「名問の森」徹底解説（22〜24問）：未来の得点力へ！完全マスター講座【力学・熱・波動Ⅰ】

問題22 (法政大+筑波大+大阪大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平な床に置かれた傾角 \(\theta\) の斜面を持つ三角柱（台）Qと、その斜面上に置かれた小物体Pの運動を扱います。摩擦はどこにもないものとします。問題は、台を特定の加速度で動かしたときのPに働く力や台の運動、さらに糸でつながれていたPを初速を与えて動かした場合の運動を解析する形式になっています。特に「慣性力」を用いた考え方と、静止系から見た運動方程式を用いる考え方の両方が問われており、これらの比較検討が重要となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く上で中心となるのは、「慣性力」の概念と、それを用いた非慣性系での力のつり合い、または慣性系での運動方程式の立式です。小物体Pが三角柱Qの斜面上を運動（または静止）する際、Q自身が加速度運動をすることで、Pの運動はQと共に動く観測者と、床で静止している観測者とで異なって記述されます。これらの視点の違いを理解し、適切に物理法則を適用することが求められます。

問 (1)

思考の道筋とポイント

三角柱Qが水平方向に運動するのは、その上にある小物体Pから力を受けるためです。小物体Pが三角柱Qの斜面上にあるとき、PはQの斜面から垂直抗力 \(N\) を受けます。作用・反作用の法則により、QもPから同じ大きさで反対向きの力（斜面に垂直でQを押し込む向き）を受けます。この力の水平成分が、Qを水平方向に加速させる力となります。問題の図から、PがQの右側の斜面を滑り降りようとすると、Qを左向きに押すことが考えられます。

この設問における重要なポイント

• 三角柱Qに働く水平方向の力は、小物体Pから受ける力の水平成分のみです（床は滑らかなので摩擦力はなし）。
• PがQに及ぼす力は、QがPに及ぼす垂直抗力 \(N\) の反作用です。この力は、Qに対して斜面に垂直で押し込む向きに働きます。
• Qの加速度の向きを左向き、その大きさを \(A\) とします。

具体的な解説と立式

小物体Pが三角柱Qの斜面上にあるとき、QはPから垂直抗力 \(N\) の反作用を受けます。この力は、Qに対して斜面に垂直で、Qを押し込む向き（図で言えば、Pが右斜面にある場合、左下向き）に働きます。この力の水平成分（左向き）の大きさは \(N\sin\theta\) となります。
三角柱Qの質量は \(M\) であり、水平方向の加速度の大きさを \(A\)（左向きを正とする）とすると、Qの運動方程式は、
$$MA = N\sin\theta \quad \cdots (1)$$

この設問では、運動方程式を立てることが求められており、上記がその式となります。

三角柱Qが動き出すのは、その上に乗っている小物体PがQの斜面を押すからです。PがQを押す力（これはQがPを支える垂直抗力の反対向きの力です）の、水平方向の成分が、Qを横に動かす原因となります。「力は質量と加速度を掛けたものに等しい」というニュートンの運動の法則を使って、Qの動きを表す式を立てます。

三角柱Qの運動方程式は \(MA = N\sin\theta\) です。これは、Qが小物体Pから受ける力の水平成分によって、水平方向に加速されることを示しています。Qが図の左向きに加速する場合、\(A\) も \(N\sin\theta\) も左向きの成分として正の値を持つと解釈できます。

I. 慣性力を用いて考える。

問 (2)

思考の道筋とポイント

三角柱Qと共に加速度 \(A\)（左向き）で運動する観測者から小物体Pを見ます。この観測者から見ると、Pには実際の力（重力 \(mg\)、Qからの垂直抗力 \(N\)）の他に、Qの加速度と逆向き（この場合は右向き）に大きさ \(mA\) の慣性力が働いているように見えます。小物体Pは斜面に沿って滑り降りますが、斜面に垂直な方向には動きません（つまり、斜面から浮き上がったり、めり込んだりしません）。したがって、この斜面に垂直な方向では力がつり合っていると考えます。

この設問における重要なポイント

• 観測者は三角柱Qと共に加速度 \(A\)（左向き）で運動しています。
• 小物体Pには、水平右向きに大きさ \(mA\) の慣性力が働いているように見えます。
• Pに働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、慣性力 \(mA\) です。
• これらの力を斜面に垂直な方向に分解し、その方向での力のつり合いの式を立てます。

具体的な解説と立式

三角柱Qの加速度は水平左向きに大きさ \(A\) なので、小物体Pには水平右向きに大きさ \(mA\) の慣性力が働きます。
Pに働く力を、斜面に垂直な方向で考えます。斜面からPに向かって離れる向きを正とします。

• 垂直抗力 \(N\): この向きに \(+N\)。
• 重力 \(mg\): この向きの成分は \(-mg\cos\theta\)（斜面に押し付ける向き）。
• 慣性力 \(mA\): 水平右向きなので、その斜面に垂直な成分は、Pを斜面から引き離す向きに \(+mA\sin\theta\) となります（モデル解答の図を参照）。

Pは斜面に垂直な方向には動かないので、これらの力の合力は0です。したがって、力のつり合いの式は、
$$N + mA\sin\theta – mg\cos\theta = 0$$
これを整理すると、モデル解答の形に合わせて、
$$N + mA\sin\theta = mg\cos\theta \quad \cdots (2)$$

この設問では、力のつり合いの式を立てることが求められており、上記がその式となります。

動いている台（三角柱Q）の上に乗っている人から小物体Pを見ると、Pにはいつもの力（重力、台からの垂直な力）の他に、台が加速しているせいで感じる「見かけの力」（慣性力）が働きます。Pは斜面から浮き上がったりめり込んだりしないので、斜面に垂直な方向ではこれらの力がちょうどつり合っているはずです。このつり合いの条件を式にします。

小物体Pについて成り立つ式（斜面に垂直な方向の力のつり合い）は \(N + mA\sin\theta = mg\cos\theta\) です。この式は、垂直抗力 \(N\) が、慣性力がない場合 (\(A=0\)) の \(mg\cos\theta\) と比較して、慣性力の効果 (\(mA\sin\theta\)) によってどのように変化するかを示しています。この場合、慣性力がPを斜面から引き離す方向に作用するため、\(N = mg\cos\theta – mA\sin\theta\) となり、垂直抗力は小さくなる方向に寄与します。

問 (3)

思考の道筋とポイント

式(1) \(MA = N\sin\theta\) と、式(2) \(N + mA\sin\theta = mg\cos\theta\) の2つの式があります。未知数は垂直抗力 \(N\) と三角柱Qの加速度の大きさ \(A\) の2つなので、これらの式を連立させて \(A\) を消去し、\(N\) について解きます。

この設問における重要なポイント

• 式(1)から \(A\) を \(N\) を用いて表し、その結果を式(2)に代入して \(N\) を求めます。

具体的な解説と立式

用いる2つの式は以下の通りです。
$$MA = N\sin\theta \quad \cdots (1)$$
$$N + mA\sin\theta = mg\cos\theta \quad \cdots (2)$$
これらの連立方程式から \(A\) を消去し、\(N\) を求めることを目指します。

まず、式(1)から \(A\) を \(N\) を用いて表します（ただし \(M \neq 0\)）。
$$A = \frac{N\sin\theta}{M}$$
次に、この \(A\) の表式を式(2)に代入します。
$$N + m\left(\frac{N\sin\theta}{M}\right)\sin\theta = mg\cos\theta$$
左辺を \(N\) でくくりだし、整理します。
$$N\left(1 + \frac{m\sin^2\theta}{M}\right) = mg\cos\theta$$
括弧の中を通分します。
$$N\left(\frac{M + m\sin^2\theta}{M}\right) = mg\cos\theta$$
最後に、\(N\) について解くと、
$$N = \frac{Mmg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta} \quad \cdots (3)$$

前に立てた2つの式（(1)と(2)）には、求めたい垂直抗力 \(N\) と、まだ分かっていない台の加速度の大きさ \(A\) の2つの未知数が入っています。式が2本あって未知数が2つなので、これらをうまく組み合わせる（数学でいう「連立方程式を解く」）ことで、加速度 \(A\) を式の中から消去し、垂直抗力 \(N\) だけの式にすることができます。具体的には、一方の式を使って \(A\) を \(N\) を使った形で表し、それをもう一方の式に代入して \(N\) について整理します。

小物体Pが三角柱Qから受ける垂直抗力の大きさ \(N\) は \(N = \displaystyle\frac{Mmg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• もし三角柱Qの質量 \(M\) が非常に大きい（\(M \rightarrow \infty\)、つまり台がほとんど動かないとみなせる場合）を考えると、分母の \(M+m\sin^2\theta \approx M\) となるので、\(N \approx \frac{Mmg\cos\theta}{M} = mg\cos\theta\) となります。これは、固定された斜面上の物体が受ける垂直抗力の大きさに一致し、物理的に妥当です。
• もし傾斜角 \(\theta = 0\)（斜面が水平面の場合）を考えると、\(\cos\theta = 1, \sin\theta = 0\) なので、\(N = \frac{Mmg}{M} = mg\) となります。水平面では垂直抗力は重力とつり合うので、これも妥当な結果です。
• もし傾斜角 \(\theta = 90^\circ\)（斜面が鉛直な壁の場合）を考えると、\(\cos\theta = 0\) なので \(N = 0\) となります。これは、Pが壁に沿って自由落下し、壁からの垂直抗力を受けない状況に対応しており、これも物理的に妥当です（ただし、この場合は「斜面」という設定からは外れますが、極限としての傾向は理解できます）。

問 (4)

思考の道筋とポイント

三角柱Qは水平方向にのみ運動し、鉛直方向には運動しません。したがって、Qに働く鉛直方向の力はつり合っています。Qに働く鉛直方向の力は、Q自身の重力 \(Mg\)、床からの垂直抗力 \(R\)（上向き）、そして小物体Pから受ける力の鉛直成分です。PからQに働く力は、QがPに及ぼす垂直抗力 \(N\) の反作用であり、その向きは斜面に垂直でQを押し込む向き（図でPが右斜面にある場合、左下向き）です。この力の鉛直下向きの成分を考慮に入れます。

この設問における重要なポイント

• 三角柱Qは鉛直方向には運動しないので、鉛直方向の力のつり合いが成り立ちます。
• Qに働く鉛直方向の力は、Q自身の重力 \(Mg\)（下向き）、床からの垂直抗力 \(R\)（上向き）、そして小物体Pから受ける力（QがPに及ぼす垂直抗力 \(N\) の反作用）の鉛直成分（下向き）です。
• PからQへの力の鉛直成分の大きさは \(N\cos\theta\)（下向き）です。

具体的な解説と立式

三角柱Qに働く鉛直方向の力は以下の通りです。

• Q自身の重力: \(Mg\) (鉛直下向き)
• 床からの垂直抗力: \(R\) (鉛直上向き)
• 小物体Pから受ける力（QがPに及ぼす垂直抗力 \(N\) の反作用）の鉛直成分: PからQへの力は、斜面に垂直でQを押し込む向きに大きさ \(N\) で働きます。この力の鉛直下向きの成分は \(N\cos\theta\) となります。

三角柱Qは鉛直方向には動かないので、これらの力のつり合いから、鉛直上向きを正とすると、
$$R – Mg – N\cos\theta = 0$$
したがって、床からの垂直抗力 \(R\) は、
$$R = Mg + N\cos\theta \quad \cdots (4)$$
この式に、(3)で求めた \(N = \displaystyle\frac{Mmg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}\) を代入して \(R\) を求めます。

式(4) \(R = Mg + N\cos\theta\) に、(3)で求めた \(N = \displaystyle\frac{Mmg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}\) を代入します。
$$R = Mg + \left(\frac{Mmg\cos\theta}{M + m\sin^2\theta}\right)\cos\theta$$
$$R = Mg + \frac{Mmg\cos^2\theta}{M + m\sin^2\theta}$$
右辺を通分します。
$$R = \frac{Mg(M + m\sin^2\theta) + Mmg\cos^2\theta}{M + m\sin^2\theta}$$
分子を展開し、整理します。
$$R = \frac{M^2g + Mmg\sin^2\theta + Mmg\cos^2\theta}{M + m\sin^2\theta}$$
分子の第2項と第3項を \(Mmg\) でくくりだすと、\(Mmg(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\) となります。
三角関数の基本公式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) を用いると、この部分は \(Mmg\) となります。
したがって、分子は \(M^2g + Mmg = Mg(M+m)\) となります。
よって、床からの垂直抗力 \(R\) は、
$$R = \frac{Mg(M+m)}{M + m\sin^2\theta} \quad \cdots (4)$$

三角柱Qは床の上を横に滑るだけで、上下には動きません。これは、Qに働く上向きの力と下向きの力がつり合っているからです。下向きの力は、Q自身の重さ \(Mg\) と、小物体PがQを斜め下に押す力の「下向き成分」の合計です。上向きの力は、床がQを支える力 \(R\)（これが求めたい垂直抗力）です。これらの力のつり合いの式を立てて、(3)で求めたPがQを押す力（の反作用である \(N\)）の情報を使って \(R\) を計算します。

三角柱Qが床から受ける垂直抗力の大きさ \(R\) は \(R = \displaystyle\frac{Mg(M+m)}{M + m\sin^2\theta}\) です。
この結果を吟味してみましょう。

