot \frac{1}{2}g \cdot 4 \\[2.0ex]
&= 2mg
\end{aligned}
$$

小球が少し登ったので、スピードは落ちました。
横向きの位置（点D）に来たとき、糸が引っ張る力は、そのまま円運動を維持するための力（向心力）として使われます。重力は真下に働くので、糸を引っ張る邪魔も手助けもしません。
計算すると、ちょうど重力の2倍の力で引っ張っていることがわかります。

答えは \(2mg\) です。
最下点直後の \(5mg\) から減少しており、高さが上がって速さが落ちたことと整合します。

問(4)

思考の道筋とポイント
点Eにおける速さを \(v_E\) とし、エネルギー保存則と力のつりあいを連立させます。
「糸がゆるむ」とは、張力 \(T\) が \(0\) になる瞬間を指します。
点Eの位置（高さ）を角度 \(\alpha\) を用いて表す幾何学的な考察が必要です。

この設問における重要なポイント

• 点Eの高さ: 点Bを中心とする半径 \(\frac{1}{4}l\) の円周上にあり、水平線BDから角度 \(\alpha\) だけ上がった位置です。最下点Cからの高さは \(\frac{1}{4}l + \frac{1}{4}l \sin \alpha\) となります。
• 力の分解: 重力 \(mg\) を半径方向（外向き成分）と接線方向に分解します。半径方向成分は \(mg \sin \alpha\) です。
• ゆるむ条件: 張力 \(T_E = 0\) と置きます。

具体的な解説と立式
点Eでの速さを \(v_E\) とします。
最下点C（高さ \(0\)、速さ \(v_0\)）と点E（高さ \(\frac{1}{4}l(1+\sin\alpha)\)）の間で力学的エネルギー保存則を立てます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_0^2 &= \frac{1}{2}mv_E^2 + mg \left( \frac{1}{4}l + \frac{1}{4}l \sin \alpha \right) \quad \cdots ⑦
\end{aligned}
$$
次に、点Eにおける半径方向の力のつりあいを考えます。
小球と共に動く観測者から見ると、以下の力が働いています。

• 中心向き: 張力 \(T_E\)（ゆるむときは \(0\)）
• 外向き: 遠心力 \(m\frac{v_E^2}{\frac{1}{4}l}\)
• 重力の半径方向成分: 重力 \(mg\)（鉛直下向き）を分解します。半径方向と鉛直線のなす角は \(90^\circ – \alpha\) です。重力の半径方向成分（中心向き）は \(mg \cos(90^\circ – \alpha) = mg \sin \alpha\) です。

半径方向の力のつりあいの式（外向きの力 = 内向きの力の和）を立てます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v_E^2}{\frac{1}{4}l} &= 0 + mg \sin \alpha \quad \cdots ⑧
\end{aligned}
$$

式⑧より、\(v_E^2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
m\frac{v_E^2}{\frac{1}{4}l} &= mg \sin \alpha \\[2.0ex]
v_E^2 &= \frac{1}{4}gl \sin \alpha
\end{aligned}
$$
これを式⑦に代入します。また \(v_0^2 = gl\) も代入します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}m(gl) &= \frac{1}{2}m \left( \frac{1}{4}gl \sin \alpha \right) + mg \cdot \frac{1}{4}l (1 + \sin \alpha)
\end{aligned}
$$
両辺を \(mgl\) で割り、整理します。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} &= \frac{1}{8} \sin \alpha + \frac{1}{4} (1 + \sin \alpha)
\end{aligned}
$$
両辺を 8 倍します。
$$
\begin{aligned}
4 &= \sin \alpha + 2(1 + \sin \alpha) \\[2.0ex]
4 &= \sin \alpha + 2 + 2 \sin \alpha \\[2.0ex]
4 – 2 &= 3 \sin \alpha \\[2.0ex]
2 &= 3 \sin \alpha \\[2.0ex]
\sin \alpha &= \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$

小球がさらに高く登ると、スピードが落ちて遠心力が弱まります。一方で、重力が「中心に向かって引っ張る成分」として働き始めます。
糸がピンと張っていられるのは、遠心力が重力成分よりも強い間だけです。
遠心力が弱まり、重力成分と同じ大きさになってしまった瞬間、糸の張力はゼロになり、糸がたるみます。その瞬間の角度を計算しました。

\(\sin \alpha = 2/3\) です。
\(0 < \sin \alpha < 1\) なので、点Eは確かに最高点より手前に存在し、物理的にあり得る解です。

問(5)

