今回の問題
thermodynamicsall#04【設問別解説】考え方から計算プロセスまで徹底ガイド
この問題のテーマは「熱膨張と近似計算」です。
問題を解く上で鍵となる物理法則や概念は以下の通りです。
- 線膨張: 物体の温度が上昇すると、その長さが元の長さに比例して増加する現象です。公式は \(L = L_0(1 + \alpha \Delta T)\) で表されます。
- 近似式: 物理現象を記述する際、特定の条件下で複雑な式を単純化する手法です。この問題では、二項近似 \((1+x)^n \approx 1+nx\) を用います。
基本的なアプローチは以下の通りです。
- 計算を簡単にするため、対象の物体を立方体としてモデル化します。
- 線膨張の公式を用いて、温度上昇後の立方体の一辺の長さを求めます。
- 温度上昇後の体積を、一辺の長さの3乗として計算します。
- 得られた体積の式に、問題で与えられた近似式を適用し、目標の式を導出します。
説明
思考の道筋とポイント
線膨張率 \(\alpha\) を持つ物質の体積膨張が、近似的に \(V=V_0(1+3\alpha t)\) となることを証明する問題です。まず、物体の形状を単純な立方体と考え、線膨張によって各辺の長さがどう変化するかを考えます。次に、変化後の辺の長さから体積を計算し、その式に与えられた近似式 \((1+x)^n \approx 1+nx\) を適用することで、体膨張の式を導きます。
この設問における重要なポイント
- 線膨張の公式 \(L = L_0(1+\alpha t)\) を正しく理解している。
- 体積が長さの3乗であることから、体積変化の式を立てられる。
- 与えられた近似式を、適切な変数に置き換えて適用できる。
具体的な解説と立式
簡単のため、\(0^\circ\text{C}\) において物体が一辺の長さ \(L_0\) の立方体であるとします。
このときの初期体積 \(V_0\) は、
$$ V_0 = L_0^3 \quad \cdots ① $$
温度が \(t [^\circ\text{C}]\) だけ上昇すると、線膨張率が \(\alpha\) なので、一辺の長さ \(L\) は次のように表されます。
$$ L = L_0(1 + \alpha t) \quad \cdots ② $$
このときの体積 \(V\) は、
$$ V = L^3 $$
この式に②を代入すると、
$$
\begin{aligned}
V &= \{L_0(1 + \alpha t)\}^3 \\[2.0ex]&= L_0^3 (1 + \alpha t)^3
\end{aligned}
$$
さらに①より \(L_0^3 = V_0\) なので、
$$ V = V_0 (1 + \alpha t)^3 \quad \cdots ③ $$
ここで、問題の条件「\(\alpha t\) は \(1\) よりきわめて小さい」と、近似式「\(|x|\) が \(1\) より非常に小さいとき、\((1+x)^n \approx 1+nx\)」を用います。
式③の \((1+\alpha t)^3\) の部分に、\(x = \alpha t\)、\(n=3\) としてこの近似式を適用すると、
$$ (1 + \alpha t)^3 \approx 1 + 3\alpha t $$
この近似結果を式③に代入すると、
$$ V \approx V_0 (1 + 3\alpha t) $$
となり、示すべき式が得られました。
使用した物理公式
- 線膨張: \(L = L_0(1 + \alpha t)\)
- 近似式: \((1+x)^n \approx 1+nx\) （ただし \(|x| \ll 1\)）
- \(0^\circ\text{C}\)での一辺の長さを\(L_0\)、体積を\(V_0\)とすると、\(V_0 = L_0^3\)。
- 温度が\(t\)上昇したときの一辺の長さ\(L\)は、\(L = L_0(1+\alpha t)\)。
- 温度上昇後の体積\(V\)は、
$$
\begin{aligned}
V &= L^3 \\[2.0ex]&= \{L_0(1+\alpha t)\}^3 \\[2.0ex]&= L_0^3(1+\alpha t)^3 \\[2.0ex]&= V_0(1+\alpha t)^3
\end{aligned}
$$ - \(\alpha t \ll 1\) のため、近似式 \((1+x)^n \approx 1+nx\) を \(x=\alpha t, n=3\) として適用すると、
$$ (1+\alpha t)^3 \approx 1+3\alpha t $$ - これを体積の式に代入して、
$$ V \approx V_0(1+3\alpha t) $$
以上より、題意は示された。
物が温まると、長さが少し伸びます。体積も同じように増えます。まず、\(0^\circ\text{C}\)でのタテ・ヨコ・高さが\(L_0\)のサイコロを考えます。その体積は\(V_0 = L_0^3\)です。温度が\(t\)上がると、各辺は\(\alpha t\)の割合で伸びて、新しい長さ\(L\)は\(L_0(1+\alpha t)\)になります。新しい体積\(V\)は\(L^3\)なので、\(V = V_0(1+\alpha t)^3\)となります。ここで、\(\alpha t\)はとても小さいので、便利な近似式\((1+x)^n \approx 1+nx\)が使えます。\(x\)を\(\alpha t\)、\(n\)を\(3\)と考えると、\((1+\alpha t)^3\)はだいたい\(1+3\alpha t\)になります。これを体積の式に入れると、\(V \approx V_0(1+3\alpha t)\)となり、説明したかった式が出てきます。
以上の導出により、線膨張率が\(\alpha\)の物質の体積が、微小な温度上昇\(t\)に対して\(V \approx V_0(1+3\alpha t)\)と表せることが示されました。これは、体膨張率\(\beta\)が線膨張率\(\alpha\)のおよそ3倍(\(\beta \approx 3\alpha\))であることを意味しており、物理的に整合性のとれた結果です。
