今回の問題
thermodynamicsall#05【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「熱量と仕事の変換」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 熱量の計算: 物体の温度を変化させるのに必要な熱量は、公式 \(Q=mc\Delta T\) で計算されます。
- 仕事とエネルギーの関係: 仕事はエネルギーの一形態であり、他のエネルギー（この問題では熱エネルギー）と相互に変換され得ます。物体を持ち上げる仕事は、その物体の位置エネルギーの増加に等しくなります。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- (1)では、まず水の質量を密度と体積から求めます。次に、熱量の公式 \(Q=mc\Delta T\) を用いて、水を温めるのに必要な熱量を計算します。この際、比熱の単位と質量の単位を合わせることが重要です。
- (2)では、(1)で求めた熱エネルギーがすべて位置エネルギーに変換されると考え、\(Q = mgh\) の関係式から持ち上げられた高さ \(h\) を求めます。
問(1)
思考の道筋とポイント
水を温めるのに必要な熱量 \(Q\) を求める問題です。熱量の公式 \(Q=mc\Delta T\) を使うために、まず水の質量 \(m\) を計算する必要があります。質量は「密度 \(\times\) 体積」で求められます。また、比熱の単位が \(\text{J/(g}\cdot\text{K)}\) で与えられているため、質量の単位と合わせるための単位換算が必要です。
この設問における重要なポイント
- 質量を「密度 \(\times\) 体積」で計算できる。
- 熱量の公式 \(Q=mc\Delta T\) を正しく適用できる。
- 比熱の単位と質量の単位を整合させる（単位換算）。
具体的な解説と立式
まず、温める水の質量 \(m\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
m &= \text{密度} \times \text{体積} \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^3 \text{ [kg/m}^3\text{]}) \times 0.20 \text{ [m}^3\text{]} \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^2 \text{ [kg]}
\end{aligned}
$$
次に、熱量 \(Q\) を計算します。公式は \(Q=mc\Delta T\) です。
ここで、比熱 \(c\) は \(4.2 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\) で与えられています。質量の単位を kg に合わせるため、比熱を \(\text{J/(kg}\cdot\text{K)}\) に変換します。
$$
\begin{aligned}
c &= 4.2 \text{ [J/(g}\cdot\text{K)]} \\[2.0ex]&= 4.2 \times 10^3 \text{ [J/(kg}\cdot\text{K)]}
\end{aligned}
$$
温度変化 \(\Delta T\) は、
$$
\begin{aligned}
\Delta T &= 40^\circ\text{C} – 10^\circ\text{C} \\[2.0ex]&= 30^\circ\text{C} \\[2.0ex]&= 30 \text{ K}
\end{aligned}
$$
これらの値を熱量の公式に代入します。
$$ Q = mc\Delta T \quad \cdots ① $$
使用した物理公式
- 質量: \(m = \rho V\)
- 熱量: \(Q = mc\Delta T\)
式①に数値を代入して \(Q\) を計算します。
$$
\begin{aligned}
Q &= (2.0 \times 10^2 \text{ [kg]}) \times (4.2 \times 10^3 \text{ [J/(kg}\cdot\text{K)]}) \times 30 \text{ [K]} \\[2.0ex]&= 252 \times 10^5 \text{ [J]} \\[2.0ex]&= 2.52 \times 10^7 \text{ [J]}
\end{aligned}
$$
問題文で与えられている数値の有効数字は2桁なので、計算結果も有効数字2桁に丸めます。
$$ Q \approx 2.5 \times 10^7 \text{ [J]} $$
まず、温める水の重さ（質量）を計算します。体積 \(0.20 \text{ m}^3\) に密度 \(1.0 \times 10^3 \text{ kg/m}^3\) を掛けて、\(200 \text{ kg}\) となります。次に、熱量を計算する公式 \(Q=mc\Delta T\) を使います。比熱が \(4.2 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\) なので、kgあたりに直すと \(4200 \text{ J/(kg}\cdot\text{K)}\) です。温度変化は \(40^\circ\text{C} – 10^\circ\text{C} = 30^\circ\text{C}\) です。これらを公式に入れると、\(Q = 200 \times 4200 \times 30 = 25200000\) J となります。有効数字2桁にすると、\(2.5 \times 10^7\) J です。
