125 保存力以外の力の仕事
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、摩擦のある斜面上で、外力を加えながら物体を動かす際の仕事とエネルギーの関係を問う問題です。力学の基本である「仕事の定義」と、より発展的な「エネルギーと仕事の関係」を正確に理解し、適用する能力が試されます。
この問題の核心は、物体に働くすべての力を正しく図示・分解し、それぞれの力がする仕事を計算した上で、それらが物体の力学的エネルギーにどのような変化をもたらすかを分析することです。
- 小物体の質量: \(m\) [kg]
- 斜面の傾斜角: \(\theta\) [rad]
- 斜面に沿って上向きに加える力の大きさ: \(F\) [N]
- 移動距離: \(d\) [m]
- 動摩擦係数: \(\mu’\)
- 重力加速度の大きさ: \(g\) [m/s²]
- (1) 加えた力 \(F\) がした仕事 \(W_F\)
- (2) 摩擦力がした仕事 \(W_f\)
- (3) 距離 \(d\) だけ移動した後の小物体の速さ \(v\)
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている「エネルギーと仕事の関係」を用いた解法を主たる解法として解説します。
それに加え、設問(3)について別解を提示します。
- 設問(3)の別解
- 別解1: 運動方程式を用いた解法
これらの別解が有益である理由は以下の通りです。
- 物理現象を異なる法則（エネルギー原理と運動法則）から分析することで、より多角的で深い理解が得られます。
- どちらのアプローチが計算上簡潔になるか、あるいは物理的イメージを掴みやすいかを比較検討する良い機会となります。
いずれのアプローチを用いても、最終的な答えは模範解答と一致します。
この問題のテーマは「保存力以外の力が仕事をする場合のエネルギー変化」です。外力や摩擦力が関わるため、力学的エネルギー保存則は成立しません。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 仕事の定義: 力が物体にする仕事は、力の大きさと、その力の向きへの移動距離の積で計算されます。力の向きと移動方向が逆の場合は、仕事は負になります。
- 力の図示と分解: 物体に働く重力、垂直抗力、摩擦力、外力をすべて図示し、斜面に平行な方向と垂直な方向に分解します。
- 力のつり合い: 斜面に垂直な方向には運動がないため、この方向の力はつり合っています。これにより垂直抗力が求まります。
- エネルギーと仕事の関係: 物体の力学的エネルギーの変化量は、保存力以外の力（この問題では外力と摩擦力）がした仕事の和に等しくなります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、(1)と(2)では、仕事の定義式 \(W = Fx\cos\phi\) を用いて、加えた力と摩擦力がする仕事をそれぞれ計算します。摩擦力の計算には、斜面に垂直な方向の力のつり合いから求める垂直抗力が必要です。
- 次に、(3)では、「力学的エネルギーの変化量 = 非保存力の仕事の和」という関係式を立てます。(1)と(2)で求めた仕事の値を使って、移動後の速さを計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
加えた力 \(F\) が小物体にした仕事を求める問題です。仕事の基本的な定義に基づいて計算します。
この設問における重要なポイント
- 仕事の定義: 仕事 \(W\) は、力の大きさ \(F\)、移動距離 \(x\)、力と移動方向のなす角 \(\phi\) を用いて \(W = Fx\cos\phi\) と表されます。
- 力の向きと移動方向: この問題では、加えた力 \(F\) の向きと小物体の移動方向は同じ（斜面に沿って上向き）です。したがって、なす角は \(0^\circ\) であり、\(\cos 0^\circ = 1\) となります。
具体的な解説と立式
求める仕事を \(W_F\) [J] とします。仕事の定義式は \(W = Fx\) です（力と移動方向が同じ場合）。
この問題では、力の大きさが \(F\)、移動距離が \(d\) なので、加えた力がした仕事 \(W_F\) は次のように立式できます。
$$ W_F = Fd $$
使用した物理公式
- 仕事: \(W = Fx\) （力と移動方向が同じ場合）
上記で立てた式がそのまま答えとなります。
$$ W_F = Fd $$
仕事は「力 × その力の向きに動いた距離」で計算できます。この問題では、力\(F\)の向きにそのまま\(d\)メートル動いたので、仕事は単純に掛け算で \(F \times d\) となります。
加えた力 \(F\) がした仕事は \(Fd\) [J] です。これは仕事の定義から直接導かれる基本的な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
摩擦力が小物体にした仕事を求める問題です。まず動摩擦力の大きさを求め、その力と移動距離から仕事を計算します。摩擦力は常に運動を妨げる向きに働くため、仕事は負の値になる点に注意が必要です。
この設問における重要なポイント
- 力の図示と分解: 物体に働く力を図示し、斜面に平行・垂直な成分に分解します。特に重力 \(mg\) を \(mg\sin\theta\) と \(mg\cos\theta\) に分解することが重要です。
- 垂直抗力の計算: 小物体は斜面に垂直な方向には動かないため、この方向の力はつり合っています。このつり合いの式から、垂直抗力 \(N\) の大きさを求めます。
- 動摩擦力の計算: 動摩擦力 \(F’\) の大きさは、動摩擦係数 \(\mu’\) と垂直抗力 \(N\) の積、\(F’ = \mu’N\) で計算できます。
- 仕事の計算: 摩擦力は運動方向と常に逆向き（なす角 \(180^\circ\)）に働くため、その仕事は \(W_f = F’d\cos 180^\circ = -F’d\) となります。
具体的な解説と立式
小物体に働く力は、斜面に垂直な方向についてつり合っています。垂直抗力の大きさを \(N\) [N] とすると、
$$ N – mg\cos\theta = 0 \quad \cdots ① $$
動摩擦力の大きさ \(F’\) [N] は、動摩擦係数 \(\mu’\) を用いて次のように表されます。
$$ F’ = \mu’N \quad \cdots ② $$
求める仕事 \(W_f\) [J] は、力の大きさ \(F’\)、移動距離 \(d\)、力と移動方向のなす角 \(180^\circ\) を用いて、
$$ W_f = F’d\cos 180^\circ \quad \cdots ③ $$
と立式できます。
使用した物理公式
- 力のつり合い
- 動摩擦力: \(F’ = \mu’N\)
- 仕事: \(W = Fx\cos\phi\)
まず、①式から垂直抗力 \(N\) を求めます。
$$ N = mg\cos\theta $$
次に、この \(N\) を②式に代入して、動摩擦力 \(F’\) の大きさを求めます。
$$
\begin{aligned}
F’ &= \mu’ (mg\cos\theta) \\[2.0ex]
&= \mu’mg\cos\theta
\end{aligned}
$$
最後に、この \(F’\) を③式に代入して、摩擦力がした仕事 \(W_f\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_f &= (\mu’mg\cos\theta) \times d \times (-1) \\[2.0ex]
