問題22 慣性力 (法政大＋筑波大＋大阪大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(3)の別解: 系全体の運動方程式（運動量保存則の微分形）を用いた解法
- 模範解答が個別の運動方程式を連立して解くのに対し、別解では水平方向の運動方程式の和（運動量保存則の微分形）に着目し、内力である垂直抗力の水平成分を相殺して加速度の関係を導きます。
- 設問(7)・Qの別解: 微積分を用いた体系的解法（位置ベクトルの微分と拘束条件）
- 模範解答が図形的な考察から加速度の関係式（拘束条件）を導くのに対し、別解では位置ベクトルを定義して時間で2回微分することで、幾何学的条件を数式的に処理する汎用的な手法を提示します。また、これを用いて設問Qの時間 \(t\) も一括して導出します。
- 設問(3)の別解: 系全体の運動方程式（運動量保存則の微分形）を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 系全体の解法: 複数の物体が連動して動く問題において、内力を無視して系全体の重心運動に着目することで、計算量を削減し、物理現象の全体像を把握する力を養います。
- 微積分の解法: 複雑な相対運動の作図を必要とせず、座標設定と微分の計算だけで機械的に正しい関係式（拘束条件）を導けるため、図形的センスに頼らない確実な解法となります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「三角台上の物体の運動（慣性力と相対運動）」です。
摩擦のない床の上で、三角台（質量 \(M\)）とその上の小物体（質量 \(m\)）が互いに力を及ぼし合いながら運動する様子を解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 慣性力: 加速している観測者（非慣性系）から見ると、物体には観測者の加速度と逆向きに大きさ \(ma\) の見かけの力が働きます。
- 作用・反作用の法則: 物体Pが物体Qを押す力と、物体Qが物体Pを押す力は、大きさ等しく逆向きです。
- 運動の拘束条件: 物体Pは物体Qの斜面上を滑り降りるため、PとQの加速度には幾何学的な関係（拘束条件）が成り立ちます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 方法I（慣性力）: Qと共に動く観測者の立場に立ち、慣性力を導入してPの力のつりあいを考えます。
- 方法II（静止系）: 床に静止した観測者の立場に立ち、PとQそれぞれの運動方程式を立て、幾何学的な拘束条件と連立させて解きます。
問(1)
思考の道筋とポイント
三角柱Qの運動を考えます。Qは水平な床の上を左向きに加速しています。
Qに働く力をすべて洗い出し、水平方向の運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 斜面の向きと力の向き: 図より、斜面は「右下がり」です。したがって、PがQ（斜面）を押す力（垂直抗力の反作用）は、斜面に垂直で左下向きとなります。
- 力の分解: この垂直抗力 \(N\) を水平成分と鉛直成分に分解します。\(N\) は左下向きなので、その水平成分は左向きです。
具体的な解説と立式
Qの加速度の大きさを \(A\) とし、左向きを正とします。
Qに働く力は以下の通りです。
- 重力: \(Mg\)（鉛直下向き）
- 床からの垂直抗力: \(R\)（鉛直上向き）
- Pからの垂直抗力: \(N\)（斜面に垂直で左下向き）
垂直抗力 \(N\) の水平成分（左向き）は \(N \sin\theta\) です。
水平方向（左向き正）の運動方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
MA &= (\text{左向きの力}) – (\text{右向きの力}) \\[2.0ex]
MA &= N \sin\theta
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
立式そのものが解答の形になっています。
$$
\begin{aligned}
MA &= N \sin\theta
\end{aligned}
$$
三角台Qの上に乗っている小物体Pは、斜面を「左下」に向かって押しています。この力の「左向き成分」が、Qを左へ加速させる原因となっています。
\(N \sin\theta\) という力が質量 \(M\) の物体を加速させているという式であり、次元も \([\text{M}][\text{L}/\text{T}^2] = [\text{Force}]\) で整合しています。
問(2)
思考の道筋とポイント
Qと共に左へ加速度 \(A\) で動く観測者から見た、小物体Pの運動を考えます。
この観測者にとって、Pは斜面に沿って滑り降りるだけであり、斜面に垂直な方向には静止（つりあい）しています。
この設問における重要なポイント
- 慣性力: 観測者は左向きに加速度 \(A\) で動いているため、Pには右向きに大きさ \(mA\) の慣性力が働いているように見えます。
