「リードα 物理基礎・物理 改訂版」徹底解説！【第1章】基本問題7～16

基本問題

7 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「相対速度」です。動いている物体から別の動いている物体を見たとき、それがどのように見えるか（見かけの速度）を扱う、相対運動の基本問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
「Aから見たBの速度」を求める問題です。観測者はA、観測される相手はBです。互いに逆向きに動いているため、Aから見るとBは非常に速く遠ざかっていくように見えるはずです。この直感を、相対速度の公式を用いて定量的に計算します。
この設問における重要なポイント

• 相対速度の公式は「相手の速度 – 自分の速度」。
• 計算の前に、基準となる向き（正の向き）を定め、各物体の速度を符号で表す。

具体的な解説と立式
まず、東向きを正の向きと定めます。すると、各物体の速度は以下のように表せます。

• 列車Aの速度 \(v_A\): 西向きに \(30 \text{ m/s}\) なので、\(v_A = -30 \text{ m/s}\)
• 自動車Bの速度 \(v_B\): 東向きに \(15 \text{ m/s}\) なので、\(v_B = +15 \text{ m/s}\)

Aから見たBの速度 \(v_{AB}\) は、相対速度の公式より、
$$ v_{AB} = v_B – v_A $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{AB} &= (+15) – (-30) \\[2.0ex]&= 15 + 30 \\[2.0ex]&= +45 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

自分が西向きに秒速30mで進んでいる列車Aに乗っていると想像してください。地面に静止している木でさえ、自分から見れば東向きに秒速30mで遠ざかって見えます。それに加えて、自動車Bは実際に東向きに秒速15mで走っています。したがって、Aから見ると、Bは「自分が動いていることによる見かけの速さ」と「B自身の速さ」が合わさって、東向きに \(30 + 15 = 45\) m/s という猛スピードで遠ざかっていくように見えます。

計算結果は \(+45 \text{ m/s}\) となりました。正の向きは東向きと定めたので、答えは「東向きに \(45 \text{ m/s}\)」となります。互いに反対方向に進む物体どうしがすれ違うとき、その相対的な速さは各々の速さの和になる、という直感とも一致しており、結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
「Bから見たAの速度」を求める問題です。(1)とは観測者と相手が入れ替わっています。Aから見てBが東へ遠ざかるなら、Bから見ればAは西へ遠ざかるはずです。この関係性を数式で確認します。
この設問における重要なポイント

• 観測者がB、相手がAなので、公式は \(v_{BA} = v_A – v_B\) となる。
• Aから見たBの速度と、Bから見たAの速度は、大きさが等しく向きが逆になる (\(v_{BA} = -v_{AB}\))。

具体的な解説と立式
東向きを正とする設定は(1)と同じです。

• 列車Aの速度 \(v_A = -30 \text{ m/s}\)
• 自動車Bの速度 \(v_B = +15 \text{ m/s}\)

Bから見たAの速度 \(v_{BA}\) は、相対速度の公式より、
$$ v_{BA} = v_A – v_B $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{BA} &= (-30) – (+15) \\[2.0ex]&= -30 – 15 \\[2.0ex]&= -45 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

(1)の状況を、今度は自動車Bの運転席から見てみましょう。Aから見てBが「東向きに45m/s」で遠ざかるということは、Bから見れば、Aは全く逆の「西向きに45m/s」で遠ざかっていくはずです。

計算結果は \(-45 \text{ m/s}\) となりました。負の向きは西向きと定めたので、答えは「西向きに \(45 \text{ m/s}\)」となります。(1)の答えと大きさが同じで向きだけが逆になっており、物理的に正しい関係です。

問(3)

思考の道筋とポイント
今度は相対速度が与えられており、それをもとに自動車Cの地面に対する速度（絶対速度）を求める問題です。相対速度の公式を、未知数 \(v_C\) を含む方程式として扱い、解を求めます。
この設問における重要なポイント

• 与えられた相対速度の情報を、設定した座標軸の符号に正しく変換する。
• 相対速度の公式に既知の値をすべて代入し、未知数についての方程式を立てる。

具体的な解説と立式
東向きを正とする設定は同じです。

• 列車Aの速度 \(v_A = -30 \text{ m/s}\)
• Cから見たAの速度 \(v_{CA}\) は「西向きに \(10 \text{ m/s}\)」なので、\(v_{CA} = -10 \text{ m/s}\)
• 求める自動車Cの速度を \(v_C\) とします。

相対速度の公式 \(v_{CA} = v_A – v_C\) に、これらの値を代入します。
$$ -10 = (-30) – v_C $$
この方程式を \(v_C\) について解きます。

方程式を \(v_C\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-10 &= -30 – v_C \\[2.0ex]v_C &= -30 – (-10) \\[2.0ex]v_C &= -30 + 10 \\[2.0ex]v_C &= -20 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

Cから見ると、Aは西向きに秒速10mで遠ざかって見えます。しかし、Aは地面に対しては西向きに秒速30mというもっと速いスピードで走っています。Aが「思ったより遅く」見えるのは、C自身もAと同じ西向きに追いかけているからです。その速度の差が10m/sなので、Cの速さはAの速さより10m/sだけ遅い、つまり西向きに \(30 – 10 = 20\) m/sの速さで走っているとわかります。

計算結果は \(-20 \text{ m/s}\) となりました。負の向きは西向きなので、答えは「西向きに \(20 \text{ m/s}\)」となります。
この結果が正しいか検算してみましょう。もしCが西向きに20m/sで走っているなら、Cから見たAの速度は \(v_A – v_C = (-30) – (-20) = -10 \text{ m/s}\) となり、問題文の「西向きに10m/s」という条件と一致します。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度の公式:
  • 核心: 「観測者Aから見た物体Bの相対速度 \(v_{AB}\)」は、「Bの（地面に対する）速度 \(v_B\)」から「Aの（地面に対する）速度 \(v_A\)」を引いたものである、という公式 \(v_{AB} = v_B – v_A\) を理解し、使いこなすことが全てです。
  • 理解のポイント:
    • 言葉と式を正確に対応させること。「Aから見たBの速度」と言われたら、添字を \(v_{AB}\) とし、式は \(v_B – v_A\) となります。「〜から見た」の「〜」が引かれる方（基準）です。
    • この式はベクトル式なので、1次元の運動では、あらかじめ設定した座標軸の向き（例：東向きを正）に従って、各速度を符号付きのスカラー量として扱うことが重要です。
• 速度の相対性:
  • 核心: 速度は絶対的なものではなく、誰（どの座標系）から見るかによって変わる相対的な量であるという概念を理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 問題文で与えられる速度は、特に断りがなければ「地面」という静止した基準から見た速度（絶対速度）です。
    • 相対速度は、動いている観測者という「動く座標系」から見た速度と言い換えることができます。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 2次元の相対速度: 互いに直角やある角度をなして進む2物体の相対速度を求める問題。この場合、\(v_{AB} = v_B – v_A\) をベクトルの引き算として図示し、三平方の定理や余弦定理を用いて解くことになります。
  • 衝突問題: 衝突する2物体の一方から見たもう一方の物体の運動を考えることで、問題が簡単になる場合があります（重心座標系）。
  • ドップラー効果: 音源や観測者が動くことで音の振動数が変わって聞こえる現象も、音速と物体速度の相対的な関係が基礎となっています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 誰が観測者か？: 問題文の「〜から見た」という表現に注目し、誰が観測者（基準）で、誰が観測される相手なのかを明確にします。
  2. 座標軸を設定する: 東向きを正、西向きを負など、自分で座標軸を決め、そのことを答案に明記します。
  3. 全ての速度を符号付きでリストアップする: 問題文にある全ての速度と、求めたい未知の速度を、設定した座標軸に従って符号付きで書き出します。（例: \(v_A = -30\), \(v_B = +15\), \(v_{CA} = -10\)）
  4. 公式に代入する: リストアップした値を、相対速度の公式 \(v_{AB} = v_B – v_A\) に機械的に代入します。これにより、足し算か引き算かといった混乱を避けられます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 引く順番の間違い:
  • 誤解: 「Aから見たBの速度」を計算するのに、\(v_A – v_B\) と計算してしまう。
  • 対策: 「（相手）-（自分）」または「（見られる方）-（見る方）」というルールを徹底します。言葉の順番（AからB）と式の添字の順番（AB）を合わせ、式の右辺は添字をひっくり返して引き算（B-A）と覚えるのも有効です。
• 符号の扱いミス:
  • 誤解: (1)で \(v_{AB} = 15 – 30 = -15\) のように、\(v_A\) の負号を考慮し忘れる。または、(3)で \(v_C = -30 – 10 = -40\) のように、移項の際の符号変化を間違える。
  • 対策: 速度を代入する際は、必ず括弧をつけて代入する癖をつける（例: \((+15) – (-30)\)）。これにより、マイナスとマイナスが重なる場合の計算ミスを防げます。方程式を解く際も、焦らず一行ずつ丁寧に式変形することが重要です。
• 直感による誤った計算:
  • 誤解: (1)で、すれ違うから速さの差だろうと考え、\(30 – 15 = 15\) と計算してしまう。
  • 対策: 直感はあくまで検算や理解の助けに留め、計算自体は必ず公式に忠実に従う。特に相対速度では、直感が外れることも多いため、座標軸を設定して機械的に計算する方が安全です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の公式 (\(v_{AB} = v_B – v_A\)):
  • 選定理由: この問題は「Aから見たBの速度」のように、ある物体から見た別の物体の速度、すなわち「相対速度」を問うているため、この公式が直接的に適用されます。
  • 適用根拠: この公式は、速度の座標変換の一種と考えることができます。地面に固定された座標系での速度 \(v_A, v_B\) を、Aに固定された（Aと共に動く）座標系から見た速度に変換する操作が、基準となるAの速度を引くことに相当します。
    • (1), (2)では、地面に対する速度 \(v_A, v_B\) から相対速度 \(v_{AB}, v_{BA}\) を求めるので、公式をそのまま使います。
    • (3)では、相対速度 \(v_{CA}\) と地面に対する速度 \(v_A\) から、もう一方の地面に対する速度 \(v_C\) を求めるので、公式を方程式として利用します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 正の向きを明記する: 計算を始める前に、答案用紙の最初に「東向きを正とする」と宣言する。この一手間が、思考の基準を明確にし、符号ミスを防ぎます。
• 括弧を使って代入: 負の値を代入するときは、必ず \((-30)\) のように括弧を使う。特に \(-(-30)\) のような形になるときにミスが激減します。
• 移項は一段階ずつ: (3)のような方程式を解く際は、\(v_C = -30 – (-10)\) のように、一気に答えを出そうとせず、まずは \(v_C\) を左辺に、数値を右辺に集めるなど、一段階ずつ丁寧に行う。
• 検算の習慣: (3)で \(v_C = -20\) m/s と求めたら、それを使ってCから見たAの速度を計算し直してみる。「\(v_{CA} = v_A – v_C = (-30) – (-20) = -10\) m/s。これは西向きに10m/sを意味し、問題文と一致する。OK。」という確認作業を行うことで、解答の確実性が格段に上がります。

8 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「2次元平面における相対速度」です。互いに直交する方向に進む2つの物体の相対的な運動を、ベクトルを用いて考える問題です。ベクトルの引き算を正しく図示し、三平方の定理を適用する能力が問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
Aに対するBの相対速度、つまり列車Aに乗っている人から見た自動車Bの速度を求めます。Aは東へ、Bは南へ進んでいるため、Aから見るとBは「自分が東へ進むことによる見かけの西向きの動き」と「B自身の南向きの動き」が合わさって、南西方向へ動いて見えるはずです。この見え方をベクトル計算で正確に求めます。
この設問における重要なポイント

• 相対速度の公式 \(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) をベクトルとして扱う。
• ベクトルの引き算は、逆ベクトル \(-\vec{v}_A\) を用いて \(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B + (-\vec{v}_A)\) と考えると、ベクトルの合成（足し算）として作図しやすく、直感的で分かりやすい。
• \(\vec{v}_A\) と \(\vec{v}_B\) は直交しているので、\(\vec{v}_B\) と \(-\vec{v}_A\) も直交する。

具体的な解説と立式
列車Aの速度を \(\vec{v}_A\)（東向き、大きさ \(v_A = 20 \text{ m/s}\)）、自動車Bの速度を \(\vec{v}_B\)（南向き、大きさ \(v_B = 20 \text{ m/s}\)）とします。
Aに対するBの相対速度 \(\vec{v}_{AB}\) は、公式より
$$ \vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A $$
このベクトルの引き算は、\(\vec{v}_A\) の逆ベクトル \(-\vec{v}_A\) を使って、次のように足し算の形に変形できます。
$$ \vec{v}_{AB} = \vec{v}_B + (-\vec{v}_A) $$
ここで、\(-\vec{v}_A\) は「西向きに \(20 \text{ m/s}\)」の速度ベクトルです。
したがって、求める相対速度 \(\vec{v}_{AB}\) は、「南向きに \(20 \text{ m/s}\)」の \(\vec{v}_B\) と「西向きに \(20 \text{ m/s}\)」の \(-\vec{v}_A\) を合成したベクトルになります。
この2つのベクトルは直交しており、その大きさを \(v_{AB}\) とすると、三平方の定理から以下の式が成り立ちます。
$$ v_{AB}^2 = v_B^2 + v_A^2 $$

各値を式に代入して、大きさ \(v_{AB}\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
v_{AB}^2 &= 20^2 + 20^2 \\[2.0ex]&= 400 + 400 \\[2.0ex]&= 800
\end{aligned}
$$
\(v_{AB} > 0\) なので、
$$
\begin{aligned}
v_{AB} &= \sqrt{800} = \sqrt{400 \times 2} = 20\sqrt{2}
\end{aligned}
$$
\(\sqrt{2} \approx 1.41\) を用いて、
$$
\begin{aligned}
v_{AB} &= 20 \times 1.41 = 28.2
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、大きさは \(28 \text{ m/s}\) となります。
向きは、南向きのベクトルと西向きのベクトルを合成したので、「南西向き」となります。

列車Aに乗っている人から見ると、世界は西向きに秒速20mで動いて見えます。その世界の中で、自動車Bはさらに南向きに秒速20mで動いています。この「西向きの動き」と「南向きの動き」が合わさるため、AからはBが南西の方向へ進むように見えます。その速さは、縦20、横20の直角二等辺三角形の斜辺の長さを求める計算と同じで、\(20\sqrt{2}\) m/s、およそ28m/sとなります。

Aに対するBの相対速度は、大きさが \(28 \text{ m/s}\) で、向きは南西向きです。AとBの速度の大きさが同じなので、相対速度の向きがちょうど中間である南西向きになるという結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
Aに対するCの相対速度の大きさが与えられており、それをもとに自動車Cの速さを求める問題です。これも(1)と同様に、相対速度の公式をベクトル図で表現し、三平方の定理を適用します。今回は、求める速さ \(v_C\) が直角三角形の一辺の長さとして現れます。
この設問における重要なポイント

