問題19 (埼玉大)
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、滑車を介してつるされた二つの皿と、一方の皿に乗った蛙のジャンプに関する力学の問題です。蛙がジャンプする際の皿の運動や蛙自身の運動、そしてそれらに関わるエネルギーや最大到達距離を考察します。特に「1次元化」という考え方や、系全体の運動量保存、エネルギー保存が鍵となります。
- 皿A、Bの質量: それぞれ \(m\) [kg]
- 蛙の質量: \(M\) [kg]
- おもりの質量: \(M\) [kg] (蛙と同じ質量)
- 蛙が床では高さんまで鉛直に跳び上がれる運動エネルギーを出せる。具体的には、このエネルギーは \(Mgh\) に相当します。
- 皿、蛙、おもり以外の質量（滑車や糸など）は無視できる。
- 蛙の大きさは無視する。
- 重力加速度の大きさ: \(g\) [m/s²]
- (1) 蛙が皿Aから鉛直に跳び上がるときの床に対する初速度の大きさを \(V\) とし、そのとき皿Aが床に接近する初速度の大きさ \(v\) を \(M, m, V\) で表すこと。
- (2) 蛙の床に対する初速度の大きさ \(V\) を \(M, m, h, g\) で表すこと。
- (3) 蛙が皿Aから離れる距離の最大値が \(h\) の何倍になるか。ただし、皿と床の衝突はないものとする。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題を解く上での基本方針は、蛙、皿A、皿B、おもりを一つの「系」として捉え、運動量保存則とエネルギー保存則を適用することです。特に、問題のヒントにもある「1次元化」というアプローチは、滑車を介した上下運動を等価な一直線上の運動として扱うことで、運動量保存則の適用を容易にします。蛙のジャンプは系内部の力によるものであり、適切に系を設定すれば保存則が有効に活用できます。
問 (1)
思考の道筋とポイント
蛙が皿Aから跳び上がる瞬間を考えます。このとき、蛙は上向きに速度 \(V\) を持ち、反作用で皿Aは下向きに速度 \(v\) を持ちます。皿Aと滑車で繋がっている皿B（およびおもり）は、皿Aと連動して上向きに速度 \(v\) を持ちます。系全体（蛙、皿A、皿B、おもり）には、蛙のジャンプという内力を除けば、鉛直方向の運動を変化させるような正味の外力は働かないと考え（あるいは1次元化モデルで運動量が保存されると考え）、運動量保存則を適用します。
この設問における重要なポイント
- 系全体（蛙、皿A、皿B、おもり）の運動量を考えます。
- 初期状態（跳び上がる直前まで）の全運動量は0です。
- 跳び上がった直後の各物体の速度を設定し、運動量保存則を適用します。
- 「1次元化」モデル（Uターン形座標軸）における運動量の向きの扱いに注意が必要です。蛙の上向きの運動を一方の向きの運動量とすると、皿Aの下向きの運動と皿B（＋おもり）の上向きの運動は、合わせて反対向きの運動量として扱われます。
具体的な解説と立式
蛙が跳び上がる直前、系全体は静止しているので、全運動量は \(0\) です。
蛙が跳び上がった直後の床に対する速度を考えます。
- 蛙（質量 \(M\)）は鉛直上向きに速さ \(V\)。
- 皿A（質量 \(m\)）は鉛直下向きに速さ \(v\)。
- 皿B（質量 \(m\)）とおもり（質量 \(M\)）は一体となって鉛直上向きに速さ \(v\)。
モデル解答で示唆されている「1次元化」と「Uターン形座標軸」の考え方を採用します。これは、滑車でつながれた全体の運動量を一つの軸上で考える方法です。例えば、蛙の上向きの運動による運動量を \(+MV\) とすると、皿Aの下向きの運動による運動量 \(m(-v)\) と、皿Bおよびおもりの上向きの運動による運動量 \((M+m)v\) を、この1次元化された軸上で適切に符号を付けて合計します。
モデル解答のLecutureにある運動量保存則の式 \(0 = MV – mv – (M+m)v\) は、蛙の運動量 \(MV\) と、皿Aの運動量 (\(mv\)) および皿B＋おもりの運動量 (\((M+m)v\)) が、1次元化された系で互いに反対向きであることを示しています。ここで、\(V\) は蛙の上昇速度、\(v\) は皿Aの下降速度（および皿Bの上昇速度）の大きさとします。
したがって、運動量保存則は次のように表されます。
$$0 = MV – mv – (M+m)v \quad \cdots ①$$
これは、蛙の上向きの運動量 \(MV\) が、皿A、皿B、おもりからなる部分の「実効的な下向き」の運動量 \((m + M+m)v = (M+2m)v\) と釣り合っていると解釈できます。
使用した物理公式
- 運動量保存則（1次元化モデル適用時）: \(\sum p_{\text{初}} = \sum p_{\text{後}}\)
式①を \(v\) について解きます。
まず、\(v\) を含む項を右辺にまとめます（あるいは左辺に移項します）。