&= -\mu’mgd\cos\theta
\end{aligned}
$$
まず、物体が斜面をどれくらいの力で押しているか（垂直抗力）を計算します。これは重力の斜面に垂直な分力 \(mg\cos\theta\) と同じ大きさです。次に、この押す力に摩擦の度合い（動摩擦係数 \(\mu’\)）を掛けて、摩擦力の大きさを求めます。摩擦力は物体の動きを邪魔する向きに働くので、物体からエネルギーを奪います。そのため、摩擦力がした仕事はマイナスの値になり、「- (摩擦力の大きさ) × (移動距離)」で計算します。
摩擦力がした仕事は \(-\mu’mgd\cos\theta\) [J] です。仕事が負の値になったのは、摩擦力が運動方向と逆向きに働き、物体のエネルギーを減少させる（熱として失わせる）役割を果たしたことを意味しており、物理的に妥当な結果です。
問(3)
思考の道筋とポイント
移動後の小物体の速さを求める問題です。この問題のように、外力や摩擦力が仕事をする状況では、力学的エネルギー保存則は使えません。代わりに、「力学的エネルギーの変化量 = 保存力以外の力がした仕事」という、より一般的なエネルギーと仕事の関係式を用います。
この設問における重要なポイント
- エネルギーと仕事の関係: \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\) という関係式を適用します。ここで \(\Delta E\) は力学的エネルギーの変化量（後のエネルギー – 前のエネルギー）、\(W_{\text{非保存力}}\) は保存力（この場合は重力）以外の力がした仕事の総和です。
- 力学的エネルギーの計算: 力学的エネルギーは「運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\)」と「重力による位置エネルギー \(mgh\)」の和です。初めの位置を高さの基準（\(h=0\)）とすると、計算が簡単になります。
- 非保存力の仕事: この問題で保存力以外に仕事をする力は、(1)で求めた「加えた力 \(F\)」と(2)で求めた「動摩擦力」です。これらの仕事の和を \(W_{\text{非保存力}}\) とします。
具体的な解説と立式
求める速さを \(v\) [m/s] とします。エネルギーと仕事の関係式は、
$$ E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}} \quad \cdots ① $$
です。
初めの位置を重力による位置エネルギーの基準面（高さ0）とします。
初めの状態では小物体は静止しているので、速さは0です。したがって、初めの力学的エネルギー \(E_{\text{前}}\) は、
$$
\begin{aligned}
E_{\text{前}} &= \frac{1}{2}m \cdot 0^2 + mg \cdot 0 \\[2.0ex]
&= 0 \quad \cdots ②
\end{aligned}
$$
距離 \(d\) だけ移動した後の小物体の高さは \(h = d\sin\theta\) となります。このときの速さは \(v\) なので、後の力学的エネルギー \(E_{\text{後}}\) は、
$$ E_{\text{後}} = \frac{1}{2}mv^2 + mg(d\sin\theta) \quad \cdots ③ $$
保存力以外の力がした仕事の和 \(W_{\text{非保存力}}\) は、(1)と(2)の結果を用いて、
$$
\begin{aligned}
W_{\text{非保存力}} &= W_F + W_f \\[2.0ex]
&= Fd – \mu’mgd\cos\theta \quad \cdots ④
\end{aligned}
$$
となります。
①式に②、③、④式を代入することで、\(v\) を求める方程式が立てられます。
使用した物理公式
- エネルギーと仕事の関係: \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\)
- 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
- 重力による位置エネルギー: \(U = mgh\)
上記で立てた関係式に各項を代入します。
$$ \left( \frac{1}{2}mv^2 + mgd\sin\theta \right) – 0 = Fd – \mu’mgd\cos\theta $$
この式を \(v\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2 &= Fd – mgd\sin\theta – \mu’mgd\cos\theta \\[2.0ex]
\frac{1}{2}mv^2 &= Fd – mgd(\sin\theta + \mu’\cos\theta) \\[2.0ex]
v^2 &= \frac{2}{m} \left\{ Fd – mgd(\sin\theta + \mu’\cos\theta) \right\} \\[2.0ex]
v^2 &= 2d \left\{ \frac{F}{m} – g(\sin\theta + \mu’\cos\theta) \right\}
\end{aligned}
$$
したがって、速さ \(v\) は、
$$ v = \sqrt{2d \left\{ \frac{F}{m} – (\sin\theta + \mu’\cos\theta)g \right\}} $$
となります。
物体のエネルギーの変化を家計簿のように考えます。まず、外から力\(F\)によって「\(Fd\)」というエネルギー収入がありました。一方で、摩擦によって「\(\mu’mgd\cos\theta\)」というエネルギーが熱として出ていき（支出）、さらに坂を上ったことで「\(mgd\sin\theta\)」というエネルギーが位置エネルギーとして貯金されました（支出）。収入からこれらの支出を引いた残りが、物体の運動エネルギー（速さ）になった、という関係を式にしています。
思考の道筋とポイント
エネルギーの観点ではなく、力の観点から問題を解く方法です。まず、小物体に働く力の合力を求め、運動方程式 \(ma=F_{\text{合力}}\) を立てて加速度 \(a\) を計算します。次に、その加速度で距離 \(d\) だけ進んだ後の速さを、等加速度直線運動の公式を用いて求めます。
この設問における重要なポイント
- 運動方程式: 物体の運動は、その質量 \(m\)、加速度 \(a\)、働く力の合力 \(F_{\text{合力}}\) の間に \(ma = F_{\text{合力}}\) という関係が成り立ちます。
- 合力の計算: 斜面に平行な方向に働くすべての力（加えた力、重力の分力、摩擦力）を足し合わせ、合力を求めます。
- 等加速度直線運動の公式: 加速度が一定の場合、初速度 \(v_0\)、後の速度 \(v\)、加速度 \(a\)、移動距離 \(x\) の間には \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) という関係があります。
具体的な解説と立式
小物体の加速度を、斜面に沿って上向きを正として \(a\) [m/s²] とします。
斜面に平行な方向に働く力は、上向きに加えた力 \(F\)、下向きに重力の分力 \(mg\sin\theta\)、そして下向きに動摩擦力 \(F’ = \mu’mg\cos\theta\) です。
したがって、斜面に平行な方向の運動方程式は、