• 関係式 \(\vec{v}_{AC} = \vec{v}_C – \vec{v}_A\) をベクトル三角形で考える。
• \(\vec{v}_A\)（東向き）と \(\vec{v}_C\)（北向き）は直交している。
• この直角三角形において、相対速度 \(\vec{v}_{AC}\) が斜辺になる。

具体的な解説と立式
列車Aの速度を \(\vec{v}_A\)（東向き、大きさ \(v_A = 20 \text{ m/s}\)）、自動車Cの速度を \(\vec{v}_C\)（北向き、大きさ \(v_C\) は未知）とします。
Aに対するCの相対速度 \(\vec{v}_{AC}\) の大きさは \(v_{AC} = 25 \text{ m/s}\) です。
相対速度の公式は、
$$ \vec{v}_{AC} = \vec{v}_C – \vec{v}_A $$
この3つのベクトルの関係を図で考えます。\(\vec{v}_A\) と \(\vec{v}_C\) の始点をそろえて描くと、\(\vec{v}_A\) の終点から \(\vec{v}_C\) の終点へ引いたベクトルが \(\vec{v}_{AC}\) となります。
ここで、\(\vec{v}_A\)（東向き）と \(\vec{v}_C\)（北向き）は互いに直交しているため、この3つのベクトルでできる三角形は直角三角形になります。
三平方の定理より、斜辺である \(v_{AC}\) の2乗は、他の2辺 \(v_A\) と \(v_C\) の2乗の和に等しくなります。
$$ v_{AC}^2 = v_A^2 + v_C^2 $$

各値を式に代入して、未知数 \(v_C\) を含む方程式を解きます。
$$
\begin{aligned}
25^2 &= 20^2 + v_C^2 \\[2.0ex]625 &= 400 + v_C^2 \\[2.0ex]v_C^2 &= 625 – 400 \\[2.0ex]v_C^2 &= 225
\end{aligned}
$$
\(v_C > 0\) なので、
$$ v_C = \sqrt{225} = 15 \text{ [m/s]} $$

Aから見ると、Cは斜め（北西方向）に25m/sで動いて見えます。この「見かけの動き」は、「C自身の本当の動き（北向き）」と、「Aが動いていることによる見かけの動き（西向き20m/s）」が合わさったものです。これら3つの速さの関係は、斜辺の長さが25、一つの辺の長さが20の直角三角形をなします。三平方の定理を使って残りの辺の長さ（Cの本当の速さ）を計算すると、15m/sと求まります。これは、辺の比が3:4:5となる有名な直角三角形（15:20:25）の関係になっています。

自動車Cの速さは \(15 \text{ m/s}\) です。速さ 20, 15, 25 は、3:4:5 の直角三角形の辺の比（各辺を5倍したもの）に相当し、計算結果は整合性が取れています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 2次元における相対速度のベクトル演算:
  • 核心: 相対速度の公式 \(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) を、1次元の符号付き数値の計算から、2次元平面上でのベクトルの引き算として正しく理解し、実行できることが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • ベクトルの引き算 \(\vec{v}_B – \vec{v}_A\) は、\(\vec{v}_A\) の逆ベクトル \(-\vec{v}_A\) を用いて、\(\vec{v}_B + (-\vec{v}_A)\) というベクトルの足し算（合成）として考えると、作図がしやすく直感的です。
    • あるいは、\(\vec{v}_A\) と \(\vec{v}_B\) の始点をそろえて描き、「引く側（\(\vec{v}_A\)）の終点」から「引かれる側（\(\vec{v}_B\)）の終点」へ向かうベクトルが相対速度 \(\vec{v}_{AB}\) になる、という作図法をマスターすることも重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 一般的な角度での相対速度: 互いに直交しない角度で進む2物体の相対速度。この場合、ベクトル図は一般的な三角形になり、余弦定理や正弦定理を用いて解くことになります。
  • 衝突と相対速度: 2次元での衝突現象を、一方の物体から見た相対的な運動として捉えることで、衝突後の軌道を予測する問題。
  • 速度の合成との関係: 川を渡る船の問題（速度の合成）は、岸から見た船の速度を求めるものでした。相対速度は、その逆で、船から見た岸の動きや、別の船の動きを考えることに相当し、表裏一体の関係にあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. ベクトル図を描くことを前提とする: 2次元の速度の問題を見たら、まずベクトル図を描くことから始めます。
  2. 3つのベクトルを特定する: 観測者（自分）の速度ベクトル、相手の速度ベクトル、そして相対速度ベクトルの3つを意識します。
  3. ベクトル三角形を構築する: \(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\) の関係を満たすように、3つのベクトルで三角形を描きます。どのベクトルがどの辺に対応するかを正確に配置します。
  4. 三角形の種類を特定する: ベクトルの向きの関係（直交など）から、描いた三角形が直角三角形、直角二等辺三角形など、特別な形になっていないかを確認します。これにより、使うべき数学的ツール（三平方の定理、三角比など）が決まります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ベクトル演算をスカラー演算と混同する:
  • 誤解: (1)で、速さが同じ20m/sだからといって、相対速度の大きさを \(20 – 20 = 0\) と計算してしまう。
  • 対策: 速度が向きを持つベクトル量であることを常に意識する。2次元平面での速度の問題では、単純な足し算・引き算ではなく、必ず図形的な関係（ベクトル図）を考える癖をつける。
• ベクトルの引き算の作図ミス:
  • 誤解: \(\vec{v}_B – \vec{v}_A\) を計算する際に、単純に \(\vec{v}_A\) と \(\vec{v}_B\) を合成（足し算）してしまう。
  • 対策: 相対速度は「引き算」であると強く意識する。そして、\(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B + (-\vec{v}_A)\) のように、一度「逆ベクトルの足し算」の形に直してから作図すると、合成の考え方が使えるためミスが減ります。
• 三平方の定理の立式ミス:
  • 誤解: (2)で、どの辺が斜辺になるかを間違え、\(v_C^2 = v_{AC}^2 + v_A^2\) のように立式してしまう。
  • 対策: 必ずベクトル三角形を描き、「直角の対辺が斜辺である」という基本原則を確認する。(2)では、東向きの\(\vec{v}_A\)と北向きの\(\vec{v}_C\)が直交するため、その2つを結ぶ相対速度\(\vec{v}_{AC}\)が斜辺になります。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の公式 (\(\vec{v}_{AB} = \vec{v}_B – \vec{v}_A\)):
  • 選定理由: 問題が「Aに対するBの速度」という、動く観測者から見た物体の運動を問うているため、相対速度の定義式そのものを使います。
  • 適用根拠: この公式は、1次元だけでなく、2次元、3次元空間でも普遍的に成り立つベクトル方程式です。この方程式を、ベクトルを図形（矢印）と見なして幾何学的に解くのが、2次元における基本的なアプローチとなります。
• 三平方の定理:
  • 選定理由: (1), (2)ともに、速度ベクトルの関係が「直角三角形」をなすためです。これは、問題設定で各物体の運動方向が互いに直交（東と南、東と北）していることに起因します。
  • 適用根拠: 直角三角形の3辺の長さ（ここでは速さ）の関係を表す最も基本的な定理であり、これを用いることで未知の辺の長さ（求める速さ）を計算できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 大きく正確な図を描く: 小さくごちゃごちゃした図はミスの元です。フリーハンドでも良いので、ベクトルの向きや直角関係がはっきりわかるように、大きく図を描きましょう。
• 有名な辺の比を意識する: (1)では \(20:20\) なので \(1:1:\sqrt{2}\) の直角二等辺三角形、(2)では \(v_A=20, v_{AC}=25\) なので、\(20:25 = 4:5\)。ここから、残りの辺 \(v_C\) は比が3になる、つまり \(v_C=15\) だと瞬時に推測できます（3:4:5の直角三角形）。この知識は計算時間の短縮と検算に非常に有効です。
• 平方根の計算: \(\sqrt{800}\) のような計算では、\(\sqrt{800} = \sqrt{100 \times 8} = 10\sqrt{8} = 10 \times 2\sqrt{2} = 20\sqrt{2}\) のように、ルートの中から2乗の数を外に出す計算を正確に行う練習が必要です。
• 向きの答え忘れ: (1)では「大きさと向き」が問われています。大きさ（28m/s）だけを答えて、向き（南西向き）を書き忘れないように、問題文の要求を最後に再確認しましょう。

9 相対速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「動く観測者から見た物体の運動（相対速度）」です。地面に静止している人から見た運動と、動いている電車の中から見た運動の関係を、ベクトルを用いて正しく理解し、未知の速度を導き出す応用問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

思考の道筋とポイント
動いている電車の中から見た「見かけの雨の速度」の情報をもとに、静止している地面から見た「本当の雨の速度」を逆算する問題です。「本当の雨の動き」に「自分が動くことによる見かけの動き」が加わって、「見かけの雨の動き」が作られている、という関係性をベクトルで捉えます。
この設問における重要なポイント

• 3つの速度ベクトルの関係式は \(\vec{v}_{A\text{雨}} = \vec{v}_{\text{雨}} – \vec{v}_A\) である。
• この関係をベクトル図で表現すると、直角三角形が現れる。
• 「鉛直と30°の角度」という情報から、この直角三角形が \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) の特別な三角形であることがわかる。
• 辺の比 \(1:2:\sqrt{3}\) を利用して、既知の速さ（電車の速さ）から未知の速さ（雨の速さ）を求める。

具体的な解説と立式

• 地面に対する電車Aの速度を \(\vec{v}_A\) とします。大きさは \(v_A = 5.0 \text{ m/s}\) で、向きは水平です。
• 地面に対する雨の速度を \(\vec{v}_{\text{雨}}\) とします。向きは鉛直下向きで、求める速さを \(v_{\text{雨}}\) とします。
• 電車Aから見た雨の速度（相対速度）を \(\vec{v}_{A\text{雨}}\) とします。このベクトルの向きが、鉛直方向と30°の角をなします。

これらの速度ベクトルの間には、相対速度の公式から以下の関係が成り立ちます。
$$ \vec{v}_{A\text{雨}} = \vec{v}_{\text{雨}} – \vec{v}_A $$
このベクトルの引き算を図示する方法の一つとして、\(\vec{v}_A\) と \(\vec{v}_{\text{雨}}\) の始点をそろえて描き、\(\vec{v}_A\) の終点から \(\vec{v}_{\text{雨}}\) の終点へ向かうベクトルとして \(\vec{v}_{A\text{雨}}\) を描くことができます。
図を描くと、\(\vec{v}_A\)（水平）と \(\vec{v}_{\text{雨}}\)（鉛直）が直交しているため、これらと \(\vec{v}_{A\text{雨}}\) で構成される三角形は直角三角形になります。
問題文より、\(\vec{v}_{A\text{雨}}\) は鉛直方向（\(\vec{v}_{\text{雨}}\) の向き）と30°の角をなします。したがって、この直角三角形は内角が30°, 60°, 90°の特別な三角形です。
この三角形の辺の長さの比は \(1:2:\sqrt{3}\) であり、各辺の速さとの対応は以下のようになります。

• \(v_A\) が、30°の角に対する辺（対辺）なので、比は「1」
• \(v_{\text{雨}}\) が、60°の角に対する辺（対辺）なので、比は「\(\sqrt{3}\)」
• \(v_{A\text{雨}}\) が、斜辺なので、比は「2」

したがって、\(v_A\) と \(v_{\text{雨}}\) の間には以下の比例関係が成り立ちます。
$$ v_A : v_{\text{雨}} = 1 : \sqrt{3} $$

上記の比例式から、内項の積と外項の積は等しいので、
$$
\begin{aligned}
v_{\text{雨}} \times 1 &= v_A \times \sqrt{3} \\[2.0ex]v_{\text{雨}} &= \sqrt{3} v_A
\end{aligned}
$$
この式に \(v_A = 5.0 \text{ m/s}\) と、近似値 \(\sqrt{3} \approx 1.73\) を代入します。
$$
\begin{aligned}
v_{\text{雨}} &= 1.73 \times 5.0 \\[2.0ex]&= 8.65
\end{aligned}
$$
有効数字2桁に丸めて、答えは \(8.7 \text{ m/s}\) となります。

電車が水平に動いているため、電車内の人には、静止している景色が逆向きに動いて見えます。これと同じで、真下に降る雨も、この「見かけの横向きの動き」が加わって、斜め後ろに降ってくるように見えます。
この「本当の雨の速さ（縦）」、「見かけの横向きの速さ（横）」、「見かけの雨の速さ（斜め）」の3つは、直角三角形の関係になります。
見かけの雨が鉛直と30°の角度をなすことから、この三角形は有名な30°-60°-90°の三角形だとわかります。辺の比は \(1:2:\sqrt{3}\) です。
「見かけの横向きの速さ」は電車の速さと同じ 5.0 m/s で、これが比の「1」にあたります。求めたい「本当の雨の速さ」は、比の「\(\sqrt{3}\)」にあたる辺です。
したがって、雨の速さは電車の速さの\(\sqrt{3}\)倍、つまり \(5.0 \times \sqrt{3}\) を計算すれば求まります。

地面に対する雨粒の落下の速さは \(8.7 \text{ m/s}\) です。
ベクトル図と三角比（または辺の比）を用いて、見かけの運動から実際の運動を正しく推定することができました。電車の速さ 5.0 m/s よりも速いという結果も、ベクトル図の関係から妥当であると言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 相対速度のベクトル的解釈:
  • 核心: 「電車から見た雨の速度 \(\vec{v}_{A\text{雨}}\)」=「地面に対する雨の速度 \(\vec{v}_{\text{雨}}\)」-「地面に対する電車の速度 \(\vec{v}_A\)」という公式を、単なる文字式ではなく、ベクトル（矢印）の関係として図形的に捉えることが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 「見かけの運動」は、「相手の本当の運動」と「自分の運動による見かけの運動（自分の速度の逆ベクトル）」の合成である、と理解すること。つまり、\(\vec{v}_{A\text{雨}} = \vec{v}_{\text{雨}} + (-\vec{v}_A)\) と考えることで、ベクトルの足し算として直感的に作図できます。
• 問題文の情報をベクトル図に翻訳する能力:
  • 核心: 問題文の言葉による記述を、物理的なベクトルとその関係性に正確に変換する能力。
  • 理解のポイント:
    • 「鉛直に降っている雨」→ \(\vec{v}_{\text{雨}}\) は鉛直下向き。
    • 「水平な線路上を速さ5.0m/sで走る電車」→ \(\vec{v}_A\) は水平方向で、大きさは5.0。
    • 「鉛直と30°の角度をなして見えた」→ \(\vec{v}_{A\text{雨}}\) の向きが鉛直線と30°をなす。

