今回の問題
electromagnetic10【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「電場中の荷電粒子の運動とエネルギー」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 電場がする仕事: 電荷 \(q\) の粒子が電位差 \(V\) の2点間を移動するとき、電場がする仕事 \(W\) は \(W=qV\) で与えられます。（より厳密には \(W = -q\Delta V\) ですが、ここでは電位差の大きさを \(V\) としています）
- 仕事と運動エネルギーの関係: 物体にされた仕事の総量は、その物体の運動エネルギーの変化量に等しくなります。(\(W = \Delta K = K_{\text{後}} – K_{\text{初}}\))
基本的なアプローチは以下の通りです。
- まず、電子が極板AからBへ移動する間に、電場が電子にする仕事 \(W\) を求めます。
- 次に、(1)で求めた仕事 \(W\) を使って、仕事と運動エネルギーの関係式を立て、最終的な速さを求めます。
電場がAB間で電子にする仕事はいくらか。また、電子がBを通りぬけるときの速さはいくらか。
思考の道筋とポイント
この問題は2つのパートに分かれています。
前半は、電場が電荷にする仕事の計算です。仕事は「力 × 距離」ですが、電場の場合は「電荷 × 電位差」という便利な公式 \(W=qV\) を使うのが定石です。
後半は、仕事とエネルギーの関係を用いて、加速後の速さを求めます。電場からされた仕事の分だけ、電子の運動エネルギーが増加する、というエネルギー保存の考え方を適用します。
この設問における重要なポイント
- 電場が電荷 \(q\) にする仕事は \(W=qV\) で計算できる。
- 仕事と運動エネルギーの関係 \(W = \frac{1}{2}mv_{\text{後}}^2 – \frac{1}{2}mv_{\text{初}}^2\) を正しく適用する。
- 電子の電荷は \(-e\) であるが、仕事の大きさを考える際は、エネルギーが増加するか減少するかで符号を判断するのが分かりやすい。
- 初速度 \(v_0\) を見落とさず、初めの運動エネルギーを考慮に入れる。
具体的な解説と立式
1. 電場が電子にする仕事 \(W\)
電荷 \(q\) の粒子が電位差 \(V\) の2点間を移動するとき、静電気力がする仕事は \(W=qV\) と表せます。
この問題では、電子の電荷は \(q=-e\) です。極板AからBへ移動する際、電位は \(V\) だけ高くなります（Bの方がAより電位が高い）。
したがって、Aを基準としたBの電位は \(+V\) です。
仕事の公式に代入すると、
$$ W = (-e) \times (-V) = eV $$
となります。
（注：仕事 \(W\) は位置エネルギーの変化 \(\Delta U\) を用いて \(W = -\Delta U = -(qV)\) とも計算できます。電子の場合 \(q=-e\) なので、\(W = -(-e)V = eV\) となります。）
電子は負極Aから正極Bへ向かって力を受けて加速されるため、電場は電子に正の仕事をします。その大きさは、電荷の大きさ \(e\) と電位差 \(V\) の積である \(eV\) となります。
2. 電子がBを通りぬけるときの速さ \(v\)
仕事と運動エネルギーの関係より、「された仕事 = 運動エネルギーの変化」が成り立ちます。
$$ W = (\text{後の運動エネルギー}) – (\text{初めの運動エネルギー}) $$
電子がBを通りぬけるときの速さを \(v\) とすると、
- された仕事: \(W = eV\)
- 後の運動エネルギー: \(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)
- 初めの運動エネルギー: \(\displaystyle\frac{1}{2}mv_0^2\)
したがって、以下のエネルギーに関する関係式が立てられます。
$$ eV = \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 $$
この式を \(v\) について解きます。
使用した物理公式
- 電場がする仕事: \(W = qV\)
- 仕事と運動エネルギーの関係: \(W = \Delta K = \frac{1}{2}mv_{\text{後}}^2 – \frac{1}{2}mv_{\text{初}}^2\)
$$ eV = \frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 $$
\(\frac{1}{2}mv^2\) について整理します。
$$ \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + eV $$
両辺を2倍します。
$$ mv^2 = mv_0^2 + 2eV $$
両辺を \(m\) で割ります。
$$ v^2 = v_0^2 + \frac{2eV}{m} $$
最後に \(v\) について解きます（速さ \(v\) は正）。
$$ v = \sqrt{v_0^2 + \frac{2eV}{m}} $$
電子はもともと \(\frac{1}{2}mv_0^2\) という運動エネルギーを持っていました。そこに、電場から \(eV\) というエネルギー（仕事）をもらってパワーアップします。その結果、電子の最終的な運動エネルギーは「元の運動エネルギー + もらったエネルギー」、つまり \(\frac{1}{2}mv_0^2 + eV\) となります。この最終的な運動エネルギーは、最終的な速さ \(v\) を使って \(\frac{1}{2}mv^2\) とも書けるので、\(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + eV\) という等式が成り立ちます。この式を \(v\) について解けば、答えが求まります。
電場が電子にする仕事は \(eV\)、電子がBを通りぬけるときの速さは \(\sqrt{v_0^2 + \frac{2eV}{m}}\) です。速さの式は、初速度 \(v_0\) がある状態からさらにエネルギーを得て速くなったことを示しており、物理的に妥当な結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 仕事とエネルギーの関係（エネルギー保存則）:
- 核心: この問題は、力学における最重要法則の一つである「仕事とエネルギーの関係」が、電磁気学の分野でも全く同じように成り立つことを示す典型例です。電場がする仕事 (\(W=eV\)) が、そのまま電子の運動エネルギーの増加 (\(\Delta K\)) に変換される、というエネルギーの観点から現象を捉えることが核心です。
- 理解のポイント: 「力」を考えて運動方程式を立てるアプローチも可能ですが、途中の加速度や時間を問われていない場合、エネルギーで考える方がはるかに計算が簡単になります。「始状態のエネルギー + された仕事 = 終状態のエネルギー」という考え方は、様々な場面で使える強力なツールです。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 減速される場合: もし電子が正極Bから負極Aに向かって入射した場合、電場から運動と逆向きの力を受けるため減速されます。このとき、電場は「負の仕事」(\(-eV\))をし、運動エネルギーはその分だけ減少します。エネルギーの関係式は \(\frac{1}{2}mv^2 – \frac{1}{2}mv_0^2 = -eV\) となります。
- 光電効果: 金属に光を当てて飛び出した電子（光電子）を、逆向きの電圧（逆電圧）で減速させる問題も同じ考え方を使います。光電子の最大の運動エネルギー \(K_{\text{max}}\) が、逆電圧 \(V_0\) によって止められるとき、\(\frac{1}{2}mv_{\text{max}}^2 = eV_0\) という関係が成り立ちます。
- 初見の問題での着眼点:
- 「速さ」や「エネルギー」を問われているか確認: 問題が「力」や「加速度」ではなく、「速さ」「運動エネルギー」「仕事」を問うている場合、エネルギー保存則や仕事とエネルギーの関係を使うと楽に解けることが多いです。
- 始状態と終状態を設定: 「どこからどこまで」の運動を考えるのか、始点と終点を明確にします。（この問題ではA点とB点）
- エネルギーの出入りをリストアップ:
- 始状態のエネルギー: \(\frac{1}{2}mv_0^2\)
- 途中で加えられた（または奪われた）エネルギー（仕事）: \(eV\)
- 終状態のエネルギー: \(\frac{1}{2}mv^2\)
- エネルギーの関係式を立てる: 「始＋仕事＝終」の形で式を立て、未知数を求めます。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 仕事の符号の間違い:
- 誤解: 電子の電荷がマイナスなので、仕事もマイナスだと考えて \(-eV\) としてしまう。
- 対策: 仕事の符号は、エネルギーが増えたか減ったかで判断するのが最も確実です。この問題では電子は「加速」されているので、運動エネルギーは増加します。したがって、電場がした仕事は「正」でなければなりません。電荷の大きさ \(e\) と電位差 \(V\) を使って、仕事の大きさは \(eV\) となります。
- 初速度の運動エネルギーの考慮漏れ:
- 誤解: 問題文の初速度 \(v_0\) を見落とし、\(\frac{1}{2}mv^2 = eV\) という式を立ててしまう。
- 対策: 問題文は丁寧に読み、初期条件（初速度、初期位置など）を必ずチェックする癖をつけましょう。「始状態のエネルギー」を考える際に、初速度があれば運動エネルギーも存在します。
- 式変形の計算ミス:
- 誤解: \(\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + eV\) を変形する際に、\(v = v_0 + \sqrt{\frac{2eV}{m}}\) のように、ルートの扱いを間違えてしまう。
- 対策: 速さ \(v\) を求めるには、まず \(v^2\) の形に整理してから、最後に全体にルートをつける、という手順を徹底しましょう。代数計算は焦らず、一段階ずつ丁寧に行うことが重要です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- なぜ「仕事とエネルギーの関係」を使うのか？:
- 選定理由: この問題は、運動の途中経過（時間や加速度）を問わず、始状態と終状態の「速さ」の関係だけを問うています。このような問題に対して、仕事とエネルギーの関係は、運動の途中経過をすべてすっ飛ばして始点と終点を直接結びつけることができる、非常に強力で効率的なツールだからです。
- 適用根拠: 電場（静電気力）は保存力であり、その仕事は経路によらず始点と終点のポテンシャルエネルギーの差だけで決まります。この性質があるため、エネルギー保存則（仕事とエネルギーの関係を含む）が厳密に成り立ちます。この法則を適用することで、運動方程式を立てて積分する、という煩雑な手続きを回避できます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- エネルギー図を描く: 横軸に位置、縦軸にエネルギーをとり、始状態と終状態の運動エネルギーと位置エネルギーを棒グラフのように描くと、エネルギーの変換の様子が視覚的に理解でき、立式ミスを防げます。
- 文字式のまま計算を進める: この問題のように数値が与えられていない場合は、最後まで文字式のまま計算を進めます。各項が物理的に何を意味しているか（初めの運動エネルギー、された仕事など）を意識しながら変形すると、間違いに気づきやすくなります。
- 極端な場合で検算:
- もし初速度がなければ (\(v_0=0\))、答えは \(v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}\) となり、よく知られた公式と一致します。
- もし電圧がなければ (\(V=0\))、答えは \(v = \sqrt{v_0^2} = v_0\) となり、速さが変わらない（等速直線運動）ことを示します。
このように、簡単な状況を代入して、結果が物理的に妥当かを確認する習慣は、計算の信頼性を高める上で非常に有効です。
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