$$mv + (M+m)v = MV$$
$$(m + M + m)v = MV$$
$$(M+2m)v = MV$$
したがって、\(v\) は、
$$v = \frac{M}{M+2m}V \quad \cdots ②$$
蛙がジャンプする時、蛙、皿A、皿B、おもり全体を一つのグループ（系）と考えます。ジャンプの前後で、このグループ全体の「勢い」（運動量）は変わりません（最初は全体が止まっているので、全体の勢いはゼロです）。蛙が上に \(MV\) の勢いで動くと、皿A、皿B、おもりからなる部分は、蛙の動きを打ち消すように反対方向に \((M+2m)v\) の勢いで動くと考えられます（皿Aと皿B+おもりが同じ速さ \(v\) で動くため）。これらの勢いの合計がゼロになるという関係から、\(v\) と \(V\) の関係を求めます。
皿Aが床に接近する初速度の大きさ \(v\) は \(v = \displaystyle\frac{M}{M+2m}V\) です。
この結果から、蛙の質量 \(M\) が大きいほど、また皿の質量 \(m\) が小さいほど、皿の速度 \(v\) は蛙の速度 \(V\) に近づく傾向があることが分かります。逆に、皿の質量 \(m\) が非常に大きい場合、\(v\) は比較的小さくなります。これらの傾向は物理的な直感とも一致しています。
問 (2)
思考の道筋とポイント
蛙が床では高さんまで鉛直に跳び上がれるということは、蛙がジャンプする際に生み出すことのできる初期運動エネルギーが \(Mgh\) であることを意味します（位置エネルギーの増加分に等しい）。今回の状況でも、蛙はこの \(Mgh\) のエネルギーを使ってジャンプします。このエネルギーが、ジャンプ直後の蛙自身の運動エネルギー、皿Aの運動エネルギー、そして皿Bとおもりの運動エネルギーの合計に分配されると考え、エネルギー保存則（より正確にはエネルギーの変換関係）の式を立てます。
この設問における重要なポイント
- 蛙がジャンプによって生み出すことのできるエネルギーは \(Mgh\) です。
- このエネルギーが、ジャンプ直後の系全体の各部分の運動エネルギーの和に等しくなります。
- 各物体の運動エネルギーは、\(\frac{1}{2} \times (\text{質量}) \times (\text{速さ})^2\) で計算されます。
- 設問(1)で求めた \(v\) と \(V\) の関係式（式②）を利用します。
具体的な解説と立式
蛙がジャンプするために生み出すエネルギー \(E_{\text{蛙}}\) は \(Mgh\) です。
ジャンプ直後の各部分の運動エネルギーは以下の通りです。
- 蛙（質量 \(M\)）の運動エネルギー: \(K_{\text{蛙}} = \frac{1}{2}MV^2\)
- 皿A（質量 \(m\)）の運動エネルギー: \(K_{\text{皿A}} = \frac{1}{2}mv^2\)
- 皿B（質量 \(m\)）とおもり（質量 \(M\)）からなる部分の運動エネルギーの合計: \(K_{\text{皿B+おもり}} = \frac{1}{2}(m+M)v^2\)
蛙が生み出したエネルギーがこれらの運動エネルギーの総和に等しくなると考えると、エネルギーに関する関係式は、
$$Mgh = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(m+M)v^2 \quad \cdots ③$$
右辺の \(v^2\) の項をまとめると、
$$Mgh = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}(m + m+M)v^2$$
$$Mgh = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}(M+2m)v^2 \quad \cdots ④$$
使用した物理公式
- エネルギーの変換と保存: \( (\text{蛙が生み出すエネルギー}) = (\text{ジャンプ直後の系全体の運動エネルギーの総和}) \)
- 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2} \times (\text{質量}) \times (\text{速さ})^2\)
式④に、設問(1)で求めた \(v = \displaystyle\frac{M}{M+2m}V\) (式②) を代入して \(V\) を求めます。
まず、式②より \(v^2\) を計算します。
$$v^2 = \left(\frac{M}{M+2m}V\right)^2 = \frac{M^2}{(M+2m)^2}V^2$$
これを式④の第2項 \(\frac{1}{2}(M+2m)v^2\) に代入します。
$$\frac{1}{2}(M+2m)v^2 = \frac{1}{2}(M+2m)\frac{M^2}{(M+2m)^2}V^2 = \frac{1}{2}\frac{M^2}{M+2m}V^2$$