    この3つの情報を正しくベクトル図に落とし込めるかが、正解への分かれ道です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 風の中を飛ぶ飛行機: 鉛直に上昇する気球を、水平に吹く風の中で見るとどうなるか、など。電車と雨の関係を、他の物体に置き換えただけの問題です。
  • 未知数が変わる問題: 例えば、雨の本当の速さと、見かけの角度が与えられていて、電車の速さを求める問題。同じベクトル図を描き、未知数が変わるだけです。
  • 一般的な角度の問題: 雨が元から斜めに降っている場合など。この場合、ベクトル図は直角三角形にはならず、余弦定理や正弦定理が必要になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 3つの速度ベクトルを特定する: 「自分（観測者）の速度」「相手の本当の速度」「自分から見た相手の速度（相対速度）」の3つを問題文から抜き出します。
  2. 相対速度のベクトル方程式を立てる: \(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{相手}} – \vec{v}_{\text{自分}}\) の関係式を必ず書きます。
  3. ベクトル三角形を描く: 上記の方程式を満たすように、3つのベクトルで三角形を描きます。特に、\(\vec{v}_{\text{相対}} = \vec{v}_{\text{相手}} + (-\vec{v}_{\text{自分}})\) の形で描くと、合成の考え方が使えて分かりやすいです。
  4. 既知の情報を図に書き込む: 与えられた速さ（辺の長さ）や角度を、描いた三角形に書き込みます。
  5. 数学的ツールを選択する: 図が直角三角形なら、辺の比や三平方の定理、三角比を使います。そうでなければ余弦定理などを検討します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• ベクトル図の作図ミス:
  • 誤解: \(\vec{v}_{A\text{雨}} = \vec{v}_{\text{雨}} – \vec{v}_A\) を、単純な足し算 \(\vec{v}_{\text{雨}} + \vec{v}_A\) と勘違いして作図してしまう。
  • 対策: 相対速度は「引き算」であると強く意識すること。または、\((-\vec{v}_A)\) という「逆ベクトル」を明確に描き、それと \(\vec{v}_{\text{雨}}\) を「足し算」する、という手順を踏むとミスが減ります。
• 角度の適用の間違い:
  • 誤解: 「鉛直と30°」という角度を、水平線との間の角度と勘違いして図に書き込んでしまう。
  • 対策: 図を大きく描き、基準となる「鉛直線」を点線で描き足し、そこからの角度が30°であることを明確に図示する。
• 三角比や辺の比の適用の間違い:
  • 誤解: 辺の比 \(1:2:\sqrt{3}\) のどれが \(v_A\) でどれが \(v_{\text{雨}}\) に対応するのかを間違える。または、\(\tan 30^\circ = \displaystyle\frac{v_{\text{雨}}}{v_A}\) のように、分母と分子を逆にしてしまう。
  • 対策: 「30°の対辺が比=1」「60°の対辺が比=\(\sqrt{3}\)」のように、角度と対辺の関係で覚える。三角比を使う場合も、\(\tan\theta = \displaystyle\frac{\text{対辺}}{\text{底辺}}\) の定義に立ち返り、図と照らし合わせて慎重に立式する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 相対速度の公式 (\(\vec{v}_{A\text{雨}} = \vec{v}_{\text{雨}} – \vec{v}_A\)):
  • 選定理由: 問題が「電車Aの窓から見ると〜」という、動いている観測者からの視点での運動を記述しているため、相対速度の概念が不可欠です。この公式が、3つの速度ベクトルの関係性を結びつける唯一の物理法則です。
  • 適用根拠: このベクトル方程式を立てることで、物理の問題が「辺の長さと角度が一部与えられた三角形の、未知の辺の長さを求める」という幾何学の問題に変換されます。
• 三角比 (\(\tan\theta\)) または辺の比:
  • 選定理由: ベクトル図が直角三角形になり、その辺の長さ（速さ）と角度の関係を解く必要があるためです。
  • 適用根拠: この問題では、電車の速度 \(v_A\)（水平）と雨の速度 \(v_{\text{雨}}\)（鉛直）が直交するため、ベクトル図は必然的に直角三角形になります。既知の辺 \(v_A\) と未知の辺 \(v_{\text{雨}}\) は、与えられた角度30°に対してそれぞれ「対辺」と「底辺」の関係にあります。辺と角の関係を結びつける数学的ツールとして、三角比（特に\(\tan\theta\)）や、特別な角の三角形の辺の比が最適となります。具体的には、\(\tan 30^\circ = \displaystyle\frac{v_A}{v_{\text{雨}}}\) という関係が成り立ちます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 図を大きく丁寧に描く: 速度ベクトル、角度、既知の速さなどを、ごちゃごちゃしないように大きく描くことが、正しい立式への第一歩です。
• 辺の比の活用: 30°-60°-90°の三角形を見たら、すぐに「\(1:2:\sqrt{3}\)」を書き込み、どの辺がどの比に対応するかを矢印などで結びつける。これにより、立式が簡単になり、ミスも減ります。
• 近似値の代入は最後: \(\sqrt{3}\) の計算は、\(v_{\text{雨}} = 5.0\sqrt{3}\) のように式の最後まで文字のまま進め、最終段階で \(1.73\) を代入する。これにより、計算途中の手間や誤差を減らせます。
• 有効数字の意識: 問題文の「5.0 m/s」は有効数字2桁です。したがって、計算結果の \(8.65\) も、指示がなくても有効数字2桁に丸めて \(8.7\) と答えるのが適切です。計算の最終段階で常に有効数字を確認する癖をつけましょう。

10 運動の分析

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「記録タイマーを用いた物体の運動分析」です。実験データである打点テープから、物体の運動にかかった時間や平均の速さを計算する、物理実験の基本的な解析手法が問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
5打点分の時間を求める問題です。まず「1秒間に50打点」という情報から、1打点にかかる時間を求め、それを5倍するという手順で考えます。
この設問における重要なポイント

• 記録タイマーの周波数は 50 Hz（ヘルツ）である。
• 1打点にかかる時間（周期）は、周波数の逆数で求められる。
• 5打点分の時間は、1打点にかかる時間の5倍である。

具体的な解説と立式
記録タイマーは1秒間に50回打点します。したがって、1つの打点から次の打点までの時間（周期 \(T\)）は、
$$ T = \frac{1}{50} \text{ [s]} $$
となります。
5打点分の時間 \(t\) は、この周期の5倍なので、以下の式で計算できます。
$$ t = 5 \times T = 5 \times \frac{1}{50} $$

立式した式を計算します。
$$
\begin{aligned}
t &= 5 \times \frac{1}{50} \\[2.0ex]&= \frac{5}{50} \\[2.0ex]&= \frac{1}{10} \\[2.0ex]&= 0.10 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

1秒間で50個の点を打つので、点と点の間の時間は「1秒 ÷ 50」で 1/50 秒です。5打点分の区間というのは、この「点と点の間」が5つあるということなので、かかる時間は「(1/50秒) × 5つ」で 5/50 秒、つまり 0.10 秒となります。

5打点分の時間は \(0.10 \text{ s}\) です。記録タイマーの基本的な原理からの計算であり、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
区間AB間とBC間の平均の速さを求める問題です。平均の速さは「その区間の移動距離」を「その区間にかかった時間」で割ることで求められます。移動距離は図から読み取り、時間は(1)で求めた値を使います。単位の換算に注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 平均の速さの公式: \(\bar{v} = \displaystyle\frac{\text{移動距離}}{\text{経過時間}}\)
• 単位換算: 距離の単位をcmからmに直す (\(1 \text{ m} = 100 \text{ cm}\))。
• AB間、BC間はどちらも5打点分の区間なので、かかる時間は(1)で求めた \(0.10 \text{ s}\) で共通。

具体的な解説と立式
まず、図から読み取った距離をm（メートル）に換算します。

• AB間の距離: \(\Delta x_{AB} = 5.0 \text{ cm} = 0.050 \text{ m}\)
• BC間の距離: \(\Delta x_{BC} = 7.5 \text{ cm} = 0.075 \text{ m}\)

各区間にかかった時間 \(\Delta t\) は、(1)より \(0.10 \text{ s}\) です。
平均の速さの公式 \(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\) を用いて、各区間の速さを立式します。

AB間の平均の速さ \(\bar{v}_{AB}\):
$$ \bar{v}_{AB} = \frac{\Delta x_{AB}}{\Delta t} = \frac{0.050}{0.10} $$

BC間の平均の速さ \(\bar{v}_{BC}\):
$$ \bar{v}_{BC} = \frac{\Delta x_{BC}}{\Delta t} = \frac{0.075}{0.10} $$

\(\bar{v}_{AB}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
\bar{v}_{AB} &= \frac{0.050}{0.10} \\[2.0ex]&= 0.50 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$
\(\bar{v}_{BC}\) の計算:
$$
\begin{aligned}
\bar{v}_{BC} &= \frac{0.075}{0.10} \\[2.0ex]&= 0.75 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

速さは「距離 ÷ 時間」で計算します。AB間もBC間も、テープが通過するのにかかった時間は(1)で求めた0.10秒です。
AB間の距離は 5.0 cm、つまり 0.050 m なので、速さは「0.050 m ÷ 0.10 s」で 0.50 m/s となります。
BC間の距離は 7.5 cm、つまり 0.075 m なので、速さは「0.075 m ÷ 0.10 s」で 0.75 m/s となります。

AB間の平均の速さは \(0.50 \text{ m/s}\)、BC間の平均の速さは \(0.75 \text{ m/s}\) です。テープの区間長が 5.0 cm から 7.5 cm へと長くなっていることから、物体がだんだん速くなる運動（加速運動）をしていることがわかります。したがって、後の区間であるBC間の平均の速さが、前の区間であるAB間よりも大きくなるという計算結果は、実験データと整合性が取れており妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 記録タイマーの原理と平均の速さの定義:
  • 核心: この問題は、2つの基本的な物理概念の組み合わせで解くことができます。
    1. 記録タイマーの周期性: 記録タイマーが一定の時間間隔で点を打つという原理。これにより、「打点の数」を「経過時間」に変換できます。
    2. 平均の速さの定義: 平均の速さが「移動距離 ÷ 経過時間」で計算されるという、速度の最も基本的な定義。
  • 理解のポイント:
    • 周波数と周期: 「1秒間に50打点（周波数 50 Hz）」と「1打点あたり \(\displaystyle\frac{1}{50}\) 秒（周期）」が逆数の関係にあることを理解することが、全ての時間計算の出発点です。
    • 実験データの物理量への変換: 打点テープの「区間の長さ」が物理量の「移動距離 \(\Delta x\)」に、「打点の数」が「経過時間 \(\Delta t\)」に対応することを正確に結びつけることが重要です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(v-t\)グラフの作成: 各区間の平均の速さを、その区間の中央時刻における「瞬間の速さ」とみなしてプロットし、運動の様子を\(v-t\)グラフで表現する問題。
  • 加速度の計算: 上記で作成した\(v-t\)グラフの傾きから、物体の平均の加速度を求める問題。打点間隔が広くなっていれば加速、狭くなっていれば減速していることがわかります。
  • 西日本（60Hz）での実験: 記録タイマーの周波数が60Hzの場合。1打点あたりの時間は \(\displaystyle\frac{1}{60}\) 秒となり、時間計算の基準が変わります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 周波数の確認: まず、記録タイマーが50Hz（東日本）か60Hz（西日本）かを確認します。これが時間 \(\Delta t\) を計算する上での最も重要な初期情報です。
  2. 区切りの打点数を確認: 問題が「何打点ごと」にテープを区切っているかを確認します。今回は「5打点ごと」なので、これが \(\Delta t\) の単位となります。
  3. 単位の統一: テープの長さがcmで与えられている場合、計算前に必ずmに換算します。物理計算の基本はSI単位系（メートル、秒、キログラム）です。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 時間の計算ミス:
  • 誤解: (1)で「5打点」という数字に惑わされ、\(\displaystyle\frac{1}{5}\) 秒などと勘違いしてしまう。
  • 対策: 必ず「1打点あたりの時間」から計算する癖をつける。「1秒で50打点 → 1打点は \(\displaystyle\frac{1}{50}\) 秒」。そして、5打点分なのでそれを5倍して \(\displaystyle\frac{5}{50} = 0.10\) 秒、という手順を確実に踏む。
• 単位換算忘れ:
  • 誤解: (2)で、距離をcmのまま計算してしまい、\(\bar{v}_{AB} = \displaystyle\frac{5.0}{0.10} = 50 \text{ m/s}\) のような非現実的な速さを算出してしまう。
  • 対策: 計算を始める前に、問題で与えられた数値を全てSI単位系に直してメモする習慣をつける。「\(5.0 \text{ cm} = 0.050 \text{ m}\)」と書き出してから立式する。
• 打点数と「間の数」の混同:
  • 誤解: 5打点なので、点と点の「間の数」は4つだと考えて、時間を \(\displaystyle\frac{4}{50}\) 秒と計算してしまう。
  • 対策: 問題文の「5打点ごとの長さ」が、打点5つ分の時間間隔を意味することを正しく理解する。図を見ても、AからBまでには5つの点の間隔があることが確認できます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 周期と周波数の関係式 (\(T = \displaystyle\frac{1}{f}\)):
  • 選定理由: (1)で、時間の最小単位である「1打点あたりの時間（周期）」を求めるために使用します。
  • 適用根拠: これは公式というより定義そのものです。周波数 \(f\) は「1秒あたりの回数」、周期 \(T\) は「1回あたりの時間」なので、両者が逆数の関係にあるのは自明です。1秒間に50回打つなら、1回打つのにかかる時間は \(\displaystyle\frac{1}{50}\) 秒です。
• 平均の速さの定義式 (\(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (2)で「平均の速さ」を求めるために使用します。これも物理量の定義そのものです。
  • 適用根拠: 記録タイマーの実験データは、まさにこの定義式を体現しています。テープの区間の長さが「位置の変化（移動距離）\(\Delta x\)」に、その区間に対応する時間が「経過時間 \(\Delta t\)」に直接対応するため、この式を適用して速さを求めることができます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 単位換算を最初に実行: 計算式に代入する前に、\(5.0 \text{ cm} = 0.050 \text{ m}\)、\(7.5 \text{ cm} = 0.075 \text{ m}\) のように、使う数値をすべてSI単位系に直して準備しておく。
• 分数の計算を丁寧に行う: (1)の \(t = \displaystyle\frac{5}{50}\) は、まず \(\displaystyle\frac{1}{10}\) に約分してから小数 \(0.10\) に直す。(2)の \(\displaystyle\frac{0.050}{0.10}\) のような小数の割り算は、分母・分子を100倍して \(\displaystyle\frac{5}{10}\) と考えれば、\(0.5\) であることが分かりやすくなります。
• 有効数字を意識する: 問題文の数値が \(5.0\) cm, \(7.5\) cm と有効数字2桁で与えられているため、最終的な答えも \(0.50\) m/s, \(0.75\) m/s のように有効数字2桁で答えるのが望ましいです。計算結果が \(0.5\) となっても、\(0.50\) と末尾に0を付けて桁をそろえる意識を持つことが大切です。
• 比例式の活用（検算）: (1)の別解で示したように、比例式 \(50\text{打点} : 5\text{打点} = 1\text{s} : t\text{s}\) を立てて解くこともできます。メインの解法で計算した後の検算として使うと、計算の信頼性が高まります。

