無料でしっかり基礎固め！高校物理 問題演習「熱力学第一法則とp-Vグラフの読解」【高校物理対応】

今回の問題

【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド

この問題のテーマは「熱力学第一法則とp-Vグラフ」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。

基本的なアプローチは以下の通りです。

問(ア)

思考の道筋とポイント
過程A→Bにおいて気体がした仕事を求める問題です。問題文とグラフから、この過程は「定積変化」であることがわかります。気体が仕事をするかどうかは、体積が変化するかどうかで決まります。
この設問における重要なポイント

• 気体が外部にする仕事は、体積が増加すれば正、減少すれば負、変化しなければ0である。
• 定積変化では、体積は一定で変化しない。

具体的な解説と立式
過程A→Bは定積変化です。
p-Vグラフを見ると、状態Aから状態Bへは体積が \(V_0\) のまま変化していません（グラフが垂直に上昇）。
体積の変化量 \(\Delta V\) が0なので、気体が外部にした仕事 \(W_{\text{A}\rightarrow\text{B}}\) は0となります。
$$ W_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = 0 $$

上記の解説の通り、定積変化であることから仕事は0と判断できます。

気体がピストンにする仕事は、ピストンを動かしたときに行われます。ピストンが動くということは、気体の体積が変わるということです。
過程A→Bは「定積変化」なので、体積は一切変わっていません。したがって、ピストンは動いておらず、気体は仕事をしていません。よって仕事は0です。

定積変化で気体がする仕事は0です。これは熱力学の基本的な定義です。

問(イ)

思考の道筋とポイント
過程A→Bにおける気体の内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}}\) を求める問題です。気体は単原子分子理想気体なので、内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2}pV\) と表せます。内部エネルギーの変化は、変化後の内部エネルギーから変化前の内部エネルギーを引くことで計算します。
この設問における重要なポイント

• 単原子分子理想気体の内部エネルギー: \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\)。
• 内部エネルギーの変化: \(\Delta U = U_{\text{後}} – U_{\text{前}}\)。
• p-Vグラフから各状態の圧力と体積を読み取る。

具体的な解説と立式
内部エネルギーの変化 \(\Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}}\) は、状態Bの内部エネルギー \(U_B\) から状態Aの内部エネルギー \(U_A\) を引いたものです。
$$ \Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = U_B – U_A $$
単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U = \displaystyle\frac{3}{2}pV\) と書けるので、
$$ \Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = \frac{3}{2}p_B V_B – \frac{3}{2}p_A V_A $$
ここで、p-Vグラフから各状態の圧力と体積を読み取ります。

• 状態A: \(p_A = p_0\), \(V_A = V_0\)
• 状態B: \(p_B = \alpha p_0\), \(V_B = V_0\)

これらを代入します。
$$ \Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} = \frac{3}{2}(\alpha p_0)V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0 \quad \cdots ① $$

式①を計算します。
$$
\begin{aligned}
\Delta U_{\text{A}\rightarrow\text{B}} &= \frac{3}{2}\alpha p_0 V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0 \\
&= \frac{3}{2}(\alpha – 1)p_0 V_0
\end{aligned}
$$

内部エネルギーの変化は「後のエネルギー」ひく「前のエネルギー」です。単原子分子気体の場合、内部エネルギーは「\(\frac{3}{2} \times \text{圧力} \times \text{体積}\)」で計算できます。
状態Aのエネルギーは \(\frac{3}{2}p_0 V_0\)、状態Bのエネルギーは \(\frac{3}{2}(\alpha p_0)V_0\) です。
したがって、エネルギーの変化は「\(\frac{3}{2}\alpha p_0 V_0 – \frac{3}{2}p_0 V_0\)」となり、これを整理すると答えが得られます。

過程A→Bの内部エネルギーの変化は \(\displaystyle\frac{3}{2}(\alpha – 1)p_0 V_0\) です。グラフから \(\alpha > 1\) なので、内部エネルギーは増加しています。これは、定積変化で外部から熱を吸収した（加熱された）ことに対応し、物理的に妥当です。

問(ウ)

思考の道筋とポイント
過程B→Cにおいて気体がした仕事 \(W_{\text{B}\rightarrow\text{C}}\) を求める問題です。この過程は「定圧変化」です。定圧変化で気体がする仕事は、圧力と体積変化の積で簡単に計算できます。
この設問における重要なポイント

• 定圧変化で気体がする仕事は \(W = p \Delta V = p(V_{\text{後}} – V_{\text{前}})\)。
• p-Vグラフから、過程中の圧力と、変化前後の体積を読み取る。

具体的な解説と立式
過程B→Cは圧力 \(p = \alpha p_0\) で一定の定圧変化です。
この過程で気体がした仕事 \(W_{\text{B}\rightarrow\text{C}}\) は、
$$ W_{\text{B}\rightarrow\text{C}} = p \Delta V = (\alpha p_0) (V_C – V_B) $$
p-Vグラフから、各状態の体積を読み取ります。

• 状態B: \(V_B = V_0\)
• 状態C: \(V_C = \beta V_0\)

これらを代入します。
$$ W_{\text{B}\rightarrow\text{C}} = \alpha p_0 (\beta V_0 – V_0) \quad \cdots ① $$

式①を計算します。
$$
\begin{aligned}
W_{\text{B}\rightarrow\text{C}} &= \alpha p_0 (\beta V_0 – V_0) \\
&= \alpha p_0 V_0 (\beta – 1) \\
&= \alpha (\beta – 1) p_0 V_0
\end{aligned}
$$

気体がする仕事は、p-Vグラフでグラフの下側の面積で表されます。過程B→Cは定圧変化なので、グラフは水平な直線です。このとき、仕事は単純な長方形の面積として計算できます。
長方形の「縦」は圧力 \(\alpha p_0\)、「横」は体積の変化 \((V_0 – \beta V_0)\) です。
ただし、今回は体積が減少（圧縮）しているので、仕事は負の値になります。
仕事 = 圧力 × (後の体積 – 前の体積) = \(\alpha p_0 \times (\beta V_0 – V_0)\) を計算します。

過程B→Cでした仕事は \(\alpha (\beta – 1) p_0 V_0\) です。グラフから \(\beta < 1\) なので、\(\beta – 1 < 0\) となり、仕事は負の値になります。これは、体積が減少する圧縮過程であることと一致しており、妥当な結果です。

問(エ)

思考の道筋とポイント
過程C→Aにおいて気体が吸収した熱量 \(Q_{\text{C}\rightarrow\text{A}}\) を求める問題です。この過程は「断熱変化」です。断熱変化の定義そのものが問われています。
この設問における重要なポイント

• 断熱変化とは、外部との熱のやりとりがない状態変化のことである。

具体的な解説と立式
過程C→Aは断熱変化です。
断熱変化の定義は、外部との熱の出入りが遮断された状態での変化、すなわち、気体が吸収する熱量 \(Q\) が0である変化です。
したがって、
$$ Q_{\text{C}\rightarrow\text{A}} = 0 $$

定義そのものであるため、計算は不要です。

「断熱」という言葉は、「熱を断つ」と書きます。つまり、外部との熱のやりとりが一切ない変化のことです。
したがって、この過程で気体が吸収した熱量は0です。

断熱変化で気体が吸収する熱量は0です。これは断熱変化の定義そのものです。

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