- 力の向き: 斜面は右下がりなので、Pが受ける垂直抗力 \(N\) は右上向きです。
- 慣性力の成分: 右向きの慣性力 \(mA\) は、右下がりの斜面に対して「浮き上がる方向（斜面上向き）」の成分を持ちます。
具体的な解説と立式
斜面に垂直な方向について、斜面上向きを正として力のつりあいを考えます。
Pに働く力は以下の通りです。
- 重力: \(mg\)（鉛直下向き）
- 斜面に垂直な成分: \(-mg \cos\theta\)（斜面下向き）
- 垂直抗力: \(N\)（斜面に垂直で右上向き）
- 慣性力: \(mA\)（水平右向き）
- 斜面に垂直な成分: \(mA \sin\theta\)（斜面上向き）
力のつりあいの式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{斜面上向きの力の和}) &= (\text{斜面下向きの力の和}) \\[2.0ex]
N + mA \sin\theta &= mg \cos\theta
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい: \(\sum \vec{F} = 0\)
- 慣性力: \(f = -ma\)
立式そのものが解答の形になっています。
$$
\begin{aligned}
N + mA \sin\theta &= mg \cos\theta
\end{aligned}
$$
（または \(N = mg \cos\theta – mA \sin\theta\)）
左へ加速する台の上では、物体Pは右向きの慣性力を受けます。この力は斜面からPを引き剥がそうとする方向（上向き）に働くため、Pが斜面を押す力（垂直抗力）は、台が止まっているときよりも弱くなります。
\(A=0\) のとき \(N = mg \cos\theta\) となり、静止時の結果と一致します。\(A\) が大きくなると \(N\) が小さくなることも、慣性力によってPが浮き上がる方向に力を受けることから直感的に理解できます。
問(3)
思考の道筋とポイント
(1)の運動方程式と(2)のつりあいの式を連立させて、未知数である加速度 \(A\) を消去し、垂直抗力 \(N\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 連立方程式の処理: \(A\) を消去する方針で式変形を行います。
具体的な解説と立式
以下の2式を連立します。
$$
\begin{aligned}
MA &= N \sin\theta \quad \cdots ① \\[2.0ex]
N + mA \sin\theta &= mg \cos\theta \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 連立方程式の解法（代入法）
式①より、\(A\) を \(N\) で表します。
$$
\begin{aligned}
A &= \frac{N \sin\theta}{M}
\end{aligned}
$$
これを式②に代入します。
$$
\begin{aligned}
N + m \left( \frac{N \sin\theta}{M} \right) \sin\theta &= mg \cos\theta \\[2.0ex]
N + \frac{m \sin^2\theta}{M} N &= mg \cos\theta \\[2.0ex]
N \left( 1 + \frac{m \sin^2\theta}{M} \right) &= mg \cos\theta \\[2.0ex]
N \left( \frac{M + m \sin^2\theta}{M} \right) &= mg \cos\theta
\end{aligned}
$$
よって、\(N\) について解くと
$$
\begin{aligned}
N &= \frac{M mg \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}
\end{aligned}
$$
2つの式から加速度 \(A\) を消去して、垂直抗力 \(N\) だけの式にしました。分母に \(M + m \sin^2\theta\) という項が現れるのは、Pが斜面を押すことでQも動いてしまい、その分だけ「手応え（垂直抗力）」が弱まる効果を表しています。
\(M \to \infty\)（台が非常に重い）とすると、分母分子を \(M\) で割って \(N \to mg \cos\theta\) となり、固定斜面の結果に一致します。これは物理的に妥当です。
思考の道筋とポイント
PとQを一つの「系」として見ると、水平方向には外力が働いていません（床の摩擦なし）。
したがって、水平方向の運動量保存則、あるいは「水平方向の運動方程式の和」を考えることで、内力である \(N\) の水平成分を相殺できます。
この設問における重要なポイント
- 内力の相殺: 系全体で方程式を立てると、作用・反作用の関係にある内力（ここでは \(N\) の水平成分）は互いに打ち消し合います。
- 運動量保存則: 外力が働かない方向では、運動量の総和は保存されます（時間変化率が0）。