11 加速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「実験データからの運動分析とグラフ化」です。与えられた位置と時刻のデータ（\(x-t\)データ）から、変位、平均の速度を計算し、\(v-t\)グラフを作成して加速度を求めるという、実験物理におけるデータ解析の一連の流れを体験する問題です。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
表の空欄を埋める問題です。まず、隣り合う時刻の位置の差から、各0.10秒間の「変位」を計算します。次に、その変位を区間の時間である0.10秒で割って「平均の速度」を計算します。
この設問における重要なポイント

• 変位 \(\Delta x = x_{\text{後}} – x_{\text{前}}\)
• 平均の速度 \(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)
• この問題では、どの区間でも経過時間 \(\Delta t = 0.10 \text{ s}\) である。

具体的な解説と立式
変位の計算
各0.10秒間の変位 \(\Delta x\) は、その区間の終わりの位置から最初の位置を引くことで求められます。

• 区間 0 s ~ 0.10 s: \(\Delta x_1 = 0.03 – 0 = 0.03 \text{ m}\)
• 区間 0.10 s ~ 0.20 s: \(\Delta x_2 = 0.12 – 0.03 = 0.09 \text{ m}\)
• 以下同様に、\(\Delta x_3 = 0.27 – 0.12 = 0.15 \text{ m}\), \(\Delta x_4 = 0.48 – 0.27 = 0.21 \text{ m}\), \(\Delta x_5 = 0.75 – 0.48 = 0.27 \text{ m}\), \(\Delta x_6 = 1.08 – 0.75 = 0.33 \text{ m}\), \(\Delta x_7 = 1.47 – 1.08 = 0.39 \text{ m}\)

平均の速度の計算
各区間の平均の速度 \(\bar{v}\) は、その区間の変位 \(\Delta x\) を経過時間 \(\Delta t = 0.10 \text{ s}\) で割ることで求められます。

• 区間 0 s ~ 0.10 s: \(\bar{v}_1 = \displaystyle\frac{0.03}{0.10} = 0.3 \text{ m/s}\)
• 区間 0.10 s ~ 0.20 s: \(\bar{v}_2 = \displaystyle\frac{0.09}{0.10} = 0.9 \text{ m/s}\)
• 以下同様に、\(\bar{v}_3 = 1.5 \text{ m/s}\), \(\bar{v}_4 = 2.1 \text{ m/s}\), \(\bar{v}_5 = 2.7 \text{ m/s}\), \(\bar{v}_6 = 3.3 \text{ m/s}\), \(\bar{v}_7 = 3.9 \text{ m/s}\)

上記の具体的な解説と立式に示した計算を実行し、表を埋めます。

まず、0.10秒ごとにどれだけ進んだか（変位）を計算します。これは、表の位置の欄で、隣り合う数字の引き算をするだけです。次に、それぞれの区間の平均の速さを計算します。どの区間も0.10秒かかっているので、先ほど計算した変位をすべて0.10で割れば、平均の速さが求まります。

計算結果を表に書き込むと完成です。平均の速度が 0.3, 0.9, 1.5, … と、0.10秒ごとに0.6ずつ増えていることがわかります。このことから、この物体は等加速度直線運動をしていると強く推測できます。

問(2)

思考の道筋とポイント
\(v-t\)グラフを作成する問題です。(1)で求めた「平均の速度」を、どの時刻の「瞬間の速度」とみなしてプロットするかが最も重要なポイントです。
この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動では、区間の平均の速度は、その区間の中央の時刻における瞬間の速度に等しい。
• 例えば、0~0.10秒の区間の平均の速度は、時刻 \(t=0.05\) 秒の瞬間の速度とみなす。
• プロットする点の座標は、(0.05, 0.3), (0.15, 0.9), (0.25, 1.5), … となる。
• プロットした点が一直線上に並ぶことを確認し、原点を通る直線を引く。

具体的な解説と立式
(1)で求めた各区間の平均の速度を、その区間の中央の時刻における瞬間の速度とみなして、グラフに点をプロットします。

• 区間 0~0.10s → 時刻 0.05s の速度を 0.3 m/s とする。点(0.05, 0.3)
• 区間 0.10~0.20s → 時刻 0.15s の速度を 0.9 m/s とする。点(0.15, 0.9)
• 区間 0.20~0.30s → 時刻 0.25s の速度を 1.5 m/s とする。点(0.25, 1.5)
• 区間 0.30~0.40s → 時刻 0.35s の速度を 2.1 m/s とする。点(0.35, 2.1)
• 区間 0.40~0.50s → 時刻 0.45s の速度を 2.7 m/s とする。点(0.45, 2.7)
• 区間 0.50~0.60s → 時刻 0.55s の速度を 3.3 m/s とする。点(0.55, 3.3)
• 区間 0.60~0.70s → 時刻 0.65s の速度を 3.9 m/s とする。点(0.65, 3.9)

これらの点をプロットし、原点(0,0)からこれらの点を通るように直線を引きます。

この設問は作図が主であり、計算は不要です。

(1)で計算した平均の速さは、例えば「0秒から0.10秒の間の平均」の値です。この値をグラフにプロットするとき、代表の時刻として区間のど真ん中である「0.05秒」の時刻のデータとして点を打ちます。同じように、すべての区間の平均の速さを、それぞれの区間の中央の時刻にプロットしていくと、点がきれいに一直線に並びます。最後に、原点からその直線に沿って線を引けば、\(v-t\)グラフの完成です。

作成したグラフは、原点を通るきれいな直線になります。これは、物体が静止状態から一定の加速度で運動していることを視覚的に示しています。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体の加速度\(a\)を求める問題です。加速度は\(v-t\)グラフの傾きに等しいので、(2)で作成したグラフの傾きを計算します。
この設問における重要なポイント

• 加速度の定義: \(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
• \(v-t\)グラフの傾きが加速度を表す。
• 傾きを計算する際は、グラフ上の読み取りやすい2点（なるべく離れたデータ点）を選ぶと精度が良くなる。

具体的な解説と立式
\(v-t\)グラフの傾きとして加速度\(a\)を求めます。グラフ上の2点として、最初のデータ点 (\(t_1=0.05 \text{ s}, v_1=0.3 \text{ m/s}\)) と最後のデータ点 (\(t_2=0.65 \text{ s}, v_2=3.9 \text{ m/s}\)) を用いるのが、測定誤差の影響を最も受けにくく、良い方法です。
$$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{3.9 – 0.3}{0.65 – 0.05} \\[2.0ex]&= \frac{3.6}{0.60} \\[2.0ex]&= 6.0 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

加速度とは「1秒あたりに速度がどれだけ変化するか」という割合のことです。これは、(2)で描いた\(v-t\)グラフの傾きを計算すれば求まります。グラフの傾きは「縦の変化量（速度の変化）÷ 横の変化量（時間の変化）」で計算できます。グラフの始点と終点のデータを使うと、速度は \(3.9 – 0.3 = 3.6\) m/s 変化し、時間は \(0.65 – 0.05 = 0.60\) s 変化しているので、加速度は \(3.6 \div 0.60 = 6.0\) m/s² となります。

物体の加速度は \(6.0 \text{ m/s}^2\) です。\(v-t\)グラフがきれいな直線であることから、加速度は一定であると判断でき、計算結果は妥当です。

問(4)

思考の道筋とポイント
時刻 \(t=0.50\) 秒における物体の速度 \(v\) を求める問題です。これには2つのアプローチがあります。1つは(2)で作成したグラフから直接読み取る方法、もう1つは(3)で求めた加速度を用いて計算する方法です。
この設問における重要なポイント

• 方法1: \(v-t\)グラフから、指定された時刻の速度の値を読み取る。
• 方法2: 等加速度直線運動の公式 \(v = v_0 + at\) を用いて計算する。(\(v_0=0\))

具体的な解説と立式
方法1: グラフから読み取る
(2)で作成した\(v-t\)グラフ上で、横軸が \(t=0.50\) の点を探し、そこから真上に線を伸ばしてグラフとの交点を見つけます。その交点の縦軸の値（速度）を読み取ります。

方法2: 計算で求める
物体は静止状態(\(v_0=0\))から、加速度 \(a = 6.0 \text{ m/s}^2\) で等加速度直線運動をしています。時刻 \(t\) における速度 \(v\) は、公式 \(v = v_0 + at\) で表されます。
$$ v = 0 + at = at $$
この式に \(a = 6.0 \text{ m/s}^2\) と \(t = 0.50 \text{ s}\) を代入します。

方法2の計算:
$$
\begin{aligned}
v &= 6.0 \times 0.50 \\[2.0ex]&= 3.0 \text{ [m/s]}
\end{aligned}
$$

方法1: (2)で描いたグラフの横軸で「0.50」の目盛りを探し、そこでのグラフの高さを読み取ります。グラフから、ちょうど「3.0」の高さになっていることがわかります。
方法2: (3)で、この物体は「1秒間に6.0m/sずつ速くなる」ことがわかりました。では、0.50秒後にはどれだけ速くなっているかというと、\(6.0 \times 0.50 = 3.0\) m/s と計算できます。

時刻 0.50秒における物体の速度は \(3.0 \text{ m/s}\) です。グラフからの読み取りと、計算による結果が一致しており、妥当性が高いと言えます。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 運動の実験的解析の三段論法:
  • 核心: この問題は、実験データから物体の運動法則を導き出す物理学の基本的なプロセスそのものです。以下の3ステップの関係性を理解することが核心となります。
    1. 位置 \(x\) から速度 \(v\) へ: 位置の変化（変位 \(\Delta x\)）を時間（\(\Delta t\)）で割ると、平均の速度 \(\bar{v}\) が得られる。(\(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\))
    2. 速度 \(v\) から加速度 \(a\) へ: 速度の変化 \(\Delta v\) を時間（\(\Delta t\)）で割ると、加速度 \(a\) が得られる。(\(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\))
    3. グラフによる可視化: これらの関係は、\(x-t\)グラフの傾きが速度 \(v\) を、\(v-t\)グラフの傾きが加速度 \(a\) を表す、というグラフ上の意味と直結しています。
• 平均の速度と瞬間の速度の近似:
  • 核心: 実験データから得られるのは常に「区間の平均の速度」ですが、これを「区間の中央時刻における瞬間の速度」とみなす（近似する）ことで、なめらかな\(v-t\)グラフを描くことができる、という実験解析上の重要なテクニックを理解すること。
  • 理解のポイント: この近似は、運動が等加速度直線運動である場合に厳密に成り立ちます。データ点が直線状に並ぶことは、この運動が等加速度直線運動であることを裏付けています。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 記録タイマーの打点テープ解析: 今回の問題そのものですが、初速度が0でない場合や、減速運動（打点間隔が狭くなる）の場合もあります。
  • 自由落下や斜面を転がる物体の運動解析: これらの運動も等加速度直線運動なので、同様のデータテーブルとグラフを用いて加速度（重力加速度など）を求める問題に応用されます。
  • \(v-t\)グラフの面積: 逆に\(v-t\)グラフが与えられたとき、その面積が移動距離を表すことを利用して、位置を求める問題。
• 初見の問題での着眼点:
  1. データの種類を確認: 与えられているデータが位置(\(x\))なのか、速度(\(v\))なのかをまず確認します。
  2. 時間間隔 \(\Delta t\) を把握: データが何秒おきに取られているかを確認します。これが速度や加速度を計算する際の時間の基準となります。
  3. 表計算を丁寧に行う: (1)のような表の計算は、後続の設問全ての土台となります。特に引き算と割り算を慎重に行います。
  4. グラフのプロット点を明確にする: \(v-t\)グラフを描く際、横軸が「区間の端の時刻」なのか「区間の中央時刻」なのかを明確に意識します。通常は「中央時刻」にプロットします。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 平均の速度をプロットする時刻の間違い:
  • 誤解: (2)で、0〜0.10秒の区間の平均の速度を、時刻 \(t=0.10\) 秒の点としてプロットしてしまう。
  • 対策: 「平均の速度」はその区間を代表する値なので、時刻も区間を代表する「中央の時刻」にプロットする、とセットで覚える。\(t_1\)と\(t_2\)の区間なら、中央時刻は \(\displaystyle\frac{t_1+t_2}{2}\) です。
• 加速度の計算で使う時間 \(\Delta t\) の間違い:
  • 誤解: (3)で加速度を計算する際、速度の変化 \(\Delta v\) を、データ取得の時間間隔である 0.10 秒で割ってしまう。
  • 対策: 加速度は \(v-t\)グラフの傾きであり、傾きは \(\displaystyle\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}\) で計算することを徹底する。分母は、使用した2つの速度データに対応する時刻の差でなければなりません。
• グラフの読み取りミス:
  • 誤解: (4)で、グラフから \(t=0.50\) 秒のときの速度を読み取る際に、目分量で読んでしまい、正確な値からずれてしまう。
  • 対策: グラフに定規を当てて、\(t=0.50\) の目盛りから正確に垂直に線を上げ、グラフとの交点から水平に線を引いて \(v\) 軸の目盛りを読む。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平均の速度の定義式 (\(\bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (1)で、位置と時間のデータから速度を算出するために使用します。これは速度の定義そのものです。
  • 適用根拠: 実験データとして、ある時間区間 \(\Delta t\) と、その間の位置の変化（変位）\(\Delta x\) が得られているため、この定義式を直接適用して各区間の平均の速度を求めることができます。
• 加速度の定義式 (\(a = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: (3)で、速度と時間のデータ（\(v-t\)グラフ）から加速度を算出するために使用します。これも加速度の定義そのものです。
  • 適用根拠: (2)で作成した\(v-t\)グラフは、各時刻における速度を表しています。このグラフから2点を選び、その間の速度の変化 \(\Delta v\) と時間の変化 \(\Delta t\) を読み取ることで、傾き、すなわち加速度を計算できます。
• 等加速度直線運動の公式 (\(v = v_0 + at\)):
  • 選定理由: (4)で、特定の時刻における速度を計算で求めるために使用します。
  • 適用根拠: (3)で加速度 \(a\) が一定値として求まり、この運動が等加速度直線運動であることが確認されました。また、問題文に「静止の状態から」とあるため、初速度 \(v_0=0\) です。これらの条件がそろっているため、この公式を用いて任意の時刻 \(t\) における速度 \(v\) を正確に計算できます。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 表計算の検算: (1)で計算した変位や平均の速度が、規則的な数列（等差数列）になっているかを確認する。変位が 0.06 ずつ、平均の速度が 0.6 ずつ増えていることに気づけば、計算ミスを発見しやすくなります。
• グラフの傾き計算の精度向上: (3)で傾きを計算する際は、なるべく離れた2点（始点と終点など）を選ぶと、読み取り誤差の影響が小さくなり、より正確な値が得られます。
• 小数の割り算: \(\displaystyle\frac{3.6}{0.60}\) のような計算は、分母・分子を100倍して \(\displaystyle\frac{360}{60}\) と整数に直してから計算するとミスが減ります。
• 複数の解法による確認: (4)のように、グラフから読み取る方法と、公式で計算する方法の2通りで解ける問題は、両方試して結果が一致するか確認する（検算する）ことで、解答の信頼性を大幅に高めることができます。

