未来の得点力へ！高校物理 問題演習「コンデンサーと誘電体：電圧一定と電荷一定」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「コンデンサーと誘電体」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(1)

思考の道筋とポイント
初期状態（空気コンデンサーに200Vの電池を接続した状態）で、コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q_1\) を求めます。これはコンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を用いる最も基本的な計算です。
この設問における重要なポイント

• コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を正しく使うこと。
• 単位の接頭辞（p: ピコ）を正しく変換（\(10^{-12}\)倍）すること。

具体的な解説と立式
コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を用います。
$$Q_1 = C_1 V_1 \quad \cdots ①$$
計算にあたり、電気容量の単位をpF（ピコファラド）からF（ファラド）に変換します。

• 電気容量: \(C_1 = 1000 \, \text{pF} = 1000 \times 10^{-12} \, \text{F} = 1.0 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
• 電圧: \(V_1 = 200 \, \text{V} = 2.0 \times 10^2 \, \text{V}\)

これらの値を式①に代入して計算します。

$$
\begin{aligned}
Q_1 &= (1.0 \times 10^{-9}) \times (2.0 \times 10^2) \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-9+2} \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-7} \, \text{C}
\end{aligned}
$$

コンデンサーにたまる電気量は、「電気容量 × 電圧」で計算できます。電気容量 1000pF は \(1.0 \times 10^{-9}\)F です。これに電圧 200V を掛けると、\( (1.0 \times 10^{-9}) \times 200 = 2.0 \times 10^{-7} \) C となります。

正極板に蓄えられる電気量は \(2.0 \times 10^{-7}\) C です。

問(2)

思考の道筋とポイント
電池を接続したままの状態で、比誘電率2.0の絶縁体を挿入した後の、コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q_2\) を求めます。この問題の最大の鍵は「電池をつないだまま」という条件から、「電圧Vが一定」であると判断することです。
この設問における重要なポイント

• 「電池をつないだまま」 → 「電圧Vが一定」と読み替えること。
• 誘電体を挿入すると電気容量が \(\epsilon_r\) 倍になることを理解していること。

具体的な解説と立式
まず、絶縁体を挿入した後の電気容量 \(C_2\) を計算します。比誘電率 \(\epsilon_r\) の誘電体で満たすと、電気容量は \(\epsilon_r\) 倍になります。
$$C_2 = \epsilon_r C_1 \quad \cdots ②$$
次に、「電池をつないだまま」なので、極板間の電位差は \(V_2 = V_1 = 200\) V で一定です。
新しい電気容量 \(C_2\) と一定の電位差 \(V_2\) を使って、新しい電気量 \(Q_2\) を計算します。
$$Q_2 = C_2 V_2 \quad \cdots ③$$

新しい電気容量 \(C_2\) の計算
$$
\begin{aligned}
C_2 &= 2.0 \times (1.0 \times 10^{-9}) \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-9} \, \text{F}
\end{aligned}
$$
新しい電気量 \(Q_2\) の計算
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= (2.0 \times 10^{-9}) \times (2.0 \times 10^2) \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^{-7} \, \text{C}
\end{aligned}
$$

絶縁体を入れると、コンデンサーの性能（電気を蓄える能力）がアップします。比誘電率が2.0なので、電気容量は2倍になります。電池をつないだままなので、電圧は200Vで変わりません。電気量 \(Q\) は「電気容量 \(C\) × 電圧 \(V\)」なので、電気容量が2倍になれば、蓄えられる電気量も2倍になります。(1)の答えの2倍なので、\(4.0 \times 10^{-7}\) C となります。

電気量は \(4.0 \times 10^{-7}\) C となります。電圧一定のまま電気容量が増えたので、電気量が増えるのは妥当な結果です。

問(3)

思考の道筋とポイント
初期状態（(1)の状態）から電池を取りはずし、その後に比誘電率2.0の絶縁体を挿入したときの、極板間の電位差 \(V_3\) を求めます。この問題の鍵は「電池を取りはずし」という条件から、「電気量Qが一定」であると判断することです。
この設問における重要なポイント

• 「電池を取りはずし」 → 「電気量Qが一定」と読み替えること。
• どの時点の電気量が保存されるのか（この場合は(1)の状態の電気量）を正しく把握すること。

具体的な解説と立式
「電池を取りはずし」たので、コンデンサーは電気的に孤立します。したがって、極板に蓄えられている電気量 \(Q_3\) は(1)のときの \(Q_1\) で一定に保たれます。
$$Q_3 = Q_1 = 2.0 \times 10^{-7} \, \text{C}$$
次に、絶縁体を挿入したので、電気容量 \(C_3\) は(2)のときと同様に \(C_1\) の \(\epsilon_r\) 倍になります。
$$C_3 = \epsilon_r C_1 = 2.0 \times (1.0 \times 10^{-9}) = 2.0 \times 10^{-9} \, \text{F}$$
最後に、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を、求めたい電位差 \(V_3\) について解いた式を用います。
$$V_3 = \frac{Q_3}{C_3} \quad \cdots ④$$

式④に、値を代入します。
$$
\begin{aligned}
V_3 &= \frac{2.0 \times 10^{-7}}{2.0 \times 10^{-9}} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^{-7 – (-9)} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^2 \\[2.0ex]&= 100 \, \text{V}
\end{aligned}
$$

今度は、最初に200Vで充電した後、電池を外します。この瞬間、コンデンサーに蓄えられた電気量は(1)で求めた \(2.0 \times 10^{-7}\) C のまま、どこにも逃げ場がなくなります（電気量が一定）。この状態で絶縁体を挿入すると、やはり電気容量は2倍になります。「電気量 \(Q\) = 電気容量 \(C\) × 電圧 \(V\)」の関係で \(Q\) が一定のまま \(C\) が2倍になったので、バランスを取るために電圧 \(V\) は半分になるはずです。元の電圧は200Vだったので、その半分の100Vになります。