必要な熱量は \(2.5 \times 10^7\) J です。単位の整合性に注意して計算し、物理的に妥当な値が得られました。
問(2)
思考の道筋とポイント
(1)で求めた熱量 \(Q\) が、すべて水を持ち上げる仕事 \(W\) に使われたと考えます。物体をゆっくり持ち上げる仕事は、その物体の位置エネルギーの増加分 \(\Delta U\) に等しくなります。したがって、\(Q = \Delta U = mgh\) というエネルギー変換の式を立て、高さ \(h\) を求めます。
この設問における重要なポイント
- 熱エネルギーが力学的エネルギー（位置エネルギー）に変換されると考える。
- 位置エネルギーの増加量を \(mgh\) で計算できる。
- (1)で求めた熱量と質量を正しく用いる。
具体的な解説と立式
(1)で求めた熱量 \(Q\) が、すべて質量 \(m\) の水を高さ \(h\) だけ持ち上げる仕事、すなわち位置エネルギーの増加 \(mgh\) に等しいとします。
$$ Q = mgh \quad \cdots ② $$
この式を \(h\) について解くと、
$$ h = \frac{Q}{mg} $$
使用した物理公式
- 仕事とエネルギーの関係: \(W = \Delta U\)
- 位置エネルギー: \(U = mgh\)
計算の精度を保つため、(1)で丸める前の値 \(Q = 2.52 \times 10^7 \text{ J}\) を用います。
$$
\begin{aligned}
h &= \frac{2.52 \times 10^7 \text{ [J]}}{(2.0 \times 10^2 \text{ [kg]}) \times 9.8 \text{ [m/s}^2\text{]}} \\[2.0ex]&= \frac{2.52 \times 10^7}{19.6 \times 10^2} \\[2.0ex]&= \frac{2.52}{19.6} \times 10^5 \\[2.0ex]&\approx 0.12857 \times 10^5 \\[2.0ex]&= 1.2857 \times 10^4 \text{ [m]}
\end{aligned}
$$
計算結果を有効数字2桁に丸めます。
$$ h \approx 1.3 \times 10^4 \text{ [m]} $$
(1)で計算した熱エネルギー \(2.52 \times 10^7\) J が、すべて \(200 \text{ kg}\) の水を持ち上げるためのエネルギーに変わったと考えます。物を持ち上げるエネルギー（位置エネルギー）は「質量 \(\times\) 重力加速度 \(\times\) 高さ」で計算できるので、\(2.52 \times 10^7 = 200 \times 9.8 \times h\) という式が成り立ちます。この式を \(h\) について解くと、高さが求まります。計算すると約 \(1.3 \times 10^4\) m（13 km）となります。
持ち上げられた高さは \(1.3 \times 10^4\) m です。熱エネルギーが非常に大きな力学的エネルギーに相当することがわかる、興味深い結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 熱量と仕事の等価性（エネルギー保存則）:
- 核心: この問題は、(1)で計算した「熱量」というエネルギーと、(2)で計算する「仕事（位置エネルギー）」というエネルギーが、単位（ジュール[J]）を同じくする物理量であり、相互に変換可能であるという「エネルギー保存則」の考え方を理解しているかが核心です。
- 理解のポイント: 熱は単に「温かいもの」という感覚的なものではなく、物体を持ち上げたり動かしたりする能力を持つ「エネルギー」の一形態であることを認識することが重要です。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 熱と運動エネルギーの変換: 「弾丸が木片に撃ち込まれて止まり、その運動エネルギーがすべて熱に変わった。木片の温度上昇はいくらか？」といった問題。この場合は、運動エネルギー \(\frac{1}{2}mv^2\) が熱量 \(mc\Delta T\) に変換されると考え、\(\frac{1}{2}mv^2 = mc\Delta T\) の式を立てます。
- 電気エネルギーと熱の変換: 「電熱線（ヒーター）で水を温める」問題。この場合、消費電力 \(P\)[W] と時間 \(t\)[s] から、発生するジュール熱 \(Q = Pt\) を計算し、それが水の温度上昇に使われると考え、\(Pt = mc\Delta T\) の式を立てます。
- 位置エネルギーと熱の変換: 「落下した物体が地面に衝突して跳ね返らず、失われた力学的エネルギーがすべて熱に変わった」問題。失われた位置エネルギー \(mgh\) が熱量 \(mc\Delta T\) に変換されると考えます。