12 平均の加速度

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「平均の加速度の計算」です。物体の速度がどのように変化したかの情報から、単位時間あたりの速度の変化量である加速度を求める、基本的な問題です。速度が向きを持つベクトル量であることを、正負の符号を用いて正しく扱うことが重要になります。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
静止状態から正の向きに動き出す、最も基本的な加速運動です。加速度の定義式に、与えられた値を正しく代入できるかが問われます。
この設問における重要なポイント

• 「動きだしてから」という記述は、はじめの速度が0であることを意味する。
• 正の向きに速くなっているので、加速度も正の向きになることが予想される。

具体的な解説と立式
x軸の正の向きを基準とします。

• はじめの速度 \(v_1\): 静止しているので \(v_1 = 0 \text{ m/s}\)
• 終わりの速度 \(v_2\): 正の向きに \(16 \text{ m/s}\) なので \(v_2 = +16 \text{ m/s}\)
• 経過時間 \(\Delta t = 4.0 \text{ s}\)

これらの値を、平均の加速度 \(\bar{a}\) を求める公式に代入します。
$$ \bar{a} = \frac{v_2 – v_1}{\Delta t} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{a} &= \frac{16 – 0}{4.0} \\[2.0ex]&= \frac{16}{4.0} \\[2.0ex]&= 4.0 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

4.0秒間で、速度が0から16m/sまで、16m/s増加しました。加速度は「1秒あたりにどれだけ速度が増加するか」なので、増加量16m/sをかかった時間4.0秒で割ります。計算すると、\(16 \div 4.0 = 4.0\) となり、1秒あたり4.0m/sずつ速くなっていることがわかります。

計算結果は \(+4.0 \text{ m/s}^2\) となりました。符号が正なので、加速度は「正の向き」です。正の向きに加速しているので、直感とも一致し、妥当な結果です。

問(2)

思考の道筋とポイント
はじめは正の向きに進んでいた物体が、減速して一度静止し、逆向き（負の向き）に進み始める運動です。速度の向きが変わるため、符号の扱いに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 速度はベクトル量なので、向きが変われば符号も変わる。
• 「負の向きに 3.0 m/s」の速度は、マイナスの符号をつけて表現する。

具体的な解説と立式
x軸の正の向きを基準とします。

• はじめの速度 \(v_1\): 正の向きに \(1.0 \text{ m/s}\) なので \(v_1 = +1.0 \text{ m/s}\)
• 終わりの速度 \(v_2\): 負の向きに \(3.0 \text{ m/s}\) なので \(v_2 = -3.0 \text{ m/s}\)
• 経過時間 \(\Delta t = 4.0 \text{ s}\)

これらの値を、平均の加速度 \(\bar{a}\) を求める公式に代入します。
$$ \bar{a} = \frac{v_2 – v_1}{\Delta t} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{a} &= \frac{(-3.0) – (+1.0)}{4.0} \\[2.0ex]&= \frac{-4.0}{4.0} \\[2.0ex]&= -1.0 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

速度が「プラス1.0」から「マイナス3.0」に変化しました。この変化量は、「後の値 – 初めの値」なので、「\((-3.0) – (+1.0) = -4.0\)」となります。この-4.0m/sの変化が4.0秒かけて起きたので、1秒あたりの変化量である加速度は、\(-4.0 \div 4.0 = -1.0\) m/s² となります。マイナスの符号は、加速度が負の向きであることを示しています。

計算結果は \(-1.0 \text{ m/s}^2\) となりました。符号が負なので、加速度は「負の向き」です。正の向きに進む物体が減速し、負の向きに加速していく運動は、常に負の向きの力がかかっている状態であり、加速度が負の向きであるという結果は物理的に妥当です。

問(3)

思考の道筋とポイント
負の向きに進んでいる物体が「減速」する運動です。「減速」という言葉と、加速度の符号の関係を正しく理解することが鍵となります。負の向きに進む物体が減速するということは、進行方向とは逆向き、つまり「正の向き」に加速度が生じていることを意味します。
この設問における重要なポイント

• 負の向きに進む物体の速度は、マイナスの符号で表す。
• 負の向きへの速さが小さくなる（減速する）場合、加速度の符号は正になる。

具体的な解説と立式
x軸の正の向きを基準とします。

• はじめの速度 \(v_1\): 負の向きに \(15 \text{ m/s}\) なので \(v_1 = -15 \text{ m/s}\)
• 終わりの速度 \(v_2\): 負の向きに \(3.0 \text{ m/s}\) なので \(v_2 = -3.0 \text{ m/s}\)
• 経過時間 \(\Delta t = 6.0 \text{ s}\)

これらの値を、平均の加速度 \(\bar{a}\) を求める公式に代入します。
$$ \bar{a} = \frac{v_2 – v_1}{\Delta t} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
\bar{a} &= \frac{(-3.0) – (-15)}{6.0} \\[2.0ex]&= \frac{-3.0 + 15}{6.0} \\[2.0ex]&= \frac{12}{6.0} \\[2.0ex]&= 2.0 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

速度が「マイナス15」から「マイナス3.0」に変化しました。この変化量は、「後の値 – 初めの値」なので、「\((-3.0) – (-15) = +12\)」となります。この+12m/sの変化が6.0秒かけて起きたので、1秒あたりの変化量である加速度は、\(+12 \div 6.0 = +2.0\) m/s² となります。プラスの符号は、加速度が正の向きであることを示しています。

計算結果は \(+2.0 \text{ m/s}^2\) となりました。符号が正なので、加速度は「正の向き」です。負の向きに進む物体にブレーキをかけるような運動なので、加速度の向きが進む向きと逆（正の向き）になるという結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 加速度の定義とベクトルとしての理解:
  • 核心: 平均の加速度が、速度の「変化量」を「経過時間」で割ったものであるという定義式 \(\bar{a} = \displaystyle\frac{v_{\text{後}} – v_{\text{初}}}{\Delta t}\) を正しく理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 速度はベクトル: この式の \(v\) は速度であり、向きを持つベクトル量です。1次元の運動では、これを「符号付きの数値」として扱うことが極めて重要です。
    • 変化量 = 後 – 初: 物理における「変化」は、常に「後の状態量 – 初めの状態量」で計算します。この順序を間違えると、加速度の符号が逆になってしまいます。
    • 加速度もベクトル: 計算結果として得られる加速度もまた、向きを持つベクトル量です。計算結果の符号が、加速度の向き（正の向きか負の向きか）を示します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(v-t\)グラフの問題: \(v-t\)グラフが与えられ、その傾きから加速度を求める問題。今回の計算は、グラフ上の2点の座標から傾きを求める操作と全く同じです。
  • 運動方程式 (\(ma=F\)): 加速度を求めた後、物体の質量 \(m\) が与えられていれば、物体にはたらく力 \(F\) を計算できる問題に発展します。
  • 未知数を求める問題: 加速度と初速度、経過時間が与えられて、後の速度を求める問題など、加速度の定義式を方程式として解く様々なバリエーションがあります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 正の向きを定める: まず、どちらの向きを正とするかを自分で決めます。これを基準に、全ての速度を符号付きで表現します。
  2. 「はじめ」と「おわり」を特定する: 問題文から、「はじめの速度 \(v_1\)」と「終わりの速度 \(v_2\)」、「経過時間 \(\Delta t\)」の3つの要素を正確に抜き出します。
  3. 速度を符号付きで書き出す: 抜き出した速度を、(1)で定めた正の向きに従って、プラスまたはマイナスの符号を付けて書き出します。（例: (3)なら \(v_1 = -15\), \(v_2 = -3.0\)）
  4. 定義式に代入する: 加速度の定義式 \(\bar{a} = \displaystyle\frac{v_2 – v_1}{\Delta t}\) に、符号に注意しながら機械的に代入します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 速度の向き（符号）の扱いミス:
  • 誤解: (2)や(3)で、負の向きの速度を正の値のまま計算してしまう。例えば(2)で \(\displaystyle\frac{3.0 – 1.0}{4.0}\) と計算してしまう。
  • 対策: 「正の向きはどちらか」を常に意識し、速度を数値に置き換える際に、必ず向きを符号に反映させる癖をつける。「負の向きに3.0m/s」→「\(-3.0\)」という変換を確実に行う。
• 「減速」という言葉と加速度の符号の混同:
  • 誤解: (3)で「減速」という言葉を見て、加速度は負だろうと早合点してしまう。
  • 対策: 加速度の符号は、速度の変化の向きで決まる、と理解する。
    • 正の向きに進んで減速 → 速度の変化は負 → 加速度は負
    • 負の向きに進んで減速 → 速度の変化は正 → 加速度は正

    このように、運動の向きと減速・加速の関係を整理しておく。しかし、最も確実なのは、定義式に符号付きの速度を代入して機械的に計算することです。

• 変化量の引き算の順序ミス:
  • 誤解: 速度の変化を「はじめ – おわり」で計算してしまう。
  • 対策: 物理における「変化量 \(\Delta\)(デルタ)」は、常に「後 – 前」であると徹底して覚える。これは速度変化に限らず、位置の変化（変位）や温度の変化など、全てに共通するルールです。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 平均の加速度の定義式 (\(\bar{a} = \displaystyle\frac{v_2 – v_1}{\Delta t}\)):
  • 選定理由: 問題が「平均の加速度」を求めることを直接的に要求しているため、この定義式そのものを用います。
  • 適用根拠: この公式は、加速度という物理量の定義です。問題文には、加速度を計算するために必要な3つの要素、「はじめの速度 \(v_1\)」「終わりの速度 \(v_2\)」「経過時間 \(\Delta t\)」がすべて与えられています。これらの情報を整理し、向きを符号で表現して式に代入することで、未知の量である平均の加速度を求めることができます。この公式一つで、加速、減速、運動の向きの反転など、あらゆる1次元の運動の加速度を統一的に扱うことが可能です。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 情報の整理: 計算を始める前に、問題文から \(v_1, v_2, \Delta t\) の値を、符号を付けて書き出す。
  例: (3)の場合 → \(v_1 = -15 \text{ m/s}\), \(v_2 = -3.0 \text{ m/s}\), \(\Delta t = 6.0 \text{ s}\)
• 括弧の使用: 負の値を代入する際は、必ず括弧を用いる。特に(3)の \((-3.0) – (-15)\) のような計算では、括弧の有無で計算結果が全く変わってしまいます。
• 計算結果の吟味: 計算後に、結果の符号が物理的な状況と合っているかを確認する。
  • (1) 正の向きに加速 → \(a > 0\) (OK)
  • (2) 正の向きから負の向きへ → 負の向きに力がかかっているはず → \(a < 0\) (OK)
  • (3) 負の向きに減速 → 正の向きに力がかかっているはず → \(a > 0\) (OK)

  このような吟味を行うことで、符号ミスに気づくことができます。

13 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「等加速度直線運動の公式の適切な選択と適用」です。与えられた物理量（初速度、後の速度、時間、距離）に応じて、3つの公式の中から最適なものを選び、未知の量を計算する能力が問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
加速度の大きさを求める問題です。初速度 \(v_0\)、後の速度 \(v\)、経過時間 \(t\) が分かっていて、加速度 \(a\) を求めたい状況です。これら4つの量を含む公式 \(v = v_0 + at\) を選択します。
この設問における重要なポイント

• 与えられている量は \(v_0, v, t\)。求めたい量は \(a\)。
• 公式 \(v = v_0 + at\) を使うのが最適。

具体的な解説と立式
自動車の進行方向を正の向きとします。

• 初速度 \(v_0 = 7.0 \text{ m/s}\)
• 後の速度 \(v = 15.0 \text{ m/s}\)
• 経過時間 \(t = 5.0 \text{ s}\)

求める加速度を \(a\) [m/s²] として、等加速度直線運動の公式に代入します。
$$ v = v_0 + at $$

各値を式に代入して、\(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
15.0 &= 7.0 + a \times 5.0 \\[2.0ex]5.0a &= 15.0 – 7.0 \\[2.0ex]5.0a &= 8.0 \\[2.0ex]a &= \frac{8.0}{5.0} \\[2.0ex]&= 1.6 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

5.0秒間で、自動車の速度は 7.0 m/s から 15.0 m/s へと、\(15.0 – 7.0 = 8.0\) m/s だけ増加しました。加速度は「1秒あたりにどれだけ速度が増加するか」を表すので、この速度の増加量をかかった時間で割ります。計算すると、\(8.0 \text{ m/s} \div 5.0 \text{ s} = 1.6 \text{ m/s}^2\) となります。

加速度の大きさは \(1.6 \text{ m/s}^2\) です。速さが増しているので、加速度の向きは運動の向きと同じであり、計算結果が正の値であることと一致します。

問(2)

思考の道筋とポイント
加速している間に進んだ距離 \(x\) を求める問題です。初速度 \(v_0\)、経過時間 \(t\)、そして(1)で求めた加速度 \(a\) が分かっています。これらの量から距離 \(x\) を求める公式 \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を使います。
この設問における重要なポイント

• 与えられている量は \(v_0, t, a\)。求めたい量は \(x\)。
• 公式 \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を使う。

具体的な解説と立式
(1)と同様に、自動車の進行方向を正の向きとします。

• 初速度 \(v_0 = 7.0 \text{ m/s}\)
• 経過時間 \(t = 5.0 \text{ s}\)
• 加速度 \(a = 1.6 \text{ m/s}^2\) （(1)の結果より）

求める距離を \(x\) [m] として、等加速度直線運動の公式に代入します。
$$ x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 7.0 \times 5.0 + \frac{1}{2} \times 1.6 \times (5.0)^2 \\[2.0ex]&= 35 + 0.8 \times 25 \\[2.0ex]&= 35 + 20 \\[2.0ex]&= 55 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

もし自動車が加速せず、初めの速さ7.0m/sのまま5.0秒間進んだとすると、進む距離は \(7.0 \times 5.0 = 35\) m です。しかし、実際には加速しているので、その分だけ余計に進みます。その「加速によって伸びた距離」が式の後半部分 \(\displaystyle\frac{1}{2}at^2\) で計算でき、この問題では20mとなります。これらを合計して、進んだ距離は \(35 + 20 = 55\) m となります。

加速している間に進んだ距離は \(55 \text{ m}\) です。計算も問題なく、妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
ブレーキをかけて停止するまでの加速度を求める問題です。この運動では、初速度（ブレーキをかけ始めた瞬間の速度）、後の速度（停止）、進んだ距離が与えられています。時間 \(t\) が不明なので、時間を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使うのが最も効率的です。
この設問における重要なポイント

• 与えられている量は \(v_0, v, x\)。求めたい量は \(a\)。
• 時間 \(t\) を含まない公式 \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を使う。
• 「停止した」は、後の速度 \(v=0\) を意味する。
• 減速運動なので、加速度の向きは運動の向きと逆になる（符号が負になる）と予想される。