• もし小物体Pが存在しない場合（\(m=0\)）、この式は \(R = \frac{MgM}{M} = Mg\) となります。これは、Qの重力と床からの垂直抗力がつり合うという、物理的に妥当な結果です。
• もし傾斜角 \(\theta = 0\)（斜面が水平面の場合）、\(\sin\theta=0\) なので \(R = \frac{Mg(M+m)}{M} = (M+m)g\) となります。このとき、(3)から \(N=mg\) であり、PからQに働く力は鉛直下向きに \(mg\) なので、床からの垂直抗力はQの重力 \(Mg\) とPから押される力 \(mg\) の合計 \((M+m)g\) となり、一致します。
• もし傾斜角 \(\theta = 90^\circ\)（斜面が鉛直な壁の場合）、\(\sin\theta=1\) なので \(R = \displaystyle\frac{Mg(M+m)}{M+m} = Mg\) となります。このとき(3)から \(N=0\) なので、PはQに力を及ぼさず（Qの側面にただ沿って自由落下するような状況）、床からの垂直抗力はQの重力 \(Mg\) とつり合うだけとなり、これも物理的に妥当です。

II. 静止系で考える。

Pの加速度の水平成分を \(a_x\)、鉛直成分を \(a_y\) として(図のx,yの向きを正とする)

問 (5), (6)

思考の道筋とポイント

今度は、床で静止している観測者（慣性系）から小物体Pの運動を見ます。したがって、慣性力は考慮しません。Pに働く力は、重力 \(mg\) と、三角柱Qから受ける垂直抗力 \(N\) のみです（摩擦はありません）。垂直抗力 \(N\) は斜面に垂直で、Pを斜め上方に押し上げる向きに働きます。これらの力を水平方向（x方向）と鉛直方向（y方向）に分解し、それぞれの方向でPの運動方程式 \(ma_x = \sum F_x\) および \(ma_y = \sum F_y\) を立てます。問題文の図に示されたx軸（水平右向きが正）とy軸（鉛直上向きが正）の向きに従います。

この設問における重要なポイント

• 静止系（床）から見たPの運動を考えます。慣性力は登場しません。
• Pに働く力は、重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力 \(N\) です。問題の最初の図ではPはQの右斜面に乗っているため、垂直抗力 \(N\) はPに対して左斜め上向きに働きます。この \(N\) のx成分は \(-N\sin\theta\)、y成分は \(+N\cos\theta\) となります。しかし、モデル解答の(5)の式 \(ma_x = N\sin\theta\) と(6)の式 \(ma_y = N\cos\theta – mg\) は、図のx,y軸の向き（x右向き正、y上向き正）に対して、垂直抗力Nのx成分が正、y成分が正であると仮定しています。これは、モデル解答のLECTURE p67の図（NがPに対して右上を向く、つまりPがQの左斜面にあるかのような図）を基準にしているためと考えられます。ここでは、モデル解答の式に合わせて、垂直抗力 \(N\) がPに対して右斜め上向きに働く（つまり、Nのx成分が \(+N\sin\theta\)、y成分が \(+N\cos\theta\) となる）と仮定して立式します。

具体的な解説と立式

床で静止している観測者から見た小物体Pの運動を考えます。Pに働く力は、重力 \(mg\)（鉛直下向き）と、三角柱Qから受ける垂直抗力 \(N\) です。モデル解答のLECTURE p67の図解に基づき、垂直抗力 \(N\) はPに対して右斜め上向き（x軸正方向から反時計回りに \(90^\circ-\theta\) の角度、またはy軸正方向から時計回りに \(\theta\) の角度）に働いているとします。

(5) 水平方向（x方向、右向き正）の運動方程式:
Pに働く水平方向の力は、垂直抗力 \(N\) のx成分のみです。この成分は \(+N\sin\theta\) となります。
したがって、Pのx方向の運動方程式は、
$$ma_x = N\sin\theta \quad \cdots (5)$$

(6) 鉛直方向（y方向、上向き正）の運動方程式:
Pに働く鉛直方向の力は、垂直抗力 \(N\) のy成分（上向きに \(+N\cos\theta\)）と、重力 \(mg\)（下向きなので \(-mg\)）です。
したがって、Pのy方向の運動方程式は、
$$ma_y = N\cos\theta – mg \quad \cdots (6)$$

この設問では、運動方程式を立てることが求められており、上記がその式となります。

今度は、動いている台の上からではなく、動かない床から小物体Pの運動を見ます。Pには、地球がPを引く力（重力）と、台がPを押す力（垂直抗力）の２つの実際の力が働いています。これらの力を水平方向（x方向）と鉛直方向（y方向）に分けて考え、それぞれの方向について「力は質量と加速度を掛けたものに等しい」というニュートンの運動の法則を使って式を立てます。

小物体Pの水平方向（x方向）の運動方程式は \(ma_x = N\sin\theta\) であり、鉛直方向（y方向）の運動方程式は \(ma_y = N\cos\theta – mg\) です。
これらの式は、Pの加速度のx成分 \(a_x\) とy成分 \(a_y\) が、Pに働く垂直抗力 \(N\) と重力 \(mg\)、そして斜面の角度 \(\theta\) によってどのように決まるかを示しています。この時点では未知数が \(N\)、Qの加速度\(A\)、Pの加速度成分 \(a_x, a_y\) の4つ（式(1)も合わせると）に対して、式が3つ（(1), (5), (6)）しかありません。したがって、これらの未知数を決定するためには、さらに条件式が必要となります。それが次の(7)で問われています。

問 (7)

思考の道筋とポイント

小物体Pは三角柱Qの斜面上を滑り降ります。これは、PのQに対する相対的な運動が、常に斜面に平行な方向で行われることを意味します。Pの床に対する加速度を \(\vec{a}_P = (a_x, a_y)\)（x成分: \(a_x\)、y成分: \(a_y\)）、Qの床に対する加速度を \(\vec{a}_Q = (-A, 0)\)（Qは左向きに大きさ \(A\) で加速するので、x成分は \(-A\)、y成分は0）とすると、PのQに対する相対加速度 \(\vec{a}_{P/Q}\) の成分は \((a_x – (-A), a_y – 0) = (a_x+A, a_y)\) となります。この相対加速度ベクトル \(\vec{a}_{P/Q}\) が斜面に平行であるという幾何学的な条件から、\(A, a_x, a_y, \theta\) の間の関係式を導きます。

この設問における重要なポイント

• 小物体Pの三角柱Qに対する相対加速度の方向が、斜面に平行（傾斜角\(\theta\)）です。
• 相対加速度の水平成分と鉛直成分の比が、斜面の傾きに関係します。
• Pは鉛直方向には下向きに落ちるため、\(a_y\) は負の値となることに注意して、幾何学的な関係を考えます。

具体的な解説と立式

小物体Pの床に対する加速度の成分を \((a_x, a_y)\) とします（x軸右向き正、y軸上向き正）。
三角柱Qの床に対する加速度は、水平左向きに大きさ \(A\) なので、その加速度ベクトルは \((-A, 0)\) と表せます。
したがって、PのQに対する相対加速度 \(\vec{a}_{\text{P/Q}}\) のx成分とy成分は、
$$a_{\text{P/Q, x}} = a_x – (-A) = a_x + A$$
$$a_{\text{P/Q, y}} = a_y – 0 = a_y$$
この相対加速度 \(\vec{a}_{\text{P/Q}}\) は、斜面に沿って下向きです。つまり、水平右向きのx軸から見て、時計回りに \(\theta\) の角度をなす方向（あるいは、-x方向から反時計回りに \(\theta\) の角度をなす方向など、問題の最初の図における斜面の向き）です。モデル解答のLECTURE p67の右下の図では、相対加速度の水平右向き成分を \(A+a_x\)、鉛直下向き成分を \(|a_y| = -a_y\)（\(a_y\) は負であるため）として、これらの比が \(\tan\theta\) になることを示しています。
具体的には、相対加速度ベクトルが水平となす角が \(\theta\) であり、鉛直下向き成分を持つため、
$$\frac{(\text{相対加速度の鉛直下向き成分の大きさ})}{(\text{相対加速度の水平右向き成分の大きさ})} = \tan\theta$$
$$\frac{-a_y}{A+a_x} = \tan\theta$$
したがって、関係式は、
$$-a_y = (A+a_x)\tan\theta$$
または、モデル解答の形式に合わせて、
$$(A+a_x)\tan\theta = -a_y \quad \cdots (7)$$

この設問では、関係式を立てることが求められており、上記がその式となります。

小物体Pは、三角柱Qの斜面に沿って滑り降ります。この「斜面に沿って」という動き方のルールが、Pの動き（床から見た加速度の水平成分 \(a_x\) と鉛直成分 \(a_y\)）と、Qの動き（床から見た加速度 \(A\)）の間に、ある決まった関係があることを意味します。具体的には、PのQに対する相対的な加速度の方向が、斜面の傾斜角 \(\theta\) と一致するという幾何学的な条件を数式で表します。

三角柱Qの加速度の大きさ \(A\)、小物体Pの床に対する加速度の水平成分 \(a_x\)、鉛直成分 \(a_y\)、そして斜面の傾斜角 \(\theta\) の間の関係式は \((A+a_x)\tan\theta = -a_y\) です。
ここで、\(A\) はQの左向き加速度の大きさ、\(a_x\) はPの右向き加速度、\(a_y\) はPの上向き加速度（実際には負の値をとるため、\(-a_y\) が鉛直下向きの加速度の大きさを表す）です。この式は、PのQに対する相対加速度ベクトルが、水平方向に対して角度 \(\theta\) で斜め下向きであるという運動の拘束条件を数学的に表現したものです。これで、未知数 \(N, A, a_x, a_y\) に対して、式(1), (5), (6), (7) の4つの独立した方程式が揃い、原理的にこれらの未知数を解くことができます。

(設問(1)～(7)はここまでですが、問題文には(3)として、設問(2)の状態から糸を切り初速を与えた場合の運動を問う部分があります。これはPDFのページ構成上、問題文の主要な問いとは別に(3)として記載されているため、以下で解説します。)

問 (3) (問題文中の続き)

思考の道筋とポイント

この設問は、問(2)の状態（台が左向きに加速度 \(\beta = g\tan\theta\) で運動し、Pにかかる糸の張力が0で、Pが台の斜面上で力を加えるまでは静止できる状況）から始まります。この状態で糸が切られ、Pに斜面に対して下向きの初速 \(v_0\) が与えられます。
まず、Pが斜面AC上を運動している間を考えます。Pに働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力 \(N\)、そして右向きの慣性力 \(m\beta\) です。これらの力の斜面方向の合力を確認します。問(2)のつり合いの条件は、まさにこれらの力の斜面方向成分がつり合う（\(mg\sin\theta = m\beta\cos\theta\)）状態でした。したがって、糸が切れて初速 \(v_0\) を与えられたとしても、Pは斜面AC上を台に対して等速 \(v_0\) で運動し、点Aに達すると考えられます。
次に、Pが点Aを通過して水平面AB上を運動する際を考えます。このときも台は加速度 \(\beta\) で左向きに運動し続けているので、Pには右向きに慣性力 \(m\beta\) が働き続けます。水平面AB上では、重力 \(mg\) と垂直抗力 \(N_A\) は鉛直方向につり合い、水平方向にはこの慣性力 \(m\beta\) のみがPの運動（台から見てAからBへ向かう動き、図では左向き）を妨げる力（ブレーキ）として働きます。Pは台に対して減速し、点Bで一瞬静止します。この運動は、台から見たPの等加速度直線運動として扱うことができます。

この設問における重要なポイント

• 台は常に水平左向きに加速度 \(\beta = g\tan\theta\) で運動しています。
• 小物体Pには常に水平右向きに慣性力 \(m\beta\) が働いていると見なせます（台と共に動く観測者から見て）。
• 斜面AC上では、Pに働く力の斜面方向成分がつり合っているため、Pは台に対して等速 \(v_0\) で運動します。
• 水平面AB上では、Pは台に対して慣性力 \(m\beta\) のみを運動と反対向きの水平力として受け、減速します。
• 台から見たPの運動について、等加速度直線運動の公式を適用します。

具体的な解説と立式

斜面AC上の運動:
Pが斜面AC上を動いているとき、Pに働く力は、重力 \(mg\)、垂直抗力、そして水平右向きの慣性力 \(m\beta\) です。斜面に平行な方向について、重力の成分は斜面下向きに \(mg\sin\theta\)、慣性力の成分は斜面に平行で上向きに \(m\beta\cos\theta\) です。問(2)で求めたように \(\beta = g\tan\theta\) なので、\(m\beta\cos\theta = m(g\tan\theta)\cos\theta = mg\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cos\theta = mg\sin\theta\)。したがって、斜面に平行な方向の力はつり合っています（\(mg\sin\theta – m\beta\cos\theta = 0\)）。よって、Pは斜面AC上を台に対して与えられた初速 \(v_0\) のまま等速直線運動をし、点Aに達するときの台に対する速さも \(v_0\) です。