これを式④に戻します。
$$Mgh = \frac{1}{2}MV^2 + \frac{1}{2}\frac{M^2}{M+2m}V^2$$
両辺に共通して存在する \(M\) で割ります（\(M \neq 0\) であるため）。
$$gh = \frac{1}{2}V^2 + \frac{1}{2}\frac{M}{M+2m}V^2$$
右辺を \(\displaystyle\frac{1}{2}V^2\) でくくりだします。
$$gh = \frac{1}{2}V^2 \left(1 + \frac{M}{M+2m}\right)$$
括弧の中を通分して計算します。
$$1 + \frac{M}{M+2m} = \frac{M+2m+M}{M+2m} = \frac{2M+2m}{M+2m} = \frac{2(M+m)}{M+2m}$$
したがって、
$$gh = \frac{1}{2}V^2 \frac{2(M+m)}{M+2m} = V^2 \frac{M+m}{M+2m}$$
この式を \(V^2\) について解きます。
$$V^2 = gh \frac{M+2m}{M+m}$$
\(V\) は速さなので \(V > 0\) です。したがって、両辺の平方根をとると、
$$V = \sqrt{\frac{(M+2m)gh}{M+m}} \quad \cdots ⑤$$
蛙がジャンプに使うエネルギーは、床で高さ \(h\) まで上がれることから \(Mgh\) であるとわかります。このエネルギーが、今回の複雑な装置でジャンプしたときに、結果として「蛙自身の運動エネルギー」と「皿Aの運動エネルギー」と「皿Bとおもりの運動エネルギー」の３つの部分に分けられたと考えます。それぞれの運動エネルギーを、蛙の速さ \(V\) と皿の速さ \(v\) を使って表します。そして、(1)で求めた \(v\) と \(V\) の関係式を使って \(v\) を消去し、最終的に \(V\) を求める式を導き出します。
蛙の初速度の大きさ \(V\) は \(V = \sqrt{\displaystyle\frac{(M+2m)gh}{M+m}}\) です。
この結果を吟味してみましょう。もし皿の質量 \(m\) がゼロ（\(m=0\)）だと仮定すると、この式は \(V = \sqrt{\frac{Mgh}{M}} = \sqrt{gh}\) となります。一方で、蛙が床で高さんまで跳べるということは、初速 \(V_{\text{床}}\) とすると \(\frac{1}{2}MV_{\text{床}}^2 = Mgh\) より \(V_{\text{床}} = \sqrt{2gh}\) です。結果が \(\sqrt{gh}\) と \(\sqrt{2gh}\) で異なるのは、エネルギーの定義（\(Mgh\) が運動エネルギーなのか、到達できる高さから導かれるポテンシャルエネルギーなのか）や、問題設定の解釈による可能性があります。この問題では「高さんまで鉛直にとび上がれる運動エネルギーを出せる」とあるので、蛙が発揮するエネルギーそのものが \(Mgh\) と定義されています。したがって、このエネルギーが全て蛙自身の運動エネルギーになるなら \(\frac{1}{2}MV^2 = Mgh \Rightarrow V=\sqrt{2gh}\) です。今回の結果は、皿などが動くことでエネルギーが分配されるため、蛙自身の速度は単純な \(\sqrt{2gh}\) とは異なる値になります。式の形から、\(m\) が大きくなると、分母の \(M+m\) の影響で \(V\) が小さくなる傾向にあることが見て取れます。
問 (3)
思考の道筋とポイント
蛙が皿Aからジャンプした後、蛙は重力の影響を受けて鉛直方向に運動し、皿A（および皿Bとおもり）も滑車を介して連動して運動します。蛙が皿Aから最も離れるのは、蛙の皿Aに対する相対速度が鉛直方向で0になるときです。
まず、蛙がジャンプした後の皿Aの運動を考えます。皿A（質量 \(m\)）と皿B＋おもり（質量 \(M+m\)）は滑車で繋がれているため、一つの系として加速度運動をします。重い方（皿B＋おもり側）が下に、軽い方（皿A側）が上に動きます。この皿Aの加速度を求めます。
次に、皿Aの加速度と、重力加速度を受ける蛙の加速度から、皿Aに対する蛙の相対加速度を計算します。そして、ジャンプ直後の皿Aに対する蛙の相対初速度と、この相対加速度を用いて、相対速度が0になる（最も離れる）までの相対距離 \(h’\) を、等加速度運動の公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2 a x\) を相対運動に適用して求めます。
この設問における重要なポイント
- 蛙がジャンプした後の、皿Aと（皿B＋おもり）からなる系の運動方程式を立て、皿Aの加速度を正確に求めます。このとき、皿Aは鉛直上向きに加速することに注意します。
- 蛙自身の加速度は鉛直下向きに \(g\) です。