思考の道筋とポイント
小球が点F（最高点）に達するためには、途中で糸がゆるまないことが条件です。
円運動において最も糸がゆるみやすいのは、重力が真下（中心向き）に働き、かつ速さが最も遅くなる「最高点」です。
したがって、「最高点Fにおいて張力 \(T \ge 0\)」であれば、一周回ることができます。
ギリギリの条件（最小の初速）を求めるので、最高点で \(T=0\) となる状況を考えます。

この設問における重要なポイント

• 最高点での条件: 最高点Fで遠心力と重力がつりあう（または重力が向心力の役割を果たす）ときが、通過できる最低速度です。
• 逆算のアプローチ: 最高点での条件から必要な速度 \(v_F\) を求め、そこからエネルギー保存則で初期位置の高さ（角度 \(\theta_0\)）へ遡ります。

具体的な解説と立式
最高点Fでの速さを \(v_F\) とします。
点Fにおいて、張力が \(0\) となる限界の力のつりあいを考えます。

• 上向き: 遠心力 \(m\frac{v_F^2}{\frac{1}{4}l}\)
• 下向き: 重力 \(mg\)

つりあいの式（上向き = 下向き）:
$$
\begin{aligned}
m\frac{v_F^2}{\frac{1}{4}l} &= mg \quad \cdots ⑨
\end{aligned}
$$
次に、初期位置（角度 \(\theta_0\)）と最高点Fの間で力学的エネルギー保存則を立てます。
初期位置の高さ（最下点基準）は \(l – l \cos \theta_0\) です。
最高点Fの高さ（最下点基準）は、半径 \(\frac{1}{4}l\) の円の頂点なので、中心Bの高さ \(\frac{1}{4}l\) に半径 \(\frac{1}{4}l\) を足して \(\frac{1}{2}l\) です。
$$
\begin{aligned}
mg(l – l \cos \theta_0) &= \frac{1}{2}mv_F^2 + mg \cdot \frac{1}{2}l \quad \cdots ⑩
\end{aligned}
$$

式⑨より、\(v_F^2\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\frac{v_F^2}{\frac{1}{4}l} &= g \\[2.0ex]
v_F^2 &= \frac{1}{4}gl
\end{aligned}
$$
これを式⑩に代入します。
$$
\begin{aligned}
mg l (1 – \cos \theta_0) &= \frac{1}{2}m \left( \frac{1}{4}gl \right) + \frac{1}{2}mgl
\end{aligned}
$$
両辺を \(mgl\) で割って整理します。
$$
\begin{aligned}
1 – \cos \theta_0 &= \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \\[2.0ex]
1 – \cos \theta_0 &= \frac{1}{8} + \frac{4}{8} \\[2.0ex]
1 – \cos \theta_0 &= \frac{5}{8} \\[2.0ex]
\cos \theta_0 &= 1 – \frac{5}{8} \\[2.0ex]
\cos \theta_0 &= \frac{3}{8}
\end{aligned}
$$

ジェットコースターのループを一回転させるには、ある程度のスピードが必要です。
一番高いところで逆さまになったとき、落ちてこないためには「遠心力」が「重力」に勝つ（あるいは釣り合う）必要があります。
そのギリギリのスピードを計算し、「そのスピードを出すためには、最初どのくらいの高さからスタートすればよいか？」をエネルギーの計算で逆算しました。