具体的な解説と立式
Pの水平加速度を \(a_x\)（右向き正）、Qの加速度を \(-A\)（左向きなので負）とします。
それぞれの水平方向の運動方程式は以下の通りです。
$$
\begin{aligned}
Q: \quad M(-A) &= -N \sin\theta \quad (\text{左向きの力は負}) \\[2.0ex]
P: \quad m a_x &= N \sin\theta \quad (\text{右向きの力は正})
\end{aligned}
$$
これらを辺々加えると、内力 \(N \sin\theta\) が消えます。
$$
\begin{aligned}
m a_x – MA &= 0
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 運動量保存則（微分形）: \(\frac{d}{dt}(P_{\text{全}}) = F_{\text{外}}\)
上記の式を変形します。
$$
\begin{aligned}
MA &= m a_x
\end{aligned}
$$
これは「全運動量が保存する（変化率が0）」ことを意味します。
この関係式と、後述の拘束条件、およびPの鉛直運動方程式を組み合わせることで、\(N\) を経由せずに加速度を求めることも可能です。
今回は \(N\) を求める問題なのでメイン解法にはなりませんが、検算として非常に有効です。
PとQをまとめて一つのグループとみなすと、外から水平方向に押す力はありません。
そのため、グループ全体の「重心の動き」は変化しません。つまり、Qが左へ動く勢いと、Pが右へ動く勢いは、常にバランスが取れていることになります。
\(MA = m a_x\) という式は、質量と加速度の積（力の次元）が等しいことを示しており、作用・反作用の法則と整合しています。
問(4)
思考の道筋とポイント
Q（三角台）の鉛直方向の力のつりあいを考えます。
Qは水平にしか動かないため、鉛直方向の力はつりあっています。
この設問における重要なポイント
- 力のつりあい: 鉛直方向の加速度は \(0\) です。
具体的な解説と立式
Qに働く鉛直方向の力は以下の通りです。
- 上向き: 床からの垂直抗力 \(R\)
- 下向き: 重力 \(Mg\)、Pからの垂直抗力の鉛直成分 \(N \cos\theta\)（\(N\) は左下向きなので、鉛直成分は下向き）
力のつりあいの式を立てます。
$$
\begin{aligned}
(\text{上向きの力の和}) &= (\text{下向きの力の和}) \\[2.0ex]
R &= Mg + N \cos\theta
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 力のつりあい: \(\sum \vec{F} = 0\)
(3)で求めた \(N\) を代入して整理します。
$$
\begin{aligned}
R &= Mg + \left( \frac{M mg \cos\theta}{M + m \sin^2\theta} \right) \cos\theta \\[2.0ex]
&= Mg + \frac{M mg \cos^2\theta}{M + m \sin^2\theta} \\[2.0ex]
&= \frac{Mg(M + m \sin^2\theta) + M mg \cos^2\theta}{M + m \sin^2\theta} \\[2.0ex]
&= \frac{M^2g + Mmg \sin^2\theta + Mmg \cos^2\theta}{M + m \sin^2\theta}
\end{aligned}
$$
分子の第2項と第3項を \(Mmg\) でくくります。
$$
\begin{aligned}
(\text{分子}) &= M^2g + Mmg (\sin^2\theta + \cos^2\theta) \\[2.0ex]
&= M^2g + Mmg \cdot 1 \\[2.0ex]
&= Mg(M + m)
\end{aligned}
$$
よって
$$
\begin{aligned}
R &= \frac{Mg(M + m)}{M + m \sin^2\theta}
\end{aligned}
$$
床が支える力 \(R\) は、台の重さ \(Mg\) と、小物体Pが台を押し下げる力（\(N\) の縦成分）の合計です。
計算の結果、単純な足し算ではなく、台と小物体が相互作用しながら動く効果が含まれた形になります。
\(R\) は \(Mg + mg\) （単純な重さの和）よりも小さくなります（分母の \(m \sin^2\theta\) の影響）。これは、Pが斜面を滑り落ちることで、鉛直方向には「自由落下」に近い成分を持つため、床を押し付ける力が弱まる（重さが完全には床に伝わらない）と解釈できます。
問(5)
思考の道筋とポイント
ここからは「方法II（静止系）」での考察です。
床に静止した座標系（右向き \(x\) 軸、上向き \(y\) 軸）で、Pの水平方向の運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 座標軸の向き: 問題文の図に従い、右向きを正とします。