- 皿Aに対する蛙の相対初速度と相対加速度を、符号に注意して求めます（鉛直上向きを正とします）。
- 相対速度が0になるときに最も離れると考え、そのときの相対的な移動距離を \(h’\) とします。
- 等加速度運動の公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2ax\) を、これらの相対量に適用します。
具体的な解説と立式
蛙がジャンプした後、皿A（質量 \(m\)）と皿B＋おもり（質量 \(M+m\)）の系を考えます。鉛直上向きを正とします。
皿B＋おもりの方が皿Aよりも重い（\(M>0\) なので \(M+m > m\)）ため、皿B＋おもりは下向きに、皿Aは上向きに同じ大きさの加速度で運動します。この加速度の大きさを \(a_{\text{皿}}\) とします。
系全体にかかる力の合力（皿B＋おもり側の重力と皿A側の重力の差）は \((M+m)g – mg = Mg\)。
系全体の質量は \(m + (M+m) = M+2m\)。
したがって、加速度の大きさ \(a_{\text{皿}}\) は、
$$a_{\text{皿}} = \frac{Mg}{M+2m}$$
皿Aは鉛直上向きにこの加速度で運動するので、皿Aの加速度 \(a_A\) は（鉛直上向きを正として）、
$$a_A = +\frac{Mg}{M+2m}$$
蛙の加速度（鉛直上向きを正）は、重力のみを受けるので、
$$a_{\text{蛙}} = -g$$
皿Aに対する蛙の相対加速度 \(a_{\text{相対}}\) は、
$$a_{\text{相対}} = a_{\text{蛙}} – a_A = -g – \frac{Mg}{M+2m} = -\left(g + \frac{Mg}{M+2m}\right)$$
$$a_{\text{相対}} = -\frac{g(M+2m)+Mg}{M+2m} = -\frac{Mg+2mg+Mg}{M+2m} = -g\frac{2M+2m}{M+2m} = -g\frac{2(M+m)}{M+2m} \quad \cdots ⑥$$
次に、蛙がジャンプした直後の皿Aに対する蛙の相対初速度 \(v_{\text{相対初}}\) を求めます（鉛直上向きを正）。
蛙の床に対する初速度は \(V\)、皿Aの床に対する初速度は \(-v\) (下向きに速さ \(v\)) なので、
$$v_{\text{相対初}} = V – (-v) = V+v \quad \cdots ⑦$$
蛙が皿Aから最も離れるとき、相対速度は0になります。そのときの相対的な距離（最大距離）を \(h’\) とすると、等加速度運動の公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2 a x\) を相対運動に適用して、
$$0^2 – (v_{\text{相対初}})^2 = 2 a_{\text{相対}} h’ \quad \cdots ⑧$$
使用した物理公式
- 運動方程式: \(F=ma\) (系全体で考える場合も)
- 相対速度・相対加速度: \(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_1 – \vec{v}_2\), \(\vec{a}_{\text{相対}} = \vec{a}_1 – \vec{a}_2\)
- 等加速度直線運動の式: \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{初}}^2 = 2ax\)
式⑧に式⑥と式⑦を代入して \(h’\) を求めます。
$$-(V+v)^2 = 2 \left(-g\frac{2(M+m)}{M+2m}\right) h’$$
$$(V+v)^2 = 4g\frac{M+m}{M+2m} h’ \quad \cdots ⑨$$
ここで、(1)の結果 \(v = \displaystyle\frac{M}{M+2m}V\) (式②) を用いて \(V+v\) を \(V\) で表します。
$$V+v = V + \frac{M}{M+2m}V = V\left(1 + \frac{M}{M+2m}\right) = V\frac{M+2m+M}{M+2m} = V\frac{2M+2m}{M+2m} = V\frac{2(M+m)}{M+2m}$$
これを式⑨に代入します。
$$\left(V\frac{2(M+m)}{M+2m}\right)^2 = 4g\frac{M+m}{M+2m} h’$$
$$V^2 \frac{4(M+m)^2}{(M+2m)^2} = 4g\frac{M+m}{M+2m} h’$$
両辺の \(4\)、および \(\displaystyle\frac{M+m}{M+2m}\) を1つずつ消去します（これらの項は0ではないため）。
$$V^2 \frac{M+m}{M+2m} = g h’$$
したがって、\(h’\) は、
$$h’ = \frac{V^2}{g} \frac{M+m}{M+2m}$$