\(\cos \theta_0 = 3/8\) です。
\(0 < 3/8 < 1\) なので解として成立します。
また、問(1)の \(60^\circ\) (\(\cos 60^\circ = 1/2 = 4/8\)) と比較すると、\(3/8 < 4/8\) なので \(\theta_0 > 60^\circ\) となります。つまり、より高い位置（大きな角度）から落とす必要があり、問(4)で途中でゆるんでしまった結果と整合します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 回転半径の変化と遠心力の急変
  • 核心: 円運動の半径 \(r\) が変化すると、速さ \(v\) が同じでも遠心力 \(F = m\frac{v^2}{r}\) は大きく変化します。半径が小さくなると遠心力は増大し、それを支える張力も跳ね上がります。
  • 理解のポイント:
    • 不連続性: くぎにひっかかる前後で、エネルギー（速さ）は連続的に変化しますが、力（張力）は不連続に変化するという現象を深く理解しましょう。
    • 力の大きさ: 半径が \(1/4\) になると、遠心力は4倍になります。これが張力増大の直接的な原因です。
• 円運動を維持するための条件（臨界条件）
  • 核心: 糸がたるまずに円運動を続ける条件は、軌道上の全ての点で張力 \(T \ge 0\) となることです。特に、重力が向心力方向（中心方向）に働く「最高点」や「水平より上の点」が最も厳しい条件となります。
  • 理解のポイント:
    • 翻訳: 「ギリギリ通過する」という言葉を、「張力が一瞬ゼロになる（\(T=0\)）」という数式条件に翻訳して立式します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • ジェットコースター（宙返り）: 糸ではなくレールからの垂直抗力 \(N\) に変わるだけで、\(N \ge 0\) という条件は全く同じです。最高点で落ちないための条件として頻出です。
  • 振り子の糸が切れる問題: 最下点で張力が最大になるため、そこで耐えられる限界を超えないかをチェックします。今回の問(2)のように \(T = mg + m\frac{v^2}{r}\) で計算します。
  • 球面上の滑り落ち: 物体が球面上を滑り落ちて離れる条件も、垂直抗力 \(N=0\) と置くことで同様に解けます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 中心と半径の特定: 運動の各段階で「どこが中心か？」「半径はいくらか？」を常に意識し、図に書き込みます。特に中心が変わる問題では要注意です。
  2. 角度の定義: 鉛直下向きからの角度 \(\theta\) なのか、水平からの角度 \(\alpha\) なのかによって、重力の成分（\(\sin\) か \(\cos\) か）が変わります。図を描いて慎重に分解しましょう。
  3. 解法の選択:
     • 「速さ」や「高さ」が絡むなら \(\rightarrow\) エネルギー保存則
     • 「力」や「張力」が絡むなら \(\rightarrow\) 運動方程式（またはつりあい）
     • 通常はこの2つをセットで連立させます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 重力成分の分解ミス:
  • 誤解: 常に「半径方向は \(\cos\)」と機械的に暗記していると、角度の取り方（水平基準など）が変わったときに間違えます。
  • 対策: 必ず図を描き、直角三角形を見つけて、\(\theta\) がどこにあるかを確認してから \(\sin/\cos\) を決めましょう。問(4)のように水平基準の角 \(\alpha\) の場合、半径方向成分は \(\sin \alpha\) になります。
• 遠心力の半径の取り違え:
  • 誤解: くぎにひっかかった後も、元の半径 \(l\) を使って計算してしまう。
  • 対策: 「今、物体はどの点を中心に回っているか？」を指差し確認します。くぎの位置Bが中心なら、半径は \(l\) ではなく \(l/4\) です。
• 張力の向きの誤解:
  • 誤解: 張力は常に重力と反対向きだと思い込む。
  • 対策: 張力は常に「糸が物体を引く向き（中心向き）」です。点D（水平位置）では重力と直交し、点F（最高点）では重力と同じ向きになります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 遠心力（慣性系） vs 運動方程式（静止系）:
  • 選定理由: 模範解答やメイン解説では「遠心力」を用いました。これは「力のつりあい」という静力学的な直感が働きやすく、立式ミスが少ないためです。一方、別解の「運動方程式」は、加速度の向きを正しく認識する必要があり少しハードルが高いですが、物理現象の本質（力によって運動が変化する）を理解するのに最適です。
  • 適用根拠: どちらの立場（観測者）に立っても物理法則は成立します。自分がミスなく立式できる方を選べば良いですが、両方使えると検算になります。
• 微積分を用いた解法:
  • 選定理由: 公式を忘れてしまった場合や、より複雑な運動（空気抵抗がある場合など）に応用したい場合に、原理から立ち返って解くための強力なツールです。
  • 適用根拠: ニュートンの運動方程式は力学の全ての出発点であり、ここから数学的操作だけでエネルギー保存則や円運動の式が導かれるため、最も論理的な整合性が高い解法です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 次元確認（ディメンションチェック）:
  • 答えが出たら、単位（次元）を確認しましょう。
  • 張力 \(T\) の答えが \(5mg\) なら、力の次元 \([\text{ML}/\text{T}^2]\) で正しいです。もし \(5mgl\) となっていたらエネルギーの次元になってしまい間違いです。
  • \(\sin \alpha\) や \(\cos \theta\) は無次元の数値（比率）になるはずです。
• 極限的なケースでの検算:
  • もし \(l\) が変化しなかったら？ 問(2)で半径が変わらなければ（くぎがない）、\(T_2\) は \(T_1\) と同じになるはずです。式で \(l/4 \to l\) とすれば一致します。
  • もし \(\theta=0\)（最初から最下点）なら？ 高さの差がなくなり \(v_0=0\) になるはずです。式 \(v_0 = \sqrt{gl(1-\cos 0)} = 0\) はこれを満たします。
• 比の計算の活用:
  • \(v_0^2 = gl\) のような塊をそのまま代入することで、計算ミスを減らせます。\(v_0\) をルートのまま代入して2乗する手間を省きましょう。

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