$$ ma = F – mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta \quad \cdots ① $$
となります。
小物体は初速度 0 で動き始め、距離 \(d\) だけ進んだ後の速さが \(v\) なので、等加速度直線運動の公式より、
$$ v^2 – 0^2 = 2ad $$
これを整理して、
$$ v^2 = 2ad \quad \cdots ② $$
が成り立ちます。①式から \(a\) を求め、②式に代入することで \(v\) を計算できます。
使用した物理公式
- 運動方程式: \(ma = F\)
- 等加速度直線運動の公式: \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)
まず、①式から加速度 \(a\) を求めます。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{1}{m} (F – mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta) \\[2.0ex]
&= \frac{F}{m} – g\sin\theta – \mu’g\cos\theta \\[2.0ex]
&= \frac{F}{m} – g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)
\end{aligned}
$$
次に、この \(a\) を②式に代入します。
$$ v^2 = 2d \left\{ \frac{F}{m} – g(\sin\theta + \mu’\cos\theta) \right\} $$
したがって、速さ \(v\) は、
$$ v = \sqrt{2d \left\{ \frac{F}{m} – (\sin\theta + \mu’\cos\theta)g \right\}} $$
となります。
まず、物体を前に進ませようとする力（\(F\)）と、後ろに引き戻そうとする力（重力と摩擦力）の差し引き（正味の力）を計算します。ニュートンの法則（\(F=ma\)）を使って、この正味の力から物体の加速度（スピードの増え方）を求めます。最後に、その加速度で \(d\) メートル進んだら、最終的な速さはいくらになるか、という計算をします。
小物体の速さは \(\sqrt{2d \{ \frac{F}{m} – (\sin\theta + \mu’\cos\theta)g \}}\) [m/s] です。この結果は、加えた力 \(F\) が重力と摩擦力の影響を上回って初めて物体が加速することを示しており、物理的に妥当です。もし根号の中が負になるような条件（加える力が小さい場合）では、そもそも物体は上向きに加速しないことを意味します。
運動方程式を用いた解法でも、エネルギーと仕事の関係を用いた解法と全く同じ結果が得られました。これは、両者が同じ物理現象を異なる側面から記述した、等価な法則であることを示しています。どちらの解法も理解しておくことで、問題に応じてより適切なアプローチを選択できるようになります。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 仕事の定義（\(W = Fx\cos\phi\)）:
- 核心: (1)と(2)を解くための最も基本的な法則です。力が物体にする仕事は、力の大きさと、力の向きへの移動距離の積で決まります。特に、力の向きと移動方向が逆向き（なす角\(180^\circ\)）である摩擦力の仕事は、負の値になることを理解することが重要です。
- 理解のポイント: 仕事が正ならエネルギーを与え、負ならエネルギーを奪うという物理的な意味合いを掴むことが大切です。
- エネルギーと仕事の関係（\(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)）:
- 核心: (3)を解くための中心的な法則です。力学的エネルギー保存則が成り立たない場面で、エネルギーの変化を定量的に追跡するための強力なツールです。物体の力学的エネルギーの変化量は、重力や弾性力といった「保存力」以外の力（この問題では外力\(F\)と摩擦力）がした仕事の総和に等しくなります。
- 理解のポイント: この法則は、エネルギー保存則をより一般化したものと捉えることができます。非保存力の仕事がゼロの場合、\(\Delta E = 0\)となり、力学的エネルギー保存則（\(E_{\text{後}} = E_{\text{前}}\)）に帰着します。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 空気抵抗を受けながら落下する物体: 重力（保存力）と空気抵抗（非保存力）が働く問題。エネルギーと仕事の関係式を立てて、終端速度や特定の高さでの速さを求めます。
- ばね付きの物体が摩擦面を運動する: 弾性力（保存力）、重力（保存力）、摩擦力（非保存力）が働く問題。力学的エネルギーに弾性エネルギーを含めて考えます。
- 振り子が釘に引っかかったり、途中で糸が切れたりする運動: 張力は常に運動方向と垂直なので仕事をしませんが、釘に引っかかる前後で円運動の条件が変わるなど、複数の法則を組み合わせる必要があります。
- 初見の問題での着眼点:
- 保存則が使えるか判断する: まず、物体に働く力をすべてリストアップし、「保存力以外の力（摩擦力、空気抵抗、人が加える力など）が仕事をしているか？」を確認します。仕事をしているなら、エネルギー保存則は使えず、「エネルギーと仕事の関係」を適用します。
- エネルギーと運動方程式の使い分け:
- 速さやエネルギー、高さを問われた場合: 「エネルギーと仕事の関係」を使うと、途中の加速度を計算せずに済むため、計算が楽になることが多いです。
- 加速度や力を問われた場合: 「運動方程式」を立てるのが直接的な解法です。
- どちらでも解ける場合が多いので、両方のアプローチを念頭に置き、計算が簡単そうな方を選びましょう。
- 基準点を設定する: 位置エネルギーを考える際は、計算が最も簡単になる場所（初めの位置や最下点など）を高さの基準（\(h=0\)）に設定します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 仕事の正負の判断ミス:
- 誤解: 摩擦力がした仕事を正の値で計算してしまう。
- 対策: 力のベクトルと移動方向のベクトルを必ず図示しましょう。なす角が\(0^\circ\)から\(90^\circ\)未満なら仕事は正、\(90^\circ\)ならゼロ、\(90^\circ\)を超えて\(180^\circ\)までなら負、と機械的に判断する習慣をつけましょう。摩擦力や空気抵抗は、基本的に運動を妨げるので仕事は負になります。
- 力学的エネルギーの変化の式の誤り:
- 誤解: \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{保存力}}\) のように、保存力の仕事を入れてしまう。あるいは、\(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{合力}}\) と混同する。（正しくは運動エネルギーの変化が合力の仕事に等しい：\(\Delta K = W_{\text{合力}}\)）
- 対策: 「力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）の変化」に対応するのは「非保存力の仕事の和」である、という関係を正確に覚えましょう。言葉の定義を曖昧にしないことが重要です。
- 重力の仕事と位置エネルギーの二重計上:
- 誤解: エネルギーと仕事の関係式 \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\) を使う際に、左辺で位置エネルギーの変化を考えたにもかかわらず、右辺の \(W_{\text{非保存力}}\) に重力がした仕事も加えてしまう。
- 対策: 重力や弾性力のような保存力は、その影響が「位置エネルギー」としてすでに左辺の \(E\) に組み込まれています。したがって、右辺の \(W_{\text{非保存力}}\) には、それ以外の力（外力、摩擦力など）の仕事だけを計上すると心に刻みましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- エネルギーの収支図（棒グラフ）:
- 初めの状態: 運動エネルギーも位置エネルギーもゼロの棒グラフを描きます。
- エネルギーの流入・流出: ここに、外力\(F\)がした仕事 \(Fd\) という「収入」の矢印を加え、摩擦力がした仕事 \(W_f\) という「支出（熱エネルギーへの変換）」の矢印を引きます。
- 後の状態: 収入から支出を引いた残りのエネルギーが、後の状態の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）になる、という棒グラフを描きます。この視覚的な収支関係が、エネルギーと仕事の関係式そのものです。
- エネルギーの収支図（棒グラフ）:
- 図を描く際に注意すべき点:
- 力の分解図を丁寧に: 重力を斜面に平行な成分 \(mg\sin\theta\) と垂直な成分 \(mg\cos\theta\) に分解する図は、この種の問題の出発点です。フリーハンドでも良いので、力の矢印と角度を正確に描く習慣がミスを防ぎます。
- 作用・反作用を区別する: 「摩擦力が小物体にした仕事」を問われているので、小物体に働く摩擦力を考えます。床が受ける摩擦力など、他の物体に働く力と混同しないように、着目物体を明確に意識しましょう。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 仕事の定義式 (\(W = Fx\cos\phi\)):
- 選定理由: (1), (2)で、特定の「力」がした「仕事」を問われているため。これは仕事の定義そのものを問う設問です。
- 適用根拠: 仕事という物理量の定義に基づいています。
- 力のつり合いの式 (\(\sum F_y = 0\)):
- 選定理由: (2)で摩擦力を計算するために、その前提となる垂直抗力\(N\)を求める必要があるため。物体が斜面から浮き上がったりめり込んだりしない（＝斜面に垂直な方向の加速度がゼロ）という事実を数式化します。
- 適用根拠: ニュートンの第二法則で加速度\(a=0\)とした場合に相当し、力が均衡している状態を記述します。
- エネルギーと仕事の関係 (\(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)):
- 選定理由: (3)で、運動の途中経過（加速度など）を問わず、始点と終点の状態（速さ）の関係を知りたいから。また、非保存力（外力、摩擦力）が仕事をしており、単純なエネルギー保存則が使えないからです。
- 適用根拠: エネルギー保存の法則を、非保存力が介在する場合にまで拡張した、より普遍的な物理法則です。
- 運動方程式 (\(ma=F\)) と 等加速度運動の公式 (\(v^2-v_0^2=2ax\)) (別解):
- 選定理由: (3)を、エネルギーではなく「力」の観点から解くため。運動のダイナミクス（加速度）を直接計算し、それを使って速さを求めます。
- 適用根拠: 運動方程式は力と運動の変化を結びつける根源的な法則であり、等加速度運動の公式はそこから導かれる便利な関係式です。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 外力の仕事:
- 戦略: 仕事の定義式を直接適用する。
- フロー: ①力の向きと移動方向が同じことを確認 → ②仕事の定義式 \(W_F = Fd\) を立式 → ③計算（この場合は立式がそのまま答え）。
- (2) 摩擦力の仕事:
- 戦略: 摩擦力の大きさを求め、仕事の定義式に適用する。
- フロー: ①力の分解図を描く → ②斜面に垂直な方向の力のつり合いから垂直抗力\(N\)を求める (\(N=mg\cos\theta\)) → ③動摩擦力の公式から摩擦力\(F’\)を求める (\(F’=\mu’N\)) → ④摩擦力の向き（運動と逆向き）を考慮し、仕事の定義式を立式 (\(W_f = -F’d\)) → ⑤数値を代入して計算。
- (3) 後の速さ:
- 戦略: エネルギーと仕事の関係式を立てる。
- フロー: ①始点と終点の力学的エネルギーを定義する（\(E_{\text{前}}\), \(E_{\text{後}}\)） → ②非保存力の仕事の和を計算する (\(W_{\text{非保存力}} = W_F + W_f\)) → ③エネルギーと仕事の関係式 \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\) を立式 → ④各項を代入し、未知数\(v\)について解く。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: (3)の計算では、(1)と(2)で求めた \(Fd\) や \(-\mu’mgd\cos\theta\) をすぐに代入するのではなく、まずは \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_F + W_f\) のように記号のまま式を立て、最後にまとめて代入すると、式の見通しが良くなり、ミスが減ります。
- 項の移項ミスに注意: (3)の計算で、\(mgd\sin\theta\) を右辺に移項する際に符号を間違えるミスが多いです。一つ一つの操作を丁寧に行いましょう。
- 単位の確認: 最終的に求めた速さの式の次元（単位）が、本当に速さの次元（[m/s]）になっているかを確認する（ディメンションチェック）と、大きな間違いに気づけることがあります。例えば、\(\sqrt{gd}\) は \(\sqrt{\text{[m/s²]}\cdot\text{[m]}} = \sqrt{\text{[m²/s²]}} = \text{[m/s]}\) となり、速さの次元と一致します。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (3) 速さ:
- もし摩擦がなかったら（\(\mu’=0\)）、速さは大きくなるはず。式の \(\mu’\) を0にすると、根号の中の引かれる項が小さくなるので、\(v\) は大きくなり、直感と一致します。
- もし加える力 \(F\) が大きければ、速さも大きくなるはず。式を見ると、\(v\) は \(F\) が大きいほど大きくなる関係になっており、妥当です。
- 根号の中身 \( \displaystyle\frac{F}{m} – g(\sin\theta + \mu’\cos\theta) \) は、別解で求めた加速度 \(a\) と同じ形をしています。この値が正でなければ物体は加速しない、という物理的な意味も読み取れます。
- (3) 速さ:
- 別解との比較:
- (3)の速さは、「エネルギーと仕事の関係」と「運動方程式」という全く異なる2つのアプローチで求められました。両者で完全に同じ結果が得られたことは、計算の正しさと物理的理解の確かさを強力に裏付けます。試験本番では、時間があれば別解で検算する習慣をつけると、得点力が格段に向上します。
126 保存力以外の力の仕事
【問題の確認】まずは問題文をしっかり読み解こう