- 初見の問題での着眼点:
- エネルギーの形態を特定する: 問題文に出てくるエネルギーが何かを特定します（熱、位置エネルギー、運動エネルギー、電気エネルギーなど）。
- エネルギーの変換関係を把握する: 「AがBに変わった」「AがBとCになった」など、どのエネルギーがどのエネルギーに変換されたのか、その関係性を正確に読み取ります。
- 単位をジュール[J]に統一する: すべてのエネルギーを基本単位であるジュール[J]で表すことで、等式を立てることができます。カロリー[cal]で与えられた場合は、\(1 \text{ cal} \approx 4.2 \text{ J}\) の関係を使ってジュールに変換します。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 単位の不整合:
- 誤解: 最も多いミスは単位の扱いです。比熱が \(\text{J/(g}\cdot\text{K)}\) で与えられているのに、質量を \(\text{kg}\) のまま計算してしまう。
- 対策: 計算を始める前に、すべての物理量を基本単位（SI単位系：メートル[m]、キログラム[kg]、秒[s]）に統一する癖をつけましょう。比熱 \(4.2 \text{ J/(g}\cdot\text{K)}\) は \(4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg}\cdot\text{K)}\) に直してから計算を始めると、(2)の力学計算との連携がスムーズになります。
- 質量の計算ミス:
- 誤解: 密度 \(\rho = m/V\) の公式をうろ覚えで、\(m = \rho/V\) や \(m=V/\rho\) のように間違えてしまう。
- 対策: 単位で確認しましょう。質量の単位[kg]を求めるには、密度の単位[kg/m³]に体積の単位[m³]を掛ければよいことがわかります。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- \(Q=mc\Delta T\) (熱量):
- 選定理由: 物体の温度を変化させるという現象に対して、その原因となるエネルギー（熱量）を計算するための基本的な公式だからです。
- 適用根拠: 実験的に、物体に加える熱量 \(Q\) は、その物体の質量 \(m\) と温度変化 \(\Delta T\) に比例することがわかっています (\(Q \propto m\Delta T\))。この比例定数が物質の種類によって決まる「比熱 \(c\)」です。
- \(Q = mgh\) (エネルギー変換):
- 選定理由: 異なる種類のエネルギー（熱と力学）を結びつけるための、エネルギー保存則の具体的な表現だからです。
- 適用根拠: 問題文に「熱のすべてが、仕事に使われるとして」と明記されています。これは、熱エネルギー \(Q\) が、物体を高さ \(h\) まで持ち上げる仕事 \(W\) に100%変換されることを意味します。そして、物体をゆっくり持ち上げる仕事 \(W\) は、その物体の位置エネルギーの増加分 \(\Delta U = mgh\) に等しくなります。したがって、\(Q=W=\Delta U=mgh\) という関係が成り立ちます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 指数計算をマスターする: \(10^3\) や \(10^7\) といった指数（べき乗）の計算は、物理では頻出です。\( (a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n} \) や \( \frac{a \times 10^m}{b \times 10^n} = \frac{a}{b} \times 10^{m-n} \) といった法則をスムーズに使えるように練習しましょう。
- 単位換算を先に済ませる: 問題文を読んだら、まず与えられた数値をすべてSI単位系（kg, m, s）に変換してから立式・計算を始めると、途中で単位の混同が起こりにくくなります。
- \(m = 2.0 \times 10^2 \text{ kg}\)
- \(c = 4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg}\cdot\text{K)}\)
- \(\Delta T = 30 \text{ K}\)
- 概算で見当をつける:
- (1)の熱量: \(Q \approx 200 \times 4000 \times 30 = 24000000 = 2.4 \times 10^7\)。実際の答え \(2.52 \times 10^7\) と近いので、大きな間違いはなさそうです。
- (2)の高さ: \(h = \frac{Q}{mg} \approx \frac{2.5 \times 10^7}{200 \times 10} = \frac{2.5 \times 10^7}{2000} = 1.25 \times 10^4\)。実際の答え \(1.28…\times 10^4\) と近いので、桁違いのミスは防げます。
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