問題の確認
electromagnetic#14各設問の思考プロセス
この問題は、コンデンサーの基本的な性質と、極板間に絶縁体（誘電体）を挿入したときの電気量や電位差の変化を問う問題です。この種の問題を解く上で、思考の分岐点となる最も重要なポイントは「その操作の間、コンデンサーは電池に接続されているか、いないか」です。
この問題を解く上で中心となる物理法則は以下の通りです。
- コンデンサーの基本式: \(Q = CV\)
- 誘電体の効果: 比誘電率\(\epsilon_r\)の誘電体で満たすと、電気容量は\(\epsilon_r\)倍になる (\(C’ = \epsilon_r C\))。
そして、状況判断の鍵となるのが次の2つの条件です。
- 電池を接続したまま操作 → 電圧Vが一定コンデンサーは常に電池と同じ電圧を保とうとします。電気容量Cが変化すると、電荷Qが電池との間でやり取りされます。
- 電池を切り離して操作 → 電気量Qが一定コンデンサーの極板は孤立しており、電荷の逃げ場がないため、電気量Qは変化しません。電気容量Cが変化すると、電圧Vが変化します。
この思考プロセスに従い、各設問の状況を正しく判断して計算を進めます。
- (1) 初期状態の計算: まずは単純に \(Q=CV\) を使って最初の電気量を求めます。
- (2) 「電圧一定」の場合: 「電池をつないだまま」なので、Vは200Vで一定です。誘電体でCが変化した後の、新しいQを計算します。
- (3) 「電気量一定」の場合: 「電池を取りはずし」てから操作するので、Qは(1)で求めた値のまま一定です。誘電体でCが変化した後の、新しいVを計算します。
各設問の具体的な解説と解答
(1) 正極板にたくわえられる電気量 \(Q_{1}[C]\) を求めよ。
問われている内容の明確化
初期状態（空気コンデンサーに200Vの電池を接続した状態）で、コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q_1\) を求めます。
具体的な解説と立式
コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を用います。
$$Q_1 = C_1 V_1 \quad \cdots ①$$
計算にあたり、電気容量の単位をpF（ピコファラド）からF（ファラド）に変換する必要があります。
- 1 pF = \(10^{-12}\) F
したがって、与えられた物理量は以下のようになります。
- \(C_1 = 1000 \, \text{pF} = 1000 \times 10^{-12} \, \text{F} = 1.0 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
- \(V_1 = 200 \, \text{V}\)
これらの値を式①に代入して計算します。
$$Q = CV$$
計算過程
式①に、整理した値を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_1 &= (1.0 \times 10^{-9} \, \text{F}) \times (200 \, \text{V}) \\[2.0ex]&= (1.0 \times 10^{-9}) \times (2.0 \times 10^2) \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-9+2} \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-7} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
計算方法の平易な説明
- コンデンサーにたまる電気量は、「電気容量 × 電圧」で計算できます。
- 電気容量 1000pF は \(1.0 \times 10^{-9}\)F です。
- これに電圧 200V を掛けると、\( (1.0 \times 10^{-9}) \times 200 = 2.0 \times 10^{-7} \) C となります。
この設問における重要なポイント
- コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を正しく使うこと。
- 単位の接頭辞（p: ピコ）を正しく変換（\(10^{-12}\)倍）すること。
\(2.0 \times 10^{-7} \, \text{C}\)
(2) 電池をつないだまま,絶縁体でみたしたときの電気量 \(Q_{2}[C]\) を求めよ。
問われている内容の明確化
電池を接続したままの状態で、比誘電率2.0の絶縁体を挿入した後の、コンデンサーに蓄えられる電気量 \(Q_2\) を求めます。
具体的な解説と立式
まず、この操作で何が一定に保たれるかを考えます。「電池をつないだまま」なので、極板間の電位差は \(V_1 = 200 \, \text{V}\) で一定です。
次に、絶縁体を挿入した後の電気容量 \(C_2\) を計算します。比誘電率 \(\epsilon_r\) の誘電体で満たすと、電気容量は \(\epsilon_r\) 倍になります。
$$C_2 = \epsilon_r C_1 \quad \cdots ②$$
最後に、新しい電気容量 \(C_2\) と一定の電位差 \(V_1\) を使って、新しい電気量 \(Q_2\) を計算します。
$$Q_2 = C_2 V_1 \quad \cdots ③$$
使用した物理公式:
- 誘電体挿入後の電気容量: \(C’ = \epsilon_r C\)
- コンデンサーの基本式: \(Q = CV\)
計算過程
ステップ1: 新しい電気容量 \(C_2\) の計算
式②に値を代入します。
- \(\epsilon_r = 2.0\)
- \(C_1 = 1.0 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
$$
\begin{aligned}
C_2 &= 2.0 \times (1.0 \times 10^{-9} \, \text{F}) \\[2.0ex]&= 2.0 \times 10^{-9} \, \text{F}
\end{aligned}
$$
ステップ2: 新しい電気量 \(Q_2\) の計算
式③に値を代入します。
$$
\begin{aligned}