この問題は、なめらかな面と摩擦のある面が連結されたコースを運動する物体の力学的エネルギーの変化を追う問題です。力学的エネルギー保存則が成り立つ区間と、成り立たない区間を正しく見極め、「エネルギーと仕事の関係」を的確に適用する能力が問われます。
- 円弧面の半径: \(R\)
- 小物体の質量: \(m\)
- 斜面の傾斜角: \(\theta\)
- 小物体と斜面間の動摩擦係数: \(\mu’\)
- 重力加速度の大きさ: \(g\)
- (1) 最下点Bを通過するときの速さ \(v\)。
- (2) 斜面をのぼった距離 CX の長さ \(d\)。
- (3) 逆戻りして到達した最高点Yの高さ \(H\)。
【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
本解説は、模範解答で採用されている「エネルギーと仕事の関係」を用いた解法を主たる解法として解説します。
それに加え、設問(2)および(3)について、教育的価値が高いと考えられる複数の別解を提示します。
- 設問(2)の別解
- 別解1: C-X間でエネルギーと仕事の関係を用いる解法
- 別解2: 運動方程式を用いる解法
- 設問(3)の別解
- 別解1: X-C-Y間でエネルギーと仕事の関係を用いる解法
- 別解2: 運動方程式を用いる解法
これらの別解が教育的に有益である理由は以下の通りです。
- 注目する区間を変えてエネルギー収支を考えることで、法則の適用範囲に対する理解が深まります。
- エネルギーというスカラー量で考えるアプローチと、力と加速度というベクトル量で考えるアプローチ（運動方程式）を比較検討することで、物理現象を多角的に捉える力が養われます。
いずれのアプローチを用いても、最終的な答えは模範解答と一致します。
この問題のテーマは「なめらかな面とあらい面を組み合わせた運動における力学的エネルギーの変化」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 力学的エネルギー保存則: なめらかな面（AB間、BC間）では、重力以外の力が仕事をしないため、力学的エネルギーが保存されます。
- エネルギーと仕事の関係: あらい斜面（CD間）では、非保存力である動摩擦力が負の仕事をするため、その仕事の分だけ力学的エネルギーが減少します。
- 力の図示と分解: 斜面上の運動を解析するために、重力を斜面に平行・垂直な成分に分解し、垂直抗力と動摩擦力を正しく求めます。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1) なめらかなAB間での運動なので、力学的エネルギー保存則を立てて速さ\(v\)を求めます。
- (2) AからXまでの運動全体に着目し、「力学的エネルギーの変化量 = 動摩擦力がした仕事」という関係式を立てて距離\(d\)を求めます。
- (3) AからYまでの往復運動全体に着目し、同様にエネルギーと仕事の関係式を立てて高さ\(H\)を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
小物体はなめらかな円弧面AB上を運動するため、働く力は重力と垂直抗力のみです。垂直抗力は常に運動方向と垂直なので仕事をしません。したがって、保存力である重力のみが仕事をするため、力学的エネルギーは保存されます。
この設問における重要なポイント
- 力学的エネルギー保存則: \(E = K + U = \text{一定}\)。運動エネルギー\(K\)と位置エネルギー\(U\)の和が一定に保たれます。
- 位置エネルギーの基準: 計算を簡単にするため、最下点Bを通る水平面を位置エネルギーの基準（高さ0）とします。
- 初状態と後状態: 初状態は点A（高さ\(R\)、速さ0）、後状態は点B（高さ0、速さ\(v\)）です。
具体的な解説と立式
点Bを通る水平面を重力による位置エネルギーの基準面（高さ0）とします。
点Aでの力学的エネルギー \(E_A\) は、静かにはなすので速さ0、高さが\(R\)であることから、
$$ E_A = \frac{1}{2}m \cdot 0^2 + mgR \quad \cdots ① $$
点Bでの力学的エネルギー \(E_B\) は、速さが\(v\)、高さが0であることから、
$$ E_B = \frac{1}{2}mv^2 + mg \cdot 0 \quad \cdots ② $$
AB間では力学的エネルギーが保存されるので、\(E_A = E_B\)が成り立ちます。
$$ \frac{1}{2}m \cdot 0^2 + mgR = \frac{1}{2}mv^2 + mg \cdot 0 $$
使用した物理公式
- 力学的エネルギー保存則: \(E_A = E_B\)
- 運動エネルギー: \(K = \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
- 重力による位置エネルギー: \(U = mgh\)
力学的エネルギー保存則の式を\(v\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgR &= \frac{1}{2}mv^2 \\[2.0ex]
v^2 &= 2gR \\[2.0ex]
v &= \sqrt{2gR}
\end{aligned}
$$
点Aで持っていた位置エネルギー（高さのエネルギー）が、なめらかな面を滑り降りることで、点Bではすべて運動エネルギー（速さのエネルギー）に変換された、というエネルギーの保存関係を式にしています。
最下点Bでの速さは \(\sqrt{2gR}\) です。これは自由落下で高さ\(R\)を落下したときの速さと同じであり、エネルギー保存則が正しく適用できていることを示唆しています。
問(2)
思考の道筋とポイント
CX間の距離\(d\)を求める問題です。小物体はA→B→C→Xと運動します。このうち、あらい斜面CX間で動摩擦力が仕事をし、力学的エネルギーが減少します。AからXまでの運動全体で、エネルギーと仕事の関係を考えるのが見通しが良いです。
この設問における重要なポイント
- エネルギーと仕事の関係: \(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)。力学的エネルギーの変化量は、非保存力（この場合は動摩擦力）がした仕事に等しいです。
- 動摩擦力の仕事: 動摩擦力の大きさ\(F’\)を求め、仕事\(W = -F’d\)を計算します。
- 始点と終点のエネルギー: 始点Aと終点Xでの力学的エネルギーをそれぞれ計算します。点Xでは速さが0になることに注意します。
具体的な解説と立式
始点をA、終点をXとして、エネルギーと仕事の関係 \(E_X – E_A = W_{\text{摩擦}}\) を考えます。
点Bを基準としたとき、点Aの力学的エネルギー \(E_A\) は、
$$ E_A = mgR \quad \cdots ① $$
点Xの高さ \(h_X\) は、斜面を距離\(d\)だけ進んでいるので \(h_X = d\sin\theta\) です。点Xでは速さが0になるので、点Xの力学的エネルギー \(E_X\) は、
$$ E_X = mg(d\sin\theta) \quad \cdots ② $$
次に、C→X間で動摩擦力がした仕事 \(W_{\text{摩擦}}\) を求めます。
斜面に垂直な方向の力のつり合いより、垂直抗力\(N\)は、
$$ N = mg\cos\theta $$
よって動摩擦力\(F’\)の大きさは、
$$ F’ = \mu’N = \mu’mg\cos\theta $$
動摩擦力は運動と逆向きに働くので、その仕事 \(W_{\text{摩擦}}\) は、