具体的な解説と立式
このブレーキをかける運動について、改めて物理量を整理します。運動の向き（ブレーキ前の進行方向）を正とします。

• 初速度 \(v_0\): ブレーキをかけ始めたときの速度なので、(1)の後の速度である \(15.0 \text{ m/s}\)
• 後の速度 \(v\): 停止したので \(v = 0 \text{ m/s}\)
• 進んだ距離 \(x = 25 \text{ m}\)

求める加速度を \(a’\) [m/s²] として、公式に代入します。
$$ v^2 – v_0^2 = 2a’x $$

各値を式に代入して、\(a’\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0^2 – (15.0)^2 &= 2 \times a’ \times 25 \\[2.0ex]-225 &= 50a’ \\[2.0ex]a’ &= \frac{-225}{50} \\[2.0ex]&= -4.5 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

速さ15.0m/sから0になるまで、25m進んだという情報があります。この情報から、時間を使わずに加速度を計算できる公式に値を当てはめます。計算すると、加速度は -4.5 m/s² となります。マイナスの符号は、加速度の向きが運動の向きとは逆であることを示しています。

計算結果は \(-4.5 \text{ m/s}^2\) となりました。マイナスの符号は、加速度の向きが運動の向き（正と定めた向き）と逆であることを意味します。したがって、加速度の向きは「運動の向きと逆向き」、大きさは \(4.5 \text{ m/s}^2\) となります。ブレーキによる減速運動なので、この結果は物理的に妥当です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の3公式の戦略的選択:
  • 核心: この問題は、単に公式を覚えているだけでなく、与えられた状況に応じて3つの公式の中から最も効率的なものを戦略的に選択できるかを試しています。
  • 理解のポイント:
    1. \(v = v_0 + at\): \(x\)（距離）が関係ないときに使う。
    2. \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\): \(v\)（後の速度）が関係ないときに使う。
    3. \(v^2 – v_0^2 = 2ax\): \(t\)（時間）が関係ないときに使う。

    この「どの物理量が含まれていないか」という視点で公式を整理しておくと、選択が非常にスムーズになります。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 自由落下・投げ上げ・投げ下ろし: これらは全て、重力加速度 \(g\) という一定の加速度で行われる等加速度直線運動です。今回の問題の \(a\) を \(g\) や \(-g\) に置き換えるだけで、全く同じように解くことができます。
  • 斜面を運動する物体: 摩擦がない場合、斜面を滑り降りる（または駆け上がる）物体の運動も等加速度直線運動です。
  • 2段階の運動: (1)(2)の加速フェーズと、(3)の減速フェーズのように、運動の途中で加速度が変わる問題。各フェーズでどの公式を使うか、そしてフェーズの切り替わり点で速度が引き継がれること（(1)の後の速度が(3)の初速度になる）を理解することが重要です。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 物理量をリストアップする: 問題文を読み、\(v_0, v, a, t, x\) のうち、どの量が「既知」で、どの量が「未知（求めたい量）」なのかを整理して書き出します。
  2. 関係ない量を探す: リストアップした物理量の中で、その設問に全く関係のない（与えられてもいないし、求めたいわけでもない）量を見つけます。
  3. 公式を選択する: 上記の「関係ない量」を含まない公式を選びます。例えば、(3)では時間 \(t\) が全く話題に出てこないので、\(t\) を含まない \(v^2 – v_0^2 = 2ax\) を選ぶのが最適解となります。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 公式の選択ミス:
  • 誤解: (3)で時間 \(t\) がわからないのに、\(v=v_0+at\) や \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) を使おうとして、未知数が2つになり解けなくなる。
  • 対策: 「時間 \(t\) が絡まない問題なら \(v^2 – v_0^2 = 2ax\)!」と即座に判断できるまで、公式の使い分けを徹底的に練習する。この公式は非常に強力で、時間短縮に直結します。
• 初速度と後の速度の取り違え:
  • 誤解: (3)で、初速度を \(0\)、後の速度を \(15.0\) としてしまう。
  • 対策: 運動の「始まり」と「終わり」を明確に意識する。(3)の運動は「速さ15.0m/sでブレーキをかけ始め（はじめ）、停止した（おわり）」運動です。したがって、\(v_0=15.0\), \(v=0\) となります。
• 符号のミス:
  • 誤解: (3)で減速運動だからと、\(a\) にマイナスを付けて \(0^2 – 15.0^2 = 2(-a’) \times 25\) のように、自分で勝手に符号を調整してしまい、結果的に符号を間違える。
  • 対策: 加速度 \(a\) は未知数として、符号も含めてそのまま式に代入する。計算の結果、自然と \(a’ = -4.5\) のようにマイナスが出てくるのが正しいアプローチです。符号は計算結果が教えてくれる、というスタンスで臨むことが重要です。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の3公式:
  • 選定理由: 問題文に「一定の加速度で」という記述があるため、これは等加速度直線運動の問題であると判断できます。したがって、この運動を記述する3つの基本公式の中から適切なものを選択します。
  • 適用根拠:
    • (1)では、\(v, v_0, t\) が既知で \(a\) が未知。これらの4量を含むのは \(v=v_0+at\) のみ。
    • (2)では、\(v_0, t, a\) が既知で \(x\) が未知。これらの4量を含むのは \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) のみ。（別解では \(v, v_0, a, x\) を含む \(v^2-v_0^2=2ax\) を使用）
    • (3)では、\(v, v_0, x\) が既知で \(a\) が未知。これらの4量を含むのは \(v^2-v_0^2=2ax\) のみ。

    このように、問題に含まれる物理量をパズルのように当てはめていくことで、使用すべき公式が論理的に一意に定まります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 2乗の計算: \(15.0^2\) のような計算は、暗算に頼らず筆算する。特に、\(1.6 \times 5.0^2 = 1.6 \times 25\) のような計算は、\(1.6 \times 100 \div 4 = 160 \div 4 = 40\) のように工夫すると楽になる場合もありますが、基本は地道な筆算が確実です。
• 移項の符号ミス: (1)の \(15.0 = 7.0 + 5.0a\) から \(5.0a = 15.0 – 7.0\) への変形など、基本的な方程式の操作を焦らず慎重に行う。
• 単位の確認: 最終的な答えに正しい単位（加速度なら m/s², 距離なら m）を付け忘れないようにする。
• 別解による検算: (2)のように複数の公式で解ける問題は、時間があれば別解でも計算してみて、結果が一致するか確認する。これは非常に強力な検算方法です。

14 等加速度直線運動

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「折り返しを含む等加速度直線運動」です。物体が減速して一度停止し、逆向きに動き出すという一連の運動を、等加速度直線運動の公式を用いて解析します。速度の向きが変わるため、符号の扱いに習熟しているかが問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体の加速度の大きさと向きを求める問題です。初速度、後の速度、経過時間が与えられているので、公式 \(v = v_0 + at\) を用いて加速度を計算します。速度の向きが途中で変わっているため、符号の扱いに注意が必要です。
この設問における重要なポイント

• 右向きを正と定め、左向きの速度は負の符号で表す。
• 与えられている量は \(v_0, v, t\)。求めたい量は \(a\)。
• 公式 \(v = v_0 + at\) を使う。

具体的な解説と立式
はじめの運動方向である右向きを正の向きとします。

• 初速度 \(v_0\): 右向きに \(6.0 \text{ m/s}\) なので \(v_0 = +6.0 \text{ m/s}\)
• 後の速度 \(v\): 左向きに \(4.0 \text{ m/s}\) なので \(v = -4.0 \text{ m/s}\)
• 経過時間 \(t = 2.0 \text{ s}\)

求める加速度を \(a\) [m/s²] として、等加速度直線運動の公式に代入します。
$$ v = v_0 + at $$

各値を式に代入して、\(a\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
-4.0 &= 6.0 + a \times 2.0 \\[2.0ex]2.0a &= -4.0 – 6.0 \\[2.0ex]2.0a &= -10.0 \\[2.0ex]a &= \frac{-10.0}{2.0} \\[2.0ex]&= -5.0 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

速度が「プラス6.0」から「マイナス4.0」に変化しました。この変化量は「\((-4.0) – (+6.0) = -10.0\)」m/sです。この変化が2.0秒で起きたので、1秒あたりの変化量である加速度は、\(-10.0 \div 2.0 = -5.0\) m/s² となります。

計算結果は \(-5.0 \text{ m/s}^2\) となりました。マイナスの符号は、加速度の向きが座標軸の負の向き、すなわち「左向き」であることを示しています。したがって、加速度の大きさは \(5.0 \text{ m/s}^2\)、向きは左向きです。右向きの物体が減速し、左向きに加速する運動なので、加速度が一貫して左向きであるという結果は物理的に妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体の速さが0になる（= 一瞬停止する）時刻を求める問題です。初速度 \(v_0\) と、(1)で求めた加速度 \(a\) が分かっているので、後の速度 \(v=0\) となる時刻 \(t\) を公式 \(v = v_0 + at\) から求めます。
この設問における重要なポイント

• 「速さが0m/sになる」とは、運動の向きが変わる折り返し点のこと。
• 与えられている量は \(v_0, v=0, a\)。求めたい量は \(t\)。
• 公式 \(v = v_0 + at\) を使う。

具体的な解説と立式
右向きを正とします。

• 初速度 \(v_0 = +6.0 \text{ m/s}\)
• 後の速度 \(v = 0 \text{ m/s}\)
• 加速度 \(a = -5.0 \text{ m/s}^2\) （(1)の結果より）

求める時間を \(t\) [s] として、公式に代入します。
$$ v = v_0 + at $$

各値を式に代入して、\(t\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
0 &= 6.0 + (-5.0) \times t \\[2.0ex]5.0t &= 6.0 \\[2.0ex]t &= \frac{6.0}{5.0} \\[2.0ex]&= 1.2 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$

初めの速さが6.0m/sで、1秒あたり5.0m/sずつ遅くなる（加速度が-5.0m/s²）運動です。速さが0になるまでの時間は、単純に「初めの速さ ÷ 1秒あたりに減る速さ」で計算できます。つまり、\(6.0 \div 5.0 = 1.2\) 秒後となります。

物体が進み始めてから \(1.2\) 秒後に速さが0になります。これは、問題の運動全体（2.0秒間）の途中の出来事であり、妥当な時間です。

問(3)

思考の道筋とポイント
物体が停止するまでに進む距離を求める問題です。初速度 \(v_0\)、加速度 \(a\)、そして(2)で求めた停止するまでの時間 \(t\) が分かっているので、公式 \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を使って距離 \(x\) を計算します。
この設問における重要なポイント

• 与えられている量は \(v_0, a, t\)。求めたい量は \(x\)。
• 公式 \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を使う。

具体的な解説と立式
右向きを正とします。

• 初速度 \(v_0 = +6.0 \text{ m/s}\)
• 加速度 \(a = -5.0 \text{ m/s}^2\)
• 停止するまでの時間 \(t = 1.2 \text{ s}\) （(2)の結果より）

求める距離を \(x\) [m] として、公式に代入します。
$$ x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
x &= 6.0 \times 1.2 + \frac{1}{2} \times (-5.0) \times (1.2)^2 \\[2.0ex]&= 7.2 – 2.5 \times 1.44 \\[2.0ex]&= 7.2 – 3.6 \\[2.0ex]&= 3.6 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

初めの速さ6.0m/sで、1.2秒間進む距離を計算します。もし加速しなければ \(6.0 \times 1.2 = 7.2\) m進みますが、実際にはブレーキがかかっています。そのブレーキによって進むのが妨げられた距離が、式の後半部分で計算できます。差し引きすると、実際に進んだ距離は3.6mとなります。

物体が速さ0m/sになるまでに進む距離は \(3.6 \text{ m}\) です。計算も問題なく、妥当な結果です。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 等加速度直線運動の3公式の統合的活用:
  • 核心: この問題は、単一の等加速度直線運動の中で、「加速度の特定」「折り返し時刻の特定」「折り返し点までの距離の特定」という複数の問いに答えるため、3つの公式を連携させて使いこなす能力を試しています。
  • 理解のポイント:
    1. まず、与えられた初期条件と最終条件から、運動の特性（加速度 \(a\)）を特定する。（問1）
    2. 次に、特定した加速度 \(a\) を既知の定数として用い、運動の途中の特定の状態（速度が0になる）について、未知の量（時刻 \(t\) や距離 \(x\)）を求める。（問2, 問3）