水平面AB上の運動:
Pが点Aを通過し、水平面AB上を運動するときを考えます。台は依然として水平左向きに加速度 \(\beta\) で運動しているので、Pには水平右向きに慣性力 \(m\beta\) が働き続けます。Pの運動方向は水平面AB上（AからBへ向かう方向、図では左向き）であり、慣性力 \(m\beta\) はこの運動と反対向き（右向き）に働きます。
台から見たPの運動について、AからBへ向かう向き（図では左向き）を正とします。Pの初速度は \(v_0\)。Pに働く水平方向の力は右向きの慣性力 \(m\beta\) のみなので、運動方程式における力は \(-m\beta\) となります。台から見たPの加速度を \(a’_{\text{P}}\) とすると、
$$ma’_{\text{P}} = -m\beta$$よって、台から見たPの加速度は、$$a’_{\text{P}} = -\beta \quad \cdots ⑨$$Pは点Bで台に対して一瞬静止するので、そのときの台に対する速さは0です。AB間の距離を \(L_{AB}\) とすると、等加速度直線運動の公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2ax\) より、$$0^2 – v_0^2 = 2 a’_{\text{P}} L_{AB}$$
$$0^2 – v_0^2 = 2 (-\beta) L_{AB} \quad \cdots ⑩$$

次に、ABの中点を通るときの台に対する速さを \(v_{\text{中点}}\) とします。ABの中点までの距離は \(L_{AB}/2\) です。同じく等加速度直線運動の公式より、
$$v_{\text{中点}}^2 – v_0^2 = 2 a’_{\text{P}} \left(\frac{L_{AB}}{2}\right)$$
$$v_{\text{中点}}^2 – v_0^2 = 2 (-\beta) \left(\frac{L_{AB}}{2}\right) = -\beta L_{AB} \quad \cdots ⑪$$

まず、式⑩からAB間の距離 \(L_{AB}\) を求めます。
$$-v_0^2 = -2\beta L_{AB}$$
$$L_{AB} = \frac{v_0^2}{2\beta}$$ここで、設問(2)で求めた \(\beta = g\tan\theta\) (式⑦を再掲、ただしここでは(2)の解答そのものを指す) を代入します。$$L_{AB} = \frac{v_0^2}{2g\tan\theta} \quad \cdots ⑫$$

次に、式⑪からABの中点を通るときの台に対する速さ \(v_{\text{中点}}\) を求めます。
式⑪は \(v_{\text{中点}}^2 – v_0^2 = -\beta L_{AB}\) でした。
右辺の \(L_{AB}\) に式⑫を代入すると、
$$-\beta L_{AB} = -\beta \left(\frac{v_0^2}{2\beta}\right) = -\frac{v_0^2}{2}$$したがって、式⑪は、
$$v_{\text{中点}}^2 – v_0^2 = -\frac{v_0^2}{2}$$
\(v_{\text{中点}}^2\) について解くと、
$$v_{\text{中点}}^2 = v_0^2 – \frac{v_0^2}{2} = \frac{v_0^2}{2}$$
\(v_{\text{中点}}\) は速さなので正の値をとります。
$$v_{\text{中点}} = \sqrt{\frac{v_0^2}{2}} = \frac{v_0}{\sqrt{2}} \quad \cdots ⑬$$

AB間の距離: 小物体Pが斜面ACを下り終えて水平な部分ABに入ると、Pは初速 \(v_0\)（これは台から見た速さ）で進み始めます。しかし、台がずっと左向きに加速しているため、Pには常に右向きの見かけの力（慣性力）がブレーキのように働きます。この一定のブレーキ（減速）を受けながら進んで、やがて台の上で（台から見て）止まります。この止まるまでの距離を、初速と減速度（慣性力による加速度の大きさ）を使って、物理の公式（等加速度運動の式）から計算します。
ABの中点での速さ: 上で求めたAB間の距離のちょうど半分の地点を通過するときのPの速さ（これも台から見た速さ）を、同様に初速、減速度、そして移動距離（AB間の半分）の関係から計算します。

AB間の距離は \(L_{AB} = \displaystyle\frac{v_0^2}{2g\tan\theta}\) です。
ABの中点を通るときの台に対する速さは \(v_{\text{中点}} = \displaystyle\frac{v_0}{\sqrt{2}}\) です。
特に注目すべきは、ABの中点での速さが \(\theta\) に依存しないという結果です。これは、AB間でPが受ける台からの見かけの減速の大きさ（慣性力によるもの）が \(\beta = g\tan\theta\) であり、結果として停止するまでの距離 \(L_{AB}\) がこの \(\beta\) に反比例するため（\(L_{AB} = v_0^2 / (2\beta)\)）、中点までの運動エネルギーの変化を考えると、その過程で \(\theta\) の影響が相殺されるためです。この興味深い点については、問題の最後にあるQでさらに考察が促されています。

【コラム】問題に関する追加の考察 (Q)

この問題の最後には、(3)の結果、特にABの中点での速さが \(\theta\) によらない理由についての考察を促す質問があります。これについて考えてみましょう。

Q: \(v\) の値が \(\theta\) によらない理由を、見かけの重力の観点と、ある保存則を活用することにより定性的に説明せよ。(★)

思考の道筋とポイント

台が水平左向きに加速度 \(\beta = g\tan\theta\) で運動しているため、台と共に動く観測者から見ると、小物体Pには水平右向きに慣性力 \(m\beta\) が働いています。この慣性力と実際の重力 \(mg\) の合力を「見かけの重力」として捉えることができます。この「見かけの重力」の場において、Pの運動をエネルギー保存則（あるいは仕事と運動エネルギーの関係）で考えることで、中点での速さが \(\theta\) に依存しない理由を説明します。

具体的な解説と考察

台が水平左向きに加速度 \(\beta = g\tan\theta\) で運動しているとき、台上の小物体Pには、実質的な力である重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力（水平面AB上では鉛直上向き）の他に、見かけの力である慣性力 \(m\beta\)（水平右向き）が働いていると見なせます。

このとき、重力 \(mg\) と慣性力 \(m\beta\) の合力を「見かけの重力」\(m\vec{g’}\) と考えることができます。この見かけの重力の方向は、鉛直下向きと水平右向きのベクトル和なので、右斜め下向きになります。そして、この見かけの重力の方向を「新しい鉛直方向」と解釈すると、Pが運動する水平面ABは、この新しい鉛直方向に対してあたかも「坂」を上っていくように見なすことができます。点Aが坂のふもと、点Bが坂の頂上（ここで一瞬静止する）に対応します。

Pが水平面AB上を点Aから点Bへ距離 \(L_{AB}\) だけ進む間に、慣性力 \(m\beta\) はPの運動（左向き）と反対向き（右向き）に働き、\(m\beta L_{AB}\) だけの負の仕事をします。これが、台から見たPの運動エネルギーの減少に等しくなります。すなわち、PがA点で持っていた台に対する運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv_0^2\) は、B点ではすべてこの慣性力に逆らう仕事（見かけのポテンシャルエネルギーの増加）に変わります。
$$\frac{1}{2}mv_0^2 = m\beta L_{AB} \quad \cdots (Q-1)$$
（これは \(L_{AB} = \frac{v_0^2}{2\beta}\) を意味し、(3)の計算結果と一致します。）

ABの中点Mまでの距離は \(L_{AB}/2\) です。この点での台に対する速さを \(v\) とすると、点Aから中点Mまでに慣性力がした仕事は \(-m\beta (L_{AB}/2)\) です。仕事と運動エネルギーの関係より、
$$ \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -m\beta \left(\frac{L_{AB}}{2}\right) \quad \cdots (Q-2)$$
式(Q-1)より \(m\beta L_{AB} = \frac{1}{2}mv_0^2\) であるから、これを式(Q-2)の右辺に代入すると、右辺は \(-\frac{1}{2} (m\beta L_{AB}) = -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}mv_0^2\right) = -\frac{1}{4}mv_0^2\) となります。
したがって、
$$ \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -\frac{1}{4}mv_0^2 $$
$$ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{4}mv_0^2 = \frac{1}{4}mv_0^2 $$
両辺の \(\frac{1}{2}m\) を消去すると、\(v^2 = \frac{1}{2}v_0^2\)。よって、\(v = \displaystyle\frac{v_0}{\sqrt{2}}\) となります。

定性的な説明のまとめ:
台と共に動く加速座標系では、慣性力を含めた「見かけの重力」を考えることができます。この見かけの重力の場において、水平面ABは一種の「坂道」と見なせます。PがAからBへ向かう運動は、この見かけの坂を初速 \(v_0\) で上り、Bで止まる運動に相当します。このとき、力学的エネルギー保存則（慣性力によるポテンシャルエネルギーを含めたもの）が成り立ちます。
点Aでの運動エネルギーが、点Bではすべて「見かけのポテンシャルエネルギー」に変わります。ABの中点Mは、この「見かけのポテンシャルエネルギー」の増加が、B点での全増加量のちょうど半分になる点です。したがって、中点Mでの運動エネルギーは、A点での運動エネルギーから、B点までに失う総運動エネルギーの半分を引いたもの、すなわち初期運動エネルギーの半分になります。
つまり、\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2}mv_0^2 \right)\) となり、\(v^2 = \frac{1}{2}v_0^2\)、よって \(v = \frac{v_0}{\sqrt{2}}\) です。（この部分は、正しくは「中点Mでの運動エネルギー = 初期の運動エネルギー – 中点までのポテンシャルエネルギーの増加」であり、中点までのポテンシャルエネルギーの増加は、B点での全ポテンシャルエネルギー増加（これは初期の運動エネルギーに等しい）の半分、つまり \(\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv_0^2) = \frac{1}{4}mv_0^2\) です。したがって、\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 – \frac{1}{4}mv_0^2 = \frac{1}{4}mv_0^2\)。これから \(v = v_0/\sqrt{2}\) が得られます。）
この導出過程では、具体的な坂の「勾配」や見かけの重力加速度の大きさを決める \(\beta\) や、それを作る元の角度 \(\theta\) の値は最終的な速さの比の形（\(v/v_0\)）には現れません。全体のエネルギー変化と、その半分という比率で決まるためです。「ある保存則」とは、この加速系における（慣性力によるポテンシャルを含めた）力学的エネルギー保存則、あるいは仕事と運動エネルギーの関係を指します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 慣性力: 加速度 \( \vec{a}_{\text{系}} \) で運動する非慣性系において、質量 \(m\) の物体には見かけの力 \( -m\vec{a}_{\text{系}} \) が働く。この問題では、水平に加速する三角柱（台）に乗った小物体Pの運動を、台と共に動く観測者の立場から考える際に慣性力を導入した。
• ニュートンの運動方程式 (\(m\vec{a} = \vec{F}\)): 慣性系（静止系）において、物体に働く力の合力と物体の加速度の関係を示す基本法則。方法IIではこの法則を直接適用した。非慣性系で適用する場合は、慣性力も「力」の一つとして合力に含める。
• 力のつり合い: 物体が（観測者から見て）静止している、または等速直線運動している場合、物体に働く力の合力はゼロである。慣性系では実質の力のみ、非慣性系では実質の力と慣性力の合力がゼロとなる。
• 作用・反作用の法則: 小物体Pが三角柱Qを押す力（垂直抗力の反作用）が、Qを加速させる原因となった。
• 運動の拘束条件: 小物体Pが三角柱Qの斜面上を滑るという条件は、PとQの加速度の間に特定の幾何学的関係（相対加速度が斜面に平行）をもたらす。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • エレベーターや電車など、加速度運動する乗り物の中での物体の運動（振り子、ばねにつるされたおもり、床に置かれた物体など）。
  • ベルトコンベアの上で物体が滑る、あるいは転がる問題。
  • 互いに力を及ぼし合いながら運動する複数の物体系の問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 基準系（観測者）の選択: まず、問題を慣性系から解くか、非慣性系（加速度運動する物体の上）から解くか、どちらが考えやすいかを見極める。非慣性系を選ぶ場合は、必ず慣性力を導入する。
  2. 力の徹底的な図示: 物体に働くすべての力をベクトルで図示する（重力、垂直抗力、張力、摩擦力など）。非慣性系なら慣性力も忘れずに。
  3. 運動の方向と力の分解: 運動方向や斜面の方向など、力を分解するのに都合の良い方向を見つける。
  4. 拘束条件の利用: 「斜面上を滑る」「糸がたるまない」など、運動を制限する条件があれば、それらを数式で表現する。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 「台（斜面）に対して静止」と「床（地面）に対して静止」は意味が異なることに注意。
  • 「垂直抗力が0」「張力が0」といった条件は、特定の力が働かなくなることを意味し、力のつり合いや運動方程式を簡略化する。
  • 加速度の向きと慣性力の向きの関係を混同しないこと。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の存在を忘れる・向きを間違える:
  • 現象: 加速度運動する台上の問題を、慣性力を考慮せずに解こうとしたり、慣性力の向きを台の加速度と同じ向きにしてしまったりする。
  • 対策: 「台が動いているなら慣性力！」と常に意識し、「慣性力は加速度と逆」と覚え、図を描いて確認する。
• 力の分解の際の角度の誤り:
  • 現象: 水平な慣性力や鉛直な重力を、斜面に平行・垂直な成分に分解するときの \(\sin\theta\) と \(\cos\theta\) の適用を間違える。
  • 対策: 丁寧に図を描き、三角形の相似や角度の関係を正確に把握する練習をする。
• 作用・反作用の誤認:
  • 現象: QがPから受ける力は、PがQから受ける力の反作用であるが、これを混同したり、大きさが異なると考えたりする。
  • 対策: 作用・反作用の法則（2物体間に働き、大きさが等しく向きが反対）を正確に理解する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • 台が右に加速するとき、Pが左に「押される」ような慣性力を感じるイメージ（電車で発車時に体が後ろに持っていかれるのと同じ）。
  • 台が左に加速するとき、Pが右に「押される」ような慣性力を感じるイメージ。
  • (1)で垂直抗力が0になるのは、慣性力の斜面から離す成分が重力の斜面に押し付ける成分とつり合うから。
  • (2)で張力が0になるのは、慣性力の斜面を滑り上げさせる成分が重力の滑り下ろす成分とつり合うから。
  • 各物体にはたらく力をすべてベクトルで図示し、特に慣性力の向きと大きさを明記することが極めて重要。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 力の作用点を明確にする。
  • 力のベクトルの向きと相対的な大きさをできるだけ正確に描くように心がける。
  • 力を分解する場合は、分解する方向（座標軸）も図中に示す。
  • 複数の物体がある場合は、それぞれ別々に力の図示を行うと混乱が少ない。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 力のつり合いの式 (\(\sum \vec{F} = \vec{0}\)):
  • 選定理由: Pが台に対して静止している場合、台と共に動く観測者から見れば、Pに働く（慣性力を含む）力の合力は0である、という判断から適用。
  • 適用根拠: 物体が静止または等速直線運動している場合、その物体に働く力の合力はゼロであるというニュートンの第一法則（あるいは第二法則の特別な場合）。非慣性系では慣性力を含めてこの法則を適用する。
• 運動方程式 (\(m\vec{a} = \sum \vec{F}\)):
  • 選定理由: Pが床や台に対して加速度運動をしている場合、その加速度を生じさせる力の合力を特定し、ニュートンの第2法則を適用。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則。質量 \(m\) の物体に合力 \(\sum \vec{F}\) が働くと、物体は加速度 \(\vec{a}\) を生じる。非慣性系で用いる場合は、見かけの力である慣性力を合力に含める。
• 相対加速度の関係式:
  • 選定理由: 複数の物体が連動して動く場合、それぞれの絶対加速度と相対加速度の関係を正しく理解し、立式する必要があるため（方法IIの(7)）。
  • 適用根拠: 加速度のベクトル的な合成・分解の法則。
• 公式選択の思考訓練:
  • 公式を適用する前に、その公式が成り立つための「前提条件」を常に確認する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題の状況（台の加速度、Pの状態）を把握する。
2. Pに働く力をすべてリストアップ（非慣性系なら慣性力も忘れずに）。
3. 力を適切な方向に分解する。
4. Pの状態（静止か運動か）に応じて、力のつり合いの式か運動方程式を立てる。
5. 未知数について方程式を解く。
6. 得られた解が物理的に妥当か吟味する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 力の分解における三角関数の選択（\(\sin\theta\) と \(\cos\theta\)）。
  • 力のつり合いの式や運動方程式を立てる際の符号（特に慣性力の向き）。
  • 連立方程式を解く際の代数計算。
  • \(\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta\) や \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) といった三角関数の関係式の利用。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 文字式の計算に習熟する。
  • 途中式を丁寧に書き、符号や変数の書き間違いがないか確認する。
  • 図と式を常に対応させながら考える。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 例えば、(1)で求めた加速度 \(\alpha = g/\tan\theta\) について、\(\theta \rightarrow 0\) （ほぼ水平）なら \(\tan\theta \rightarrow 0\) で \(\alpha \rightarrow \infty\) となり、非常に大きな加速度が必要になることや、\(\theta \rightarrow 90^\circ\) （ほぼ鉛直）なら \(\tan\theta \rightarrow \infty\) で \(\alpha \rightarrow 0\) となることの意味を考える。
  • (2)で求めた加速度 \(\beta = g\tan\theta\) について、\(\theta \rightarrow 0\) なら \(\beta \rightarrow 0\)、\(\theta \rightarrow 90^\circ\) なら \(\beta \rightarrow \infty\) となることの意味を考える。
  • (3)の中点での速さが \(\theta\) によらないという結果は直感的ではないかもしれないが、エネルギーの観点（Qの内容）からその理由を考えると理解が深まる。
• 吟味の習慣: 極端な場合を考えたり、単位を確認したりすることで、解の妥当性を検証する癖をつける。

