問題の確認
dynamics#12各設問の思考プロセス
この問題は水平投射運動です。水平投射は、水平方向と鉛直方向の運動に分解して考えるのが基本です。
- 運動の分解:
- 水平方向: 初速度 \(v_0\) の等速直線運動（加速度 \(0\)）。
- 鉛直方向: 初速度 \(0\) の自由落下運動（加速度 \(g\)）。
これら二つの運動は互いに独立していますが、時間 \(t\) は共通です。
- 時間 \(t\) の決定 (問1):
- 鉛直方向の運動に着目します。高さ \(H\) だけ落下するのに要する時間を求めます。これは、水平方向の初速度には影響されません。
- 使用する公式: \(y = v_{0y}t + \frac{1}{2}a_y t^2\)
- 水平到達距離 \(x\) の決定 (問2):
- 水平方向の運動に着目します。問1で求めた時間 \(t\) の間に、一定の水平速度 \(v_0\) で進む距離を求めます。
- 使用する公式: \(x = v_x t\)
- 海面落下時の速度 (問3):
- 海面に落下する瞬間の速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) を求めます。
- 水平成分 \(v_x\) は、投げだしたときの初速度 \(v_0\) のまま変化しません。
- 鉛直成分 \(v_y\) は、時間 \(t\)（問1で求めた値）の間の自由落下によって増加します。使用する公式: \(v_y = v_{0y} + a_y t\)。
- 速度の大きさ \(v\) は、\(v_x\) と \(v_y\) を用いて三平方の定理で求めます: \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)。
- 速度の向きは、水平方向となす角 \(\theta\) で表し、\(\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}\) から求めます。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 投げだしてから小石が海面に落下するまでの時間を求めよ。
問われている内容の明確化:
小石が投げ出されてから海面に到達する（鉛直方向に \(H\) だけ落下する）までの時間 \(t\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
鉛直方向の運動について考えます。
初速度（y成分）\(v_{0y} = 0\)、加速度（y成分）\(a_y = g\)、変位（y成分）\(y = H\)。
$$y = v_{0y}t + \frac{1}{2}a_y t^2$$
値を代入すると、
$$H = (0) \cdot t + \frac{1}{2}gt^2$$
$$H = \frac{1}{2}gt^2$$
\(t^2\) について解くと、
$$t^2 = \frac{2H}{g}$$
時間は正 (\(t > 0\)) なので、
$$t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$$
計算方法の平易な説明:
小石が下に \(H\) だけ落ちる時間を考えます。下向きには最初速さが \(0\) で、重力 \(g\) で加速されます。
「距離 = \(\frac{1}{2} \times\) 加速度 \(\times\) 時間\({}^2\)」（初速ゼロの場合）という公式を使うと、
\(H = \frac{1}{2} \times g \times t^2\)。
これを \(t\) について解くと、\(t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\) となります。これは自由落下の時と同じ時間です。
この設問における重要なポイント:
- 水平投射の落下時間は、鉛直方向の運動（初速度0の等加速度運動）のみで決まる。
- 水平方向の初速度 \(v_0\) は落下時間には影響しない。
投げだしてから小石が海面に落下するまでの時間は \(\displaystyle t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\) である。
(2) 投げだした点から落下した海面までの水平距離 xを求めよ。
問われている内容の明確化:
小石が投げ出された点から、海面に落下した点までの水平方向の移動距離 \(x\) を求めます。
具体的な解説と計算手順:
水平方向の運動について考えます。
初速度（x成分）\(v_{0x} = v_0\)、加速度（x成分）\(a_x = 0\)（等速直線運動）。
時間は(1)で求めた \(t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\) です。
$$x = v_{x}t$$
値を代入すると、
$$x = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}$$
計算方法の平易な説明:
小石は横方向には速さ \(v_0\) でずっと進みます（空気の抵抗は考えません）。
(1)で求めた時間 \(t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\) だけ飛んでいるので、その間に進む横の距離は、「速さ \(\times\) 時間」です。
したがって、\(x = v_0 \times \sqrt{\frac{2H}{g}}\) となります。
この設問における重要なポイント:
- 水平方向は力が働かないため等速直線運動をする。
- 落下時間 \(t\) は鉛直方向の運動から決定されるが、その \(t\) を使って水平到達距離を計算する。
投げだした点から落下した海面までの水平距離 \(x\) は \(\displaystyle x = v_0 \sqrt{\frac{2H}{g}}\) である。
(3) 海面に落下したときの、小石の速度の向きと大きさvを求めよ。
問われている内容の明確化:
小石が海面に落下した瞬間の速度について、その大きさ \(v\)（速さ）と、進行方向を求めます。
具体的な解説と計算手順:
海面に落下する瞬間の速度の水平成分 \(v_x\) と鉛直成分 \(v_y\) をそれぞれ求めます。
時間は \(t = \sqrt{\frac{2H}{g}}\) です。
1. 速度の水平成分 \(v_x\):
水平方向は等速直線運動なので、常に \(v_0\) です。
$$v_x = v_0$$
2. 速度の鉛直成分 \(v_y\):
鉛直方向は初速度 \(v_{0y}=0\)、加速度 \(g\) の等加速度直線運動です。
$$v_y = v_{0y} + a_y t$$
$$v_y = 0 + g \left( \sqrt{\frac{2H}{g}} \right) = g \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{g^2 \frac{2H}{g}} = \sqrt{2gH}$$
3. 速度の大きさ \(v\):
\(v_x\) と \(v_y\) は直交するため、三平方の定理を用いて合成速度の大きさ \(v\) を求めます。
$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$
$$v = \sqrt{v_0^2 + (\sqrt{2gH})^2}$$
$$v = \sqrt{v_0^2 + 2gH}$$
4. 速度の向き:
速度の向きを、水平方向となす角 \(\theta\)（鉛直下向き）で表します。
$$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$$
$$\tan \theta = \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}$$
向きは「水平方向に対し、鉛直下向きに角度 \(\theta\)（ただし \(\tan \theta = \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}\)）の方向」となります。
計算方法の平易な説明:
海面に落ちるときの速さと向きを調べます。
- 横向きの速さ (\(v_x\)): これは最初から変わらず \(v_0\) です。
- 下向きの速さ (\(v_y\)): (1)で求めた時間 \(t=\sqrt{\frac{2H}{g}}\) だけ自由落下したときの速さなので、\(v_y = gt = g\sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{2gH}\) です。
- 全体の速さ (\(v\)): 横向きの速さ \(v_x\) と下向きの速さ \(v_y\) は直角なので、全体の速さ \(v\) は三平方の定理で \(\sqrt{v_x^2 + v_y^2}\) と計算できます。
\(v = \sqrt{v_0^2 + (\sqrt{2gH})^2} = \sqrt{v_0^2 + 2gH}\)。 - 向き: 水平線からどれだけ下向きかを角度 \(\theta\) で表します。\(\tan \theta = \frac{\text{下向きの速さ}}{\text{横向きの速さ}} = \frac{v_y}{v_x} = \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}\) となります。
この設問における重要なポイント:
- 落下時の速度は、水平成分と鉛直成分のベクトル的な和である。
- 水平速度成分は \(v_0\) のまま変わらない。
- 鉛直速度成分は \(gt\) で計算できる。
- 速度の大きさは三平方の定理で、向きはtanで表すのが一般的。
大きさ: \(\displaystyle v = \sqrt{v_0^2 + 2gH}\)
向き: 水平方向となす角 \(\theta\) は \(\displaystyle \tan \theta = \frac{\sqrt{2gH}}{v_0}\) を満たす鉛直下向きの方向。
▼別の問題もチャレンジ▼
問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- 水平投射: 物体を水平方向に初速度を与えて投げ出す運動。空気抵抗を無視する場合、運動は水平方向と鉛直方向に分解して考えられる。
- 運動の独立性: 水平方向の運動（等速直線運動）と鉛直方向の運動（自由落下）は、互いに影響を与えずに同時に起こる。共通のパラメータは時間 \(t\)。
- 等速直線運動: 水平方向には力が働かないため、速度は一定 (\(v_x = v_0\))。距離 \(x = v_0 t\)。
- 自由落下運動: 鉛直方向には重力が働き、初速度 \(0\) で加速度 \(g\) の等加速度直線運動をする。\(y = \frac{1}{2}gt^2\), \(v_y = gt\)。
- 速度の合成: 速度はベクトル量なので、大きさは三平方の定理で、向きは三角関数を用いて合成する。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 座標系の設定: 原点と軸の向き（特にy軸の向き）を最初に明確に定めると、符号のミスが減る。
- 運動の分解の徹底: 必ず水平方向と鉛直方向に分けて物理量を整理し、それぞれに適した運動法則を適用する。
- 共通の時間 \(t\): 水平方向の運動と鉛直方向の運動を結びつけるのは時間 \(t\) であることを意識する。
- 初速度の成分の把握: 水平投射の場合、初速度の水平成分は \(v_0\)、鉛直成分は \(0\) である。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- 水平方向への重力の影響の誤認: 水平方向には重力は作用しないため、水平速度は変化しないことを見落とす。
- 落下時間が水平初速度に依存すると考える誤り: 落下時間は鉛直方向の高さ \(H\) と重力加速度 \(g\) のみで決まり、水平初速度 \(v_0\) には依らない。
- 最終速度の鉛直成分のみを速さと勘違いする: 地面に達する瞬間の速さは、水平成分と鉛直成分を合成したものの大きさである。
- 角度の定義の曖昧さ: 速度の向きを角度で示す場合、どの線（水平線か鉛直線か）からの角度で、どちら向き（上向きか下向きか）なのかを明確に記述する。
▼別の問題もチャレンジ▼