次に、この式に(2)の結果 \(V^2 = gh \displaystyle\frac{M+2m}{M+m}\) (式⑤の2乗) を代入します。
$$h’ = \frac{1}{g} \left(gh \frac{M+2m}{M+m}\right) \frac{M+m}{M+2m}$$
ここで、右辺の \(g\)、\((M+m)\)、\((M+2m)\) がそれぞれ分子と分母で消去されます。
$$h’ = h \quad \cdots ⑩$$
したがって、蛙が皿Aから離れる距離の最大値は \(h\) であり、これは \(h\) の1倍です。
蛙がジャンプした後、蛙と皿Aはそれぞれ異なる加速度で動きます。蛙が皿Aから一番遠くまで行くのは、皿Aから見た蛙の速さが一瞬ゼロになるときです。まず、ジャンプ後の皿Aがどのくらいの加速度で上に動くかを計算します（皿Bとおもりが下に引っ張るため）。次に、皿Aから見た蛙の最初の速さ（相対初速度）と、皿Aから見た蛙の加速度（相対加速度、蛙自身の重力加速度と皿Aの加速度を考慮）を計算します。最後に、これらの相対的な値を使って、「速さがゼロになるまでに進む距離」を求める物理の公式（等加速度運動の式）に当てはめて、最大距離 \(h’\) を求めます。計算は少し複雑に見えますが、(1)と(2)で求めた関係式をうまく代入していくと、最終的にはとてもシンプルな答え \(h’=h\) が出てきます。
蛙が皿Aから離れる距離の最大値 \(h’\) は \(h\) と等しく、これは \(h\) の1倍です。
この結果は非常にシンプルで、一見すると驚くかもしれません。蛙が床で高さ \(h\) まで跳べるエネルギーを持っていることと、今回の動く皿の上の複雑な系の運動が組み合わさっても、最終的に皿からの相対的な最大到達距離が同じ \(h\) になるというのは、物理法則がうまく調和した結果と言えるでしょう。これは、運動エネルギーの分配やその後の加速度運動が、結果的にこのようなシンプルな関係に帰着することを示しています。
【コラム】問題に関する追加の考察 (Q1, Q2)
この問題には、本文の設問とは別にQ1, Q2という形でさらに深い考察を促す質問が用意されています。これらについても見ていきましょう。
Q1: 蛙が皿Aから最も離れる時と、蛙が床に対して最高点に達する時では、どちらが先に起こるか。計算ではなく、定性的に考察してみよ。
思考の道筋とポイント
「蛙が皿Aから最も離れる時」とは、皿Aに対する蛙の相対速度が鉛直方向で0になるとき、つまり蛙と皿Aの床に対する鉛直方向の速度が一致するときです。一方、「蛙が床に対して最高点に達する時」とは、蛙の床に対する鉛直方向の速度が0になるときです。
この系（蛙、皿A、皿B、おもり）の全運動量は、蛙がジャンプする前後で保存され、初期状態が静止なので常に0です。このことを念頭に置いて考察します。
具体的な解説と考察
蛙、皿A、皿B、おもりからなる系全体の運動量は、蛙がジャンプする前は0です。蛙のジャンプは内力によるものであり、また、系全体にかかる外力（重力と滑車を支える力）の合力は鉛直方向で見ても0（つり合っている状態から変化）と見なせるため、ジャンプの前後およびその後の運動中も、系全体の全運動量は0に保たれます（これは1次元化モデルの根拠でもあります）。
蛙が皿Aから最も離れるのは、蛙の皿Aに対する相対速度が0になるとき、すなわち蛙と皿Aの（床に対する）速度が一致するときです。この共通の速度を \(v_{\text{共通}}\) とします。このとき、皿Aが \(v_{\text{共通}}\) で動けば、皿Bとおもりも（滑車を介して連動するため）逆向きに同じ大きさの速度成分を持つか、あるいは1次元化モデルにおいては系全体の運動量が0を保つように振る舞います。
ここで重要なのは、系全体の全運動量が0であるという点です。もし蛙と皿Aの速度が一致し \(v_{\text{共通}}\) となった場合、そして皿Bとおもりがそれに応じて運動したとしても、全体の運動量が0であるためには、この \(v_{\text{共通}}\) は0でなければなりません。なぜなら、もし \(v_{\text{共通}} \neq 0\) ならば、蛙（質量\(M\)）と皿A（質量\(m\)）が同じ向きに運動量を持ち、皿Bとおもり（質量\(M+m\)）が反対向きに運動量を持ったとしても、それらが完全に打ち消しあい、かつ蛙と皿Aの速度が一致するためには、結局すべての速度が0になる必要があるからです。（より正確には、モデル解答のQ1解説にあるように「一致した両者の速度は0でしかあり得ない」と結論付けられます。）
したがって、蛙が皿Aから最も離れるとき、蛙と皿Aの床に対する速度はともに0になります。蛙の床に対する速度が0になるということは、それがまさに蛙が床に対して最高点に達する時を意味します。
よって、結論として、蛙が皿Aから最も離れる時と、蛙が床に対して最高点に達する時は、同時に起こります。