- 力の向き: Pが受ける垂直抗力 \(N\) は「右上向き」です。したがって、その水平成分 \(N \sin\theta\) は「右向き（正の向き）」です。
具体的な解説と立式
Pの水平加速度成分を \(a_x\) とします。
水平方向（右向き正）に働く力は、垂直抗力の水平成分 \(N \sin\theta\) のみです。
運動方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
m a_x &= (\text{右向きの力}) – (\text{左向きの力}) \\[2.0ex]
m a_x &= N \sin\theta
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
立式そのものが解答です。
$$
\begin{aligned}
m a_x &= N \sin\theta
\end{aligned}
$$
Pは斜面から右上向きに押されています。その力の「横成分」によって、Pは右向きに加速されます。台Qが左へ逃げるため、Pはその場に留まろうとしますが、斜面から押されることで結果的に右へ動くことになります。
\(N > 0, \sin\theta > 0\) なので \(a_x > 0\) となり、Pが右へ加速することを示しています。
問(6)
思考の道筋とポイント
同様に、静止系（上向き正）でのPの鉛直方向の運動方程式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 力の向き: 重力は下向き、垂直抗力の鉛直成分は上向きです。
具体的な解説と立式
Pの鉛直加速度成分を \(a_y\) とします。
鉛直方向（上向き正）に働く力は以下の通りです。
- 垂直抗力の鉛直成分: \(N \cos\theta\)（上向き）
- 重力: \(mg\)（下向き）
運動方程式を立てます。
$$
\begin{aligned}
m a_y &= (\text{上向きの力}) – (\text{下向きの力}) \\[2.0ex]
m a_y &= N \cos\theta – mg
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
立式そのものが解答です。
$$
\begin{aligned}
m a_y &= N \cos\theta – mg
\end{aligned}
$$
Pは重力で下に引かれていますが、斜面からの垂直抗力で上に支えられています。この2つの力の差によって、縦方向の加速度が決まります。
\(N \cos\theta < mg\) となるため \(a_y < 0\)（落下）となります。
問(7)
思考の道筋とポイント
PはQの斜面から離れず、めり込みもせず、斜面に沿って滑り降ります。
この幾何学的な条件（拘束条件）を、加速度 \(A, a_x, a_y\) の関係式として表します。
この設問における重要なポイント
- 相対運動: Q（左へ動く）から見たPの運動（相対運動）は、斜面に平行な直線運動になります。
- ベクトルの合成: \((\text{Pの対地速度}) = (\text{Qの対地速度}) + (\text{Pの相対速度})\) の関係は加速度でも成り立ちます。
具体的な解説と立式
Qの加速度ベクトルは左向きに大きさ \(A\) なので、成分表示すると \((-A, 0)\) です。
Pの加速度ベクトルは \((a_x, a_y)\) です。
Qから見たPの相対加速度 \((\alpha_x, \alpha_y)\) は、
$$
\begin{aligned}
\alpha_x &= a_x – (-A) \\[2.0ex]
&= a_x + A \\[2.0ex]
\alpha_y &= a_y – 0 \\[2.0ex]
&= a_y
\end{aligned}
$$
この相対加速度ベクトルが、斜面に沿って「右下向き（傾き \(-\tan\theta\)）」である必要があります。
したがって、
$$
\begin{aligned}
\frac{\alpha_y}{\alpha_x} &= -\tan\theta \\[2.0ex]
\frac{a_y}{a_x + A} &= -\tan\theta
\end{aligned}
$$
分母を払って整理します。
$$
\begin{aligned}
a_y &= -(a_x + A) \tan\theta
\end{aligned}
$$
あるいは
$$
\begin{aligned}
(A + a_x) \tan\theta &= -a_y
\end{aligned}
$$
使用した物理公式
- 相対加速度: \(\vec{a}_{\text{相対}} = \vec{a}_{\text{物体}} – \vec{a}_{\text{観測者}}\)
- 直線の傾き: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
上記の立式過程がそのまま計算過程となります。
動いている台Qに乗っている人から見ると、小物体Pはまっすぐ斜面を滑り落ちていきます。