    この「①運動の特定 → ②途中の状態の解析」という流れは、力学の問題を解く上での王道パターンです。

• 速度・加速度のベクトルとしての厳密な扱い:
  • 核心: 物体が途中で向きを変える「折り返し運動」では、速度の符号が途中で変わります。これを正しく扱えるかどうかが、正解と不正解を分ける決定的なポイントです。
  • 理解のポイント:
    • 最初に座標軸の正の向き（例：右向きを正）を定めたら、そのルールを最後まで貫徹する。
    • 「左向き」の速度や加速度は、計算上、必ず負の値として代入する。
    • 計算結果の符号が持つ物理的な意味（正なら右向き、負なら左向き）を正確に読み取る。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 鉛直投げ上げ: 地上からボールを投げ上げる運動。初めは上向き（正）の速度、頂点で速度0、その後は下向き（負）の速度となり、加速度は常に下向き（\(-g\)）です。今回の問題と全く同じ構造をしています。
  • 斜方投射の鉛直方向の運動: 斜めに投げた物体の高さ方向の運動だけを取り出すと、鉛直投げ上げと同じになります。
  • ばねに繋がれた物体の運動（単振動）: 厳密には等加速度ではありませんが、運動の途中で折り返すという点で共通しています。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 運動の全体像を把握する: 「右向きに進み始め、左向きになった」という記述から、途中で減速してUターンする「折り返し運動」であることを見抜きます。
  2. 座標軸を設定する: 最初に運動が始まった向き（右向き）を正と定めるのが一般的で、計算がしやすいです。
  3. 各設問で「既知の量」と「未知の量」を整理する:
     • (1) 既知: \(v_0, v, t\)。未知: \(a\)。→ \(v=v_0+at\) を選択。
     • (2) 既知: \(v_0, a, v=0\)。未知: \(t\)。→ \(v=v_0+at\) を選択。
     • (3) 既知: \(v_0, a, v=0\)。未知: \(x\)。→ \(v^2-v_0^2=2ax\) が最も楽。
  4. 符号を慎重に代入する: 特に負の値になる速度や加速度を代入する際は、括弧を使うなどして細心の注意を払います。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 後の速度の符号ミス:
  • 誤解: (1)で、後の速度が「左向きに4.0m/s」であるのに、\(v=+4.0\) として計算してしまい、加速度を \(\displaystyle\frac{4.0-6.0}{2.0}=-1.0\) m/s² と間違える。
  • 対策: 最初に設定した座標軸（右向きが正）を絶対のルールとし、向きが逆なら必ずマイナスをつけることを徹底する。
• (3)で使う時間の選択ミス:
  • 誤解: (3)で距離を求めるときに、問題文にある \(t=2.0\)s を使ってしまい、\(x=6.0 \times 2.0 + \frac{1}{2}(-5.0)(2.0)^2 = 12 – 10 = 2.0\) m という誤った答えを出す（これは2.0秒後の「位置」であり、「停止するまでの距離」ではない）。
  • 対策: 問題文が「何から何まで」の距離を問うているかを正確に読み取る。「速さが0m/sになるまで」とあるので、(2)で求めた「速さが0m/sになるまでの時間 \(t=1.2\)s」を使わなければならないことを理解する。
• 公式の選択:
  • 誤解: (3)で、時間 \(t\) を使う公式しか思いつかず、(2)で計算ミスをしていた場合に連鎖的に間違えてしまう。
  • 対策: 「時間 \(t\) が関係ない問題では \(v^2-v_0^2=2ax\) が使える」ということを常に意識する。この公式を使えば、(2)の答えを使わずに(3)を解けるため、独立した問題として扱え、ミスが連鎖するリスクを減らせます。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• 等加速度直線運動の3公式:
  • 選定理由: 問題文に「等加速度直線運動をして」と明記されているため、これらの公式が適用できると判断します。
  • 適用根拠:
    • (1)では、\(v, v_0, t, a\) の関係性が問われているため、これら4量を含む \(v=v_0+at\) を選択します。
    • (2)では、(1)で求めた \(a\) を使って、速度が0になる時刻 \(t\) を求めます。再び \(v, v_0, t, a\) の関係なので \(v=v_0+at\) を使います。
    • (3)では、速度が0になるまでの距離 \(x\) を求めます。\(v, v_0, a, x\) の関係なので、時間 \(t\) を含まない \(v^2-v_0^2=2ax\) を使うのが最も賢明です。もちろん、(2)で求めた \(t\) を使って \(x=v_0t+\frac{1}{2}at^2\) で解くことも可能であり、複数のルートから同じゴールにたどり着けるのが物理法則の面白いところです。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 符号付きで情報を整理: 計算前に、問題文から読み取った \(v_0, v, t\) などの値を、符号を付けてリストアップする。例: \(v_0=+6.0, v=-4.0, t=2.0\)。
• 括弧を付けて代入: 負の値を代入する際は、\((-5.0)\) のように必ず括弧を付ける。これにより、\(6.0+(-5.0) \times t\) のような式の符号ミスを防げます。
• 2乗の計算: (3)の別解で \(1.2^2\) のような計算が出てきます。\(12^2=144\) を利用して、\(1.2^2=1.44\) と素早く正確に計算できるようにしておく。
• 別解での検算: (3)は2通りの公式で解けるため、両方で計算して答えが一致することを確認すれば、計算ミスがないことをほぼ確信できます。テストで時間が余った際の強力な見直しテクニックです。

15 等加速度直線運動のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(v-t\)グラフの総合的な解釈」です。与えられた\(v-t\)グラフから、加速度（傾き）や変位（面積）を読み取り、それらの情報をもとに運動の様子を多角的に分析する能力が問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
物体の加速度 \(a\) を求める問題です。\(v-t\)グラフにおいて、加速度はグラフの傾きに等しいという基本原則を用います。グラフから読み取りやすい2点の座標を使って傾きを計算します。
この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフの傾き = 加速度。
• 傾きは \(\displaystyle\frac{\text{速度の変化}}{\text{時間の変化}} = \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1}\) で計算する。

具体的な解説と立式
グラフから、始点と終点の座標を読み取ります。

• 始点: (\(t_1=0 \text{ s}, v_1=20 \text{ m/s}\))
• 終点: (\(t_2=8.0 \text{ s}, v_2=-12 \text{ m/s}\))

これらの値を用いて、加速度 \(a\) を計算します。
$$ a = \frac{v_2 – v_1}{t_2 – t_1} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{(-12) – 20}{8.0 – 0} \\[2.0ex]&= \frac{-32}{8.0} \\[2.0ex]&= -4.0 \text{ [m/s}^2]\end{aligned}
$$

加速度はグラフの傾きです。グラフは、横に8.0秒進む間に、縦（速度）が+20から-12まで、つまり「\((-12) – 20 = -32\)」だけ変化しています。したがって、傾きは「縦の変化 ÷ 横の変化」で、\(-32 \div 8.0 = -4.0\) m/s² となります。

物体の加速度は \(-4.0 \text{ m/s}^2\) です。グラフが右下がりの直線なので、加速度が負の一定値であるという結果は妥当です。

問(2)

思考の道筋とポイント
物体が原点から最も遠ざかる時刻 \(t_1\) とその位置 \(x_1\) を求める問題です。物体は初め正の向きに進み、やがて速度が0になり、その後負の向きに進みます。したがって、「最も遠ざかる」のは、速度が0になった瞬間です。その時刻までの移動距離は、\(v-t\)グラフの面積から求めます。
この設問における重要なポイント

• 最も遠ざかる点 = 速度が0になる点 = 運動の折り返し点。
• \(v-t\)グラフの面積は変位（移動距離）を表す。

具体的な解説と立式
時刻 \(t_1\) の特定
グラフから、速度 \(v\) が0になる時刻を読み取ります。グラフがt軸を横切る点は \(t_1 = 5.0 \text{ s}\) です。

位置 \(x_1\) の計算
位置 \(x_1\) は、時刻0秒から \(t_1=5.0\) 秒までの変位に等しく、これは\(v-t\)グラフの \(t=0\) から \(t=5.0\) までの部分とt軸で囲まれた三角形（図aのア）の面積で求められます。
$$ x_1 = (\text{三角形の面積}) = \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) $$

時刻 \(t_1\) の計算（別解）
\(v_0=20 \text{ m/s}\), \(a=-4.0 \text{ m/s}^2\), \(v=0\) として、公式 \(v=v_0+at\) を用いると、
$$
\begin{aligned}
0 &= 20 + (-4.0) \times t_1 \\[2.0ex]4.0t_1 &= 20 \\[2.0ex]t_1 &= 5.0 \text{ [s]}
\end{aligned}
$$
位置 \(x_1\) の計算
三角形の底辺は \(5.0 \text{ s}\)、高さは \(20 \text{ m/s}\) なので、
$$
\begin{aligned}
x_1 &= \frac{1}{2} \times 5.0 \times 20 \\[2.0ex]&= 50 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

物体が最も遠ざかるのは、進み始めてから \(5.0\) 秒後で、そのときの位置は \(50 \text{ m}\) です。グラフからの読み取り、面積計算、公式による計算のいずれを用いても同じ結果が得られ、妥当性が高いです。

問(3)

思考の道筋とポイント
8.0秒後の物体の位置 \(x_2\) を求める問題です。これは、8.0秒間の総変位を求めればよいです。\(v-t\)グラフでは、t軸より上側の面積（正の変位）と下側の面積（負の変位）の和（代数和）として計算できます。
この設問における重要なポイント

• t軸より下側の面積は、負の変位を表す。
• 最終的な位置 = (正の変位) + (負の変位)。

具体的な解説と立式
8.0秒後の位置 \(x_2\) は、0~5.0秒の変位（図aのアの面積）と、5.0~8.0秒の変位（図aのイの面積）の和で求められます。

• アの面積（0~5.0秒の変位）: (2)より \(+50 \text{ m}\)
• イの面積（5.0~8.0秒の変位）: 底辺が \(8.0 – 5.0 = 3.0 \text{ s}\)、高さが \(-12 \text{ m/s}\) の三角形の面積。

$$ (\text{イの面積}) = \frac{1}{2} \times 3.0 \times (-12) = -18 \text{ m} $$
よって、8.0秒後の位置 \(x_2\) は、
$$ x_2 = (\text{アの面積}) + (\text{イの面積}) $$

$$
\begin{aligned}
x_2 &= 50 + (-18) \\[2.0ex]&= 32 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

8.0秒後の物体の位置は \(32 \text{ m}\) です。一度50mまで進んだ後、18mだけ戻ってきた地点であり、物理的に妥当です。面積計算と公式計算の結果も一致します。

問(4)

思考の道筋とポイント
\(x-t\)グラフ（位置-時間グラフ）を作成する問題です。等加速度直線運動の \(x-t\) グラフは放物線を描きます。いくつかの重要な点の座標（\(t=0, 2.0, 5.0, 8.0\)など）を計算し、それらの点を滑らかに結びます。
この設問における重要なポイント

• 等加速度直線運動の \(x-t\) グラフは放物線になる。
• \(v-t\)グラフの傾きが徐々に減少（負に増加）しているので、\(x-t\)グラフの傾きも徐々に緩やかになり、やがて負になる。つまり、上に凸の放物線となる。
• いくつかの特徴的な点の座標をプロットして、グラフの概形を描く。

具体的な解説と立式
グラフを描くために、いくつかの時刻での位置 \(x\) を計算します。

• \(t=0\): \(x=0\) （原点通過）
• \(t=5.0\): \(x_1=50\) m （(2)より、最も遠い点、放物線の頂点）
• \(t=8.0\): \(x_2=32\) m （(3)より）

途中の点として、例えば \(t=2.0\) s の位置を計算してみます。公式 \(x = v_0 t + \displaystyle\frac{1}{2}at^2\) を用います。
$$ x_{(t=2.0)} = 20 \times 2.0 + \frac{1}{2} \times (-4.0) \times (2.0)^2 $$

\(t=2.0\) s の位置を計算します。
$$
\begin{aligned}
x_{(t=2.0)} &= 40 + (-2.0) \times 4 \\[2.0ex]&= 40 – 8 = 32 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
よって、プロットする点は (0, 0), (2.0, 32), (5.0, 50), (8.0, 32) などです。これらの点を滑らかな放物線で結びます。

\(v-t\)グラフが直線なので、\(x-t\)グラフは2次関数、つまり放物線になります。初めは速度が正で大きいので傾きは急なプラスですが、だんだん速度が小さくなるので傾きも緩やかになります。\(t=5.0\)秒で速度が0になるので、ここでグラフの傾きが0（頂点）になります。その後は速度が負になるので、グラフの傾きもマイナスになり、下っていきます。いくつかの時刻での位置を計算して点を打ち、それらを滑らかにつなぐと、上に凸の放物線が描けます。

作成したグラフは、\(t=5.0\)秒で頂点を迎える、上に凸の放物線の一部となります。これは、初め正の向きに減速し、やがて負の向きに加速していく等加速度直線運動の様子を正しく表現しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(v-t\)グラフの二大性質の完全な理解:
  • 核心: \(v-t\)グラフが持つ2つの極めて重要な物理的意味、すなわち「傾きが加速度」「面積が変位」という関係を、自在に使いこなすことがこの問題の全てです。
  • 理解のポイント:
    1. 傾き → 加速度: グラフの傾き \(\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\) は、加速度 \(a\) の定義そのものです。グラフが直線なら加速度は一定、曲線なら加速度は変化します。
    2. 面積 → 変位: グラフと時間軸で囲まれた面積は、物体の変位 \(\Delta x\) を表します。時間軸より上側は正の変位、下側は負の変位を意味します。最終的な位置は、これらの面積の代数和（符号を考慮した和）で求まります。
• 運動の折り返し点の物理的意味:
  • 核心: 物体が最も遠ざかる点（Uターンする点）が、物理的にどのような状態に対応するかを理解すること。
  • 理解のポイント:
    • 速度が0: 折り返し点では、一瞬だけ速度が0になります。
    • \(v-t\)グラフがt軸を横切る点: したがって、\(v-t\)グラフが時間軸を横切る時刻が、折り返しの時刻となります。
    • \(x-t\)グラフの頂点: この時刻は、\(x-t\)グラフでは傾きが0になる点、すなわち放物線の頂点に対応します。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(x-t\)グラフから\(v-t\)グラフ、\(a-t\)グラフを作成する問題: グラフの傾きの関係を逆にたどっていく問題。放物線の\(x-t\)グラフ → 直線の\(v-t\)グラフ → 水平線の\(a-t\)グラフ、という関係性を理解しておくことが重要です。
  • 出発点に戻ってくる時刻を求める問題: 総変位が0になる時刻を求める問題。\(v-t\)グラフで、t軸より上側の面積と下側の面積の大きさが等しくなる時刻を探します。
  • 平均の速度を求める問題: ある時間区間の平均の速度は、「その区間の総変位（面積）÷ その区間の時間」で計算できます。
• 初見の問題での着眼点:
  1. グラフの軸を確認する: まず、与えられたグラフが\(v-t\)グラフなのか、\(x-t\)グラフなのかを絶対に確認します。
  2. グラフの形状を大まかに把握する: グラフが直線であることから、「等加速度直線運動」であると判断します。傾きが正か負かで、加速・減速の様子を大まかに掴みます。
  3. t軸との交点に注目する: \(v-t\)グラフがt軸を横切る点（\(v=0\)）は、運動の折り返し点であり、物理的に非常に重要な意味を持つため、必ずチェックします。
  4. 面積計算を意識する: 変位や位置を問われたら、即座に「面積を計算する」という発想に切り替えます。三角形や台形の面積公式を正確に使いこなすことが求められます。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• 変位と道のりの混同:
  • 誤解: 8.0秒間に進んだ「道のり」を問われた場合に、(3)で計算した「変位（位置）」である32mを答えてしまう。
  • 対策: 「変位」は位置の変化（面積の代数和）、「道のり」は実際に動いた総距離（面積の絶対値の和）であると区別する。この問題で道のりを問われたら、\(50\text{m} + |-18\text{m}| = 68\text{m}\) となります。
• t軸より下の面積の扱いミス:
  • 誤解: (3)で8.0秒後の位置を求めるときに、負の変位を考慮せず、2つの三角形の面積を単純に足し算してしまう（\(50+18=68\text{m}\)）。
  • 対策: t軸より下側の面積は「負の変位」、つまり出発点に向かって戻る動きを表すと強く意識する。最終的な位置は、必ず「正の面積 – 負の面積の大きさ」で計算することを徹底する。
• \(x-t\)グラフの形状ミス:
  • 誤解: (4)で\(x-t\)グラフを描く際に、\(v-t\)グラフが直線だからといって、\(x-t\)グラフも直線で描いてしまう。
  • 対策: 「\(v-t\)グラフが傾きを持つ直線 ⇒ \(x-t\)グラフは放物線（2次関数）」という関係をしっかり覚える。速度が変化しているのだから、\(x-t\)グラフの傾きも変化しなくてはならない、と論理的に考える。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• グラフの傾きと面積の活用:
  • 選定理由: この問題では、運動の様子が\(v-t\)グラフとして視覚的に与えられています。このような場合、グラフの幾何学的な特徴（傾きと面積）が物理量（加速度と変位）に直結するため、公式に代入するよりもグラフから直接読み取る方が、直感的で速く、間違いも少ないことが多いです。
  • 適用根拠:
    • (1) 加速度 \(a\) は、速度 \(v\) の時間微分であり、\(v-t\)グラフの傾きそのものです。
    • (2)(3) 変位 \(x\) は、速度 \(v\) の時間積分であり、\(v-t\)グラフの面積そのものです。