Q2: (1)で蛙がとび上がるときAを押す力をN、糸の張力をT、その際の時間をΔtとする。蛙、A、Bとおもりの一体、についてそれぞれ力積と運動量の関係式を記し、次に運動量保存則を導いてみよ。
思考の道筋とポイント
各物体（蛙、皿A、皿Bとおもりの一体）にはたらく力と、それによる力積、そして運動量の変化の関係を立式します。その後、これらの式を組み合わせることで、系全体の運動量保存則（(1)で用いた式）がどのように導かれるか、あるいはその背景にある考え方を確認します。鉛直上向きを正とします。
具体的な解説と立式
蛙が皿Aから飛び上がる非常に短い時間 \(\Delta t\) の間に働く力と、各部分の運動量の変化を考えます。鉛直上向きを正とします。
初期状態ではすべての物体の速度は0です。飛び上がった直後の蛙の床に対する速度を \(V\)、皿Aの床に対する速度を \(-v\)（下向きに速さ \(v\)）、皿Bとおもりの床に対する速度を \(+v\)（上向きに速さ \(v\)）とします。
- 蛙（質量 \(M\)）について:
蛙にはたらく力は、皿Aからの垂直抗力 \(N\)（上向き）と重力 \(Mg\)（下向き）です。
力積と運動量の関係は、
$$(N – Mg)\Delta t = M(V – 0) = MV \quad \cdots (Q2-1)$$ - 皿A（質量 \(m\)）について:
皿Aにはたらく力は、糸の張力 \(T\)（上向き）、蛙からの反作用である力 \(N\)（下向き、作用・反作用の法則より）、および皿Aの重力 \(mg\)（下向き）です。
力積と運動量の関係は、
$$(T – N – mg)\Delta t = m(-v – 0) = -mv \quad \cdots (Q2-2)$$ - 皿Bとおもり（一体として質量 \(M+m\)）について:
皿Bとおもり（合計質量 \(M+m\)）にはたらく力は、糸の張力 \(T\)（上向き）と、それらの合計の重力 \((M+m)g\)（下向き）です。
力積と運動量の関係は、
$$\{T – (M+m)g\}\Delta t = (M+m)(v – 0) = (M+m)v \quad \cdots (Q2-3)$$
これらの式から運動量保存則（特に(1)で用いた \(0 = MV – mv – (M+m)v\) の形）を導くことを目指します。
モデル解答のQ2の解説では、これらの式(Q2-1), (Q2-2), (Q2-3)を足し合わせることで、内力である \(N\) と張力 \(T\) の一部が相殺され、結果として運動量保存に相当する式が現れることを示唆しています。
実際にこれらの3つの式をそのまま足し合わせると、\(N\) は消えますが \(T\) は残ります。
$$ (N-Mg + T-N-mg + T-(M+m)g)\Delta t = MV – mv + (M+m)v $$
$$ (2T – (2M+2m)g)\Delta t = MV – mv + Mv + mv = MV + Mv $$
この式から直接的に \(0 = MV – mv – (M+m)v\) を導くためには、ジャンプの瞬間 \(\Delta t\) が非常に短く、その間に重力 \(Mg, mg, (M+m)g\) による力積は、力 \(N\) や張力 \(T\) による力積に比べて無視できるか、あるいは系全体で見たときに張力 \(T\) と重力がつり合っているような特別な状況を仮定する必要があります。
モデル解答のQ2では、「NとTを消去すると」として結果の式を提示しています。これは、蛙が皿を押す力 \(N\) やそれによって変化する張力 \(T\) が主として運動量を変化させ、重力の影響はジャンプの前後でのエネルギー変化には関わるものの、この瞬間の運動量変化の式からはうまく消去または無視できるという考えに基づいている可能性があります。
あるいは、より厳密には、系全体（蛙＋皿A＋皿B＋おもり＋滑車＋地球）の外力の合力が（特定の方向で）ゼロであれば運動量が保存されます。この問題設定では、滑車を支える天井からの力と全体の重力が鉛直方向につり合っており、蛙のジャンプは内力によるものと解釈することで、(1)で使った運動量保存則の式が正当化されます。力積と運動量の関係から出発するのは、その正当性をより基本的な法則から確認する試みと言えるでしょう。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 運動量保存則（特に1次元化モデルでの適用）:
- 滑車で繋がれた系の運動では、直接的な水平運動でなくても、全体の運動量を「1次元化」して考えることで運動量保存則を適用できる場合があること。この問題では、蛙の上昇と皿A,B（＋おもり）の上下運動を、一直線上の運動量の保存として扱いました。
- この法則が成り立つ根拠は、系全体にかかる外力の合力が（その方向において）ゼロであることです。
- 力学的エネルギー保存則:
- 摩擦や空気抵抗が無視できる場合、系の運動エネルギーと位置エネルギーの和は一定に保たれます。蛙がジャンプする際に生み出すエネルギーが、系全体の運動エネルギーや位置エネルギーにどのように分配されるかを考える上で不可欠でした。