「Pの横方向の相対的な動き」と「縦方向の動き」の比率が、ちょうど斜面の傾きと同じになるはずだ、という条件を式にしました。
\(a_x > 0\)（右向き）、\(a_y < 0\)（下向き）です。
左辺 \((A+a_x)\tan\theta\) は正、右辺 \(-a_y\) も正となり、符号が整合しています。
思考の道筋とポイント
図形的な考察が難しい場合でも、位置座標を設定して時間で2回微分すれば、機械的に加速度の関係式（拘束条件）を導くことができます。
この設問における重要なポイント
- 位置ベクトルの定義: Qの位置と、斜面に沿ったPの変位を用いて、Pの座標を記述します。
- 微分の実行: 位置を時間で2回微分することで、加速度の関係式を導出します。
具体的な解説と立式
時刻 \(t\) におけるQの頂点（斜面上端）の位置を \(X(t)\) とします。Qは左へ加速するので、\(X(t) = -\frac{1}{2}At^2\)（初期位置0）と表せます。
Pが斜面上の頂点から滑り降りた距離を \(s(t)\) とします。
Pの位置座標 \((x_P, y_P)\) は、Qの位置と斜面の形状（右下がり）から次のように表せます（\(x\) は右向き正、\(y\) は上向き正）。
$$
\begin{aligned}
x_P(t) &= X(t) + s(t) \cos\theta \quad (\text{Qの基準位置} + \text{水平変位}) \\[2.0ex]
y_P(t) &= H – s(t) \sin\theta \quad (\text{初期高さ} – \text{鉛直変位})
\end{aligned}
$$
これを時間 \(t\) で2回微分して加速度を求めます。
\(Q\) の加速度は \(\ddot{X} = -A\)、Pの斜面方向の相対加速度を \(\ddot{s} = \alpha\) とします。
$$
\begin{aligned}
a_x &= \ddot{x}_P \\[2.0ex]
&= -A + \alpha \cos\theta \quad \cdots ③ \\[2.0ex]
a_y &= \ddot{y}_P \\[2.0ex]
&= -\alpha \sin\theta \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
この2式から、未知の変数 \(\alpha\) を消去すれば、\(A, a_x, a_y\) の関係式が得られます。
使用した物理公式
- 速度の定義: \(v = \frac{dx}{dt}\)
- 加速度の定義: \(a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}\)
式④より、\(\alpha\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
\alpha &= -\frac{a_y}{\sin\theta}
\end{aligned}
$$
これを式③に代入します。
$$
\begin{aligned}
a_x &= -A + \left( -\frac{a_y}{\sin\theta} \right) \cos\theta \\[2.0ex]
a_x &= -A – \frac{a_y}{\tan\theta}
\end{aligned}
$$
移項して整理します。
$$
\begin{aligned}
a_x + A &= -\frac{a_y}{\tan\theta} \\[2.0ex]
(a_x + A) \tan\theta &= -a_y
\end{aligned}
$$
これにより、設問(7)と同じ結果が得られました。
さらに、この手法を用いて**設問Q（時間 \(t\)）**も一括して解くことができます。
相対加速度 \(\alpha\) を求めます。
運動方程式（斜面方向成分）を考えます。
慣性系での運動方程式 \(m a_x = N \sin\theta\), \(m a_y = N \cos\theta – mg\) を用います。
運動方程式の斜面方向成分（\(x\) 成分に \(\cos\theta\)、\(y\) 成分に \(-\sin\theta\) を掛けて足す）を作ると \(N\) が消えます。
$$
\begin{aligned}
m(a_x \cos\theta – a_y \sin\theta) &= m(N \sin\theta \cos\theta – (N \cos\theta – mg) \sin\theta) \\[2.0ex]
m(a_x \cos\theta – a_y \sin\theta) &= m g \sin\theta
\end{aligned}
$$
ここに先ほどの \(a_x = -A + \alpha \cos\theta\), \(a_y = -\alpha \sin\theta\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
m((-A + \alpha \cos\theta) \cos\theta – (-\alpha \sin\theta) \sin\theta) &= mg \sin\theta \\[2.0ex]