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最重要ポイント：この問題の核心となる物理法則は？
- 線膨張から体膨張への拡張と近似計算:
- 核心: この問題のすべては、1次元の現象である「線膨張」の法則を3次元の「体積」に拡張し、その際に生じる複雑な式を「近似式」を用いて単純化できるか、という点にあります。
- 理解のポイント: なぜ体膨張率が線膨張率の「約」3倍になるのか、その背景にある数学的な操作（二項近似）を理解することが重要です。物理法則（線膨張）と数学的ツール（近似式）を結びつける能力が問われています。
応用テクニック：似た問題が出たらココを見る！解法の鍵と着眼点
- 応用できる類似問題のパターン:
- 面膨張率の導出: 同様のアプローチで、面積の膨張（面膨張）について考える問題。初期面積を\(S_0 = L_0^2\)とすると、変化後の面積は\(S = L^2 = S_0(1+\alpha t)^2\)。近似式を適用すると\(S \approx S_0(1+2\alpha t)\)となり、面膨張率\(\gamma\)が\(\gamma \approx 2\alpha\)であることが導けます。
- 振り子の周期の変化: 金属棒でできた振り子の周期が、温度変化によってどう変わるかを問う問題。振り子の周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) に、線膨張した長さ \(L = L_0(1+\alpha \Delta T)\) を代入し、\((1+x)^{1/2} \approx 1 + \frac{1}{2}x\) の近似を用いて周期の変化率を求めます。
- 初見の問題での着眼点:
- 基本法則の特定: 問題の根底にある物理法則は何かを見抜きます（この場合は線膨張）。
- 次元の拡張: その法則を、求められている物理量（面積、体積、周期など）に適用するために、次元を拡張します（長さ→面積、長さ→体積など）。
- 近似の適用可能性の検討: 式が複雑になった場合、「微小」「わずかに」といったキーワードに注目し、近似式が使えないか検討します。問題文で与えられていなくても、\((1+x)^n \approx 1+nx\) は物理で頻出の近似式として知っておくと有利です。
要注意！ありがちなミス・誤解とその対策
- 近似式の無条件な使用:
- 誤解: \(\beta = 3\alpha\) が常に厳密に成り立つと思い込む。
- 対策: これはあくまで\(\alpha t \ll 1\)という条件下での「近似関係」であることを常に意識しましょう。温度変化が大きい場合は、この関係は成り立ちません。
- 体積、面積、長さの係数の混同:
- 誤解: 体膨張率と面膨張率の係数（3と2）を混同してしまう。
- 対策: 体積は長さの「3乗」、面積は「2乗」に比例することを考えれば、係数がそれぞれ3と2になるのは自然であると理解できます。次元と係数を関連付けて覚えましょう。
- 近似式の \(x\) の誤認:
- 誤解: 近似式の \(x\) に、\(\alpha\) や \(t\) を単独で代入してしまう。
- 対策: 近似は「1に比べて非常に小さい量」に対して行います。この問題では、無次元量である \(\alpha t\) 全体がその「非常に小さい量」に相当します。\(x = \alpha t\) と正しく置き換えることが重要です。
なぜその公式？論理的な公式選択と適用の思考法
- \(L = L_0(1+\alpha t)\) (線膨張):
- 選定理由: 問題の出発点となる最も基本的な物理法則だからです。
- 適用根拠: 実験的に、物体の長さの増加分 \(\Delta L\) は、元の長さ \(L_0\) と温度変化 \(\Delta t\) に比例する（\(\Delta L \propto L_0 \Delta t\)）ことが知られています。この比例定数が線膨張率 \(\alpha\) であり、\(\Delta L = \alpha L_0 \Delta t\) となります。これを変形すると、変化後の長さ \(L = L_0 + \Delta L = L_0(1+\alpha \Delta t)\) が得られます。
- \((1+x)^n \approx 1+nx\) (二項近似):
- 選定理由: 物理現象から導かれた複雑な式（この場合は\((1+\alpha t)^3\)）を、物理的に意味のある単純な形（一次の比例関係）に変換するための強力な数学的ツールだからです。
- 適用根拠: これはテイラー展開（または二項定理）の最初の2項をとったものです。\((1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots\) と展開できますが、\(|x|\)が1に比べて非常に小さいとき、\(x^2, x^3, \dots\) といった高次の項は \(nx\) に比べて無視できるほど小さくなるため、\(1+nx\) で十分に近似できます。
計算ミスをなくす！日頃の意識と実践テクニック
- 証明問題の骨格を意識する: 証明問題は、計算問題と異なり、論理の流れが採点対象です。
- 前提（モデル設定）
- 基本法則の適用
- 式変形
- 近似の適用
- 結論
という骨格を意識して記述すると、論理的で分かりやすい答案になります。
- 近似の適用を明記する: 「\(\alpha t \ll 1\) なので、近似式 \((1+x)^n \approx 1+nx\) を用いると…」のように、どの条件に基づいてどの近似を適用したのかを明確に記述する癖をつけましょう。
- 文字の定義を明確に: \(L_0, V_0, L, V\) など、自分が使っている文字が何を表しているのかを、答案の冒頭で定義しておくと、思考が整理され、採点者にも親切です。
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