$$ W_{\text{摩擦}} = -F’d = -\mu’mgd\cos\theta \quad \cdots ③ $$
以上をエネルギーと仕事の関係式 \(E_X – E_A = W_{\text{摩擦}}\) に代入します。
$$ mg(d\sin\theta) – mgR = -\mu’mgd\cos\theta $$
使用した物理公式
- エネルギーと仕事の関係: \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\)
- 動摩擦力: \(F’ = \mu’N\)
上記で立てた式を\(d\)について解きます。
$$
\begin{aligned}
mgd\sin\theta – mgR &= -\mu’mgd\cos\theta
\end{aligned}
$$
項を移項して、
$$
\begin{aligned}
mgd\sin\theta + \mu’mgd\cos\theta &= mgR
\end{aligned}
$$
両辺を\(mg\)で割ると、
$$
\begin{aligned}
d\sin\theta + \mu’d\cos\theta &= R \\[2.0ex]
d(\sin\theta + \mu’\cos\theta) &= R \\[2.0ex]
d &= \frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}
\end{aligned}
$$
小物体が最初に持っていた位置エネルギー\(mgR\)の一部は、斜面をのぼることで位置エネルギー\(mgd\sin\theta\)に変わり、残りは摩擦によって熱エネルギー\( \mu’mgd\cos\theta \)として失われました。このエネルギーの収支を式にしています。
CX間の距離は \(d = \frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\) です。もし斜面がなめらか（\(\mu’=0\)）なら、\(d = R/\sin\theta\) となり、これは高さ\(R\)まで到達することを意味し、A-X間でのエネルギー保存と一致します。摩擦があることで分母が大きくなり、進む距離\(d\)が短くなるという、物理的に妥当な結果です。
思考の道筋とポイント
始点をC、終点をXとして、あらい斜面上の運動のみに着目する方法です。点Cでの力学的エネルギーを求め、エネルギーと仕事の関係を適用します。
具体的な解説と立式
点Cはなめらかな水平面上にあるため、点Bと同じ速さ \(v = \sqrt{2gR}\) を持ち、高さは0です。したがって、点Cでの力学的エネルギー \(E_C\) は、
$$
\begin{aligned}
E_C &= \frac{1}{2}mv^2 \\[2.0ex]
&= \frac{1}{2}m(2gR) \\[2.0ex]
&= mgR
\end{aligned}
$$
点Xでの力学的エネルギー \(E_X\) と摩擦の仕事 \(W_{\text{摩擦}}\) は主たる解法と同じです。
$$ E_X = mgd\sin\theta $$
$$ W_{\text{摩擦}} = -\mu’mgd\cos\theta $$
エネルギーと仕事の関係式 \(E_X – E_C = W_{\text{摩擦}}\) に代入します。
$$ mgd\sin\theta – mgR = -\mu’mgd\cos\theta $$
この式は主たる解法で得られた式と全く同じであり、以降の計算も同様になります。
思考の道筋とポイント
エネルギーではなく、力の観点から解く方法です。C→X間の加速度を運動方程式から求め、等加速度直線運動の公式を用いて距離\(d\)を計算します。
具体的な解説と立式
斜面に沿って上向きを正とします。小物体に働く斜面方向の力は、下向きの重力の分力 \(-mg\sin\theta\) と、下向きの動摩擦力 \(-\mu’mg\cos\theta\) です。
運動方程式 \(ma = F\) より、加速度\(a\)は、
$$ ma = -mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta \quad \cdots ① $$
等加速度直線運動の公式 \(v_{\text{後}}^2 – v_{\text{前}}^2 = 2ax\) を用います。
初速度は \(v_C = \sqrt{2gR}\)、終端速度は \(v_X = 0\)、移動距離は \(d\) です。
$$ 0^2 – (\sqrt{2gR})^2 = 2ad \quad \cdots ② $$
計算過程
まず①式から加速度\(a\)を求めます。
$$ a = -g(\sin\theta + \mu’\cos\theta) $$
次に、この\(a\)を②式に代入します。
$$
\begin{aligned}
-2gR &= 2\{-g(\sin\theta + \mu’\cos\theta)\}d \\[2.0ex]
-2gR &= -2gd(\sin\theta + \mu’\cos\theta)
\end{aligned}
$$
両辺を \(-2g\) で割ると、
$$
\begin{aligned}
R &= d(\sin\theta + \mu’\cos\theta) \\[2.0ex]
d &= \frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}
\end{aligned}
$$
となり、同じ結果が得られます。
問(3)
思考の道筋とポイント
逆戻りして到達する最高点Yの高さを求める問題です。A→X→Yという一連の運動で考えます。この間、動摩擦力は行き（C→X）と帰り（X→C）の両方で仕事をし、エネルギーを奪い続けます。
この設問における重要なポイント
- 往復での摩擦の仕事: 行きと帰りで摩擦力がする仕事は、どちらも負です。したがって、往復で動摩擦力がした仕事は \(2 \times (-\mu’mgd\cos\theta)\) となります。
- 始点と終点の選定: 始点をA、終点をYとして、A→Yの全行程でエネルギーと仕事の関係を考えるのが最も簡潔です。
- 終点Yの状態: 最高点Yでは速さが0になります。
具体的な解説と立式
始点をA、終点をYとして、エネルギーと仕事の関係 \(E_Y – E_A = W_{\text{往復摩擦}}\) を考えます。
点Aの力学的エネルギー \(E_A\) は、
$$ E_A = mgR \quad \cdots ① $$
点Yの高さは\(H\)、速さは0なので、力学的エネルギー \(E_Y\) は、
$$ E_Y = mgH \quad \cdots ② $$
C→X→Cの往復で動摩擦力がした仕事 \(W_{\text{往復摩擦}}\) は、(2)で求めた片道の仕事の2倍です。
$$ W_{\text{往復摩擦}} = 2 \times (-\mu’mgd\cos\theta) = -2\mu’mgd\cos\theta \quad \cdots ③ $$
エネルギーと仕事の関係式に①、②、③を代入します。
$$ mgH – mgR = -2\mu’mgd\cos\theta $$
使用した物理公式
- エネルギーと仕事の関係: \(E_{\text{後}} – E_{\text{前}} = W_{\text{非保存力}}\)
上記で立てた式を\(H\)について解き、(2)で求めた\(d\)の値を代入します。
$$
\begin{aligned}
mgH &= mgR – 2\mu’mgd\cos\theta
\end{aligned}
$$
両辺を\(mg\)で割ると、
$$
\begin{aligned}