m(-A \cos\theta + \alpha (\cos^2\theta + \sin^2\theta)) &= mg \sin\theta \\[2.0ex]
m(\alpha – A \cos\theta) &= mg \sin\theta \\[2.0ex]
\alpha &= g \sin\theta + A \cos\theta
\end{aligned}
$$
これは「方法I」で慣性力を考慮して求めた相対加速度と完全に一致します。
これを用いれば、距離 \(L = h/\sin\theta\) を滑る時間 \(t\) は \(L = \frac{1}{2} \alpha t^2\) より直ちに求まります。
図を描いて角度を考える代わりに、数式（座標）で位置を表し、それを時間で2回微分するという機械的な手順で加速度の関係式を導きました。
この方法は、図が複雑で直感的に分かりにくい場合でも、計算だけで確実に正解にたどり着ける強力なツールです。
導出された式 \((a_x + A) \tan\theta = -a_y\) は、幾何学的な考察から得られた結果と完全に一致します。また、相対加速度 \(\alpha\) の式も慣性力を用いた結果と一致し、物理的な整合性が確認できました。
設問Q
思考の道筋とポイント
Pが床に達するまでの時間 \(t\) を求めます。
Pの鉛直方向の運動（等加速度直線運動）に着目します。
鉛直加速度 \(a_y\) が分かれば、変位 \(-h\) になる時間を計算できます。
この設問における重要なポイント
- 相対加速度の利用: 斜面に沿った相対加速度 \(\alpha\) を用いるのが最も効率的です。
具体的な解説と立式
まず、相対加速度 \(\alpha\)（斜面に沿って下向き）を求めます。
方法I（慣性力）の考え方を使うのが最も早いです。
斜面方向の運動方程式（斜面下向き正）:
$$
\begin{aligned}
m \alpha &= mg \sin\theta + mA \cos\theta \quad (\text{重力成分} + \text{慣性力成分}) \\[2.0ex]
\alpha &= g \sin\theta + A \cos\theta
\end{aligned}
$$
これに (3) で求めた \(N\) を用いて \(A = \frac{N \sin\theta}{M}\) を代入してもよいですが、ここでは \(A\) の値を直接代入します。
(1)と(3)より
$$
\begin{aligned}
A &= \frac{\sin\theta}{M} \cdot \frac{M mg \cos\theta}{M + m \sin^2\theta} \\[2.0ex]
&= \frac{mg \sin\theta \cos\theta}{M + m \sin^2\theta}
\end{aligned}
$$
これを \(\alpha\) の式に代入して整理します。
その後、斜面に沿った距離 \(L = \frac{h}{\sin\theta}\) を滑り降りる式 \(L = \frac{1}{2} \alpha t^2\) から \(t\) を求めます。
使用した物理公式
- 等加速度直線運動の公式: \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\)
まず \(\alpha\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
\alpha &= g \sin\theta + \left( \frac{mg \sin\theta \cos\theta}{M + m \sin^2\theta} \right) \cos\theta \\[2.0ex]
&= g \sin\theta \left( 1 + \frac{m \cos^2\theta}{M + m \sin^2\theta} \right) \\[2.0ex]
&= g \sin\theta \left( \frac{M + m \sin^2\theta + m \cos^2\theta}{M + m \sin^2\theta} \right) \\[2.0ex]
&= g \sin\theta \frac{M + m}{M + m \sin^2\theta}
\end{aligned}
$$
次に、等加速度運動の公式より
$$
\begin{aligned}
\frac{h}{\sin\theta} &= \frac{1}{2} \alpha t^2 \\[2.0ex]
t^2 &= \frac{2h}{\alpha \sin\theta}
\end{aligned}
$$
これに \(\alpha\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
t^2 &= \frac{2h}{\sin\theta} \cdot \frac{1}{g \sin\theta \frac{M + m}{M + m \sin^2\theta}} \\[2.0ex]