電位差は 100 V となります。電気量が一定のまま電気容量が増えたので、電位差が減少するのは妥当な結果です。

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【総まとめ】この一問を未来の得点力へ！完全マスター講座

最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？

• 操作による不変量の違い（V一定かQ一定か）:
  • 核心: コンデンサーの問題を解く上で最も重要な思考の分岐点は、「その操作の間、コンデンサーは電池に接続されているか、いないか」を判断することです。これが、どの物理量が一定に保たれるかを決定し、解法の道筋を決めます。
  • 理解のポイント:
    • 電池接続時 → 電圧 V が一定: コンデンサーは常に電池と同じ電圧を保とうとします。電気容量Cが変化すると、電荷Qが電池との間でやり取りされます。
    • 電池切断後 → 電気量 Q が一定: コンデンサーの極板は孤立しており、電荷の逃げ場がないため、電気量Qは変化しません。電気容量Cが変化すると、電圧Vが変化します。

    この2つのルールを使い分けることが、この分野のマスターへの鍵です。

応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点

• 応用できる類似問題のパターン:
  • 極板間隔を変える問題: 電池をつないだまま極板間隔を2倍にすると、電気容量 \(C\) は1/2倍になります。電圧 \(V\) は一定なので、電気量 \(Q=CV\) も1/2倍になります。一方、電池を外してから間隔を2倍にすると、\(C\) は1/2倍になりますが、\(Q\) が一定なので、電圧 \(V=Q/C\) は2倍になります。
  • エネルギーの変化を問う問題: コンデンサーに蓄えられるエネルギー \(U\) は \(U=\frac{1}{2}CV^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2}QV\) の3つの式で表せます。V一定の場合は \(U=\frac{1}{2}CV^2\)、Q一定の場合は \(U=\frac{Q^2}{2C}\) を使うと計算が楽になります。
• 初見の問題での着眼点:
  1. 「電池」の接続状態を確認: 問題文の「電池をつないだまま」「電池を取りはずし」というキーワードに真っ先に注目します。
  2. 不変量を確定: V一定かQ一定かを確定します。これが思考の土台になります。
  3. 操作によるCの変化を計算: 誘電体を挿入したのか、極板間隔を変えたのかなど、操作によって電気容量 \(C\) がどう変化したかを計算します。
  4. 基本式 \(Q=CV\) で残りの量を求める: 確定した不変量と、変化後の \(C\) を使って、\(Q=CV\) の関係から求めたい量を計算します。

要注意！ありがちなミス・誤解とその対策

• V一定とQ一定の混同:
  • 誤解: (3)の状況で、(2)と同じように電圧が200Vのままだと考えてしまう。
  • 対策: 問題文の操作手順を一つ一つ丁寧に追いましょう。「電池を取りはずし」という操作が、Qを一定に保つための「結界」のような役割を果たす、とイメージすると良いでしょう。
• 単位の接頭辞の変換ミス:
  • 誤解: pF（ピコファラド）を \(10^{-9}\) F（ナノファラド）や \(10^{-6}\) F（マイクロファラド）と間違える。
  • 対策: p(ピコ, \(10^{-12}\)), n(ナノ, \(10^{-9}\)), \(\mu\)(マイクロ, \(10^{-6}\)), m(ミリ, \(10^{-3}\)) などの主要な接頭辞は、正確に暗記しておく必要があります。
• どの時点のQやVを使うかの混乱:
  • 誤解: (3)で一定に保たれる電気量として、(2)で求めた \(Q_2\) を使ってしまう。
  • 対策: 問題文の操作の流れを正確に追うことが重要です。(3)の操作は「(2)で入れた絶縁体をいったん取り除いてから、電池を取りはずし」とあるので、電池を外した瞬間の電気量は、(2)ではなく(1)の状態の \(Q_1\) に戻っています。

なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法

• なぜ誘電体で電気容量が増えるのか？:
  • 選定理由: 誘電分極という現象が起こるためです。
  • 適用根拠: 誘電体を挿入すると、その内部で誘電分極が起こり、極板間の電場を弱める向きの電場が作られます。
    • V一定の場合: 電池は電位差をVに保とうとするため、弱まった電場を元に戻すべく、さらに電荷をコンデンサーに送り込みます。その結果、より多くの電荷 \(Q\) が蓄えられ、\(C=Q/V\) が大きくなります。
    • Q一定の場合: 電荷の移動がないため、電場は弱まったままになります。\(V=Ed\) の関係から、電場 \(E\) が弱まると電位差 \(V\) も小さくなります。その結果、\(C=Q/V\) は大きくなります。

計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック

• 比で考える:
  • (2) V一定のとき: \(C\) が2倍 \(\rightarrow\) \(Q=CV\) より \(Q\) も2倍。
  • (3) Q一定のとき: \(C\) が2倍 \(\rightarrow\) \(V=Q/C\) より \(V\) は1/2倍。

  このように、変化の比率で考えると、複雑な指数計算をせずに答えの見当をつけることができ、計算ミスを防げます。

• 科学記数法の整理: \(1000 \times 10^{-12}\) を \(1.0 \times 10^3 \times 10^{-12} = 1.0 \times 10^{-9}\) のように、計算を始める前に数値を標準的な科学記数法に直しておくと、計算が整理されやすくなります。
• 状況を図で描く: 各設問の状況を、コンデンサー、電池、誘電体を含む簡単な回路図で描いてみましょう。「電池がつながっているか」「誘電体が入っているか」を視覚的に確認することで、どの法則を適用すべきかの判断ミスを防げます。

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