    高校物理では微分・積分を陽に使いませんが、この傾きと面積の関係は、その本質を幾何学的に表現したものです。

• 等加速度直線運動の公式（別解として）:
  • 選定理由: グラフからの読み取りが難しい場合や、計算の検算として公式を用いるのは非常に有効です。
  • 適用根拠: グラフが直線であることから、この運動が「等加速度直線運動」であると保証されるため、3つの公式を安心して使うことができます。各設問で問われている量と既知の量に応じて、最適な公式を選択します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 傾きの計算: グラフの傾きを計算する際は、なるべく離れた2点（始点と終点など）を選ぶと、読み取り誤差の影響が小さくなります。
• 面積の計算: 三角形や台形の面積を計算する際は、底辺や高さを正確にグラフから読み取る。特に、(3)の負の面積を計算する際の底辺は \(8.0-5.0=3.0\) であり、8.0ではない点に注意。
• 符号の確認: 傾きや面積を計算した際、その符号が物理的な意味（加速度の向き、変位の向き）と合っているかを必ず確認する。右下がりなら傾きは負、t軸より下なら面積は負、という基本を徹底する。
• グラフ作成時の点のプロット: (4)で\(x-t\)グラフを描く際は、頂点（\(t=5.0\)）以外にも、少なくとも1〜2点、途中の座標を計算してプロットすると、より正確な放物線を描くことができます。

16 等加速度直線運動のグラフ

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「\(a-t\), \(v-t\), \(x-t\)グラフの相互関係」です。与えられた加速度の時間変化（\(a-t\)グラフ）から、速度（\(v-t\)グラフ）を求め、さらに変位（\(x-t\)グラフ）を求めるという、運動学のグラフ解析における一連の流れを理解しているかが問われます。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
エレベーターの\(v-t\)グラフを作成する問題です。与えられた\(a-t\)グラフの各区間の値が、\(v-t\)グラフの傾きに対応することを利用します。区間ごとに運動を分け、それぞれの終端での速度を計算し、グラフを繋ぎ合わせていきます。
この設問における重要なポイント

• 加速度 \(a\) は \(v-t\)グラフの傾きである。
• 初速度は0（止まっていたので）。
• 各区間の運動は等加速度直線運動（または等速直線運動）なので、\(v-t\)グラフは折れ線グラフになる。

具体的な解説と立式
区間 0 ~ 2.0 s:

• 加速度 \(a_1 = 3.0 \text{ m/s}^2\)。初速度 \(v_0 = 0\)。
• \(v-t\)グラフは、原点(0,0)から傾き3.0で上昇する直線。
• 時刻 \(t=2.0\) sでの速度 \(v_1\) は、\(v_1 = v_0 + a_1 t = 0 + 3.0 \times 2.0 = 6.0 \text{ m/s}\)。

区間 2.0 ~ 6.0 s:

• 加速度 \(a_2 = 0 \text{ m/s}^2\)。これは等速直線運動を意味する。
• \(v-t\)グラフは、速度 \(v_1 = 6.0 \text{ m/s}\) のままの水平な直線。

区間 6.0 ~ 9.0 s:

• 加速度 \(a_3 = -2.0 \text{ m/s}^2\)。
• \(v-t\)グラフは、点(6.0, 6.0)から傾き-2.0で下降する直線。
• 時刻 \(t=9.0\) sでの速度 \(v_2\) は、\(t=6.0\) sの速度を初速度として、\(v_2 = v_1 + a_3 (9.0 – 6.0) = 6.0 + (-2.0) \times 3.0 = 0 \text{ m/s}\)。

上記の具体的な解説と立式に示した計算を実行し、以下の座標点を結んでグラフを作成します。

• (0, 0)
• (2.0, 6.0)
• (6.0, 6.0)
• (9.0, 0)

加速度は「速度の変化のペース」です。

• 最初の2秒間は、毎秒3.0m/sのペースで加速するので、2秒後には速度が \(3.0 \times 2.0 = 6.0\) m/sになります。
• 次の4秒間（2秒後から6秒後まで）は、加速度が0なので速度は変化せず、6.0m/sのままです。
• 最後の3秒間（6秒後から9秒後まで）は、毎秒2.0m/sのペースで減速するので、3秒間で \(2.0 \times 3.0 = 6.0\) m/sだけ速度が減り、最終的に速度は0になります。

これらの速度の変化をグラフにすると、台形の折れ線グラフが描けます。

作成したグラフは、(0,0)から始まり、加速（傾きが正の直線）、等速（水平な直線）、減速（傾きが負の直線）を経て、(9.0, 0)で終わる台形の形状となります。各区間の運動の様子を正しく反映しています。

問(2)

思考の道筋とポイント
9.0秒間にエレベーターが上昇した高さ \(h\) を求める問題です。これは、0秒から9.0秒までの総移動距離を求めることに等しく、(1)で作成した\(v-t\)グラフの面積を計算することで求められます。
この設問における重要なポイント

• \(v-t\)グラフの面積 = 移動距離（変位）。
• グラフ全体の形状は台形なので、台形の面積公式を使うと効率的。

具体的な解説と立式
(1)で作成した\(v-t\)グラフは、上底の長さが \(6.0 – 2.0 = 4.0\) s、下底の長さが \(9.0\) s、高さが \(6.0\) m/s の台形をなしています。
上昇した高さ \(h\) は、この台形の面積に等しいです。
$$ h = \frac{1}{2} \times (\text{上底} + \text{下底}) \times \text{高さ} $$

各値を式に代入して計算します。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{1}{2} \times (4.0 + 9.0) \times 6.0 \\[2.0ex]&= \frac{1}{2} \times 13.0 \times 6.0 \\[2.0ex]&= 39 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$

移動した距離は、\(v-t\)グラフの面積を計算すれば求まります。グラフの形は台形なので、「（上底＋下底）× 高さ ÷ 2」という公式を使います。上底は4.0秒、下底は9.0秒、高さは6.0m/sなので、\((4.0 + 9.0) \times 6.0 \div 2 = 39\) m と計算できます。

9.0秒間にエレベーターが上昇した高さは \(39 \text{ m}\) です。グラフの面積から正しく計算できました。

問(3)

思考の道筋とポイント
エレベーターの上昇距離 \(x\) と時間 \(t\) の関係をグラフ（\(x-t\)グラフ）にする問題です。\(x-t\)グラフの傾きは速度 \(v\) を表します。(1)で作成した\(v-t\)グラフから、各時刻の速度（傾き）がどのように変化するかを考え、グラフの形状を決定します。また、いくつかの重要な時刻での位置をプロットすることで、より正確なグラフを描きます。
この設問における重要なポイント

• \(x-t\)グラフの傾きは、その時刻の速度 \(v\) に等しい。
• \(v-t\)グラフの面積は、その時刻までの移動距離 \(x\) に等しい。
• 加速区間（\(a>0\)）では下に凸の放物線、等速区間（\(a=0\)）では直線、減速区間（\(a<0\)）では上に凸の放物線になる。

具体的な解説と立式
いくつかの特徴的な時刻での位置 \(x\) を、\(v-t\)グラフの面積から計算します。

• \(t=2.0\) sでの位置 \(x_1\):
  0~2.0sの三角形の面積を計算します。
  $$ x_1 = \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ}) = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 6.0 = 6.0 \text{ m} $$
• \(t=6.0\) sでの位置 \(x_2\):
  0~6.0sの台形の面積を計算します。これは、\(x_1\) に2.0~6.0sの長方形の面積を加えることと同じです。
  $$ x_2 = x_1 + (\text{長方形の面積}) = 6.0 + (6.0 \times (6.0 – 2.0)) = 6.0 + 24.0 = 30 \text{ m} $$
• \(t=9.0\) sでの位置 \(x_3\):
  (2)で計算した総上昇高さに等しいので、\(x_3 = 39 \text{ m}\)。

これらの点 (0,0), (2.0, 6.0), (6.0, 30), (9.0, 39) をプロットし、各区間の運動（加速、等速、減速）に合わせて滑らかに結びます。

上記の具体的な解説と立式に示した計算を実行し、グラフを作成します。

\(x-t\)グラフは、各時刻での「それまでに進んだ距離」をプロットしたものです。

• 2秒後までには、\(v-t\)グラフの最初の三角形の面積である6.0m進みます。
• 6秒後までには、さらに長方形の面積分（24.0m）進むので、合計 \(6.0+24.0=30\)m の位置にいます。
• 9秒後には、最後の三角形の面積分（9.0m）進むので、合計 \(30+9.0=39\)m の位置にいます。

これらの点（(0,0), (2,6), (6,30), (9,39)）を打ちます。加速している区間は勢いよく（下に凸）、速度が一定の区間は同じペースで（直線）、減速している区間はペースが落ちながら（上に凸）進むように、滑らかな曲線で結びます。

作成したグラフは、下に凸の放物線、直線、上に凸の放物線を滑らかに接続した形になります。これは、加速→等速→減速というエレベーターの運動の様子を正しく表現しています。

【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• \(a-t\), \(v-t\), \(x-t\)グラフの相互関係（微分・積分の関係）:
  • 核心: 加速度 \(a\)、速度 \(v\)、変位 \(x\) の関係性が、グラフ上では「傾き」と「面積」という幾何学的な関係に翻訳されることを、双方向で理解することが最も重要です。
  • 理解のポイント:
    • 傾きの関係（微分）: \(a-t\)グラフの値 → \(v-t\)グラフの傾き → \(x-t\)グラフの傾き（の傾き）。
    • 面積の関係（積分）: \(a-t\)グラフの面積 → 速度の変化量 \(\Delta v\) ／ \(v-t\)グラフの面積 → 変位 \(\Delta x\)。

    この問題は、\(a-t\)グラフから出発して、積分的な操作（面積計算や傾きからの作図）を繰り返すことで、\(v-t\)グラフ、\(x-t\)グラフを構築する流れになっています。

• グラフ形状の定性的理解:
  • 核心: 各区間の運動の種類（加速、等速、減速）に応じて、\(v-t\)グラフと\(x-t\)グラフがどのような形状になるかを定性的に理解していること。
  • 理解のポイント:
    • 加速 (\(a>0\)): \(v\)は増加（右上がり直線）、\(x\)の増え方が激しくなる（下に凸の放物線）。
    • 等速 (\(a=0\)): \(v\)は一定（水平線）、\(x\)は一定のペースで増える（直線）。
    • 減速 (\(a<0\)): \(v\)は減少（右下がり直線）、\(x\)の増え方が緩やかになる（上に凸の放物線）。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • \(x-t\)グラフからの解析: 逆に、複雑な形状の\(x-t\)グラフが与えられ、各区間の速度や加速度を求めて\(v-t\)グラフや\(a-t\)グラフを作成する問題。
  • 往復運動: エレベーターが上昇後、下降して元の位置に戻るような問題。\(v-t\)グラフでは負の速度領域が現れ、\(v-t\)グラフの総面積が0になります。
  • 力と運動の関係: 各区間におけるエレベーターにはたらく力（張力や垂直抗力）の大きさを、加速度から運動方程式（\(ma=F\)）を用いて考察する問題に発展します。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 出発点のグラフを確認: まず、与えられたグラフが\(a-t\), \(v-t\), \(x-t\)のどれなのかを絶対に確認します。
  2. 運動のフェーズ分け: グラフの形状が変化する点で運動を区切ります。この問題では、0-2s, 2-6s, 6-9s の3つのフェーズに分けられます。
  3. グラフ間の関係性を意識する:
     • \(v-t\)グラフを描くときは、「\(a-t\)グラフの値が傾きになる」ことを利用します。
     • 変位や距離を求めるときは、「\(v-t\)グラフの面積を計算する」と考えます。
     • \(x-t\)グラフを描くときは、「\(v-t\)グラフの値が傾きになる」ことを利用します。
  4. グラフの接続点: 運動が切り替わる点（\(t=2.0, 6.0\)）で、グラフが「なめらかに」接続されるか（速度が連続か）を確認します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• \(v-t\)グラフの面積と高さの混同:
  • 誤解: (2)で上昇した高さを求めるときに、\(v-t\)グラフの最高点である \(v=6.0\) m/s を答えとしてしまう。
  • 対策: 「高さ」や「距離」を問われたら、それは\(v-t\)グラフの「面積」である、と機械的に結びつけて覚える。グラフの縦軸の値そのものではないことを強く意識する。
• \(x-t\)グラフの形状ミス:
  • 誤解: (3)で、\(v-t\)グラフが折れ線だからといって、\(x-t\)グラフも折れ線で描いてしまう。
  • 対策: 「速度が変化する（\(v-t\)グラフが傾く）なら、\(x-t\)グラフは曲線（放物線）になる」という基本ルールを徹底する。傾きが一定の直線になるのは、速度が一定（\(v-t\)グラフが水平）の区間だけです。
• 台形の面積計算ミス:
  • 誤解: (2)で台形の面積を計算する際に、上底の長さを \(6.0\) や \(2.0\) と間違える。
  • 対策: 上底は「速度が一定だった区間の時間の長さ」なので、\(6.0 – 2.0 = 4.0\) と、時刻の差で計算することを明確に意識する。図形に数値を書き込んで確認する。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• \(v-t\)グラフの傾きと面積:
  • 選定理由: この問題は、加速度が時間的に変化する複数の運動を組み合わせたものであり、単一の等加速度直線運動の公式を一度に適用することはできません。しかし、グラフを用いることで、各区間の運動を視覚的に捉え、それぞれの区間での速度変化（傾き）や変位（面積）を計算し、それらを繋ぎ合わせることができます。グラフは、このような複雑な運動を分析するための最も強力なツールです。
  • 適用根拠:
    • (1) \(v-t\)グラフの傾きが加速度 \(a\) に対応するという関係を使い、\(a-t\)グラフから\(v-t\)グラフを「復元」します。
    • (2)(3) \(v-t\)グラフの面積が変位 \(\Delta x\) に対応するという関係を使い、\(v-t\)グラフから\(x-t\)グラフを「復元」します。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 区間ごとの計算を明確に分ける: ノートや答案を3つの区間に分け、それぞれの区間での初速度、加速度、時間、後の速度、移動距離などを整理しながら計算を進めると、混乱を防げます。
• 面積計算の工夫: (2)の台形の面積は、(3)で計算したように「最初の三角形」「中央の長方形」「最後の三角形」の3つの部分の面積の和として計算することもできます。(\(6.0 + 24.0 + 9.0 = 39\))。検算として有効です。
• グラフのチェックポイント:
  • \(v-t\)グラフを描いたら、各区間の傾きが\(a-t\)グラフの値と一致しているか確認する。
  • \(x-t\)グラフを描いたら、各時刻でのグラフの接線の傾きが、\(v-t\)グラフのその時刻の速度の値と定性的に一致しているか（例: \(t=2.0\)で傾きが最も急になっているか、\(t=6.0\)から傾きが緩やかになっているか）を確認する。

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