&= \frac{2h (M + m \sin^2\theta)}{g \sin^2\theta (M + m)}
\end{aligned}
$$
平方根をとって \(t\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
t &= \frac{1}{\sin\theta} \sqrt{\frac{2h(M + m \sin^2\theta)}{g(M + m)}}
\end{aligned}
$$
Pは、重力だけでなく、台が逃げることによる慣性力にも押されて、斜面を加速しながら滑り降ります。
その加速度を計算し、「距離 \(=\) 1/2 \(\times\) 加速度 \(\times\) 時間の2乗」の公式に当てはめて時間を求めました。
\(M \to \infty\) のとき、\(t \to \frac{1}{\sin\theta} \sqrt{\frac{2h}{g}}\) となります。これは固定斜面を滑り降りる時間（加速度 \(g \sin\theta\)、距離 \(h/\sin\theta\)）と一致し、妥当です。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 慣性力の導入と観測者の視点
- 核心: 加速している物体（三角台Q）の上に乗って観測することで、複雑な運動を「静止した斜面上の運動」として単純化できます。この際、観測者の加速度と逆向きに働く「慣性力」を正しく導入することが不可欠です。
- 理解のポイント:
- 慣性力の向き: 観測者が左へ加速しているなら、慣性力は右へ働きます。
- 力のつりあい: 観測者から見れば、斜面に垂直な方向には物体は動かないため、力のつりあいが成立します。
- 運動の拘束条件と相対運動
- 核心: 物体Pは斜面から離れずに滑り降りるため、Pの加速度とQの加速度は独立ではなく、幾何学的な関係（拘束条件）で結ばれています。
- 理解のポイント:
- 相対加速度: 静止系で見ると複雑なPの動きも、Qから見た相対運動としては「斜面に沿った直線運動」になります。
- ベクトルの合成: \((\text{Pの対地加速度}) = (\text{Qの加速度}) + (\text{Pの相対加速度})\) というベクトル和の関係を理解することが重要です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 動く台上の物体の運動: 今回のような三角台だけでなく、動く台車上の振り子や、エレベーター内の物体など、観測者が加速するあらゆる問題で「慣性力」のアプローチが有効です。
- 拘束条件を伴う連成運動: 滑車でつながれた2物体や、壁に立てかけられた棒が滑り落ちる問題など、物体の動きが幾何学的に制限されている場合、「座標を設定して微分する」手法（別解2）が威力を発揮します。
- 初見の問題での着眼点:
- 観測者の設定: 「床から見る（静止系）」か「共に動く（非慣性系）」か、どちらが計算しやすいかを判断します。一般に、物体が特定の面上に拘束されている場合は、その面と共に動く観測者から見る方が式が単純になります。
- 力の向きの正確な把握: 特に垂直抗力や摩擦力の向きは、図を描いて慎重に決定します。「作用・反作用」を忘れずに、相手の物体に働く力もチェックしましょう。
- 未知数の数と式の数: 未知数が \(N, A, a_x, a_y\) など複数ある場合、運動方程式だけでは足りません。必ず「拘束条件」という幾何学的な式が必要になることに気付きましょう。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 慣性力の向きの逆転:
- 誤解: 「物体が動く向き」に慣性力が働くと勘違いしてしまう。
- 対策: 慣性力は「観測者の加速度」と逆向きです。物体がどう動こうと関係ありません。「電車が急ブレーキ（後ろ向き加速度）をかけると、体は前につんのめる（前向き慣性力）」という体感を思い出しましょう。
- 垂直抗力の反作用の忘れ:
- 誤解: 台Qの運動方程式を立てる際、Pから受ける力（\(N\)）を入れ忘れたり、向きを間違えたりする。
- 対策: 物体ごとに「受ける力」をすべて書き出すフリーボディダイアグラム（自由体図）を必ず描きましょう。接触点には必ず作用・反作用のペアが存在します。
- 座標軸と符号の混乱:
- 誤解: \(x\) 軸を右向きにとったのに、左向きの力をプラスで書いてしまう。
- 対策: 最初に座標軸を明確に定義し、矢印を描き込みます。すべての力や加速度について、その矢印と同じ向きならプラス、逆ならマイナスと、機械的に符号を決定する習慣をつけましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 問(2)での公式選択（慣性力 vs 静止系）:
- 選定理由: 静止系で考えると、Pは斜め下に加速しながら動くため、斜面に垂直な方向にも加速度成分を持ち、式が複雑になります。一方、慣性系（Qと共に動く視点）では、Pは斜面に垂直な方向には「静止」しているとみなせるため、単純な「力のつりあい」で処理できます。
