今回の問題
thermodynamicsall#13【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「気体の状態変化と浮力」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 気体の状態方程式: 理想気体の圧力、体積、温度、物質量の関係を表す基本法則です。密度との関係を導くために用います。
- シャルルの法則: 圧力が一定の条件下で、気体の体積が絶対温度に比例するという法則です。状態方程式から導かれます。
- アルキメデスの原理（浮力）: 流体中の物体が受ける浮力の大きさは、その物体が押しのけた流体の重さに等しいという原理です。
- 力のつりあい: 物体が静止している（または浮上し始める）とき、その物体に働く力のベクトル和はゼロになります（または上向きの力が下向きの力以上になります）。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、圧力が一定という条件の下で、気体の状態方程式を用いて温度と密度の関係式を導出します。
- (2)では、熱気球が浮上する条件（浮力 ≧ 重力）を力のつりあいの観点から立式します。このとき、(1)で求めた関係式を利用して、内部の空気の重さを温度の関数として表し、浮上するための最低温度を計算します。
問(1)
思考の道筋とポイント
圧力が一定の条件下で、空気の温度を \(T_0\) から \(T\) に変えたときの密度 \(\rho\) を求める問題です。気体の状態を記述する最も基本的な法則である「気体の状態方程式」から出発し、密度 \(\rho\) を式に導入することを考えます。
この設問における重要なポイント
- 気体の状態方程式 \(PV=nRT\) が基本となる。
- 密度 \(\rho\) は、気体の質量 \(m\) と体積 \(V\) を用いて \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\) と表せる。
- 圧力一定の条件下では、気体の密度 \(\rho\) と絶対温度 \(T\) は反比例の関係 (\(\rho T = \text{一定}\)) にある。
具体的な解説と立式
ある一定質量の空気を考え、その質量を \(m\)、モル質量を \(M_{\text{mol}}\) とします。このとき、気体の物質量 \(n\) は \(n = \displaystyle\frac{m}{M_{\text{mol}}}\) と表せます。
気体の状態方程式 \(PV=nRT\) にこれを代入すると、
$$ PV = \frac{m}{M_{\text{mol}}}RT $$
となります。ここで、密度 \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\) を導入するために、両辺を \(V\) で割ると、
$$ P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M_{\text{mol}}} = \rho \frac{RT}{M_{\text{mol}}} $$
この式を整理すると、
$$ \rho T = P \frac{M_{\text{mol}}}{R} $$
となります。問題の条件より圧力 \(P\) は一定であり、気体の種類（空気）も変わらないためモル質量 \(M_{\text{mol}}\) も一定です。気体定数 \(R\) は普遍定数なので、この式の右辺は定数となります。
したがって、圧力一定の条件下では \(\rho T = \text{一定}\) という関係が成り立ちます。
初期状態（温度 \(T_0\), 密度 \(\rho_0\)）と、温度を \(T\) に変えた後の状態（密度 \(\rho\)）についてこの関係を適用すると、以下の式が立てられます。
$$ \rho_0 T_0 = \rho T \quad \cdots ① $$
使用した物理公式
- 気体の状態方程式: \(PV=nRT\)
- 密度の定義: \(\rho = \displaystyle\frac{m}{V}\)
式①を、求めたい密度 \(\rho\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\rho T &= \rho_0 T_0 \\[2.0ex]
\rho &= \frac{T_0}{T} \rho_0
\end{aligned}
$$
空気を温めると、膨張して密度が小さくなります。この関係を式で考えます。気体の性質を表す基本公式「状態方程式」に、「密度＝質量÷体積」の関係を組み合わせると、「密度 × 絶対温度」の値が（圧力が一定なら）常に同じになる、という便利な関係式が作れます。
したがって、「はじめの密度 \(\rho_0\) × はじめの絶対温度 \(T_0\)」と「変化後の密度 \(\rho\) × 変化後の絶対温度 \(T\)」が等しい、という式を立てます。この式を、求めたい「変化後の密度 \(\rho\)」について解けば答えが得られます。
空気の密度 \(\rho\) は \(\displaystyle\frac{T_0}{T} \rho_0\) となります。
温度を上げる、つまり \(T > T_0\) のとき、分数 \(\displaystyle\frac{T_0}{T}\) は1より小さくなるので、密度 \(\rho\) は元の密度 \(\rho_0\) より小さくなります。これは、気体を温めると膨張して密度が低下するという物理現象と一致しており、妥当な結果です。
問(2)
思考の道筋とポイント