問題23 (横浜国大+東工大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、水平面上に置かれた質量 \(M\) の直方体Aと、その上に置かれた質量 \(m\) の物体B、さらに滑車を介してBとつながり鉛直につり下げられた質量 \(m\) の物体Cからなる系に、水平右向きの力 \(F\) を加えて動かす状況を扱います。摩擦はどこにもないものとします。(1)ではBとCがAに対して動かない条件での力 \(F\) を、(2)ではAが特定の加速度で動く場合にCが落下する時間と、そのときの力 \(F\) を求めます。慣性力の考え方や、複数の物体が連動する系の運動方程式の扱いがポイントとなります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、各物体にはたらく力を正確に把握し、適切な基準系（観測者）を選んで運動の法則を適用することです。(1)のように系全体が一体となって動く場合は、系全体の加速度を考え、次に個々の物体について力のつり合い（慣性力を考慮）を見るのが有効です。(2)のように相対運動がある場合は、動いている物体（この場合はA）の上に乗った観測者から見た運動を解析すると、見通しが良くなることがあります。その際には慣性力を忘れずに導入しましょう。

問 (1)

思考の道筋とポイント

BとCがAに対して動かないということは、A, B, Cの3つの物体が一体となって、床に対して同じ加速度 \(a\) で水平右向きに運動することを意味します。まず、この系全体の運動方程式を立てます。次に、Aと共に加速度 \(a\) で運動する観測者からBとCを見ます。この観測者から見ると、BとCは静止しているので、慣性力を考慮した上で力のつり合いが成り立っています。Bには水平左向きに慣性力 \(ma\) が働き、これが糸の張力 \(T_0\) とつり合います。CはAに対して鉛直方向にも動かない（床に対する鉛直加速度が0）ため、Cにはたらく鉛直方向の力（重力 \(mg\) と張力 \(T_0\)）がつり合っていると考えます。

この設問における重要なポイント

• A, B, Cの3物体が一体となって、床に対して同じ水平加速度 \(a\) で運動します。
• 系全体（総質量 \(M+m+m = M+2m\)）の運動方程式を立てます: \((M+2m)a = F\)。
• Aと共に運動する観測者から見ると、物体Bには水平左向きに大きさ \(ma\) の慣性力が働き、これが糸の張力 \(T_0\) とつり合います。
• 物体Cは鉛直方向には運動しない（床に対する鉛直加速度が0）ため、Cに働く鉛直方向の力、すなわち糸の張力 \(T_0\)（上向き）と重力 \(mg\)（下向き）がつり合います。

具体的な解説と立式

A, B, Cが一体となって床に対して水平右向きに加速度 \(a\) で運動するとします。
系全体の質量は \(M_{\text{全}} = M+m+m = M+2m\) です。この系全体に働く水平方向の外力は \(F\) のみなので、運動方程式は、
$$(M+2m)a = F \quad \cdots ①$$

次に、Aと共に加速度 \(a\) で運動する観測者から物体Bと物体Cを見ます。この観測者から見てBとCは静止しています。
物体Bについて（A上の観測者から見て静止）:
Bには、水平右向きに糸の張力 \(T_0\) が働き、水平左向きに大きさ \(ma\) の慣性力が働きます。これらがつり合っているので、
$$T_0 – ma = 0 \quad \text{すなわち} \quad T_0 = ma \quad \cdots ②$$

物体Cについて（床に対して鉛直方向に静止）:
Cには、鉛直上向きに糸の張力 \(T_0\) が働き、鉛直下向きに重力 \(mg\) が働きます。Cは鉛直方向には動かない（床に対する鉛直加速度が0）ので、これらの力がつり合っています。
$$T_0 – mg = 0 \quad \text{すなわち} \quad T_0 = mg \quad \cdots ③$$

まず、式②と式③から加速度 \(a\) を求めます。
式③より \(T_0 = mg\) です。これを式② \(T_0 = ma\) に代入すると、
$$mg = ma$$
\(m \neq 0\) なので、両辺を \(m\) で割ると、
$$a = g \quad \cdots ④$$
次に、この加速度 \(a=g\) を系全体の運動方程式である式① \((M+2m)a = F\) に代入して、外力 \(F\) を求めます。
$$F = (M+2m)g \quad \cdots ⑤$$

この問題では、A、B、Cの3つの物体がバラバラに動かず、まるで一つの大きな塊のように一緒に動くための条件を考えます。
まず、ぶら下がっているCがAに対して上下に動かないためには、Cを上に引く糸の力（張力）と、Cの重さがちょうど釣り合っている必要があります。ここから張力の大きさが決まります。\次に、Aの上に乗っているBがAに対して左右に滑らないためには、Bを右に引く糸の力（これはCを引く張力と同じ）と、Aが加速することでBが左向きに感じる見かけの力（慣性力）が釣り合っている必要があります。この条件から、全体の加速度が \(g\)（重力加速度と同じ）であることがわかります。\最後に、A、B、C全部を合わせた重さ（質量）の物体を、この加速度 \(g\) で動かすために必要な力 \(F\) を、「力＝質量×加速度」の法則を使って計算します。

B,CがAに対して動かないようにするためにAに加えるべき力 \(F\) の大きさは \(F = (M+2m)g\) です。
このとき、系全体の加速度は \(a=g\) となっています。これは、物体Bに働く左向きの慣性力 \(mg\) と右向きの張力 \(T_0\) がつりあい、かつ物体Cに働く上向きの張力 \(T_0\) と下向きの重力 \(mg\) がつりあうという、非常に特別なバランスが取れた状態であることを意味します。つまり、系全体が重力加速度 \(g\) で水平に加速していれば、A上の観測者にとっては、あたかもBが \(g\) の慣性力を受け、Cが \(g\) の重力で引かれているかのように見え、それらが張力 \(mg\) で保たれる状況です。

問 (2)

思考の道筋とポイント

直方体Aが床に対して水平右向きに一定の加速度 \(A_{ext} = \frac{1}{2}g\) で運動します。このとき、物体Bと物体CはAに対して相対的に運動を開始します。Aと共に加速度 \(A_{ext}\) で運動する観測者から見ると、BとCにはそれぞれ水平左向きに慣性力 \(m A_{ext}\) が働いているように見えます。BとCは糸で繋がれているため、Aに対する相対的な加速度の大きさは等しくなります（Bが右に動けばCは下に動く）。この相対加速度の大きさを \(\alpha\) とします。
まず、BとCそれぞれについて、A上の観測者から見た運動方程式（慣性力を考慮）を立て、相対加速度 \(\alpha\) とそのときの張力 \(T\) を求めます。次に、CがAに対して（そして床に対しても、Aは鉛直方向には動かないため）この相対加速度 \(\alpha\) で高さ \(h\) だけ鉛直下向きに落下するのにかかる時間 \(t\) を、初速0の等加速度運動の式を用いて計算します。
最後に、直方体Aに働く水平方向の力をすべて考慮し、Aの運動方程式（床に対する加速度が \(A_{ext} = \frac{1}{2}g\) であるという条件）を立てて、外力 \(F\) を求めます。このとき、AがBから受ける張力の反作用や、滑車を介してCから受ける力も考慮に入れる必要があります。

この設問における重要なポイント

• 直方体Aの床に対する加速度は \(A_{ext} = \frac{1}{2}g\)（水平右向き）で一定です。
• 物体BとCの、Aに対する相対加速度の大きさを \(\alpha\) とします。BはAに対して右向きに、CはAに対して下向きにそれぞれ加速度 \(\alpha\) で運動します。
• A上の観測者から見ると、物体Bには水平左向きに慣性力 \(m A_{ext} = m\frac{g}{2}\) が働きます。物体Cにも水平左向きに同じ大きさの慣性力 \(m\frac{g}{2}\) が働きますが、Cの主な運動は鉛直方向です。この水平慣性力は、CをAの滑車部分の壁（もしあれば）に押し付ける力として現れ、CがAから受ける水平方向の力（垂直抗力）とつり合います。
• BのAに対する水平方向の運動方程式と、CのAに対する鉛直方向の運動方程式を立てます。
• 求めた相対加速度 \(\alpha\) を用いて、Cが \(h\) だけ落下する時間 \(t\) を計算します。
• Aに働くすべての水平方向の力（外力 \(F\)、Bからの張力 \(T\)、CがAの滑車機構から受ける水平力 \(N\)、そして滑車を介してCを引く糸の張力 \(T\) がAに及ぼす水平力）を考慮して、Aの運動方程式から \(F\) を求めます。

具体的な解説と立式

BとCのAに対する相対運動（時間 \(t\) の計算のため）:
直方体Aは床に対して水平右向きに加速度 \(A_{ext} = \frac{1}{2}g\) で運動します。Aと共に動く観測者から物体BとCを見ます。この観測者から見たBおよびCの相対加速度の大きさを \(\alpha\) とします。
物体B（質量 \(m\)）には、水平右向きに張力 \(T\)、水平左向きに慣性力 \(m A_{ext} = m\frac{g}{2}\) が働きます。BのAに対する相対加速度を右向きに \(\alpha\) とすると、BのAに対する運動方程式は、
$$m\alpha = T – m\frac{g}{2} \quad \cdots ④$$
物体C（質量 \(m\)）には、鉛直上向きに張力 \(T\)、鉛直下向きに重力 \(mg\) が働きます。（Cにも水平左向きの慣性力 \(m\frac{g}{2}\) が働きますが、これはCの鉛直方向の運動には直接影響せず、Aの滑車機構の垂直な部分からCが受ける水平方向の力 \(N\) とつり合っていると考えられます：\(N = m\frac{g}{2}\)。）
CのAに対する相対加速度を鉛直下向きに \(\alpha\) とすると、CのAに対する運動方程式は、
$$m\alpha = mg – T \quad \cdots ⑤$$
Cがはじめの高さ \(h\) から水平面に達する（Aに対して \(h\) だけ鉛直下向きに移動する）までの時間 \(t\) は、初速0、加速度 \(\alpha\) の等加速度直線運動の式 \(s = \frac{1}{2}at^2\) より、
$$h = \frac{1}{2}\alpha t^2 \quad \cdots ⑥$$