H &= R – 2\mu’d\cos\theta
\end{aligned}
$$
ここに \(d = \frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= R – 2\mu’\left(\frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\right)\cos\theta \\[2.0ex]
&= R \left( 1 – \frac{2\mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta} \right) \\[2.0ex]
&= R \left( \frac{(\sin\theta + \mu’\cos\theta) – 2\mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta} \right) \\[2.0ex]
&= R \frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}
\end{aligned}
$$
最初に持っていたエネルギー\(mgR\)から、斜面を往復する間に摩擦で失われたエネルギーを引いた残りが、最終的に到達する点Yでの位置エネルギー\(mgH\)になった、という関係を式にしています。
最高点Yの高さは \(H = R \frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\) です。分子が \(\sin\theta – \mu’\cos\theta\) となっており、これは \(\tan\theta > \mu’\) でないと物体が斜面を滑り降りない（静止摩擦力に負ける）ことを示唆しています。物理的に妥当な条件を含んだ結果と言えます。
思考の道筋とポイント
始点をX、終点をYとして考える方法です。X→C間で摩擦力が仕事をし、C→Y間では力学的エネルギーが保存されます。
具体的な解説と立式
点Xでの力学的エネルギー \(E_X\) は、
$$ E_X = mgd\sin\theta $$
X→C間で摩擦力がする仕事は \(W_{\text{摩擦}} = -\mu’mgd\cos\theta\) です。
点Cに達したときの力学的エネルギーを \(E_C’\) とすると、\(E_C’ – E_X = W_{\text{摩擦}}\) より、
$$
\begin{aligned}
E_C’ &= E_X + W_{\text{摩擦}} \\[2.0ex]
&= mgd\sin\theta – \mu’mgd\cos\theta
\end{aligned}
$$
C→Y間はなめらかなので力学的エネルギーが保存され、\(E_Y = E_C’\) となります。
$$ mgH = mgd\sin\theta – \mu’mgd\cos\theta $$
計算過程
上記式を\(H\)について解き、\(d\)を代入します。
$$
\begin{aligned}
H &= d\sin\theta – \mu’d\cos\theta \\[2.0ex]
&= d(\sin\theta – \mu’\cos\theta)
\end{aligned}
$$
ここに \(d = \frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\) を代入すると、
$$
\begin{aligned}
H &= \left( \frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta} \right) (\sin\theta – \mu’\cos\theta) \\[2.0ex]
&= R \frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}
\end{aligned}
$$
となり、同じ結果が得られます。
思考の道筋とポイント
X→C間の運動を運動方程式で解析し、点Cに達したときの速さ\(v’\)を求めます。その後、C→Y間のエネルギー保存則から高さ\(H\)を求めます。
具体的な解説と立式
X→Cの運動について、斜面下向きを正とします。働く力は重力の分力 \(mg\sin\theta\) と動摩擦力 \(-\mu’mg\cos\theta\) です。
運動方程式より、加速度\(a’\)は、
$$ ma’ = mg\sin\theta – \mu’mg\cos\theta \quad \cdots ① $$
等加速度運動の公式 \(v’^2 – v_0^2 = 2a’x\) より、点Cでの速さ\(v’\)は、
$$ v’^2 – 0^2 = 2a’d \quad \cdots ② $$
C→Y間では力学的エネルギーが保存されるので、
$$ \frac{1}{2}mv’^2 = mgH \quad \cdots ③ $$
計算過程
まず①式から加速度\(a’\)を求めます。
$$ a’ = g(\sin\theta – \mu’\cos\theta) $$
次に②式から\(v’^2\)を求めます。
$$ v’^2 = 2g(\sin\theta – \mu’\cos\theta)d $$
最後に③式から\(H\)を求めます。
$$
\begin{aligned}
H &= \frac{v’^2}{2g} \\[2.0ex]
&= \frac{2g(\sin\theta – \mu’\cos\theta)d}{2g} \\[2.0ex]
&= d(\sin\theta – \mu’\cos\theta)
\end{aligned}
$$
これは別解1の途中式と同じであり、以降の計算も同様になります。
【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座
最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 力学的エネルギー保存則:
- 核心: (1)を解くための法則です。なめらかな面（AB間、BC間、CY間）では、垂直抗力は仕事をせず、働く保存力は重力のみです。そのため、運動エネルギーと位置エネルギーの和である力学的エネルギーは一定に保たれます。
- 理解のポイント: どの区間でこの法則が適用でき、どの区間でできないのかを最初に見極めることが問題解決の第一歩です。
- エネルギーと仕事の関係（\(\Delta E = W_{\text{非保存力}}\)）:
- 核心: (2)と(3)を解くための中心法則です。あらい斜面（CD間）では、非保存力である動摩擦力が負の仕事をするため、力学的エネルギーは保存されません。このとき、力学的エネルギーの変化量は、動摩擦力がした仕事に等しくなります。
- 理解のポイント: この法則は、エネルギー保存則を含むより一般的な法則です。摩擦や空気抵抗など、エネルギーを散逸させる力が働く場面で非常に強力なツールとなります。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- ジェットコースターのような複雑な軌道: なめらかな部分と摩擦のある部分が混在するコースでの運動。各区間のエネルギー変化を追跡します。
- 振り子が摩擦のある床の上を通過する運動: 振り子の円運動（エネルギー保存）と水平面での摩擦運動（エネルギー減少）を組み合わせた問題。
- ばねと摩擦面を組み合わせた運動: ばねの弾性エネルギーも力学的エネルギーに含めて考え、摩擦によるエネルギー損失を計算します。
- 初見の問題での着眼点:
- 運動の区間を分割して考える: まず、運動全体を「力学的エネルギーが保存される区間」と「保存されない区間」に分割します。この問題では「A→C」「C→X」「X→C」「C→Y」の4区間です。