- 適用根拠: 観測者が加速度運動している場合、運動方程式 \(ma=F\) は成り立ちませんが、慣性力 \(-ma_{\text{観測者}}\) を外力として追加すれば、ニュートンの運動法則をそのまま適用できるためです。
- 問(7)別解での公式選択（微積分）:
- 選定理由: 図形的にベクトルの足し算を行う方法は直感的ですが、作図ミスや角度の取り違えが起きやすいです。位置座標を時間で微分する方法は、計算量は増えますが、幾何学的なミスを排除できる「堅実な」手法です。
- 適用根拠: 速度は位置の時間微分、加速度は速度の時間微分という定義に基づいているため、物理的に最も根源的で誤りのないアプローチです。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 次元確認（ディメンションチェック）:
- 答えが出たら、単位（次元）を確認しましょう。例えば \(N\) の式において、分母が \(M + m \sin^2\theta\)（質量）、分子が \(M mg \cos\theta\)（質量\(\times\)力）となっているため、全体として力の次元 \([\text{Force}]\) になっています。もし分母に \(g\) が入っていたら間違いです。
- 極限的なケースでの検算:
- もし \(M \to \infty\) （台が巨大で動かない）だったら？ \(A \to 0\) となり、\(N \to mg \cos\theta\) となるはずです。
- もし \(\theta = 0\) （水平）だったら？ \(N = mg\) となるはずです。
- もし \(\theta = 90^\circ\) （垂直）だったら？ 壁は押されないので \(N = 0\) となるはずです。
- これらの極限値を代入して、答えの式が正しい振る舞いをするか確認する癖をつけましょう。
- 三角関数の値の範囲:
- \(\sin^2\theta\) や \(\cos^2\theta\) は必ず正の値をとります。分母の \(M + m \sin^2\theta\) がゼロになることはあり得ないため、式が発散する心配はありません。
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問題23 慣性力 (横浜国大＋東工大)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
- 提示する別解
- 設問(1)の別解: 系全体の運動方程式を用いた解法
- 模範解答が個々の物体の運動方程式を連立して解くのに対し、別解では3物体（A, B, C）を一体とみなして系全体の運動方程式を立て、内力を無視して一気に外力 \(F\) を求めます。
- 設問(2)の別解: 微積分を用いた体系的解法（相対運動と拘束条件）
- 模範解答が慣性力を用いた相対運動の運動方程式から加速度を求めるのに対し、別解では静止系における位置座標を設定し、それを時間で2回微分することで、幾何学的な拘束条件（糸の長さ一定）と運動方程式を連立させる厳密な手法を提示します。
- 設問(1)の別解: 系全体の運動方程式を用いた解法
- 上記の別解が有益である理由
- 系全体の解法: 複数の物体が同じ加速度で動く場合、それらを一つの「巨大な物体」とみなすことで、内力（張力や垂直抗力）の計算を省略し、計算ミスを減らすことができます。
- 微積分の解法: 慣性力の向きや大きさを図形的に考える必要がなく、座標設定と微分の計算だけで機械的に正しい関係式を導けるため、複雑な相対運動の問題において強力な武器となります。
- 結果への影響
- いずれのアプローチを用いても、最終的に得られる答えは模範解答と完全に一致します。
この問題のテーマは「加速する台上の物体の運動（慣性力と連成運動）」です。
滑らかな水平面上にある直方体Aと、その上の物体B、側面の物体Cが、糸でつながれて運動する様子を解析します。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 慣性力: 加速している観測者（非慣性系）から見ると、物体には観測者の加速度と逆向きに大きさ \(ma\) の見かけの力が働きます。
- 運動方程式: 物体の運動は \(ma = F\) で記述されます。複数の物体が連動する場合、それぞれの物体について式を立て、連立させて解きます。
- 拘束条件: 物体BとCは糸でつながれているため、糸がたるまない限り、それぞれの加速度の大きさや移動距離には幾何学的な関係が成り立ちます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 問(1): BとCがAに対して動かない条件、つまり3物体が一体となって運動する条件を考えます。
- 問(2): Aが指定された加速度で動くとき、A上の観測者から見たBとCの相対運動を解析します。慣性力を導入することで、静止した台上での運動と同様に扱えます。
問(1)
ここから先が、他の受験生と差がつく重要パートです。
「解法に至る思考プロセス」を
全て言語化した、超詳細解説。
なぜその公式を使うのか？どうしてその着眼点を持てるのか？
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