直方体Aにはたらく力と運動方程式（外力 \(F\) の計算のため）:
直方体A（質量 \(M\)）は床に対して水平右向きに加速度 \(A_{ext} = \frac{1}{2}g\) で運動します。Aに働く水平方向の力は以下の通りです（右向きを正とします）。

• 加えられた外力: \(+F\)
• 物体Bを引く糸の張力 \(T\) の反作用としてAが受ける力: \(-T\) (滑車を介してAを左向きに引く)
• 物体Cが滑車機構から受ける水平方向の力 \(N\)。Cには水平左向きの慣性力 \(m\frac{g}{2}\) が働くため、CはAの滑車部分の垂直な壁（もしあれば、滑車の右側）を水平右向きに押すか、あるいはCを水平方向にAと一緒に加速度 \(\frac{g}{2}\) で運動させるためにAがCに及ぼす力が \(N = m\frac{g}{2}\)（左向き）である。モデル解答の図では、Aに働く力として \(N\) が左向きに、\(T\) も左向きに描かれています。この \(N\) は、CがAの加速度 \(g/2\) で水平運動するためにAからCが受ける力（モデル解答では「CがAから受ける垂直抗力Nは、水平方向のつり合いより \(N=m\frac{g}{2}\)」とあるが、これはAの系でのCの力のつり合いではなく、Cの水平方向の運動方程式 \(m(g/2) = N_{\text{AがCに}}\) から来る。Aが受けるのはその反作用）。
  ここではモデル解答のAの運動方程式 \(M\cdot\frac{g}{2} = F – N – T\) に従い、\(N\) はCがAに及ぼす水平左向きの力、\(T\) はBからの張力が滑車を介してAに及ぼす水平左向きの力と解釈します。ここで \(N = m\frac{g}{2}\) （Cを水平に加速させるためにAがCに及ぼす力の反作用、またはCの慣性力 \(m\frac{g}{2}\) とつりあう力としてAに作用する）。

したがって、Aの運動方程式は、
$$M \cdot \frac{g}{2} = F – N – T \quad \cdots ⑦$$
ここで、\(N = m\frac{g}{2}\) とします。

別解1: (2)のBとCの運動方程式を静止系で考える

物体Bの床に対する加速度（水平右向きを正）を \(a_B\) とすると、\(a_B = A_{ext} + \alpha = \frac{g}{2} + \alpha\) と書けます（\(\alpha\) はBのAに対する右向きの相対加速度）。Bの床に対する運動方程式は、
$$m a_B = T \quad \text{すなわち} \quad m\left(\frac{g}{2} + \alpha\right) = T \quad \cdots ④’$$
これは、A上の観測者から見たBの運動方程式 \(m\alpha = T – m\frac{g}{2}\) (式④) を変形したものと同じです。

物体Cの床に対する加速度（鉛直下向きを正）を \(a_C\) とすると、Aは鉛直方向には動かないので \(a_C = \alpha\) となります。Cの床に対する運動方程式は、
$$m a_C = mg – T \quad \text{すなわち} \quad m\alpha = mg – T \quad \cdots ⑤’$$
これは式⑤と全く同じです。したがって、\(\alpha\) と \(T\) の値は、どちらの基準系で考えても同じ結果が得られます。

相対加速度 \(\alpha\) と張力 \(T\) の計算:
式④ \(m\alpha = T – m\frac{g}{2}\) と式⑤ \(m\alpha = mg – T\) を連立して解きます。
両式の左辺が等しい (\(m\alpha\)) ので、右辺も等しくなります。
$$T – m\frac{g}{2} = mg – T$$
\(T\) について解くと、
$$2T = mg + m\frac{g}{2} = \frac{3}{2}mg$$
$$T = \frac{3}{4}mg \quad \cdots ⑧$$
この \(T\) の値を式⑤に代入して \(\alpha\) を求めます。
$$m\alpha = mg – \frac{3}{4}mg = \frac{1}{4}mg$$
\(m \neq 0\) なので、両辺を \(m\) で割ると、
$$\alpha = \frac{1}{4}g \quad \cdots ⑨$$

Cが水平面に達するまでの時間 \(t\) の計算:
Cは初速0（Aに対して）、鉛直下向きにAに対する加速度 \(\alpha = \frac{1}{4}g\) で距離 \(h\) だけ落下します。式⑥ \(h = \frac{1}{2}\alpha t^2\) より \(t^2 = \frac{2h}{\alpha}\) なので、
$$t^2 = \frac{2h}{\frac{1}{4}g} = \frac{8h}{g}$$
\(t>0\) なので、両辺の平方根をとると、
$$t = \sqrt{\frac{8h}{g}} = 2\sqrt{\frac{2h}{g}} \quad \cdots ⑩$$

外力 \(F\) の計算:
直方体Aの運動方程式は式⑦ \(M \cdot \frac{g}{2} = F – N – T\) です。
ここで、\(N\) はCがAの滑車機構から受ける水平方向の力（の反作用がAに働く）であり、CがAと共に水平方向に加速度 \(\frac{g}{2}\) で運動するために必要な力に関連します。モデル解答では、Cの水平方向の力のつり合い（Aの系で慣性力を考慮）または運動方程式（静止系で）から \(N = m\frac{g}{2}\) としています。（これはAがCを水平左向きに押す力、その反作用はCがAを右向きに押す力ですが、モデル解答の図ではAに左向きの力Nが描かれているため、CがAの滑車の右側面を慣性力で押し、その反作用をAが受ける、あるいはCがAの滑車部分から受ける力がNで、その反作用がAに働く、など解釈に注意が必要です。モデル解答の式に従うと、NはAを左に引く力です。）
張力 \(T\) は式⑧より \(\frac{3}{4}mg\) です。
これらの値を式⑦に代入します。
$$M \frac{g}{2} = F – m\frac{g}{2} – \frac{3}{4}mg$$
\(F\) について解くと、
$$F = M\frac{g}{2} + m\frac{g}{2} + \frac{3}{4}mg$$
共通因子 \(g\) でくくり、分母を4に揃えて整理します。
$$F = \left(\frac{M}{2} + \frac{m}{2} + \frac{3m}{4}\right)g = \left(\frac{2M}{4} + \frac{2m}{4} + \frac{3m}{4}\right)g$$
$$F = \frac{2M+2m+3m}{4}g = \frac{2M+5m}{4}g \quad \cdots ⑪$$

時間 \(t\) の計算: まず、Aが右に \(\frac{1}{2}g\) の加速度で動いているとき、Aの上に乗っている人から見ると、BとCはそれぞれ「相対的に」どんな加速度で動くかを計算します（慣性力を考慮します）。Bは右に、Cは下に同じ大きさの相対加速度 \(\alpha\) で動きます。この \(\alpha\) と、BとCをつなぐ糸の張力 \(T\) を、BとCそれぞれの運動の式を立てて求めます。Cが高さ \(h\) だけ下に動くのにかかる時間は、この相対加速度 \(\alpha\) を使って、物が一定の加速度で落ちる時間を計算するのと同じように求められます。
力 \(F\) の計算: 次に、A自体を右向きに \(\frac{1}{2}g\) の加速度で動かすために必要な力 \(F\) を求めます。Aには、外から加える力 \(F\) の他に、Aの上に乗っているBを引いている糸がAを左に引っ張る力（張力 \(T\)）と、ぶら下がっているCがAの滑車部分を通じてAに及ぼす水平方向の力（モデル解答によると左向きに \(N=m\frac{g}{2}\)）が働きます。これらの力をすべて考慮して、Aが指定された加速度 \(\frac{1}{2}g\) で動くための \(F\) を、「力＝質量×加速度」の法則から計算します。

Cが水平面に達するまでの時間は \(t = 2\sqrt{\displaystyle\frac{2h}{g}}\) です。
この場合の力 \(F\) の大きさは \(F = \displaystyle\frac{2M+5m}{4}g\) です。
時間 \(t\) の式は、CのAに対する相対落下加速度 \(\alpha = g/4\) に依存しています。もし \(\alpha\) がこの値より大きければ時間は短くなり、小さければ長くなります。\(g\) が大きいほど（重力が強いほど）、また \(h\) が小さいほど（落下距離が短いほど）、時間は短くなるという直感とも一致します。
力 \(F\) の式は、Aの質量 \(M\) とB,Cの共通の質量 \(m\) の両方に依存しています。A自身を加速させるための力に加え、BやCの運動（や慣性）に伴ってAに働く内部的な力（張力やCからの力）にも打ち勝って所定の加速度 \(\frac{1}{2}g\) を与える必要があるため、その大きさは単純ではありませんが、各質量が大きいほど大きな力が必要になるという傾向は見て取れます。

【コラム】問題に関する追加の考察 (Q)

この問題の最後には、(2)の状況でAが水平面から受ける垂直抗力Rを求める問いがあります。

Q: 問(2)で、Aが水平面から受けている垂直抗力Rを求めよ。(★)

思考の道筋とポイント

直方体Aは水平方向にのみ運動し、鉛直方向には運動しません。したがって、Aに働く鉛直方向の力はつり合っています。Aに働く鉛直方向の力は、A自身の重力 \(Mg\)、床からの垂直抗力 \(R\)（上向き）、物体Bから受ける鉛直方向の力（Bの重さによる押し付け、\(mg\)）、そして滑車を介して物体Cを引く糸の張力 \(T\) がAに及ぼす鉛直下向きの力です（この問題の滑車はAの上面に水平に取り付けられ、糸はCに繋がる部分で鉛直になっているため、張力\(T\)が直接Aに下向きに作用します）。

具体的な解説と立式

直方体A（滑車を含む）に働く鉛直方向の力は以下の通りです（鉛直上向きを正とします）。

• 床からの垂直抗力: \(+R\)
• 直方体Aの重力: \(-Mg\)
• 物体Bから受ける力（BがAの上面を押す力。Bは鉛直方向に加速していないので、これはBの重力 \(mg\) に等しい）: \(-mg\)
• 滑車を介して物体Cを引く糸の張力 \(T\) がAに及ぼす鉛直下向きの力: \(-T\) （滑車がAに固定されているため、糸の張力はAに下向きの力として作用します）

直方体Aは鉛直方向には動かないので、これらの力のつり合いから、
$$R – Mg – mg – T = 0$$
したがって、床からの垂直抗力 \(R\) は、
$$R = Mg + mg + T \quad \cdots (Q-1)$$
ここで、張力 \(T\) は設問(2)の計算過程（式⑧）で求めた \(T = \displaystyle\frac{3}{4}mg\) を用います。

式(Q-1)に、設問(2)で求めた張力 \(T = \displaystyle\frac{3}{4}mg\) を代入します。
$$R = Mg + mg + \frac{3}{4}mg$$
右辺の \(mg\) の項をまとめます。
$$R = Mg + \left(1 + \frac{3}{4}\right)mg = Mg + \frac{4+3}{4}mg = Mg + \frac{7}{4}mg$$
共通因子 \(g\) でくくりだすと、
$$R = \left(M + \frac{7}{4}m\right)g \quad \cdots (Q-2)$$

直方体Aは床の上を横に滑るだけで、上下には動きません。これは、Aに働く上向きの力と下向きの力がちょうどつり合っているからです。下向きの力は、「A自身の重さ \(Mg\)」、「Aの上に乗っているBの重さ \(mg\)（BがAを押す力）」、そして「滑車を介してCを上に引っ張っている糸が、逆にAを下に引く力（これが張力 \(T\) です）」の3つの力の合計です。上向きの力は、「床がAを支える力 \(R\)」だけです。これらの力のつり合いの式を立て、設問(2)で計算した張力 \(T\) の値を使って \(R\) を求めます。