- 相対運動の考え方:
- 設問(3)で蛙と皿Aの最大距離を求める際に、皿Aに対する蛙の相対速度や相対加速度を考えました。動く基準系から見た運動を解析する際には重要な視点です。
- 加速度運動における力のつり合い（または運動方程式）:
- 設問(3)で蛙がジャンプした後の皿Aの加速度を求める際に、皿Aと皿B（＋おもり）のそれぞれについて運動方程式を立て（あるいは系全体の運動方程式を考え）て加速度を導出しました。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- この問題の考え方や解法は、どのようなパターンの類似問題に応用できるか:
- アトウッドの器械のような、滑車を介して複数の物体が連動して運動する問題。
- 物体が別の動く物体の上でさらに運動するような、複合的な運動の問題。
- エネルギーの変換と分配が問われる問題。
- 相対運動の解析が必要となる問題。
- 初見の問題で、どこに着目すればこの問題と同じように解き進められるか:
- 保存則の成否の確認: まず、系全体で運動量や力学的エネルギーが保存される条件（外力、非保存力の仕事の有無）が満たされているかを確認する。
- 「系」の適切な設定: どの範囲の物体を一つの「系」として捉えるか。それによって内力と外力が区別され、適用できる法則も変わってくる。
- 運動の特別な瞬間の特定: 「ジャンプ直後」「最も離れるとき（相対速度0）」「最高点（速度0または他の物体と速度一致）」など、物理状態が特徴的に変化する瞬間に注目する。
- 座標軸と基準点の設定: 運動の向き（正負）を定める座標軸や、位置エネルギーの基準点を明確に設定することが、立式の正確性につながる。
- 問題解決のヒントや、特に注意すべき点は何か:
- 「1次元化」のようなモデル化は強力だが、そのモデルが成り立つ物理的な根拠（この場合は外力の合力が0になるような対称性など）を理解しておくことが重要。
- 相対運動を扱う際は、どの物体に対する相対量なのかを常に明確に意識する。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 運動量保存則の適用条件の誤解:
- 現象:運動量保存則は「外力の合力が0」の場合に成り立つ。この問題の1次元化モデルでは、重力の影響が見かけ上打ち消しあうような形で運動量が保存されると解釈したが、常にそう単純ではないので注意が必要。
- 対策:保存則が成り立つ理由を、その都度確認する癖をつける。
- エネルギーの分配の誤解:
- 現象:蛙が出したエネルギーが、複数の物体の運動エネルギーや位置エネルギーに分配される際、どの物体がどれだけのエネルギーを持つのかを正確に把握する必要がある。
- 対策:エネルギー収支の式を立てる際に、関与する全ての物体とエネルギー形態をリストアップする。
- 相対速度・相対加速度の符号のミス:
- 現象:相対運動を扱う際、基準となる物体の速度や加速度の向きを考慮して、正しく符号を設定しないと計算結果が大きく変わってしまう。
- 対策:座標軸の正の向きを明確にし、各物体の速度・加速度ベクトルをその座標軸に射影して考える。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題における物理現象の具体的なイメージ化:
- 蛙がジャンプする瞬間の、蛙、皿A、皿B（＋おもり）のそれぞれの速度の向きを矢印で明確に図示する。
- 1次元化モデルを理解するために、滑車を介した上下運動が、一直線上での相対的な動きにどのように対応付けられるのかをイメージする。
- 設問(3)では、蛙と皿Aのそれぞれの加速度の向きを図示し、相対加速度がどのようになるかを視覚的に捉える。
- 図を描く際に注意すべき点は何か:
- 力のベクトルだけでなく、速度や加速度のベクトルも描き込む。
- 座標軸の向き（特に正の向き）を明記する。
- 物体間の相対的な動きを捉えるための補助的な図（例えば、皿Aを基準としたときの蛙の動きなど）も有効な場合がある。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 運動量保存則の選択と適用根拠:
- 選定理由:(1)で適用したのは、系全体で見ると蛙がジャンプする力は内力であり、また1次元化モデルで考えると重力という外力の合力が0とみなせる（あるいは短時間での力積が無視できる）ため。
- 適用根拠:ニュートンの運動法則から導かれる、外力の合力が作用しない系の運動量は保存されるという基本原理。
- 力学的エネルギー保存則の選択と適用根拠:
- 選定理由:(2)で適用したのは、蛙の出す化学エネルギーが運動エネルギーに変換され、系内で非保存力の仕事がないため。
- 適用根拠:非保存力が仕事をしない場合、系の力学的エネルギーは保存されるというエネルギー原理。
- 運動方程式・相対運動の式の選択と適用根拠:
- 選定理由:(3)で適用したのは、ジャンプ後の各物体の運動が加速度運動であり、その詳細を追うため。