熱気球が浮上するために必要な、内部の空気の最低温度を求める問題です。「浮上する」という条件は、熱気球に働く上向きの「浮力」が、下向きの「熱気球全体の重力」以上になることを意味します。求めるのは「最低温度」なので、浮力と重力がちょうどつりあう瞬間を考えます。
この設問における重要なポイント
- 浮力の大きさは、気球が押しのけた流体（まわりの大気）の重さに等しい (\(F_{\text{浮力}} = \rho_0 V g\))。
- 熱気球全体の重さは、「気球本体の重さ」と「内部の温かい空気の重さ」の和で与えられる。
- 内部の空気の密度は、(1)で求めたように温度 \(T\) に依存する。
具体的な解説と立式
熱気球に働く力は、鉛直上向きの浮力 \(F_{\text{浮力}}\) と、鉛直下向きの重力 \(W_{\text{全体}}\) です。
浮力は、気球の体積 \(V\) とまわりの大気の密度 \(\rho_0\) を用いて、
$$ F_{\text{浮力}} = \rho_0 V g $$
と表されます。
一方、熱気球全体の重力は、空気を除いた気球本体の質量を \(M\)、内部の空気の質量を \(m_{\text{内部}}\) とすると、
$$ W_{\text{全体}} = (M + m_{\text{内部}})g $$
となります。内部の空気の質量 \(m_{\text{内部}}\) は、その密度 \(\rho\) と体積 \(V\) を用いて \(m_{\text{内部}} = \rho V\) と書けます。
ここで、(1)の結果 \(\rho = \displaystyle\frac{T_0}{T} \rho_0\) を用いると、
$$ m_{\text{内部}} = \left( \frac{T_0}{T} \rho_0 \right) V $$
となります。
熱気球が浮上するための条件は \(F_{\text{浮力}} \ge W_{\text{全体}}\) です。浮上できる「最低」温度を求めるので、力がつりあう限界の状態、すなわち \(F_{\text{浮力}} = W_{\text{全体}}\) を考えます。
$$ \rho_0 V g = \left( M + \frac{T_0}{T} \rho_0 V \right) g \quad \cdots ① $$
使用した物理公式
- 浮力の公式: \(F = \rho_{\text{流体}} V g\)
- 力のつりあい: \(\sum F_{\text{上向き}} = \sum F_{\text{下向き}}\)
- (1)で導いた密度と温度の関係: \(\rho = \displaystyle\frac{T_0}{T} \rho_0\)
式①の両辺から重力加速度 \(g\) を消去します。
$$ \rho_0 V = M + \frac{T_0}{T} \rho_0 V $$
この式を、求める温度 \(T\) について解きます。
$$
\begin{aligned}
\frac{T_0}{T} \rho_0 V &= \rho_0 V – M \\[2.0ex]
\frac{1}{T} &= \frac{\rho_0 V – M}{T_0 \rho_0 V} \\[2.0ex]
T &= \frac{T_0 \rho_0 V}{\rho_0 V – M}
\end{aligned}
$$
ここに、与えられた数値を代入します。
\(M = 300 \, \text{kg}\), \(V = 2000 \, \text{m}^3\), \(T_0 = 280 \, \text{K}\), \(\rho_0 = 1.2 \, \text{kg/m}^3\)
まず、\(\rho_0 V\) の値を計算します。これは気球が押しのけた空気の質量に相当します。
$$ \rho_0 V = 1.2 \, \text{kg/m}^3 \times 2000 \, \text{m}^3 = 2400 \, \text{kg} $$
この値を \(T\) の式に代入します。
$$
\begin{aligned}
T &= \frac{280 \times 2400}{2400 – 300} \\[2.0ex]
&= \frac{280 \times 2400}{2100} \\[2.0ex]
&= \frac{280 \times 24}{21} \\[2.0ex]
&= \frac{280 \times 8}{7} \\[2.0ex]
&= 40 \times 8 = 320 \, \text{K}
\end{aligned}
$$
熱気球がギリギリ浮かび上がる瞬間は、上向きの「浮力」と下向きの「全体の重さ」が等しくなるときです。
まず、この「浮力＝全体の重さ」というつりあいの式を立てます。
浮力は、周りの空気の密度を使って計算します。一方、全体の重さは、「気球本体の重さ」と「気球の中の温かい空気の重さ」の合計です。
この「中の空気の重さ」は、(1)でわかったように温度によって変わります。
つりあいの式に(1)の結果を代入して、求めたい温度 \(T\) についての式に変形します。最後に、問題で与えられた数字をすべて代入して計算すると、答えの温度が求まります。
熱気球が浮上するために必要な最低温度は \(320 \, \text{K}\) です。
この値は、外気の温度 \(T_0 = 280 \, \text{K}\) よりも高くなっています。内部の空気を温めることで密度を下げ、軽くすることで浮力を得て浮上するという、熱気球の原理と一致する妥当な結果です。もし気球本体の質量 \(M\) が、押しのけた空気の質量 \(\rho_0 V\) (\(2400 \, \text{kg}\)) より重い場合は、どんなに温度を上げても（内部の空気の重さをゼロに近づけても）浮上できないことも、この式からわかります。
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