直方体Aが水平面から受けている垂直抗力 \(R\) は \(R = \displaystyle\left(M + \frac{7}{4}m\right)g\) です。
この結果を吟味してみましょう。床からの垂直抗力 \(R\) は、AとBの合計の重力 \((M+m)g\) よりも大きくなっています（\(T = \frac{3}{4}mg > 0\) なので）。これは、物体Cを上に引く（あるいはCの落下を支える）ための張力 \(T\) が、滑車を介してAを下向きに引っ張る力として作用するため、床が支えなければならない力がその分だけ増加することを意味しています。物理的に妥当な結果と言えるでしょう。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ニュートンの運動方程式 (\(ma=F\)): すべての力学問題の基本。慣性系で力を正確に把握し、加速度との関係を記述する。
• 慣性力: 加速度運動する非慣性系で運動を記述する際の「見かけの力」。向きは座標系の加速度と逆、大きさは \(ma\)。これを導入することで、非慣性系内でも力のつり合いや運動方程式を立てやすくなる。
• 力のつり合い: 物体が静止または等速直線運動している場合に成り立つ。非慣性系では慣性力も含めて考える。
• 作用・反作用の法則: 物体Aが物体Bに力を及ぼすとき、物体Bも物体Aに同じ大きさで逆向きの力を及ぼす。QがPを押す力とPがQを押す力、AがBやCと及ぼしあう力などで現れる。
• 滑車と糸: 軽い滑車と伸び縮みしない軽い糸でつながれた物体は、糸の張力が共通であること、連動して運動すること（加速度の大きさや向きに関係）が特徴。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • エレベーター内の物体の運動（特に(1)の考え方）。
  • 動く台の上での物体の相対運動（特に(2)の考え方）。
  • 複数の物体が滑車や糸で連結されて運動する系。
  • 外力が働いている系全体の運動と、系内部の物体間の相対運動を同時に考える問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 基準系（観測者）の明確化: まず、地上の静止系で考えるか、動く物体上の非慣性系で考えるかを意識的に選択する。非慣性系なら慣性力を導入する。
  2. 各物体にはたらく力の徹底的な図示: 重力、垂直抗力、張力、摩擦力（今回はなし）、そして慣性力（非慣性系の場合）を、作用点と向きを正確にベクトルで図示する。
  3. 運動の拘束条件の把握: 物体が糸でつながっている、滑車を介している、斜面上を動く、などの条件から、各物体の加速度や速度の間にどのような関係があるか（例：同じ大きさ、向きが逆など）を見抜く。
  4. 運動方程式または力のつり合いの式の立式: 各物体について、あるいは系全体について、選択した基準系と特定した力、拘束条件に基づいて、適切な法則（運動方程式、力のつり合い）を適用し、式を立てる。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • (1)のように「一体となって動く」場合は、系全体の質量と外力で全体の加速度を考え、その後内部の力のつり合いを見る、という二段階の思考が有効。
  • (2)のように「相対運動」がある場合は、どの物体に対する加速度なのかを明確に区別する。
  • Aに働く力を考える際、BからだけでなくCからも（滑車を介して）力を受けることを見落とさない。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の向きや導入の有無:
  • 現象: どの基準系で考えているかによって慣性力が必要かどうかが変わる。また、その向きは基準系の加速度と「逆」であること。
  • 対策: 常に「誰から見て考えているのか」を明確にし、非慣性系なら必ず慣性力を図示する。
• 張力の扱い:
  • 現象: 一本の軽い糸ならどこでも張力の大きさは等しいが、複数の物体が絡むと、どの物体にどの向きに張力が働いているか混乱しやすい。AがBを引く張力と、滑車を介してCを引く張力は同じ大きさだが、Aに働く力としてはこれらの反作用や滑車を介した力の向きを考える必要がある。
  • 対策: 各物体ごとに力を図示し、糸が物体を「引く」向きに張力が働くことを確認する。
• 作用・反作用の法則の適用ミス:
  • 現象: 例えば、AがBを押す力とBがAを押す力は作用・反作用だが、これらを一つの物体に働く力として混同するなど。
  • 対策: 力が「どの物体からどの物体へ」働いているのかを常に意識する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
  • (1)で全体が一体となって右に加速していく様子。A上の人から見るとBもCも慣性力と張力などがつり合って静止している。
  • (2)でAが右に \(g/2\) で加速すると、A上の人から見てBは左向きの慣性力を受けて右に、Cは（鉛直方向には慣性力なし、ただし水平方向の慣性力はCをAの壁に押し付ける）下にそれぞれ相対的に加速していく。
  • 各物体にはたらく力をベクトルで正確に図示し、特に慣性力の向き、張力の向き、垂直抗力の向きが重要。力の分解が必要な場合はそれも図示する。
• 図を描く際に注意すべき点は何か:
  • 力を描くときは、必ず作用点を物体上に描く。
  • 既知の力と未知の力を区別し、未知の力は仮の向きで描いて計算結果の符号で判断することも有効。
  • 加速度の向きも図示し、それと慣性力の向き（逆向き）を対応させる。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式の選択と適用根拠:
  • 選定理由: 物体に力が作用し、加速度が生じている場合に基本となる。どの物体について、どの座標系で立てるかを明確にする。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則。
• 力のつり合いの選択と適用根拠:
  • 選定理由: 物体が静止している、または等速直線運動している場合に適用。非慣性系では慣性力を含めてつり合いを考える。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（または第二法則で加速度がゼロの場合）。
• 等加速度運動の公式の選択と適用根拠:
  • 選定理由: 加速度が一定であると判断された区間で、時間、速度、変位の関係を求めるために適用。
  • 適用根拠: 一定加速度下での運動を記述する数学的関係式。
• 公式選択の思考訓練:
  • 常に「なぜこの法則がこの場面で使えるのか？」という物理的な根拠を意識する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題の状況設定（(1)か(2)か）を把握。
2. 注目する物体（系全体か、Bか、Cか、Aか）と観測者（床か、A上か）を明確にする。
3. 各物体にはたらく力をすべて図示（慣性力も必要なら）。
4. 運動の方向や力の作用方向に応じて座標軸を設定し、力を成分分解。
5. 運動方程式または力のつり合いの式を、各物体・各方向について立式。
6. 拘束条件（例：BとCの相対加速度の大きさが等しいなど）があればそれも立式。
7. 得られた連立方程式を解いて未知数を求める。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 連立方程式を解く際の代入ミスや符号ミス。特に未知数が多い場合。
  • 力の向きと座標軸の正の向きを考慮した符号の決定。
  • 質量の \(M\) と \(m\) の混同。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 文字式の計算に慣れ、整理や代入を正確に行う。
  • 立式した時点で、未知数の数と独立した式の数が合っているか確認する。
  • 複雑な式は、一度簡単な形に整理してから次のステップに進む。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • (1)で \(F=(M+2m)g\) という結果。もし \(M=0, m=0\) なら \(F=0\) で自明。もしBやCが非常に重ければ大きな力が必要になる。
  • (2)の時間 \(t\) や力 \(F\) の式について、特定の質量（例：\(m=0\)）や加速度（例：\(A_{ext}=0\)）の極限を考えてみる。例えば \(A_{ext}=0\) なら、\(\alpha = g/2\) となり、Cは \(g/2\) で自由落下に近い形で落ち（張力が \(mg/2\) となる）、\(t = \sqrt{4h/g} = 2\sqrt{h/g}\)。
  • 単位が物理量として正しいか（力なら[N]、時間なら[s]など）を常に確認する。
• 吟味の習慣: 極端な場合を考えたり、単位を確認したりすることで、解の妥当性を検証する癖をつける。

問題24 (立命館大)

【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう

この問題は、二重の滑車（動滑車Pと定滑車Q）を介して3つのおもりA, B, Cが連結された系の運動を扱います。まず、Cが静止する条件でおもりAの加速度と糸の張力、そしてCの質量を求めます。次に、Cの質量を変えて系全体が動き出す状況で、Cの加速度、糸の張力、天井にかかる力、そして特定の条件下でのAとCの位置を求めます。複数の物体が連動し、相対運動も考慮する必要があるため、運動方程式の立式と、慣性力や運動の拘束条件の理解が重要となります。

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題を解く鍵は、各物体にはたらく力を正確に図示し、適切な基準系で運動方程式を立てることです。(1)と(2)では、Cおよび滑車Pが静止しているという条件から、AとBの運動を単純なアトウッドの器械として扱い、力のつり合いを考えます。(3)と(4)では、滑車Pも加速度運動するため、Pと共に動く非慣性系でAとBの相対運動を考える（慣性力を導入する）か、あるいは床に固定された慣性系で各物体の加速度の間の関係（拘束条件）を見つけて解くことになります。

問 (1)

思考の道筋とポイント

おもりCが静止し続けているという条件は、滑車Pも静止していることを意味します。そのため、おもりA（質量 \(m\)）とおもりB（質量 \(3m\)）は、固定された滑車Pにかかった糸1で結ばれた、いわゆる「アトウッドの器械」として運動します。質量が大きいおもりBが下向きに、質量が小さいおもりAが上向きに、それぞれ同じ大きさの加速度で運動すると考えられます。糸1の張力を \(T_1\) とし、AとBそれぞれについて運動方程式を立てて解きます。

この設問における重要なポイント

• おもりCが静止しているため、滑車Pも静止していると見なせます。
• おもりAとおもりBは、滑車Pを固定滑車としたアトウッドの器械として運動します。
• Aの加速度を鉛直上向きに \(a\)、Bの加速度を鉛直下向きに \(a\)（AとBの加速度の大きさは等しい）と設定します。
• 糸1の張力は、AとBのどちらにも同じ大きさ \(T_1\) で働きます。

具体的な解説と立式

おもりAの加速度の大きさを \(a\)、糸1の張力の大きさを \(T_1\) とします。おもりAは鉛直上向きに、おもりBは鉛直下向きに、それぞれ同じ大きさの加速度 \(a\) で運動すると仮定します。
おもりA（質量 \(m\)）についての運動方程式は、鉛直上向きを正とすると、
$$ma = T_1 – mg \quad \cdots ①$$
おもりB（質量 \(3m\)）についての運動方程式は、鉛直下向きを正とすると、
$$3ma = 3mg – T_1 \quad \cdots ②$$

別解1: 系全体で加速度を求める方法

おもりAとおもりBを一つの系として考えると、この系を動かす正味の力は、おもりBの重力 \(3mg\) とおもりAの重力 \(mg\) の差である \(3mg-mg=2mg\) です（Bが下がりAが上がる方向を正とする）。系全体の質量は \(m+3m=4m\) です。したがって、系全体の運動方程式は、
$$(m+3m)a = 3mg – mg$$
$$(4m)a = 2mg \quad \cdots (別1-1)$$
この方法では加速度 \(a\) を直接求めることができますが、張力 \(T_1\) はこの式からは直接求まりません。張力 \(T_1\) を求めるには、個々の物体の運動方程式に戻る必要があります。

式①と式②を連立させて、加速度 \(a\) と張力 \(T_1\) を求めます。
式①と式②の両辺をそれぞれ足し合わせると、\(T_1\) が消去できます。
$$(ma) + (3ma) = (T_1 – mg) + (3mg – T_1)$$$$4ma = 2mg$$
\(m \neq 0\) なので、両辺を \(4m\) で割ると、加速度 \(a\) は、
$$a = \frac{2mg}{4m} = \frac{1}{2}g \quad \cdots ③$$
次に、この \(a\) の値を式①に代入して張力 \(T_1\) を求めます。
$$m\left(\frac{1}{2}g\right) = T_1 – mg$$
\(T_1\) について解くと、
$$T_1 = \frac{1}{2}mg + mg = \frac{3}{2}mg \quad \cdots ④$$

まず、おもりCが止まっているので、それにつながる滑車Pも止まっていると考えます。すると、AとBは、よくある「滑車に両側からぶら下がったおもり」の問題（アトウッドの器械）と同じように動きます。軽い方のおもりAは上に、重い方のおもりBは下に、同じ大きさの加速度で動きます。AとBそれぞれについて、「力＝質量×加速度」という運動の法則（運動方程式）を立てます。Aには上向きの糸の力 \(T_1\) と下向きの重力 \(mg\) が、Bには上向きの糸の力 \(T_1\) と下向きの重力 \(3mg\) が働きます。これらの2つの式を組み合わせる（連立方程式を解く）ことで、加速度の大きさ \(a\) と糸の力 \(T_1\) が求まります。

おもりAの加速度の大きさは \(a = \displaystyle\frac{1}{2}g\) であり、糸1の張力は \(T_1 = \displaystyle\frac{3}{2}mg\) です。
加速度 \(a\) が正の値として得られたので、仮定した運動の向き（Aが上向き、Bが下向き）は正しかったと言えます。張力 \(T_1\) の値を吟味すると、Aの重力 \(mg\) よりも大きく (\(mg < \frac{3}{2}mg\))、Bの重力 \(3mg\) よりも小さい (\(\frac{3}{2}mg < 3mg\)) ことが確認できます。これは、Aを上に加速させ、Bの下向きの加速をある程度妨げる（Bの重力よりは小さい力で引き上げる）ために物理的に妥当な値です。

問 (2)

思考の道筋とポイント

おもりCは静止しているので、Cにはたらく力はつり合っています。Cにはたらく力は、Cの重力（Cの質量を \(M_C\) とすると \(M_C g\)）と、糸2からの張力 \(T_2\) です。したがって、\(T_2 = M_C g\) の関係が成り立ちます。
一方、滑車Pも静止しており、その質量は無視できるとされているため、Pにはたらく力もつり合っていると考えます。滑車Pには、糸2から上向きに張力 \(T_2\) が、そして糸1から下向きに2つの張力 \(T_1\)（滑車の両側からそれぞれ \(T_1\) の力がかかるので、合計 \(2T_1\)）が働いています。したがって、\(T_2 = 2T_1\) の関係が成り立ちます。
これらの関係式と、設問(1)で求めた糸1の張力 \(T_1\) の値を使って、おもりCの質量 \(M_C\) を求めます。

この設問における重要なポイント

• おもりCが静止しているので、Cに働く力の鉛直方向のつり合いを考えます: \(T_2 = M_C g\)。
• 滑車Pも静止しており、かつ質量が無視できるので、Pに働く力のつり合いを考えます: \(T_2 = 2T_1\)。
• 設問(1)で求めた糸1の張力 \(T_1 = \frac{3}{2}mg\) を利用します。