- 注目する始点と終点を賢く選ぶ:
- (2)では、始点Aと終点Xを選ぶと、途中の点BやCの状態を考えずに済み、計算が簡潔になります。
- (3)では、始点Aと終点Yを選ぶと、往復の摩擦によるエネルギー損失を一度に計算でき、見通しが良くなります。
- 摩擦力の向きを常に意識する: 動摩擦力は常に物体の運動方向と逆向きに働きます。したがって、斜面をのぼるときも下るときも、動摩擦力は常に負の仕事をします。これを「下るときは正の仕事」と勘違いしないよう注意が必要です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 摩擦力の仕事の計算ミス:
- 誤解: 斜面を下るときの摩擦力の仕事を正としてしまう。あるいは、往復の仕事がゼロになると考えてしまう。
- 対策: 仕事はスカラー量ですが、その計算には力の向きが重要です。動摩擦力は常に「速度ベクトルと逆向き」と覚えましょう。したがって、斜面をのぼるとき（速度が上向き）も下るとき（速度が下向き）も、摩擦力は常にエネルギーを奪う「負の仕事」をします。
- エネルギーと仕事の関係式の適用区間の誤り:
- 誤解: A→B間で摩擦の仕事を考慮してしまう、あるいはC→X間でエネルギー保存則を立ててしまう。
- 対策: 問題文の「なめらか」「あらい」というキーワードに印をつけ、どの区間でどの法則が適用できるかを明確に区別する習慣をつけましょう。
- 位置エネルギーの基準点の混同:
- 誤解: 計算の途中で位置エネルギーの基準点（高さ0の点）を無意識に変えてしまう。
- 対策: 問題を解き始める前に、「この問題では点Bを高さの基準とする」と答案用紙の隅にメモするなど、基準点を固定する意識を持ちましょう。
物理の眼を養う：現象のイメージ化と図解の極意
- この問題での有効なイメージ化と図示:
- エネルギーの増減グラフ: 横軸に物体の位置（A, B, C, X, C, Y）、縦軸に力学的エネルギーをとったグラフをイメージします。
- A→C: なめらかなのでエネルギーは一定（水平線）。
- C→X: 摩擦でエネルギーが直線的に減少（右下がりの直線）。
- X→C: 帰りも摩擦でさらにエネルギーが減少（再び右下がりの直線）。
- C→Y: なめらかなのでエネルギーは一定（水平線）。
このグラフを描くことで、どの区間でどれだけエネルギーが失われたかが一目瞭然になります。
- エネルギーの増減グラフ: 横軸に物体の位置（A, B, C, X, C, Y）、縦軸に力学的エネルギーをとったグラフをイメージします。
- 図を描く際に注意すべき点:
- 力のベクトル図: 特に斜面上の運動では、重力、垂直抗力、動摩擦力の3つの力を正確に図示することが不可欠です。特に、のぼりと下りで動摩擦力の向きが逆になることを明確に描き分けましょう。
- 幾何学関係の明記: 斜面上の距離\(d\)と高さ\(h\)の関係（\(h=d\sin\theta\)）を図に書き込むことで、位置エネルギーの計算ミスを防ぎます。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- 力学的エネルギー保存則:
- 選定理由: (1)で、なめらかな面での運動であり、非保存力が仕事をしないため。始点と終点の速さと高さの関係を最も簡単に記述できます。
- 適用根拠: 非保存力が仕事をしない、またはその仕事がゼロの場合、系の力学的エネルギーは保存されるという物理法則に基づきます。
- エネルギーと仕事の関係:
- 選定理由: (2), (3)で、摩擦という非保存力が仕事をする区間を含むため。エネルギー保存則が使えない状況で、エネルギーの変化を定量化する唯一の手段です。
- 適用根拠: エネルギー保存則を拡張した、より一般的な法則。系のエネルギー変化は、外部からされた仕事や、系内部で発生した非保存力の仕事に等しいという、エネルギー収支の原理に基づきます。
- 運動方程式と等加速度運動の公式（別解）:
- 選定理由: エネルギー（スカラー）ではなく、力と加速度（ベクトル）の観点から運動を解析するため。運動の過程そのものを詳細に記述したい場合に用います。
- 適用根拠: ニュートンの運動法則という、古典力学の根幹をなす法則に基づいています。
思考を整理する：立式から計算までのロジカルフロー
- (1) 点Bでの速さ:
- 戦略: A→B間で力学的エネルギー保存則を適用。
- フロー: ①A点とB点を基準に位置エネルギーと運動エネルギーを定義 → ②\(E_A = E_B\) を立式 → ③\(v\)について解く。
- (2) 距離d:
- 戦略: A→X間でエネルギーと仕事の関係を適用。
- フロー: ①A点とX点の力学的エネルギーを定義 → ②C→X間で摩擦力がする仕事を計算 → ③\(E_X – E_A = W_{\text{摩擦}}\) を立式 → ④\(d\)について解く。
- (3) 高さH:
- 戦略: A→Yの全行程でエネルギーと仕事の関係を適用。
- フロー: ①A点とY点の力学的エネルギーを定義 → ②C→X→Cの往復で摩擦力がする仕事を計算（片道の2倍） → ③\(E_Y – E_A = W_{\text{往復摩擦}}\) を立式 → ④(2)で求めた\(d\)を代入し、\(H\)について解く。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 文字式のまま計算を進める: (3)の計算では、\(H = R – 2\mu’d\cos\theta\) という関係を導いてから、最後に(2)で求めた\(d\)の式を代入するのが賢明です。途中で数値を代入すると、計算が複雑になり、ミスを誘発します。
- 通分と約分を丁寧に: (3)の最後の計算では、分数の引き算と通分が必要です。\(1 = \frac{\sin\theta + \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\) のように、丁寧な式変形を心がけましょう。
- mgで割るタイミング: エネルギーの式には各項に\(mg\)が含まれることが多いです。早い段階で両辺を\(mg\)で割ると、式がシンプルになり、見通しが良くなります。
解きっぱなしはNG！解答の妥当性を吟味する習慣をつけよう
- 得られた答えの物理的妥当性の検討:
- (2) 距離d: もし摩擦係数\(\mu’\)が大きければ、より早く止まるはず。求めた式 \(d = \frac{R}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\) は、\(\mu’\)が大きいほど分母が大きくなり、\(d\)が小さくなるため、直感と一致します。
- (3) 高さH: 往復で摩擦によりエネルギーを失うので、\(H\)は必ず元の高さ\(R\)より低くなるはずです。求めた式 \(H = R \frac{\sin\theta – \mu’\cos\theta}{\sin\theta + \mu’\cos\theta}\) の分数の部分は、分子が分母より小さいため、必ず1未満になります。したがって \(H < R\) となり、妥当です。また、摩擦がない（\(\mu’=0\)）極限を考えると、\(H=R\)となり、エネルギーが保存される状況と一致します。
- 別解との比較:
- (2)と(3)は、注目する区間を変えた別解や、運動方程式を用いた別解など、複数のアプローチで解くことができました。すべてのアプローチで同じ答えにたどり着くことを確認することで、計算の正確性と物理法則の理解度の両方を検証できます。
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