- 適用根拠:ニュートンの運動の第2法則、および相対運動の定義式。
- 公式選択の思考訓練:
- 常に「この法則が使えるのはなぜか？」「この公式の前提条件はこの状況で満たされているか？」と自問自答する習慣が大切。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- 状況の把握: 蛙のジャンプ、皿と滑車の連動する動きを正確に理解する。
- 保存則の選択: 運動量保存則、エネルギー保存則のどちらが、あるいは両方が使えるか、その条件は満たされているかを確認する。
- モデル化の検討: 「1次元化」や「Uターン座標軸」のような、問題を扱いやすくするためのモデルを理解し、適用する。
- 各状態での物理量の設定: ジャンプ直前、直後、最大距離到達時など、各状態での速度や高さなどを文字で置く。
- 法則に基づく立式: 選択した法則に従って、物理量を関係づける方程式を立てる。
- 連立方程式の求解: 複数の未知数がある場合は、立式した方程式を連立させて解く。代入や式の整理を慎重に行う。
- 解の物理的な吟味: 得られた答えが物理的に妥当か（単位、符号、極端な場合の振る舞いなど）を確認する。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 今回の計算過程で特に注意すべきだった点:
- 運動量保存の式を立てる際の符号の取り扱い。特に1次元化モデルでは、どの向きを正とし、各物体の運動量がどのように表現されるかを正確に把握する必要がありました。
- エネルギー保存の式を立てる際に、関与する全ての物体の運動エネルギーを 빠짐없이（漏れなく）考慮すること。
- 連立方程式を解く際の代入ミスや、その後の式変形における計算間違い。特に設問(3)では、相対加速度の計算や、複数の結果を代入していく過程で注意が必要でした。
- 日頃から計算練習で意識すべきこと・実践テクニック:
- 文字計算の習熟: 物理の問題では、具体的な数値を代入する前に文字式のまま計算を進めることが多いです。文字式の展開、整理、因数分解、分数の計算などに慣れておくことが重要です。
- 途中式を丁寧に書く: 計算の各ステップを省略せずに丁寧に記述することで、どこで間違えたかを見つけやすくなり、また、思考のプロセスも明確になります。
- 単位による確認: 計算結果の単位が、求めようとしている物理量の単位として正しいかどうかを常に確認する習慣は、ケアレスミスを防ぐのに役立ちます。
- 可能であれば別解や検算を行う: 時間に余裕があれば、別の方法で問題を解いてみたり（別解の検討）、得られた答えを元の条件に代入して矛盾がないかを確認したりする（検算）ことで、計算の確実性を高めることができます。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えが物理的に妥当かどうかを検討する視点の重要性:
- 極端な条件下での振る舞いの考察: 例えば、設問(1)で得られた皿の速度 \(v = \frac{M}{M+2m}V\) について、もし皿の質量 \(m\) がゼロ（\(m \rightarrow 0\)）であったら \(v = V\) となりますが、これは物理的に皿が存在しない状況とは異なります（分母がMになる）。もし蛙の質量 \(M\) がゼロ（\(M \rightarrow 0\)）であったら \(v = 0\) となり、蛙がいないので皿は動かないという直感と一致します。設問(2)の \(V\) や設問(3)の \(h’=h\) といった結果についても、同様に \(m=0\) や \(M=0\)（あるいは \(M \gg m\), \(m \gg M\)）のような極端な場合を考えてみることで、式の妥当性や物理的な意味合いを考察することができます。
- 既知の単純なケースとの比較: 例えば、もし皿が非常に重く固定されているとみなせる場合（\(m \rightarrow \infty\) または系に皿Bが存在しない場合など、問題設定によりますが）、蛙のジャンプは床からのジャンプに近い状況になるはずです。そのような単純なケースの結果と、得られた複雑な系の結果が、極限状態で漸近するかどうかを確認するのも有効な吟味方法です。
- 物理量の符号や依存関係の確認: 速度や加速度の符号が、設定した座標軸に対して運動の向きと一致しているか。また、あるパラメータ（例えば質量や初速）を変化させたときに、結果が直感的に予想される方向に変化するかどうか（例：初速が大きいほど高く跳べるはず、など）を確認します。
- 「解の吟味」がもたらす深い理解:
- 単に計算問題を解くだけでなく、得られた答えの物理的な意味を考えることで、法則や概念の理解が格段に深まります。
- 計算ミスや立式の誤りを発見する上で非常に有効な手段となります。
- 物理現象を多角的に捉え、より本質的な理解へと繋げるための重要な思考習慣です。
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