具体的な解説と立式

おもりCの質量を \(M_C\) とします。糸2の張力の大きさを \(T_2\) とします。
おもりCは静止しているので、鉛直方向の力のつり合いより（鉛直上向きを正とすると）、
$$T_2 – M_C g = 0 \quad \text{すなわち} \quad T_2 = M_C g \quad \cdots ⑤$$
滑車Pも静止しており、その質量は無視できるので、Pにはたらく力のつり合いを考えます。Pには、糸2から上向きに \(T_2\) の力が、糸1から下向きに2つの \(T_1\) の力（滑車の両側にかかる糸1がそれぞれ張力 \(T_1\) でPを引くため、合計 \(2T_1\)）が働いています。
$$T_2 – 2T_1 = 0 \quad \text{すなわち} \quad T_2 = 2T_1 \quad \cdots ⑥$$

まず、設問(1)で求めた糸1の張力 \(T_1 = \displaystyle\frac{3}{2}mg\) (式④) を式⑥に代入して、糸2の張力 \(T_2\) を求めます。
$$T_2 = 2 \times \left(\frac{3}{2}mg\right) = 3mg$$
次に、この \(T_2 = 3mg\) を式⑤ \(T_2 = M_C g\) に代入して、おもりCの質量 \(M_C\) を求めます。
$$3mg = M_C g$$
\(g \neq 0\) なので、両辺を \(g\) で割ると、
$$M_C = 3m \quad \cdots ⑦$$

Cが止まっているということは、C自身の重さ（質量 \(M_C\) × 重力加速度 \(g\)）と、Cを上に引いている糸2の力（張力 \(T_2\)）がちょうど釣り合っていることを意味します。また、滑車Pも止まっているので、Pを上に引いている糸2の力 \(T_2\) と、Pを下に引いている2本の糸1の力の合計（つまり \(T_1\) の2倍）も釣り合っているはずです。設問(1)で糸1の力 \(T_1\) は既に計算してあるので、これらの釣り合いの関係を使って、まず \(T_2\) を求め、次にそれを使ってCの質量 \(M_C\) を計算します。

おもりCの質量は \(M_C = 3m\) です。
問題の「Point & Hint」で「\(m+3m\) で4mとするミスが多い」と指摘されていますが、これはAとBの質量の合計が \(4m\) であるのに対し、それらと釣り合ってCを静止させるためのCの質量が \(3m\) となった理由を考えるヒントです。AとBは内部で加速運動をしているため、それらを支える糸2の張力 \(T_2\) は単純にAとBの質量の合計にかかる重力 \((m+3m)g\) とはなりません。\(T_2 = 2T_1\) であり、\(T_1\) はAとBの運動状態を反映した値であるため、結果として \(M_C=3m\) となります。

問 (3)

思考の道筋とポイント

今度はCの質量が \(4m\) になり、(2)で求めたつり合いの質量 \(3m\) よりも大きいため、Cは下向きに、滑車Pは上向きにそれぞれ同じ大きさの加速度 \(\alpha\) で運動を始めます。糸1の張力を \(T_1\)、糸2の張力を \(T_2\) とします（これらは(1)(2)の値とは一般に異なります）。
まず、物体Cの床に対する運動方程式を立てます。次に、滑車Pは質量が0なので、Pにはたらく力の合力は常に0であると考えます（\(0 \cdot \alpha = \sum F_P\) より \(T_2 = 2T_1\)）。
おもりAとおもりBの運動は、加速度 \(\alpha\) で上向きに運動する滑車Pの上での運動と見なせます。Pと共に動く観測者（非慣性系）から見ると、AとBにはそれぞれ鉛直下向きに慣性力 \(m\alpha\) と \(3m\alpha\) が働きます。この非慣性系で、AとBのPに対する相対加速度の大きさを \(\beta\) として、AとBそれぞれについて運動方程式を立てます（AはPに対して上向きに \(\beta\)、BはPに対して下向きに \(\beta\) で加速）。
これで未知数 \(\alpha, \beta, T_1, T_2\) に対して4つの方程式が立つので、これらを連立させて解きます。天井にかかる力は、滑車Qを吊るす糸の張力であり、滑車Qも質量0で静止しているので、これは \(2T_2\) に等しくなります。

この設問における重要なポイント

• 物体Cは床に対して鉛直下向きに加速度 \(\alpha\) で運動します。
• 滑車Pは床に対して鉛直上向きに同じ大きさの加速度 \(\alpha\) で運動します。
• 滑車Pの質量は0なので、Pにはたらく力の合力は0です。これにより \(T_2 = 2T_1\) の関係が成り立ちます。
• おもりAとおもりBの、滑車Pに対する相対加速度の大きさを \(\beta\) とします。AはPに対して上向きに \(\beta\)、BはPに対して下向きに \(\beta\) で加速するとします。
• 滑車Pと共に動く観測者から見ると、おもりAには鉛直下向きに慣性力 \(m\alpha\)、おもりBには鉛直下向きに慣性力 \(3m\alpha\) が働きます。
• 複数の運動方程式を丁寧に立式し、連立して解く必要があります。

具体的な解説と立式

物体Cの質量を \(4m\) とします。Cの床に対する加速度の大きさを \(\alpha\)（鉛直下向きを正とする）、滑車Pの床に対する加速度の大きさを \(\alpha\)（鉛直上向きを正とする）とします。糸1の張力を \(T_1\)、糸2の張力を \(T_2\) とします。

物体Cの運動方程式（鉛直下向きを正）:
$$4m\alpha = 4mg – T_2 \quad \cdots ⑧$$

滑車P（質量0）の力のつり合い（運動方程式 \(0 \cdot \alpha = \sum F_P\) より）:
Pには上向きに \(T_2\)、下向きに \(2T_1\) が働くので、
$$T_2 = 2T_1 \quad \cdots ⑨$$

おもりAとおもりBの、滑車Pに対する相対運動:
滑車Pは鉛直上向きに加速度 \(\alpha\) で運動しています。Pと共に動く観測者から見ると、AとBにはそれぞれ鉛直下向きに慣性力 \(m\alpha\) と \(3m\alpha\) が働きます。AとBのPに対する相対加速度の大きさを \(\beta\) とします。AはPに対して上向きに \(\beta\)、BはPに対して下向きに \(\beta\) で加速すると仮定します。
おもりAのPに対する運動方程式（Pの系で上向きを正）:
$$m\beta = T_1 – mg – m\alpha \quad \cdots ⑩$$おもりBのPに対する運動方程式（Pの系で下向きを正）:$$3m\beta = (3mg + 3m\alpha) – T_1 \quad \cdots ⑪$$

別解1: AとBの運動を静止系（床）で考える

Aの床に対する加速度を \(a_A\)（上向き正）、Bの床に対する加速度を \(a_B\)（下向き正）とします。滑車Pの床に対する加速度は \(\alpha\)（上向き）です。
Aの運動方程式（床に対して上向き正）: \(ma_A = T_1 – mg\)
Bの運動方程式（床に対して下向き正）: \(3ma_B = 3mg – T_1\)
運動の拘束条件として、AのPに対する相対加速度（上向き、大きさ \(\beta_A = a_A – \alpha\)）と、BのPに対する相対加速度（下向き、大きさ \(\beta_B = a_B + \alpha\)）の大きさが等しくなります。すなわち \(\beta_A = \beta_B = \beta\)。
$$a_A – \alpha = \beta$$
$$a_B + \alpha = \beta$$
これらの式と、Cの運動方程式 \(4m\alpha = 4mg – T_2\) (Cの下向き加速度の大きさがPの上向き加速度の大きさ \(\alpha\) に等しい)、および \(T_2 = 2T_1\) を連立させることになります。これは、慣性力を用いた方法で立式した式⑩, ⑪を書き換えたものと実質的に同じになります。

まず、式⑨ \(T_2 = 2T_1\) を式⑧ \(4m\alpha = 4mg – T_2\) に代入します。
$$4m\alpha = 4mg – 2T_1 \quad \cdots ⑫$$
次に、式⑩と式⑪を足し合わせると \(T_1\) が消去でき、\(\beta\) を \(\alpha\) で表すことができます。
$$(m\beta) + (3m\beta) = (T_1 – mg – m\alpha) + (3mg + 3m\alpha – T_1)$$$$4m\beta = 2mg + 2m\alpha$$両辺を \(2m\) で割ります（\(m \neq 0\)）。
$$2\beta = g + \alpha \quad \text{すなわち} \quad \beta = \frac{g+\alpha}{2} \quad \cdots ⑬$$
今度は、\(T_1\) を求めるために、例えば式⑩に式⑬を代入するか、式⑩と式⑪から \(\beta\) を消去します。
式⑩より \(T_1 = m\beta + mg + m\alpha\)。これに式⑬ \( \beta = \frac{g+\alpha}{2} \) を代入します。
$$T_1 = m\left(\frac{g+\alpha}{2}\right) + mg + m\alpha = \frac{mg+m\alpha+2mg+2m\alpha}{2} = \frac{3mg+3m\alpha}{2} = \frac{3m(g+\alpha)}{2} \quad \cdots ⑭$$
この \(T_1\) の表式を式⑫ \(4m\alpha = 4mg – 2T_1\) に代入します。
$$4m\alpha = 4mg – 2\left(\frac{3m(g+\alpha)}{2}\right)$$$$4m\alpha = 4mg – 3m(g+\alpha)$$両辺を \(m\) で割ります（\(m \neq 0\)）。
$$4\alpha = 4g – 3(g+\alpha) = 4g – 3g – 3\alpha$$
$$4\alpha = g – 3\alpha$$
$$7\alpha = g$$
したがって、Cの加速度の大きさ \(\alpha\) は、
$$\alpha = \frac{1}{7}g \quad \cdots ⑮$$
この \(\alpha\) の値を式⑭に代入して、糸1の張力 \(T_1\) を求めます。
$$T_1 = \frac{3m(g+\frac{1}{7}g)}{2} = \frac{3m(\frac{8}{7}g)}{2} = \frac{3m \cdot 8g}{14} = \frac{12mg}{7} \quad \cdots ⑯$$
天井にかかる力 \(T_3\) は、滑車Qのつり合い（質量0）から \(T_3 = 2T_2\) です。そして式⑨より \(T_2 = 2T_1\) なので、\(T_3 = 2(2T_1) = 4T_1\) です。
$$T_3 = 4 \times \frac{12mg}{7} = \frac{48mg}{7} \quad \cdots ⑰$$

おもりCの質量が \(4m\) になると、(2)の場合とは異なり、Cは下に、それと連動して滑車Pは上に動き始めます。このPとCの加速度の大きさを \(\alpha\) とします。
まず、Cの動きについて「力＝質量×加速度」の式を立てます。次に、滑車Pは（質量がないので）Pにかかる力の合計は常にゼロになるという式を立てます。これにより、糸2の張力 \(T_2\) は糸1の張力 \(T_1\) の2倍だとわかります。
さらに、Pの上に乗っているAとBの動きを考えます。Pが上に \(\alpha\) で加速しているので、Pの上に乗っている人から見ると、AとBにはそれぞれ下に \(m\alpha\) や \(3m\alpha\) の「見かけの力」（慣性力）が働いているように見えます。この状況で、AはPに対して上に、BはPに対して下に、それぞれ同じ大きさ \(\beta\) の「相対的な」加速度で動きます。AとBそれぞれについて、この慣性力も考慮に入れた運動の式を立てます。
これで、未知の量（\(\alpha, \beta, T_1, T_2\)）に対して式が4本できたので、これらを解いてまず \(\alpha\)（Cの加速度）と \(T_1\)（糸1の張力）を求めます。天井にかかる力は、滑車Qを支える糸の張力なので、これは \(T_2\) の2倍になります。

Cの加速度の大きさは \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{7}g\)、糸1の張力は \(T_1 = \displaystyle\frac{12}{7}mg\)、天井にかかる力は \(T_3 = \displaystyle\frac{48}{7}mg\) です。
これらの値は、各物体の質量と重力加速度のみで表されており、物理的に妥当な形をしています。(2)の静止する場合のCの質量が \(3m\) であったのに対し、今回は \(4m\) と重くなったため、Cが下向きに加速するのは直感と一致します。また、加速度の大きさが \(g/7\) と、\(g\) に比べて比較的小さいのは、系全体の慣性が大きいためと考えられます。張力 \(T_1 = \frac{12}{7}mg \approx 1.71mg\) は、(1)のときの \(T_1 = 1.5mg\) よりも大きくなっています。これは、系全体がよりダイナミックに運動しており、内部の力も変化していることを反映していると考えられます。

問 (4)

思考の道筋とポイント

AとBの高さの差が \(l\) になるということは、AとBの相対的な移動距離が \(l\) になったことを意味します。設問(3)の計算過程で求めたように（あるいはモデル解答参照）、Aは滑車Pに対して上向きに、Bは滑車Pに対して下向きに、それぞれ同じ大きさの相対加速度 \(\beta = \frac{4}{7}g\) で運動します。したがって、AとBが互いに離れていく相対加速度の大きさは \(2\beta\) となります。この相対加速度で、初めの高さの差が0の状態から相対距離 \(l\) を生じるのにかかる時間 \(t\) を求めます。
その時間 \(t\) の間に、Aが天井に対してどれだけ変位したか、そしてCが天井に対してどれだけ変位したかを計算します。Aの天井に対する加速度（床に対する加速度）は、Pの上昇加速度 \(\alpha\) と、AのPに対する上昇加速度 \(\beta\) の和になります。Cの天井に対する加速度（床に対する加速度）は \(\alpha\)（下向き）です。初めの位置とこれらの加速度、そして時間 \(t\) から、最終的な天井からの距離を求めます。