Q_2 &= C_2 V_1 \\[2.0ex]&= (2.0 \times 10^{-9} \, \text{F}) \times (200 \, \text{V}) \\[2.0ex]&= (2.0 \times 10^{-9}) \times (2.0 \times 10^2) \\[2.0ex]&= 4.0 \times 10^{-7} \, \text{C}
\end{aligned}
$$
計算方法の平易な説明
- 絶縁体を入れると、コンデンサーの性能（電気を蓄える能力）がアップします。比誘電率が2.0なので、電気容量は2倍になります。
- 電池をつないだままなので、電圧は200Vで変わりません。
- 電気量 \(Q\) は「電気容量 \(C\) × 電圧 \(V\)」なので、電気容量が2倍になれば、蓄えられる電気量も2倍になります。
- (1)の答え \(2.0 \times 10^{-7}\) C の2倍なので、\(4.0 \times 10^{-7}\) C となります。
この設問における重要なポイント
- 「電池をつないだまま」 → 「電圧Vが一定」と読み替えること。
- 誘電体を挿入すると電気容量が \(\epsilon_r\) 倍になることを理解していること。
\(4.0 \times 10^{-7} \, \text{C}\)
(3) 電池を取りはずし、絶縁体を再びみたしたときの電位差 \(V[V]\) を求めよ。
問われている内容の明確化
初期状態（(1)の状態）から電池を取りはずし、その後に比誘電率2.0の絶縁体を挿入したときの、極板間の電位差 \(V_3\) を求めます。
具体的な解説と立式
まず、この操作で何が一定に保たれるかを考えます。「電池を取りはずし」たので、コンデンサーは電気的に孤立します。したがって、極板に蓄えられている電気量 \(Q\) が(1)のときの \(Q_1\) で一定に保たれます。
$$Q_3 = Q_1 = 2.0 \times 10^{-7} \, \text{C}$$
次に、絶縁体を挿入したので、電気容量は(2)のときと同様に \(C_1\) の \(\epsilon_r\) 倍になります。
$$C_3 = \epsilon_r C_1 = 2.0 \times 10^{-9} \, \text{F}$$
最後に、コンデンサーの基本式 \(Q=CV\) を、求めたい電位差 \(V_3\) について解いた式を用います。
$$V_3 = \frac{Q_3}{C_3} \quad \cdots ④$$
使用した物理公式:
- コンデンサーの基本式: \(Q = CV\) より \(V = Q/C\)
- 誘電体挿入後の電気容量: \(C’ = \epsilon_r C\)
計算過程
式④に、整理した値を代入します。
- 電気量 \(Q_3 = 2.0 \times 10^{-7} \, \text{C}\)
- 電気容量 \(C_3 = 2.0 \times 10^{-9} \, \text{F}\)
$$
\begin{aligned}
V_3 &= \frac{2.0 \times 10^{-7} \, \text{C}}{2.0 \times 10^{-9} \, \text{F}} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^{-7 – (-9)} \\[2.0ex]&= 1.0 \times 10^2 \\[2.0ex]&= 100 \, \text{V}
\end{aligned}
$$
計算方法の平易な説明
- 今度は、最初に200Vで充電した後、電池を外します。この瞬間、コンデンサーに蓄えられた電気量は(1)で求めた \(2.0 \times 10^{-7}\) C のまま、どこにも逃げ場がなくなります（電気量が一定）。
- この状態で絶縁体を挿入すると、やはり電気容量は2倍になります。
- 「電気量 \(Q\) = 電気容量 \(C\) × 電圧 \(V\)」の関係で \(Q\) が一定のまま \(C\) が2倍になったので、バランスを取るために電圧 \(V\) は半分になるはずです。
- 元の電圧は200Vだったので、その半分の100Vになります。
この設問における重要なポイント
- 「電池を取りはずし」 → 「電気量Qが一定」と読み替えること。
- どの時点の電気量が保存されるのか（この場合は(1)の状態の電気量）を正しく把握すること。
100 V
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問題全体を通して理解しておくべき重要な物理概念や法則
- コンデンサーの基本式 \(Q=CV\): コンデンサーに関するあらゆる問題の出発点となる最も重要な式です。
- 誘電体の役割: 誘電体をコンデンサーに挿入すると、電気容量 \(C\) が大きくなります。その倍率が比誘電率 \(\epsilon_r\) です。
- 操作による不変量の違い: コンデンサーの問題を解く上で最も重要な思考の分岐点です。
- 電池接続時 → 電圧 V が一定
- 電池切断後 → 電気量 Q が一定
このどちらの状況なのかを問題文から正確に読み取ることが、正解への鍵となります。
類似の問題を解く上でのヒントや注意点
- 状況を整理する: 問題文を読み、「初期状態」「操作」「最終状態」を明確に区別し、それぞれの状態でQ, C, Vがどうなっているか、また何が一定に保たれるのかを表などに書き出すと、思考が整理されミスが減ります。
- 単位の接頭辞: p(ピコ, \(10^{-12}\)), n(ナノ, \(10^{-9}\)), \(\mu\)(マイクロ, \(10^{-6}\)), m(ミリ, \(10^{-3}\)) などの接頭辞の意味を正確に覚えておきましょう。
- 比で考える: (2)や(3)では、変化前後の比を考えると計算が楽になることがあります。例えば(3)では、\(Q\)が一定で\(C\)が2倍になるので、\(V=Q/C\)から\(V\)は1/2倍になる、とすぐにわかります。
よくある誤解や間違いやすいポイント
- V一定とQ一定の混同: 最も多い間違いです。問題文の「電池をつないだまま」「電池を取りはずし」というキーワードに最大限の注意を払いましょう。
- 比誘電率の扱い: 誘電率を足したり引いたりするのではなく、掛け算で電気容量が変化することを理解しておく必要があります。
- どの時点のQやVを使うかの混乱: (3)では、基準となるのは(2)の状態ではなく、(1)の状態から電池を外した時である、という問題の流れを正確に追うことが重要です。
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