この設問における重要なポイント

• AとBの間の相対加速度の大きさは \(2\beta\) です（一方がPに対して上に\(\beta\)、もう一方がPに対して下に\(\beta\)で動くため、互いに離れる加速度は \(2\beta\)）。
• 初めAとBの高さの差は0なので、相対距離 \(l\) が生じるまでの時間 \(t\) を等加速度運動の式 \(l = \frac{1}{2}(2\beta)t^2\) から求めます。
• Aの床（天井）に対する加速度 \(a_A\) は \(\alpha + \beta\)（鉛直上向き）。
• Cの床（天井）に対する加速度の大きさは \(\alpha\)（鉛直下向き）。
• 初めの位置と、計算した時間 \(t\) 後の変位から、最終的な天井からの距離をそれぞれ求めます。

具体的な解説と立式

おもりAとおもりBの、滑車Pに対する相対加速度の大きさは \(\beta = \displaystyle\frac{4}{7}g\) です（(3)の計算過程の式⑰より）。AはPに対して上向きに、BはPに対して下向きにこの加速度で動くため、AとBが互いに離れていく相対加速度の大きさは \(a_{\text{AB相対}} = \beta – (-\beta) = 2\beta\) となります。
AとBの高さの差が \(l\) になるまでの時間を \(t\) とします。初めAとBの高さの差は0だったので、相対距離 \(l\) は初速0（相対初速度も0）、相対加速度 \(2\beta\) の等加速度運動の変位の式 \(s = \frac{1}{2}at^2\) より、
$$l = \frac{1}{2}(2\beta)t^2 = \beta t^2 \quad \cdots ⑱$$

この時間 \(t\) の間に、AとCが天井に対してどれだけ動くかを考えます。
Aの床（天井）に対する加速度 \(a_A\)（鉛直上向きを正とする）は、滑車Pの上昇加速度 \(\alpha\) と、AのPに対する上昇相対加速度 \(\beta\) の和です。
$$a_A = \alpha + \beta \quad \cdots ⑲$$
Aの初めの天井からの距離は \(h\)。時間 \(t\) 後のAの天井からの距離を \(h_A\) とすると、Aは初速0で動き始めるので、
$$h_A = h – (\text{Aの上昇距離}) = h – \frac{1}{2}a_A t^2 \quad \cdots ⑳$$
（天井からの距離なので、上昇した分だけ初めの距離から引きます。）

Cの床（天井）に対する加速度の大きさは \(\alpha\)（鉛直下向き）です。
Cの初めの天井からの距離は \(d\)。時間 \(t\) 後のCの天井からの距離を \(d_C\) とすると、Cは初速0で動き始めるので、
$$d_C = d + (\text{Cの下降距離}) = d + \frac{1}{2}\alpha t^2 \quad \cdots ㉑$$
（天井からの距離なので、下降した分だけ初めの距離に足します。）

まず、時間 \(t\) を求めます。式⑱ \(l = \beta t^2\) より \(t^2 = \displaystyle\frac{l}{\beta}\)。
設問(3)の計算過程で求めた \(\beta = \displaystyle\frac{4}{7}g\) (式⑰を再掲、実際には(3)の解答の一部) を代入すると、
$$t^2 = \frac{l}{\frac{4}{7}g} = \frac{7l}{4g}$$
\(t>0\) なので、両辺の平方根をとると、
$$t = \sqrt{\frac{7l}{4g}} \quad \cdots ㉒$$

次に、Aの床（天井）に対する加速度 \(a_A\) を求めます。設問(3)で求めた \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{7}g\) (式⑮) と \(\beta = \displaystyle\frac{4}{7}g\) (式⑰) を式⑲に代入します。
$$a_A = \frac{1}{7}g + \frac{4}{7}g = \frac{5}{7}g$$
Aの天井からの距離 \(h_A\) を式⑳から求めます。
$$h_A = h – \frac{1}{2}a_A t^2 = h – \frac{1}{2}\left(\frac{5}{7}g\right)\left(\frac{7l}{4g}\right)$$
右辺第2項の \(g\) と \(7\) がそれぞれ分子と分母で消去されます。
$$h_A = h – \frac{1}{2} \cdot \frac{5l}{4} = h – \frac{5}{8}l \quad \cdots ㉓$$

最後に、Cの天井からの距離 \(d_C\) を式㉑から求めます。加速度 \(\alpha = \displaystyle\frac{1}{7}g\) と \(t^2 = \displaystyle\frac{7l}{4g}\) を代入します。
$$d_C = d + \frac{1}{2}\alpha t^2 = d + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{7}g\right)\left(\frac{7l}{4g}\right)$$
右辺第2項の \(g\) と \(7\) がそれぞれ分子と分母で消去されます。
$$d_C = d + \frac{1}{2} \cdot \frac{l}{4} = d + \frac{1}{8}l \quad \cdots ㉔$$

AとBの高さの差が \(l\) になるということは、AとBが互いに \(l\) だけ離れたということです（一方が上に、もう一方が下に動くため）。Aは滑車Pに対して上に、Bは滑車Pに対して下に、それぞれ同じ「相対的な」加速度 \(\beta\) で動くので、AとBは \(2\beta\) という「相対的な離れていく加速度」でどんどん離れていきます。この相対加速度で距離 \(l\) だけ離れるのにかかる時間 \(t\) をまず計算します。
次に、この時間 \(t\) の間に、Aが天井からどれだけ近づいたか（上にどれだけ動いたか）、そしてCが天井からどれだけ遠ざかったか（下にどれだけ動いたか）を計算します。Aの天井に対する実際の加速度は、Pが上に加速する分(\(\alpha\))と、AがPに対してさらに上に加速する分(\(\beta\))の合計です。Cの天井に対する実際の加速度は \(\alpha\)（下向き）です。これらの実際の加速度と時間 \(t\) を使って、それぞれの初めの天井からの位置からの移動距離を求め、最終的な天井からの距離を計算します。

AとBの高さの差が \(l\) になるとき、
Aの天井からの距離は \(h_A = h – \displaystyle\frac{5}{8}l\) です。
Cの天井からの距離は \(d_C = d + \displaystyle\frac{1}{8}l\) です。
これらの結果は、Aが上昇し（したがって天井からの距離が減少）、Cが下降する（したがって天井からの距離が増加する）という物理的な状況と一致しています。それぞれの移動距離が、AとBの相対的な離れ具合を示す \(l\) という量で表されているのが特徴的です。

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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• ニュートンの運動方程式 (\(ma=F\)): 各物体にはたらく力を特定し、その合力と質量、加速度の関係を記述する、力学の最も基本的な法則。
• 力のつり合い: 物体が静止している、または等速直線運動している場合に、物体にはたらく力の合力がゼロになるという条件。滑車PやQ（質量ゼロ）にも適用された。
• 慣性力: 加速度運動する基準系（非慣性系、この問題では動滑車P）で物体の運動を記述する際に導入される見かけの力。向きは基準系の加速度と逆で、大きさは（物体の質量）×（基準系の加速度）。これを導入することで、非慣性系内でも静止系と同様に運動方程式や力のつり合いの式を立てやすくなる。
• 作用・反作用の法則: 物体Aが物体Bに力を及ぼすとき、物体Bも物体Aに同じ大きさで逆向きの力を及ぼす。張力や垂直抗力などで常に意識する必要がある。
• 運動の拘束条件: 糸で繋がれた物体同士の加速度の関係（例：AとBのPに対する相対加速度の大きさが等しい、PとCの絶対加速度の大きさが等しいなど）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
  • 複数の滑車と複数の物体が連動して運動する、アトウッドの器械の発展形。
  • 動く台の上で物体が相対運動をする問題（例：加速する電車内の振り子や荷物）。
  • 非慣性系での運動解析が有効な問題。
• 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
  1. 「系」と「観測者」の明確化: まず、どの物体群を一つの「系」として捉えるか。そして、どの観測者の立場（床に固定された慣性系か、動く物体上の非慣性系か）から運動を記述するかを意識的に選択する。
  2. 力の徹底的な図示: 関与する全ての物体について、それぞれにはたらく力をベクトルで正確に図示する。特に張力、重力、垂直抗力、そして非慣性系なら慣性力。
  3. 運動の拘束条件の洗い出し: 糸の長さが不変であること、滑車が滑らかであることなどから導かれる、各物体の加速度や速度の間の関係式を見つけ出す。
  4. 立式の基本に忠実に: 各物体について、選択した基準系で運動方程式（または力のつり合いの式）を丁寧に立てる。未知数の数と独立した方程式の数が一致するか確認する。
• 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
  • 滑車の質量が無視できる場合、滑車にはたらく力の合力は（滑車自身の加速度が0でなくても）0として扱える（\(0 \cdot a = \sum F\)）。
  • 「Aに対して動かない」は相対速度・相対加速度が0。「静止し続けた」は絶対速度・絶対加速度が0。これらの条件を正確に数式に反映させる。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 慣性力の導入ミス:
  • 現象: 慣性力を導入し忘れる、向きを間違える（座標系の加速度と同じ向きにしてしまう）、大きさを間違える。
  • 対策: 非慣性系で考える場合は必ず慣性力を図示し、「座標系の加速度と逆向きに \(ma\)」と常に確認する。
• 張力の方向と作用点の誤認:
  • 現象: 一本の糸の張力は一定だが、滑車を介すると力の向きが変わる。物体が糸から受ける張力の向き、滑車が糸から受ける力の向きなどを混同しやすい。
  • 対策: 各物体ごとに力を図示し、糸は常に物体を「引く」方向に張力が働くことを明確にする。
• 相対加速度と絶対加速度の混同:
  • 現象: \(a_{\text{A}}=a_P+a_{\text{A/P}}\) のような加速度の合成・分解の関係を誤って適用する。特に符号の扱いに注意が必要。
  • 対策: どの物体に対する加速度なのかを常に添え字などで明確にし、ベクトル的な関係を意識する。

物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意

• (1),(2)でCが静止していれば、Pも静止し、その結果としてA,Bは単純なアトウッド運動をします。
• (3)でCが下降すれば、Pは上昇し、その結果としてP上のA,Bは上昇するPの上でアトウッド運動に加えて慣性力を受けます。
• 各物体にはたらく力をベクトルで図示し、特に加速度の向きと慣性力の向きの関係を明確にすることが重要。動滑車Pにかかる力の図示もポイント。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 運動方程式の選択と適用根拠:
  • 選定理由: 力が作用し物体が加速する場合の基本。慣性系か非慣性系かで力の種類が変わる。
  • 適用根拠: ニュートンの第二法則。
• 力のつり合いの選択と適用根拠:
  • 選定理由: 加速度が0（静止または等速直線運動）の場合に適用。
  • 適用根拠: ニュートンの第一法則（または第二法則で加速度がゼロの場合）。
• 慣性力の導入根拠:
  • 選定理由: 加速度運動する基準系から運動を見るときに「追加」する見かけの力。これにより非慣性系でも運動方程式や力のつり合いの議論がしやすくなる。
  • 適用根拠: ニュートンの法則が慣性系で成り立つことを基にした、非慣性系への拡張。
• 公式選択の思考訓練:
  • 各公式が成り立つための条件（例：慣性系、質量が無視できる滑車など）を常に意識し、問題設定がそれを満たしているか確認する。

思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー

1. 問題の状況（どの物体がどう動くか、あるいは静止するか）を把握。
2. 観測者の立場（基準系）を設定。
3. 各物体にはたらく力を図示（慣性力も含む）。
4. 運動の拘束条件（糸で繋がっているなど）から加速度間の関係を導出。
5. 各物体について運動方程式または力のつり合いの式を立式。
6. 未知数と式の数を確認し、連立方程式を解く。
7. 求めた物理量が何を意味するのか、単位や符号は妥当か吟味する。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
  • 連立方程式を解く際の代数計算。特に未知数が多い(3)では、どの式からどの変数を消去していくか計画的に進める必要がある。
  • 符号の取り扱い。加速度や力の向きを正しく反映させる。
  • \(m\) と \(M\) や、\(T_1\) と \(T_2\) などの文字の混同。
• 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
  • 複雑な連立方程式でも、一つ一つ丁寧に代入や整理を行う。
  • 計算の途中経過を分かりやすく記録する。
  • 同じ問題を別の方法（例：エネルギー保存など、もし使えれば）で解いてみて検算する。

解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう

• 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
  • 例えば、(1)で \(a=g/2\)。もしAとBの質量が等しければ \(a=0\) でつり合うはず。\(3m > m\) なので \(a>0\) は妥当。
  • (2)で \(M_C=3m\)。もしA,Bの質量がそれぞれ \(m,m\) であったなら、つり合うためには \(T_1=mg\) となり \(M_C=2m\) となるはず。今回の設定ではA,Bが内部で運動しているため、単純な質量の和とは異なる結果になる。
  • (3)で求めた加速度 \(\alpha = g/7\) などが、\(g\) より小さい妥当な値になっているか。張力が正の値になっているかなどを確認する。
  • 極端な場合（例えば \(m \rightarrow 0\) や \(M \rightarrow \infty\) など、問題設定が許す範囲で）を考えて、結果が直感と合うか、あるいは既知の簡単な状況に帰着するかを確認する。
• 吟味の習慣: この習慣は、計算ミスを発見するだけでなく、物理法則への理解を深め、応用力を高める上で非常に有益。

この問題は、複数の要素が絡み合う複雑な系を、基本法則に立ち返って丁寧に分析する良い訓練になるね。特に慣性力の考え方と、連立方程式を正確に解く計算力は、多くの応用問題で役立つスキルだよ！

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